Mendenhall W. Beaver R., Beaver B., (2010), Introducción a la probabilidad y estadística, Décima tercera edición Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

6.4 LA APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL (OPCIONAL) ❍ 237 LA APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL (OPCIONAL) 6.4 En el capítulo 5 aprendimos tres formas de calcular probabilidades para la variable bino- mial aleatoria x: • Con el uso de la fórmula binomial, P(x ϭ k) ϭ C n pkq nϪk k • Con el uso de las tablas acumulativas binomiales • Con el uso de applets Java La fórmula binomial produce cálculos largos y las tablas se pueden adquirir sólo para ciertos valores de n y p. Hay otra opción cuando np Ͻ 7; las probabilidades de Poisson se pueden usar para aproximar P(x ϭ k). Cuando esta aproximación no funciona y n es grande, la distribución normal de probabilidad da otra aproximación para probabilida- des binomiales. FIGURA 6.18 ● LA APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL Distribución binomial de Sea x la variable binomial aleatoria con n intentos y probabilidad p de éxito. La dis- probabilidad para n ϭ 25 y tribución de probabilidad de x se aproxima mediante el uso de una curva normal con p ϭ .5 y la distribución ____ m ϭ np y s ϭ ͙npq Esta aproximación es adecuada mientras n sea grande y p no esté demasiado cerca de 0 o 1. Como la distribución normal es continua, el área bajo la curva en cualquier punto individual es igual a 0. Recuerde que este resultado se aplica sólo a variables aleatorias continuas. Como la variable binomial aleatoria x es una variable aleatoria discreta, la probabilidad de que x tome algún valor específico, por ejemplo x ϭ 11, no necesaria- mente será igual a 0. Las figuras 6.18 y 6.19 muestran los histogramas binomiales de probabilidad para n ϭ 25 con p ϭ .5 y p ϭ .1, respectivamente. La distribución en la figura 6.18 es exac- tamente simétrica. p(x) .2 normal de aproximación con m ϭ 12.5 y s ϭ 2.5 .1 0 5 10 15 20 25 x 7.5 10.5 www.FreeLibros.me

238 ❍ CAPÍTULO 6 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD FIGURA 6.19 ● p(x) .2 Distribución de probabilidad binomial y la distribución normal de aproximación para n ϭ 25 y p ϭ .1 .1 0 5 10 15 20 25 x Si usted superpone u_n_a__curva normal con la misma media, m ϭ np, y la misma desvia- ción estándar, s ϭ ͙npq, sobre la parte superior de las barras, “se ajusta” muy bien; esto es, las áreas bajo la curva son casi iguales a las áreas bajo las barras. No obstante, cuando la probabilidad de éxito, p, es pequeña y la distribución está sesgada, como se muestra en la figura 6.19, la curva normal simétrica ya no ajusta muy bien. Si tratamos de usar las áreas de la curva normal para aproximar el área bajo las barras, la aproximación no será muy buena. E J E M P L O 6.11 Use la curva normal para aproximar la probabilidad de que x ϭ 8, 9 o 10 para una varia- ble aleatoria binomial con n ϭ 25 y p ϭ .5. Compare esta aproximación a la probabilidad MI CONSEJO binomial exacta. Sólo use la corrección de continuidad ¡si x tiene una Solución Se puede hallar la probabilidad binomial exacta para este ejemplo porque distribución binomial! hay tablas binomiales acumulativas para n ϭ 25. De la tabla 1 del apéndice I, P(x ϭ 8, 9 o 10) ϭ P(x Յ 10) Ϫ P(x Յ 7) ϭ .212 Ϫ .022 ϭ .190 Para usar la aproximación normal, primero encuentre la media apropiada y desviación estándar para la curva normal: m ϭ np ϭ 25(.5) ϭ 12.5 ____ ________ s ϭ ͙npq ϭ ͙25(.5)(.5) ϭ 2.5 La probabilidad que usted necesita corresponde al área de los tres rectángulos que se encuentran en x ϭ 8, 9 y 10. El área equivalente bajo la curva normal se encuentra entre x ϭ 7.5 (el lado inferior del rectángulo para x ϭ 8) y x ϭ 10.5 (el lado superior del rec- tángulo para x ϭ 10). Esta área está sombreada en la figura 6.18. www.FreeLibros.me

6.4 LA APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL (OPCIONAL) ❍ 239 Para hallar la probabilidad normal, siga los procedimientos de la sección 6.3. Primero estandarice el punto extremo de cada intervalo: z ϭ x Ϫ m ϭ 7.5 Ϫ 12.5 Ϫ2.0 s 2.5 ϭ z ϭ x Ϫ m ϭ 10.5 Ϫ 12.5 ϭ Ϫ.8 s 2.5 A continuación la probabilidad aproximada (sombreada en la figura 6.20) se encuentra de la tabla 3 del apéndice I: P(Ϫ2.0 Ͻ z Ͻ Ϫ.8) ϭ .2119 Ϫ .0228 ϭ .1891 Se puede comparar la aproximación, .1891, con la probabilidad real, .190. Son muy cer- canas. FIGURA 6.20 ● f(x) Área bajo la curva normal para el ejemplo 6.11 7.5 10.5 12.5 x –2.0 –.8 0 z MI APPLET Se puede usar el applet Java llamada Normal Approximation to Binomial Pro- babilities (Aproximación Normal a Probabilidades Binomiales), que se mues- tra en la figura 6.21, para comparar las probabilidades reales y aproximadas para la distribución binomial del ejemplo 6.11. Introduzca los valores apropiados de n y p y en las cajas en la esquina superior izquierda del applet, y presione “Enter” para registrar cada una de las entradas. La distribución binomial exacta a la izquierda del applet cambiará, dependiendo del valor de n que se haya introducido. A continuación cambie el valor de k en la caja en la esquina inferior izquierda del applet y presione “Enter”. El applet calculará la probabilidad binomial exacta P(x Յ k) en la caja mar- cada “Prob”: También calculará la probabilidad aproximada usando el área bajo la curva normal. El valor z, con la corrección de continuidad, se muestra arriba a la dere- cha y la probabilidad aproximada se muestra a la izquierda de la curva normal. Para el ejemplo 6.11, el applet calcula la aproximación normal como P(x Յ 10) Ϸ .2119. ¿Cuál es el valor exacto de P(x Յ 10)? Si se cambia k a 7 y se presiona “Enter”, ¿cuál es el valor aproximado para P(x Յ 7)? Ahora calcule P(8 Յ x Յ 10). ¿Se compara con la respuesta que obtuvimos en el ejemplo 6.11? Usaremos este applet de nuevo para la sección de Ejercicios MiApplet al final de este capítulo. www.FreeLibros.me

240 ❍ CAPÍTULO 6 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD FIGURA 6.21 ● Applet Normal Approximation to Binomial Probabilities (Aproximación normal a probabilidades binomiales) Usted debe tener cuidado de no excluir la mitad de los dos rectángulos de probabilidad extremos, cuando use la aproximación normal a la distribución binomial de probabili- dad. Este ajuste, llamado corrección de continuidad, ayuda a considerar el hecho de que usted se aproxima a una variable aleatoria discreta con una continua. Si olvida la corrección, su aproximación no será muy buena. Use esta corrección sólo para probabi- lidades binomiales; no trate de usarla cuando la variable aleatoria ya sea continua, por ejemplo una estatura o un peso. ¿Cómo saber cuándo es apropiado usar la aproximación normal a probabilidades binomiales? La aproximación normal funciona bien cuando el histograma binomial es casi simétrico. Esto ocurre cuando la distribución binomial no está “agrupada” cerca de 0 o n, es decir, cuando se puede dispersar al menos dos desviaciones estándar desde su media sin exceder sus límites, 0 y n. Usando este criterio, se puede deducir esta sen- cilla regla práctica: REGLA PRÁCTICA La aproximación normal a las probabilidades binomiales será adecuada si np Ͼ 5 y nq Ͼ 5 MI ENTRENADOR PERSONAL ¿Cómo calculo probabilidades binomiales usando la aproximación normal? ____ • Encuentre los valores necesarios de n y p. Calcule m ϭ np y s ϭ ͙npq. • Escriba la probabilidad que necesite en términos de x y localice el área apro- piada en la curva. • Corrija el valor de x en Ϯ.5 para incluir todo el bloque de probabilidad para ese valor. Ésta es la corrección de continuidad. www.FreeLibros.me

6.4 LA APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL (OPCIONAL) ❍ 241 • Convierta los valores x necesarios a valores z usando z ϭ _x_Ϯ__._5___Ϫ____n_p_ ͙npq • Use la tabla 3 del apéndice I para calcular la probabilidad aproximada. Repertorio de ejercicios Considere una variable aleatoria binomial con n ϭ 30 y p ϭ .4. Llene los siguientes espacios en blanco para hallar algunas probabilidades usando la aproximación normal. A. Pasos preliminares: y nq ϭ 1. ¿Podemos usar la aproximación normal? Calcule np ϭ 2. ¿np y nq son mayores a 5? Sí No 3. Si la respuesta a la pregunta 2 es positiva, calcule m ϭ np ϭ y ____ s ϭ ͙npq ϭ B. Calcule la probabilidad: 1. Para hallar la probabilidad de 20 o más éxitos, ¿qué valores de x deben estar incluidos? x ϭ . 2. Para incluir todo el bloque de probabilidad para el primer valor de x ϭ , empiece en . 3. Calcule z ϭ _x_Ϯ__._5___Ϫ____n_p_ ϭ . ͙npq )ϭ1Ϫ 4. Calcule P(x Ն 20) Ϸ P(z Ͼ ϭ. Informe de progreso • ¿Todavía tiene problemas? Trate de nuevo usando el Repertorio de ejercicios del final de esta sección. • ¿Ya domina la aproximación normal? Puede saltarse el Repertorio de ejerci- cios del final de esta sección. Las respuestas están al final de este libro. E J E M P L O 6.12 La confiabilidad de un fusible eléctrico es la probabilidad de que un fusible, escogido al azar de la producción, funcione bajo sus condiciones de diseño. Una muestra aleatoria MI CONSEJO de 1000 fusibles se probó y se observaron x ϭ 27 defectuosos. Calcule la probabilidad Si np y nq son mayores a 5, se aproximada de observar 27 o más defectuosos, suponiendo que la confiabilidad de un puede usar la aproximación fusible es .98. normal. Solución La probabilidad de observar uno defectuoso cuando un solo fusible se prueba es p ϭ .02, dado que la confiabilidad del fusible es .98. Entonces m ϭ np ϭ 1000(.02) ϭ 20 ____________ ____ s ϭ ͙npq ϭ ͙1000(.02)(.98) ϭ 4.43 La probabilidad de 27 o más fusibles defectuosos, dada n ϭ 1000, es P(x Ն 27) ϭ p(27) ϩ p(28) ϩ p(29) ϩ и и и ϩ p(999) ϩ p(1000) www.FreeLibros.me