Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Α λυκείου

ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΜΑΘΗ ΜΑΤΙΚΩΝhttp://www.mathschool-online.comΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ1.ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ2.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ3.ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟΥΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ4.ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ5.ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑΕΞΑΣΚΗΣΗ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ1.Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ•2.ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ3.ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΣΥΗ ΕΥΘΕΙΑΣ4.ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ5.ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

H ENNOIA THΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣια να έχω συνάρτηση f : y  f (x) πρέπει να έχω :1oν Ένα σύνολο από το οποίο παίρνει τιμέςτο x , δηλαδή το π.ο .2ον Ένα σύνολο από το οποίο παίρνει τιμέςτο y , δηλαδή το π.τ .3ον Τον αλγόριθμο της συνάρτησης fπ . χ , f (x)  2x 1 , π.ο = R , π.τ = R

H ENNOIA THΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣπ.ο = A ο αλγόριθμος της f : π.τ = Β y  f (x) 1/ 2 0 2κ.λ.π 1 1 1 κ.λ.π ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3  1O μηχανισμός της συνάρτησης έχει ως εξής :Σε κάθε x του π.ο αντιστοιχίζω ένα και μόνο y.Δηλαδή , για κάθε x υπάρχει ένα μόνο y.Π.χ , f (x)  2x 1 , π.ο : A = R , π.τ : B = Rx: 0 1 1 1 κ.λ.πy: 1 3 1 2 2

Πεδίο ορισμού της ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗσυνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΓια να βρω το π.ο μιας συνάρτησης εξετάζω εάνυπάρχουν περιορισμοί έτσι ώστε να είναι καλώςορισμένη η συνάρτηση. Για παράδειγμα , η συνάρ-τηση f (x)  1 x2 για να είναι καλώς ορισμένη πρέπει η υπόριζη ποσότητα 1 x2 να είναι θετικήή ίση με το μηδέν (όπως έχει ορισθεί η τετραγωνικήρίζα θετικού αριθμού).Επομένως , πρέπει 1 x2  0 1 x1 x  0  1  x  1. Άρα το π.ο της fείναι τα πραγματικά x που ανήκουν στο 1,1.

Παράδειγμα5. f (x)  2x (x -1)(x - 2) f ορίζεται σε όλο το R εκτός από τις τιμές ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣεκείνες για τις οποίες μηδενίζεται ο παρονο-μαστής. Πρέπει λοιπόν να θέσω το περιορισμό x 1(x -1)(x - 2)  0  x2Επομένως το π.ο της f είναι το R-{1,2}

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.102 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣi) f  x  4  5 , Για να βρω το πεδίο ορισμού της x 1συνάρτησης, δηλαδή το σύνολο από το οποίο παίρνειτιμές το x, πρέπει να απαιτήσω ο παρονομαστής του 4 να μην είναι μηδέν, διαφορετικά δεν έχει νόημαx 1ύπαρξης το κλάσμα και κατά συνέπεια η συνάρτηση.Πρεπει x 1  0  x  1.Άρα το πεδίο ορισμού της fείναι όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών εκτόςαπό τη τιμή 1, δηλαδή το Α=R 1.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.102 ΣΧ.Β.ii) f x  x2 16 ομοίως πρέπει x2  4x  0  xx  4  0 x2  4x , ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ x  0 και x  4  0  x  0 και x  4.Άρα το πεδίο ορισμού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣτης f είναι το Α=R 0, 4iii) f x  1 1 , ομοίως πρέπει x2 1 0  x2  1, Αόριστη, x2 δηλαδή ισχύει για όλα τα πραγματικά x.Επομένως το π.ο της f είναι το Α=R

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.102 ΣΧ.Βiv) f  x  1 , ομοίως πρέπει x  x  0, όμως x xαπό τον ορισμό του απολύτου x   x, x  0 Άρα ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  x, x  0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ x  x  x  x  2x, x  0 επομένως πρέπει x  0, x  x  0, x  0διότι εάν x  0 ή x  0 τότε x  x  0. Άρα το π.οτης f είναι το Α=(0,+).

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.ΣΕΛ.102 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣi) f  x  x 1  2  x ,για να έχει νόημα η ύπαρξητης συνάρτησης πρέπει να ορίζονται οι τετραγωνικέςρίζες, πρέπει δηλαδή η υπόριζες ποσότητες να μην εί-ναι αρνητικές. Επομένως πρέπει x 1  0  x  1 και2  x  0  x  2  x  2. Πρέπει να δω τώρα πουσυναληθεύουν οι παραπάνω ανισότητες. 0 1 2  

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.I)ΣΕΛ.102 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  0 1 2  Επομένως οι x  1 και x  2 συναληθεύουν όταν1  x  2, δηλαδή όταν x 1, 2. Επομένως το π.οτης f είναι το Α=1, 2.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.II)ΣΕΛ.102 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣf  x  x2  4, ομοίως πρέπει x2  4  0, Παραγο-ντοποιώ για να γίνει γινόμενο και να λύσω την ανι-σότητα, οπότε x2  4   x  2 x  2  0  2 2 x  2  x  2  x  2x  2   

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.II)ΣΕΛ.102 ΣΧ.Β.  2 2 x  2   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣx  2  x  2x  2   Επομένως  x  2 x  2  0  x  2 ή x  2,δηλ.όταν x , 2ή x 2, . Άρα το π.ο της f εί-ναι το Α= , 22, 

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.III)ΣΕΛ.102 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣf  x  x2  4x  3, ομοίως πρέπει  x2  4x  3  0  42  4.1.3  16 12  4  0. Στη συνέχειαθα βρείς τις ρίζες της  x2  4x  3  0 και θα σχεδιά-σεις το πινακάκι όπως στο προηγούμενο παράδειγμαγια να λύσεις την ανίσωση  x2  4x  3  0. Αφού λύ-σεις την ανίσωση, θα έχεις βρει που παίρνει τιμές το x,άρα θα γνωρίζεις το π.ο της f .Καλή επιτυχία! Αν έχειςπρόβλημα επικοινώνησε μαζί μου.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.IV)ΣΕΛ.102 ΣΧ.Βf  x  1 , εδώ πρέπει x  0 και x 1  0, x 1έτσι ώστε να ορίζονται η τετραγωνική ρίζα x, το ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣκλάσμα 1 και επομένως η συνάρτηση f  x  1 x 1 x 1Άρα x  0 και x 1  0  x  0 και x  1. Απαιτώνταςη υπόριζη ποσότητα του x να μην είναι αρνητική έχω x0  x  0 Άρα πρέπει x 0,  1  2  x  1 x  12Επομένως το π.ο της f είναι το Α=0,  1.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.102 ΣΧ.Βf  x   x3, x  0  x ,0 Για να βρω το 2x  3, x  0  x 0,  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣf 5 πρέπει να γνωρίζω ποιον από τους δύο κλά-δους της f θα χρησιμοποιήσω. Επειδή το  5, 0θα χρησιμοποιήσω τον πρώτο κλάδο.Επομένως f 5  53  125. Επειδή το 00, το f 0  2.0  3  f 0  3. Επειδή το 6 0,  τοf 6  2.6  3  f 6  15

ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΟΤΑΝ ΜΟΥ ΔΙΝΟΥΝ ΤΟΝ ΤΥΠΟ F(X) ΤΗΣΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ , ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΒΡΙΣΚΩΑΜΕΣΩΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΕΤΑΙ, ΔΗΛ.,ΤΟ ΠΕΔΙΟΟΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟΤΕΛΕΙΗ ΕΠΟΜΕΝΗ ΑΣΚΗΣΗ

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.102 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣf  x  4  5, πρέπει x 1  0  x  1, επομένως το x 1π.ο της f είναι το Α=R 1. Θέλω να λύσω την εξίσω-ση f  x  7, δηλαδή, 4  5  7, Το ΕΚΠ=x 1, άρα x 1 4  5  7   x 1. 4   x 1.5   x 1.7 x 1 x 14   x 1.5   x 1.7  4  5x  5  7x  7  5x  7x 4  5  7  2x  8  x  8  x  4, δεκτή , διότι , 2το x  4 ανήκει στο π.ο Α=R 1 της f .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΙΙ)ΣΕΛ.102 ΣΧ.Βg x  x2 16 , πρέπει x2  4x  0  xx  4  0  x2  4x ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ x  0 0  x  0 Άρα το π.ο της g είναι το Α=R 0, 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ x  4  x  4g  x  2  x2 16  2  x2 16  2, ΕΚΠ=x  x  4  0 x2  4x xx  4x  x  4 . x2 16  x  x  4.2 xx  4

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΙΙ)ΣΕΛ.102 ΣΧ.Βx  x  4. x2 16  x  x  4.2  x2 16  x  x  4.2 xx  4 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  x2 16  2. x2  4x  x2 16  2x2  8x x2  2x2  8x 16  0  x2  8x 16  0,Δ  82  4.1.16  64  64  0, Άρα x1 x2   8  8  x1  x2  4.  λύση που 2 2.  1βρήκα είναι δεκτή διότι το 4 ανήκει στο π.οΑ=R 0, 4 της g.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΙΙΙ) ΣΕΛ.102 ΣΧ.Βhx  1 πρέπει x2 1 0  x2  1, Αόριστη , x2 1,επαληθεύεται για όλα τα x στο R. Άρα το π.ο της hείναι το Α=R. Θέλω να λύσω την εξίσωση h  x  1 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5 έχω 1  1 , x2 1 5 ΕΚΠ=5 x2 1   5 x2 1 . 1  5 x2 1 . 1  x2 1 55  x2 1 x2  4  x   4 x  2, είναι δεκτή η λύση διότι οι τιμές  2 ανή-κουν στο π.ο Α=R της h.

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(X)=AX+BΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΗΣΗΚΑΜΠΥΛΗΣΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣΚΑΜΠΥΛΗΣ

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.110 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣi) Θέλω το σημείο Μ 2, 6 να ανήκει στη γραφικήπαράσταση f  x  x2  k, της συνάρτησης f . Αυτόσημαίνει ότι οι συντεταγμένες 2, 6 του σημείου Μπρέπει να επαληθεύουν την εξίσωση f  x  x2  kτης f , όπου το f  x  y, δηλαδή , f 2  22  k  622  k  6  k  6  4  k  2.Με τον ίδιο τρόπο λύνονται και οι επόμενες ασκήσειςii), iii) Αν έχεις οποιαδήποτε δυσκολία επικοινώνησεμε το mathschool-online !

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 8.ΣΕΛ.110 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΤο π.ορισμού της f με εξίσωση f  x  x  4 είναι το Α=Ri) Θέλω να βρω τις συντεταγμένες x και y του σημείουΜ το οποίο είναι κοινό για τη γραφική παράσταση τηςσυνάρτησης f με τύπο f  x  x  4 και για τον οριζόντιοάξονα xx΄. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο Μ επαληθεύει τηνεξίσωση f  x  y  x  4  και εφόσον είναι σημείοκαι του άξονα xx΄ η τεταγμένη του y θα είναι μηδέν, δηλα-δή θα έχει τη μορφή Μ=  x, 0 . Επομένως από τις και  έχω f  x  0  x  4  x  4. Άρα Μ= 4, 0

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 8.Ι)ΣΕΛ.110 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΈστω Ν  x, y το κοινό σημείο της γραφικής παράστασηςτης f με εξίσωση f  x  y  x  4 και του άξονα yy΄.Αυτό σημαίνει ότι το σημείο Ν επαληθεύει την εξίσωσηf  x  y  x  4 και επειδή βρίσκεται στον κάθετο άξοναyy΄ η τετμημένη του x είναι μηδέν, δηλαδή Ν= 0, y.Επομένως f 0  y  0  4  y  4. Άρα Ν= 0, 4.Με τον ίδιο τρόπο λύνονται και οι επόμενες ασκήσειςii)-vi).Αν έχεις οποιαδήποτε δυσκολία επικοινώνησε με τοmathschool-online!

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 9.ΣΕΛ.110 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣi) Το π.ο της f με εξίσωση f  x  x2 1 είναι το Α=R.Τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τουςάξονές xx΄ και yy΄,δηλαδή τα κοινά τους σημεία είναι τηςμορφής Μ  x, 0 και Ν 0, y και επαληθεύουν την εξίσωσηf  x  y  x2 1 αντίστοιχα. Επομένως f  x  0  x2 1x2  1  x  1 Άρα Μ 1, 0 ή Μ 1, 0και f 0  y  0 1  y  1 Άρα Ν 0, 1

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 9.ΣΕΛ.110 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣii) Πάνω από τον άξονα xx΄ είναι το θετικό τμήμα του άξοναyy΄ . Επομένως τα σημεία της γραφικής παράστασης της fμε εξίσωση f  x  y  x2 1 που βρίσκονται εκεί έχουν θετικόy, δηλαδή y  0  f  x  0  x2 1  0   x 1. x 1  0Oι ρίζες της τριωνυμικής εξίσωσης x2 1  0   x 1. x 1 0 είναι οι x1  1 και x2  1 και ο συντελεστής του x2 είναι το1 που είναι θετικός. Επομένως το τριώνυμο x2 1 είναι θετικόδηλαδή ομόσημο του 1 όταν το x παίρνει τιμές εκτός των ριζώνΆρα x2 1  0 όταν x  1 και x  1. Επομένως τα σημεία τηςγραφικής παράστασης της f που βρίσκονται πάνω απότον xx΄ έχουν τετμημένες x  1 και x  1.

Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ y  2x  2 ευθεία συμβολίζεται με την εξίσωση y   x   . Το ασυμβολίζει τη κλίση της και το σημείο Β με συντεταγμένες0,   το σημείο από το οποίο διέρχεται. Π.χ η εξίσωσηy  2x  2 συμβολίζει την ευθεία με κλίση  2 η οποίαδιέρχεται από το σημείο Β0, 2.

Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΑντιστρόφωςEάν γνωρίζω το  και το σημείο Β0,   τότε γνωρίζωτην εξίσωση της ευθείας. Π.χ. έστω ότι   2 και Β0, 2τότε η ευθεία έχει εξίσωση y  2x  2 και τη κατασκευά-ζω με το τρόπο που περιγράφω παρακάτω.

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ x0 1 y2 0Για να παραστήσω γραφικά την ευθεία y  2x  2  ε-κτός από το σημείο Β0, 2 χρειάζομαι άλλο ένα σημείοτης.Θέτω επομένως στην  την τυχαία τιμή y  0 καιέχω 0  2x  2  2x  2  x  1. Άρα το σημείοΑ 1, 0 είναι ένα δεύτερο σημείο της. Τώρα που γνωρίζωδύο σημεία Α 1, 0, Β0, 2 μπορώ να κατασκευάσωτην ευθεία.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.116 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣi)H ευθεία έχει εξίσωση y   x   .Η κλίση της είναι   1 και τέμνει τον άξονα yy΄ στοσημείο Β0, 2, δηλαδή , το Β0, 2 είναι σημείο πουανήκει και στην ευθεία και στον yy΄.Το Β0, 2 επαλη-θεύει την εξίσωση y   x   της ευθείας εφόσονείναι σημείο της.Επομένως 2  1.0      2, άραη ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση y  1x  2 y  x  2

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΙΙ)ΣΕΛ.116 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣii)  ευθεία έχει εξίσωση y   x   ευθεία σχηματίζει μα τον άξονα xx΄ γωνία ω=450, αυτόσημαίνει ότι η κλίση της είναι   εφω    εφ 450  1 ευθεία τέμνει τον άξονα yy΄ στο σημείο Β0,1, αυτόσημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου Β0,1 επαλη-θεύουν την εξίσωση y   x   της ευθείας. Επομένωςαπό την y   x   έχω 1  1.0      1. Άρα ηευθεία έχει εξίσωση y  x 1

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.116 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣiii)  ευθεία έχει εξίσωση y   x   ευθεία y   x   είναι παράλληλη στην y  2x  3,αυτό σημαίνει ότι έχουν την ίδια κλίση   2 . ευθεία y   x   διέρχεται από το σημείο Α 1,1,αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του Α 1,1 επα-ληθεύουν την εξίσωσή της. Επομένως έχω 1  2.1    1 2    1. Άρα η ζητούμενη ευθεία έχειεξίσωση y  2x 1.

ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΩ ΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΟΤΑΝ ΓΝΩΡΙΖΩΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ ΤΗΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 4. ΣΕΛ.117 ΣΧ. Β. ευθεία έχει εξίσωση y   x   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ευθεία διέρχεται από τα σημεία i) Α 1, 2 και Β2,3Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες των σημείων Α και επαληθεύουν την εξίσωσή της y   x  . Επομένως2  .1  Θα λύσω το σύστημα για να βρω τα  και 3  .2  

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 4.Ι)ΣΕΛ.117 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2  .1  i3  .2   iii      2    2   i΄,ii  3  2   (λόγω της i΄ ) 3=22       3  4  2   4    3  4    1      1, οπότε η i΄  2   γίνεται   2 1    1. Άρα η ευθείαέχει εξίσωση y  x 1

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 8.Ι)ΣΕΛ.117 ΣΧ.Β  x, x  0 f x  x   0, x  0 Δηλαδή η f παρουσιάζει διαφορετικό x, x  0τύπο ανάλογα με τις τιμές του x. Επομένως ανάλογα με τις ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣτιμές του x παρουσιάζει διαφορετική γραφική παράσταση.1 Για x  0 , f  x  x  y  x , η εξίσωση συμβολίζειτην ευθεία y  1x  0 . Κατασκευάζω ένα πίνακα τιμώνγια x  0  x 1 2 οπότε το ζεύγος των σημείων Α 1,1 y1 2και Β2, 2 είναι αρκετό για να κατασκευάσω την ευθεία y  x20 Για x  0 , f  x  0  y  0, παίρνω το σημείο Ο0, 0

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 8.Ι)ΣΕΛ.117 ΣΧ.ΒΒ΄1,1 2, 2  x 1 2Α΄2, 2 y  x 1 2   1,1 x 12 0, 0 yx 1 2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ30 Για x  0 , f  x  x  y  x, η εξίσωση συμβολίζειτην ευθεία y  1x  0 . Με παρόμοιο τρόπο από το πίνακατιμών για τιμές του x  0, βρίσκω δύο σημεία Α΄2, 2και Β΄1,1 και κατασκευάζω τη γραφική παράσταση τηςτης y  x

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 8.Ι)ΣΕΛ.117 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 0,1g  x  1  y  1  y  0x 1.  εξίσωση αυτή παριστάνειευθεία που διέρχεται από το σημείο 0,1 και είναι παράλ-ληλη στον οριζόντιο άξονα xx΄.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 8I).ΣΕΛ.117 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 0,1f  x  y  x .έλω να λύσω γραφικά την ανίσωση x  1 f  x  y  1. Η ανίσωση αυτή εκφράζει τα σημεία πουβρίσκονται στο τμήμα των ευθειών y  x και y  x πουκαλύπτει η περιοχή κάτω από την ευθεία y  1 και δεξιάτης ευθείας x  1, καθώς επίσης η περιοχή κάτω από τηνy  1 και αριστερά της ευθείας x  1.Στα σημεία αυτά συ-μπεριλαμβάνονται και τα 1,1 και 1,1. Άρα τα συγκε-κριμένα σημεία έχουν τετμημένες x 1,1.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 8.I)ΣΕΛ.117 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 0,1έλω να λύσω γραφικά την ανίσωση x  1.Όμως f  x y  x . Άρα θέλω f  x  y  1. Τα σημεία που ζητώ βρί-σκονται στο τμήμα των ευθειών y  x και y  x που καλύ-πτει η περιοχή πάνω από την ευθεία y  1 και έξω από τιςευθείες x  1 και x  1 αντίστοιχα. Άρα πρόκειται για τασημεία με τετμημένες x , 1 και x 1, .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 8.II)ΣΕΛ.117 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 0,1 0,1 x  1  1  x  1. Πράγματι η ανίσωση αυτή εκφράζει τα σημεία της y  x που έχουν τετμημένες x 1,1 x  1  x  1 ή x  1. Πράγματι η ανίσωση αυτή εκφράζει τα σημεία της y  x που έχουν τετμημένες x , 1 ή x 1, 

KATAKOΡΥΦΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΠΡΟΣ ΤΑ ΑΝΩ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣH γραφική παράσταση της f  x = f΄ x  c , οπού το c είναιθετικός πραγματικός αριθμός , προκύπτει από τη μετατόπισητης γραφικής παράστασης της f΄ x προς τα πάνω κατά c..χ η γραφική παράσταση της f  x  x 1 , προκύπτει απότη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f΄ x = xπρος τα πάνω κατά μια μονάδα.

KATAKOΡΥΦΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΠΡΟΣ ΤΑ ΚΑΤΩ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣH γραφική παράσταση της f  x = f΄ x  c , οπού το c είναιθετικός πραγματικός αριθμός , προκύπτει από τη μετατόπισητης γραφικής παράστασης της f΄ x προς τα κάτω κατά c..χ η γραφική παράσταση της f  x  x 1 , προκύπτει απότη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f΄ x = xπρος τα κάτω κατά μια μονάδα.

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΠΡΟΣ ΤΑ ΔΕΞΙΑ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣH γραφική παράσταση της f  x = f΄ x  c οπού το c είναιθετικός πραγματικός αριθμός , προκύπτει από την οριζόντιαμετατόπιση της γραφικής παράστασης της f΄ x προς ταδεξιά κατά c. .χ η γραφική παράσταση της f  x  x 1 ,προκύπτει από την οριζόντια μετατόπιση της γραφικήςπαράστασης της f΄ x = x προς τα δεξιά κατά μια μονάδα.

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΠΡΟΣ ΤΑ ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣH γραφική παράσταση της f  x = f΄ x  c οπού το c είναιθετικός πραγματικός αριθμός , προκύπτει από την οριζόντιαμετατόπιση της γραφικής παράστασης της f΄ x προς τα αρι στερά κατά c. .χ η γραφική παράσταση της f  x  x 1 ,προκύπτει από την οριζόντια μετατόπιση της γραφικήςπαράστασης της f΄ x = x προς τα αριστερά κατά μια μο-νάδα.

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΑΣΚ.1.ΣΕΛ.135.ΣΧ.Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΠαρατηρώ ότι το π.ο της f  x είναι το Α = R. Μπορώ ναχωρίσω το πεδίο ορισμού της ως εξήςΑ = R = ,111,  και να μελετήσω σε καθένααπό αυτά τη μορφή της συνάρτησης. Στο διάστημα ,1όσο αυξάνει η τιμή του x ελλατώνεται το y της συνάρτησηςδηλαδή η f  x φθίνει.

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚ.1.ΣΕΛ.135.ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΣτο διάστημα 1,  όσο αυξάνεται η τιμή του x αυξάνει τοy της συνάρτησης ,δηλαδή η f  x αυξάνει. Στο σημείο με τετ-μημένη x  1 όπου αλλάζει η μορφή της καμπύλης από φθίνου-σα σε αύξουσα παρουσιάζει ελάχιστο , και μάλιστα εφόσονδεν υπάρχει άλλο ελάχιστο είναι το ολικό ελάχιστο.

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΑΣΚ.1.ΣΕΛ.135.ΣΧ.Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΠαρατηρώ ότι το π.ο της f  x είναι το Α = R. Μπορώ ναχωρίσω το πεδίο ορισμού της ως εξήςΑ = R = ,00, 2 2 2,  και να μελετήσω σεκαθένα από αυτά τη μορφή της συνάρτησης. Στο διάστημα, 0 όσο αυξάνεται η τιμή του x αυξάνει το y της συνάρ-τησης ,δηλαδή η f  x αυξάνει.

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΑΣΚ.1.ΣΕΛ.135.ΣΧ.Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΜε τον ίδιο τρόπο το π.ο Α=R της συνάρτησης γράφεταιΑ= , 1  1  1,0  0  0,1  1, Στο , 1 η h  φθίνουσα,στο 1, 0 η h  αύξουσαΣτο 1, 0 η h  αύξουσα, στο 0,1 η h  φθίνουσαΣτο 0,1 η h  φθίνουσα,στο 1,  η h  αύξουσα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚ.1.ΣΕΛ.135.ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΣτο διάστημα 0, 2 όσο αυξάνει η τιμή του x ελλατώνεται τοy της συνάρτησης ,δηλαδή, η f  x φθίνει. Στο διάστημα2,  όσο αυξάνεται η τιμή του x αυξάνει το y της συνάρ-τησης ,δηλαδή η f  x αυξάνει.Στο σημείο με τετμημένη x  0που αλλάζει η μορφή της f από αύξουσα σε φθίνουσα παρου-σιάζει μέγιστο και μάλιστα εφόσον δεν υπάρχει άλλο μέγιστοείναι το ολικό μέγιστο.