ครั้งที่ 1 1111111111111111111

คร้ังที่ 1 ใบความรู้ เรื่อง ความสัมพนั ธ์ของระบบจานวนจริง ระบบจานวนจริง คือ ระบบท่ีประกอบดว้ ยเซตของจานวนจริง พร้อมดว้ ยการดาเนินการบวกและ คูณท่ีสอดคลอ้ งกบั สมบตั ิของระบบจานวนจริง ซ่ึงจานวนจริงจะประกอบดว้ ยจานวนต่าง ๆ ที่ เก่ียวขอ้ ง ดงั น้ี 1. จานวนนับหรือจานวนธรรมชาติ (Natural Number) เป็นจานวนแรกท่ีมนุษยร์ ู้จกั และใช้ ประโยชน์ ประกอบดว้ ยตวั เลข 1, 2, 3, … เมื่อให้ N แทนเซตของจานวนนบั ดงั น้นั N = 1, 2, 3, … 2. จานวนเต็ม (Integer) เป็ นจานวนท่ีประกอบดว้ ยจานวน 3 ลกั ษณะ คือ 2.1 จานวนเตม็ บวก (Positive Integer) เขียนแทนดว้ ย I+ เป็นเซตที่ประกอบดว้ ยตวั เลข 1, 2, 3, … ดงั น้นั I+ = 1, 2, 3, … 2.2 จานวนเตม็ ศูนย์ (Zero Integer) เขียนแทนดว้ ย I0 เป็นเซตที่ประกอบดว้ ยตวั เลข 0 เพยี งตวั เดียว ดงั น้นั I0 =0 2.3 จานวนเตม็ ลบ (Negative Integer) เขียนแทนดว้ ย I- เป็นเซตที่ประกอบดว้ ยตวั เลข -1, -2, -3, … ดงั น้นั I- = -1, -2, -3, … 3. จานวนตรรกยะ (Rational Numbers) เป็นจานวนที่เขียนได้ 3 ลกั ษณะคือ 3.1 เศษส่วน เช่น 1 , 3 หรือ 7 24 9 3.2 ทศนิยมไม่รู้จบซ้า เช่น 0.2000…= 0.2 หรือ 1.6666…= 1.6· 3.3 จานวนเตม็ ซ่ึงคือ จานวนที่มีส่วนเป็ น 1 เช่น 2 , 5 หรือ 12 เป็นตน้ 11 1 เม่ือให้ Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ นน่ั คือ Q = X |X = a , a, b I และ b ≠ 0  b 4. จานวนอตรรกยะ ( Irrational number ) คือจานวนที่ไมส่ ามารถเขียนในรูป เศษส่วนของจานวนเตม็ ท่ีตวั ส่วนไมเ่ ป็นศูนย์ แตเ่ ขียนไดใ้ นรูปทศนิยมไมซ่ ้าและสามารถ กาหนดคา่ โดยประมาณได้ เช่น 2 มีค่าประมาณ 1.414 3 มีค่าประมาณ 1.732 , 0.1010010001… มีคา่ ประมาณ 1.101 ,  มีคา่ ประมาณ 3.1416

โครงสร้างของจานวนจริง จานวนจริงสามารถแยกออกไดเ้ ป็น 2 ลกั ษณะ คือ จานวนตรรกยะ และ จานวนอตรรกยะซ่ึงสามารถ จาแนกเป็ น แผนภาพดงั น้ี

แบบฝึ กหดั เร่ืองความสัมพนั ธ์ของระบบจานวนจริง คาส่ัง จงตอบคาถามต่อไปน้ี 1. จงเขียนโครงสร้างของระบบจานวนจริง ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………… 2. จานวนเตม็ มีจานวนอะไรบา้ ง ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… 3. จงยกตวั อยา่ งจานวนตรรกยะ มา 5 จานวน ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… 4. จานวนอตรรกยะ มีจานวนอะไรบา้ ง

ใบความรู้ เรื่อง สมบตั ขิ องการบวก การลบ การคูณ และการหารจานวนจริง „ สมบัติการเท่ากนั ของจานวนจริง กาหนด a, b, c เป็นจานวนจริงใดๆ 1. สมบตั ิการสะทอ้ น a = a 2. สมบตั ิการสมมาตร ถา้ a = b แลว้ b = a 3. สมบตั ิการถ่ายทอด ถา้ a = b และ b = c แลว้ a = c 4. สมบตั ิการบวกดว้ ยจานวนที่เทา่ กนั ถา้ a = b แลว้ a + c = b + c 5. สมบตั ิการคูณดว้ ยจานวนท่ีเทา่ กนั ถา้ a = b แลว้ ac = bc „ สมบตั ิการบวกในระบบจานวนจริง กาหนด a, b, c เป็นจานวนจริงใดๆ 1. สมบตั ิปิ ดการบวก a + b เป็นจานวนจริง 2. สมบตั ิการสลบั ท่ีของการบวก a + b = b + c 3. สมบตั ิการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c 4. เอกลกั ษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0 นนั่ คือ ในระบบจานวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลกั ษณ์การบวก 5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a นน่ั คือ ในระบบจานวนจริง จานวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก • สมบตั ิการคูณในระบบจานวนจริง กาหนดให้ a, b, c, เป็นจานวนจริงใดๆ 1. สมบตั ิปิ ดการคูณ ab เป็ นจานวนจริง 2. สมบตั ิการสลบั ที่ของการคูณ ab = ba 3. สมบตั ิการเปล่ียนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c 4. เอกลกั ษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1 นนั่ คือในระบบจานวนจริง มี 1 เป็นเอกลกั ษณ์การคูณ

5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0 นนั่ คือ ในระบบจานวนจริง จานวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเวน้ 0 6. สมบตั ิการแจกแจง a( b + c ) = ab + ac ( b + c )a = ba + ca จากสมบตั ิของระบบจานวนจริงที่ไดก้ ล่าวไปแลว้ สามารถนามาพิสูจนเ์ ป็นทฤษฎีบทต่างๆ ไดด้ งั น้ี ทฤษฎีบทที่ 1 กฎการตดั ออกสาหรับการบวก เม่ือ a, b, c เป็นจานวนจริงใดๆ ถา้ a + c = b + c แลว้ a = b ถา้ a + b = a + c แลว้ b = c ทฤษฎีบทท่ี 2 กฎการตดั ออกสาหรับการคูณ เม่ือ a, b, c เป็นจานวนจริงใดๆ ถา้ ac = bc และ c ≠ 0 แลว้ a = b ถา้ ab = ac และ a ≠ 0 แลว้ b = c ทฤษฎีบทท่ี 3 เม่ือ a เป็นจานวนจริงใดๆ a·0=0 0·a=0 ทฤษฎีบทที่ 4 เมื่อ a เป็นจานวนจริงใดๆ (-1)a = -a a(-1) = -a ทฤษฎีบทท่ี 5 เม่ือ a, b เป็นจานวนจริงใดๆ

ถา้ ab = 0 แลว้ a = 0 หรือ b = 0 ทฤษฎีบทที่ 6 เม่ือ a เป็นจานวนจริงใดๆ a(-b) = -ab (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab เราสามารถนิยามการลบและการหารจานวนจริงไดโ้ ดยอาศยั สมบตั ิของการบวกและการคูณใน ระบบจานวนจริงท่ีไดก้ ล่าวไปแลว้ ขา้ งตน้ • การลบจานวนจริง บทนิยาม เมื่อ a, b เป็นจานวนจริงใดๆ a- b = a + (-b) นนั่ คือ a - b คือ ผลบวกของ a กบั อินเวอร์สการบวกของ b • การหารจานวนจริง บทนิยาม เมื่อ a, b เป็นจานวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0 = a(b-1) นน่ั คือ คือ ผลคูณของ a กบั อินเวอร์สการคูณของ b

แบบฝึ กหดั เรื่อง สมบตั ิของการบวก การลบ การคูณ และการหารจานวนจริง คาส่ัง จงตอบคาถามต่อไปน้ี 1. สมบตั ิการสลบั ท่ีของการบวก คือ …………………………………………………….… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… 2. (2+5) + 7 = 2+ (5+7) เป็นสมบตั ิใด ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… 3. จงยกตวั อยา่ งคุณสมบตั ิการแจกแจงสาหรับการคูณ มา 1 ตวั อยา่ ง ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………… 4. จงใชค้ ุณสมบตั ิการแจกแจงสาหรับการคูณแลว้ หาผลลพั ธ์ 4.1 5  (10 + 7) = ____________________________________ = 4.2 6  (5 + 12) = ____________________________________ = 5. จงหาผลลพั ธ์ของจานวนต่อไปน้ี 5.1 12 + (-7) = _______________________________ 5.2 (-65) ‟ (-110) = ________________________________ 5.3 (-16)  5 = ________________________________

ใบความรู้ เรื่อง สมบตั ิการเท่ากนั และการไม่เท่ากนั คุณสมบตั ิของการเท่ากนั การเทา่ กนั หมายถึง คา่ หรือปริมาณของจานวนที่เท่ากนั เช่น 5 + 1 = 6 เป็นจริง (ได้ 6 = 6) (2 + 6) + 7 = 15 เป็นจริง (ได้ 15 = 15) สมบัตกิ ารไม่เท่ากนั ใหผ้ เู้ รียนทบทวนเรื่องสมบตั ิการเท่ากนั ในเรื่องที่ผา่ นมาเพ่อื เป็นความรู้เพิม่ เติม ส่วนในเร่ืองน้ีจะ เนน้ เรื่องสมบตั ิการไมเ่ ทา่ กนั เทา่ น้นั ประโยคคณิตศาสตร์จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ > , < , ≥ , ≤ , ≠ แทนการไมเ่ ท่ากนั เรียกการไมเ่ ท่ากนั วา่ “อสมการ” (Inequalities) บทนิยาม a < b หมายถึง a นอ้ ยกวา่ b a > b หมายถึง a มากกวา่ b กาหนดให้ a, b, c เป็นจานวนจริงใดๆ 1. สมบตั ิการถ่ายทอด ถา้ a > b และ b > c แลว้ a > c 2. สมบตั ิการบวกดว้ ยจานวนที่เทา่ กนั ถา้ a > b แลว้ a + c > b+ c 3. จานวนจริงบวกและจานวนจริงลบ a เป็นจานวนจริงบวก กต็ ่อเมื่อ a > 0 a เป็นจานวนจริงลบ กต็ อ่ เม่ือ a < 0 4. สมบตั ิการคูณดว้ ยจานวนเทา่ กนั ที่ไม่เทา่ กบั ศูนย์ ถา้ a > b และ c > 0 แลว้ ac > bc ถา้ a > b และ c < 0 แลว้ ac < bc 5. สมบตั ิการตดั ออกสาหรับการบวก ถา้ a + c > b + c แลว้ a > b 6. สมบตั ิการตดั ออกสาหรับการคูณ ถา้ ac > bc และ c > 0 แลว้ a > b ถา้ ac > bc และ c < 0 แลว้ a < b

บทนิยาม หมายถึง a นอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั b a≤b หมายถึง a มากกวา่ หรือเทา่ กบั b a≥b หมายถึง a < b และ b < c a<b<c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c a≤b≤c การแก้สมการ ตวั อยา่ งที่ 1 จงแกส้ มการ X ‟ 5 = 2 โดยใชค้ ุณสมบตั ิของการเท่ากนั ดงั น้ี วธิ ีทา X ‟ 5 = 2 เอา 5 บวกเขา้ ท้งั สองขา้ ง จะได้ X‟5+5 = 2 +5 X = 2 +5 X =7 ตรวจคาตอบโดยแทนคา่ ตวั แปร X ดว้ ย 7 ในสมการ X ‟ 5 = 2 จะได้ 7 ‟ 5 = 2 ซ่ึงเป็นจริง ดงั น้นั 7 เป็นคาตอบของสมการ X ‟ 5 = 2 การแก้อสมการ ตวั อยา่ งท่ี 2 จงแกอ้ สมการ X + 2 < 5 วธิ ีทา X + 2 < 5 เอา 2 ลบออกท้งั สองขา้ งจะได้ X+2 -2 < 5‟2 X< 3 ตรวจคาตอบโดยแทนค่าตวั แปร X ดว้ ยจานวนจริงท่ีนอ้ ยกวา่ จะไดป้ ระโยคที่เป็ นจริง ดงั น้นั จานวนทุกจานวนที่นอ้ ยกวา่ 3 คือคาตอบของอสมการน้ี

แบบฝึ กหัด เรื่อง สมบตั ิการเท่ากนั และการไม่เท่ากนั จงตอบคาถามต่อไปน้ี 1. 3 + 5 = 8 จริงหรือไม่ ________________________ 2. (4 + 3) + 5 = 7 + 5 จริงหรือไม่ ________________________ 3. ถา้ a , b เป็นจานวนใด ๆ และ a = b แลว้ a + 2 = b + 2 จริงหรือไม่ ________________________ 4. จงแกส้ มการ X + 20 = 56 โดยใชส้ มบตั ิของการเทา่ กนั .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .......................................................................... .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .................................................................................................................... 5. จงแกอ้ สมการ X ‟ 16 < 25 .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. ............................................................

ใบความรู้ เรื่อง ค่าสัมบูรณ์ ค่าสมบูรณ์ บทนิยาม กาหนดให้ a เป็ นจานวนจริง นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจานวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากบั ศูนย์เสมอ 4.1 สมบัตขิ องค่าสัมบูรณ์ 1. |x| = |-x| 2. |xy| = |x||y| 3. x = x yy 4. | x - y | = | y - x | 5. |x|2 = x2 6. | x + y | ≤ |x| +|y| 7. เมื่อ a เป็นจานวนจริงบวก |x| < a หมายถึง -a < x < a |x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a 8. เมื่อ a เป็นจานวนจริงบวก |x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a |x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a

แบบฝึ กหัด เร่ือง ค่าสัมบูรณ์ 1. จงหาคา่ สัมบูรณ์ของจานวนต่อไปน้ี 1.1 |X| = |5| = _________________________ 1.2 |X| = |0| = _________________________ 1.3 |X| = |-3| = _________________________ 2. จงหาคาตอบของสมการและอสมการของค่าสัมบูรณ์ต่อไปน้ี 2.1 |-2X| = 10 .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .......................................................................................................................... 2.2 |4X + 3| = -3 .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .......................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ......................................................................................................................................................

คร้ังท่ี 2 ใบความรู้ท่ี 1 เรื่อง จานวนตรรกยะ ( แตกต่างจากจานวนอตรรกยะอยา่ งไร ) 1. จานวนตรรกยะ (Rational Number) ความหมายของจานวนตรรกยะ จานวนตรรกยะ ไดแ้ ก่ จานวนที่เขียนไดเ้ ป็ นเศษส่วน a ของจานวนเตม็ 2 จานวน b โดยท่ีตวั หารหรือตวั ส่วน b ≠ 0 จานวนตรรกยะอาจเขียนไดใ้ นรูปทศนิยมรู้จบหรือในรูปทศนิยมซ้า กล่าวโดยสรุป จานวนตรรกยะไดแ้ ก่จานวนตอ่ ไปน้ี 1. จานวนเตม็ ไดแ้ ก่ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... 2. จานวนที่เขียนในรูปเศษส่วนของจานวนเตม็ และตวั ส่วนไมเ่ ป็นศูนย์ เช่น 4 , 5 3 , 5 , 12 ,  22 เป็ นตน้ 48 5 7 3. จานวนท่ีเขียนไดใ้ นรูปทศนิยมรู้จบ เช่น 0.8 = 8 4. จานวนที่เขียนไดใ้ นรูปทศนิยมซ้า เช่น 10 1.45 = 145 100 3.52 = 352 100 0.27 = 0.2727272727…. = 27 99 0.318 = 0.318181818…. = 315 990 2. จานวนอตรรกยะ (Irrational Number) ความหมายของจานวนอตรรกยะ จานวนอตรรกยะ ไดแ้ ก่ จานวนจริงที่ไมส่ ามารถเขียนเป็ นเศษส่วนของจานวนเตม็ 2 จานวน เช่น 3 , 5 , 3 , ¶ จานวนอตรรกยะอาจจะเขียนไดใ้ นรูปทศนิยมไม่รู้จบประเภท ไม่ซ้าหรือกาหนดเป็นคา่ ประมาณได้ ดงั น้ี 2 = 1.414213562… มีคา่ ประมาณ 1.414 3 = 1.732050807… มีคา่ ประมาณ 1.732 5 = 2.236067977… มีคา่ ประมาณ 2.236

7 = 2.645751311… มีคา่ ประมาณ 2.646 3 2 = 1.2599209… มีค่าประมาณ 1.260 3 3 = 1.4422495… มีคา่ ประมาณ 1.442 ¶ = 3.41459265… มีคา่ ประมาณ 3.1416 0.101001000... มีค่าประมาณ 0.101 0.353353335... มีค่าประมาณ 0.353 .......................................

ใบงานท่ี 1 เรื่อง จานวนตรรกยะและอตรรกยะ 1. ใหผ้ เู้ รียนขีดเครื่องหมาย  ลงในช่องจานวนตรรกยะหรือจานวนอตรรกยะ ที่ตรงกบั จานวน หรือตวั เลขที่กาหนดให้ ขอ้ ท่ี จานวนที่กาหนดใหพ้ ิจารณา คาตอบ จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ 1 -13 26 3 16 + 1 4 8 9 5 38 6¶ 7 2.57 8 0.171717... 95 10 12 15 ขอ้ 2 ใหผ้ เู้ รียนขีด  หนา้ ขอ้ ความท่ีถูกตอ้ ง และขีด  หนา้ ขอ้ ความท่ีไมถ่ ูกตอ้ ง 1. 0.328282828 เป็นจานวนตรรกยะ 2. 6.4615 เป็นจานวนอตรรกยะ 3. 0.151151115... เป็นจานวนอตรรกยะ 4. 3.999... มีค่าเป็นจานวนเตม็ 5. 0.10010001 เป็นจานวนตรรกยะ 6. 4 + 1 ผลลพั ธ์ท่ีไดเ้ ป็นจานวนตรรกยะ 7. 4 เป็นจานวนตรรกยะ 5 8. 3¶ เป็นจานวนอตรรกยะ 9. จานวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a ของจานวนเตม็ เม่ือ b ≠ 0 เป็น b จานวนอตรรกยะ

ใบความรู้ที่ 2 เร่ือง เลขยกกาลงั ที่มีเลขช้ีกาลงั เป็นจานวนตรรกยะ 1. ความหมายของเลขยกกาลงั เลขยกกาลงั หมายถึง การใชส้ ญั ลกั ษณ์เขียนแทนจานวนที่เกิดข้ึนจากการคูณจานวนเดิม ซ่ึงเท่ากนั ซ้า ๆ กนั หลายคร้ัง ดงั ตวั อยา่ งรูปแบบเลขยกกาลงั a n = a x a x a x …………………x a (n ตวั ) a n อา่ นวา่ “เอยกกาลงั เอน็ ” เป็นเลขยกกาลงั ท่ีมี a เป็นฐานและ n เป็นเลขช้ีกาลงั ตวั อยา่ งที่ 1 23 = 2 x 2 x 2 = 8 23 อา่ นวา่ “สองยกกาลงั สาม” เป็นเลขยกกาลงั ท่ีมีเลข 2 เป็นฐาน และเลข 3 เป็นเลขช้ีกาลงั เมื่อคูณ กนั ซ้า 3 คร้ัง จะไดผ้ ลลพั ธ์เทา่ กบั 8 ตวั อยา่ งท่ี 2 5 4 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625 5 4 อา่ นวา่ “หา้ ยกกาลงั ส่ี” เป็นเลขยกกาลงั ที่มีเลข 5 เป็นฐาน และเลข 4 เป็นเลขช้ีกาลงั เม่ือคูณกนั ซ้า 4 คร้ัง จะไดผ้ ลลพั ธ์เทา่ กบั 625 ตวั อยา่ งท่ี 3 (-2) 3 = (-2) (-2) (-2) = -8 (-2) 3 อ่านวา่ “ลบสองท้งั หมดยกกาลงั สาม” เป็นเลขยกกาลงั ท่ีมีเลขฐานเป็ นจานวนเตม็ ลบ คือ -2 และเลข 3 เป็นเลขช้ีกาลงั เม่ือคูณกนั ซ้า 3 คร้ัง จะไดผ้ ลลพั ธ์เทา่ กบั -8 ตวั อยา่ งที่ 4 (0.5) 3 = 0.5 x 0.5 x 0.5 = 0.125 (0.5) 3 อ่านวา่ “ศูนยจ์ ุดหา้ ท้งั หมดยกกาลงั สาม” เป็นเลขยกกาลงั ท่ีมีเลขฐานเป็นจานวนทศนิยม คือ 0.5 และเลข 3 เป็นเลขช้ีกาลงั เม่ือคูณกนั ซ้า 3 คร้ัง จะไดผ้ ลลพั ธ์เท่ากบั 0.125 ตวั อยา่ งที่ 5 ( 1 ) 5 = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1 2 2 2 2 2 2 32 ( 1 ) 5 อ่านวา่ “เศษหน่ึงส่วนสองท้งั หมดยกกาลงั หา้ ” เป็นเลขยกกาลงั ท่ีมีเลขฐานเป็นเศษส่วน คือ 2 1 และเลข 5 เป็นเลขช้ีกาลงั เมื่อคูณกนั ซ้า 5 คร้ังจะไดผ้ ลลพั ธ์เทา่ กบั 1 2 32 ตวั อยา่ งท่ี 6 (-2) 2 = กบั -2 2 มีความหมายต่างกนั และมีค่าไม่เท่ากนั (-2) 2 = (-2) x (-2) = 4 (เลขฐานคือ -2) แต่ -2 2 = - (2 x 2) = -4 (เลขฐานคือ 2) ตวั อยา่ งท่ี 7 (-3) 4 กบั -3 4 มีความหมายต่างกนั แตม่ ีค่าเทา่ กนั (-3) 4 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = -81 (เลขฐานคือ -3) -3 4 = - (3 x 3 x 3 x 3) = -81 (เลขฐานคือ 3)

ข้อควรระวงั ในการเขยี นเลขยกกาลงั 1. เครื่องหมาย + หรือเครื่องหมาย ‟ หนา้ ตวั เลขฐาน ซ่ึงเคร่ืองหมาย + จะไม่นิยมเขียนหนา้ ตวั เลข จะเขียน 2 แต่เคร่ืองหมาย ‟ จะเขียนวา่ -2 2. ตวั เลขฐานในวงเลบ็ ( ) มีความหมายแตกต่างจากตวั เลขฐานที่ไม่มีวงเลบ็ ( ) เช่น (-2) 2 มี ความหมายแตกตา่ งจาก -2 2 คือ (-2) 2 หมายถึง (-2) x (-2) = 4 -2 2 หมายถึง - (2 x 2) = -4 ---------------------------------------------------------

ใบงานท่ี 2 เร่ือง เลขยกกาลงั ท่ีมีเลขช้ีกาลงั เป็นจานวนตรรกยะ ขอ้ 1 ใหผ้ เู้ รียนเขียนผลคูณต่อไปน้ี ใหเ้ ป็ นเลขยกกาลงั ท่ีมีเลขช้ีกาลงั ที่ถูกตอ้ ง 1) 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = ______________________________________ 2) (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = ______________________________________ 3) (0.6) x (0.6) x (0.6) x (0.6) x (0.6) = ______________________________________ 4) 1 x 1 x 1 = ______________________________________ = ______________________________________ 444 5) 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 6) (-10) x (-10) x (-10) x (-10) = ______________________________________ 7) 12 x 12 x 12 x 12 x 12 x 12 x 12 x 12 = ______________________________________ 8) (-1.5) x (-1.5) = ______________________________________ 9) (- 2 ) x (- 2 ) x (- 2 ) x (- 2 ) = ______________________________________ = ______________________________________ 5555 10) ‟(4 x 4 x 4) ขอ้ 2 ใหผ้ เู้ รียนเขียนจานวนต่อไปน้ีในรูปของเลขยกกาลงั ท่ีมีเลขช้ีกาลงั ที่ถูกตอ้ ง 1) 64 = _____________________ 2) -125 = _______________________ 3) 32 = _____________________ 4) 625 = _______________________ 5) 729 = _____________________ 6) -243 = _______________________ 7) 1 = _____________________ 8) -256 = _______________________ 2.25 = 32 9) - 1 = _____________________ 10) 27 _______________________

ใบความรู้ท่ี 3 เรื่อง การบวก การลบ การคูณ และการหาร เลขยกกาลงั ที่มเี ลขชี้กาลงั เป็ นจานวนตรรกยะ บทนิยม 1 ถา้ a เป็ นจานวนใด ๆ และ a ≠ 0 และ m , n เป็ นจานวนเตม็ บวก แลว้ am  an = amn .= ตัวอย่าง 34 . 32 = 34+2 = 36 a5 . a3 = a5+3 = a8 52 . 53 = 52+3 = 55 บทนิยาม 2 ถา้ a เป็ นจานวนใดๆและ a ≠ 0 และ m , n เป็ นจานวนเตม็ บวก แลว้ am  an = amn = ตัวอย่าง = = == == = == ==

ข้อสังเกต 1. ถา้ m  n แลว้ am = amn an 2. ถา้ m  n แลว้ am = a0 = 1 an 3. ถา้ m  n แลว้ am = 1 an a mn บทนิยาม 3 ถา้ a เป็ นจานวนใด ๆ และ a ≠ 0 และ m , n เป็ นจานวนเตม็ บวก แลว้ (am )n = amn = ตัวอย่าง = = = == = == = == =. บทนิยาม 4 ถา้ a , b เป็ นจานวนใด ๆ และ a , b ≠ 0 และ n เป็ นจานวนเตม็ แลว้ (ab)n = an . bn =. ตวั อย่าง =. = . =. = . =.

บทนิยาม 5 ถา้ a , b เป็นจานวนใด ๆ และ a , b ≠ 0 และ n เป็นจานวนเตม็ แลว้  a n = an bn b = ตวั อยา่ ง == == = = = = = = …………………………….

แบบฝึ กหดั เรื่อง การบวก การลบ การคูณ และการหาร เลขยกกาลงั ที่มีเลขช้ีกาลงั เป็นจานวนตรรกยะ ขอ้ 1 จงหาผลลพั ธ์ของ (2) 42 . 45 = ___________________ (1) 42 . 45 = _____________________ (3) (0.5)3. (0.5)2 = _____________________ (4) a4 . a2 . a3 = ________________ (5) 42 = _____________________ (6) 75 = _____________________ 43 78 (7) 59 = _____________________ (8) (5)0 = __________________ 59 3 (9) 33a2 3 = _____________________ (10)  2a2 4 = __________________ ขอ้ 2 จงหาผลลพั ธ์ของ (1)  2a3  2 = _____________________ (2) 32 a3b5 = _________________ b2 3ab4 (3) 25 a5b2 = _____________________ (4) (23a4)2 = _________________ 23 a (6) (a0b3)1 = ________________ (5) (3bc)4 = _____________________ (7)  2a3 5 = _____________________ (8) (7a2 )3 = _________________ b2 (7a)4 (9)  4a 2b 2 = _____________________ (10)  10 2 10 3 2 = ____________ 2ab4 10 4 (11) am1  a23m = _____________________ (12) b1n = ___________________ b 2n

คร้ังท่ี 3 ใบความรู้ เร่ือง เซต 1. ความหมายและการเขียน เซต คเซือตลกั ษณะนามท่ีเราใชเ้ รียกกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ เช่น กลุ่มของคน สัตว์ กลุ่มของสิ่งของเป็นตน้ และ สิ่งต่างๆ ท่ีอยใู่ นกลุ่มวา่ “สมาชิก” สมาชิก คือ ส่ิงท่ีอยเู่ ซต เขียนแทนดว้ ยอกั ษรตวั พมิ พเ์ ล็กในภาษาองั กฤษ เช่น a,b,c,..... ชื่อเซต เขียนแทนดว้ ยตวั พมิ พใ์ หญ่ในภาษาองั กฤษ เช่น A,B,C,........ 1.1 การเขียนเซต การเขียนเซตสามารถเขียนได้ 2 แบบ คือ (1) แบบแจกแจงสมาชิก เป็ นการเขียนเซต โดยการเขียนสมาชิกทุกตวั ลงใน วงเล็บปี กกา และใช้ เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คน่ั ระหวา่ งสมาชิกแต่ลละตวั ในเซตน้นั เช่น เซตของช่ือวนั ในหน่ึงสัปดาห์ เขียนเป็นเซตแบบแจกแจง สมาชิกไดด้ งั น้ี - เซตทมี่ สี มาชิกประกอบดว้ ย วนั จนั ทร์,วนั องั คาร,วนั พธุ ,วนั พฤหสั บดี,วนั ศุกร์,วนั เสาร์,วนั อาทิตย์ เขยี นแทนด้วย A = { วนั จนั ทร์,วนั องั คาร,......,วนั อาทติ ย}์ (2) แบบบอกเงื่อนไข เป็นการเขียนเซตโดยเขียนตวั แปรแทนสมาชิกทุกตวั ของเซต และหลงั ตวั แปร มีเคร่ืองหมาย l (โดยที่) ตามดว้ ยการบอกสมบตั ิของสมาชิก เช่น { a,e,i,o,u }เขียนในรูปแบบบอก เงื่อนไข ไดค้ ือ เขียนแทนด้วย B = { x | x เป็นสระในภาษาองั กฤษ } 2. ชนิดของ เอกภพสัมพทั ธ์ คือเซเซตตที่ประกอบดว้ ยสมาชิกท้งั หมดของส่ิงท่ีเราศึกษาเขียนแทนดว้ ย “µ”

เซตจากดั เซตอนันต์ และเซตว่าง เซตจากดั คือ เซตที่สามารถระบุจานวนสมาชิกได้ เช่น A = { 1,2,3} มีสมาชิก 3 ตวั B = { วนั จนั ทร์,วนั องั คาร,…..,วนั อาทิตย์ } มีสมาชิก 7 ตวั เซตอนันต์ คือ เซตท่ีไม่สามารถระบุจานวนสมาชิกได้ เช่น A = { 1,2,3,…..} B = { y | y เป็นจานวนนบั และ 2 ‹ x ‹ 9} เซตว่าง คือ เซตท่ีไม่มีสมาชิก จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ หรือ { } เช่น A = { y | y เป็นจานวนนบั และ 2 ‹ x ‹ 3} เซตทเ่ี ท่ากนั 3. เซตท่เี ท่ากัน และเซตท่เี ทยี บเท่า กัน *บทนิยาม เซตสองเซตจะเทา่ กนั ก็ตอ่ เมื่อ เซตทงั้ สองมสี มาชิกเทา่ กนั กลา่ วคอื สมาชิกทุกตัว A เป็ นสมาชกิ B และ สมาชกิ ทุกตวั ของ B เป็ นสมาชกิ ของ A เช่น กาหนดให้ เทา่ กบั เขยี นแทนด้วย และ ไมเ่ ทา่ กบั เขยี นแทนด้วย A = {a,b,c} , B = {a,b,a,c} ,C = {1,2,3} จะเห็นวา่ A และ B มีสมาชิกเหมือนกนั ทุกตวั ดงั น้นั A = B ส่วน A และ B มีจานวนสมาชิกเท่ากนั แตม่ ีสมาชิกไม่เหมือนกนั ทุกตวั จึงถือวา่ เซตท้งั สองไมเ่ ท่ากนั ดงั น้นั A ≠ C เซตทเ่ี ทยี บเท่า บทนิยาม กาหนดให้ A และ B เป็นเซตจากดั A เทยี บเทา่ B ก็ตอ่ เมื่อเซตทงั้ สองมจี านวน สมาชิกเทา่ กนั A เทียบเทา่ กบั B เขยี นแทนด้วย A B เช่น กาหนดให้ A = {a, b, c} , B = {1, 2, 3} , C = {3, 2, 1} วธิ ีทา จะเห็นวา่ A B แต่ A ≠ B

A C แต่ A ≠ C B C และ B = C 4. สับเซต นิยาม A เป็นสบั เซตของ B ก็ตอ่ เมอ่ื สมาชิกทกุ ตวั ของ A เป็นสมาชิกของ B A เป็นสบั เซต B เขยี นแทนด้วย A B เช่น กาหนดให้ A = {1, 2, 3}Aแไมลเ่ะป็Bนส=บั เ{ซ1ต, 2B,เ3ข,ยี 4น}แจทงนพด้วิจยารAณาวBา่ A เป็ นสับเซตของ B หรือไม่ และ B เป็นสับเซตของ A หรือไม่ วธิ ีทา เนื่องจาก สมาชิกทุกตวั ของ A เป็นสมาชิกของ B ดงั น้นั A  B แต่ มีสมาชิกบางตวั ของ B คือ 4 ไมเ่ ป็นสมาชิกของ A ดงั น้นั B  A 4.1 สับเซตแท้ A เป็นสบั เซตแท้ของ B ก็ตอ่ เม่ือ A B และ A ≠ B เช่น A = {1,2} สบั เซตของ A คือ Ø, {1}, {2}, {1,2} สบั เซตแทข้ อง A คือ Ø, {1}, {2} ข้อสงั เกต ถา้ เซต A มีสมาชิก n ตวั แลว้ จานวนสบั เซตแทข้ อง A คือ 2 n - 1 สับเซต สมบัติของสับเซต กาหนด A, B และ C เป็นเซตใด ๆ 1. Ø A , Ø  B, Ø  C (เซตวา่ งเป็นสับเซตของทุกเซต) 2. A  A , B  B , C  C

3. ถา้ A  B และ B  C แลว้ A  C 4. A  B และ B  A เมื่อ A = B 5. เพาเวอร์เซต บทนิยาม สาหรับเซต A ที่เป็นเซตจากดั เพาเวอร์เซตของ A คือ เซตท่ีมีสับเซตของเซต A เป็น สมาชิก ใชส้ ญั ลกั ษณ์ P(A) แทนเพาเวอร์เซต A ดงั น้นั P(A) = {x|x  A} เช่น กาหนดให้ A = {1,2} A มีสบั เซตท้งั หมดคือ Ø, {1}, {2}, {1, 2} P(A) = { Ø, {1}, {2}, {1, 2}} สมบัติของเพาเวอร์เซต กาหนดให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ 1. A P(A) เพราะ A  A 2. Ø P(A) เพราะ Ø A 3. Ø (P)A เซตวา่ งเป็นสับเซตของทุก ๆ เซต 4. ถา้ A เป็นเซตจากดั และ A มีสมาชิก n ตวั แลว้ P(A) จะมีสมาชิก 2 n ตวั 5. A  B กต็ ่อเม่ือ P(A) P(B) 6. P(A) P(B) = P(A B) 7. P(A) P(B) = P (A B) --------------------------------------------------

ใบงาน เรื่องเซต คาชี้แจง ใหผ้ เู้ รียนศึกษาใบความรู้ แลว้ ปฏิบตั ิตามท่ีกาหนด จุดประสงค์ ผเู้ รียนสามารถ 1.บอกความหมายของเซต เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกและบอก เง่ือนไขได้ 2.บอกไดว้ า่ เซตใดเป็นเซตจากดั เซตอนนั ต์ เซตวา่ ง หรือเซตท่ีเทา่ กนั ได้ 3.หาสับเซตและเพาเวอร์เซตได้ 4.ทางานอยา่ งเป็นระบบ และใชว้ จิ ารณญาณไดเ้ หมาะสม 5.สื่อความหมายและนาเสนอไดถ้ ูกตอ้ ง กจิ กรรม 1. ผเู้ รียนเขียนชื่อของตนเอง และของเพือ่ นมา 1 ชื่อ ความถูกตอ้ ง 2. ปฏิบตั ิตามรูปแบบที่กาหนดให้ 3. นาผลจากการปฏิบตั ิกิจกรรมมาแลกเปลี่ยนกบั เพอ่ื น ร่วมกนั ตรวจสอบ 4. นาเสนอผลงาน

ใบงาน คาชี้แจง ใหผ้ เู้ รียนเขียนขอ้ มูลของตนเอง แลว้ ปฏิบตั ิกิจกรรมที่กาหนด กจิ กรรม 1 กรอกขอ้ มูลตามที่กาหนด ช่ือตนเอง ช่ือของเพื่อน เขียนเป็ นเซต ชนิดของเซต สับเซต คือ เพาเวอร์เซต กจิ กรรม 2 ใหผ้ เู้ รียนอธิบายผลจากการปฏิบตั ิกิจกรรม 2 วา่ เป็นเซตที่เทา่ กนั หรือเซตที่เทียบเท่า หรือไม่ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________

แบบฝึ กหดั เร่ือง เซต คาสั่ง ใหผ้ เู้ รียนทาแบบฝึกหดั ต่อไปน้ี 1. จงเขียนเซตแบบแจงแจงสมาชิก 1.1 A เป็นเซตของจานวนเตม็ ที่หารดว้ ย 5 ลงตวั 1.2 B = {x|x I  และ x  2} 1.3 C = {x|x I และ -4  x  50} 2. จงเขียนเซตแบบบอกเง่ือนไข 2.1 A เป็นเซตของจานวนเตม็ ต้งั แต่ -25 ถึง 25 2.2 B = {2, 4, 6, 8, 10, ….} 2.3 C = {0, 1, 4, 9, 16, 25, …..} 3. จงพิจารณาวา่ เซตใดเป็นเซตจากดั เซตอนนั ต์ 3.1 {x|x I และ x  2} 3.2 {x|x เป็นเมด็ ทรายในหน่ึงแกว้ } 3.3 {x|x เป็นแมวบนดาวองั คาร} 3.4 {x|x R และ x 2 > 1} 4. จงเขียนเซตท่ีกาหนดในรูปของเพาเวอร์เซต 4.1 A = {1, 2, 3} 4.2 B = {a, e, i, o, u} 4.3 C = {a, {1}} 4.4 D = { }

ใบความรู้ท่ี 1 เรื่อง ยูเนียน บทนิยาม ยเู นียนของเซต A และ B คือเซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชิกท่ีเป็นสมาชิกของ A หรือของ B ใชส้ ัญลกั ษณ์ A  B แทน ยเู นียนของเซต A และ B สามารถเขียนเป็ นเซตแบบบอกเงื่อนไขไดค้ ือ A  B  x | x  A  x  B ตัวอย่างท่ี 1 ให้ A  1,2,6 และ B  1,3,7  จะพบวา่ สมาชิกที่อยใู่ น A หรือใน B คือ 1, 2, 3, 6, 7 (คือการเอาสมาชิกของ A กบั B มารวมกนั แต่เนื่องจาก 1 มีซ้ากนั 2 ตวั เราก็เอาเพียงตวั เดียว) ตัวอย่างท่ี 2  A  1,2,3,6,7 วิธีทา ให้ A  I  และ B  I  จงหา A  B เนื่องจาก A  I   A  1,2,3,4,...เน่ืองจาก B  I  B  1,2,3,4,...  A  B  I   I   ...,4,3,2,1,0,1,2,3,4,... หรือ 1,1,2,2,3,3,... ในทานองเดียวกนั การใชแ้ ผนภาพแสดงเก่ียวกบั ผลของการยเู นียนเราสามารถกระทาได้ ดงั น้ี A  B คือส่วนที่แรเงาในแผนภาพ AB AB A BB U UU A  A  B และ B  A  B กรณีที่ A  B =  A  B = B เม่ือ A  B สมบัตทิ สี่ าคัญบางประการเกี่ยวกบั ยเู นียน 2) A   = A 1) A  A = A 4) A  B = B  A 3) A  U = U 6) A  B กต็ อ่ เม่ือ A  B = B 5) A  (B  C) = (A  B)  C 8) ถา้ A  B = จะไดว้ า่ A =  และ B =  7) A  A  B และ B  A  B 10) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 9) A  (B  C) = (A  B) (A  C)

ใบความรู้ที่ 2 เรื่อง อนิ เตอร์เซกชั่น บทนิยาม อินเตอร์เซกชน่ั ของ A และ B คือเซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชิกท่ีเป็นสมาชิกท้งั ของ A และ B ใชส้ ญั ลกั ษณ์ A  B แทนอนิ เตอร์เซกช่ันของเซต A และ B ซ่ึงสามารถเขียนแทนดว้ ยเซตแบบ บอกเงื่อนไขคือ A  B  x | x  A  x  B ตวั อย่างที่ 1 ให้ A  1,2,3 และ B  2,3,4 จะพบวา่ สมาชิกท่ีอยรู่ ่วมท้งั ใน เซต A และ B คือ 2 กบั 3 A  B  2,3 ตวั อย่างท่ี 2 ใหเ้ อกภพสมั พทั ธ์ คือเซตของจานวนเตม็ บวก A คือเซตของจานวนค่ีและ B คือเซต ของจานวนท่ีเป็ นพหุคูณของ 5 จงหา A  B วิธีทา เน่ืองจาก เอกภพสมั พทั ธ์เป็นเซตของจานวนเตม็ บวก  A  1,3,5,7,... B  5,10,15,20,...  A  B  5,15,25,35,... เพอ่ื ใหน้ กั เรียนไดเ้ ห็นภาพของเซต A  B ไดช้ ดั เจนข้ึน เราอาจจะนาแผนภาพเวนน์ ‟ ออยเลอร์ มา ช่วยแสดงใหเ้ ห็นถึงลกั ษณะของ A  B ไดด้ งั น้ี ใหส้ ่วนท่ีเป็น A  B คือส่วนท่ีแรเงา AB AB AB UUU A  B  A และ A  B  B A  B = A และ A  B กรณีน้ี A  B =  สมบัติทสี่ าคัญบางประการเกี่ยวกบั อนิ เตอร์เซกช่ัน 1. A  A = A 2. A   =  3. A  U = A 4. A  B = B  A 5. A  (B  C) = (A  B)  C 6. A  B กต็ อ่ เม่ือ A  B = A 7. (A  B)  A และ (A  B)  B

ใบความรู้ที่ 3 เร่ือง คอมพลเี มนต์และผลต่างของเซต บทนิยาม ผลต่างของ A และ B คือเซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชิกท่ีเป็นสมาชิกของ A แต่ไมเ่ ป็นสมาชิก ของ B เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ A ‟ B = {x|x  A แต่ x  B} ตวั อย่างท่ี 1 ให้ A  1,2,5,7 และ B  5,7,9,10 จะพบวา่ สมาชิกท่ีอยใู่ น A มี 1, 2, 5, 7 แตเ่ นื่องจากสมาชิก 5, 7 อยใู่ น B  สมาชิกท่ีอยใู่ น Aแตไ่ ม่อยใู่ น B คือ 1, 2  A ‟ B = {1, 2 } ตัวอย่างท่ี 2 ให้ A  1,2,3,6, B  3,6,7,8,9 จงหา A ‟ B และ B ‟ A วิธีทา 1. หา A ‟ B สมาชิกที่อยใู่ น A แต่ไม่อยใู่ น B คือ 1, 2  A ‟ B = { 1, 2 } 2. หา B ‟ A สมาชิกที่อยใู่ น B แต่ไม่อยใู่ น A คือ 7, 8, 9  B ‟ A = { 7, 8 , 9 } ข้อสังเกต จากตวั อยา่ งที่ 6 นกั เรียนจะพบวา่ A ‟ B  B ‟ A ส่ิงทคี่ วรศึกษาเพม่ิ เติม จากความหมายของ A ‟ B = {x|x  A แต่ x  B} เราสามารถนาไปประยกุ ตใ์ ชก้ บั ใน กรณีที่เป็นเซตอื่น ๆ ไดโ้ ดยใหอ้ ยใู่ นรูปแบบเดียวกนั คือ B ‟ A = {x|x  B แต่ x  A } , M ‟ N = {x|x  M แต่ x  N} ดงั น้นั ถา้ เป็น U ‟ A = {x|x  U แต่ x  A} แตเ่ นื่องจากเป็นท่ีทราบกนั ดีวา่ สมาชิกทุกตวั ตอ้ งอยใู่ นเอกภพสัมพทั ธ์ ดงั น้นั x  U เรา ไมจ่ าเป็นตอ้ งเขียนก็เป็นท่ีรู้กนั เพราะฉะน้นั เราสามารถเขียน U ‟ A ไดส้ ้ัน ๆ ดงั น้ี U ‟ A = {x| x  A} และนิยมใชส้ ัญลกั ษณ์ A หรือ Ac แทน U ‟ A นน่ั คือ U ‟ A = A = Ac นนั่ เอง และเราเรียกเซต Ac หรือ วา่ คอมพลีเมนตข์ อง A ดงั น้นั A = Ac = {x| x  A} ดงั น้นั จากความหมายของคอมพลีเมนต์ ถา้ เราจะกล่าวถึงเม่ือใดก็ตาม จะตอ้ งมีเอก ภพสัมพทั ธ์เขา้ มาเกี่ยวขอ้ งดว้ ยเสมอ ในทานองเดียวกนั ถา้ เราตอ้ งการแสดงใหเ้ ห็นลกั ษณะของผลต่างและคอมพลีเมนต์ เรา สามารถแสดงไดด้ งั น้ี

แผนภาพต่อไปน้ีส่วนที่แรเงา แสดงถึง ผลตา่ ง และคอมพลีเมนต์ AB AB U U A‟B B‟A A B A B B‟A U A‟B = U A B U A U Ac A‟B = A สมบัตทิ สี่ าคญั บางประการเกี่ยวกบั ผลต่างและคอมพลเี มนต์ 1. A  A 2.    3.    4. A  A   5. A  A   6. A  B  A  B 7. A  B  A  B 8. A  B  A  B 9. A  B  A เม่ือ A  B   10. A  B   เมื่อ A  B

ใบงาน เร่ือง การดาเนินการของเซต คาชี้แจง ใหผ้ เู้ รียนศึกษาใบความรู้และปฏิบตั ิกิจกรรมตามใบงานท่ี 1-3 จุดประสงค์การเรียนรู้ ผเู้ รียนสามารถ 1. หาสามารถหา ยเู นียน อินเตอร์เซกชน่ั คอมพลีเมนต์ และผลตา่ งของเซตได้ 2. เขียนเซตใหม่ที่เกิดจากการยเู นียน อินเตอร์เซกชนั่ ได้ 3. แลกเปล่ียนความคิดซ่ึงกนั และทางานร่วมกบั ผอู้ ื่นได้ กจิ กรรมการเรียนรู้ 1. แบง่ กลุ่มผเู้ รียนออกเป็ นกลุ่มๆ ละ 3 ‟ 5 คน ร่วมกนั ศึกษาใบความรู้ 1 ‟ 3 2. ผเู้ รียนร่วมกนั อภิปรายหาคาตอบตามใบงาน พร้อมท้งั บนั ทึกผลลงในใบงานท่ี 1 ‟ 3 (ใบงานละ 15 นาที) 3. ครูสุ่มผเู้ รียนออกมานาเสนอหนา้ ช้นั เรียน 4. ครูและผเู้ รียนสรุปความคิดรวบยอดจากการปฏิบตั ิกิจกรรม

ใบงานที่ 1 เร่ือง ยูเนียน 1. กาหนดให้ A = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 1, 2, 3, …}, C = {-1, -2, -3, …}, D = {0} จงหาคาตอบของเซตในขอ้ ต่อไปน้ี 1.1 A U B = ………………………………………………………………………… 1.2 A U C = ………………………………………………………………………… 1.3 A U D = ………………………………………………………………………… 1.4 B U C = ………………………………………………………………………… 1.5 B U D = ………………………………………………………………………… 1.6 C U D = ………………………………………………………………………… 1.7 (A U B) U C = ………………………………………………………………………… 1.8 B U (C U D) = ………………………………………………………………………… 1.9 A U (C U D) = ………………………………………………………………………… 1.10 (A U B) U D = ………………………………………………………………………… 2. กาหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ ขอ้ ความต่อไปน้ีถูกหรือผดิ 2.1 ถา้ A U B = A U C แลว้ B = C …………………… 2.2 ถา้ A U B  A U C แลว้ B  C …………………… 2.3 ถา้ B  C แลว้ A U B  A U C …………………… 2.4 ถา้ A U B  แลว้ A   และ B   …………………… 2.5 ถา้ A =  หรือ B =  แลว้ A U B =  ……………………

ใบงานท่ี 2 เร่ือง อนิ เตอร์เซกชั่น 1. กาหนดให้ A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} และ C = {2, 3, 5, 6, 7} จงหา 1.1 A  B = …………………………………………………………… 1.2 A  C = …………………………………………………………… 1.3 B  A = …………………………………………………………… 1.4 B  C = …………………………………………………………… 1.5 C  A = …………………………………………………………… 1.6 C  B = …………………………………………………………… 1.7 (A  B)  C = …………………………………………………………… 1.8 A  (B  C) = …………………………………………………………… 1.9 A  (B  C) = …………………………………………………………… 1.10 A  (B  C) = …………………………………………………………… 1.11 (A  B)  (A  C) = …………………………………………………………… 1.12 (A  B)  (A  C) = …………………………………………………………… 2. กาหนดให้ A, B และ C เป็นสับเซตของเอกภพสัมพทั ธ์ U จงพจิ ารณาดูวา่ ขอ้ ต่อไปน้ีถูกหรือผิด 2.1 ถา้ A และ B เป็นเซตจากดั แลว้ A  B จะเป็นเซตจากดั ………………………… 2.2 ถา้ A หรือ B เป็นเซตจากดั แลว้ A  B จะเป็นเซตจากดั ………………………… 2.3 ถา้ A และ B เป็นเซตอนนั ต์ แลว้ A  B จะเป็นเซตอนนั ต์ ………………………… 2.4 ถา้ A หรือ B เป็นเซตอนนั ต์ แลว้ A  B จะเป็นเซตอนนั ต์ ………………………… 2.5 ถา้ A  B เป็นเซตอนนั ต์ แลว้ A และ B จะเป็นเซตอนนั ต์ ………………………… 2.6 ถา้ A  B เป็นเซตจากดั แลว้ A และ B จะเป็นเซตจากดั …………………………

ใบงานที่ 3 เร่ือง คอมพลเี มนต์ และ ผลต่างของเซต 1. กาหนดให้ A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {3, 4, 5, 6} จงหา 1.1 A ‟ B = ………………………………… 1.2 B ‟ A = ………………………………… 1.3 A ‟ C = ………………………………… 1.4 C ‟ A = ………………………………… 1.5 B ‟ C = ………………………………… 1.6 C ‟ B = ………………………………… 2. กาหนดให้ A  2,4,5,8,9, B  2,3,5,9,C  1,3,5,7 จงหา 2.1 A ‟ (B  C) = ………………………………………… 2.2 (A ‟ B)  (A ‟ C) = ………………………………………… 2.3 A ‟ (B  C) = ………………………………………... 2.4 (A ‟ B)  (A ‟ C) = ………………………………………… 3. กาหนดให้   0,1,2,3,...,15 A = { x U| x หาร 20 ลงตวั }, B = { x U| x หารดว้ ย 4 ลงตวั } C = { x U| x U } จงหา 3.1 A = ……………………………………………… 3.2 B  = ……………………………………………… 3.3 C  = ……………………………………………… 3.4 A  B = ……………………………………………… 3.5 A  B  = ……………………………………………… 3.6 A  B  = ……………………………………………… 3.7 B  A = ……………………………………………… 3.8 A  B = ……………………………………………… A  B C = ………………………………………………

ใบความรู้ เร่ือง การแก้ปัญหาเกยี่ วกบั เซต การแกป้ ัญหาโจทยโ์ ดยใชค้ วามรู้เร่ืองเซต สิ่งที่นามาใชป้ ระโยชน์มากกค็ ือ การเขียน แผนภาพเวนน์ ‟ ออยเลอร์ และนาความรู้เร่ืองสมาชิกของเซตจากดั ดงั ท่ีจะศึกษารายละเอียด ต่อไปน้ี ตัวอย่างท่ี 1 บริษทั แห่งหน่ึงมีพนกั งาน 80 คน พบวา่ พนกั งาน 18 คน มีรถยนต์ พนกั งาน 23 คน มีบา้ นเป็นของตวั เอง และพนกั งาน 9 คน มีบา้ นของตวั เองและรถยนต์ จงหา 1) จานวนพนกั งานท้งั หมดท่ีมีรถยนตห์ รือมีบา้ นเป็ นของตวั เอง 2) จานวนพนกั งานท่ีไมม่ ีรถยนตห์ รือบา้ นของตวั เอง วธิ ีทา ให้ A แทนเซตของพนกั งานที่มีรถยนต์ B แทนเซตของพนกั งานท่ีมีบา้ นเป็นของตวั เอง เขียนจานวนพนกั งานท่ีสอดคลอ้ งกบั ขอ้ มูลลงในแผนภาพไดด้ งั น้ี 1) n (A) = 18 , n (B) = 23 , n (A  B) = 9 พิจารณา n (A  B) = n(A) + n(B) - n (A  B) = 18 + 23 ‟ 9 = 32 ดงั น้นั จาวนพนกั งานที่มีรถยนตห์ รือมีบา้ นของตวั เองเป็น 32 คน 2) เน่ืองจากพนกั งานท้งั หมด 80 คน นนั่ คือ พนกั งานท่ีไมม่ ีรถยนตห์ รือบา้ นของตวั เอง = 80 - 32 = 48 คน ดงั น้นั พนกั งานท่ีไม่มีรถยนตห์ รือบา้ นของตวั เองเป็ น 48 คน

ตัวอย่างที่ 2 ในการสารวจเก่ียวกบั ความชอบของนกั ศึกษา 100 คน พบวา่ นกั ศึกษาท่ีชอบ เรียนคณิตศาสตร์ 52 คน นกั ศึกษาที่ชอบเรียนภาษาไทย 60 คน นกั ศึกษาที่ไมช่ อบเรียน คณิตศาสตร์และไมช่ อบเรียนภาษาไทยมี 14 คน จงหานกั ศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตร์และ ภาษาไทย วธิ ีทา แนวคดิ ที่ 1 ให้ A แทนเซตของนกั ศึกษาท่ีชอบเรียนคณิตศาสตร์ B แทนเซตของนกั ศึกษาที่ชอบเรียนภาษาไทย จาก n (A) = 52 , n(B) = 60 n ( A/  B/ ) = 14 = n ( A  B )/ [A/  B/ = ( A  B ) / ]  n ( A  B ) = 100 n ( A  B ) = n(A) + n(B) - n (A  B) 86 = 52 + 60 - n (A  B) n (A  B) = 112 - 86 = 26 ดงั น้นั จานวนนกั ศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตร์และภาษาไทย มี 26 คน แนวคดิ ท่ี 2 ให้ x แทนจานวนนกั ศึกษาท่ีชอบเรียนคณิตศาสตร์และภาษาไทย จากแผนภาพเขียนสมการไดด้ งั น้ี ( 52 - x ) + x + ( 60 - x ) = 100 - 14 112 - x = 86 x = 112 - 86 = 26

ดงั น้นั จานวนนกั ศึกษาท่ีชอบเรียนคณิตศาสตร์และภาษาไทย มี 26 คน ตัวอย่างท่ี 3 นกั ศึกษาสาขาหน่ึงมี 1,000 คน มีนกั ศึกษาเรียนภาษาองั กฤษ 800 คน เรียน คอมพิวเตอร์ 400 คน และเลือกเรียนท้งั สองวขิ า 280 คน อยากทราบวา่ 1) มีนกั ศึกษาก่ีคนท่ีเรียนภาษาองั กฤษเพยี งวชิ าเดียว 2) มีนกั ศึกษาก่ีคนที่เรียนคอมพวิ เตอร์เพยี งวชิ าเดียว 3) มีนกั ศึกษาก่ีคนท่ีไม่ไดเ้ รียนวิชาใดวชิ าหน่ึงเลย 4) มีนกั ศึกษากี่คนที่ไม่ไดเ้ รียนท้งั สองวชิ าพร้อมกนั วธิ ีทา ให้ U แทนเซตของนกั ศึกษาท้งั หมด A แทน เซตของนกั ศึกษาท่ีเรียนวชิ าภาษาองั กฤษ B แทน เซตของนกั ศึกษาที่เรียนวชิ าคอมพิวเตอร์ A  B แทน เซตของนกั ศึกษาที่เรียนท้งั สองวชิ า n ( U ) = 1,000 , n ( A ) = 800 , n ( B ) = 400 , n (A  B) = 280 เขียนแผนภาพไดด้ งั น้ี 1) นกั ศึกษาท่ีเรียนภาษาองั กฤษเพยี งวชิ าเดียวมีจานวน 800 - 280 = 520 คน 2) นกั ศึกษาที่เรียนคอมพิวเตอร์เพียงวชิ าเดียวมีจานวน 400 - 280 = 120 คน 3) นกั ศึกษาท่ีไม่ไดเ้ รียนวชิ าใดวชิ าหน่ึงเลย คือส่วนที่แรเงาในแผนภาพซ่ึงมีจานวน เท่ากบั 1,000 - 520 - 280 - 120 = 80 คน

4) นกั ศึกษาท่ีไมเ่ รียนท้งั สองวชิ าพร้อมกนั คือ นกั ศึกษาท่ีเรียนวชิ าใดวชิ าหน่ึงเพียงวชิ า เดียว รวมกบั นกั ศึกษาที่ไมเ่ รียนวชิ าใดเลย คือ ส่วนท่ีแรเงาในแผนภาพ ซ่ึงมีจานวน เท่ากบั 1,000 - 280 = 720 หรือ 520 + 120 + 80 = 720 คน ตวั อย่างท่ี 4 ในการสารวจผใู้ ชส้ บู่ 3 ชนิด คือ ก , ข , ค พบวา่ มีผใู้ ชช้ นิด ก. 113 คน, ชนิด ข. 180 คน, ชนิด ค. 190 คน, ชนิด ก . และ ข. 45 คน, ชนิด ก. และ ค. 25 คน, ชนิด ข. และ ค. 20 คน, ท้งั 3 ชนิด 15 คน, ไม่ใชท้ ้งั 3 ชนิด 72 คน จงหาจานวนของผเู้ ขา้ รับการสารวจท้งั หมด วธิ ีทา แนวคดิ ท่ี 1 ให้ A แทนผใู้ ชส้ บูช่ นิด ก. B แทนผใู้ ชส้ บู่ชนิด ข. C แทนผใู้ ชส้ บูช่ นิด ค. จาก n (A  B  C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A  B) ‟ n (B  C) - n ( A  C ) + n (A  B  C) โดยที่ n (A) = 113 n (B) = 180 n (C) = 190 n (A  B) = 45 n (A  C) = 25 n (B  C) = 20 n (A  B  C) = 15  n (A  B  C) = 113 + 180 + 190 + - 45 ‟ 20 ‟ 25 -+ 15 = 408 จานวนผทู้ ่ีใชส้ บู่ ก. หรือ ข. หรือ ค. = 408 คน จานวนผทู้ ่ีใชท้ ้งั 3 ชนิด = 72 คน ดงั น้นั จานวนของผูเ้ ขา้ รับการสารวจท้งั หมด 408 + 72 = 480 คน

แนวคิดที่ 2 ให้ A แทนผใู้ ชส้ บู่ชนิด ก. B แทนผใู้ ชส้ บู่ชนิด ข. C แทนผใู้ ชส้ บู่ชนิด ค. จานวนผทู้ ี่ใชส้ บู่ ก. หรือ ข. หรือ ค. = 58 + 30 + 10 + 15 + 160 = 408 คน จานวนผทู้ ี่ใชท้ ้งั 3 ชนิด = 72 คน ดงั น้นั จานวนของผเู้ ขา้ รับการสารวจท้งั หมด 408 + 72 = 480 คน

คาชี้แจง ใบงาน ที่ กาหนดให้ เรื่อง แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์และการแก้ปัญหา ผเู้ รียนร่วมกนั ศึกษาใบความรู้หรือแหล่งเรียนรู้ต่างๆ แลว้ ร่วมกนั ปฏิบตั ิตามใบงาน จุดประสงค์ ผเู้ รียนสามารถ 1. มีความคิดรวบยอดเก่ียวกบั การแกป้ ัญหาโจทยก์ ารหาสมาชิกของเซตได้ 2. เช่ือมโยงความรู้ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์และเช่ือมโยงคณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อื่นๆได้ 3. มีความเช่ือมนั่ ในตนเอง กลา้ แสดงความคิดเห็นที่ดี และมีความรับผดิ ชอบ กจิ กรรมการเรียนรู้ 1. แบง่ ผเู้ รียนออกเป็นกลุ่มๆละ 3 ‟ 5 คน 2. ตวั แทนแต่ละกลุ่มอ่านประเด็นคาถามจากบตั รคาถามเพื่อนาไปสู่การอภิปรายภายใน กลุ่ม 3. ผเู้ รียนร่วมกนั อภิปรายตามประเด็นคาถาม พร้อมท้งั บนั ทึกลงใน กรต. นาเสนอความคิดของกลุ่มหนา้ ช้นั เรียน

คร้ังที่ 4 ใบความรู้ เรื่องอตั ราส่วนตรีโกณมติ แิ ละการนาไปใช้ 1. อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ เป็นแขนงหน่ึงของคณิตศาสตร์ วา่ ดว้ ยการวดั รูปสามเหลี่ยมต่าง ๆ โดยหาความสัมพนั ธ์ ระหวา่ ง ดา้ น มุม และพ้นื ที่ของรูปสามเหล่ียม มีความสาคญั ต่อวชิ าดาราศาสตร์ การเดินเรือ และงานสารวจ ใชใ้ นการคานวณส่งสูงของภูเขา และหาความกวา้ งของแม่น้า มีประโยชน์มากสาหรับวชิ า วทิ ยาศาสตร์ วศิ วกรรมศาสตร์ และการศึกษาเกี่ยวกบั วตั ถุ ซ่ึงมีสภาพเป็นคล่ืน เช่น แสง เสียง แม่เหล็กไฟฟ้าและวทิ ยุ ส่วนที่กล่าวถึงรูปสามเหลี่ยมบนพ้ืนราบเรียกวา่ ตรีโกณมิติระนาบ ส่วนที่ กล่าวถึงรูปสามเหลี่ยมบนพ้นื ผวิ ทรงกลมเรียกวา่ ตรีโกณมิติทรงกลม ทบทวนความรู้เดิม 1. สมบตั ิสามเหล่ียมคลา้ ย พจิ ารณารูปสามเหล่ียมสองรูปท่ีมีขนาดของมุมเทา่ กนั 3 คู่ ดงั น้ี รูปสามเหลี่ยมท่ีคลา้ ยกนั พบวา่ ถา้ รูปสามเหล่ียม 2 รูป มีมุมเท่ากนั มุมต่อมุมท้งั 3 คู่ แลว้ สามเหลี่ยม 2 รูปน้ีจะคลา้ ยกนั ดงั รูป B Y ca z x A b C XyZ รูปท่ี 1 รูปท่ี 2 จากรูป จะไดว้ า่ Aˆ = Xˆ , Bˆ = Yˆ , Cˆ = Zˆ ดงั น้นั รูปสามเหล่ียม ABC คลา้ ยกบั รูปสามเหล่ียม XYZ และจากสมบตั ิการคลา้ ยกนั ของ รูป สามเหลี่ยมจะไดผ้ ลตามมาคือ AB  BC  AC หรือ a  b  c XY YZ XZ xyz

เมื่อ a,b,c เป็นความยาวของดา้ น AB, BC และ AC ในสามเหลี่ยม ABC x,y,z เป็นความยาวของดา้ น XY,YZ และ XZ ในสามเหล่ียมXYZ จาก a  b จะไดว้ า่ ax จะไดว้ า่ by xy จะไดว้ า่ b y bc cz yz ax ac cz xz นน่ั คือ ถา้ มีรูปสามเหล่ียมสองรูปคลา้ ยกนั อตั ราส่วนของความยาวของดา้ นสองดา้ นของรูป สามเหลี่ยมรูปหน่ึง จะเทา่ กบั อตั ราส่วนของความยาวของดา้ นสองดา้ นของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหน่ึง โดยท่ีดา้ นของรูปสามเหลี่ยมท่ีหาความยาวน้นั จะตอ้ งเป็นดา้ นท่ีสมนยั กนั อยตู่ รงขา้ มกบั มุมที่เทา่ กนั ในทานองเดียวกนั ถา้ รูปสามเหล่ียมท้งั สองเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซ่ึงมีมุมที่ไมเ่ ป็นมุมฉาก เท่ากนั สมมติวา่ เป็ นมุม A ดงั รูป B zY c ax A bC XZ y พบวา่ รูปสามเหลี่ยมสองรูปน้ีคลา้ ยกนั ( มีมุมเท่ากนั มุมต่อมุม ท้งั 3 คู่ ) ดงั น้นั จะไดว้ า่ a  x , a  x , c  z c zb yb y สรุป ไมว่ า่ รูปสามเหล่ียมดงั กลา่ วจะมีขนาดใหญ่หรือเลก็ ก็ตาม ถ้ารูป สามเหลี่ยมทงั้ สองรูปคล้ายกนั แล้ว อตั ราสว่ นความยาวของด้านสองด้านของรูป สามเหล่ียมรูปหนงึ่ จะเทา่ กบั อตั ราสว่ นของความยาวของด้านสองด้านของรูป สามเหล่ียมอีกรูปหนง่ึ เสมอ ( ด้านท่ีกลา่ วถงึ นีต้ ้องเป็นด้านที่อย่ตู รงข้ามกบั มมุ ท่ี เทา่ กนั )

2. สมบตั ิสามเหล่ียมมุมฉาก ถา้ ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉากที่ c และมี a , b , c เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ ม มุม A , B , C ตามลาดบั c a b ดา้ น AB เป็นดา้ นท่ีอยตู่ รงขา้ มมุมฉากยาว c หน่วย เรียกวา่ ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก ดา้ น BC เป็นดา้ นที่อยตู่ รงขา้ มมุม A ยาว a หน่วย เรียกวา่ ดา้ นตรงขา้ มมุม A ดา้ น AC เป็นดา้ นท่ีอยตู่ รงขา้ มมุม B ยาว b หน่วย เรียกวา่ ดา้ นประชิดมุม A ถา้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ซ่ึงมีมุม เป็นมุมฉาก c แทนความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก a และ b แทนความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก จะไดค้ วามสัมพนั ธ์ระหวา่ งความยาวของดา้ นท้งั สามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดงั ต่อไปน้ี c2  a2  b2 เม่ือ a แทนความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A b แทนความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม B c แทนความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม C

ข้อควรรู้เกย่ี วกบั ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส พวกปี ทาโกเรียนไดศ้ ึกษาคน้ ควา้ เก่ียวกบั ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งดา้ นตรงขา้ มมุมฉากและดา้ น ประกอบมุมฉากของสามเหล่ียมมุมฉาก ซ่ึงเป็นทฤษฎีบทท่ีเก่าแก่และมีช่ือเสียงท่ีสุดบทหน่ึง ไดแ้ ก่ ทฤษฎีบทปี ทาโกรัส ซ่ึงมีใจความวา่ ในสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พ้นื ท่ีของส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสบนดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก จะเท่ากบั ผลบวกของพ้นื ท่ีส่ีเหล่ียมจตั ุรัสบนดา้ นประกอบมุมฉาก ตัวอย่าง จงเขียนความสัมพนั ธ์ระหวา่ งความยาวของดา้ นของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปน้ี ตาม ทฤษฎีบทของปี ทาโกรัส วธิ ีทา พจิ ารณาความสมั พนั ธ์ระหวา่ งความยาวดา้ น ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทฤษฎีบทปี ทาโกรัส 52  a2  32 a 2  92  25 a2  16 ดงั น้นั a  4 2). วธิ ีทา พิจารณาความสัมพนั ธ์ระหวา่ งความยาวดา้ น ของรูปสามเหล่ียมมุมฉากตามทฤษฎีบทปี ทาโกรัส a2 122  13 a2 144  169 b2  25 ดงั น้นั b  5

อตั ราส่วนตรีโกณมิติ ถา้ ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉากท่ี c และมี a , b , c เป็นความยาวของดา้ น ตรงขา้ มมุม A , B , C ตามลาดบั B ca A AbC อตั ราส่วนตรีโกณมิติ คือ อตั ราส่วนท่ีเกิดจากความยาวของดา้ นของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก 1. อตั ราส่วนของความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A ต่อความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก a หรือ c เรียกวา่ ไซน์ (sine) ของมุม A b 2. อตั ราส่วนของความยาวของดา้ นประชิด มุม A ตอ่ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก หรือ c เรียกวา่ โคไซน์ (cosine) ของมุม A a 3. อตั ราส่วนของความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A ตอ่ ความยาวของดา้ นประชิด มุม A หรือ b เรียกวา่ แทนเจนต์ (tangent) ของมุม A เรียกอตั ราส่วนท้งั สามน้ีวา่ อตั ราส่วนตรีโกณมิติ คา่ ของ อตั ราส่วนตรีโกณมิติ ของ A เม่ือ A เป็นมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออาจสรุปไดว้ า่ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A Sin A = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ความยาวของดา้ นประชดิ มมุ A Cos A = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A Tan A = ความยาวของดา้ นประชดิ มมุ A ตัวอย่าง กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม C เป็นมุมฉาก มีความยาวดา้ นท้งั สาม ดงั รูป จงหาค่าต่อไปน้ี 1. sin A, cos A และ tan A 2. sin B, cos B และ tan B 6 8 วธิ ีทา กาหนด ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เป็นมุมฉาก จากทฤษฎีบทปี ทาโกรัส จะได้ วา่ AB 2  AC 2  BC2 แทนค่า AC = 8 , BC = 6 ดงั น้นั AB2  82  62 AB 2  64  36 AB 2  100 AB 2  10 10หรือ102 นนั่ คือ AB = 10 (1) หาคา่ sin A, cos A และ tan A โดยการพิจารณาที่มุม A Sin A= ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A  BC  6  3 ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก AB 10 5 Cos A = ความยาวของดา้ นประชดิ มุมA  AC  8  4 ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก AB 10 5 Tan A = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A  BC  6  3 ความยาวของดา้ นประชดิ มุมA AC 8 4 (2) หาคา่ sin B, cos B และ tan B โดยการพิจารณาที่มุม B Sin B = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ B  AC  8  4 ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก AB 10 5 Cos B = ความยาวของดา้ นประชดิ มุมB  BC  6  3 ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก AB 10 5