5-7 المعادلات التربيعية الفرق بين مربعين

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻳﺴﺘﻌﻤﻞ ﻣﺼ ﱢﻤﻤﻮ ﺍﻟﺠﺮﺍﻓﻴﻚ ﺍﻟﻔﻦ ﻭﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻟﺘﺼﻤﻴﻢ ﺻﻮﺭ ﻭﺃﺷﺮﻃﺔ‬ ‫ﻓﻴﺪﻳﻮ‪ .‬ﻭﻳﺴﺘﻌﻤﻠﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻟﺘﻜﻮﻳﻦ ﺃﺷﻜﺎﻝ ﻭﺧﻄﻮﻁ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺳﻮﺏ‪ .‬ﻭﻳﺴﺎﻋﺪ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﻋﻠﻰ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺃﺑﻌﺎﺩ ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻃﺮﻳﻘﺔ ﻇﻬﻮﺭﻫﺎ‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬ﺗﺬ ﹼﻛﺮ ﺃﻧﻚ ﺗﻌﻠﻤﺖ ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭﺣﻴﺪﺗﻲ ﺣﺪ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‪ ،‬ﻭﻳﺸﻴﺮ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻫﺬﺍ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﻴﻦ‪ .‬ﻟﺬﺍ ﻓﺎﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺤ ﹼﻠﻠﺔ ﻟﻠﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ ﺗﺴﻤﻰ ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭﺣﻴﺪﺗﻲ ﺣﺪ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃ‪ - ٢‬ﺏ‪) = ٢‬ﺃ ‪ +‬ﺏ()ﺃ ‪ -‬ﺏ( ﺃﻭ )ﺃ ‪ -‬ﺏ()ﺃ ‪ +‬ﺏ(‬ ‫‪‬‬ ‫ﺱ‪) = ٢٥ - ٢‬ﺱ ‪)(٥ +‬ﺱ ‪ (٥ -‬ﺃﻭ )ﺱ ‪)(٥ -‬ﺱ ‪(٥ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻥ‪) = ٦٤ - ٢‬ﻥ ‪)(٨ +‬ﻥ ‪ (٨ -‬ﺃﻭ )ﻥ ‪)(٨ -‬ﻥ ‪(٨ +‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺍﻛﺘﺐ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺃ‪ -٢‬ﺏ‪٢‬‬ ‫ﺣ ﹼﻠﻞ ﻛﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ‬ ‫‪١٦ ‬ﻫ‪٩-٢‬ﺃ‪٢‬‬ ‫ﺍﻛﺘﺐ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺃ‪ -٢‬ﺏ‪٢‬‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ‬ ‫‪١٦‬ﻫ‪٩-٢‬ﺃ‪٤) = ٢‬ﻫ(‪٣)-٢‬ﺃ(‪٢‬‬ ‫= )‪٤‬ﻫـ‪٣ +‬ﺃ( )‪٤‬ﻫـ‪٣ -‬ﺃ(‬ ‫‪ ٤-١٢١ ‬ﺏ‪٢‬‬ ‫‪ ٤-١٢١‬ﺏ‪٢)-٢(١١) =٢‬ﺏ(‪٢‬‬ ‫= )‪٢ -١١‬ﺏ( )‪٢ +١١‬ﺏ(‬ ‫‪٢٧ ‬ﺟـ‪٣-٣‬ﺟـ‬ ‫ﺑﻤﺎ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮﻙ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ‪ ،‬ﻟﺬﺍ ﺣ ﹼﻠﻞ ﺑﺈﺧﺮﺍﺝ )ﻕ ‪.‬ﻡ ‪.‬ﺃ( ﺃﻭﻻﹰ‪ ،‬ﺛﻢ ﺃﻛﻤﻞ ﺑﻄﺮﻕ‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﺍﻷﺧﺮ￯‪.‬‬ ‫ﺣ ﹼﻠﻞ ﺑﺈﺧﺮﺍﺝ )ﻕ ‪.‬ﻡ ‪.‬ﺃ(‬ ‫‪٢٧‬ﺟـ‪٣-٣‬ﺟـ =‪٣‬ﺟـ )‪٩‬ﺟـ‪(١-٢‬‬ ‫ﺍﻛﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺃ‪ -٢‬ﺏ‪٢‬‬ ‫= ‪٣‬ﺟـ ])‪٣‬ﺟـ(‪[٢(١)-٢‬‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ‪.‬‬ ‫= ‪٣‬ﺟـ )‪٣‬ﺟـ ‪٣)(١-‬ﺟـ ‪(١+‬‬ ‫‪٦٤ ‬ﺟـ‪ -٢‬ﻫ‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٤-  ‬ﺹ‪٩ +٣‬ﺹ‬ ‫‪ - ٨١   ‬ﺟـ ‪٢‬‬ ‫‪٩ ‬ﺱ‪ ٤-٣‬ﺱ‬ ‫‪  ‬‬

‫ﻗﺪ ﺗﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻰ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﺗﺤﻠﻴ ﹰﻼ ﺗﺎ ﹼﹰﻣﺎ‪ ،‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻣﺮﺓ‪ .‬ﻭﻫﺬﺍ ﻳﻨﻄﺒﻖ ﺃﻳ ﹰﻀﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﺠﻤﻮﻉ‬ ‫ﺣﻠﻞ ﻛﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﻴﻦ ﺃ‪ +٢‬ﺏ‪ ٢‬ﺇﻟﻰ‬ ‫)ﺃ‪+‬ﺏ()ﺃ‪+‬ﺏ(‪ .‬ﻓﻤﺠﻤﻮﻉ‬ ‫‪ ‬ﺏ‪١٦ -٤‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﻴﻦ ﻫﻮ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ‬ ‫ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﺤﻠﻴﻠﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﻛﺘﺐ ﺏ‪ ١٦ -٤‬ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺃ‪ -٢‬ﺏ‪.٢‬‬ ‫ﺏ‪) =١٦ -٤‬ﺏ‪٢(٤) -٢(٢‬‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ‬ ‫= )ﺏ‪)(٤+٢‬ﺏ‪(٤-٢‬‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺎﻣﻞ ﺏ‪ ٤-٢‬ﻫﻮ ﻓﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ ﺃﻳ ﹰﻀﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﻛﺘﺐ ﺏ‪ ٤ -٢‬ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺃ‪ -٢‬ﺏ‪.٢‬‬ ‫= )ﺏ‪)(٤+٢‬ﺏ‪(٢٢-٢‬‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ‬ ‫= )ﺏ‪)(٤+٢‬ﺏ‪)(٢+‬ﺏ‪(٢-‬‬ ‫ﺍﻛﺘﺐ ‪ - ٦٢٥‬ﺱ‪ ٤‬ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺃ‪ -٢‬ﺏ‪.٢‬‬ ‫‪ - ٦٢٥ ‬ﺱ‪٤‬‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ‬ ‫‪ - ٦٢٥‬ﺱ‪)-٢(٢٥) =٤‬ﺱ‪٢(٢‬‬ ‫ﺍﻛﺘﺐ ‪ - ٢٥‬ﺱ‪ ٢‬ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺃ‪ -٢‬ﺏ‪.٢‬‬ ‫= )‪ +٢٥‬ﺱ‪ -٢٥)(٢‬ﺱ‪(٢‬‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ‬ ‫= )‪ +٢٥‬ﺱ‪ -٢٥)(٢‬ﺱ‪(٢‬‬ ‫= )‪ +٢٥‬ﺱ‪ -٥)(٢‬ﺱ()‪ +٥‬ﺱ(‬ ‫‪‬‬ ‫‪ - ٨١  ‬ﺱ‪٤‬‬ ‫‪٤ ‬ﺃ‪ -٤‬ﺏ ‪٤‬‬ ‫‪  ‬ﺹ‪١ -٤‬‬ ‫ﻭﺗﻄﺒﻖ ﺃﺣﻴﺎ ﹰﻧﺎ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﺗﺤﻠﻴ ﹰﻼ ﺗﺎ ﹼﹰﻣﺎ‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺣ ﹼﻠﻞ ﻛﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪٥ ‬ﺱ‪٤٥ -٥‬ﺱ‬ ‫ﺣﻠﻞ ﺑﺈﺧﺮﺍﺝ )ﻕ‪ .‬ﻡ ‪.‬ﺃ(‬ ‫‪٥‬ﺱ‪٤٥ -٥‬ﺱ = ‪٥‬ﺱ)ﺱ‪(٩-٤‬‬ ‫ﺍﻛﺘﺐ ﺱ‪ ٩ -٤‬ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺃ‪ -٢‬ﺏ‪.٢‬‬ ‫= ‪٥‬ﺱ ])ﺱ‪[٢(٣)-٢(٢‬‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ‬ ‫= ‪٥‬ﺱ)ﺱ‪)(٣-٢‬ﺱ‪(٣+٢‬‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ﺱ‪ ٣-٢‬ﻟﻴﺲ ﻓﺮ ﹰﻗﺎ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ؛ ﻷﻥ ‪ ٣‬ﻟﻴﺲ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ‪.‬‬ ‫‪٧ ‬ﺱ‪٢١ + ٣‬ﺱ‪٧ -٢‬ﺱ ‪٢١ -‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ‬ ‫‪٧‬ﺱ‪٢١+٣‬ﺱ‪٧-٢‬ﺱ‪٢١-‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﺑﺈﺧﺮﺍﺝ )ﻕ ‪.‬ﻡ‪ .‬ﺃ(‬ ‫= ‪)٧‬ﺱ‪٣+٣‬ﺱ‪ -٢‬ﺱ‪(٣-‬‬ ‫ﺟ ﹼﻤﻊ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ‬ ‫= ‪)]٧‬ﺱ‪٣+٣‬ﺱ‪)-(٢‬ﺱ‪[(٣+‬‬ ‫= ‪]٧‬ﺱ‪)٢‬ﺱ‪)-(٣+‬ﺱ‪[(٣+‬‬ ‫ﺣﻠﻞ ﻛﻞ ﺗﺠ ﹼﻤﻊ‬ ‫ﺱ‪ ٣+‬ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮﻙ‬ ‫= ‪)٧‬ﺱ‪)(٣+‬ﺱ‪(١-٢‬‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ‬ ‫= ‪)٧‬ﺱ‪)(٣+‬ﺱ‪)(١+‬ﺱ‪(١-‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪٦ ‬ﺱ‪٩٦ -٤‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬ﺭ‪٦ +٣‬ﺭ‪١١ +٢‬ﺭ ‪٦٦ +‬‬ ‫ﺣ ﹼﻠﻞ ﻛﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪٢   ‬ﺹ‪٥ ٠-٤‬‬ ‫‪٢  ‬ﻡ‪ +٣‬ﻡ‪٥٠ -٢‬ﻡ ‪٢٥ -‬‬ ‫‪ ‬ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﺼﻔﺮﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻜﺘﻮﺑﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺻﻮﺭﺓ ﻧﺎﺗﺞ ﺿﺮﺏ ﻋﺪﺓ ﻋﻮﺍﻣﻞ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺻﻔ ﹰﺮﺍ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺹ=‪٠‬؟‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪_٩‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺱ‪٢‬‬ ‫ﺹ=‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﺱ‬ ‫ﻟـ‬ ‫ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫‪_٩‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫‪_٩-‬‬ ‫‪_٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺻﻔﺮ‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻋ ﹼﻮﺽ ﻋﻦ ﺹ ﺑـ ﺻﻔﺮ‪ ،‬ﺛﻢ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻃﺮﻳﻘﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﺧﺮ￯ ﻟﻠﺤﻞ ﺑﺘﻌﻮﻳﺾ‬ ‫‪٠٠٠٠‬ﺹﺱ======)ﺱﺱﺱ‪-‬ﺱ‪٢٢٤‬ﺱ‪٩_٣٦٤٦)_٣٤-+--_+٣٢‬ﺃ‪___(١٣١٤٩‬ﻭ()‪٠٢‬ﺱﺱ==‪_٣٤_٣٤-‬ﺱ(‪-‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺪﺍﺋﻞ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ‬ ‫ﻋ ﱢﻮﺽ ﻋﻦ ﺹ ﺑـ ﺻﻔﺮ‬ ‫‪_٣‬‬ ‫ﺍﻛﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﺃ‪ -٢‬ﺏ‪٢‬‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﺼﻔﺮﻱ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺟـ‬ ‫‪‬‬ ‫‪_٥‬‬ ‫‪_٣٥‬‬ ‫‪  ‬ﹸﺣ ﱠﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪١٨ :‬ﺱ ‪ ٥٠ = ٣‬ﺱ؟‬ ‫‪_٥-‬‬ ‫‪_٥‬‬ ‫‪_٥-‬‬ ‫‪_٥-‬‬ ‫‪_٣٥ ،٠  ‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬ﺣ ﹼﻠﻞ ﻛﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪ ٢ ‬ﻝ‪١٦٢ -٣‬ﻝ‬ ‫‪٤ ‬ﺃ‪٢٥-٢‬‬ ‫‪ ‬ﺱ‪٩ -٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢٠  ‬ﺭ‪٤٥-٤‬ﻥ‪٤‬‬ ‫‪ ٢ ‬ﺩ‪ ٣٢-٤‬ﻑ‪ ٤‬‬ ‫‪  ‬ﻭ‪٨١-٤‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ٣ ‬ﻥ‪ ٢+٣‬ﻥ‪ ٤٨-٢‬ﻥ‪٣٢-‬‬ ‫‪٢ ‬ﺟـ‪٣+٣‬ﺟـ‪٢-٢‬ﺟـ‪٣-‬‬ ‫‪ ٢٥٦  ‬ﻥ‪-٤‬ﺟـ‪٤‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻭﻗﻮﻓﻬﺎ ﺍﻟﻤﻔﺎﺟﺊ‪.‬‬ ‫‪‬ﻗﺪ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻷﺛﺮ ﺍﻟﺬﻱ ﺗﺘﺮﻛﻪ ﻋﺠﻼﺕ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﻧﺎﺟ ﹰﻤﺎ ﻋﻦ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻷﺛﺮ‬ ‫ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄﻥ )ﻑ( ﻫﻮ‬ ‫‪_١‬‬ ‫ﺍﻟﺬﻱ‬ ‫ﻑ ﺗﻌ ﱢﺒﺮ ﻋﻦ ﺳﺮﻋﺔ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ )ﻉ( ﺑﺎﻟﻤﻴﻞ‪/‬ﺳﺎﻋﺔ‪،‬‬ ‫ﻉ‪=٢‬‬ ‫‪٢٤‬‬ ‫ﺗﺘﺮﻛﻪ ﺍﻟﻌﺠﻼﺕ ﺑﺎﻟﻘﺪﻡ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ ﺟﺎﻑ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻃﻮﻝ ﺃﺛﺮﺍﻟﻌﺠﻼﺕ ‪ ٥٤‬ﻗﺪ ﹰﻣﺎ‪ ،‬ﻓﻜﻢ ﻛﺎﻧﺖ ﺳﺮﻋﺔ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ؟‬ ‫‪  ‬‬

‫‪ ‬ﺭ‪ -٤‬ﻙ‪٤‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺭ‪ ٩ -٢‬ﻥ‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﻫ‪ ١٠٠ - ٣‬ﻫ‬ ‫‪ ‬ﺣ ﹼﻠﻞ ﻛﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢ ‬ﻥ‪ - ٣‬ﻥ‪١٦٢–٢‬ﻥ‪٨١+‬‬ ‫‪ ‬ﻝ‪١٢١ - ٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ٧ ‬ﻫ‪ ٧ - ٤‬ﻝ‪٤‬‬ ‫‪ ٦ ‬ﻥ‪٦ - ٤‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ٥ ‬ﻫ‪٢٠ - ٣‬ﻫ‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ٣ ‬ﺭ‪ ١٩٢ - ٣‬ﺭ‬ ‫‪ ٢  ‬ﺟـ‪ ٣٢ - ٢‬ﺩ‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ٣ ‬ﺱ ﻥ‪٢٧ -٤‬ﺱ‪٣‬‬ ‫‪ ‬ﻫ‪٢٥٦ - ٤‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ٨ ‬ﺟـ‪٨ - ٣‬ﺟـ‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ٣ ‬ﻥ‪ ٧ - ٣‬ﻥ‪٣ - ٢‬ﻥ ‪٧+‬‬ ‫‪  ‬ﺱ‪٤ - ٢‬ﺹ‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ٣ ‬ﻡ‪٢٤٣ + ٤‬‬ ‫‪ ٦  ‬ﻙ‪ ٢‬ﻫ‪ ٥٤ – ٤‬ﻙ‪٤‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ١٥ ‬ﻡ‪ ١٢+٣‬ﻡ‪ ٣٧٥-٢‬ﻡ‪٣٠٠-‬‬ ‫‪  ‬ﻑ‪ ٢ +٣‬ﻑ‪ ٦٤-٢‬ﻑ‪١٢٨-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ١٠  ‬ﻙ‪ ١٢١٠ -٣‬ﻙ‬ ‫‪  ‬ﻝ ‪٣‬ﺭ‪ – ٥‬ﻝ ‪٣‬ﺭ‬ ‫‪ ‬ﺭ‪ ٥-٣‬ﺭ‪ ١٠٠-٢‬ﺭ‪٥٠٠+‬‬ ‫‪ ٤ ‬ﻡ‪ ٩ + ٣‬ﻡ‪ ٣٦ – ٢‬ﻡ ‪٨١ -‬‬ ‫‪  ‬ﺱ‪ ٦ + ٤‬ﺱ‪ ٣٦ – ٣‬ﺱ‪٢١٦–٢‬ﺱ‬ ‫)‪º°S (1 + ¿4‬‬ ‫‪  ‬ﻳﻤ ﹼﺜﻞ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﹸﻗﻄﹺ ﹶﻊ ﻣﻨﻪ ﻣﺮﺑﻊ ﺁﺧﺮ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪º°S (1 + ¿4‬‬ ‫‪º°S5‬‬ ‫‪  ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺗﻤ ﹼﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﻤﻈﻠﻠﺔ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪º°S5‬‬ ‫‪ ‬ﺃﻭﺟﺪ ﹸﺑﻌﺪﻱ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻟﻪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ﻧﻔﺴﻬﺎ‪ ،‬ﻣﻔﺘﺮ ﹰﺿﺎ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻧﻬﻤﺎ ﹸﻳﻤ ﹼﺜﻼﻥ ﺑﺜﻨﺎﺋﻴﺘﻲ ﺣﺪ‪.‬‬ ‫‪   ‬ﺃﺭﺍﺩ ﺯﻳﺎﺩ ﺑﻨﺎﺀ ﻣﻠﺤﻖ ﻓﻲ ﺑﺎﺣﺔ ﻣﻨﺰﻟﻪ ﺍﻟﺨﻠﻔﻴﺔ‪ ،‬ﹸﺑﻌﺪﺍﻩ ‪٨‬ﻡ ‪٨ ،‬ﻡ ‪.‬‬ ‫ﺛﻢ ﻗ ﱠﺮﺭ ﺗﻘﻠﻴﺺ ﻃﻮﻝ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﺒﻌﺪﻳﻦ ﻭﺯﻳﺎﺩﺓ ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺍﻵﺧﺮ ﺑﺎﻟﻌﺪﺩ ﻧﻔﺴﻪ ﻣﻦ ﺍﻷﻣﺘﺎﺭ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫ﺑﻌﺪ ﺗﻘﻠﻴﺼﻪ ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪٦٠‬ﻡ‪ ،٢‬ﻓﻤﺎ ﹸﺑﻌﺪﺍﻩ ؟‬ ‫‪   ‬ﻧﺸﺮﺕ ﺇﺣﺪ￯ ﺩﻭﺭ ﺍﻟﻨﺸﺮ ﻛﺘﺎ ﹰﺑﺎ ﺟﺪﻳ ﹰﺪﺍ‪ ،‬ﻭﺗﻤ ﹼﺜﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻉ = ‪٢٥-‬ﻡ‪١٢٥ +٢‬ﻡ ﻣﺒﻴﻌﺎﺕ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ‪،‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﻴﺚ )ﻉ( ﺗﻤ ﹼﺜﻞ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﺴﺦ ﺍﻟﻤﺒﻴﻌﺔ‪ ،‬ﻭ )ﻡ( ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺷﻬﺮ ﺍﻟﺘﻲ ﺑﻴﻊ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ‪.‬‬ ‫‪‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﻏﻢ ﻣﻦ ﺍﻧﺘﺸﺎﺭ ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ‬ ‫‪  ‬ﻓﻲ ﺃﻱ ﺷﻬﺮ ﹸﻳﺘﻮ ﱠﻗﻊ ﺃﻥ ﺗﻨﻔﺬ ﺍﻟﻨﺴﺦ ﺍﻟﻤﻌﺮﻭﺿﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ؟‬ ‫ﻓﻲ ﻣﻌﻈﻢ ﺍﻟﻤﻨﺎﺯﻝ ﻭﺃﻣﺎﻛﻦ ﺍﻟﻌﻤﻞ‬ ‫‪  ‬ﻣﺘﻰ ﻭﺻﻠﺖ ﺍﻟﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﺇﻟﻰ ﺫﺭﻭﺗﻬﺎ؟‬ ‫‪ ‬ﻣﺎ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﺴﺦ ﺍﻟﻤﺒﻴﻌﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺬﺭﻭﺓ؟‬ ‫‪‬ﻟﻴﻜﻮﻥ ﻭﺳﻴﻠﺔ ﻟﻠﺒﺤﺚ ﻭﺍﻻﻃﻼﻉ‪،‬‬ ‫ﺇﻻ ﺃﻥ ﺍﻟﺒﻌﺾ ﻻﻳﺰﺍﻝ ﻳﻔﻀﻞ‬ ‫‪‬ﺗﻜﻮﻳﻦ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻪ ﻣﻦ ﻗﺮﺍﺀﺓ ﺍﻟﻜﺘﺐ‬ ‫ﻭﺍﺭﺗﻴﺎﺩ ﺍﻟﻤﻜﺘﺒﺎﺕ‪.‬‬ ‫‪  ‬‬

‫ﺣﻞ ﻛ ﹼﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﻴﻞ‪ ،‬ﺛ ﹸﻢ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢٥ = ١٠٠  ‬ﺱ‪٢‬‬ ‫‪٣٦  ‬ﻝ‪١٢١ = ٢‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪_٤١ ‬ﺏ‪١٦ = ٢‬‬ ‫ﺗﺬ ﹼﻛﺮ ﺃﻥ ﺗﺠﻌﻞ ﺃﺣﺪ ﻃﺮﻓﻲ‬ ‫‪‬‬ ‫=‪٠‬‬ ‫‪_٩‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪٤‬ﺹ‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٩  ‬ﺩ‪٠ = ٨١ - ٢‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺻﻔ ﹰﺮﺍ ﻗﺒﻞ ﺣﻞ‬ ‫‪١٦‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ‪.‬‬ ‫ﺱ‪٠ = ٢‬‬ ‫‪_١‬‬ ‫‪- ٨١‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪  ‬ﺳﺘﻜﺘﺸﻒ ﻓﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻤ ﹼﺜﻞ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬ﺍﻧﺴﺦ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺃﺩﻧﺎﻩ ﻭﺃﻛﻤﻠﻪ ﺑﺘﺤﻠﻴﻞ ﻛﻞ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ‪ ،‬ﺛﻢ ﺍﻛﺘﺐ ﺃﻭﻝ ﻭﺁﺧﺮ ﺣﺪ ﻓﻲ ﻛﺜﻴﺮﺓ‬ ‫ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ ﻛﺎﻣﻠﺔ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٤‬ﺱ‪٢)=٢‬ﺱ(‪٢٣=٩ ٢‬‬ ‫)‪٢‬ﺱ‪٢)(٣+‬ﺱ‪(٣+‬‬ ‫‪٤‬ﺱ‪١٢+٢‬ﺱ‪٩+‬‬ ‫‪٩‬ﺱ‪٢٤-٢‬ﺱ‪١٦+‬‬ ‫‪٤‬ﺱ‪٢٠-٢‬ﺱ‪٢٥+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪١٦‬ﺱ‪٢٤+٢‬ﺱ‪٩+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬ﺍﻛﺘﺐ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻷﻭﺳﻂ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻟﻠﻤﺮﺑﻌﺎﺕ ﺍﻟﻜﺎﻣﻠﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﻠﺤﺪﻳﻦ ﺍﻷﻭﻝ ﻭﺍﻷﺧﻴﺮ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻟﺜﻼﺛﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻤ ﹼﺜﻞ ﻣﺮﺑ ﹰﻌﺎ ﻛﺎﻣ ﹰﻼ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬ﻣﺎ ﺍﻟﺸﺮﻭﻁ ﺍﻟﻮﺍﺟﺐ ﺗﻮﺍﻓﺮﻫﺎ ﻓﻲ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ ﻟﺘﺼﻨﱠﻒ ﻋﻠﻰ ﺃﻧﻬﺎ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎﻣﻞ؟‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    ‬ﺣ ﱠﻠﻠﺖ ﻛ ﱞﻞ ﻣﻦ ﻫﻼ ﻭﻣﻨﻰ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻵﺗﻴﺔ‪ ،‬ﻓﺄﻳﻬﻤﺎ ﺇﺟﺎﺑﺘﻬﺎ ﺻﺤﻴﺤﺔ؟ ﻓ ﱢﺴﺮ ﺫﻟﻚ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬ﺑ ﱢﺴﻂ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‪) - ٩ :‬ﻙ‪ ٢(٣+‬ﺑﺘﺤﻠﻴﻠﻬﺎ ﺑﺎﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪   ‬ﺣ ﹼﻠﻞ‪ :‬ﺱ‪٨١-١٦‬‬ ‫‪   ‬ﺣ ﹼﺪﺩ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﺃﻡ ﺧﺎﻃﺌﺔ‪ .‬ﻭﺃﻋ ﹺﻂ ﻣﺜﺎﻻﹰ ﻣﻀﺎ ﹰﹼﺩﺍ ﻟﻠﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺇﺟﺎﺑﺘﻚ‪:‬‬ ‫\"ﺃﻱ ﺛﻨﺎﺋﻴﺔ ﺣﺪ ﺟﻤﻴﻊ ﺣﺪﻭﺩﻫﺎ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ ﻛﺎﻣﻠﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺘﺤﻠﻴﻞ\"‪.‬‬ ‫‪  ‬ﺃﻋ ﹺﻂ ﻣﺜﺎ ﹰﻻ ﻟﺜﻨﺎﺋﻴﺔ ﺣﺪ ﻧﺤﺘﺎﺝ ﻋﻨﺪ ﺗﺤﻠﻴﻠﻬﺎ ﺗﺤﻠﻴ ﹰﻼ ﺗﺎ ﹰﹼﻣﺎ ﺇﻟﻰ ﺗﻜﺮﺍﺭ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ‪ ،‬ﺛﻢ ﺣ ﹼﻠﻠﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪   ‬ﻟﻤﺎﺫﺍ ﻻ ﺗﺘﻀﻤﻦ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ ﺣ ﹰﹼﺪﺍ ﻣﺘﻐﻴ ﹰﺮﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻮﺳﻂ؟‬ ‫‪  ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺃﻱﻣ ﹼﻤﺎﻳﺄﺗﻲﻳﻤ ﹼﺜﻞﻣﺠﻤﻮﻉﺣﻠ ﹼﻲﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔﺱ‪٣+٢‬ﺱ=‪٥٤‬؟‬ ‫‪  ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺃﺣﺪ ﺟﺬﺭﻱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪٢‬ﺱ‪١٣+٢‬ﺱ=‪ ٢٤‬ﻫﻮ ‪٨-‬‬ ‫ﻓﻤﺎ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻵﺧﺮ؟‬ ‫‪٣ ‬‬ ‫‪ ٣-   ‬‬ ‫‪_٢‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪_٢٣_٢٣-‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢١ ‬‬ ‫‪ ٢١-   ‬‬ ‫‪_٣٢‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣ ﹼﻠﻞ ﻛﻞ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﻟﻢ ﻳﻤﻜﻦ ﺫﻟﻚ ﻣﻤﻜﻨﹰﺎ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‪ ،‬ﻓﺎﻛﺘﺐ \"ﺃﻭﻟﻴﺔ\"‪ :‬‬ ‫‪١٠ ‬ﺱ‪٢٠ - ٢‬ﺱ ﺹ ‪١٠ +‬ﺹ‪٢‬‬ ‫‪٥ ‬ﺃ‪٣ - ٢‬ﺃ ‪١٥ +‬‬ ‫‪٥  ‬ﺱ‪١٧ -٢‬ﺱ‪١٤+‬‬ ‫ﹸﺣ ﱠﻞ ﻛ ﱠﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﻭﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺣ ﱢﻠﻚ‪ :‬‬ ‫‪٢٢  ‬ﺱ ‪ -‬ﺱ‪٩٦ = ٢‬‬ ‫‪ + ١٠ ‬ﺃ‪٧- = ٢‬ﺃ ‪‬‬ ‫‪  ‬ﻥ‪٩ - ٢‬ﻥ = ‪١٨-‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ :‬‬ ‫‪٦) ‬ﺱ ‪٤)  ٢(١ -‬ﺱ ‪٤)(٥ +‬ﺱ ‪(٥ +‬‬ ‫‪٢)  ‬ﺱ ‪٢(٥ -‬‬ ‫‪)  ‬ﺱ ‪)(٣ +‬ﺱ ‪ (٣ +‬‬ ‫‪) ‬ﺱ ‪) (٣ +‬ﺱ ‪(٣ +‬‬ ‫‪) ‬ﺱ ‪) (٢ -‬ﺱ ‪(٢ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٤) ‬ﺱ ‪٤) (٥ +‬ﺱ ‪(٥ +‬‬ ‫‪٦) ‬ﺱ ‪ ٢(١ -‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﱠﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪)  ‬ﺱ ‪٢(٦ -‬‬ ‫‪٢)  ‬ﺱ ‪٢(٥ -‬‬ ‫‪  ‬‬