Το σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Β Λυκείου

100 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟΔΕΙΞΗ . . .Αν συνα ≠ 0, έχουμε:i) .ii) συν2α = συν2α − ηµ2α = συν2α − ηµ2α = συν2α − ηµ2α = 1 − εϕ2α συν2α + ηµ2α + 1 + εϕ2α συν2α συν2α συν2α ηµ2α συν2α συν2α3o Αν εϕ2α = 3 και π < α < π, να βρεθεί η εφα. 42 ΛΥΣΗΑπό τον τύπο (3) έχουμε: 3 = . εϕ2α . . 4 1− ⇔ εϕα = −8 ±10 [αφού Δ=100] 6 ⇔ εϕα = 1 ή εϕα = −3 3Από τις τιμές της εφα που βρήκαμε δεκτή είναι μόνο η −3, αφού π < α < π. 24o Να αποδειχθεί ότι εϕ2  π − x  = 1 − ηµ2x .  4  1 + ηµ2xΑΠΟΔΕΙΞΗΕπειδή εϕ2α = 1− συν2α , έχουμε: 1+ συν2α εϕ2  π4 − x  = 11+− σσυυ νν ππ22 −− 22xx  = 1 − ηµ2x , αφού συν  π − 2x  = ηµ2x 1 + ηµ2x  2 

3.7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ 2α 1015o Να λυθεί η εξίσωση: 2 − ηµ2x = 2συν2 x 2 ΛΥΣΗ Σύμφωνα με τον τύπο (5) έχουμε: . ⇔ 2 − (1− συν2x) = 1+ συνx ⇔ συν2x − συνx = 0 ⇔ συνx(συνx −1) = 0 ⇔ συνx = 0 ή συνx = 1 ⇔ x = 2κπ ± π ή x = 2κπ, κ ∈  26o Να εκφρασθεί το 8.συν4α ως συνάρτηση του συν2α και του συν4α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφωνα με τον τύπο (5) έχουμε: =ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: i) 2ηµ 3π συν 3π ii) 1− 2ηµ2 π iii) 2συν2135 −1 iv) 1 2εϕ75 44 12 − εϕ2 752. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: .εϕ α i) . ii) 2 . συν 2  π − α  − 1 iii)  4  − εϕ23α 13. Να αποδείξετε ότι: ηµ2α 1− ηµ2α i) ηµ2α + συν2α = συν2α ii) = 2εϕα iii) σϕα − εϕα = 2 ⋅ σ ϕ2α iv) εϕα + σϕα = 2 ηµ2α4. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του 2α, αν: i) συνα = − 4 και π < α < 3π ii) ηµα = 3 και π<α<π 52 5 25. Να υπολογίσετε την εφ(α+2β), αν εϕα = 1 και εϕβ = 1 4 3

102 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 6. Να αποδείξετε ότι: ii) ηµ2αεϕα + 2 ⋅ συν2α = 2 iv) 1− συν2α + ηµ2α = εϕα i) η µ3ασ υνα + συ ν3αη µα = 1 ⋅ ηµ2α 2 1+ συν2α + ηµ2α iii) ηµ 2α = εϕ α 1+ συν2α 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: ii) ηµ2x − 2 ⋅ συνx + ηµx −1 = 0 i) συν2 x − η µx −1 = 0 8. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας π . 16 9. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του α ,αν: 2 i) συνα = 5 και 0 < α < π ii) συνα = 3 και 3π < α < 2π 13 2 5210. Να λύσετε τις εξισώσεις: ii) συνx − 2 ⋅ ηµ2 x = 0 2 i) x . iii) . iv) συν2x −1= 2 ⋅ συν2 x 2Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν 0 ≤ α < π, να αποδείξετε ότι: συνα − ηµα = 1− ηµ2α. 4 2. Να αποδείξετε ότι: ηµ2α + 1 − συν2α = 2 ⋅ εϕ α ηµα(1 + συνα) 2 3. Να αποδείξετε ότι: ηµ2 π − συν4 3π = 1 8 88 4. Να αποδείξετε ότι: i) 1+ εϕαεϕ2α = εϕ2α ii) 3 − 4 ⋅ συν2α + συν4α = εϕ4α εϕα + σϕα 2 3 + 4 ⋅ συν2α + συν4α 5. Να αποδείξετε ότι: εϕ(45 − α) = συν2α = 1 − εϕ2α 1 + ηµ2α συν2α και με τη βοήθεια αυτού του τύπου να υπολογίσετε την εφ 15°. 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: ii) εϕx ⋅ εϕ2x = −3 i) εϕ2x = 2 ⋅ συνx 7. Να αποδείξετε ότι: συν4α = 8 ⋅ συν4α − 8 ⋅ συν2α + 1

3.8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 1038. Να αποδείξετε ότι: i) συν4 π + συν4 3π = 3 ii) ηµ4 π + ηµ4 3π = 3 8 84 8 84 iii) 8 ⋅ ηµ2ασυν2α = 1 − συν4α9. Αν συνx = α, συνy = γ β και συνz = α γ, να αποδείξετε ότι: β+γ +α +β εϕ2 x + εϕ2 y + εϕ2 z = 1. 2223.8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Σε αρκετές εφαρμογές της Τριγωνομετρίας χρειάζεται το γινόμενο τριγωνο-μετρικών αριθμών να μετασχηματισθεί σε άθροισμα ή αντιστρόφως το άθροι-σμα σε γινόμενο. Στην παράγραφο αυτή θα αναζητήσουμε τύπους με τους οποίους γίνονται οιπαραπάνω μετασχηματισμοί.Μετασχηματισμός γινομένου σε άθροισμαΑπό τις γνωστές μας ισότητες: ηµ(α + β) = ηµασυνβ + συναηµβ ηµ(α − β) = ηµασυνβ − συναηµβμε πρόσθεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι:δηλαδή: ηµ(α + β) + ηµ(α − β) = 2ηµασυνβ (1) 2ημασυνβ = ημ(α + β) + ημ( α – β )ενώ από τις: συν(α − β) = συνασυνβ + ηµαηµβ συν(α + β) = συνασυνβ − ηµαηµβ με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι: 2συνασυνβ = συν(α – β) + συν(α + β) (2) 2ημαημβ = συν(α – β) – συν(α + β) (3)

104 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΜετασχηματισμός αθροίσματος σε γινόμενο Με τη βοήθεια των προηγούμενων τριών τύπων μπορούμε να μετασχηματί-σουμε το άθροισμα τριγωνομετρικών αριθμών σε γινόμενο. Πράγματι, αν θέ-σουμε α + β = Α και α − β = Β , τότε έχουμε Α + Β = α + β + α − β = 2α, οπότε α= Α+Β 2 Α − Β = α + β − α + β = 2β, οπότε β= Α−Β 2 Α + Β Α−ΒΈτσι ο παραπάνω τύπος (1) γράφεται 2ηµ 2 συν 2 = ηµΑ + ηµΒ.Δηλαδή έχουμε: ηµΑ + ηµΒ = 2ηµ Α + Β συν Α − Β (4) 22Αν τώρα στον τύπο (4) αντικαταστήσουμε το Β με −Β, βρίσκουμε: ηµΑ − ηµΒ = 2ηµ Α − Β συν Α + Β (5) 22Ομοίως, από τον τύπο (2), βρίσκουμε: (6) συνΑ + συνΒ = 2συν Α + Β συν Α − Β 22ενώ από τον τύπο (3) βρίσκουμε 2ηµ Α + Β ηµ Α − Β = συνΒ − συνΑ, οπότε 22 συνΑ − συνΒ = −2ηµ Α − Β ηµ Α + Β (7) 22

3.8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 105ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ (1)1° Να λυθεί η εξίσωση: ημ6xσυν3x=ημ5xσυν4x ΛΥΣΗ ⇔ 2 ⋅ ηµ6xσυν3x = 2 ⋅ ηµ5xσυν4x Έχουμε: (1) ⇔ ηµ9x + ηµ3x = ηµ9x + ηµx ⇔ ηµ3x = ηµx 3x = 2κπ + x  ⇔  ή ,κ∈Z 3x = 2κπ + π − x  x = κπ  ⇔  ή ,κ∈Z  = 2κπ + π x 42° Να λυθεί η εξίσωση: συν3x+συνx=ημ2x (1)ΛΥΣΗΈχουμε: (1) ⇔ 2 ⋅ συν 3x + x συν 3x − x = 2 ⋅ ηµxσυνx 22 ⇔ 2 ⋅ συν2xσυνx = 2 ⋅ ηµxσυνx ⇔ συν2xσυνx − ηµxσυνx = 0 ⇔ συνx(συν2x − ηµx) = 0 ⇔ συνx = 0 (2) ή συν2x = ηµx (3) Αλλά (2) ⇔ συνx = συν π ⇔ x = 2κπ ± π , κ∈ 22και (3)  κπ   συν2  ή , κ∈Z  = 2κπ −  π − x  2x  2   3x = 2κπ + π x = 4κπ + π  ή 2  6 ⇔ , κ∈Z ⇔ ή , κ∈Z  = 2κπ − π  π x x 2 = 2κπ − 2

106 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ3° Να αποδειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ηµΑ + ηµΒ + ηµΓ = .ΑΠΟΔΕΙΞΗ ηµΑ + ηµΒ + ηµΓ = 2 ⋅ ηµ Α + Β συν Α − Β + 2 ⋅ ηµ Γ συν Γ 22 22 = 2 ⋅ συν Γ συν Α − Β + 2 ⋅ συν Α + Β συν Γ  γιατί Α+Β + Γ = π 22 22  2 2 2  = 2 ⋅ συν Γ συν Α − Β + συν Α + Β  2 2 2  = 2 ⋅ συν Γ 2 ⋅ συν Α συν Β = 4 ⋅ συν Α συν Β συν Γ 2 22 2 22ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, τα γινόμενα: i) συν75 συν15 ii) ηµ105 συν15 iii) ηµ13π συν π iv) ηµ11π ηµ 7π 12 12 12 122. Να μετατρέψετε σε αθροίσματα τριγωνομετρικών αριθμών τα παρακάτωγινόμενα: i) 2 ⋅ ηµxσυν2x ii) 2 ⋅ ηµ4xηµ2x iii) 2 ⋅ συν3xσυν5x iv) συν6xηµ2x v) ηµ  π − x  ηµ  π + x   4   4 3. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ηµ3xσυνx = ηµ6xσυν2x ii) συν3xσυν2x = ηµ2xηµx4. Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, τα αθροίσματα: i) ηµ75 + ηµ15 ii) ηµ11π − ηµ 5π 12 12 iii) συν40 + συν80 + συν1605. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τριγωνομετρικών αριθμών τα παρακάτω αθροίσματα: i) ηµ4x + ηµ2x ii) συν5x − συν3x iii) συν3x + συνx iv) 1+ ηµx v) 1+ συνx

3.8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 1076. Αν Β και Γ είναι οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι: ii) ηµΒ − ηµΓ = 2ηµ Β − Γ i) ηµ2Β + ηµ2Γ = 2συν(Β − Γ) 27. Να αποδείξετε ότι: i) συν3α − συν5α = εϕα ii) ηµα + ηµ3α + ηµ5α = εϕ3α ηµ3α + ηµ5α συνα + συν3α + συν5α iii) ηµαηµ2α + ηµ3αηµ6α = εϕ5α ηµασυν2α + ηµ3ασυν6α8. Να λύσετε τις εξισώσεις: ii) συν5x − συνx = ηµ3x i) ηµ3x − ηµx = συν2x iii) ηµ3x + ηµ6x + ηµ9x = 0 Β΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να αποδείξετε ότι: i) 2 ⋅ ηµ50 − 1 = 1 .συν 0 ii) 2 ⋅ ηµ52 ηµ68 − 2 ⋅ ηµ47 συν77 − 2 ⋅ συν65 συν81 = 12. Αν για τις οξείες γωνίες Β και Γ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ισχύει 4 ⋅ ηµΒσυνΓ = 1, να αποδείξετε ότι Β = 30°.3. Να αποδείξετε ότι: i) ηµαηµβ ≤ ηµ2  α + β  ii) συνασυνβ ≤ συν2  α + β   2  2 4. Να αποδείξετε ότι: i) ηµα + ηµβ ≤ ηµ  α + β  , για οποιαδήποτε α,β∈[0,π] 2  2  ii) συνα + συνβ ≤ συν  α+β  , για οποιαδήποτε α,β ∈ − π , π 2  2  2 2 5. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: i) ii) συν(Β − Γ) − συνΑ = 2 ⋅ συνΒσυνΓ

108 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑiii) συνΑ + συνΒ + συνΓ = 1 + 4 ⋅ ηµ Α ηµ Β ηµ Γ 2 226. Να αποδείξετε ότι για τις οξείες γωνίες Β, Γ ενός ορθογωνίου τριγώνουΑΒΓ ισχύει: 2 2 ⋅ συν Β συν Γ −1 = 2 ⋅ συν Β − Γ 22 27. Αν για τις γωνίες Α, Β, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ηµΑ = συνΒ + συνΓ, να αποδείξετε ότι Β = 90 ή Γ = 90 και αντιστρόφως. 3.9 η συναρτηση f(x)=αημx+βσυνx Στην προηγούμενη τάξη είδαμε ότι μια συνάρτηση της μορφής f(x)=ρημx,ρ > 0 είναι περιοδική με περίοδο 2π και έχει μέγιστο ίσο με ρ και ελάχιστο ίσομε −ρ. Η γραφική της παράσταση είναι μια ημιτονοειδής καμπύλη. Μια τέτοια συνάρτηση είναι, π.χ., και η f(x)=2.ημx, της οποίας η γραφικήπαράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: y y = 2ημx 2 y = ημx 1−π O π 2π 3π x –1 –2Η συνάρτηση f(x)=ρημ(x+φ)Έστω για παράδειγμα η συνάρτηση f (x) = 2 ⋅ ηµ  x + π . Παρατηρούμε  4ότι η συνάρτηση αυτή προκύπτει από την g(x) = 2 ⋅ ηµx αν, όπου x, θέσουμεx+π , δηλαδή ισχύει f (x) = g  x + π  4  4 Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της f προκύπτει από μία οριζόντιαμετατόπιση της γραφικής παράστασης της g κατά π μονάδες, προς τα αριστε-ρά. 4Όμως η συνάρτηση g(x) = 2 ⋅ ηµx έχει περίοδο 2π, μέγιστο ίσο με 2 καιελάχιστο ίσο με −2.

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=αημx+βσυνx 109 Επομένως η συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο 2π και έχει μέγιστο ίσομε 2 και ελάχιστο ίσο με −2.Ο σταθερός αριθμός π λέγεται διαφορά φάσεως των καμπυλών y = 2ηµ  x + π  4  4και y = 2ημx. Οι καμπύλες αυτές φαίνονται στο παρακάτω σχήμα: y = 2ημ x+4π ( )y 2 – π 7π 3π 4 4 x–5π –π O 3π π 2π 4 4 y = 2ημx –2 Γενικότερα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = ρημ(x+φ), ρ>0προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρ-τησης g(x) = ρηµx . Επομένως: Η συνάρτηση f(x)=ρημ(x+φ) είναι περιοδική με περίοδο 2π και έχει μέγι-στο ίσο με ρ και ελάχιστο ίσο με −ρ.Η συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx, α, β ≠ 0 Έστω για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=ημx+συνx. Για να τη μελετήσουμεθα προσπαθήσουμε να τη μετατρέψουμε σε άλλη συνάρτηση γνωστής μορφής. Έχουμε: . Επομένως f (x) = 2 ⋅ ηµ  x + π . Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f είναι πε-  4ριοδική με περίοδο 2π και έχει μέγιστο ίσο με 2 και ελάχιστο ίσο με − 2.

110 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΗ γραφική παράσταση της f προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γρα-φικής παράστασης της συνάρτησης g(x) = 2 ⋅ηµx κατά π μονάδες προς τα 4αριστερά, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: y y= 2ημ(x+ π ) 2 4 –π –π 4 π 7π 3π x–5π 3π 4 2π Ο 4 4 –2 y = 2ημxΓενικότερα θα αποδείξουμε ότι:ΘΕΩΡΗΜΑ Αν α,β ≠ 0 , τότε για κάθε x ∈ ισχύει: αηµx + βσυνx = ρηµ(x + ϕ) συνϕ = α ρόπου ρ = α2 + β2 και ϕ∈ με  ηµϕ = β ρ Έστω το σημείο Μ(α,β) και φ μια από M(α,β) yτις γωνίες με αρχική πλευρά Οx και τελική φπλευρά ΟΜ. Τότε έχουμε: ρ = (ΟΜ) = α2 + β2κ α ι σηυµνϕϕ==βραρ ή α = ρσυνϕ O x ή β = ρηµϕΕπομένως αηµx + βσυνx = ρσυνϕηµx + ρηµϕσυνx = ρ(συνϕηµx + ηµϕσυνx) = ρηµ(x + ϕ) Η μελέτη λοιπόν της συνάρτησης f(x)=αημx+βσυνx, α,β ≠ 0 μπορεί να γί-νει με τη μελέτη της συνάρτησης f (x) = ρηµ(x + ϕ).

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=αημx+βσυνx 111 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1° i) Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση ( ).ηµ x π ii) Ομοίως η συνάρτηση f (x) ηµ . .3 ΛΥΣΗ i) Η συνάρτηση f γράφεται f (x) = 2σ⋅υηνάµρτ2ησ ηx −g(π6x) . Παρατηρούμε ότι η συ- νάρτηση αυτή προκύπτει από τη = 2 ⋅ ηµ2x αν, όπου x θέ- σουμε x − π . 6 Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της f προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της g κατά π μονάδες προς τα δεξιά. 6 Όμως η συνάρτηση g(x) = 2 ⋅ ηµ2x έχει περίοδο 2π = π, μέγιστο 2 και 2 ελάχιστο −2. Άρα και η f είναι περιοδική με περίοδο π, μέγιστο 2 και ελάχιστο −2. Οι γραφι- κές παραστάσεις των f και g φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. y 2 ( )y= 2ημ 2x− π 3 πx −π −π Ο π π 3π 2π 2 6 2 2 y = 2ημ2x −2 ii) Η παράσταση ηµ2x − 3 ⋅ συν2x είναι της μορφής αηµt + βσυνt με α=1, β = − 3 και όπου t το 2x. Επομένως παίρνει τη μορφή ρηµ(2x + ϕ). συ νϕ = 1 ϕ=−π 2 3 Έχουμε ρ = 12 + ( − 3) 2 = 4 = 2 και , οπότε ένα 3 ηµϕ = − 2 Άρα f (x) = ηµ2x − 3 ⋅ συν2x = 2 ⋅ ηµ  2x − π   3  Τη συνάρτηση αυτή όμως τη μελετήσαμε προηγουμένως.

112 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ2° Να λυθεί η εξίσωση .ηµ x + συν4x = 2 ΛΥΣΗΤο 1ο μέλος της εξίσωσης είναι της μορφής αηµt + βσυνt με α = 3, β=1 καιόπου t το 4x. Επομένως παίρνει τη μορφή ρημ(4x+φ).Έχουμε ρ = ( 3)2 + 12 = 4 = 2 και  1 3 οπότε ένα ϕ= π. συνϕ = 2 2, 6  ηµϕ =Άρα 3 ⋅ ηµ4x + συν4x = 2 ⋅ ηµ  4x + π  και η εξίσωση γίνεται  6  . ηµ  x + π  = 2 ⇔ ηµ 4x + π  = 2 6  6  2 ⇔ ηµ  4x + π  = ηµ π  6  4 4x + π = 2κπ + π  6 4 ⇔ ή , κ∈Z  + π = 2κπ + π − π 4x 6 4  x = κ π + π  2 48 ⇔ ή , κ∈Z  = κ π + 7π x  2 483°Δυο ρεύματα με την ίδια κυκλική συχνότητα ω και με εντάσεις Ι1 2. µωtκαι Ι2 2 . ω t 2π  διαρρέουν έναν αγωγό. Να δειχθεί ότι το άθροισμά 3 τους έχει την ίδια κυκλική συχνότητα. ΛΥΣΗ .. .. . .. . . .

.3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=αημx+βσυνx . 113 . .που σημαίνει ότι το Ιολ έχει την ίδια κυκλική συχνότητα ω.ΑΣΚΗΣΕΙΣA΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη τιμή και την ελάχιστη τιμή των παρακά- τω συναρτήσεων και στη συνέχεια να τις παραστήσετε γραφικά: i) f (x) = 2 ⋅ ηµ  x + π ii) f (x) = ηµ  x − π   3  2 2. Να γράψετε στη μορφή f (x) = ρηµ(x + ϕ) τις συναρτήσεις: i) f (x) = 3 ⋅ ηµx − συνx ii) f (x) = −ηµx + συνx iii) f (x) = −ηµx − 3 ⋅ συν x iv) f (x) = ηµx − συνx3. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις της άσκησης 2.4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 3 ⋅ ηµx − συνx = 2, ii) συνx − ηµx = 1, iii) 2 ⋅ ηµx + 6 ⋅ συνx + 2 = 0B΄ ΟΜΑΔΑΣ M 4 B Aω B1. Να υπολογίσετε τη γωνία ω του διπλανού O θ σχήματος, έτσι ώστε να ισχύει: A 2m (ΜΑ) + (ΜΒ) = 2 62. Μια μπάρα ΑΒ μήκους 2m τοποθετείται οριζόντια μεταξύ δυο κάθετων τοίχων. Για μεγαλύτερη αντοχή πρέπει να τοποθετηθεί, έτσι ώστε το (ΟΑ)+(ΟΒ) να γίνει μέγιστο. i) Να εκφράσετε το (ΟΑ)+(ΟΒ) ως συνάρ- τηση του θ. ii) Να βρείτε την τιμή του θ για την οποία το (ΟΑ)+(ΟΒ) γίνεται μέγιστο και να προσδι- ορίσετε το μέγιστο αυτό.

114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ3. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: i) . . ii) . υνx4. Να λύσετε την εξίσωση: 2 ⋅ ηµx( 3 ⋅συνx − ηµx) = 2 −15. Με συρματόπλεγμα μήκους 40m περιφράσσουμε τμή- h μα γης σχήματος ορθογωνίου τριγώνου. Αν η υποτεί- θ νουσα είναι h m και η μια οξεία γωνία θrad (Σχήμα). i) Να αποδείξετε ότι: h = 40 ηµθ + συνθ +1 ii) Για ποια τιμή του θ το h παίρνει τη μικρότερη τιμή και ποια είναι αυτή;6. Στο διπλανό σχήμα: i) Να δείξετε ότι η περίμετρος Ρ του τριγώνου ΜΚΟ ισούται με Ρ = 1+ ηµ2θ + συν2θ. ii) Για ποια τιμή του θ το Ρ παίρνει τη μεγαλύτε- ρη τιμή και ποια είναι αυτή; 3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Το κλασικό πρόβλημα της Τριγωνομετρίας, από το οποίο πήρε και το όνομάτης, είναι η επίλυση τριγώνου, δηλαδή ο υπολογισμός των άγνωστων κύριωνστοιχείων ενός τριγώνου, όταν δίνονται επαρκή στοιχεία του. Η επίλυση τριγώνου μπορεί να γίνει με τη βοήθεια των παρακάτω δυο βα-σικών θεωρημάτων, που είναι γνωστά το ένα ως νόμος των ημιτόνων και τοάλλο ως νόμος των συνημιτόνων.Νόμος των ημιτόνων ΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: α = β = γ = 2R ηµΑ ηµΒ ηµΓ όπου R, η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 115ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω (Ο,R) ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΓ. Αν φέρουμε τηδιάμετρο ΒΔ και τη χορδή ΓΔ, τότε σχηματίζεται τρίγωνο ΓΒΔ που είναι ορθο-γώνιο στο Γ. Επομένως έχουμε: ηµ∆ = (ΒΓ) = α , οπότε α = 2R (1) (Β∆) 2R ηµ∆ A A Ο Δ α Γ Β Bα Γ Δ Σχήμα 1 Σχήμα 2Είναι όμως Δ=Α (Σχ. 1) ή ∆ + Α = 180 (Σχ. 2), οπότε ημΔ = ημΑ. Επομέ-νως η (1) γράφεται A α = 2R ηµΑΑν A = 90,τότε έχουμε: ημΑ=1 και α=2R (Σχ.3). Επομένως και στην περίπτωση αυτή ισχύει α = 2R.ισότητα ηµΑ B αΓΟμοίως αποδεικνύεται ότι: Σχήμα 3 β = 2R και γ = 2R ηµΒ ηµΓΕπομένως: α = β = γ = 2R ηµΑ ηµΒ ηµΓ ΣΧΟΛΙΟ Με το νόμο των ημιτόνων μπορούμε εύκολα να επιλύσουμε ένα τρίγωνο,όταν δίνονται: i) Μια πλευρά και δυο γωνίες του ή ii) Δυο πλευρές και μια από τις μη περιεχόμενες γωνίες του.

116 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1° Να επιλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α = 15, Α = 43° και Β = 82°. ΛΥΣΗΕπειδή A + B + Γ = 180 , έχουμε: Γ = 180 − A − B = 180 − 43 − 82 = 55Έτσι, σύμφωνα με το νόμο των ημιτόνων έχουμε: Α 430 15 = β = γηµ43 ηµ82 ηµ55 γ βοπότε: β = 15 ⋅ ηµ82 15 ⋅ 0,9903 22 ηµ43 0, 6820 Β 820 α=15 Γ γ = 15 ⋅ ηµ55 15 ⋅ 0,8192 18 ηµ43 0, 68202° Να επιλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α = 23, β = 31 και Β = 35° Α ΛΥΣΗΣύμφωνα με το νόμο των ημιτόνων έχουμε: 23 = 31 = γ (1) γηµΑ ηµ35 ηµΓ Κ β=31οπότε ηµΑ = 23⋅ ηµ35 23⋅ 0,5736 0,4255 Β 350 Γ 31 31 α=23Άρα Α 25 ή Α 155 Επειδή όμως α < β, θα είναι και Α < Β. Επομένως από τις παραπάνω τιμέςτης Α δεκτή είναι μόνο η Α 25 .Έτσι έχουμε Γ = 180 − Α − Β 180 − 25 − 35 = 120οπότε, λόγω της (1), ισχύει 31 = γ ⇔ γ = 31⋅ ηµ120 31⋅ 0,8660 47 ηµ35 ηµ120 ηµ35 0, 5736

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1173° Σε ένα υλικό σημείο Ο εφαρμόζονται Α Γτρεις δυνάμεις που έχουν μέτρα F1, F2 καιF3 αντιστοίχως και σχηματίζουν ανά δύο Fγωνίες ω1, ω2 και ω3, όπως φαίνεται στο F1διπλανό σχήμα. Αν το υλικό σημείο ισορ-ροπεί, να αποδειχθεί ότι: ω2 Ο ω3 Β F1 = F2 = F3 ω1 F2 ηµω1 ηµω2 ηµω3 F3 ΑΠΟΔΕΙΞΗ   Επειδή το σημείο Ο ισορροπεί, η συνισταμένη F των F1 και F2 θα έχει ίδιαδιεύθυνση, αντίθετη φορά και ίδιο μέτρο με την F3. Επομένως από το νόμο τωνημιτόνων στο τρίγωνο ΟΒΓ έχουμε: (ΒΓ) = (ΟΒ̭) = (ΟΓ̭ ) ⇔ F1 = F2 = F3 ,ηµΒÔΓ ηµΒΓΟ ηµΟΒΓ ηµω1 ηµω2 ηµω3αφού ΒÔΓ = 180 − ω1, ΒΓΟ = 180 − ω2 και ΟΒΓ = 180 − ω3.Νόμος των συνημιτόνων Όταν είναι γνωστές οι τρεις πλευρές ενός τριγώνου ή οι δυο πλευρές και ηπεριεχόμενη γωνία τους δεν μπορούμε εύκολα με μόνο το νόμο των ημιτόνωννα υπολογίσουμε τα άλλα στοιχεία του. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμετο παρακάτω θεώρημα που είναι γνωστό ως νόμος των συνημιτόνων.ΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: α2 = β2 + γ2 − 2βγσυνΑ β2 = γ2 + α2 − 2γασυνΒ γ2 = α2 + β2 − 2αβσυνΓ

118 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΑΠΟΔΕΙΞΗ* Θα αποδείξουμε μόνο την πρώτη ισότη- Γ(x, y) yτα. Με όμοιο τρόπο αποδεικνύονται και οι βυπόλοιπες ισότητες. α Στο επίπεδο του τριγώνου θεωρούμε ένα B(γ, 0)σύστημα συντεταγμένων με αρχή το Α καιθετικό ημιάξονα των x την ημιευθεία ΑΒ. O=A γ xΈτσι οι συντεταγμένες του Β θα είναι (γ,0),ενώ για τις συντεταγμένες (x, y) του Γ θαισχύει συνΑ = x και ηµΑ = y β βή ισοδύναμα (1) x = βσυνΑ και y = βηµΑ Αν χρησιμοποιήσουμε τώρα τον τύπο της απόστασης για τα σημεία Β(γ,0) καιΓ(x,y), βρίσκουμε ότι: α = (ΒΓ) = (x − γ)2 + (y − 0)2οπότε, λόγω της (1), έχουμε:α2 = (x − γ)2 + y2 = (βσυνΑ − γ)2 + (βηµΑ)2 = β2συν2Α + γ2 − 2βγσυνΑ + β2ηµ2Α = β2 (συν2Α + ηµ2Α) + γ2 − 2βγσυνΑ = β2 + γ2 − 2βγσυνΑ. ΣΧΟΛΙΟ Είναι φανερό ότι με το νόμο των συνημιτόνων μπορούμε αμέσως να υπο-λογίσουμε μια οποιαδήποτε πλευρά ενός τριγώνου, αρκεί να δοθούν οι άλλες δύο και η πε-ριεχόμενή τους γωνία. Με τον ίδιο νόμο μπορούμε επιπλέον να υπολογίσουμε και τις γωνίεςενός τριγώνου, του οποίου είναι γνωστές και οι τρεις πλευρές, αφού οι παραπάνω ισότητεςγράφονται: συνΑ = β2 + γ2 − α2 , συνΒ = γ2 + α2 − β2 , συνΓ = α2 + β2 − γ2 2βγ 2γα 2αβ

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 119ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1° Να επιλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α = 35, β = 20 και γ = 42 ΛΥΣΗ Από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε: 0,5589• 352 = 202 + 422 − 2 ⋅ 20 ⋅ 42συνΑ, οπότε συνΑ = 202 + 422 − 352 0,8806 2 ⋅ 20 ⋅ 42 Άρα Α 56• 202 = 352 + 422 − 2 ⋅ 35 ⋅ 42συνΒ, οπότε συνΒ = 352 + 422 − 202 2 ⋅ 35 ⋅ 42 Άρα Β 28 . Άρα Γ 962° Να επιλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με β= 20, γ = 42 και Α = 56° ΛΥΣΗ Από το νόμο των συνημιτόνων έχουμεα2 = 202 + 422 − 2 ⋅ 20 ⋅ 42συν56 1225, οπότε α  35. Έτσι γνωρίζουμε και τις τρεις πλευρές του τριγώνου, οπότε αναγόμαστε στο προη-γούμενο πρόβλημα.3° Να αποδειχθεί ότι το εμβαδό Ε ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο: Ε= 1 βγηµ Α 2ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γ Γ ββ A γ Β Κ ΓΑ γ Β ΚΓΑν φέρουμε το ύψος ΓΚ του τριγώνου, έχουμε: β βΕ = 1 (ΑΒ) ⋅ (ΓΚ) = 1 (ΑΒ) ⋅ (ΑΓ) ⋅ ηµΑ 2 2γ Β γιατί (γΓΚΓ )  A = 1Κ γ ⋅β ⋅ ηµΑ Β Κ ΑηµΑ = (ΑΓ)  Β 2 FO2  OFΟ παραπάνω τύπος ισχύει προφανώς και στην περίωπτωση που Α = 90°.4° Σε ένα υλικό σημείο Ο εφαρμόζονται δύο δυΟ- FO1 Β Α Γ νάμεις που έχουν μέτρα F1 και F2 αντίστοιχα FO2 OF και σχηματίζουν γωνία ω. Να αποδειχθεί ότι το μέτρο F της συνισταμένης τους δίνεται ω FO1 Α Ο από τον τύπο: F2 = F12 + F22 + 2F1F2συνω

120 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟΔΕΙΞΗΕπειδή (ΟΑ) = F1, (ΑΓ) = F2 και (ΟΓ) = F, στο τρίγωνο ΟΑΓ έχουμε: F2 = (ΟΓ)2 = (ΟΑ)2 + (ΑΓ)2 − 2(ΟΑ)(ΑΓ)συνΑ = F12 + F22 − 2F1 ⋅ F2 ⋅ συν(180 − ω) = F12 + F22 + 2F1 ⋅ F2 ⋅ συνωΑΣΚΗΣΕΙΣA΄ ΟΜΑΔΑΣ A 300m Π1. Δυο πύργοι Α και Β βρίσκονται εκατέρω- 630 560 θεν ενός ποταμού. Ένας παρατηρητής Π βρίσκεται προς το ίδιο μέρος του ποταμού με τον πύργο Α. Αν στο τρίγωνο ΠΑΒ είναι ΠΑ = 300m, Α = 63° και Π = 56°, να βρείτε την απόσταση των πύργων Α και Β. Β2. Ένας συλλέκτης ηλιακής ακτινοβολίας μή- 5m στήριξη κους 5 m είναι τοποθετημένος στην οροφή ενός κτιρίου, όπως δείχνει το διπλανό σχή- 500 μα. Να υπολογίσετε το μήκος του βραχίονα 350 με τον οποίο στηρίζεται ο συλλέκτης.3. Στο διπλανό σχήμα να αποδείξετε ότι: Γ i) Γ∆ = dηµx , ηµ(y − x) ii) ΑΓ = dηµx ⋅ ηµy Β xΔ y Α ηµ(y − x) d4. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ με α = 30, β=10 και B = 31o .5. Να υπολογίσετε τη γωνία θ του διπλανού σχήματος. 3 θ 4,25 2

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1216. Να υπολογίσετε το μήκος του έλους A Β του διπλανού σχήματος. 42m 55m 620 Π7. Να υπολογίσετε τη γωνία θ του ορθογώνιου 20 cm κουτιού του διπλανού σχήματος: θ 40cm 60 cm8. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα συνΑ + συνΒ + συνΓ = α2 + β2 + γ2 αβγ 2αβγ9. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα: βσυνΓ + γσυνΒ = α10. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα βσυνΓ = γσυνΒ, να αποδείξετε ότι β=γ και αντιστρόφως.11. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα α = 2βσυνΓ, να αποδείξετε ότι β = γ και αντιστρόφως.B΄ ΟΜΑΔΑΣ* 1. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα Β = 2Α, να αποδείξετε ότι: Β i) συνΑ = β ii) β2 − α2 = αγ α 2α2. Στο διπλανό σχήμα να αποδείξετε ότι: 450 x Γ Δ Γ∆ = α(συνx − ηµx) A3. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει μια από τις ισότητες: i) β = αηµΒ, ii) αηµΑ = βηµΒ + γηµΓ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.4. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα ασυνΑ = βσυνΒ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές.

122 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Δ5. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ABΓ ισχύει η ισότητα: α − β = εϕ Α − Β ⋅ εϕ Γ α+β 22 Μ6. Στο διπλανό σχήμα να αποδείξετε ότι: Γ (ΒΓ)2 = 5 + 3συν2θ Β θ Α 2 1 Ο17. Να αποδείξετε ότι για το διπλανό ΔΓ παραλληλόγραμμο ισχύουν οι ισότητες: βΟ α y i) x2 + y2 = 2α2 + 2β2 α β A ω B ii) (ΑΒΓ∆) = 2αβηµω xΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γ' ΟΜΑΔΑΣ) Δ1. Σε τρίγωνο ABΓ το ύψος του ΑΔ είναι ίσο με το μισό της πλευράς ΒΓ. Να αποδείξετε ότι ισχύει εϕΒ + εϕΓ = 2εϕΒεϕΓ και σϕΒ + σϕΓ = 2. Δ εϕΒ = ηµ2Β , να αποδείξετε εϕΓ ηµ2Γ2. Αν για τις γωνίες ενός τριγώνου ABΓ ισχύει ότι το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές.3. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ (x,y) του επιπέδου με x = 1+ 2συνt, y = 3 + 2ημt βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Κ(1,3) και ακτίνας ρ = 2.4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 1+ ηµx + συνx = 4 ii) συνx ⋅ σϕx =3 συνx 1+ ηµx 1− ηµx5. i) Αν 0 < x < π , να αποδείξετε ότι εϕx + σϕx ≥ 2 2 0≤α<β< π, εϕα < ηµα + ηµβ < εϕβ ii) Αν 2 να αποδείξετε ότι συνα + συνβ6. Να λύσετε την εξίσωση 2συν  π − 2x  =1 στο διάστημα (4π, 5π).  3 

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γʹ ΟΜΑΔΑΣ) 1237. Σε ένα λούνα-παρκ ο περιστρεφόμενος τροχός O 4m Β έχει ακτίνα 4m, τo κέντρο του απέχει από το έδα- A φος 10m και όταν αρχίζει να κινείται εκτελεί μια πλήρη περιστροφή σε 8 δευτερόλεπτα με σταθερή 10m ταχύτητα. Να βρείτε το ύψος του βαγονιού Α από το έδαφος ύστερα από χρόνο 1sec, 2sec, 5sec και γενικότερα ύστερα από χρόνο t sec. Να λύσετε το ίδιο πρόβλημα για το βαγόνι Β. 8. Να αποδείξετε ότι i) σϕx − εϕx = 2 ⋅ σϕ2x ii) σϕx − 2 ⋅ εϕ2x − 4 ⋅ εϕx − 8 ⋅ εϕx = εϕx 9. Με τη βοήθεια του τύπου ηµ3α = 3 ⋅ ηµα − 4 ⋅ ηµ3α να λύσετε τις εξισώ- σεις: i) 8x3 − 6x + 2 = 0 ii) 8x3 − 6x −1 = 010. Να αποδείξετε ότι το σύνολο των σημείων M(x,y), με x=συνθ και y = συν2θ+1, όπου θ∈[0, π], είναι το τόξο της παραβολής y = 2x2, με x ∈[−1,1].11. Με τη βοήθεια των τύπων ηµ2α = 1 2εϕα και συν 2α = 1 − εϕ2α + εϕ2α 1 + εϕ2α να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f (x) = 1+ ηµx , x ∈ (−π, π) παίρνει 5 + 4συνx τιμές στο διάστημα [0,10]. 912. Nα λύσετε την εξίσωση: ηµx + συνx − ηµ2x = συν  π − x  2 +1  4 13. Ένα γκαράζ σχήματος ορθογωνίου έχει σχεδια- O θ Ε 20m Δ σθεί, έτσι ώστε να αποτελείται από ένα τετρά- Γ γωνο ΑΒΓΔ και ένα ορθογώνιο ΟΑΔΕ με ΟΔ = 20m, όπως περιγράφει το διπλανό σχήμα. Για Α ποια τιμή της γωνίας θ rad το εμβαδό S m2 του γκαράζ γίνεται μέγιστο; Υπόδειξη i) Να δείξετε ότι S = 400συν2θ + 400ηµθσυνθ ii) Να εκφράσετε το S στη μορφή S = ρηµ(2θ + ϕ) + c Β

124 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ iii) Να βρείτε την τιμή του θ, για την οποία το S παίρνει τη μέγιστη τιμή, την οποία και να προσδιορίσετε. Α Δ14. Δίνεται ένα τρίγωνο ABΓ και η διάμεσός του ΑΜ. Αν MAB = x, xy MAˆ Γ = y και AΜˆ Γ = ω, να αποδείξετε ότι: 2σϕω = σϕx − σϕy ω Β ΜΓ15. Να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ Α 300 450 του διπλανού σχήματος, αν ισχύει ∆Γ = 3. ∆Β ΒΔ Γ

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 125

126 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΑΒ ⋅ Γ∆ + Α∆ ⋅ ΒΓ = ΑΓ ⋅ Β∆ ηµ(α − β) = ηµα ⋅ συνβ − συνα ⋅ ηµβ



Κεφάλαιο 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πολυωνυμαΗ έννοια του πολυωνύμουΈστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. • Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής αxν, όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Μονώνυμο του x καλούμε επίσης και κάθε πραγματικό αριθμό.Για παράδειγμα, οι παραστάσεις: και οι αριθμοί: 2, −3 ,0 είναι μονώνυμα του x.• Καλούμε πολυώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής: ανxν + αν−1xν−1 + ................. + α1x + α0 , είναι πραγματι-όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός καικοί αριθμοί.Τα μονώνυμα λέγονται όροι του πολυωνύ-μου και οι αριθμοί συντελεστές αυτού. Ειδικότερα ο α0λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύμου. Τα πολυώνυμα της μορφής α0, δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί, λέγονταισταθερά πολυώνυμα. Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πο-λυώνυμο.Έτσι για παράδειγμα, οι παραστάσεις 3x3 + 2x2 − x + 2, 0x2 − 5x +1,5x3 − 2 x2 + 0x + 1 και οι αριθμοί 2, 0 κτλ. είναι πολυώνυμα του x. 33

4.1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 129Η ισότητα μεταξύ δυο πολυωνύμων ορίζεται ως εξής:Δυο πολυώνυμα αµxµ + ................. + α1x + α0 και βνxν + ................. + β1x + β0, με µ ≥ νθα λέμε ότι είναι ίσα όταν:αβ = και αν+1 = αν+2 = .... = αµ = 0Για παράδειγμα τα πολυώνυμα 0x4 + 0x3 + 2x2 − x +1 και 2x2 − x +1 είναιίσα. Επίσης τα πολυώνυμα αx2 + βx + γ και 2x + 3 είναι ίσα αν και μόνο ανγ=3, β=2 και α=0.Τα πολυώνυμα τα συμβολίζουμε συνήθως με P(x), Q(x), κτλ.Έστω τώρα ένα πολυώνυμο P(x) = ανxν + αν−1xν−1 + ................. + α1x + α0• Αν όλοι οι συντελεστές του είναι ίσοι με μηδέν, τότε το Ρ(x) είναι ίσο με τοπολυώνυμο 0 (μηδενικό πολυώνυμο).• Αν όμως ένας από τους συντελεστές του είναι διαφορετικός από το μηδέν,τότε το Ρ(x) παίρνει τη μορφή: ακxκ + ακ−1xκ−1 + ................. + α1x + α0 , με ακ ≠ 0Στην περίπτωση αυτή ο αριθμός κ λέγεται βαθμός του πολυωνύμου Ρ(x).Είναι φανερό ότι κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0. Γιατο μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός. Έτσι για παράδειγμα το πολυώνυμο P(x) = −4x3 + 3x − 7 είναι 3ου βαθμού,ενώ το Q(x) = 7 είναι μηδενικού βαθμού.Αριθμητική τιμή πολυωνύμου Έστω ένα πολυώνυμο P(x) = ανxν + αν−1xν−1 + ................. + α1x + α0. Αναντικαταστήσουμε το x με έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό ρ, τότε ο πραγ-ματικός αριθμός P(ρ) = ανρν + α ρν−1 + ................. + α1ρ + α 0 που προκύπτει ν−1λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή του πολυωνύμου για x=ρ.Αν είναι Ρ(ρ)=0, τότε o ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου. Για παράδειγμα, ητιμή του πολυωνύμου P(x) = −x3 + 2x2 + 4x +1,για x=1 είναι P(1) = −13 + 2 ⋅12 + 4 ⋅1+1 = 6, ενώγια x = −1 είναι P(−1) = −(−1)3 + 2 ⋅ (−1)2 + 4 ⋅ (−1) +1 = 0 , που σημαίνει ότιο –1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x).Είναι φανερό ότι:• Το σταθερό πολυώνυμο c έχει τιμή c για όλες τις τιμές του x και• Τα ίσα πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x(*)(*) Αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή ότι:• Αν ένα πολυώνυμο έχει τιμή c για όλες τις τιμές του x, τότε αυτό είναι το σταθερό πολυώνυμο cκαι• Αν δύο πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x, τότε τα πολυώνυμα αυτά είναι ίσα.

130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΠράξεις με πολυώνυμαΜπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε, ή να πολλαπλασιάσουμε πολυώ-νυμα, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών, όπως φαίνεταιστα επόμενα παραδείγματα:1. i) (x3 + 2x2 − 5x + 7) + (4x3 − 5x2 + 3) = x3 + 2x2 − 5x + 7 + 4x3 − 5x2 + 3 = (1+ 4) x3 + (2 − 5)x2 − 5x + (7 + 3) = 5x3 − 3x2 − 5x +10 [Πολυώνυμο 3ου βαθμού]ii) (2x3 − x2 +1) + (−2x3 + 2x − 3) = 2x3 − x2 +1− 2x3 + 2x − 3 [Πολυώνυμο 2ου βαθμού] [Μηδενικό Πολυώνυμο] = −x2 + 2x − 2iii) (x3 − 3x2 −1) + (−x3 + 3x2 +1) = x3 − 3x2 −1− x3 + 3x2 +1 = 02. (x3 + 2x2 − 5x + 7) − (4x3 − 5x2 + 3) = x3 + 2x2 − 5x + 7 − 4x3 + 5x2 − 3 = −3x3 + 7x2 − 5x + 43. (x2 + 5x)(2x3 + 3x −1) = x2 (2x3 + 3x −1) + 5x(2x3 + 3x −1) [Πολυώνυμο 5ου βαθμού] = 2x5 + 3x3 − x2 +10x4 +15x2 − 5x = 2x5 +10x4 + 3x3 +14x2 − 5xΓια το βαθμό του αθροίσματος και του γινομένου δύο πολυωνύμων αποδεικνύ-εται ότι:• Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυ-μο, τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών τωνδυο πολυωνύμων.• Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με τοάθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1° i) Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈  για τις οποίες το πολυώνυμοP(x) = (λ2 −1)x3 + (λ2 − 3λ + 2)x + λ −1 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ για τις οποίες τα πολυώνυμα Q(x) = λ2x3 + (λ − 2)x2 + 3 και R(x) = (5λ − 6)x3 + (λ2 − 4)x2 + λ +1 είναι ίσα. ΛΥΣΗi) To Ρ(x) θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ για τιςοποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις: λ2 −1 = 0, λ2 − 3λ + 2 = 0 και λ −1 = 0 Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η λ = 1. Επομένως για λ = 1 τοπολυώνυμο Ρ(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

4.1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 131ii) Τα Q(x) και R(x) θα είναι ίσα για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συνα-ληθεύουν οι εξισώσεις: λ2 = 5λ − 6, λ − 2 = λ2 − 4 και 3 = λ +1Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η λ=2. Επομένως για λ=2 τα πολυώ-νυμα Q(x) και R(x) είναι ίσα.2° Αν P(x) = x2 + 3x + α2 −1, να βρεθούν οι τιμές του α ∈  για τις οποίεςισχύει P(−1) = 1. ΛΥΣΗΈχουμε Ρ (−1) = 1 ⇔ (−1)2 + 3(−1) + α2 −1 = 1 ⇔ α2 − 4 = 0 ⇔ α = −2 ή α = 2Επομένως οι ζητούμενες τιμές είναι οι: –2, 2.ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ' ΟΜΑΔΑΣ1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x: i) 1− x3 ii) α3 − 3α2x + 3αx2 − x3 iii) x + 1 iv) + x2. Δίνονται τα πολυώνυμα P(x) = x2 − 5x + 2 και Q(x) = x3 + 3x +1. Να βρεθούν τα πολυώνυμα: i) P(x) + Q(x) ii) 2P(x) − 3Q(x) iii) P(x) ⋅ Q(x) iv) [P(x)]23. Να βρείτε για ποιες τιμές του µ ∈, το πολυώνυμο P(x) = (4µ3 − µ)x3 + 4  µ2 − 1  x − 2µ +1 μηδενικό πολυώνυμο.  4  είναι το4. Να βρείτε για ποιες τιμές του α ∈ τα πολυώνυμα P(x) = (α2 − 3α)x3 + x2 + α και Q(x) = −2x3 + α2x2 + (α3 −1)x +1 είναι ίσα.5. Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθμούς, που δίνονται με τα παρακάτω πολυ- ώνυμα, είναι ρίζες τους. i) P(x) = 2x3 − 3x2 + 2x + 7 x = −1, x=1 ii) Q(x) = −x4 +1 x=1, x = −1, x=3.6. Να βρείτε για ποιες τιμές του k ∈  το 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου P(x) = x3 − kx2 + 5x + k.

132 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ7. Για ποιες τιμές του α ∈R, η τιμή του πολυωνύμου P(x) = 5x2 + 3αx + α2 − 2 για x = −1 είναι ίση με 1.Β' ΟΜΑΔΑΣ1. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, για τους οποίους το πολυώ- νυμο f (x) = 3x2 − 7x + 5 παίρνει τη μορφή f (x) = αx(x +1) + βx + γ2. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, για τους οποίους το πολυώνυμο P(x) = 3x3 + αx2 + βx − 6 έχει ρίζες το –2 και το 3.3. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ, για τους οποίους το πολυώνυ- μο P(x) = 2x3 + λx2 + µx + 6 έχει ρίζα το 1 και ισχύει P(−2) = −12.4. Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου P(x) = (9λ3 − 4λ)x3 + (9λ2 − 4)x − 3λ + 2 για τις διάφορες τιμές του λ ∈.5. Να βρείτε πολυώνυμο Ρ(x), για το οποίο ισχύει (2x +1)P(x) = 2x3 − 9x2 − 3x +1. 4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ πολυωνυμΩΝΑλγοριθμική διαίρεσηΓνωρίζουμε από το Γυμνάσιο την έννοια της Ευκλείδειας ή αλγοριθμικήςδιαίρεσης μεταξύ θετικών ακέραιων αριθμών. Συγκεκριμένα γνωρίζουμε ότι:Για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών Δ και δ με δ ≠ 0 , υπάρχουν δύο μοναδι-κοί φυσικοί αριθμοί π και υ, τέτοιοι ώστε Δ=δπ+υ, 0≤υ<δ (1)Η ισότητα αυτή είναι γνωστή ως ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης.Ο Δ λέγεται διαιρετέος, ο δ διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαί-ρεσης.Η έννοια της διαίρεσης των πολυωνύμων είναι ανάλογη με την Ευκλείδειαδιαίρεση που αναφέραμε παραπάνω. Συγκεκριμένα ισχύει:ΘΕΩΡΗΜΑ Όπως και στη διαίρεση μεταξύ φυσικών αριθμών το Δ(x) λέγεται διαιρετέ-ος, το δ(x) διαιρέτης, το π(x) πηλίκο και το υ(x) υπόλοιπο της διαίρεσης.

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 133 Για να προσδιορίσουμε το πηλίκο π(x) και το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσηςενός πολυωνύμου Δ(x) με ένα πολυώνυμο δ(x), ακολουθούμε μια διαδικασία,ανάλογη με εκείνη της διαίρεσης των θετικών ακεραίων. Στο παράδειγμα πουακολουθεί περιγράφεται βήμα προς βήμα η διαδικασία της διαίρεσης του πολυ-ωνύμου x3 − 5x2 + 2x −1 με το πολυώνυμο x − 3.1. Κάνουμε το σχήμα της διαίρεσης και x3 − 5x2 + 2x −1 x − 3γράφουμε τα δύο πολυώνυμα.2. Βρίσκουμε τον πρώτο όρο x2 του πηλί- x3 − 5x2 + 2x −1 x− 3 κου διαιρώντας τον πρώτο όρο x3 του x2διαιρετέου με τον πρώτο όρο x του δι-αιρέτη. x−3 x23. Πολλαπλασιάζουμε το x2 με x – 3 και x3 − 5x2 + 2x −1το γινόμενο x3 – 3x2 το αφαιρούμε από −x3 + 3x2το διαιρετέο. Βρίσκουμε έτσι το πρώτο −2x2 + 2x −1μερικό υπόλοιπο –2x2 + 2x– 1.4. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2 και 3 x3 − 5x2 + 2x −1 x−3 με νέο διαιρετέο το –2x2 + 2x – 1. Βρί- x2 − 2x σκουμε έτσι το δεύτερο μερικό υπόλοι- −x3 + 3x2 −2x2 + 2x −1 πο −4x −1. 2x2 − 6x − 4x −15. Τέλος επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2 x3 − 5x2 + 2x −1 x−3 και 3 με νέο διαιρετέο το –4x – 1. Βρί- −x3 + 3x2 x2 − 2x − 4 σκουμε έτσι το τελικό υπόλοιπο –13 και το πηλίκο x2 – 2x – 4. −2x2 + 2x −1 2x2 − 6x − 4x −1 4x −12Παρατηρούμε ότι ισχύει η ισότητα: − 13 2x2 + xx3 – 5x2 + 2x – 1 = (x–3) . (x2–2x–4) + (–13) 2x2 − x +1 4x4 + 0x3 + x2 − 3x −1 (διαιρετέος) = (διαιρέτης) • (πηλίκο) + (υπόλοιπο) −4x4 − 2x3που εκφράζει την ταυτότητα της διαίρε- −2x3 + x2 − 3x −1σης. 2x3 + x2 2x2 − 3x −1Αν ακολουθήσουμε την παραπάνω διαδι-κασία για τα πολυώνυμα 4x4 + x2 – 3x – 1 − 4x −1και 2x2 + x, έχουμε:

134 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΠαρατηρήστε ότι συμπληρώσαμε τη δύναμη x3 με συντελεστή το μηδέν. Ομοίως για τα πολυώνυμα 2x3 + 2x2 − x −1 και 2x2 −1 έχουμε 2x3 + 2x2 − x −1 2x2 − 1 x +1 − 2x3 +x 2x2 −1 − 2x2 +1 0Παρατηρήστε ότι στα παραπάνω παραδείγματα η διαίρεση τελειώνει, όταν τουπόλοιπο γίνει μηδέν ή ο βαθμός του γίνει μικρότερος από το βαθμό του διαιρέτη. Στο τελευταίο παράδειγμα βλέπουμε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 0.Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η διαίρεση είναι τέλεια. Γενικά, αν σε μια διαίρεση είναι υ(x) = 0, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια καιη ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται ∆(x) = δ(x) ⋅ π(x)Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι το δ(x) είναιπαράγοντας του Δ(x) ή ότι το Δ(x) διαιρείται με το δ(x) ή ακόμη ότι το δ(x)είναι διαιρέτης του Δ(x). Έτσι για παράδειγμα το 2x2 −1 είναι παράγοντας ήδιαιρέτης του 2x3 + 2x2 − x −1.Διαίρεση πολυωνύμου με x–ρ.Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο x – ργράφεται. P(x) = (x − ρ)π(x) + υ(x)Επειδή ο διαιρέτης x – ρ είναι πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης θαείναι ένα σταθερό πολυώνυμο υ. Έτσι έχουμε: P(x) = (x − ρ)π(x) + υκαι, αν θέσουμε x = ρ, παίρνουμε P(ρ) = (ρ − ρ)π(ρ) + υ = 0 + υ = υΕπομένως P(x) = (x − ρ)π(x) + P(ρ)Αποδείξαμε λοιπόν ότι:ΘΕΩΡΗΜΑ Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x–ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x=ρ. Είναι δηλαδή υ = Ρ(ρ)

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 135 Για παράδειγμα, το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) = x3 + 3x2 −13x −15με το x − 2 είναι υ = P(2) = 23 + 3⋅ 22 −13⋅ 2 −15 = −21, ενώ με το x+1 πουγράφεται x − (−1), είναι υ = P(−1) = (−1)3 + 3⋅ (−1)2 −13⋅ (−1) −15 = 0. Πα-ρατηρούμε ότι:• P(−1) = 0, δηλαδή ότι το –1 είναι ρίζα του Ρ(x) και• P(x) = (x +1)π(x) + 0 = (x +1)π(x), δηλαδή ότι το x+1 είναι παράγονταςτου Ρ(x).Γενικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα:ΘΕΩΡΗΜΑ Ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x−ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0.ΑΠΟΔΕΙΞΗΈστω ότι το x–ρ είναι παράγοντας του Ρ(x). Τότε P(x) = (x − ρ)π(x)Από την ισότητα αυτή για x = ρ παίρνουμε P(ρ) = (ρ − ρ)π(ρ) = 0,που σημαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x).Αντιστρόφως: Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή ισχύει Ρ(ρ) = 0.Τότε από τη σχέση P(x) = (x − ρ)π(x) + P(ρ)παίρνουμε P(x) = (x − ρ)π(x),που σημαίνει ότι το x−ρ είναι παράγοντας του Ρ(x).ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1° Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα x+2 και x – 1 είναι παράγοντες του πολυ-ωνύμου P(x) = x3 + x2 − x + 2. ΛΥΣΗ Το x+2 γράφεται x − (−2). Επειδή P(−2) = (−2)3 + (−2)2 − (−2) + 2 = 0,το –2 είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, τοx+2 είναι παράγοντας του Ρ(x).Επειδή P(1) = 13 +12 −1+ 2 = 3 ≠ 0, το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως τοx – 1 δεν είναι παράγοντας του Ρ(x).

136 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ2° Για ποιες τιμές του λ ∈ : i) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) = x3 − 3x2 + 3x −1 με το x + λ είναι το μηδέν. ii) Τ ο υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) = λ2x4 + 3λx2 − 3 με το x – 1 είναι το 1. ΛΥΣΗi) Επειδή x + λ = x − (−λ), το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x+λ είναιυ = P(−λ). Επομένως, για να είναι υ = 0 αρκεί: P(−λ) = 0 ⇔ (−λ)3 − 3(−λ)2 + 3(−λ) −1 = 0 ⇔ −λ3 − 3λ2 − 3λ −1 = 0 ⇔ λ3 + 3λ2 + 3λ +1 = 0 ⇔ (λ +1)3 = 0 ⇔ λ = −1ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x −1 είναι υ = Q(1). Επομένως,για να είναι υ = 1 αρκεί: Q(1) = 1 ⇔ λ214 + 3λ12 − 3 = 1 ⇔ λ2 + 3λ − 4 = 0 ⇔ λ = 1 ή λ = −4Σχήμα Horner (Χόρνερ)Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πο-λυωνύμου, π.χ. του P(x) = 3x3 − 8x2 + 7x + 2, με ένα πολυώνυμο της μορφήςx − ρ. Η Ευκλείδεια διαίρεση του Ρ(x) με το x − ρ είναι η ακόλουθη: + x−ρ 3x2 + (3ρ − 8)x + ρ(3ρ − 8) + 7 Η παραπάνω διαίρεση μπορεί να παρουσιασθεί εποπτικά με τον ακόλουθοπίνακα που είναι γνωστός ως σχήμα του Horner.

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 137 Συντελεστές του P(x)3 –8 7 2 ρ [(3ρ–8)ρ+7]ρ 3ρ (3ρ–8)ρ [(3ρ–8)ρ+7]ρ+23 3ρ–8 (3ρ–8)ρ+7 ΥπόλοιποΣυντελεστές ΠηλίκουΓια την κατασκευή του πίνακα αυτού εργαζόμαστε ως εξής:— Στην πρώτη γραμμή γράφουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου Ρ(x) καιστην πρώτη θέση της τρίτης γραμμής τον πρώτο συντελεστή του Ρ(x).Στη συνέχεια ο πίνακας συμπληρώνεται ως εξής:— Κάθε στοιχείο της δεύτερης γραμμής προκύπτει με πολλαπλασιασμό τουαμέσως προηγούμενου στοιχείου της τρίτης γραμμής επί ρ.— Κάθε άλλο στοιχείο της τρίτης γραμμής προκύπτει ως άθροισμα των αντί-στοιχων στοιχείων της πρώτης και δεύτερης γραμμής. Το τελευταίο στοιχείο της τρίτης γραμμής είναι το υπόλοιπο της διαίρεσηςτου Ρ(x) με το (x − ρ), δηλαδή η τιμή του πολυωνύμου Ρ(x) για x = ρ. Τα άλλαστοιχεία της τρίτης γραμμής είναι οι συντελεστές του πηλίκου της διαίρεσης. Ας εργασθούμε τώρα με το σχήμα Horner για να βρούμε το πηλίκο και τουπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) = 3x5 + 3x4 + 6x −13 με το x − 2.3 3 0 0 6 –13 ρ=2 [ ]Συμπληρώστε με 0 τους 6 18 36 72 156 συντελεστές των δυνάμεων του x που δεν υπάρχουν.3 9 18 36 78 143Επομένως το πηλίκο της διαίρεσης είναι π(x) = 3x4 + 9x3 +18x2 + 36x + 78και το υπόλοιπο υ = Ρ(2) = 143 ΣΧΟΛΙΟ Στο παραπάνω παράδειγμα, αν αντί για το σχήμα Horner εκτελέσουμε τηδιαίρεση, θα διαπιστώσουμε ότι οι πράξεις που απαιτούνται είναι αρκετά πιο επίπονες. Τοίδιο θα συμβεί, αν δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε το Ρ(2) θέτοντας όπου x το 2. Το σχήμαHorner είναι ιδιαίτερα χρήσιμο στις περιπτώσεις όπου το ρ ή ο βαθμός του Ρ(x) είναι μεγάλοςαριθμός. Για το λόγο αυτό, τόσο στις διαιρέσεις με το x–ρ όσο και στον υπολογισμό της τιμήςΡ(ρ), θα χρησιμοποιούμε συνήθως το σχήμα Horner.

138 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4Ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ1° Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης (4x2 − 8αx + 4α2 ) : (x − α) ΛΥΣΗΤο σχήμα Horner με διαιρετέο το 4x2 − 8αx + 4α2 και διαιρέτη το x– α δίνει: 4 –8α 4α2 α 4α –4α2 4 –4α 0 Άρα π(x) = 4x–4α και υ(x) = 02° Αν ν είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί η ταυτότητα: xν − αν = (x − α)(xν−1 + xν−2α + x αν−3 2 + ...... + αν−1)ΑΠΟΔΕΙΞΗΤο σχήμα Horner με διαιρετέο το xν – αν και διαιρέτη το x – α δίνει 1 0 0 ....... 0 -αν ρ=α α α2 ....... αν-1 αν 1 α α2 ....... αν-1 0Επομένως το υπόλοιπο της διαίρεσης (xν − αν ) : (x − α) είναι μηδέν, ενώ τοπηλίκο είναι το πολυώνυμο π(x) = xν−1 + αxν−2 + α2xν−3 + ...... + αν−1Τέλος, από την ταυτότητα της διαίρεσης προκύπτει ότι: xν − αν = (x − α) π(x) + 0 ή xν − αν = (x − α)(xν−1 + xν−2α + x αν−3 2 + ...... + αν−1)3° Να εξεταστεί για ποιες τιμές του φυσικού αριθμού ν το x+α είναι παρά-γοντας του xν + αν , α ≠ 0. Γι’ αυτές τις τιμές του ν, το xν + αν να γίνειγινόμενο της μορφής (x+α) π(x). ΛΥΣΗ Αν θέσουμε P(x) = xν + αν , τότε P(−α) = (−α)ν + αν. Διακρίνουμε τιςπεριπτώσεις:• Αν ν άρτιος, τότε P(−α) = αν + αν = 2αν ≠ 0, που σημαίνει ότι το −α δενείναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως το x+α δεν είναι παράγοντας του xν + αν.• Αν ν περιττός, τότε P(−α) = −αν + αν = 0, που σημαίνει ότι το −α είναι ρίζατου Ρ(x).Επομένως το x+α είναι παράγοντας του xν + αν. Στη συνέχεια, αν εργαστούμε όπως στο παράδειγμα 2 για ν περιττό βρίσκου-με την ταυτότητα: xν + αν = (x + α)(xν−1 − xν−2α + x αν−3 2 − ...... + αν−1)

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 139ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης σε κάθε περίπτωση. i) (3x3 + 6x2 −17x + 20) : (x + 3) ii) (x4 − 81) : (x − 3) iii) (24x5 + 20x3 −16x2 −15) : (6x2 + 5) iv) (2x4 + 4x3 − 5x2 + 3x − 2) : (x2 + 2x − 3) v) x4 : (x −1)3 vi) (x5 + 7) : (x3 −1)2. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης (18x80 − 6x50 + 4x20 − 2) : (x +1).3. Να βρείτε τις τιμές του k, για τις οποίες το x–1 είναι παράγοντας του g(x) = k2x4 + 3kx2 − 4.4. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων: i) (−x3 + 75x − 250) : (x +10) ii) (x3 + 512) : (x + 8) iii) (x5 +1) : (x −1) iv) −3x4 : (x − 2) v) (4x3 + 16x2 − 23x − 15) :  x + 1   2 5. Αν P(x) = −2x3 − 2x2 − x + 2409 , να βρείτε το Ρ(–11).6. Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα της μορφής x – ρ που δίνονται σε κάθε περίπτωση είναι παράγοντες του Ρ(x). i) P(x) = x4 − 25x2 +144, x+3 ii) P(x) = 16x4 − 8x3 + 9x2 +14x − 4, x− 1 iii) P(x) = x3 − 3x2 + 2, 4 x −1− 37. Αν ν είναι ένας άρτιος θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι το x+y είναι παράγοντας του xν − yν.8. Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω πολυώνυμα δεν έχουν παράγοντα της μορφής x – ρ. i) P(x) = 4x4 + 7x2 +12 ii) Q(x) = −5x6 − 3x2 − 49. Αν ο ν είναι περιττός θετικός ακέραιος, τότε το x+1 είναι παράγοντας του xν +1. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης (xν +1) : (x +1).10. Να κάνετε τις διαιρέσεις: ii) (x3 + αx2 − α2x − α3) : (x + α) i) (3x2 − 2αx − 8α2 ) : (x − 2α)

140 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΒ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να αποδείξετε ότι, αν το ν είναι παράγοντας του μ, τότε και το xν − αν είναι παράγοντας του xµ − αµ, (μ, ν θετικοί ακέραιοι).2. i) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) μετο αx+β, α ≠ 0 είναι υ = P  − β . α ii) Να βρείτε τις συνθήκες, για τις οποίες το πολυώνυμο αx3 + β διαιρεί-ται με το αx+β.3. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner μόνο, να αποδείξετε ότι το πολυώ-νυμο P(x) = 2x4 − 6x3 + 5x2 − 3x + 2 διαιρείται με το (x-1)(x-2) και ναβρείτε το πηλίκο.4. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P(x) = (x + )2ν − x2ν − x , έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του 2x3 + 3x2 + x.5. Να υπολογίσετε τους α,β∈ , για τους οποίους το P(x) = αxν+1 + βxν +1 έχει παράγοντα το (x −1)2. 4.3 πολυωνυμΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων αx + β = 0, αx2 + βx + γ = 0 και αx4 + βx2 + γ = 0, με α ≠ 0Οι εξισώσεις αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις μιας κατηγορίας εξισώσεων της μορφήςΡ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυμο, οι οποίες λέγονται πολυωνυμικές εξισώσεις.Συγκεκριμένα: Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής ανxν + αν−1xν−1 + ...... + α1x + α0 = 0, αν ≠ 0Για παράδειγμα, οι εξισώσεις 2x3 − 5x2 + x − 2 = 0 και −3x6 + 5x2 +1 = 0 εί-ναι πολυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 6ου βαθμού αντιστοίχως. Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ρίζα του πολυωνύμουP(x) = ανxν + αν−1xν−1 + ...... + α1x + α0, δηλαδή κάθε αριθμό ρ, για τον οποίοισχύει Ρ(ρ) = 0. Όπως για τις πολυωνυμικές εξισώσεις 1ου και 2ου βαθμού, έτσι και για τις πο-λυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού έχουν βρεθεί γενικοί τρόποι επίλυσήςτους. Οι τρόποι αυτοί όμως απαιτούν γνώσεις που είναι έξω από το σκοπό αυ-τού του βιβλίου και δε θα αναπτυχθούν εδώ. Τέλος, έχει αποδειχθεί ότι γενικός

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 141τρόπος επίλυσης για πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 4 δενυπάρχει. Για τους λόγους αυτούς, για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεωνβαθμού μεγαλύτερου από 2, θα περιοριστούμε στη γνωστή μας παραγοντοποί-ηση. Η επίλυση μια εξίσωσης με τη μέθοδο αυτή στηρίζεται στην ισοδυναμίαP1( x) ⋅ P2 ( x) ⋅.... ..⋅ Pk (x ) = 0 ⇔ (P1(x) = 0 ή P2 (x) = 0 ή ... ή Pk (x) = 0)Δηλαδή, για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση Ρ(x) = 0, παραγοντοποι-ούμε το Ρ(x) και αναγόμαστε έτσι στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων μι-κρότερου βαθμού.Για παράδειγμα, ας λύσουμε την εξίσωση . Αυτή γράφεται: x3 − 3x + 2 = 0 ⇔ x3 − x − 2x + 2 = 0 ⇔ x(x2 −1) − 2(x −1) = 0 ⇔ (x −1)[x(x +1) − 2] = 0 ⇔ (x −1)(x2 + x − 2) = 0 ⇔ x −1= 0 ή x2 + x − 2 = 0 ⇔ x =1 ή x = −2Παράγοντας της μορφής x – ρ Το θεώρημα που ακολουθεί μας βοηθά σε ορισμένες περιπτώσεις, στην εύ-ρεση πρωτοβάθμιων παραγόντων.ΘΕΩΡΗΜΑ (ακέραιων ριζών) Έστω η πολυωνυμική εξίσωση ανxν + αν−1xν−1 + ...... + α1x + α0 = 0, με ακέραιους συντελε- στές. Αν ο ακέραιος ρ ≠ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α0. αποδειξη Αν ο ρ ≠ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε διαδοχικά έχουμε ανρν + αν−1ρν−1 + ...... + α1ρ + α0 = 0 ⇔ α0 = −ανρν − αν−1ρν−1 − ...... − α1ρ ⇔ α0 = ρ(−ανρν−1 − αν−1ρν−2 − ...... − α1)Επειδή οι ρ, α1, α2,..., αν είναι ακέραιοι έπεται ότι και ο −ανρν−1 − αν−1ρν−2 − ...... − α1είναι ακέραιος. Από την τελευταία ισότητα συμπεραίνουμε ότι ο ρ είναι διαιρέτηςτου α0.

142 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ1° Να λυθεί η εξίσωση x3 − 3x2 + x + 2 = 0 ΛΥΣΗΟι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες , του σταθερού όρου. Μετο σχήμα Horner εξετάζουμε αν κάποιος από αυτούς μηδενίζει το πολυώνυμοP(x) = x3 − 3x2 + x + 2.Έχουμε: 1 -3 1 2 ρ =1 Ρ(1) = 1 ≠ 0 1 -2 -1 Άρα το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x) 1 -2 -1 1 1 -3 1 2 ρ=–1 Ρ(−1) = −3 ≠ 0 -1 4 -5 Άρα το −1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x) 1 -4 5 -3 1 -3 1 2 ρ=2 Ρ(2) = 0 2 -2 -2 Άρα το 2 είναι ρίζα του Ρ(x) 1 -1 -1 0Επομένως το x–2 είναι παράγοντας του Ρ(x). Συγκεκριμένα από το τελευταίοσχήμα έχουμε P(x) = (x − 2)(x2 − x −1)οπότε η εξίσωση γράφεται (x – 2)(x2 – x – 1) = 0 και έχει ρίζες τους αριθμούς2, 1− 5 και 1+ 5. 2 2 ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω παράδειγμα συμπεραίνουμε ότι το αντίστροφο του θεωρή-ματος δεν αληθεύει. Με άλλα λόγια μπορεί ένας ακέραιος ρ να είναι διαιρέτης του α0 , χωρίςαυτός να είναι κατ’ ανάγκη και ρίζα της εξίσωσης π.χ. ο ρ =1.2° Να λυθεί η εξίσωση x4 + 5x3 + 9x2 + 8x + 4 = 0. ΛΥΣΗΟι διαιρέτες του 4 είναι οι: ±1, ±2, ±4. Επειδή όλοι οι συντελεστές της εξίσω-σης είναι θετικοί, οι διαιρέτες 1, 2, και 4 αποκλείεται να είναι ρίζες της. Επομέ-νως οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι –1, –2, και – 4.

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 143Αν εργαστούμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, βρίσκουμε P(−1) = 1 ≠ 0,ενώ για ρ = −2 έχουμε:1 5 9 8 4 ρ=–2 P(−2) = 0 Άρα το –2 είναι ρίζα του Ρ(x) -2 -6 -6 -413320Η εξίσωση τότε γράφεται (x + 2)(x3 + 3x2 + 3x + 2) = 0Αν επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία για το Q(x) = x3 + 3x2 + 3x + 2και ρ = – 2 έχουμε1 3 3 2 ρ=–2 Q(–2)=0 –2 –2 –2 Άρα το - 2 είναι ρίζα του Q(x)1110Επομένως είναι x3 + 3x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x2 + x +1) και η αρχική εξίσωσηγράφεται (x + 2)2 (x2 + x +1) = 0Η τελευταία έχει μια μόνο διπλή ρίζα τον αριθμό –2.Πρόσημο γινομένουΈστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο P(x) = A(x) ⋅ B(x) ⋅....⋅ Φ(x)ως προς το πρόσημό του, όπου οι παράγοντες A(x),B(x),....,Φ(x) είναι τηςμορφής αx + β (πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής αx2 + βx + γ (τριώνυμα).Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια το πρό-σημο του P(x) , όπως φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΝα βρεθεί για τις διάφορες τιμές του x ∈  το πρόσημο του γινομένου P(x) = (x −1)(x2 + x − 6)(2x2 + x +1). ΛΥΣΗΑρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά ως εξής:0 Επειδή x −1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1,το x −1 είναι θετικό για x >1 , μηδέν για x =1 και αρνητικό για x <1 .

144 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4Ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ0 Επειδή x2 + x − 6 ≥ 0 ⇔ (x + 3)(x − 2) ≥ 0 ⇔ x ≤ −3 ή x ≥ 2,το x2 + x − 6 είναι θετικό για x < −3 και για x > 2 , μηδέν για x = −3 και γιαx = 2 και αρνητικό για −3 < x < 2.0 Επειδή το 2x2 + x +1 έχει διακρίνουσα ∆ = 1− 8 = −7 < 0, το τριώνυμοαυτό είναι θετικό για κάθε x ∈.Ο προσδιορισμός, τώρα, του προσήμου του γινομένου P(x) γίνεται με τη βοή-θεια του παρακάτω πίνακα, εφαρμόζοντας τον κανόνα των προσήμων. x -¥ -3 1 2 +¥ x-1 - -0+ + x2+ x-6 2x2+ x+1 +0- -0+ ++++ P(x) - 0 + 0 - 0 +Ώστε το γινόμενο P(x) είναι θετικό για −3 < x < 1 και για x > 2, ενώ είναι αρ-νητικό για x < −3 και για 1< x < 2 . Τέλος είναι μηδέν για x = −3, για x =1 καιγια x = 2 .Ανισώσεις της μορφής A(x) . B(x). ... . Φ(x)>0 (<0)Άμεση εφαρμογή των παραπάνω έχουμε στην επίλυση ανισώσεων της μορφήςA(x) ⋅ B(x) ⋅....⋅ Φ(x) > 0 (< 0), όπως είναι για παράδειγμα η ανίσωση (x −1)(x2 + x − 6)(2x2 + x +1) < 0Προκειμένου να λύσουμε την ανίσωση αυτή αρκεί να βρούμε τις τιμές τουx ∈ για τις οποίες το γινόμενο P(x) = (x −1)(x2 + x − 6)(2x2 + x +1)είναι αρνητικό.Από την πρώτη και την τελευταία γραμμή του πίνακα προσήμου του P(x) δια-πιστώνουμε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν x ∈ (−∞,−3) ∪ (1,2).ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΝα λυθεί η ανίσωση x3 − 3x2 + x + 2 > 0ΛΥΣΗΑν εργαστούμε όπως στο παράδειγμα 1, η ανίσωση γράφεται (x − 2)(x2 − x −1) > 0 ή (x  −1− 5   x − 1 + 5  > 0. − 2) x 2   2 Τοποθετούμε τις ρίζες του P(x) = x3 − 3x2 + x + 2 σε άξονα και παρατηρούμε ότι:Στο 1ο από δεξιά διάστημα (2, +∞) το Ρ(x) είναι θετικό, αφού όλοι οι παράγοντες εί-

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 145ναι θετικοί. Στο επόμενο διάστημα 1+ 5 , 2  το Ρ(x) είναι αρνητικό, αφού ένας  2 μόνο παράγοντας, ο x − 2, είναι αρνητικός. Αν συνεχίσουμε έτσι, βρίσκουμε τοπρόσημο του Ρ(x) σε όλα τα διαστήματα όπως φαίνεται στο σχήμα. – +– +–∞ 1− 5 1+ 5 2 +∞ 22Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι τα x ∈ , με 1− 5 < x < 1+ 5 ή x>2. 22Προσδιορισμός ρίζας με προσέγγιση Όταν ο ακριβής προσδιορισμός των ριζών μιας εξίσωσης είναι δύσκολος ήαδύνατος, τότε χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι για να προσδιοριστούν μεπροσέγγιση οι ρίζες αυτές. Μια τέτοια προσεγγιστική μέθοδος, που παρουσιά-ζεται βήμα προς βήμα στο παράδειγμα που ακολουθεί, στηρίζεται στο παρακά-τω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω η συνάρτηση f(x) = ανxν + αν–1xν–1 +......+ α1x + α0 Αν για δυο πραγματικούς αριθμούς α, β με α<β οι τιμές f(α), f(β) της συνάρτησης είναι ετερόσημες, τότε υπάρχει μια τουλά- χιστον ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0 μεταξύ των α, β.Το παραπάνω θεώρημα ερμηνεύεται γεωμετρικά ως εξής:Αν η γραφική παράσταση της f περνάει από δυο σημεία Α (α, f(α)) και Β(β,f(β))που βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα x'x, τότε αυτή τέμνει τον άξονα σε ένατουλάχιστον σημείο με τετμημένη μεταξύ των α και β. y y Β(β,f(β))f(α) Α(α,f(α)) f(β)O x1 x2 β Oα x1 x2 x3 β α x xf(β) Β(β,f(β)) f(α) Α(α,f(α))

146 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΝα αποδειχτεί ότι η εξίσωση x3 − 3x +1 = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα με-ταξύ των αριθμών 1 και 2. Στη συνέχεια να βρεθεί μια ρίζα με προσέγγισηδεκάτου.ΛΥΣΗ B(2,3)Έστω η συνάρτηση f (x) = x3 − 3x +11o βήμα: Έχουμε f (1) = −1 < 0 1 1,5 2x f (2) = 3 > 0 ρ A(1,−1)Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζατης εξίσωσης στο διάστημα (1,2).2o βήμα: Βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης στα ενδιάμεσα σημεία 1,1, 1,2,... 1,9 και παρατηρούμε ότι: f (1,5)  −0,13 < 0 f (1,6)  0,30 > 0Επομένως, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,5 , 1,6).3o βήμα: Επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία στο διάστημα(1,5 , 1,6) και έχουμε: f (1,53)  −0,01 < 0 f (1,54)  0,03 > 0Επομένως, υπάρχει μια ρίζα ρ στο διάστημα (1,53 , 1,54) δηλαδή ισχύει1,53 < ρ < 1,54.Άρα με προσέγγιση δεκάτου είναι ρ = 1,5.ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να λύσετε τις εξισώσεις.i) 5x4 = 6x2 ii) x3 + 2x2 − 9x −18 = 0iii) 3x5 + 5x4 = 3x3 + 5x2 iv) x6 − 64 = 0v) x3 + x2 − 2 = 0 vi) x3 − 7x + 6 = 0vii) (x +1)3 +1 = 0 viii) 7(3x + 2)2 (1− x)2 − (3x + 2)(1− x)3 = 0ix) x3 + 8 = 7(x2 + 5x + 6) + 9x2 − 36 x) x4 − 3x3 + 6x − 4 = 0

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1472. Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες των εξισώσεων i) x3 − 3x2 + x + 2 = 0 ii) 3x3 + 8x2 −15x + 4 = 0 iii) x3 −10x −12 = 0 iv) x3 + 2x2 + 7x + 6 = 03. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις δεν έχουν ακέραιες ρίζες. i) x4 + 3x − 2 = 0 ii) 2x4 − 3x3 + 6x2 − 24x + 5 = 04. Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω γινομένων, για τις διάφορες τιμές του x. i) P(x) = (2 − 3x)(x2 − x − 2)(x2 − x +1) ii) Q(x) = (−x2 + 4)(x2 − 3x + 2)(x2 + x +1)5. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 2x5 −162x ≤ 0 ii) (x3 − x2 + 2x − 2)(x2 − 9) > 0 iii) 2x3 − 5x2 − 6x + 9 > 0 iv) x3 − 4x2 − 3x +18 ≤ 06. Να λύσετε τις ανισώσεις: ii) x4 − 6x3 + 22x2 − 30x +13 ≤ 0 i) x3 + 2x2 + 3x + 6 > 0 iv) x4 − x3 + x2 − 3x − 6 ≥ 0 iii) x3 − 3x + 2 < 0 7. Να βρείτε τα σημεία τομής του άξονα x'x και της γραφικής παράστασης καθεμίας από τις συναρτήσεις: i) f (x) = 3x3 − 3x2 − 5x − 2 ii) g(x) = 4x3 − 3x −18. Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της πολυω- νυμικής συνάρτησης f (x) = x4 − 5x3 + 3x2 + x βρίσκεται κάτω από τον άξονα x'x.9. Να λύσετε τις εξισώσεις: ii) (x −1)6 − 9(x −1)3 + 8 = 0 i) x8 −15x4 −16 = 0 iii) 6 x 2 + 5  x x 1  − 6 =0 x +1  + 10. Να βρεθεί μια ρίζα της εξίσωσης x3 + 5x − 3 = 0 στο διάστημα (0,1) με προσέγγιση δεκάτου.

148 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4Ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΒ´ΟΜΑΔΑΣ1. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 1 x3 + 1 x2 + 1 x − 4 = 0, ii) x3 − 5 x2 − 22 x + 5 = 0 10 2 5 5 6 322. Να βρείτε για ποιες τιμές των α,β∈  το P(x) = x4 + αx3 + βx2 −16x −12 έχει παράγοντες τους x+1 και x − 2. Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) = 0.3. Να βρείτε τις τιμές του k ∈  για τις οποίες, η εξίσωση x3 − x2 + kx + 3 = 0 έχει μία τουλάχιστον ακέραια ρίζα.* 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xν + 2λx − 2 = 0, ν ∈N, 2, δεν έχει ακέραιες ρίζες.5. Αν P(x) = x6 − 5x4 −10x2 + k, να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το x −1 είναι παράγοντας του Ρ(x). Για αυτές τις τιμές του k να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) = 0.6. Για να κατασκευάσουμε ένα ανοικτό κου- x x τί από ένα ορθογώνιο χαρτόνι με διαστάσεις 3x 5dm και 9dm, κόβουμε ίσα τετράγωνα από 3 κάθε γωνία του και γυρίζουμε προς τα πάνω x τις πλευρές του. Να βρείτε τις διαστάσεις του 3 κουτιού, αν είναι γνωστό ότι αυτές εκφράζο- 3 νται σε dm με ακέραιους αριθμούς και ακόμη ότι ο όγκος του είναι 21dm3.7. Η συγκέντρωση μιας χημικής ουσίας στο αίμα t ώρες μετά από ενδομυϊκήένεση δίνεται από τον τύπο c = 3t 2 +t . Η συγκέντρωση είναι μέγιστη, t3 + 50όταν 3t4 + 2t3 − 300t − 200 = 0. Να υπολογίσετε με προσέγγιση δεκάτουτο χρόνο t καθώς και τη μέγιστη συγκέντρωση.8. Αν ο όγκος του διπλανού σχήματος είναι 36m3, 1mνα βρείτε το x. xm xm xm

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 149 9. Ένα παγόβουνο σύρεται από την Ανταρκτική προς την Αφρική. Αν ο όγκος του V, μετά από ν ημέρες δίνεται από τον τύπο V = 500π (2000 −100ν + 20ν2 − ν3), 3 να βρείτε μετά πόσο χρόνο το παγόβουνο θα λιώσει τελείως.10. Σε χρόνο t δευτερολέπτων μετά την πρόσκρουση του φορτηγού στο κιγκλίδωμα του δρόμου, η παραμόρφωση σε mm του κι- γκλιδώματος δίνεται από τον τύπο d = 15t(t2 – 6t – 9). Σε πόσο χρόνο μετά την πρόσκρουση η μπάρα του κιγκλιδώματος θα επανέλθει στην αρχική της θέση;11. Ένα πακέτο σχήματος παραλληλεπιπέδου, 3 x για να σταλεί με το ταχυδρομείο, πρέπει το x άθροισμα του μήκους του με την περίμετρο 3 μιας κάθετης τομής του να μην υπερβαίνει y τα 108cm (βλέπε σχήμα). Να βρεθούν οι δι- 3 αστάσεις του πακέτου, αν γνωρίζουμε ότι ο όγκος του είναι 11664 cm3.12. i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία Α (1,2) καιB  1 , − 1 .  2 2ii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία αυτή τέμνει την καμπύλη y = x3+x2 για τα x που εί-ναι ρίζες της εξίσωσης.x3 + x2 – 5x + 3 = 0iii) Να λύσετε την εξίσωση και να βρείτε τις συντεταγμένες του Γ.