06. Όριο συνάρτησης στο x0

ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ φυσικός µέλος της ένωσης ελλήνων φυσικών αριστοτέλειο πανεπιστήµιο θεσσαλονίκης σχολή θετικών επιστηµώνΜαθηµατικάΘετικών Σπουδών &Σπουδών Οικονοµίας/Πληροφορικής Ενότητα 6 Όριο συνάρτησης στο χ0∈ Αναλυτικές απαντήσεις βοηθήµατος Παπαδάκης Β. (2016), Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου Γ1: Προσανατολισµός Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονοµίας & Πληροφορικής (τοµ. Α), Αθήνα, Εκδ. Σαββάλας εκδόσεις ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ Science · Technology · Engineering & Mathematics Library



ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ φυσικός µέλος της ένωσης ελλήνων φυσικών αριστοτέλειο πανεπιστήµιο θεσσαλονίκης σχολή θετικών επιστηµώνΜαθηµατικάΘετικών Σπουδών &Σπουδών Οικονοµίας/Πληροφορικής Ενότητα 6 Όριο συνάρτησης στο χ0∈ Αναλυτικές απαντήσεις βοηθήµατος Παπαδάκης Β. (2016), Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου Γ1: Προσανατολισµός Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονοµίας & Πληροφορικής (τοµ. Α) Αθήνα, Εκδ. Σαββάλας

Αναλυτικές απαντήσεις βοηθήματοςΠαπαδάκης Β. (2016), Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Γ1): Προσανατολισμός ΘετικώνΣπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής (τομ. Α), Αθήνα, Εκδ. ΣαββάλαςΣυγγραφή, επιστημονική & γραφιστική επιμέλεια: Δημήτρης ΤσορμπατζίδηςΠρώτη έκδοση:  Αύγουστος 2018Πνευματικά δικαιώματα:  ©2018 Δημήτρης ΤσορμπατζίδηςΕπιτρέπεται η αναδημοσίευση και γενικά η αναπαραγωγή εν όλω ή εν μέρει έστω και μιαςσελίδας ή και περιληπτικά, κατά παράφραση ή διασκευή, του παρόντος έργου με οποιονδήποτεηλεκτρονικό τρόπο μέσω μέσων κοινωνικής δικτύωσης (Facebook, Instagram, Twitter κλπ.)χωρίς προηγούμενη γραπτή άδεια του συγγραφέα-εκδότη, με την προϋπόθεση της μη-τροπο-ποίησης του περιεχομένου, για το οποίο αποκλειστικός υπεύθυνος είναι ο συγγραφέας-εκδότης.Κεντρική διάθεση & επικοινωνία διαδικτυακό φροντιστήριο ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ Οµάδες Προσανατολισµού Θετικών & Ανθρωπιστικών Σπουδών γυµνάσιο · λύκειο · α.ε.ι.το µέλλον της φροντιστηριακής κπαίδευσης... σήµερα!Επικοινωνία: @stemlibrarygreece @epistimonikivivliothiki [email protected] @STEM_Library 6979007844

6 ΕνότηταΌριο συνάρτησης στο χ0∈δ6έ.7ετ αιΤμοεντόηημμοαραφνήαζτήοτυηπσεηδςίεονυόοςροιρσίμοουύστεοκυά.πΆοριοα,xσ0 εσκυάν-- Άρα, πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το:θε μία από τις δεδομένες περιπτώσεις, πρέπει να βρού- Εφόσον η συνάρτηση f(x) ορίζεται σε διάστημα της μορ-με το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να ελέγξουμε φής [-1, β], ορίζεται και στο διάστημα (-1, β), οπότε, έχειτο x0. στο και συγκεκρι-i) Για να ορίζεται η συνάρτηση f(x), πρέπει να ισχύει νόημα η αναζήτηση του ορίου x0 = -1ότι: μένα, ισχύει ότι:Άρα, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) είναι το:το οποίο είναι της μορφής (α, 2)∪(2, β), συνεπώς, έχει iv) Για να ορίζεται η συνάρτηση f(x) πρέπει να ισχύεινόημα η αναζήτηση του ορίου στο δεδομένο x0 = 2. ότι:ii) Για να ορίζεται η συνάρτηση f(x), πρέπει να ισχύει όπου, από τον πίνακα προσήμου της συνάρτησης:ότι:όπου, από τον πίνακα προσήμου της συνάρτησης: -3 312 συμπεραίνουμε ότι πρέπει:συμπεραίνουμε ότι το πεδίο ορισμού της είναι το: Επίσης, πρέπει να ισχύει και:Εφόσον η συνάρτηση ορίζεται σε διάστημα της μορφής όπου, από τον πίνακα προσήμου της συνάρτησης:(α, 1), έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου στο δεδομένο 23x0 = 1. Συγκεκριμένα:iii) Για να ορίζεται η συνάρτηση f(x), πρέπει να ισχύειότι:

6 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Χ0∈συμπεραίνουμε ότι πρέπει: iv) Από τη δεδομένη γραφική παράσταση, συμπεραί-Συνολικά, λοιπόν, πρέπει να ισχύει: νουμε ότι f(4) = 4, ενώ για τα όρια της συνάρτησης έχου- με: χ΄ -3 23 χ και Af Εφόσον τα πλευρικά όρια της συνάρτησης δεν είναι ίσα, συμπεραίνουμε ότι: χ΄ -3 23 χΆρα, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το:6.8 Εφόσον μας δίνεται γραφική παράσταση της συ- 6.9 Όπως και στην προηγούμενη άσκηση, έτσι κι ε-νάρτησης, πρέπει να προσέξουμε σε κάθε τμήμα της γρα- δώ, θα στηριχτούμε αποκλειστικά στη δεδομένη γραφι-φικής παράστασης ποια σημεία περιλαμβάνονται, κα- κή παράσταση και στα σημεία που περιλαμβάνονται σεθώς και τη μορφή των διαστημάτων που αντιστοιχούν κάθε κλάδο της.σε καθένα απ’ αυτά τα τμήματα. i) Από την προβολή της γραφικής παράστασης στονi) Από τη δεδομένη γραφική παράσταση, συμπεραί- άξονα x΄x, συμπεραίνουμε ότι:νουμε ότι f(0) = 2, ενώ το όριο της συνάρτησης: ii) Από τη δεδομένη γραφική παράσταση συμπεραί-ii) Από τη δεδομένη γραφική παράσταση, συμπεραί- νουμε ότι f(-4) = -1 και για το όριο της συνάρτησης:νουμε ότι η συνάρτηση δεν οόρρίιζοετταηιςσστυονxά0ρ=τη1σ,ηάςρ,αέ,χδοευν- Αντίστοιχα, έχουμε ότι f(-2) = 2 καιυπάρχει το f(1), ενώ για τομε:και καιΟπότε, εφόσον τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα, δεν υπάρ- Άρα, εφόσον τα πλευρικά όρια της συνάρτησης είναι ίσαχει το όριο της συνάρτησης f στο x0 = 1. υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο x0 = -2 και είναι:iii) Από τη δεδομένη γραφική παράσταση, συμπεραί- Με τον ίδιο τρόπο, παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f(x)νουμε ότι f(3) = 3, ενώ για τα όρια της συνάρτησης, τδοενόορριοίζτεητςαισσυτνοάρxτ0η=σ1η,ςά: ρα, δεν υπάρχει το f(1), ενώ γιαέχουμε:και καιΕφόσον τα πλευρικά όρια της συνάρτησης δεν είναι ίσα, Άρα, εφόσον τα πλευρικά όρια είναι ίσα, υπάρχει το όριοσυμπεραίνουμε ότι: της συνάρτησης στο x0 = 1 και ισχύει: ©  ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Χ0∈ 7Τέλος, παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f(x) δεν ορίζεται Τέλος, έχουμε ότι: σxυ0 ν=ά2ρ,τάηρσαη,ςδσετνουίπδάιορχσεηιμηείτοι:μή f(2), ενώ, για το όριοστοτης6.10 Όμοια με τις ασκήσεις 6.8 και 6.9, έτσι κι εδώ, θα 6.11 Όμοια με τις ασκήσεις 6.8, 6.9 και 6.10, έτσι κι ε-στηριχτούμε αποκλειστικά στη δεδομένη γραφική πα- δώ, θα στηριχτούμε αποκλειστικά στη δεδομένη γραφι-ράσταση και στα σημεία που περιλαμβάνονται σε κάθε κή παράσταση και στα σημεία που περιλαμβάνονται σεκλάδο της. κάθε κλάδο της.i) Από την προβολή της γραφικής παράστασης στον i) Από την προβολή της γραφικής παράστασης στονάξονα x΄x, συμπεραίνουμε ότι: άξονα x΄x, συμπεραίνουμε ότι το πεδίο ορισμού της συ- νάρτησης f είναι το:Αντίστοιχα, από την προβολή της γραφικής παράστασης ii) Από τη δεδομένη γραφική παράσταση έχουμε ότι:στον άξονα y΄y, συμπεραίνουμε ότι το σύνολο τιμών της ε-α3νπ,ώόη,τδσαευνανράέριχσεττιηενσρόηάηf.μΑδαεννητίοσαρτνίοαζιεζχτήαατ,ιηπ, σσαηυρνατετοπηυώροοςρ,ύίδμοεευνόσυττπιοάσρτxοχ0ε=xι0τ-=ο4συνάρτησης είναι: f(-3), ενώ για τα όρια της συνάρτησης στο ίδιο σημείο,ii) Από τη δεδομένη γραφική παράσταση, συμπεραί- έχουμε ότι:νουμε ότι:Αντίστοιχα, έχουμε ότι: καικαι Άρα, εφόσον τα πλευρικά όρια στο x0 = -1 δεν είναι ίσα, συμπεραίνουμε ότι:Άρα, εφόσον τα πλευρικά όρια στο x0 = -1 δεν είναι ίσα, Αντίστοιχα, στο x0 = -1 έχουμε ότι:συμπεραίνουμε ότι:Αντίστοιχα, έχουμε ότι: και στο x0 = 0:και Σστυονάxρ0τ=η1σ,ηπςασρταοτσηηρμοεύίμοεαόυττιόf,(1έχ)ο=υ1μ,εεόντώι:για τα όρια τηςΆρα, εφόσον τα πλευρικά όρια στο x0 = 1 δεν είναι ίσα, καισυμπεραίνουμε ότι:Αντίστοιχα, έχουμε ότι:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

8 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Χ0∈Άρα, εφόσον τα πλευρικά όρια στο x0 = 1 δεν είναι ίσα, τΑεν,τδίσεντουιπχαά,ρσχτεοι τxο0 = -2, η συνάρτηση δεν ορίζεται, οπό-συμπεραίνουμε ότι: f(-2). Για το όριο της συνάρτησης στο x0 = -2, παρατηρούμε ότι:Στο xγ0ια= 3, από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι f(3) = -1, Στο x0 = 0 έχουμε ότι:ενώ τα όρια της συνάρτησης στο ίδιο σημείο, παίρ-νουμε ότι:και Αντίστοιχα, σσυτνοάxρ0τ=η1σ,ηπςασρταοτίηδριοούσμηεμόετίοι :f(1) = 2, ενώ για τα όρια τηςΆρα, εφόσον τα πλευρικά όρια στο x0 = 3 δεν είναι ίσα, καισυμπεραίνουμε ότι:Τf έδλεονςο, ρσίτζοετxα0ι,=ά4ρ,ααδπεόντυοπδάιράχγεριατμομαf(4π)α,ρεαντώηργοιαύμτεα ότι η Άρα, εφόσον τα πλευρικά όρια στο x0 = 1 δεν είναι ίσα, όρια συμπεραίνουμε ότι:της συνάρτησης στο σημείο αυτό:και γΑιναττίσατόοριχιαα,τσητςοσxυ0ν=άρ2τ,ηπσαηρςα: τηρούμε ότι f(2) = -1, ενώ,ενώ, δεν έχει καιαπό τα δεξιά. νόημα η αναζήτηση του ορίου στο x0 = 4 Άρα, εφόσον τα πλευρικά όρια στο x0 = 2 δεν είναι ίσα, συμπεραίνουμε ότι:6.12 Όμοια με τις ασκήσεις 6.8, 6.9, 6.10 και 6.11 έτσι κι Στο x0 = 3 έχουμε ότι:εδώ, θα στηριχτούμε αποκλειστικά στη δεδομένη γραφι- σΣτυονάxρ0τ=η4σ,ηπςα: ρατηρούμε ότι f(4) = 3, ενώ για τα όρια τηςκή παράσταση και στα σημεία που περιλαμβάνονται σεκάθε κλάδο της.i) Από την προβολή της γραφικής παράστασης της fστον άξονα x΄x, συμπεραίνουμε ότι το πεδίο ορισμού τηςσυνάρτησης είναι το: Στο δx0εν=υ5π,άπραχρεαι ττηορfο(5ύ)μ.εΓιόαττι αη συνάρτηση δεν ορίζεται, άρα όρια της συνάρτησης στο ίδιο σημείο, έχουμε ότι:ii) Από τη δεδομένη γραφική παράσταση, συμπεραί-σνουυνμάερτόητσι ησςτ,οπxα0ρ=ατ-3η,ρεοίνύαμιε f(-3) = 1, ενώ για τα όρια τηςτηση του ορίου: ότι δεν έχει νόημα η αναζή- καικαι Άρα, εφόσον τα πλευρικά όρια στο x0 = 5 δεν είναι ίσα, συμπεραίνουμε ότι: ©  ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Χ0∈ 9σΣτυονάxρ0τ=η6σ,ηπςασρταοτxη0ρ=ού6μ,εέχόοτυι fμ(ε6ό) τ=ι:1, ενώ για τα όρια της Άρα, εφόσον τα πλευρικά όρια στο x0 = 1 δεν είναι ίσα, συμπεραίνουμε ότι:και δεν έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου στο x0 = 6από τα δεξιά. 6.14 Εφόσον η γραφική παράσταση της f διέρχεται απόΤέλος, στο x0 = 7, παρατηρούμε ότι f(7) = 3, ενώ δεν έχεινόημα η αναζήτηση του ορίου στο x0 = 7. το σημείο Μ(-1, 2), οι συντεταγμένες της ικανοποιούν την εξίσωση y = f(x). i) Για x = -1 έχουμε ότι:6.13 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το:i) Η δεδομένη συνάρτηση αποτελείται από δύο κλά- που είναι η ζητούμενη τιμή. Η δεδομένη συνάρτηση,δους, καθένας από τους οποίους είναι μια γραμμική συ- μετά την αντικατάσταση του α = -6, γράφεται ως εξής:νάρτηση του x. Αρκεί να βρούμε δύο σημεία για κάθεεπιμέρους διάστημα.• Για x ≤ 1, και για x = 1 θα πάρουμε ότι:και για x = 0: Για να ορίζεται η τελευταία, πρέπει να ισχύει:• Για x > 1: Άρα, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το:και για x = 2: ii) Η δεδομένη συνάρτηση, απλοποιείται τότε, ως εξής:Η ζητούμενη γραφική παράσταση της συνάρτησης f φαί- της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο ακόλου-νεται στο ακόλουθο διάγραμμα. θο σχήμα: y y Cf 3 Cf 2 5 1 3 x΄ Ο1 2 x y΄ x΄ -3 Ο 2 x y΄ii) Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, παρα-τηρούμε ότι: iii) Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f μπο- ρούμε να συμπεράνουμε ότι:και 6.15 Για το πεδίο ορισμού της f παρατηρούμε ότι πρέπειΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

10 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Χ0∈να λάβουμε υπόψη τόσο την παράσταση του παρονομα- ii) Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στοστή, όσο και την παράσταση του αριθμητή. προηγούμενο ερώτημα, παρατηρούμε ότι:i) Για να ορίζεται η συνάρτηση f, πρέπει να ισχύει: καικαι Άρα, εφόσον τα πλευρικά όρια στο x0 = 1 είναι διαφορε- τικά, συμπεραίνουμε ότι:που ισχύει ∀x∈. Συνεπώς, το πεδίο ορισμού της συ-νάρτησης f είναι το:Τότε, η δεδομένη συνάρτηση μπορεί να απλοποιηθεί ως 6.16 Για να υτποάπρεχδείιοτοορόιρσιμοοτύητςησςυνσάυρντάηρστηησς ησςτοείxν0α, ιπτρηές-εξής: πει, εφόσον ίμσοαρ.φΑήυςτ(όασ, xη0μ)α∪ίν(xε0ι,όβτ)ι,: τα πλευρικά όρια στο x0 να είναι [6.15.1] Για να παραγοντοποιήσουμε την τελευταία, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε σχήμα Horner, με πιθανές ρίζες ταΔιακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: ±1, ±2, ±4. Παρατηρούμε ότι η εξίσωση επαληθεύεται• αν x > 1, τότε, η [6.15.1] γράφεται ως εξής: για λ = 2. Συνεπώς, το σχήμα Horner μας δίνει:• αν x < 1, τότε, η [6.15.1] γράφεται ως εξής: 1 -3 4 -4 2 -2 4 1 -1 2 0 Άρα, η εξίσωση παραγοντοποιείται ως εξής:Άρα, η συνάρτηση [6.15.1] γράφεται συνολικά ως εξής: όπου, το τριώνυμο έχει πάντα θετικό πρόσημο, αφού η [6.15.2] διακρίνουσα της εξίσωσης λ2 - λ +2 = 0, είναι Δ < 0. Τότε, από την τελευταία, συμπεραίνουμε ότι:Η γραφική παράσταση της συνάρτησης [6.15.2] φαίνεται που είναι η ζητούμενη τιμή του λ προκειμένου να υπάρχειστο ακόλουθο διάγραμμα: το όριο της συνάρτησης στο x0. y Cf Cf 3 6.17 Για να 1 υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο x0 =2 και να είναι ίσο με 5, πρέπει τα πλευρικά όρια της συ-x΄ Ο 12 x ννοάρυντηασυητςήνσττοηνx0τ=ιμ2ή.νΣαυενίενπαώι ίςσ, απρμέεπτεαιξνύατιοσυχςύεκια: ι να δί- -1 y΄ και ©  ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Χ0∈ 11Τότε, έχουμε να λύσουμε το εξής σύστημα γραμμικών 6.20 Για την επίλυση της άσκησης χρησιμοποιούμε τιςεξισώσεων: βασικές ιδιότητες των ορίων: [6.20.1] [6.20.2] i) Από την ιδιότητα [6.20.2] παίρνουμε ότι:και με αντικατάσταση, προκύπτει λ = -1. Άρα, οι ζητού- ii) Από την ιδιότητα [6.20.1] και το προηγούμενο ερώ-μενες τιμές των κ και λ είναι (κ, λ) = (3, -1). τημα (i), παίρνουμε ότι: iii) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (ii) θα πάρουμε ότι:6.18 Θα υποθέσουμε ότι το όριο της συνάρτησης f(x)σνάτορτxη0συηπςάσρτχοει.x0Τνόατεε,ίπνραέι πίσεαι .τΔαηπλλαεδυήρ,ιπκράέπόεριι:α της συ-Η διακρίνουσα της τελευταίας είναι Δ = -7 < 0. Συνεπώς,η δευτεροβάθμια εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.Άρα, δεν υπάρχει λ∈ τέτοιο, ώστε να ικανοποιείται η iv) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (ii) θα πάρουμε ότι:συνθήκη ύπαρξης του ορίου στο xf(0.x)Οσπτόοτεx,0.συμπεραί-νουμε ότι δεν υπάρχει το όριο της6.19 Εφόσον υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο x0, 6.21 Όμοια με την άσκηση 6.20, για την επίλυση της ά- πλευρικά όρια της συνάρτησηςσυμπεραίνουμε ότι τα σκησης χρησιμοποιούμε τις βασικές ιδιότητες των ορί-στο x0 είναι ίσα. Δηλαδή, ισχύει ότι: ων: [6.21.1] [6.21.2]Θέλουμε να δείξουμε ότι: i) Από το δεδομένο όριο παίρνουμε διαδοχικά ότι: ii) Από το ερώτημα (i) παίρνουμε ότι:που ισχύει ∀λ∈. Άρα:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

12 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Χ0∈iii) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (i) και την ιδιότητα[6.21.2] παίρνουμε ότι:iv) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (iii) θα πάρουμεότι: Αυτό σημαίνει ότι για τα πλευρικά όρια ισχύει ότι: το οποίο μας δίνει το σύστημα των γραμμικών εξισώσε- ων:6.22 Εφόσον το όριο της f(x) υπάρχει στο x0 = 2, πρέ- και με αντικατάσταση, προκύπτει ότι λ = 1. Άρα, το ζη- συνάρτησης στο x0 = 2 να εί- τούμενο ζεύγος τιμών των κ, λ είναι (κ, λ) = (2, 1).πει τα πλευρικά όρια τηςναι ίσα. 6.24 Θα χρησιμοποιήσουμε βασική ιδιότητα των ορίων,i) Πρέπει να ισχύει: ώστε να «κατασκευάσουμε» τα όρια που υπάρχουν στην αναλογία. Έχουμε ότι: Τότε:που είναι η ζητούμενη τιμή του λ. καιii) Για λ = 3 σε οποιοδήποτε από τα πλευρικά όρια,παίρνουμε ότι:Τότε, από βασικές ιδιότητες των ορίων:iii) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (ii) και βασικής ιδι- Με αντικατάσταση στην αναλογία παίρνουμε τότε, ότι:ότητας των ορίων: που είναι η ζητούμενη τιμή.6.23 Από το δεδομένο όριο, έχουμε διαδοχικά ότι: ©  ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α. ΤΣΟΡΜΠΑΤΖΙΔΗΣ



διαδικτυακό φροντιστήριο υπεύθυνος προγράµµατος σπουδών: ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ∆ηµήτρης Α. Τσορµπατζίδης Οµάδες Προσανατολισµού φυσικός Θετικών & Ανθρωπιστικών Σπουδών µέλος της ένωσης ελλήνων φυσικών γυµνάσιο · λύκειο · α.ε.ι. αριστοτέλειο πανεπιστήµιο θεσσαλονίκηςτο µέλλον της φροντιστηριακής σχολή θετικών επιστηµών κπαίδευσης... σήµερα! @stemlibrarygreece @epistimonikivivliothiki [email protected] @STEM_LibraryΕπικοινωνία: 6979007844 Ελ. Βενιζέλου 70, Αλεξανδρούπολη