[Purcell,Varberg,Rigdon]Calculo

432 Capítulo 8 Formas indeterminadas e integrales impropias Por lo tanto, lím y = e0 = 1 ■ x : p>2- Resumen Hemos clasificado ciertos problemas de límites como formas indetermi- nadas, utilizando siete símbolos 0>0, q>q, 0 ؒ q, q – q, 00, q0 y 1q. Cada uno implica una competencia de fuerzas opuestas, lo cual significa que el resultado no es obvio. Sin embargo, con la ayuda de la regla de L’Hôpital, que sólo se aplica directamente a las formas 0>0 e q>q, por lo común podemos determinar el límite. Existen muchas otras posibilidades simbolizadas, por ejemplo, 0>q, q>0, q + q, q ؒ q, 0q e qq. Y a éstas, ¿por qué no denominarlas como formas indeterminadas? Porque en cada caso las fuerzas trabajan juntas, no en competencia. ■ EJEMPLO 9 Encuentre lím 1sen x2cot x. x : 0+ SOLUCIÓN Podríamos llamar a ésta una forma 0q, pero no es indeterminada. Ob- serve que sen x se aproxima a cero y elevada al exponente cot x, un número que está aumentando, sólo sirve para hacer que se aproxime más rápido a cero. Así, lím 1sen x2cot x = 0 ■ x:0+ Revisión de conceptos 1. Si lím f1x2 = lím g1x2 = q , entonces la regla de L’Hô- 3. Siete formas indeterminadas se estudiaron en este texto. Se x:a x:a simbolizan por medio de 0>0, q>q, 0 ؒ q y ______. pital dice que lím f1x2>g1x2 = lím ______. 4. ex crece más rápido que cualquier potencia de x, pero ______ x:a x:a crece más lentamente que cualquier potencia de x. 2. Si lím f1x2 = 0 y lím g1x2 = q , entonces lím f1x2g1x2 x:a x:a x:a es una forma indeterminada. Para aplicar la regla de L’Hôpital, pode- mos reescribir este último límite como ______. Conjunto de problemas 8.2 En los problemas del 1 al 40 encuentre cada límite. Asegúrese de que 23. lím x1>x 24. lím 1cos x21>x2 tiene una forma indeterminada antes de aplicar la regla de L’Hôpital. x:q x:0 ln x10000 2. lím 1ln x22 25. lím 1tan x22>x 26. lím 1e-x - x2 1. lím x:q x:0+ x:-q x:q x 2x 27. lím 1sen x2x 28. lím 1cos x - sen x21>x x:0+ x10000 3x 29. lím a csc x - 1 b x:0 1 bx 3. lím 4. lím 30. ex ln1100x + ex2 x lím a1 + x x:q x:q x:0 x:q 3 sec x + 5 ln sen2 x 31. lím 11 + 2ex21>x 1x 5. lím 6. lím 32. lím a - b x:0+ x:1 x - 1 ln x x:p>2 tan x x:0+ 3 ln tan x ln1ln x10002 ln14 - 8x22 33. lím 1cos x21>x 34. lím 1x1>2 ln x2 7. lím 8. lím x:0 x:0+ x: q ln x x:11>22- tan px 35. lím ecos x cot x 10. lím 2 csc2 x 9. lím x:q x:0 x:0+ 2 - ln x cot2 x 36. lím [ln1x + 12 - ln1x - 12] 11. lím 1x ln x10002 x:q x:0 12. lím 3x2 csc2 x x 38. lím 1ln x cot x2 37. lím x:0 x:0+ x:0+ ln x x 13. lím 1csc2 x - cot2 x2 14. lím 1tan x - sec x2 x x:0 x : p>2 39. lím L1 21 + e-t dt sen t dt 40. lím L1 15. lím 13x2x2 16. lím 1cos x2csc x x:q x x:0 x:1+ x - 1 x:0+ 1 2 41. Encuentre cada límite. Sugerencia: transforme a problemas 17. lím 15 cos x2tan x x2 que incluyan una variable continua x. Suponga que a 7 0. 18. lím a csc2 x - b x : 1p>22- x:0 19. lím 1x + ex>323>x 20. lím 1cos 2x2x-p>2 (a) lím 1n a (b) lím 1n n x:0 x : 1p>22- n:q n:q 21. lím 1sen x2cos x 22. lím xx (c) lím n A 1n a - 1 B (d) lím n A 1n n - 1 B n:q n:q x : p>2 x:q

Sección 8.3 Integrales impropias: límites de integración infinitos 433 42. Encuentre cada límite. # # #n (a) lím xx (b) lím 1xx2x Aquí q significa producto; esto es, q ai significa a1 a2 Á an. x:0+ x:0+ i=1 En particular, si a, b, x y y son positivas y a + b = 1, entonces (c) lím x1xx2 (d) lím 11xx2x2x lím 1axt + byt21>t = xayb x:0+ x:0+ t:0+ (e) lím x1x1xx22 47. Verifique la última proposición en el problema 46 calculando cada uno de los siguientes límites. x:0+ 43. Grafique y = x1>x, para x 7 0. Muestre lo que sucede para x (a) lím A 1 2t + B15t 1>t (b) lím A 1 2t + B45t 1>t muy pequeña y x muy grande. Indique el valor máximo. 2 5 t:0+ 2 t:0+ 5 (c) lím A 1 2t + B9 5t 1>t 10 44. Determine cada límite. t:0+ 10 (a) lím 11x + 2x21>x (b) lím 11x + 2x21>x 48. Considere f (x) = n2xe-nx. x:0+ x:0- (a) Haga la gráfica de f (x) para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 en [0, 1] en la mis- ma ventana de graficación. (c) lím 11x + 2x21>x (d) lím 11x + 2x21>x (b) Para x 7 0, encuentre lím f1x2. x:q x:-q n:q 45. Para k Ú 0, encuentre 1 lím 1k + 2k + Á + nk (c) Evalúe f1x2 dx para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6. L0 n:q nk + 1 1 Sugerencia: aunque esto tiene la forma q>q, la regla de L’Hôpital no es de ayuda. Piense en una suma de Riemann. (d) Haga una conjetura acerca de lím f1x2 dx. Después justifi- n : q L0 que su respuesta de manera rigurosa. n CAS 49. Encuentre los puntos máximo absoluto y mínimo absoluto (si existen) para f (x) = (x25 + x3 + 2x)e-x en [0, q). 46. Sean c1, c2,..., cn constantes positivas con a ci = 1, y sean x1, Respuestas a la revisión de conceptos: 1. f¿1x2>g¿1x2 i=1 2. lím f1x2>[1>g1x2] o lím g1x2>[1>f1x2] x2, . . . , xn números positivos. Tome logaritmos naturales y después utilice la regla de L’Hôpital para demostrar que n 1>t n x:a x:a lím a a cixti b = x1c1 x2c2 Á xncn = q xici 3. q - q , 00, q 0, 1q 4. ln x t:0+ i=1 i=1 8.3 b Integrales impropias: En la definición de f1x2 dx, se supuso que el intervalo [a, b] era finito. Sin embargo, límites de integración La infinitos en muchas aplicaciones de física, economía y probabilidad queremos permitir a a o a b (o a ambas) ser q o – q. Por lo tanto, debemos encontrar la manera de dar significado a símbolos como q1 -1 q L0 1 + x2 dx, xe-x2 dx, x2e-x2 dx L-q L-q Estas integrales se denominan integrales impropias con límites infinitos. Un límite infinito Considere la función f (x) = xe-x. Tiene mucho sentido pregun- tar por 101xe-x dx o 102xe-x dx, o hasta por 10bxe-x dx, en donde b es cualquier número positivo. Como lo indica la tabla de la siguiente página, conforme aumenta el límite su- perior en la integral definida, el valor de la integral (el área bajo la curva) aumenta, pe- ro aparentemente no sin cota (al menos, en este ejemplo). Para darle significado a q xe-x dx, empezamos integrando desde 0 hasta un límite superior arbitrario, diga- 10 mos b, que al utilizar integración por partes da bb L0 xe-x dx = [ - xe-x]0b - ( - e-x) dx = 1 - e-b - be-b L0 Ahora, imagine que el valor de b avanza hacia infinito. (Véase la siguiente tabla). Como lo muestra el cálculo precedente, si hacemos b : q, el valor de la integral definida converge a 1. Por lo tanto, parece natural definir qb xe-x dx = lím xe-x dx = lím 11 - e-b - be-b2 = 1 L0 b: q L0 b:q

434 Capítulo 8 Formas indeterminadas e integrales impropias Integral Figura Valor Aproximación exacto numérica y 1 - e-1 - 1e-1 0.2642 0.4 1 xe-x dx 0.2 L0 1 2 3 4 5 6 x y 1 - e-2 - 2e-2 0.5940 1 - e-3 - 3e-3 0.8009 2 0.4 xe-x dx 0.2 L0 1 2 3 4 5 6x y 3 0.4 xe-x dx 0.2 L0 1 2 3 4 5 6x y Para una b arbitraria b 0.4 xe-x dx 0.2 1 - e-b - be-b L0 1 2 3 4 5 6x b y Sea b→ϱ 0.4 q 0.2 xe-x dx 1 2 3 4 5 6x lím C 1 - e-b - be-b D = 1 L0 b:q He aquí la definición general. Definición bb f1x2 dx = lím f1x2 dx L- q a: -q La qb f1x2 dx = lím f1x2 dx La b: q La Si los límites de la derecha existen y tienen valores finitos, entonces decimos que las correspondientes integrales impropias convergen y tienen esos valores. De otra for- ma, se dice que la integral diverge. ■ EJEMPLO 1 Encuentre, si es posible, -1 L- q xe-x2 dx. SOLUCIÓN -1 = -1 -1 = c- 1 e-x2 -1 Así, xe-x2 dx e-x21 - 2x dx2 d La 2 La 2a = - 1 e-1 + 1 e-a2 22 -1 lím c - 1 e-1 + 1 e-a2 d = - 1 a:-q 2 2 2e xe-x2 dx = L-q Decimos que la integral converge y tiene valor –1>2e ■

Sección 8.3 Integrales impropias: límites de integración infinitos 435 q ■ EJEMPLO 2 Encuentre si es posible, sen x dx. L0 SOLUCIÓN qb L0 sen x dx = lím sen x dx = lím [- cos x]0b b: q L0 b:q y = lím [1 - cos b] y = sen x b:q Figura 1 x El último límite no existe; concluimos que la integral dada diverge. Considere el signi- Figura 2 q x ficado geométrico de sen x dx para apoyar este resultado (véase la figura 1). ■ L0 ■ EJEMPLO 3 De acuerdo con la ley del inverso de los cuadrados de Newton, la fuerza que ejerce la Tierra sobre una cápsula espacial es -k>x2, en donde x es la distancia (en millas, por ejemplo) desde la cápsula al centro de la Tierra (véase la figura 2). Por lo tanto, la fuerza F(x) requerida para elevar a la cápsula es F(x) = k>x2. ¿Cuánto trabajo se realiza al impulsar una cápsula de 1000 libras fuera del campo de atracción terrestre? SOLUCIÓN Podemos evaluar k observando que en x = 3960 millas (el radio de la Tierra) F = 1000 libras. Ésta da k = 1000(3960)2 L 1.568 * 1010. Por lo tanto, el trabajo realizado en millas-libra es 1.568 * q 1 dx = lím 1.568 * 1010 c - 1 d b x2 x 3960 1010 b:q L3960 = lím 1.568 * 1010 c - 1 + 1 d b:q b 3960 = 1.568 * 1010 L 3.96 * 106 ■ 3960 Ambos límites infinitos q Ahora podemos dar una definición para f1x2 dx. L- q Definición 0q q Si f1x2 dx y f1x2 dx convergen, entonces se dice que f1x2 dx con- L- q L0 L- q verge y tiene valor q0 q f1x2 dx = f1x2 dx + f1x2 dx L-q L-q L0 q En caso contrario, f1x2 dx. L- q ■ EJEMPLO 4 q1 Evalúe L-q 1 + x2 dx o establezca que diverge. SOLUCIÓN q1 dx = lím b1 b: q L0 1 + x2 dx L0 1 + x2 = lím [tan-1 x]b0 b:q = lím [tan-1 b - tan-1 0] = p b:q 2

436 Capítulo 8 Formas indeterminadas e integrales impropias Ya que el integrando es una función par. 0 1 1 dx = q 1 dx = p + x2 + x2 2 L-q L0 1 Por lo tanto, q 1 1 = 0 1 + q 1 dx = p + p = p ■ + x2 dx 1 + x2 dx + x2 2 2 L-q L-q L0 1 Utilizaremos la notación [F1x2]aq para querer decir lím F1b2 - F1a2. Defini- b:q ciones similares se aplican a [F1x2]a- q y a [F1x2]-qq. Observe que en ninguno de estos casos estamos “sustituyendo” infinito. Cada uno está definido como un límite que coin- cide con nuestro enfoque de determinar las integrales impropias. Funciones de densidad de probabilidad Cuando introdujimos por primera vez las variables aleatorias y funciones de densidad de probabilidad, en la sección 5.7, tuvimos que restringir la atención a casos en donde el conjunto de resultados posibles era acotado. En muchas situaciones no existe límite superior (o inferior) para el con- junto de resultados posibles. Por ejemplo, no hay cota superior en la durabilidad de una batería, o qué tan fuerte es una mezcla de concreto. Ahora que hemos analizado inte- grales impropias, podemos prescindir de esta restricción. Si la FDP f (x) de una variable aleatoria continua X está definida como 0 fuera del conjunto de resultados posibles, entonces los requerimientos para una FDP son y 1. f1x2 Ú 0 0.25 q 0.2 2. f1x2 dx = 1 0.15 L-q 0.1 La FDP de una variable aleatoria nos permite encontrar probabilidades por medio de 0.05 FDP de X integración; por ejemplo, la figura 3 ilustra la probabilidad de que X esté entre 4 y 6. 02 y = f(x) Entonces, la media y la varianza de una variable aleatoria están definidas por Figura 3 46 q m = E1X2 = x f1x2 dx L-q q 8x s2 = V1X2 = 1x - m22 f1x2 dx L-q La varianza s2 de una variable aleatoria es una medida de la dispersión, o “dispersi- dad” de la probabilidad, y puede calcularse así (véase el problema 41 de la sección 5.7) s2 = E1X22 - m2 Cuando s2 es pequeña, la distribución de probabilidad está, para decirlo de manera in- formal, concentrada muy cerca, alrededor de la media; cuando s2 es grande, la proba- bilidad está más dispersa. Los dos ejemplos siguientes, y algunos de los ejercicios, introducen varias familias útiles de distribuciones de probabilidad. ■ EJEMPLO 5 La distribución exponencial, que en ocasiones se utiliza para mo- delar tiempos de vida de componentes eléctricos o mecánicos, tiene FDP le-lx, si 0 … x f1x2 = e en otro caso 0, donde l es alguna constante positiva. (a) Muestre que es una FDP válida. (b) Determine la media m y la varianza s2. (c) Determine la función de distribución acumulada (FDA) F(x). (d) Si el tiempo de vida de un componente X, medida en horas, es una variable aleato- ria que tiene una distribución exponencial con l = 0.01, ¿cuál es la probabilidad de que el componente funcione al menos 20 horas?

Sección 8.3 Integrales impropias: límites de integración infinitos 437 SOLUCIÓN (a) La función f siempre es no negativa y q 0q L-q f1x2 dx = L-q 0 dx + L0 le-lx dx = 0 + [ - e-lx]0q =1 por lo que f (x) es una FDP válida. (b) q E1X2 = xf1x2 dx L-q #0 q = x 0 dx + xle-lx dx L-q L0 Aplicamos integración por partes en la segunda integral: u = x, dv = le-lxdx, por lo que du = dx, v = - e-lx. Así que, q E1X2 = [ - xle-lx]0q - L0 1 - e-lx2 dx = 1-0 + 02 + c- 1 q e-lx d l0 = 1 l La varianza es s2 = E1X22 - m2 = q - 12 ab x2f1x2 dx L-q l 0 q 1 l2 x2 x2le-lx dx - L-q L0 #= 0 dx + = [ - x2e-lx]0q - q - 1 l2 1 - e-lx2 2x dx L0 = 1-0 + 02 + q - 1 l2 2 xe-lx dx L0 = 1 - 1 = 1 2 l2 l2 l2 y 1 – e–λx, x Ն 0 (c) Para x 6 0, la FDA es F(x) = P(X … x) = 0. Para x Ú 0, 1 F(x) = x Figura 4 0, x Ͻ 0 F1x2 = f1t2 dt x L-q 0x = 0 dx + le-lt dt L-q L0 = 0 + [ - e-lt]x0 = 1 - e-lx En la figura 4 se muestra un ejemplo de la FDA.

438 Capítulo 8 Formas indeterminadas e integrales impropias (d) Haga l = 0.0. La probabilidad de que el componente funcione al menos 20 horas es la probabilidad de que el tiempo de vida sea de 20 horas o más: q P1X 7 202 = L20 0.01e-0.01x dx = [ - e-0.01x]2q0 = 0 - 1 - e-0.01#202 = e-0.2 ■ L 0.819 La distribución normal es la conocida curva en forma de campana. En realidad es una familia de distribuciones, ya que la media m puede ser cualquier número y la va- rianza puede ser cualquier número positivo s2. La distribución normal con parámetros m y s2 tiene FDP f1x2 = 1 exp[ - 1x - m22>2s2] 22p s –2 –1 y (Los parámetros m y s2 resultan ser la media y la varianza, respectivamente, por lo que se justifica el uso de las letras griegas m y s.) La figura 5 muestra una gráfica de la FDP Figura 5 =f(x) = 1 e–x2/2 para la distribución normal con media m = 0 y varianza s2 = 1. Es sorprendentemente 2π difícil demostrar que 12 x q 1 exp[ - 1x - m22>2s2] dx = 1 L-q 22p s Otras propiedades de la distribución normal incluyen lo siguiente: (a) su gráfica es simétrica con respecto a la recta x = m; (b) tiene un máximo en x = m; (c) tiene puntos de inflexión cuando x = m ; s; (d) la media es m; (e) la varianza es s2. El problema 33 incluye algunas otras propiedades de la FDP normal. La distribución normal con m = 0 y s2 = 1 se denomina distribución normal estándar. Ésta es la distri- bución normal que se graficó en la figura 5. ■ EJEMPLO 6 Demuestre que 1 q (a) xe-x2>2 dx = 0 22p L-q 1 q (b) x2e-x2>2 dx = 1 22p L-q SOLUCIÓN (a) 1 q 1 b xe-x2>2 dx = lím c - e-x2>21 - x dx2 d 22p L0 b: q 22p L0

Sección 8.3 Integrales impropias: límites de integración infinitos 439 = lím c- 1 b b: q 22p e-x2>2 d 0 =1 22p Como xe-x2>2 es una función impar, 1 0 1 q 1 xe-x2>2 dx = - xe-x2>2 dx = - 22p L-q 22p L0 22p Así, 1 q 1 0 1 q xe-x2>2 dx = xe-x2>2 dx + xe-x2>2 dx 22p L-q 22p L-q 22p L0 =- 1 + 1 =0 22p 22p (b) Como e-x2>2 es una función par y dado que q 1 e-x2>2 dx = 1, L-q 22p 1 q = 1 22p L0 e-x2>2 dx 2 Entonces, aplicamos integración por partes y la regla de L’Hôpital. 1 q 1 b x2e-x2>2 dx = lím 1x21e-x2>2x2 dx 22p L0 b: q 22p L0 = lím 1 a C - xe-x2>2 D b + b b: q 22p 0 L0 e-x2>2 dx b = 1 a0 + q = 1 22p L0 e-x2>2 dx b 2 Como x2e-x2>2 es una función par, obtenemos una contribución similar a la iz- quierda del cero, y así 1 q = 1 + 1 = 1 ■ x2e-x2>2 dx 22 22p L-q y y = 1 La paradoja de la trompeta de Gabriel Suponga que la curva y = 1>x en x [1, q) se hace girar alrededor del eje x, con lo que se genera una superficie denomina- 1 da trompeta de Gabriel (véase la figura 6). Afirmamos que Figura 6 1. el volumen V de esta trompeta es finito; x 2. el área de la superficie A de la trompeta es infinita. Al poner los resultados en términos prácticos, parecen decir que la trompeta puede llenarse con una cantidad finita de pintura y que, incluso, no hay suficiente pintura para pintar su superficie interna. Antes de que tratemos de esclarecer esta paradoja, es- tablecemos (1) y (2). Utilizamos los resultados para el volumen de la sección 5.2 y para el área de la superficie de la sección 5.4.

440 Capítulo 8 Formas indeterminadas e integrales impropias q 1 2 b x V = L1 p a b dx = lím p x-2 dx b: q L1 pb = lím c- d = p x b:q 1 q q dy 2 A= 2py ds = 2py A 1 + ab dx L1 L1 dx = 2p q 1 -1 2 L1 xA 1 + a x2 b dx = lím b 2x4 + 1 dx x3 b:q 2p L1 Ahora, 2x4 + 1 2x4 1 x3 7 x3 = x Así, b 2x4 + 1 b1 L1 x3 dx 7 L1 x dx = ln b Hans Memling (1425>40-1494). El Juicio y como ln b : q cuando b : q, concluimos que A es infinita. final, detalle del panel derecho: el ángel ¿Hay algo erróneo en nuestras matemáticas? No. Imagine que la trompeta se cor- hace sonar una trompeta y el condenado cae al infierno. Museo Promorskie, ta por un lado, se abre y se aplana. Dada una cantidad finita de pintura, posiblemente Gdansk, Polonia. Scala>Art Resource, no podríamos pintar esta superficie con una capa de grosor uniforme. Sin embargo, po- N. Y. dríamos hacerlo si permitimos que la capa de pintura se haga cada vez más delgada conforme nos alejamos del extremo más ancho de la trompeta. Y por supuesto, esto es exactamente lo que sucede cuando llenamos la trompeta sin abrir con p unidades cúbi- cas de pintura. (Pintura imaginaria puede extenderse a un grosor arbitrario.) q Este problema implica el estudio de dos integrales de la forma 1>xp dx. Para L1 referencia posterior, ahora analizamos esta integral para todos los valores de p. Gabriel pavimenta una calle q Cuando se le pidió pavimentar una ■ EJEMPLO 7 Demuestre que L1 1>xp dx diverge para p … 1 y converge para calle infinita 0 … x 6 q, 0 … y … 1 con oro puro, Gabriel obedeció pero p 7 1. hizo que el grosor h del oro en x satisficiera SOLUCIÓN En nuestra solución de la trompeta de Gabriel, demostramos que la in- tegral diverge para p = 1. Si p Z 1, h = e-x q1 b x-p+1 b ¿Cuánto oro necesitó? L1 xp dx = = lím c d lím x-p dx - p + 11 qb b: q L1 b:q V = e-x dx = lím e-x dx q si p 6 1 L0 b:q L0 si p 7 1 = lím c 1 d c 1 - 1d = c 1 = lím [ - e-x]b0 = 1 b:q 1 - p bp - 1 p - 1 b:q Sólo una unidad cúbica. La conclusión se sigue. ■ Revisión de conceptos q qb 3. La f1x2 dx se dice que diverge si ________ o ________ L- q 1. La f1x2 dx se dice que ________, si lím f1x2 dx La b : q La divergen. existe y es finito. q q 4. La 11>xp2 dx converge si y sólo si ________. L1 2. La cos x dx no converge porque ________ no existe. L0

Sección 8.3 Integrales impropias: límites de integración infinitos 441 Conjunto de problemas 8.3 En los problemas del 1 al 24 evalúe cada integral impropia o demues- 30. Resuelva el problema 29 suponiendo que f (t) = 100,000 + tre que diverge. 1000t. q -5 dx 31. Una variable aleatoria continua X tiene una distribución uni- 2. L-q x4 forme si tiene una función de densidad de probabilidades de la forma 1. ex dx L100 1 1 f1x2 = c b - a q 3. 2xe-x2 dx 4. e4x dx si a 6 x 6 b L1 L-q q x dx q dx 0 si x … a o x Ú b 5. 6. L1 2px q L9 21 + x2 q dx qx (a) Demuestre que f1x2 dx = 1. 7. 8. L10 1 + x2 dx L- q L1 x1.00001 (b) Encuentre la media m y la varianza s2 de la distribución unifor- q dx qx me. 9. x0.99999 10. 11 + x222 dx (c) Si a = 0 y b = 10, encuentre la probabilidad de que X sea menor L1 L1 a 2. q1 q ln x 11. dx 12. dx 32. Una variable aleatoria X tiene una distribución Weibull si Le x ln x Le x tiene función de densidad de probabilidad q ln x q b - 13. x2 dx 14. xe-x dx b x 1 L2 u a b si x 7 0 L1 f1x2 = c u e-1x>u2b 1 dx 16. q dx 0 si x … 0 15. L-q 12x - 323 L4 1p - x22>3 q qx q dx (a) Demuestre que f1x2 dx = 1. (Suponga que b 7 1). 17. dx 18. L-q 1x2 + 1622 L- q L-q 2x2 + 9 (b) Si u = 3 y b = 2, encuentre la media m y la varianza s2. q1 qx (c) Si durabilidad de un monitor de computadora es una variable 19. L-q x2 + 2x + 10 dx 20. dx aleatoria X que tiene distribución Weibull con u = 3 y b = 2 (en L-q e2ƒxƒ donde la edad se mide en años) encuentre la probabilidad de que un monitor se descomponga antes de dos años. q 21. sech x dx Sugerencia: utilice una tabla de integrales o 33. Haga un bosquejo de la gráfica de la función de densidad L- q normal un CAS. f1x2 = 1 e-1x - m22>2s2 s 22p q 22. csch x dx y demuestre, por medio de cálculo, que s es la distancia desde la me- L1 dia m hasta la abscisa de uno de los puntos de inflexión. q CAS 34. La función de densidad de probabilidad Pareto tiene la forma 23. e-x cos x dx Sugerencia: utilice una tabla de integrales o L0 un CAS. CMk f1x2 = c xk+1 q 0 24. e-x sen x dx L0 25. Encuentre el área de la región bajo la curva y = 2>(4x2 - 1) a si x Ú M, la derecha de x = 1. Sugerencia: utilice fracciones parciales. si x 6 M 26. Encuentre el área de la región bajo la curva y = 1>(x2 + x) a la donde k y M son constante positivas. derecha de x = 1. (a) Determine el valor de C que hace a f (x) una función de densi- 27. Suponga que la Ley de Newton para la fuerza debida a la dad de probabilidad. gravedad tuviese la forma -k>x en lugar de -k>x2 (véase el ejemplo (b) Para el valor de C que encontró en la parte (a), determine el va- 3). Demuestre que entonces sería imposible enviar cualquier cosa lor de la media m. ¿La media es finita para toda k positiva? Si no es así, ¿cómo depende la media de k? fuera del campo de atracción terrestre. (c) Para el valor de C que encontró en la parte (a), determine la va- 28. Si una cápsula de 1000 libras sólo pesa 165 libras en la Luna rianza s2. ¿Cómo depende la varianza de k? (con radio de 1080 millas), ¿cuánto trabajo se hace al impulsar esta cápsula fuera del campo de atracción gravitacional de la Luna? (Véase 35. Con frecuencia, la distribución de Pareto es utilizada para el ejemplo 3.) modelar distribuciones de ingreso. Suponga que en alguna economía, la distribución del ingreso sigue una distribución de Pareto con k = 3. 29. Supóngase que una compañía espera que su utilidad anual den- Suponga que el ingreso medio es de $20,000. tro de t años sea f (t) dólares y que se considera que el interés se com- pone de manera continua a una tasa anual de r. Entonces el valor (a) Determine M y C. presente de todas las utilidades futuras (UF) puede demostrarse que es (b) Determine la varianza s2. q (c) Determine la fracción de asalariados que ganan más de $100,000. (Nota: es lo mismo que preguntar cuál es la probabilidad de que FP = L0 e-rtf1t2 dt al elegir de manera aleatoria a una persona ésta tenga un ingre- so de más de $100,000). Encuentre la UF si r = 0.08 y f (t) = 100,000.

442 Capítulo 8 Formas indeterminadas e integrales impropias 36. En teoría electromagnética, el potencial magnético u en un (a) si lím f1x2 existe debe ser 0; punto sobre el eje de una bobina circular está dada por x:q u = Ar q dx (b) es posible que lím f1x2 no exista. La x:q 1r2 + x223>2 CAS 41. Podemos utilizar una computadora para aproximar en donde A, r y a son constantes. Evalúe u. qb q f1x2 dx tomando b muy grande en f1x2 dx con tal que se- L1 L1 37. Existe una sutileza en la definición de f1x2 dx ilustrado L- q 100 por medio de lo siguiente. Demuestre que pamos que la primera integral converge. Calcule 11>xp2 dx pa- q L1 (a) sen x dx diverge y ra p = 2, 1.1, 1.01, 1 y 0.99. Observe que esto no da idea de que la L-q q a integral 11>xp2 dx converge para p 7 1 y diverge para p … 1. (b) lím sen x dx = 0. L1 a: q L-a CAS 42. Aproxime a 1 11 + x22-1 dx para a = 10, 50 y 100. 38. Considere un alambre infinito que coincide con la parte posi- L0 p tiva del eje x y que tiene densidad de masa d(x) = (1 + x2)-1, 0 … x 6 q. CAS 43. Aproxime a 1 exp1 - x2>22 dx para a = 1, 2, 3 y 4. (a) Calcule la masa total del alambre. L-a 22p (b) Demuestre que este alambre no tiene centro de masa. 39. Proporcione un ejemplo de una región en el primer cuadran- Respuestas a la revisión de conceptos: 1. converge te que dé un sólido de volumen finito cuando se hace girar alrededor del eje x, pero que dé un sólido de volumen infinito cuando se hace girar alrededor del eje y. 40. Sea f una función continua no negativa en 0 … x 6 q con b 0q q 2. lím cos x dx 3. f1x2 dx; f1x2 dx 4. p 7 1 b : q L0 L- q L0 f1x2 dx 6 q . Demuestre que L0 8.4 Considerando la gran cantidad de integraciones complicadas que hemos hecho, he aquí Integrales impropias: una que parece muy sencilla pero que es incorrecta. integrandos infinitos 1 1 11 1 3 Error y L-2 x2 dx = c - x d -2 = - 1 - 2 = - 2 Una mirada a la figura 1 nos dice que algo está muy mal. El valor de la integral (si exis- te uno) tiene que ser un número positivo. (¿Por qué?) ¿En dónde está nuestro error? Para responder, nos regresamos a la sección 4.2. Recuerde que para que una función sea integrable en el sentido estándar (o propio) debe ser acotada. Nuestra función, f (x) = 1>x2, no está acotada, así que no es integrable y = 1 1 x2 en el sentido propio. Decimos que x-2 dx es una integral impropia con un integrando 1x L-2 infinito (integrando no acotado es un término más preciso aunque menos interesante). Hasta ahora, hemos evitado con cuidado integrandos infinitos en todos nuestros ejemplos y problemas. Podríamos continuar haciendo esto, pero sería evitar una clase de integrales que tienen aplicaciones importantes. Nuestra tarea para esta sección es definir y analizar esta nueva clase de integrales. –2 –1 Integrandos que son infinitos en un punto frontera Damos la definición para el caso en donde f tiende a infinito en el punto frontera del lado derecho del inter- Figura 1 valo de integración. Existe una definición completamente análoga para el caso en donde f tiende a infinito en el punto frontera del lado izquierdo. Definición Sea f continua en el intervalo semiabierto [a, b) y supóngase que lím ƒ f1x2 ƒ = q . x : b- Entonces bt f1x2 dx = lím f1x2 dx La t : b- La con tal que este límite exista y sea finito, en cuyo caso decimos que la integral con- verge. De otra forma, decimos que la integral diverge.

Sección 8.4 Integrales impropias: integrandos infinitos 443 y Observe la interpretación geométrica en la figura 2. y = f(x) ■2 dx ͐ t (x) dx EJEMPLO 1 Evalúe, si es posible, la integral impropia . a L0 24 - x2 SOLUCIÓN Observe que en 2 el integrando tiene a infinito. 2 dx t dx = lím c sen-1 a x b d t = lím L0 24 - x2 t:2- L0 24 - x2 t:2- 20 = lím c sen-1 a t b - sen-1 a 0 b d = p ■ t:2- 2 22 a tb x 16 1 Figura 2 dx. ■ EJEMPLO 2 Evalúe, si es posible, L0 14 x SOLUCIÓN 16 16 lím c 4 x3>4 d 16 t:0+ 3 x-1>4 dx = lím x-1>4 dx = L0 t : 0+ Lt t = lím c 32 - 4 t3>4 d = 32 ■ t:0+ 3 3 3 Dos ejemplos clave ■ EJEMPLO 3 Evalúe, si es posible, 11 dx. Del ejemplo 7 de la sección 8.3 SOLUCIÓN L0 x aprendimos que 11 dx = lím 11 dx = lím [ln x]t1 q1 L0 x t : 0+ Lt L1 xp dx x t:0+ converge si y sólo si p 7 1. Del = lím [- ln t] = q ejemplo 4 de esta sección aprendi- mos que t:0+ 11 Concluimos que la integral diverge. ■ L0 xp dx ■ EJEMPLO 4 Muestre que 11 dx converge si p6 1, pero diverge si pÚ 1. converge si y sólo si p 6 1. La L0 xp primera tiene un límite de integración infinito, la segunda tiene un integran- SOLUCIÓN El ejemplo 3 se hizo cargo del caso p = 1. Si p Z 1, do infinito. Si se siente como en casa con estas dos integrales, también debe 11 1 x-p+1 1 sentirse cómodo con cualesquiera L0 xp dx = = lím c d otras integrales impropias con la que lím x-p dx t:0+ -p + 1 t se encuentre. t : 0+ Lt #1 1 1 1 si p 6 1 tp - si p 7 1 = lím c - 1 d = c1 - p t:0+ 1 - p 1 - p q ■ y ■ EJEMPLO 5 Haga una gráfica de la hipocicloide de cuatro vértices, x2>3 + y2>3 = 1 1 y determine su perímetro. x2/3 + y2/3 = 1 ≈ SOLUCIÓN La gráfica se muestra en la figura 3. Para encontrar el perímetro, es –1 1 x suficiente con determinar la longitud L de la parte del primer cuadrante y multiplicar- –1 la por cuatro. Estimamos que L será un poco más de 22 L 1.4. Su valor exacto (véa- se la sección 5.4) es Figura 3 1 L = 21 + 1y¿22 dx L0

444 Capítulo 8 Formas indeterminadas e integrales impropias Por medio de derivación implícita de x2>3 + y2>3 = 1, obtenemos 2 x-1>3 + 2 y-1>3y¿ = 0 33 o y1>3 Así, y¿ = - x1>3 y de esta manera 1 + 1y¿22 = 1 + y2>3 = 1 + 1 - x2>3 = 1 x2>3 x2>3 x2>3 L = 1 + 1y¿22 dx = 11 dx L0 x1>3 21 L0 El valor de esta integral impropia puede deducirse de la solución al ejemplo 4; es L = 1> A1 - 1 B = 23. Concluimos que la hipocicloide tiene perímetro 4L = 6. ■ 3 1 Integrandos que son infinitos en un punto interior La integral 1>x2 dx L-2 de nuestra introducción tiene un integrando que tiende a infinito en x = 0, un punto in- terior del intervalo [-2, 1]. He aquí la definición apropiada para dar significado a tal integral. Definición Sea f continua en [a, b] excepto en un número c, en donde a 6 c 6 b, y supóngase que lím ƒ f1x2 ƒ = q . Entonces definimos x:c bcb f1x2 dx = f1x2 dx + f1x2 dx La La Lc siempre que ambas integrales de la derecha convergen. En caso contrario, decimos b que f1x2 dx diverge. La ■ EJEMPLO 6 1 SOLUCIÓN Demuestre que 1>x2 dx diverge. L-2 11 01 11 L-2 x2 dx = L-2 x2 dx + L0 x2 dx y La segunda integral de la derecha diverge, por el ejemplo 4. Esto es suficiente para dar 4 la conclusión. ■ 3 2 ■ 3 dx 1 EJEMPLO 7 Evalúe, si es posible, la integral impropia 1x - 122>3. L0 SOLUCIÓN El integrando tiende a infinito en x = 1 (véase la figura 4). Así, f (x) = 1/ (x – 1)2/3 3 dx 1 dx 3 dx L0 1x - 122>3 = L0 1x - 122>3 + L1 1x - 122>3 = lím t dx + lím 3 dx t : 1- L0 s : 1+ Ls 1x - 122>3 1x - 122>3 = lím [31x - 121>3]0t + lím [31x - 121>3]3s t:1- s:1+ 12 3 x = 3 lím [1t - 121>3 + 1] + 3 lím [21>3 - 1s - 121>3] t:1- s:1+ Figura 4 = 3 + 3121>32 L 6.78 ■

Sección 8.4 Integrales impropias: integrandos infinitos 445 Revisión de conceptos 4 1 3. La integral impropia A1> 24 - xB dx se define por 1. La integral 11> 1x2 dx no existe en el sentido propio, ya L0 L0 ______. que la función f1x2 = 1> 1x es ______ en el intervalo (0, 1]. 1 1 4. La integral impropia 11>xp2 dx converge si y sólo si L0 2. Considerada como una integral impropia, 11> 1x2 dx = 1 L0 ______. lím x-1>2 dx = ______. a : 0+ La Conjunto de problemas 8.4 En los problemas del 1 al 32 evalúe cada integral impropia o demues- 33. Con frecuencia, es posible cambiar una integral impropia en tre que diverge. una propia por medio del uso de la integración por partes. Considere 3 dx 3 dx 1 dx 1. L1 1x - 121>3 2. L1 1x - 124>3 lím . Utilice la integración por partes en el intervalo c:0+ Lc 1x11 + x2 10 dx 9 dx [c, 1] donde 0 6 c 6 1 para demostrar que 3. 4. 1 dx = 1 - 2 1c + 2 1 1x dx L3 2x - 3 L0 29 - x 1x11 + c+1 Lc 1 dx Lc x2 11 + x22 qx 5. 6. dx y así concluir que tomando el límite cuando c : 0 una integral im- L0 21 - x2 propia puede convertirse en una integral propia. 31 L100 21 + x2 7. L-1 x3 dx -5 1 34. Utilice integración por partes y la técnica del problema 33 8. x2>3 dx 128 L5 1 dx para transformar la integral impropia en una integral 9. x-5>7 dx 1x L0 2x11 + x2 L-1 10. dx propia. L0 23 1 - x2 4 dx 28 x 35. Si f (x) tiende a infinito en a y b, entonces definimos 11. L0 12 - 3x21>3 12. L25 116 - 2x222>3 dx bcb -4 x 3x 16 - 2x2 dx 14. dx f1x2 dx = f1x2 dx + f1x2 dx, La La Lc L0 29 - x2 13. en donde c es cualquier punto entre a y b, siempre que, por supuesto, L0 -1 dx 3 dx las últimas dos integrales converjan. En caso contrario, decimos que la 15. L-2 1x + 124>3 16. L0 x2 + x - 2 integral dada diverge. Utilice esto para evaluar 3x dx o 3 dx 27 x1>3 L-3 29 - x2 17. L0 x3 - x2 - x + 1 18. x2>3 - 9 dx demuestre que diverge. L0 3x p>4 p>2 36. Evalúe L-3 9 - x2 dx o demuestre que diverge. Véase el problema 35. 19. tan 2x dx 20. csc x dx L0 L0 p>2 sen x p>2 cos x 41 21. dx 22. dx 37. Evalúe L-4 16 - x2 dx o demuestre que diverge. Véase el problema 35. L0 1 - cos x L0 23 sen x p>2 p>4 sec2 x 24. 1tan x - 122 dx 23. tan2 x sec2 x dx L0 11 L0 -1 dx 38. Evalúe L-1 x 2 - ln ƒ x ƒ dx o demuestre que diverge. p dx 26. 25. L0 cos x - 1 39. Si lím f1x2 = q , definimos L-3 x 2ln1 - x2 x:0+ ln 3 ex dx 4 dx 27. 28. q1b L0 2ex - 1 L2 24x - x2 f1x2 dx = lím f1x2 dx + lím f1x2 dx L0 c:0+ Lc b:q L1 e dx 10 dx 29. L1 x ln x 30. L1 x ln100 x con tal que ambos límites existan. En caso contrario, decimos que 4c dx 31. q dx diverge. Demuestre que q 1 dx diverge para toda p. xp L2c 2x2 - 4c2 f1x2 L0 L0 2c x dx 40. Suponga que f es continua en [0, q) excepto en x = 1, en don- 32. , c 7 0 q Lc 2x2 + xc - 2c2 de lím ƒ f1x2 ƒ = q. ¿Cómo definiría f1x2 dx? x:1 L0

446 Capítulo 8 Formas indeterminadas e integrales impropias 41. Encuentre el área de la región entre las curvas y = (x – 8)-2>3 q y y = 0 para 0 … x 6 8. EXPL 53. (Función gamma) Sea ≠1n2 = L0 xn-1e-x dx, n 7 0. Por 42. Encuentre el área de la región entre las curvas y = 1>x y los problemas 51 y 52, esta integral converge. Demuestre cada uno de y = 1>(x3 + x) para 0 6 x … 1. lo siguiente (observe que la función gamma está definida para cual- 43. Sea R la región en el primer cuadrante debajo de la curva quier número positivo real n): y = x-2>3 y a la izquierda de x = 1. (a) ≠112 = 1 (b) ≠1n + 12 = n≠1n2 (a) Demuestre que el área de R es finita encontrando su valor. (c) ≠1n + 12 = n!, si n es un entero positivo. (b) Demuestre que el volumen del sólido generado al hacer girar R alrededor del eje x es infinito. q b CAS 54. Evalúe xn-1e-x dx para n = 1, 2, 3, 4 y 5, con lo que se L0 44. Encuentre b de modo que ln x dx = 0. L0 confirma el problema 53(c). 1 sen x 55. La función de densidad de probabilidad gamma es 45. ¿La integral L0 x dx es impropia? Explique. Cxa -1e-bx, si x 7 0 f1x2 = e si x … 0 EXPL 46. (Prueba de comparación) Si 0 … f (x) … g(x) en [a, q), pue- 0, q donde a y b son constantes positivas. (Tanto las distribuciones gamma como la Weibull son utilizadas en modelos de tiempo de vida de demostrarse que la convergencia de g1x2 dx implica la con- de personas, animales y equipos). La (a) Determine el valor de C, dependiente de a y b, que hace a f (x) qq una función de densidad de probabilidad. vergencia de f1x2 dx, y la divergencia de f1x2 dx implica la (b) Para el valor de C, que encontró en la parte (a), determine el va- La La lor de la media m. q divergencia de La g1x2 dx. Utilice esto para demostrar que q1 (c) Para el valor de C, que encontró en la parte (a), determine la va- L1 x411 + x42 dx converge. rianza s2. Sugerencia: en [1, q), 1>[x4(1 + x4)] … 1>x4. EXPL 56. La transformada de Laplace, nombrada así en honor del matemático francés Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), de una 47. Utilice la prueba de comparación del problema 46 para de- q q función f(x) está dada mediante L5f1t261s2 = f1t2e-st dt. Las mostrar que L1 e-x2 dx converge. Sugerencia: e-x2 … e-x en [1, q). L0 transformadas de Laplace se utilizan para resolver ecuaciones dife- renciales. 48. Utilice la prueba de comparación del problema 46 para de- (a) Demuestre que la transformada de Laplace de t a está dada por ≠(a + 1)>sa+1 y está definida para s 7 0. mostrar que q1 dx (b) Demuestre que la transformada de Laplace de eat está dada por L2 2x + 2 - 1 1>(s - a) y está definida por s 7 a. 49. Utilice la prueba de comparación del problema 46 para de- (c) Demuestre que la transformada de Laplace de sen(at) está dada terminar si q1 por a>(s2 + a2) y está definida para s 7 0). L1 x2 ln1x + 12 dx converge o diverge. 57. Interprete cada una de las siguientes integrales como un área 50. Formule una prueba de comparación para integrales impro- y después calcule esta área por medio de una integración con respec- pias con integrandos infinitos. to a y, evalúe: 51. (a) Utilice el ejemplo 2 de la sección 8.2 para demostrar que 1 1-x 1 1+x para cualquier número positivo n existe un número M tal que (a) L0 A x dx (b) dx L-1 A 1 - x xn-1 1 0 6 ex … x2 para x Ú M EXPL 58. Suponga que 0 6 p 6 q y que q 1 xq dx converge. + L0 xp (b) Utilice la parte (a) y el problema 46 para demostrar que ¿Qué puede decir acerca de p y q? q xn-1e-x dx converge. 1 Respuestas a la revisión de conceptos: 1. no acotada 2. 2 L1 b 52. Utilizando el problema 50 demuestre que xn-1e-x dx L0 3. lím A 1> 24 - x B dx 4. p 6 1 converge para n 7 0. b : 4- L0 8.5 Repaso del capítulo Examen de conceptos 5. Si lím f1x2 = lím g1x2 = q, entonces lím f1x2 = 1. x:a Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirma- x:a x:a g1x2 ciones. Justifique su respuesta. 6. Si lím f1x2 = 1 y lím g1x2 = q, entonces x:a x:a x100 2. lím x1>10 = q 1. lím =0 x:q ln x lím [f1x2]g1x2 = 1. ex x:q x:a 1000x4 + 1000 7. Si lím f1x2 = 1, entonces lím E lím[f1x2]nF = 1. q 4. lím xe-1>x = 0 x:a n:q x:a 3. lím = 0.001x4 + 1 x:q x:q

Sección 8.5 Repaso del capítulo 447 8. Si lím f1x2 = 0 y lím g1x2 = q, entonces ln t 2x3 x:a x:a 7. lím 8. lím lím [ f1x2]g1x2 = 0. (Suponga f1x2 Ú 0 para x Z a). t2 t:q x:q ln x x:a 9. lím 1sen x21>x 9. Si lím f1x2 = - 1 y lím g1x2 = q , entonces x:0+ 10. lím x ln x x:a x:a 11. lím xx x:0+ lím [ f1x2g1x2] = - q . x:a x:0+ 12. lím11 + sen x22>x 10. Si lím f1x2 = 0 y lím g1x2 = q , entonces 13. lím 1x ln x x:0 x:a x:a x:0+ 14. lím t1>t lím [ f1x2g1x2] = 0. x:a t:q f1x2 11 15. lím a -b tan 3x 11. Si lím = 3, entonces lím [ f1x2 - 3g1x2] = 0. x:0+ sen x x 16. lím x: q g1x2 x:q x:p>2 tan x f1x2 17. lím 1sen x2tan x p = q. 18. lím ax tan x - sec xb 12. Si lím f1x2 = 2 y lím g1x2 = 0, entonces lím x : p>2 x : p>2 2 x:a x:a x:a ƒ g1x2 ƒ (Suponga que g(x) Z 0 para x Z a). En los problemas del 19 al 38 evalúe la integral impropia dada o de- 13. Si lím ln f1x2 = 2, entonces lím f1x2 = e2. muestre que diverge. x:q x:q q dx q dx 14. Si f (x) Z 0 para x Z a y lím f1x2 = 0, entonces x:a lím [1 + f1x2]1>f1x2 = e. 19. 20. x:a L0 1x + 122 L0 1 + x2 p1x2 15. Si p(x) es un polinomio, entonces lím = 0. 1 1 dx 22. L-1 1 - x x:q ex 21. e2x dx L-q 2 dx p1x2 24. L1>2 x1ln x21>5 16. Si p(x) es un polinomio, entonces lím = p102. q dx ex 23. x:0 L0 x+1 17. Si f (x) y g(x) son derivables y lím f¿1x2 = L, entonces q dx f1x2 x:0 g¿1x2 25. 1 dx L1 26. L-q 12 - x22 lím = L. x2 + x4 x:0 g1x2 0 dx 4 dx 11 27. L-2 2x + 3 28. 18. L0 x1.001 dx converge. q dx L1 2x - 1 q dx q1 29. 30. 19. xp dx diverge para toda p 7 0. L2 L0 L0 x1ln x22 ex>2 5 dx q 31. L3 14 - x22>3 20. Si f es continua en [0, q) y lím f1x2 = 0, entonces 32. xe-x2 dx L2 q x:q 33. qx dx qx f1x2 dx converge. 1 34. L-q 1 + x4 dx L0 q L-q x2 + 21. Si f es una función par y f1x2 dx converge, entonces q ex q q L0 35. e2x + 1 dx 36. x2e-x3 dx f1x2 dx converge. L0 L-q L-q 3x p>2 tan x bq 37. dx 38. Lp>3 1ln cos x22 dx 22. Si lím f1x2 dx existe y es finita, entonces f1x2 dx L-3 29 - x2 b: q L-b L-q q1 converge. 39. ¿Para qué valores de p la integral xp dx converge y para L1 qué valores diverge? 23. Si f ¿ es continua en [0, q) y lím f1x2 = 0, entonces 11 q x:q f¿1x2 dx converge. 40. ¿Para qué valores de p la integral xp dx converge y para L0 L0 q cuáles diverge? 24. Si 0 … f (x) … e-x en [0, q), entonces f1x2 dx converge. L0 p>4 tan x En los problemas del 41 al 44 utilice la prueba de comparación (véase 25. dx es una integral impropia. el problema 46 de la sección 8.4) para decidir si cada una de las si- L0 x guientes integrales convergen o divergen. Problemas de examen q dx q ln x 41. 42. e2x dx Determine cada límite en los problemas del 1 al 18. L1 L1 2x6 + x q ln x q ln x 4x tan 2x 43. dx 44. x3 dx 1. lím 2. lím L3 x L1 x:0 tan x x:0 sen 3x 3. lím sen x - tan x 4. lím cos x x:0 31x2 x:0 x2 5. lím 2x cot x ln11 - x2 6. lím x:0 x:1- cot px

PROBLEMAS De la sección 0.1 recuerde que la recíproca de la implicación P Q Q es Q Q P, y la DE REPASO E contrapositiva es no Q Q no P. En los problemas del 1 al 8 proporcione la recíproca y INTRODUCCIÓN la contrapositiva de las proposiciones dadas. ¿Cuáles, entre la proposición original, su recíproca y su contrapositiva son siempre verdaderas? 1. Si x 7 0, entonces x2 7 0. 2. Si x2 7 0, entonces x 7 0. 3. Si f es diferenciable en c, entonces f es continua en c. 4. Si f es continua en c, entonces f es diferenciable en c. 5. Si f es continua por la derecha en c, entonces f es continua en c. 6. Si la derivada de f siempre es cero, entonces f es una función constante. [Suponga que f es diferenciable para toda x]. 7. Si f1x2 = x2, entonces f¿1x2 = 2x. 8. Si a 6 b, entonces a2 6 b2. En los problemas del 9 al 12 evalúe la suma dada. 9. 1 + 1 + 1 10. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 2 4 2 4 8 16 32 41 4 1 - 12k 11. 12. a a i 2k k=1 i=1 Evalúe los siguientes límites. 13. lím x 14. lím n2 x:q 2x + 1 n:q 2n2 + 1 15. lím x2 16. lím n2 x:q ex n:q en ¿Cuál de las integrales impropias converge? q1 q1 17. dx 18. x2 dx L1 x L1 q1 qx 19. x1.001 dx 20. x2 + 1 dx L1 L1 q1 q1 21. dx 22. x1ln x22 dx L2 x ln x L2

Apéndice A.1 Inducción A.1 matemática Inducción matemática A.2 Demostración Con frecuencia, en matemáticas nos enfrentamos a la tarea de querer establecer si una de varios teoremas cierta proposición Pn es verdadera para cada entero n Ú 1 (o tal vez para cada entero n Teorema A Teorema principal de Ú N). He aquí tres ejemplos: límites 1. Pn: 12 + 22 + 32 + Á + n2 = n1n + 1212n + 12 Teorema B 6 Regla de la cadena 2. Qn: 2n 7 n + 20 Teorema C Regla de la potencia 3. Rn: n2 - n + 41 es primo La proposición Pn es verdadera para cada entero positivo y Qn es verdadera para cada Teorema D entero mayor o igual a 5 (como mostraremos en breve). La tercera proposición, Rn, es Límites de vectores interesante. Observe que para n = 1, 2, 3,..., los valores de n2 - n + 41 son 41, 43, 47, 53, 61, . . . , (números primos hasta este momento). De hecho, obtendremos un número primo para cada n hasta 40; pero en n = 41, la fórmula proporciona el número com- puesto 1681 = (41)(41). Mostrar la verdad de una proposición para 40 (o 40 millones) casos individuales puede hacer una proposición plausible, pero ciertamente esto no de- muestra que sea verdadera para toda n. El salto entre cualquier número finito de casos y todos los casos es infinitamente grande. ¿Qué hay que hacer? ¿Hay un procedimiento para establecer que una proposición Pn es verdadera para toda n? Una respuesta afirmativa la da el principio de inducción matemática. Principio de inducción matemática Sea 5Pn6 una serie de proposiciones (enunciados) que satisfacen estas dos condi- ciones: (i) PN es verdadera (por lo general, N será 1). (ii) Que Pi sea verdadera implica que Pi+1, i Ú N. Entonces, Pn es verdadera para todo entero n Ú N. No demostraremos este principio; con frecuencia se le considera como un axioma y esperamos que sea evidente. Después de todo, si la primera ficha de dominó cae y ca- da ficha golpea a la siguiente, entonces toda la serie de fichas caerá. Nuestro esfuerzo irá dedicado a ilustrar la forma de usar la inducción matemática. ■ EJEMPLO 1 Demuestre que Pn: 12 + 22 + 32 + Á + n2 = n1n + 1212n + 12 6 es verdadera para cada n Ú 1. SOLUCIÓN Observamos primero que P1: 12 = 111 + 1212 + 12 6 es un enunciado verdadero. En segundo lugar, demostraremos la implicación (ii). Comenzamos escribiendo los enunciados Pi y Pi+1. Pi: 12 + 22 + Á + i2 = i1i + 1212i + 12 6 Pi + 1: 12 + 22 + Á + i2 + 1i + 122 = 1i + 121i + 2212i + 32 6 A-1

A-2 Apéndice Debemos demostrar que Pi implica Pi+1, de modo que suponemos que Pi es verdadera. En- tonces el lado izquierdo de Pi+1 se puede escribir como sigue (*indica donde usamos Pi): [12 + 22 + Á + i2] + 1i + 122 =* i1i + 1212i + 12 + 1i + 122 6 2i2 + i + 6i + 6 = 1i + 12 6 1i + 121i + 2212i + 32 = 6 Esta cadena de igualdades conduce al enunciado Pi+1. Así, la verdad de Pi realmente implica la verdad de Pi+1. Por el principio de inducción matemática, Pn es verdadera para cada entero positivo n. ■ ■ EJEMPLO 2 Demuestre que Pn: 2n 7 n + 20 es verdadera para cada entero n Ú 5. SOLUCIÓN Primero observemos que la proposición P5: 25 7 5 + 20 es verdadera. En segundo lugar, supongamos que Pi: 2i 7 i + 20 es verdadera y tratemos de deducir a partir de esto que Pi+1: 2i+1 7 i + 1 + 20 es verdadera. Pero #2i+1 = 2 2i 7… 21i + 202 = 2i + 40 7 i + 21 Leída de izquierda a derecha, ésta es la proposición Pi+1. Concluimos que Pn es verda- dera para n Ú 5. ■ ■ EJEMPLO 3 Demuestre que Pn: x - y es un factor de xn - yn es verdadera para cada entero n Ú 1. SOLUCIÓN En forma trivial, x - y es un factor de x - y, de modo que P1 es verda- dera. Suponga que x - y es un factor de xi - yi; es decir, xi - yi = Q1x, y21x - y2 para algún polinomio Q(x, y). Entonces xi + 1 - yi + 1 = xi + 1 - xiy + xiy - yi + 1 = xi1x - y2 + y1xi - yi2 =* xi1x - y2 + y Q1x, y21x - y2 = [xi + yQ1x, y2]1x - y2 Así, la verdad de Pi realmente implica la verdad de Pi+1. Por el principio de inducción matemática, concluimos que Pn es verdadera para toda n Ú 1. ■ Conjunto de problemas A.1 En los problemas del 1 al 8 use el principio de inducción matemática 4. 12 + 32 + 52 + Á + 12n - 122 = n12n - 1212n + 12 para demostrar que la proposición dada es verdadera para cada ente- 3 ro n Ú 1. n1n + 12 2 5. 13 + 23 + 33 + Á + n3 = c2 d 1. 1+2+3+Á+n= n1n + 12 6. 14 + 24 + 34 + Á + n4 = 2 n1n + 1216n3 + 9n2 + n - 12 2. 1 + 3 + 5 + Á + 12n - 12 = n2 3. 1 # 2 + 2 # 3 + 3 # 4 + Á + n1n + 12 = 30 7. n3 - n es divisible entre 6. n1n + 121n + 22 8. n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 es divisible entre 9. 3

Apéndice A-3 En los problemas del 9 al 12 determine el primer entero N para el que 22. La suma de las medidas de los ángulos internos de un polígo- sea verdadera la proposición para cada n Ú N, y luego demuestre la no convexo con n lados (sin agujeros ni dientes) es (n - 2)p. proposición para cada n Ú N. 23. El número de diagonales de un polígono convexo con n lados 9. 3n + 25 6 3n n1n - 32 10. n - 100 7 log10 n es . 11. n2 … 2n 2 12. ƒ sen nx ƒ … n ƒ sen x ƒ para toda x 24. n 1 1 + n 1 2 + n 1 3 + Á + 1 7 3 + + + 2n 5 En los problemas del 13 al 20 indique la conclusión sobre Pn que pue- de extraerse con la información dada. 25. a1 - 1b a1 - 1b a1 - 1b Á a1 - 1 =n+1 4 9 16 n2 b 2n 13. P5 es verdadera y Pi verdadera implica que Pi+2 es verdadera. 26. Sean f0 = 0, f1 = 1 y fn+2 = fn+1 + fn para n Ú 0 (ésta es la suce- 14. P1 y P2 son verdaderas y Pi verdadera implica que Pi+2 es ver- sión de Fibonacci). Entonces dadera. fn = 1 ca1 + 25 b n - a1 - 25 b n d 15. P30 es verdadera y Pi verdadera implica que Pi+1 es verdadera. 25 2 2 16. P30 es verdadera y Pi verdadera implica que Pi+1 y Pi-1 son 27. Sean a0 = 0, a1 = 1 y an+2 = (an+1 + an)/2 para n Ú 0. Entonces verdaderas. 2 1n 17. P1 es verdadera y Pi verdadera implica que P4i y Pi-1 son ver- an = c1 - a- b d daderas. 3 2 18. P1 es verdadera y P2i verdadera implica que P2i + 1 es verda- 28. ¿Cuál es el error en el siguiente argumento que propone de- dera. mostrar que todas las personas en cualquier conjunto de n personas tienen la misma edad? La afirmación es verdadera para un conjunto 19. P1 y P2 son verdaderas y Pi y Pi+1 verdaderas implican que que consta de una persona. Suponga que es verdadera para cualquier Pi+2 es verdadera. conjunto de i personas y considere un conjunto W de i + 1 personas. Podemos pensar W como la unión de conjuntos X y Y, cada uno con i 20. P1 es verdadera y Pj verdadera para j … i implica que Pi+1 es personas (por ejemplo, trace una figura cuando W tiene 6 personas). verdadera. Por hipótesis, cada uno de estos conjuntos consta de personas con la misma edad. Pero X y Y se traslapan (en X º Y) de modo que todos En los problemas del 21 al 27 decida para cuáles n es verdadera la pro- los elementos de W = X ´ Y tienen la misma edad. posición dada y luego use inducción matemática (tal vez en alguna de las formas alternativas que haya descubierto en los problemas del 13 al 20) para demostrar lo siguiente. 21. x + y es un factor de xn + yn. A.2 Teorema A Teorema principal de límites Demostración de varios Sea n un entero positivo, k una constante, y f y g funciones con límites en c. Enton- teoremas ces 1. lím k = k 2. lím x = c x:c x:c 3. lím kf1x2 = k lím f1x2 4. lím[ f1x2 + g1x2] = lím f1x2 + lím g1x2 x:c x:c x:c x:c x:c 5. lím[ f1x2 - g1x2] = lím f1x2 - lím g1x2 x:c # #x:c x:c 6. lím[ f1x2 g1x2] = lím f1x2 lím g1x2 x:c x:c x:c f1x2 lím f1x2 x:c 7. lím g1x2 = g1x2, siempre siempre que lím g1x2 Z 0 lím x:c x:c x:c 8. lím[ f1x2]n = C lím f1x2 D n x:c x:c 9. lím 2n f1x2 = 2n lím f1x2, siempre que lím f1x2 7 0 cuando n sea par x:c x:c x:c Demostración Casi al final de la sección 1.3 demostramos las partes de 1 a 5, de modo que deberíamos comenzar con la parte 6. Sin embargo, primero demostraremos un caso particular de la parte 8: lím[g1x2]2 = C lím g1x2 D 2 x:c x:c Para ver esto, recuerde que hemos demostrado que lím x2 = c2 (ejemplo 7 de la x:c sección 1.2), de modo que f (x) = x2 es continua en todas partes. Así, por el teorema de composición de límites (teorema 1.6E),

A-4 Apéndice lím[g1x2]2 = lím f1g1x22 = fC lím g1x2D = C lím g1x2D2 x:c x:c x:c x:c Ahora escribimos f1x2g1x2 = 1 E [ f1x2 + g1x2]2 - [ f1x2 - g1x2]2 F 4 y aplicamos las partes 3, 4 y 5, más lo que acabamos de demostrar. Se demuestra la parte 6. Para demostrar la parte 7 aplicamos el teorema de la composición de límites con f (x) = 1>x y usamos el ejemplo 8 de la sección 1.2. Entonces lím 1 = lím f1g1x22 = fA lím g1x2B = 1 g1x2 x:c lím g1x2 x:c x:c x:c Por último, por la parte 6, lím f1x2 = lím cf1x2 # 1 d = lím f1x2 # lím 1 x:c g1x2 x:c g1x2 x:c x:c g1x2 de donde se sigue el resultado. La parte 8 es consecuencia del uso repetido de la parte 6 (técnicamente, por induc- ción matemática). Demostraremos la parte 9 sólo para raíces cuadradas. Sea f1x2 = 1x, que es continua para números positivos por el ejemplo 5 de la sección 1.2. Por el teorema de composición de límites, lím 1g1x2 = lím f1g1x22 = fA lím g1x2B = 2lím g1x2 x:c x:c x:c x:c que es equivalente al resultado deseado. ■ Teorema B Regla de la cadena Si g es diferenciable en a y f es diferenciable en g(a), entonces f ‫ ؠ‬g es diferenciable en a y 1f ‫ ؠ‬g2¿1a2 = f¿1g1a22g¿1a2 Demostración Daremos una demostración que se generaliza con facilidad a di- mensiones superiores. Por hipótesis, f es diferenciable en b = g(a); es decir, existe un número f ¿(b) tal que (1) lím f1b + ¢u2 - f1b2 = f¿1b2 ¢u : 0 ¢u Definimos una función e que depende de ¢u como f1b + ¢u2 - f1b2 e1¢u2 = ¢u - f¿1b2 y multiplicamos ambos lados por ¢u para obtener (2) f1b + ¢u2 - f1b2 = f¿1b2 ¢u + ¢u e1¢u2 La existencia del límite en (1) es equivalente a que e1¢u2 : 0 cuando ¢u : 0 en (2). Si en (2) reemplazamos ¢u por g(a + ¢x) - g(a) y b por g(a), obtenemos f1g1a + ¢x22 - f1g1a22 = f¿1g1a22[g1a + ¢x2 - g1a2] = + [g1a + ¢x2 - g1a2]e1¢u2 o bien, al dividir ambos lados entre ¢x, (3) f1g1a + ¢x22 - f1g1a22 = f¿1g1a22 g1a + ¢x2 - g1a2 ¢x ¢x g1a + ¢x2 - g1a2 + ¢x e1¢u2

Apéndice A-5 En (3), hagamos ¢x : 0. Como g es diferenciable en a, es continua ahí, de modo que ¢x : 0 implica que ¢u : 0; esto, a su vez, implica que e1¢u2 : 0. Concluimos que lím f1g1a + ¢x22 - f1g1a22 = f¿1g1a22 lím g1a + ¢x2 - g1a2 +0 ¢x : 0 ¢x ¢x : 0 ¢x Es decir, f ‫ ؠ‬g es diferenciable en a y 1f ‫ ؠ‬g2¿1a2 = f¿1g1a22g¿1a2 ■ Teorema C Regla de la potencia Si r es racional, entonces xr es diferenciable en cualquier x que esté en un intervalo abierto donde xr-1 sea real y Dx1xr2 = rxr - 1 Demostración Considere primero el caso en que r = 1>q, con q un entero positivo. Recuerde que aq - bq se factoriza como aq - bq = 1a - b21aq - 1 + aq - 2b + Á + abq - 2 + bq - 12 de modo que a-b 1 aq - bq = aq - 1 + aq - 2 b + Á + abq - 2 + bq - 1 Así, si f1t2 = t1>q, t1>q - x1>q t1>q - x1>q f¿1x2 = lím = lím t:x t - x 1t1>q2q - 1x1>q2q t:x = lím 1 t:x t1q - 12>q + t1q - 22>q x1>q + Á + x1q - 12>q = 1 = 1 x1>q - 1 qx1q - 12>q q Ahora, por la regla de la cadena y con p un entero, Dx1xp>q2 = Dx[1x1>q2p] = p1x1>q2p - 1 Dx1x1>q2 = pxp>q - 1>q 1 x1>q - 1 = p xp>q - 1 ■ q q Teorema D Límites de vectores Sea F(t) = f(t)i + g(t)j. Entonces F tiene un límite en c si y sólo si f y g tienen límites en c. En ese caso, lím F1t2 = C lím f1t2D i + C lím g1t2D j t:c t:c t:c u u2 j Demostración Primero, observe que para cualquier vector u = u1i + u2j, u1i ƒ u1 ƒ … 7u7 … ƒ u1 ƒ + ƒ u2 ƒ Figura 1 Este hecho se ve fácilmente en la figura 1. Ahora suponga que lím F1t2 = L = a i + b j. Esto significa que para cualquier t:c e 7 0 existe un d 7 0 correspondiente, tal que 0 6 ƒ t - c ƒ 6 d Q 7F1t2 - L 7 6 e

A-6 Apéndice Pero, por la parte izquierda de la desigualdad en el recuadro, ƒ f1t2 - a ƒ … 7F1t2 - L 7 y así 0 6 ƒ t - c ƒ 6 d Q ƒ f1t2 - a ƒ 6 e Esto muestra que lím f1t2 = a. Un argumento similar establece que lím g1t2 = b. t:c t:c Esto concluye la primera mitad de nuestro teorema. Recíprocamente, suponga que lím f1t2 = a y lím g1t2 = b t:c t:c y sea L = ai + bj. Para cualquier e 7 0, tal que d 7 0 existe 0 6 ƒ t - c ƒ 6 d implica que ee ƒ f1t2 - a ƒ 6 y ƒ g1t2 - b ƒ 6 22 Por lo tanto, por la parte derecha de la desigualdad en el recuadro, 0 6 ƒ t - c ƒ 6 d Q 7F1t2 - L 7 … e + e = e 22 Así, lím F1t2 = L = a i + b j = lím f1t2 i + lím g1t2 j ■ t:c t:c t:c

Respuestas a problemas con número impar Conjunto de problemas 0.1 7. 1 -2, 12; 1. 16 3. - 148 5. 58 7. 1 9. 6 11. 7 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 91 24 49 15 13. 1 15. 2 17. 3x2 - x - 4 19. 6x2 - 15x - 9 9. c- 12, 2 b ; 3 3 – 4 –1 – 2 – 1 0 1 2 1 4 21. 9t4 - 6t3 + 7t2 - 2t + 1 23. x + 2, x Z 2 3 33 33 3 25. t - 7, t Z -3 213x + 102 11. A - 1 - 213, - 1 + 213 B ; –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 27. x1x + 22 29. (a) 0; (b) No definida; (c) 0; (d) No definida; (e) 0; (f) 1 13. 1 - q , - 32 ´ A 12, q B ; 31. 0.08333 Á 33. 0.142857 Á 35. 3.6666 Á –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 37. 41 39. 254 41. 1 15. [ -4, 32; 333 99 5 43. Aquellos números racionales que pueden expresarse mediante –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 un decimal que termina seguido con ceros. 49. Irracional 51. 20.39230485 53. 0.00028307388 17. 1 - q , 02 ´ A 52, q B ; – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 55. 0.000691744752 59. 132,700,874 pies 61. 651,441 pies de tablas 55 55 5 55 5 63. (a) Si me quedo en casa, entonces llueve. Si no me quedo en 19. A - q, 2 B ´ C 43, q B; 3 casa, entonces no llueve. –1 0 1 1 1 2 5 1 7 (b) Si la candidata será contratada, entonces cumple con todos los 6 63236 6 requisitos. 21. 1 - 2, 12 ´ 13, q2; –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 65. (a) Si un triángulo es un triángulo rectángulo, entonces 23. A - q, 3 D ´ [3, q 2; –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 a2 + b2 = c2. Si un triángulo no es un triángulo rectángulo, 2 entonces a2 + b2 Z c2. (b) Si la medida del ángulo ABC es mayor que 0° y menor que 90°, es agudo. Si la medida del ángulo ABC es menor que 0° o mayor 25. 1- q, - 12 ´ 10, 62; que 90°, entonces no es agudo. –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 67. (a) La proposición, la recíproca y la contrapositiva son verda- 27. (a) Falsa; (b) Verdadera; (c) Falsa deras. 31. (a) 1 - 2, 12; (b) 1 - 2, q 2; (c) No hay valores 33. (a) [ - 3, - 1] ´ [2, q2; (b) 1- q , - 2] ´ [2, q2; (b) La proposición, la recíproca y la contrapositiva son verdaderas. 69. (a) Algunos triángulos isósceles no son equiláteros. La nega- (c) 1 -2, -12 ´ 11, 22 ción es verdadera. 15 5 , (b) Todos los números reales son enteros. La proposición original 35. 1- q , - 3] ´ [7, q2 37. B - 44 R es verdadera. (c) Algún número natural es mayor que su cuadra- do. La proposición original es verdadera. 7 , 71. (a) Verdadera; (b) Falsa; (c) Falsa; (d) Verdadera; 39. 1- q , - 7] ´ [42, q2 41. 1- q, 12 ´ ¢ 5 q≤ (e) 2(Vae#)2rd3#a3#d3e# 5r#a3# # 3# #3 o #35; 3 (# b5)2 #217# 2 # 31 o 22 # 31 43. ¢ - 1 0≤ ´ ¢ 0, 1 ≤ 45. 1- q, -1] ´ [4, q 2 75. o , (c) 5 17 22 39 81. (a) Racional; (b) Racional; (c) Racional; 47. 1 - q , - 62 ´ A 31, q B 53. e 55. e 57. 0.0064 pulg. 3 6 (d) Irracional 60 120 Conjunto de problemas 0.2 59. A - q, 7 B ´ 15, q2 61. A - 45, 16 B 77. 11 … R … 13 3 3 1. (a) Conjunto de problemas 0.3 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 1. 2 3. 2170 (b) yy 5 10 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 (c) (1, 1) (3, 1) (4, 5) – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x –10 10 x (d) –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 (e) –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 (f) (5, –8) –5 –10 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 3. 1-2, q 2; – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 7. 1-1, 32, 1-1, -12; 17, 32, 17, -12; 11, 12, 15, 12 5. C - 52, q B ; – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 261 11. 1x - 122 + 1y - 122 = 1 9. 2 A-7

A-8 Respuestas a problemas con número impar 13. 1x - 222 + 1y + 122 = 25 15. 1x - 222 + 1y - 522 = 5 17. y 19. y 10 5 –10 17. Centro = 1-1, 32; radio = 210 –10 19. Centro = 16, 02; radio = 1 21. y 213 –5 5 10 x –5 5x 4 21. Centro = A - 2, - 3 B ; radio = 25. –5 4 y –5 23. 1 25. 9 27. - 5 29. y = - x + 4; x + y - 4 = 0 5 –5 7 3 29. 31. y = 2x + 3; 2x - y + 3 = 0 –5 23. y –2 y 5 33. y = 5 x - 2; 5x - 2y - 4 = 0 2 33. 2 35. Pendiente = - 23; intercepción con el eje y = 1 –10 –2 3 y 37. Pendiente = -5; intercepción con el eje y = 4 10 39. (a) y = 2x - 9; (b) y = - 1 x - 32; (c) y = - 2 x - 1; 5 x –5 5x 2 3 –10 (d) y = 3 x - 125; (e) y = - 3 x - 43; (f) x = 3; (g) y = - 3 2 4 41. y = 3 x + 2 43. Está por arriba de la recta. 2 –5 45. 1 - 1, 22; y = 3 x + 7 47. 13, 12; y = - 4 x + 5 2 2 3 49. Inscrita; (x – 4)2 + (y – 1)2 = 4; circunscrita: (x – 4)2 + (y – 1)2 = 8 27. y 5 55. d = 223 + 4 61. 18 + 2 217 + 4p L 38.8 7 18 25 69. y = 3 x + 4 71. r = 1 63. 5 65. 13 67. 5 5 5 73. x + 23y = 12 y x - 23y = 12 77. 8 5 x –5 5x Conjunto de problemas 0.4 –5 1. y 3. y 31. y 5 5 5 –5 x –5 5x –5 –5 2 x –5 5x –5 10, 12, 1- 3, 42 5. y 7. y 5 5 –5 5x –5 5x ¢ 9 - 1 211, -6 + 211≤, –5 –5 22 10 x 9 1 211, ¢ 2 + 2 -6 - 211 ≤ 9. y 11. y 35. y 37. y 5 5 5 5 –5 5x –5 5x –5 5 x –5 5x –5 –5 (͌2, ͌2 ), –5 1 - 1.65, - 3.952, 10.85, 3.552 (–͌2, –͌2 ) –5 39. (a) (2) (b) (1) (c) (3) (d) (4) 41. Cuatro distancias distintas. 13. y 15. y Conjunto de problemas 0.5 5 10 1. (a) 0; (b) - 3; (c) 1; (d) 1 - k2; (e) - 24; (f) 1156; (g) - 2h - h2; (h) - 2h - h2; (i) - 4h - h2 –5 5x –10 10 x 1 1 –5 –10 + 3. (a) - 1; (b) - 1000; (c) 100; (d) y2 - ; (e) - ; x2 1 x 1 (f) 1 - x2

Respuestas a problemas con número impar A-9 5. (a) No definido; (b) 2.658; (c) 0.841 - 35. L1x2 = 2h2 - x2 1 + x 37. (a) E1x2 = 24 + 0.40x; (b) 240 millas 7. (a) No es una función; (b) f1x2 = xx 1; (c) f1x2 = 121x2 - 12; (d) f1x2 = 1 - x - pd2 39. A1d2 = 2d , b d H reales: 0 6 d 6 1 r p 3 4 11. - x2 - 4x + hx - 2h + 4 9. 4a + 2h #41. (a) B102 = 0 A 1 B 1 1 1 1 (b) B 2 = 2 B112 = 2 6 = 12 13. (a) Ez H reales: z Ú - 3 F ; (b) Ev H reales: v Z 1 F ; (c) y 2 4 0.20 (c) Ex H reales: ƒ x ƒ Ú 3F; (d) Ey H reales: ƒ y ƒ … 5F y = B(c) 0.15 15. Par 17. Ninguna 0.10 yy 0.05 55 0.00 0.0 0.5 1.0 c –5 5 x –5 5x –5 –5 45. (a) f11.382 L 0.2994, f14.122 L 3.6852 19. Ninguna 21. Impar (b) f(x) x y y 5 5 - 4 - 4.05 -3 -3.1538 –5 5 x –5 5x -2 -2.375 - 1 -1.8 –5 –5 0 -1.25 23. Ninguna 25. Par 1 - 0.2 2 1.125 y y 3 2.3846 5 5 4 3.55 47. y (a) 5y H reales: -22 … y … 136; 25 (b) [ -1.1, 1.7] ´ [4.3, 5] –5 5 w –5 5 x –3 7x –25 –5 –5 49. y (a) intercepción x 4 2 27. Ninguna 29. Ninguna 6 , intercepción y ; 33 y y (b) todos los reales; 5 5 (c) x = - 3, x = 2; (d) y = 0 –6 6 x –5 5 x –5 5 t –6 –5 –5 Conjunto de problemas 0.6 31. T1x2 = 5000 + 805x, 5x H integrales: 0 … x … 1006; 1. (a) 9; (b) 0; (c) 23; (d) 4; (e) 16; (f) 25 u1x2 = 5000 + 805, 5x H integrales: 0 6 x … 1006 3. (a) t3 + 1 + 1; (b) 1 + 1; (c) 1 ; (d) 1z3 + 123; x t r3 1 r3 + 33. E1x2 = x - x2 1 1 (e) 125t3 + 1 - ; (f) t3 + 1 - t 5t 0.5 E(x) 5. 1f ‫ ؠ‬g21x2 = 2x2 + 2x - 3; 1g ‫ ؠ‬f21x2 = 1 + 2x2 - 4 0 1x 7. 1.188 9. 4.789 11. (a) g1x2 = 1x, f1x2 = x + 7; x = 1 2 (b) g1x2 = x15, f1x2 = x2 + x –0.5 13. p = f ‫ ؠ‬g ‫ ؠ‬h si f1x2 = 1/x, g1x2 = 1x, h1x2 = x2 + 1; p = f ‫ ؠ‬g ‫ ؠ‬h si f1x2 = 1/ 1x, g1x2 = x + 1, h1x2 = x2

A-10 Respuestas a problemas con número impar 15. y 17. y (c) 7 5 5 6 –2 8x –5 5x 5 –5 f (x) –5 4 3 2 24 1 –4 –2 19. y 21. y Conjunto de problemas 0.7 5 5 1. (a) p6 ; (b) p4 ; (c) - p3 ; (d) 43p; (e) - 3178p; (f) 1p8; ( f + g)(x) 3. (a) 0.5812; (b) 0.8029; (c) - 1.1624; (d) 4.1907; g(x) (e) - 6.4403; (f) 0.1920; f (x) –5 5 x –5 5 t 5. (a) 68.37; (b) 0.8845; (c) 0.4855; (d) - 0.3532; 7. (a) 46.097; (b) 0.0789 23 (b) - 1; (c) - 22; 9. (a) ; (d) 1; (e) 1; (f) -1 –5 –5 3 23. (a) Par; (b) Impar; (c) Par; (d) Par; (e) Impar 15. (a) y (b) y 25. No, en ambos casos. (Considere f(x) = x2 + x y f(x) = x3 + 1). 5 5 27. (a) P = 3t + 2t + 27; (b) P L 7 400t si 0 … t … 1 –p t –p 2p t 2250,000t2 si t 7 1 –5 2p D1t2 = b 29. - 180,000t + 90,000 1 ; (c) 1 - x –5 x 33. (a) 1 - (b) x; 37. 15 12345 (c) y (d) y 2p t 5 5 12.5 –p 2p t –p 10 –5 7.5 –5 5 2.5 –2 –1 –2.5 39. 17. Periodo = p; Amplitud = 2 2 1.5 y 1 5 0.5 12345 41. (a) 5 –5 5x 4 –5 3 2 24 1 –4 –2 19. Periodo = p ; corrimiento: 2 unidades hacia arriba 2 (b) 4 y 3 3 2.5 2 1 2 –4 –2 1.5 1 0.5 24 –4 –2 2 4x

Respuestas a problemas con número impar A-11 21. Periodo = p; amplitud = 7; corrimiento: 21 unidades hacia arri- Problemas de examen 3 22 ba, 2 unidades hacia la izquierda 1. (a) 2, 245, 245; (b) 1, 9, 49; (c) 64, 8, 81; (d) 1, , 22 7. 2.66 y 2 25 9. Ex: x 6 1 F ; A - q; 1 B ; – 4 –1 – 2 – 1 0 1 2 1 4 20 3 3 3 33 33 3 15 10 1 3F ; C13, 3 D; 5 3 –4 –2 2 4x 11. E x: … x … –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 23. Periodo = p ; corrimiento: p unidades hacia la derecha 13. E t: 3 … t … 5 F ; C 37, 5 D ; – 2 –1 0 1 2 1 4 5 2 2 6 7 3 3 y 33 33 33 5 15. 5x: - 4 … x … 36; [ -4, 3]; 4 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 –5 5 x 17. Ex: x … - 1 o x 7 1F; A - q, - 1 D ´ 11, q 2; 2 2 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 21. t … 5 19. Cualquier número negativo 25. (a) Par; (b) Par; (c) Impar; (d) Par; (e) Par; 25. y 8 (f) Impar 2 - 22 A (–2, 6) 31. 4 27. 1 29. 1 C (5, 5) 4 8 37. 28 rev/sec 35. 336 rev/min 39. (a) p3 ; 5p (b) 6 B (1, 2) –5 5 x 41. (a) 0.1419; (b) 1.8925; (c) 1.7127 45. r2 sen t cos t + pr2 sen2 t –2 43. 25 cm2 22 2 2 47. 67.5°F 27. 1x - 622 + 1y - 222 = 20 29. 5 49. Conforme t aumenta, el punto en el borde de la rueda se move- 31. (a) y = 2 x + 193; (b) y = 3 x + 4; (c) y = 4 x + 131; 9 2 3 rá alrededor del círculo de radio 2. (d) x = - 2; (e) y = x + 3 (a) x122 L 1.902; y122 L 0.618; x162 L - 1.176; 33. (b) y162 L - 1.618; x1102 = 0; y1102 = 2; x102 = 0; y102 = 2 (b) x1t2 = - 2 sen A p t B , y1t2 = 2 cos A p t B 35. y 37. y 5 5 10 5 (c) El punto está en (2, 0), cuando p t = p2 ; es decir, cuando t = 52. 5 51. (c) A1 sen1vt + f12 + A2 sen1vt + f22 + A3 sen1vt + f32 = 1A1 cos f1 + A2 cos f2 + A3 cos f32 sen vt –10 10 x –5 5x + 1A1 sen f1 + A2 sen f2 + A3 sen f32 cos vt 53. (a) y (b) y –10 –5 1 1.4 39. (0, 4) y (3, 7) (c) No existe; (d) 1 - 1 ; 1.2 41. (a) - 12; (b) 4; t - 1 0.75 0.5 2 4 x –1 –0.5 0.5 1x t t 0.25 (e) 1 + t - t 0.8 –4 –2 –0.25 0.6 –0.5 –0.75 43. (a) 5x H reales: x Z - 1, 16; (b) 5x H reales: ƒ x ƒ … 26; –1 (c) y 45. (a) y (b) y 5 5 1.1 1.05 –0.1 –0.05 0.05 0.1 x 0.95 –5 5x –5 5x 0.9 –5 0.8 Revisión del capítulo –5 Examen de conceptos (c) y 5 1. Falso 3. Falso 5. Falso 7. Falso 9. Verdadero 11. Verdadero 13. Verdadero 15. Falso 17. Verdadero –2 8x 19. Verdadero 21. Verdadero 23. Verdadero 25. Verdadero –5 27. Verdadero 29. Verdadero 31. Verdadero 33. Verdade- ro 35. Verdadero 37. Falso 39. Falso 41. Verdadero 43. Verdadero 45. Falso 47. Verdadero 49. Verdadero 51. Falso 53. Verdadero 55. Falso 57. Verdadero 59. Falso 61. Verdadero 63. Verdadero

A-12 Respuestas a problemas con número impar 47. V1x2 = x132 - 2x2124 - 2x2, 5x H reales: 0 … x … 126 37. No existe; 49. (a) y (b) y 39. (a) No existe; (b) 0 5 5 41. a = - 1, 0, 1 43. (a) No existe; (b) - 1; (c) - 3; (d) No existe 45. (a) 1; (b) 0; (c) - 1; (d) - 1 –5 5x –5 5x 47. No existe 49. 0 51. 1 53. No existe; –5 55. 6 57. - 3 2 –5 Conjunto de problemas 1.2 (c) y 1. 0 6 ƒ t - a ƒ 6 d Q ƒ f1t2 - M ƒ 6 e 5 3. 0 6 ƒ z - d ƒ 6 d Q ƒ h1z2 - P ƒ 6 e 5. 0 6 c - x 6 d Q ƒ f1x2 - L ƒ 6 e 7. 0.001 –5 5 x y 4.004 –5 4.002 51. f1x2 = 1x, g1x2 = 1 + x, h1x2 = x2, k1x2 = sin x 1.998 1.999 2.001 2.002 x 53. (a) -0.8; (b) - 0.6; (c) -0.96; (d) -1.333; 3.998 (e) 0.8; (f) - 0.8 55. 18.85 pulgadas. 3.996 9. 0.0019 y Problemas de repaso e introducción capítulo 1 4.004 4.002 1. (a) 0 6 x 6 2; (b) -6 6 x 6 8 1.999 3. 4,10 5. 4,10 7. (a) 4 6 x 6 10; (b) 4 … x … 10; (c) 6 … x … 8; 1.998 3.998 2.001 2.002 x (d) 6.9 6 x 6 7.1 9. (a) x Z 1; (b) x Z 1, - 0.5 3.996 11. 1, 1.9, 1.99, 1.999, 2.001, 2.01, 2.1, 3; - 1, - 0.0357143, - 0.0033557, - 0.000333556, 0.000333111, 0.00331126, 31. (b), (c) 0.03125, 0.2 13. 4.9 6 x 6 5.1 33. (a) x3 - x2 - 2x - 4 ; (b) No; (c) 3 15. (a) Verdadero; (b) Falso; (c) Verdadero; (d) Verdadero 6 x4 - 4x3 + x2 + x + Conjunto de problemas 1.3 1. 3 3. - 3 5. - 5 7. 2 9. - 1 11. 2 13. 0 41. 0 Conjunto de problemas 1.1 15. - 4 17. - 2 19. 3 x+2 23. - 1 3 2 21. 5 1. - 2 3. - 1 5. 0 7. 4 9. 12 11. - 2t 26 15. 36 17. 4 19. 0.5 21. 0 23. 2 25. 210 27. -6 29. 6 31. 12 33. - 1 13. 9 4 2 43. 0 45. 5 47. - 1 51. (a) 1; (b) 0 25. 0 27. 0.25 Conjunto de problemas 1.4 29. (a) 2; (b) 1; (c) No existe; (d) 52; (e) 2; (f) No existe; (g) 2; (h) 1; (i) 2.5 1. 1 3. 1 5. 1 7. 3 9. 1 11. 0 13. 7 2 2p 31. (a) 2; (b) no definido; (c) 2; (d) 4; (e) no existe; (f) no existe; 15. 0 17. 0 y y 2 2 33. y (a) 0; (b) No existe; 7 (c) 2; (d) 2 11 –2 –1 1 2x –2 –1 1 2x –1 1 –5 5x 2 35. –3 –2 (a) 0; (b) No existe; (c) 1; 19. 2 y 1 y 5 (d) 2 2 –5 5x 1 –5 –2 –1 1 2x

Respuestas a problemas con número impar A-13 Conjunto de problemas 1.5 3 3 19. Definir f132 = - 12. 21. Definir H112 = 21. 9. p 11. 1. 1 3. -1 5. - 1 7. 1 23. Definir F1 - 12 = - sen 2. 25. 3, p 2 22 pq2 , d2onde3n3.es1cualquier entero. 13. 2 15. 1 17. q 19. 2 21. 0 23. - q 27. Todo u = np + 29. -1 25. 1 2 31. 1- q , - 2] ´ [2, 27. q 29. q 31. q 33. - q 35. 5 35. Todo t = n + 12, donde n es cualquier entero. 37. 0 39. - 1 41. - q 43. Asíntota horizontal y = 0 37. y 39. y Asíntota vertical x = -1 2 2 y 10 1 1 1 2x –10 10x 1 2 3 4 5 6x –10 41. Continua. 43. Discontinua; removible, definir f(0) = 1 45. Asíntota horizontal y = 2 45. Discontinua, removible, redefinir g(0) = 1 Asíntota vertical x = 3 47. Discontinua, no removible. y 49. La función es continua en los intervalos 14 (0, 1], (1, 2], (2, 3], Á Costo 1 –6 14x 0.5 –6 47. Asíntota horizontal y = 0 1234657 8 No tiene asíntotas verticales Duración de la llamada en minutos y 5 –5 5 x 51. 51. La función es continua en los intervalos (0, 0.25], (0.25, 0.375], (0.375, 0.5], Á Costo 4 –5 3 49. La asíntota oblicua es y = 2x + 3. 2 51. (a) Decimos que lím f1x2 = - q , si para cada número negati- 1 x: c+ vo M existe un correspondiente d 7 0 tal que 0 6 x - c 6 d Q f1x2 6 M. 0.25 0.5 0.75 1 Millas manejadas (b) Decimos que lím f1x2 = q , si para cada número positivo M 55. El intervalo [0.6, 0.7] contiene a la solución. x:c- y existe un correspondiente d 7 0 tal que 0.2 0 6 c - x 6 d Q f1x2 7 M. 55. (a) No existe (b) 0 (c) 1 (d) q (e) 0 (f) 1 (g) No existe (h) 0 2 59. - 3 2 22 57. 3 61. 1 63. q 65. - 1 2 67. - q 69. e 71. 1 0.6 0.65 0.7 x Conjunto de problemas 1.6 1. Continua 3 –0.2 3. No es continua; lím - y h(3) no existen x:3 x 3 65. Sí, g es continua. ƒt - 3ƒ 5. No es continua; lím y h(3) no existen t-3 3 3 R , Rango {-3/4, 0, 3/4}, t:3 71. (a) Dominio B- , 7. Continua 9. No es continua; h(3) no existe 44 11. Continua 13. Continua 15. Continua 3 3 , 17. 1- q , - 52, [ -5, 4], 14, 62, [6, 8], 18, q2 (b) Discontinua en x = 0 (c) - 0, 44

A-14 Respuestas a problemas con número impar 1.7 Revisión del capítulo 13. (a) 16 pies; (b) 48 pies; (c) 80 pies /s; (d) 96.16 pies /s; Examen de conceptos (e) 96 pies /s 1. Falso 3. Falso 5. Falso 7. Verdadero 9. Falso 15. (a) 1 pies>s; (b) 1.5 seg 11. Verdadero 13. Verdadero 15. Falso 17. Falso 22a + 1 19. Falso 21. Verdadero 23. Verdadero 25. Verdadero 27. Verdadero 29. Falso 31. Verdadero 17. (a) 0.02005 g; (b) 2.005 g/h; (c) 2 g/h Problemas de examen 19. (a) 49 g/cm; (b) 27 g/cm 21. 4 23. 29,167 gal/h; 75,000 gal/h 1. 0 11 11. - 1 13. - 1 25. (a) 0.5 °F/día (b) 0.067 °F/día (c) Enero y julio 5 3. 2 5. 8 7. 2 9. 4 (d) Marzo y noviembre 15. 3 17. 1 19. q 21. q 27. (a) Creciente (b) Decreciente 29. 24p km2>día 25. (a) x = - 1, 1 (b) f1- 12 = - 1 31. 4 (a) 7; (b) 0; (c) - 1; (d) 17.92 27. (a) 14 (b) - 12 (c) - 2 (d) - 2 (e) 5 (f) 0 2 29. a = 2, b = - 1 31. Vertical: ninguna, Horizontal: y = 0 33. Vertical: x = -1, 1, Horizontal: y = 1 –4 –2 24 –2 35. Vertical: x = ; p/4, ; 3p/4, ; 5p/4, Á , Horizontal: ninguna –4 Problemas de repaso e introducción del capítulo 2 33. 2.818 1. (a) 4 (b) 4.41 (c) 0.41 (d) 4.1 (e) a2 + 2ah + h2 Conjunto de problemas 2.2 (f) 2ah + h2 (g) 2a + h (h) 2a 1. 2 3. 5 5. 2 7. 6x 9. 2ax + b 3. (a) 22 L 1.41 (b) 22.1 L 1.45 (c) 0.035 (d) 0.35 11. 3x2 + 4x 13. - 2 12x (e) 2a + h (f) 2a + h - 1a (g) A 2a + h - 1aB/h x2 15. - 1x2 + 122 1 17. - 7 3 21. - 3 (h) 1x 19. 21x - 422 - 223/2 2 2a 2 23x 5. (a) a3 + 3a2b (b) a4 + 4a3b (c) a5 + 5a4b 23. 2x - 3 25. - 5 27. f1x2 = 2x3 en x = 5 7. sen1x + h2 = sen x cos h + cos x sen h 1x - 522 9. (a) 110, 02, 110, 02, 110, 02 (b) t = 1/4 29. f1x2 = x2 en x = 2 31. f1x2 = x2 en x 11. (a) El avión hacia el norte ha recorrido 600 millas, el avión ha- cia el este ha recorrido 400 millas (b) 721 millas (c) 840 millas 2 35. f1x2 = cos x en x 33. f1t2 = t en t Conjunto de problemas 2.1 37. y 1. 4 4 3. -2 5 3 5. 2 y 2 8 y 9 1 –3 –2 –1 1 2 3x –1 –2 –2 8x –1 –1 4x 39. y –2 y (c) 2; (d) 2.01; (e) 2 4 7. (a), (b) 7 3 2 1 –3 –2 –1 1 2 3x –1 –5 5x –2 –3 9. - 4, -2, 0, 2, 4 41. y 11. y 3 5 2 11 –5 5 x y - 2 = - 4 1x - 12 1 –2 –1 1 2 3x –1 –5 –2

Respuestas a problemas con número impar A-15 43. y Conjunto de problemas 2.4 3 1. 2 cos x - 3 sen x 3. 0 5. sec x tan x 7. sec2 x 2 9. sec2 x 11. cos2 x - sen2 x x cos x - sen x 13. x2 1 –3 –2 –1 12 3x 15. - x2 sen x + 2x cos x 17. 2 tan x sec2 x –1 19. y - 0.5403 = - 0.84151x - 12 21. - 2 sen2 x + 2 cos2 x –2 23. 30 23 pies/sec 25. y = x 27. x = p + k p donde k es un entero. 4 2 45. 1.5 47. - 0.1667 49. 0.0081 51. 2x 53. - 1/1x + 122 55. 2/1x + 122 57. - 21, 1, 32, - 3 33. (a) 15 (b) 6; 5; (c) Un contraejemplo es 59. y 10 5 5 f(x) = x sen x con a = 0 y b = p. f '(x) –5 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 (d) 24.93 –2 8 x –10 –15 –5 Conjunto de problemas 2.5 61. (a) 25, 32, 1.8, - 0.6; (b) 0.5; (c) 5; (d) 3, 5; (e) 1, 3, 5; 1. 1511 + x214 3. - 1013 - 2x24 (f) 0; (g) -0.7, 1.5, 15, 72 5. 1113x2 - 4x + 321x3 - 2x2 + 3x + 1210 63. T' 7. - 5 9. 12x + 12 cos1x2 + x2 1 1x + 326 365 11. - 3 sen x cos2 x 61x + 122 13. - 1x - 124 182 t –1 15. - 3x2 + 12x sen a 3x2 2 b 1x + 222 x+ 65. f aparece con trazos pequeños y discontinuos; g = f ¿ es línea continua; g¿ aparece con trazos largos y discontinuos 17. 213x - 2213 - x2219 + 4x - 9x22 67. m = 4, b = - 4 69. (a) m; (b) - m 1x + 1213x - 112 21. 4x1x2 + 42 19. 13x - 422 71. 15 (a) A 0, 8 B ; (b) C 0, 8 D ; 5113t - 222 16t + 47213t - 222 3 3 23. 1t + 524 25. 1t + 522 10 5 (c) f (x) decrece conforme x 3 sen2 x1cos x cos 2x + 2 sen x sen 2x2 27. cos4 2x –2 –1 –5 1 2 3 4 5 aumenta cuando f¿1x2 6 0. 29. 9.6 –10 –15 31. 1.4183 33. 412x + 32 sen31x2 + 3x2 cos1x2 + 3x2 –20 Conjunto de problemas 2.3 35. - 3 sen t sen21cos t2 cos1cos t2 p 500 37. - 8u cos31sen u22 sen1sen u221cos u22 7. - x2 x6 1. 4x 3. p 5. - 4x-3 9. - 39. - 2 cos[cos1sen 2x2] sen1sen 2x21cos 2x2 41. 2 43. 1 45. - 1 47. 2F¿12x2 11. 2x + 2 13. 4x3 + 3x2 + 2x + 1 49. - 21F1t22-3F¿1t2 51. 411 + F12z22F¿12z2 15. 7px6 - 10x4 + 10x-3 17. - 9 - 4x-5 53. - sen xF¿1cos x2 55. 2F¿12x2 sec21F12x22 x4 22 1 23. 3x2 + 1 57. 2F1x2F¿1x2 sen F1x2 cos F1x2 + F¿1x2 sen2 F1x2 19. - x2 + x3 21. - 2x2 + 2 59. -2 sen 1 61. - 1 63. x = p/4 + kp, k = 0, ;1, ;2, Á 25. 8x + 4 27. 5x4 + 6x2 + 2x 65. y = - 1x + 3 67. x = 3/2 29. 5x4 + 42x2 + 2x - 51 31. 60x3 - 30x2 - 32x + 14 2 4 33. - 6x - 8x + 3 2 69. (a) 110 cos 8pt, 10 sen 8pt2; (b) 80p cm>s 13x2 + 35. 14x2 - 3x + 922 37. 1x + 122 122 71. (a) 1cos 2pt, sen 2pt2; (b) sen 2pt + 225 - cos2 2pt; 6x2 + 20x + 3 4x2 + 4x - 5 x2 - 1 (c) 2p cos 2pt a 1 + sen 2pt b 39. 13x + 522 41. 12x + 122 43. 1x2 + 122 225 - cos2 2pt 45. (a) 23; (b) 4; (c) - 17 73. 0.38 pulgadas/min 75. x0 = p>3; u = 1.25 rad. 9 49. y = 1 51. (0, 0) y A 32, - 4 B 79. cot x ƒ sen x ƒ 81. 16 27 53. (2.817, 0.563) y 1 - 2.817, - 0.5632 Conjunto de problemas 2.6 55. (a) - 24 ft>s; (b) 1.25 s 6 57. y = 2x + 1, y = - 2x + 9 59. 3 25 1. 6 3. 162 5. - 343 cos17x2 7. - - 124 1x 61. 681 cm3 por semana 1 9. 2 11. 2 13. 2p2 15. -900

A-16 Respuestas a problemas con número impar 19. (a) 0; (b) 0; (c) 0 35. 23y + x = 0, 23y - x = 0 21. f–1-52 = - 24; f–132 = 24 23. (a) v1t2 = 12 - 4t; a1t2 = - 4 y 2xy (d) Para toda t; (e) 37. (a) y¿ = - 3y2; (b) y– = 1x + 3y223 (b) 1 - q , 32; (c) 13, q 2; x + t=0 t=3 39. - 15; 45. u L 2.0344 0 v=0 47. y = 21x + 42; y = 21x - 42 49. 13 s 3 18 25. (a) v1t2 = 3t2 - 18t + 24; a1t2 = 6t - 18; Conjunto de problemas 2.8 (b) 1 - q , 22 ´ 14, q2; (c) (2, 4); (d) 1 - q, 32; 1. 1296 pulg3>s 3. 392 mi/h 5. 471 mi/h 7. 0.258 pies/s 9. 0.0796 pies/s (e) 11. 1 pies> m in 13. 1.018 pulg2>s 15. 15.71 km/min 12 t=0 t=4 0 v=0 t=2 v=0 1 5 1 s 17. (a) 2 pies> s; (b) 2 pies> s (c) 24 rad> s 16 20 19. 110 pies/s 21. - 0.016 pies>h 23. 13.33 pies/s 27. (a) v1t2 = 2t - 16 a1t2 = 2 + 32 (b) 12, q2; 25. 4049 pies3>h t2 ; t3 ; 27. (a) - 1.125 pies>s; (b) - 0.08 pies>s2 (c) (0, 2); (d) No; 29. (b) 3 horas (e) t = 2 31. 16 pies>s cuando la niña está al menos 30 pies alejada del poste y v=0 3 12 s 80 pies>s cuando ella está a menos de 30 pies del poste. 17 29. v112 = 11; v142 = - 16 Conjunto de problemas 2.9 1. dy = 12x + 12 dx 3. dy = - 812x + 32-5 dx 31. (a) 3 s; (b) 1 s, 3 s; (c) 0 s, 3 s 4 2 4 2 5. dy = 31sen x + cos x221cos x - sen x2 dx 33. (a) 48 pies/s; (b) 3 s; (c) 292 pies; (d) 5.77 s; (e) 137 pies/s 7. dy = - 32114x + 3217x2 + 3x - 12-5/2 dx 2 9. ds = 2312t + csc2 t2 2t2 - cot t + 2 dt 35. 581 pies/s 37. 1 - q , - 22 ´ 11, 42 39. Dxn1uv2 = n a n b Dnx - k1u2Dxk1v2 donde anb es el coeficiente 11. y 13. y k k 4 a 4 k=0 3 n! dy dy 2 dx dy binomial 1n - k2!k!. dx 1.5 x −3 −2 −1 1 –1.5 41. (a) 6 (b) - 1.2826 dx dx dy 12 3x −1 4 2 −2 –4 −3 −4 123456 15. (a) ¢y = - 1 (b) ¢y = - 0.3 –2 3 –4 –6 17. (a) ¢y = 67 dy = 34 (b) ¢y L 0.1706 dy = 0.17 Conjunto de problemas 2.7 19. 5.9917 21. 39.27 cm3 23. 893 pies3 25. 12.6 pies 27. 4189 ; 62.8 cm3; error relativo L 0.015 x y 1 - y2 12x2 + 7y2 1. y 3. - x 5. 2xy 7. 6y2 - 14xy 29. 79.097 ; 0.729 cm; error relativo L 0.0092 31. dy = 0.01; ƒ ¢y - dy ƒ … 0.000003 33. 8.0125 35. 754 cm3 y3 - 5y 37. L1x2 = 4x - 4 39. L1x2 = x 2 25xy y y y 9. 5x + 2 - 2y - 3xy2 11. - 8 1 2 25xy x 7 6 13. y - 3 = - 971x - 12 15. y = 1 5 –π –π/2 π/2 π x 19. 5x2/3 + 1 4 –1 17. y + 1 = 211x - 12 2 1x 3 2 1 –1 –1 12 3x 21. 1 - 1 3x - 2 41. L1x2 = 1 43. L1x2 = x 3 23 x2 3 23 x4 23. y y 2 24 13x2 - 4x23 2 1 25. - 6x2 + 4 2x + cos x 1 3 23 1x3 + 2x25 27. 2 2x2 + sen x x2 cos x + 2x sen x 1x + 12 sen1x2 + 2x2 –π –π/2 π/2 π x 29. - 31. - –1 1x 3 23 1x2 sen x24 2 24 [1 + cos1x2 + 2x2]3 –1 ds s2 + 3t2 dt 2st –1 45. L1x2 = f1x2 33. dt = - 2st ; = - s2 + 3t2 ds

Respuestas a problemas con número impar A-17 2.10 Revisión del capítulo Conjunto de problemas 3.1 1. Puntos críticos: -2, 0, 2, 4; valor máximo 10; valor mínimo 1 Examen de conceptos 3. Puntos críticos: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4; valor máximo 3; valor 1. Falso 3. Verdadero 5. Verdadero 7. Verdadero mínimo 1 9. Verdadero 11. Verdadero 13. Falso 15. Verdadero 17. Falso 19. Verdadero 21. Verdadero 23. Verdadero 5. Puntos críticos: -4, -2, 0; valor máximo 4; valor mínimo 0 25. Verdadero 27. Falso 29. Verdadero 31. Verdadero 33. Verdadero 35. Verdadero 37. Falso 7. Puntos críticos: - 2, - 3 , 1; valor máximo 4; valor mínimo - 9 2 4 Problemas de examen 9. Puntos críticos: -1, 1; no hay valor máximo; valor mínimo -1 1. (a) 9x2; (b) 10x4 + 3; (c) - 1 6x 11. Puntos críticos: -1, 3; no hay valor máximo; no hay valor 3x2; (d) - 13x2 + 222; mínimo 3 x ; (h) -p sen px 13. Puntos críticos: -2, -1, 0, 1, 2; valor máximo 10; valor mínimo 1 (e) ; (f) 3 cos 3x; (g) 2x2 + 5 2 23x 3. (a) f1x2 = 3x en x = 1; (b) f1x2 = 4x3 en x = 2; 15. Punto crítico: 0; valor máximo 1; no hay valor mínimo (c) f1x2 = 2x3 en x = 1; (d) f1x2 = sen x en x = p; 17. Puntos críticos: - p4 , p6 ; valor máximo 1 ; valor mínimo - 1 2 22 (e) f1x2 = 4 en x; (f) f1x2 = - sen 3x en x; 19. Puntos críticos: 0, 1, 3; valor máximo 2; valor mínimo 0 x p (h) f1x2 = 1 en x = 5 21. Puntos críticos: -1, 0, 27; valor máximo 3; valor mínimo -1 (g) f1x2 = tan x en x = ; 4 1x 23. Puntos críticos: 0, p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p, 7p, 8p; valor máximo 1; - 24t2 + 60t + 10 5. 15x4 7. 3z2 + 8z + 2 9. 16t2 + 2t22 valor mínimo -1 - 4x4 + 10x2 + 2 x 25. Puntos críticos: - p 0, p valor máximo p2 22 11. 1x3 + x22 13. - , ; 16 ; valor mínimo 0 21x2 + 423 4 4 15. - sen u + 6 sen2 u cos u - 3 cos3 u 17. 2u cos1u22 27. (a) Puntos críticos: - 1, 2 - 2333, 2 + 2333, 5; valor máximo 19. 2p sen1sen1pu22 cos1sen1pu22 cos1pu2 21. 3 sec2 3u L 2.04; valor mínimo L -26.04 23. 672 - csc2 x - 2x cot x tan x2 27. 16 - 4p (b) Puntos críticos: - 1, - 0.4836, 2 - 233 + 233 29. 458.8 25. sec x2 , 0.7172, 2 , 5; 3 3 31. F¿1r1x2 + s1x221r–1x2 + s–1x22 valor máximo L 26.04; valor mínimo = 0 + 1r¿1x2 + s¿1x222F–1r1x2 + s1x22 + s–1x2 29. Las respuestas variarán. Una posibilidad: 33. 27z2 cos19z32 35. 314 m3 por metro aumenta el radio 37. 0.167 pies/min y 39. (a) (1, 3) (b) a112 = - 6, a132 = 6; (c) 12, q 2 1-x y2 + 2xy x2y3 - x2 5 (c) y2 - x3y2; 41. (a) ; (b) - x2 + ; y 2xy (d) 2x - sen1xy2 - xy cos1xy2 ; (e) - tan1xy2 + xy sec21xy2 x2 cos1xy2 x2 sec21xy2 –5 5 x 43. 0.0714 –5 45. (a) 84; (b) 23; (c) 20; (d) 26 31. Las respuestas variarán. Una posibilidad: 47. 104 mi/h 49. (a) cot u ƒ sen u ƒ ; (b) - tan u ƒ cos u ƒ y 5 Problemas de repaso e introducción del capítulo 3 1. (2, 3) 3. 1 - q , 0] ´ [1, 2] 5. 1- q , -22 ´ [0, 22 ´ 12, q2 7. 812x + 123 9. - 21x2 - 12 sen 2x + 2x cos 2x 11. 61sec2 3x21tan 3x2 cos 1x 13. 2 2x 15. x = kp, donde k es un entero 17. x = 12k + 12p>2, donde k es un entero x 2x2 + 1 4 - x 5 19. + –5 4 10 21. (a) x2 + 3 es una de tales funciones (b) –cos x + 8 es una de tales funciones (c) 1 x3 + 1 x2 + x + 2 es una de tales funciones 3 2

A-18 Respuestas a problemas con número impar 23. Creciente en (- q, -1] ´ [1, q), decreciente en [-1, 1]; cóncava hacia arriba en a - 1 , 0 b ´ a 1 , q b , cóncava hacia abajo en 33. Las respuestas variarán. Una posibilidad: 22 22 y a - q, - 1 b ´ a0, 1 b. 5 22 22 5x y 5 –5 –3 3x –5 35. Las respuestas variarán. Una posibilidad: 25. Creciente en C 0, p D , decreciente en C p2 , p D ; cóncava hacia abajo y 2 5 en (0, p). 5x y 1 –5 0 π x Conjunto de problemas 3.2 –1 1. Creciente en (- q, q) 27. Creciente en C 0, 2 D , decreciente en A-q, 0D ´ C 25, q B; 3. Creciente en [-1, q),decreciente en (- q, -1] 5 5. Creciente en (- q, 1] ´ [2, q), decreciente en [1, 2] 7. Creciente en [2, q), decreciente en (- q, 2] cóncava hacia arriba en A - q, - 1 B , cóncava hacia abajo en 5 p C 32p, p2 , 3p 9. Creciente en C 0, 2 D ´ 2p D , decreciente en C 2 D A - 15, 0 B ´ 10, q 2. 11. Cóncava hacia arriba para toda x; no hay puntos de inflexión 13. Cóncava hacia arriba en (0, q), cóncava hacia abajo en (-q, 0); y 5 punto de inflexión (0, 0). 15. Cóncava hacia arriba en (- q, -1) ´ (4, q), cóncava hacia abajo en (-1, 4); puntos de inflexión (-1, -19) y (4, - 499) 17. Cóncava hacia arriba para toda x; no hay puntos de inflexión –5 5x –5 19. Creciente en (- q, -2] ´ [2, q); decreciente en [-2, 2]; cóncava hacia arriba en (0, q), cóncava hacia abajo en (- q, 0) y 20 29. f(x) 31. y 4 5 3 –5 5 x 2 1 −2 8x 1 2 3 4 5 6x −5 –20 21. Creciente en [1, q), decreciente en (- q, 1]; cóncava hacia arriba en 1- q, 02 ´ A 23, q B, cóncava hacia abajo en A 0, 2 B 3 y 33. y 20 5 −2 8x −5 –3 0 3x

Respuestas a problemas con número impar A-19 41. a = 389, b = 13 57. (a) 2 Profundidad V A « ≤V r L 2≤V>P 43. (a) No se necesita otra condición; f¿1x2 1 44 1.13 (b) f1x2 7 - g¿1x2 g1x2 para toda x; 2 84 1.13 3 11 3 0.98 (c) No se necesita otra condición 4 14 3 0.98 5 20 6 1.38 45. (a) 1.5 6 28 8 1.60 1 0.5 –2 –0.5 246 (b) –1 Profundidad V A « ≤V r L 2≤V> P –1.5 (b) (1.3, 5); (c) 1 - 0.25, 3.12 ´ 16.5, 7] 1 44 1.13 2 95 1.26 (d) 1 3 12 3 0.98 4 14 2 0.80 0.5 5 20 6 1.38 6 28 8 1.60 –2 246 –0.5 –1 Conjunto de problemas 3.3 –1.5 1. Puntos críticos: 0, 4; mínimo local en x = 4; máximo local en x = 0 (e) 1 3. No hay puntos críticos, no hay mínimos ni máximos locales en 0.5 p A 0, 4 B 5. Punto crítico: 0; mínimo local en u = 0 –2 246 7. Puntos críticos: -2, 2; mínimo local en x = -2; máximo local en x = 2 –0.5 9. Punto crítico - 232 4 ; mínimo local en - 23 4 –1 2 11. Puntos críticos: -1, 1; valor mínimo local f (1) = -2; valor máxi- 47. [-0.598, 0.680] mo local f (-1) = 2 ds d2s 13. Puntos críticos: 0, 3 ; valor mínimo local 0, 23; no hay máximo 49. (a) dt = ks, k una constante; (b) dt2 7 0 2 d3s d2s d2s local (c) dt3 6 0, dt2 7 0 (d) dt2 = 10 mph>min 15. Puntos críticos: 2; no hay valores mínimos locales; valor máximo ds d2s local g(2) = p ds 17. No hay puntos críticos. (e) dt y dt2 tienden a cero (f) es constante. dt No hay valores mínimo ni máximo locales dC d2C 19. No hay puntos críticos. 51. (a) dt 7 0, dt2 7 0, donde C es el costo del automóvil. Cón- No hay valores mínimo ni máximo locales cava hacia arriba. df d2f 21. Valor máximo f(p>4) = 1; valor mínimo (b) f (t) es el consumo de petróleo en el instante t. 6 0, dt2 7 0. f (0) = f (p>2) = 0 dt Valor máximo g142 = 1 Cóncava hacia arriba. 23. ; valor mínimo g(0) = 0 6 dP d2P (c) dt 7 0, dt2 6 0, donde P es la población mundial. Cóncava 25. Valor máximo F(9>16) = 9>4; valor mínimo F(4) = -4 27. Valor mínimo f (tan-1(4>3)) = 125; no hay valor máximo hacia abajo. 29. Valor máximo H(-2) = H(2) = 3; valor mínimo H(-1) = H(1) = 0 du d2u 31. Mínimo local en x = 0 (d) dt 7 0, dt2 7 0, donde u es el ángulo que forma la torre con 33. Mínimo local en x = 4; máximo local en x = 3 la vertical. Cóncava hacia arriba. 35. No hay extremos locales dP d2P 37. Las respuestas pueden variar. Una posibilidad: (e) P = f (t) es la utilidad en el instante t. dt 7 0, dt2 6 0. Cóncava hacia abajo. y dR (f) R es el ingreso en el instante t, R 6 0, dt 7 0. Podría ser cón- cava hacia arriba o cóncava hacia abajo. 5 53. h1t2 = A3 2400 t + 27000 - 30 55. h(t) p h(t) t 3 6x 5 −5 4 3 2 1 5 10 15 20 t

A-20 Respuestas a problemas con número impar 39. Las respuestas pueden variar. Una posibilidad: 49. t L 13.8279, distancia L 0.047851 millones de millas y 51. 5 25 pies 5 n nn 3 6x 53. (a) b = a a xiyi - 5 a xi b n a x2i (b) b L 3.0119 –5 i=1 i=1 i=1 (c) 50.179 horas n n2 55. p1n2 = 300 - 2; R1n2 = 300n - 2 57. n = 200 y P(n) 15,000 41. Las respuestas pueden variar. Una posibilidad: 0 400 n 100 y 5 59. $1.92 por unidad; $1.33 x3 dR ; 61. (a) R1x2 = 20x + 4x2 - 3 dx = 20 + 8x - x2 3 6x (b) 0 … x … 10 (c) 4 = dR = 0 en x1 63. x1 25, dx 65. (a) No. –5 (b) x = 500. 67. P13002 = $2410 45. f tiene un punto de inflexión en c. Conjunto de problemas 3.5 Conjunto de problemas 3.4 1. y 3. y 10 20 1. - 4 y 4 3. 1 5. a - 3 , 9b, a 3 , 9b 1 16 22 2 22 2 7. 2 9. 1024 pulg3 11. x = 10 pies, y = 40 pies –5 5x –5 5x 13. x = 1523 pies, y = 20 23 pies 15. x = 10 25 = 6 215 pies 17. PA222, 2B, Q10, 02 –10 –20 pies, y 23 5. y 7. y 6 40 18 19. millas hacia abajo de la costa medidos desde P. 27 21. En el pueblo 23. alrededor de las 8:09 a.m. 25. 4p 23 r3 9 r 27. h = 22r, x = donde h = altura del cilindro, x = radio del 3x 22 5x –3 –2 10 x –5 cilindro, r = radio de la esfera 11. y 9. 1 29. (a) 43.50 cm de uno de los extremos; la longitud más corta se y 5 dobla para formar un cuadrado (b) No cortar, doblar el alambre para formar un cuadrado. –10 3V 1>3 1 3V 1>3 p 2 p 31. altura = a b , radio = a b –5 5 x 33. r = 2A, u = 2 35. 4 por 8 37. r = 2A>16p2, h = 2r –5 –1 39. El área máxima es para un cuadrado. 41. p>3 13. y 15. y 5 5 43. x = 1, y = 3, z = 3 45. (a) x = 2a>3 maximiza el área de A. –5 5x –6 6x (b) x = 2a>3 minimiza el área de B. –5 –5 (c) x = 3a>4 minimiza la longitud z. 47. (a) L¿ = 3, L = 4, f = 90°; (b) L¿ = 5, L = 12, f = 90°; (c) f = 90°, L = 2m2 - h2, L¿ = h

Respuestas a problemas con número impar A-21 17. y 19. y 45. 1 y 1y 10 20 8 8 c=0 –5 –2 2 4x –5 —5 5x –10 c<0 —20 x 0x 21. y 23. y 0 80 1 5y 16 c>0 –2π 2π x –5 5x −7 0 7 x –20 2c 2c –1 47. y 25. h(t) 27. y 1 0.9 0.8 0.6 0.4 0.2 –3 –2 –1 1 2 3t –1 –0.1 1x −3π −2π −π π 2π 3π x c c = −1 29. y 31. y 5 5 y 0 10 x 2x –5 –8 –3π –2π –π c=0 33. y π 2π 3π x 10 35. π y 2 πx y 10 x – π 2 37. y 39. y c=1 6 c 5 3 4 π 2π 3π x 3 2 2 1 1 1 2 3 4 5x 1 2 3x –3π –2π –π −1 −1 −2 −3 43. y y 49. y 9 4 c≠0 c=0 −|c| |c| x −3 −1 3x −2 2 x

A-22 Respuestas a problemas con número impar (e) 2 51. (a) No es posible; (b) No es posible 1 (c) y 3 −3 −2 −1 123 −1 −3 3 x −2 −3 Mínimo global: f (2.17) L -1.9 Máximo global: f (0.97) L 1.9 53. (a) 2 1 Puntos de inflexión: A - p2 , 0 B , A p2 , 0 B , L 1- 2.469, 0.5422, 1- 0.673, - 0.5422, 10.413, 0.4082, 12.729, - 0.4082 −3 −2 −1 123 55. (a) Creciente en (- q, -3] ´ [-1, 0]; decreciente en [-3, -1] ´ −1 [0, q); (b) Cóncava hacia arriba en (-2, 0) ´ (0, 2); cóncava hacia abajo en −2 (- q, -2) ´ (2, q) (c) Máximo local en x = -3; mínimo local en x = -1; Mínimo global: f A - p B = -2 (d) x = - 2, 2 2 y Máximo global: f A p B = 2 2 Puntos de inflexión: A - p6 , - 1 B , A - 56p, - 1 B 4 4 5 (b) 3 2 1 –5 5 x −3 −2 −1 123 −1 Mínimo global: f A - p B = -1 –5 2 57. y Máximo global:f A p B = 3 5 2 Puntos de inflexión: A p6 , 5 B , A 56p, 5 B 4 4 (c) 3 −5 5 x 2 −5 1 123 −3 −2 −1 −1 59. (a) Mínimo global: f A - p B = f A p B = - 1.5 40 3 3 30 20 10 Máximo global: f1 - p2 = f1p2 = 3 246 Puntos de inflexión: L 1 - 2.206, 0.8902, 1 - 0.568, - 1.2652, Mínimo global: f1- 12 L - 6.9 10.568, -1.2652, (2.206, 0.890) Máximo global: f (7) L 48.0 Punto de inflexión: L (2.02, 11.4) (d) 2 123 (b) 120 1 100 −3 −2 −1 80 −1 60 −2 40 20 Mínimo global: f A p B = -2 246 2 Máximo global: f A - p B = 2 Mínimo global: f (0) = 0 2 Máximo global: f (7) L 124.4 Punto de inflexión: L (2.34, 48.09) Punto de inflexión: 10, 02, L 1 - 2.126, 0.7552, 1 - 1.016, 0.7552, 11.016, - 0.7552, 12.126, - 0.7552

Respuestas a problemas con número impar A-23 (c) 100 17. No aplica, T(u) no es 19. c = 22 L 1.41 p 50 continua en u = 2 y 3 −50 y −100 246 5 0 pu No hay máximo ni mínimo globales. 0 3x No hay puntos de inflexión. –5 (d) 1 21. No se aplica, f (x) no es diferenciable en x = 0 0.75 246 y 0.5 10 0.25 8 −0.25 6 −0.5 4 −0.75 2 −4 −2 2 4x Mínimo global: f (3) L -0.9 23. L1.5, 3.75, 7 Máximo global: f (-1) = f (7) L 1.0 Puntos de inflexión: L (0.05, 0.3), (5.9, 0.3) Conjunto de problemas 3.7 Conjunto de problemas 3.6 1. 1.46 3. 1.11 5. - 0.12061 7. 3.69815 9. 0.45018 11. 2, 0.58579, 3.41421 13. 0.48095 1. 1 6 c 6 2 3. c = 0 15. 1.81712 17. Mínimo f (-0.60583) L - 0.32645; máximo f (1) = 4 yy 19. Mínimo f (4.493409) L - 0.21723; 28 máximo f (7.725252) L 0.128375 21. 0.9643 23. (c) i = 0.0151308; r = 18.157% 25. 0.91486 27. 2.21756 −2 2x 29. (a) y (b) 0.5; (c) 21; −2 2 2x 7. c = 1 –2 2 x 5. c = - 1 y 2 y 5 –2 −3 1 s −1 2 z 31. (a) x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1.4142136, x4 = 1.553774, −5 x5 = 1.5980532; (b) x = 1 A 1 + 25 B L 1.618034 2 9. c = 3 - 23 L 1.27 −2 (c) x = 1.618034 y t 16 33. (a) x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1.5, x4 L 1.6666667, x5 = 1.6 27 02 11. c = L 0.59 (b) x = 1 + 25 L 1.618034. (c) A1 + 25B>2 L 1.618034. y 2 1 0 para x1 cercana a a1. 2 x 35. (a) El algoritmo calcula la raíz de - a = 37. 20.84 pies. 39. (a) (28.0279, 7.1828) (b) (6.7728, 45.1031) Conjunto de problemas 3.8 1. 5x + C 3. 1 x3 + px + C 5. 4 x9>4 + C 3 9 −2 0 2t 7. 3 23 x + C 9. 1 x3 - 1 x2 + C 11. 2 x6 - 1 x4 + C 3 2 3 4 13. c = A 3 B 3>2 L 0.46 15. c = ; p 13. 27 x8 + 1 x6 - 45 x4 + 22 x2 + C 31 5 2 15. - x + x2 + C 824 2 y y 1 1 17. x4 + 3 x2 + C 19. 1 x3 + 1 x2 + C 21. 131x + 123 + C 2 3 2 23. 2 z9>2 + 4 z5>2 + 2z1>2 + C 25. -cos u - sen u + C 9 5 –p pu 27. 1 A 22x + 1B4 + C 29. 21115x3 + 3x - 827 + C –1 4 31. 9 23 12t2 - 1124 + C 33. 921x3 + 423>2 + C 16 0 1x 35. - 5111 + cos x25 + C 37. 1 x3 + 1 x2 + C1x + C2 2 2

A-24 Respuestas a problemas con número impar 39. 4 x5>2 + C1x + C2 41. 1 x3 + 1 + C1x + C2 13. Creciente: A - q , 3 D; cóncava hacia abajo: (- q, q) 15 6 2x 2 45. x2 2x - 1 + C 47. 5x3 + 2 + C 15. Creciente: (- q, -1] ´ [1, q); cóncava hacia abajo: (- q, 0) 2 2x3 + 1 17. Creciente: C 0, 1 D; cóncava hacia abajo: A 230, qB 5 51. 1 x2 + C si x Ú 0, - 1 x2 + C si x 6 0 19. Creciente: A - q , 3 D; cóncava hacia abajo: 1 - q , 02 ´ A 12, qB 2 2 4 53. (a) - 2 cos131x - 222 + C (b) 1x - 9x + C 21. Creciente: A - q , 0 D ´ C 38, q B ; decreciente C 0, 8 D ; (c) 1 x2 sen 2x + C cos cos 3 2 22 26 Valor mínimo local f A 8 B = - 256 3 27 Valor máximo local f(0) = 0 Punto de inflexión: A 43, - B128 27 Conjunto de problemas 3.9 5. y = 1 x3 + x + C; y = 1 x3 + x - 1 y 3 3 3 10 7. y = ; 2x2 + C; y = 2x2 9. z = C 3 t3; z = 10 3 t3 - - 11. s = 16 t3 + 2t2 - t + C; s = 16 t3 + 2t2 - t + 100 –5 5x 3 3 –10 13. y = 1 A 2x + 125 + C; y = 11012x + 1B5 + 59 10 10 15. y = 3 x2 + 1 17. v = 5 cm>s; s = 22 cm 2 2 3 19. v L 2.83 cm>s; s L 12.6 cm 21. 144 pies 23. v = 32.24 pies>s; s = 1198.54 pies 27. Luna; L 1.470 mi>s; Venus: L 6.257 mi>s; Júpiter: L 36.812 mi>s; Sol: L 382.908 mi>s 23. y 25. 30 y 15 29. 2.2 pies/s2 31. 5500 m 33. (a) y (b) 36 mi/h; 40 (c) 0.9 mi>min2 30 mi/hr. 20 –5 mínimo 5 x punto de inflexión –5 global mínimo 10 x 10 global 1 2 3 4 5 6 7x min 35. (a) dV = C1 2V V102 = 1600, V1402 = 0; 27. y 29. y dt , 18 10 y = 3x 10 (b) V = 41001 - 20t + 80022; (c) 900 cm3 37. (a) v1t2 = e - 32t para 0 … t 6 1 –5 5x - 321t para 1 6 t … 2.5 - 12 + 24 x=0 –10 (b) t L 0.66, 1.75 s −3 3 x puntos −2 mínimo 3.10 Revisión del capítulo de inflexión global Examen de conceptos 1. Verdadero 3. Verdadero 5. Verdadero 7. Verdadero 31. y 33. y 9. Verdadero 11. Falso 13. Verdadero 15. Verdadero máximo 2 5 17. Verdadero 25. Verdadero 19. Falso 21. Falso 23. Falso global 33. Verdadero 27. Verdadero 29. Verdadero 31. Falso 41. Verdadero 35. Verdadero 37. Falso 39. Verdadero –π πx – π πx 43. Verdadero 45. Falso 47. Verdadero puntos de 2 2 inflexión mínimo global mínimo –2 Problemas de examen global 1. Puntos críticos: 0, 1, 4; valor mínimo f (1) = -1; valor máximo −5 f (4) = 8. 3. Puntos críticos: - 2, - 12; valor mínimo f1 - 22 = 14; valor máximo 1 f A - 2 B = 4 y y 2 máximos 5 5. Puntos críticos: - 12, 0, 1; valor mínimo f (0) = 0; valor máximo 35. 37. –5 f(1) = 1. globales –5 puntos de 7. Puntos críticos: -2, 0, 1, 3; valor mínimo f (1) = -1; valor máximo inflexión f (3) = 135 –π puntos de mínimo π x 5x inflexión local 9. Puntos críticos: -1, 0, 2, 3; valor mínimo f (2) = -9; valor máximo f (3) = 88 p4 , p2 , 43p; 4p 3 11. Puntos críticos: valor mínimo f A B L - 0.87; valor –2 mínimo máximo f A p B = 1 global 2

Respuestas a problemas con número impar A-25 39. y 21. 2640 23. 4n3 - 3n2 - n 5 1 6 2 27. (a) 1 - A B 10; (b) 211 - 2 33. x = 55/7 L 7.86; s2 L 12.41 37. c = x 39. 715 41. S = m1m + 1213n - m + 12 43. 7 45. 9 47. 23 2 2 8 6 −π π x 49. A = 6 51. A = 1243 216 41. 11.18 pies 43. r = 4 23 2, h = 8 23 2 yy 48 45. (a) c = ; 23 (b) No se aplica, F ¿(0) no existe y 10 y 3 –2 3x –1 –5 5 x 4x –10 −3 3x −3 (c) c = 1 + 22 53. 5 55. 4 57. 1 59. 2 1 ft 2 4 2 y 3 63. (a) 1325; (b) 21; (c) 39 65. (a) 4; (b) 145; (c) 10.5; (d) 102.4 Conjunto de problemas 4.2 3 1. 5.625 3. 15.6875 5. 2.625 7. x3 dx L1 1 x2 9. dx 11. 4 13. 3p - 3 15. 35 L-1 1 +x 2 17. 27 19. 1 + p 21. 1 pA2 23. 2 25. 3 2 2 4 2 15 0 3x 27. 40, 80, 120, 160, 200, 240 29. 20, 80, 160, 240, 320, 400 47. y 31. (a) - 3; (b) 19; (c) 3; (d) 2; (e) 9; (f) 0; 5 (g) 1; (h) 2 35. Izquierda: 5.24; Derecha: 6.84; Punto medio: 5.98 37. Izquierda: 0.8638; Derecha: 0.8178; Punto medio: 0.8418 –1 4 x Conjunto de problemas 4.3 1. A1x2 = 2x –5 y 49. 0.281785 51. 0.281785 53. 1 x4 - x3 + 2x3>2 + C 8 4 6 55. 1 y3 + 9 cos y - 26 + C 57. 13612z2 - 324>3 + C 3 y 4 59. 1 tan313x2 + 6x2 + C 61. 2351t5 + 525>3 + C 2 18 63. 2 2x3 + 9 + C 65. -1 122 + C 1 2 3 4 5x 3 212y - 3. A1x2 = 121x - 121 - 1 + x2, x 7 1 67. 25412y3 + 3y2 + 6y24>5 + C 69. y = 2 2x + 1 + 14 y 4 71. y = 3112t - 123>2 - 1 73. y = 23x2 - 1 x4 + 9 4 3 75. 7 s; - 176 ft>s 2 Problemas de repaso e introducción del capítulo 4 1 1. 23 a2 3. 5 a2 cot 36° 5. 3.6 # 5.8 + 1 p11.822 L 25.97 –1 0 1 2 3 4 x 4 4 2 5. A1x2 = ax2/2 7. 3.5 9. 1 x2 + x 11. 6 y y = ax2/2 2 Conjunto de problemas 4.1 41 100 1 1. 15 3. 481 5. 85 7. 3 9. a i 11. a i 280 2 50 i=1 i=1 13. a a2i-1 15. 90 17. - 10 19. 14,950 x i=1

A-26 Respuestas a problemas con número impar 2x si 0 … x … 1 49. 1 51. 2 53. 1x/2 55. Verdadero 57. Falso 2 + 1x - 12 si 1 6 x … 2 2 7. A1x2 = e 3 + 21x - 22 si 2 6 x … 3 0…t…2 5 + 1x - 32 si 3 6 x … 4 59. Verdadero t72 etc. t2/2, 61. s1t2 = e - 4 + 4t - t2/2, t = 4 + 2 22 L 6.83 y Conjunto de problemas 4.4 6 1. 4 3. 15 5. 3 7. 16 9. 1783 11. 1 13. 22 4 4 3 96 5 2 15. 9213x + 223/2 + C 17. 1 sen13x + 22 + C 3 19. - 1 cos16x - 72 + C 21. 311x2 + 423/2 + C 6 1 2 3 4x 23. - 1701x2 + 32-5/7 + C 25. - 1 cos1x2 + 42 + C 2 9. 6 11. 14 13. - 31 15. 23 17. 2x 27. - cos 2x2 + 4 + C 29. 1 sen[1x3 + 529] + C 19. 2x2 + 1x 21. - 1x - 22 cot 2x 23. 2x sen1x22 27 2x5 x2 31. 31[sen1x2 + 42]3/2 + C 33. - 1 cos101x3 + 52 + C 25. 1 + x4 + 1 + x2 30 27. f (x) es creciente en [0, q) y cóncava hacia arriba en (0, q). 35. 2047 37. 4 39. 122 41. 0 43. 1 45. 9 11 5 9 3 2 47. 1 49. sen 3 51. 1 53. 1 55. 1 - cos 1 64 3 p p 3p 5p d , Á 29. f (x) es creciente en c 0, d, c , 2 y cóncava hacia arri- 1 - cos41 2 57. 8 2 ba en (p, 2p), (3p, 4p), . . . 59. (a) positiva, (b) negativa, (c) negativa, (d) positiva 31. f (x) es creciente en (0, q) y nunca es cóncava hacia arriba. 61. 50 galones; 20 horas 63. 86 galones 65. 134 69. 9 71. 2 33. 10; 35. 4; Conjunto de problemas 4.5 y y 1. 40 3. 1 5. 17 7. 0 9. 0 11. 609 4 3 3 6 8 2 2 1 13. 8 a - cos 2p2 + cos 2p4 b 15. 115 17. 239 p 81 3 1234 1234 x x 19. c = 1 21. c = 0 23. c = 221 + 3 25. c = 5 27. 1A + B2/2 6 2 37. (a) Mínimos locales en 0, L3.8, L5.8, L7.9, L9.9, 10; máximos lo- 29. L1250p 31. L3.2 cales en L3.1, L5.0, L7.1, L9.0 (b) G(0) = 0 es mínimo global, G(9) es máximo global yy (c) G es cóncava hacia abajo en L(0.7, 1.5), (2.5, 3.5), (4.5, 5.5), (6.5, 7.5), (8.5, 9.5) 1000 2 (d) y 20 15 500 1 π 2π x –1 10 1x 5 33. L 25 35. 0 37. 0 39. 2p 41. 8 43. 1 3 2 2 4 6 8 10 x -a b 39. (a) 0 (b) 1 x5 + x + C (c) 1 x5 + x (d) 6 45. Par: f1x2 dx = f1x2 dx; 5 5 5 L-b La 43. Cota inferior 20; 45. Cota inferior 658; -a b cota superior 276 cota superior 20 Impar; f1x2 dx = - f1x2 dx y y L-b La 80 6 47. 8 49. 2 51. 2 60 4 57. (a) Par; (b) 2p 40 2 (c) Valor de la integral Intervalo 20 C p D 0, 2 0.46 2 4x 1234 x C - p2 , p D 0.92 2 - 0.46 47. Cota inferior 20p; cota superior 101 p C 0, 3p D - 0.92 5 2 0 y C - 32p, 3p D 0 5 2 - 0.44 4 - 0.44 3 [0, 2p] 2 1 C p6 , 13p D 6 2π 4π 6π 8π x C p6 , 4p D 3 C 136p, 10p D 3

Respuestas a problemas con número impar A-27 Conjunto de problemas 4.6 Problemas de repaso e introducción del capítulo 5 1. 0.7877, 0.5654, 0.6766, 0.6671, 2 1 3. 23 4 - 1 5. 210 7. 1.6p 3 1. 4 51 16 3. 1.6847, 2.0382, 1.8615, 1.8755, 4 22 11. 10 13. 15 3 9. [p1r22 - r122] ¢x 5. 3.4966, 7.4966, 5.4966, 5.2580, 5.25 7. Trap. Parábola Conjunto de problemas 5.1 SRI SRD SRM 0.4728 0.4637 n=4 0.4659 0.4636 1. 6 3. 40 5. 9 7. 253 9. 9 n=8 0.4642 0.4636 3 2 12 2 n = 16 0.5728 0.3728 0.4590 0.5159 0.4159 0.4625 11. 6 13. 24 0.4892 0.4392 0.4634 y y 4 1 Δx −5 5 x 9. SRI SRD SRM Trap. Parábola 3 − 1 x2 3 n=4 2.6675 3.2856 2.9580 n=8 2.8080 3.1171 2.9486 2.9765 2.9579 −(x − 4)(x + 2) n = 16 2.8818 3.0363 2.9556 2.9625 2.9579 2.9573 2.9591 −1 4x −1 −9 11. 12, 1.1007 13. 8, 4.6637 15. 6, 1.0989 19. menor 15. 17 Δx 6 21. mayor 25. LRS 6 MRS 6 Parábola 6 Trap 6 RRS 17. 3 23 2 27. 4570 pies2 29. 1,074,585,600 pies3 y 31. Utilizando la suma de Riemann con puntos de la derecha L 13,740 2 y galones 2 Δx ͌3 x 4.7 Revisión del capítulo −1 3x −2 2x −͌3 x Examen de conceptos −2 − 1 (x2 − 7) Δx 4 Δx −2 1. Verdadero 3. Verdadero 5. Falso 7. Verdadero 9. Verdadero 11. Verdadero 13. Verdadero 15. Verdadero 13 213 21. 1 17. Verdadero 19. Falso 21. Verdadero 23. Verdadero 19. 6 3 25. Falso 27. Falso 29. Falso 31. Verdadero 33. Falso 35. Verdadero 37. Falso 39. Verdadero 41. Verdadero y 43. Verdadero 45. Falso 8 Problemas de examen y 3 1. 5 3. 50 - 26 + p3 - 9 cos 1 Δx 4 3 p 3 x − (x − 3)(x − 1) 5. 1 C - 15 A - 125 + 23 5B D 7. 1 tan313p2 + 6p2 −2 3 x 16 18 9. 46.9 11. - 1 cos1x2 + 2x + 32 + C −3 7x −x2 − (x2 − 2x) 2 −2 Δy −2 Δx 7 13. 4 256 1 3 216 23. 25. y y y 5 9 8y − y2 1 (−6y2 + 4y) − (2 − 3y) –1 1 2 3 4 x Δy –5 −2−1 18 x 27. 4 0 1x 15. 5 17. 39 19. 1870 29. 22 6 4 50 y y 21. (a) 78 1 ; 5 10 (b) a nx2n a n n=1 n=2 23. (a) - 2; (b) - 4; (c) 6; (d) - 12; (e) - 2 Δy −5 5x 25. (a) - 8; (b) 8; (c) 0; (d) - 16; (e) - 2 (f) - 5 −5 5 x −10 27. c = - 27 (3 − y2) − 2y2 29. (a) sen2 x; (b) f1x + 12 - f1x2 −5 (c) - 1 x dz + 1 f1x2; x x2 x f1z2 (d) f1t2 dt; 31. 130 pies; 194 pies 33. 6 s; 2 + 2 22 s L0 L0 35. Área 1A2 = 9; A1B2 = 367; A1C2 = 367; A1D2 = 434; A1A + B + C + D2 = 36 (e) g¿1g1x22g¿1x2; (f) - f1x2 33. 0.2043 35. 372 37. MRS 6 Trap 6 LRS

A-28 Respuestas a problemas con número impar Conjunto de problemas 5.2 5. (a), (b) y (c) ¢V L 2p15x1>2 - x3>22¢x 3 1. 206p 0 Δx 5 15 ͌x (d) 2p 15x1>2 - x3>22 dx 3. (a) 25165p; (b) 8p 5−x L0 5. 1024 7. p 6 x 40 25 5p 4 (e) p 3 yy –3 92 7. (a), (b)2 y (c) ¢V L 2p A 1 x4 + x2 B ¢x; 4 Δx x2 Δx 1 1 π x (d) 2p A 1 x4 + x2 B dx 7x L0 4 −3 −1 Δx 5x 1 x3 + x (e) 23p 4 30 9. 100p 11. 243p 3 5 y y x 2x 8 5 y2 Δx Δy 9. (a), (b) 2 y (c) ¢V L 2py3¢y; ͌9 − x2 −1 9 x y2 1 Δy (d) 2p y3 dy y L0 p −5 5x (e) 2 −2 Δy −5 13. 32p 15. 6561p 2x y 4 5 y y3/2 2͌y 10 11. (a), (b) y (c) ¢V L 2p12y2 - y32¢y 5 2 Δy (d) 2p 12y2 - y32 dy; L0 8p y2 (e) 3 2−y Δy 5 x 30 x 4 ab2p 512p 2p 128 2 5x 3 3 3 3 3 17. 19. 21. 23. 25. 2 27. 29. 2pr2L - 16 r3 31. pr21L1 + L22 - 8 r3 b 3 3 13. (a) p [f1x22 - g1x22] dx; 33. (a) 103254p; (b) 704p La 5 b 35. 2p + 16 37. 2 r3 tan u 3 3 (b) 2p x[f1x2 - g1x2] dx; La 39. (a) 1 pr2h; (b) 22 r3 3 12 b 41. 2 pr3 (c) 2p 1x - a2[f1x2 - g1x2] dx; 3 La Conjunto de problemas 5.3 b 1. (a), (b) y (c) ¢V L 2p¢x; (d) 2p 1b - x2[f1x2 - g1x2] dx La 2 4 (d) 2p dx; (e) 6p 15. y 31 L1 1 (a) L1 x3 dx; Δx 2p 31 (b) L1 x2 dx; 1 x 5x 31 2 x (c) p a x6 + x3 b dx; L1 3 3. (a), (b) y (c) ¢V L 2px3>2¢x; 4 1 4 5x (d) 2p a x3 - x2 b dx 3 Δx L1 ͌x (d) 2p x3>2 dx; L0 x 36 23 64p 19. 43p1b2 - a223>2 21. pA 22 - 1B (e) p 17. 5 5 23. (a) 21p5 ; (b) p6 ; p (c) 60 4x 25. 1 rS 3

Respuestas a problemas con número impar A-29 Conjunto de problemas 5.4 (e) 1 1. 1 A 181 2181 - 13 213 B 3. 9 5. 595 0.5 54 144 7. 1 A 2 22 - 1B 9. 4p −1 −0.5 0.5 1 3 −0.5 (f) −1 yy 5x 1 1 0.5 –5 −1 −0.5 0.5 1 −0.5 1 x –10 −1 2 37. n = 1: L L 1.41; n = 2: L L 1.48; n = 4: L L 1.60 11. 2 25 13. 21 + 4t2 dt L 4.6468 n = 10: L L 1.75; n = 100: L L 1.95; n = 10,000: L L 2 L0 1 p>2 0.8 0.6 15. 2cos2 t + 4 sen2 2t dt L 2.3241 0.4 L0 0.2 17. 6a y a 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 –a a x Conjunto de problemas 5.5 1. 1.5 lbs-pie 3. 0.012 joules 7. 18 lbs-pie 9. 52,000 lbs-pie 11. 76.128 lbs-pie 13. 125.664 lbs-pie 17. 2075.83 lbs-pulg. –a 19. 350,000 lbs-pie 21. 952.381 lbs-mi 23. 43,200 lbs-pie 19. 8a 25. 1684.8 libras 27. 1684.8 libras 29. 16.64 libras 21. (a) 2 A 4 22 - 1B; (b) 16 33. 74,880 libras 35. 3mh + 15m 37. 8475 - pie 5 4 lbs 32 p 23. 6237p 25. 248 22p>9 27. 27 A 10 210 - 1B Conjunto de problemas 5.6 29. 4pr2 33. (b) 64 pa2 1. 5 3. 21 5. My = 17, Mx = - 3; x = 1, y = - 3 3 21 5 17 35. (a) 3 9. x = 0, y = 4 11. x = 45, y = 2 5 7 −3 2 1 yy (b) 32 −2 −1 −1 12 3 −2 –2 2x 1 −3 –1 1 2x 1 15. x = 56, y = 0 0.5 13. x = 19952, y = 27 19 y 2 −3 −2 −1 12 3 y −0.5 5 −1 (c) 0 5 x –1 3x 10 5 −15 −10 −5 5 10 15 –5 –2 −5 17. m1R12 = 1 d, x1 = 23, y = 13, My1R12 = 1 d, Mx1R12 = 1 d; −10 2 3 6 −15 m1R22 = 2d, x2 = 2, y2 = 12, My1R22 = 4d, Mx1R22 = d. (d) 1 21. x = - 134, y = 1 23. x = 196, y = 31 25. 2p 14 16 5 0.5 27. El centroide es 4a unidades perpendiculares del centro del diá- 3p −1 −0.5 0.5 1 metro. A y = 34pa , x = 0 B d −0.5 29. (a) V = 2p 1K - y2w1y2 dy Lc −1

A-30 Respuestas a problemas con número impar 31. (a) 4pr3n sen p cos2 p 0, x60 2n 2n 0.8, 0…x61 33. F1x2 = e 0.9, 1…x62 35. x L 7.00 cm por arriba del centro del agujero; y L 0.669 cm a 0.95, 2…x63 1, xÚ3 la derecha del centro del agujero. Conjunto de problemas 5.7 1. (a) 0.1 (b) 0.35 F(x) 3. (a) 0.2 (b) 0 5. (a) 0.6 (b) 2.2 1.0 7. (a) 0.6 (b) 2 0.8 0.6 0, x 6 0 0.4 0.2 9. (a) 0.9 (b) 10 (c) F1x2 = c x>20, 0 … x … 20 1, x 7 20 0123 27 11. (a) 32 (b) 4 x60 x 0, (c) F1x2 = d 3 x2 - 1 x3, 0…x…8 64 256 1, x 7 8 35. (a) 1 1 (c) 2 para 0 … y …1 (d) 0.38625 (b) 12 1y + 122 13. (a) 0.6875 (b) 2.4 0, x 6 0 37. 2, 32 4 7 39. 7 F1x2 = d 1 x3 - 3 x4, 0…x…4 (c) 16 256 1 1, x74 5.8 Revisión del capítulo 15. (a) 2 (b) 2 x60 Examen de conceptos 0, 1. Falso 3. Falso 5. Verdadero 7. Falso 9. Falso 11. Falso 13. Verdadero 15. Verdadero 17. Verdadero (c) F1x2 = d 1 - 1 cos px 0…x…4 19. Verdadero 21. Verdadero 23. Verdadero 2 2 4, Problemas de examen 1, x 7 4 1. 1 3. p 5. 5p 0, x 6 1 6 6 6 3p0; V1S22 p6 ; V1S32 71p0 ; V1S42 5p 1 4 4x - 4, 7. V1S12 = = = = 6 17. (a) 3 3 3x (b) ln 4 (c) F1x2 = d 1…x…4 9. 205,837 lbs-pie, 11. (a), (b) 32 13. 2048p x74 3 15 1, 53 17. 36 b 15. 6 a+b k = 6 19. p [f21x2 - g21x2] dx 21. 2 23. 125 La b 11 21. My = d x[f1x2 - g1x2] dx 25. (a) 4 (b) 8 (c) 2 La b 0, si x 6 0 Mx = d La [f21x2 - g21x2] dx x2>8, si 0 … x … 2 2 (d) F1x2 = d - x2>8 + x - 1, si 2 6 x … 4 b 1, si x 7 4 23. 2p f1x2 21 + [f¿1x2]2 dx La 0, si y 6 0 b si 0 … y … 120 (e) F1y2 = d y2>28800, si 120 6 y … 240 + 2p g1x2 21 + [g¿1x2]2 dx - y2>28800 si y 7 240 La + y>60 - 1, + p[f21a2 - g21a2] + p[f21b2 - g21b2] 1, 3 (b) 6 - x para 0 … x … 6 25. (a) 4 18 27. (a) L95,802,719 (b) L 0.884 (c) 0.2625 (c) 2 (d) Para 0 … x … 0.6, F1x2 L 6.3868 * 106x15 Problemas de repaso e introducción del capítulo 6 - 3.2847 * 107x14 + 7.4284 * 107x13 - 9.6569 * 107x12 1. -1 + C 3. - 100 + C 5. 0 2 + 7.9011 * 107x11 - 4.1718 * 107x10 + 1.3906 * 107x9 x x0.01 7. x - 2.6819 * 106x8 + 2.2987 * 105x7 9. (a) 2; (b) 2.48832; (c) 2.593742; (d) 2.691588; (e) F(25.4y) en donde F es como en (d) 0, y60 (e) 2.704814 29. G1y2 = c 2y2 - 1, 0 … y … 22 11. (a) 2.25; (b) 2.593742; (c) 2.6533; (d) 2.70481; y 7 22 1, (e) 2.71152 g1y2 = y> 2y2 - 1, 0 … y … 22. 13. x = 12k + 1 = 12k + 5 15. x = 4k + 1 6 pox 6 p 4 p

Respuestas a problemas con número impar A-31 17. sen u = 2x2 - 1 cos u = 1 tan u = 2x2 - 1 Conjunto de problemas 6.2 ; ; xx 1. f-1122 = 4 3. No tiene inversa 5. f-1122 L - 1.3 cot u = 1 ; sec u = x; csc u = x 15. f-11x2 = x - 1 17. f-11x2 = x2 - 1, x Ú 0 2x2 - 1 2x2 - 1 19. f-11x2 = 3 - 1 21. f-11x2 = - 1x x 2 19. sen u = 1 x1 ; cos u = ; tan u = 21 + x2 21 + x2 x 1 + x 23. f-11x2 = 1 + 23 x 25. f-11x2 = 1 - x cot u = x; sec u = 21 + x2 csc u = 21 + x2 2 - x 1>3 4ph3 V ; x - b x 27. f-11x2 = a 29. V = 27 ; h = 3A3 4p -2 1 21. y = x2 - 2 31. 1 - q , - 0.25] o [ - 0.25, q 2; entonces Conjunto de problemas 6.1 f-11x2 = 1 A - 1 - 28x + 33 B o f-11x2 = 1 A - 1 + 28x + 33 B 4 4 1. (a) 1.792; (b) 0.406; (c) 4.396; (d) 0.3465; 33. 1f-12¿132 L 1 35. 1f-12¿132 L - 1 3 3 (e) -3.584; (f) 3.871 y 2x + 3 3 3 y 5 3. x2 + 3x + p 5. x - 4 7. x 5 9. 2x + 4x ln x + x31ln x22 1 13. 1 4 11. 243 3 −5 5 x 2x2 + 1 2 15. 1 ln ƒ 2x + 1ƒ + C 17. ln ƒ 3v2 + 9v ƒ + C 2 19. 1ln x22 + C 21. 110[ln1486 + p2 - ln p] 1 −5 x2 −2 −1 1234 x 23. 2 + x + ln ƒ x - 1 ƒ + C −1 25. x4 - 4x3 + 8x2 - 64x + 256 ln ƒ x + 4ƒ + C −2 4 3 1x + 122 x21x - 22 27. ln x 29. ln x + 2 x3 + 33x2 + 8 37. 1 39. 1 31. - 21x3 - 423>2 16 4 2 1 43. (a) 1 (b) (c) 10x2 + 219x - 118 27 33. - 22 61x 4221x 1321>212x 124>3 3 - + + 45. 5 35. y 37. y Conjunto de problemas 6.3 5 5 1. (a) 20.086; (b) 8.1662; (c) 4.1; (d) 1.20 11. ex + 2 3. x3 5. cos x 7. 3 ln x - 3x 9. 3x2 −5 5 x −5 5x e2x + 2 15. 2x 17. x2ex1x + 32 −5 13. −5 2 2x + 2 y 39. y 19. x 3ex2 + x e2x2 21. - 1 ƒxƒ x 23. (a) y (b) y 5 5 − π πx −5 5 x −5 5 x 2 2 −5 −5 −1 25. Dominio = (- q, q); creciente en (- q, q); cóncava hacia arriba 41. Mínimo f (1) = -1 43. lím ln x = q en (- q, q); no hay valores extremos ni puntos de inflexión. 45. x = 3 47. ln 2 x:q y 49. (a) 1 (b) 3 8 51. ln 23 L 0.5493 53. p ln 4 L 4.355 4 57. (a) Máximos: A p2 , 0.916 B , A 52p, 0.916 B ; mínimo: A 32p, - 0.693 B ; (b) 13.871, -0.1822, 15.553, -0.1832; (c) 4.042 59. 0.35 (a) 0.139; (b) 0.260 0.3 0.25 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.15 0.1 0.05 –2 2 x

A-32 Respuestas a problemas con número impar 35. Dominio = (- q, q); creciente en (- q, q); cóncava hacia arriba en (- q, 0) y cóncava hacia abajo en (0, q); punto de inflexión en 27. Dominio = (- q, q); creciente en (- q, 1) y decreciente en (0, 0); no tiene valores extremos (1, q); máximo en (1, 1>e); cóncava hacia arriba en (2, q) y cóncava hacia abajo en (- q, 2); punto de inflexión en (2, 2>e2) y y 4 3 −3 7 x −3 3 x −6 29. Dominio = (- q, q); creciente en (0, q) y decreciente en −3 (- q, 0); mínimo en (0, 0); cóncava hacia arriba en (-1, 1) y cóncava hacia abajo en (- q, -1) ´ (1, q); puntos de inflexión en (-1, ln 2) 37. 1 e3x + 1 + C 39. 1 ex2 + 6x + C 41. e-1>x + C y (1, ln 2) 3 2 y 43. 1 e31e2 - 12 45. 4p 3-e 2 47. 2e 5 49. (a) 3,628,800; 3,598,696; (b) 8.31 * 1081 −5 5 x 51. 221ep - 12 53. (a) 0; 0 (b) Máximo: A e, 1 B ; mínimo: A 1e, - 1 B (c) 1e 2 2 55. (a) 3.11; (b) 0.910 57. 4.2614 59. Se comporta como –x; se comporta como 2 ln x Conjunto de problemas 6.4 −5 1. 3 3. 8 5. 9 7. 1 9. 1.544 11. 0.1747 31. Dominio = (- q, q); creciente en (- q, q); cóncava hacia arriba #13. 2 62x ln 6 19. 1 en (- q, q) no hay valores extremos ni puntos de inflexión. 2x2 - 1 +C ln 3 21. y 4.08746 15. 1.9307 17. 23. 3z c 1 + ln1z + 52 ln 3 d ln 2 5 z+5 40 27. 10x22x ln 10 + 20x19 25. ln 5 29. 1p + 12xp + 1p + 12x ln1p + 12 31. 1x2 + 12ln x a ln1x2 + 12 + 2x ln x b 33. sen 1 x x2 + 1 −5 5 x 35. Dominio = (- q, q); decreciente en (- q, q); cóncava hacia arriba en (- q, q); no tiene valores extremos ni puntos de inflexión. −5 33. Dominio = (- q, q); creciente en (- q, 2) y decreciente y 4 en (2, q); máximo en (2, 1); cóncava hacia arriba en A - q, 4 B- 22 ´ A4 + 22, qB y cóncava hacia abajo en 2 2 A4 - 22, 4 + 22 B ; puntos de inflexión en A4 - 22, 1 B 2 2 2 1e y A4 + 22, 1 B 2 1e y −3 9 1 0 5x −2 −1 37. Dominio = (- q, q); creciente en (0, q) y decreciente en (- q, 0); cóncava hacia arriba en (-1, 1) y cóncava hacia abajo

Respuestas a problemas con número impar A-33 en (- q, -1) ´ (1, q); mínimo en (0, 0); puntos de inflexión en 1 (b) e3; (c) e2; 1 (-1, 1) y (1, 1) 37. (a) ; (d) e2 e y 5 39. 15.25 millones 45. 75.25 años a partir de 2004 −5 5 x 47. (a) k = 0.0132 - 0.0001t (b) y¿ = 10.0132 - 0.0001t2y (c) y = 6.40.0132t - 0.00005t2 −5 (d) y 39. Dominio = (- q, q); creciente en (- q, q); cóncava hacia arriba en (- q, 0) y cóncava hacia abajo en (0, q); no hay valores extremos; 10 punto de inflexión en a 0, 1102-t2 dt b L 10, - 0.812 5 y 5 100 200 300 t −5 5 x (e) La población máxima ocurrirá cuando t = 132, que es el año 2136 (se toma como base a 2004). El modelo predice que la pobla- ción regresará al nivel de 2004 en el año 2268. 49. y Crecimiento exponencial 15 10 Crecimiento logístico 5 50 100 t −5 Crecimiento exponencial: 6.93 mil millones en 2010; 10.29 mil millo- nes en 2040; 19.92 mil millones en 2090; 41. log1>2 x = - log2 x Crecimiento logístico: 7.13 mil millones en 2010; 10.90 mil millones en 2040; 15.15 mil millones en 2090 43. E L 5.017 * 108 kW-h para la magnitud 7; Conjunto de problemas 6.6 E L 1.560 * 1010 kW-h para la magnitud 8 1. y = e-x1x + C2 3. y = a + C11 - x221>2 5. y = xex + Cx 7. y = 1 + Cx-1 45. r = 21>12 L 1.0595; frecuencia de C = 440 24 2 L 523.25 9. y = 1 + Ce-1f1x2 dx 11. y = x4 + 2x pasa por (1, 3). #47. Si y = A bx, entonces ln y = ln A + x ln b, por lo que la gráfica 13. y = e-x(1 – x-1) pasa por (1, 0) 15. 38.506 lb. #de ln y contra x será lineal. Si y = C xd, entonces ln y = ln C + d ln x, por lo que la gráfica de ln y contra ln x será lineal. y1t2 = 2160 - t2 - a 1 b160 - t23 49. f¿1x2 = x1x2212x ln x + x2 1800 g¿1x2 = xxx+x c ln x + 1ln x22 + 1 d 17. x 19. I1t2 = 10-611 - exp1 - 106t22 53. lím xx = 1; mínimo: 1e-1, e-1/e2 55. 20.2259 21. I1t2 = 0.12 sen 377t x:0+ 23. (a) 21.97 min (b) 26.67 min (c) c 7 7.7170 57. b L 25/2, C L 23/2 (d) 400e-0.04T + T = 150. 25. (a) 200.32 pies (b) 95 - 4T - 95e-0.05T = 0 Conjunto de problemas 6.5 1. y = 4e-6t 3. y = 2e0.0051t - 102 5. 56,569 7. 15.8 días 9. 4.64 millones; 4.79 millones; 6.17 millones; Conjunto de problemas 6.7 1. lím y1t2 = 12 y y122 L 10.5 105 millones t:q 11. 126,822 13. 7.43 g 15. tc L 201 años (2187) ts L 191 años (2177) 23. 8:45 pm 17. Hace 2950 años 19. 81.6ºF 21. 83.7ºC 25. (a) $401.71 (b) $402.15 (c) $402.19 (d) $402.19 27. (a) 11.58 años (b) 11.55 años 33. t = 100 ln 2 y (x) p 20 29. $133.6 mil millones 31. $1051.27 15 10 35. 5 y 20 –50 150 t 1 2 3x