http://www.mathschool-online.com Διαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικών Τυπολόγιο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου Φυσικοί αριθμοί Οι αριθμοί 0,1,2,3,4,..., λέγονται φυσικοί αριθμοί. Ιδιότητα των φυσικών Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενοφυσικό αριθμό και έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό. ΕξαίρεσηΟ φυσικός αριθμός 0, έχει μόνο επόμενο, τον φυσικό αριθμό 1 και όχι προηγούμενο.Συνολοθεωρητική προσέγγιση των φυσικών αριθμώνΞεκινώ με τη παραδοχή ενός κενού συνόλου (συνόλου που δεν έχει κανένα στοιχείο καισυμβολίζεται με ∅ ) που ονομάζω μηδέν 0. http://www.mathschool-online.com 1
http://www.mathschool-online.com Επομένως 0=∅, 1={0}, 2={0,1}, 3={0,1,2},..., n+1={0,1,2,...,n}.Συμβολίζω το σύνολο των φυσικών αριθμών με Ν, οπότε Ν={0,1,2,...,n,... }. Ιδιότητες της πρόσθεσης φυσικών αριθμών Αντιμεταθετική α+β=β+α,π.χ 2+3=3+2=5 Προσεταιριστική α+(β+γ)=(α+β)+γ,π.χ 2+(3+5)=(2+3)+5=10 Το Ουδέτερο στοιχείο,0, της πρόσθεσης α+0=0+α=α,π.χ 2+0=0+2=2 http://www.mathschool-online.com 2
http://www.mathschool-online.com Ιδιότητες του πολ/σμού φυσικών αριθμών Αντιμεταθετική α.β=β.α,π.χ 2.3=3.2=6 Προσεταιριστική α.(β.γ)=(α.β).γ,π.χ 2.(3.4)=(2.3).4=24 Το μοναδιαίο στοιχείο 1, του πολ/σμού α.1=1.α=α,π.χ 2.1=1.2=2 Το αποροφητικό στοιχείο 0, του πολ/σμού α.0=0.α=0,π.χ 2.0=0.2=0 Επιμεριστική ιδιότητα α.(β+γ)=α.β+α.γ,π.χ http://www.mathschool-online.com 3
http://www.mathschool-online.com 2.(1+3)=2.1+2.3=8 και α.(β-γ)=α.β-α.γ,π.χ 2.(3-1)=2.3-2.1=4 Δύναμη του αριθμού α στη ν-ιοστή aν =α.α.α...α, (ν φορές) Π.χ,a3=α.α.α, (3, φορές) αν α=2, 23=2.2.2=8 Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Δ=δ.π+υ όπου υ μεγαλύτερο ή ίσο του 0 και μικρότερο του δ. Δ- διαιρετέος,δ-διαιρέτης,π-πηλίκο,υ- υπόλοιπο.Αν υ=0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια. Π.χ, 10/2=5 http://www.mathschool-online.com 4
http://www.mathschool-online.com επομένως 10=2.5+0.Οι αριθμοί 2,5 λέγονται τέλειοι διαιρέτες του 10 γιατί διαιρούντο 10 ακριβώς (δεν αφήνουν υπόλοιπο) ΕΚΠΤο μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια που έχουν δυο ή περισσότεροι αριθμοί λέγεται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο ΜΚΔ Ο μεγαλύτερος από τους κοινούςδιαιρέτες που έχουν δυο ή περισσοτεροί αριθμοί λέγεται μέγιστος κοινός διαιρέτης Πρώτος αριθμός Ο αριθμός που έχει διαιρέτες ΜΟΝΟ τον εαυτό του και τη μονάδα.Π.χ,ο 5 διαιρείται μόνο με το 5 και το 1 http://www.mathschool-online.com 5
http://www.mathschool-online.com Κριτήρια Διαιρετότητας Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται (τέλεια) με το : 2,αν λήγει σε 0,2,4,6,8 Π.χ, το 254 διαιρείται με το 2,διότι λήγει σε 4 3,αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. Π.χ, το 84διαιρείται με το 3, διότι 8+4=12, το 3 διαιρεί το 12 άρα και το 84 5,αν λήγει σε 0 ή 5 Π.χ, το 340 διαιρείται με το 5,διότι λήγει σε 0 Π.χ, το 345 διαιρείται με το 5,διότι λήγει σε 5 10,aν λήγει σε 0 http://www.mathschool-online.com 6
http://www.mathschool-online.com Π.χ, το 130διαιρείται με το 10,διότι λήγει σε 0 Είδη εξισώσεων Εξίσωση χ+β=0 χ+β=0<->χ=-β,π.χ χ+2=0<->χ=-2 Εξίσωση χ-β=0 χ-β=0<->χ=+β, π.χ χ-2=0<->χ=+2Εξίσωση αχ+β=0,α ≠ 0αχ+β=0<->αχ=-βαχ=-β<-> αχ = -β αααα=χ -β <->χ= -β α αhttp://www.mathschool-online.com 7
http://www.mathschool-online.comΠ.χ, 2χ+3=0<->2χ=-3 2χ=-3<-> 2χ = -3 22 22=χ -3 <->χ= -3 2 2Η αδύνατη εξίσωση 0.χ=α(όπου το α δεν είναι μηδέν)Π.χ, 0.χ=2, αδύνατηΗ ταυτότητα ή αόριστη εξίσωση 0.χ=0 ΑναλογίαΑναλογία είναι η ισότητα δύο λόγων :α= γ ,ισοδύναμα,βδα.δ=β.γ, π.χ,2= 4 , ισοδύναμα,3 62=.6 3=.4 12http://www.mathschool-online.com 8
http://www.mathschool-online.com Ανάλογα ποσάΔύο ποσά χ,y,είναι ανάλογα αν και μόνο αν ισχύει η σχέση:y =a, δηλ .έχουν σταθερό λόγο,xισοδύναμα, y=ax.Το α λέγε-ται συντελεστής αναλογίαςΠ.χ,τα ποσά 4,2 είναι ανάλογα διότι, 4 =2, (δηλ. έχουν στα- 2θερό λόγο), ισοδύναμα, 4=2.2,όπου ο συντελεστής αναλογίαςείναι ο α=2 Αντιστρόφως Ανάλογα ποσάΔύο ποσά χ,y,είναι αντιστρόφως ανάλογα αν και μόνο αν ισχύει η σχέσηy = a xhttp://www.mathschool-online.com 9
http://www.mathschool-online.com y = a με χ,y διαφορετικά x από το 0. Ισοδύναμα, y.x = a, δηλ. έχουν σταθερό γινόμενο α Π.χ, έστω =4 12 ,τα ποσά 4,3 3 είναι αντιστρόφως ανάλογα, ισοδύναμα 4.3=12, με σταθερό γινόμενο α=12 Ακέραιοι αριθμοί Οι φυσικοί μαζί με τους αρνητικούς,π.χ,...,-3,-2,- 1,0,1,2,3,... Ρητοί αριθμοί Οι αριθμοί της μορφής μ/ν όπου οι μ,ν είναι ακέραιοι και ν≠0http://www.mathschool-online.com 10
http://www.mathschool-online.com Π.χ, 4/5 Eάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Kαλή ανάγνωση !http://www.mathschool-online.com 11
http://www.mathschool-online.com Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου - Φυσικοί αριθμοί Περιεχόμενα 1.Oρισμός των φυσικών αριθμών-2.Πράξεις μεταξύ φυσικών αριθμών και ιδιότητες –3.Δυνάμεις φυσικών αριθμών – 4.Προτεραιότητα των πράξεων Ποιοι αριθμοί λέγονται φυσικοί Οι αριθμοί 0,1,2,3,4,..., λέγονται φυσικοί αριθμοί. Ιδιότητα των φυσικών Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο φυσικό αριθμό και έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό. Εξαίρεση Ο φυσικός αριθμός 0, έχει μόνο επόμενο, τον φυσικό αριθμό 1 και όχι προηγούμενο. Συνολοθεωρητική προσέγγιση των φυσικών αριθμών Ξεκινώ με τη παραδοχή ενός κενού συνόλου (συνόλου που δεν έχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται με ) που ονομάζω μηδέν 0. http://www.mathschool-online.com 1
http://www.mathschool-online.com Επομένως 0= , 1={0}, 2={0,1}, 3={0,1,2},..., n+1={0,1,2,...,n}.Συμβολίζω το σύνολο των φυσικών αριθμών με Ν, οπότε Ν={0,1,2,...,n,... }. Κατηγορίες φυσικών αριθμώνΟι φυσικοί αριθμοί χωρίζονται στους άρτιους που διαιρούνται με το 2 , π.χ 2,4,6,8,κ.λ.π και στους περιττούς που δεν διαιρούνται με το 2 , π.χ 1,3,5,7,9,κ.λ.π Σημείωση Χρησιμοποιώντας τα δέκα γνωστά ψηφία 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 μπορούμε να σχηματίσουμε απεριόριστο πλήθος φυσικών αριθμών. Π.χ 1,4,12,34,567,983,1234,13456,κ.λ.π Διάταξη των φυσικών αριθμώνΜπορούμε να συγκρίνουμε δύο φυσικούς αριθμούς μεταξύ τους. Επομένως μπορούμε και να τους διατάξουμε. Π.χ, θέλω να διατάξω τους φυσικούς
http://www.mathschool-online.com 0,2,1,5,12,21,3 κατά αύξουσα σειράμεγέθους,δηλαδή από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. Χρησιμοποιώ το σύμβολο < (μικρότερο) και έχω: 0<1<2<3<5<12<21 Eάν θέλω να τους διατάξω κατά φθίνουσα σειρά χρησιμοποιώ το σύμβολο > (μεγαλύτερο) Επομένως 21>12>5>3>2>1>0 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Η πράξη ( + ) με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β βρίσκω ένα τρίτο φυσικό αριθμό γ που ονομάζεται άθροισμά τους λέγεται πρόσθεση Γράφουμε α+β=γ Παράδειγμα έστω α ο φυσικός αριθμός 1 και β ο φυσικός αριθμός 2 Ονομάζω άθροισμα των φυσικων αριθμών 1 και 2 το φυσικό αριθμό 3 που προκύπτει από την πρόσθεση του φυσικού αριθμού 1 με το φυσικό αριθμό 2 Γράφουμε 1+2=3
http://www.mathschool-online.comΙδιότητες της πρόσθεσης φυσικών αριθμών Αντιμεταθετική α+β=β+α,π.χ 2+3=3+2=5 Προσεταιριστική α+(β+γ)=(α+β)+γ,π.χ 2+(3+5)=(2+3)+5=10 Το Ουδέτερο στοιχείο,0, της πρόσθεσης α+0=0+α=α,π.χ 2+0=0+2=2 Πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Η πράξη (. ) με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β βρίσκω ένα τρίτο φυσικό αριθμό γ που ονομάζεται γινόμενό τους λέγεται πολλαπλασιασμός και γράφω α.β=γ Ιδιότητες του πολ/σμού φυσικών αριθμών Αντιμεταθετική α.β=β.α,π.χ 2.3=3.2=6
http://www.mathschool-online.com Προσεταιριστική α. (β.γ)=(α.β).γ,π.χ 2.(3.4)=(2.3).4=24 Το μοναδιαίο στοιχείο 1, του πολ/σμού α.1=1.α=α,π.χ 2.1=1.2=2 Το αποροφητικό στοιχείο 0, του πολ/σμού α.0=0.α=0,π.χ 2.0=0.2=0 Επιμεριστική ιδιότητα α.(β+γ)=α.β+α.γ,π.χ 2.(1+3)=2.1+2.3=8 και α.(β-γ)=α.β-α.γ,π.χ 2.(3-1)=2.3-2.1=4 Δυνάμεις των φυσικών αριθμών Νιοστή δύναμη του φυσικού αριθμού αονομαζουμε το γινόμενο του α επί τον εαυτό του ν φορές.
http://www.mathschool-online.com Δηλαδή , Αν =α.α.α.α.α...α ν φορέςΟ αριθμός α λέγεται βάση της ν-οστής δύναμης και το ν λέγεται εκθέτης. Παράδειγμα 1ο Για α=2 και ν=3 έχω: 23=2.2.2=8 3 φορές το 2 επί τον εαυτό του ! Παράδειγμα 2ο Για α=3 και ν=2 έχω : 32=3.3=9 2 φορές το 3 επί τον εαυτό του ! Παραδείγματα 1.Λύση άσκησης 3 σελίδα 22 σχολικού βιβλίου21 2
http://www.mathschool-online.com22 2 2 423 2 2 2 2 4 24 2 2 2 2 2 8 2165 2 2 2 2 2 2 16 2362 2 2 2 2 2 2 2 32 2647 2 2 2 2 2 2 2 2 64 12288 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12829 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2562150 122 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 512 2.Λύση της άσκησης 4 σελίδα 22 σχ.βιβλ.102 10 10 100δηλαδή ένα και δύο μηδενικά202 20 20 2 10 2 10302 30 30 3 10 3 10
http://www.mathschool-online.comμε τον ίδιο τρόπο μπορείς κάνεις για εξάσκηση τατα επόμενα !3.Λύση άσκησης 5 103 10 10 10 203 20 20 20 2 10 2 10 2 10 303 30 30 30 3 10 3 10 3 10 με τον ίδιο τρόπο μπορείς κάνεις και τα επόμεναγια εξάσκηση ! Στέλλα Σερεμετάκη Μαθηματικός 6976842704
http://www.mathschool-online.com/ Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών A΄ Γυμνασίου-Κεφ.1ο-Οι φυσικοί αριθμοί Περιεχόμενα Ευκλείδεια διαίρεση- ΕΚΠ-ΜΚΔ - Πρώτοι αριθμοί Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Κριτήρια διαιρετότητας Ευκλείδεια διαίρεση Εάν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ καιυπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ τέτοιοι ώστε Δ=δ.π+υ όπου υ μεγαλύτερο ή ίσο του 0 και μικρότερο του δ (Δ- διαιρετέος,δ-διαιρέτης,π-πηλίκο,υ- υπόλοιπο ) τότε η διαίρεση αυτή ονομάζεται Ευκλείδεια διαίρεση Προσοχή ! http://www.mathschool-online.com 1
http://www.mathschool-online.com/ Πάντα πρέπει να εξετάζουμε εάν το υπόλοιπο υ ειναι μικρότερο του διαιρέτη δ,διαφορετικα δεν έχουμε ευκλείδεια διαίρεση! Παράδειγμα στην άσκηση 3 ,σελίδα 26 του σχ.βιβ. (β) η 762 = 38 ⋅ 19 + 40 , δεν ειναι ευκλ.διαίρεση ,διότι το υπόλοιπο τηςδιαίρεσης δηλαδή το 40 είναι μεγαλύτερο και του 38 και του 19. Λύση της άσκησης 3 σελ.263(α) είναι, 3(β) δεν είναι ,3(γ) είναι, 3(δ) είναι Αν έχεις απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Ευκλείδεια ταυτότητα Η ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ Δ=δ.π+υ ονομάζεται Ευκλείδεια ταυτότητα Παράδειγμα: Δ=30 και δ=5 έχω 30 ÷ 5 =6 http://www.mathschool-online.com 2
http://www.mathschool-online.com/δηλαδή το πηλίκο π είναι 6 και το υπόλοιπο υ είναι 0 επομένως η ευκλειδεια ταυτότητα είναι : 30=5.6+0 Τέλεια διαίρεση Αν υ=0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια.Π.χ, 10/2=5,επομένως 10=2.5+0.Οι αριθμοί 2,5 λέγονται τέλειοι διαιρέτες του 10 γιατί διαιρούν το 10 ακριβώς (δεν αφήνουν υπόλοιπο) Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α Είναι οι αριθμοί που προκύπτουν απο το πολ/σμό του αριθμού α με όλους τους φυσικόυς, δηλ.το 1.α ,το 2.α, το 3.α, το 4.α, κλπ (δες και τη παράγραφο Α.1.5 σελ.27 σχ.βιβ.) Παράδειγμα Τα πολ/σια του 2 είναι:1.2=2, 2.2=4, 3.2=6, 4.2=8, 5.2=10, 6.2=12, κλπ. Τα πολ/σια του 3 είναι: 1.3 =3, 2.3=6, 3.3=9, 4.3=12, 5.3=15, 6.3=18, 7.3=21,8.3=24, κλπ. http://www.mathschool-online.com 3
http://www.mathschool-online.com/ Κοινό πολλαπλάσιοΤο πολ/σιο που είναι κοινό και για το 2 και για το 3 είναι το 6 και λέγεται κοινό πολ/σιο των 2 και 3 Τα πολ/σια του 4 είναι: 1.4=4, 2.4=8, 3.4=12, 4.4=16, 5.4=20, 6.4=24,κλπ Eλάχιστο κοινό πολλαπλάσιο Τα κοινά πολ/σια των 3 και 4 είναι: το 12 καιτο 24 .Το μικρότερο από αυτά δηλαδή το 12 και λέγεται Ελάχιστο Κοινό Πολ/σιο των αριθμών 3 και 4 Γράφουμε λοιπόν ΕΚΠ (3,4)=12 δες και την εφαρμογή 1. σελιδά 27 σχ.βιβ. Επομένως: Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια που έχουν δυο ή περισσότεροι αριθμοί λέγεται ΕΚΠ Μέγιστός κοινός διαιρέτης Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) είναι ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες δύο ή περισσότερων αριθμών http://www.mathschool-online.com 4
http://www.mathschool-online.com/ Παραδείγματα Λύση άσκησης 7 σελ.30 σχ.βιβ. (α) ΜΚΔ (5,8)=1 Επεξήγηση : Oι διαιρέτες του 5 είναι ο 1 και ο 5 Ενώ οι διαιρέτες του 8 είναι ο 1,2,4 και ο 8Ο κοινός τους διαιρέτης είναι ο 1 και μάλιστα ειναιο ΜΚΔ aφού δεν υπάρχει άλλος κοινός διαιρέτης. (β) ΜΚΔ (16,24)=8 Επεξήγηση : οι διαιρέτες του 16 είναι οι 1, 2,4,8,16 Οι διαιρέτες του 24 είναι οι 1,2,3,4,6,8,12,24 Οι κοινοί διαιρέτες τους είναι οι 1,2,4,8 Ο μεγαλύτερος απο τους κοινούς διαιρέτες τους είναι ο 8 Δηλαδή ο ΜΚΔ τους είναι ο 8 (γ) ΜΚΔ (30,15)=15 http://www.mathschool-online.com 5
http://www.mathschool-online.com/ Επεξήγηση : οι διαιρέτες του 30 είναι οι 1,2,3,5,10,15,30 οι διαιρέτες του 15 είναι οι 1,3,5,15Ο μεγαλύτερος απο τους κοινούς διαιρέτες τους είναι ο 15 Δηλαδή ο ΜΚΔ τους είναι ο 15 (δ) ΜΚΔ (10,30,60)=10 Επεξήγηση : οι διαιρέτες του 10 είναι οι 1,2,5,10 του 30 είναι οι 1,2,3,5,10,15,30 του 60 είναι οι 1,2,3,4,5,6,10Ο μεγαλύτερος απο τους κοινούς διαιρέτες τους είναι ο 10 Δηλαδή ο ΜΚΔ τους είναι ο 10 (ε) ΜΚΔ (22,32,50)=2 Επεξήγηση : οι διαιρέτες του 22 είναι οι 1,2,11,22 του 32 είναι οι 1,2,4,8,16,32 http://www.mathschool-online.com 6
http://www.mathschool-online.com/ Ο μεγαλύτερος απο τους κοινούς διαιρέτες τους είναι ο 2 Δηλαδή ο ΜΚΔ τους είναι ο 2 Πρώτος αριθμός Ο αριθμός που έχει διαιρέτες ΜΟΝΟ τον εαυτό του και τη μονάδα. Π.χ, ο 5 διαιρείται μόνο με το 5 και το 1 Κριτήρια Διαιρετότητας Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται (τέλεια) με: το 2,αν λήγει σε 0,2,4,6,8Π.χ, το 254 διαιρείται με το 2,διότι λήγει σε 4το 3 ή το 9 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή το 9Π.χ,α) το 84 διαιρείται με το 3, διότι 8+4=12 Το 3 διαιρεί το 12 επομένως διαιρεί και το 84 Π.χ ,β) το 99 διαιρείται με το 9 διότι 9+9=18 Το 9 διαιρεί το 18 επομένως διαιρεί και το 99το 5,αν λήγει σε 0 ή 5 http://www.mathschool-online.com 7
http://www.mathschool-online.com/Π.χ,α) το 340 διαιρείται με το 5,διότι λήγει σε0Π.χ, β) το 345 διαιρείται με το 5,διότι λήγεισε 5το 10,aν λήγει σε 0Π.χ, το 130 διαιρείται με το 10,διότι λήγει σε 0το 4 ή το 25, αν τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 4 ή το 25 αντίστοιχα.Π.χ ,α) το 124 διαιρείται με το 4 διότι τα δύοτελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό 24 πουδιαιρείται διαιρείται με το 4Π.χ , β) το 225 διαιρείται με το 25 διότι ταδύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό 25που διαιρείται με το 25Π.χ,γ) το 120 διαιρείται με το 4 διότι τα δύοτελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό 20 πουδιαιρείται διαιρείται με το 4 http://www.mathschool-online.com 8
http://www.mathschool-online.com/Πως αναλύουμε τους φυσικούς αριθμούς σε παράγοντες με τη βοήθεια των Κριτηρίων Διαιρετότητας Παραδείγματα Λύση της άσκησης 12 σελίδα 30 σχ.βιβa)78 2 Σχηματίζουμε το εξής δένδρο39 3 78 ÷ 2 =3913 13 39 ÷ 3 =13 1 13 ÷ 13 =1 Επομένως : 78 = 2 ⋅ 3 ⋅ 13β)348 2 348 ÷ 2 =174 174 2 87 3 174 ÷ 2 =87 29 29 87 ÷ 3 =29 1 29 ÷ 29 =1 Επομένως : 348 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 29 348 = 22 ⋅ 3 ⋅ 29http://www.mathschool-online.com 9
http://www.mathschool-online.com/γ)1210 2 1210 ÷ 2 =605 605 5 605 ÷ 5 =121 121 121 121 ÷ 121 =1 Eπομένως:1 1210 = 2 ⋅ 5 ⋅ 121δ)2344 2 2344 ÷ 2 =11721172 2586 2 1172 ÷ 2 =586293 2931 586 ÷ 2 =293 293 ÷ 293 =1 Επομένως : 2344= 23 ⋅ 293http://www.mathschool-online.com 10
http://www.mathschool-online.com/ ΣΥΜΒΟΥΛΗΝΑ ΜΑΘΕΙΣ ΠΟΛΥ ΚΑΛΑ ΤΗΝ ΠΡΟΠΑΙΔΕΙΑβοηθά στο να βρίσκεις τους διαιρέτες των φυσικών αριθμών. Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Καλή ανάγνωση ! http://www.mathschool-online.com 11
www.mathschool-online.comΔιαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικών Γενικά Επαναληπτικά Θέματα με τις απαντήσεις τους για εξάσκηση Α΄ Γυμνασίου Οι φυσικοί αριθμοί 1. Ι) Να γράψετε την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς τη πρόσθεση και την αφαίρεση. ΙΙ) Να γίνουν οι επιμεριστικές πράξεις α) 2.(α+β)= β) 4.(α+1)= 2. Ι) Να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. ΙΙ) Πότε λέμε ότι η Ευκλείδεια διαίρεση είναι τέλεια; www.mathschool-online.com 1
www.mathschool-online.com ΙΙΙ) Ποιες από τις παρακάτω ισότητες εκφράζουν την Ευκλείδεια διαίρεση; α) 120=28.4+8, β) 1345=59.21+1063.Ποιά είναι η προτεραιότητα των πράξεων; II) Να γίνουν οι πράξεις α) 22-2.2+ (3+1)= β) (22-2.2).2+ 1=4.Ι) Τί ονομάζουμε ΕΚΠ και τι ΜΚΔ δύο αριθμών; II) Να βρεθούν το ΕΚΠ και ο ΜΚΔ των αριθμών 2,6ΙΙΙ)α) O αριθμός 5 είναι πρώτος και γιατί; www.mathschool-online.com 2
www.mathschool-online.comβ) Ο ΜΚΔ (2,7) = 1.Πώς λέγονται οι αριθμοί 2 και 7; 5. I) Ποια είναι τα κριτήρια της διαιρετότητας; II) Να βρεθούν οι διαιρέτες των αριθμών α) 222, β) 200, γ) 255, δ) 112 Απαντήσεις 1. Ι) Επιμεριστική ιδιότητα α.(β+γ)=α.β+α.γ α.(β-γ)=α.β-α.γ ΙΙ) α) 2.(α+β)=2.α+2.β β) 4.(α+1)=4.α+4.1=4.α+42. Ι) Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι www.mathschool-online.com 3
www.mathschool-online.com Δ=δ.π+υ , 0≤υ≤δ Το Δ λέγεται διαιρετέος,το δ διαιρέτης, το π πηλίκο και το υ υπόλοιπο.ΙΙ) Η Ευκλείδεια διαίρεση είναι τέλεια ΟΤΑΝ υ=0 οπότε η Ευκλείδεια ταυτότητα γράφεται Δ=δ.π ΙΙΙ) Στην α) 120=28.4+8 Έχω το υ=8<28, όπου 28=δ Δηλαδή το υπόλοιπο υ=28 είναι μικρότερο από τον διαιρέτη δ που είναι το 28. Άρα η α) εκφράζει την Ευκλείδεια διαίρεση. www.mathschool-online.com 4
www.mathschool-online.com Στην περίπτωση β) 1345=59.21+106 το υ=106>59, και υ=106 > 21 Δηλαδή το υπόλοιπο υ=106 είναιμεγαλύτερο από το 59 και από το 21.Άρα η β) δεν εκφράζει την Ευκλείδεια διαίρεση.3.Η προτεραιότητα των πράξεων είναι Δυνάμεις→ Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις→ Προσθέσεις και αφαιρέσεις II) α) 22-2.2+ (3+1)=4-4+4=0+4=4 β) (22-2.2).2+ 1=(4-4).2+1= 0.2+1=0+1=1 www.mathschool-online.com 5
www.mathschool-online.com 4.Ι) Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια δύο αριθμών λέγεται ΕΚΠ (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο) Ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες που έχουν δύο αριθμοί λέγεται ΜΚΔ (μέγιστος κοινός διαιρέτης)II) Το ΕΚΠ και ο ΜΚΔ των αριθμών 2,6 είναι : ΕΚΠ=6 ΜΚΔ=2 ΙΙΙ) α) O αριθμός 5 είναι πρώτοςδιότι διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και με τη μονάδα. www.mathschool-online.com 6
www.mathschool-online.com β) Ο ΜΚΔ (2,7) = 1. Οι αριθμοί 2 και 7 λέγονται πρώτοι μεταξύ τους5. I)Τα κριτήρια της διαιρετότητας είναι:Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται : με το 10 , 100 , 1000 ,... αν λήγει σε 0 , 00 , 000 ,... με το 2, αν λήγει σε 0,2,4,6,8 με το 5 , αν λήγει σε 0, 5 με το 3 ή το 9 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή το 9, www.mathschool-online.com 7
www.mathschool-online.com π.χ, ο 36 διαιρείται με το 3 και με το 9, διότι 36: 3+6=9 το οποίο διαιρείται και με το 3 και με το 9II) Να βρεθούν οι διαιρέτες των αριθμών α) 222, β) 200, γ) 255, δ) 112 έχουμε:222 2 3200 100 2 5255 3 5112 2 4 Αν έχεις οποιαδήποτε απορίαεπικοινώνησε με το mathschool-online ! Καλή ανάγνωση !www.mathschool-online.com 8
http://www.mathschool-online.comΔιαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικών Τυπολόγιο Μαθηματικών Α΄ Γυμνασίου Γεωμετρία Η ημιευθεία Α1χ έχει αρχή το σημείο Α1 αλλά δεν έχει τέλος. Aπό δύο τυχαία σημεία Α,Β φέρνω μόνο μία ευθεία, την ΑΒ http://www.mathschool-online.com 1
http://www.mathschool-online.com Από ένα τυχαίο σημείο Α όμως διέρχονται άπειρες ευθείες.http://www.mathschool-online.com 2
http://www.mathschool-online.com Αντικείμενες ημιευθείεςΤο τυχαίο σημείο Ο χωρίζειμια ευθεία σε δύο ημιευθείες Ox1 καιOx2. Οι ημιευθείες Ox1 και Ox2ονομάζονται αντικείμενες ημιευθείες.http://www.mathschool-online.com 3
http://www.mathschool-online.com(οι αντικείμενες ημιευθείες έχουν κοινήαρχή και κοινό φορέα,π.χ,τον φορέατης ευθείας στην οποία βρίσκονται) Είδη ευθειών Τεμνόμενες ευθείες Οι τεμνόμενες ευθείες έχουν ένα σημείο τομήςhttp://www.mathschool-online.com 4
http://www.mathschool-online.comΤεμνόμενες κάθετα ευθείες (ε1 ⊥ ε2) Οι ευθείες ε1,ε2 σχηματίζουν γωνία 90 μοιρώνhttp://www.mathschool-online.com 5
http://www.mathschool-online.com Παράλληλες ευθείες (ε1 ⁄⁄ε2) Οι παράλληλες ευθείες δεν έχουν κανένα σημείο τομήςhttp://www.mathschool-online.com 6
http://www.mathschool-online.com Είδη γωνιών Κατακορυφήν γωνίες (ωˆ=φˆ)Έχουν κοινή κορυφή, οι πλευρές της μιαςείναι προεκτάσεις των πλευρών της άλλης Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες http://www.mathschool-online.com 7
http://www.mathschool-online.com Παραπληρωματικές γωνίες ωˆ +φˆ=1800 Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν άθροισμα 180 μοίρεςhttp://www.mathschool-online.com 8
http://www.mathschool-online.com Συμπληρωματικές γωνίες ωˆ +φˆ=900 Οι συμπληρωματικές γωνίες έχουν άθροισμα 90 μοίρεςhttp://www.mathschool-online.com 9
http://www.mathschool-online.com Εφεξής γωνίες Έχουν την ίδια κορυφή Ο, μία κοινή πλευρά Οχ2 και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείοhttp://www.mathschool-online.com 10
http://www.mathschool-online.com Κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας ρ ΑΒ=δ, διάμετρος του κύκλου ΟΒ=ΟΑ =ρ,ακτίνα ΑΒ=ΟΑ+ΟΒ=ρ+ρ=2ρhttp://www.mathschool-online.com 11
http://www.mathschool-online.com Επίκεντρη γωνία Η γωνία που έχει ως κορυφή το κέντρο του κύκλου και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλοΑν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Kαλή Ανάγνωση! http://www.mathschool-online.com 12
Search
