Mendenhall W. Beaver R., Beaver B., (2010), Introducción a la probabilidad y estadística, Décima tercera edición Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

12.7 ESTIMACIÓN Y PREDICCIÓN USANDO LA RECTA AJUSTADA ❍ 527 ESTIMACIÓN Y PREDICCIÓN USANDO LA RECTA AJUSTADA 12.7 Ahora que usted ha • probado y ajustado la recta de regresión, yˆ ϭ a ϩ bx, para asegurarse que es útil para predicción y • empleado las herramientas de diagnóstico para asegurarse que ninguna de las suposiciones de regresión han sido violadas está listo para usar la recta para uno de sus dos propósitos: • Estimar el valor promedio de y para un valor determinado de x • Predecir un valor particular de y para un valor determinado de x La muestra de n pares de observaciones han sido seleccionados de una población en la que el valor promedio de y está relacionado con el valor de la variable de pronóstico x por la recta de medias, E(y) ϭ a ϩ bx una recta desconocida, que se muestra como recta interrumpida en la figura 12.12. Recuerde que para un valor fijo de x, por ejemplo x0, los valores particulares de y se des- vían desde la recta de medias. Estos valores de y se supone que tienen una distribución normal con media igual a a ϩ bx0 y varianza s2, como se ve en la figura 12.12. FIGURA 12.12 ●y Distribución de y para x ϭ x0 Recta de medias E(y) = α + βx x = x0 x Como los valores calculados de a y b varían de una muestra a otra, cada nueva mues- tra produce una diferente recta de regresión yˆ ϭ a ϩ bx, que se puede usar ya sea para estimar la recta de medias o para predecir un valor particular de y. La figura 12.13 mues- tra una de las posibles configuraciones de la recta ajustada (azul), la recta de medias desconocida (gris), y un valor particular de y (el punto azul). www.FreeLibros.me

528 ❍ CAPÍTULO 12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN FIGURA 12.13 ● y Valor real de y que se trata de predecir Error al estimar E (y) y = a + bx y predecir y ⑀ E(y) = α + βx Error de Valor que se predice de y x0 estimar E(y) x ¿A qué distancia estará nuestro estimador yˆ ϭ a ϩ bx0 desde la cantidad a estimar o predecir? Esto depende, como siempre, de la variabilidad de nuestro estimador, medido por su error estándar. Se puede demostrar que yˆ ϭ a ϩ bx0 el valor estimado de y cuando x ϭ x0, es un estimador insesgado de la recta de medias, a ϩ bx0 y que yˆ está normalmente distribuida con el error estándar de yˆ estimado por __________________ (_x_0_Ϫ___ෆx_)_2 Sxx Ί ΂ ΃SE(yˆ) ϭ _1_ ϩ MSE n La estimación y prueba están basadas en la estadística t ϭ _yˆ_Ϫ___E_(_y_) SE(yˆ) MI CONSEJO que tiene una distribución t con (n Ϫ 2) grados de libertad. Para formar un intervalo de confianza (1 Ϫ a)100% para el valor promedio de y Para un valor determinado de x, el intervalo de predicción cuando x ϭ x0, medido por la recta de medios, a ϩ bx0, se puede usar la forma usual para es siempre más ancho que el un intervalo de confianza basado en la distribución t: intervalo de confianza. yˆ Ϯ ta/2SE( yˆ) No obstante, si se escoge predecir un valor particular de y cuando x ϭ x0, hay algún error adicional en la predicción debido a la desviación de y desde la recta de medias. Si examinamos la figura 12.13, se puede ver que el error en predicción tiene dos compo- nentes: • El error al usar la recta ajustada para estimar la recta de medias • El error causado por la desviación de y desde la recta de medias, medida por s2 La varianza de la diferencia entre y y yˆ es la suma de estas dos varianzas y forma la base para el error estándar de ( y Ϫ yˆ) empleado para predicción: ______________________ Ί ΄ ΅SE(y Ϫ yˆ) ϭ MSE 1 ϩ _1_ ϩ _(x_0__Ϫ__ෆx_)_2 n Sxx y el intervalo de predicción (1 Ϫ a)100% se forma como yˆ Ϯ ta/2SE( y Ϫ yˆ) www.FreeLibros.me