Απόδειξη ανισοτικών σχέσεων με τη χρήση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΌΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗΑπόδειξη ανισοτικών σχέσεων με τη χρήση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής

Στέλλα Σερεμετάκη ΜαθηματικόςΜαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ ΛυκείουΑπόδειξη ανισοτικών σχέσεων με τη χρήση του ΘεωρήματοςΜέσης ΤιμήςΜεθοδολογίαΌταν θέλουμε να δείξουμε μια ανίσωση της μορφήςμ f( β)  f( α) Μ βααντικαθιστούμε το λόγο f( β)  f( α) με f΄(ξ) από το Θ.Μ.Τ βαεφόσον ισχύουν οι προυποθέσεις του Θ.Μ.Τ για τη συνάρτηση fστο διάστημα [α,β]ΆσκησηΔίνεται η συνάρτηση f(x)=ex ,x>0 .1)Να εξετάσετε αν εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ στο διάστημα [0,x],x>02)Nα δείξετε ότι x<ex -1 <xex ,x>0ΛύσηH f(x)=ex ,x>0 έχει π.ο το R και είναι συνεχής καιπαραγωγίσιμη στο π.ο της.Επομένως η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο υποσύνολο[0,x] ,x>0 του π.ο της.Άρα : f συνεχής στο 0 ,x  Rf παραγωγίσιμη στο ( 0,x ) R

Στέλλα Σερεμετάκη ΜαθηματικόςΕπομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξστο (0,x) ,x> 0, τέτοιο ώστεf΄( ξ )  f ( x )  f ( 0 )  f΄( ξ )  e x e0  e ξ  e x e0  e ξ  e x 1 x 0 x x x (2)Όμως 0<ξ<x <-> e0 < eξ < ex (1) (διότι η f(x)=ex ,x>0 είναιγνησίως αύξουσα)Η σχέση (1) λόγω της (2) γίνεται1  e x 1  e x  x  e x 1  xe x ,x 0 x