Θεώρημα μέσης τιμής

http://www.mathschool-online.gr Θ.Μ.ΤΘεώρημα Μέσης ΤιμήςΈστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και [α,β] υποσύνολοτου Δ.Αν η f είναι :1)συνεχής στο [α,β]2)Παραγωγίσιμη στο (α,β)Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο (α,β) τ.ω f΄(ξ)= f (β) − f (α) β − αΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣΠεριπτώσεις1)Μας ζητείται να εξετάσουμε αν εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ ή μας ζητείταινα βρούμε τις παραμέτρους ώστε να εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ2) Μας ζητείται να δείξουμε ότι υπάρχει σημείο της γραφικήςπαράστασης της f όπου η εφαπτομένη της Cf στο σημείο αυτό είναιπαράλληλη προς ευθεία που διέρχεται από κάποιο σημείο1. Θεωρώ τη συνάρτηση f με τύποf ( x ) = x2 − αx + β, x ∈[−1,0]   γx 2 − βx − 2, x ∈ ( 0,1]Να βρεθούν οι τιμές των πραγματικών αριθμών α,β,γ έτσι ώστε να ισχύειτο Θ.Μ.ΤΛύσηΓια να ισχύει το Θ.Μ.Τ πρέπει η f να είναι συνεχής στο [-1,1] καιπαραγωγίμη στο (-1,1)Η f είναι συνεχής στο [−1,0) ∪ (0,1] ως πολυωνυμικήΘέλω να είναι συνεχής και για x=0Αυτό σημαίνει ότι πρέπει limx→o+ f (x) = limx→o− f (x)

http://www.mathschool-online.gr Θ.Μ.ΤΙσοδύναμα limx→o+ (γx2=− βx − 2) limx→o− (x2 − αx +=β) ↔ −2 βΕπομένως ο τύπος της f γίνεται f (x) = x2 − αx − 2, x ∈[−1,0]   γx 2 + 2x − 2, x ∈ ( 0,1]Η f είναι παραγωγίσιμη στο [−1,0) ∪ (0,1]Θέλω να είναι παραγωγίσιμη και για x=0Δηλαδή, θέλω f΄(0+)=f΄(0-) <-> limx→0+ f (x) − f (0) = limx→0− f (x) − f (0) x xΌμως f(0)=-2 ,επομένως η παραπάνω σχέση γίνεταιlim=x→0+ γx2 + 2xx − 2 + 2 limx→0− x2 − αx − 2 + 2 ↔ xlimx→0+ γx2=+ 2x limx→0− x2 − αx ↔ limx→0+ (γx=+ 2) limx→0− (x − α) x xΌμως limx→0+ (γx + 2) =2 και limx→0− (x − α) =−αΣυνδιάζοντας τις παραπάνω σχέσεις έχω α=-2Άρα α=-2 , β=-2 και το γ ∈ R2. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[1,4]->R με f(1)= 5,f(4)=-1Να δειχτεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Μ(x0,f(x0)) της Cf όπουη εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην ευθεία y=-2x-1ΛύσηΗ f είναι παραγωγίσιμη στο [1,4] άρα και συνεχής στο [1,4] . Επομένωςεφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ και άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 στο [1,4] τ.ωf΄(x0 ) = f (4) − f (1) = −1− 5 = −2 3 4 −1Επομένως η εφαπτομένη της Cf στο Μ(x0,f(x0)) έχει συντελεστήδιεύθυνσης f΄(x0)=-2Όμως λε =-2 .Αυτό σημαίνει ότι η εφαπτομένη της Cf στο Μ(x0,f(x0))

http://www.mathschool-online.gr Θ.Μ.Τείναι παράλληλη στην ευθεία y=-2x-1.Απόδειξη ανισοτικών σχέσεων με τη χρήση του Θεωρήματος ΜέσηςΤιμήςΜεθοδολογίαΌταν θέλουμε να δείξουμε μια ανίσωση της μορφήςμ ≤ f (β) − f (α) ≤ Μ β−ααντικαθιστούμε το λόγο f (β) − f (α) με f΄(ξ) από το Θ.Μ.Τ β−αεφόσον ισχύουν οι προυποθέσεις του Θ.Μ.Τ για τη συνάρτηση f στοδιάστημα [α,β]ΆσκησηΔίνεται η συνάρτηση f(x)=ex ,x>0 .1)Να εξετάσετε αν εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ στο διάστημα [0,x] ,x>02)Nα δείξετε ότι x<ex -1 <xex ,x>0ΛύσηH f(x)=ex ,x>0 έχει π.ο το R και είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο π.οτης.Επομένως η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο υποσύνολο [0,x] ,x>0του π.ο της.Άρα : f συνεχής στο [0, x] ⊂ Rf παραγωγίσιμη στο (0, x) ⊂ RΕπομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο (0,x) ,x> 0, τέτοιο ώστε ex − e0 ↔=eξ ex − e0 ↔=eξ ex −1 x x xf΄(=ξ) f (x) − f (0) ↔ f΄(=ξ) x−0(2)

http://www.mathschool-online.gr Θ.Μ.ΤΌμως 0<ξ<x <-> e0 < eξ < ex (1) (διότι η f(x)=ex ,x>0 είναι γνησίωςαύξουσα)Η σχέση (1) λόγω της (2) γίνεται1 < ex −1 < ex ↔ x < ex −1 < xex , x > 0 x