كثيرات الحدود

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺳ ﱢﺠﻠﺖ ﻣﺒﻴﻌﺎﺕ ﺍﻷﺟﻬﺰﺓ ﺍﻟﺬﻛﻴﺔ ﻋﺎﻟﻤ ﹰﻴﺎ ﺃﺭﻗﺎ ﹰﻣﺎ‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﻋﺎﻡ ‪ ٢٠١٧‬ﻡ‪ .‬ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﻋﺪﺩ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﻴﻌﺎﺕ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻉ= ‪ ٢٫٧-‬ﻥ‪ ٤٩٫٤ + ٢‬ﻥ ‪١٢٨٫٧ +‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄﻥ ﻉ ﺗﻤ ﱢﺜﻞ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺟﻬﺰﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻳﺘﻢ ﺑﻴﻌﻬﺎ ﺑﺎﻟﻤﻼﻳﻴﻦ‪ ،‬ﻥ ﺗﻤ ﱢﺜﻞ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﻣﻨﺬ ﻋﺎﻡ ‪ ٢٠٠٥‬ﻡ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺗﻤ ﹼﺜﻞ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪٢٫٧-‬ﻥ‪٤٩٫٤ + ٢‬ﻥ ‪ ١٢٨٫٧ +‬ﻣﺜﺎﻻﹰ ﻋﻠﻰ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ‪ .‬ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻛﺜﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﻮﺍﻗﻒ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﻫﻲ ﻭﺣﻴﺪﺓ ﺣﺪ ﺃﻭ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭﺣﻴﺪﺍﺕ ﺣﺪ‪ .‬ﹸﺗﺴﻤﻰ ﻛﻞ ﻭﺣﻴﺪﺓ ﺣﺪ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣ ﹼﹰﺪﺍ ﻓﻲ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ‪ .‬ﻭﺑﻌﺾ ﻛﺜﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺗﺤﻤﻞ ﺃﺳﻤﺎ ﹰﺀ ﺧﺎﺻﺔ‪ .‬ﻓﺜﻨﺎﺋﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪ ﻫﻲ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭﺣﻴﺪﺗﻲ ﺣﺪ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻓﻲ ﺃﺑﺴﻂ ﺷﻜﻞ‪ ،‬ﻭﺛﻼﺛﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﻫﻲ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺛﻼﺙ ﻭﺣﻴﺪﺍﺕ ﺣﺪ ﻓﻲ ﺃﺑﺴﻂ ﺷﻜﻞ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﺪﺩ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﻞ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﺃﻡ ﻻ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﺬﻟﻚ ﻓﺼﻨﻔﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﻭﺣﻴﺪﺓ ﺣ ﹼﺪ‪ ،‬ﺃﻭ ﺛﻨﺎﺋﻴﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﺪ ‪ ،‬ﺃﻭ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٤ ‬ﺹ ‪٥ -‬ﺱ ﻉ‬ ‫ﻧﻌﻢ؛ ‪٤‬ﺹ ‪٥-‬ﺱ ﻉ ﻫﻲ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭﺣﻴﺪﺗﻲ ﺣﺪ‬ ‫ﺛﻨﺎﺋﻴﺔ ﺣﺪ‬ ‫ﻫﻤﺎ‪٤ :‬ﺹ‪٥- ،‬ﺱ ﻉ‪.‬‬ ‫‪٦٫٥- ‬‬ ‫‪٧ ‬ﺃ‪٩ + ٣-‬ﺏ‬ ‫ﻭﺣﻴﺪﺓ ﺣﺪ‬ ‫ﻧﻌﻢ؛ ‪ ٦٫٥-‬ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬ ‫‪٦ ‬ﺱ‪٤ + ٣‬ﺱ ‪ +‬ﺱ ‪٣ +‬‬ ‫ــــ‬ ‫‪_٧‬‬ ‫ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ‬ ‫ﺣﺪ‪.‬‬ ‫ﻭﺣﻴﺪﺓ‬ ‫ﻟﻴﺴﺖ‬ ‫ﻭﻫﻲ‬ ‫‪،‬‬ ‫=‬ ‫‪٧‬ﺃ‪٣-‬‬ ‫ﻻ؛‬ ‫ﺃ‪٣‬‬ ‫ﻧﻌﻢ؛ ‪٦‬ﺱ‪٤ + ٣‬ﺱ ‪ +‬ﺱ‪٦ = ٣ +‬ﺱ‪٥+٣‬ﺱ ‪،٣+‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺛﻼﺛﺔ ﺣﺪﻭﺩ‪.‬‬ ‫‪٣-  ‬ﺹ‪٢- ٢‬ﺹ ‪٤+‬ﺹ‪١-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪١٠ ‬ﺱ‪٨- ٤-‬ﺱﺃ‬ ‫‪   ‬ﺱ‪‬‬ ‫‪٥  ‬ﺭ ﺱ ‪ ٧ +‬ﻥ ﻑ ‪‬ﻙ‬ ‫ﺩﺭﺟﺔ ﻭﺣﻴﺪﺓ ﺍﻟﺤﺪ ﻫﻲ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺃﺳﺲ ﻛﻞ ﻣﺘﻐﻴﺮﺍﺗﻬﺎ‪ .‬ﻭﺩﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﺑﺖ ﻏﻴﺮ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺻﻔ ﹰﺮﺍ‪ .‬ﻭﻟﻴﺲ ﻟﻠﺼﻔﺮ‬ ‫ﺩﺭﺟﺔ‪ .‬ﺃﻣﺎ ﺩﺭﺟﺔ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﻓﻬﻲ ﺃﻛﺒﺮ ﺩﺭﺟﺔ ﻷﻱ ﺣ ﱟﺪ ﻣﻦ ﺣﺪﻭﺩﻫﺎ‪ .‬ﻭﻹﻳﺠﺎﺩ ﺩﺭﺟﺔ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ‪ ،‬ﻳﺘﻌﻴﻦ‬ ‫ﻋﻠﻴﻚ ﺃﻭﻻﹰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺩﺭﺟﺔ ﻛﻞ ﺣﺪ ﻓﻴﻬﺎ‪ .‬ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺗﺴﻤﻴﺔ ﺑﻌﺾ ﻛﺜﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﺍﻋﺘﻤﺎ ﹰﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺩﺭﺟﺘﻬﺎ‪ ،‬ﻓﺘﺴﻤﻰ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺻﻔﺮ‪ :‬ﺛﺎﺑﺘﺔ‪ ،‬ﻭﺫﺍﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ‪ :١‬ﺧﻄﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺫﺍﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ‪ :٢‬ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺫﺍﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ‪ :٣‬ﺗﻜﻌﻴﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪  ‬‬

‫مثال ‪ 2‬درجة كثيرة الحدود‬ ‫أوجد درجة كثيرة الحدود ‪2‬د‪9​ - 3‬جـ​ ​‪ 5‬د ‪7 -‬‬ ‫الخطوة ‪ : 1‬أوجد درجة كل حد‪.‬‬ ‫درجة الحد ‪2‬د‪ ،3 = 3‬درجة الحد ‪9-‬جـ‪ 5‬د = ‪،6 = 1 + 5‬‬ ‫درجة الحد ‪ 7-‬هي صفر‪.‬‬ ‫الخطوة ‪ : 2‬درجة كثيرة الحدود هي أكبر درجة لأي حد من حدودها‪ ،‬وتساوي ‪6‬‬ ‫‪2‬ب ) ‪2‬م ن ‪ 3 -‬م ن‪7 -2‬م‪ 2‬ن‪  13 -2‬‬ ‫✓ تحقق من فهمك‬ ‫ ‪�2‬أ) ‪7‬س ص‪ 5‬ع ‬ ‫كثيرات الحدود بال�صورة القيا�سية‪  :‬يمكنك كتابة كثيرة الحدود بأي ترتيب‪ .‬ولاستخدام الصورة القياسية‬ ‫لكثيرة الحدود بمتغير واحد‪ ،‬اكتب الحدود بترتيب تنازلي بحسب درجتها‪ .‬وعندما ُتكتب كثيرة الحدود‬ ‫بالصورة القياسية‪ ،‬فإن معامل أول حد فيها ُيسمى المعامل الرئيس ‪.‬‬ ‫أكبر درجة‬ ‫المعامل الرئيس‬ ‫الصورة القياسية‪​4  :‬س​ ‪5​ - ​3‬س​ ​‪2 + 2‬س ‪7 +‬‬ ‫مثال ‪ 3‬ال�صورة القيا�سية لكثيرة الحدود‬ ‫اكتب كثيرة الحدود ‪5‬ص ‪2 -9-‬ص‪ 6- 4‬ص‪ 3‬بالصورة القياسية‪ ،‬وح ِّدد المعامل الرئيس فيها‪.‬‬ ‫الخطوة ‪ :1‬أوجد درجة كل حد ‪.‬‬ ‫ الدرجة‪3 4 0   1    :‬‬ ‫ ‬ ‫ كثيرة الحدود‪5 :‬ص ‪​2 - 9 -‬ص​ ​‪​6 - 4‬ص​ ​‪3‬‬ ‫الخطوة ‪ :2‬اكتب الحدود بترتيب تنازلي لدرجاتها‪2- :‬ص‪6 – 4‬ص‪5 + 3‬ص ‪ 9-‬فيكون المعامل‬ ‫الرئيس هو ‪2-‬‬ ‫✓ تحقق من فهمك‬ ‫‪3‬ب) ص ‪5 +‬ص‪2 - 3‬ص‪7 - 2‬ص‪  10 +6‬‬ ‫ ‪�3‬أ) ‪​2 - 8‬س​ ​‪4​ + 2‬س​ ‪3 - ​4‬س   ‬ ‫ويمكنك استعمال كثيرات الحدود لتقدير القيم بين سنتين‪ ،‬وللتنبؤ بقيم الحوادث قبل وقوعها أي ًضا‪.‬‬ ‫تعتبر المملكة العربية السعودية‬ ‫أكبر منتج للأسمنت في‬ ‫مثال ‪ 4‬من واقع الحياة ا�ستعمال كثيرات الحدود‬ ‫منطقة الخليج‪ ،‬وصاحبة‬ ‫م�صانع‪  :‬تم ِّثل المعادلة ع= ‪3‬ن‪2 - 2‬ن ‪ 10 +‬عدد أطنان الأسمنت بمئات الألوف التي أنتجها‬ ‫ثاني أكبر طاقة إنتاجية في‬ ‫الشرق الأوسط‪ ،‬و ُتعد صناعة‬ ‫أحد المصانع من عام ‪ 1433‬هـ إلى ‪ 1438‬هـ‪ ،‬حيث ن عدد السنوات منذ عام ‪ 1433‬هـ‪ ،‬فما عدد‬ ‫أطنان الأسمنت المنتجة حتى بداية عام ‪ 1435‬هـ؟‬ ‫الأسمنت في المملكة من‬ ‫الأنشطة ذات الربحية العالية‪.‬‬ ‫أوجد قيمة ن وعوض بها في المعادلة لإيجاد عدد أطنان الأسمنت‪.‬‬ ‫بما أن ن تم ِّثل عدد السنوات منذ عام ‪ 1433‬هـ ‪ ،‬فإن‪ :‬ن = ‪2 = 1433 – 1435‬‬ ‫الدر�س ‪  :3-6‬كثيرات الحدود  ‪٢٣‬‬

‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ‬ ‫ﻉ = ‪٣‬ﻥ‪٢- ٢‬ﻥ ‪١٠ +‬‬ ‫= ‪ ١٠ + (٢) ٢- ٢(٢)٣‬ﻥ = ‪٢‬‬ ‫= ‪ ١٠ + ٤- (٤) ٣‬ﺑﺴ ﹼﻂ‬ ‫ﺍﺿﺮﺏ ﻭﺑ ﹼﺴﻂ‬ ‫= ‪١٨ = ١٠ + ٤- ١٢‬‬ ‫ﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﻉ ﺑﻤﺌﺎﺕ ﺍﻷﻟﻮﻑ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻃﻨﺎﻥ ﺍﻟﻤﻨﺘﺠﺔ ﻛﺎﻥ ‪ ١٨‬ﻣﺌﺔ ﺃﻟ ﹴﻒ‪ ،‬ﺃﻭ ‪.١٨٠٠٠٠٠‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬ﻛﻢ ﻃﻨﹼﹰﺎ ﹸﺃﻧﺘﺞ ﻋﺎﻡ ‪ ١٤٣٨‬ﻫـ؟ ‪‬‬ ‫‪  ‬ﺇﺫﺍ ﺍﺳﺘﻤﺮ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻤﻂ‪ ،‬ﻓﻜﻢ ﻃﻨﹰﹼﺎ ﺳﻴﺘﻢ ﺇﻧﺘﺎﺟﻪ ﻋﺎﻡ ‪ ١٤٤٨‬ﻫـ؟‬ ‫ﺣ ﹼﺪﺩ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﻞ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﺃﻡ ﻻ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﺬﻟﻚ‪ ،‬ﻓﺼ ﱢﻨﻔﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﻭﺣﻴﺪﺓ ﺣﺪ‪ ،‬ﺃﻭ ﺛﻨﺎﺋﻴﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﺪ‪ ،‬ﺃﻭ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٥ ‬ﻙ‪٦ +٤-‬ﻙ‬ ‫‪٥ ‬ﻡ‪ ٢‬ﻥ‪٦ + ٣‬‬ ‫‪٢ ‬ﺹ ‪٣ + ٥ -‬ﺹ‪٣  ٢‬ﺱ‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﺩﺭﺟﺔ ﻛﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪_٣‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٧- ‬ﻉ‬ ‫‪٦  ‬ﻥ‪ – ٣‬ﻥ‪٤‬‬ ‫‪ ٣- ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٦ ‬ﺩﻥ‪ ٣ + ٣‬ﺩ‪٢‬ﻥ‪٢ +٢‬ﺩ ‪١ +‬‬ ‫‪٢ ‬ﺃ‪ ٢‬ﺏ‪ - ٥ + ٥‬ﺃ ﺏ‬ ‫‪٧ -١٢ ‬ﻙ‪٢‬ﻥ ‪ ٨ +‬ﻥ‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻛﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺑﺎﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺣ ﱢﺪﺩ ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺮﺋﻴﺲ ﻓﻴﻬﺎ‪:‬‬ ‫‪٢  ‬ﺃ ‪٤ +‬ﺃ‪٥ -٣‬ﺃ‪١ - ٢‬‬ ‫‪-  ‬ﺹ‪٣+٣‬ﺹ ‪٣ -‬ﺹ‪٤  ٢ + ٢‬ﻉ ‪٢-‬ﻉ‪٥ - ٢‬ﻉ‪ ٤‬‬ ‫‪   ‬ﺍﻓﺘﺮﺽ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻤﺴ ﱠﺠﻠﻴﻦ ﻓﻲ ﺟﺎﻣﻌﺔ ﻣﻦ ﻋﺎﻡ ‪ ١٤٣٠‬ﻫـ ﺇﻟﻰ ‪ ١٤٣٩‬ﻫـ‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﺌﺎﺕ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻥ = ﺱ‪ ١٫٥+ ٢‬ﺱ‪ ،٠٫٥+‬ﺣﻴﺚ ﺱ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﻣﻨﺬ ﻋﺎﻡ ‪ ١٤٣٠‬ﻫـ‪.‬‬ ‫‪  ‬ﻣﺎ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﺗﻢ ﺗﺴﺠﻴﻠﻬﻢ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺎﻣﻌﺔ ﻓﻲ ﻋﺎﻡ ‪ ١٤٣٥‬ﻫـ؟‬ ‫‪ ‬ﻣﺎ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﺗﻢ ﺗﺴﺠﻴﻠﻬﻢ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺎﻣﻌﺔ ﻓﻲ ﻋﺎﻡ ‪ ١٤٣٧‬ﻫـ؟‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺣ ﱢﺪﺩ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﻞ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﺃﻡ ﻻ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﺬﻟﻚ ﻓﺼ ﹼﻨﻔﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﻭﺣﻴﺪﺓ ﺣﺪ‪ ،‬ﺃﻭ ﺛﻨﺎﺋﻴﺔ ﺣﺪ‪،‬‬ ‫ﺃﻭ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﺟـ‪٢-٤‬ﺟـ‪١+٢‬‬ ‫‪٢١ ‬‬ ‫‪٥ ‬ﺹ‪ ٤ + _٣‬ﺱ‬ ‫‪‬‬ ‫‪٥ ‬ﻥ‪ + ٣‬ﻥ ﻙ‪٣‬‬ ‫‪ ‬ﺃ ‪ -‬ﺃ‪٢‬‬ ‫ﺱ‪٢‬‬ ‫‪ ‬ﺩ ‪٣ +‬ﺩ‪-‬ﺟـ‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪ ‬ﺃﻭﺟﺪ ﺩﺭﺟﺔ ﻛﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪٤- ‬‬ ‫‪٣ ‬ﺱ ‪٨ -‬‬ ‫‪٤ -١٣  ‬ﺃ ﺏ ‪٥ +‬ﺃ‪ ٣‬ﺏ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢ +١٠ ‬ﺟـ ﺩ‪ ٦ - ٤‬ﺩ‪٢‬ﺟـ ‪٢  ‬ﻉ‪٢‬ﺹ‪٥ + ٧ -٢‬ﺹ‪٣‬ﻥ‪٤‬‬ ‫‪١٧  ‬ﺟـ‪ ٢‬ﻫـ‬ ‫‪ ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻛﻞ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺑﺎﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺣ ﱢﺪﺩ ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺮﺋﻴﺲ ﻓﻴﻬﺎ‪:‬‬ ‫‪٣ - ٤ ‬ﺟـ ‪٥ -‬ﺟـ‪٢‬‬ ‫‪٨ ‬ﺹ ‪٧ +‬ﺹ‪٣‬‬ ‫‪٥  ‬ﺱ‪٣ +٢ -٢‬ﺱ‬ ‫‪‬‬ ‫‪٩ - ‬ﺏ‪١٠+ ٢‬ﺏ – ﺏ‪٦‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٣-‬ﺱ‪٧+٤‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪_١‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪٤- ‬ﺩ‪-١+ ٤‬ﺩ‪٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪    ‬ﺃﻃﻠﻖ ﺻﺎﺭﻭﺥ ﺃﻟﻌﺎﺏ ﻧﺎﺭﻳﺔ ﻣﻦ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ‪١‬ﻡ ﻣﻦ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺑﺴﺮﻋﺔ ‪ ١٥٠‬ﻡ‪/‬ﺙ‪ .‬ﻭﻳﻤﻜﻦ‬ ‫ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻉ ﺑﻌﺪ ﻥ ﺛﺎﻧﻴﺔ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻉ = ‪٥-‬ﻥ‪٥٠ + ٢‬ﻥ ‪١ +‬‬ ‫‪  ‬ﻣﺎ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺼﻠﻪ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺑﻌﺪ ‪ ٣‬ﺛﻮﺍ ﹴﻥ؟‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﻣﺎ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺼﻠﻪ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺑﻌﺪ ‪ ٥‬ﺛﻮﺍ ﹴﻥ؟‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬ﻳﺼﻤﻢ ﻃﺎﺭﻕ ﻭﻋﻤﺮ ﻫﻴﻜﻞ ﺻﺎﺭﻭﺥ‪ ،‬ﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﻌﻠﻮﻱ ﻣﻨﻪ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺨﺮﻭﻁ‪ ،‬ﻭﺟﺴﻤﻪ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺃﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ﻧﻖ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﺖ‬ ‫‪‬‬ ‫‪_١‬‬ ‫ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻣﻜﻮﻙ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻣﻦ ﺛﻼﺛﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﺣﺠﻢ‬ ‫)ﻉ‪،(١‬‬ ‫ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ‬ ‫×‬ ‫)ﻧﻖ(‬ ‫ﺍﻟﻘﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫×‬ ‫ﻁ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺮﻭﻁ‬ ‫ﺣﺠﻢ‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺃﺟﺰﺍﺀ‪ :‬ﻋﺮﺑﺔ ﻣﺪﺍﺭﻳﺔ ﻟﻠﻄﺎﻗﻢ‪،‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻭﺧﺰﺍﻥ ﺧﺎﺭﺟﻲ ﻟﻠﻮﻗﻮﺩ‪،‬‬ ‫ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻁ × ﻣﺮﺑﻊ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮ )ﻧﻖ( × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ )ﻉ‪.(٢‬‬ ‫ﻭﺟﻬﺎﺯﻱ ﺩﻓﻊ ﺻﺎﺭﻭﺧﻴﻴﻦ‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﺗﻤﺜﻞ ﺣﺠﻢ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ‪.‬‬ ‫‪‬ﻳﻌﻤﻼﻥ ﺑﺎﻟﻮﻗﻮﺩ ﺍﻟﺼﻠﺐ‪ .‬ﻭﺗﺒﻠﻎ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻛﺘﻠﺔ ﺍﻟﻤﻜﻮﻙ ﺑﺎﻟﻜﺎﻣﻞ ‪٤٫٤‬‬ ‫‪  ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺟﺴﻢ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ‪٨‬ﺳﻢ‪ ،‬ﻭﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﻌﻠﻮﻱ ﻣﻨﻪ ‪٦‬ﺳﻢ‪ ،‬ﻭﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ‬ ‫‪‬ﻣﻼﻳﻴﻦ ﺭﻃﻞ ﻋﻨﺪ ﺍﻧﻄﻼﻗﻪ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ‪٣‬ﺳﻢ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﺣﺠﻢ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ؟‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺱ ﻋﺪ ﹰﺩﺍ ﺻﺤﻴ ﹰﺤﺎ‪ ،‬ﻓﺎﻛﺘﺐ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﺗﻤ ﱢﺜﻞ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﻔﺮﺩﻱ‪ ،‬ﻭﻓ ﹼﺴﺮ ﺫﻟﻚ‪.‬‬ ‫‪  ‬ﻭ ﱢﺿﺢ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‪\" :‬ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﺩﺭﺟﺔ ﺛﻨﺎﺋﻴﺔ ﺍﻟﺤﺪ ﺻﻔ ﹰﺮﺍ\" ﺻﺤﻴﺤﺔ ﺩﺍﺋ ﹰﻤﺎ‪ ،‬ﺃﻡ ﺻﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﺃﺣﻴﺎ ﹰﻧﺎ‪ ،‬ﺃﻡ ﻏﻴﺮ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﺃﺑ ﹰﺪﺍ؟ ﻭﻓ ﹼﺴﺮ ﺇﺟﺎﺑﺘﻚ‪.‬‬ ‫‪   ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻣﺜﺎﻻﹰ ﻋﻠﻰ ﺛﻼﺛﻴﺔ ﺣﺪﻭﺩ ﺗﻜﻌﻴﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬ﻓ ﹼﺴﺮ ﻛﻴﻒ ﺗﻜﺘﺐ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺣﺪﻭﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‪ ،‬ﻭﻛﻴﻒ ﺗﺤﺪﺩ ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺮﺋﻴﺲ ﻓﻴﻬﺎ؟‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪  ‬ﻣﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺹ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺃﺩﻧﺎﻩ؟ ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢‬ﺱ ‪ +‬ﺹ = ‪٤ ،١٩‬ﺱ ‪٦ -‬ﺹ = ‪٢-‬‬ ‫‪  ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺪﻳﻚ ﺑﻄﺎﻗﺔ ﺗﺨﻔﻴﺾ‬ ‫‪١٠  ٧  ٨  ٥   ‬‬ ‫ﺑﻘﻴﻤﺔ ‪ ٨‬ﺭﻳﺎﻻﺕ ﻣﻦ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻤﺘﺎﺟﺮ‪ ،‬ﻭﺍﺷﺘﺮﻳﺖ ﺃﺭ ﹰﺯﺍ‬ ‫ﺑـ ‪ ٥٩٫٩٥‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ‪ ،‬ﻭﻋﻠﺒﺔ ﺟﺒﻦ ﺑـ ‪ ١٥٫٩٥‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ‪.‬‬ ‫ﻓﻜﻢ ﺗﺪﻓﻊ ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺫﻟﻚ؟ ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺑ ﱢﺴﻂ ﻛﻞ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﻣﻔﺘﺮ ﹰﺿﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻻ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺻﻔ ﹰﺮﺍ‪ :‬‬ ‫)ﻥﻙ‪_٣(١-‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪٣‬ﻥ‪٢‬ﺟـ‪_٠(٦‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪٤‬ﻡ‪٣-‬ﺟـ‪_٠(٦‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺃ‪)٠‬ﺃ‪)(٤‬ﺃ‪ (٨-‬‬ ‫)‪١٨‬ﻥ‪٦‬ﺟـ‪٠(٢‬‬ ‫)ﻥ‪٤‬ﻙ‪١-(٨‬‬ ‫ﻡ ﺟـ‬ ‫‪  ‬ﺍﻛﺘﺐ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ (٣ ،١‬ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﻣﺪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺹ = ﺱ ﺑﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻤﻴﻞ ﻭﺍﻟﻤﻘﻄﻊ‪  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺑ ﹼﺴﻂ ﻛﻞ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺇﻥ ﺃﻣﻜﻦ‪ ،‬ﻭﺇ ﱠﻻ ﻓﺎﻛﺘﺐ \"ﻓﻲ ﺃﺑﺴﻂ ﺷﻜﻞ\"‪:‬‬ ‫‪٣ ‬ﺹ‪٢ + ٤‬ﺹ‪٢ + ٤‬ﺹ‪٥‬‬ ‫‪٥ ‬ﺕ ‪١٢ +‬ﺕ‪٨ - ٢‬ﺕ‬ ‫‪٧ ‬ﺏ‪١٤ + ٢‬ﺏ ‪١٠ -‬ﺏ‬ ‫ﻝ‪٢‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻝ_‬ ‫‪+‬‬ ‫‪٢‬ﻝ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻥ‬ ‫‪_٢‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻥ_‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻥ‬ ‫‪‬‬ ‫‪٧  ‬ﻫـ‪٧ - ٥‬ﺱ‪٨ + ٥‬ﻙ‪٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪  ‬‬