Vectores-IvanVargas

1 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico 1. VECTORES Iván Vargas Blanco Físico Profesor, Instituto Tecnológico de Costa Rica 1.1 CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES Definición de Magnitud Atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente1. También se entiende como cantidad física formada por un número y la unidad de medida respectiva. Ejemplos: 0.3 µm, 3 km, 24 m/s, 12 J. Definición de Escalar Cantidad física que solo tiene magnitud. Son ejemplo de escalares: distancia, masa, tiempo, rapidez, temperatura, área, volumen, densidad, trabajo, energía, potencia y frecuencia. Los escalares pueden ser manipulados por las reglas del álgebra ordinaria. Ejemplos: 4 m, 5 kg, 60 s, 20 m/s, 37 °C, 8 m2, 4 m3, 24 Kg/m3, 1.78 J, 50 W y 333 Hz Definición de Vector Cantidad física que tiene magnitud, dirección y sentido. Son ejemplo de vectores: la velocidad, la aceleración, la fuerza, el peso, la cantidad de movimiento, el desplazamiento, campo eléctrico y el campo magnético.(la palabra vector significa portador en latín). Ejemplos: -4 m/s, +9.8 m/s2, 500 N 30°, -25 Kg m/s y –20 m Representación gráfica de vectores Un vector se representa gráficamente, como un segmento dirigido de recta PQ de un punto P llamado punto inicial o origen a otro punto Q llamado punto terminal o termino. Una punta de flecha en un extremo indica el sentido; la longitud del segmento, interpretada con una escala determina la magnitud. La dirección del vector se especifica al dar los ángulos que forma el segmento de recta con los ejes de coordenadas. Ejemplo: Termino Dirección: 30° Q Magnitud: 60 m Escala: 1 cm = 20 m P Origen 1 Peste F. Vocabulario Internacional de Términos Fundamentales y Generales de Metrología .Centro Nacional de Metrología.México.1996

2 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Notación de vectores Algebraicamente los vectores se representan con letras del alfabeto castellano, mayúsculas o minúsculas; usualmente en un texto impreso se utiliza la letra en negrita, tal como b que significa ambas propiedades del vector, magnitud y dirección. En la escrGitura manual ponemos una flecha sobre la letra para denotar la cantidad vectorial, tal como b . Ejemplos: G aG : -35 m/s, A: 50 millas Norte, b: 15 km Suroeste, B: 20 m Oeste, PQ : 50 m/s 30° La magnitud o longitud de un vector se representa colocando el vector entre barras o siGmplemente la letra asignada. A = 50 millas, A = 50 millas, PQ = : 50 m/s , PQ = : 50 m/s Dirección de un vector con puntos cardinales Para dar la dirección de un vector mediante puntos cardinales se anota de primero el punto cardinal norte o sur de acuerdo a la ubicación del vector , luego el ángulo que forma con el norte o sur y finalmente el punto cardinal este u oeste según corresponda. G N A: 20 m Escala: 1 cm = 10 m 30° O EG A: 20 m, N 60° O 45° G B : 30 m, S 45° E SG B : 30 m Dirección de un vector con la medida del ángulo (coordenadas polares ) En este caso se anota la magnitud del vector y el ángulo que forman la rama positiva del eje X y el vector, el ángulo se toma como positivo o negativo en la misma forma que se hace en los estudios de trigonometría. La magnitud del vector y el ángulo son llamados coordenadas polares. G y La magnitud y A: 20 m el ángulo son 30° Escala: 1 cm = 10 m llamadas O xG Coordenadas A: 20 m, 150° Polares 45° G B : 30 m, -45° G B : 30 m

3 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Clasificación de vectores Definición de línea de acción de un vector Es la recta a la que pertenece el vector Ejemplo: Vectores paralelos Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas. Ejemplo: GG GG AB AB Vectores iguales Son aquellos vectores que tienen la misma magnitud ,dirección y sentido aunque no tengan el mismo punto de aplicación. Ejemplo: GG GG θ Aθ B A= B Vectores deslizantes Son aquellos vectores que pueden moverse sobre su línea de acción sin cambiar su magnitud y dirección. Ejemplo: GG AB

4 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Vectores fijos Son aquellos vectores que no deben deslizarse sobre su línea de acción porque interesa que el origen coincida con un punto de aplicación del sistema. Ejemplo: G F Vectores libres Son aquellos vectores que pueden moverse libremente en el espacio con sus líneas de acción paralelas. Ejemplo: GG AA Vector opuesto de un vector Se define como aquel que tiene la misma magnitud daeGl v⇒ecto-raGy está a 180° respecto al vector y se representa como el negativo del vector, por lo cual se le llama vectores iguales y opuestos o antiparalelos. Un vector puede ser opuesto a otro si solo tiene dirección opuesta. Ejemplo: G A G -A Vector unitario: uˆ Es aquel vectoGr de magnitud la unidad o longitud unitaria y de igual direccGión que el vector dado. Si A o Aes un vector cualquiera de longitud A>0, entonces A/A o A/ Aes Gun vector unitario denotado por a o aˆ , con la misma dirección de A. Por lo tanto A=Aa o A = Aaˆ Ejemplo: ⇒ G Este es uno G aˆ = A = 7m60D = 1 m 60° de los A : 7 m 60° A7 vectores mas aˆ : 1 m 60° importantes G PGor lo tanto podemos escribir el vector A como AG = Aaˆ A= 7aˆ m

5 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Vectores consecutivos Son aquellos vectores donde el término de uno coincide con el origen del siguiente. Ejemplo: G b aG cG Vectores concurrentes Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se intersecan en un punto. Ejemplo: aG G b cG 1.2 OPERACIONES CON VECTORES GRÁFICAMENTE a)Multiplicación de un escalar por un vectorGgráficamente G Si se multiplica un escalar λ por un vector A resulta el vector λA cuya magnitud ha sido multiplicada por λ y el sentido depende del signo del escalar. Ej: G sí λ = 2 G A: 2 m 30° λA = 2(2 m) = 4 m 30° Practica 1.1 aG : 50 m 300° . Hallar: Dado el vector a) EELUUUllannnvvrvvveeeeeepcccccttroottteooorrsrrreounpccpnooteuiarntnecapscsireeuótincoornudrddedtiicneeevutloeaalGGvaaaer caaaGGtoaGr b) c) d) e) f) g) Un vector cuya magnitud sea 1 aG 2

6 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico b) Suma gráfica de vectores Para sumar vectores gráficamente existen diferentes métodos: Método del triangulo Es el método para sumar dos vectores consecutivos formando un triangulo con la resultante. Se deben seguir los siguientes pasos: G 1. En un diagrama dibujado a escala trazar el vector a con su dirección propia en el sistema de coordenGadas. G 2. DibuGjar el vector b a la misma escala con la cola en la punta de a ,asegurándose de que b tenga su misma dirección proGpia. 3. Se traza un vector desde la cola de a hasta la punta del vector G . Se mide la b longitud del vector resultante y se realiza conversión con la escala, esto nos da la magnitud del vector suma. Luego se mide el ángulo que forma el vector suma con la rama positiva del eje X. Ejercicio 1.1 GG DadosG losG sigGuientes vectores: A: 30 m , 35°, B : 20 m , -45°.Obtener el vector suma S = A+ B ,mediante el método del triangulo. Solución: y yG x G AB G GG S = A+ B Método del paralelogramo G yG gG con origen Es el método para sumar vectores concurrentes. Se dGibujan los vectores f rpceoasrmuallútenaln,atleuaegrGgGo;deaenmslbauamfsiagpruarrafaGlseeylatsragGyzasleousntardapozasaravdleeeclsatdoearesefl y por el término de f se traza una forman un paralelogramo. El vector origen de ambos vectores hasta la intersección de las paralelas. Se mide la longitud del vector resultante y se realiza conversión con la escala, esto nos da la magnitud del vector suma. Luego se mide el ángulo que forma el vector suma con la rama positiva del eje X. Ejercicio 1.2 G gG G G r f DgGa,dmosedloiasnstiegeuliemnétetos dvoecdteolrepsa:rafle:lo2g5ramm6o0. °, : 35 m 0°.Obtener el vector suma = + Solución: G G rG f f 60°gG gG

7 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Método del polígono Para sumar vectores por el método del polígono se colocan los vectores consecutivos y el vector suma es la resultante que va desde el origen del primer vector al término del último vector. Ejercicio 1.3 Un auto se desplaza 300 m del Norte 30° al Este, luego 500 m del Sur 60° al Este y finalmente 300 m al Sur. Hallar la distancia y dirección a la que quedo del punto de inicio. Solución: N G EG N G GGG Na b s =a +b+c E EG Gc s Propiedades de la suma de vectores 1. LGey GconmG utaGtiva para la suma. a +b =b+a G b G G G G a a e f G G d b ( ) ( )2. LGey aGsociGativaGparGa la sGuma. d + e+ f = d +e + f Leyes del álgebra vectorial2 GG G Si A, BG y CG soGn veGctores, m y n son escalares, entonces 1. AG + BG= BG+ A G G G Ley conmutativa para la suma 2. A+ (GB + C ) = G( A+ B )+G C Ley asociativa para la suma 3. m(n A)=G(mn) AG= n(mG A) Ley asociativa para la multiplicación 4. (m +G n)GA = m AG + n AG Ley distributiva 5. m( A+ B ) = m A+ m B Ley distributiva Observe que en estas leyes sólo la multiplicación de un vector por uno o más escalares está definida. Mas adelante se definen los productos entre vectores. 2 Murray R.S. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería y Ciencias. McGrawHill. México.2001. pag.149.

8 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico b) Resta gráfica de vectores La resta de vectores es Guna GsumGa =indAGic+a(d−aBGu)tilizando el concepto de vector opuesto. R = A− B Recuerde que Tiene la propiedad de no sGer cGonmGutatGiva. para la resta A− B ≠ B − A gráfica los EjemploG1.4 G vectores deben Sean A: 20 m 60° B : 50 m 0°. tener un origen común Hallar: G G G a) SG = AG + BG b) RG = AG − BK c) R = B − A Solución: G GB G A A G −B Practica G1.2 Sean AG : 30 m 110° B : 50 m 60° Hallar: G G G a) SG = AG + BG b) RG = AG − BK c) R = B − A d) Pruebe que G − G = −(BG − AG ) A B 1.3 OPERACIONES CON VECTORES ANALÍTICAMENTE 1) SUMA ANALÍTICA DE VECTORES Para sumar vectores analíticamente existen diferentes métodos: Método de teoremas Consiste en hallar la resultante de la suma vectorial de dos vectores, utilizando relaciones como el teorema de Pitágoras o el teorema de cosenos y senos. Teorema de Pitagoras Cuando los vectores forman un ángulo recto la magnitud de la suma o resultante se obtiene por medio del teorema de Pitágoras y la dirección por la relación trigonométrica tangente. G G S S = a2 + b2 θ G tan θ = b aG b a

9 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Ejercicio 1.3 Un avión vuela hacia el Norte a 90 m/s un fuerte viento sopla hacia el este a razón de 72 km/h y desvía su rumbo. Hallar la velocidad del avión para un observador en la tierra. Solución: 20 m/s G 90 m/s θ S G tanθ = b S = a2 + b2 a G tanθ = 20 S = (90)2 + (20)2 90 G S = 8500 tanθ = 0.222 G S = 92.2 m/s θ = 12.5 ° G Respuesta: S : 92.2 m/s , 12.5° ( en coordenadas polares ) Ejercicio Propuesto: Al oír la cascabel de una serpiente, usted realiza dos desplazamientos rápidos de 6.0 m y 5.0 m, al oeste y al sur respectivamente. Calcule la magnitud y dirección del desplazamiento resultante utilizando el método del teorema de Pitágoras. Utilice el método gráfico para obtener la respuesta, compare los resultados. Respuesta: Teorema de cosenos y senos Cuando los vectores forman cualquier ángulo la magnitud de la suma o resultante se obtiene por medio del teorema de cosenos y la dirección por el teorema de los senos. G s 2 = a 2 + b2 − 2ab cosθ (Ley de cosenos) b senα = senβ = senθ (Ley de senos) θα aG sG abc β

10 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Ejercicio 1.4 Dos hombres tiran de un bote, uno aplica una fuerza de 100 N y el otro de 80 N con un ángulo de 60° entre ellas. Hallar la fuerza resultante sobre el bote Solución: 60° Para la magnitud Para la dirección s 2 = a 2 + b2 − 2ab cosθ senα = senβ = senθ s 2 = (100)2 + (80)2 − 2(100)(80) cos120° abc s 2 = 10000 + 6400 − −8000 s = 24400 senβ = sen120° s = 156.2 m/s 80 156.2 senβ = 80sen120° 156.2 senβ = 0.4435 β = 26.3° Respuesta: G 156.2 m/s, 26.3° (en coordenadas polares ) s: Ejercicio Propuesto: Un conductor de automóvil maneja 3 km en la dirección de 60° noreste y luego 4 km en la dirección norte.¿Dónde termina respecto de su punto de inicio?.Utilice el método anterior, compare su resultado con su respuesta si utiliza el método grafico. Método de componentes rectangulares Dado un vector puede ser expresado en términos de muchos vectores que se suman consecutivamente llamaGdos vectores componentes del vector. G A7 A8 GG A G A6 A5 GG A1 A4 GG GG G G G G G G G A2 A3 A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

11 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico La división de un vector en componentes no es única dado que un vector puede formarse por suma de muy diversas maneras, pero es de mayor utilidad descomponer un vector solo en términos de sus vectores componentes rectangulares o cartesianas. a) Componentes Rectangulares o Cartesianas de un Vector Entre el ilimitado número de posibles divisiones de un vector en componentes tiene especial importancia las que se restringen a la dirección de los ejes cartesianos. Vectores unitarios rectangulares Los vectores unitarios rectangulares iˆ, ˆj y kˆ son vectores unitarios cuya dirección y sentido es la de los ejes positivos x, y, y z de un sistema de coordenadas rectangulares, a menos que se especifique de otra manera. Tales sistemas derivan su nombre del hecho de que un tornillo de rosca derecha girado 90° de Ox a Oy, avanzará en la dirección z positiva. Se dice que tres vectores que tienen puntos iniciales coincidentes, y que no son coplanares forman un sistema derechoG o siGstema diestro si un tornillGo de rosca derecha girado en un ángulo menor que 180° de A a B avanza en la dirección CG zG AG = Aiˆ C BG = Bˆj C = Ckˆ kˆ G y ˆj B G iˆ Ax iˆ = ˆj = kˆ = 1 Componentes de un vector en el plano y GG x A Ay ˆj θ G G iˆ Ax AGx : componente en la dirección del eje X AGy : G comG ponente en la dirección del eje Y A = Ax + Ay :Definición de suma de vectores UtilizandGo los vectores unitarios, se tiene AGx = Axiˆ AG y =GAy ˆj G A = Ax + Ay = Axiˆ + Ay ˆj

12 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Módulo o magnitud del vector Usando el teorema de Pitágoras se tiene G2 G 2 G 2 : los vectores unitarios tienen magnitud unitaria. A = Ax + Ay : magnitud del vector. G A = + Ax2 + Ay2 Relaciones útiles Ax = A cos θ ⇐ Ax = cosθ A Ay = A sen θ tan θ = Ay ⇐ Ay = senθ A Ax θ = arc tan  Ay  dirección del vector. Ax Ejercicio 1.5 CalcaGGule:la1s2cmom, Npo3n7e°ntEes x, y de los siguientes vectores: bG : 15 m, -40° c : 6 m, 60° con x negativo en el tercer cuadrante Solución: a x = a cosθ bx = b cosθ cx = c cosθ a x = 12mcos 53° bx = 15mcos− 40° cx = 6mcos 240° a x = 7.2 m bx = 11.5 m cx = −3 m a y = asenθ by = bsenθ cy = csenθ a y = 12msen53° by = 15msen − 40° cy = 6msen240° a y = 9.6 m by = −9.6 m cy = −5.2 m ∴ G = a xiˆ + a y ˆj G = bxiˆ + by ˆj ∴ G = cxiˆ + cy ˆj ∴ a = (7.2iˆ + 9.6 ∴ bG = (11.5iˆ − 9.6 ˆj) c = (−3iˆ − 5.2 ˆj) G ∴b G a ˆj) m m∴ c m Ejercicio Propuesto: CalcuGle las componentes x, y de los siguientes vectores: AG : 2.4 m, S 20° O BG : 1.7 m, -120° C : 3.4 m, 30° con x negativo en el segundo cuadrante

13 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Ejercicio 1.6 Calcule la magnitud y dirección del vector representado por los siguientes pares de componentes: a) Ax = 3.6 cm, Ay = -7.2 cm b) Bx = -1.4 cm, By = -9.35 cm Solución: G G A = + Ax2 + Ay2 B = + Bx2 + By2 G G A = + (3.6)2 + (−7.2)2 B = + (−1.4)2 + (−9.35)2 G G A = + 64.8 B = + 89.4 G G A = +8.04 cm B = +9.45 cm tanθ = − 7.2 tan β = − 9.35 3.6 − 1.4 θ = −63.4° β = 81.5° GG Respuestas: A: 8.04 cm, -63.4° ; B : 9.45 cm, 81.5° Ejercicio Propuesto: Calcule la magnitud y dirección del vector representado por los siguientes pares de componentes: a) a x = -2.34 km, a y = 8.70 km b) bx = 1.60 km, by = 5.75 km b) Suma de varios vectores en el plano Sean los siguientes vectores, todos en el plano XY G y A= Axiˆ + Ay ˆj By GG G Sy SB B = Bxiˆ + By ˆj G G C = Cxiˆ + C y ˆj A ........ Ay Ax Bx Sumando los vectores se tiene Sx G GGG x SG = A+ B + C + ... S = ( Ax + Bx + Cx + ...)iˆ + ( Ay + By + C y + ...) ˆj

14 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Sx = ( Ax + Bx + Cx + ...) : suma de las componentes en la dirección del eje X Sy = ( Ay + By + C y + ...) : suma de las componentes en la dirección del eje Y G = Sxiˆ + Sy ˆj S : vector resultante G S = + Sx2 + Sy2 : magnitud del vector resultante tan θ = Sy Sx θ = arc tan  Sy  : ángulo que forma el vector resultante Sx Ejercicio 1.7 Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle (a) las componentes de cada desplazamiento, (b) las componentes del desplazamiento resultante, (c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante, y (d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque.3 Solución: N G C : 5.94 m O GE B : 5.26 m G A: 4.13 m S (a) Ax = Acosθ Bx = Bcosθ Cx = C cosθ Ax = 4.13mcos 225° Bx = 5.26mcos 0° Cx = 5.94mcos 26° Ax = −2.9 m Bx = 5.26 m Cx = 5.34 m Ay = Asenθ By = Bsenθ C y = Csenθ Ay = 4.13msen225° By = 5.26msen0° C y = 5.94msen26° Ay = −2.9 m By = 0 m C y = 2.6 m G GG C xiˆ ∴ A= Axiˆ + Ay ˆj ∴ B = Bxiˆ + By ˆj ∴ C = + Cy ˆj G G G ∴ A = (−2.9iˆ − 2.9 ˆj) m ∴ B = (5.26iˆ + 0 ˆj) m∴ C = (5.3iˆ + 2.6 ˆj) m 3 Resnick.R. Física Vol.1. Cuarta Edición. Compañía Editorial Continental,S.A. México. 1999. Pb:22

15 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico (b) G AG = (−2.9iˆ − 2.9 ˆj) m BG = (5.26iˆ + 0 ˆj) m C = (5.3iˆ + 2.6 ˆj) m G S = (7.7iˆ − 0.3 ˆj) m (c) S = + Sx2 + Sy2 tanθ = Sy Sx S = + (7.7)2 + (−0.3)2 S = +7.7 m tanθ = − 0.3 7.7 θ = −2.2° (d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque es de 7.7 m. Ejercicio PGropuesto: G El vector A es de 2.80 cm y está 60° sobre el eje x en el primer cuadrante. B es de 1.90 cm yG estGá 60° por debajo del eje x en el cuarto cuadrante. Obtenga la magnitud y dirección de A+ B . Dibuje un diagrama de la suma y muestre que sus respuestas numéricas concuerdan con las de su dibujo4. c) Componentes de un vector en el espacio tridimensional El procedimiento desarrollado para los vectores en Gel plano se extiende al espacio tridimensional de la siguiente forma. Cualquier vector A en tres dimensiones se representa con su punto inicial en el origen O de un sistema de coordenadas rectangGulares. Sean ( Ax , Ay , Az ) las coordenadas rectangulares dGel punto teGrminal de un vector A con punto G inicial en O. Los vectores Ax = Axiˆ , Ay = Ay ˆj , Az = Azkˆ reciben el nombre de componentes rectangulares de un vector o simplemente vectores componentes en las direcciones de x, y, y z respectivamente. Por comodidad en la notación cada vector componente se expresa por la magnitud de la componente por un vector unitario en cada eje. A estos vectores unitarios se les designa por iˆ, ˆj y kˆ donde: iˆ = vector unitario en el eje x = (1,0,0) ˆj = vector unitario en el eje y = (0,1,0) kˆ = vector unitario en el eje z = (0,0,1) Por lo tanto un vector en componentes rectangulares de tres dimensiones se escribe de la siguiente manera. GG G G A= Ax + Ay + Az G A= Axiˆ + Ay ˆj + Azkˆ 4 Sears F.W. Física Universitaria. Novena edición.Pearson Educación. México.1999.Pb.1-37

16 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico ( )donde Ax, Ay, Az son las magnitudes de los vectores componentes rectangulares o sea las proyecciones del vector sobre los ejes x, y y z. z G G A Az = Azkˆ G G y Ax = Axiˆ Ay = Ay ˆj xG De esta manera el vector queda expresado así A= Axiˆ + Ay ˆj + Azkˆ Ejercicio 1.8 G Representar el vector A: ( 3, -2, 3 ) z G A y x Practica 1.3 Represente los siguientes vectores ( 2, 2, 4) , ( -2, 4, 3) Magnitud de un vector en tres dimensiones La magnitud se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras dos veces. Gz Az G AG Ay y G Ax x ( )G A= Ax2 + Ay2 2 + Az2 G Ax2 + Ay2 + Az2 : Magnitud del vector A=

17 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Dirección de un vector eGn tres dimensiones La dirección del vector A en tres dimensiones se puede obtener de dos maneras: a) por medio de los cosenos de los ángulos directores Son los ángulos que el vector forma con cada eje. α, β ,γ α = ángulo entre el vector y el eje x son los ángulos β = ángulo entre el vector y el eje y directores γ = ángulo entre el vector y el eje z Los cosenos son respectivamente cosα = AGx ⇒ G A Ax = A cosα cos β = AGy ⇒ G A ⇒ Ay = A cos β cosγ = AGz G A Az = A cosγ Luego se obtiene la función inversa para obtener cada ángulo. Por lo tanto todo vector en tres dimensiones se puede expresar cGon los ángulos directores así. A= Axiˆ + Ay ˆj + Az kˆ G G G G A = A cosαiˆ + A cos βˆj + A cosγkˆ donde A2 = A2 cos2 α + A2 cos2 β + A2 cos2 γ b) por medio de los ángulos θ y φ de las coordenadas esféricas Definimos dos ángulos; θ como el ángulo que hace el vector con el eje Z y φ como el ángulo que hace la proyección del vector sobre el plano XY con el eje X positivo ( ver figura ). Estos ángulos están dados de la siguiente forma: cosθ = Az ⇒ Az = Acosθ A tanφ = Ay ⇒ Ay = Ax tanφ Ax con esto se puede demostrar que: Ax = Asenθ cosφ Ay = Asenθsenφ Az = Acosθ A las variables (r,θ,φ) se les llama coordenadas esféricas. En nuestro caso r = A. Por lo tanto todo vector en tres dimensioneGs se puede expresar de la siguiente forma. G A = Axiˆ + Ay ˆj + Azkˆ A = Asenθ cosφiˆ + Asenθsenφˆj + Acosθkˆ

18 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Ejercicio 1.9 G α = 175° Dado el vector C : 25 m β = 75° γ = 140° Expresarlo en componentes rectangulares. Solución: G G G Ax = A cosα Ay = A cos β Az = A cosγ Az = 25mcos140° Ax = 25mcos175° Ay = 25mcos 75° Az = −19.1 m Ax = −24.9 m Ay = 6.5 m G Axiˆ ˆj Az kˆ A= + Ay + G A = (−24.9iˆ + 6.5 ˆj −19.1kˆ) m Ejercicio 1.10 y En el siguiente diagrama, hallar: a) Las componentes Fx ,Fy, Fz b) Los angulos α, β, γ Gz Fz F= 500 N 4G0° FG Fy G 30° Fx x Solución: a)Por medio de cosenos directores Fx = F cosα Fy = F cos β Fz = F cosγ Fx = ? Fy = ? Fz = 500N cos 40° Fx = Rsenα Fx = 321.4Nsen30° Fz = 383.0 N @#$%! Fx = 160.7 N ?&*+/ senλ = R ⇒ Fy = Rcosα F Fy = 321.4N cos30° R = 500sen40° Fy = 278.3 N R = Fsenλ R = 321.4 N

19 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico cosα = FGx ⇒ cosα = 160.7 ⇒ α = 71.2° F ⇒ 500 ⇒ β = 56.2° cos β = FGy cos β = 278.3 F 500 b)Por medio de coordenadas esféricas Como θ = 40° y φ = 60° , tenemos Fx = Fsenθ cosφ Fy = Fsenθsenφ Fz = F cosθ Fx = 500Nsen40° cos 60° Fy = 500Nsen40°sen60° Fz = 500N cos 40° Fx = 160.7N Fy = 278.3N Fz = 383.0N Los ángulos se obtienen como en el caso anterior. Ejercicio Propuesto: Una fuerza F actúa en el origen de un sistema en una dirección dado por α = 75° y γ = 130° Sabiendo que Fy = 300 N. Hallar: a) La fuerza F b) Las componentes Fx y Fz c) El ángulo β Respuesta: F = 416.1N, Fx = 107.7N, Fz = 267.4N, β = 43.8° d) Suma de vectores en el espacio La suma de vectores en el espacio se realiza de manera similar a la empleada para los vectores en el plano. Sean los siguientes vectores, G Axiˆ ˆj Az kˆ A= + Ay + G B = Bxiˆ + By ˆj + Bz kˆ G C = Cxiˆ + C y ˆj + Czkˆ ........ Sumando los vectores se tiene G GGG SG = A+ B + C + ... S = ( Ax + Bx + Cx + ...)iˆ + ( Ay + By + C y + ...) ˆj + ( Az + Bz + Cz + ...)kˆ Sx = ( Ax + Bx + Cx + ...) : suma de las componentes en la dirección del eje X Sy = ( Ay + By + C y + ...) : suma de las componentes en la dirección del eje Y Sz = ( Az + Bz + Cz + ...) : suma de las componentes en la dirección del eje Z

20 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico G S = Sxiˆ + Sy ˆj + Szkˆ : vector resultante G S = + Sx2 + Sy2 + Sz2 : magnitud del vector resultante. La dirección se obtiene por medio de una de las formas mencionadas anteriormente. Ejercicio 1.11 Dados loaGGs=v3eicˆt+or2esˆj:− 4kˆ b = −2iˆ + ˆj + 5kˆ G c = −iˆ − 6 ˆj { }Hallar:G G G G a) S= 1 a + 3(b + c) G 2 b) la magnitud y dirección de S G c) Un vector unitario enGla dirección de a d) Un vector oGpuesto a b e) El vector 5 a Solución: (a) G b = −2iˆ + ˆj + 5kˆ G G c = −iˆ − 6 ˆj + 0kˆ (bG 3(b + G = −3iˆ − 5 ˆj + 5kˆ + c) = −9iˆ − 15 ˆj + 15kˆ G c) G G a = 3iˆ + 2 ˆj − 4kˆ 3(b G + + G = −6iˆ − 13 ˆj + 11kˆ a c) G GG a + 3(b + c) G { }G= 1 = − 6 iˆ − 13 ˆj + 11 kˆ 2 22 2 S S = −3iˆ − 6.5 ˆj + 5.5kˆ (b) G S = + (−3)2 + (−6.5)2 + (5.5)2 G S = 9.03 dirección con ángulos directores: cosα = AGx ⇒ cosα = − 3 ⇒α = 109.4° A 9.03 cos β = AGy ⇒ cos β = − 6.5 ⇒ β = 136.0° A 9.03 cosγ = AGz ⇒ cosγ = 5.5 ⇒γ = 52.5° A 9.03

21 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Respuesta: G S : 9.03,α = 109.4°, β = 136.0°,γ = 52.5° dirección con coordenadas esféricas: cosθ = Az ⇒ cosθ = 5.5 ⇒θ = 52.5° A 9.03 tanφ = Ay ⇒ tanφ = − 6.5 ⇒φ = 65.2° GAx − 3 Respuesta: S : 9.03,θ = 52.5°,φ = 65.2° (c) G a = 3iˆ + 2 ˆj − 4kˆ G aˆ = a = ax iˆ + ay ˆj + a z kˆ : vector unitario en coordenadas rectangulares aa a a a= a 2 + a 2 + a 2 x y z a = (3)2 + (2)2 + (−4)2 a = 5.4 G aˆ = 3 iˆ + 2 ˆj + − 4 kˆ : vector unitario en la dirección de a 5.4 5.4 5.4 aˆ = 0.55iˆ + 0.37 ˆj − 0.74kˆ (d) G bG = −2iˆ + ˆj + 5kˆ − b = 2iˆ − ˆj − 5kˆ (e) G a G = 3iˆ + 2 ˆj − 4kˆ 5a = 15iˆ + 10 ˆj − 20kˆ Ejercicio Propuesto: Dados loGs vectores: AG = 3iˆ − 2 ˆj + 2kˆ BG = 4iˆ + 3kˆ C = iˆ + 4 ˆj − 5kˆ Hallar:G G G G a) S = A+ 2(B + C) G b) la magnitud y dirección de C c) Un vector unitario en Gla dirección de Bˆ d) Un vector opuesto a AG e) Representar el vector C

22 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico e) Resta de vectores en el plano y en el espacio Sean losGsiguientes vectores, A= Axiˆ + Ay ˆj + Az kˆ G B = Bxiˆ + ByGˆj + BGzkˆ G Realizando la resta R = A− B se tiene G GG RG = A− B R = ( Ax − Bx )iˆ + ( Ay − By ) ˆj + ( Az − Bz )kˆ Rx = ( Ax − Bx ) : resta de las componentes en la dirección del eje X Ry = ( Ay − By ) : resta de las componentes en la dirección del eje Y Rz = ( Az − Bz ) : resta de las componentes en la dirección del eje Z G R = Rxiˆ + Ry ˆj + Rzkˆ : vector resultante Ejercicio 1.12 Dados loBAGGGs==ve2−ci2ˆtio+ˆ r+5es3ˆj:ˆ−j +4k5ˆkˆ C = −2iˆ − 6 ˆj { }Hallar:G G G G= a) R 1 A− 3(B − CG) G GG 2 b) Demuestre que (C − B) = −(BG − C) c) la magnitud y dirección de C G d) UGn vGectoGr uniGtario en la direGcción de A e) A+ B + C + D = 0 Hallar D Solución: (a) G BG = −2iˆ + 3 ˆj + 5kˆ C = −2iˆ − 6 ˆj + 0kˆ G G (BG − CG ) = 0iˆ + 9 ˆj + 5kˆ 3(B − CG) = 0iˆ + 27 ˆj +15kˆ − 3( G − GA = 2iˆ + 5 ˆj − 4kˆ G B C) = 0iˆ − 27 ˆj − 15kˆ A− G G 3(B − C) = 2iˆ − 22 ˆj − 19kˆ

23 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico G GG A− 3(B − C) G R{ }G=1 = 2 iˆ − 22 ˆj − 19 kˆ 2 22 2 R = iˆ −11ˆj − 9.5kˆ (b) GG GG DGemuGestre que (C − B) = −(B − C) − (C(BGGGB=−−C−CG2))iˆ==−006iˆiˆˆj−++990ˆjˆjkˆ−+55kˆkˆ BG= −G2iˆ + 3 ˆj + 5kˆ (C − B) = 0iˆ − 9 ˆj − 5kˆ (c) G C = −2iˆ − 6 ˆj + 0kˆ C = + (−2)2 + (−6)2 C = 6.32 dirección para un vector en dos dimensiones: tanθ = C y ⇒ tanθ = − 6 ⇒θ = 71.5° Cx −2 G Respuesta: C : 6.32,θ = 71.5° ( en coordenadas polares ) (d) G A = 2Giˆ + 5 ˆj − 4kˆ Aˆ = A = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ AA A A A = Ax2 + Ay2 + Az2 A = (2)2 + (5)2 + (−4)2 A = 6.7 G Aˆ = 2 iˆ + 5 ˆj + − 4 kˆ : vector unitario en la dirección de A 6.7 6.7 6.7 Aˆ = 0.30iˆ + 0.74 ˆj − 0.60kˆ (e) G G G G G AG + B+C +D= 0 Hallar D AG = 2iˆ + 5 ˆj − 4kˆ BG = −2iˆ + 3 ˆj + 5kˆ C = −2iˆ − 6 ˆj + 0kˆ G G G A+ B + GC = −2Giˆ + 2G ˆj +Gkˆ D = −(A+ B + C)

24 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico G = −(−2iˆ + 2 ˆj + kˆ) DG = 2iˆ − 2 ˆj − kˆ D Ejercicio Propuesto: Dados loaGGs=v3eicˆt+or2esˆj:− 4kˆ b = −2iˆ + ˆj + 5kˆ G c = −iˆ − 6 ˆj { }Hallar:G G G G a) S = 1 a − 3(b − c) G 2 b) la magnitud y dirección de c G b) UaG n+vbGe+ctcoGr+udnGi=tar0ioHeanlGllaarddiGrección de b c) d) Un vector opuesto a aG e) Representar el vector c 2) MULTIPLICACIÓN DE VECTORES Definiremos tres clases de operaciones de multiplicación por vectores: 1- Multiplicación de un vector por un escalar 2- Multiplicación de dos vectores para dar por resultado un escalar (PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO) 3- Multiplicación de dos vectores para dar como resultado otro vector (PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ) a) Multiplicación de un vector por un escalar Sea G A = Axiˆ + Ay ˆj + Azkˆ : un vector dado m : un escalar G Se define Gel producto del escalar (m) por el vector A como el vector mA = mAxiˆ + mAy ˆj + mAzkˆ tal que : GG m>0 mAG : tiene la dirección y sentidGo de A m<0 mAG : es de sentido opuesto a A m=0 mA = 0 : el resultado es el vector nulo su magnituGd es G mA = m A Ejemplo: G A = 2iˆ − 3 ˆj + kˆ y m= 4 Por lo tanto G 4A = (4)2iˆ − (4)3 ˆj + (4)kˆ = 8iˆ −12 ˆj + 4kˆ

25 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico b) Multiplicación de dos vectores para dar por resultado un escalar (PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO) GG GG G G El producto escalar de dos vectores A y B , denGotadGo por A⋅ B ( léase A punto B ) se define como el producto de las magnitudes de A y B por el coseno del ángulo entre ellos. Simbólicamente, GG G G A⋅ B = AB cos θ 0≤θ≤π Recuerde qGue Gel resultado de A⋅ B es Observe que A⋅ B es un escalar y no un vector. un numero no un vector Conmutatividad del producto escalar De la definición del producto escalar se tiene GG A⋅ B = AB cos θ = BGA Gcos θ = B⋅ A Representación geométrica del producto escalar Geométricamente el producto escalar es la magnitud de un vector por la proyección del otro sobre él, así G A : magnitud del vector AG B cos θ G : proyección del vector B sobre el vector A G G B A θ B cos θ Producto escalar en componentes cartesianas Aplicando la definición del producto escalar a las unidades vectoriales cartesianas, se tiene z iˆ ⋅ iˆ = iˆ iˆ cos 0° = 1 iˆ ⋅ ˆj = iˆ ˆj cos 90° = 0 kˆ De esta manera tenemos los resultados ˆj y iˆ ⋅ iˆ = ˆj ⋅ ˆj = kˆ ⋅ kˆ = 1 iˆ iˆ ⋅ ˆj = iˆ ⋅ kˆ = ˆj ⋅ kˆ = 0 x Estos resultados se aplican a la multiplicación de vectores expresados en componentes rectangulares o cartesianas

26 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Sean losGvectores Az kˆ A= Axiˆ + Ay ˆj + G B = Bxiˆ + By ˆj + Bzkˆ MG ulGtiplicando ambos vectores termino a termino, obtenemos: A⋅ B = ( Axiˆ + Ay ˆj + Azkˆ) ⋅ (Bxiˆ + By ˆj + Bzkˆ) = Axiˆ ⋅ Bxiˆ + Axiˆ ⋅ By ˆj + Axiˆ ⋅ Bzkˆ + Ay ˆj ⋅ Bxiˆ + Ay ˆj ⋅ By ˆj + Ay ˆj ⋅ Bzkˆ + Azkˆ ⋅ Bxiˆ + Azkˆ ⋅ By ˆj + Azkˆ ⋅ Bzkˆ = Ax Bxiˆ ⋅ iˆ + AxByiˆ ⋅ ˆj + AxBziˆ ⋅ kˆ + Ay Bx ˆj ⋅ iˆ + Ay By ˆj ⋅ ˆj + Ay Bz ˆj ⋅ kˆ + Az Bxkˆ ⋅ iˆ + Az Byk ⋅ ˆj + Az Bzkˆ ⋅ kˆ = AxBxiˆ ⋅ iˆ + Ay By ˆj ⋅ ˆj + Az Bzkˆ ⋅ kˆ : producto escalar en términos de las componentes GG A⋅ B = AxBx + Ay By + Az Bz Relacionando la definición de producto escalar con el resultado anterior, tenemos GG AG ⋅ BG = AB cos θ A⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz ABcos θ = AxBx + Ay By + Az Bz Por lo tanto G G A B cos θ = Ax Bx + Ay By + Az Bz : ángulo entre los vectores y AB Propiedades del Producto Escalar 1-El resultado de un producto escalar es un número. 2-El producto esGcaGlar saGtisGface la propiedad conmutativa A⋅ B = B ⋅ A 3-El producto esGcalaGr saGtisfacGe lGa proGpieGdad distributiva respecto a la suma A⋅ (B + C) = A⋅ B + A⋅ C 4-Si θ = 0° el prGoduGcto escalar de vectores paralelos es A⋅ B = AB cos 0° = AB ⇒ es el máximo 5-El producto esGcaGlar de dos vectores iguales es A⋅ A = AA cos 0° = AA = A2 6-Si θ = 90° el pGrodGucto escalar de vectores perpendiculares diferentes de cero es A⋅ B = AB cos 90° = 0 7-Si θ = 180° elGproGducto escalar de vectores opuestos es A⋅ B = AB cos 180° = -AB ⇒ es un número negativo

27 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Ejercicio 1.13 Sean dos vectores de 35 y 75 unidades respectivamente que forman entre sí un ángulo de 34°. Calcular su producto escalar. Solución: GG AG ⋅ BG = AB cos θ AG ⋅ BG = (35)(75) cos 34° 0≤θ≤π A⋅ B = 2176.2 Ejercicio 1.14 Calcular el producto escalar de dos vectores de 5 y 12 unidades respectivamente si son: a) consecutivos colineales b) opuestos c) perpendiculares d) Obtenga el producto escalar de un vector consigo mismo Solución: (a) G G 0≤θ≤π AG ⋅ BG = AB cos θ AG ⋅ BG = (5)(12) cos 0° A⋅ B = 60 (b) G G AG ⋅ BG = AB cos θ 0≤θ≤π AG ⋅ BG = (5)(12) cos 180° A⋅ B = −60 (c) G G 0≤θ≤π AG ⋅ BG = AB cos θ AG ⋅ BG = (5)(12) cos 90° A⋅ B = 0 (d) G G 0≤θ≤π AG ⋅ AG = AA cos θ AG ⋅ AG = (5)(5) cos 0° A⋅ A = 25 Ejercicio 1.15 Sean losaGGv=ec3tiˆo+re2s:ˆj − 4kˆ b = −2iˆ + ˆj + 5kˆ G c = −iˆ − 6 ˆj HalGlarG: a) a ⋅ b = ¿Son los vectores GperpGendiculares? bc))3C(aaGl⋅cbuG)la=r el ángulo entre a y b

28 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico = { }G G G Dos vectores son d) S 1 a ⋅ 2(b + c) 3 pGerpGendiculares si a ⋅ b = 0 ¿Por que? Solución: (a) G G aG bG ⋅ = ab cos θ 0≤θ≤π a ⋅ bG = a xbx + a yby + a zbz G a ⋅ bG = (3) ⋅ (−2) + (2) ⋅ (1) + (−4) ⋅ (5) G a ⋅ b = −24 ∴ los vectores no son perpendiculares, pues, el producto escalar no es igual a cero. (b) GG : ángulo entre los vectores a y b cos θ = a xbx + a yby + a zbz ab a= a 2 + a 2 + a 2 x y z a = (3)2 + (2)2 + (−4)2 a = 5.4 b= bx2 + b 2 + bz2 y b = (−2)2 + (1)2 + (5)2 b = 5.5 cosθ = − 24 (5.4)(5.5) θ = 143.9° : ángulo entre los vectores G y G a b (c) G G 3(a bG) ⋅ = 3(-24) G 3(a ⋅ b) = -72 { }(d) G G G S = 1 a ⋅ 2(b + cG) 3 b = −2iˆ + ˆj + 5kˆ G G c = −iˆ − 6 ˆj + 0kˆ (bG 2(b + G = −3iˆ − 5 ˆj + 5kˆ + c) = −6iˆ − 10 ˆj + 10kˆ G c) G a = 3iˆ + 2 ˆj − 4kˆ G GG a ⋅ 2(bG + c) = (−6)(3) + (−10)(2) + (10)(−4) G G { }a⋅ 2(b + c ) G= −78 G G S= 1 a ⋅ 2(b + c) = 1 (−78) 3 3 S = −26

29 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Ejercicio Propuesto: 1.Dados los vectores G AG : 6 u 60° B : 9 u 225° HGallGar: A⋅ B = ? y el ángulo entre los vectores 2.Haciendo uso del producto escalar obtener la relación conocida con el nombre de teorema de los cosenos. c) Multiplicación de dos vectores para dar como resultado otro vector (PRODUCTO VECTORIAL O CGRUZG) G GG GG El pGroduGcto vectorial de A y B es un vector C = A× B ( léGase AG cruz B ). La magnitud de A× B se define como el productoG de lGas mG agnitudes de A y B por el seno del ánguGlo eGntre ellos. La dirGeccGión dGel vector C = A× B es perpendicular al plano formado por A y B de modo que A, B y C forman un sistema derecho. Así GG 0≤θ≤π A× B = AB sen θ uˆ GG donde uˆ es un vector uniGtarioG que indica la dirección de A× B .La magnitud del producto vectorial esta dada por A× B = AB sen θ . Anticonmutatividad del producto vectorial Tenemos que G G G G A× B ≠ B× A pues GG ⇒ AG × BG = uˆAB sen θ BG × AG = −uˆGBAGsen θ A× B = −B× A Esto es conocido como “la regla de la mano derecha”

30 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Representación geométrica del producto vectorial La magnGitud del producto vectorial geomGétricamente se representa cGomo la magnitud del vector A por la componente del vector B perpendicular al vector A.Lo que es igual al área del paralelogramo formado por los dos vectores. B B sen θ GG A× B = A(B sen θ ) θ A Producto vectorial de unidades cartesianas Aplicando la definición del producto vectorial a las unidades vectoriales cartesianas, se tiene z iˆ × iˆ = iˆ iˆ sen 0° = 0 iˆ × ˆj = iˆ ˆj sen 90° kˆ = kˆ kˆ De esta manera tenemos los resultados ˆj y iˆ × iˆ = ˆj × ˆj = kˆ × kˆ = 0 iˆ iˆ × ˆj = kˆ , ˆj × kˆ = iˆ , kˆ × iˆ = ˆj iˆ × kˆ = − ˆj , kˆ × ˆj = −iˆ , ˆj × iˆ = −kˆ x Regla nemotécnica iˆ kˆ ˆj Producto vectorial en componentes cartesianas Estos resultados se aplican a la multiplicación de vectores expresados en componentes rectangulares o cartesianas Sean losGvectores Az kˆ A= Axiˆ + Ay ˆj + G B = Bxiˆ + By ˆj + Bzkˆ MG ultGiplicando termino a termino, obtenemos A× B = ( Axiˆ + Ay ˆj + Azkˆ) × (Bxiˆ + By ˆj + Bzkˆ) = Axiˆ × Bxiˆ + Axiˆ × By ˆj + Axiˆ × Bzkˆ + Ay ˆj × Bxiˆ + Ay ˆj × By ˆj + Ay ˆj × Bzkˆ + Azkˆ × Bxiˆ + Azkˆ × By ˆj + Azkˆ × Bzkˆ = AxBxiˆ × iˆ + AxByiˆ × ˆj + AxBziˆ × kˆ + Ay Bx ˆj × iˆ + Ay By ˆj × ˆj + Ay Bz ˆj × kˆ + Az Bxkˆ × iˆ + Az Byk × ˆj + Az Bzkˆ × kˆ

31 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico = AxByiˆ × ˆj + AxBziˆ × kˆ + Ay Bx ˆj × iˆ + Ay Bz ˆj × kˆ + Az Bxkˆ × iˆ + Az Byk × ˆj = AxBykˆ + Ax Bz (− ˆj) + Ay Bx (−kˆ) + Ay Bziˆ + Az Bx ˆj + Az By (−iˆ) GG : producto vectorial en A× B = ( Ay Bz − Az By )iˆ + ( Az Bx − AxBz ) ˆj + ( Ax By − Ay Bx )kˆ términos de las componentes rectangulares. Como este procedimiento resulta tedioso se puede utilizar el operador determinante que realiza esta misma operación. Sean losGvectores ˆj Az kˆ A= Axiˆ + Ay + G B = Bxiˆ + By ˆj + Bzkˆ G G iˆ ˆj kˆ A× B = Ax Ay Az = ( Ay Bz − By Az )iˆ − ( AxBz − Bx Az ) ˆj + ( Ax By − Bx Ay )kˆ Bx By Bz Tomando la magnitud del producto vectorial podemos encontrar el ángulo entre los vectores.G G 0≤θ≤π A× B = AB sen θ GG A× B GG ⇒ senθ = : ángulo entre los vectores A y B AB Propiedades del Producto Vectorial 1-El resultado de un producto vectorial es un vector. 2-El producto vGectoGrial noGes Gconmutativa A× B = − B× A 3-El producto vGectorGial sGatisfaGce lGa prGopieGdad distributiva respecto a la suma A× (B + C) = A× B + A× C 4-Si θ = 0° el prGoduGcto vectorial de vecGtores paralelos es A× B = AB sen 0° uˆ = 0 5-El producto vGectoGrial de dos vectoresGiguales es A× A = AA sen 0° uˆ = 0 6-Si θ = 90° el pGrodGucto vectorial de vectores perpendiculares diferentes de cero es A× B = AB sen 90° uˆ = ABuˆ 7-Si θ = 180° elGproGducto vectorial de vecGtores opuestos es A× B = AB sen 180° uˆ = 0

32 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Ejercicio 1.16 Dados loGs vectores:. AG = 4iˆ − 2 ˆj − kˆ BG = 2iˆ + 3 ˆj + 5kˆ C = −iˆ − 6 ˆj HalGlar: G a) A× B = ¿Son los vectoresG perpGendiculares o paralelos? b) CGalcuGlarGel ángulo entre A y B c) AG ⋅ (BG× CG) = d) A× (B× C) = Solución: (a) G G iˆ ˆj kˆ A× B = 4 −2 −1 = (−2 ⋅ 5 − 3 ⋅ −1)iˆ − (4 ⋅ 5 − 2 ⋅ −1) ˆj + (4 ⋅ 3 − 2 ⋅ −2)kˆ 23 5 Dos vectores son GG A× B = (−10 − −3)iˆ − (20 − −2) ˆj + (12 − −4)kˆ G × Gparalelos si que? a b = 0 ¿Por G G = −7iˆ − 22 ˆj + 16kˆ A× B GGG Los vectores no son paralelos, pues, A× B ≠ 0 . Para sabGer sGi son perpendiculares calculamos el producto escalar. AG ⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz G AG ⋅ BG = (4) ⋅ (2) + (−2) ⋅ (3) + (−1) ⋅ (5) A⋅ B = −3 ∴ los vectores no son perpendiculares. (b) G G A× B = AB sen θ 0≤θ≤π GG A× B GG ⇒ senθ = : ángulo entre los vectores A y B AB A = Ax2 + Ay2 + Az2 A = (4)2 + (−2)2 + (−1)2 A = 4.6 B = Bx2 + By2 + Bz2

33 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico B = (2)2 + (3)2 + (5)2 BG = 6G.1 ¡Me parece que A× B = (−7) + (−22) + (16) esto se esta GG A× B = 28.1 cGompGlicanGdo! A⋅ (B× C) = ? senθ = 28.0 (4.6)(6.1) θ = 86.2° (c) G G G AG ⋅ (B× C) = BG = 2iˆ + 3 ˆj + 5kˆ C = −iˆ − 6 ˆj G G iˆ ˆj kˆ B×C = 2 3 5 = (3 ⋅ 0 − −6 ⋅ 5)iˆ − (2 ⋅ 0 − −1⋅ 5) ˆj + (2 ⋅ −6 − −1⋅ 3)kˆ −1 −6 0 G × G = (0 − −30)iˆ − (0 − −5) ˆj + (−12 − −3)kˆ BG × CG = 30iˆ − 5 ˆj − 9kˆ BG C AG = 4Giˆ −G2 ˆj − kˆ AG ⋅ (BG × CG) = (4)(30) + (−2)(−5) + (−1)(−9) A⋅ (B× C) = 139 (d) G G G AG × (GB× C) = BG × C = 30iˆ − 5 ˆj − 9kˆ A = 4iˆ − 2 ˆj − kˆ G G G iˆ ˆj kˆ A× (B× C) = 4 − 2 −1 = (−2 ⋅ −9 − −5 ⋅ −1)iˆ − (4 ⋅ −9 − 30 ⋅ −1) ˆj + (4 ⋅ −5 − 30 ⋅ −2)kˆ G G G 30 − 5 − 9 A× B C) ( × = 13iˆ + 6 ˆj + 40kˆ Ejercicio 1.17 G Un estudiante afiGrma que ha encontrado un vector A tal que (2iˆ − 3 ˆj + 4kˆ) × A = (4iˆ + 3 ˆj − kˆ) ¿Cree usted que esto es cierto? Explique5 5 Serway . Física I Tomo I.Cuarta Edición. McGraw Hill. Pb.7,Cap11.

34 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Solución: Sabemos que el vector resultante de un producto vectorial es perpendicular al plano que contiene a los vectores, por lo tanto si realizamos un producto escalar entre el vector 2iˆ − 3 ˆj + 4kˆ y el vector 4iˆ + 3 ˆj − kˆ , debe ser igual a cero pues son perpendiculares. GG = ab cos θ 0≤θ≤π aG ⋅ bG a ⋅ bG = a xbx + a yby + a zbz G a ⋅ bG = (2) ⋅ (4) + (−3) ⋅ (3) + (4) ⋅ (−1) G a ⋅ b = −5 ∴ El vector 2iˆ − 3 ˆj + 4kˆ y el vector resultante 4iˆ + 3 ˆj − kˆ , no son perpendiculares lo que nos dice que esto no es cierto. Ejercicio Propuesto: 1.Sean laGGos=v3eiˆct+o2reˆjs:− 4kˆ b = −2iˆ + ˆj + 5kˆ G c = −iˆ − 6 ˆj HalGlar:G a) a × b = ¿Son los vectoresGperpGendiculares? b) CaGlculGar el ángulo entre a y b { }b)3G(a × b) = G G G S = 1 a × 2(b + c) c) 3 2.Dados los vectores G AG : 6 u 60° B : 9 u 225° HalGlar: G a) A× B = ? y el ángulo entre los vectores REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Spiegel, M.,. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería y Ciencias,. McGraw-Hill, México, 2001. [2] Gonzalez, F. Principios de Mecánica, Oficina de Publicaciones de la Universidad de Costa Rica, Costa Rica, 1999. [3] Resnick, R., Halliday, D., Krane, K., Física Vol.1, Tercera edición, Compañía Editorial Continental,S.A. de C.V., México, 1978.

35 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico [4] Sears F., Zemansky M., Freedman R. Física Universitaría, Novena edición.Pearson Educación. México. 1999. [5] Calderon, A., Física para Bachillerato, Segunda edición ampliada, Costa Rica,. 1989. [6] Wilson, J., Física, Segunda edición , Prentice Hall Hispanoamericana, S.A, México,. 1996. [7] Lea, J., Burke, J., Física: La Naturaleza de las Cosas, International Thomson Editores, México,. 1999. [8] Giancoli, D., Física: Principios con Aplicaciones, Prentice Hall Hispanoamericana, S.A, México,. 1997.