http://www.mathschool-online.com Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών Α΄Γυμνασίου Γεωμετρία Θεωρία και παραδείγματα Κεφάλαιο 1ο Περιεχόμενα1. Σημείο-Ευθύγραμμο τμήμα-Ευθεία-Ημιευθεία-Επίπεδο-Ημιεπίπεδο2. Γωνία-Μέτρηση γωνιών-Είδη γωνιών3. Παραπληρωματικές-Συμπληρωματικές-Κατακορυφήν γωνίες-Εφεξής και διαδοχικές γωνίες4. Mονάδες μέτρησης του μήκους-Μέσοευθυγράμμου τμήματος5. Θέσεις ευθειών στο επίπεδο-Απόσταση σημείουαπό ευθεία-Απόσταση παραλλήλων6. Κύκλος και στοιχεία του κύκλου-Επίκεντρη γωνία-Σχέση επίκεντρης γωνίας και του αντίστοιχουτόξου-Μέτρηση τόξου7. Θέσεις ευθείας και κύκλου http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Σημείο Το σημείο δεν έχει διαστάσεις , το παριστάνουμε με μία τελεία και το ονομάζουμε με ένα κεφαλαίο γράμμα. Π.χ , το σημείο Α : Α. Eυθύγραμμο τμήμα Εάν συνδέσουμε δύο σημεία Α , Βσχηματίζεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.Το Αονομάζεται αρχή του ευθυγράμμου τμήματοςκαι το Β ονομάζεται πέρας του ευθυγράμμου τμήματος. Π.χ, το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ Ευθεία Εάν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ τότε το νέο σχήμα http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com που δεν έχει αρχή ούτε τέλος ονομάζεται ευθεία. Π.χ, η ευθεία ε Ιδιότητες 1.Από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείεςΠ.χ,από το σημείο Α διέρχονται άπειρες ευθείες 2.Από δύο σημεία Α,Β διέρχεται μόνο μία ευθεία ε. Π.χ, από τα σημεία Α,Β διέρχεται μόνο η ευθεία ε http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Ημιευθεία Εάν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ από το ένα άκρο του,π.χ το Β τότε το νέο σχήμα που έχει αρχή το Α αλλά δεν έχει πέρας (τέλος)ονομάζεται ημιευθεία και συμβολίζεται με Αχ Π.χ, η ημιευθεία Αχ Αντικείμενες ημιευθείες Εάν Ο είναι ένα σημείο της ευθείας χχ΄τότε με αρχή το Ο ορίζονται δύο ημιευθείεςΟχ και Οχ΄ οι οποίες λέγονται αντικείμενες ημιευθείες . Eπομένως : δύο ημιευθείες ονομάζονται αντικείμενες όταν έχουν κοινή αρχή και έχουν τον ίδιο φορέα,π.χ την ευθεία χχ΄ http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.comΠ.χ, Οι Οχ και Οχ΄ ονομάζονται αντικείμενες ημιευθείες Επίπεδο Επίπεδο είναι μία επιφάνεια πάνω στην οποία εφαρμόζει παντού η ευθεία γραμμή Π.χ, το επίπεδο Π Ημιεπίπεδο Κάθε ευθεία ενός επιπέδου το χωρίζει σε δύοημιεπίπεδα.Π.χ, η ευθεία ε χωρίζει το επίπεδο Π σε δύο ημιεπίπεδα Π1 και Π2 http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Γωνία Θεωρώ δύο ημιευθείες Οχ και Οχ΄ με κοινή αρχή το σημείο Ο. Οι ημιευθείες Οχ και Οχ΄χωρίζουν το επίπεδοσε δύο περιοχές μία κυρτή Π1 και μία μη κυρτή Π2. Κάθε μία από τις περιοχές Π1 και Π2 μαζί μετις ημιευθείες Οχ και Οχ΄ ονομάζεται κυρτή καιμη κυρτή γωνία αντίστοιχα με κορυφή το σημείο Ο και πλευρές τις Οχ και Οχ΄ Π.χ , η κυρτή γωνία χΟˆχ΄ και η μη κυρτή γωνία χΟˆχ΄ http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Μονάδα μέτρησης των γωνιών Μονάδα μέτρησης των γωνιών είναι η μοίρα :1010=60΄,1΄=60΄΄.Π.χ, η γωνία χΟˆχ΄ είναι 1800 Κυρτή γωνία Η κυρτή γωνία είναι μικρότερη από 1800 ή ίση με 1800. Π.χ, η γωνία χΟˆχ΄ είναι 70μοίρες, δηλαδή είναι κυρτή ( μικρότερη από 180 μοίρες) http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Μη κυρτή γωνίαΗ μη κυρτή γωνία είναι μεγαλύτερη από 1800Π.χ , η γωνία χΟˆχ΄ είναι 290 μοίρες,δηλαδή είναι μη κυρτή (μεγαλύτερη από 180 μοίρες) Είδη γωνιών Ορθή γωνία Ορθή γωνία ονομάζεται η γωνία που έχει μέτρο ίσο με 900 .Π.χ, η γωνία χΑˆχ΄ είναι 90 μοίρες και ονομάζεται ορθή http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Ευθεία γωνία Ευθεία ονομάζεται η γωνία που έχει μέτρο ίσο με 1800 .Π.χ,η γωνία χΟˆχ΄ είναι 180 μοίρες και ονομάζεται ευθεία Οξεία γωνία Οξεία ονομάζεται η γωνία που έχει μέτρο μικρότερο από 900 Π.χ,η γωνία χΟˆχ΄ είναι 60 μοίρες.Επομένως,είναι οξεία γιατί είναιhttp://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com μικρότερη από 90 μοίρες Αμβλεία γωνία Αμβλεία ονομάζεται η γωνία που έχει μέτρο μεγαλύτερο από 900 Π.χ, η γωνία χΑˆχ΄ είναι 110 μοίρες.Επομένως, είναι αμβλεία γιατί είναι μεγαλύτερη από 90 μοίρες Πλήρης γωνία Πλήρης ονομάζεται η γωνία που το μέτρο της είναι 3600. Π.χ, η γωνία Οˆ είναι πλήρης, διότι �������=3600http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Παραπληρωματικές γωνίες Δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 1800 ονομάζονται παραπληρωματικές. Π.χ, οι γωνίες ωˆ και φˆ είναι παραπληρωματικές,διότι �������+�������=1800 Συμπληρωματικές γωνίες Οι γωνίες που έχουν άθροισμα 900 ονομάζονται συμπληρωματικές. Π.χ, οι γωνίες ωˆ και φˆ είναι συμπληρωματικές,διότι �������+�������=900http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Κατακορυφήν γωνίες Οι γωνίες που έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες ονομάζονται κατακορυφήν.Π.χ, οι γωνίες οι γωνίες ωˆ = χΟˆy΄ καιφˆ = χ΄Οˆy είναι κατακορυφήν.Επίσης και οιγωνίες zˆ = xOˆy και ρˆ = χ΄Οˆy΄ είναι κατακορυφήν Ιδιότητα των κατακορυφήν γωνιώνΟι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες: ωˆ =φˆ και zˆ=ρˆ http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Εφεξής γωνίες Δύο γωνίες ονομάζονται εφεξής όταν έχουν κοινή κορυφή και μια κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο.Π.χ, οι οι γωνίες ωˆ και φˆ είναι εφεξής,διότι έχουν κοινή κορυφή το σημείο Ο και κοινή πλευρά τη πλευρά Οχ. Διαδοχικές γωνίες Περισσότερες από δύο γωνίες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο καιhttp://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com καθεμιά από αυτές είναι εφεξής γωνία με τη προηγούμενη ή την επόμενη λέγονται διαδοχικές.Π.χ, οι γωνίες ωˆ, φˆ, zˆ, ρˆ ονομάζονται διαδοχικές Διχοτόμος γωνίας Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.Π.χ, η ευθεία δ είναι διχοτόμος της γωνίας χΟˆχ΄, διότιhttp://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Μονάδα μήκους Μονάδα μήκους είναι το μέτρο (1m) 1m=10dm=100cm=1000mm 1dm=10cm=100mm 1cm=10mm Πολλαπλάσιο του μέτρου 1km=1000m Υποδιαιρέσεις του μέτρου 1dm=(1/10)m 1cm=(1/100)m 1mm=(1/1000)m Μέσο ευθυγράμμου τμήματος Το μέσο χωρίζει το ευθύγραμμο τμήμα σε δύο ίσα τμήματα. Π.χ, το σημείο Μ χωρίζει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε δύο ίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΜ και ΜΒhttp://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Παράλληλες ευθείες Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου ονομάζονται παράλληλες όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο όσο και αν προεκταθούν.Π.χ, οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες. Τεμνόμενες ευθείες Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που έχουν ένα κοινό σημείο ονομάζονται τεμνόμενες.Το κοινό σημείο ονομάζεται σημείο τομής.Π.χ, οι ευθείες ε1 και ε2 είναι τεμνόμενες και το σημείο τομής τους είναι το Αhttp://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Συμπέρασμα: Δύο ευθείες του επιπέδου ή θα είναι παράλληλες ή θα τέμνονται. Προσοχή: Aπό ένα σημείο Α του επιπέδου διέρχεται μία μόνο παράλληλη ευθεία ε1 στην ευθεία ε2 Κάθετες ευθείες Δύο ευθείες του επιπέδου ονομάζονται κάθετες όταν σχηματίζουν γωνία 900. Π.χ, οι ευθείες ε1 και ε2 είναι κάθετες στο σημείο Α Απόσταση σημείου από ευθεία Απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε ονομάζεται το κάθετοhttp://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com ευθύγραμμο τμήμα από το σημείο Α προς την ευθεία ε1. Π.χ, το ΑΒ είναι η απόσταση του Α από την ευθεία ε1 Απόσταση παραλλήλων ευθειών Απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών ονομάζεται το μήκος οποιουδήποτε ευθύγραμμου τμήματος που είναι κάθετο στις δύο παράλληλες ευθείες και έχει τα άκρα του σε αυτές. Π.χ, το ΑΒ είναι η απόσταση των παράλληλων ευθειών ε1 και ε2http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Κύκλος Κύκλος ονομάζεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σταθερό σημείο που ονομάζεται κέντρο του κύκλου. Π.χ, ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ και σταθερή απόσταση ρ που ονομάζεται ακτίνα του κύκλουΣυμβολισμός του κύκλου κέντρου Κ και ακτίνας ρ O κύκλος κέντρου Κ και ακτίνας ρ συμβολίζεται με (Κ,ρ) . Χορδή του κύκλου Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία Α και Β του κύκλου ονομάζεται χορδή.Π.χ, η ΑΒ είναι χορδή του κύκλου (Κ,ρ) http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Διάμετρος του κύκλου Η χορδή που περνάει από το κέντρο του κύκλου ονομάζεται διάμετρος. Π.χ, η ΑΒ είναι μία διάμετρος δ του κύκλου (Κ,ρ) Σχέση διαμέτρου και ακτίνας του κύκλου Η διάμετρος ενός κύκλου (Κ,ρ) είναι το διπλάσιο της ακτίνας του.Δηλαδή δ=2ρ Ιδιότητα της διαμέτρου του κύκλου Η διάμετρος χωρίζει το κύκλο σε δύο ίσα μέρη (ημικύκλια) Π.χ, η διάμετρος ΑΒ χωρίζει το κύκλο (Κ,ρ) σε δύο ίσα μέρηhttp://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Κυκλικός δίσκοςΚυκλικός δίσκος είναι ο κύκλος (Κ,ρ) μαζί με τομέρος του επιπέδου που περικλύει.Π.χ , οκύκλος (Κ,ρ) και το μέρος του επιπέδου πουπερικλύει Τόξο του κύκλουΔύο σημεία του κύκλου τον χωρίζουν σε δύομέρη που το καθένα λέγεται τόξο τουκύκλου.Π.χ, τα σημεία Α και Β χωρίζουν το κύκλο (Κ,ρ) σε δύο τόξα , το ΑΚΒ και το ΑΛΒ.http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Ίσοι κύκλοι Οι κύκλοι που έχουν ίσες ακτίνες είναι ίσοι.Π.χ, Αντιστρόφως Όταν δύο κύκλοι έχουν ίσες ακτίνες είναι ίσοι. Π.χ,οι κύκλοι (Ο,ρ) και (Μ,ρ) έχουν ίσες ακτίνες και επομένως είναι ίσοι. Επίκεντρη γωνία Η γωνία η οποία έχει ως κορυφή το κέντρο του κύκλου και οι πλευρές τιςhttp://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com τέμνουν το κύκλο ονομάζεται επίκεντρη. Π.χ, η γωνία χΟˆχ΄ =������� είναι επίκεντρη του κύκλου (Ο,ρ) Τόξο της επίκεντρης γωνίας Αν οι πλευρές της επίκεντρης γωνίας τέμνουν το κύκλο (Ο,ρ) στα σημεία Α και Β το τόξο που βρίσκεται στο εσωτερικό της κυρτής γωνίας ονομάζεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας χΟˆχ΄ =������� Π.χ,το τόξο ΑΛΒ είναι το αντίστοιχοτόξο της επίκεντρης γωνίας χΟˆχ΄ =������� http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.comΙδιότητα: Σε ίσους κύκλους ή στον ίδιο κύκλοίσες επίκεντρες γωνίες έχουν ίσα αντίστοιχατόξα.Π.χ,οι επίκεντρες γωνίες ������� και ������� είναι ίσες,δηλαδή ,�������=������� , αυτό σημαίνει ότι και τα τόξα ΑΛΒ και ΒΝΓ είναι ίσα. ΑντιστρόφωςΣε ίσους κύκλους ή στον ίδιο κύκλο ίσα τόξαέχουν ίσες τις επίκεντρες γωνίες τους. Π.χ, τα τόξα ΑΛΒ και ΒΝΓ είναι ίσα επομένως και οι αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες τους ������� και ������� είναι ίσες http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Θέσεις ευθείας και κύκλου Εξωτερική ευθεία του κύκλου Μια ευθεία ε1 λέγεται εξωτερική του κύκλου όταν η απόσταση ΟΜ του κέντρου του κύκλου από την ευθεία ε1 είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα,π.χ Εφαπτόμενη του κύκλου Μια ευθεία ε1 λέγεται εφαπτόμενη του κύκλου όταν η απόσταση ΟΜ του κέντρου του κύκλου από την ευθεία ε1 είναι ίση με την ακτίνα ρ. Π.χ,http://www.mathschool-online.com
http://www.mathschool-online.com Τέμνουσα του κύκλου Μια ευθεία ε1 λέγεται εξωτερική του κύκλου όταν η απόσταση ΟΜ του κέντρου του κύκλου από την ευθεία ε1 είναι μικρότερη από την ακτίνα ρ. Π.χ, Σημείωση: Λέγοντας απόσταση εννοούμε την κάθετο !Εάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Καλή ανάγνωση ! http://www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com Διαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικών Προαγωγικές εξετάσεις Α΄ Γ υμνασίου Περιόδου Μαίου –Ιουνίου 2010 18/05/2010 Θέματα και απαντήσεις Θεωρία 1.Πότε δύο αριθμοί λέγονται πρώτοι.Να δωθεί ένα παράδειγμα Απάντηση α) Δύο αριθμοί α,β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους όταν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι η μονάδα. Δηλαδή : ΜΚΔ(α,β)=1Π.χ, οι αριθμοί 2,7 είναι πρώτοι διότι ΜΚΔ(2,7)=1Τι ονομάζουμε ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων αριθμών Απάντηση b) Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ήπερισσότερων αριθμών ονομάζουμε το μικρότερο www.mathschool-online.com 1
www.mathschool-online.com από τα κοινά πολλαπλάσια τους. (σελίδα 27 του σχολικού βιβλίου) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος Απάντηση c)i) Σ, ο αριθμός 2010 λήγει σε ένα μηδενικό επομένως διαιρείται με το 10.ii) Λ, ο αριθμός 1453 δεν διαιρείται με το 3 διότι το άθροισμα των ψηφίων του,δηλαδή 1+4+5+3=13 δεν διαιρείται με το 3.iii)Σ, ο αριθμός 1821 διαιρείται με το 1 διότι κάθε αριθμός διαιρείται με τη μονάδα. (σελίδα 27 και 28 του σχολικού βιβλίου) Θεωρία 2. Πότε δύο γωνίες λέγονται κατακορυφήν Απάντηση α) Δύο γωνίες ω1 και ω2 λέγονται κατακορυφήν όταν έχουν κοινή κορυφή Ο και οι πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες. www.mathschool-online.com 2
www.mathschool-online.com (σελίδα 176 του σχολικού βιβλίου) Πότε δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές.Να βρεθεί η παραπληρωματική της γωνίας θ=600 Απάντησηb) Δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές όταν έχουν άθροισμα 1800. Η παραπληρωματική γωνία της θ=600 είναι η γωνία των 1200. Πράγματι: 1200+θ=1200+600=1800c)Να αντιστοιχίσετε κάθε γωνία της στήλης Α με τη συμπληρωματικήτης από τη στήλη Β www.mathschool-online.com 3
www.mathschool-online.comΣτήλη Α Στήλη Β i)300 c)300 ii)450 b)450iii)600 a)600www.mathschool-online.com Απάντησηc)Για να αντιστοιχίσω κάθε γωνία της στήλης Α μετη συμπληρωματική της από τη στήλη Β πρέπει ναγνωρίζω ότι εφόσον είναι συμπληρωματικές έχουν άθροισμα 900Στήλη Α Στήλη Β i)300 c)600ii)450 b)450iii)600 a)300www.mathschool-online.com Άσκηση 1.Να υπολογιστούν οι τιμές των παρακάτω παραστάσεων α) Α=(+3)+(-4)+(+1) β) B=(+4/6)-(-3/6)+(-12/6) www.mathschool-online.com 4
www.mathschool-online.com Απάντηση α) Α=(+3)+(-4)+(+1)=(-1)+(+1)=0 β) B=(+4/6)-(-3/6)+(-12/6)Βρίσκω το ΕΚΠ των παρονομαστών για να μετατρέψω τα κλάσματα σε ομώνυμα ΕΚΠ=6, επομένως:B=(+4/6)-(-3/6)+(-12/6)=4/6 + 3/6 - 12/6= 7/6 - 12/6 = -5/6 Άσκηση 2.Δίνονται (Υπόθεση) Ζητούνται ΑΒ//ΕΔ Α�,Β�, Γ�β=450,γ=450 Νδο το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθ. και ισοσκελέςwww.mathschool-online.comwww.mathschool-online.com 5
www.mathschool-online.com Απόδειξη α) Γνωρίζω από την Υπόθεση ότι β=450 Επομένως �������= β=450 Επίσης Γνωρίζω από την Υπόθεση ότι ΑΒ//ΕΔκαι ότι οι ευθείες ΑΒ και ΕΔ τέμνονται από μια τρίτη ευθεία την ΕΒ. Αυτό σημαίνει ότι οι εντός εναλλάξ γωνίες που σχηματίζονται είναι ίσες. Δηλαδή: ������� = γ = 450 (σελ.215 σχολικού βιβλίου) α),b)Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι �������+������� +�������=1800→ 450+450+Γ�=1800→ 900+Γ�=1800→ Γ�=1800-900→ �������=900 δηλαδή Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο www.mathschool-online.com 6
www.mathschool-online.com(σελ.221 σχολικού βιβλίου)Δείξαμε ότι�������= ������� =450 Αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναιισοσκελές (οι προσκείμενες στη βάση ΑΒ γωνίες είναι ίσες : Α�= Β� =450)(σελ.221 σχολικού βιβλίου)Άσκηση 3.Οι μαθητές της Α΄ Γυμνασίου διαγωνίστηκαν στα μαθηματικά.Αν γνωρίζουμε ότι το 1/4έγραψε κάτω από τη βάση και ότι 45 μαθητές έγραψαν πάνω από τη βάση,να βρεθεία)πόσοι ήταν οι μαθητές της Α΄ Γυμνασίουβ)τί ποσοστό έγραψε κάτω από τη βάση ΑπάντησηΈστω x το σύνολο των μαθητών της Α΄ Γυμνασίου.α) Γνωρίζουμε ότι το 1/4των μαθητών έγραψε κάτω από τη βάση.Αυτό σημαίνει ότι οι ������ x ������www.mathschool-online.com7
www.mathschool-online.com μαθητές έγραψαν κάτω από τη βάση,ενώ οι 45 μαθητές έγραψαν πάνω από τη βάσηΕπομένως:(Σύνολο των μαθητών) – (45 μαθ. πάνω από τη βάση) =(μαθητές που έγραψαν κάτω από τη βάση)Ισοδύναμαx- 45 = ������ x→ ������Λύνω την εξίσωση ως προς x.Mεταφέρω τον άγνωστο στο 1ο μέρος και τον γνωστό στο 2ο μέρος:x- ������ x=45→ ������ ΕΚΠ=44x - x = 45→4 43x4 = 45→ 3x = 45 4 1Πολλαπλασιάζω χιαστή : 3x .1 = 4.45→www.mathschool-online.com 8
www.mathschool-online.com3x=180→3������ = 180 →3 3x= 60 μαθητέςβ) Το ποσοστό των μαθητών που έγραψε πάνω από τη βάση υπολογίζεται ως εξής:Ποσοστό των μαθητών που έγραψε πάνω από τη 45 βάση : 60 100=0,75.100=75% (σελίδα 75 και σελίδα 80,δραστηριότητα 2. ,του σχολικού βιβλίου)Εάν έχεις οποιαδήποτε απορία ή δεν καταλαβαίνεις τις ασκήσεις ή τη θεωρία μη διστάσεις να ρωτήσεις!Επικοινώνησε με τοhttp://www.mathschool-onlie.comKαλή Επιτυχία!www.mathschool-online.com 9
Search
