Μέτρα θέσης και διασποράς

Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικώνhttp://www.mathschool-online.grMέτρα θέσης και διασποράς

Eρωτήματα1)Τί είναι τα μέτρα θέσης και ποια είναι τα πιο συνηθισμένα από αυτά;2)Τί είναι τα μέτρα δασποράς ή μεταβλητότητας και ποια είναι τασπουδαιότερα από αυτά;Απαντήσεις1)Τα μέτρα θέσης είναι εκείνα τα μέτρα της κατανομής τα οποία μαςπληροφορούν για τη θέση του κέντρου των παρατηρήσεων πάνω στονοριζόντιο άξονα .«Κέντρο των παρατηρήσεων» εννοούμε τη θέση γύρωαπό την οποία είναι συγκεντρωμένες οι περισσότερες τιμές της κατανο-μής.Τα συνηθέστερα μέτρα θέσης είναι ο αριθμητικός μέσος ή μέση τιμή ,η διάμεσος και η κορυφή ή επικρατούσα τιμή.2)Τα μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας είναι εκείνα τα μέτρα της κατα-νομής τα οποία μας πληροφορούν για τις αποκλίσεις (τη δασπορά) τωντιμών μιας μεταβλητής γύρω από το κέντρο τους.Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς είναι το εύρος , η διακύμανση και ητυπική απόκλιση

Μέση τιμή (Μη ομαδοποιημένες παρατηρήσεις)1) Αν γνωρίζουμε τις συχνότητες ή τις σχετικές συχνότητες των τιμώνμιας μεταβλητής x πώς υπολογίζεται η μέση τιμή ;Απάντηση1) Έστω μια μεταβλητή x με τιμές x1,x2,x3,...,xκ.Αν οι συχνότητεςτων τιμών είναι αντίστοιχα ν1,ν2,ν3,..,νκ , τότε η μέση τιμή τωνπαρατηρήσεων δίνεται από τη χέση x κ x νi x1ν1  x2ν2  ...  xκνκ  i1 i  1 κ xi ν (1) ν1  ν2  ...  νκ ν i1 νκ i i1 iΈστω f1,f2,f3,..,fκ , οι σχετικές συχνότητες των μεταβλητων x1,x2,x3,...,xκΓνωρίζουμε ότι : fi=νi/νΕπομένως η σχέση (1) γίνεται   x1κx νi = κ x i νi  xκ νi  κ x ifi ν i1 i1 ν i1 i i1 i ν

ΠαράδειγμαΝα βρεθεί η μέση τιμή των παρατηρήσεων2 ,3,4,5,3,5,7,6,3,6ΛύσηΚατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων των τιμών xi καιυπολογίζουμε τα γινόμενα xiνi xi νi xiνi 21 233941 45 2 106 2 12717Σύνολο 10 44 Eπομένως:x  1 κ x i νi = 1 10 x i νi  1 .44=4,4 ν i1 ν i1 10

Ομαδοποιημένες παρατηρήσεις1)Πώς υπολογίζουμε τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεωνομαδοποιημένων σε κλάσεις ;Απάντηση1)Οι παρατηρήσεις της κάθε κλάσης αντιπροσωπεύονται από τηνκεντρική τιμή τους.Επομένως η μέση τιμή δίνεται από το παρακάτωτύπο όπου xi είναι η κεντρική τιμή της κλάσης i και νi αντίστοιχησυχνότητά τηςκ x xi νi  1 κ x νii1 ν i1νκ ii1 iΠαράδειγμαΔίνεται ο παρακάτω πίνακας των ομαδοποιημένων παρατηρήσεων σεκλάσειςπλάτους c=0,10.Nα βρεθούν οι κεντρικές τιμές των κλάσεων καθώς καιη μέσητιμή των του συνόλου των παρατηρήσεων

Λύσηκ  x xi νi  1 κ x νi = 1 3 xiνi  1 101,8 =10,18i1 ν i1 ν i1 10νκ ii1 iΚλάσεις [ , ) Συχνότητα νi Κεντρική τιμή xi xiνi10 , 10,10 2 (10+10,10)/2 20,10 =10,0510,10 , 10,20 3 30,45 (10,10+10,20)/10,20 , 10,30 5 2=10,15 51,25 (10,20+10,30)/ 101,8 2=10,25Σύνολο 10

Iδιότητες της μέσης τιμής1) Αν σε ένα σύνολο παρατηρήσεων με μέση τιμή xπροσθέσουμε σε όλες τις παρατηρήσεις τον ίδιο αριθμό α τότε η μέσητιμή των παρατηρήσεων που προκύπτουν είναι ίση με , x  αδηλαδή αυξάνεται κατά α ,αν α>0 ή μειώνεται κατά α,αν α<02) Αν σε ένα σύνολο παρατηρήσεων με μέση τιμήxπολλαπλασιάσουμε όλες τις παρατηρήσεις με τον ίδιο μη μηδενικόαριθμό α τότε η μέση τιμή των παρατηρήσεων που προκύπτουν είναιίση με αx

ΠαράδειγμαΔίνονται οι παρατηρήσεις ενός δείγματος 2,3,5,7,81)Να βρεθεί η μέση τιμή τους2)Να βρεθεί η μέση τιμή των παρατηρήσεων α)3,4,6,8,9β)6,9,15,21,24Λύση 1 κ x i νi = 1 (2+3+5+7+8) = 25  5 ν i1 5 51) x 2) α) Παρατηρώ ότι οι νέες τιμές προέκυψαν από τις αρχικές με πρόσθεσητου 1 σε κάθεμιά . Επομένωςx΄ =x  1  5  1  62)β) Παρατηρώ ότι οι νέες τιμές προέκυψαν από τις αρχικές με πολλα-πλασιασμό καθεμιάς με το 3Επομένωςx΄ =3.x  3.5  15

Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικώνhttp://www.mathschool-online.grΔιάμεσος σε μη ομαδοποιημένες παρατηρήσειςκαι διάμεσος σε ομαδοποιημένες παρατηρήσεις

Μη ομαδοποιημένες παρατηρήσεις1)Πώς ορίζεται η διάμεσος ενός δείγματος ν παρατηρήσεων ;Απάντηση1) Η Διάμεσος ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σεαύξουσα σειρά ορίζεται ως :α)Η μεσαία παρατήρηση όταν το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι περιττόςαριθμός ήβ)Ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δύο μεσαίων παρατηρήσεωνόταν το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμόςΠαράδειγμαΝα βρεθεί η διάμεσος για τις παρακάτω παρατηρήσειςα) 2,4,10,5,7,6 β) 10,11,4,4,8,9,9Λύσηα) ν=6 παρατηρήσεις . Διατάσω τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά2,4,5,6,7,10Άρα η διάμεσος είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων της 3ηςκαι 4ης στη σειράΕπομένως δ=(5+6)/2 =5,5β)ν=7 παρατήρησεις . Διατάσω τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά4,4,8,9,9,10,11Άρα η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση , η 4η κατά σειρά δηλαδή δ=9

1) Τι εκφράζει η διάμεσος ενός δείγματος ;ΑπάντησηΗ διάμεσος ενός δείγματος είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% τωνπαρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% τωνπαρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από αυτήνΔιάμεσος ομαδοποιημένων παρατηρήσεωνΓια να βρούμε τη διάμεσο ενός συνόλου ομαδοποιημένωνπαρατηρήσεων ακολουθούμε τα εξής βήματα1ο Βήμα : Κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα και το πολύγωνοαθροιστικών σχετικών συχνοτήτων2ο Βήμα :Βρίσκουμε στον κατακόρυφο άξονα του ιστογράμματος το50% και φέρνουμε παράλληλη προς τον οριζόντιο άξονα μέχρι νατμήσει το πολύγωνο στο σημείο ΑΑπό το σημείο τομής Α φέρνουμε κάθετη στον οριζόντιο άξονα .H τιμήπου βρίσκουμε πάνω στον οριζόντιο άξονα είναι η διάμεσος

Παράδειγμα Το παρακάτω ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Fi % αναφέρεται στις ηλικίες 80 κατοίκων ενός χωριού 1)Να βρεθεί η διάμεσος των παρατηρήσεων Λύση Iστόγραμμα αθρ. σχετ.συχνοτήτων Πολύγωνο αθροιστικών επί τοις 100 ,Fi % σχετικών συχνoτήτων %120 90 100 120 90 100100 10080 60 80 6060 40 60 4040 20 40 20 20 020 00 120 0 20 40 60 80 100 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100

Βρίσκουμε στον κατακόρυφο άξονα του ιστογράμματος το 50% και φέρνουμεπαράλληλη προς τον οριζόντιο άξονα μέχρι να τμήσει το πολύγωνο έστω στοσημείο ΑΑπό το σημείο τομής Α φέρνουμε κάθετη στον οριζόντιο άξονα .H τιμή 48 πουβρίσκουμε πάνω στον οριζόντιο άξονα είναι η διάμεσοςΕπομένως δ=48 Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνoτήτων %120 90 100100 80 20 40 Α 60 60 (48,50) 40 20 40 60 80 100 120 20 0 0 0 δ=48

Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικώνhttp://www.mathschool-online.gr Διακύμανση ή διασπορά Τυπική απόκλιση Συντελεστής μεταβολής

1)Πώς ορίζουμε τη διακύμανση ή διασπορά ενός συνόλου μηομαδοποιημένων παρατηρήσεων ;Απάντηση1)Η διακύμανση ή διασπορά s2 των μη ομαδοποιημένωνπαρατηρήσεων t1,t2,t3,…,tν, με μέση τιμή x ορίζεται από τη σχέση 1 ν 2 ν i1 ti  x s22) Πώς ορίζουμε τη διακύμανση ή διασπορά ενός συνόλου ομαδοποιημένωνπαρατηρήσεωνΑπάντησηΗ διακύμανση ή διασπορά s2ενός συνόλου ομαδοποιημένων δεδομένων ορίζεταιαπό τη σχέση 1 ν 2 ν i1 xi  x νi s2

3) Πως ορίζουμε την τυπική απόκλιση ενός συνόλου παρατηρήσεων ;ΑπάντησηΗ τυπική απόκλιση s είναι ίση με τη θετική τετραγωνική ρίζα τηςδιακύμανσηςδηλαδή s  s24)Πώς ορίζουμε το συντελεστή μεταβολής ή μεταβλητότητας ενός συνόλουΠαρατηρήσεων ;ΑπάντησηΟ συντελεστής μεταβολής ή μεταβλητότητας CV ορίζεται από το λόγοCV  τυπική απόκλιση  s μέση τιμή x

ΠαράδειγμαΔίνονται οι βαθμολογίες δύο μαθητών της Θετικής Κατεύθυνσης σε 12μαθήματα1)Να βρεθεί η μέση τιμή , η διάμεσος και οι τυπικές αποκλίσεις τωνβαθμολογιών2)Ποιού μαθητή η μέση τιμή της βαθμολογίας είναι πιο αντιπροσωπευτική καιγιατί3) Να βρεθεί ο συντελεστής μεταβολής της κάθε βαθμολογίας . Τιπαρατηρείτε?Α΄ 16 18 15 17 16 14 14 15 17 14 20 16Β΄ 13 19 13 19 19 11 16 10 13 20 20 19

Λύση 16  18  15  17  ...  16 192 12 121) xΑ    16 xΒ  13  19  13  19  ...  19  192  16 12 12Διατάσουμε τις βαθμολογίες των δυο μαθητών κατά αύξουσα σειρά καιπαίρνουμεΜαθητής Α : 14 14 14 15 15 16 16 16 17 17 18 20Μαθητής Β : 10 11 13 13 13 16 19 19 19 19 20 20Επομένως : δΑ= (16+16)/2 = 16 και δΒ=(16+19)/2 = 17,5

 sΑ21ν xi x 2  14  162  14  162  ....  20  162 3 ν i1 νi 12 sΒ21 ν 2 10  162  11  162  ....  20  162 ν i1 xi  x   13 νi 12sΑ  3  1,7 sΒ  13  3,6Η βαθμολογία του μαθητή Β έχει μεγαλύτερη τυπική απόκλιση οπότε οιβαθμοί του είναι περισσότερο απομακρυσμένοι από τη μέση τιμή.Έτσιη μέση τιμή της βαθμολογίας του μαθητή Α είναι πιο αντιπροσωπευτικήδιότι οι βαθμοί του είναι περισσότερο συγκεντρωμένοι γύρω από αυτήν3) Ο συντελεστής μεταβολής της κάθε βαθμολογίας είναιCVA  SA  1,7  10,625% CVB  SB  3,6  22, 5% XA 16 XB 16

Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής μεταβολής της βαθμολογίας του μαθητή Βείναι μεγαλύτερος από εκείνον του μαθητή Α και μάλιστα μεγαλύτερος από10% οπότε η βαθμολογία του δεν είναι ομοιγενής,γεγονός που επιβεβαιώνειτα προηγούμενα συμπεράσματαΠαράδειγμαΔυο τραπεζικοί οργανισμοί Α και Β που ο καθένας αποτελείται από 5Υποκαταστήματα είχαν ετήσιες δαπάνες για το έτος 2011 τα ποσά (σε χιλιάδεςευρώ )που αναγράφονται στον παρακάτω πίνακαΟργανισμός 250 200 300 350 300ΑΟργανισμός 5000 5150 5100 5050 5100Β1)Να βρεθούν οι μέσες τιμές των δαπανών για τους οργανισμούς Α και Β2)Να βρεθούν οι τυπικές αποκλίσεις των οργανισμών Α και Β αντίστοιχα3)Να βρεθεί το λάθος στον ισχυρισμό «Εφόσον οι δύο οργανισμοί Α και Βέχουν την ίδια τυπική απόκλιση οι δαπάνες των οργανισμών έχουν την ίδιαμεταβλητότητα4)Να υπολογιστούν οι συντελεστές μεταβολής των οργανισμών Α και Β5)Με τη βοήθεια των των συντελεστων μεταβολής των οργανισμών Α και Βτι συμπεραίνετε για τις τιμές της μεταβλητής ‘ετήσιες δαπάνες’ για τους οργ Α&Β

1) xΑ  250  200  300  350  300  280 χιλιάδες ευρώ 5xΒ  5000  5150  5100  5050  5100  5080χιλιάδες ευρώ 5 sΑ21 ν xi x 2  250  2802  200  2802  ....  300  2802 ν i1 νi 5sΑ2  2600χιλιάδες ευρώsΒ2  5000  50802  5150  50802  ....  5100  50802 12sΒ2  2600χιλιάδες ευρώ2) sΑ  s B  2600  51 χιλιάδες ευρώ

3)Να βρεθεί το λάθος στον ισχυρισμό «Εφόσον οι δύο οργανισμοί Α και Βέχουν την ίδια τυπική απόκλιση οι δαπάνες των οργανισμών έχουν την ίδια με-ταβλητότηταΑπάντησηΟ ισχυρισμός είναι λανθασμένος γιατί η σχέση των τιμών της μεταβλητής«ετήσιες δαπάνες» με την τιμή της απόκλισης είναι διαφορετική για τους δύοοργανισμούς αφού η βαρύτητα που έχουν τα 51 χιλιάδες ευρώ στη μέση τιμήετήσιων δαπανών 280 χιλιάδων ευρώ , είναι διαφορετική από αυτή που έχουνστη μέση τιμή ετησίων δαπανών 5080 χιλιάδων ευρώ4)Να υπολογιστούν οι συντελεστές μεταβολής των οργανισμών Α και Β .Τι συμπεραίνετε για τις τιμές της μεταβλητής «ετήσιες δαπάνες» για τους οργΑ&Β ;CVA  SA  51  18,21% Παρατηρώ ότι το δείγμα των τιμών της XA 280 μεταβλητής «ετήσιες δαπάνες» για τον οργανισμό Β είναι ομοιογενές σε αντίθεση με τον Α ,διότι οCVB  SB  51  1,oo% συντελεστής μεταβολής CVB δεν ξεπερνά το 10% XB 5080