Εξισώσεις & Ανισώσεις Α Λυκειου

Λύση της άσκησης 6.,σελ.70,σχ.β. Επομένως η εξίσωση είναι η x2  Sx  P  0, δηλαδή η x2  3 x  1  0, Πολ/ζω με 22 το ΕΚΠ=2 αν θέλω, για να διώξω τους παρονομαστέςΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 2 ii) Επομένως 2x2  2. 3 x  2. 1  0 22  2x2  3x 1  0. Προσπάθησε να λύσεις την επόμενη 2.iii σελ.70 σελ.70.Αν δυσκολευτείς επικοινώ- νησε μαζί μου.ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πως βρίσκωτις ρίζες της εξ. αν γνωρίζω το S και το P Έστω η x2  5x  6  0 που είναι της μορφής x2  Sx  P  0, όπου S=5 και P=6. Όμως S  x1  x2 =5 και P  x1.x2  6.Zητώ δηλ. δύο ρίζες x1, x2 που να έχουν γινόμενο 6 και ά- θροισμα 5.ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πως βρίσκωτις ρίζες της εξ. αν γνωρίζω το S και το P Θέλω x1  x2 =5 και x1.x2  6 ο μόνος δυνατός συνδιασμός είναι 2.3=6 και 2+3=5 . Άρα x1  2 και x2  3ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πως βρίσκωτις ρίζες της εξ. αν γνωρίζω το S και το P 2) x2  3x  4  0 .Εδώ προσπαθώ να φέρω την εξίσωση στη μορφή x2  Sx  P  0. Επομένως έχω x2  3 x  4  0. Άρα S  3 και P  4.ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πως βρίσκωτις ρίζες της εξ. αν γνωρίζω το S και το P Όμως S  x1  x2 =  3 και P  x1.x2 =  4 Επομένως x1  x2  3 και x1.x2  4. Ο δυνατός συνδιασμός είναι 1.4  4 και 1+ 4  3.Άρα x1  1 και x2  4ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πως βρίσκωτις ρίζες της εξ. αν γνωρίζω το S και το P 3) x2  2 1 x  2  0 S  2 1 και P  2Όμως S  x1  x2 και P  x1.x2 Επομένως x1  x2  2 1 και x1.x2  2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πως βρίσκωτις ρίζες της εξ. αν γνωρίζω το S και το P Ο συνδιασμός είναι x1.x2  2.1 και x1  x2 2 1. Άρα x1  2 και x2  1ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραγοντοποίηση του τριωνύμου Η παράσταση  x2   x   λέγεται τριώνυμο και επιθυμώ να γίνει γινό- μενο παραγόντων δηλ. να παραγο- ντοποιηθεί. Έστω Δ η διακρίνουσά του τριωνύμου και x1, x2οι ρίζες του εφόσον υπάρχουν.ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραγοντοποίηση του τριωνύμου Εάν   0 έχει δύο άνισες και πραγματικές ρίζες x1 και x2 και παραγοντοποιείται ως εξής  x2   x    a. x  x1 . x  x2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραγοντοποίηση του τριωνύμου Εάν   0 έχει δύο ρίζες ίσες x1  x2 και παραγοντοποιείται ως εξής  x2   x    a. x  x1 . x  x2    x2   x    a. x  x1 . x  x1    x2   x    a. x  x1 2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραγοντοποίηση του τριωνύμουEπειδή x1  x2   μπορούμε 2αν θέλουμε να θέσουμε στη θέσητου x1το  στην  x2   x   2 a. x  x1 2 και θα έχουμεΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραγοντοποίηση του τριωνύμουΕπομένως Aν Δ=0 τότε x2  x  . x      2  2    x2   x   . x   2 2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραγοντοποίηση του τριωνύμου Εάν Δ<0 το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες και δεν ανα- λύεται σε γινόμενο παραγόντων, δηλ. δεν παραγοντοποιείται στο σύνολο των πραγμ.αριθμών.ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραδείγματα 1) f  x  2x2  8x  42,  2   8,  42. Πρώτα υπολογίζω τη διακρί- νουσα Δ= 2  4 .ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Δ= 2  4    82  4.2.42   64  8.42    64  336  400   400  0. Επομένως έχει δύο άνισεςπραγμ.ρίζες x1, x2      8  400 2 2.2 x1, x2  8  20  4ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραδείγματαx1, x2       x1  8  20  12 2  x2  44   8  20  28  44ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραδείγματα Επομένως το τριώνυμό 2x2  8x  42 παραγοντοποιείται ως εξής 2x2  8x - 42  2. x  x1 . x  x2  2x2  8x - 42  2. x  3. x  7 2x2  8x - 42  2. x  3. x  7ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραδείγματα 2) g  x  4x2 12x  9, a  4,   12,  9,    2  4   122  4.4.9  144 144 0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΠαραδείγματαΕπομένως έχει δύο ίσεςπραγμ. ρίζες x1  x2   2 x1  x2    12  12  3 4 2.4ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραδείγματα Eπομένως το τριώνυμο παραγοντοποιείται ως εξής 4x2 12x  9  4. x  x1 . x  x1   4. x  x1 2  4x2 12x  9  4. x  32ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραδείγματα 3) h  x  x2  x 1, a  1,   1,  1,    2  4   12  4.1.1  1 4  3    3  0.ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παραδείγματα Επομένως η h x  x2  x 1, δεν έχει πραγματικές ρίζες άρα , δεν παραγοντοποιείται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις 1) x2  x  2 . Σε αυτές τις 2x2 5x  2 περιπτώσεις παραγοντοποιώ και τον αριθμητή και το πα- ρανομαστή.ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις1) x2  x2 .Βρίσκω πρώτα 2x2  5x  2τις πραγμ. ρίζες (αν υπάρχουν)των τριωνύμων i x2  x  2,ii 2x2  5x  2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις i x2  x  2, a  1,   1   2,    2  4    12  4.1.2   18  9  0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Να απλοποιηθούν οι παραστάσειςx1, x2      1  9 2  2.1 1 3 x1  1 3  4  2 2 2 2x1, x2   13 2 x2  2  2  1ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις i x2  x  2   x  x1 . x  x2  x2  x  2   x  2. x  1 x2  x  2   x  2. x 1   x2  x  2   x  2. x 1ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις ii 2x2  5x  2, a  2,   5,  2,    2  4   52  4.2.2    25 16  9  0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Να απλοποιηθούν οι παραστάσειςx1, x2      5  9 2 2.2x1, x2  5 3  x1  53  8  2 4 x2  4  4  2 1 53 4 2 4ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 3.i),σελ.140, σχ.β.ii 2x2  5x  2  2. x  x1 . x  x2  2x2  5x  2  2. x  2. x  1  2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις1) x2  x  2   x  2. x 1 2x2 5x  2 2. x  2. x  1  2  x2  x  2   x 1  x 1 2x2  5x  2 2x  2. 1 2x 1 2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πρόσημο των τιμών του τριωνύμουΈστω f  x  ax2   x   ,  0και   0, τότε όπως γνωρίζωπαραγοντοποιείται ως εξήςax2   x    . x  x1 . x  x2 όπου x1, x2 οι ρίζες της εξίσωσηςax2   x    0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Επομένως έχουμε όταν   0  x1 x2  x  x1 0  x  x2   0. x  x1. x  x2  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Έχουμε όταν   0  x1 x2  x  x1 0  x  x2  0   x  x1. x  x2  . x  x1.x  x2  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

  x1 x2  ομόσημο ετερόσημο ομόσημο . x  x1 . x  x2  του  0 του  0 του  δηλαδή το f  x  a. x  x1 . x  x2  για x  x1 και x  x2 είναι ομόσημο του α και για x1  x  x2 είναι ετερόσημο του α ενώ για x  x1 ή x  x2 γίνεται μηδένΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παράδειγμα 1) f  x  x2  5x  6  0,  1  0   5,   6,    2  4    52  4.1.6  25  24  1  0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παράδειγμαx1, x2      x1, x2  5  1 2 2x1, x2  5 1  x1  5 1  4  2 2 x2  2  2  3 51 6 2 2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παράδειγμα Επομένως το τριώνυμο f  x  x2  5x  6 παρα  γοντοποιείται ως εξής f  x   x  x1 . x  x2  f x  x  3.x  2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παράδειγμα f  x  x2  5x  6 . Παρατηρώ ότι το   1  0 δηλαδή είναι θετικό. Θέλω το f  x  0, θετι- κό, δηλαδή , ομόσημο του . Αυτό συμβαίνει όταν x  x1 και x  x2 δηλαδή όταν x  2 και x  3.ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΠαράδειγμαΕάν θέλω να το παραστήσω με πινακάκι θαγίνει ως εξής 2 3 x  2 0  x 3 0 x  2.x 3  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παράδειγμαf  x  x2  5x  6. Παρατηρώ ότι το   1  0δηλαδή είναι θετικό, και θέλω το ii f  x  0,αρνητικό, δηλ. ετερόσημο του  , αυτό συμβαί-νει όταν x1  x  x2 δηλαδή όταν 2  x  3ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΠαράδειγμαΕάν θέλω να το παραστήσω με πινακάκι θαγίνει ως εξής  2  3  x  2 0   x 3 0x  2.x 3  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πρόσημο των τιμών του τριωνύμουΈστω f  x  ax2   x   ,  0και   0, τότε όπως γνωρίζωπαραγοντοποιείται ως εξήςax2   x    . x  x1 . x  x1 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πρόσημο των τιμών του τριωνύμουax2   x    . x  x1 2 ax2   x    . x      2  2   ax2   x    . x   2 2 όπου x1, x2 οι ρίζες του ax2   x    0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πρόσημο των τιμών του τριωνύμουΕπομένως εάν f  x  ax2   x   ,   0και   0, τότε όπως γνωρίζω παραγοντο-ποιείται ως εξής ax2   x     .  x   2 2 όπου x1  x2   η διπλή ρίζα του τριων/μου 2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Όταν το   0  x1    2x  x1  0x  x1  0. x  x1. x  x1  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Όταν   0  x1    2x  x1 0x  x1 0  x  x1 . x  x1 0 a. x  x1 . x  x1  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Πρόσημο των τιμών του τριωνύμουΕπομένως όταν   0 το τριώνυμοf  x  a. x  x1 . x  x1   a. x  x1 2είναι ομόσημο του  σε όλο το σύνο-λο των πραγματικών αριθμών εκτόςαπό το σημείο x1   στο οποίο 2μηδενίζεται δηλαδή f  x1   0.ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ