Estadística básica I

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. ESTADÍSTICA BÁSICA I AUTORES: Ing. Rómulo Eduardo Mena Campaña, MBA. Ing. Tania Eslavenska Escobar Erazo, MSc. Ing. Edwin Ramiro Haro Haro, MBA. Dra. Mayra Alexandra Córdova Alarcón, Mgst. Ing. Víctor Marcelo Merino Castillo, Mgst. Página 1

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Rómulo Eduardo Mena Campaña Tania Eslavenska Escobar Erazo Edwin Ramiro Haro Haro Mayra Alexandra Córdova Alarcón Víctor Marcelo Merino Castillo ESTADÍSTICA BÁSICA I ISBN-978-9942-21-953-4 Página 2

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. CONTENIDO 1 CAPÍTULO I: LA ESTADÍSTICA Y LA DESCRIPCIÓN DE DATOS................................................................................ 10 OBJETIVOS ...........................................................................10 1.1 CONCEPTOS BÁSICOS. ...................................................10 1.1.1 ESTADISTICA ..................................................................... 10 1.1.2. IMPORTANCIA Y ÁMBITO...................................................... 11 1.1.3. DATOS ESTADÍSTICOS ........................................................ 12 1.1.4 MÉTODOS ESTADÍSTICOS .................................................... 15 Recolección (medición)______________________________ 15 Recuento (cómputo) ________________________________ 16 Presentación ______________________________________ 16 Síntesis __________________________________________ 16 Análisis. _________________________________________ 17 1.2. POBLACIÓN Y MUESTRA ................................................17 1.2.1. POBLACIÓN ........................................................................ 17 1.2.2. MUESTRA ........................................................................... 18 1.3. CLASIFICACIÓN ESTADÍSTICA.......................................19 1.3.1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ................................................. 19 1.3.2. ESTADÍSTICA INFERENCIAL.................................................. 19 1.4 LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA .................................19 1.4.1 PLANEAMIENTO................................................................... 20 El objeto de la investigación __________________________ 20 La finalidad. ______________________________________ 20 Página 3

1.4.2 ESTADÍSTICA BÁSICA I 1.4.3 1.4.4 Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 1.4.5 1.4.6 La fuente de información.____________________________ 21 Los procedimientos de investigación. ___________________ 22 Sistemas de investigación ___________________________ 22 El material estadístico ______________________________ 24 El costo y su financiación. ___________________________ 25 RECOLECCIÓN .................................................................... 25 CRÍTICA Y CODIFICACIÓN .................................................... 25 TABULACIÓN Y PROCESAMIENTO .......................................... 26 ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN .............................................. 27 PUBLICACIÓN ..................................................................... 27 1.5 TABLAS ESTADÍSTICAS..................................................28 1.5.1 PARTES DE UNA TABLA ........................................................ 29 Numeración de las tablas ____________________________ 29 Títulos de tablas ___________________________________ 30 Cuerpo de una tabla: _______________________________ 30 Notas de la tabla. __________________________________ 30 Tablas de otras fuentes. _____________________________ 31 1.5.2 TIPOS DE TABLAS ............................................................... 31 Tablas de una entrada.______________________________ 31 Tablas de dos entradas. _____________________________ 32 Tablas complejas:__________________________________ 32 1.6 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS .............................................34 1.6.1 GRÁFICAS LINEALES............................................................ 35 1.6.2 GRÁFICOS DE SUPERFICIE ................................................... 36 1.6.3 OTROS............................................................................... 37 Página 4

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Gráficos XY (de dispersión): __________________________ 37 Gráficos de área ___________________________________ 38 1.7 DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES DE FRECUENCIAS 39 1.7.1 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS PARA DATOS CUANTITATIVOS....................................................................................... 40 Pasos para elaborar una distribución de frecuencias _______ 41 1.8 DIAGRAMAS DE FRECUENCIAS.......................................49 1.8.1 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER CUALITATIVO.... 49 Diagrama de barras.________________________________ 50 Gráficas en forma de pastel. _________________________ 50 1.8.2 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER CUANTITATIVO DISCRETO 51 Diagrama de barras ________________________________ 51 Diagrama en forma de pastel _________________________ 52 1.8.3 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER CUANTITATIVO CONTINUO 53 Histograma _______________________________________ 54 Polígono _________________________________________ 55 Ojiva ____________________________________________ 55 2 CAPÍTULO II: ANÁLISIS ESTADÍSTICO SIMPLE ....... 57 OBJETIVOS ...........................................................................57 2.1 INTRODUCCIÓN .............................................................57 2.2 TIPOS DE ESTADÍGRAFOS..............................................57 Página 5

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 2.3 ESTADÍGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL ......................58 2.3.1 MEDIA ARITMÉTICA ............................................................. 59 Media aritmética con datos no agrupados _______________ 59 Media aritmética con datos agrupados __________________ 63 2.3.2 MEDIA PONDERADA............................................................. 67 2.3.3 LA MEDIANA ....................................................................... 68 Mediana de datos no agrupados _______________________ 68 Mediana de datos agrupados _________________________ 71 2.3.4 MODA ................................................................................ 75 Moda de datos no agrupados _________________________ 75 Moda de datos agrupados ___________________________ 77 2.3.5 MEDIA GEOMÉTRICA ........................................................... 79 2.3.6 MEDIA ARMÓNICA ............................................................... 83 2.4 FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN ........................................85 2.4.1 RELACIÓN ENTRE MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA........ 85 2.5 CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES............................90 2.5.1 Medidas de posición relativa ................................................. 91 Los Cuartiles ______________________________________ 91 Los Deciles _______________________________________ 91 Los Percentiles ____________________________________ 91 2.6 ESTADÍGRAFOS DE DISPERCIÓN ...................................99 2.6.1 DISPERCIÓN ABSOLUTA....................................................... 99 Rango ___________________________________________ 99 Desviación media _________________________________ 101 Varianza ________________________________________ 104 Página 6

2.6.2 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Desviación estándar _______________________________ 108 DISPERCIÓN RELATIVA ...................................................... 110 Coeficiente de variabilidad __________________________ 110 2.7 MEDIDAS DE ASIMETRÍA .............................................113 2.8 MEDIDAS DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS .................116 3 CAPÍTULO III: NÚMEROS ÍNDICES ........................ 120 OBJETIVOS .........................................................................120 3.1 INTRODUCCIÓN ...........................................................120 3.2 CARACTERÍSTICAS ......................................................120 3.3 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ÍNDICES................120 3.3.1 NÚMEROS ÍNDICES DE PRECIOS ......................................... 120 3.3.2 NÚMEROS ÍNDICES DE CANTIDAD ...................................... 121 3.3.3 NÚMEROS ÍNDICES DE VALOR ............................................ 121 3.4 NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES .......................................121 3.5 NÚMEROS ÍNDICES NO PONDERADOS ........................122 3.5.1 PROMEDIO SIMPLE DE LOS ÍNDICES DE PRECIOS ................. 122 3.5.2 ÍNDICE AGREGADO SIMPLE ................................................ 124 3.6 NÚMEROS ÍNDICES PONDERADOS ..............................124 3.6.1 ÍNDICE DE LAYSPEYRES..................................................... 125 3.6.2 ÍNDICE DE PAASCHE ......................................................... 126 3.6.3 ÍNDICE DE FISHER ............................................................ 127 3.7 ÍNDICES DE VALOR......................................................127 Página 7

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 4 CAPÍTULO IV: REGRESIÓN. CORRELACIÓN Y SERIES DE TIEMPO ....................................................................... 129 OBJETIVOS .........................................................................129 4.1 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN........................................129 4.1.1 VARIABLE DEPENDIENTE: .................................................. 129 4.1.2 VARIABLE INDEPENDIENTE: ............................................... 129 4.1.3 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ......................................... 129 4.1.4 CÁLCULO DE COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN................... 133 4.2 ANÁLISIS DE REGRESIÓN ............................................134 4.2.1 PRINCIPIO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS ........................... 134 4.2.2 TRAZO DE LA LÍNEA DE REGRESIÓN.................................... 137 4.2.3 EL ERROR ESTÁNDAR DE LA ESTIMACIÓN ............................ 138 4.3 FUNDAMENTOS PARA EL ANÁLISIS DE UNA SERIE DE TIEMPO ...................................................................................139 4.4 COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPOS.................139 4.4.1 TENDENCIA SECULAR ........................................................ 139 4.4.2 VARIACIÓN CÍCLICA .......................................................... 141 4.4.3 VARIACIÓN ESTACIONAL ................................................... 142 4.4.4 VARIACIÓN IRREGULAR ..................................................... 143 4.5 MEDICIÓN DE TENDENCIAS .........................................143 4.5.1 TENDENCIA LINEAL ........................................................... 143 Método de libre ajuste _____________________________ 143 Método de mínimos cuadrados _______________________ 145 Página 8

4.5.2 ESTADÍSTICA BÁSICA I 4.5.3 Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. MÉTODO DEL PROMEDIO MÓVIL ......................................... 147 MÉTODO DEL PROMEDIO MÓVIL PONDERADO ...................... 151 Página 9

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 1 CAPÍTULO I: LA ESTADÍSTICA Y LA DESCRIPCIÓN DE DATOS OBJETIVOS 1. Saber qué significa estadística. 2. Exponer el ámbito de aplicación y la importancia de la estadística. 3. Diferenciar entre una variable cualitativa y una variable cuantitativa. 4. Distinguir entre una variable discreta y una variable continua. 5. Diferenciar entre niveles de medición nominal, ordinal, por intervalo y de razón. 6. Explicar qué es estadística descriptiva y estadística inferencial. 7. Realizar pequeñas investigaciones estadísticas, aplicando las etapas del proceso de investigación. 8. Aplicar la metodología en la elaboración de tablas de distribución de frecuencias. 9. Seleccionar y elaborar figuras que visualicen la información de las tablas. 10. Analizar y obtener conclusiones sobre la información contenida en las tablas y gráficas. 1.1 CONCEPTOS BÁSICOS. 1.1.1 ESTADISTICA En esta unidad revisaremos algunos conceptos útiles los cuales le servirá al estudiante formarse una idea de los términos más usados en el estudio de la estadística. Una definición clara y sencilla señala que, la estadística es la ciencia que recoge, organiza, presenta, analiza e interpreta datos con el fin de propiciar una toma de decisiones más eficaz (Lind, Marchal, & Wathen, 2012). Ciro Martínez, al presentar el significado de la palabra estadística señala que, es un sistema o método usado para la recolección, organización, análisis y descripción numérica de la información. Página 10

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. También se puede decir que la estadística estudia el comportamiento de hechos o fenómenos de grupo (Martínez, 2012). Otra definición muy sucinta indica que, la estadística es el arte y la ciencia de recolectar, analizar, presentar e interpretar datos (Anderson, Sweeney, & Williams, 2008). El término estadística proviene del latín statisticum collegium (“consejo de Estado”) y de su derivado italiano statista (“hombre de Estado o político”). En 1749, el alemán Gottfried Achenwall comenzó a utilizar la palabra alemana statistik para designar el análisis de datos estatales. Por lo tanto, los orígenes de la estadística están relacionados con el gobierno y sus cuerpos administrativos (Definición.de, 2015). Por lo anterior, teniendo en cuenta las bondades que aportó la estadística a la gestión de los estados; las empresas y personas, la han aprovechado y en la actualidad no existe campo de estudio en la que la estadística se encuentre ausente. 1.1.2. IMPORTANCIA Y ÁMBITO En nuestra vida cuotidiana, cuando revisamos periódicos, revistas, internet, al mirar los noticieros en televisión, nos encontramos con tablas, gráficos, medidas, análisis e interpretaciones que nos dan cuenta de lo que pasa en nuestro contexto y en distintos lugares del planeta. Podemos enterarnos, que está ocurriendo en el campeonato nacional de futbol, qué equipos ocupan las primeras posiciones en la tabla, cuáles ocupan las últimas posiciones; en el ámbito artístico, cuáles son las preferencias musicales de los jóvenes de 10 a 15 años, o de 16 a 25 años, por supuesto, se encontrarán diferencias; en el ámbito profesional, cuáles son las tendencias de estudios universitarios más demandadas, cuáles son las profesiones más rentables; en los dispositivos tecnológicos, cuáles son las necesidades actuales de equipos, las preferencias de un grupos de jóvenes, las necesidades de los universitarios, de las amas de casa, de los hombres y mujeres de negocios, etc. Pero no solo podemos encontrar necesidades de personas naturales; las personas jurídicas, esto es negocios y empresas, pequeñas y grandes, también necesitan información para enrumbar su actividad a aquello que les permita producir más, cubrir mayores Página 11

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. mercados, incrementar su patrimonio, incrementar su utilidad, cómo se encuentra evolucionando la demanda el mercado de los bienes que producen, cuál es la evolución de los precios, cuál es la participación de la empresa o producto en el mercado, si existen posibilidades de expansión, si las ventas en cantidad y en dólares se encuentran en franco ascenso o descenso, si existirá la posibilidad de aplicar estrategias que mejoren las ventas, la apertura para nuevos mercados, para nuevos productos, etc. Pero la estadística no solo es útil para el desempeño de la vida cuotidiana y de los negocios; sino que ésta va más allá de ellos, las diferentes ciencias se han desarrollado mediante la utilización de la estadística como: las médicas, que nos da cuenta de la evolución de las enfermedades, la eficacia de los medicamentos y tratamientos, el porcentaje de éxito en determinado tipo de cirugía, la frecuencia de las enfermedades, sus índices de mortalidad, etc.; las ciencias sociales la cual involucra a los ámbitos: educativo, que nos permite conocer los índices de estudio escolarizado, alfabetismo, analfabetismo; la psicología, que contribuye al conocimiento del comportamiento de los individuos y sus aptitudes, la sociología en la evolución y desarrollo de las culturas y sociedades, la economía contribuye con estudios tanto microeconómicos como macroeconómicos; y más ámbitos tales como demografía, administración pública, historia, geografía, antropología, etc. Como se habrá dado cuenta, el ámbito de aplicación de la estadística es extenso, por su muy diverso uso y su necesaria actualización. La toma de decisiones acertadas son realizadas con información, su validez y confiabilidad se sujetan a los instrumentos y técnicas estadísticas utilizadas en la investigación de interés. 1.1.3. DATOS ESTADÍSTICOS Los datos son hechos, informaciones y cifras que se recogen, analizan y resumen para su presentación e interpretación. A todos los datos reunidos para un determinado estudio se les llama conjunto de datos para el estudio (Anderson, Sweeney, & Williams, 2008).Como por ejemplo si considera: Variable Conjunto de datos Edad (en años) {1, 2, 3, ⋯ } Número de hijos {0, 1, 2, ⋯ } Página 12

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Estatura (en centímetros) {150, 162,173, ⋯ } Estado civil {������������������������������������������, ������������������������������������, ������������������������������������������������������������, ⋯ } Grupo sanguíneo {������, ������, ������������, ������} VARIABLE. Una variable es una característica de los elementos que es de interés (Anderson, Sweeney, & Williams, 2008). Las cifras o información que conforma un conjunto de datos, son obtenidas cuando se averigua una variable, a los elementos o individuos sujetos en un estudio de investigación. Como se observa en los ejemplos de: edad, número de hijos, estatura, estado civil, grupo sanguíneo; se tienen variables de dos clases de datos, los cuantitativos y cualitativos. 1. Datos cuantitativos. Son expresados numéricamente y nos dan una idea de cantidad, dimensión, duración, distancia, etc. 2. Datos cualitativos. Son conocidos también como datos de atributo, agrupan a una población o muestra en características semejantes, pero no tienen medidas numéricas; se encuentran comprendidas por etiquetas o nombres que identifican el atributo de cada elemento, Como en el caso de la variable estado civil, el dato de respuesta podría ser: soltero, casado, viudo, divorciado, etc. De acuerdo a la naturaleza de los datos se debe escoger el método apropiado para resumir la información, determinar las medidas adecuadas y realizar sus correspondientes análisis. Para ello es necesario clasificar a las variables en dos tipos. 1. Variables cuantitativas. Se encuentran en este grupo aquellas que pueden medirse, cuantificarse, permiten una descripción o representación numérica. Estas variables atendiendo a los valores que pueden tomar se clasifican en variables discretas y continuas. a. Variable discreta. Se refiere a aquella que sólo puede tomar valores enteros, esto es: 1, 2, 3, etc., tal es el caso del número de hijos por familia, número de televisores en un hogar, etc. b. Variable continua. Toma todos los valores posibles en un intervalo, es decir, se admiten valores fraccionarios, como el número de años de una persona: 20 años, tres meses, cinco Página 13

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. días, valor pagado por impuesto a la renta de un profesional o empresa, etc. 2. Variables cualitativas. Estas variables agrupan cualidades o atributos, en la que los casos de estudio pueden formarse dos grupos como: hombre – mujer, estudiante – no estudiante, con empleo – sin empleo, etc. Pero también estas variables pueden conformar más de dos grupos como; al estudiar el grupo sanguíneo de los individuos se tendrá: A, B, AB y O (cuatro grupos); el estado civil de las personas se tendrá soltero (a), casado (a), divorciado (a), viudo (a) y unión de hecho, etc. Según sea de un tipo u otro, la variable podrá medirse de distinta manera, esto es, tendrán distintas escalas o niveles de medición. En las variables cualitativas los datos son de nivel nominal y ordinal. a. Datos de nivel nominal. Los datos de los elementos sujetos de análisis se encuentran representados por nombres, admiten una clasificación, sin que ello signifique un orden lógico. Como ejemplos serían: Países que integran el pacto andino, género de los estudiantes de un curso de estadística, marca de automóviles, etc. b. Datos de nivel ordinal. Los datos de los elementos sujetos de análisis se disponen de acuerdo a un orden que se encuentra especificado, razón por lo que los datos se pueden clasificar y ordenar. Como ejemplo, las calificaciones cualitativas asignadas por el profesor de estadísticas a los trabajos presentados por los estudiantes serían: excelente, muy bueno, bueno, regular y malo. Tabla de posiciones de los equipos que intervienen en el campeonato ecuatoriano de futbol de la serie A, se tendría primero, segundo, tercero, … ,etc. En las variables cuantitativas los datos son de nivel de intervalo y de razón. a. Datos de nivel de intervalo. Identifica la posición ordinal de cada elemento sujeto de análisis y las diferencias entre intervalos es la misma. Ejemplos de datos de intervalo son la temperatura ambiental observada en la escala de grados centígrados, las tallas de las diferentes prendas de vestir, etc. Página 14

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. b. Datos de nivel de proporción: Identifica la posición ordinal de cada elemento sujeto de análisis, las distancias de cada intervalo es la misma, se basa en un sistema numérico en la que el cero es significativo y las operaciones de multiplicación y división tienen un resultado racional. Ejemplos de esto se tiene a: las ventas en dólares de un establecimiento comercial, en donde el cero representa que en ese día no ha existido ventas, costos, rentabilidad, participación en el mercado, etc. 1.1.4 MÉTODOS ESTADÍSTICOS El método estadístico según se le atribuye a Jesús Reynaga, profesor de Salud Pública de la Facultad de Medicina, UNAM, consiste en una serie de procedimientos para el manejo de los datos cualitativos y cuantitativos de la investigación. Las características que adoptan los procedimientos propios del método estadístico dependen del diseño de investigación seleccionado para la comprobación de la consecuencia verificable en cuestión. El método estadístico tiene las siguientes etapas:  Recolección (medición)  Recuento (cómputo)  Presentación  Descripción  Análisis Tales etapas siempre se encuentran en el orden descrito y cada una de ellas consiste de manera resumida en lo siguiente: Recolección (medición) En esta etapa se recoge la información cualitativa y cuantitativa señalada en el diseño de la investigación. La recolección o medición puede realizarse de diferentes maneras: a veces ocurre por simple observación y en otras ocasiones requiere de complejos procedimientos de medición La calidad técnica de esta etapa es fundamental ya que de ella depende que se disponga de datos exactos y confiables en los cuales se fundamenten las conclusiones de toda la investigación. Página 15

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. En ocasiones, la recolección de la información debe ocurrir en grupos tan grandes de individuos que se hace imposible tratar de abarcar a todos ellos; entonces es cuando se pone en práctica procedimientos de muestreo. Tales procedimientos de muestreo están subordinados a la consecuencia verificable que se desea comprobar y al diseño de investigación seleccionado. Recuento (cómputo) En ésta etapa del método estadístico, la información recogida es sometida a revisión clasificación y cómputo numérico. A veces el recuento puede realizarse de manera muy simple, por ejemplo con rayas o palillos; sin embargo, puede requerirse el empleo de computadoras y programas especiales para el manejo de base de datos. En términos generales puede decirse que el recuento consiste en la cuantificación de la frecuencia con que aparecen las diferentes características medidas de los elementos en estudio; por ejemplo, el número de personas de sexo femenino y el de personas de sexo masculino; o, el número de niños con peso menor de 3 kilos y el número de niños con peso igual o mayor a dicha cifra. Presentación En esta etapa del método estadístico, se elaboran las tablas y figuras, las cuales permiten una inspección precisa y rápida de los datos. La elaboración de tablas tiene por propósito acomodar los datos de manera que se pueda efectuar una revisión numérica precisa de los mismos. La elaboración de figuras tiene por propósito facilitar la inspección visual rápida de la información. Síntesis En esta etapa la información, es resumida en forma de medidas que permiten expresar de manera sintética las principales propiedades numéricas de grandes series o agrupamiento de datos. Tales medidas de resumen, al ser comunicadas, permiten a los interlocutores evocar de una misma esencia de los datos; por ejemplo, cuando alguien informa que el promedio de un grupo de alumnos es de 9.6 puntos en una escala que va del 0 al 10, la Página 16

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. imagen que se transmite es de un grupo con buen aprovechamiento escolar. Entre las principales medidas para sintetizar los datos cuantitativos se encuentra la moda y la amplitud, la mediana y los percentiles y el promedio y la desviación estándar. Análisis. En esta etapa mediante fórmulas estadísticas apropiadas y el uso de tablas específicamente diseñadas, se efectúa la comparación de las medidas de resumen previamente calculada. El análisis estadístico de los datos consiste en la comparación. Existen procedimientos bien establecidos para la comparación de las medidas de resumen que se hayan calculado en la etapa de descripción. Tales procedimientos, conocidos como pruebas de análisis estadísticos cuentan con sus fórmulas y procedimientos propios. Cada prueba de análisis estadístico debe utilizarse siempre en función del tipo de diseño de investigación que se haya seleccionado para la comprobación de cada consecuencia verificable o deducible, a partir de la hipótesis general de la investigación. Por lo anterior, puede considerarse a la estadística como una disciplina que posee su propio método. Tal disciplina emplea conocimientos de otras ciencias como la lógica y la matemática; y por eso, se dice que la estadística es una forma razonable de emplear el sentido común y la parte aritmética la complementa con el manejo de datos de la investigación (Reynaga, 2015). 1.2. POBLACIÓN Y MUESTRA 1.2.1. POBLACIÓN Es un conjunto de medidas o recuento de todos los elementos que presentan una característica común (Martínez, 2012). Un estudio poblacional equivale a una investigación total, ejemplo de ello, en el Ecuador se realizó en noviembre del 2010 el Censo de Población y Vivienda, el cual consistió en un recuento de la población y las viviendas para generar información estadística Página 17

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. confiable, veraz y oportuna acerca de la magnitud, estructura, crecimiento, distribución de la población y de sus características económicas, sociales y demográficas, que sirva de base para la elaboración de planes generales de desarrollo y la formulación de programas y proyectos a cargo de organismos de los sectores público y privado (Instituto Nacional de Estadísticas y Censos, 2015). 1.2.2. MUESTRA Es un conjunto de medidas o recuento de una parte de elementos que pertenecen a la población de interés. Para que una muestra sea representativa de una población, los elementos deben ser seleccionados aleatoriamente, esto es, los elementos que se encuentran en la población, todos tienen la misma oportunidad de ser elegidos en la muestra. Un estudio muestral se justifica cuando el estudio poblacional se ve imposibilitado porque:  Las poblaciones son muy grandes o infinitas.  El tiempo requerido es demasiado grande.  Los costos son elevados que imposibilita la ejecución de la investigación.  Existe limitación en la disponibilidad del recurso humano.  Debido a la naturaleza destructiva de los elementos sujetos a estudio.  La homogeneidad de la característica. Parámetro. Es una característica medida de una población completa, por ejemplo: la proporción de alumnos de más de 21 años que ingresan a la universidad. En estadística se asignan símbolos del alfabeto griego para designar un parámetro (Slideshare, 2015). Estimador. Es la medida de una característica relativa a la muestra, al valor promedio de los datos y la imagen de éstos; la mayoría de los estadísticos muestrales se encuentran por medio de fórmulas y suelen asignárseles símbolos del alfabeto latino (Slideshare, 2015). Página 18

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 1.3. CLASIFICACIÓN ESTADÍSTICA 1.3.1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Es el conjunto de técnicas que se encargan de organizar, resumir, presentar y describir los datos de manera informativa. Los medios útiles para la presentación y descripción de datos son: las tablas de frecuencia, los gráficos, el cálculo de medidas de tendencia central, de posición, de variabilidad, etc. 1.3.2. ESTADÍSTICA INFERENCIAL Es el conjunto de técnicas que se encargan de estimar los parámetros poblacionales a partir de una muestra. La exactitud de la estimación depende de las técnicas estadísticas usadas y del cuidado con que se tomó la muestra. La diferencia entre el estadístico de la muestra y el parámetro de la población se denomina error muestral. 1.4 LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA En nuestra vida cuotidiana o laboral nos encontramos en la necesidad de contar con información estadística para una adecuada toma de decisiones. En una variedad de ocasiones podremos encontrar la información requerida y elaborada usualmente por instituciones estatales (información secundaria) que para el caso ecuatoriano lo realiza el Banco Central del Ecuador, Instituto Ecuatoriano de Estadísticas y Censos, Registro Civil, Identificación y Cedulación, los diversos Ministerios que elaboran estadísticas en su ámbito de acción (educación, salud, vivienda, trabajo, etc.); así también, se puede obtener información de entidades privadas como periódicos, revistas y páginas web especializadas (economía, finanzas, educación, industrial, empresarial, emprendimientos, etc.). En otras ocasiones, habrá la necesidad de realizar una investigación con el objeto de obtener la información necesaria para el conocimiento y toma de decisiones adecuadas al interés personal, laboral o empresarial. A la hora de realizar una investigación, el método estadístico es la herramienta adecuada para la recolección de la información mediante registros, que se ordenan, clasifican, cuantifican y se muestran mediante tablas y Página 19

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. gráficos, de forma clara, resumida y fácil de interpretar grandes cantidades de información (Martínez, 2012). Otras necesidades de información, son aquellas que se obtienen en orden cronológico, tales como las temperaturas registradas en las diferentes ciudades del Ecuador a una hora determinada de cada día, número de accidentes de tránsito por provincia y periodo mensual, precio promedio mensual de la canasta básica para el consumidor, exportaciones e importaciones en periodos mensuales del Ecuador, ventas diarias registradas en determinado negocio o empresa, inventarios o utilidades al finalizar el año, etc. Ciro Martínez, señala que el proceso de investigación estadística consta de seis fases. 1.4.1 PLANEAMIENTO Un plan de investigación debe contemplar lo siguiente: El objeto de la investigación Es el hecho o fenómeno que se va a observar o registrar numéricamente. Ejemplo. Una investigación sobre los salarios. El objeto de la investigación responde a la pregunta ¿qué se va a investigar? La finalidad. Al analizar que se va a investigar se propone definir el objeto de investigación, determinar la naturaleza cuantitativa y cualitativa, determinar la posibilidad de su investigación y limitar el objeto investigable, con los que se responde el por qué:  Definir el objeto de la investigación. Es la fijación precisa del concepto de o que se aspira indagar. Decir con claridad y exactitud lo que la estadística va a recoger. La unidad o elemento de investigación debe ser: clara, adecuada, mensurable y comparable.  Determinar su naturaleza cuantitativa o cualitativa del objeto de la investigación. Esto es, establecer si la variable investigada es de naturaleza numérica (cuantitativa) o de atributo (cualitativa).  Determinar la posibilidad de investigación. Es necesario examinar si el objeto de la investigación pueden ser conocidas Página 20

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. con precisión, si se exteriorizan, si pueden contarse si admiten su existencia y su intensidad.  Limitar el objeto investigable. Por imposibilidad o por ser innecesaria la observación completa, la estadística reduce sus trabajos a un doble aspecto. El primero limitando el objeto de la investigación y segundo limitando el campo de la investigación. La limitación de la investigación puede darse de manera coordinada en función del tiempo, espacio, número, etc. La fuente de información. A continuación es necesario identificar en dónde se obtener información de la investigación y si aquellas fuentes son de naturaleza directa o indirecta. Las investigaciones directas se recogen los datos de un acontecimiento de cualquier índole, cuando acudimos a él, lo observamos y anotamos su presencia o su ausencia y su intensidad mediante números. Por tanto se llamará fuente de información estadística directa allí donde el hecho sujeto de la investigación se produce, como por ejemplo, la familia, la empresa, la fábrica, los costos, los precios, etc. Las investigaciones indirectas son cuando se recurren a un hecho distinto del que se está interesado, para después deducir de éste el valor del que en definitiva se desea conocer. Son inducciones lógicas, cálculos aproximados, estimaciones que constantemente se realizan en los negocios. Ejemplos de estos pueden ser: la estimación de la cosecha en base a la siembra de un producto agrícola, el cálculo poblacional en una fecha intermedia se determina en base a dos censos, las necesidades de llantas se calculan en base a la cantidad de autos en circulación en un estado o región, etc. Las fuentes de información indirectas son aquellas donde el hecho investigado se manifiesta indirectamente o donde se refleja. También pueden clasificarse a las fuentes de información como primaria, cuando se obtiene directamente de la investigación, realizada usualmente a través de una encuesta, y secundaria, cuando se trata de información complementaria, publicada por la misma institución o cualquier otra. Página 21

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Los procedimientos de investigación. Señala las normas que determinan el cómo debe realizarse la investigación; estas se resumen en los siguientes puntos.  Claridad y publicidad. Toda investigación debe ser clara y conocida por observadores y observados. La claridad debe estar presente en todo el proceso de investigación.  Sencillez. Debe estar presente en: los formularios, las instrucciones, en el proyecto, en la finalidad, en las tablas, en los gráficos, en los comentarios y análisis, operaciones de cálculo, etc.  Utilidad. Toda estadística que se inicie debe tener alguna aplicación práctica de interés. Las investigaciones pueden ser:  Ocasional. Si se da la recolección de datos en circunstancias extraordinarias, cuando eventualmente se presenta un problema, o se agita su solución. Por ejemplo cuando se realiza una investigación del costo de vida o de salarios cuando se plantea una huelga.  Periódica. Aquellas investigaciones que se repiten de tiempo en tiempo, en lapsos regulares. Ejemplos de ello se tiene los censos en periodos decenales, las estadísticas de las industrias con periodicidad anual, los boletines de comercio exterior en forma mensual, etc.  Continua. Son estadísticas que se produce sin interrupción, ejemplos de ellas se tiene a las demográficas como: la natalidad, la mortalidad, los matrimonios, tráfico por carreteras, etc.  Registro permanente. Aquellas que se registra a medida que el hecho tiene lugar. Por ejemplo los accidentes de tránsito, suicidios, etc. Sistemas de investigación Se distinguen varios procedimientos de investigación, entre ellos se tiene:  Las recopilaciones automáticas de datos por declaración espontánea del sujeto de la investigación, como inscripciones obligatorias en los casos de natalidad, matrimonios, mortalidad, migración, comercio exterior, edificaciones, recaudación de impuestos, etc. Página 22

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V.  Las recopilaciones intencionales de datos, obtenidas mediante empleo de un agente que ex profeso vaya a la fuente de información para registrar los datos, como en los casos de los censos de población y vivienda, encuestas de hogares sobre ingresos y gastos, sobre las condiciones de una determinada industria, etc.  Investigaciones completas, son aquellas que recogen todos los datos, indagan todo el campo de observación, como todos los balances de la banca, la producción de sal, la de cemento, de transporte aéreo, que tiene lugar en una región o estado.  Investigaciones incompletas, son las que sólo atienden a una parte de las unidades estadísticas, bien por no ser posible recoger la totalidad de los datos, por no ser necesario para el fin que se persigue. Si la estadística incompleta no es representativa del conjunto, no es típica para generalizar los resultados parciales al conjunto de los casos. En caso contrario, cuando el círculo estudiado numéricamente puede sustituir al total, la estadística incompleta es de extraordinaria utilidad.  Las recopilaciones voluntarias de datos, frecuentemente se llevan a cabo por las instituciones privadas y se refieren comúnmente a las monografías y encuestas científicas. La radio, prensa y las revistas suelen invitar a sus lectores a opinar sobre algunos problemas candentes o a declarar un dato de su vida o negocio particular. Pues bien, de estos sistemas, el proyecto, para el caso particular, tendrá que decir cuál interesa más y cuál debe emplearse. Sobre la recolección de información, puede ser por correo, entrega personal del cuestionario y la entrevista; otros sistemas de menor importancia corresponden a: internet, teléfono y panel. Todos estos presentan ventajas y desventajas, por ejemplo la entrevista resulta más ventajosa por que proporciona un mayor número de cuestionarios recolectados, mayor número de respuestas, permite aclarar el objetivo de la investigación y las dudas del informante; entre sus desventajas se tiene mayor costo, más tiempo de recolección, alto número de encuestadores, etc. Página 23

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. El material estadístico Está constituido por los útiles, documentos o instrumentos necesarios para llevar adelante la investigación. El material puede dividirse en impreso e instrumental. Material impreso. Se refiere a los formularios o cuestionarios, boletines, hojas de inscripción, registros, circulares, pliegos de instrucciones, etc. Las normas de diseño y redacción de un formulario que se someterá a discusión, pruebas y aprobación, son las siguientes.  Debe ser sucinto, limitado a las preguntas esenciales, las necesarias para los fines de la investigación y que efectivamente pueda obtenerse de la fuente informativa.  Debe prescindirse de toda pregunta indiscreta que levante suspicacias y temores, o que moleste al investigado.  Debe ser claro, fácilmente comprensible, no ofrecer dudas en la forma de contestar cada pregunta, que admita una sola interpretación.  Debe evitarse los juicios personales del investigador y del investigado, como cuando se deje a criterio del calificador juzgar la importancia o la bondad de un hecho (grande, mediano o pequeño); (bueno, regular, malo).  También debe tenerse en cuenta, la clase de papel, su tamaño, la distribución de las partes del cuestionario, su impresión, colores, el tiempo de llenado, etc. Equipos. La recolección de datos y la elaboración posterior requieren de varios instrumentos, aparatos, máquinas y útiles, que quien proyecta debe tener en cuenta, en su número y clase. Existen investigaciones que requieren de instrumentos especiales, sin los que no se podrían recoger datos. En una investigación de antropometría, requiere de escalas cromáticas de la piel, del pelo, de los ojos, cinta métrica, balanza, etc. Si se trata de llevar estadísticas de una empresa sobre los horarios de entrada y salida del personal que labora o el de un aparcadero de autos, será necesario contar con un reloj marcador. En un almacén, la estadística de ventas e ingresos se lleva en una caja registradora. Página 24

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. El costo y su financiación. La estimación previa de gastos y su financiamiento, constituye el último punto del proyecto de investigación estadística. Estos gastos pueden ser atribuidos a estudios preliminares, asesorías, trabajos geográficos, formulación del plan, plan de propaganda, impresión del formulario, selección y adiestramiento del personal, contratación de servicios auxiliares, materiales y equipos, trabajo de campo, sistematización de la información y publicación. Todo proyecto de esta clase debe ser discutido y aprobado por un grupo de técnicos en estadística y por peritos en la materia que va a investigarse. La consecución del financiamiento no debe dejarse para más tarde de la etapa de preparación, su previsión debe abarcar la cantidad de dinero necesario hasta el final de la investigación. Aprobado el plan con las modificaciones del grupo de técnicos y peritos, se continúa con la ejecución del mismo. 1.4.2 RECOLECCIÓN Preparado el proyecto de investigación es posible comenzar con la recolección de la información. La etapa de recolección comprende aspectos tales como:  Distribución del material o instrumento de recolección.  La recolección propiamente dicha.  Control del número de formularios recolectados  Control sobre la calidad de la información recolectada. 1.4.3 CRÍTICA Y CODIFICACIÓN Es un conjunto de operaciones de revisión y corrección de la información recolectada, que nos permita agruparla y procesarla, de tal manera que se facilite la elaboración de tablas, gráficos y análisis, necesarios en su publicación. El objeto de la crítica, es clasificar el material primario que precede de la misma investigación, en tres grupos: material bueno, material incorrecto pero corregible y material incorregible o desechable. Página 25

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. La necesidad de procesar la información recogida en los cuestionarios, ha obligado a traducir las respuestas en códigos. Por ejemplo, el código para la pregunta estado civil, podría establecerse de la siguiente manera. Tabla 1. CÓDIGO DE ESTADO CIVIL DE LOS CIUDADANOS ESTADO CÓDIGO ESTADO CÓDIGO CIVIL 1 CIVIL 4 2 5 Soltero 3 Viudo 6 Casado Separado Divorciado Otro Cuando el número de respuestas sobrepasa de 9, es preciso utilizar cifras de dos dígitos, tal como: Tabla 2. CÓDIGO DE PROFESIONES DE LOS CIUDADANOS PROFESIONES CÓDIGO Abogado/a 01 Actor /Actriz 02 Agente de viaje 03 Arquitecto/ a 04 Astrónomo/a 05 ⋮ 35 Veterinario/a 1.4.4 TABULACIÓN Y PROCESAMIENTO Puede ser manual, mecánica o computarizada y su elección dependerá:  De la cantidad de formularios que se van a utilizar.  Del número de preguntas que tenga el formulario.  Del tiempo y los recursos, ya sean financieros o de equipo disponible. Cuando la tabulación se acuerda desde el principio como parte integrante de la planeación general de la investigación, es de suponer que todo el proceso será totalmente satisfactorio, sin embargo, es necesario que sea revisado a fin de detectar inconsistencias que se presenten en el presente proceso o en Página 26

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. procesos anteriores. Una vez elaboradas las correcciones, se procede a elaborar las tablas, gráficos, análisis, conclusiones y recomendaciones, de ser el caso. 1.4.5 ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN El análisis de los datos tiene que ver con la formulación del objetivo de la investigación y de las hipótesis establecidas; sin embargo, este proceso de análisis tendrá menos dificultad, si el investigador tiene pleno conocimiento de los problemas que son inherentes al planteamiento de la investigación. En este proceso, se debe considerar la elaboración de distribuciones o tablas de frecuencia obtenidas a través de una sistematización de la información para poder ser presentada en forma de tablas y gráficos. Con los resultados anteriores se procede a realizar un resumen y aplicar las diferentes medidas, a las que se ha denominado estadígrafos cuando son aplicados a las características de las unidades de la muestra o como parámetros aplicados a las características de la población, entre los que se tendrá en cuenta las medidas de dispersión, promedios, porcentajes y proporciones. Con las cifras resultantes, se pueden hacer comparaciones con otros estudios o estudios anteriores, para llegar a mejores conclusiones. 1.4.6 PUBLICACIÓN La publicación propone llegar a las personas interesadas, el resultado total del estudio, teniendo en cuenta todos los aspectos considerados en el proceso, de tal forma que los datos sean comprensibles, con la correspondiente validez que merezcan las conclusiones. En términos generales se puede decir que un informe deberá contener:  Planteamiento del problema.  Objetivo de la información.  Hipótesis que se quiere probar.  Breve exposición de la metodología utilizada, diseño y tamaño de la muestra. Proceso de selección de las unidades de información y recolección. Página 27

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V.  Se podrá incluir en el informe, copia del formulario utilizado en la recolección de la información, aún relacionando y justificando, en forma sucinta, las preguntas que se consideran más importantes dentro de la investigación.  Descripción de resultados en forma de tablas y gráficos, acompañados del análisis y comparaciones obtenidas a través de los datos.  Conclusiones y recomendaciones. Estas últimas cuando así lo exija la investigación.  En algunos casos, el informe tiene una parte final, denominada apéndice, en donde se incluyen tablas más generales, que permiten aclarar o comprobar rápidamente cualquier información más detallada. también puede incluir información complementaria al informe. 1.5 TABLAS ESTADÍSTICAS Al realizar una investigación estadística, lo más probable es que se cuente con una gran cantidad de datos correspondientes a una variable de interés, por lo que será necesario tabularlos; es decir, hay que confeccionar con ellos una tabla en la que aparezcan ordenadamente. Esto es los valores de la variable de interés o estudio y el número de elementos o individuos de cada valor; es decir, su frecuencia. En la sección 1.1.3 se realizó la distinción entre variables cualitativas y cuantitativas. Recordando, la variable cualitativa o atributo, es de naturaleza no numérica, la cual puede clasificarse en distintas categorías, no hay un orden particular en estas categorías. Ejemplos de datos cualitativos incluyen la afiliación política a los distintos partidos existentes en el Ecuador como: Partido Renovador Institucional Acción Nacional, Partido Avanza, Partido Movimiento Popular Democrático, Partido Sociedad Patriótica, Partido Socialista, Partido Social Cristiano, etc., el método de pago al comprar en Supermercados La Favorita (SUPERMAXI): efectivo, cargo a tarjeta de débito, crédito, etc. Por otra parte, las variables cuantitativas son de índole numérica. Ejemplos de datos cuantitativos relacionados con estudiantes universitarios incluyen: el precio de los libros de texto, edad y horas que pasan estudiando a la semana, etc. Página 28

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 1.5.1 PARTES DE UNA TABLA Según el documento Introducción al estilo APA, 6ta. Ed., preparado por el Lic. Manuel De La Vega Miranda, de la Universidad Nacional abierta y a Distancia, enuncia a continuación los elementos e instrucciones que se debe tener en cuenta para la elaboración de tablas estadísticas (De La Vega, 2012). Las normas APA, generalmente las tablas, exhiben valores numéricos exactos y los datos están dispuestos de forma organizada en líneas y columnas, facilitando su comparación. Las tablas son eficientes para presentar una gran cantidad de datos en un pequeño espacio. Si la tabla es corta (dos o menos columnas y/o filas) se debe presentar textualmente la información. De manera general la estructura de una tabla está conformada por las partes señaladas en la figura 1. Las tablas para su adecuada construcción debe observase los siguientes puntos. Numeración de las tablas Las tablas deben ser enumeradas con números arábigos secuencialmente dentro del texto y en su totalidad). Ej.: Tabla 1, Tabla 2, Tabla 3, etc. No utilice subíndices (3, 3a y 3b). Si la tabla está dentro de un apéndice, use letras mayúsculas y números (Tabla B2) Figura 1. Identificación de las partes que conforma una tabla estadística Página 29

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Títulos de tablas El título de la tabla debe ser breve, claro y explicativo. Debe ser puesto arriba de la tabla, en el margen superior izquierdo, debajo de la palabra Tabla (con la inicial en mayúscula) y acompañado del número con que la designa. Si es necesario puede explicarse las abreviaturas dentro del mismo título [i.e., falsa alarma (FA)] Relación entre tablas y texto. Las tablas complementan, no duplican el texto. Se escribe en el texto los elementos destacados de la tabla. Al citar tablas en el cuerpo del texto, se escribe el número específico de la tabla. (ej.: como se muestra en la Tabla 1, Tabla 2, Tabla3, etc. (la palabra Tabla inicia con mayúscula). No se escribe, “la tabla que se muestra arriba o abajo”, tampoco, “la tabla de la página43”. Relación entre tablas. Evite combinar tablas que repitan datos. Para facilitar comparaciones, se debe ser consistente en la presentación de todas las tablas. Se debe usar la misma terminología para todos los casos. Encabezado. Establece la lógica para la organización de los datos. Identifica las columnas de datos debajo de ellos. Debe ser corto, no más ancho que la columna que abarca. Cuerpo de una tabla: a. Valores enteros y/o decimales. b. Celdillas vacías.  Deje en blanco si no hay datos.  Inserte una raya (guion) si no se obtuvieron o no se informaron los datos. c. Concisión.  No incluya columnas de datos que puedan calcularse con facilidad a partir de otras. Notas de la tabla. Las tablas presentan tres tipos de notas: generales, específicas y de probabilidad. Las notas son útiles para eliminar la repetición en el cuerpo de una tabla. Se ubican en el margen izquierdo (sin sangría) debajo de la tabla (entre la tabla y la nota se insertan dos espacios). Y deben ser ordenadas en esta secuencia: nota general, nota específica y Página 30

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. nota de probabilidad, y cada tipo de nota debe ir en una línea nueva. Nota general. Explica u ofrece informaciones relacionadas a la tabla como un todo, explica las abreviaturas, símbolos y afines Nota específica. Se refieres a una columna, fila o ítem especifico. Debe ser indicada por letra minúscula sobrescrita (a, b, c). Nota de probabilidad. Indica los resultados de pruebas significativos y se indican con asterisco sobrescrito (*). *p < .05, **p < .01. Tablas de otras fuentes. Debe obtener la autorización de la fuente que posee la propiedad literaria (derecho de autor), para reproducir o adaptar una parte o toda una tabla de otro autor. Las tablas reproducidas de otra fuente, deben presentar debajo de la tabla, la referencia del autor original, aunque se trate de una adaptación. 1.5.2 TIPOS DE TABLAS Tablas de una entrada. Se denominan de una entrada o de entrada simple, cuando representan una sola variable o característica de la realidad. En la columna matriz van las clases en que se presenta las variaciones de la característica en estudio. Tabla 3. ESTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA DE LA FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS DE LA UCE, SEGÚN EDAD DEL PERIODO ABR – SEP DEL 2015. EDAD (AÑOS NÚMERO CUMPLIDOS) 1,146 18 – 27 573 28 – 37 291 38 – 47 113 48 – 57 52 MAS DE 57 2,175 TOTAL Página 31

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Tablas de dos entradas. Son tablas en las que se presentan dos variables de la realidad, las clases de una de ellas van en la columna matriz (vertical) y las clases de la segunda en el encabezado (horizontal). Tabla 4. ESTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA DE LA FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS DE LA UCE, SEGÚN EDAD Y GÉNERO, DEL PERIODO ABR – SEP DEL 2015. EDAD (AÑOS NÚMERO DE TOTAL CUMPLIDOS) ESTUDIANTES 1146 18 – 27 Masculino Femenino 573 28 – 37 478 668 291 38 – 47 243 330 113 48 – 57 158 133 52 MÁS DE 57 67 46 2,175 32 20 TOTAL Tablas complejas: Son tablas que presentan en forma simultánea tres o más variables o características de la realidad en estudio, una va en la columna matriz y las otras en el encabezado. El uso de estas tablas debe ser restringido, porque puede ser complicada su interpretación si representan muchas variables. Tabla 5. ESTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA DE LA FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS DE LA UCE, SEGÚN EDAD, TIPO DE COLEGIO Y GÉNERO, DEL PERIODO ABR – SEP DEL 2015. BACHILLERATO EN COLEGIO EDAD (AÑOS Fiscal Fisco misional Particular TOTAL CUMPLIDOS) Masculino Femenino Masculino Femenino Masculino Femenino 1,146 18 – 27 573 28 – 37 259 297 82 112 137 259 291 38 – 47 113 48 – 57 163 154 57 55 23 121 52 MÁS DE 57 2,175 TOTAL 87 66 22 22 49 45 29 23 14 7 24 16 15 12 9 3 8 5 553 552 184 199 241 446 Página 32

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Ejemplo de aplicación 1 En el feriado del 10 de agosto del 2015, se preguntó a un total de 1,000 residentes de la sierra ecuatoriana, ¿qué playa para vacacionar preferían? Los resultados fueron que a 200 les gustaba más alguna de las playas de le provincia de Esmeraldas; a 300, alguna de las playas de la provincia de Manabí; a 400, alguna de las playas de la provincia de del Guayas y a 100, alguna de las playas de la provincia de El Oro. Elabore una tabla con los puntos sugeridos. Solución Tabla 6 PREFERENCIA DE LOS CIUDADANOS DE LA SIERRA ECUATORIANA, SOBRE LAS PLAYAS POR PROVINCIA EN LAS QUE LES GUSTA VACACIONAR, EN AGOSTO DEL 2015. PROVINCIA NÚMERO Playas de Esmeraldas 200 Playas de Manabí 300 Playas de Guayas 400 Playas de El Oro 100 TOTAL 1,000 Ejemplo de aplicación 2 Se preguntó a 500 viajeros (as) de negocios frecuentes que llegaron a la ciudad Quito, ¿qué hotel era de su preferencia?, los resultados fueron los siguientes: Casa Gangotena, 25; Swissotel, 100; Hilton Colón, 80; Best Western Premier, 120; Casa San Marcos Hotel, 45; el resto prefería JW Marriott Hotel. El 30% son mujeres. a. Elabore una tabla de frecuencias la distribución por hotel y género. b. Elabore una tabla de frecuencias la distribución por hotel, género y región de origen (Porcentaje aproximado: costa 45%, sierra 35% y oriente 20%; aproxime al entero más cercano). Solución a) La tabla estará dispuesta por la primera columna con los nombres de los hoteles que frecuentan los viajeros de negocios a Página 33

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. la ciudad de Quito; las siguientes dos columnas identificarán el género de los viajeros; y una última columna por el total. Tabla 7. PREFERENCIA DE HOTELES DE VIAJEROS (AS) DE NEGOCIOS QUE LLEGAN A QUITO, SEGÚN GENERO, EN AGOSTO DEL 2015. HOTEL GÉNERO TOTAL Casa Gangotena Femenino Masculino 30 Swissotel 9 21 100 Hilton Colón 30 70 Best Western Premier 24 56 80 Casa San Marcos Hotel 36 84 120 JW Marriott Hotel 12 28 39 91 40 TOTAL 130 150 350 500 b) La tabla estará dispuesta al igual que la tabla 7, y además se adicionará columnas que identifiquen las regiones del Ecuador continental. Tabla 8 PREFERENCIA DE HOTELES DE VIAJEROS (AS) DE NEGOCIOS QUE LLEGAN A QUITO, SEGÚN GENERO Y REGIÓN DE PROCEDENCIA, EN AGOSTO DEL 2015. GÉNERO HOTEL Femenino Masculino TOTAL Casa Gangotena Costa Sierra Oriente Costa Sierra Oriente 30 Swissotel 100 Hilton Colón 43 2 10 7 4 80 Best Western Premier 120 Casa San Marcos Hotel 14 11 5 31 25 14 40 JW Marriott Hotel 130 11 8 5 25 20 11 500 TOTAL 16 13 7 38 29 17 54 3 13 10 5 18 14 7 41 32 18 68 53 29 158 123 69 1.6 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS En las investigaciones estadísticas, comúnmente se tendrá una gran cantidad de datos numéricos, con los que se tendrá elaboradas tablas que resumen la información recolectada. A más de esto, es Página 34

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. necesario contar con gráficas estadística, las cuales permiten tener información clara y rápida de lo obtenido en el estudio. Existen varias gráficas para describir un conjunto de datos; dependiendo de lo que se requiera representar, cada una de ellas es adecuada para un estudio determinado, ya que no siempre se puede utilizar la misma para todos los casos. 1.6.1 GRÁFICAS LINEALES Se compone de una serie de datos representados por puntos, unidos por segmentos lineales. Mediante esta gráfica se puede comprobar rápidamente el cambio de tendencia de los datos. Los diagramas o gráficas lineales son de aplicación en las denominadas series de tiempo o series cronológicas, donde una de las variables, por defecto, corresponde al tiempo (������) (años, meses, días, etc.) y la segunda es la variable investigada (Y) (Martínez, 2012). Un ejemplo de gráficas lineales podría obtenerse con los datos de la empresa ABC, en la que se señala los ingresos y costos anuales, que se muestran a continuación Tabla 9. INGRESOS Y COSTOS DE LA EMPRESA ABC EN LOS AÑOS 2004 A 2010. AÑOS INGRESOS COSTOS EN EN MILES MILES 2004 2005 260 110 2006 380 200 2007 300 150 2008 620 420 2009 470 360 2010 720 510 870 620 3,620 2,370 Si solo se quiere observar la evolución de los ingresos de la empresa ABC, en una gráfica lineal, se presentaría de la siguiente manera. Página 35

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 1000 E N 800 M $ 600 I 400 L 200 E 0 S 2004 2005 2006 2007 2008 2009 AÑOS Figura 2. Evolución de los ingresos de la empresa ABC en los años 2004 a 2010 Si se representa, tanto los ingresos como los costos, en una gráfica lineal, estos se representan en la misma forma que la gráfica anterior; además que se observarán las diferencias para cada uno de los años; el espacio entre las líneas de costos e ingresos, representa la utilidad bruta anual. Observe las diferencias que existen para los años 2008 y 2010, es claro que en el 2010, la utilidad es mayor. 1000 INGRESOS E 900 EN MILES N 800 COSTOS 700 EN MILES M 600 I 500 UTIL L 400 IDAD E 300 S 200 100 $0 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 AÑOS Figura 3. Evolución de los ingresos y costos de la empresa ABC de los años 2004 a 2010. 1.6.2 GRÁFICOS DE SUPERFICIE Este tipo de gráficos puede comparar varias series de datos, como novedad respecto al resto de gráficos. En este caso se emplean distintos colores para diferenciar cada valor que Página 36

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. corresponde a una unidad mayor. Si los datos están muy dispersos el gráfico será muy difícil de interpretar (Recursos para trabajos administrativos, 2013). Tabla 10. INVENTARIO DE ARTÍCULOS PARA LA VENTA DE ALMACENES 1, 2 Y 3. Tijeras ALMACÉN 1 ALMACÉN 2 ALMACÉN 3 Bolígrafos 4 6 8 Carpetas 2 4 6 Lapiceros 1.4 3 6 4 6 8 Figura 4. Inventario de artículos para la venta de almacenes 1, 2 y 3. 1.6.3 OTROS Gráficos XY (de dispersión): Presentan la peculiaridad de que los dos ejes muestran valores (no hay un eje de categorías). Se emplean para reflejar la relación entre dos variables. Ejemplo: relación entre la Renta y la Inversión, las dos variables están correlacionadas, a mayor renta mayor inversión (Recursos para trabajos administrativos, 2013). Página 37

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Tabla 11. RELACIÓN ENTRE LA RENTA Y LA INVERSIÓN EN MILES DE DÓLARES. Renta en miles $ Inversión en miles $ 1 1.5 2 2.1 3 3.2 3,5 I N3 V E M 2,5 I R L 2 SE I S 1,5 Ó N 1 $ E 0,5 123 4 N RENTA EN MILES $ 0 0 Figura 5. Relación entre la renta y la inversión en miles de dólares. Gráficos de área Son como los gráficos de líneas, pero con colores debajo de las líneas para ayudar a su identificación, ya que apilar las series contribuye a verlas más claramente (Recursos para trabajos administrativos, 2013). Tabla 12. VENTAS ANUALES POR TIPO DE ORDENADORES. AÑOS SOBREMESA PORTÁTILES 2008 32 12 2009 32 12 2010 28 12 2011 12 21 2012 15 28 Página 38

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 50 PORTÁTILES 40 SOBREMESA 30 20 2009 2010 2011 2012 10 0 2008 Figura 6. Ventas anuales por tipo de ordenadores de los años 2008 a 2012. 1.7 DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES DE FRECUENCIAS La tabla formada por las distintas modalidades (valores o intervalos) del carácter X y por las frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas o relativas acumuladas, recibe el nombre de distribución de frecuencias: absolutas, absolutas acumuladas, relativas y relativas acumuladas, respectivamente (García & Japón , 2015). Por lo anterior, se tiene cuatro distribuciones de frecuencias, obteniéndose a partir de una cualquiera de ellas, las tres restantes, supuesto que se conoce la frecuencia total. Las cuatro distribuciones de frecuencias se expresan en tablas como las que se presentan a continuación. a. Carácter cualitativo. ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ℎ1 ������1 ������������������������������������������������������ ������1 ������1 ℎ2 ������2 ������������������������������������������������������ ������2 ������2 ⋮⋮ ⋮ ⋮ ℎ������ ������������ ⋮ ⋮⋮ ℎ������ ������������ = 1 ������������������������������������������������������ ������������ ������������ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ������������������������������������������������������ ������������ ������������ = ������ Página 39 n

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. b. Carácter cuantitativo sin agrupar ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������1 ������1 ℎ1 ������1 ������������ ������2 ������2 ℎ2 ������2 ⋮⋮⋮⋮ ⋮ ������������ ������������ ������������ ℎ������ ⋮⋮⋮⋮ ������������ ������������ ������������ ������������ = ������ ℎ������ ⋮ n1 ������������ = 1 c. Carácter cuantitativo agrupado en intervalos ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������1 ������1 ℎ1 ������1 ������������ ������2 ������2 ℎ2 ������2 ⋮⋮⋮⋮⋮ ������������ ������������ ������������ ℎ������ ������������ ⋮⋮⋮⋮⋮ ������������ ������������ ������������ = ������ ℎ������ ������������ = 1 n1 Para la preparación de una tabla de distribución de frecuencias de carácter cuantitativo agrupado en intervalos, tenga en cuenta lo siguiente. 1.7.1 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS PARA DATOS CUANTITATIVOS Las variables cuantitativas tales como número de hermanos, número de goles marcados por un equipo de fútbol, valor de ventas diarias, producción de un bien en la semana, pago de sueldos mensuales, número de turistas anuales que han ingresado al Ecuador durante una década, etc. son idóneas para realizar distribuciones de frecuencias de datos cuantitativos. Distribución de frecuencias. Agrupación de datos en clases mutuamente excluyentes, que muestra el número de observaciones que hay en cada clase. Página 40

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Pasos para elaborar una distribución de frecuencias Los pasos para elaborar una distribución de frecuencias son: 1. Determinar el número de clases que se desea tener. 2. Determinar la amplitud o intervalo de clase. 3. Determinar los límites de cada una de las clases. 4. Distribuir los datos originales en las distintas clases o tabular. 5. Contar el número de elementos en cada clase que corresponde al valor de la frecuencia. Paso 1. Determinar el número de clases Es usar suficientes grupos o clases, que indiquen la forma de la distribución, por lo que se recomienda un número de clase no menor a 5 ni mayor a 15. El objetivo es usar un número suficiente de clases que indiquen la forma de la distribución. Para determinar el número de clases se utiliza la regla “2 k n”, la misma que sugiere utilizar como número de clases el menor número (k) tal que 2 k(en palabras 2 elevado a la potencia k) sea mayor que el número de observaciones (n). Donde: ������ = ������������ ������������ ������ú������������������������ ������������������������������ ������������ ������������������������������������������������������������������������������. ������ = ������������ ������������ ������ú������������������������ ������������������������������������ ������������������������������������������������ ������, ������ú������������������������ ������������ ������������������������������������ ������ ������������������������������������������������. Por ejemplo, si se realizaron 30 llamadas telefónicas para la venta de computadores y se desea saber cuántas clases se debe utilizar; ������ = 30 2 = ������ú������������������������ ������������������������ ������ = ������������������������������������������������������ ������������ ������ú������������������������ ������������ ������������������������������������. Utilizando la regla tenemos: 2������ ������ 25 30 Página 41

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 32  30 Al ser 32 mayor que 30, la regla para calcular el número de clases, se recomienda que sean 5 clases en la tabla de frecuencias. Paso 2. Determinar la amplitud o intervalo de clase. Para determinar la amplitud se resta del límite superior, el inferior de un conjunto de datos y se divide para el número de clases. Al conocer el ancho del intervalo o intervalo de clase a utilizar, se puede aplicar la siguiente fórmula para encontrar el número de clases a utilizarse; en caso de que se manejen datos agrupados. ������ − ������ ������ ≥ ������ Donde: ������ = ������������ ������������ ������������������������������������������������������ ������������ ������������������������������ ������ = ������������ ������������ ������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������������������������ ������ = ������������ ������������ ������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������������������������ ������ = ������������ ������������ ������ú������������������������ ������������ ������������������������������ El primer procedimiento a estudiar para organizar y resumir un conjunto de datos es realizar una tabla de frecuencias. TABLA DE FRECUENCIAS O FRECUENCIA ABSOLUTA (������������). Se agrupa datos cualitativos y cuantitativos en clases mutuamente excluyentes que muestra el número de observaciones en cada clase. Por ejemplo, en la venta de vehículos marca Toyota se identifica cinco modelos SUV'S, la identificación por modelo es una variable cualitativa. Suponga que Toyota Ecuador desea resumir las ventas del año pasado por modelo de vehículo. El resumen en una tabla de frecuencia se presentaría de la siguiente manera. Página 42

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Tabla 13. Tabla de frecuencias absolutas de vehículos Toyota, modelos Suv's vendidos en el ecuador en el año 2014. Modelos SUV'S (������������) Número de vehículos. (������������) 4RUNNER 300 FJ CRUISER 200 FORTUNER 400 LAND CRUISER 200 RAV4 500 FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA (������������). Esta frecuencia tiene sentido calcularla para variables cuantitativas o cualitativas ordenables, en los demás casos no tiene mucho sentido el cálculo de esta frecuencia. La frecuencia absoluta acumulada es el número de veces que ha aparecido en la muestra o población un valor menor o igual que el de la variable. El cálculo de la frecuencia absoluta acumulada está dado por la fórmula ������������ = ������������−1 + ������������ La frecuencia absoluta acumulada de las operaciones de microcréditos de la Cooperativa de Ahorro y Crédito La Dura, se presenta en la tabla 14. Tabla 14. Tabla de frecuencias absolutas acumuladas de operaciones de microcrédito de la C.A.C. La Dura, correspondiente al año 2014. (������������) (������������) Frecuencia absoluta Microcrédito minorista 300 Microcrédito de acumulación 200 acumulada simple 400 (������������) Microcrédito de acumulación 900 300 ampliada 500 TOTAL 900 Página 43

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. FRECUENCIAS RELATIVAS DE CLASE (ℎ������). Es la fracción del número total de observaciones en cada clase; esto es, la frecuencia relativa capta la relación entre la totalidad de elementos de una clase y el número total de observaciones. En el ejemplo de la venta de vehículos Toyota, busca conocer el porcentaje de vehículos modelos SUV'S vendidos en el Ecuador en el año 2014. La fórmula de cálculo para las frecuencias relativas de clase está dada por ℎ������ = ������������ , o ������ ℎ������ = ������������ ������ Donde ������ = ������ú������������������������ ������������ ������������������������������������������������������ ������������ ������������ ������������������������������������������ó������ ������ = ������ú������������������������ ������������ ������������������������������������������������������ ������������ ������������ ������������������������������������������ Tabla 15. Tabla de frecuencias absolutas y relativas de vehículos Toyota, modelos Suv's vendidos en el ecuador en el año 2014. ������������ ������������ Frecuencia Frecuencia relativa (������������). relativa (������������). 4RUNNER 300 FJ CRUISER 200 300⁄1,600 0.19 FORTUNER 400 200⁄1,600 0.12 LAND CRUISER 200 400⁄1,600 0.25 RAV4 500 200⁄1,600 0.13 ������ = ������, ������������������ 500⁄1,600 0.31 TOTAL ������, ������������������⁄������, ������������������ 1.0000 Frecuencia relativa acumulada (������������). Es el cociente entre la frecuencia acumulada de una clase determinada y el número total de datos. La fórmula de cálculo de las frecuencias relativas acumuladas se obtiene al calcular Página 44

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. ������������ = ������������ , o ������ ������������ ������������ = ������ Tabla 16. Tabla de frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas y relativas acumulada de vehículos Toyota, modelos Suv's vendidos en el Ecuador en el año 2014. ������������ ������������ (������������) (������������). Frecuencia 4RUNNER 300 300 0.188 relativa acumulada(������������) 0.19 FJ CRUISER 200 500 0.125 0.31 FORTUNER 400 900 0.250 0.56 LAND 200 1,100 0.125 0.69 CRUISER RAV4 500 1,600 0.313 1.00 TOTAL 1,600 1.0000 Ejemplo de aplicación 3 Se ha investigado el número de hijos correspondientes a 25 familias, los resultados se muestran a continuación. 1220132340213 414220135123 a. Elabore una tabla de frecuencias absolutas. b. Otra con frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas y relativas acumuladas. Solución a. Se elabora una tabla resumen, la cual contendrá en el presente caso, en la primera columna, la variable cuantitativa (número de hijos por familia) y para la segunda columna, el conteo correspondiente de acuerdo al número de hijos obtenido en los datos. Página 45

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Tabla 17. CONTEO III Conteo de número de hijos por familia IIIII I NÚMERO DE HIJOS IIIII II 0 IIIII 1 III 2 I 3 25 4 5 TOTAL Una vez elaborado el conteo se procede a llenar la nueva tabla con números arábigos. Tabla 18. Distribución de frecuencias absolutas del número de hijos por familia. NÚMERO DE FRECUENCIA HIJOS ������������ ������������ 0 3 1 6 2 7 3 5 4 3 5 1 TOTAL 25 b. La tabla anterior contiene la frecuencia absoluta, por lo que le llamaríamos distribución de frecuencias absolutas. A partir de esta tabla se puede construir las demás frecuencias (absolutas acumuladas, relativas y relativas acumuladas). Tabla 19. Distribuciones de frecuencias (absoluta, absoluta acumulada, relativa, relativa acumulada) del número de hijos por familia. ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ 0 3 3 0.12 0.12 1 6 9 0.24 0.36 2 7 16 0.28 0.64 3 5 21 0.20 0.84 4 3 24 0.12 0.96 5 1 25 0.04 1.00 TOTAL 25 1 Página 46

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Ejemplo de aplicación 4 Se ha investigado la estatura de 50 estudiantes de estadística, los resultados que se muestran han sido previamente ordenados en forma ascendente. 151 151 152 152 153 154 154 154 155 156 158 158 158 159 161 161 163 164 164 164 166 168 170 170 170 170 170 171 171 172 173 174 174 175 176 177 177 177 177 178 178 180 182 183 184 184 184 185 185 185 a. Elabore una tabla de frecuencias absolutas. b. Otra con frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas y relativas acumuladas. Solución a. Tenga en cuenta los pasos señalados en la preparación de una tabla de distribución de frecuencias de carácter cuantitativo agrupado en intervalos. PASO 1. Determinar el número de clases que se desea tener. 2������ ������ Donde ������ = 50, Entonces 2������ > 50 Por tanto 26 > 50 64 > 50 Si ������ = 6, entonces se tendrá seis intervalos de clase. PASO 2. Determinar la amplitud o intervalo de clase. ������ − ������ ������ ≥ ������ Donde: ������ =? Página 47

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. ������ = 186 ������ = 151 ������ = 6 186 − 151 ������ ≥ 6 = 5.83 ≅ 6 186 − 151 = 35 6 × 6 = 36 ∗ * El rango del problema es 35, sin embargo, se dispone de 36, lo que da lugar para mover en una unidad en uno de los extremos, sea este, superior o inferior. PASO 3. Determinar los límites de cada una de las clases. ���������′���−1 − ���������′��� 150 – 156 156 – 162 162 – 168 168 – 174 174 – 180 180 – 186 PASO 4. Distribuir los datos originales en las distintas clases o tabular. ���������′���−1 − ���������′��� ������������ 150 – 156 IIIII IIIII 156 – 162 IIIII I 162 – 168 IIIII I 168 – 174 IIIII IIIII I 174 – 180 IIIII IIII 180 – 186 IIIII III TOTAL 50 PASO 5. Contar el número de elementos en cada clase que corresponde al valor de la frecuencia. Página 48

ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Tabla 20. Frecuencias absolutas de alturas de estudiantes de estadística del periodo 2015 – 2015. ���������′���−������ − ������′������ ������������ 150 – 156 10 156 – 162 6 162 – 168 6 168 – 174 11 174 – 180 9 180 – 186 8 50 TOTAL b. La tabla anterior contiene la frecuencia absoluta, por lo que le llamaríamos Distribución de frecuencias absolutas. A partir de esta tabla se puede construir las demás frecuencias (absolutas acumuladas, relativas y relativas acumuladas). Tabla 21. Frecuencias: absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas de alturas de estudiantes de estadística del periodo 2015 – 2015. ���������′���−������ − ���������′��� ������������ ������������ ������������ ������������ 150 – 156 10 10 0.20 0.20 156 – 162 6 16 0.12 0.32 162 – 168 6 22 0.12 0.44 168 – 174 11 33 0.22 0.66 174 – 180 9 42 0.18 0.84 180 – 186 8 50 0.16 1.00 50 1.00 1.8 DIAGRAMAS DE FRECUENCIAS 1.8.1 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER CUALITATIVO Comúnmente las gráficas de datos cualitativos son en forma de barras y de pastel. Sin embargo en situaciones especiales pueden ser útiles para datos cuantitativos. Página 49