Λυμένες ασκήσεις (2)

www.mathschool-online.com Διαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικών Προαγωγικές εξετάσεις Α΄ Γ υμνασίου Περιόδου Μαίου –Ιουνίου 2010 18/05/2010 Θέματα και απαντήσεις Θεωρία 1.Πότε δύο αριθμοί λέγονται πρώτοι.Να δωθεί ένα παράδειγμα Απάντηση α) Δύο αριθμοί α,β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους όταν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι η μονάδα. Δηλαδή : ΜΚΔ(α,β)=1Π.χ, οι αριθμοί 2,7 είναι πρώτοι διότι ΜΚΔ(2,7)=1Τι ονομάζουμε ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων αριθμών Απάντηση b) Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ήπερισσότερων αριθμών ονομάζουμε το μικρότερο www.mathschool-online.com 1

www.mathschool-online.com από τα κοινά πολλαπλάσια τους. (σελίδα 27 του σχολικού βιβλίου) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος Απάντηση c)i) Σ, ο αριθμός 2010 λήγει σε ένα μηδενικό επομένως διαιρείται με το 10.ii) Λ, ο αριθμός 1453 δεν διαιρείται με το 3 διότι το άθροισμα των ψηφίων του,δηλαδή 1+4+5+3=13 δεν διαιρείται με το 3.iii)Σ, ο αριθμός 1821 διαιρείται με το 1 διότι κάθε αριθμός διαιρείται με τη μονάδα. (σελίδα 27 και 28 του σχολικού βιβλίου) Θεωρία 2. Πότε δύο γωνίες λέγονται κατακορυφήν Απάντηση α) Δύο γωνίες ω1 και ω2 λέγονται κατακορυφήν όταν έχουν κοινή κορυφή Ο και οι πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες. www.mathschool-online.com 2

www.mathschool-online.com (σελίδα 176 του σχολικού βιβλίου) Πότε δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές.Να βρεθεί η παραπληρωματική της γωνίας θ=600 Απάντησηb) Δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές όταν έχουν άθροισμα 1800. Η παραπληρωματική γωνία της θ=600 είναι η γωνία των 1200. Πράγματι: 1200+θ=1200+600=1800c)Να αντιστοιχίσετε κάθε γωνία της στήλης Α με τη συμπληρωματικήτης από τη στήλη Β www.mathschool-online.com 3

www.mathschool-online.comΣτήλη Α Στήλη Β i)300 c)300 ii)450 b)450iii)600 a)600www.mathschool-online.com Απάντησηc)Για να αντιστοιχίσω κάθε γωνία της στήλης Α μετη συμπληρωματική της από τη στήλη Β πρέπει ναγνωρίζω ότι εφόσον είναι συμπληρωματικές έχουν άθροισμα 900Στήλη Α Στήλη Β i)300 c)600ii)450 b)450iii)600 a)300www.mathschool-online.com Άσκηση 1.Να υπολογιστούν οι τιμές των παρακάτω παραστάσεων α) Α=(+3)+(-4)+(+1) β) B=(+4/6)-(-3/6)+(-12/6) www.mathschool-online.com 4

www.mathschool-online.com Απάντηση α) Α=(+3)+(-4)+(+1)=(-1)+(+1)=0 β) B=(+4/6)-(-3/6)+(-12/6)Βρίσκω το ΕΚΠ των παρονομαστών για να μετατρέψω τα κλάσματα σε ομώνυμα ΕΚΠ=6, επομένως:B=(+4/6)-(-3/6)+(-12/6)=4/6 + 3/6 - 12/6= 7/6 - 12/6 = -5/6 Άσκηση 2.Δίνονται (Υπόθεση) Ζητούνται ΑΒ//ΕΔ Α�,Β�, Γ�β=450,γ=450 Νδο το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθ. και ισοσκελέςwww.mathschool-online.comwww.mathschool-online.com 5

www.mathschool-online.com Απόδειξη α) Γνωρίζω από την Υπόθεση ότι β=450 Επομένως �������= β=450 Επίσης Γνωρίζω από την Υπόθεση ότι ΑΒ//ΕΔκαι ότι οι ευθείες ΑΒ και ΕΔ τέμνονται από μια τρίτη ευθεία την ΕΒ. Αυτό σημαίνει ότι οι εντός εναλλάξ γωνίες που σχηματίζονται είναι ίσες. Δηλαδή: ������� = γ = 450 (σελ.215 σχολικού βιβλίου) α),b)Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι �������+������� +�������=1800→ 450+450+Γ�=1800→ 900+Γ�=1800→ Γ�=1800-900→ �������=900 δηλαδή Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο www.mathschool-online.com 6

www.mathschool-online.com(σελ.221 σχολικού βιβλίου)Δείξαμε ότι�������= ������� =450 Αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναιισοσκελές (οι προσκείμενες στη βάση ΑΒ γωνίες είναι ίσες : Α�= Β� =450)(σελ.221 σχολικού βιβλίου)Άσκηση 3.Οι μαθητές της Α΄ Γυμνασίου διαγωνίστηκαν στα μαθηματικά.Αν γνωρίζουμε ότι το 1/4έγραψε κάτω από τη βάση και ότι 45 μαθητές έγραψαν πάνω από τη βάση,να βρεθεία)πόσοι ήταν οι μαθητές της Α΄ Γυμνασίουβ)τί ποσοστό έγραψε κάτω από τη βάση ΑπάντησηΈστω x το σύνολο των μαθητών της Α΄ Γυμνασίου.α) Γνωρίζουμε ότι το 1/4των μαθητών έγραψε κάτω από τη βάση.Αυτό σημαίνει ότι οι ������ x ������www.mathschool-online.com7

www.mathschool-online.com μαθητές έγραψαν κάτω από τη βάση,ενώ οι 45 μαθητές έγραψαν πάνω από τη βάσηΕπομένως:(Σύνολο των μαθητών) – (45 μαθ. πάνω από τη βάση) =(μαθητές που έγραψαν κάτω από τη βάση)Ισοδύναμαx- 45 = ������ x→ ������Λύνω την εξίσωση ως προς x.Mεταφέρω τον άγνωστο στο 1ο μέρος και τον γνωστό στο 2ο μέρος:x- ������ x=45→ ������ ΕΚΠ=44x - x = 45→4 43x4 = 45→ 3x = 45 4 1Πολλαπλασιάζω χιαστή : 3x .1 = 4.45→www.mathschool-online.com 8

www.mathschool-online.com3x=180→3������ = 180 →3 3x= 60 μαθητέςβ) Το ποσοστό των μαθητών που έγραψε πάνω από τη βάση υπολογίζεται ως εξής:Ποσοστό των μαθητών που έγραψε πάνω από τη 45 βάση : 60 100=0,75.100=75% (σελίδα 75 και σελίδα 80,δραστηριότητα 2. ,του σχολικού βιβλίου)Εάν έχεις οποιαδήποτε απορία ή δεν καταλαβαίνεις τις ασκήσεις ή τη θεωρία μη διστάσεις να ρωτήσεις!Επικοινώνησε με τοhttp://www.mathschool-onlie.comKαλή Επιτυχία!www.mathschool-online.com 9