Α Λυκείου άλγεβρα 84 σελίδες

http://www.mathschool-online.gr Προτεινόμενες ασκήσεις προς επίλυση 1η άσκηση Για δύο ενδεχόμενα Α &Β του ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P(A)=0,8 και P(B)=0,4. 1)Να δείξετε ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα 2) 0, 2 ≤ P(A ∩ B) ≤ 0, 4 Υπόδειξη1)Για να αποδείξουμε ότι δύο ενδεχόμενα Ακαι Β δεν είναι ασυμβίβαστα δεχόμαστε ότι είναι ασυμβίβαστα και με τη βοήθεια της ισότητας P (A ∪ B=) P (A) + P (B) καταλήγουμε σε άτοπο.2) Για να αποδείξουμε ανισοτικές σχέσει στις πιθανότητες στηριζόμαστε στους εξής ισχυριμούς: Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0 ≤ P(A) ≤1 Αν A ⊆ B → P(A) ≤ P(B) Επιπλέον ισχύει ότι A ∩ B ⊆ A και Α ∩ Β ⊆ Β Επομένως P(A ∩ B) ≤ P(A) P(A ∩ B) ≤ P(B) http://www.mathschool-online.gr 5

http://www.mathschool-online.gr 2η άσκηση Αν ισχύει P(A) = 7 P(A΄) 9 Να βρείτε τις πιθανότητες P(A) και P(B) Υπόδειξη Γνωρίζω ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ενός δειγματικού χώρου ισχύει P (A΄)= 1− P(A) Θέτεις P(A)=x οπότε P(A΄)=1-x κατόπιν αντικαθιστάς στη σχέση P(A) = 7 P(A΄) 9 ώστε να βρεις το x. 3η άσκηση Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) ΥπόδειξηΈνα άλλος τρόπος για να αποδεικνύουμε ανισοτικές σχέσεις είναι ναξεκινήσουμε από τη δοθείσα σχέση P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) και μεισοδύναμες πράξεις να καταλήγουμε σε μια ανισότητα η οποία είναι προφανής. 4η άσκηση Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: P(B) − P(A΄) ≤ P(Α ∩ B) Υπόδειξη http://www.mathschool-online.gr 6

http://www.mathschool-online.grΟμοίως ξεκίνησε από τη δοθείσα σχέση P(B) − P(A΄) ≤ P(Α ∩ B) και με ισοδύναμες πράξεις θα καταλήξεις σε μια ανισότητα η οποία είναι προφανής. Υπενθυμίζω ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ενός δειγματικού χώρου ισχύει P (A΄)= 1− P(A) 5η άσκηση Έστω δύο ενδεχόμενα Α και Β του ιδίου δειγματικού χώρου Ω με P(A)=2/7 , P(B)=1/3 και P (A ∩ B) =4 11 Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: 1)Να μην πραγματοποιηθεί το Α 2)Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α και Β 3)Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β 4)Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α 5)Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β 6)Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β ΥπόδειξηΜελέτησε το λογισμό πιθανοτήτων και εφάρμοσε τους σχετικούς τύπους. Καλή επιτυχία! http://www.mathschool-online.gr 7

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr Προτεινόμενες ασκήσεις προς επίλυση στο κεφάλαιο των Πιθανοτήτων 1η άσκηση Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P(A)=0,8 και P(B)=0,4. 1)Να δείξετε ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα 2) 0, 2 ≤ P(A ∩ B) ≤ 0, 4 Υπόδειξη1)Για να αποδείξουμε ότι δύο ενδεχόμενα Ακαι Β δεν είναι ασυμβίβαστα δεχόμαστε ότι είναι ασυμβίβαστα και με τη βοήθεια της ισότητας P (A ∪ B=) P (A) + P (B) καταλήγουμε σε άτοπο.2) Για να αποδείξουμε ανισοτικές σχέσει στις πιθανότητες στηριζόμαστε στους εξής ισχυριμούς: Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0 ≤ P(A) ≤1 Αν A ⊆ B → P(A) ≤ P(B) Επιπλέον ισχύει ότι A ∩ B ⊆ A και Α ∩ Β ⊆ Β επομένως P(A ∩ B) ≤ P(A) P(A ∩ B) ≤ P(B) Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr 1

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr Λύση 1)Έστω ότι τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα.Τότε P (A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0,8 + 0, 4 = 1, 2 Δηλαδή P(A ∪ B) > 1 άτοπο Eπομένως τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα2) Γνωρίζω ότι Α ∩ Β ⊆ Β οπότε P(A ∩ B) ≤ P(B) → P(A ∩ B) ≤ 0, 4(Ι) Επιπλέον P(A ∪ B)= P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ≤ 1 εφόσον ισχύει ότι το P(A ∪ B) ≤ 1 εξ ορισμού Άρα P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ≤ 1 → 0,8 + 0, 4 − P(A ∩ B) ≤ 1 1, 2 −1 ≤ P(A ∩ B) → 0, 2 ≤ P(A ∩ B)(ΙΙ) Από τις σχέσει (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει ότι 0, 2 ≤ P(A ∩ B) ≤ 0, 4 2η άσκηση Αν ισχύει P(A) = 7 P(A΄) 9 Να βρείτε τις πιθανότητες P(A) και P(B) Υπόδειξη Γνωρίζω ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ενός δειγματικού χώρου ισχύει P (A΄)= 1− P(A) Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr 2

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.grΘέτεις P(A)=x οπότε P(A΄)=1-x και κατόπιν αντικαθιστάς στη σχέση P(A) = 7 P(A΄) 9 ώστε να βρεις το x. Λύση Γνωρίζω ότι τα ενδεχόμενα Α και Α΄ είναι συμπληρωματικά Επομένως P (A΄)= 1− P(A)Θέτω P(A)=x οπότε P(A΄)=1-x και η σχέση P(A) = 7 P(A΄) 9γίνεταιP(A) = 7 → x = 7 → 9x = 7(1 − x) → x = 7P(A΄) 9 1− x 9 16 Άρα=P (A) 7=και P(A΄)=1- 7 9 16 16 16 3η άσκηση Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) ΥπόδειξηΈνα άλλος τρόπος για να αποδεικνύουμε ανισοτικές σχέσεις είναι ναξεκινήσουμε από τη δοθείσα σχέση P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) και με Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr 3

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr ισοδύναμες πράξεις να καταλήγουμε σε μια ανισότητα η οποία είναι προφανής. Λύση P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) → P(A) + P(B) − P (A ∩ B) ≤ P(A) + P(B) → −P (A ∩ B) ≤ 0 → P (A ∩ B) ≥ 0 Iσχύει Άρα ισχύει και η αρχική , δηλαδή P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) 4η άσκηση Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: P(B) − P(A΄) ≤ P(Α ∩ B) ΥπόδειξηΟμοίως ξεκίνησε από τη δοθείσα σχέση P(B) − P(A΄) ≤ P(Α ∩ B) και με ισοδύναμες πράξεις θα καταλήξεις σε μια ανισότητα η οποία είναι προφανής. Υπενθυμίζω ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ενός δειγματικού χώρου ισχύει P (A΄)= 1− P(A) Λύση P(B) − P(A΄) ≤ P(Α ∩ B) → P(B) − (1− P(A)) ≤ P(Α ∩ B) → P(B) + P(A) −1 ≤ P (A ∩ B) → P(B) + P(A) − P (A ∩ B) ≤ 1 → P (A ∪ B) ≤ 1 που ισχύει Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr 4

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr Άρα ισχύει και η αρχική P(B) − P(A΄) ≤ P(Α ∩ B) 5η άσκηση Έστω δύο ενδεχόμενα Α και Β του ιδίου δειγματικού χώρου Ω με P(A)=2/7 , P(B)=1/3 και P (A ∩ B) =4 11 Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: 1)Να μην πραγματοποιηθεί το Α 2)Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α και Β 3)Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β 4)Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α 5)Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β 6)Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β ΥπόδειξηΜελέτησε το λογισμό πιθανοτήτων και εφάρμοσε τους σχετικούς τύπους. Λύση 1) P(A΄) =1− P(A) =1− 2 =5 77 2) P(A ∪ B) = P (A) + P(B) − P (A ∩ B) = 2 + 1 − 4 = 9 = 3 7 3 21 21 7 3)Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι το (A ∪ B)΄ Επομένως P((A ∪ B)΄) =1− P (A ∪ B) =1− 3 =4 77 Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr 5

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr 4) P(A − B) =P(A) − P(A ∩ B) =2 − 4 = 2 7 21 21 5) P(B − A) =P(B) − P(A ∩ B) =1 − 4 = 3 =1 3 21 21 76)Σύμφωνα με το διάγραμμα Venn η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με την πιθανότητα του ενδεχομένου (A − B) ∪ (B − A) Γνωρίζω όμως ότι (A − B) ∩ (B − A) =∅ Επομένως P((A − B) ∪ (B − A)) = P(A − B) + P(B − A) = 2 + 1 = 5 21 7 21Αν έχεις απορία επικοινώνησε με το mathschool-online για τη προσφορά γνωριμίας : 2 ιδιαίτερα μαθήματα γνωριμίας και 30 λεπτά διδασκαλίας στην ηλεκτρονική ταξή ! Καλή μελέτη Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr 6

http://www.mathschool-online.gr Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών Ά Λυκείου –Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο-Πιθανότητες Tυπολόγιο Δειγματικός χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων πουμπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης λέγεται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται με Ω Ενδεχόμενο Ενδεχόμενο λέγεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος Τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται ευνοϊκές περιπτώσεις! Aν Α,Β είναι ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης και ω είναι ένα αποτέλεσμα του http://www.mathschool-online.gr 1

http://www.mathschool-online.gr πειράματος,τότε έχουμε τους εξής συμβολισμούς 1.Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται: ω������Α 2. Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται: ω������Α΄ ή ω ∉ Α3. πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β : ω∈AB http://www.mathschool-online.gr 2

http://www.mathschool-online.gr4. πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β: ω ∈ A  B 5. πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β: ω������Α-Β http://www.mathschool-online.gr 3

http://www.mathschool-online.gr 6. δεν πραγματοποιείται κανένα από τα ( )ενδεχόμενα Α και Β: ω ∈ A  B ΄ 6. η πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του ενδεχομένου Β: ω ∈ Α ⊆ Β Ασυμβίβαστα ενδεχόμεναΔύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα όταν Α  Β=∅ , δηλαδή όταν δεν μπορούν να http://www.mathschool-online.gr 4

http://www.mathschool-online.gr πραγματοποιηθούν συγχρόνωςπ.χ , τα Α και Α΄ είναι ασυμβίβαστα διότι Α  Α΄=∅ Η έννοια της πιθανότηταςΣε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματαορίζω ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α και το συμβολίζω με P(A) το λόγοP(A) = πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων σύνολο όλων των δυνατών περιπτώσεων P(A)= Ν(Α) Ν(Ω) Προσοχή Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας εφαρμόζεται σε έναν δειγματικό χώρο μεπεπερασμένο πλήθος στοιχείων μόνο όταν τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα ! Ιδιότητες =P(Ω) Ν(Ω) = 1 Ν(Ω)http://www.mathschool-online.gr 5

http://www.mathschool-online.gr =P(∅) 0 =0 Ν(Ω) Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0 ≤ P(A) ≤ 1 Αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας Γενικευμένος ορισμόςΕστω ο δειγματικός χώρος Ω={ω1,ω2,ω3,...ων} Σε κάθε ενδεχόμενο ωi αντιστοιχίζουμε τονπραγματικό αριθμό P(ωi) ο οποίος ονομάζεται πιθανότητα του ενδεχομένου ωi έτσι ώστε να ισχύουν τα εξής 0 ≤ P(ωi) ≤ 1 P(ω1)+ P(ω2)+ P(ω3)+... +P(ων)=1 Ορισμός πιθανότητας ενός ενδεχομένου { }Α= α1,α2,α3,...,αν ≠ ∅ Ως πιθανότητα ενός ενδεχομένου { }Α= α1,α2,α3,...,αν ≠ ∅ ορίζεται το άθροισμα των πιθανοτήτων http://www.mathschool-online.gr 6

http://www.mathschool-online.gr P(A)=P(α1)+ P(α2)+ P(α3)+... +P(αν) Ιδιότητα P(∅) =0 Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων1.Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει P (Α =Β) P(A) + P(B) (απλός προσθετικός νόμος)2.Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ισχύουν =1 P(A) + P(A΄) P(A)= 1 − P(A΄) P(A΄)= 1 − P(Α) 3.Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P (Α  Β) = P(A) + P(B) − P (A  B) (προσθετικός νόμος) http://www.mathschool-online.gr 7

http://www.mathschool-online.gr 4. Αν Α ⊆ Β τότε P(A) ≤ P(B)5. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P (Α − Β)= P(A) − P (A  B) Καλή ανάγνωση !http://www.mathschool-online.gr 8

http://www.mathschool-online.com Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών Ά Λυκείου –Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο-Πιθανότητες Επαναληπτικά θέματα και απαντήσεις Θέμα 1ο 1α)Τί ονομάζουμε ευνοϊκές περιπτώσεις ενός ενδεχομένου Α ενός δείγματικού χώρου Ω1β) Τί ονομάζουμε αδύνατο ενδεχόμενο και πως συμβολίζεται1γ) Έστω ένα ενδεχόμενο Α τί συμβολίζουμε με Ν(Α) Απάντηση 1α) Τα στοιχεία ενός ενδεχομένου Α ενός δειγματικού χώρου Ω ονομάζονται ευνοϊκές περιπτώσεις1β)Το ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιείται σε καμια εκτέλεση του πειράματος ονομάζεται αδύνατο ενδεχόμενο και συμβολίζεται με το ∅ 1γ) Με Ν(Α) συμβολίζουμε το πλήθος των στοιχείων του ενδεχομένου Α http://www.mathschool-online.com 1

http://www.mathschool-online.com Θέμα 2ο Να χαρακτηρίσεις τις παρακάτω σχέσεις (αν είναι σωστές ή λάθος)Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος ( )τύχης τέτοια ώστε A ⊆ B Τότε 1. A  B = Β 2. A  B = Α 3. A − B =∅ Απάντηση 1. A  B = Β Σωστό http://www.mathschool-online.com 2

http://www.mathschool-online.com 2. A  B = Α Σωστό 3. A − B =∅ Σωστό Θέμα 3οΑν Α = {1,2,3} και Β = {2,4,5} να βρείτε τα Α∩Β, ΑUΒ, Α–Β Λύση http://www.mathschool-online.com 3

http://www.mathschool-online.com Θέμα 4οΑν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι P(B) − P(A΄)+ ≤ P (A  B) Απόδειξη Έχω:( ) ( )P(B) − P(A΄)+ ≤ P A  B → P(B) − (1 − P(A)) ≤ P A  B( ) ( )→ P(B) + P(A) − 1 ≤ P A  B → P(B) + P(A) − P A  B ≤ 1( )P A  B ≤ 1 που ισχύει ! διότι για κάθε ενδεχόμενο Εενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει : 0 ≤ P(E) ≤ 1 Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online http://www.mathschool-online.com 4

www mathschool-online.comΔιαδικτυακό Φροντιστήριο ΜαθηματικώνΓενικά επαναληπτικά θέματα και απαντήσεις για εξάσκηση Άλγεβρα Α΄ Λυκείου1.Ι) Να δοθεί ο ορισμός της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού. ΙΙ) Να υπολογισθούν οι απόλυτες τιμές 3-1 , 1-3 2. Nα λυθούν οι εξισώσεις Α) x-1 = 0 Β) x-1 = 1 Γ) x-1 = 1-2x 3. Να λυθούν οι ανισώσεις Α) x-1 > 1 Β) x-1 < 1 www mathschool-online.com 1

www mathschool-online.com4. Να συμπληρωθεί ο παρακάτωπίνακας :x-4 ≤ 2 d (x,4) ≤ 2 2 ≤ x ≤ 6 [2,6]x+3 < 4 d (x,5) < 1 (-2,2)www.mathschool-online.com5. Να λυθεί η εξίσωσηx +4 x +4 =2 − 3 536. Nα λυθεί η εξίσωση για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ€R (λ -2 )x = λ7.Ι) Να διερευνηθεί η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α≠0www mathschool-online.com 2

www mathschool-online.comΙΙ) Να βρείτε τις τιμές του μ € R για τις οποίες η εξίσωση μx2 +2x + μ = 0 , μ≠0 έχει διπλή ρίζα. 8. I) Να λυθεί η ανίσωση x2 + 3x + 5 ≤ 0 II) Nα μελετηθεί η συνάρτηση f(x)= x2 + 3x + 5 Απαντήσεις 1.Ι) Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με |������| και Ορίζεται ως εξής :  a, a > 0  a = -a, a < 0 0, a = 0  ΙΙ) 3-1= 2= 2 , www mathschool-online.com 3

www mathschool-online.com1-3 = −2 =− (−2) =22.x-1 =0 ⇒ (x-1) =0 ⇒x=1x-1 =1 ⇒ xx--11 = 1 ⇒ = -1x = 2x = 0=x-1 1-2x ⇒ x-1 = 1-2x  ⇒x-1 = - (1-2x) x +2x = 2  ⇒x-1= -1+2x  x = 2 / 3  x=0 www mathschool-online.com 4

www mathschool-online.com3. x-1 > 1 ⇒ x-1< -1    x-1>1 ⇒ x < 0 x > 2x-1 < 1 ⇒ −1 < x-1 < 1 →−1 < x −1 → 0 < x   < 2 x −1<1   x4. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας :x-4 ≤ 2 d (x,4) ≤ 2 2 ≤ x ≤ 6 [2,6]x+3 < 4 d (x,-3) < 4 −7 < x < 1 (-7,1)x-5 < 1 d (x,5) < 1 4 < x<6 (4,6) x < 2 d (x,0) < 2 −2 < x < 2 (-2,2) www.mathschool-online.comwww mathschool-online.com 5

www mathschool-online.com x+3 < 4 ⇒ −4 < x+3 < 4 −4 − 3 < x < 4 − 3 ⇒ −7 < x < 1x-5 < 1 ⇒ −1 < x-5 < 1−1+ 5 < x < 1+ 5 ⇒4<x<65. x +4− x + 4 =2 3 53 Θέτω |������| = y και έχω: x +4 x +4 =2 ⇒ − 3 53 y + 4 − y + 4 =2 3 53www mathschool-online.com 6

www mathschool-online.com 15. y + 4 −15. y + 4 =15. 2 3 53 5( y + 4) − 3.( y + 4) =5.2 5y + 20 − 3y −12 =10 5y + 20 − 3y −12 =10 2 y =−10 ⇒ y =−10 2 y = −5 Έχω θέσει όμως |������| = y επομένως: y =−5 ⇒ x =−5 αδύνατη , διότι : πάντα το x ≥ 0 6. (λ -2 ) x= λ (Ι) Είναι της μορφής αx=βwww mathschool-online.com 7

www mathschool-online.comΕπομένως διακρίνω τις εξής περιπτώσεις: 1η (λ -2 ) =0 ⇒ λ=2 (Ι) ⇒ 0.x =2 αδύνατη 2η (λ -2 ) ≠ 0 ⇒ λ ≠ 2 (Ι) ⇒ x =λ (ΙΙ) λ -2 αν τώρα λ = 0, τότε η (ΙΙ) γίνεται=: x =λ 0 λ -2 σε κάθε άλλη περίπτωση =x λ , λ ∈ R −{0, 2} λ -27.Ι) Προκειμένου να διερευνήσω την εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α≠0 σχηματίζω το παρακάτω πίνακα :Δ=β2 -4αγ αx2 + βx + γ = 0 α≠0www mathschool-online.com 8

www mathschool-online.com∆>0 Δύο ρίζες άνισες∆ =0∆<0 άνισες x1,2 = -β± Δ 2α Διπλή ρίζα x1 =x 2 = -β 2α Αδύνατη στο RΙΙ) Θέλω η εξίσωσημx2 +2x + μ = 0 , μ≠0 να έχει διπλή ρίζα, επομένως πρέπει: ∆ =0 → Δ=β2 -4αγ = 0Δ=β2 -4αγ=0 ⇒4-4μ.μ=0 ⇒ 4(1-μ2 )=01-μ2 =0 ⇒ (1-μ)(1+μ) =0⇒ μ=-1    μ=1  8. I) x2 + 3x + 5 ≤ 0www mathschool-online.com 9

www mathschool-online.com Δ=β2 -4αγ=9-4.1.5 Δ=9-20 < 0 Αυτό σημαίνει ότι το τριώνυμο είναι ομόσημο του α = 1 > 0 σε όλο το R. Δηλαδή x2 + 3x + 5 > 0 Επομένως η ανίσωση x2 + 3x + 5 ≤ 0 είναι αδύνατη ! II) Nα μελετηθεί η συνάρτηση f(x)= x2 + 3x + 5 Πρόκειται για παραβολή με α=1 > 0 αυτό σημαίνει ότι στρέφει τα κοίλα κάτωΕπομένως παρουσιάζει ελάχιστο στο Ε ( -β/2α , f(-β/2α) ) όπου www mathschool-online.com 10

www mathschool-online.com f(-β/2α) = -Δ/4α Παρατηρώ ότι Δ=β2-4αγ=32-4.1.5→ Δ=9-20 < 0Αυτό σημαίνει ότι δεν έχει κοινά σημεία με τον οριζόντιο άξονα xx΄ x -∞ -β/2α +∞ f(x)= x2 + 3x + 5 ↓ -Δ/4α ↑ Φθιν. Eλάχ/στο αυξ. Ανακεφαλαιώνοντας Η f είναι στο (-∞ , -β/2 ) φθίνουσα ↓ Στο σημείο Ε ( -β/2α -Δ/4α ) παρουσιάζει ελάχιστο Στο διάστημα (-β/2α ,+∞ ) η f είναι αύξουσα ↑ www mathschool-online.com 11

www mathschool-online.com Δεν έχει σημεία τομής με τον οριζόντιο άξονα xx΄Η άσκηση δεν μας ζητά να γίνει η γραφική παράσταση , παρ’ όλα αυτά σας τη σχεδιάζω για να τη δείτε : f(x)= x2 + 3x + 5 Ε ( -β/2α -Δ/4α ) → Ε( −3 , 11) =Ε(−1.5 , 2.75) 24 Εάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! www mathschool-online.com 12

www mathschool-online.com Kαλή Ανάγνωση!www mathschool-online.com 13