[Purcell,Varberg,Rigdon]Calculo

A-34 Respuestas a problemas con número impar 13. Método de Euler yn xn 3. lím y1t2 = 0 y y122 L 6 0.0 0.0 0.0 t:q 0.2 0.04 y (x) 0.4 0.12 20 0.6 0.24 0.8 0.40 15 1.0 10 15. Método de Euler yn xn 5 1.0 1.0 1.2 12 3x 1.2 1.488 1.4 1.90464 5. La asíntota oblicua es y = x 1.6 2.51412 1.8 3.41921 y (x) 2.0 8 6 19. (a) y1x12 L 0 (b) y1x22 L 0.00099998 4 2 (c) y1x102 L 0.269097 21. (a) ¢y = 1 [f1x0, y02 + f1x1, yN 12] 2 2 4 6x #(c) xn = xn-1 + h −2 yN n = yn - 1 + h f1xn - 1, yn - 12 yn = yn - 1 + h + f1xn, yN n2] 2 [f1xn - 1, yn - 12 7. y = 1 ex>2 23. yn 2 xn y (x) 0.0 2.0 5 0.2 1.64 4 0.4 1.3448 3 0.6 1.10274 2 0.8 0.90424 1 1.0 0.74148 12 3x 25. yn xn 9. y = x + 1 + 3e-x. 0.0 0.0 0.004 0.2 0.024 0.4 0.076 0.6 0.176 0.8 0.340 1.0 y (x) 27. yn 5 xn 4 2.0 3 1.0 1.312 2 1.2 0.80609 1 1.4 0.46689 1.6 0.25698 1 2 3x 1.8 0.13568 2.0 Conjunto de problemas 6.8 1. p 3. - p 5. p 7. - p 9. 0.4567 11. 0.1115 4 3 3 6 11. xn Método de Euler yn 13. 0.9548 15. 2.038 17. 0.6259 19. u = sen-1 x 8 0.0 3.0 0.2 4.2 21. u = sen-1 5 23. u = tan-1 3 - tan-1 1 25. 1 27. 56 0.4 5.88 x x x 9 65 0.6 8.232 0.8 11.5248 33. (a) p2 ; (b) - p 1.0 16.1347 2 35. (a) p2 ; p (b) - 2 37. Las rectas tangentes se aproximan a la vertical. 39. 2 cos x 41. sec x 4x + sen x 43. 21 - 4x4

Respuestas a problemas con número impar A-35 45. x2 c xex + 3 tan-11ex2 d 31tan-1 x22 6.10 Revisión del capítulo 1 + e2x 47. 1 + x2 Examen de conceptos 3 311 + sen-1 x22 2 49. 51. 53. x[1 + 1ln x222] 1. Falso 3. Verdadero 5. Verdadero 7. Falso 9. Verdadero 11. Verdadero 13. Verdadero 15. Verdadero ƒ x ƒ 2x6 - 1 21 - x2 sen e2 - sen 1 17. Falso 19. Verdadero 21. Falso 23. Verdadero 59. 25. Falso 27. Falso 29. Falso 31. Verdadero 55. 1 sen 3x + C 57. 1 sen2 2x + C 33. Falso 35. Verdadero 37. Verdadero 39. Verdadero 3 4 2 41. Verdadero 43. Verdadero 45. Falso 47. Verdadero pp 65. 1 arctan 2x + C 61. 4 63. 2 2 67. 1 sen-1 a 23 x b + C 69. 1 tan-1 a x - 3b + C Problemas de examen 32 2 2 4 3. 12x - 42ex2 - 4x 5. sec2 x sech2 1x 1 sec-1 a 2 ƒ x ƒ b 1. x 7. 33 1x 71. + C 15e5x 1 73. u = tan-1 7.6 - tan-1 2.6; si b = 12.9, u L 0.3335 9. ƒ sec x ƒ 11. 13. e5x + 1 bb 2e2x - 1 77. pb2 - b2 cos-1 b - 2a2 sen-1 b + 1 b 24a2 - b2 2a 2a 2 e1x sen e1x 17. - 1 19. - csc 1x cot 1x 15. - 2x - x2 1x 2 1x 79. 3 21. 20 sec 5x12 sec2 5x - 12 23. x1 +x A ln x + 1 + 1 B x 2.5 ln1ex+3 + 12 2 25. 1 e3x - 1 + C 27. - cos ex + C 29. e + C 1.5 3 1 31. 2 sen-1 2x + C 33. - tan-11ln x2 + C 0.5 35. Creciente: [ - p2 , p4 ]; decreciente: [p4 , p2 ]; cóncava hacia arriba: −1 −0.5 0.5 1 1 - p2 , - p4 2; cóncava hacia abajo: 1 - p4 , p2 2; punto de inflexión: 1 - p4 , 02; p mínimo global; 1 - p2 , - 12 máximo global: A p4 , 22 B - arcsen x = arccos x 2 1 87. 4.9 pies 89. 13 rad>s 91. 1 rev/min y 2 93. 3.96 * 10-4 rad>s Conjunto de problemas 6.9 13. 2 senh x cosh x = senh 2x − π πx 2 2 15. 10 senh x cosh x = 5 senh 2x 17. 3 senh13x + 12 19. coth x 21. x2 senh x + 2x cosh x −2 23. cosh 3x cosh x + 3 senh 3x senh x 25. 2 tanh x cosh 2x + senh 2x sech2 x 37. (b) 1 (c) 1 15 2x 1 27. 29. - 21x2 - 3x + 22 39. yn xn 2x4 + 1 31. 3x + cosh-1 3x 1 1.0 2.0 29x2 - 1 33. 1.2 2.4 1.4 2.976 2x2 - 1 cosh-1 x 1.6 3.80928 20 1.8 5.02825 35. - csc2 x sech21cot x2 37. 9 2.0 6.83842 39. 1 senh1px2 + 52 + C 41. 2 cosh12z1>42 + C 2p 43. cosh1sen x2 + C 45. 41[ln1senh x22]2 + C 47. 1 4 p p p 49. 2 + 4 senh 2 51. p + 2 senh 2 55. (a) y (b) 42,200 pies3; 41. y = 1 43. y = Cx-1 45. y = 1 + 2e-x2 47. y = - ex + Ce2x 13 (c) 5640 pies2 Problemas de repaso e introducción del capítulo 7 −24 24 x 1. - 1 cos 2x + C 3. - 1 cos x2 + C 5. ln ƒ sec t ƒ + C 2 2 7. 131x2 + 223>2 + C 9. ln x 11. x2 sen x 61. y y = senh x y 13. sen2 x = 1 - cos 2x 15. cos4 x = a1 + cos 2x b 2 2 2 3 y = lnAx + 2x2 + 1B 2 17. cos 3x cos 5x = cos 8x + cos 2x 19. ƒ a ƒ cos t 1 son funciones inversas. 2 21. ƒ a ƒ # ƒ tan t ƒ 2x - 1 5x + 3 23. x11 - x2 25. x1x + 121x - 32 −3 −2 −1 1 2 3x −1 Conjunto de problemas 7.1 −2 1. 161x - 226 + C 3. 1302 5. 1 tan-1 A x B + C −3 2 2 7. 1 ln1x2 + 42 + C 9. 214 + z223>2 + C 2

A-36 Respuestas a problemas con número impar 1 tan2 z + C 13. - 2 cos 1t + C tan-1 22 Conjunto de problemas 7.3 2 2 11. 15. 1. 1 x - 1 sen 2x + C 3. -cos x + 1 cos3 x + C 5. 8 2 4 3 15 3 x2 1 4x22 17. 2 - x + ln ƒ x + 1ƒ + C 19. - 2 cos1ln + C 7. - 1 cos3 4x + 1 cos5 4x - 1 cos7 4x + C 12 10 28 21. 6 sen-11ex2 + C 23. - 3 21 - e2x + C 25. 1/ln 3 9. - 1 csc 3u - 1 sen 3u + C 27. x - ln ƒ sen x ƒ + C 29. ln ƒ sec ex + tan ex ƒ + C 3 3 31. tan x + esen x + C 33. - 1 + C 11. 3 t - 1 sen 12t + 1 sen 24t + C sen1t3 128 384 3072 3 - 22 13. 1 cos y - 1 cos 9y + C 2 18 35. - 1 [cot1t3 - 22 + t3] + C 37. 1 etan-12t + C 15. 1 w - 1 sen 2w - 1 sen3 w + C 3 2 16 32 24 39. 1 sen-1 a 3y2 b + C 41. 1 cosh x3 + C 17. 1 C - x cos3 x + sen x - 1 sen3 x D + C 6 4 3 3 3 e3t 19. 1 tan3 x - tan x + x + C 21. 1 tan2 x + ln ƒ cos x ƒ + C 2 3 2 1 sen-1 1 tan-1 A 1 B 43. 3 a b + C 45. 4 4 23. 1 tan4 A u B - tan2 A u B - 2 ln ƒ cos u ƒ + C 2 2 2 2 47. 1 tan-1 a x + 1b + C 49. 1 tan-113x + 32 + C 25. - 1 tan-2 x + ln ƒ tan x ƒ + C 27. 1 sec4 x - 1 sec2 x + C 2 2 3 2 4 2 ƒ 22t ƒ 29. 0 para m Z n, ya que sen kp = 0 para todos los enteros k. 3 51. 1 ln ƒ 9x2 + 18x + 10 ƒ + C 53. 1 sec-1 a b + C 31. p4 + 5p2 18 3 3 2 55. ln1 22 + 12 57. p2 Conjunto de problemas 7.2 Conjunto de problemas 7.4 1. xex - ex + C 3. 1 te5t + p - 1 e5t + p + C 1. 251x + 125>2 - 231x + 123>2 + C 5 25 3. 22713t + 423>2 - 9813t + 421>2 + C 5. x sen x + cos x + C 7. 1t - 32 sen1t - 32 + cos1t - 32 + C 22 + e 1+e 9. 2 t1t + 123>2 - 1451t + 125>2 + C 11. x ln 3x - x + C 5. 2 22 - 2 - 2e ln a b 3 13. x arctan x - 1 ln11 + x22 + C 15. - ln x - 1 + C 7. 2 13t + 227>2 - 4 13t + 225>2 + C 2 x x 63 45 17. 291e3>2 + 22 19. 1 z4 ln z - 1 z4 +C 2 ln ` 2 - 24 - x2 ` 21. 4 16 p x t arctan A 1 B + 1 ln11 + t22 + C 23. + ln 2 9. + 24 - x2 + C t 2 2 23 25. 2 x31x3 + 423>2 - 4451x3 + 425>2 + C x - 22 - 1 sec-11 - 32 + 23 + p 9 11. + C 9 2 8 3 13. t4 4 2x2 + 4 27. - 3t421>2 + 1917 - 3t421>2 + C 617 15. - 2 21 - z2 - 3 sen-1 z + C z4 1 29. 414 - z42 + 4 ln ƒ 4 - z4 ƒ + C 17. ln ƒ 2x2 + 2x + 5 + x + 1 ƒ + C 31. x cosh x - senh x + C 19. 3 2x2 + 2x + 5 - 3 ln ƒ 2x2 + 2x + 5 + x + 1 ƒ + C 33. x + 10250 - 1 13x + 10251 + C 21. 9 sen-1 a x + 2b + x + 2 25 - 4x - x2 + C 13x 22950 2 3 2 150 35. x 2x - 1 2x + C 37. x2ex - 2xex + 2ex + C 23. sen-1 a x - 2 b + C ln 2 1ln 222 2 39. z ln2 z - 2z ln z + 2z + C 41. 1 et1sen t + cos t2 + C 25. ln ƒ x2 + 2x + 2 ƒ - tan-11x + 12 + C 2 43. x2 sen x + 2x cos x - 2 sen x + C 27. Ap 1 + p - tan-1 1 B 29. 1 ln ƒ x2 + 9ƒ + C x 4 2 2 45. 2 [sen1ln x2 - cos1ln x2] + C 16 10 47. x ln3 x - 3x ln2 x + 6x ln x - 6x + C 65. 1 31. 2 ln ` 2 - 24 - x2 ` + 24 - x2 + C x 9 67. 9 - e3 L 8.552 dy 2a2 - x2 a ln ` a - 2a2 - x2 ` dx x ,y x y 35. = - = - 2a2 - x2 - 5 Conjunto de problemas 7.5 1. ln ƒ x ƒ - ln ƒ x + 1 ƒ + C 3. - 3 ln ƒ x + 1ƒ + 3 ln ƒ x - 1ƒ + C 2 2 10 x 5. 3 ln ƒ x + 4 ƒ - 2 ln ƒ x - 1 ƒ + C e2 7. 4 ln ƒ x + 5 ƒ - ln ƒ x - 2 ƒ + C 69. 22p -1 71. x = + 1 = e - 2 9. 2 ln ƒ 2x - 1 ƒ - ln ƒ x + 5 ƒ + C 4 4 ,y 4 73. (a) 1x3 - 2x2ex - 13x2 - 22ex + 6xex - 6ex + C 11. 5 ln ƒ 3x - 2ƒ + 4 ln ƒ x + 1ƒ + C 3 (b) 1x2 - 3x + 121 - cos x2 - 12x - 321 - sen x2 + 2 cos x + C 13. 2 ln ƒ x ƒ - ln ƒ x + 1 ƒ + ln ƒ x - 2 ƒ + C 87. ex13x4 - 12x3 + 38x2 - 76x + 762 15. ln ƒ 2x - 1 ƒ - ln ƒ x + 3 ƒ + 3 ln ƒ x - 2 ƒ + C

Respuestas a problemas con número impar A-37 17. 1 x2 - x + 8 ln ƒ x + 2ƒ + 1 ln ƒ x - 1ƒ + C (b) 1 c sen x14 sen2 x - 92 29 - 2 sen2 x 2 3 3 16 19. 1 x2 - 2 ln ƒ x ƒ + 7 ln ƒ x + 2ƒ + 7 ln ƒ x - 2ƒ + C 2 + 81 sen-1 a 22 sen x b d + C 21. ln ƒ x - 3ƒ - x 4 3 + C 22 3 - 23. -x 3 1 + 1 122 + C 19. (a) 23 ln ƒ 23x + 25 + 3x2 ƒ + C + 21x + 3 25. 2 ln ƒ x ƒ + ln ƒ x - 4ƒ + x 1 4 + C (b) 23 ln ƒ 23x2 + 25 + 3x4 ƒ + C - 6 27. -2 ln ƒ x ƒ + 1 tan-1 A x B + 2 ln ƒ x2 + 4ƒ + C 21. (a) ln ƒ 1t + 12 + 2t2 + 2t - 3 ƒ + C 2 2 29. -2 ln ƒ 2x - 1ƒ + 3 ln ƒ x2 + 9ƒ + C 3b 2 2 (b) ln ` at + + 2t2 + 3t - 5` + C - 2 ln ƒ x 1 31. 125 - 1ƒ - 251x - 12 2 ln ƒ x 1 23. (a) 2 13y - 102 23y + 5 + C 125 251x + 27 + + 4ƒ - 42 + C (b) 2 13 sen t - 102 23 sen t + 5 + C 27 33. sen t - 50 ln ƒ sen t + 3ƒ - 68 tan-11sen t - 22 25. 1 1senh 6t - 6t2 + C 13 13 12 - 41 ln ƒ sen2 t - 4 sen t + 5ƒ + C 27. 1 11 - cos t2 22 cos t + 1 + C 26 3 35. 1 ln ƒ x2 + 1ƒ + 5 12 + C 29. - 2 2cos t + 1 c cos2 t - 4 1cos t - 22 d + C 2 21x2 + 5 3 37. 3 tan-1 x + 2x - 5 + C 31. p - 2 L 1.14159 33. 231p L 0.35435 2 2 21x2 + 42 2048 39. 1 ln a 22 + 1b + 1 tan-1 1 + 1 35. 0.11083 37. 1.10577 39. 4 ln 2 + 2 L 4.77259 8 22 - 1 2 22 6 22 41. e - 1 L 1.71828 43. e - 1 L 1.71828 45. c L 0.59601 47. c L 0.16668 49. c L 9.2365 et 51. x = 8 12; c = 1 41. y1t2 = 1 + et ; y132 L 0.953 31c + 3 43. y1t2 = 8000e2.4t y132 L 7958.4 53. x = u cu + 3 donde u = - 18e-c>3; c L 5.7114 7 + e2.4t; + 18 LeKLt 55. (a) 2 e-x2 sen x (b) 45. y1t2 = 2p x L - y0 b a + eKLt 57. (a) erf(x) es creciente en (0, q). y0 (b) erf(x) no es cóncava hacia arriba en (0, q). 47. Si y0 6 L, entonces y ¿(0) = Ky0(L – y0) 7 0 y la población al ini- 59. (a) C(x) es creciente en 10, 12 ´ 1 23, 22. cio está creciendo. (b) C(x) es cóncava hacia arriba en 1 22, 22. 16 49. (a) y = 1 + 7e-A510 ln37Bt (b) y(90) L 6.34 mil millones 7.7 Revisión del capítulo (c) La población será de 9 mil millones en 2055. Examen de conceptos ab11 - e1a - b2kt2 51. (a) x1t2 = b - ae1a-b2kt (c) 1.65 gramos 1. Verdadero 3. Falso 5. Verdadero 7. Verdadero 9. Verdadero 11. Falso 13. Verdadero 15. Verdadero x1t2 = akt 1b 17. Falso 19. Verdadero 21. Falso 23. Verdadero (d) aa 25. Falso 27. Verdadero akt + ACe1A + B2kt - B Problemas de examen 53. y1t2 = 1 + Ce1A + B2kt 1. 2 3. e - 1 5. 1 y3 - 1 y2 + 2y - 2 ln ƒ 1 + yƒ + C 3 2 Conjunto de problemas 7.6 7. 1 ln ƒ y2 - 4y + 2ƒ + C 9. et + 2 ln ƒ et - 2 ƒ + C 2 1. - 1 e-5x115 + x2 + C 3. 21[ln 2]2 11. 1 sen-1 a x - 1 b + C 13. 1 ln ` y2 + 2 + y` + C 5 22 3 23 3 5. 1 [24x + 8 sen 4x + sen 8x] + C A 64 15. - ln ƒ ln ƒ cos x ƒ ƒ + C 17. cosh x + C 1 2 3 2 7. 2 A ln 3 - ln 5 B L 0.0527 9. 15 C 77 27 + 8 22 D L 28.67 19. - x cot x - 1 x2 + ln ƒ sen x ƒ + C 21. 1 [ln1t22]2 + C 2 4 11. 0 123΋2 23. - 3 et>319 cos 3t - sen 3t2 + C 82 13. (a) 2 19x - 2213x + + C 135 25. - 1 cos x - 1 cos 2x + C 27. 1 sec312x2 - 1 sec12x2 + C 2 4 6 2 (b) 2 19ex - 2213ex + 123΋2 + C 135 29. 2 tan5>2 x + 2 tan9>2 x + C 31. - 29 - e2y + C 5 9 1 4x + 3 1 4ex + 3 15. (a) 24 ln ` 4x - 3 ` + C (b) 24 ln ` 4ex - 3 ` +C 33. 3 sen x + C 35. 1 tan-11e4x2 + C 4 37. 231w + 523>2 - 101w + 521>2 + C 17. (a) 1 c x14x2 - 92 29 - 2x2 + 81 sen-1 a 22x b d + C 39. - 1 tan-1 a cos2 y b + C 16 22 3 6 3

A-38 Respuestas a problemas con número impar 41. ln ƒ x ƒ - 2 - 1 ln ƒ x2 + 3ƒ + 2 tan-1 a x b + C 21. a 124 8 16 x 2 23 23 1 - e-a 0.632 0.865 0.982 0.99966 0.999999887 AB C 43. (a) 2x + 1 + 12x + 122 + 12x + 123 23. a 1 2 4 8 16 ABCD E (b) x - 1 + 1x - 122 + 2 - x + 12 - x22 + 12 - x23 lnA 21 + a2B 0.3466 0.8047 1.4166 2.0872 2.7745 Ax + B Cx + D (c) x2 + x + 10 + 1x2 + x + 1022 25. a 24 8 16 ABCD 1 - 1 0.5 0.75 0.875 0.9375 (d) 1 - x + 11 - x22 + 1 + x + 11 + x22 a Ex + F Gx + H + x2 - x + 10 + 1x2 - x + 1022 27. a 1 1/2 1/4 1/8 1/16 3.5 AB C D 4 - 2 1a 2 2.58579 3 3.29289 (e) x + 3 + 1x + 322 + 1x + 323 + 1x + 324 + Ex + F + Gx + H Conjunto de problemas 8.1 x2 + 2x + 10 + 2x + 1022 1x2 1. 1 3. -1 5. - 2 7. - q 9. 0 7 Ax + B Cx + D Ex + F (f) 2x2 + x + 10 + 12x2 + x + 1022 + 12x2 + x + 1023 11. - 3 13. - 2 15. - 1 17. - q 19. - 1 2 7 4 24 4 ln a 1 + 25 b 21. - q 23. 1 2 45. 25 + 27. (a) 34; (b) 1 2 47. 2p ln 32 49. 4p[2 - ln 3 - 211ln 322] 51. ln 7 - 6 29. c = 1 31. 4pb2 35. 1 37. 2 25 7 24 53. ln a 2 23 + 3b 39. La razón de las pendientes es 1/2, lo cual indica que el límite de 3 la razón debe ser alrededor de 1/2. 55. (a) sen x 2sen2 x + 4 + 2 ln ƒ sen x + 2sen2 x + 4 ƒ + C y 2 1 (b) 1 ln ` 1 + 2x ` + C −1 −0.5 0.5 1x 4 1 - 2x −1 57. c L 0.5165 y 0.1 Problemas de repaso e introducción del capítulo 8 −0.1 0.05 0.1 x 5 3. 6 5. 2 7. 1 9. 0 11. q p −0.1 1. 3 13. 2 y 15. y lím xe-x = 0. 0.01 0.6 x:q −0.01 0.005 0.01x −0.01 0.4 0.2 2 4 6 8 10 x 41. La razón de las pendientes es -1>1 = -1, lo cual indica que el lí- mite de esta razón debe ser alrededor de -1. 17. y lím x3e-x = 0. y 1 1.5 x:q 1.0 −1 −0.5 0.5 1x 0.5 2 4 6 8 10 x −1 y 0.1 19. y lím x10e-x = 0. −0.1 −0.05 0.05 0.1 x 600,000 x:q −0.1 400,000 y 0.01 200,000 −0.01 −0.005 0.005 0.01x −0.01 5 10 15 20 25 x

Respuestas a problemas con número impar A-39 Conjunto de problemas 8.2 43. 1 1 exp 1 - 0.5x22 dx L 0.6827; L-1 22p 1. 0 3. 0 5. 3 7. 0 9. q 11. 0 13. 1 15. 1 17. 0 19. e4 21. 1 23. 1 25. 0 2 1 exp 1 - 0.5x22 dx L 0.9545; 27. 1 L-2 22p 29. 0 31. q 33. 1 3 1 exp 1 - 0.5x22 dx L 0.9973; 35. El límite no existe. 37. 0 39. 1 L-3 22p 41. (a) 1; (b) 1; (c) ln a; (d) q 4 1 exp 1 - 0.5x22 dx L 0.9999 43. Cuando x : 0+, y : 0. Cuando x : q , y : 1. L-4 22p Valor máximo e1>e at x = e. y 2.0 1.5 Conjunto de problemas 8.4 1.0 3 p 21 1. 2 2 3. 2 27 5. 7. Diverge 9. 23 2 0.5 20 40 60 80 100 x 11. 12122>3 - 102>32 13. Diverge 15. Diverge 17. Diverge 19. Diverge 21. Diverge 45. 1/1k + 12 23. Diverge 25. Diverge 27. 2 22 29. Diverge 47. (a) 3.162; (b) 4.163; (c) 4.562 49. No hay mínimo absoluto; mínimo absoluto en x L 25 31. ln A 2 + 23 B 35. 0 37. Diverge 41. 6 Conjunto de problemas 8.3 43. (a) 3 45. No 49. Converge 55. (a) C = ba>≠1a2; (b) m = a> b; (c) s2 = a> b2 1 57. (a) p2 ; (b) p e 1. Diverge 3. 5. Diverge 7. 100,000 9. Diverge 11. Diverge 13. 121ln 2 + 12 15. - 1 8.5 Revisión del capítulo 4 p 1 1 17. Diverge 19. 3 21. p 23. 2 25. 2 ln 3 Examen de conceptos 29. $1,250,000 - a22 1. Verdadero 3. Falso 5. Falso 7. Verdadero ; 9. Verdadero 11. Falso 13. Verdadero 15. Verdadero 31. (b) m = a + b; s2 = 1b 1 17. Falso 19. Verdadero 21. Verdadero 23. Verdadero 2 12 (c) 5 25. Falso 35. (a) C = 3yM = 4 * 104 (b) s2 = 4 * 108 ; 3 Problemas de examen 3 (c) 6΋25 de 1% gana más de $100,000 100 1 100 1 1. 4 3. 0 5. 2 7. 0 9. 0 11. 1 13. 0 L1 x2 dx L1 x1.1 dx 1 23. Diverge 41. = 0.99; L 3.69 15. 0 17. 1 19. 1 21. 2 e2 31. 6 25. 1 - p 27. Diverge 29. 1 4 ln 2 100 1 100 1 p x1.01 dx L 4.50; L1 dx = ln 100 L 4.61; 33. Diverge 35. 4 37. 0 x L1 39. Converge: p 7 1; diverge: p … 1 100 1 41. Converge 43. Diverge L1 x0.99 dx L 4.71



Índice A Composición D de funciones, 36-37 Aceleración, 98, 127 (o capitalización) continua, uso del término Decaimiento radiactivo, 350 Algoritmos, 193 de, 351-352 Decimales de punto fijo, 194-195 Computadoras, 3 que no se repiten, 2-3 Amplitud de funciones trigonométricas, Concavidad, 156-160 que se repiten, 2-3 Delta, determinación, 12 43-45 hacia abajo, 156-157 Demostración: Análisis de error, 266-268 hacia arriba, 156-157 clave para, 186 Ángulos, 46-47 puntos de inflexión, 159-160 por contradicción, 5 Constante de resorte, 302 primer teorema fundamental del cálculo, de inclinación, 49 Continuidad: Antiderivadas, 197-202 bajo operaciones con funciones, 84 237-239 de funciones, 82-88 regla de la cadena, demostración parcial, general, 198 de funciones comunes, 83-84 notación para, 198-199 de funciones polinomiales y racionales, 122-123 Regla de la potencia generalizada, 200-201 teorema principal de límites, 71-72 Antidiferenciación, 411 83 Densidad, 3 Aproximaciones, 144-146, 413 de funciones trigonométricas, 84 Derivación derivadas, 144-146 de funciones valor absoluto y raíz n-ésima, implícita, 130-134 lineales, 145-146 Área, 215-221 84 regla de la potencia, 133 de una región plana, 275-279 en un intervalo, 86-87 logarítmica, 329, 345 Derivadas, 93-149. Véase también distancia y desplazamiento, 278 abierto, 86 región entre dos curvas, 277-278 cerrado, 86 Antiderivadas; Regla de la cadena; región por abajo del eje x, 275-276 en un punto, 83 Diferenciales; Derivadas de orden región por arriba del eje x, 275 Contrapositiva, 4 superior de una superficie de revolución, 299 Coordenada, 2 aplicaciones a la economía, 172 mediante polígonos circunscritos, 216 cartesianas, 16 aplicaciones de, 151-213 mediante polígonos inscritos, 216 x (abscisa), 16 aproximaciones, 144-146 Arquímedes, 93, 232 y (ordenada), 16 concavidad, 156-159 Asíntota, 31, 80-81 Corriente, 99 definición, 100 horizontal, 80 Cosecante, 45-46 de funciones trigonométricas, 114-117 oblicua, 82, 180 Coseno, 41-42 de orden superior, 125-129 vertical, 80 gráficas del, 42-43 determinación, 100-101 Axioma de completez, 8 propiedades básicas del, 41-42 regla para, 107-110 Costo diferenciabilidad y continuidad, 102-103 B fijo, 172 diferenciación, 100 marginal, 173 diferenciación implícita, 130-134 Barrow, Isaac, 232 variable, 172 diferenciales, 142-146 Cota superior, 8 ecuaciones diferenciales, 203-208 C Cotangente, 45-46 formas equivalentes para, 101-102 Crecimiento y decaimiento exponencial, fórmulas, 114-117 Calculadoras, 3, 413-416 gráfica de, 104 graficadora, 24, 26 347-352 regla para, 107-110 crecimiento exponencial, definición, 348 resumen del método, 181-182 Cálculo, decaimiento exponencial, definición, 348 uso para graficar una función, 182-183 definido, 55, 66 decaimiento radiactivo, 350 incrementos, 103-104 diferencial, 100 ecuaciones diferenciales, para resolver, monotonía, 155-156 graficación de funciones por medio de, notación de Leibniz para, 104 178-182 348-349 operador lineal, 109 Primer Teorema Fundamental del, 232-240 interés compuesto, 351-352 pregunta acerca de la existencia, 151-152 Segundo Teorema Fundamental del, 243 ley de enfriamiento de Newton, 350-351 problemas prácticos, 167-174 modelo logístico, 349 Prueba (criterio) de la primera derivada, Campos de pendientes, 359-360 tiempo de duplicación, 349 163-164 Capas, 281 Criterio(s) Prueba (criterio) de la segunda derivada, Cascarones, 288-292 de convergencia: 164, 171 de la primera derivada, 163-164 recta tangente, 93-95 cilíndricos, 288-289 de la segunda derivada, 164, 171 Regla de la cadena, 118-123 método de, 289-291 Cuadrados, 13-14 Regla de la diferencia, 109 Catenaria, 378-379 Cuadrantes, 16 Regla de la función constante, 107-108 Cauchy, Augustin Louis, 66 Cuantificadores, 5-6 Regla de la función identidad, 108 Centro Cuarta derivada, 125 Regla de la potencia, 108, 110 de masa, 309 Curva plana, 295 Regla de la suma, 109 geográfico, 315 longitud de arco, 294-299 Regla del cociente, 112, 116 Centroide, 311 Regla del múltiplo constante, 108 Cicloide, 295 diferencial de, 298-299 Cilindros rectos, 281 orientación, 295 I-1 Circunferencia: Curva suave, 295 definición, 17 ecuación de la, 17-18 Cocientes, 35-36

I-2 Índice canónica: Fórmula de cambio de variable: circunferencia, 17 de Stirling, 341 Regla del producto, 111-112, 116 tasa de cambio, 97 de una recta vertical, 20 Fracción continua, 196 tasas relacionadas, 135-140 diferencial logística, 349, 354, 408-410 Fuerza de un fluido, 304-305 Teorema del valor medio, 185-188 diferenciales separables de primer orden, Función (funciones), 29, 233 velocidad instantánea, 93, 95-96 velocidad promedio, 95 204 algebraicas explícitas, 39 Derivadas de orden superior, 125-129 lineal general, 21 beta, 393 aceleración, 126-128 método de bisección, 190-192 catálogo parcial de, 38-39 notación con apóstrofo, 125 método de Newton, 192-194 composición de, 36-37 notación D, 125 paramétricas, 294 comunes, continuidad, 83-84 notación de Leibniz, 125-126 resolución numéricamente, 190-195 constante, 38 primera derivada, 125 Ecuaciones diferenciales, 203-208 continua por la derecha, 86 problemas de cuerpos que caen, 128-129 aproximación por, 359-363 continua por la izquierda, 86 segunda derivada, 125-126 continuas, 83 tercera derivada, 125 campos de pendientes, 359-360 continuidad, 82-88 velocidad, 126-128 Método de Euler, 360-363 coseno, 41 Derivadas simétricas, 104 definición, 203-204 cuadrática, 39 Derive, 413 problemas de movimiento, 206-208 de acumulación, 233, 319 Descomposición en fracciones parciales, separables de primer orden, 204 de densidad de probabilidad (FDP), 318, separación de variables, 205-206 404-412 Ecuaciones diferenciales lineales de primer 436-439 Desigualdad de densidad de probabilidad de Pareto, 441 orden, 355-359 de densidad gama, 446 de Minkowski, 337 aplicaciones, 356-357 de distribución acumulativa (FDA), 319 de Napier, 331 condición inicial, 355 de dos variables: de Young, 337 definición, 355 discontinua, 83 del triángulo, 11 factor integrante, 355 dominio, 617 media geométrica-media aritmética, 15 resolución, 355-356 especial, 32 Desigualdades, 8-14 solución general, 355 estrictamente monótona, 332 que incluyen valores absolutos, 11-12 solución particular, 355 exponencial para la base a, 342 resolución, 9-11 Eje, 282 exponenciales, 344 Desplazamiento, 18-19, 279 de coordenadas, 16 gráficas de, 31 Diagrama de dispersión, 170 x, 16 hiperbólicas inversas, 376-377 Diferenciación, 100 y, 16 identidad, 38 Diferencial Elevación, 18-19 impar, 32 de la variable dependiente, 143 Enteros, 1 lineales, 39, 109 de la variable independiente, 143 Error logarítmica, 325-330 de longitud de arco, 298-299 absoluto, 145 Diferenciales, 142-146 relativo, 145 de base a, 343 aproximaciones, 144-146 Esferoide alargado (elipsoide), 287 máximo entero, 32 definición, 143 Espacio muestral, 316 objetivo, 151 error absoluto, 145 Esquema de iteración, 192 operaciones sobre, 35-39 error relativo, 145 Estimación, 3-4 par e impar, 31-32 estimación de errores, 144-145 Estrategia rebanar, aproximar e integrar, periódica, 43-44 Diferencias, 35-36 polinomial, 38 Discos, método de los, 281-288 276-277, 280-282, 286, 289-290, potencia, 344 Discriminante, ecuación cuadrática, 13 302, 309-311 que incluyen raíces, 180-181 Distancia Euler, Leonhard, 337, 361 racional, 39 dirigida, 1-2 Eventos disjuntos, 316 raíz n-ésima, continuidad de, 84 total, 279 Exponentes, propiedades de, 342 rango, 29 valores absolutos como, 62 Extremos: seno, 41 Distribución en intervalos abiertos, 165 traslaciones, 37-38 continua de masa a lo largo de una recta, trigonométricas, 41-48 F uno a uno, 332 309-310 valor absoluto, 32 de masa en el plano, 310-311 Familia de funciones, 233 valor promedio, 253 de probabilidad, 316 Fechado con carbono, 353 Función exponencial natural, ex, 337-340 de Weibull, 441 Forma derivada de ex, 338-339 exponencial, 436-437 propiedades de, 337-338 normal, 438 pendiente intercepción al origen, 20 Función logaritmo natural, 325-330 normal estándar, 438 punto-pendiente, 19-20 definición, 325 uniforme, 321 Formas indeterminadas, 423-447 derivación logarítmica, 329 Diverge, uso del término, 434 de los tipos 0 ؒ q e q - q, 430-431 derivada de, 326-327 Dominio: del tipo q/q, 429 gráfica de, 329 natural, 30 del tipo 0/0, 423-427 propiedades de, 327-329 restricción del, 365 Funciones exponencial y logarítmica y rango, 30 regla de L’Hôpital para, 429 del tipo 00, q0, 1q, 431-432 generales, 342-345 E Fórmula función log a, 343-344 cuadrática, 13 Funciones hiperbólicas, 374-378 e, 337, 352 de la distancia, 16-17 aplicaciones, 378 Ecuación(es) de reducción, 390 catenaria, 378 derivadas, 114-117 algoritmo de punto fijo, 194-195 del punto medio, 18 recursiva, 192

derivadas de, 374-376 de suma, 47 Índice I-3 inversa, 376-377 del ángulo doble, 47 Funciones inversas, 331-335 del ángulo medio, 47 estimación, 255 derivadas de, 334-335 del producto, trigonométrica, 48 tabla de, 412-413 existencia de, 332-333 para la suma de ángulos, 47 teorema del valor medio para, 253-258 Funciones polinomiales, 38-39, 178-179 pitagórica, trigonométrica, 47 Integrales definidas, 215-273, 413 continuidad de, 83 trigonométrica par-impar, 47 área, 215-221 Funciones racionales, 39, 179-180 Inclinación, 19 definida, 225-227 continuidad de, 83 Incrementos, 103-104 evaluación, 240 integración de, 404-410 derivadas, 103-104 integración numérica, 260-268 propias, 404 Inducción matemática, 5, A-1/A-3 linealidad de, 236-237 Funciones trascendentales, 325-381 Ingreso propiedad aditiva de intervalos, 229-230 crecimiento y decaimiento exponencial, marginal, 173-174 propiedad de acotamiento, 236 total, 172 propiedad de comparación, 235-236 347-352 Integración, Véase Antiderivadas, Regla de sustitución para, 248 ecuaciones diferenciales lineales de primer ambos límites infinitos, 435-437 sumas de Riemann y, 224-225 convergencia, uso del término, 434 Teorema de integrabilidad, 227 orden, 355-357 de funciones racionales, 404-410 uso de simetría para la evaluación de, función exponencial natural, 337-340 función logaritmo natural, 325-330 descomposición en fracciones parciales 255-256 funciones exponencial y logarítmica genera- (factores cuadráticos), 407-408 velocidad y posición, 230 Integrales impropias, límites infinitos, 433-440 les, 342-345 descomposición en fracciones parciales integrandos infinitos, 442-444 funciones hiperbólicas, 374-378 (factores lineales), 405-407 Integrales indefinidas, 244 funciones inversas, 331-335 como operador lineal, 199-200 funciones trigonométricas inversas, 365-371 ecuación diferencial logística, 408-410 regla de sustitución para, 246 Funciones trigonométricas, 41-48 divergencia, uso del término, 434 uso de término, 199 amplitud, 43-45 estrategias para, 411-418 Integrales trigonométricas, 393-398 ángulos, 46-47 formas estándar, 383-384 función logaritmo natural, 329-330 continuidad de, 84 funciones de densidad de probabilidad Integrandos, 199 cosecante, 45-46 infinito en un punto extremo, 442-444 coseno, 41-42 (FDP), 436-439 infinito en un punto interior, 444 cotangente, 45-46 funciones definidas mediante tablas, 416- no acotado, 442 derivadas de, 114-117, 368 Intercepciones identidades importantes, lista de, 47-48 417 con el eje x, 26 identidades trigonométricas, 47 funciones especiales, 417-418 con el eje y, 26 inversas, 365-368 integrales trigonométricas, 393-398 Intervalo(s), 8-11 límites que incluyen, 73-76 límites infinitos de, 433-440 abierto, 8 periodo de, 43-45 numérica, 260-268 cerrado, 8-9 secante, 45-46 continuidad en, 86-87 seno, 41-42 análisis del error, 266-268 Inversa, definición, 332 tangente, 45-46 funciones definidas mediante una tabla, Funciones trigonométricas inversas, 368-369 J derivadas de, 365-366 268 identidades útiles, 368 integrales definidas, 260-268 Joules, 301 manipulación del integrando, 371 regla de la parábola (regla de Simpson), restricción del dominio, 365 K seno inverso y coseno inverso, 366-367 265 tangente inversa y secante inversa, 371 regla del trapecio, 264 Kepler, Johannes, 93 sumas de Riemann, 260 G por partes, 383, 387-391, 411-412 L fórmula de reducción, 390 Gabriel, trompeta, 439-440 integrales definidas, 387-389 Lámina, 311 Galileo, Galilei, 93 integrales indefinidas, 387 centro de masa, 311 Grado, 19 repetida, 389-390 masa, 311 reglas básicas, 383-385 de una función polinomial, 39 repetida, por partes, 389-390 Laplace, Pierre-Simon de, 446 Gráficas: sistemas de álgebra computacional y Leibniz, Gottfried Wilhelm von, 66, 104, 110, de derivadas, 104 calculadoras, 413-416 232 resumen del método, 181-182 sustitución, 383 Ley uso para graficar una función, 182-183 en integrales definidas, 385 de Boyle, 142 de ecuaciones, 24-27 en integrales indefinidas, 384-385 de Coulomb, 307 intersecciones de, 26-27 por racionalización, 399-402 de enfriamiento de Newton, 350-351 procedimiento para graficar, 24-25 técnicas, 383-421 de Hooke, 170, 302, 306, 322 simetría de, 25-26 un límite infinito, 433-435 de Newton de inverso de los cuadrados, 435 Integrales: del tercero excluido, 5 de una función, 31 aplicaciones de, 275-323 de Torricelli, 209 área de una región plana, 275-279 Límite(s), 55, 61-67 H curva plana, longitud de, 294-299 análisis preliminar, 63-66 momentos y centro de masa, 308-313 asíntotas, 80-81 Handbook of Mathematical Functions, probabilidad y variables aleatorias, continuidad de funciones, 82-88 412, 417-418 de sucesiones, 79 316-320 definición rigurosa de límites cuando I sólidos de revolución, volúmenes de, x : ; q, 78-79 Identidad 288-292 demostraciones de límites, 63-66 de cofunciones, 47 sólidos, volúmenes de, 281-286 ejemplos, 57 trabajo y fuerza del fluido, 301-306 definida, 224-232

I-4 Índice irracionales, 1 de inflexión, 159-160 naturales, 1 de separación, 10 en infinito, 77-78 primo, 8 estacionarios, 152, 658 estudio riguroso de, 61-67 racionales, 1 muestra, 282 infinitos, 79-80 reales, 1-2 prueba, 10 laterales, 58-59, 66-68 singulares, 152 O por la derecha y por la izquierda, 58 R por la derecha, 58, 66-67 Operaciones con funciones, continuidad bajo, por la izquierda, 58 84 Raíces problemas que conducen al concepto de, 55 cuadrada principal, 13 que incluyen funciones trigonométricas, Operador, 107 notación para, 13 lineal, 109 funciones que incluyen, 180-181 73-76 señales de alerta para, 57-58 Orientación de curvas, 295 Rango: significado intuitivo de, 57 Origen, 2, 16 funciones, 29 significado preciso de, 61-63 y dominio, 30 teorema de composición de límites, 85-86 P Teorema de sustitución, 69-71 Rapidez, 127 Teorema del emparedado, 72, 75 Pappus, 312 Rebanada horizontal, 278 Teoremas de límites, 68-72 Par ordenado, 16, 159 Recíproco, 4 Teorema principal de límites: Parábola, 26 Recta(s), 18-19 Paradoja de la trompeta de Gabriel, 439-440 aplicaciones de, 68-69 Parámetro(s), 294 de mejor ajuste, 171 demostración del, 71-72 Partición, 224-229 de mínimos cuadrados que pasa por el Logaritmos comunes, 344 L’Hôpital, Guillaume François Antoine de, regular, 227-229 origen, 171 Pascal, Blaise 232, 304-305 de sustitución: 423 Pendiente, 18-19 Longitud de arco, 295-298 para integrales definidas, 248 de la recta tangente, 93, 100 para integrales indefinidas, 246 diferencial de la, 298-299 Periodicidad, 257 forma pendiente intercepción en el origen, Periodo, 43 M 20 de funciones trigonométricas, 43-45 forma punto-pendiente, 20 Maple, 3, 31, 413 Pie-libras, 301 paralelas, 21 Mathematica, 3, 413 Posición, 227 pendiente de, 18-19 Media, 317-318 perpendiculares, 21-22 Mediana, 321 como velocidad acumulada, 239 real, 2 integrales definidas, 230 secante, 93 de una variable aleatoria continua, 322 Potencias, 35-36 tangentes, 93-95 Memling, Hans, 440 Precálculo, 55 Memorización, 111 Precio, 172 definición, 93 Método marginal, 173 vertical, ecuación de, 20 Primera derivada, 125 Regla de aproximaciones sucesivas, 190 y monotonía, 155-156 de la diferencia, para derivadas, 109 de bisección, 87, 190-192 Primer Teorema Fundamental del Cálculo, de la función constante, para derivadas, de Euler, 360-363 de iteraciones, 190 232-240 107-108 de las arandelas, 284-285 bosquejo de la demostración, 235 de la función de identidad, para derivadas, de Newton, 192-194 demostración de, 237-239 posición como velocidad acumulada, 239 108 para la resolución numérica de Principio de Cavalieri, 288 de la función exponencial, 343 ecuaciones, 192-194 Probabilidad: de la parábola (regla de Simpson), 265-268, distribución de probabilidad, 316 de Runge Kutta de cuarto orden, 363 espacio muestral, 316 363, 413 Mínima cota superior, 8 eventos disjuntos, 316 de la potencia, para derivadas, 108, 110, 133 Mínimos cuadrados, 170-171 función de distribución acumulativa (FDA), de la suma de Riemann, 363 Modelación matemática, 172 de la suma, para derivadas, 109, 411 Modelos, 170 319 de L’Hôpital, 423-424 Momento, 308 media, 317-318 Moneda, volumen de una, 281 resultado aleatorio, 316 interpretación geométrica de, 423 Monotonía, 155-156 valor esperado, 318 de Simpson (regla de la parábola), 265-268 variables aleatorias, 316 del cociente, para derivadas, 112, 116, 411 y la primera derivada, 155-156 del múltiplo constante, para derivadas, 108 continuas, 318 del producto, para derivadas, 111-112, 116, N discretas, 318 esperanza de, 317 345, 411 Napier, John, 327 Problema(s) del trapecio, 264, 266, 363, 417 Negación, 4, 6 de cuerpos que caen, 128-129 Regla de la cadena, 118-123, 130, 132, 238, Newton, Isaac, 66, 93, 232 de movimiento, 206-208 Newton-metro, 301 Productos, 35-36 245, 338-339, 343, 345, 411 Notación Propiedad(es) aplicación más de una vez de la, 121-122 aditiva de intervalos, 229-230 aplicaciones de la, 119-121 apóstrofo (prima), 125 de acotamiento, 236 demostración parcial de la, 122-123 D, 125 de comparación, 235-236 derivadas, 118-123 de Leibniz, 104, 125-126 Punto(s) Representación paramétrica: funcional, 29 críticos, 152 definición, 49 Leibniz, 125-126 de discontinuidad no removible, 83 Resolución de ecuaciones, 8 para raíces cuadradas, 13 de discontinuidad removible, 83 Restricción del dominio, 365 prima (con apóstrofos), 125 Resultado aleatorio, 316 sigma (S), 170-171, 216-217 Número(s), 159, 233 S complejos, 2

Secante, 45-46 para racionalizar, 399-402 Índice I-5 inversa, 366-367 trigonométricas, 412 Traslaciones: Segunda derivada, 125-126 T de funciones, 37-38 Segunda ley de Newton, 170 Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, Tangentes, 45-46 Tronco de un cono, 299 Tablas de integrales, 412-413 243-250, 260, 340, 413-415, 417 Tablas y fórmulas matemáticas estándar U método de sustitución, 245-249 tasa de cambio acumulada, 249-250 CRC, 412 Último Juicio (Memling), 440 Seno, 41-42 Tasas de cambio, 97 Unión, 10 gráficas de, 42 Utilidad propiedades básicas de, 41-42 con respecto al tiempo, 135 Separación de variables, 205-206 derivadas, 97 marginal, 173 Serie infinita, 448 fraccional, 354 total, 172 Signo de la integral, 199 Tasas relacionadas, 135-140 Simetría, 253-258 derivadas, 135-140 V con respecto al eje x, 25 ejemplos sencillos, 135-137 con respecto al eje y, 25 problemas gráficos, 140 Valor con respecto al origen, 25 procedimiento sistemático, absoluto, 11 Sistema como distancia, 62 de álgebra computacional (SAC), 24 137-139 continuidad del, 84 Teoremas, 4-5 desigualdades que incluyen, 11-12 y calculadoras, 413-416 propiedades del, 11 Sistema rectangular de coordenadas, 16-22 de concavidad, 157 esperado, 318 de existencia máx-mín, 151 futuro, 354 coordenada x, 16 de integrabilidad, 227 máximo, 151 coordenada y, 16 de la función inversa, 335, 369 máximo global, 162 coordenadas cartesianas, 16 máximo local, 162 cuadrantes, 16 representaciones decimales de, 3 máximo relativo (local), 162 ecuación de una circunferencia, 17-18 de la monotonía, 155 mínimo, 151 ecuación de una recta vertical, 20 de Pappus, 312-313, 322 mínimo local, 162 eje x, 16 de Pitágoras, 4, 16, 136 presente, 354 eje y, 16 de simetría, 256 promedio de una función, 253 ejes de coordenadas, 16 de sustitución, para límites, 69-71 forma Ax + By + C = 0, 20-21 del emparedado, 72, 75 Valor extremo, 151, 152-154 forma pendiente intercepción al origen, del límite de una composición, definición, 153-154 intervalos de ocurrencia, 152 20 85-86 local, 162-163 forma punto pendiente, 19-20 del punto crítico, 152 donde aparece, 163-165 fórmula de la distancia, 16-17 del valor intermedio, 87-88 fórmula del punto medio, 18 del valor medio, 185-188 Variables origen, 16 aleatorias, 316 par ordenado, 16 de Cauchy, 425-426 continuas, 318 rectas, 18-19 para derivadas, 185-188, 254, discretas, 318 rectas paralelas, 21 esperanza de, 317 rectas perpendiculares, 21-22 425-426 dependientes, 30 Sólido para integrales, 253-258 independientes, 30 de revolución, definición, 282 Fundamental de la Aritmética, 8 con secciones transversales conocidas, Fundamental del Cálculo. Véase Primer Varianza, 322 Velocidad, 126-128, 227 285-286 Teorema Fundamental del Cálculo Solución general, de una ecuación diferencial, o Segundo Teorema Fundamental angular, 117 del Cálculo de escape, 209 355 fundamentales, 232 instantánea, 93, 95-96, 100, 126 Sucesión principal de límites, 423 integrales definidas, 230 aplicaciones de, 68-69 promedio, 95 convergente, 79 demostración de, 71-72 Suma(s), 35-36 Teoría de relatividad especial de Einstein, derivadas y, 95 82, 147 Volumen, de Riemann, 224-225, 234, 260-264 Tercera derivada, 125 del punto medio, 266 Tiempo de una moneda, 281 por la derecha, 266 de duplicación, 349 sólido de revolución, 282-292 por la izquierda, 266 medición, 127 Vida media, 350 Transformada de Laplace, 446 Sustitución (sustituciones), 411 W Weierstrass, Karl, 67



Créditos de las fotografías Guardas frontales Descartes Frans Hals/Louvre Newton Biblioteca del Congreso Leibniz The Granger Collection, Nueva York Euler Biblioteca del Congreso Kepler Biblioteca del Congreso Pascal Cortesía de International Business Machines Corporation. El uso no autorizado está prohibido. L’Höpital The Granger Collection, Nueva York Bernoulli The Granger Collection, Nueva York Lagrange Biblioteca Pública de Nueva York Gauss The Granger Collection, Nueva York Cauchy Corbis Riemann The Granger Collection, New York Lebesgue The Granger Collection, New York Agnesi Biblioteca del Congreso Weierstrass Corbis Kovalevsky Biblioteca del Congreso Gibbs Corbis Texto Kennedy Space Center/NASA Susan Van Etten/PhotoEdit p. 219 David Frazier/Photo Researchers, Inc. p. 224 Scala/Art Resource, NY p. 362 p. 418



aquí Doblar aquí Doblar GEOMETRÍA INTEGRALES c Triángulos 1. u dv = uv - v du Formulario b L3 que acompaña a Teorema de Pitágoras a a2 + b2 = c2 2. un d = 1 un+1 + C, n Z -1 CÁLCULO, 9A EDICIÓN Triángulo rectángulo L n+1 Varberg, Purcell y Rigdon 3. L 1 du = ln ƒuƒ + C u Ángulos a + b + g = 180° b 4. eu du = eu + c c a h Área A = 21bh L a g 5. au du = au + C b L ln a Cualquier triángulo Círculos 6. sen u du = -cos u + C L r Circunferencia C = 2pr 7. cos u du = sen u + C L Área A = pr2 8. sec2 u du = tan u + C L r Cilindros 9. csc2 u du = -cot u + C h Área de la S = 2pr2 + 2prh L superficie 10. sec u tan u du = sec u + C DERIVADAS Volumen V = pr2h L ƒxƒ Conos 11. csc cot u du = -csc u + C Dxxr = rxr-1 Dx ƒ x ƒ = x L Dx cos x = - sen x h Área de la S = pr2 + pr 2r2 + h2 Dx sen x = cos x Dx cot x = - csc2 x superficie 12. tan u du = -ln ƒ cos u ƒ + C Dx tan x = sec2 x r Volumen V = 31pr3 L Dx csc x = - csc x cot x Dxcoth x = - csch2 x 13. cot u du = ln ƒ sen u ƒ + C Dx sec x = sec x tan x L Dx sech x = - sech x tanh x Esferas Dx senh x = cosh x r Área de la superficie S = 4pr2 14. sec u du = ln ƒ sec u + tanu ƒ + C Dx cosh x = senh2 x Dx csch x = - csch x coth x L Dx tanh x = sech2 x Volumen V = 34pr3 15. csc u du = ln ƒ csc u - cot u ƒ + C L 1 Dx loga x = 1 Dx ln x = x ln CONVERSIONES 16. 1 du = sen-1 u + C Dx ex = ex x a L 2a2 - u2 a Dx ax = ax ln a 1 pulgada = 2.54 centímetros 1 kilómetro L 0.62 millas 17. 1 du = 1 tan-1 u + C 1 -1 + aa 1 litro = 1000 centímetros cúbicos 1 litro L 1.057 cuartos L a2 u2 Dx sen-1 x = 21 - x2 Dx cos-1 x = 21 - x2 1 kilogramo L 2.20 libras 1 libra L 453.6 gramos 18. L a2 1 u2 du = 1 ln 2 u + a2 +C - 2a u - a p radianes = 180 grados 1 pie cúbico L 7.48 galones Dx tan-1 x = 1 Dx sec -1 x = 1 19. 1 du = 1 sec-1 2 u 2 + C 1 + x2 ƒ x ƒ 2x2 - 1 L u2u2 - a2 a a

aquí Doblar aquí Doblar Identidades básicas TRIGONOMETRÍA Funciones trigonométricas inversas tan t = sen t cot t = cos t cot t = 1 (x, y) (a, b) y = sen-1 x 3 x = sen y, -p>2 … y … p>2 cos t sen t tan t t r y = cos-1 x 3 x = cos y, 0 … y … p y = tan-1 x 3 x = tan y, -p>2 6 y 6 p>2 sec t = 1 cst = 1 sen2 t + cos2 t = 1 u u y = sec-1 x 3 x = sec y, 0 … y … p, y Z p>2 cos t sen t (1, 0) 1 + cot2 t = csc2 t sec-1 x = cos-1 (1>x) 1 + tan2 t = sec2 t Identidades de cofunción pp p sen a 2 - tb = cos t cosa 2 - tb = sen t tan a 2 - t b = cot t Identidades impar-par b a sen t = sen u = y = cos t = cos u = x = sen(-t) = - sen t cos(-t) = cos t tan(-t) = -tan t Funciones hiperbólicas r r yb xa tan t = tan u = = cot t = cot u = = xa yb Fórmulas para la suma senh x = 1 (ex - e-x) cosh x = 1 (ex + e-x) 2 2 sen (s + t) = sen s cos t + cos s sen t sen (s - t) = sen cos t - cos s sen t cos (s + t) = cos s cos t - sen s sen t cos (s - t) = cos s cos t + sen s sen t tanh x = senh x coth x = cosh x cosh x sen x tan(s + t) = tan s + tan t tan(s - t) = tan s - tan t Gráficas 1 - tan s tan t 1 + tan s tan t sech x = 1 cschx = 1 Fórmulas para el doble de un ángulo y y cosh x senh x 1 y ϭ sen t 1 y ϭ cos t sen 2t = 2 sen t cos t tan 2t = 2 tan t p p p 3p 2p t p pp 3p 2p t cos 2t = cos2 t - sen2 t = 1 - 2 sen2 t = 2 cos2 t - 1 1 - tan2 t 2 2 2 2 2 2 Ϫ Ϫ Ϫ1 Ϫ1 Series Fórmula para la mitad de un ángulo 1 - sen t = 1 - cos t t 1 + cos t t 1 - cos t 1 x = 1 + x + x2 + x3 + p, -1 6 x 6 1 2 A 2 cos A 2 tan Ϯ = Ϯ = 2 2 sen t ln(1 + x) = x - x2 + x3 - x4 + p, - 1 6 x … 1 234 Fórmula para el producto y y y ϭ tan t y ϭ cot t 4 tan-1x = x - x3 + x5 x7 2 sen s cos t = sen (s + t) + sen (s - t) 2 cos s cos t = cos (s + t) + cos (s - t) 4 3 p 3p 2p t - + Á , -1 … x … 1 2 cos s sen t = sen (s + t) - sen (s - t) 2 sen s sen t = cos (s - t) - cos (s + t) 3 2 2 357 2 1 ex = 1 + x + x2 + x3 Á 1 + Ϫ p Ϫ1 p p 3p 2p t Ϫ p Ϫ1 p 2! 3! 2 Ϫ2 2 2 2 Ϫ2 2 Fórmulas de factorización x3 x5 x7 Ϫ3 Ϫ3 +- Á Ϫ4 sen x = x - + s - t s + t + cos t = 2 cos s + t cos s - t Ϫ4 3! 5! 7! sen cos s sen s + sen t = 2 cos 22 22 x2 x4 x6 cos x = 1 - -+ + - + - + Á 2 2 2 2 2! 4! 6! s ts t s ts t sen s - sen t = 2 cos sen cos s - cos t = -2 sen sen x3 x5 x7 senh x = x + ++ + Á 3! 5! 7! Leyes de los senos y de los cosenos y y ϭ sec t y y ϭ csc t x2 x4 x6 p 3p/2 2p t cosh x = 1 + ++ 4 p p 3p 4 + Á 3 22 3 2! 4! 6! sen a = sen b = sen g 2 2 g a abc 1 (1 + x)p = 1 + a p b x + a p b x2 + a p b x3 + Á , - 1 6 x 6 1 b 1 b a2 = b2 + c2 - 2bc cos a Ϫp/2Ϫ1 a Ϫ p Ϫ1 2p t Ϫ2 p 12 3 c 2 Ϫ2 Ϫ3 2 Ϫ4 apb = p(p - 1)(p - 2) Á (p - k + 1) Ϫ3 k k! Ϫ4

Tabla de integrales FORMAS ELEMENTALES 1 u dv = uv - v du 2 un du = n 1 un + 1 + C si n Z -1 3 du = ln|u| + C 4 eu du = eu + C LL L + 1 Lu L 5 au du = au + C 6 sen u du = - cos u + C 7 cos u du = sen u + C L ln a L L 8 sec2 u du = tan u + C 9 csc2 u du = - cot u + C 10 sec u tan u du = sec u + C L L L 11 csc u cot u du = -csc u + C 12 tan u du = -ln|cos u| + C 13 cot u du = ln|sen u| + C L L L 14 sec u du = ln|sec u + tan u| + C 15 csc u du = ln|csc u - cot u| + C 16 du = sen-1 u + C L L L 2a2 - u2 a du 1 tan-1 u du 1 u + a 19 du = 1 sec-1 ` u ` + C 17 L a2 + u2 = aa + C 18 = ln ` ` + C L a2 - u2 2a u - a L u 2u2 - a2 a a FORMAS TRIGONOMÉTRICAS 20 sen2 u du = 1 u - 1 sen 2u + C 21 cos2 u du = 1 u + 1 sen 2u + C 22 tan2 u du = tan u - u + C L 24 L 24 L 23 cot2 u du = - cot u - u + C 24 sen3 u du = - 1 (2 + sen2 u)cos u + C L L3 25 cos3 u du = 1 (2 + cos2 u)sen u + C 26 tan3 u du = 1 tan2 u + ln|cos u| + C L3 L2 27 cot3 u du = - 1 cot2 u - ln|sen u| + C 28 sec3 u du = 1 sec u tan u + 1 ln|sec u + tan u| + C L2 L2 2 29 csc3 u du = - 1 csc u cot u + 1 ln|csc u - cot u| + C L22 sen au sen bu du = sen(a - b)u sen(a + b)u +C si a2 Z b2 30 L - 2(a - b) 2(a + b) cos au cos bu du = sen(a - b)u sen(a + b)u si a2 Z b2 31 L + +C 2(a - b) 2(a + b) sen au cos bu du = - cos(a - b)u cos(a + b)u si a2 Z b2 32 - +C L 2(a - b) 2(a + b) 33 senn u du = - 1 senn-1 u cos u + n - 1 senn-2 u du 34 cosn u du = 1 cosn-1 u sen u + n - 1 cosn-2 u du Ln nL Ln nL 35 tann u du = 1 tann - 1 u - tann-2 u du si n Z 1 36 cotn u du = -1 cotn - 1 u - cotn-2 u du si n Z 1 L - 1 L L - L n n 1 37 secn u du = n 1 secn-2 u tan u + n - 2 secn-2 u du si n Z 1 L - 1 n - 1 L 38 cscn u du = - 1 cscn-2 u cot u + n - 2 cscn-2 u du si n Z 1 L n-1 n-1L senn -1 u cosm + 1 u n - 1 +m n + m 39a senn u cosm u du = - n + senn-2 u cosm u du si n Z -m L L 39b senn u cosm u du = senn + 1 u cosm - 1 u + m-1 senn u cosm-2 u du si m Z -n L n+m n+m L 40 u sen u du = sen u - u cos u + C 41 u cos u du = cos u + u sen u + C L L 42 un sen u du = - un cos u + n un-1 cos u du 43 un cos u du = un sen u - n un-1 sen u du LL LL

FORMAS QUE INCLUYEN 2u2 ; a2 44 2u2 ; a2 du = u 2u2 ; a2 ; a2 + 2u2 ; a2 | + C 45 du = ln|u + 2u2 ; a2 | + C ln|u L 2u2 ; a2 L 22 46 2u2 + a2 = 2u2 + a2 - a lna a + 2u2 + a2 + C 47 2u2 - a2 = 2u2 - a2 - a sec-1 u + C du b du Lu u Lu a 48 u2 2u2 ; a2 du = u (2u2 ; a2) 2u2 ; a2 - a4 + 2u2 ; a2 | + C L8 ln|u 8 49 u2 du = u 2u2 ; a2 < a2 + 2u2 ; a2 | + C 50 du = < 2u2 ; a2 + C ln|u L u2 2u2 ; a2u L 2u2 ; a2 2 2 a2 51 2u2 ; a2 = - 2u2 ; a2 + ln|u + 2u2 ; a2 | + C 52 du = ;u + C L u2 du u ; a2)3/2 a2 2u2 ; L (u2 a2 53 (u2 ; a2)3/2 du = u (2u2 ; 5a2) 2u2 ; a2 + 3a4 + 2u2 ; a2 | + C L8 ln|u 8 FORMAS QUE INCLUYEN 2a2 - u2 54 2a2 - u2 du = u 2a2 - u2 + a2 sen-1 u + C 55 2a2 - u2 = 2a2 - u2 - a ln 2 a + 2a2 - u2 2 + C L 2 2a du Lu u 56 u2 du = - u 2a2 - u2 + a2 sen-1 u + C 57 u2 2a2 - u2 du = u (2u2 - a2) 2a2 - u2 + a4 sen-1 u + C L 2a2 - u2 2 2a L8 8a 58 du = - 2a2 - u2 + C 59 2a2 - u2 = - 2a2 - u2 - sen-1 u + C L u2 2a2 - a2u L u2 du u a u2 60 du = - 1 ln 2 a + 2a2 - u2 2 + C du u L u 2a2 - u2 a u 61 L (a2 - u2)3/2 = a2 2a2 - u2 + C 62 (a2 - u2)3/2 du = u (5a2 - 2u2) 2a2 - u2 + 3a4 sen-1 u + C L8 8a FORMAS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 63 ueu du = (u - 1)eu + C 64 uneu du = uneu - n un - 1 eudu L LL 65 ln u du = u ln u - u + C 66 un ln u du = un + 1 ln u - un + 1 + C L L n+1 (n + 1)2 67 eau sen bu du = eau - b cos bu) + C 68 eau cos bu du = eau + b sen bu) + C L a2 + b2 (a sen bu L a2 + b2 (a cos bu FORMAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 69 sen-1 u du = u sen-1 u + 21 - u2 + C 70 tan-1 u du = u tan-1 u - 1 + u2) + C L ln (1 L2 71 sec-1 u du = u sec-1 u - ln|u + 2u2 - 1 | + C 72 u sen-1 u du = 1 (2u2 - 1)sen-1 u + u 21 - u2 + C L L4 4 73 u tan-1 u du = 1 (u2 + 1)tan-1 u - u + C 74 u sec-1 u du = u2 sec-1 u - 1 2u2 - 1 + C L2 2 L 22 75 un sen-1 u du = un + 1 sen-1 u - n 1 1 un + 1 si n Z -1 L n+1 + du L 21 - u2 76 un tan-1 u du = un + 1 tan-1 u - n 1 1 un + 1 si n Z -1 L n+1 + L 1 + u2 du 77 un sec-1 u du = un+1 sec-1 u - 1 un du si n Z -1 L n+1 n + 1 L 2u2 - 1