Γ Γυμνασίου

http://www.mathschool-online.com Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών Γ΄ Γυμνασίου / Άλγεβρα / Mεθοδολογία / Λυμένα παραδείγματα Περιεχόμενα 1.Πραγματικοί αριθμοί-Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς 2.Μονώνυμο-Πράξεις με μονώνυμα 3.Πολυώνυμα-Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων-Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο-Πολλαπλασιασμός πολυωνύμου με πολυώνυμο 4.Αξιοσημείωτες ταυτότητες 5.Παραγοντιποίηση αλγεβρικών παραστάσεων 6. Λύση εξισώσεων με τη βοήθεια της παραγοντοποίησηςΡητοί αριθμοί είναι οι αριθμοί της μορφής α/β ,όπου οι α,β είναι ακέραιοι αριθμοί και ο β είναιδιαφορετικός από το μηδέν. Π.χ, οι -4/5 , 4/6 , 1=1/1 , 2 =2/1 , -3=-3/1 είναι ρητοί αριθμοί http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΆρρητος είναι κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός. Π.χ, π,√2 , √5, κ.λ.π Πραγματικοί αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί είναι το σύνολο των ρητών και των άρρητων αριθμών. Π.χ, οι αριθμοί 1,-3,3/2,-1/2,√2 ,π είναι πραγματικοί Ιδιότητες των πράξεων μεταξύ πραγματικών αριθμών : Ιδιότητες της πρόθεσηςΙδιότητα ΠρόσθεσηΑντιμεταθετική α+β=β+απαράδειγμα 2+3=3+2=5Προσεταιριστική α+(β+γ)=(α+β)+γπαράδειγμα 2+(1+3)=(2+1)+3=6Ουδέτερο στοιχείο α+0=0+α=απαράδειγμα 1+0=0+1=1Αντίθετος αριθμού α+(-α)=(-α)+α=0παράδειγμα 1+(-1)=(-1)+1=0 www.mathschool-online.com http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Ιδιότητες του πολλαπλασιασμούΙδιότητα ΠολλαπλασιασμόςΑντιμεταθετική α.β=β.απαράδειγμα 2.3=3.2=6Προσεταιριστική Α.(β.γ)=(α.β).γπαράδειγμα 2.(1.3)=(2.1).3=6Ουδέτερο στοιχείο α.1=1.α=απαράδειγμα 1.2=2.1=2Αντίστροφος αριθμού α 1 = 1 α = 1, α≠0παράδειγμα ������ ������ 2.(1/2)=(1/2).1=1Επιμεριστική του α(β+γ)=αβ+αγπολλαπλασιασμού ωςπρος τη πρόσθεσηπαράδειγμα 2(1+3)=2.1+2.3=8 www.mathschool-online.com Το 0 είναι το απορροφητικό στοιχείο τουπολλαπλασιασμού,δηλαδή για κάθε πραγματικό α ισχύει : 0.α=α.0=0 Π.χ : 1.0=0.1=0 http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Σειρά πού εκτελούμε τις πράξεις: Πρώτα οι δυνάμεις Έπειτα οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις Τέλος οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις Προσοχή Οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις προηγούνται Παράδειγμα 1o (Λύση της άσκησης 1.β,σελ.15 του σχολικού βιβλίου) 2+3.(4-12) : (-4+1) = 2+3.(-8) : (-3)=2-24 : (-3) = 2+8 = 10 Παράδειγμα 2o (Λύση της άσκησης 1.γ,σελ.15 του σχολικού βιβλίου)-3.(-2)-5+4 : (-2)-6 = +6-5-2-6 = 6-6-5-2 = 0-5-2 = -7 Δυνάμεις των φυσικών αριθμών Νιοστή δύναμη του φυσικού αριθμού α ονομαζουμε το γινόμενο του α επί τον εαυτό του ν φορές. Δηλαδή , α ν = α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ ....α ν φορές http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΟ αριθμός α λέγεται βάση της ν-οστής δύναμης και το ν λέγεται εκθέτης.ΠαράδειγμαΓια α=2 και ν=3 έχω: 23=2.2.2=83 φορές το 2 επί τον εαυτό του ! Ορίζουμεα1=α , α0=1 , α-ν=1/αν . Π.χ, 21=2 , 20=1 ,2-2=1/22=1/4Ιδιότητες των δυνάμεωνακ.αλ=ακ+λ,π.χ, 22.23=22+3=25 ακ:αλ=ακ-λ,π.χ, 22:23=22-3= 2-1=1/2 ακ.βκ=(αβ)κ,π.χ, 22.32=(2.3)2=36 ακ:βκ=(α:β)κ,π.χ, 22:32=(2:3)2=4:9 (ακ)λ=ακλ,π.χ, (22)2=22.2=24=16 www.mathschool- online.comΠαράδειγμα 1ο(Λύση της άσκησης 1.α) σελ.19 του σχολικού βιβλίου) 2-5.28=2-5+8=23=2.2.2=8 Παράδειγμα 2ο(Λύση της άσκησης 1.δ) σελ.19 του σχολικού βιβλίου) (5-2)-4=5(-2).(-4)=58=5.5.5.5.5.5.5.5=390625http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού χ, είναι ο θετικός αριθμός α που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον χ.Η τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού χ συμβολίζεται με x . Επομένως σύμφωνα με τον ορισμό έχω: x =α <-> α2=χ =Π.χ, 16 4=, διότι 42 16 Ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας α. β= α.βΠ.χ, 2. 3= 2.3 = 6  α= α ββΠ.χ, 5= 5 = 1 10 10 2  2 α =α 2Π.χ, 3 =3Πώς μετατρέπω κλάσμα που έχει άρρητο παρονομαστή σε ισοδύναμο κλάσμα με ρητό παρονομαστή.http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΠαράδειγμα 1ο (Πρδ.3,σελ.21 του σχολικού βιβλίο Πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή του κλάσματος 5 , με τον άρρητο αριθμό 3 3 =5 5=. 3 5=. 3 5. 3 3 3. 3 ( 3)2 3 Παράδειγμα 2ο (Λύση της άσκησης 6.α ,σελ. 24 του σχολικού βιβλίου) Πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή του κλάσματος 1 , με τον άρρητο αριθμό 2 2 =1 1=. 2 =1. 2 2 2 2. 2 ( 2)2 2 Αλγεβρική παράσταση Αλγεβρική παράσταση είναι μια έκφραση που περιέχει αριθμούς και μεταβλητές. Π.χ, 2χ+3χ2: y +1 Ακέραια αλγεβρική παράσταση Ακέραια αλγεβρική παράσταση είναι μια αλγεβρική παράσταση που μεταξύ των μεταβλητών της σημειώνεται μόνο η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός και οι εκθέτες των μεταβλητών είναι φυσικοί αριθμοί. Π.χ, 2χ+3χ2+1 Αριθμητική τιμή μιας παράστασης http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Αριθμητική τιμή μιας παράστασης είναι ο αριθμός που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές της με αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις. Π.χ, να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης Α=2χ-2 , για χ=1 Λύση Α=2.1-2=2-2=0 Επομένως η αριθμητική τιμή της παράστασης Α για χ=1 είναι Α=0 Μονώνυμο Μονώνυμο λέγεται μια ακέραια αλγεβρική παράσταση στην οποία μεταξύ των αριθμών και των μεταβλητών της σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού. Π.χ, -2χ2y Συντελεστής του μονωνύμου Συντελεστής του μονωνύμου ονομάζεται το αριθμητικό μέρος του μονωνύμου. Π.χ, τo -2 ονομάζεται συντελεστής του μονονύμου Κύριο μέρος του μονωνύμου Κύριο μέρος του μονωνύμου ονομάζεται το τμήμα που δεν περιλαμβάνει το αριθμητικό μέρος . Π.χ, το χ2y ονομάζεται κύριο μέρος του μονωνύμου Όμοια μονώνυμαΌμοια λέγονται τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος. http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Π.χ, -2χ2y , 3χ2y , (7/2) χ2y , - χ2y Βαθμός μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή Βαθμός μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή λέγεται ο εκθέτης μιας μεταβλητής.Π.χ, Το μονώνυμο 2χ3y2 ως προς χ είναι 3ου βαθμού και ως προς y είναι 2ου βαθμού. Βαθμός μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητέςΒαθμός μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές λέγεται το άθροισμα εκθετών των μεταβλητών του.Π.χ, Το μονώνυμο 2χ3y2 είναι 5ου βαθμού και ως προς χ και y Σταθερό μονώνυμοΟι αριθμοί θεωρούνται ως σταθερά μονώνυμα μηδενικού βαθμού. Π.χ, ο 2 μπορεί να θεωρηθεί ως σταθερό μονώνυμο μηδενικού βαθμού Μηδενικό μονώνυμοΤο μηδέν μπορεί να θεωρηθεί ως μηδενικό μονώνυμο και δεν έχει βαθμό Πρόσθεση μονωνύμωνΒασική προυπόθεση για να προσθέσω μονώνυμα είναι να είναι όμοια. http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΤο μονώνυμο που προκύπτει είναι όμοιο με αυτά και έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους. Π.χ, 2χ2y- χ2y+5 χ2y= (2-1+5).χ2y=6χ2y Αναγωγή ομοίων όρων Αναγωγή ομοίων όρων λέγεται η αντικατάσταση των όμοιων μονωνύμων με το άθροισμά τους. Π.χ, 2χ2y-χy+xy- χ2y+4xy= (2-1)x2y+(-1+4)xy = x2y + 3xy Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση μονωνύμων Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση μονωνύμων γίνονται είτε τα μονόνυμα είναι όμοια είτε όχι. Γινόμενο μονωνύνων Το γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο μεσυντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και κύριομέρος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους, με εκθέτη καθεμιάς μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών τους. Π.χ, 3χ2y.(-2)xy = 3.(-2)x2+1y1+1 = -6x3y2 Πηλίκο δύο μονωνύμωνΠηλίκο δυο μονωνύμων είναι η αλγεβρική παράσταση που είναι γινόμενο του διαιρετέου με τον αντίστροφο του διαιρέτη. http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΠ.χ, 14χ2y : 7xy = 14χ2y 1 = 2x2-1 = 2x, o 14χ2y 7xy 1είναι ο διαιρετέος , ο 7xy είναι ο διαιρέτης και ο 7xyείναι ο αντίστροφος του διαιρέτη.ΠολυώνυμοΠολυώνυμο λέγεται το άθροισμα των μονωνύμων που δύο τουλάχιστον από αυτά δεν είναι όμοια. Π.χ, 4χy2+2xy+2Τα μονώνυμα 4χy2,2xy,2 λέγονται όροι του πολυωνύμου. Βαθμός πολυωνύμου ως προς μια μεταβλητή Βαθμός πολυωνύμου ως προς μια μεταβλητή του ονομάζεται ο μεγαλύτερος από τους εκθέτες της μεταβλητής αυτής.Π.χ, το πολυώνυμο 2x2y +3xy3 είναι 2ου βαθμού ως προς x και 3ου βαθμού ως προς yΒαθμός πολυωνύμου ως προς περισσότερες μεταβλητές τουΒαθμός πολυωνύμου ως προς περισσότερες μεταβλητές του ονομάζεται το άθροισμα των μεγαλύτερων εκθετών των μεταβλητών του. http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΠ.χ, το πολυώνυμο 2x2y +3xy3 είναι 5ου βαθμού ως προς x και Y Σταθερό πολυώνυμο Οι αριθμοί μπορούν να θεωρηθούν εκτός από σταθεράμονώνυμα και ως σταθερά πολυώνυμα μηδενικού βαθμού. Π.χ, ο -2 μπορεί να θεωρηθεί και ως σταθερό πολυώνυμο μηδενικού βαθμού Μηδενικό πολυώνυμο Το μηδέν μπορεί να θεωρηθεί εκτός από σταθερό μονώνυμο και ως μηδενικό πολυώνυμο και δεν έχει βαθμό. Πρόσθεση – Αφαίρεση πολυωνύμων Η πρόσθεση και η αφαίρεση πολυωνύμων γίνεται με την αναγωγή ομοίων όρων (αφού βγάλω πρώτα τις παρενθέσεις,όπου υπάρχουν). Παράδειγμα 1ο 2x2+3y-x2+y=2x2-x2 +3y+y = (2-1)x2+(3+1)y=x2+4y Παράδειγμα 2ο Λύση της άσκησης 5.α σελ.37 του σχολικού βιβλίου(2χ2-χ)-(χ3-5χ2+χ-1)= 2χ2-χ- χ3+5χ2-χ+1 = 7χ2-2χ-χ3+1 Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. Π.χ, 3χ2(2χ3+6χ)= 3χ2.2χ3+3χ2.6χ=6χ5+18χ3 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμου με πολυώνυμο Για να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο,πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του πολυωνύμου με κάθε όροτου άλλου πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. Π.χ, (χ+2).(2χ2+1)=χ.2χ2+χ.1+2.2χ2+2.1=2χ3+χ+4χ2+2 Αξιοσημείωτες ταυτότητες Ανάπτυγμα τετραγώνου (α+β)2=α2+2αβ+β2 Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 1.α σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (2+χ)2=22+2.2.χ+χ2=4+4χ+χ2 Παράδειγμα 2ο (Λύση της άσκησης 1.γ σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (2ω+1)2=(2ω)2+2.2ω.1+12=22.ω2+4ω+1=4ω2+4ω+1 Τετράγωνο διαφοράς http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com (α-β)2=α2-2αβ+β2 Παράδειγμα 1ο (2-χ)2=22-2.2.χ+χ2=4-4χ+χ2 Παράδειγμα 2ο(Λύση της άσκησης 2.α σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (χ-3)2=χ2-2.3χ+32=χ2-6χ+9 Παράδειγμα 3ο(Λύση της άσκησης 2.δ σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (2κ-λ)2=(2κ)2-2.2κ.λ+λ2=22.κ2-4κλ+λ2=4κ2-4κλ+λ2 Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά ή αλλιώς διαφορά τετραγώνων (α+β)(α-β)=α2-β2 ή (α-β)(α+β)=α2-β2 Παράδειγμα 1ο(Λύση της άσκησης 6.α σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (χ-1)(χ+1)=χ2-12=χ2-1 Παράδειγμα 2ο(Λύση της άσκησης 6.δ σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (χ+4)(χ-4)=χ2-42=χ2-16 Παράδειγμα 3ο http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com (Λύση της άσκησης 2.ζ σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (2χ+7y)(2x-7y)=(2x)2-(7y)2=22x2-72y2=4x2-49y2 Κύβος αθροίσματος (α+β)3=α3+3α 2β+3αβ2+β3 Κύβος διαφοράς (α-β)3=α3-3α 2β+3αβ2-β3 Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 5.α σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (χ+1)3=χ3+3χ 2.1+3χ.12+13= χ3+3χ 2+3χ+1 Παράδειγμα 2ο (χ-1)3=χ3-3χ 2.1+3χ.12-13= χ3-3χ 2+3χ-1 Διαφορά κύβων (α-β)(α2+αβ+β2)= α3-β3 Παράδειγμα 1ο(Λύση της άσκησης 10.α σελ. 50 του σχολικού βιβλίου) (χ-3)(χ2+3χ+9)= (χ-3)(χ2+3χ+32)=χ3-33 Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή (α-β)(α2+αβ+β2) = (χ-3)(χ2+3χ+32) http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Άθροισμα κύβων (α+β)(α2-αβ+β2)= α3+β3 Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 10.β σελ. 50 του σχολικού βιβλίου) (y+2)(y2-2y+4)=(y+2)(y2-2y+22)=y3-23 Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή (α+β)(α2-αβ+β2) = (y+2)(y2-2y+22) Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεωνΠαραγοντοποίηση ονομάζεται η διαδικασία με την οποίαμια αλγεβρική παράσταση που αποτελείται από άθροισμα όρων μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων. Π.χ, 22+2.2χ+χ2=(2+χ)(2+χ)=(2+χ)2 Από άθροισμα που ήταν 22+2.2χ+χ2 μετατράπηκε σε γινόμενο παραγόντων (2+χ)(2+χ) με τη βοήθεια της ταυτότητας (2+χ)2=22+2.2.χ+χ2 Μέθοδοι παραγοντοποίησης Κοινός παράγοντας Παράδειγμα 1ο http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com 3α+3β+3γ =3(α+β+γ)Σε όλους τους όρους της παράστασης 3α+3β+3γ υπάρχει κοινός παράγοντας το 3. Επομένως βγάζω έξω από τη παρένθεση το 3 και μέσα στη παρένθεση γράφω το άθροισμα των άλλων όρων, σύμφωνα με το κανόνα της επιμεριστικής ιδιότητας : Αα+Αβ+Αγ=Α(α+β+γ) όπου Α=3 Παράδειγμα 2ο -3α-3β-3γ =-3(α+β+γ)Σε όλους τους όρους της παράστασης -3α-3β-3γ υπάρχει κοινός παράγοντας το -3. Επομένως βγάζω έξω από τη παρένθεση το -3 και μέσα στη παρένθεση γράφω το άθροισμα των άλλων όρων, σύμφωνα με το κανόνα της επιμεριστικής ιδιότητας : Αα+Αβ+Αγ=Α(α+β+γ) όπου Α=-3 ΕπεξήγησηΟυσιαστικά κάθε όρος μέσα στη παρένθεση του γινομένου-3( α+β+γ) είναι το πηλίκο της διαίρεσης των αντίστοιχων όρων της παράστασης -3α-3β-3γ με τον κοινό παράγοντα -3: -3a/-3=a -3β/-3=β http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com -3γ/-3=γ Παράδειγμα 3ο -2α+2β-2γ =2(-α+β-γ) ΕπεξήγησηΚάθε όρος μέσα στη παρένθεση του γινομένου 2( -α+β-γ)είναι το πηλίκο της διαίρεσης των αντίστοιχων όρων της παράστασης -2α+2β-2γ με τον κοινό παράγοντα 2: -2a/2=-a 2β/2=β -2γ/2=-γ Παράδειγμα 4ο -χα+α =α(-χ+1) Επεξήγηση Κάθε όρος μέσα στη παρένθεση του γινομένου α( -χ+1) είναι το πηλίκο της διαίρεσης των αντίστοιχων όρων της παράστασης -χα+α με τον κοινό παράγοντα α: -χa/α=-χ α/α=1 http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Παράδειγμα 5ο (Λύση της άσκησης1.α σελ.60 του σχολικού βιβλίου) 3α+6β=3(α+2β) Επεξήγηση Κάθε όρος μέσα στη παρένθεση του γινομένου 3(α+2β)είναι το πηλίκο της διαίρεσης των αντίστοιχων όρων της παράστασης 3α+6β με τον κοινό παράγοντα 3: 3α/3=α 6β/3=2β Κοινός παράγοντας κατά ομάδες (ομαδοποίηση) aχ+βχ+αy+βy=χ(α+β)+y(a+β)‘Βγάζω’ κοινό παράγοντα από τους δυο πρώτους το χ και από τους δυο επόμενους το y Στη συνέχεια ‘βγάζω’ κοινό παράγοντα το (α+β) χ(α+β)+y(a+β)= (α+β)(χ+y) ΕπεξήγησηΚάθε όρος μέσα στη παρένθεση του γινομένου (α+β)(χ+y)είναι το πηλίκο της διαίρεσης των αντίστοιχων όρων της παράστασης χ(α+β)+y(a+β) με τον κοινό παράγοντα (α+β) http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com χ(α+β)/ (α+β) =χ y(a+β)/ (α+β)=y Διαφορά τετραγώνων Στηριζόμαστε στη ταυτότητα α2-β2=(α+β)(α-β) Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 8.α σελ.61 του σχολικού βιβλίου) χ2-9=χ2-32=(χ+3)(χ-3) Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α2-β2= χ2-32 Παράδειγμα 2ο (Λύση της άσκησης 8.β σελ.61 του σχολικού βιβλίου) 16χ2-1=16χ2-12=(4χ)2-12=(4χ+1)(4χ-1) Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α2-β2= (4χ)2-12 Διαφορά τετραγώνου Στηριζόμαστε στη ταυτότητα (α-β)2=α2-2αβ+β2 Παράδειγμα 1ο(Λύση της άσκησης 15.α σελ. 62 του σχολικού βιβλίου) http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com χ2-2χ+1= χ2-2χ.1+12=(χ-1)2 Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α2-2αβ+β2 = χ2-2χ.1+12 Ανάπτυγμα τετραγώνου Στηριζόμαστε στη ταυτότητα (α+β)2=α2+2αβ+β2 Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 15.β σελ. 62 του σχολικού βιβλίου) Y2+4y+4=y2+2.2y+22=(y+2)2 Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α2+2αβ+β2 = y2+2.2y+22 Παραγοντοποίηση τριωνύμου της μορφής χ2+(α+β)χ+αβΤο τριώνυμο της μορφής χ2+(α+β)χ+αβ παραγοντοποιείται ως εξής χ2+(α+β)χ+αβ=(χ+α)(χ+β) Παράδειγμα 1ο (Πρδγ.(α), σελ.57 του σχολικού βιβλίου) χ2-8χ+12= Αναζητώ δυο αρνητικούς αριθμούς που να έχουν άθροισμα το -8 και γινόμενο το +12 Επομένως http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com χ2-8χ+12 = χ2+[(-2)+(-6)]χ+(-2).(-6)=(χ-2)(χ-6) όπου -8=(-2)+(-6) και 12=(-2).(-6) Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω το τριώνυμο στη μορφή χ2+(α+β)χ+αβ = χ2+[(-2)+(-6)]χ+(-2).(-6) Διαφορά κύβων Στηριζόμαστε στη ταυτότητα α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2) Παράδειγμα 1ο (Πρδγ.(α), σελ.56 του σχολικού βιβλίου) χ3-27=χ3-33=(χ-3)(χ2+3χ+32)= (χ-3)(χ2+3χ+9) Επεξήγηση : Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α3-β3= χ3-33 Άθροισμα κύβων Στηριζόμαστε στη ταυτότητα α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2) Παράδειγμα 1ο (Πρδγ.(β), σελ.56 του σχολικού βιβλίου) χ3+64=χ3+43=(χ+4)(χ2-4χ+42)= (χ+4)(χ2-4χ+16) Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α3+β3= χ3+43Επίλυση εξισώσεων με τη βοήθεια της παραγοντοποίησης Παράδειγμα 1ο http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com (Λύση της άσκησης 11.α σελ. 61 του σχολικού βιβλίου) x2-49=0Παραγοντοποιώ εφαρμόζοντας τη διαφορά τετραγώνων (δες παραπάνω) : x2-49=0→x2-72=0→(χ+7)(χ-7)=0 Επομένως έχω να λύσω την εξίσωση (χ+7)(χ-7)=0→χ+7=0 ή χ-7=0 χ+7=0→χ=-7 ή χ-7=0→χ=7Παράδειγμα 2ο(Λύση της άσκησης 11.β σελ. 61 του σχολικού βιβλίου) 9χ3-4χ=0Παραγοντοποιώ εφαρμόζωντας τη μέθοδο του κοινού παράγοντα (δες παραπάνω):9χ3-4χ=0→χ(9χ2-4)=0→χ=0 ή 9χ2-4=0, χ=0 ή 9χ2-4=0→9χ2=4→9χ2/9=4/9→ χ2=4/9→χ= =4 =4 2 9 93Επομένωςhttp://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com χ=0 ή χ=2/3Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online.com Καλή ανάγνωση ! http://www.mathschool-online.com