Το σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Β Λυκείου

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ συνω = (ΟM1) ( )προσκείμενη κάθετη (OM) υποτείνουσα εϕω = (MM1) ( )απέναντι κάθετη (OM1) προσκείμενη κάθετηΟρίζουμε ακόμα ως συνεφαπτομένη της οξείας γωνίας ω, την οποία συμβο-λίζουμε με σφω, το σταθερό πηλίκο ( )σϕω = (ΟM1) (MΜ1) προσκείμενη κάθετη απέναντι κάθετηΤριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0ο£ ω £ 360οΈστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, Ot μία ημιευθεία αυτούκαι ω η γωνία που παράγεται από τον ημιάξονα Ox αν περιστραφεί κατά τη θε-τική φορά γύρω από το Ο μέχρι να συμπέσει για πρώτη φορά με την ημιευθείαOt (Σχ. α΄, β΄). Ο θετικός ημιάξονας Ox λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας ω,ενώ η ημιευθεία Ot λέγεται τελική πλευρά της ω. y t y t Μ2 ρ Μ(x,y) Μ(x,y) Μ2 y ω ω ρ Μ1 Ο Ο x Μ1 x x Σχήμα α΄ Σχήμα β΄Πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας ω παίρνουμε τυχαίο σημείο Μ(x, y) καιφέρνουμε την κάθετη MΜ1 στον άξονα x'x (Σχ. α΄ και β΄).Αν η γωνία ω είναι οξεία (Σχ. α΄), τότε, όπως είδαμε παραπάνω, ισχύουν οιισότητες: ηµω = ((MOMM1)) , συ νω = (ΟM1) , ε ϕω = (MM1) και σϕω = (ΟM1) (OM) (OM1) (MΜ1)Όμως (ΟΜ1) = x , (Μ1M) = y και (OM) = x2 + y2 = ρ > 0 . Επομένως,οι παραπάνω ισότητες γράφονται: ηµω = y , σ υνω = x , εϕω = y και σϕω = x , όπου ρ= x2 + y2 > 0 . ρ ρ x y

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 51Γενικεύοντας τα παραπάνω, ορίζουμε με τον ίδιο τρόπο τους τριγωνομετρι-κούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας ω (Σχήμα β΄).Σε κάθε λοιπόν περίπτωση έχουμε: ηµω = ρy , εϕ ω = xy (εφόσον x¹0) , όπου ρ = x2 + y2 > 0 συνω = x , σϕω = x (εφόσον y¹0) ρyόπου (x, y) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου Μ (διαφορετικού του Ο)της τελικής πλευράς της γωνίας ω και ρ = x2 + y2 > 0 η απόσταση του Μαπό το Ο.Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών μεγαλύτερων yτων 360ο και αρνητικών γωνιών tΑς υποθέσουμε ότι ο ημιάξονας Ox ενός συ- 300 xστήματος συντεταγμένων Oxy περιστρέφε- Οται γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά. Ανπραγματοποιήσει μια πλήρη περιστροφή και 3900περιστραφεί επιπλέον και κατά γωνία μέτρου30ο , τότε λέμε ότι ο Ox έχει διαγράψει γωνία y –3900 ω = 360 + 30 = 390.Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι γωνίες που Ο 300 xείναι μεγαλύτερες των 360, δηλαδή οι γω- tνίες της μορφής:ω = ν ⋅ 360 + µ, όπου ν ∈N* και 0o£ μ < 360oΑν τώρα ο ημιάξονας Ox, στρεφόμενος γύρωαπό το Ο κατά την αρνητική φορά, πραγματο-ποιήσει μια πλήρη περιστροφή και στη συνέ-χεια διαγράψει γωνία μέτρου 30 , τότε λέμεότι ο ημιάξονας Ox έχει διαγράψει αρνητικήγωνία 360ο + 30ο = 390ο ή αλλιώς γωνία:ω = −(360 + 30 ) = −390

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΜε ανάλογο τρόπο ορίζονται οι αρνητικές γωνίες δηλαδή οι γωνίες της μορφής: ω = −(ν ⋅ 360 + µ ), όπου ν ∈ N και 0 ≤ µ < 360Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών που είναι μεγαλύτερες από 360o, καθώς καιτων αρνητικών γωνιών, ορίζονται όπως και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιώναπό 0 μέχρι 360.Δηλαδή, για κάθε γωνία ω, θετική ή αρνητική, ορίζουμε: ηµω = y , εϕω = y (εφόσον x¹0) ρx , όπου ρ = x2 + y2 > 0 συνω = x , σϕω = x (εφόσον y¹0) ρyόπου (x, y) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου Μ της τελικής πλευράςτης γωνίας ω (διαφορετικού του Ο) και ρ = x2 + y2 > 0 η απόσταση του Μαπό το Ο.Ας θεωρήσουμε τώρα μια γωνία ω (θετική ή αρνητική) με αρχική πλευρά τονημιάξονα Ox .Αν ο ημιάξονας Ox , στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά, συ-μπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θαέχει διαγράψει γωνία ν ⋅ 360 + ω, που έχει την ίδια τελική πλευρά με την ω.Αν όμως ο ημιάξονας Ox , στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά την αρνητικήφορά, συμπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνίαω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία −ν ⋅ 360 + ω, που έχει και αυτή την ίδια τε-λική πλευρά με την ω.Οι παραπάνω γωνίες, που είναι της μορφής k ⋅ 360 + ω, k ∈  , επειδή έχουντην ίδια τελική πλευρά θα έχουν και τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς.Επομένως, για κάθε k ∈  θα ισχύει: ηµ(k ⋅ 360 + ω) = ηµω, εϕ(k ⋅ 360 + ω) = εϕω συν(k ⋅ 360 + ω) = συνω, σϕ(k ⋅ 360 + ω) = σϕω

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 53Ο τριγωνομετρικός κύκλοςΓια έναν κατά προσέγγιση, αλλά σύντομο, υπολογισμό των τριγωνομετρικώναριθμών, χρησιμοποιούμε το λεγόμενο τριγωνομετρικό κύκλο. Ο τριγωνομε-τρικός κύκλος θα μας εξυπηρετήσει και σε άλλους σκοπούς, όπως θα φανεί στιςεπόμενες παραγράφους.Με κέντρο την αρχή Ο(0,0) yενός συστήματος συντεταγ- 90oμένων και ακτίνα ρ = 1 γρά- 110o 100o 80o 70oφουμε έναν κύκλο. Ο κύκλος 120o 60oαυτός λέγεται τριγωνομετρι- 130o 50oκός κύκλος. 40o N(α,β) 140o β 30oΈστω τώρα ότι η τελική πλευ- 150oρά μιας γωνίας, π.χ. της γωνί-ας ω = 35, τέμνει τον κύκλο 160o x ω 350 20 oαυτό στο σημείο Ν(α, β). 0,1 10o 170o Ο 0,1 180o α 1x 190o 350o 200o 340o 210o 330o 220o y 320o 240o250o260o270o280o290oΕπειδή ηµ35 = β και ρ=1 Μ(x2,3y0) o 310o ρ 300oθα ισχύει ηµ35 = β 0,57.Ομοίως, επειδή συν35 = α και ρ =1, θα ισχύει συν35 = α 0,82. ρΓενικότερα, αν η τελική πλευρά μιας γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύ-κλο στο σημείο Μ(x, y), τότε ισχύει: συνω = x = τετμημένη του σημείου Μ ημω = y = τεταγμένη του σημείου ΜΓια το λόγο αυτό ο άξονας x'x λέγεται και άξονας των συνημίτονων, ενώ οάξονας y'y λέγεται και άξονας των ημίτονων.Άμεσες συνέπειες του παραπάνω συμπεράσματος είναι οι εξής:1. Οι τιμές του συνω και του ημω μιας γωνίας ω δεν μπορούν να υπερβούν κατ’ απόλυτη τιμή την ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου, που είναι ίση με 1. Δηλαδή ισχύει: −1 ≤ συνω ≤ 1 και −1 ≤ ηµω ≤ 1

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ2. Τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω, ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας αυτής, είναι όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας. 1 2 3 4 ημω + + – – συνω + – – + εφω + – + – σφω + – + –Ο άξονας των εφαπτομένων y εtΘεωρούμε τον τριγωνομετρικό Bκύκλο και μια γωνία ω που η τε-λική της πλευρά τον τέμνει στο M E(1,yE)σημείο M(x, y). Φέρνουμε τηνεφαπτομένη ε του τριγωνομετρι- A´ ωκού κύκλου στο σημείο Α. OΑν η τελική πλευρά της γωνίας Axβρίσκεται στο 1 τεταρτημόριοκαι η ευθεία ΟΜ τέμνει την ε B´στο Ε, τότε από το ορθογώνιοτρίγωνο ΑΟΕ θα έχουμεεϕω = (ΑΕ) = (ΑΕ) = (ΑΕ) (ΟΑ) 1Αν με yE παραστήσουμε την τεταγμένη του Ε, τότε θα ισχύει (AE)= yE , οπότεθα είναι εφω = yE.Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και όταν η τελική πλευρά της γωνίας ωβρίσκεται σε οποιοδήποτε άλλο τεταρτημόριο.Επομένως σε κάθε περίπτωση ισχύει: εφω = yE = τεταγμένη του σημείου ΕΓια το λόγο αυτό η ευθεία ε, που έχει εξίσωση x = 1 , λέγεται άξονας των εφα-πτομένων.

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 55Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών BΈχουμε γνωρίσει στο Γυμνάσιο το ακτίνιο ωςμονάδα μέτρησης τόξων. Συγκεκριμένα, ένα ρ ρτόξο AB ενός κύκλου (Ο, ρ) λέγεται τόξο ενός 1radακτινίου (ή 1rad), αν το τόξο αυτό έχει μήκοςίσο με την ακτίνα ρ του κύκλου. Επομένως, το Oρ Aτόξο α ακτινίων (ή α rad) έχει μήκος S = α ⋅ ρ .Ορίζουμε τώρα το ακτίνιο και ως μονάδα μέ-τρησης των γωνιών ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣΑκτίνιο (ή 1 rad ) είναι η γωνία η οποία, όταν γίνει επίκεντρη σε έναν κύκλο,βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου (ή 1 rad).Από τον ορισμό αυτό προκύπτει και η σχέση μοίρας και ακτινίου ως μονά-δων μέτρησης γωνιών, ως εξής:Έστω ότι μια γωνία ω είναι µ και α rad . Επειδή το μήκος ενός κύκλου α-κτίνας ρ είναι 2πρ, η γωνία 360 είναι ίση με 2π rad.οπότε, η γωνία 1 rad είναι ίση με 360 μοίρες,Επομένως, 2π η γωνία α rad είναι ίση με α ⋅ 180 μοίρες. πΕπειδή όμως η γωνία ω είναι µ , θα ισχύει µ = α ⋅ 180 , οπότε θα έχουμε: πΓια παράδειγμα:9 Για να εκφράσουμε τη γωνία 60 σε ακτίνια, θέτουμε στον τύποόπου µ = 60 και έχουμε α = 60 ⇔ α = π π 180 3Άρα είναι 60 = π rad. 3

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ9 Για να εκφράσουμε τη γωνία 5π rad σε μοίρες, θέτουμε στον τύπο 6 α= µ όπου α = 5π και έχουμε π 180 6 5π 6 = µ ⇔ 5 = µ ⇔ µ = 150 π 180 6 180 Άρα 5π rad = 150. 6Στον παρακάτω πίνακα επαναλαμβάνουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούςμερικών γωνιών που είχαμε υπολογίσει στο Γυμνάσιο και οι οποίοι είναι ιδιαί-τερα χρήσιμοι στις διάφορες εφαρμογές. Γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί σε μοίρες σε rad ημω συνω εφω σφω 0 0 0 1 0 Δεν ορίζεται 1 3 30 π 2 2 3 6 2 2 33 2 2 π 3 1 11 45 4 2 2 π 1 0 3 3 60 3 3 Δεν π ορίζεται 0 90 2ΣΗΜΕΙΩΣΗΣτη συνέχεια, επειδή στον τριγωνομετρικό κύκλο το τόξο x rad έχει μήκοςx, αντί να γράφουμε ημ(x rad), συν(x rad), εφ(x rad) και σφ(x rad),θα γράφουμε απλά ημx, συνx, εφx και σφx.Για παράδειγμα, αντί να γράφουμε π.χ. ηµ  π rad  θα γράφουμε απλά ηµ π  3  3και αντί ημ(100rad ) θα γράφουμε απλά ημ100 .

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 57ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ K h1η Οι μετρήσεις που έκανε ένας μηχανικόςγια να βρει το ύψος h ενός καμπαναριούΓΚ φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Ναυπολογιστεί το ύψος του καμπαναριού σεμέτρα με προσέγγιση ακέραιας μονάδας.ΛΥΣΗ 48ο 70ο Α 20 m ΒΑπό το σχήμα έχουμε: 4 Γεϕ48 = h , οπότε ΑΓ = h ΑΓ εϕ48εϕ70 = h , οπότε ΒΓ = h ΒΓ εϕ70AΓ – ΒΓ = ΑΒ = 20mΕπομένως h − h = 20, οπότε h = 20εϕ70 ⋅ εϕ48 . εϕ48 εϕ70 εϕ70 − εϕ48Με τους τριγωνομετρικούς πίνακες ή με ένα κομπιουτεράκι βρίσκουμε ότι εϕ70 2,75 και εϕ48 1,11.Αντικαθιστούμε στην (1) και έχουμε: h  61,05  37 1, 64Άρα το ύψος του καμπαναριού είναι περίπου 37m .2η Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 750 .ΛΥΣΗΑν διαιρέσουμε το 750 με το 360 βρίσκουμε πηλίκο 2 και υπόλοιπο 30, έτσιέχουμε 750 = 2 ⋅ 360 + 30Επομένωςηµ750 = ηµ(2 ⋅ 360 + 30 ) = ηµ30 = 1 συν750 = συν30 = 3 2 2 εϕ750 = εϕ30 = 3 σϕ750 = σϕ30 = 3 3

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ3η Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 79π rad. 3 ΛΥΣΗΕίναι υ7π93όπλ=οιπ76ο91⋅ .2Εππ. οΑμένντωώςρεαίνδαιιαιρ7έ93σπου=μ7ε69το⋅ ν2π79=με13το+ν166β2ρπίσ=κ1ο3υμ⋅ 2εππη+λπ3ίκ,ο13 καιοπότε θα έχουμε:ηµ 79π = ηµ13⋅ 2π + π  = ηµ π = 3 συν 79π = συν π = 1 3 3  3 2 3 32 εϕ 79π = εϕ π = 3 σϕ 79π = σϕ π = 3 3 3 3 3 3ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ A1. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε τα μήκη 6x y x, y και τη γωνία ω . 300 ω B Δ 3Γ 42. Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου A του διπλανού σχήματος. 600 300 B2 Γ3. Μια επίκεντρη γωνία ω βαίνει σε τόξο S = 6cm. Να εκφράσετε τη γωνία αυτή σε ακτίνια, αν η ακτίνα του κύκλου είναι: i) ρ = 1cm ii) ρ = 2cm iii) ρ = 3cm .4. Να εκφράσετε σε rad γωνία i) 30 ii) 120 iii) 1260 iv) −1485.5. Να μετατρέψετε σε μοίρες γωνία: i) π rad ii) 5π rad iii) 91π rad iv) 100rad . 10 6 36. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας i) 1830 ii) 2940 iii) 1980 iv) 3600.

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 59Β΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Σε μικρά αεροδρόμια υπολο- N (Nέφος)γίζουν το ύψος των νεφώνμε τη βοήθεια μιας ισχυρήςλάμπας εντός παραβολικού hκατόπτρου, η οποία βρίσκε- ω 700ται σε απόσταση 1000 πόδια Π (Παρατηρητής) Δ Λ(Λάμπα)(1 πόδι  0,3 m) από το ση- 1.000 πόδιαμείο του παρατηρητή. Η λάμπα είναι τοποθετημένη υπό σταθερή γωνία και ο παρατηρητήςστρέφει το όργανο παρατήρησης στο σημείο ανάκλασης του φωτός από τα νέφη. και 60. i) Να προσδιορίσετε το ύψος h για ω = ii) Πόση είναι η γωνία ω, αν h=1000 πόδια;2. Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος: Ε i) Να δείξετε ότι: Γ (ΑΓ) = (ΒΓ) = 2ημ 45 = 2. Δ ii) Να εξηγήσετε γιατί είναι (ΕΒ) = 4 ⋅ ηµ22,5. iii) Να υπολογίσετε το μήκος (ΓΕ). A 22,5o Ο 45o B iv) Να δείξετε, χρησιμοποιώντας 11 3 3  το τρίγωνο ΒΕΓ , ότι (ΕΒ) = 2 2 − 2 . v) Να υπολογίσετε το ηµ22,5. vi) Ποιων άλλων γωνιών μπορείτε να υπολογίσεται το ημίτονο και πώςπρέπει να συνεχιστεί η κατασκευή για το σκοπό αυτό; A3. Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΓΔ του 300 διπλανού σχήματος. 6 BΔ 300 Γ4. Η πιο αργή κίνηση που μπορεί να επισημάνει το ανθρώπινο μάτι είναι1mm ανά δευτερόλεπτο. Να βρείτε πόσο μήκος πρέπει να έχει ο λεπτο-δείκτης ενός ρολογιού για να μπορούμε να επισημάνουμε την κίνηση τουάκρου του.

60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 3.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩνομετρικεσ ταυτοτητεσΑπό τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω προκύπτουνορισμένες σχέσεις που τους συνδέουν και είναι γνωστές ως τριγωνομετρικέςταυτότητες. Οι ταυτότητες αυτές είναι χρήσιμες στο λογισμό με παραστάσειςπου περιέχουν τριγωνομετρικούς αριθμούς.Συγκεκριμένα ισχύουν:1. ΑΠΟΔΕΙΞΗΑν M (x, y) είναι το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέμνει τοντριγωνομετρικό κύκλο, τότε θα είναι: x = συνω και y = ημω y t ΒΕπειδή όμως, Μ(x,y) y(OM) =1 και (ΟΜ)2 = x 2 + y 2 = x2 + y2 |y| 1θα ισχύει: A’ ω A x2 + y2 = 1, x x |x| Oοπότε θα έχουμε: συν2ω + ηµ2ω = 1 Β’2. ΑΠΟΔΕΙΞΗΣτο ίδιο σχήμα έχουμε: εϕω = y = ηµω (εφόσον x = συνω ≠ 0 ) x συνω σϕω = x = συνω (εφόσον y = ηµω ≠ 0 ). y ηµω

3.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 61Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων (1) και (2), θα αποδείξουμε δύο επιπλέον χρή-σιμες ταυτότητες.3. εφω . σφω = 1ΑΠΟΔΕΙΞΗΕίναι: εϕω = ηµω και σϕω = συνω (εφόσον συνω ¹ 0 και ημω ¹ 0) συνω ηµωΕπομένως: εϕω⋅ σϕω = ηµω ⋅ συνω = 1 . συνω ηµω4. συν2ω = 1 και ηµ2ω = 1 εϕ2ω . 1+ εϕ2ω + εϕ2ωΑΠΟΔΕΙΞΗi) Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ταυτότητας ηµ2ω + συν2ω = 1 με συν2ω ≠ 0 και έχουμε: ηµ2ω +σσυυνν22ωω = 1 ⇔ εϕ2ω +1 = 1 ⇔ συν2ω = 1+ 1 . συν2ω συν2ω συν2ω εϕ2ω Άρα συν2ω = 1 + 1 . εϕ2ωii) Αν στην ταυτότητα ηµ2ω + συν2ω = 1 θέσουμε συν2ω = 1 , 1+ εϕ2ω έχουμε: ηµ2ω + 1 + 1 = 1 ⇔ ηµ2ω = 1 − 1 + 1 ⇔ ηµ2ω = 1 εϕ2ω . εϕ2ω εϕ2ω + εϕ2ω Άρα ηµ2ω = 1 εϕ2ω . + εϕ2ω

62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1η Αν ηµω = 5 και 90 < ω < 180 ,, να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί 13 αριθμοί της γωνίας ω. ΛΥΣΗΑπό την ταυτότητα ηµ2ω + συν2ω = 1 προκύπτει ότι συν2ω = 1− ηµ2ω.Αντικαθιστούμε το ημω με 5 και έχουμε: 13συν2ω =1− 5 2 =1− 25 = 169 − 25 = 144 .  13  169 169 169Επειδή 90 < ω < 180, είναι συνω < 0 , οπότε έχουμε: συνω = − 144 = −12 169 13Από τις ταυτότητες τώρα εϕω = ηµω και σϕω = συνω , έχουμε: συνω ηµω 5 − 12 13 εϕω = 13 = −5 και σϕω = 5 = − 12 . − 12 12 5 13 132η Να αποδειχθεί ότιi) ηµ4ω + συν4ω = 1− 2ηµ2ωσυν2ω ii) ηµ4ω − συν4ω = 2ηµ2ω −1 ΑΠΟΔΕΙΞΗi) Έχουμε διαδοχικά: ηµ4ω + συν4ω = (ηµ2ω)2 + (συν2ω)2 = (ηµ2ω + συν2ω)2 − 2ηµ2ω⋅ συν2ω = 1− 2ηµ2ω⋅ συν2ω, (Επειδή ηµ2ω + συν2ω = 1)ii) Έχουμε διαδοχικά: ηµ4ω − συν4ω = (ηµ2ω)2 − (συν2ω)2 = (ηµ2ω + συν2ω)(ηµ2ω − συν2ω) = ηµ2ω − συν2ω (Επειδή ηµ2ω + συν2ω = 1 ) = ηµ2ω − (1− ηµ2ω) = 2ηµ2ω −1.

3.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 63ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν ηµx = 3 και π < x < π, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρι- 52 κούς αριθμούς της γωνίας x rad. 2. Αν συνx =−2 και π < x < 3π , να βρείτε τους άλλους τριγωνομε- 3 2 τρικούς αριθμούς της γωνίας x rad. 3. Αν εϕx = − 3 και 3π < x < 2π, να βρείτε τους άλλους τριγωνομε- 3 2 τρικούς αριθμούς της γωνίας x rad. 4. Αν σϕx = 2 5 και 0 < x < π , να βρείτε τους άλλους τριγωνομε- 52 τρικούς αριθμούς της γωνίας x rad. 5. Αν σϕx = −2 και 3π < x < 2π, να υπολογίσετε την τιμή της παρά- 2 στασης 2ηµxσυνx . 1+ συνx 6. Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του x για τις οποίες: i) Να ισχύει συγχρόνως ημx = 0 και συνx = 0. ii) Να ισχύει συγχρόνως ημx = 1 και συνx = 1. iii) Να ισχύει συγχρόνως ηµx = 3 και συνx = 4 . 5 5 7. Να αποδείξετε ότι τα σημεία M ( x, y) του επιπέδου με x = 3συνθ και y = 3ημθ είναι σημεία κύκλου O(0,0) κέντρου και ακτίνας ρ = 3. 8. Αν ισχύει x = 2συνθ και y = 3ημθ , να δείξετε ότι 9x2 + 4y2=36. 9. Αν είναι x = r ημθσυνφ , y = r ημθημφ και z = r συνθ , να δείξετε ότι x2 + y2 + z2 = r2.10. Να αποδείξετε ότι: i) ηµα = 1− συνα ii) συν4α − ηµ4α = 2συν2α −1 . 1+ συνα ηµα

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ11. Να αποδείξετε ότι: i) ηµθ + 1+ συνθ = 2 ii) συνx + συνx = 2 . 1+ συνθ ηµθ ηµθ 1− ηµx 1+ ηµx συνx12. Να αποδείξετε ότι: ii) εϕ2α − ηµ2α = εϕ2α ⋅ ηµ2α. i) εϕα + σϕβ = εϕα εϕβ + σϕα εϕβ13. Να αποδείξετε ότι: i) συνx + ηµx = ηµx + συνx ii) (1− συνx)1+ 1  = ηµx ⋅ εϕx 1− εϕx 1− σϕx συνx  iii) 1 = ηµx ⋅ συνx iv)  1 − ηµx  1 − συνx  = ηµx ⋅ συνx. εϕx + σϕx  ηµx  συνx  B΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Αν ημx + συνx = α , να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α τις παραστά- σεις: ii) 1 + 1 i) ηµx ⋅ συνx ηµx συνx iii) εϕx + σϕx iv) ηµ3x + συν3x.2. Να αποδείξετε ότι: i) ηµ4x + συν4x = 1− 2ηµ2x ⋅ συν2x ii) ηµ6x + συν6x = 1− 3ηµ2x ⋅ συν2x. iii) Η παράσταση 2(ηµ6x + συν6x) − 3(ηµ4x + συν4x) έχει τιμή ανε- ξάρτητη του x , δηλαδή είναι σταθερή.3. Αν − π < x < π , να αποδείξετε ότι 1+ ηµx − 1− ηµx = 2εϕx. 22 1− ηµx 1+ ηµx4. Αν 0≤ x < π , να αποδείξετε ότι 1+ συνx + 1− συνx = 1+ ηµx = συνx . 2 1+ συνx − 1− συνx συνx 1− ηµx

3.3 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 65 3.3 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1o ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟΟ υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών οποιασδήποτε γωνίας μπορείνα γίνει, όπως θα δούμε στη συνέχεια, με τη βοήθεια πινάκων που δίνουν τουςτριγωνομετρικούς αριθμούς γωνιών από 0 μέχρι 90.Ας θεωρήσουμε δύο γωνίες ω και ω' που οι τελικές πλευρές τους τέμνουν τοντριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ' αντιστοίχως.Γωνίες αντίθετες ytΑν οι γωνίες ω και ω' είναι αντίθετες, Βδηλαδή αν ω' = −ω , τότε, όπως φαί- Μ(x,y)νεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία Μκαι Μ΄ είναι συμμετρικά ως προς τον A´ ω Aάξονα x'x. Επομένως τα σημεία αυτά Οω xέχουν την ίδια τετμημένη και αντίθε-τες τεταγμένες. Μ´(x, y)Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των Β´τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραί-νουμε ότι: t' συν(−ω) = συνω ηµ(−ω) = −ηµω εϕ(−ω) = −εϕω σϕ(−ω) = −σϕωΔηλαδή:Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλουςτριγωνομετρικούς αριθμούς.Για παράδειγμα:9 Έχουμε:ηµ(−30 ) = −ηµ(30 ) = − 1 συν(−30 ) = συν(30 ) = 3 2 2εϕ(−30 ) = −εϕ(30 ) = − 3 σϕ(−30 ) = −σϕ(30 ) = − 3 3 9 Επίσης, έχουμε:ηµ  − π  = −ηµ π = − 2 συν  − π  = συν π = 2  4  4 2  4  4 2 εϕ π  π σϕ − π  π − 4  = −εϕ 4 = −1 4  = −σϕ 4 = −1

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΓωνίες με άθροισμα 180oΑν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροι- t’ y tσμα 180, δηλαδή αν ω' = 180 − ω, Μ’(–x,y) B Μ(x,y)τότε, όπως φαίνεται στο διπλανόσχήμα, τα σημεία Μ και Μ' είναι A’ 1800−ω Axσυμμετρικά ως προς τον άξονα y'y . ωΕπομένως τα σημεία αυτά έχουντην ίδια τεταγμένη και αντίθετες τε- Οτμημένες.Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των B’τριγωνομετρικών αριθμών, συμπε-ραίνουμε ότι:Δηλαδή:Οι γωνίες με άθροισμα 180 έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τουςάλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.Για παράδειγμα:9 Επειδή 150 = 180 − 30, έχουμε: ηµ150 = ηµ(180 − 30 ) = ηµ30 = 1 2 συν150 = συν(180 − 30 ) = −συν30 = − 3 2εϕ150 = εϕ(180 − 30 ) = −εϕ30 = − 3 3σϕ150 = σϕ(180 − 30 ) = −σϕ30 = − 39 Επειδή 2π = π − π , έχουμε: 33ηµ  2π  = ηµ  π − π  = ηµ π = 3  3   3  3 2

3.3 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 67συν  2π  = συν  π − π  = −συν π = − 1  3   3  3 2εϕ 2π  = εϕ π − π  = −εϕ π = − 3 3  3  3σϕ 2π  = σϕ π − π  = −σϕ π = − 3 3  3  3 3Γωνίες που διαφέρουν κατά 180o y t B Μ(x,y)Αν οι γωνίες ω και ω' διαφέρουν κατά 180δηλαδή αν ω' = 180 + ω, τότε, όπως φαί- 1800+ω ω Aνεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία Μ και A’ xΜ' είναι συμμετρικά ως προς την αρχή τωναξόνων. Επομένως τα σημεία αυτά έχουν Μ’(–x,–y) Β’αντίθετες τετμημένες και αντίθετες τεταγ- t’μένες.Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγω-νομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι:Δηλαδή:Οι γωνίες που διαφέρουν κατά 180 έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημί-τονο, ενώ έχουν την ίδια εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.Για παράδειγμα:9 Επειδή 210 = 180 + 30, έχουμε: ηµ210 = ηµ(180 + 30 ) = −ηµ30 = − 1 2 συν210 = συν(180 + 30 ) = −συν30 = − 3 2 εϕ210 = εϕ(180 + 30 ) = εϕ30 = 3 3 σϕ210 = σϕ(180 + 30 ) = σϕ30 = 3

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ9 Επειδή 4π = π + π , έχουμε: 3 3 ηµ  4π  = ηµ  π + π  = −ηµ π = − 3  3   3  3 2 συν  4π  = συν  π + π  = −συν π = − 1  3   3  3 2 εϕ 4π  = εϕ π + π  = εϕ π = 3 3  3  3 σϕ  4π  = σϕ π + π  = σϕ π = 3  3  3  3 3Γωνίες με άθροισμα 90o A’ y t’Αν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροισμα B Μ’(y,x) y=x90, δηλαδή ω' = 90 − ω, τότε, όπωςφαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία tΜ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς τη Μ(x,y) ω 900–ωδιχοτόμο της γωνίας xOˆ y. O AxΕπομένως η τετμημένη του καθενός B’ισούται με την τεταγμένη του άλλου.Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τρι-γωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνου-με ότι: ηµ(90 − ω) = συνω συν(90 − ω) = ηµω εϕ(90 − ω) = σϕω σϕ(90 − ω) = εϕωΔηλαδή,Αν δύο γωνίες έχουν άθροισμα 90 , τότε το ημίτονο της μιας ισούται με τοσυνημίτονο της άλλης και η εφαπτομένη της μιας ισούται με τη συνεφα-πτομένη της άλλης.Για παράδειγμα, επειδή 60 = 90 − 30, έχουμε: ηµ60 = συν30 = 3 , συν60 = ηµ30 = 1 , 2 2 εϕ60 = σϕ30 = 3 και σϕ60 = εϕ30 = 3 3

3.3 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 69 ΣΧΟΛΙΟΑπό τα προηγούμενα καταλαβαίνουμε ότι δεν χρειάζεται να έχουμε πίνακες τριγωνομετρικώναριθμών όλων των γωνιών, αλλά μόνο των γωνιών από 0 μέχρι 90.ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1η Δίνεται ότι συν36 = 1+ 5 . Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθ- 4μοί της γωνίας 54.ΛΥΣΗΕπειδή 54 = 90 − 36, έχουμε ηµ54 = συν36 = 1+ 5 4Σύμφωνα με την ταυτότητα ηµ2ω + συν2ω = 1 ισχύειηµ254 + συν254 = 1, οπότε:συν2 54 = 1 − ηµ2 54 = 1 −  1 + 5 2 =1− 6+2 5 = 10 − 2 5,  4  16 16οπότε: συν54 = 10 − 2 5 4Επομένως είναι: συν54 ηµ54 ηµ54εϕ54 = συν54 = 1+ 5 και σϕ54 = = 10 − 2 5 . 10 − 2 5 1+ 52η Να υπολογιστούν με τη βοήθεια της γωνίας ω οι τριγωνομετρικοί αριθ- μοί των γωνιών: α) 90 + ω, β) 270 − ω και γ) 270 + ωΛΥΣΗi) Επειδή 90 + ω = 90 − (−ω), έχουμε: ηµ(90 + ω) = ηµ(90 − (−ω)) = συν(−ω) = συνω.Ομοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας90 + ω.

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ii) Επειδή 270 − ω = 180 + (90 − ω) , έχουμε: ηµ(270 − ω) = ηµ(180 + (90 − ω)) = −ηµ(90 − ω) = −συνω . Ομοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 270 − ω.iii) Επειδή 270 + ω = 360 − 90 + ω = 360 + (ω − 90 ), έχουμε: εϕ(270 + ω) = εϕ(ω − 90 ) = −εϕ(90 − ω) = −σϕω . Ομοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 270 + ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας: i) 1200 ii) −2850. 2. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 187π 21π i) 6 rad ii) 4 rad. 3. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι: i) ηµΑ = ηµ(Β + Γ) ii) συνΑ + συν(Β + Γ) = 0 iii) ηµ Α = συν Β + Γ iv) συν Α = ηµ Β + Γ . 2 2 22 4. Να απλοποιήσετε την παράσταση συν(−α) ⋅ συν(180 + α) . ηµ(−α) ⋅ ηµ(90 + α) εϕ(π − x) ⋅ συν(2π + x) ⋅ συν  9π + x  2  5. Να αποδείξετε ότι: = −1. σϕ 21π  ηµ(13π + x) ⋅ συν(−x) ⋅ 2 − x  6. Να δείξετε ότι έχει σταθερή τιμή η παράσταση: ηµ2 (π − x ) + συν(π − x)συν(2π − x ) + 2ηµ2  π − x .  2

3.3 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 71Β΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ηµ495 ⋅ συν120 + συν495 ⋅ συν(−120 ) . εϕ(−120 ) + εϕ4952. Να αποδείξετε ότι: ηµ(5π + ω) ⋅ συν(7π − ω) ⋅ ηµ  5π − ω ⋅ συν  7π + ω  2  2 = ηµ2ω − 1.  5π ω σϕ 7π ω σϕ(5π + ω) ⋅ ηµ(7π − ω) ⋅ συν  2 − ⋅ 2 +3. Αν εϕ π − x  + εϕ π + x  = 5, να υπολογίσετε την τιμή της παράστα- 3  6  σης:  π   π . εϕ2  3 − x  + εϕ2  6 + x4. Να αποδείξετε ότι: 0 < εϕ(π + x) < 1. εϕx + σϕ(π + x) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣI) Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής. 1. Αν ημω = 1, τότε υποχρεωτικά θα είναι συνω = 0 . Α Ψ 2. Αν συνω = 0 , τότε υποχρεωτικά θα είναι ημω = 1. Α Ψ 3. Υπάρχει γωνία ω με ημω + συνω = 2 . Α Ψ 4. Για κάθε γωνία ω ισχύει ηµω = 1− συν2ω Α Ψ 5. ηµ2 20 + ηµ2 70 = 1 Α Ψ 6. Για κάθε x ∈  ισχύει ηµ(x − π) = −ηµx Α Ψ Α Ψ 7. Για κάθε x ∈  ισχύει ηµ2x = ηµx2 Α Ψ 8. Αν συν  x − π  + ηµx = 0 , τότε ηµx = 0 Α Ψ  2  9. Για κάθε x∈  ισχύει συν  x − π  − ηµ  π + x  = 0  6   3 

72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑII. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της Α΄ ομάδας με τον ίσο του από τη Β΄ ομάδα. Α´ ΟΜΑΔΑ Β´ ΟΜΑΔΑ 1 ηµ120 Α −3 2 συν150 3 ηµ210 Β −3 4 συν300 2 5 εϕ210 6 σϕ300 Γ −3 7 εϕ300 3 8 σϕ210 Δ −1 2 Ε 1 2 Ζ3 3 Η3 2 Θ3III. Σ ε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να επιλέξετε τη σωστή απά- ντηση. 1. Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ( Α = 90 ) και όχι ισοσκελές, τότε: Α) ηµ2Β + ηµ2Γ = 1, Β) ηµ2Β + συν2Γ = 1, Γ) εφΒ=1. 2. Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ορθογώνιο τότε: Α) συν(Β + Γ) = συνΑ , Β) ημ(Β + Γ) = ημΑ , Γ) εφ(Β + Γ) = εφΑ . 3. Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ορθογώνιο τότε: Α) Β) συν  Β + Γ  = συν Α , Γ) εϕ  Β + Γ  = εϕ Α .  2  2 2  2

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 73 3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣΠεριοδικές συναρτήσεις — Έστω ότι ένα φέρι-μποτ πηγαινοέρχεται μεταξύ δύο λιμανιών Α και Β και η γραφική παράσταση της απόστασης του από το λιμάνι Α ως συνάρτηση του χρόνου φαίνεται στο παρακάτω σχήμαΠαρατηρούμε ότι κσάηθμεαί1νε12ι ώρα το φέρι-μποτ επαναλαμβάνει την ίδια ακρι-βώς κίνηση. Αυτό ότι σε όποια απόσταση βρίσκεται από το λιμάνι Ασε κάποια χρονική στιγμή t, στην ίδια απόσταση θα βρίσκεται και τη χρονικήστιγμή t +11 ώρες και στην ίδια απόσταση βρισκόταν και τη χρονική στιγμή 2t −11 ώρες. 2Επομένως η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση του φέρι-μποτ από το λι-μάνι Α, με τη βοήθεια του χρόνου t, έχει τις ίδιες τιμές τις χρονικές στιγμές t,t +1 1 , t −11 . Λέμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο 11 2 2 2ώρες.— Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση του ύψους μιας κού-νιας ως συνάρτηση του χρόνου t.Παρατηρούμε ότι, όποιο ύψος έχει η κούνια σε κάποια χρονική στιγμή t, το ίδιούψος θα έχει και τη χρονική στιγμή t + 2 sec και το ίδιο ύψος είχε και τη χρονικήστιγμή t − 2 sec.

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΛέμε πάλι ότι η συνάρτηση (που εκφράζει το ύψος της κούνιας με τη βοήθειατου χρόνου t) είναι περιοδική με περίοδο 2 sec.Γενικότερα:Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχειπραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος, ώστε για κάθε x ∈A να ισχύει: i) x + T ∈ A, x − T ∈ Aκαι ii) f (x + T) = f (x − T) = f (x)Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f.Τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικών αριθμών Όπως γνωρίζουμε, για κάθε γωνία ω υπάρχει μία μόνο τιμή του ημω, με–1 ≤ ηµω ≤ 1. Έτσι ορίζεται μια συνάρτηση με την οποία κάθε γωνία ω αντι-στοιχίζεται στο ημίτονό της. Ομοίως ορίζονται και οι άλλες τριγωνομετρικέςσυναρτήσεις γωνιών. Πολλές εφαρμογές όμως των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δεν περιέχουνγωνίες, αλλά πραγματικούς αριθμούς, όπως, π.χ. ο τύπος της αρμονικής ταλά-ντωσης f (t) = α ⋅ ηµωt, στον οποίο τα α και ω είναι σταθερές και t είναι έναςπραγματικός αριθμός που παριστάνει το χρόνο.Για το λόγο αυτό ορίζουμε στη συνέχεια τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγ-ματικής μεταβλητής.Συγκεκριμένα:— Η συνάρτηση με την οποία κάθε πραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στοημ (x rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και συμβολίζεται με ημ.Ορίζουμε δηλαδή ότι ηµx = ηµ(xrad)Επειδή ηµ(ω + 360ο ) = ηµ(ω − 360ο ) = ηµω, για κάθε x ∈  θα ισχύει: ηµ(x + 2π) = ηµ(x − 2π) = ηµxΆρα η συνάρτηση ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο 2π.— Ομοίως ορίζουμε και τη συνάρτηση συνημίτονο που συμβολίζεται με συν.

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 75Ορίζουμε δηλαδή ότι συνx = συν(xrad ).Και η συνάρτηση συνημίτονο είναι περιοδική με περίοδο 2π.— Η συνάρτηση εφαπτομένη, που συμβολίζεται με εφ, ορίζεται ως εξής: εϕx = ηµx συνxΕίναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης εφ είναι το σύνολο:  1= {x συνx ≠ 0}Επειδή για κάθε x ∈ 1 ισχύει εϕ(x + π) = εϕ(x − π) = εϕx,η συνάρτηση εφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π.— Η συνάρτηση συνεφαπτομένη, που συμβολίζεται με σφ, ορίζεται ως εξής: σϕx = συνx ηµxΕίναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σφ είναι το σύνολο:  2 = {x ηµx ≠ 0}Και η συνάρτηση συνεφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π.Μελέτη της συνάρτησης f(x) = ημxΕπειδή η συνάρτηση f(x) = ημx είναι περιοδική με περίοδο 2π, αρκεί νατη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους 2π, π.χ το [0,2π]. Έχουμε αναφέρειόμως ότι το ημx είναι η τεταγμένη του σημείου Μ στο οποίο η τελική πλευράτης γωνίας xrad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο. Επομένως αρκεί να εξε-τάσουμε πώς μεταβάλλεται η τεταγμένη του Μ, όταν αυτό περιφέρεται στοντριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά, ξεκινώντας από το Α.Παρατηρούμε ότι: yB• Όταν το x μεταβάλλεται από το 0 μέχρι το M’π , το Μ κινείται από το Α μέχρι το Β. Άρα η2 M xτεταγμένη του αυξάνει, που σημαίνει ότι η συ-νάρτηση f(x) = ημx είναι γνησίως αύξουσα x rad OAστο διάστημα 0, π  . 2 Ομοίως βρίσκουμε ότι η συνάρτηση f(x) =ημx είναι:

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ— γνησίως φθίνουσα στο διάστημα  π , π  2— γνησίως φθίνουσα στο διάστημα π, 3π  και 2 — γνησίως αύξουσα στο διάστημα  3π , 2π  2• Η συνάρτηση παρουσιάζει— μέγιστο για x = π, το ηµ π =1 και 2 2— ελάχιστο για x = 3π , το ηµ 3π = −1. 22Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται ως εξής: x 0 π π 3π 2π 2 2 ημx 0 1 0 –1 0 μέγ. ελάχ.Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης χρειαζόμαστε ένανπίνακα τιμών της. Κατά τα γνωστά έχουμε: x0 π π 3π 5π 3π 7π 4 24π 4 2 4 2πημx 0 2  0,71 1 0,71 0 – 0,71 – 1 – 0,71 0 2Παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη αυτά των αντίστοιχων τιμώνκαι τα ενώνουμε με μία συνεχή γραμμή.Έτσι προκύπτει η παρακάτω γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο στοδιάστημα [0, 2π]: y y = ημx 0≤x≤2π 1 5π 3π 7π x π 4 2 4 2π O π π 3π –1 4 2 4

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 77Επειδή η συνάρτηση f(x) = ημx είναι περιοδική, με περίοδο 2π, η γραφική τηςπαράσταση έχει την ίδια μορφή στα διαστήματα [2π, 4π], [4π, 6π] κτλ. καθώςκαι στα διαστήματα [−2π,0],[−4π,−2π] κτλ.Έτσι έχουμε την ακόλουθη γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο, ηοποία λέγεται ημιτονοειδής καμπύλη. y y = ημx 1.5 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π 1 5π/2 2π 3π/2 –π 0.5 x 0 –π/2 –0.5 –1 –1.5Τέλος γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν αντίθετα ημίτονα. Άρα για κά-θε x ∈  ισχύει ηµ(−x) = −ηµx. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = ημxείναι περιττή και επομένως η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίαςτην αρχή Ο(0,0) των αξόνων.Μελέτη της συνάρτησης f(x) = συνx Επειδή η συνάρτηση f(x) = συνx είναι περιοδική με περίοδο 2π, αρκεί να τημελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους 2π, π.χ. το [0, 2π].Από τη μελέτη αυτή προκύπτουν τα συμπεράσματα του επόμενου πίνακα: x 0 π π 3π 2π 2 2 συνx 1 0 –1 0 1 μέγ. ελάχ. μέγ.Συντάσσουμε τώρα κατά τα γνωστά και τον ακόλουθο πίνακα τιμών της συνάρ-τησης συνημίτονο:x 0 ππ 3π π 55ππ 3π 7π 2π 42 4 44 2 4συνx 1 0,71 0 – 0,71 –1 – 0,71 0 0,71 1

78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΈτσι μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της y = συνx για0 ≤ x ≤ 2π . y y = συνx 0≤x≤2π x 1 3π 5π 4π4 o ππ 3π 7π 2π –1 4 2 24Επειδή η συνάρτηση f(x) = συνx είναι περιοδική με περίοδο 2π, η γραφική τηςπαράσταση στο  είναι η ακόλουθη: – π y y = συνx 2 1–π x o π π 3π 2π 5π 3π 7π 4π –1 22 2 2Τέλος γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν ίδιο συνημίτονο. Άρα για κάθεx ∈  ισχύει συν(−x) = συνx. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = συνxείναι άρτια και επομένως η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τονάξονα y'y.Μελέτη της συνάρτησης f(x) = εφxΕπειδή η συνάρτηση f(x) = εφx είναι περιοδική με περίοδο π, αρκεί να τημελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ. το  − π , π .  2 2 π π(Το διάστημα είναι ανοικτό, αφού η συνάρτηση εφ δεν ορίζεται στα − 2 , 2 ).Ας υποθέσουμε ότι η τελική πλευρά της γωνίας x rad τέμνει τον τριγωνομε-τρικό κύκλο στο Μ και την ευθεία των εφαπτομένων στο σημείο Ε.Όπως έχουμε αναφέρει η εφx ισούται με την τεταγμένη του σημείου Ε.Επομένως: yε• Όταν ο x παίρνει τιμές από − π προς το π το Μ Β 22 Α’ O Αxκινείται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική Μ’ Μφορά από το Β' προς το Β, οπότε η τεταγμένη του Β’ Ε’σημείου Ε αυξάνει. Αυτό σημαίνει ότι η f(x) = εφxείναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα  − π,π . Ε  22

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 79• Όταν ο x «τείνει» στο −π από μεγαλύτερες τιμές η εφx «τείνει» στο −∞. 2 πΓι΄ αυτό λέμε ότι η ευθεία x = − 2 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφι-κής παράστασης της f. Επίσης όταν ο x «τείνει» στο π από μικρότερες τιμές 2η εφx τείνει στο +∞. Γι΄ αυτό λέμε ότι και η ευθεία x = π είναι κατακόρυφη 2ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. y y yB yB BΕ B ΜΕ ΜA AA’ ’ OO A A xx AA’ ’ OO A xx M ME BB’ ’ E B’ B’ Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση της f(x)=εφx συντάσσουμε, με τηβοήθεια των τριγωνομετρικών πινάκων ή με επιστημονικό κομπιουτεράκι, ένανπίνακα τιμών της:x −π −π −π −π π ππ π 2 3 4 6 06 43 2εφx Δεν − 3  −1,7 –1 − 3  −0,6 0 3  0,6 1 3  1,7 Δεν ορίζεται 3 3 ορίζεταιΣτη συνέχεια παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη αυτά των αντί-στοιχων τιμών και τα ενώνουμε με μια συνεχή γραμμή. Η γραφική παράστασητης f(x)=εφx φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. y y = εφx –2π Ο x –3π –π –π 22 π π 3π 2π 22Είναι φανερό ότι η γραφική παράσταση της f(x)=εφx έχει κέντρο συμμετρίαςτο Ο, αφού (§ 3.3: εφ(¯x) = ¯εφx είναι περιττή συνάρτηση).

80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ1ο Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x)=3ημx.ΛΥΣΗΟι τιμές της συνάρτησης f(x)=3ημx είναι προφανώς τριπλάσιες από τις αντί-στοιχες τιμές της συνάρτησης φ(x)=ημx. Εξάλλου και η συνάρτηση αυτή είναιπεριοδική με περίοδο 2π, αφού ισχύει: f (x + 2π) = 3⋅ ηµ(x + 2π) = 3⋅ ηµx = f (x) , για κάθε x  . και f (x − 2π) = 3⋅ ηµ(x − 2π) = 3⋅ ηµx = f (x), για κάθε x  .Έχοντας υπόψη τα στοιχεία αυτά και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών σχεδιά-ζουμε τη γραφική παράσταση της f(x)=3ημx. y x 0 π π 3π 2π 3 y = 3ημx y = ημx 2 2 2 1x ημx 0 1 0 –1 0 3ημx 0 3 0 –3 0 2π π 1Ο π 2π 3π 4π 2 32ο Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x)=ημ2x.ΛΥΣΗΚάθε τιμή της συνάρτησης f(x)=ημ2x επαναλαμβάνεται, όταν το 2x αυξηθείκατά 2π, που σημαίνει ότι η τιμή αυτή επαναλαμβάνεται, όταν το x αυξηθεί κατάπ. Επομένως, η συνάρτηση f(x)=ημ2x είναι περιοδική με περίοδο π. Πράγματι:f (x + π) = ηµ2(x + π) = ηµ(2x + 2π) = ηµ2x = f (x), για κάθε x ∈  καιf (x − π) = ηµ2(x − π) = ηµ(2x − 2π) = ηµ2x = f (x), για κάθε x ∈ .Έχοντας υπόψη το στοιχείο αυτό και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών, σχεδιά-ζουμε τη γραφική παράσταση της f(x)=ημ2x. π π 3π y y = ημ2x x 0 424π 1ημ2x 0 1 0 –1 0 x Οπ 3π π 12 π 3π 2π 2 y = ημx 2 23ο Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x)=3ημ2x. ΛΥΣΗΣύμφωνα με τα προηγούμενα παραδείγματα η συνάρτηση αυτή έχει μέγιστο 3,ελάχιστο −3 και είναι περιοδική με περίοδο π.

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 81Ένας πίνακας τιμών της συνάρτησης f(x)=3ημ2x είναι ο εξής:x 0 π π 3π π y y = 3ημ2x 4 2 4 3 3ημ2x 0 3 0 –3 0 ππ 0 π π 3π π 3π x 2 42 4 2 2πΜε τη βοήθεια του πίνακα αυτούσχεδιάζουμε τη γραφική παρά- 3σταση της συνάρτησης. ΣΧΟΛΙΟΑπό τα προηγούμενα παραδείγματα γίνεται φανερό ότι σε μια συνάρτηση της μορφήςf(x)=ρ ημωx, όπου ρ,ω>0: (i) Το ρ καθορίζει τη μέγιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ και την ελάχιστη τιμή της, που είναι ίση με −ρ. (ii) Το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είναι ίση με 2π .Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για μια συνάρτηση της μορφής ω f(x)=ρ συνωx, όπου ρ,ω>0 ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, κάθε φορά στο ίδιο σύστημα αξόνων i) f (x) = 2ηµx, g(x) = 0,5 ⋅ ηµx, h(x) = −2 ⋅ ηµx, 0 ≤ x ≤ 2π . ii) f (x) = 2συνx, g(x) = 0,5 ⋅ συνx, h(x) = −2 ⋅ συνx, 0 ≤ x ≤ 2π .2. Σε ένα σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = ηµx και στη συνέχεια τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g(x) = 1+ ηµx και h(x) = −1+ ηµx3. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις τωνσυναρτήσεων f (x) = ηµx και g(x) = ηµ3x, 0 ≤ x ≤ 2π .4. Ομοίως των συναρτήσεων f (x) = συνx και g(x) = συν3x, 0 ≤ x ≤ 2π .5. Έστω η συνάρτηση Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελά- χιστη τιμή της συνάρτησης αυτής; Ποια είναι η περίοδος της εν λόγω συ- νάρτησης; Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλά- τους μιας περιόδου.

82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ6. Ομοίως για τη συνάρτηση f (x) = 2 . συν x . 27. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων i) f (x) = εϕx ii) g(x) = 1+ εϕx και iii) h(x) = −1+ εϕx στο ίδιο σύστημα αξόνων.8. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f (x) = εϕ2x.9. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f (x) = σϕx.B΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να βρείτε τις εξισώσεις των ημιτονοειδών καμπυλών: i) y 1x π π 2π 1y 2π x ππ 2π x y 1 ππ y x 1 ii) π π 2π y 3x π π 2π y 2π x 0.5 2π x ππ y 2.5 ππ2. Η παλίρροια σε μια θαλάσσια περιοχή περιγράφεται κατά προσέγγισημε τη συνάρτηση y = 3 ⋅ ηµ  π ⋅ t  , όπου y το ύψος της στάθμης των 6υδάτων σε μέτρα και t ο χρόνος σε ώρες.i) Να βρείτε την υψομετρική διαφορά ανάμεσα στην ψηλότερη πλημμυ- ρίδα και τη χαμηλότερη άμπωτη.ii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για 0 ≤ t ≤ 12.

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 833. Ένα παιχνίδι κρέμεται με ένα ελατήριο από το ταβάνι και απέχει από το πάτωμα 1m. Όταν το ταβάνι παιχνίδι ανεβοκατεβαίνει, το ύψος του από το h = 1+ 1 συν3t, πάτωμα σε μέτρα είναι 3 όπου t ο χρόνος σε δευτερόλεπτα. i) Να υπολογίσετε τη διαφορά ανάμεσα στο μέ- γιστο και στο ελάχιστο ύψος. πάτωμα 1m ii) Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρ- τησης για 0 ≤ t ≤ 2π.4. H απόσταση x του πιστονιού σε μέτρα από το ένα άκρο του κυλίνδρου περιγράφεται με τη συ- νάρτηση x(t) =0,1+0,1.ημ3t, όπου t ο χρόνος σε δευτερόλεπτα. i) Να υπολογίσετε το πλάτος της κίνησης του πιστονιού. ii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για 0 ≤ t ≤ 2π. Ποιες στιγμές του χρονικού αυτού διαστήματος η απόσταση είναι 0,15m; 3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΗ εξίσωση ημx=αΈστω ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση ηµx = 1 . Είναι φανερό ότι 2ζητάμε να βρούμε τις τετμημένες των σημείων τομής της καμπύλης y = ημx καιτης ευθείας y= 1 . 2 y 1 y= 2 Oπ 2yπ=ημx x π π 5π 66Ζητάμε δηλαδή εκείνα τα x ∈, για τα οποία η συνάρτηση f (x) = ηµx παίρ-νει την τιμή 1 . Επειδή η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο 2π, για 2να βρούμε τα ζητούμενα x, που είναι άπειρα σε πλήθος (βλ. σχήμα), αρκεί ναβρούμε όσα από αυτά υπάρχουν σε ένα διάστημα πλάτους 2π και σε καθένα ναπροσθέσουμε το κ . 2π, όπου κ ακέραιος.

84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΜε τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξί-σωσης ηµx = 1 στο διάστημα [0, 2π], είναι οι π και π − π = 5π , γιατί 2 6 66ηµ π = ηµ 5π = 1 . 6 62Επομένως το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης yηµx = 1 δίνεται από τους τύπους M’ 1 M 2 2 π 5π/6 x 6 x = 2κπ + π/6  ή OA  , κ∈  = 2κπ + 5π x 6Γενικότερα, αν θ είναι μία λύση της εξίσωσης ημx = α, αν δηλαδή ισχύειημθ = α, τότε οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους: x = 2κπ + θ ή , κ∈ x = 2κπ + (π − θ)ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ1ο Να λυθεί η εξίσωση ηµx = − 3 2 ΛΥΣΗΕπειδή ηµ π = 3 , ισχύει ηµ  − π  = − 3. Επομένως η εξίσωση γράφεται 3 2  3  2ηµx = ηµ  − π  , οπότε οι λύσεις της δίνονται από τους τύπους:  3  x = 2κπ  π − 3 ή , κ∈  = 2κπ + π + π x 32ο Να λυθεί η εξίσωση ηµ 2x + π  = 1 4  2 ΛΥΣΗΕπειδή ηµ π = 1 , έχουμε ηµ  2x + π  = ηµ π , οπότε 62  4  6

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 85 2x + π = 2κπ + π  4 6  ή, κ∈  2x + π = 2κπ + π − π 4 6Ισχύει όμως 2x + π = 2κπ + π ⇔ 2x = 2κπ + π − π ⇔ x = κπ − π 4 6 6 4 24και 2x + π = 2κπ +  π − π  ⇔ 2x = 2κπ + π − π − π ⇔ x = κπ + 7π 4  6  6 4 24Άρα οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους x = κπ − π  24 ή , κ∈  x = κπ + 7π  24Η εξίσωση συνx = αΜε ανάλογες σκέψεις, όπως προηγουμένως, εργαζόμαστε για να λύσουμεπ.χ. την εξίσωση συνx = 1 . 2Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξί-σωσης συνx = 1 στο διάστημα [−π,π] είναι οι π και −π, γιατί 2 3 3συν π = συν  − π  = 1 . 3  3  2Επομένως το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης y Mσυνx = 1 δίνεται από τους τύπους 2 π 31 x x = 2κπ + π Ο –π3 2 Α  3 M’  ή, κ∈  = 2κπ − π x 3

86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΓενικότερα, αν θ είναι μία λύση της εξίσωση συνx = α, αν δηλαδή ισχύεισυνθ = α, τότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής δίνονται από τους τύπους x = 2κπ + θ ή κ∈ x = 2κπ – θΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ1ο Να λυθεί η εξίσωση συνx = 2 2 ΛΥΣΗΕπειδή συν π = 2 , έχουμε συνx = συν π , οπότε οι λύσεις της εξίσωσης 42 4αυτής δίνονται από τους τύπους: x = 2κπ + π  ή 4  , κ∈  = 2κπ − π x 42ο Να λυθεί η εξίσωση συν2x = − 3 2ΛΥΣΗΕπειδή συν π = 3, ισχύει συν π − π  = − 3 δηλαδή συν 5π = − 3. 6 2 6  2 6 2Έχουμε επομένως συν2x = συν 5π , οπότε 6 2x = 2κπ + 5π x = κπ + 5π  6  12 ή , κ∈ ή ισοδύναμα ή, κ∈  = 2κπ − 5π  = κπ − 5π 2x x 6  12

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 87Η εξίσωση εφx = α Έστω η εξίσωση εϕx = 3 . Όπως y 3γνωρίζουμε η συνάρτηση εφ είναι πε-ριοδική με περίοδο π. Επομένως, για ναλύσουμε την εξίσωση, αρκεί να βρούμε –π Ο ππ x –π 2τις λύσεις της σε ένα διάστημα πλάτους 2π, π.χ. το  − π , π και να προσθέσουμε  2 2 σε αυτές το κπ, κ ∈  .Όπως φαίνεται όμως και στο σχήμα, μια μόνο λύση της εξίσωσης εϕx = 3υπάρχει στο διάστημα αυτό. Η λύση αυτή είναι η π , γιατί εϕ π = 3. 3 3Επομένως οι λύσεις της εξίσωσης εϕx = 3 είναι: x = κπ + π , κ ∈  . 3Γενικότερα, αν θ είναι μια λύση της εξίσωσης εφx = α, αν δηλαδή ισχύειεφx = εφθ, τότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι: x = κπ + θ, κ ∈ Ο ίδιος τύπος λύσεων ισχύει και για την εξίσωση σφx = α.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ1ο Να λυθεί η εξίσωση εϕx = −1 ΛΥΣΗΕπειδή εϕ π = 1, ισχύει εϕ − π  = −1. Έχουμε επομένως εϕx = εϕ − π  ,οπότε 4 4  4  x = κπ − π , κ∈ 42ο Να λυθεί η εξίσωση σϕx = 3 ΛΥΣΗΕπειδή σϕ π = 3, έχουμε σϕx = σϕ π , οπότε οι λύσεις της εξίσωσης είναι 6 6 x = κπ + π , κ ∈  6

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµx = 0 ii) ηµx = 2 iii) συνx = 0 iv) συνx = 2 2 22. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµx = − 1 ii) ηµx = −1 iii) συνx = − 2 iv) συνx = −1 2 2 3. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕx = 0 ii) εϕx = 3 iii) σϕx = 1 iv) σϕx = 3 3 4. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕx = − 3 ii) σϕx = − 3 3 3 5. Να λύσετε τις εξισώσεις i) (1− ηµx)(2ηµx − 3) = 0 ii) (2ηµx + 2)(1− συνx) = 0 6. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( 3 + εϕx)(1− εϕx) = 0 ii) (2συνx +1)(εϕ2x − 3)σϕx = 0 7. Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρ ικούς πίνακες ή επιστημονικό κομπιουτε- ράκι να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµx = 0,951 ii) συνx = −0,809 iii) εϕx = 28,636 iii) 3εϕ 2x − 3 = 0 8. Να λύσετε τις εξισώσεις ii) συν x +1 = 0 i) . 5 7 9. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ  x + π  = −1 ii) 2συν  3x − π =1 iii) εϕ π − 5x  = 3 3   4  4 10. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 2ηµ2ω + ηµω −1 = 0 ii) 2συν2x + 3συνx − 2 = 0 iii) 3εϕ2t = 3 + 2 3εϕt11. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ2x + 5συν2x = 4 ii) εϕx ⋅ σϕ2x = 112. Να βρείτε για ποιες τιμές του x, καθεμιά από τις επόμενες συναρτήσεις έχει τη μέγιστη και για ποιες την ελάχιστη τιμή της: i) . 0 ≤ x < 2π, ii) . 0 ≤ x < 2π .

3.6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 89 13. Οι μηνιαίες πωλήσεις ενός εποχιακού προϊόντος (σε χιλιάδες κομμάτια) δίνονται κατά προσέγγιση από τον τύπο S = 75 + 50 ⋅ ηµ πt , όπου t o 6 χρόνος σε μήνες και με t = 1 να αντιστοιχεί στον Ιανουάριο. i) Να βρείτε ποιους μήνες οι πωλήσεις φτάνουν τις 100000 κομμάτια. ii) Να βρείτε ποιο μήνα έχουμε το μεγαλύτερο αριθμό πωλήσεων και πόσες είναι αυτές.Β΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµx + συν  π − x  = 0 ii) εϕ2x − σϕ π + 3x  = 0  4  3 2. Να λύσετε τις εξισώσεις ii) . i) εϕx ⋅ ηµx +1 = ηµx + εϕx 3. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης εϕx = 1 στο διάστημα (3π,4π).* 4. Να λύσετε την εξίσωση 1+συνx=ημx στο διάστημα [0,2π).5. Να λύσετε την εξίσωση: εϕx = σϕ π + x  στο διάστημα [0, 2π). 3  3.6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟι ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝΣυνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Ας θεωρήσουμε δύο γωνίες α, β που οι τελικές τους πλευρές τέμνουν τοντριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία M1,M2 αντιστοίχως (Σχ. 1). Έστω επιπλέον και η γωνία α − β, που η τελική της πλευρά τέμνει τον τρι-γωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ. (Σχ. 2).M1(συνα, ημα) y M2(συνβ, ημβ) y M(συν(α β), ημ(α β)) αβ x α−β x O Α(1,0) O Α(1,0) Σχ. (1) Σχ. (2)

90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΌπως είναι γνωστό, τα σημεία M1,M2 , Α και Μ έχουν συντεταγμένες: το Μ1: τετμημένη συνα και τεταγμένη ημα το Μ2: τετμημένη συνβ και τεταγμένη ημβ το Α: τετμημένη και τεταγμένη 1 0 ηµ(α − β) το Μ: τετμημένη συν(α − β) και τεταγμένη Επειδή M2Oˆ M1 = AOˆ M = α − β, θα είναι και (M2M1) = (AM). Άρα: (M2M1)2 = (AM)2Αν τώρα χρησιμοποιήσουμε το γνωστό μας τύπο: (P1P2 ) = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 ,που δίνει την απόσταση δύο σημείων P1(x1, y1) και P2 (x2, y2 ), έχουμε:• (M2M1)2 = (συνα − συνβ)2 + (ηµα − ηµβ)2 = συν2α + συν2β − 2συνασυνβ + ηµ2α + ηµ2β − 2ηµαηµβ = 2 − 2(συνασυνβ + ηµαηµβ) και• (ΑΜ)2 = [συν(α − β) −1]2 + [ηµ(α − β) − 0]2 = συν2 (α − β) +1− 2συν(α − β) + ηµ2 (α − β) = 2 − 2συν(α − β).Έτσι η σχέση (Μ2Μ1)2 = (ΑΜ)2 γράφεται 2 − 2(συνασυνβ + ηµαηµβ) = 2 − 2συν(α − β) ή συνασυνβ + ηµαηµβ = συν(α − β)Επομένως: συν(α–β) = συνασυνβ + ημαημβ (1) Η ισότητα αυτή, που αποδείξαμε για γωνίες α, β με 0 ≤ β < α < 3600, ισχύεικαι για οποιεσδήποτε γωνίες α, β. Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με το –β έχουμε:συν(α − (−β)) = συνασυν(−β) + ηµαηµ(−β) = συνασυνβ − ηµαηµβΕπομένως: συν(α + β) = συνασυνβ − ηµαηµβ (2)

3.6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 91Με τη βοήθεια των τύπων (1) και (2) μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτο-νο ορισμένων γωνιών, χωρίς να χρησιμοποιήσουμε τριγωνομετρικούς πίνακεςή υπολογιστικές μηχανές. Για παράδειγμα, έχουμε:• συν15 = συν(45 − 30 ) = συν45 συν30 + ηµ45 ηµ30 = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1 = 2( 3 +1) 2 2 22 4• συν75 = συν(45 + 30 ) = συν45 συν30 − ηµ45 ηµ30 = 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 1 = 2( 3 −1) 2 2 22 4Ημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Με τη βοήθεια του τύπου (1), που βρήκαμε προηγουμένως, θα υπολογίσου-με τώρα το ημίτονο του αθροίσματος δυο γωνιών.Επειδή συν  π − x  = ηµx και ηµ  π − x  = συνx, έχουμε: 2  2  = συν  π − α  συνβ + ηµ  π − α  ηµβ = ηµασυνβ + συναηµβ  2  2 Επομένως: ημ(α+β) = ημασυνβ + συναημβ (3)Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με –β βρίσκουμε ότι: ημ(α – β) = ημασυνβ – συναημβ (4)Σύμφωνα με τους τύπους αυτούς για παράδειγμα, έχουμε:• ηµ15 = ηµ(45 − 30 ) = ηµ45 συν30 − συν45 ηµ30 = 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 1 = 2( 3 −1) 2 2 22 4• ηµ75 = ηµ(45 + 30 ) = ηµ45 συν30 + συν45 ηµ30 = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1 = 2( 3 +1) 2 2 22 4

92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΕφαπτομένη αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Με τη βοήθεια των προηγούμενων τύπων θα υπολογίσουμε την εφαπτομένητου αθροίσματος α+β δύο γωνιών α, β, αν γνωρίζουμε την εφαπτομένη καθε-μιάς. Όπως ξέρουμε, για να ορίζονται οι: εϕ(α + β), εϕα και εϕβ, πρέπεισυν(α + β) ≠ 0, συνα ≠ 0 και συνβ ≠ 0. Με την προϋπόθεση αυτή έχουμε:εϕ(α + β) = ηµ(α + β) = ηµασυνβ + συναηµβ [ ]Διαιρούμε με συν(α + β) συνασυνβ − ηµαηµβ συνασυνβ ≠ 0 ηµασυνβ + συναηµβ = εϕα + εϕβ συνασυνβ συνασυνβ 1− εϕαεϕβ = συνασυνβ ηµαηµβ − συνασυνβ συνασυνβΕπομένως έχουμε: εϕ(α + β) = εϕα + εϕβ (5) 1− εϕαεϕβΑν τώρα στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με το –β, βρίσκουμεότι: εϕ(α − β) = εϕα − εϕβ (6) 1+ εϕαεϕβΤέλος, με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι: σϕ(α + β) = σϕα σϕβ −1 (7) σϕ( α − β) = σϕ ασϕβ +1 (8) σϕβ + σϕα σϕβ − σϕαΣύμφωνα με τους παραπάνω τύπους για παράδειγμα, έχουμε:• εϕ15 = εϕ(45 − 30 ) = εϕ45 − εϕ30 = 1− 3 = 3− 3 1 + εϕ45 εϕ30 1+ 3+ 3 3 3 3 = (3 − 3)(3 − 3) = 12 − 6 3 = 2 − 3 (3 + 3)(3 − 3) 6

3.6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 93• εϕ75 = εϕ(45 + 30 ) = εϕ45 + εϕ30 = 1+ 3 3 1 − εϕ45 εϕ30 1− 3 = 3+ 3 3 3− 3 = (3 + 3)(3 + 3) = 12 + 6 3 = 2 + 3 (3 − 3)(3 + 3) 6ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1ο Αν ηµα = − 3 , με 3π < α < 2π και συνβ = −12 , με π < β < 3π , να 52 13 2υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του α+β. ΛΥΣΗΕπειδή ημ(α+β) = ημασυνβ+συναημβ και συν(α + β) = συνασυνβ − ηµαηµβαρκεί να υπολογίσουμε το συνα και το ημβ.Έχουμε λοιπόν: συν2α = 1− ηµ2α = 1− 9 = 16 , οπότε συ να = 16 = 4 , αφού 3π < α < 2π και 2 25 25 25 5ηµ2β = 1− συν2β = 1− 144 = 25 , οπότε ηµ β = − 12659 = −5, αφού π < β < 3π 169 169 13 2Επομένωςηµ(α + β) =  − 3  − 12  + 4  − 5  = 16  5   13  5  13  65συν(α + β) = 4  − 12  −  − 3  − 5  = − 63 , 5  13   5   13  65οπότε:εϕ(α + β) = − 16 και σϕ(α + β) = − 63 63 162ο Να αποδειχθεί ότι: ηµ(α + β) ⋅ ηµ(α − β) = ηµ2α − ηµ2β αποδειξηηµ(α + β)ηµ(α − β) = (ηµασυνβ + συναηµβ)(ηµασυνβ − συναηµβ) = ηµ2ασυν2β − συν2αηµ2β = ηµ2α(1− ηµ2β) − (1− ηµ2α)ηµ2β = ηµ2α − ηµ2αηµ2β − ηµ2β + ηµ2αηµ2β = ηµ2α − ηµ2β

94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ3ο Να λυθεί η εξίσωση: 2συν x = η µ x + π6  ΛΥΣΗ2συνx = ηµ  x + π  ⇔ 2συνx = ηµxσυν π + συνxηµ π  6  6 6 ⇔ 2συνx = 23 η µx + 12 σ υνx ⇔ 4συνx = 3ηµx + συνx ⇔ 3συνx = 3ηµx ⇔ εϕx = 3 [αφού συνx ≠ 0] ⇔ εϕx = εϕ π 3 ⇔ x = κπ + π , κ∈Z 34ο Να αποδειχθεί ότι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: εϕΑ + εϕΒ + εϕΓ = εϕΑεϕΒεϕΓΑΠΟΔΕΙΞΗ Αφού το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο, ορίζονται οι εφΑ, εφΒ, εφΓ. Επειδήεπιπλέον Α + Β = π − Γ ≠ π , ορίζεται η εϕ(Α + Β) και έχουμε διαδοχικά: 2 εϕ(Α + Β) = εϕ(π − Γ) εϕΑ + εϕΒ = −εϕΓ 1− εϕΑεϕΒ εϕΑ + εϕΒ = −εϕΓ + εϕΑεϕΒεϕΓ εϕΑ + εϕΒ + εϕΓ = εϕΑεϕΒεϕΓ5ο Θεωρούμε έναν αγωγό από τον οποίο διέρχονται τρία εναλλασσόμενα ρεύ-ματα της ίδιας κυκλικής συχνότητας ω με στιγμιαίες εντάσεις Ι1 = ηµωt,( ) ( )Ι2 2π και + 4π . Να αποδειχθεί ότι η ολική ένταση= ηµ ωt + 3 Ι3 = ηµ ωt 3Ι = Ι1 + Ι2 + Ι3 του ρεύματος που διέρχεται από τον αγωγό είναι μηδέν.

3.6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 95ΑΠΟΔΕΙΞΗΕίναι ( ) ( )Ι 2π 4π = ηµωt + ηµ ωt + 3 + ηµ ωt + 3 = ηµωt + ηµωtσυν 2π + συνωtηµ 2π + ηµωtσυν 4π + συνωtηµ 4π 333 3 = ηµωt + ηµωt  − 1  + συνωt  3  + ηµωt  − 1  + συνω t  − 3  2   2   2   2  = ηµωt − 1 ηµωt − 1 ηµωt = 0 22ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, την τιμή των παραστά- σεων: i) συν π συν π − ηµ π ηµ π ii) συν170 συν50 + ηµ170 ηµ50 12 4 12 4 συν 7π συν π + ηµ 7π ηµ π iii) ηµ110 ηµ70 − συν110 συν70 iv) 12 12 12 122. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις:( ) ( ) i) συν3xσυν(−2x) − ηµ3xηµ(−2x) x+ π π ii) συν 4 συνx + ηµ x+ 4 ηµx3. Να αποδείξετε ότι:( ) ( ) ( ) ( ) i)συν x + π + συν x − π = 2συνx ii) συν2 x − π − συν2 x+ π =2ηµxσυνx 44 444. Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, την τιμή των παραστά- σεων: i) ηµ17π συν 4π − συν17π ηµ 4π ii) ηµ70 συν20 + συν70 ηµ20 18 9 18 9 εϕ 7π − εϕ π iii) 12 4 iv) εϕ165 + εϕ15 1+ εϕ 7π εϕ π 1− εϕ165 εϕ15 12 45. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: i) ηµ2xσυ νx + συν2xηµx ii) ηµ  x + π  συνx − συν  x + π  ηµx iii) εϕx − εϕ 2x  6  6  1+ εϕxεϕ2x εϕ π + 2x  + εϕ  π − x  3   6  iv)  π  εϕ π  1 − εϕ  3 + 2x  6 − x 

96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ6. Να αποδείξετε ότι: i) ηµ  x + π  + ηµ  x − π  = ηµx  3   3  ii) (ηµα + συνα)(ηµβ + συνβ) = ηµ(α + β) + συν(α − β)7. Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, τους τριγωνομε- τρικούς αριθμούς των 105° και 195°.8. Να αποδείξετε ότι: ii) σϕα + σϕβ = ηµ(α + β) i) ε ϕα + εϕ β = ηµ(α + β) ηµαηµβ συνασυνβ9. Να αποδείξετε ότι για τις γωνίες α, β του διπλανού σχήματος ισχύει: i) ηµ(α + β) = 63 13 65 5 α 5 ii) συν(α + β) = 16 β 65 310. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α+β, αν: i) ηµα = 3 , συνβ = − 5 , 0<α< π και π <β<π 13 2 και 2 5 π < α < 3π ii) συνα = − 3 , ηµβ = − 4 , 2 3π < β < 2π 5 2 511. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ηµx = συ ν  x + π  ii) εϕx + εϕ  π + x  = −2 6  4  iii) εϕ(x − α) = −2, αν εϕα = −3B΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να αποδείξετε ότι: ηµ(α − β) + ηµ(β − γ) + ηµ(γ − α) = 0 συνασυνβ συνβσυνγ συνγσυνα 2. Αν συν(α + β) = 0, να αποδείξετε ότι: ηµ(α + 2β) = ηµα 3. Αν εϕα = −3, να λύσετε στο [0,2π] την εξίσωση: ηµ(x − α) = −2ηµ(x + α) 4. Αν α+β= π , να αποδείξετε ότι: (1+ εϕα)(1+ εϕβ) = 2 4

3.7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ 2α 975. Αν στο διπλανό σχήμα είναι ΑΓ = 3⋅ Α∆ , να αποδείξετε ότι: i) εϕω = 3 2εϕΒ , όπου Β = ΑΒΓ Γ + εϕ2Β ii) Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β, αν Β = 60 Δ ω Α Β6. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ηµΑ + ηµ(Β − Γ) = εϕΒ , να αποδείξετε συν(Β − Γ) ότι Α = π και αντιστρόφως. 2*7. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: i) σϕΑσϕΒ + σϕΒσϕΓ + σϕΓσϕΑ = 1, ii) συνΑ + συνΒ + συνΓ = 2 ηµΒηµΓ ηµΓηµΑ ηµΑηµΒ( ) ( )8.Να στο η π π λυθεί διάστημα [0,π] εξίσωση: εϕ 4 +x − εϕ 4 −x =2 3*9. Αν 0 < x, y, z < π με εϕx = 1 , εϕy = 1 και εϕz = 1, να αποδείξετε ότι: 2 2 5 8 x+y+z= π 4 3.7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟι τησ γωνιασ 2α Οι τύποι που εκφράζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 2α, ωςσυνάρτηση των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας α, είναι ειδικές περιπτώ-σεις των τύπων της προηγούμενης παραγράφου. Συγκεκριμένα, αν στους τύ-πους του ηµ(α + β), του συν(α + β) και της εϕ(α + β) αντικαταστήσουμετο β με το α, έχουμε:• ηµ2α = ηµ(α + α) = ηµασυνα + συναηµα = 2ημασυναΕπομένως: ημ2α = 2ημασυνα (1)• συν2α = συν(α + α) = συνασυνα − ηµαηµα = συν2α − ηµ2α = συν2α − (1− συν2α) = 2συν2α − 1 Επίσης συν2α = συν2α − ηµ2α = (1− ηµ2α) − ηµ2α = 1− 2ηµ2α

98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΕπομένως: συν2α = συν2α − ηµ2α (2) = 2συν2α −1 = 1− 2ηµ2α• εϕ2α = εϕα + εϕα = 2εϕα 1− εϕαεϕα 1− εϕ2αΕπομένως: (3) εϕ2α = 1−2ε εϕϕα2α Από τους τύπους (2) μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούςαριθμούς της γωνίας α, αν γνωρίζουμε το συν2α. Πράγματι, έχουμε:• συν2α = 2συν2α −1 ⇔ 1+ συν2α = 2συν2α ⇔ συν2α = 1+ συν2α 2• συν2α = 1− 2ηµ2α ⇔ 2ηµ2α = 1− συν2α ⇔ ηµ2α = 1− συν2α 2 ηµ2α 1− συν2α συν2αεϕ2α = = 1+ 2 = 1− συν2α συν2α 1+ συν2α 2Επομένως: ηµ 2α = 1 − συν2α (4) σ υν2α = 1+ συν2α (5) 2 2 εϕ2α = 1− συν2α (6) 1+ συν2α

3.7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ 2α 99Με τη βοήθεια των παραπάνω τύπων μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγω-νομετρικούς αριθμούς του μισού μιας γωνίας, αν γνωρίζουμε τους τριγωνομε-τρικούς αριθμούς της γωνίας αυτής. Για παράδειγμα οι τριγωνομετρικοί αριθ-μοί της γωνίας 22,5 = 45 υπολογίζονται ως εξής: 2η µ2 22 ,5 = 1 − συν 45 = 1 − 22 = 2 − 2 , οπότε ηµ22,5 = 2 − 2 2 24 2σ υν2 2 2,5 = 1+ συ ν45 = 1+ 22 = 2 + 2 , οπότε συν22,5 = 2 + 2 2 24 2Επομένως εϕ22 ,5 = 2 − 2 = 2 −1 και σϕ22,5 = 2 + 2 = 2 +1 2+ 2 2− 2ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1o Να αποδειχθεί ότι:i) ηµ3α = 3ηµ α − 4ηµ3α ii) συν3α = 4συν3α − 3συναΑΠΟΔΕΙΞΗΈχουμε:i) ηµ3α = ηµ(2α + α) = ηµ2ασυνα + συν2αηµα = 2ηµασυν2α + (1− 2ηµ2α)ηµα = 2ηµα(1− ηµ2α) + (1− 2ηµ2α)ηµα = 2ηµα − 2ηµ3α + ηµα − 2ηµ3α = 3ηµα − 4ηµ3αii) συν3α = συν(2α + α) = συν2ασυνα − ηµ2αηµα = (2συν2α −1)συνα − 2ηµ2ασυνα = (2συν2α −1)συνα − 2(1− συν2α)συνα = 2συν3α − συνα − 2συνα + 2συν3α = 4συν3α − 3συνα2o Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία α με συνα ≠ 0 ισχύει:i) ηµ 2α = 1 +2εεϕϕα2α ii) συν2α = 1 − εϕ2α 1 + εϕ2α