http://www.mathschool-online.com Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών Άλγεβρα –Α΄Λυκείου Εισαγωγικό κεφάλαιο Σύνολα Σύνολo είναι κάθε συλλογή αντικειμένων Το σύνολο είναι καλά ορισμένo Τα σύνολα διακρίνονται το ένα από το άλλο Π.χ, 1) το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν={0,1,2,3,...} 2) το σύνολο των ρητών αριθμών Q={ μ/ν,ν≠} 3) το σύνολο Α={1,2} Ίσα σύνολα Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα , όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία.Π.χ, τα σύνολα Α={0,1} και Β={0,1} είναι ίσα ( Α=Β ) Υποσύνολα συνόλου Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β http://www.mathschool-online.com 1
http://www.mathschool-online.com Π.χ, Α={0,1} και Β={0,1,2} Στη περίπτωση αυτή γράφουμε A⊆B Ιδιότητες 1.Α ⊆ Α 2.Αν Α ⊆ Β και Β ⊆ Γ τότε Α ⊆ Γ 3.Α ⊆ Β και Β ⊆ Α τότε Α=Β Κενό σύνολοΤο σύνολο που δεν έχει στοιχεία ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με ∅ Π.χ, το σύνολο Κ={τα χ που ανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών για τα οποία χ2=-2 }={ ∅ }, διότι η εξίσωση χ2=-2 είναι αδύνατη ,δηλ.δεν έχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Συμβολίζω με Ω το σύνολο όλων των συνόλων και το ονομάζω βασικό σύνολο Ένωση συνόλων Α ∪ Β={χ ∈ Ω, χ ∈ Α ή χ ∈ Β } http://www.mathschool-online.com 2
http://www.mathschool-online.comΠ.χ, αν Α = {1,2,3} και Β = {2,4,5} να βρείτε την ένωση των Α και Β,δηλαδή το σύνολο ΑUΒ Τομή συνόλων Α ∩ Β={χ ∈ Ω, χ ∈ Α και χ ∈ Β }Π.χ, αν Α = {1,2,3} και Β = {2,4,5} να βρείτε την τομή των Α και Β,δηλαδή το σύνολο Α∩Β http://www.mathschool-online.com 3
http://www.mathschool-online.com Συμπλήρωμα ενός συνόλου Α΄={χ ∈ Ω , χ ≠ Α } Π.χ, έστω Α = {1,2,3} και έστωΩ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} να βρείτε το συμπλήρωμα του Α Απάντηση Α΄={4,5,6,7,8,9,10} http://www.mathschool-online.com 4
http://www.mathschool-online.comΕάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online Kαλή ανάγνωση ! http://www.mathschool-online.com 5
www.mathschool-online.comΔιαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικών Τυπολόγιο Α΄ Λυκείου Άλγεβρα Περιεχόμενα Πρωτοβάθμια εξίσωση Πρωτοβάθμια ανίσωση Δευτεροβάθμια εξίσωση Άθροισμα και γινόμενο ριζών τριωνύμου Πρόσημο τριωνύμου Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Ρίζες Η εξίσωση χν=α Λύση της πρωτοβάθμιας εξίσωσης αχ+β=0 Αν a≠0 η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την x= -β α www.mathschool-online.com 1
www.mathschool-online.com π.χ, 2x+3=0 - > x=- 3 2 Αν α=0 η εξίσωση γίνεται 0.χ=β Αν β≠0 η εξίσωση 0.χ=β είναι αδύνατη Π.χ , 0.x=2, αδύνατηΑν β=0 η εξίσωση 0.χ=β είναι ταυτότητα Π.χ , 0.χ=0, ταυτότητα Λύση της πρωτοβάθμιας ανίσωσης αχ+β>0 Αν τότε αx+β>0->αx>-β-> x> -β α www.mathschool-online.com 2
www.mathschool-online.comΠ.χ, 2x+3>0->x> -3 2->x> -3 2Αν α < 0 τότε αx+β>0->αx>-β->x< -β αΠ.χ,-2x+3>0->x< -3 -2->x< 3 2Αν α=0 τότε 0χ>-βΣτη συνέχεια εξετάζω το πρόσημο του βΑν β>0 η ανίσωση 0.χ>-β αληθεύει για κάθεχ στο R.Π.χ, η 0.χ>-2, αληθεύει για κάθε χ στοR.Aν β<0 η 0.χ>-β είναι αδύνατη,( )π.χ , 0.x>- -2 ->0.x>2 αδύνατηwww.mathschool-online.com 3
www.mathschool-online.comΑν β=0 η 0χ>-β είναι αδύνατη, π.χ 0.χ>0,αδύνατηΛύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx2 +βx+γ=0Αν Δ>0 η εξίσωση αx2+βx+γ=0 έχειδύο ρίζες πραγματικές και άνισες,τις=x1 -β2+α=Δ ,x2 -β- Δ 2αΑν Δ=0 η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα (δύο ρίζες πραγματικές ίσες),τη x1 =χ2 =-β 2αΑν Δ<0 η εξίσωση δεν έχει πραγματικέςρίζες Άθροισμα και γινόμενο ριζώνΑν Δ>0 ή Δ=0 το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών είναι S=x1 +x2 και P=x1.x2 www.mathschool-online.com 4
www.mathschool-online.com Aν δύο αριθμοί x1,x2έχουν άθροισμα S καιγινόμενο P προσδιορίζονται από τη λύση της εξίσωσης x2-Sx+P=0 Πρόσημο του τριωνύμου f(x)=αx2+βx+γ,a ≠ 0 Αν Δ>Ο το f(x)=αx2+βx+γ,a ≠ 0εκτός των ριζών του είναι ομόσημο του α και εντός των ριζών του ετερόσημο του α. Αν Δ=Ο το f(x)=αx2+βx+γ,a ≠ 0είναι πάντοτε ομόσημο του α και μηδενίζεται για x = -β 2α Αν Δ<Ο το f(x)=αx2+βx+γ,a ≠ 0είναι πάντοτε ομόσημο του α για όλα τα χ στο R Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού α www.mathschool-online.com 5
www.mathschool-online.com α,α>0 α = 0,α=0 -α,α<0 Πάντα το α ≥ 0 α 2 =α2 =α2 x =α ->x=α ή χ=-α x =α->x=α ή x=-α Αν α>0 τότε: x ≤ a → −a ≤ x ≤ a x ≥a→ x ≤ −a ή x ≥ a Iδιότητες α.β = α βwww.mathschool-online.com 6
www.mathschool-online.comα= α ,β ≠ 0ββ ΡίζεςEάν x≥0,a≥0,v∈N τότε ν α=x<->xν =α, π.=χ 3 8 2=<->23 8 Ιδιότητες των ριζών Έστω α≥0( )ν ν α =ν αν =α,π.χ22 =2 Αν α≤0,ν άρτιος ( )ν ν α = ν αν = α ,π.χ (-2)2= (-2) 2 =−2 =2 Αν α ≥ 0,β ≥ 0www.mathschool-online.com 7
www.mathschool-online.com τότεν α ν β= ν α.βΑν α≥0 και β≠0 τότεν α ν α β = ν β Αν α,β≥0 τότεν μ α= νμ ανμ ανρ =μ αρ ν ανβ=α ν β μ ν αμ =ανΗ Εξίσωση xν =α Περιπτώσεις ν άρτιοςwww.mathschool-online.com 8
www.mathschool-online.comxν =α-> x=± ν α,α>0 αδύνατη,α<0π.χ, χ4=4-> χ=±4 4, χ4=-4αδύνατη ν περιττόςxν =α-> x=ν α,α>0 x=-ν α ,α<0 π.χ, χ3=4->χ=3 4 χ3=-4 -> χ=-3 4 xν =αν, (ν άρτιος) <->x=±α π.χ , x2=α2 <-> x=±α xν =αν, (ν περιττός) <->x=α x3=α3 <->x=αwww.mathschool-online.com 9
www.mathschool-online.comΕάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Καλή ανάγνωση ! www.mathschool-online.com 10
http://www.mathschool-online.grΔιαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών Άλγεβρα A΄ Λυκείου Θεωρία και παραδείγματα Aμητική Πρόοδος α ν+1=α ν +ω -> ω=α ν+1-α ν νοστός όρος αριθμητικής προόδου ( )αν =α1+ ν-1 ω Παραδείγματα Λύση της άσκ 3i) σελ 129 σχ βΑν ο 6ος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι12 και ο 10ος είναι 16 να βρείτε τον 1ο όρο και τη διαφορά της προόδου Λύση Δίνονται α6=12,α10=16 Ζητούνται α1=? ω=? http://www.mathschool-online.gr 1
http://www.mathschool-online.gr Γνωρίζω ότι ( )αν =α1 + ν-1 ω Για ν=6 έχω ( )α6=α1 + 6-1 ω 12=α1 +5ω (1) Για ν=10 έχω ( )α10=α1 + 10-1 ω 16=α1 +9ω (2) Αφαιρώ την (1) από τη (2) και έχω 16-12=α1-α1+9ω-5ω-> 4=4ω->ω=4/4 -> ω=1 Επομένως θέτω ω=1 στην (1) και έχω 12=α1+5.1->12-5=α1->α1=7Άθροισμα ν πρώτων όρων αριθ-μητικής προόδου( ) ( )Sνν ν= 2 α1 +αν -> S=ν 2 2α1 + ν-1 ω ΠαράδειγμαΛύση της άσκ 8i) σελ 130 σχ βhttp://www.mathschool-online.gr 2
http://www.mathschool-online.grΝα βρείτε το άθροισμα των πρώτων 40 όρων της αριθμητικής προόδου 7,9,11,... Λύση α1=7,ω=α2-α1=9-7=2,ν=40 ( )S=νν ω 2 2α1 + ν-1 ( )S=40 40 2 2.7+ 40-1 .2 S 40 =20 14+39.2 S 40 =20.92 = 1840Διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδουΟι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικήςπροόδου αν και μόνο αν β= α + γ 2 Παράδειγμα Λύση της άσκ 6i) σελ 130 σχ βΝα βρείτε τον αριθμητικό μέσο των 10 και -40 Λύσηhttp://www.mathschool-online.gr 3
http://www.mathschool-online.gr α=10,γ=-40,β=? β= α + γ 2 β= 10 − 40 2 β = −30 2 β = −15Γεωμετρική πρόοδοςα ν+1=α ν .λ -> α ν+1 =λ αννοστός όρος γεωμετρικής προόδουαν =α1.λν-1Άθροισμα ν πρώτων όρων γεω-μετρικής προόδουSν =α1 λν -1 λ-1 Oι α≠0,β≠0,γ≠0είναι διαδοχικοί όροιγεωμετρικής προόδουαν και μόνο αν β2=αγhttp://www.mathschool-online.gr 4
http://www.mathschool-online.gr Παραδείγματα 1) Λύση της άσκ 3i) σελ 137 σχ β Να βρείτε τον 1ο όρο μιας γεωμετρικήςπροόδου της οποίας ο 5ος όρος είναι ο 32/3 και ο λόγος είναι λ=2 ΛύσηΓνωρίζω ότιαν =α1.λν-1α5 =α1.λ5-132 =α1 .24332 = α1.16313.α1.16=32α1.48 = 32=α1 3=2 16 48 24α=1 4= 2 6 32) Λύση της άσκ 8i) σελ 137 σχ βhttp://www.mathschool-online.gr 5
http://www.mathschool-online.gr Να βρείτε το γεωμετρικό μέσο των αριθμών 5 και 20 Λύση α=5,γ=20,β=? Γνωρίζω ότι β2 =α.γ β2=5.20=100->β=√������������������ β=10 3) Λύση της άσκ 9i) σελ 138 σχ β Να βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου1,2,4,... ΛύσηSν =α1 λν -1 λ-1Για ν=10,α1=1 και λ=α2/α1 -> λ=2/1 ->λ=2 έχωS10 =1. 210 -1 2-1=S10 210 − 1 = 1023 1http://www.mathschool-online.gr 6
http://www.mathschool-online.grΑν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Καλή ανάγνωση ! http://www.mathschool-online.gr 7
http://www.mathschool-online.com Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών Ά Λυκείου –Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο-Πιθανότητες Συνοπτική θεωρία με παραδείγματα Περιεχόμενα Δειγματικός χώρος- Ενδεχόμενα- Πράξεις με ενδεχόμενα- Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα- Η έννοια της πιθανότητας- Αξιωματικός ορισμός τηςπιθανότητας-Λογισμός πιθανοτήτων-Παραδείγματα Δειγματικός χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης λέγεται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται με Ω Π.χ, αν Κ είναι το αποτέλεσμα κεφαλή και Γ τοαποτέλεσμα γράμμα κατά τη ρίψη ενός κέρματος, ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={Κ,Γ} Ενδεχόμενο Ενδεχόμενο λέγεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος http://www.mathschool-online.com 1
http://www.mathschool-online.com Π.χ, το ενδεχόμενο Α να έρθει κεφαλή στο προηγούμενο πείραμα είναι Α={Κ}Τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται ευνοϊκές περιπτώσεις Πράξεις με ενδεχόμεναΈστω Α,Β τα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Το ενδεχόμενο A B πραγματοποιείται όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β Το ενδεχόμενο A B πραγματοποιείται ότανπραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β http://www.mathschool-online.com 2
http://www.mathschool-online.com Το ενδεχόμενο Α΄ πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται το Α και ονομάζεται συμπληρωματικό του Α Το ενδεχόμενο Α-Β πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β ( )Το ενδεχόμενο A B ΄σημαίνει ότι δενπραγματοποιείται κανένα από τα ενδεχόμενα Α και Β http://www.mathschool-online.com 3
http://www.mathschool-online.comΗ σχέση Α ⊆ Β σημαίνει ότι η πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του ενδεχομένου Β Π.χ, αν Α={Κ } και Β={Κ,Γ} ,δηλαδή Α ⊆ Β τότε εάν έρθει το αποτέλεσμα κεφαλή Κ στη ρίψητου κέρματος, δηλαδή εάν έρθει το ενδεχόμενο Α , θα έχει πραγματοποιηθεί και το ενδεχόμενο Β Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Δύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα όταν Α Β=∅ , δηλαδή όταν δεν μπορούν να http://www.mathschool-online.com 4
http://www.mathschool-online.com πραγματοποιηθούν συγχρόνως Παράδειγμα 1ο Ρίχνω ένα ζάρι μία φορά Ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={1,2,3,4,5,6}, το ενδεχόμενο να έρθει περιττός αριθμός είναι Α={1,3,5 } , το ενδεχόμενο να έρθει άρτιος είναι Β={2,4,6} Τα ενδεχόμενα Α={1,3,5 } και Β={2,4,6} είναι ασυμβίβαστα, Α Β=∅ Παράδειγμα 2ο Ρίχνω ένα ζάρι μία φορά Ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={1,2,3,4,5,6},τοενδεχόμενο να έρθει ο αριθμός 3 είναι Α={3 } , το ενδεχόμενο να έρθει περιττός είναι Β={1,3,5}. http://www.mathschool-online.com 5
http://www.mathschool-online.com Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθούν συγχρόνως και τα δυο είναι Α Β={3} Παράδειγμα 3ο Ρίχνω ένα ζάρι μία φορά Ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={1,2,3,4,5,6},το ενδεχόμενο να έρθει περιττός αριθμός είναι Α={1,3,5 } , το ενδεχόμενο να έρθει περιττός ή άρτιος είναι Α Β ={1,2,3,4,5,6} Παράδειγμα 4ο Ρίχνω ένα ζάρι μία φορά Ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={1,2,3,4,5,6},το ενδεχόμενο να έρθει περιττός αριθμός είναι Α={1,3,5 } , το ενδεχόμενο να έρθει άρτιος είναι Α΄={2,4,6}. Το Α΄={2,4,6} λέγεται συμπληρωματικό του Α Παράδειγμα 5ο Ρίχνω ένα ζάρι μία φοράΟ δειγματικός χώρος είναι ο Ω={1,2,3,4,5,6},τοενδεχόμενο να έρθει περιττός είναι Α={1,3,5}, το http://www.mathschool-online.com 6
http://www.mathschool-online.com ενδεχόμενο να έρθει αριθμός μεγαλύτερος του 3 είναι Β={4,5,6}.Το ενδεχόμενο να έρθει περιττός μικρότερος του 5 είναι Α-Β={1,3} Παράδειγμα 6ο Στο ίδιο πείραμα, ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={1,2,3,4,5,6},το ενδεχόμενο να έρθει περιττός είναι Α={1,3,5}, το ενδεχόμενο να έρθει αριθμός περιττός μεγαλύτερος του 3 είναι Β={5}.Το ενδεχόμενο να έρθει αριθμός μεγαλύτερος του 5 είναι (Α ∪ Β)΄ ={6} Παράδειγμα 7ο Αν Α = {1,2,3} και Β = {2,4,5} να βρείτε τα Α∩Β, ΑUΒ, Α–Β Λύση http://www.mathschool-online.com 7
http://www.mathschool-online.com Η έννοια της πιθανότηταςΣε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα ορίζω ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α και το συμβολίζω με P(A) το λόγοP(A) = πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων σύνολο όλων των δυνατών περιπτώσεων P(A)= Ν(Α) Ν(Ω) Ιδιότητες =P(Ω) Ν(Ω) = 1 Ν(Ω) http://www.mathschool-online.com 8
http://www.mathschool-online.com=P(∅) 0 =0 Ν(Ω)Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει0 ≤ P(A) ≤ 1 (διότι Ν(Α)≤Ν(Ω),δηλαδή το πλήθος τωνστοιχείων του Α είναι μικρότερο από το πλήθος των στοιχείων του Ω)Αξιωματικός ορισμός της πιθανότηταςΓενικευμένος ορισμόςΕστω ο δειγματικός χώρος Ω={ω1,ω2,ω3,...ων} Σε κάθε ενδεχόμενο ωi αντιστοιχίζουμε τονπραγματικό αριθμό P(ωi) ο οποίος ονομάζεται πιθανότητα του ενδεχομένου ωi έτσι ώστε να ισχύουν τα εξής 0 ≤ P(ωi) ≤ 1 P(ω1)+ P(ω2)+ P(ω3)+... +P(ων)=1Ορισμός πιθανότητας ενός ενδεχομένου { }Α= α1,α2,α3,...,αν ≠ ∅http://www.mathschool-online.com 9
http://www.mathschool-online.com Ως πιθανότητα ενός ενδεχομένου { }Α= α1,α2,α3,...,αν ≠ ∅ ορίζεται το άθροισμα των πιθανοτήτων P(A)=P(α1)+ P(α2)+ P(α3)+... +P(αν) Ιδιότητα P(∅) =0 Παράδειγμα 1οΡίχνουμε ένα ζάρι να βρεθεί η πιθανότητα να έρθει ζυγός αριθμός . Απάντηση Ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={1,2,3,4,5,6} Το ενδεχόμενο να έρθει ζυγός είναι Α={2,4,6} Η πιθανότητα να είναι ζυγός , σύμφωνα με το γενικευμένο ορισμό είναι P(A)=P(2)+P(4)+P(6) Επειδή τα αποτελέσματα 2,4,6 είναι ισοπίθανα έχω P(2)=P(4)=P(6)→ Ν(2)/Ν(Ω)=Ν(4)/Ν(Ω)=Ν(6)/Ν(Ω)=1/6 http://www.mathschool-online.com 10
http://www.mathschool-online.com επομένως P(A)=P(2)+P(4)+P(6)= 1/6 +1/6 +1/6 =3/6 2ος τρόπος Ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={1,2,3,4,5,6} το ενδεχόμενο να έρθει ζυγός είναι Α={2,4,6}Επειδή όλα τα αποτελέσματα του Ω και επομένως και του Α είναι ισοπίθανα ισχύει ο ορισμός P(A)=N(A)/N(Ω) = 3/6 Λογισμός πιθανοτήτων Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ( )P A B = P(A) + P(B) − P(A B) Για δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει P(A =B) P(A) + P(B) Για δυο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ισχύει P(A)=1-P(A΄) Αν A ⊆ B http://www.mathschool-online.com 11
http://www.mathschool-online.com Τότε ισχύει P(A) ≤ P(B)Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B ) Aπόδειξη (A − B) (A B) =A (δες και το παραπάνω σχήμα) έχω P[(A − B) (A B)] =P(A) Όμως τα ενδεχόμενα Α-Β και A B είναι ασυμβίβαστα Επομένως P(A − B) + P(A B) =P(A) http://www.mathschool-online.com 12
http://www.mathschool-online.com P(A − B) + P(A B)= P(A) → P(A − B)= P(A) − P(A B) Παράδειγμα 2ο Λύση της άσκησης 7 σελ.38 του σχολικού βιβλίουΓια τα ενδεχόμενα Α , Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P(A)=17/30, P(B)=7/15 , P(A B) = 2 / 3 Να βρείτε την P(A B) Λύση Γνωρίζω ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ( )P A B = P(A) + P(B) − P(A B) → 2 / 3 = 17 / 30 + 7 / 15 − P(A B) → P(A B) = −2 / 3 + 17/30 + 7/15 EKΠ=30 P(A B) =−20 / 30 + 17/30 + 14/30 → P(A B) = 11 / 30 http://www.mathschool-online.com 13
http://www.mathschool-online.com Παράδειγμα 2ο Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {ω1,ω2,ω3,ω4} και τα ενδεχόμενα Α = {ω2,ω3} και Β = {ω2,ω4}.Αν P(A)=1/2 , P(B)= 1/3και P(ω3)= 1/4, να βρείτε το Ρ(ω1). Λύση Είναι Ρ(Α)=P(ω3) + P(ω2) , ( δες ξανά τον ορισμό της πιθανότητας ενός { }ενδεχομένου Α= α1,α2,α3,...,αν ≠ ∅ ) οπότε 1/2 =1/4 + P(ω2) → P(ω2)=1/2 - 1/4=2/4 – 1/4=1/4 Επίσης Ρ(Β)= P(ω4) + P(ω2)→ 1/3= P(ω4)+1/4→ P(ω4)=1/3 – 1/4 = 1/12Τέλος ισχύει λόγω του γενικευμένου ορισμού της πιθανότητας : P(ω1) + P(ω2) +P(ω3) + P(ω4)=1→ P(ω1)=1- 1/4 – 1/4 – 1/12= 5/12 http://www.mathschool-online.com 14
http://www.mathschool-online.com Παράδειγμα 3οΗ πιθανότητα εμφάνισης βλάβης σε ένα μηχάνημαεργοστασίου είναι 0.05, η πιθανότητα εμφάνισης σεένα δεύτερο μηχάνημα είναι 0.08 και η πιθανότητα βλάβης και στα δυο μηχανήματα είναι 0.02. Ποια είναι η πιθανότητα βλάβης σε ένα τουλάχιστον μηχάνημα Λύση Ρ ( Α U Β ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ ( Α Β ) Ρ ( Α U Β ) = 0,05 + 0,08 - 0,02 Ρ ( Α U Β ) = 0,11Εάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online Καλή Ανάγνωση ! http://www.mathschool-online.com 15
Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr Προτεινόμενες ασκήσεις προς επίλυση στο κεφάλαιο των Πιθανοτήτων 1η άσκηση Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P(A)=0,8 και P(B)=0,4. 1)Να δείξετε ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα 2) 0, 2 ≤ P(A ∩ B) ≤ 0, 4 Υπόδειξη1)Για να αποδείξουμε ότι δύο ενδεχόμενα Ακαι Β δεν είναι ασυμβίβαστα δεχόμαστε ότι είναι ασυμβίβαστα και με τη βοήθεια της ισότητας P (A ∪ B=) P (A) + P (B) καταλήγουμε σε άτοπο.2) Για να αποδείξουμε ανισοτικές σχέσει στις πιθανότητες στηριζόμαστε στους εξής ισχυριμούς: Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0 ≤ P(A) ≤1 Αν A ⊆ B → P(A) ≤ P(B) Επιπλέον ισχύει ότι A ∩ B ⊆ A και Α ∩ Β ⊆ Β επομένως P(A ∩ B) ≤ P(A) P(A ∩ B) ≤ P(B) Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr 1
Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr Λύση 1)Έστω ότι τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα.Τότε P (A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0,8 + 0, 4 = 1, 2 Δηλαδή P(A ∪ B) > 1 άτοπο Eπομένως τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα2) Γνωρίζω ότι Α ∩ Β ⊆ Β οπότε P(A ∩ B) ≤ P(B) → P(A ∩ B) ≤ 0, 4(Ι) Επιπλέον P(A ∪ B)= P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ≤ 1 εφόσον ισχύει ότι το P(A ∪ B) ≤ 1 εξ ορισμού Άρα P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ≤ 1 → 0,8 + 0, 4 − P(A ∩ B) ≤ 1 1, 2 −1 ≤ P(A ∩ B) → 0, 2 ≤ P(A ∩ B)(ΙΙ) Από τις σχέσει (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει ότι 0, 2 ≤ P(A ∩ B) ≤ 0, 4 2η άσκηση Αν ισχύει P(A) = 7 P(A΄) 9 Να βρείτε τις πιθανότητες P(A) και P(B) Υπόδειξη Γνωρίζω ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ενός δειγματικού χώρου ισχύει P (A΄)= 1− P(A) Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr 2
Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.grΘέτεις P(A)=x οπότε P(A΄)=1-x και κατόπιν αντικαθιστάς στη σχέση P(A) = 7 P(A΄) 9 ώστε να βρεις το x. Λύση Γνωρίζω ότι τα ενδεχόμενα Α και Α΄ είναι συμπληρωματικά Επομένως P (A΄)= 1− P(A)Θέτω P(A)=x οπότε P(A΄)=1-x και η σχέση P(A) = 7 P(A΄) 9γίνεταιP(A) = 7 → x = 7 → 9x = 7(1 − x) → x = 7P(A΄) 9 1− x 9 16 Άρα=P (A) 7=και P(A΄)=1- 7 9 16 16 16 3η άσκηση Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) ΥπόδειξηΈνα άλλος τρόπος για να αποδεικνύουμε ανισοτικές σχέσεις είναι ναξεκινήσουμε από τη δοθείσα σχέση P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) και με Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr 3
Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr ισοδύναμες πράξεις να καταλήγουμε σε μια ανισότητα η οποία είναι προφανής. Λύση P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) → P(A) + P(B) − P (A ∩ B) ≤ P(A) + P(B) → −P (A ∩ B) ≤ 0 → P (A ∩ B) ≥ 0 Iσχύει Άρα ισχύει και η αρχική , δηλαδή P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) 4η άσκηση Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: P(B) − P(A΄) ≤ P(Α ∩ B) ΥπόδειξηΟμοίως ξεκίνησε από τη δοθείσα σχέση P(B) − P(A΄) ≤ P(Α ∩ B) και με ισοδύναμες πράξεις θα καταλήξεις σε μια ανισότητα η οποία είναι προφανής. Υπενθυμίζω ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ενός δειγματικού χώρου ισχύει P (A΄)= 1− P(A) Λύση P(B) − P(A΄) ≤ P(Α ∩ B) → P(B) − (1− P(A)) ≤ P(Α ∩ B) → P(B) + P(A) −1 ≤ P (A ∩ B) → P(B) + P(A) − P (A ∩ B) ≤ 1 → P (A ∪ B) ≤ 1 που ισχύει Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr 4
Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr Άρα ισχύει και η αρχική P(B) − P(A΄) ≤ P(Α ∩ B) 5η άσκηση Έστω δύο ενδεχόμενα Α και Β του ιδίου δειγματικού χώρου Ω με P(A)=2/7 , P(B)=1/3 και P (A ∩ B) =4 11 Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: 1)Να μην πραγματοποιηθεί το Α 2)Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α και Β 3)Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β 4)Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α 5)Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β 6)Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β ΥπόδειξηΜελέτησε το λογισμό πιθανοτήτων και εφάρμοσε τους σχετικούς τύπους. Λύση 1) P(A΄) =1− P(A) =1− 2 =5 77 2) P(A ∪ B) = P (A) + P(B) − P (A ∩ B) = 2 + 1 − 4 = 9 = 3 7 3 21 21 7 3)Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι το (A ∪ B)΄ Επομένως P((A ∪ B)΄) =1− P (A ∪ B) =1− 3 =4 77 Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr 5
Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr 4) P(A − B) =P(A) − P(A ∩ B) =2 − 4 = 2 7 21 21 5) P(B − A) =P(B) − P(A ∩ B) =1 − 4 = 3 =1 3 21 21 76)Σύμφωνα με το διάγραμμα Venn η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με την πιθανότητα του ενδεχομένου (A − B) ∪ (B − A) Γνωρίζω όμως ότι (A − B) ∩ (B − A) =∅ Επομένως P((A − B) ∪ (B − A)) = P(A − B) + P(B − A) = 2 + 1 = 5 21 7 21Αν έχεις απορία επικοινώνησε με το mathschool-online για τη προσφορά γνωριμίας : 2 ιδιαίτερα μαθήματα γνωριμίας και 30 λεπτά διδασκαλίας στην ηλεκτρονική ταξή ! Καλή μελέτη Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών : http://www.mathschool-online.gr 6
http://www.mathschool-online.gr Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α ΄Λυκείου Yποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Κεφάλαιο 1ο Πιθανότητες Α΄ Ομάδας Σελ.37 σχολικού βιβλίου1.Από μια τράπουλα με 52 φύλα παίρνουμε ένα στητύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i) το χαρτί να είναι πέντε ii) το χαρτί να μην είναι πέντε Λύση Η τράπουλα αποτελείται από 52 φύλα και 4 χρώματα Επομένως περιέχει 4 πεντάρια , ένα για κάθε χρώμα Έστω Α το ενδεχόμενο το χαρτί να είναι πέντε και Β το ενδεχόμενο το χαρτί να μην είναι πέντεΈστω Ω το σύνολο που αποτελείται από τα 52 φύλα της τράπουλας Επομένως η πιθανότητα να εμφανιστεί το ενδεχόμενο Α είναι : P(A) = Ν(Α)/Ν(Ω) = 4/52 = 1/13 http://www.mathschool-online.gr 1
http://www.mathschool-online.gr Τα ενδεχόμενα Α και Β είναι συμπληρωματικά Αυτό σημαίνει P(A)+P(B)=P(Ω)→ P(A)+P(B)=1→ P(B)=1-P(A)→ P(B)=1-1/13→ P(B)=13/13 – 1/13→ P(B)=12/133. Ένα κουτί περιέχει μπάλες 10 άσπρες , 15 μαύρες 5 κόκκινες , 10 πράσινες. Παίρνουμε τυχαία μια μπάλα . Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων , η μπάλα να είναι : i) μαύρη ii) άσπρη ή μαύρη iii) ούτε κόκκινη ούτε πράσινη Λύση Το κουτί περιέχει συνολικά 10+15+5+10=40Έστω Μ το ενδεχόμενο η μπάλα να είναι μαύρη Η πιθανότητα i)P(M)=N(M)/N(Ω)= 15/40 Το ενδεχόμενο Α : να είναι η μπάλα άπρη ,είναι ξένο ως προς το ενδεχόμενο Μ : η μπάλα να είναι μαύρη http://www.mathschool-online.gr 2
http://www.mathschool-online.grΈστω Α∪Μ το ενδεχόμενο η μπάλα να είναι άσπρη ή μαύρη Οπότε ii)P(Α∪Μ)=P(A)+P(M)=N(A)/N(Ω) + Ν(Μ)/Ν(Ω)=10/40 + 15/40 =25/40Έστω Κ : το ενδεχόμενο η μπάλα να είναι κόκκινη και Π : το ενδεχόμενο η μπάλα να είναι πράσινη Το ενδεχόμενο η μπάλα να είναι : ούτε κόκκινη ούτε πράσινη συμβολίζεται (K∪Π)΄ Τα ενδεχόμενα Κ και Π είναι ασυμβίβαστα Δηλαδή Κ∩Π=∅→P(Κ∩Π)=0 Επομένως iii)P (K∪Π)΄=1- P (K∪Π)→ P (K∪Π)΄= 1-[P(K)+P(Π)- P(Κ∩Π)] P (K∪Π)΄=1-[P(K)+P(Π)]→ P (K∪Π)΄=1-(5/40 + 10/40)=1-(15/40)→ P (K∪Π)΄= 40/40 – 15/40 = 25/40 =25/40 Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Καλή ανάγνωση ! http://www.mathschool-online.gr 3
http://www.mathschool-online.gr Λύση επιλεγμένων ασκήσεων στις Πιθανότητες 1η άσκηση Δίνονται ο δειγματικός χώρος Επομένως Ω=[10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20] Δίνονται : το ενδεχόμενο Α=[τα ω του δειγματικού χώρου Ω που είναι πολλαπλάσια του 3]=[12,14,18] και το ενδεχόμενο Β=[τα ω του δειγματικού χώρου Ω που είναι πολλαπλάσια του 4]=[12,16,20] Έστω ω ένα τυχαίο στοιχείο του δειγματικού χώρου Ω 1)Nα βρεθεί η πιθανότητα το ω να ανήκει στο Α 2) Nα βρεθεί η πιθανότητα το ω να ανήκει στο Β 3) Nα βρεθεί η πιθανότητα να μην ανήκει το ω στο Β Λύση Η πιθανότητα να ανήκει το ω στο Α είναι Η πιθανότητα να ανήκει το ω στο Β είναι Επομένως : η πιθανότητα να μην ανήκει το ω στο Β είναι 2η άσκησηΈστω P(Λ)=30/100 η πιθανότητα να κερδίσει ο Λευτέρης σε ένα στοίχημα http://www.mathschool-online.gr 1
http://www.mathschool-online.gr P(Π)=20/100 η πιθανότητα να κερδίσει ο Παύλος στο στοίχημα και P(Ν) =40/100 η πιθανότητα να κερδίσει ο Νίκος στο στοίχημα1)Να βρεθεί η πιθανότητα να κερδίσει ο Λευτέρης ή ο Παύλος το στοίχημα 2)Να βρεθεί η πιθανότητα να μη κερδίσει ο Λ ή ο Ν Λύση Συμβολίζω με τη πιθανότητα να κερδίσει ο Λευτέρης ή ο Παύλος Επειδή το ενδεχόμενο να κερδίσει ο Λ και το ενδεχόμενο να κερδίσει ο Π είναι μεταξύ τους ασυμβίβαστα, έχω Επομένως : Άρα η πιθανότητα να κερδίσει ο Λευτέρης ή ο Παύλος είναι 50 % Συμβολίζω με τη πιθανότητα να μη κερδίσει ο Λ ή ο Ν Γνωρίζω όμως ότι : (1) Tο ενδεχόμενο να κερδίσει ο Λ και το ενδεχόμενο να κερδίσει ο Ν είναι μεταξύ τους ασυμβίβαστα http://www.mathschool-online.gr 2
http://www.mathschool-online.gr Επομένως (2) Η σχέση (1) λόγω της (2) γίνεται : Επομένως η πιθανότητα να μη κερδίσει ο Λ ή ο Ν είναι 30% 3η άσκησηΈστω τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω , δίνονται Ζητώ να υπολογίσω τη πιθανότητα Λύση Από το προσθετικό νόμο , έχω : http://www.mathschool-online.gr 3
http://www.mathschool-online.gr Με παρόμοιο τρόπο λύνονται οι ασκήσεις 8,9 και 10 παράγραφο 1.2 του σχ.β 4η άσκησηΝα δειχτεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει : (1) Απόδειξη Από το προσθετικό νόμο , έχω : (2) Επομένως [από (1) και (2) ] αρκεί να δείξω ότι: Ισοδύναμα, αρκεί νδο Ισοδύναμα, αρκεί νδο Ισοδύναμα αρκεί νδο Ισχύει !Διότι εξ ορισμού γνωρίζω ότι για κάθε ενδεχόμενο Ε ενός δειγματικού χώρου http://www.mathschool-online.gr 4
Search
