Μαθηματικά δευτέρας λυκείου θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

http://www.mathschool-online.gr Διανύσματα- Εσωτερικό γινόμενοΛυμένες ασκήσεις – Δωρεάν δείγμαΠαραλληλία - καθετότητα διανυσμάτων , εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων( )1.Δίνονται α,  α.β 2 = α 2  α /  β .β2 /β τα μη μηδενικά διανύσματα ,αν , νδοΠρίν λύσω την άσκηση θα χρησιμοποιήσω τις παρακάτω έννοιες( )1) α.β = ( α .  συνθ) βΌπου θ η γωνία των δύο διανυσμάτωνα,  β2) Την ιδιότητα του 2 = 2 ,3) Αν θ=0 τα διανύσματα   είναι ομόροπα α α α,β  4) Αν θ=π τα διανύσματα α,β είναι αντίροπαΛύση ( )α.β 2 =α 2.β2 ↔ ( α .  συνθ)2 =α 2 . β 2 βθ η γωνία που σχηματίζουν τα δύο διανύσματα α,βΕπομένως η παραπάνω σχέση γίνεταια 2 .  2 συνθ2 = α 2 .  2 ↔ συνθ2 = 1 β βσυνθ2 =1 → σ=συυννθθ=−11=→ θθ =π0 → ήαα↑↑↑↓ββ → α /  /βΠαρόμοια άσκηση προς επίλυση2. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α,  ,νδο βΙ) α ↑↑  αν και μόνο αν α +  = α +  (1) β β βΙΙ) α ↑↓  αν και μόνο αν α +  = α −  (2) β β β

http://www.mathschool-online.gr Διανύσματα- Εσωτερικό γινόμενοΥπόδειξηΥψώνω τις σχέσεις (1) και (2) στο τετράγωνο και κάνω τις πράξεις χρησιμοποιώνταςπάντα τη διπλή συνεπαγωγή3. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α,  ,νδο β1) α +  = α −  αν και μόνο αν α κάθετο στο  β β βΠρίν λύσω την άσκηση θα χρησιμοποιήσω τις παρακάτω έννοιες1) Την ιδιότητα του  2 = 2 ,2) Δυό διανύσματα   είναι κάθετα αν και μόνο αν α α α,βα.β = 0ΛύσηΥψώνω τη σχέση α +  = α −  στο τετράγωνο . Από την ιδιότητα 1) έχω β β( ) ( )  2   2   2   2  α + β = α − β ↔ α + β = α − β ↔ α.β =0Άρα το α είναι κάθετο στο  β4. Να βρεθούν τα διανύσματα που είναι κάθετα στο α = (−3, 4) και έχουν μέτρο ίσομε 5.Πρίν λύσω την άσκηση θα χρησιμοποιήσω τις παρακάτω έννοιες 1) Aναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου : Αν α = (x1, y1 ) ,β = (x2 , y2 ) τότε =α.β x1x2 + y1y22)Δυό διανύσματα   είναι κάθετα αν και μόνο αν α.β = 0 α,β3) Δυό διανύσματα   είναι παράλληλα αν και μόνο α=ν α  α,β λβ, λ ∈ RΛύσηΑν α =  (−3, 4) γνωρίζω ότι ένα κάθετο διάνυσμά του είναι το β = (4, 3)διότι λόγω της 1) α.β = 0

http://www.mathschool-online.gr Διανύσματα- Εσωτερικό γινόμενο  α είναι όλα τα παράλληλα του  δηλαδήτΤηαςδμιοαρνύφσήμςαxτα=xλβπο, υλεπίνρααιγκμάαθτεικταόςστο βΑπό την υπόθεση  = 5 οπότε  =5 ↔ λ  =5 ↔ λ =1 ↔ λ = ±1 x x βΆρα  =(4, 3) ή x =(−4, −3) x5. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(0,0) Β(α,β),Γ(α+2,β) και Δ(2,0),νδοΙ) το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμοΙΙ)αν ΒΓ =2ΑΒ και Μ είναι το μέσο της ΑΔ τότε το ΜΒ είναι κάθετο στο ΜΓΠρίν λύσω την άσκηση θα χρησιμοποιήσω τις παρακάτω έννοιες 1)Ισότητα διανυσμάτων ,2) Oισυντεταγμένες του διανύσματος AB με άκρα ταΑ(x1,y1) και Β(x2,y2) είναι AB =(x, y) =(x2 − x1, y2 − y1 )3)Οι συντεταγμένες μέσου Μ(x,y) τμήματος AB με Α(x1,y1) και Β(x2,y2) είναιΜ[(x1+x2)/2 , (y1+y2)/2] 4)Aναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου : Αν α = (x1, y1 ) ,β = (x2 , y2 ) Τότε =α.β x1x2 + y1y2Λύση  Ι)Υπολογίζω τα ΑΔ και ΒΓ

http://www.mathschool-online.gr Διανύσματα- Εσωτερικό γινόμενο   ΑΔ = (2,0) και ΒΓ = (2,0) όπως περιγράφω στο 2) , επομένως ΑΔ = ΒΓ ,άρα τοτο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο ((ΑΔ)=(ΒΓ) και τα ΑΔ ,ΒΓ είναι παράλληλα)ΙΙ)Το σημείο Μ είναι το μέσο της (ΑΔ) άρα οι συντεταγμένες του είναι x=(0+2)/2 καιy=0 ,επομένως Μ(1,0)  Υπολογίζω τα ΜΒ =(α −1,β), ΜΓ =(α + 1,β) ΜΒ.ΜΓ = (α −1) (α + 1) + β2 = α2 −1 + β2 (1)  Υπολογίζ=ω τα ΑΒ (=α,β), ΒΓ (2,0)  Από την υπόθεση ΒΓ= 2 ΑΒ ↔ α2 + β=2 1 (2)Ησχέση(1) λόγω της (2) γίνεταιΜΒ.ΜΓ =(α −1) (α + 1) + β2 =α2 −1+ β2 =1−1 =0  Δηλαδή το ΜΒ είναι κάθετο στο ΜΓ 6.Έστω Ο και Α δύο σταθερά σημεία του επιπέδου τέτοια ώστε να ισχύει ΟΑ = 3.( )Να προσδιορισθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποίαείναι ΟΜ. ΟΜ − 2ΟΑ =7Πρίν λύσω την άσκηση θα χρησιμοποιήσω τις παρακάτω έννοιες1)Τη Διανυσματική ακτίνα 2)Τον εξής ορισμό:Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τηδιανυσματική ακτίνα της αρχής3)Την ιδιότητα του  2 = 2 α α4)Ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου (σελ.43 σχ.β) 5)Τέλος η έκφραση ΑΜ = ρ , ρ θετικός πραγματικός αριθμός εκφράζει κύκλοκέντρου Α και ακτίνας ρ

http://www.mathschool-online.gr Διανύσματα- Εσωτερικό γινόμενοΛύσηΘεωρώ τοσταθερόσημείο Α ως σημείο αναφοράς και θεωρώ τις διανυσματικέςακτίνες AM και AO      ( )Συνεπώς O=M AM − AO και η σχέση ΟΜ. ΟΜ − 2ΟΑ =7γίνεται      AM − AO AM AM AO( )(( ) )  AO2 AM − AO  =7 ↔ 2 − =7 ↔ 2 − 2 =7(1) − 2ΟΑΑπό την υπόθεση έχωΟΑ = 3Επομένως η σχέση (1) γίνεται 2 AM = 7 + 9 = 16 ↔ AM = 4Επομένως ο γ.τ είναι κύκλος κέντρου Α και ακτίνας ρ=4