Β Λυκείου άλγεβρα 103 σελίδες

Τυπολόγιο άλγεβρα Β Λυκείου Ταυτότητα της Διαίρεσης Δ(x)=δ(x)π(x)+υ(x)Δ(x) ο διαιρετέος- πολυώνυμο βαθμού ν δ (x) ο διαιρέτης π(x) το πηλίκο –πολυώνυμο βαθμού ν-1 υ(χ) το υπόλοιπο –πολυών. βαθμού μικρότερου από το βαθμό του διαιρέτη δ (x) ή υ(χ)=0 1 Στέλλα Σερεμετάκη Μαθηματικός

Ρίζα του πολυωνύμου P(x)Το ρ είναι ρίζα του P(x) αν και μόνο αν P(ρ)=0 Διαίρεση πολυωνύμου με χ-ρΤο υπόλοιπο της διαίρεσης τουP(x) με το χ-ρ είναι το υ= P(ρ) Παράγοντας πολυωνύμουΤο πολυώνυμο έχει παράγοντα το χ-ρ αν και μόνο αν υ= P(ρ)=0 2 Στέλλα Σερεμετάκη Μαθηματικός

Θεώρημα των ακέραιων ριζώνανxν +αν-1xν-1+...+α1x+α0=0, αν, ..., α0  ΖΑν ο ακέραιος ρ  0 είναι ρίζα τηςεξίσωσης, τότε ο ρ διαιρεί τον α0. Αριθμητική Πρόοδος  αν+1=αν +ω  ω=αν+1-αν νοστός όρος αριθμητικής προόδου   αν =α1+ ν-1 ωάθροισμα ν πρώτων όρων αριθ- μητικής προόδου   Sν ν= 2 α1 +αν  Sν = 2 2α1 + ν-1 ω 3 Στέλλα Σερεμετάκη Μαθηματικός

οι α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν β= α+γ 2Γεωμετρική πρόοδος αν+1=αν .λ  αν+1 =λ αν νοστός όρος γεωμετρικής προόδου αν =α1.λν-1άθροισμα ν πρώτων όρων γεω- μετρικής προόδουSν =α1 λν -1 λ-1 4Στέλλα Σερεμετάκη Μαθηματικός

οι α  0,β  0,γ  0 είναι διαδο-  χικοί όροι γεωμετρικής προ- όδου αν και μόνο αν β2=αγ  Εκθετική συνάρτηση  f x  ax , a  1 και α>0  π.ο R, π.τ 0,  , δηλ.χ  R, fx  0 5 Στέλλα Σερεμετάκη Μαθηματικός

Μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης  Αν α>1 τότε f(x)  στο π.ο της το R  Αν α<1 τότε f(x)  στο π.ο της το R 6 Στέλλα Σερεμετάκη Μαθηματικός

Ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης  αx1 =ax2  x1=x2 Εκθετική εξίσωση αx=aβ  x=β, π.χ αx=a2  x  2 Λογαριθμική συνάρτηση   f(x)  loga x, a  1, a>0 π.ο το 0,+ , π.τ το R Σχέση λογαριθμικής με εκθετική  loga x  y  ay  x 7 Στέλλα Σερεμετάκη Μαθηματικός

Μονοτονία της λογαριθμικής εξίσωσης  Αν α>1 τότε  f(x)  logax  στο π.ο της το 0,  8 Στέλλα Σερεμετάκη Μαθηματικός

 Αν α<1 τότε  f(x)  logax  στο π.ο της το 0,  Ιδιότητα της λογαριθμικής συνάρτησης  logax1=logax2  x1=x2 9 Στέλλα Σερεμετάκη Μαθηματικός

Λογαριθμική εξίσωση logax=logaβ  x=β, π.χ logax=loga2  x=2Ιδιότητες των λογαρίθμων Αν α>0 ,α  1 και θ1,θ2,θ3>0, κ  R 1. loga θ1θ2 =logaθ1+logaθ22. loga θ1 =logaθ1 -logaθ2 θ2 3. logaθκ=κlogaθ4. logaax =x και alogaθ =θ5. loga1=0 και logaa=1 10 Στέλλα Σερεμετάκη Μαθηματικός

Δεκαδικός λογάριθμος log10θ=logθ , logθ=x  10x=θ Φυσικός λογάριθμος lneθ=lnθ, lnθ= x  ex=θ Αλλαγή βάσης Αν α,β>0 με a,β  1,τότε για κάθε θ>0 ισχύlogβθ= logaθ , π.χ log35  log25 logaβ log23 11Στέλλα Σερεμετάκη Μαθηματικός

http://www.mathschool-online.gr Άλγεβρα Β΄ Λυκείου Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Κεφάλαιο δεύτερο Πολυώνυμα Ταυτότητα της Διαίρεσης Δ(x)=δ(x)π(x)+υ(x))=δ(x)π(x)+υ(x Δ : ο διαιρετέος- πολυώνυμο βαθμού ν δ (xδ :ο διαιρέτης π(x)π :το πηλίκο –πολυώνυμο βαθμού ν-1 υ(χυ : το υπόλοιποπολυώνυμο βαθμού μικρότερου από το βαθμό του διαιρέτη) ή υίσο με το μηδέν Ρίζα του πολυωνύμου P(x) Το ρ είναι ρίζα του P(x) αν και μόνο αν P(ρ)=0 Διαίρεση πολυωνύμου με χ-ρΤο υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-ρ είναι το υ= P(ρ) Παράγοντας πολυωνύμουΤο πολυώνυμο έχει παράγοντα το χ-ρ αν και μόνο αν υ= P(ρ)=0 http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr Παράδειγμα Να δειχτεί ότι το x+3 =x-(-3) είναι παράγοντας του P(x) =x4-25x2+144 Λύση Αρκεί να δείξω ότι το ρ=-3 είναι ρίζα του P(x) Aρκεί να δείξω ότι P(-3) =0 Γνωρίζω ότι P(-3) =υ όπου υ είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-(-3) Επομένως για να δείξω ότι P(-3) =0 Αρκεί να δείξω ότι υ=0 Για το λόγο αυτό θα διαιρέσω το P(x) =1.x4-25.x2+0.x+ 144 με το x-(-3) για να βρω το υπόλοιπο υ1 0 -25 0 144 ρ=-3 1.(-3)=-3 (-3)(-3)=9 (-16)(-3)=48 48(-3)=-1441 0+(-3)=-3 -25+9=-16 0+48=48 144- 144=0 http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr Επεξήγηση 1.Τοποθετώ στη πρώτη γραμμή του πίνακα τους συντελεστές του πολυωνύμου P(x) =1.x4+0.x2 -25.x2+0.x+ 144 καθώς επίσης και το σταθερό του όρο ,(144)2.Τοποθετώ το συντελεστη του x4 στη 3η γραμμή και τον πολλαπλασιάζω με το -3 Δηλαδή 1.(-3)=-3 3.Προσθέτω το αποτέλεσμα που βρήκα στο συντελεστή του x3 Δηλαδή -3+0=-3Η διαδικασία συνεχίζεται έως ότου να εμφανιστείτο μηδέν στη τελευταία γραμμή της προτελευταίας στήλης Το μηδέν είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης και το πηλίκο είναι το x3 -3x2 -16x+48 Επομένως x4-25x2+144 =(x-(-3)).( x3-3x2-16x+48)+0 http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr Δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) =x4-25x2+144 με το x-(-3) είναι μηδέν Άρα P(-3) =υ=οΑυτό σημαίνει ότι το x-(-3)=x+3 είναι παράγοντας του P(x)Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online Καλή ανάγνωση ! http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr Άλγεβρα Β΄ Λυκείου Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Πολυώνυμα Ταυτότητα της Διαίρεσης Δ(x)=δ(x)π(x)+υ(x))=δ(x)π(x)+υ(x Δ : ο διαιρετέος- πολυώνυμο βαθμού ν δ (xδ :ο διαιρέτης π(x)π :το πηλίκο –πολυώνυμο βαθμού ν-1 υ(χυ : το υπόλοιπο πολυώνυμο βαθμού μικρότερου από το βαθμό του διαιρέτη) ή υίσο με το μηδέν Ρίζα του πολυωνύμου P(x) Το ρ είναι ρίζα του P(x) αν και μόνο αν P(ρ)=0 Διαίρεση πολυωνύμου με χ-ρ Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-ρ είναι το υ= P(ρ) Παράγοντας πολυωνύμουΤο πολυώνυμο έχει παράγοντα το χ-ρ αν και μόνο αν υ= P(ρ)=0 Παράδειγμα Να δειχτεί ότι το x+3 =x-(-3) είναι παράγοντας του P(x) =x4- 25x2+144 Λύση Αρκεί να δείξω ότι το ρ=-3 είναι ρίζα του P(x) http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr Aρκεί να δείξω ότι P(-3) =0 Γνωρίζω ότι P(-3) =υόπου υ είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-(-3) Επομένως για να δείξω ότι P(-3) =0 Αρκεί να δείξω ότι υ=0 Για το λόγο αυτό θα διαιρέσω το P(x) =1.x4-25.x2+0.x+ 144 με το x-(-3) για να βρω το υπόλοιπο υ1 0 -25 0 144 ρ=-31.(-3)=-3 (-3)(-3)=9 (-16)(- 48(-3)=- 3)=48 1441 0+(-3)=-3 -25+9=-16 0+48=48 144-144=0 Επεξήγηση 1.Τοποθετώ στη πρώτη γραμμή του πίνακα τους συντελεστές του πολυωνύμου P(x) =1.x4+0.x2 -25.x2+0.x+ 144 καθώς επίσης και το σταθερό του όρο ,(144) 2.Τοποθετώ το συντελεστη του x4 στη 3η γραμμή http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr και τον πολλαπλασιάζω με το -3 Δηλαδή 1.(-3)=-33.Προσθέτω το αποτέλεσμα που βρήκα στο συντελεστή του x3 Δηλαδή -3+0=-3Η διαδικασία συνεχίζεται έως ότου να εμφανιστεί το μηδέν στη τελευταία γραμμή της προτελευταίας στήλης Το μηδέν είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης και το πηλίκο είναι το x3 -3x2 -16x+48 Επομένως x4-25x2+144 =(x-(-3)).( x3-3x2-16x+48)+0 Δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) =x4-25x2+144 με το x-(-3) είναι μηδέν Άρα P(-3) =υ=ο Αυτό σημαίνει ότι το x-(-3)=x+3 είναι παράγοντας του P(x)Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool- online http://www.mathschool-online.gr

www.mathschool-online.com Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών Tυπολόγιο ΜαθηματικώνB΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Ευθεία y=λx+βΌπου λ ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας.Εαν Α(x1 ,y1 ) και Β(x2 ,y2 ) δύοσημεία της ευθείας τότε λ = y2 − y1 x2 − x1www.mathschool-online.com 1

www.mathschool-online.com Παράδειγμα=λ yx22=−− xy11 4−2 λ= 23= 0,6 3−0Εάν η ευθεία είναι κατακόρυφηwww.mathschool-online.com 2

www.mathschool-online.comδεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης λ και η ευθεία έχει τη μορφή x = x0 Π.χ , x=3 Εάν η ευθεία είναι οριζόντια τότε οσυντελεστής διεύθυνσης είναι λ=0, και η ευθεία έχει τη μορφή y = y0 Π.χ , y = 2 www.mathschool-online.com 3

www.mathschool-online.comΣυνθήκη καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Έστω ε1 : y = λ1x + β ε2 : y = λ2x + β ε1 ⁄⁄ε2 ⇔ λ1 = λ2 ε1 ⊥ ε2 ⇔ λ1.λ2 = −1 www.mathschool-online.com 4

www.mathschool-online.comΕξίσωση ευθείας που διέρχεται από τοσημείο Α(x0 ,y0 ) και έχει συντελεστήδιεύθυνσης λ : y − y0 =λ(x − x0 ) Π.χ, Έστω η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(0,1) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=1. Η εξίσωσή της θα είναι y-1=1(x-0) Iσοδύναμα y=x+1 ΘεώρημαΚάθε ευθεία έχει εξίσωση Αx+By+Γ=0 και αντιστρόφως Κάθε εξίσωση Αx+By+Γ=0 www.mathschool-online.com 5

www.mathschool-online.com παριστάνει ευθεία Απόσταση σημείου από ευθείαΈστω η ευθεία ε : Αx + Βy + Γ =0 και Μ (x0 ,y0 ) ένα σημείο εκτός αυτής. Η απόσταση d(Μ,ε) του σημείου Μ (x0 ,y0 ) από την ευθεία ε δίνεται από τη σχέση d(Μ,ε) =Αx0 + Βy0 + Γ Α2 + Β2 Π.χ, Έστω ε : 4x + 3y + 8 =0 και Μ(−1,2), έχω: www.mathschool-online.com 6

www.mathschool-online.com=d(Μ,ε) 4(−1) + 3.2 + 8 d(Μ,ε=) ⇔ 42 + 32 −4 + 6 + 8 10 2 25 = 5= d(Μ,ε) = (ΜΑ) = 2www.mathschool-online.com 7

www.mathschool-online.com Εμβαδόν τριγώνουΕάν Α(x1 ,y1 ),Β(x2 ,y2 ),Γ(x3 ,y3 )οι κορυφές τριγώνου ΑΒΓ τότε το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο=ΕΑΒΓ (=ΑΒΓ ) 1 det → →  2 ΑΒ, ΑΓwww.mathschool-online.com 8

www.mathschool-online.comΠ.χ , Έστω Α(0,1),Β(3,2),Γ(2,−1)Α→Β ( 3,1) , Α→Γ (2, 0 )=ΕΑΒΓ (=ΑΒΓ ) 1 det  Α→Β, →  2   ΑΓwww.mathschool-online.com 9

www.mathschool-online.com=ΕΑΒΓ (=ΑΒΓ ) 1 det Α→Β, →  2  ΑΓ(=ΑΒΓ ) 1 31 1 (3.0 − 2.1) 2 2=0 2( ΑΒΓ )= −2 22= 1 2= Εξίσωση κύκλουκέντρου Κ(x0 ,y0 ) και ακτίνας ρ(x − x0 )2 + (y − y0 )2 =ρ2 Π.χ , η εξίσωση (x − 2)2 + (y −1)2 =22 Παριστάνει κύκλο κέντρου Κ(2,1) www.mathschool-online.com 10

www.mathschool-online.com και ακτίνας ρ =2 Η εξίσωση (x − 0)2 + (y − 0)2 =ρ2 Παριστάνει κύκλο κέντρου Κ(0,0)και ακτίνας ρ. Η παραπάνω εξίσωση είναι ισοδύναμη με την x2 + y2 =ρ2 www.mathschool-online.com 11

www.mathschool-online.comΕξίσωση εφαπτομένης του κύκλου x2 + y2 =ρ2 Έστω Α(x1 ,y1 ) ένα σημείο του κύκλου x2 + y2 =ρ2 . Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α(x1 ,y1 ) έχει εξίσωση xx1 + yy1 =ρ2 www.mathschool-online.com 12

www.mathschool-online.comΙσοδύναμη εξίσωση του κύκλου Η εξίσωση x2 +y2 +Αx+Βy+Γ=0, με Α2 +Β2 -ΑΓ>0 Είναι ισοδύναμη της εξίσωσης (x − x0 )2 + (y − y0 )2 =ρ2 Θεώρημα Κάθε κύκλος έχει εξίσωση x2 +y2 +Αx+Βy+Γ=0, με Α2 +Β2 -ΑΓ>0 και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής x2 +y2 +Αx+Βy+Γ=0, με Α2 +Β2 -ΑΓ>0 www.mathschool-online.com 13

www.mathschool-online.com Παριστάνει κύκλο. Εξίσωση παραβολής Mε αρχή το Ο και άξονα xx΄Εξίσωση της παραβολής με εστίαE p ,0  και διευθετούσα δ: x=− p , 2  2 y2 = 2px www.mathschool-online.com 14

www.mathschool-online.comΠ.χ, Έστω p=2, E(p/2,0)=(1,0), δ:x=-p/2=-1 =y2 2=px 2.2x y2 = 4x www.mathschool-online.com 15

www.mathschool-online.com Εξίσωση παραβολήςMε αρχή το Ο και άξονα yy΄Η εξίσωση της παραβολής μεεστία E 0, p  και διευθετούσα 2 δ: y= − p , είναι x2 = 2py 2www.mathschool-online.com 16

www.mathschool-online.comΠ.χ, Έστω p=2, E(0,p/2)=(0,1), δ:y =-p/2=-1 =x2 2=px 2.2y x2 = 4y www.mathschool-online.com 17

www.mathschool-online.com Εφαπτόμενη της παραβολής Η Εφαπτομένη της παραβολήςy2 = 2px στο σημείο της Μ(x1 ,y1 ) είναι y=y1 p(x + x1 ) Π.χ, έστω το σημείο M(x1 ,=y1 ) M(1,−2) της παραβολής www.mathschool-online.com 18

www.mathschool-online.comκαι y2 = 2px ⇔ y2 = 2.2x,p = 2,η εξίσωση της παρα-βολής.Ηεξίσωση της εφαπτομένης στοσημείο Μ της παραβολής είναι y=y1 p(x + x1 ) y(−2)= 2(x +1) −2y = 2x + 2 y =−x −1 www.mathschool-online.com 19

www.mathschool-online.com Η εφαπτομένη της παραβολήςx2 = 2py στο σημείο της Μ(x1 ,y1 ) είναι x=x1 p(y + y1 ) www.mathschool-online.com 20

www.mathschool-online.com Παράδειγμα έστω το σημείο Μ(x1 ,y1 ) =Μ(−2,1)και έστω η παραβολή με εξίσωση x2 = 2py x2 = 2.2y www.mathschool-online.com 21

www.mathschool-online.comΗ εξίσωση της εφαπτομένης τηςπαραβολής στο σημείο Μ είναιx=x1 p(y + y1 )x=x1 p(y + y1 )x.1= 2(y + (−2))x = 2y − 4 ⇔x +=4 2y ⇔y = 1 x + 2 2www.mathschool-online.com 22

www.mathschool-online.com Εξίσωση έλλειψηςΗεξίσωση της έλλειψης με εστίες τα σημεία Ε1 (−γ,0),Ε2 (γ,0) και σταθερό άθροισμα 2α, είναιx2 + y2 =1, όπου β= α2 -γ2α2 β2www.mathschool-online.com 23

www.mathschool-online.com Παράδειγμα ΈστωΕ1 (−4,0),Ε2 (4,0) ,οπότεγ=4και έστω το σταθερό άθροισμα 2α=10 ⇔ α=5 Σημείωση Αυτό σημαίνει ότι εάν Μ(x1 ,y1 )είναι ένα τυχαίο σημείο της έλλειψηςx2 + y2 =1, όπου β= α2 -γ2α2 β2www.mathschool-online.com 24

www.mathschool-online.com τότε: ΜΕ1 +ΜΕ2 =2α=10Συνέχεια:β= α2 -=γ2 52 − 42β=3www.mathschool-online.com 25

www.mathschool-online.com Επομένως x2 + y2 =1 α2 β2 x2 + y2 =1 52 32Η εξίσωση της έλλειψηςμε εστίες τα σημεία : Ε1 (0,−γ),Ε2 (0,γ) και σταθερό άθροισμα 2α, είναιx2 + y2 =1, όπου β= α2 -γ2β2 α2Eάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online!www.mathschool-online.com 26

www.mathschool-online.com Διαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικών Γενικά επαναληπτικά θέματα και απαντήσεις για εξάσκηση Β΄ Λυκείου-Γεωμετρία Περιεχόμενα Μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο Εμβαδά Μέτρηση κύκλου 1.Ι)Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( Aˆ=900 ) φέρνουμε το ύψος ΑΔ .Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις Α) ΑΒ2+ΑΓ2= Β) ΑΒ2= Γ) BΔ.ΔΓ= ΙΙ)Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ , ( Aˆ=900 ) είναι ΑΒ=3cm , ΑΓ=4cm. Φέρνουμε το ύψος ΑΔ , να υπολογισθούν τα μήκη των τμημάτων ΒΓ, ΒΔ , ΔΓ και ΑΔ. www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com 3.Ι) Να γράψετε το 1ο και το 2ο θεώρημα των διαμέσωνII) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι β=6cm , γ=8cm , μα=5cm. Να βρεθούν : α) το μήκος της πλευράς α β) το είδος του τριγώνου γ) τη προβολή ΜΔ της μα πάνω στην α .4.Έστω Δ τυχαίο σημείο της διαμέσου ΒΜ ενός τριγώνου ΑΒΓ. Να δείξετε ότι ΕΑΒΔ=ΕΔΒΓ 5.Ι) Να συμπληρωθούν τα κενά στον επόμενο πίνακα :Κανονικό Τετράγωνο Κανονικό Ισόπλευροπολύγωνο εξάγωνο τρίγωνοΠλευρά λν λ4=R√2 α6= λ3= R√3Απόστημα ωˆ =900 R√3 /2 ανΚεντρική γωνία ωwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Γωνία φˆ=600πολυγώνου φ www.mathschool-online.com ΙΙ) Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R=10cmΚαι πλευρά λν=8√������ cm. Να βρεθεί το απόστημα του αν και το εμβαδόν του. Απαντήσεις1. Α) ΑΒ2+ΑΓ2=ΒΓ2 Β) ΑΒ2=ΒΓ.ΒΔ Γ) BΔ.ΔΓ=ΑΔ2www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comΔίνονται ΖητούνταιΟρθ. τρίγ. ΑΒΓ( Aˆ=900 )ΑΒ=3cm ΒΓ, ΒΔ , ΔΓ , ΑΔΑΓ=4cmύψος ΑΔwww.mathschool-online.com II) Α) ΑΒ2+ΑΓ2=ΒΓ2 → 9+16= ΒΓ2 → 25= ΒΓ2 → ΒΓ=√25 → ΒΓ=5Β) ΑΒ2=ΒΓ.ΒΔ →9=5.ΒΔ → ΒΔ=9/5 www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Γ) ΑΓ2=ΒΓ.ΓΔ →16=5.ΓΔ →ΓΔ=16/5Δ) BΔ.ΔΓ=ΑΔ2 → (9/5 ).(16/5)= ΑΔ2→ ΑΔ= 9.16 25 ΑΔ= 9.16 = 3.4 25 5 ΑΔ= 12 5 Τα παραπάνω αποτελούν δείγμα Καλή Ανάγνωση! www.mathschool-online.com

Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr Μαθηματικά Β΄ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύση ασκήσεων Πράξεις με διανύσματα Γεωμετρικοί τόποι Μέτρο διανύσματος 1η άσκησηΔίνονται τα διανύσματα v και w όπου v=(α-1,-2) και w=(β-2,α) Να βρεθούν τα α και β ώστε να ισχύουν τα εξής 1)v=w 2)3v-2w=0 Λύση 1) Θέλω v=w ισοδύναμα (α-1,-2)=(β-2,α) -> α-1=β-2 (1) και -2=α (2) Η (1) λόγω της (2) γίνεται -2-1=β-2->-3=β-2->-1=β->β=-1 Επομένως α=-2 και β=-1 2) 3v-2w=0 -> 3(α-1,-2)-2(β-2,α)=0-> (3α-3,-6)-(2β-4,2α)=0-> (3α-3-(2β-4),-6-2α)=(0,0)-> (3α-3-2β+4,-6-2α)=(0,0)-> Ηλεκτρονικό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 1