Απόδειξη ανισοτικών σχέσεων με τη χρήση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗΑπόδειξη ανισοτικών σχέσεων με τη χρήση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής

Στέλλα Σερεμετάκη ΜαθηματιΚΟΣΜαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ ΛυκείουΑπόδειξη ανισοτικών σχέσεων με τη χρήση του Θεωρήματος ΜέσηςΤιμήςΜεθοδολογίαΌταν θέλουμε να δείξουμε μια ανίσωση της μορφήςμ  f (β)  f (α)  Μ β  ααντικαθιστούμε το λόγο f (β)  f (α) με f΄(ξ) από το Θ.Μ.Τ βαεφόσον ισχύουν οι προυποθέσεις του Θ.Μ.Τ για τη συνάρτηση f στοδιάστημα [α,β]ΆσκησηΔίνεται η συνάρτηση f(x)=ex ,x>0 .1)Να εξετάσετε αν εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ στο διάστημα [0,x] ,x>02)Nα δείξετε ότι x<ex -1 <xex ,x>0ΛύσηH f(x)=ex ,x>0 έχει π.ο το R και είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο π.οτης.Επομένως η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο υποσύνολο [0,x] ,x>0του π.ο της.Άρα : f συνεχής στο 0, x  Rf παραγωγίσιμη στο (0, x)  RΕπομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο (0,x) ,x> 0, τέτοιο ώστεf΄(ξ)  f (x)  f (0)  f΄(ξ)  ex  e0  eξ  ex  e0  eξ  ex 1 x0 x x x(2)

Στέλλα Σερεμετάκη ΜαθηματιΚΟΣΌμως 0<ξ<x <-> e0 < eξ < ex (1) (διότι η f(x)=ex ,x>0 είναι γνησίωςαύξουσα)Η σχέση (1) λόγω της (2) γίνεται1  ex 1  ex  x  ex 1  xex , x  0 x