Том 26. Магнитка - Медуза (1954)

МАССОВАЯ СИЛА —МАССОВОЕ ПРОИЗВОДСТВО 449 МАССОВАЯ СЙЛА—сила, действующая на каж­ процесса между отдельными участками и специали­ зацией выполнения отдельных операций, с при­ дый элемент объёма тела и пропорциональная массе этого элементарного объёма. менением конвейерных линий, подчиняющих ра- МАССОВОЕ действо — театральное представ­ боту многочисленных звеньев предприятия единому ление, основанное на творческой самодеятельности ритму. народных масс; характерная особенность М. д.— огромное число зрителей и исполнителей. М. д. М. п. создаёт наиболее благоприятные условия для происходят под открытым небом, на городских пло­ комплексной механизации и делает её необходимой. щадях, стадионах; в качестве сценич. площадки ис­ Массовый выпуск одноимённой продукции требует пользуются естественный рельеф местности, архи­ механизации не только трудоёмких и тяжёлых работ, тектурные сооружения. Важную роль в М. д. иг­ но и всех подсобных и вспомогательных работ, рают музыка, хоровое пение. Широкое развитие эти представления получили во Франции в годы бур­ в т. ч. механизации передачи изделий от одной жуазной революции конца 18 в. (М. д. в честь машины к другой, что позволяет сокращать дли­ «верховного существа», культ к-рого насаждался якобинцами). тельность производственного цикла. М. п. в наибо­ лее законченном виде осуществляется при авто­ В Советской России в годы гражданской войны матизации производственных процессов, когда в М. д. имели характер агитационных представлений, связанных с революционными датами: в Москве — обязанности рабочего входит только наблюдение за «Пантомима Великой революции» 7 ноября 1918; в Петрограде — «Гибель Коммуны» 18 марта 1920, работой приборов и наладка машин-автоматов. В «К мировой Коммуне» (в честь II конгресса 3-го Интернационала) 19 июля 1920, «Взятие Зимнего машиностроении на обработке наиболее массовых дворца» 7 ноября 1920; в Иркутске — «Борьба тру­ деталей внедряются автоматич. линии станков и да и капитала» 1 мая 1921, и др. В представле­ создаются автоматич. заводы по производству ниях этого периода сказались противоречия между творческой инициативой народных масс и чужды­ отдельных деталей (поршней автомобиля и др.). ми им влияниями режиссёров-формалистов, пытав­ Непременным условием М. п. является стандарти­ шихся применить к М. д. порочные декадентские зация (см.) качества, размеров и других параметров теории. материалов и изделий, обеспечивающая полную В 1940—50-е гг. М. д. ставятся прогрессивными взаимозаменяемость изделий, постоянные, мало театральными деятелями зарубежных стран (напр., в Италии). изменяющиеся качественные показатели сырья, топ­ Лит,: Луначарский А. В., О народных праздне­ лива, материалов и деталей. Без взаимозаменяе­ ствах, в его кн.: Театр и революция, М., 1924. мости была бы невозможна сборка стандартных изделий. МАССОВОЕ ПРОИЗВОДСТВО — одна из форм организации производства, основанная на специа­ Эффективность М. п. определяется теми же пока­ лизации отдельных предприятий и цехов и на при­ зателями, что и эффективность всякого разделения способлении их к выпуску однотипной продукции в больших, массовых количествах. Специализация труда и специализации. М. п. позволяет специали­ оборудования и увеличение мощности одного пред­ зировать оборудование, а потому сделать его более приятия способствуют внедрению прогрессивных поточных методов производства (см. Поточное производительным благодаря увеличению общей производство) и применению автоматов и автоматич. загрузки машин, сокращению времени на перестрой­ систем машин (см. Автоматы, Автоматическая ли­ ния, Автоматический завод). ку работы машины (переналадку), обычно отни­ М. п. представляет высшую форму специализа­ мающую много времени нэ предприятиях с боль­ ции производства и общественного разделения труда, шим ассортиментом изделий, позволяет лучше ис­ позволяющую сосредоточивать на предприятии вы­ пользовать производственные площади, материалы пуск одного или нескольких типо-размеров одно­ имённых изделий или деталей этих изделий. С раз­ и труд, затрачиваемые на производство. Специали­ витием М. п. всё большая номенклатура деталей изготовляется на отдельных предприятиях или зация металлообрабатывающих станков и других ма­ цехах; при этом заводы, выпускающие конечную шин, выполнение ими только одной операции по­ продукцию, кооперируются со смежными предприя­ зволяет при одном и том же весе станков и расходе тиями и всё больше превращаются в сборочные за­ энергии получить в несколько раз большую продук­ воды готовых деталей. Так, М. п. автомобилей или цию. Более производительные машины требуют мень­ тракторов осуществляется путём кооперации мно­ гих предприятий, производящих отдельные их де­ ших площадей на выпуск одного и того же количест­ тали: моторы, электрооборудование, покрышки или ва продукции. Поэтому выпуск одного или несколь­ гусеницы, стёкла, шарико- и роликоподшипники и т. и. М. п. характеризуется появлением предприя­ ких изделий на данном производстве резко умень­ тий, специализирующихся иа изготовлении различ­ шает потребность в производственных площадях, ка­ ного рода деталей изделий (заводы подшипников, кре­ питальные затраты на сооружение к-рых составляют пёжных деталей, редукторов, цепей, роликов для транспортёров, мерительного инструмента и т. п.). от 40 до 60% общих затрат. Сокращаются площади Хотя метод поточного производства возможен и при других формах организации производства для хранения многочисленных изделий. Конвейер­ (напр., при серийном производстве), но наиболее ная передача изделий от одной машины к другой полно этот метод применяется при М. п. Он связан сокращает проходы между машинами. Переход от здесь с детальным разделением производственного частичной к комплексной механизации литейных * 57 Б. С. Э. т. 26. цехов, осуществлённый па нек-рых заводах СССР в связи с их переходом на М. п., позволил увеличить выпуск литья на 1 лі2 производственной площади почти в 2 раза. Расход материалов при выпуске изделия М. п. также сокращается, так как. при увеличении потребности в том или ином специаль­ ном профиле металла или типе материала произво­ дитель этого материала организует его специальный выпуск. Практикой, напр., установлено, что вес с.-х. машин может быть снижен до 25% при изго­ товлении их из новых видов пустотелого проката. При малой потребности в этом прокате выпуск его для металлургия, заводов невыгоден, при большой же потребности есть полное основание организо­ вать производство нового вида проката. При М. п. улучшается равномерность качественных и размер-

450 МАССОВОЕ ПРОИЗВОДСТВО —МАССОВЫЙ ИЗЛУЧАТЕЛЬ ных показателей материала, что приводит к эко­ совому и дешёвому производству электроэнергии. Себестоимость производства электроэнергии снизи­ номии материалов. Прочностные показатели стали лась более чем в 100 раз, что привело к вытеснению при частых переналадках прокатного стана коле­ блются в пределах до 40%. Это неблагоприятно паровой энергии почти из всех отраслей народ­ ного хозяйства, за исключением ж.-д. транспорта. отражается на весе машин и конструкций и иногда В 10-х гг. 20 в. развивается М. п. пищевых продук­ приводит к значительному перерасходу металла при их изготовлении. тов, в 20-х гг.— автомобилей, тракторов, обуви, в 30-х гг.— швейных изделий, радиоприёмников, Особенно большой эффект М. п. оказывает на производительность труда: при переходе от инди­ стиральных машин, в 40-х гг.— телевизоров и т. д. видуального к массовому производству во многих Особенного развития достигло М. п. в США. Однако рост М. п. в капиталистич. странах происходит случаях она увеличивается в 2—4 раза. Это дости­ гается за счёт применения более эффективных средств противоречиво, так же как и внедрение новой тех­ механизации и автоматизации процессов производ­ ники и новой технологии вообще. М. п. развивается только в тех производствах, к-рые обеспечивают ства, за счёт снижения простоев машин, увеличения извлечение максимальных прибылей при наимень­ их мощности, повышения квалификации рабочего ших капитальных вложениях. В таких отраслях и экономии по группе так называемых постоян­ ных (обслуживающих) рабочих. Увеличение выпу­ производства, как строительство жилищ, где давно имеется потребность перехода на М. п., оно разви­ ска продукции в результате перехода к М. п. часто вается слабо, так как для этого требуются большие не влечёт за собой пропорционального увеличения капитальные вложения при недостаточно высоких числа инженерно-технич. работников, а это в для капиталистов прибылях. свою очередь является также одним из существен­ В социалистическом хозяйстве переход на М. п. ных преимуществ М. п., так как подготовка этих ничем не ограничен и неразрывно связан с техни­ специалистов требует многих лет. Переход на ческим прогрессом. Еще на XVI съезде ВКП(б) (1930) было указано: «Важнейшим направле­ М. п. является необходимым и неизбежным эта­ нием рационализации съезд признает специализацию пом развития техники почти во всех отраслях про­ предприятий при сокращении ассортиментов про­ мышленного производства, за исключением отдель­ ных случаев, связанных с производством уникаль­ дукции, организации массового производства и ного оборудования и другой продукции ограничен­ кооперировании специализированных заводов». В ной потребности. законе о пятилетием плане восстановления и раз­ В СССР М. п. всё больше внедряется не толь­ вития народного хозяйства СССР на 1946—50 отме­ ко на крупных, но и на мелких и средних пред­ чалось, что М. п. является одним из передовых мето­ дов ведения производства, и ставилась задача орга­ приятиях местной промышленности и промысловой низации М. п. автомашин новых типов, тракторов кооперации. М. п. применяется на предприятиях, с дизель-моторами, с.-х. машин, новейших типов изготовляющих предметы народного потребле­ микроскопов, специальной аппаратуры и многих других изделий. ния, в частности мебель. Внедряется М. п. также в строительство жилых домов. Более глубокая спе­ МАССОВОЕ числб — целое число, ближайшее циализация средних и мелких предприятий и орга­ к атомному весу изотопа данного химич. элемента. низация на них М. п. одноимённых изделий являют­ Для лёгких устойчивых изотопов М. ч. примерно в ся реальным средством повышения производитель­ 2 раза больше порядкового номера (числа Мен­ ности труда, улучшения качества и снижения себе­ делеева), отношение же этих чисел, начиная с № 20 стоимости продукции, выпускаемой этими пред­ (кальций), постепенно растёт, достигая величины приятиями, до уровня, достигнутого крупными 2,6 для изотопа урана 238. При обозначении атомных предприятиями СССР. ядер М. ч. обычно ставят сверху справа у знака соот­ Исторический очерк. Своё первое при­ ветствующего элемента; напр., обозначение ядра менение М. п. получило еще на мануфактурных урана 238 записывается так: и238. М. ч. определяет предприятиях 17—18 вв. Массовость выпуска про­ общее число нуклонов, т. е. протонов и нейтронов, дукции на них обеспечивалась изготовлением пре­ в атомном ядре. Во всех случаях, когда рассматри­ имущественно одного вида изделий, а внутри пред­ вается к.-л. явление, зависящее от общего числа приятия — специализацией каждого рабочего на нуклонов в атомном ядре, неизменно фигурирует той или иной производственной операции. В подлин­ М. ч. Напр., при подсчёте энергии связи,приходящей­ ном смысле слова М. п. развивается в эпоху машин­ ся на одну частицу в ядре, дефект массы (см.), умно­ ной техники, с помощью специализированного обо­ женный на квадрат скорости света, делят на М. ч. В рудования и установок, что даёт возможность зна­ уравнениях радиоактивного распада (см.) и ядерных чительно увеличивать мощность предприятия и, реакций сумма М. ч. в одной части уравнения дол­ жна быть равна их сумме в другой части; это видно следовательно, массовость производства. В конце из уравнения радиоактивного распада радия: 19 в. в Бельгии и Германии впервые были унифици­ Иа226 = Ил222 + Не4 или ядерной реакции: рованы размеры прокатываемой стали и установле­ аЬІ’+ 1Н1=2Не4+2Не4. ны более мощные прокатные станы, что позволило МАССОВЫЙ ИЗЛУЧАТЕЛЬ — генератор весьма этим странам снизить себестоимость изделий и на­ коротких затухающих электромагнитных волн (дли­ чать вытеснять с мирового рынка продукцию анг­ ной до десятых долей миллиметра). М. и. состоит из лийской металлургия, пром-сти. Этот опыт органи­ множества подвижных маленьких вибраторов Герца, зации М. п., на практике доказавший, какое огром­ взвешенных в диэлектрике. Излучение коротких эле­ ное преимущество в борьбе с конкурентами даёт ктромагнитных волн происходит при возбуждении в увеличение выпуска одноимённой продукции на од­ этих вибраторах электрич. колебаний пропусканием ном предприятии, в дальнейшем начал быстро рас­ через них искр от индуктора.Устройство М.и. показа­ пространяться на другие страны и в другие отрасли но на рисунке. В сосуде А содержится смесь метал- производства. В начале 20 в. унифицируются на­ лич. опилок и густого машинного масла. Непрерыв­ пряжения и частота электрич. тока, мощности и напряжения электромоторов, что открыло широкую но действующая мешалка В поддерживает опилки возможность для увеличения мощности электро­ станций и превращения их в предприятия по мас­

МАССОВЫЙ ИЗЛУЧАТЕЛЬ — МАСС-СПЕКТРОМЕТРИЯ 451 во взвешенном состоянии, так что смесь имеет вид ных с гальванометром обычной чувствительности кашицеобразной массы. Эта масса М захватывает­ ся из сосуда вращающимся карболитовым колёсиком порядка 10~9 или 10—1° А на деление шкалы. С по­ К и под действием центробежных сил располагается мощью метода отражательной ступенчатой решётки на колёсике в виде шины С. С обеих сторон колёсика (эшелетта) выделялись мопохроматич. волны от два провода и /2 подводят 9,9 мм до 350 ц. При помощи термоэлемента с резо­ к шине высокое напряжение от индуктора. Разрядные нирующей антенной легко выделяются волны от искры проходят через смесь 6,5 см до 353 ц. на участке V шины, к-рый и является излучающей В настоящее время (1954) М. и. пользуются ино­ частью М. и. Этот источник самых коротких электро­ гда для исследования поглощения миллиметровых магнитных волн, получае­ волн изолирующими материалами, ферромагнети­ мых от электрич. вибрато­ ками и пр. ров, был построен в 1922 советским учёным А. А. Гла­ Лит.-. Глаголева-Аркадьева А. А., Собра­ голевой-Аркадьевой. По­ ние трудов, М.—Л., 1948. иски нового источника из­ лучения были вызваны тех- МАССОН, Михаил Евгеньевич (р. 1897) — совет­ нич. трудностями, постоян­ но встречавшимися при попытках многих исследо­ ский археолог. Действительный член Академии наук вателей получить наиболее короткие, гранича­ Туркменской ССР (с 1951); заслуженный деятель нау­ щие с тепловыми, электромагнитные волны по ме­ ки Узбекской ССР (с 1944) и Туркменской ССР тоду вибратора Герца, к-рый широко применялся (с 1949). Профессор Среднеазиатского государственно­ го ун-та (Ташкент). Работает по археологии Средней для получения сантиметровых и более длинных электромагнитных волн. Основные трудности заклю­ Азии с 1919. Известен как исследователь Самар­ чались в следующем: при переходе к крайне корот­ ким волнам энергия излучения вибратора Герца канда, Термеза, древнего Мерва и Нисы. Руководи­ становится очень малой, и для измерения её возни­ тель Южпо-туркменистанской археологической ком­ кает необходимость конструирования чрезвычайно чувствительных приёмников. Ввиду относительной плексной экспедиции (с 1945). Применил архео­ значительности поперечных размеров вибраторов и логические методы при изучении истории горного влияния искры перестаёт быть применимой простая дела в Средней Азии. Автор свыше 150 работ по зависимость между длиной волны 1 и длиной тон­ археологии, нумизматике и истории архитектуры кого стержневого вибратора I, а именно 2; Средней Азии. это отношение постепенно возрастает с уменьшением Лит.: Материалы Южпо-Туркменистанской археоло­ X, напр. для Х = 1,8 мм оно доходит уже до 4,5. гической комплексной экспедиции, вып. 1—2, Ашхабад — М.—Л., 1949—51; Труды Южно-Туркменистанской архео­ Следовательно, для получения очень коротких волн, логической комплексной экспедиции, т. 1, Ашхабад, 1949,. напр. Х=1,8 мм, надо взять вибратор Герца дли­ МАСС-СПЕКТР — совокупность разделённых в ной 0,4 мм, т. е. длину каждой половины вибратора масс-спектрографе (или масс-спектрометре) пучков сделать равной 0,2 мм. Обе части вибратора должны лучей, состоящих из частиц различных масс, назван­ быть, несмотря на столь малые размеры, укреплены ная английским учёным Ф. Астоном (см.) «спект­ в оправе. ром масс». М.-с. изображается на фотографической пластинке масс-спектрографа в виде ряда линий, Эти затруднения совершенно отпадают при поль­ соответствующих ионам различной массы (см. зовании методом М. и. Вместо единичного вибратора рис. 1, 2, 4 в ст. Изотопы). Подробнее см. Масс-спект­ Герца для увеличения энергии в М. и. берётся мно­ рометрия. жество вибраторов: металлич. опилки, находясь в Лит.: Астон Ф. В., Масс-спектры и изотопы, пер. постоянном движении во взвешенном состоянии, с англ., М., 1948. , при встрече друг с другом образуют множество пар, МАСС-СПЕКТРОГРАФ — прибор для измерения представляющих собой маленькие вибраторы Герца; размер вибраторов может быть произвольно малым, масс заряженных частиц. Первоначально М.-с. был т. к. опилки во время действия М. и. остаются взве­ назван прибор, сконструированный англ, учёным шенными в вязком масле или в струе воздуха и, следовательно, трудность их укрепления отпадает. Ф. Астоном (см.) для исследования изотопов (см.). В дальнейшем М.-с. (а также масс-спектрометрами) Эти маленькие вибраторы сгорают при действии стали называть приборы различной конструкции, искры медленно, т. к. они быстро сменяются при служащие для изучения масс-спектров (см.). Хотя вращении колёсика. иногда один и тот же прибор называют как М.-с., Спектр излучениям, и. оказался сплошным, напо­ так и масс-спектрометром, но по современной тер­ добие излучения накалённого твёрдого тела. На минологии М.-с. отличается от масс-спектрометра шкале электромагнитных волн оп занял область в ин­ тем, что ионы в нём регистрируются фотопластинкой, тервале от нескольких сантиметров до 0,08 мм. а не электрич. методом. М. с. обычно имеют относи­ Таким образом, волны М. и., налагаясь, с одной сто­ роны, на весьма короткие электромагнитные волны, тельно бблыпую разрешающую способность (при меньшей интенсивности ионного пучка), чем боль­ с другой — на длинные тепловые волны, заполнили шинство систем масс-спектрометров. Поэтому М.-с. пробел, долгое время существовавший в этой большей частью применяются для прецизионного области шкалы электромагнитных воли. Измерение измерения масс изотопов (см.). Подробнее см. Масс- длин волн было сделано по методу интерференции с зеркалами Больцмана. Энергия волн восприни­ спектрометрия. МАСС-СПЕКТРОМЕТР—прибор для измерения от­ малась термоэлементами разных типов, соединён­ носительного содержания изотопов (см.) посредством измерения величины ионного тока, обусловленного соответствующими изотопами. М.-с. широко исполь­ зуется для аналитич. целей в различных областях науки и техники. Подробнее см. Масс-спектромет­ рия. МАСС-СПЕКТРОМЕТРИЯ (масс-спектро­ граф и я) — методы определения массовых чисел и точного измерения масс ионизованных атомов и молекул посредством разделения (в пространстве или во времени) ионов с разным отношением массы т к заряду в при прохождении электрического и маг­ 57*

452 МАСС-СПЕКТРОМЕТРИЯ нитного полей. Регистрация разделённых ионов строить масс-спектрографы с большой разрешающей силой (см. Разрешающая способность приборов), может производиться электрич. способом (масс-спект­ в к-рых осуществлялась фокусировка не только по скоростям, но и по направлениям, что давало рометрия) или фотографическим (масс-спектро- Рис. 2. Схема прибора Астона: S,, Sa— щели, ограничи­ графия). Обычно масс-спектрографией вающие пучок; С — отклоняющий конденсатор; 1 — пу­ чок большей энергии; 2 — пучок меньшей энергии (силь­ называют точное измерение масс изотопов (см.), ное отклонение); S3 — щель, вырезающая пучки в неболь­ шом интервале энергий; М — магнит, фокусирующий на производимое чаще всего посредством масс-спект­ пластинке АВ в одну точку F ионы данной массы, но раз­ ных энергий (положение точки F зависит от массы ионов). рографов (см.), а масс-спектрометрие й— очень резкие спектры и позволяло измерять мас­ измерение распространённостей изотопов (см.) сы ионов с точностью до ІО-5— 10— ЬМЕ (массовой единицы, см.). или определение массовых чисел (см.) атомов в целях Наряду с измерением масс изотопов проводилось обнаружения новых изотопов, производимое чаще измерение относительного содержания изотопов в химич. элементах. В 1918 амер, физик А. Демпстер всего посредством масс-спектрометров (см.). М.-с. построил первый масс-спектрометр (название это стало употребляться позднее), в к-ром ионы ускоря­ применяется также в химич. анализе для определе­ лись электрич. полем до нек-рой постоянной для всех ионов энергии и затем, после разделения по ния относительного содержания в веществе различ­ массам, фокусировались в однородном магнитном поле (после отклонения ионного пучка на 180°). ных компонент. В месте фокусировки пучка помещалась узкая щель, за к-рой находился приёмник ионов, соединённый Исторический обзор. Начало исследования пучков с квадрантным электрометром (см.). Изменяя маг­ нитное поле, можно было последовательно подво­ положительно заряженных частиц, получаемых в дить к приёмнику ионные пучки, состоящие из ио­ разрядных трубках (см. Канамвые лучи), относится нов с разным удельным зарядом . Отношение ион­ к последнему десятилетию 19 в. Первые опыты вслед­ ных токов давало возможность определять концен­ трации изотопов в исследуемом веществе. ствие несовершенства аппаратуры не обнаружили Впоследствии масс-спектрометр был усовершен­ изотопов у химич. элементов и, казалось, подтверж­ ствован. Начиная с 1940 вместо отклонения пучка в магнитном поле на 180° стали применять сектор­ дали существовавшее в то время представление о ное поле, а квадрантный электрометр был заменён ламповым электрометром с самозаписывающим по­ том, что все атомы данного элемента имеют одина- тенциометром. Была повышена интенсивность ион­ ного источника (см.) и улучшена система напуска ковыѳ атомные веса. газа. Эти, а также ряд других усовершенствований позволили увеличить точность и быстроту анализов, Впервые стабильные изотопы (Пе20 и Ие22) были упростили технику обращения с аппаратурой и привели к расширению возможностей применения открыты англ, учёным Дж. Томсоном в 1913 посред­ прибора для различных целей. Современный масс- спектрометр является весьма совершенным и уни­ ством т. н. метода па­ версальным прибором, серийно выпускаемым про­ мышленностью. рабол. Схема установ­ Масс-спектрография. Принцип двойной ки Томсона показана фокусировки. В масс-спектрографах, пред­ назначенных для точного измерения масс, примене­ А на рис. 1. Отклоне­ ние двойной фокусировки (по энергиям и по направ­ ние, вызываемое элек­ лениям) считается обязательным. Необходимость фокусировки по энергиям вызвана тем, что ионы, трич. полем (с напря­ испускаемые источником, всегда имеют несколько различные энергии, что ухудшает резкость линий жённостью Е), напра­ на масс-спектрограмме и может приводить к их смещению. Схема масс-спектрографа с двойной фо­ Рис. 1. Схема метода парабол: влено по оси у и кусировкой представлена на рис. 3. Ионный пучок узкий пучок каналовых лучей вы­ пропорционально —еЕа проходит поле цилиндрич. конденсатора С, в к-ром ионы разной энергии отклоняются на разные углы; (ѵ — скорость ионов). фокусируясь в разных точках в плоскости щели S, они дают спектр ионов по энергиям (при этом разде­ ходит из канала А, проходит Отклонение в магнит­ ления по массам не происходит). Ионы с меньшей между пластинками С, и Са кон­ энергией испытывают большее отклонение в элект- денсатора, создающего отклоняю­ ном поле (с напряжён­ щее электрическое поле между ностью И) направлено полюсами N и в магнита. В — по оси х и пропор- экран, на к-ром наблюдаются па­ е—Н . раболические следы ионов разных ционально Ионы масс. данной массы дают на пластинке след в виде ветви параболы: у=—ТПЕ2хл\\ Вторую ветвь параболы можно получить, изменив направление магнитного поля. Фотографии пара­ бол, полученных таким образом, см. в ст. Изотопы, рис. 1 и 4. Измеряя отрезки и 12, отсекаемые параболами на прямой, параллельной оси х, можно наити отношение масс, так как: — = Метод па­ рабол непригоден для точного определения масс вследствие того, что при большом диаметре канала, через к-рый проходит ионный пучок, параболы не­ достаточно чётки, а при узком канале яркость изо­ бражения слишком слаба. В 1919 англ, физик Ф. Астон построил прибор, названный им масс-спектрографом. В масс-спектро­ графе осуществлялась т. н. фокусировка по скоро­ стям. Это означает, что ионы, вышедшие из канала с разными энергиями, попадали в приборе Астона в одно и то же место фотопластинки и тем самым уве­ личивали яркость изображения (в приборе Томсона эти ионы попали бы в разные точки фотопластинки). Схема масс-спектрографа Астона приведена на рис. 2. В дальнейшем была разработана теория фокусировки в электрич. поле цилиндрич. конденсатора и в одно­ родном магнитном поле «секторного типа» (поле между магнитными полюсами в виде секторов, см. на рис. 3). Комбинация таких полей позволила по­

МАСС-СПЕКТРОМЕТРИЯ 453 рич. поле, чем ионы с большей энергией, однако в маг­ (дисперсия определяется по расстоянию между линия­ ми с известной разностью масс). В качестве эталона нитном поле они должны двигаться по траектории выбирается линия, принадлежащая иону молекулы, имеющей то же самое массовое число, что и измеряе­ меньшего радиуса. Это приводит к тому, что все мая линия, и состоящей из атомов с точно измерен­ ными массами. Такие ионы данной массы могут сфокусироваться в од­ две линии на спектро­ грамме масс называют­ ной точке. Ионы других масс, пройдя магнитное ся дублетами. поле, будут фокусироваться в других точках и т. о. Ряд эталонов масс, полезных для масс- на фотопластинке спектрографич. иссле­ дований, дают углево­ дадут спектр масс. дороды. После откры­ тия тяжёлого изотопа Правильно подобрав водорода Н2 (или Б) с тало возможным по­ дисперсию магнит­ лу чить сериюдублетов: Щ—П; О3—С12 + + ; ного поля, можно, С12ЕЦ—О18, и, таким по крайней мере для образом, Н}, Н2 и С12 непосредственно срав­ одной массы, сфо­ нить с кислородом О1®. На рис. 5 приведена кусировать в од­ увеличенная фотогра­ фия и фотометрич. кри­ ной точке фотопла­ вая мультиплета мас­ стинки не только сового числа 20. Рас­ стоянию между край­ ионы, вышедшие из ними компонентами Рис. 5. Увеличенная фотография А4о++иС12 1Э4 соответ­ мультиплета массового числа 20. ни: 5!— выходная шелъ источника источника по раз­ ионов; С — цилиндрический кон­ ствует разность масс в денсатор, фокусирующий в точках ным направлениям в пределах неболь­ 0,38%. В современном масс-спектрографе, приме­ няя очень узкие щели (1-—3 |і) и малые апер­ плоскости щели Б (независимо от шого угла, но и ионы, туры (см.) пучков, удаётся получить разрешающую массы) ионы данной энергии, вы­ силу ок. 60000, т. е. линии масс-спектра, разли­ шедшие из Бі, по разным направ­ обладающие разной лениям; 1 — пучок большей энер­ энергией. Е ели в схе­ чающиеся на -^оодд- массы изотопа, еще могут быть гии; 2 — пучок меньшей энергии; ме (рис. 3) І! = Z't разделены (разрешены). Точность измерения для М — секторный магнит, фокусирую­ лёгких атомов — порядка 10~6М£'. Однако резуль­ щий ионы данной массы и энергии, и Z2=Z'2, то для вы­ таты разных авторов расходятся на несколько боль­ вышедшие из одной точки щели полнения условий шую величину из-за систематич, ошибок, специ­ но по разным направлениям. Бла­ двойной фокусиров­ фичных для данного прибора. годаря смещению пучков 1 и 2 в плоскости щели они фокусируются ки необходимо, что­ на пластинке АВ в одной точке Р. бы = г2. Положение точки Р зависит от мас­ Первымиприбора- сы ионов. ми с двойной фоку­ сировкой были масс- спектрографы, построенные Демпстером (1935) и амер, физиками К. Бейнбриджем и Э. Джорданом (1936). В приборе Демпстера ионы отклонялись на 90° в поле цилиндрического конденсатора и затем фокуси­ ровались в магнитном поле после отклонения на 180°. В масс-спектрографе Бейнбриджа и Джордана конденсатор имел центральный угол 127°, а магнит­ ное поле отклоняло пучки па 60°. В обоих приборах двойная фокусировка достигалась только для одной массы. В приборе, предложенном немецким физиком Й. Маттаухом, двойная фокусировка осуществляет­ Таблица характеристик различных типов масс-спектрографов. ся по всей длине пла­ стинки (рис. 4). После прохождения электро- Средняя Разре­ Точность диспер­ шающая в ME статич. поля с углом Автор Год п сия сила поворота пучка ^7= траекторииионов дан­ Астон (1-й прибор) . 1919 1J 130 10-’ Астов (2-й прибор) . 1925 2.2 600 *іо- ной энергии становят­ Демпстер................ 1935 1 1 000 4*0- Бейнбридж и Джор- 1936 5 10 000 10—« ся параллельными.Па- 1937 1,4 6 500 10-’ дан.......................... 1940 14,6 30 000 *10- р аллельные пучки фо­ Маттаух.................... 1950 10 40 000 10-• Джордан................ 1951 5,8 58 000 1*0- кусируются в магнит­ Эвальд ....................... Огата и Матсуда . . Масс-спектрограф Мат- ном поле после пово­ тауха. Пучок ионов данной энер­ гии после выхода из конденсатора рота на 90°. Шкала масс такого прибора С становится параллельным. Пуч­ квадратична. Масс-спектрографически измерены с большой точ­ ки ионов рааных энергий входят в магнитное поле магнита М под Вычисление ностью массы почти всех стабильных изотопов с рааными углами.Это даёт возмож­ дефектов масс массовыми числами от 1 до 70. Измерений для более ность сфокусировать их в одной и современное тяжёлых атомов пока произведено немного, и они точке. Двойная фокусировка осу­ значительно менее точвы. Это спязано с уменьшени­ ществляется по всей длине пла­ состояние масс- спектрографии. ем разрешающей силы масс-спектрографа в области стинки АВ. больших масс и с удалённостью измеряемой массы от Знание дефектов масс хорошо измеренных стандартов масс (Н1, 1Э, С12, О16). (см.) позволяет вычислить энергию связи протонов и Масс-спектрометр с электрич. регистрацией ион­ нейтронов в ядре (см. Атомное ядро, Атомная энер­ ного пучка также может быть применён для изме­ гия), Дефекты масс могут быть определены по поло­ рения отношения масс. В 1951 амер, физиком А. Ниром был построен для этой цели масс-спектро­ жению линий на спектре масс, если измерено расстоя­ метр по обычной схеме масс-спектрографа с двойной ние между измеряемой линией и эталонной линией и вычислена дисперсия в данном месте фотопластинки

МАСС-СПЕКТРОМЕТРИЯ — МАССЫ ИЗОТОПОВ фокусировкой. Стабилизация магнитного поля, а так­ собой трубку с рядом сеток, между к-рыми создаётся же ускоряющего и отклоняющего напряжений осуще­ электростатическое поле (распределённое вдоль оси трубки по параболическому закону F= *)а,х ствлялась с помощью второго масс-спектрометра, по­ на к-рое накладывается поле высокой частоты. мещённого в то же магнитное поле. Применение Образовавшиеся в центре трубки ионы будут совер­ шать гармония, колебания вдоль оси трубки. Те масс-спектрометра для измерения масс даёт воз­ ионы, для к-рых частота собственных колебаний можность исключить нек-рые систематич. ошибки, совпадает с частотой приложенного поля, будут присущие масс-спектрографу. накапливать энергию и смогут пройти через задер­ Масс-спектрометрия. Основной характеристикой живающее поле на коллектор. Масса этих ионов об­ масс-спектрометра является его чувствительность. ратно пропорциональна квадрату частоты. Преиму­ ществом таких приборов являются их малые разме­ Она определяется наименьшей концентрацией при­ ры и отсутствие магнита. Разрешающая сила их неве­ месей, к-рые могут быть обнаружены на данном при­ лика: ок. 20. боре. Современные масс-спектрометры позволяют Другой тип радиочастотного прибора представляет определять концентрации примесей до 10~4%. Раз­ собой миниатюрный циклотрон (см.), в к-ром имеется решающая сила современных масс-спектрометров однородное магнитное поле и перпендикулярное к нему высокочастотное электрич. поле. В таком при­ обычно 100—400 при радиусах траекторий ок. 150— боре ускоряются и достигают коллектора только 200 мм. Определение концентраций на масс-спект­ ионы, для к-рых период обращения в магнитном поле равен периоду колебаний высокочастотного рометре производится по измерению отношения поля. Разрешающая сила таких приборов доходит ионных токов соответствующих компонент (исправ­ до 3500. ленному на различие в эффективности их иониза­ Приборы, основанные на измерении времени про­ ций) или по соотношению между пиком ионного тока лёта ионов, могут быть построены как с применением магнитного поля, так и без магнитного поля. Во данной компоненты к такому же пику в эталонной втором случае импульс ионного тока посылается смеси при одинаковой пропускной способности на­ через трубку, где ионы двигаются свободно. На эк­ пускного устройства. Точность анализа определяется ране катодного осциллографа фиксируется картина повторяемостью градуировочных кривых, к-рая за­ массового спектра, обусловленная различием во вре­ висит гл. обр. от стабильности работы ионного ис­ мени пролёта у ионов разной массы. точника. При тщательном соблюдении мер предо­ В приборах с применением магнитного поля ис­ сторожности против нестабильности источника точ­ пользуется постоянство времени Т полного оборота ность измерения количества данной примеси лежит иона данной массы в однородном магнитном поле в пределах 0,1—0,2%. Иногда анализ смеси затруд­ Т Приёмники, помещённые под выходной нён совпадением массовых чисел ионов, принадле­ щелью источника, принимают через равные проме­ жащих сравниваемым компонентам. В этом случае жутки времени ионы, совершившие один, два и т. д. применяются приборы с большой разрешающей си­ оборотов. Прибор такого типа особенно удобен для лой (до 5000). точного определения масс тяжёлых атомов, так как Масс-спектрометрич. метод получил большое рас­ его точность возрастает с увеличением периода об­ ращения иона. Однако до 1954 радиочастотные масс- пространение при анализе углеводородов. Каждый спектрометры существенных результатов в научных углеводород имеет свой характерный масс-спектр. или технич. исследованиях еще не дали. Соотношение между характерными пиками позволя­ Лит.: А о т о н Ф. В., Масс-спектры и изотопы, пер. е ет идентифицировать данный углеводород в смеси, англ., М., 1948; Р и к к Г. Р., Масс-спектроскопия, М., 1951; а их высота даёт возможность определить его кон­ Брюхе и Рекнагел ь, Электронные приборы, пер. с нем., М.—Л., 1949; Проблемы современной физики. Сбор­ центрацию. Для анализа твёрдых веществ обычно ник, вып. 14, М., 1951; MattauchJ., Präzisions Massen­ используется испарение небольшой пробы вещества spektrographen, «Die Naturwissenschaften», В., 1952, Bd 39, вблизи ионизационного пространства и применяют­ S. 557. ся также искровые источники. С их помощью удаёт­ МАССЫ народные — см. Народные массы. ся, напр., получить масс-спектры сталей, хорошая МАССЫ изотбпов — важнейшая характери­ воспроизводимость к-рых является залогом успеха стика атомных ядер изотопов. Вместе с электрич. количественного анализа. Из-за большой неоднород­ зарядом масса однозначно определяет ядро атома и обусловливает его другие свойства. Знание масс ности энергии ионов, получающихся при примене­ позволяет определять, устойчив или радиоактивен нии искрового источника, необходим фильтр или фо­ изотоп, а также возможный тип и энергию пре­ вращений ядра. На основании изучения массовых ха­ кусировка ионов по энергиям. Масс-спектрометрич. рактеристик ядер делаются принципиальные выводы о структуре ядра и действующих в нём силах. метод анализа даёт возможность, кроме опреде­ Экспериментальное изучение атомных масс осно­ ления изотопич.состава, анализировать химич. состав вывается на следующих методах: 1) Масс-спектро­ метрич. измерения, в к-рых массы определяются сложных смесей, причём результаты анализа по отклонениям заряженных ионов в электрических и получаются весьма быстро и оказываются достаточно магнитных полях (см. Масс-спектрометрия). 2) Метод точными. Изотопный анализ используется в методе перекрёстных ядерных реакций, позволяющий нахо­ стабильных изотопных индикаторов (см.). Для дить комбинации М. и., участвующих в реакции, изотопных измерений часто применяют масс-спект­ путем измерения кинетич. энергий продуктов ядер- рометры с двойным коллектором, принимающим ной реакции. 3) Изучение энергий радиоактивного сразу два пучка ионов, соответствующих двум срав­ распада ядер, доставляющее сведения о разности масс исходного и конечного ядер. 4) Радиотехнический ниваемым изотопам. Масс-спектрометры находят метод, в к-ром данные о массах получаются из измѳ- всё более широкое применение как для научных целей в физике, химии, биологии,так и для контроль­ ных измерений в газовой, нефтяной, химической и других отраслях промышленности. Радиочастотные масс-спектро­ метры. Благодаря развитию высокочастотной техники появилась возможность изготовления масс- спектрометров, основанных на резонансной зависи­ мости накопления ионом энергии колебаний в полях высокой частоты, а также на различии во времени пролёта от источника до приёмника ионов разной массы. Резонансный масс-спектрометр представляет

МАССЫ ИЗОТОПОВ —МАСТЕР 455 рений резонансных частот поглощения весьма ко­ Лит.: Джелепов Б. С. и Зырянова Л. Н., ротких радиоволн тем или иным газом. В таблице, Массы легких ядер, «Успехи физических наук», 1952, т. 48, составленной Б. С. Джелеповым, Лі Н. Зыряновой вып. 4; Кравцов В. А., Таблицы энергий связи и энер­ и В. А, Кравцовым, приведены массы нек-рых гетическая поверхность тяжелых ядер, там же, 1952, т. 47, устойчивых изотопов. Указанные в таблице вероят­ вып. 3; Бете Г. А. иБечер Р. Ф., Физика ядра, пер. ные погрешности значений масс относятся к одному С англ., ч. 1, Харьков, 1938. или двум последним десятичным знакам. См. также Атомное ядро, Изотопы, Радиоактивность, Ядер- МАССЫ СОХРАНЕНИЯ ЗАКбН —■ один из основ­ ная физика. ных законов естествознания, согласно к-рому масса Таблица масс устойчивых изотопов. замкнутой системы тел остаётся постоянной при всех процессах, совершающихся в системе. Закон сохра­ нения массы вещества экспериментально установлен Изотоп Масса атома Изотоп Масса атома великим русским учёным М. В. Ломоносовым в 1756. Подробнее см. Масса, Ломоносова закон. МАСТАВА (арабск., буквально — каменная ска­ мья) — современное название гробниц древне­ п (ней- Zn\"8 египетской знати. Древнейшие М. периода 1-й ди­ трон) Zn70 *Н і,008985±2 Ge” 67.94682±7 настии (3-е тысячелетие до н. э.) обнаружены в Тар­ н= Ge72 69,94793± 10 Не’ 1 .008146І 1 В r7fl 69.94675 ± 12 хане. Они представляют собой холм из песка, обли­ Не4 2,014741± 2 В г81 71.94498 ± 20 L1\" 3,016983 ± 5 Кг7Я 78.9434 ±4 цованный кирпичом, Li7 4,003877 ±3 Kr»° 80,94271±20 Be\" 6.017028І 6 Kf2 77.94517 І18 в виде дома с при­ Be9 7.018225 І7 Кг83 79.94221 ± 11 стройкой-молельней В10 8,007849 ± 6 Krs‘ 81 . 93946І 11 и подземельем для Bu 9,015042І 6 KSrrH”6 82.9418 ±5 cС 1ja3 10.016118І8 83.93827± 9 гроба и погребаль­ №‘ 1 1,012790 ± 6 Sr38 85-93805 ±8 ной утвари. Более *N 5 12,003817± 5 Zr»’ 85.93697 І 12 О” 13.007488 І 5 Zr”1 87.93.389i 12 поздние М .строились *О 7 14,0075.31 ± 5 Zr“8 89.93344І 18 О18 15,004877 ± 7 Pd’02 90.93470І 19 сплошь из камня, F” 16,000000 Pd'°4 91 ,93436± 19 Ne20 17.004536 ±7 Pd‘°5 Ю1.93734 І9 молельня и комната Ne21 1 8.004888 І 6 Pd’<>e Ю3.93634І 10 Ne22 1 9,004454 ±5 рPсdр1ю08 1О4.93806І 14 для статуи умершего Мастабы. Реконструкция. Na23 19.998798 І 5 Cd108 105,93675 і13 помещались в самом Mg2‘ 21,000525І 6 Cd110 107.93801І 11 Mg” 21,998336 ± 4 Cd“' 109.93946 ±13 здании. На стенах Mg2’ 22.997094 І 6 Cd';a 107,93820І 11 АГ-7 23,99265 ±2 Cd113 109,938 12 і 13 молельни изобража­ Si2’ 24,99377 ±2 Cd114 1 10-93945 І 10 Si” 25.99081 ±3 Cd1” 111.93864І 17 лись культовые и бытовые сцены. В период пер- Sj)3i»i 26.99009 ±2 In113 112,94038і11 S:’2 27,98580 ±3 1 1.3.93965 і 10 ных двух династий М, служили усыпальницами 28,98568 +2 ]д115 1 15,94187І 12 S’* 29,98328 ±3 И 2.94018І 12 фараонам, но начиная с фараона III династии Cl35 30.98359 ±3 Sn115 114.94038І 1 1 Cl37 31,9822.2 +1 Sn“» 1 14,9399 ІЗ Джосера, построившего себе наряду с огром­ A” 32,98192 ±2 Sn117 1 15. 93916 І И A38 33,97866 +3 Sn118 1 16,94033 i10 ной М. ступенчатую пирамиду, все последующие A40 34,98002 4- 3 Sn11’ 117.9.3933 X 16 K3<) 36,97756 +4 Sn120 118,94116i12 фараоны Древнего Царства воздвигали пирами­ K41 35,97892 ±3 Sn121 119.94033І 14 »C* a 27,97480 +7 Sn124 1 21,94225 i 15 ды, у подножия которых представители египет­ *Ca 2 39,97507 +2 Те120 123.94477 І li Ca43 38,97600 ± 4 Те122 1 19. 94266І 1 6 ской знати сооружали для себя М Подобные ком­ Ca1* 40,97467 +5 Тс123 121.94172І8 S*c ’ 39,97530 ±5 Те12* 122.9434 І4 плексы сохранились в Медуме, Саккаре, Гизе. *TI ’ 41,97208 ±3 Те’2’ 123.94243 І 11 Лит.: Всеобщая история архитектуры, Ti47 42.97244 ±5 Те120 124. 94437І 14 МАСТАРА — селе­ 43,96921 ±6 Те128 125,94381 ±7 *Ti “ 44,97005 ±4 Трс27130 127.94603 І 13 ние в Талипском рай­ Ti” 45,96690 ±6 Хе’2* 129.94834 І 10 VV5”1 46,96651 +6 Хе”“ 126.94503 І 13 оне Армянской ССР, CC*52l r\" 47,96319 ±5 Хе128 12.3.94553 І7 Cr53 48,96345 ±5 Хе’2® 1 25, 94473 ± 14 в котором сохранил­ Cr84 49,96067 ±3 Хе130 127. 944 33 І 9 Mnis 49,96321 ±11 Хе131 128,94574±15 ся выдающийся па­ Fe5* 50,96038 ±5 Хеш 129,94466±lo FeB8 49,96190 +4 ХХееі1з3в4 130,9465 ±4 мятник периода фор­ Few 51.95706 +9 1 31 , 94 606 ± 10 FN¡e5’88 52,95755 ± 8 Ва138 1 3,3,94778 ± 12 мирования архитек­ Ni6« 53,95609 ±15 Се14\" 135,95021±11 туры феодальной Ар­ Ni” 54,95556 ±10 Се’*2 137,9509 ±9 Ni82 53,95679 ±5 Рг”1 139,9481 ±4 мении — церковь св. Npi 55,95273 ± 9 Nd’44 1 4 1,9524 ±4 Cu\" 56,95351 ±to Nd 140,9504 ±4 Иоанна (6—7 вв.). Цер­ Си” 57,951 4 ±3 Hfno 143,9560 ±8 57,95330 ±11 Pt’»* 149,9672 ±5 ковь по своей объём­ Zn“ 59,94910 ± 16 Pt’\" 180,0029 ± 10 ZnM 60,9490 ±2 Pt”» 1 94,0238 ±8 но - пространственной 61,9472 ±2 pb2\"8 195,0262 ± 8 Zn«7 63,9479 ±2 Pb207 196,0265 ±8 композиции и кон­ 62,94918 ±6 Pb208 206.0386 І6 64,94819 ± 6 Bi2\" 207,0394 ±3 структивным формам 63 , 9491 ±2 208,0404 ±3 65 9464 ± 2 209,0440 ±3 является оригиналь­ 66,94805 ±6 ным вариантом кре­ стово-купольных со­ оружений Армении. Мастара. Церковь св. Иоанна. 6- -7 ив. В Мастере находят­ ся также развалины небольшой церкви, остатки крепостных сооружений и надгробные памятники —■ хачкары. Лит.: Арутювян В. М. и Сафарян С. А., Па­ мятники армянского зодчества. М.. 1951. Ъріі-РЬр ¡ІриІриЪ Ишрілш- ршщЬт п і[3jmii и/ш ш и lрjmii. U'Zl\"ш ЦІ п 1РJ п ЬСЬ i/ui&nL, 1—2, Ьріішіі, 1942—48t МАСТЕР (англ, master, от лат. magister — началь­ ник, учитель) — 1) Младший административно-тех­ нический работник на предприятии фабрично-завод­ ского типа [см. Мастер (на производстве)]. 2) Ква-

456 МАСТЕР —МАСТИКИ инфицированный работник на предприятиях ранее достигнутые всесоюзные рекорды. См. также кустарно-промыслового типа, напр. часовой М. Заслуженный мастер спорта. (в прошлом — часовых дел М.), сапожный М. 3) Че­ ловек, достигший высокого совершенства в своей МАСТЕРА ГРАМОТЫ — народные учителя-само­ работе, творческой деятельности (М. высоких уро­ учки в Русском государстве 14—19 вв., обучавшие жаев, М. скоростных плавок металла, М. художест­ детей, а иногда и взрослых чтению и письму. Свое венного слова, М. портретной живописи и пр.). название получили по аналогии с мастерами ремё­ 4) Звание, установленное в СССР для лиц, имеющих сел. Содержание обучения ограничивалось, как пра­ выдающиеся достижения в области спорта и физиче­ вило, азбукой, часословом и псалтырём (книга псал­ ской культуры (см. Мастер спорта, Заслуженный мов). Иногда в ходе обучения читались и другие цер­ мастер спорта). ковные книги. Не владея методикой обучения, М. г. пользовались буквослагателъным методом (см.). МАСТЕР (на производстве) — специалист, Тексты книг заучивались наизусть в присутствии младший административно-технич. работник, осу­ М. г.; уроков ученикам не задавалось. Прилежание ществляющий руководство участком, пролётом, и дисциплина в учении поддерживались обычно те­ сменой и т. д. На социалистическом предприятии лесными наказаниями. Тем не менее М. г. сыграли М.— непосредственный организатор производствен­ большую роль в распространении грамоты на Руси. ного процесса. На капиталистич. предприятии М.— В 18 и в 1-й половине 19 вв. М. г. успешно конкури­ приказчик хозяина. ровали с государственной и церковно-приходской школами. Деятельность М. г. прекратилась с сере­ Коммунистическая партия и Советское правитель­ дины 19 в. в связи с распространением школ и вве­ ство проявляют неустанную заботу о М., об укрепле­ дением звукового метода обучения грамоте. нии их руководящей роли на производстве. В резолю­ ции XVIII Всесоюзной конференции ВКП(б) (фев­ МАСТЕРС, Эдгар Ли (1869—1950)—американский раль 1941) указано на необходимость поднятия роли поэт и прозаик. М. реалистически рисует образы М. как непосредственного организатора производ­ амер, богачей, бесчестных дельцов, карьеристов- ства, полноправного руководителя на порученном политиканов («Антология Спун-Ривер», 1915, сб. ему участке, отвечающего за соблюдение технологии, «Новый Спун-Ривер», 1924, и др.), с горькой иро­ дисциплины и выполнение производственного зада­ нией говорит о социальных контрастах амер, дей­ ния по всем показателям. В соответствии с поста­ ствительности (сб. стихов «Ягоды Литчи», 1930). новлением Совнаркома СССР и ЦК ВКП(б) «О по­ Неспособность найти правильный путь разрешения вышении роли мастера на заводах тяжелого машино­ строения» (май 1940) М. назначается из числа инже­ противоречий капитализма обусловила в творчестве неров, техников и высококвалифицированных ра­ М. пессимистич. мотивы. М. является также автором бочих. М. предоставлено право: с утверждения на­ поэмы «Вдоль по Иллинойсу» (1942) и других произ­ чальника цеха принимать и увольнять рабочих; нала­ ведений, книг об А. Линкольне (1931), У. Уитмене гать дисциплинарные взыскания на нарушителей трудовой дисциплины; устанавливать тарифные (1937), Марке Твэне (1938). разряды; распоряжаться установленным для выпол­ нения производственного задания фондом зарплаты; С о ч. М.: Masters Е. L., Spoon river anthology. New поощрять рабочих за высокие производственные по­ edition, with new poems, N. Y., 1928. казатели. М. обязан правильно расставлять рабо­ чих, своевременно выдавать им наряды на работу, Лит.: Поэты Америки. XX век. Антология, М., 1939. следить за снабжением их инструментом, сырьём и материалами; инструктировать и оказывать помощь МАСТЕРСКАЯ — 1) Предприятие кустарно-про­ рабочим в выполнении заданий, проверять соблю­ мыслового типа (часовая М., столярная М., по­ дение ими технология, процесса и правил техники без­ шивочная М. и пр.). 2) Промышленное предприятие, опасности; следить за обеспечением высокого каче­ производящее гл. обр. ремонтные работы, напр. ства продукции, предупреждать брак и недодел­ авторемонтная М., железнодорожные мастерские (см.). ки; наблюдать за технически правильной эксплуа­ На нек-рых предприятиях часть цеха. 3) Мастер­ тацией оборудования; внедрять передовые методы ская художественная (см.). работы и оказывать помощь рабочим в повыше­ нии их квалификации. Советские М. в содру­ МАСТЕРСКАЯ художественная — спе­ жестве с инженерами, учёными, передовыми ра­ циально оборудованное помещение, где работает ху­ бочими непрестанно совершенствуют технику, улуч­ дожник. Иногда М. называют также школу, учеников шают технологию, организацию труда и произ­ какого-либо художника. Например, при отсут­ ствии точных сведений об авторстве картины гово­ водства. рят, что она «вышла из мастерской такого-то худож­ ника» . Лит.: Резолюции XVIII Всесоюзной конференции ВКП(б) 15—20 февраля 1941 г., М., 1941 (стр. 12); О повышении роли МАСТЕРСКЙЕ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫЕ — см. мастера на заводах тяжелого машиностроения. В Совнаркоме Железнодорожные мастерские. Союза ССР и Центральном Комитете ВКП(б) [Постановле­ ние], «Правда», 1940, 28 мая, № 147. МАСТЕР-ШТАМП (в технике) — кузнечный штамп, предназначенный для штамповки рабочих МАСТЕР КОНТРОЛЬНЫЙ — см. Контрольный штампов или их основных деталей (ручьевых вста­ мастер. вок, пуансонов, матриц). Применение М.-ш. снижает стоимость изготовления рабочих штампов, так как МАСТЕР СПОРТА—в СССР звание, присуждаемое при этом почти полностью отпадает необходимость за всесоюзные достижения в различных видах спорта. в их механич. обработке (фрезеровании). Термин В 1936—52 это звание присваивалось Всесоюзным ^устарел. См. Кузнечно-штамповочное производство, комитетом по делам физической культуры и спорта Штамповка штампов. при Совете Министров СССР; с 1953 — присваивает­ ся Главным управлением по физической культуре МАСТЙКИ —■ различные составы, твёрдые и по­ и спорту Министерства здравоохранения СССР. лутвёрдые продукты,широко применяемые в технике. С января 1953 для получения звания М. с. установ­ В качестве примеров можно указать на следующие лены новые нормативы, значительно превышающие М.: 1) Антикоррозионная М.— искусственная твёр­ дая смесь нефтяных битумов или каменноугольных пеков с тонко измельчёнными минеральными или органич. наполнителями. Применяется как вяжущее при футеровках химически стойкими материалами или как самостоятельный материал для антикорро-

МАСТИКИ КРОВЕЛЬНЫЕ —МАСТИТ 457 зионных покрытий химия, аппаратуры, для запол­ Требуемая марка М. к. устанавливается в зависимо­ нения промежутков в химия, аппаратуре, для уплотнения при сочленении трубопроводов, штуцеров сти от уклона кровли, максимальной температуры и других деталей химия, оборудования, не рабо­ ноздуха и других эксплуатационных условий и обес­ тающих на сдвиг, и т. д. 2) Кровельная М.—■ смесь печивается правильным выбором марки битума или каменноугольных пеков с волокнистыми или ком­ бинированными наполнителями (см. Мастики кро­ составленного дёгтя, а также введением наполни­ вельные). 3) Противошумная М.— смесь раствора биту­ телей в требуемом количестве. ма и асбестового волокна с добавкой растительных масел. Применяется для уменьшения шума, возни­ Лит.: (Михайлов И. В. и др.], Руководство по кающего от вибрации облицовки кузовов легковых устройству рулонных кровель новыми методами, 2 изд., автомобилей во время езды и работы мотора. М.—Л., 1951; СкрамтаевБ. Г. [и др.], Строительные материалы; 5 изд., М., 1952- Известны и другие М., напр. асфальтовая, полу­ чаемая смешением в определённом соотношении из­ МАСТИКОВАЯ СМОЛА — то же, что мастике вестняков и доломитов с асфальтовым битумом и применяемая в качестве вяжущего изоляционного (см.). материала; нитромастика, раствор нитроцеллюлозы в смеси летучих органич. растворителей, использует­ МАСТЙКОВОЕ ДЁРЕВО, мастичное де­ ся при изготовлении дерматина, ледерина и гра­ рево (Pistacia lentiscus),—вечнозелёный кустар­ нитоля. Хорошо известна М. для полов, в состав ник или деревцо 1—5 м выс. из рода фисташка (см.). к-рой входят канифоль, воск, церезин, стеарин, па­ рафин и скипидар; известны и другие составы М. для Листья кожистые, перистосложные; цветки мелкие, полов. красные, двудомные, в плотных кистевидных соцве­ МАСТЙКИ КРбвЕЛЬНЫЕ (устар, название — тиях. Дико растёт в Средиземноморье (а также ме­ стами разводится, напр. ѵаг. chia — на о-ве Хиос). клебемассы) — строительный материал, при­ Из стволов М. д. (при надрезе их; получают приятно готовляемый из битумных или дёгтевых вяжущих и применяемый для наклейки рулонных материалов пахнущую смолу — мастике (см.). С хорошо раз­ на различные поверхности (деревянные опалубки витого М. д. получают за год до 5 кг смолы; лучший крыш, железобетонные плиты, кирпичные стены сорт — хиосский. Смола М. д. была известна уже и пр.), для склеивания рулонных материалов при древним египтянам, она высоко ценилась в древние многослойных покрытиях и изоляциях и для защит­ ного покрытия кровельных рулонных материалов. и средние века. MÁCTHKC (мастиковая смола) — смола В соответствии с принятым делением рулонных материалов (см.) различают М. к. битумные — для древесного растения Pistacia lentiscus, произраста­ приклеивания битумокартонов (рубероида, перга­ мина и др.), и дёгтевые —■ для приклеивания дёгте­ ющего в Средиземноморье. М. выделяется в виде картонов (толя кровельного и подкладочного). застывающих па воздухе прозрачных желтоватых В зависимости от способа применения М. к. бывают капель; очень ароматичен. В состав М. входят эфир­ ное масло (до 2—3%), смоляные кислоты (ок. 42%), горячие (битумные и дёгтевые), используемые н на­ гретом (расплавленном) виде, и холодные (битумные), обусловливающие её антисептич. свойства, горькое применяемые без подогрева. Холодные М. к. изго­ вещество мастицин (5%) и углеводороды резоны товляют растворением битумов в органич. раство­ (ок. 50%). М. используется при производстве лаков, рителях (зелёное масло, лакойль) и употребляют для а также в виде настоек для полоскания рта и в ка­ приклейки двустороннего руберойда; при работе честве связывающего вещества при приготовлении с холодными мастиками в закрытых помещениях (напр., при изоляционных работах) необходимы вен­ нек-рых пластырей и пилюль. тиляция и противопожарный надзор. МАСТЙТ (от греч. |хастто<; — сосок, грудь), Битумные горячие М. к. состоят из нефтяных грудниц а,— воспаление молочной (грудной) же­ битумов (см.) одной марки или из сплава нефтя­ ных битумов разных марок с добавкой волокнистых лезы. Острый М. наблюдается чаще у беременных, или пылевидных наполнителей (распушённый ас­ кормящих женщин и у новорождённых обоего пола. бест, молотый тальк, трепел, каменная или дре­ весная мука и др.). Они делятся на марки в зависи­ М. лактационный — нередко осложняет мости от степени теплостойкости, определяемой той период кормления. Чаще М. заболевают женщины наибольшей температурой, при к-рой мастика, склеи­ после первых родов и преимущественно в молодом вающая два слоя пергамина или толя, не вытекает при выдержке на уклоне в 45°. По этому показателю возрасте (70% до 30 лет). М. возникает от воздействия битумные М. к. делятся на четыре марки: 65°,75°, 85° на организм микробов, проникающих н глубину и 90°. Дёгтевые горячие М. к. изготовляются из ото­ гнанных или составленных каменноугольных дёгтей тканей через трещины на сосках и околососковых (см. Дёготь) с добавлением наполнителя и по теп­ лостойкости делятся на три марки: 50°, 60° и 70°. кружках. Возможно проникновение микробов в мо­ Введение наполнителей позволяет уменьшить расход лочную железу и но молочным ходам, открываю­ битумов или дёгтей и значительно улучшает каче­ ство мастик (повышается их теплостойкость и темпе­ щимся на соске. Очень редко М. возникает в резуль­ ратура размягчения, а также атмосферостойкость, тате переноса микробов по кровяному руслу из ка­ уменьшается хрупкость). кого-либо гнойного очага н организме (фурун­ По своим свойствам М. к. должны отвечать опре­ кул и т. п.). Застой молока в молочной железе бла­ делённым требованиям в отношении теплостойкости, гоприятствует развитию М. Правильное кормление, однородности, хорошей склеивающей способности и гибкости, определяемой при температуре 18°±2°. отсасывание молока специальным аппаратом, ограни­ 58 Б. С. Э. т. 26. чение введения жидкости и применение на 24 часа холода (в виде холодных компрессов) ведёт к устра­ нению застоя молока. При неуспехе этих процедур может возникнуть воспалительный процесс. М. проявляется высокой температурой, часто с ознобами, болью и напряжением молочной железы, кожа над поражённым участком лоснится, а вскоре и краснеет. Иногда в центре воспалительного уплот­ нения определяется зыбление, указывающее на скоп­ ление гноя. Гнойник может быть одиночным или множественным; иногда сразу возникает разлитой гнойный процесс — т. н. флегмона молочной же­ лезы; возможно воспаление лимфатич. узлов под­ мышечной области. Лечение М. состоит в создании полноценного по­ коя молочной железе путём фиксации её в возвы­ шенном положении (но кормление ею должно про-

458 МАСТИФФ — МАСТОИДИТ должаться), во внутримышечном введении пени­ МАСТИХЙН, местихин (итал. mestichino), циллина и облучении железы рентгеновыми лучами. шпатель (нем. Spatel),— инструмент живописца, узкая лопаточка или нож из упругого гибкого Ограниченные формы гнойного М. с успехом изле­ материала (стали, рога и т. п.), служащие для рас­ чиваются пункциями с последующим введением пе­ тирания красок (гл. обр. масляных), нанесения нициллина в полость гнойника. Разлитые формы требуют раннего оперативного лечения. Профилак­ масляной краски или грунта ровным слоем на по­ тика М. состоит в общем укреплении организма, верхность холста, дерева и пр., сглаживания маз­ в подготовке сосков к кормлению, в предохранении ков, чистки палитры и т. п. их от травматизации и образования трещин. мастодонзАвр (от греч. р-зато? — сосок, Хронические формы М. встречаются крайне редко особ? — зуб и аайро? — ящерица) — ископаемое и являются специфическими воспалительными про­ земноводное, гигантский лабиринтодонт (см.). М.— малоподвижное животное с большой головой цессами (туберкулёз, актиномикоз и т. и.). У новорождённых в первые дни и недели (череп до 1 .и длины), широким плоским туловищем, жизни нередко появляется набухание грудных короткими конечностями. Известен из триасовых желез, иногда с покраснением кожи и выделением отложений Европы (в СССР — в Приуралье). похожей на молоко жидкости. Зависит это от вы­ МАСТОД0НТЫ (от греч. раато? — сосок и деления организмом матери в конце беременности и особ? — зуб) — ископаемые млекопитающие живот­ некоторое время после родов специфич. веществ, ные из группы хоботных; жили преимущественно раздражающих молочные железы и способствующих в третичном периоде, вымерли в четвертичном. выделению молока. Попадая при грудном вскармли­ Высота в холке — от 1,5 м до 3,2 м. Различают вании с молоком в организм ребёнка, они вызывают бугорчатозубых М., у к-рых зубы со­ у него такие же явления в его грудных железах. стояли из отдельных соскообразных бугорков (от­ На набухшие железы следует положить немного сюда и название «М.»), и гребнезу бы х М., ваты и забинтовать, отнюдь не выдавливая из них жидкости. у к-рых бугорки зубов образовывали поперечные гребни. Резцы М. в виде бивней; у древних М.— Лит.: Войно-ЯсенецкийВ. Ф., Очерки гной­ ной хирургии, 2 изд., М., 1946; Вишневский А. В. по паре в верхней и нижней челюстях, у поздних — иВишневскийА. А., Новокаиновая блокада и масля­ нобальзамические антисептики как особый вид патогенети­ по паре верхних. Наиболее древние М.— палеома­ ческой терапии, М., 1952; РафалькесС. Б., Трещины стодонт и фиомия,— известные из нижнеолигоце- сосков и лактационные маститы, М., 1951. новых отложений Египта, вероятно, являются потом­ Мастит у животных — воспаление вымени (молоч­ ками древнейшего хоботного — меритерия, найден­ ной железы). Наблюдается у всех домашних живот­ ного в верхнеэоценовых и нижнеолигоценовых отло­ ных, гл. обр. у коров, чаще в первой половине лак­ жениях Египта; фиомия — представитель бугорча­ тозубых М., палеомастодонт — гребнезубых. Изме­ тации. Вызывается проникновением в вымя стрепто­ кокков, стафилококков, кишечной палочки и дру­ нения в скелете М. в течение их историч. развития гих микробов. Плохие условия содержания, непра­ выразились прежде всего в увеличении массивности скелета и черепа. Передний отдел черепа у миоце­ вильное доение, болезни полового аппарата и же­ новых М. удлинён, у плиоценовых и более поздних— лудочно-кишечного тракта предрасполагают к за­ укорочен, у нек-рых миоценовых (европейских и болеванию животных маститом. Различают мастит азиатских) и плиоценовых (американских) М. свое­ животных: серозный, фибринозный, гнойный, гемор­ рагический, катарральный и специфические (ящур­ образно расширен в виде лопаты. У поздних М. нижние бивни укорачивались и исчезали или ный. актиномикозный, туберкулёзный). Признаки уплощались (сверху вниз), число гребней и бугров на М. у дойных животных: поражённая часть вымени опухает, становится твёрдой, болезненной, удой коренных зубах возрастало. Известно много форм третичных М., принадлежащих разным экологии, молока резко уменьшается, молоко свёртывается, в нём появляется кровь и гной. Лечение: исклю­ типам (от болотных до лесных). Остатки миоценовых чение из рациона концентрированных и сочных кор­ и плиоценовых М известны из отложений Европы и Азии; на территории Советского Союза — из от­ мов, уменьшение дачи корма и количества воды, промывание вымени дезинфицирующими раствора­ ложений Казахстана, Зап. Сибири, Кавказа, Кры­ ми. применение пенициллина, тёплые укутывания, ма, Украины, Молдавии. В Европе и Азии М. вы­ мерли в конце плиоцена, в Африке — в начале чет­ парафинотерапия, массаж и другие меры в зависимо­ сти от формы М. Профилактика: правильный за­ вертичного периода, в Америке дожили до начала пуск коров, уход за выменем, своевременное выявле­ современной эпохи. От гребнезубых М. произошли ние скрытых форм мастита, соблюдение правил слоны. доения и зоогигиены. Молоко из поражённых до­ МАСТОИДЙТ (от греч. цаатО? — сосок и лей вымени обезвреживается и уничтожается, по­ еІЗо? — вид) — воспаление слизистой оболочки, суда дезинфицируется; молоко из здоровых долей, выстилающей клетки сосцевидного отростка височ­ с разрешения ветеринарного персонала, употреб­ ной кости. Являясь обычно осложнением острого, ляется в пищу после кипячения. гнойного воспаления среднего уха (отита), М. воз­ Лит.: Студенцов А. П., Болезни вымени норовы, никает в конце 3-й или начале 4-й недели от начала М., 1952; его же, Ветеринарное акушерство и гинекология, М., 1949. отита (см.). Больные жалуются на повышенную температуру, головную боль, пульсацию или боль МАСТИФФ (англ, mastiff, от лат. mansuetus — в глубине уха, понижение слуха. Ощупывание сос­ цевидного отростка болезненно. За ухом появляется ручной)— старинная английская порода собак. Использовалась для охоты на крупных зверей и припухлость. т. н. «собачьих боёв». Разводится в Англии в неболь­ Лечение: тепло — в виде согревающего компресса шом количестве; хозяйственного значения не имеет. или грелки за ухо, а также прогревания уха синим М.— крупная (рост 63—68 см, вес 40—44 кг), широ­ светом; внутрь — сульфонамиды; внутримышечно— котелая, массивная собака с короткой шерстью, гру­ пенициллин. При нарастании процесса или отсут­ бой и сырой конституции. Окрас — серебристо-се­ ствии тенденции к выздоровлению производится хирургия, операция — вскрытие клеток сосцевид­ рый или буровато-жёлтый, иногда с тигровыми по­ лосами. В СССР не разводится. ного отростка. М. обычно заканчивается выздоровле­

МАСТУРБАЦИЯ — МАСШТАБ 459 нием. Сравнительно редко возникают осложнения. МАСТЭКТОМИЯ (от греч. цаато^ — сосок, грудь Во время болезни требуется постоянное врачебное наблюдение. и гатор) — вырезывание) — хирургическая опе­ рация удаления грудной (молочной) железы; произ­ МАСТУРБАЦИЯ — то же, что онанизм (см.). МАСТЬ —1) Окраска шерсти (волосяного покрова, водится, гл. обр. при злокачественной опухоли. щетины) у животных (см. Масть у животных, Масть МАСУДИ, Абу-ль-Хасан Али ибн-Хусейн лошадей). 2) Часть колоды игральных карт со знач­ ками одинаковой формы и цвета (пиковая, трефовая, (р. в конце 9 в.— ум. в 956 или 957) — арабский исто­ червонная, бубновая). рик и путешественник. Родился в Багдаде. Путешест­ МАСТЬ у животных — окраска, опреде­ ляемая пигментацией кожи и кожных покровов вовал по Персии, Индии, Аравии и Сирии, плавал (кроющего волоса, шерсти, щетины). Окраска ди­ по Индийскому ок. (до Мадагаскара и Цейлона) и ких животных имеет приспособительный характер и в пределах одного вида обычно одинакова, с очень Каспийскому м.Во время путешествий собрал много­ небольшими индивидуальными отклонениями. От­ численные материалы по истории, географии, эт­ дельные породы с.-х. животных (иапр., мериносовые и романовские овцы, бестужевская, красная степ­ нографии и культуре многих пародов, в т. ч. народов ная породы крупного рогатого скота, крупная белая Вост. Европы, Средней Азии и Кавказа. Эти мате­ порода свиней и др.) имеют определённый, довольно стандартный тип М., т. к. в процессе длительной пле­ риалы содержатся в основных трудах М.— «Про­ менной работы с ними проводили отбор и подбор мывальни золота» (ранее это название неточно животных по этой М. Такой тип М. является сущест­ переводили «Золотые луга»), «Известия времени» венным признаком в определении чистопородности животных данной породы. Умение описать точноМ. в 30 тт. (сохранился только первый том), «Средняя важно для составления документов на животных (см. Масть лошадей). В смушковом и тонкорун­ книга» (сокращённое изложение «Известий време­ ном овцеводстве, кролиководстве и звероводстве ни»), а также в «Книге уведомлений и усмотрений». М. имеет хозяйственное значение, т. к. определяет Однако поверхностность нек-рых работ М., а иногда наряду с другими признаками ценность продукции и неточность приводимых им фактов снижают цен­ (смушки, меха, шерсти). ность этих работ. Лит.: П р и дорог ин М. И., Экстерьер. Оценка сель- МАСУЛИПАТАМ (Банд а р) — город в Ин­ скохозлйственяьтх животных по наружному осмотру, М., дии, в штате Андхра. Небольшой порт на Короман­ 1949; Л и с к у н Е. Ф., Экстерьер сельскохозяйственных дельском побережье, в дельте р. Кистны. 59,1 тыс. животных, 3 изд., М., 1949. жит. (1941), гл. обр. телугу. Мелкие хлопкоочисти­ МАСТЬ ЛОШАДЕЙ — окраска волосяного по­ тельные, хлопчатобумажные и пищевые предприятия. крова лошади. М. л. часто носит специфич. название, Связан веткой с Южно-Индийской ж. д. отличное от названия цвета окраски. Чёрная окра­ ска волосяного покрова носит название вороной MACXAPABÖ3 (от арабск. масхара — шутка и масти. Коричневая окраска корпуса при чёрной окра­ персидского бази — игра) — актёр таджикского на­ ске ног, гривы и хвоста — гведая масть; при белой или дымчатой окраске гривы и хвоста — игреневая родного театра. Но характеру своего искусства бли­ масть; жёлтая окраска корпуса при тёмной окраске зок актёру узбекского народного театра кызыкчи(см.) ног, гривы и хвоста — буланая масть; при жёл­ той окраске головы и конечностей и светлой или и персидскому народному бродячему актеру мэсхэ- белой окраске гривы и хвоста — соловая масть; чёрная окраска туловища, головы и ног с рыжими ребазу (см. Иран, Театр). В современном Таджики­ подпалинами на конце морды, вокруг глаз, под брю­ хом — караковая масть; корпус, голова и ноги ры­ стане М. сохранились гл. обр. в горных районах. МАСШТАБ (нем. Maßstab, от Maß — мера, размер жие, на туловище равномерно распределены белые волосы — чалая масть; по белой окраске туловища и Stab — палка) — отношение длины линий на разбросаны тёмные пятна (чёрные или коричневые) или по тёмному корпусу белые пятна — чубарая чертеже, плане или карте к длине соответствую­ масть; окраска корпуса рыжая, вороная, гнедая с щей линии в натуре. Это отношение, выраженное от­ разбросанными большими белыми пятнами, ноги влечённым числом, называется численным М. частично или совсем белые — пегая масть. Лошади, Численный М. планов и карт выражается дробью, лишённые пигментации кожи и волос (полный аль­ числитель к-рой равен единице, а знаменатель есть бинизм), не встречаются. Пегие лошади, лишён­ ные пигмента на значительной части тела, обычно число, показывающее, во сколько раз уменьшены на не используются для племенных целей. Небольшие отметины на голове и ногах встречаются у лошадей карте изображаемые линии. Чем больше знаме­ всех мастей. Лошади, имеющие ноги с отметинами, натель численного М., тем мельче М. плана или более подвержены кожным заболеваниям ног; ко­ карты (см. Картография, Топография). Детали ма­ пытный рог на белых участках копыта менее прочен. В зависимости от формы и расположения отметины шин и приборов, наоборот, часто приходится изоб­ носят то или иное название, и правильное их описа­ ние для распознавания лошади имеет не меньшее ражать на схемах и чертежах в увеличенных раз­ значение, чем масть. Лошади серой масти с возрастом мерах. В этом случае численный М. выражается светлеют и примерно сІО—12 лет становятся белыми. Жеребята при рождении, как правило, имеют более числом, большим единицы, к-рое указывает степень тёмные оттенки масти. увеличения изображаемого объекта. Лит.: Книга о лошади. СоСт. под руководством С. М. Ву- На планах и картах различают ещё М. п л о щ а- девного, т. 1, М., 1952. д и — отношевие изображения последней к соответ­ ствующей площади на местности. М. площади равен 58* квадрату численного М. На планах М. линий и пло­ щадей постоянны. На картах же эти М. меняются с изменением положения точки и направления в со­ ответствии с математич. законом, определяемым принятой для данной карты картографической про­ екцией (см.). М., подписываемый на карте, называет­ ся главным или общим и, в отличие от М., подпи­ сываемого на плане, выражает общее уменьшение карты, сохраняющееся лишь в нек-рых точках или линиях карты. Для измерения длин линий на планах и картах строят линейный М.— прямую линию, разде­ лённую па равные отрезки с подписями, к-рые ука­ зывают длину линии в натуре (см., напр., карты, планы и схемы настоящего издания). Для более точ­ ного нанесения и измерения линий на планах строят т. н. поперечный масштаб (см.).

460 МАСШТАБ ЦЕН — МАТАБЕЛЕ МАСШТАБ цен (денежный масштаб)— брежную равнину строится (1954) гидроэлектростан­ ция. Крупный приток справа —■ р. Фани. денежная единица с её кратными частями. Денеж­ ная единица содержит фиксированный вес благо­ МАТ (арабск., буквально — умер) — решающее родного металла, наир, золота. Так, в СССР 1 рубль, содержащий 0,222168 г чистого золота и разделяю­ положение в шахматной партии, при к-ром атако­ ванный, находящийся под ударом фигуры против­ щийся на 100 копеек, относится к копейке, как 100 ника король не может быть прикрыт (заслонён) от к 1. Как мера стоимостей (см.) и как М. ц. «деньги удара к.-л. своей фигурой, не может перейти на выполняют две совершенно различные функции. Ме­ другое поле доски, а атакующую фигуру нет воз­ можности взять. Таким образом, М. есть шах (см.), рой стоимостей они являются как общественное во­ площение человеческого труда, масштабом цен — от которого нет защиты. Тот партнёр, чей король как фиксированный вес металла. Как мера стоимо­ находится в положении М., тем самым является сти, они служат для того, чтобы превращать стоимо­ проигравшим партию, т. к. конечная цель в шахмат­ сти бесконечно разнообразных товаров в цены, ной партии — объявить М. королю противника. в мысленно представляемые количества золота; как мАта — редкая, сильно накрахмаленная хлоп­ масштаб цен, они измеряют эти количества золота» чатобумажная ткань полотняного переплетения пе- (Маркс К., Капитал, т. 1, 1953, стр. 104—105). стротканной выработки. По структуре и характеру Первоначально, когда золото, серебро и медь на­ рисунка М. имитировала азиатскую ткань кустарного чали выступать в качестве денег, М. ц. совпадал с ве­ производства и использовалась гл. обр. для пошивки совым масштабом. Поэтому названия денежного мас­ платьев. В настоящее время М. не вырабатывается. штаба, или М. ц., образовывались из имевшихся на­ МАТАБЕЛЕ — плато в Юж. Родезии (Африка), званий весового масштаба. Это нашло своё выражение между р. Замбези на С. и р. Лимпопо на Ю. На 3. в наименованиях денежных единиц — «ливр», «фунт ограничено впадиной Макарикари, на В.— рав­ стерлингов» и др. Однако в ходе история, разви­ ниной Мозамбик. Сложено древними кристаллин, тия денежные названия определённых по весу коли­ породами, содержащими золотоносные кварциты и честв металла отделились от своих первоначальных руды цветных металлов. Высота 1000—1200 м. весовых названий. Это объясняется: 1) введением Поверхность слегка всхолмлённая, с отдельными в данной стране иностранных монет, 2) переходом функций денег от менее ценных металлов к более островными горами, обычно не превышающими вы­ ценным, 3) порчей монеты (см.). соту 1600 м. Краевые области М. сильно расчле­ Изменение стоимости валютного металла само по нены речной эрозией и резко выделяются над сосед­ ними равнинами. Климат М. горно-тропический, с себе не может повлиять на М. ц. Так, при измене­ резкими суточными колебаниями температуры; осад­ нии стоимости золота стоимости определённых ко­ ков до 1000 мм в год (максимум летом). С плато берут личеств его всегда сохраняют между собой одно и начало многочисленные реки — притоки Замбези и то же отношение. При любом изменении стоимости золота 12 унций его будут обладать попрежнему Лимпопо — Сава, Ната и др. Бблыпая часть плато покрыта парковым лесом и саваннами с баобабами, в 12 раз большей стоимостью, чем 1 унция. Частые же девальвации валют и инфляция (см.) затрудняют акациями и др., на Ю.— сухой степью. Добыча выполнение М. ц. своей функции, поскольку про­ золота, хрома, асбеста. Культивируется кукуруза, табак и цитрусовые; разводится крупный рогатый исходит понижение содержания валютного металла скот. Пересечено железными дорогами Ливингстон— в монете и благодаря этому повышение цен, что Бейра и Булавайо — Мафекинг. усиливает расстройство денежного обращения. Эти явления особенно характерны для периода общего МАТАБЁЛЕ — народность, населяющая юго-зап. кризиса капитализма. районы англ, колонии Юж. Родезия. Численность — МАСШТАБНАЯ ЛИНЁПКА — стальная полоса ок. 200 тыс. чел. (1945). Язык ндебеле, диалект зу­ лусского (см. Зулусский язык). с делениями для измерения длин. См. Линейка из­ мерительная. Племена М. выделились из общей массы зулусских МАСШТАБНЫЙ ФАКТОР (в моделиро­ племён. В 1824 часть зулусов во главе с Маселекат- вании), фактор масштабного преоб- се выселилась из Зулуленда (см.) на земли бечуана разовани я,— обозначение множителя подоб­ (в нынешней провинции Трансвааль Южно-Африкан­ ного преобразования, обычно называемого констан­ ского Союза), а затем под нажимом бурских коло­ той подобия (см.). низаторов продвинулась дальше на север, на земли МА СЫ-ЦУН (р. 1912) — китайский композитор, народности машона (см.), где живёт и в настоящее вре­ скрипач и музыкально-общественный деятель. Член мя. В результате смешения этих племён с другими Народного политического консультативного совета племенами и народами образовалась новая народ­ Китая. Музыкальное образование получил в Париж­ ность— М.К 1890 земли М. и машона были захвачены ской консерватории (1925—31). Автор ряда скри­ англ, колонизаторами, во главе к-рых стоял С. Родс, пичных произведений (в т. ч. концерта для скрипки и превращены в колонию Юж. Родезия. М. дважды с оркестром), ораторий, кантат, романсов, массовых (1893 и 1896) пытались изгнать англ, захватчиков, песен. М. С.-ц.— зам. председателя Всекитайского но потерпели поражение. союза музыкальных деятелей и директор Централь­ ной консерватории в Тяньцзине. Основное занятие М.— земледелие (главные куль­ МАТ (от лат. matta) — 1) Плетёная подстилка из туры — кукуруза и сорго) и скотоводство. М. испы­ грубого материала (камыш, мочала, солома, пальмо­ тывают острую нужду в земле, т. к. лучшие земли вые листья и пр.); цыновка. 2) У физкультурни­ захвачены англ, компаниями и англо-бурскими ков — всякая мягкая подстилка, предохраняю­ фермерами. Почти всё взрослое мужское население щая от ушибов при падении со снарядов или при прыжке. работает по найму в горной пром-сти, на англо- оурских фермах и плантациях. Как и другие на­ МАТ (М а т и) — река в Албании. Берёт начало родности Юж. Родезии, М. подвергаются жестокой в горах Голоберда, впадает в Дринекий залив Ад­ расовой дискриминации. Старый родоплеменной строй и родовые отношения уже исчезли, значи­ риатического м. Длина 104 км, площадь бассейна тельно развита классовая дифференциация. Англ, 2500 км2. В месте выхода реки из гор на при­ колониальные власти искусственно сохраняют пле­ менную организацию. Вместе с машона М. создали

МАТАВУЛЬ - МАТАРАМ 461 спои профсоюзы и национальную политич. организа­ МАТАНСАС — провинция Кубы. Площадь цию Национальный конгресс Юж. Родезии; участ­ 8,4 тыс. /ел«2. Население 405 тыс. чел. (1948). Адм. вуют в антиимпериалистич. движении. центр — Матансас. На С. примыкает к Флоридскому проливу, образующему заливы Матансас и Карденас. МАТАВУЛЬ, Сима (1852—1908) — сербский пи­ Поверхность — холмистая равнина, сложенная тре­ сатель. Уроженец Далмации. Работал учителем во тичными и четвертичными известняками. На Ю. многих сёлах и городах Далмации, Черногории, равнина низменная, заболоченная, на С. повышается Сербии. Участвовал в национально-освободительном до 390 м. Климат тропический с относительно сухой восстании в Герцеговине (1875). Представитель реа- листич. направления в литературе, М. посвятил свои н западу от Гринвича 81 лучшие произведения описанию жизни крестьян, го­ Ф-л-0-p-u-d-c-K-u-ü—х\\-р-°'л'ц ________ родской и сельской интеллигенции, мелкого чиновни­ чества (сб. «Из Черногории и Приморья», 2 тт., ---------------- и 1 иЛо <ійл П-Ов Иконос-тт:' % 1888—89, «С Адриатики», 1891, «Из белградской ?$9—Варадеро жизни», 1891). В романе «Баконя Фра-Брне» (1892) Лимонар М. критикует далматское католич. духовенство. Од­ Саванилъя нако в ряде произведений, не свободных от натура­ Болондрон Перисо лизма, М. сглаживает классовые противоречия, а важные общественные темы подменяет изображени­ сранее ем второстепенных сторон жизни (роман «Ускок», Педро- Бетанкур 1892). М. переводил на сербский язык произведе­ ■= -ту__ _2+_-о°-=. Мане-и--т---о ния Э. Золя, Г. Мопассана, Мольера, Ч. Дик- A¿puJ¡ кенса. С о ч. М.: Матавуль С., Из разниіех краіева. При- ^^Манеадеро-^^^^ поветке, Београд, 1923; Из Црне Горе. Три приповиіетве, 4 Puo-OpueHmé'^^^^^-¿ jv Родас хЕ Цетин,е, 1948. <3Реалъ-Кампинъя МАТАГАЛЫІА—город в Никарагуа, центр де­ .... ......... партамента Матагальпа, со столицей Манагуа свя­ зан шоссейной дорогой. 11 тыс. жит. (1950). Произ­ МАТАНСАС водство сыра и масла. Вблизи — добыча золота, МАСШТАБ 1-2 000 000 разработки леса. км МАТАДИ — город, главный морской порт Бель­ гийского Конго (Зап. Африка). Расположен в ----------------— Границы провинций .. - . Магистральные железные низовьях р. Конго, в 130 км от её впадения в Атлан­ дороги МАТАНСАС Центр провинции тический ок. Около 10 тыс. жит. Железной дорогой ■-і ■ ■ Прочие железные дороги соединён с Леопольдвилем. Через М. вывозится зна­ НАСЕЛЕННЫЕ ПУНКТЫ ПО ЧИСЛУ ЖИТЕЛЕЙ ===== Автомагистрали чительная часть продукции горнодобывающей Ф Порт пром-сти (медь,алмазы, золото, кобальт, олово и др.), © от 50 000 до 100 000 О от 20 000 до 50 000 5« Болота а также хлопок, копал, пальмовое масло. Грузо­ Мангровые заросли О от 10 000 до 20 000 Коралловые рифы оборот М. в 1952 составил св. 1,3 млн. т. МАТАДОР, эспада, тореадор (испан. зимой; осадков 1900 мм в год. Средние месячные тем­ matador, от matar—убивать), — в бое быков глав­ пературы от+21° до +28°. Естественная раститель­ ный боец, наносящий быку смертельный удар. См. ность — кустарниковая саванна. Под сахарным тро­ Вой быков.г стником занято 89% обрабатываемой площади; 24 МАТАДОР — 1) Старшая козырная карта в игре завода дают св. 11% продукции сахара в стране. ломбер (см.). 2) Разновидность игры в домино (см.). На плантациях и сахарных заводах занято до 60 МАТАИ — посёлок городского типа в Бурлю- тыс. рабочих. На М. приходится 75% производства Тобинском районе Талды-Курганской обл. Казах­ в стране хенекена (волокнистого растения).Выра­ щиваются овощи, бобовые культуры, тропич. фрук­ ской ССР. Расположен па р. Аксу, впадающей в оз. ты. Разводится крупный рогатый скот. Кожевен­ Балхаш. Ж.-д. станция на линии Алма-Ата — Семи­ палатинск. Предприятия по обслуживанию ж.-д. но-обувная. шпагатно-канатная пром-сть. Неболь­ транспорта. Имеются (1953) средняя и 2 начальные шая добыча хромовой руды. школы, клуб, кинотеатр, 4 библиотеки, парк. МАТАНСАС — город на С. Кубы, адм. центр MATAMÁTA (Chelys fimbriata) — пресмыкаю­ провинции Матансас. 55 тыс. жит. (1943). Важный порт по вывозу сахара. Шпагатно-канатное, коже­ щееся сем. змеиношейных черепах (см.). Длина пан­ цыря ок. чи см. спиннои щит удлинённоовальный, венно-обувное производство, фабрика искусствен­ ного шёлка. Вблизи — сахарные заводы. на нём три продоль­ МАТАНУСКА ■— река на Аляске. Длина ок. ных ряда килевид­ 140 км. Впадает в залив Кнык Кенайской губы. Не­ ных бугров. Голова судоходна. На равнине нижнего течения М.— основ­ приплюснутая, с вы­ ной земледельческий район Аляски, выше — ка­ тянутым в виде хо­ менноугольный бассейн Матануски. бота носом. Неболь­ шие роговые пла­ матапАн — мыс на п-ове Пелопоннес в Гре­ стинки и бахромча­ ции. См. Тенарон. тые кожные выро­ сты покрывают го­ мАтара — город на Ю. о-ва Цейлон. 23 тыс. лову и бока очень жит. (1946). Станция прибрежной ж.-д. линии. длинной шеи. Пан- Мелкие полукустарные предприятия. Рыболовство. пырь сверху каштаново-бурый, снизу — зеленовато­ В районе М.— возделывание кокосовой пальмы; до­ жёлтый. М. распространена н реках, озёрах и боло­ быча драгоценных камней. тах Гвианы и Сев. Бразилии. Днём зарывается в ил; МАТАРАМ — феодальное государство на Яве в активна в сумерки. Питается гл. обр. мелкими ры­ 16—18 вв. Возникло в 1575 в результате объеди- бами и земноводными.

462 МАТАРНОВИ — МАТВЕЕВ-КУРГАН нения части мусульманских княжеств, на к-рые товкой выделяется «Автопортрет с женой» (1729, в середине 16 в. распалось яванское государство Русский музей; иллюстрацию см. на отдельном Маджапахит. Голландская Ост-Индская компания, листе). М. пользовался авторитетом у современни­ утверждая своё господство на Яве, использовала феодальные междоусобицы в М., а также свою по­ ков: архитекторы Д. Трезини и М. Г. Земцов при­ мощь феодалам в подавлении крестьянских восста­ знавали, что он «как в рисунках, так и в письме крас­ ний для захвата значительной части территории М. В 18 в., воспользовавшись войной за престолона­ ками гисторий и персон силу знает совершенно». следие в М., голландцы добились раздела М. на два княжества — Суракарту и Джокьякарту, пра­ Лит.: Успенский А. И., Словарь художников, вители к-рых признали себя вассалами Голландской в XVIII веке писавших в имп. дворцах, М., 1913; Жид­ Ост-Индской компании. ков Г. В-,. Русское искусство XVIII века, М., 1951. МАТАРНОВИ, Георг Иоганн (Егор или Иван МАТВЕЕВ, Артамон Сергеевич (1625—82) — вы­ Степанович) (г. рожд. неизв.— ум. 1719) — архитек­ дающийся русский дипломат 2-й половины 17 в. В тор, немец по происхождению, работавший на строи­ тельстве Петербурга с 1714. Построенные М. 1669 назначен начальником Малороссийского при­ 2-й Зимний дворец и Партикулярная верфь не каза. В 1671 стал руководителем Посольского при­ сохранились. В 1718 М. начал строительство зда­ каза, ведавшего иностранными делами. Первоочеред­ ния Кунсткамеры (см.), продолженное после его ной задачей русской внешней политики М. считал смерти другими архитекторами. воссоединение всей Украины с Россией. Неодно­ МАТАРО — город в Испании, в Каталонии (про­ кратно участвовал в переговорах с Речью Поспо­ винция Барселона), на сев.-вост, побережье Сре­ литой. В переговорах 1672 М. добивался закрепления диземного м. 27,5 тыс. жит. (1940). Ж.-д. станция. Один из центров хлопчатобумажной и шерстяной за Россией Киева и выдвигал вопрос о передаче Пра­ промышленности Каталонии. Виноделие. Морской вобережной Украины России. М. отличался широкой курорт. для своего времени образованностью. В Посольском МАТВЕЕВ, Александр Павлович (1816—82) — приказе при нём составлен т. н. «Титулярник» — русский врач-акушёр. В 1841 окончил Московский своеобразный справочник по дипломатия, переписке ун-т. С 1874 — профессор Киевского ун-та. М.— автор одного из первых оригинальных русских ру­ того времени. Приблизившись к царю Алексею ководств по акушерству. В 1853 впервые при­ Михайловичу благодаря женитьбе последнего на менил введение в глаза новорождённых 2%-ного рас­ воспитаннице М. Наталье Кирилловне Нарышкиной, твора ляписа для предупреждения бленорреи (см.). он приобрёл большое влияние на государственные дела. Однако после смерти Алексея Михайловича С о ч. М.: Руководство к повивальному искусству для по­ в 1676 М. был сослан и возвратился в Москву вивальных бабок, Киев, 1853; Курс акушерства для уча­ только после смерти царя Фёдора Алексеевича в щихся, вып. 1—3, Киев, 1856—58. 1682. Убит стрельцами во время стрелецкого мятежа 15 мая 1682. МАТВЕЕВ, Андрей Артамонович (1666—1728)— видный русский дипломат и государственный дея­ МАТВЕЕВ, Фёдор Михайлович (1758—1826)— тель начала 18 в., сын А. С. Матвеева (см.). В 1699 русский живописец-пейзажист. Учился в 1764—78 был послан в Гаагу с задачей не допустить вступле­ ния Англии и Голландии в войну на стороне Швеции в петербургской Академии художеств, с 1779 был против России. В 1706 был послан в Лондон доби­ пенсионером Академии за границей, работал гл. ваться англ, посредничества в заключении мира со обр. в Италии, где и умер. В 1807 получил звание Швецией, однако англ, правительство стремилось затянуть Северную войну и не допустить выхода академика за картину «Вид Неаполя». Видный пред­ России на побережье Балтийского моря. М. разобла­ ставитель классицизма (см.) в пейзажной живописи, чал провокационные действия Англии. После мис­ сии в Англию М. до 1712 оставался послом в М. писал преимущественно идеализированные, пол­ Гааге, затем был назначен в Вену. В 1715 возвратился ные торжественного величия виды Италии с классич. в Россию, был президентом морской академии и руинами, горами, водопадами и т. д. [«Вид на Лаго- навигационной школы, затем сенатором и прези­ дентом юстиц-коллегии. Маджоре», 1808, Русский музей, Ленинград; «Вид МАТВЕЕВ, Андрей Матвеевич (или Меркурьевич) Рима. Колизей», 1816, Третьяковская галлерея, (1701—39) — русский живописец, один из первых мастеров русского реалистич. искусства 18 в. В Москва (иллюстрацию см. на отдельном листе), 1716 был отправлен Петром I учиться живописи в и др.]. М. исполнял также вымышленные «герои­ Голландию, с 1725 был учеником Академии худо­ жеств в Антверпене. Вернувшись в 1727 в Петер­ ческие» пейзажи. Отходя от декоративных прин­ бург, М. расписывал Петропавловский собор и ряд ципов пейзажной живописи 18 в., М. стремился церквей; в 1729—32 выполнял различные декора­ к монументальности, предельной ясности, чётко­ тивные работы в Москве и Петербурге. Как руково­ сти и уравновешенности композиции; строгая равно­ дитель «Живописной команды» Канцелярии от строений М. воспитывал национальные художествен­ мерность расположения пространственных планов ные кадры, разрабатывал «модели»—эскизы ком­ позиций. Сохранились его «Аллегория живописи» и кулис сочетается в его пейзажах с отчётливой, точ­ (1725, Русский музей, Ленинград) и несколько порт­ ной прорисовкой деталей. Мастерством исполнения ретов, в к-рых, несмотря на сказывающуюся иногда отличаются пейзажные рисунки М. сухость письма, М. создавал живые индивидуализи­ рованные образы (портреты И.А. иА.П. Голицыных, Лит.: Федоров-Давыдов А. А., Русский пей­ 1728). Психология, выразительностью и правди­ заж XVIII — начала XIX в., М., 1953. востью характеристик, свободной живописной трак­ МАТВЕЕВКА — село, центр Матвеевского района Чкаловской обл. РСФСР. Расположено в 12 км от ж.-д. станции Сарай-Гир (на линии Кинель — Уфа). Имеются (1953) средняя школа, Дом куль­ туры, библиотека. Враионе — посевы зерновых (гл. обр. пшеница), подсолнечника; мясо-молочное животноводство. 3 МТС, 2 зерновых совхоза, 6 сель­ ских электростанций. МАТВЕЕВ-КУРГАН — село, центр Матвеево- Курганского района Ростовской обл. РСФСР. Рас­ положено на р. Миус (впадает в Таганрогский за­ лив Азовского м.). Ж.-д. станция на линии Иловай­ ская —• Таганрог, в 45 км к С. от Таганрога и 117 км к С.-З. от Ростова-на-Допу. В М.-К.— бумажная фабрика, производство кирпича и черепицы. Имеются (1953) средняя и семилетняя школы, Дом

МАТВЕЙ —МАТЕЙКО 463 культуры, библиотека, кинотеатр; парк культуры МАТЕЙКО, Ян (1838—93) — выдающийся поль­ и отдыха. В районе — посевы зерновых (пшени­ ский живописец, один из крупнейших мастеров исто­ ца, ячмень, овёс, кукуруза, просо) и технических (гл. обр. подсолнечник) культур; молочно-мясное рии. живописи 19 в. Учился в Кракове (1852—58), животноводство. 2 МТС, 4 совхоза (птицеводческий, садоводческий, овоще-животноводческий, кормовой), Мюнхене (1858—59). В 1859 вернулся в Краков, лесопитомник, 15 сельских электростанций. Ведутся где жил и работал (отсюда совершил поездку в Вену полезащитные лесопосадки. для пополнения художественного образования). МАТВЕЙ (1557—1619) — австрийский эрцгерцог С 1873 руководил Академией художеств в Кракове. и император т. н. «Священной Римской империи» 1612—19. В 1578—81 — штатгальтер в юж. Нидер­ М. писал гл. обр. мпогофигурпые полотна, посвящён­ ландах. Как наместник Австрии (с 1593) проводил ные истории Польши. М. выбирал чаще всего те собы­ политику католич. реакции. В 1597 жестоко тия прошлого, к-рые имели актуальное значение для подавил крестьянское восстание в Нижней Ав­ стрии. М. принудил своего брата, императора т. н. 19 в. В своих лучших произведениях, особенно в ран­ «Священной Римской империи» Рудольфа II, с к-рым вступил в междоусобную борьбу, уступить ний период творчества, М. выступает против феодаль- ему в 1608 Австрию, Венгрию и Моравию, а но-аристократич. верхушки, избирая героями своих в 1611—Чехию, Силезию и Лужицу. Будучи королём Чехии и Венгрии, назначил своим преемником фа­ картин королевского шута («Станчик», 1862), обли­ натичного католика Фердипапда Штирийского (впо­ следствии император Фердинанд II), что дало толчок чителя шляхты («Проповедь Скарги», 1864, иллюст­ к чешскому восстанию 1618, послужившему началом рацию см. па отдельном листе к ст. Исторический Тридцатилетней войны 1618—48. жанр). В ответ на нападки реакционеров М. создал МАТВЕЙ ИЗ ЯНОВА (год рожд. неизв.— ум. аллегория, памфлет «Приговор Матейке» (1867), в 1394) — чешский мыслитель, один из представителей раннего реформационного движения, пражский ка­ к-ром изображалось чтение приговора о сожжении художника. Горячий патриот, М. исполнил картину ноник. В своих трудах доказывал несоответствие ор­ «Грюнвальдская битва» (1878) — монументальное, ганизации и деятельности католич. церкви т. н. свя­ проникнутое героич. содержанием полотно, прослав­ щенному писанию (библии) и первоначальному хри­ ляющее победу славянских и прибалтийских народов стианству, изобличал католич. духовенство в испор­ ченности. Перевёл на чешский язык библию. За свои над тевтонскими захватчиками;в картине «Костюшко взгляды преследовался архиепископским судом. Дея­ тельность М. подготовила выступление Я. Гуса (см.). под Рацлавицами» (1888) художник запечатлел по­ встанцев, боровшихся под водительством Т. Костюш­ С о ч. М.: Mutéj z Janowa, De Regulls veterls et ки. Правдивой обрисовкой народных образов от­ novi testamentl, t. 1—5, Praha, 1908—26. личается и ряд других произведений М. («Люблин­ МАТВЕЙ КОРВИН (1443—90) — венгерский ко­ роль 1458 -90. См. Корвин Матиаш. ская уния», 1869, и др.). В картине «Коперник» (1873; иллюстрацию см. па отдельном листе к ст. МАТВЕИ ПАРИЖСКИЙ (р. ок. 1200 — ум. 1259) — английский хронист, монах. Прозвище «Па­ Польша) М. создал вдохновенный образ великого рижский» получил, повидимому, потому, что обу­ польского учёного. чался в Париже. Главный труд М. П. — официаль­ ная «Большая хроника», охватывает 1066—1259. Творчество М. не было свободно от противоречий, Первая часть хроники (1066—1235) заимствована М. П. у Роджера Вепдоверского— выходца из Норман­ отразивших идейную борьбу в польском обществе дии; вторая написана им самим. «Большая хро­ 19 в. В ряде произведений М. сказалось нациопа- ника» нс ограничивается изложением фактов из ис­ тории Англии. Значительное место в ней уделено листич. понимание истории Польши, религиозно- мистич. тенденции. Но сила и значительность луч­ общеевропейским событиям, в частности борьбе т. н. «Священной Римской империи» с папством. ших, передовых сторон творчества М. определяют почётное место художника-патриота в истории MATÉ — маленький сосуд, сделанный из плода тыквы лагенарии. В Юж. Америке из него пьют живописи 19 в. К главным историческим карти­ широко распространённый там напиток — настой нам М. относятся также «Рейтап в сейме» (1866), из листьев вечнозелёного кустарника, т. н. пара­ гвайского чая (см.). Название «М.» применяется также «С. Баторий под Псковом» (1871), «Поднятие колоко­ к напитку, а нередко и к этому растению. ла Зигмунтом» (1874), «Присяга Пруссии на вер­ ность Польше» (1879—82), «Я. Собеский под Веной» MÁTEHKA, Ииндржих (1862—1941) — чешский антрополог. С 1918 М.— профессор Пражского (1883), «Конституция 3-го мая» (начало 90-х гг. ун-та, при естественном факультете к-рого им были основаны антропологии, институт и «Музей человека» 19 в.). имени А. Хрдлички. В1923 М. основал журнал «Антро­ пология», где выступал со статьями против раси­ Исполненные страстности и силы чувств, история, стских измышлений. М. работал гл. обр. в области физич. антропологии. Гл. научные работы: «Черепа производоипя М, захватывают драматизмом действия. богемцев» (1891), «Всеобщая наука о племенах» Мпогии из них предетивляют собой колоссальные (1929), «Соматология школьной молодежи» (1927), полотна с огромным количеством фигур, часто изо­ «Пшедмостский человек» (2 кн., 1934—38). Послед­ няя работа посвящена важной находке человека бражённых в человеческий рост. Широко и разно­ позднего палеолита. сторонне охватывая в своих произведениях изобра­ С о ч. М.: Matiegka J. Crania bohémica, Т. 1, Prag, жаемое событие, М. с редкостной многогранностью 1891. и остротой раскрывал образы своих героев. Вни­ мательное изучение истории, большая и упорная работа с натуры помогали художнику воссоздавать живые характеры участников история, событий и добиваться их исключительной психология, выра­ зительности. Бесчисленные этюды М. к его история, композициям показывают также, с какой тщатель­ ностью он изучал каждую деталь, достигая реали- стич. убедительности в изображении обстановки и предметов. Богатство и разнообразие образов соче­ таются в картинах М. с выразительной дипамич. композицией, чётким, пластич. рисунком и звучной красочной гаммой. М. был также крупным портре­ тистом, мастером глубоких психологических порт­ ретных образов.Глубокая идейность и реализм про­ изведений М., ставившего своей целью воспитывать парод с помощью живописи, обусловили широкую популярность искусства художника.

464 Математика Творчество М. высоко ценилось передовыми дея­ чения какого-либо круга явлений состоят в осу­ телями русской культуры: В. В. Стасовым, И. Е. Репиным и др. (Иллюстрации см. на отдельных ществлении второй тенденции, если каждый но­ листах). вый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлений, Лит.: Стасов В. В., Избранное. Живопись. Скульп­ то математич. метод отступает на задний план; в тура. Графика, в двух томах, т. 2, М,—Л., 1951 (стр. 171, 212—13, 223, 228); Т а г п о w s k i St., Matejko, Kraköw, этом случае диалектич. анализ всей конкретности 1897; Sokolowski M., Jan Matejko, Kraköw, 1907; Witkiewicz St., Matejko, 2 wyd., Lwöw — Warszawa, явления может быть лишь затемнён математич. 1912; Treter M., Matejko, Lwöw—Warszawa, 1938; W У к a К., Matejko 1 Slowacki, в kh.: Materialy do studiöw 1 dyskusji, схематизацией. Если, наоборот, сравнительно про­ № 3—4, Warszawa, 1950. стые и устойчивые основные формы изучаемых явле­ МАТЕМАТИКА. Содержание: ний охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих зафикси­ I. Определение предмета математики, связь с другими рованных форм возникают достаточно трудные и науками и техникой.................................................................464 сложные проблемы, требующие специального мате­ матич. исследования, в частности создания спе­ II. История математики до 19 в..................................................465 циальной символич. записи и специального алго­ 1. Зарождение математики (Египет, ритма для своего решения, то мы попадаем в сферу Вавилония)................................................................466 господства математич. метода. 2. Период элементарной матема­ Типичным примером полного господства матема­ тики (Древняя Греция, Эллинистическая и тич. метода является небесная механика (см.), в римская эпоха, Китай, Индия, Средняя Азия и частности учение о движении планет. Имеющий очень Ближний Восток, Западная Европа до 16 в., За­ падная Европа в 16 в., Россия до 18 в.) . . 466 простое математич. выражение закон всемирного тяготения почти полностью определяет собой изучае­ 3. Период создания математики переменных величин (17 век, 18 век) 471 мый здесь круг явлений. За исключением теории дви­ жения Луны, законно, в пределах доступной нам III. Современная математика ......................................................475 точности наблюдений, пренебрежение формой и раз­ мерами небесных тел — замена их «материальными 1. Расширение предмета матема­ тики .......................................................................475 точками». Но решение возникающей здесь задачи 2. Вопросы обоснования матема­ движения п материальных точек под действием тики. Роль теории множеств и сил тяготения уже в случае ге=3 представляет ко­ математической логики...................477 лоссальные трудности. Зато каждый результат, по­ 3. История математики в 19 и 20 вв. лученный при помощи математич. анализа приня­ (Начало и середина 19 в. Конец 19 в. и 20 в. той схемы явления, с огромной точностью осуществ­ Математика в СССР).................................................478 ляется в действительности: логически очень простая I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ, СВЯЗЬ схема хорошо отражает избранный круг явлений, С ДРУГИМИ НАУКАМИ И ТЕХНИКОЙ. и все трудности заключаются в извлечении матема­ тич. следствий из принятой схемы. Математика (греч. рабтщатіхт), от — зна­ С переходом от механики к физике еще не про­ ние, наука) — наука о количественных отноше­ исходит заметного уменьшения роли математич, ниях и пространственных формах действительного метода, однако значительно возрастают трудности мира. его применения. Почти не существует области фи­ «Чистая математика имеет своим объектом про­ зики, не требующей употребления весьма разви­ того математич. аппарата, но часто основная труд­ странственные формы и количественные отношения ность исследования заключается не в развитии мате­ действительного мира, стало быть — весьма реаль­ матич. теории, а в выборе предпосылок для мате­ матич. обработки и в истолковании результатов, ный материал. Тот факт, что этот материал прини­ полученных математич. путём. В этом смысле совре­ менная квантовая физика (см. Квантовая механика, мает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь Квантовая электродинамика), несмотря на употреб­ слабо затушевать его происхождение из внешнего ление глубокого и своеобразного математич. аппа­ мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти рата, в меньшей степени может рассматриваться формы и отношения в чистом виде, необходимо как сфера господства математич. метода, чем нек-рые отделы классич. физики (классич. термодинамика, совершенно отделить их от их содержания, оста­ теория электричества и т. п.). вить это последнее в стороне как нечто безразлич­ На примере ряда физич. теорий можно наблюдать способность математич. метода охватывать и самый ное» (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1953, стр. 37). процесс перехода познания действительности с одной ступени на следующую, более высокую и качест­ Абстрактность М., однако, не означает её отрыва венно новую. от материальной действительности. В неразрывной Классич. образцом может служить соотношение между связи с запросами техники и естествознания за­ макроскопии, теорией диффузии, предполагающей диффун­ дирующее вещество распределённым непрерывно, и стати- пас количественных отношений и пространствен­ стич. теорией диффузии, исходящей из рассмотрения движе­ ния отдельных частиц диффундирующего вещества. В пер­ ных форм, изучаемых М., непрерывно расширяется, вой теории плотность диффундирующего вещества удовле­ творяет определённому уравнению с частными производными. так что данное выше общее определение М. напол­ К нахождению решений этого дифференциального уравнения при надлежащих краевых и начальных условиях и сводится няется всё более богатым содержанием (см. об этом изучение различных проблем, относящихся к диффузии. Непрерывная теория диффузии с очень большой точностью ниже, особенно раздел III — Современная мате­ передаёт действительный ход явлений, поскольку дело идёт об обычных для нас (макроскопических) пространственных матика). и временных масштабах. Однако для малых частей простран­ ства (вмещающих лишь небольшое число частиц диффунди­ Математика и другие науки. Приложения М. рующего вещества) само понятие плотности теряет определён­ ный смысл. Статистич. теория диффузии исходит из рас- весьма разнообразны. Принципиально область при­ менения математич. метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математич. метода в раз­ личных случаях различны. Никакая определённая математич. схема не исчерпывает всей конкретности действительных явлений; поэтому процесс позна­ ния конкретного протекает всегда в борьбе двух тенденций: с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и логич. анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не уклады­ вающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если все трудности изу­

МАТЕМАТИКА 465 смотрения микроскопии, случайных перемещений диффун нич. задачи. Целиком на технич. почве были со­ дирующих частиц под действием толчков молекул раство­ зданы многие методы приближённого решения диф­ ряющего вещества. Точные количественные закономерности ференциальных уравнений с частными производ­ этих микроскопич. перемещений нам неизвестны. Однако ными и интегральных уравнений. Задача быстрого математич. теория вероятностей позволяет (из общих пред­ фактич. получения численных решений приобре­ посылок о малости перемещений за малые промежутки вре­ тает большую остроту с усложнением технич. проб­ мени и независимости перемещений частицы за два последо­ лем. Всё бб іьшие требования к вычислительной вательных промежутка времени) получить определённые технике предъявляют, впрочем, и теоретич. науч­ количественные следствия: определить (приближённо) зако­ ные исследования, даже в таких молодых областях ны распределения вероятностей для перемещений частиц за естествознания, как, напр., геофизика. Поэтому всё большие (макроскопические) промежутки времени. Так как число отдельных частиц диффундирующего вешества очень большее значение приобретает механизация числен­ велико, то законы распределения вероятностей для переме­ ного решения математич. проблем. Техника сама щений отдельных частиц приводят, в предположении неза­ приходит теперь на помощь М.; вслед за простей­ висимости перемещений каждой частицы от других, к впол­ шими счётными машинами, планиметрами и интегра­ не определённым, уже не случайным закономерностям для фами появляются гармония, анализаторы, интегри­ перемешения диффундирующего вешества в целом: к тем рующие машины для решения дифференциальных самым дифференциальным уравнениям, на к-рых построена уравнений, машины для решения систем линейных непрерывная теория. Приведённый пример достаточно типи­ уравнений и другие машины для решения разнооб­ чен в том смысле, что очень часто на почве одного круга разных математич. задач. К: ж тая из таких машин закономерностей (в примере — законов движения отдельных предназначена для решения отдельного строго опре­ частиц диффундирующего вещества) происходит образование делённого класса задач, и создание новых машин другого, качественно нового рода закономерностей (в приме­ для решения новых типов задач возможно лишь в ре — дифференциальных уравнений непрерывной теории результате сознательной работы учёного. Машин­ диффузии) через посредство статистики случайных явлений. ная вычислительная техника является мощным вспомогательным средством научного исследования. В биологии, науках математич. метод играет II. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ДО 19 в. более подчинённую роль. Если и удаётся описать Ясное понимание самостоятельного положения М. течение биологич. явлений математич. формулами, как особой науки, имеющей собственный предмет и то область пригодности этих формул остаётся весьма метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактич. материала и возникло ограниченной, а соответствие их реальному ходу впервые в Древней Греции в 6—5 вв. до н э. Разви­ явлений грубо приближённым. Объясняется это не тие М. до этого времени естественно отнести к п е- принципиальной невозможностью математич. изуче­ риоду зарождения математики, а ния биологич. явлений, а их большим качественным к 6—5 вв. до н. э. приурочить начало периода разнообразием. элементарной математики. В тече­ ние этих двух первых периодов математич. иссле­ В ещё большей степени, чем в биологии, мате­ дования имеют дело почти исключительно с весьма матич. метод уступает своё место непосредственному ограниченным запасом основных понятий, возник­ анализу явлений во всей их конкретной сложности ших еще на очень ранних ступенях история, раз­ в социальных науках. Здесь особенно велика опас­ вития в связи с самыми простыми запросами хозяй­ ственной жизни, сводившимися к счёту предме­ ность, абстрагировав форму течения явлений, пре­ тов, измерению количества продуктов, площадей небречь накоплением качественно новых моментов, земельных участков, определению размеров отдель­ дающих всему процессу существенно иное направ­ ных частей архитектурных сооружений, измере­ нию времени, коммерческим расчётам и т. п. Пер­ ление. Существенным остаётся значение М. для со­ вые шаги механики и физики [за исключением от­ циальных дисциплин (как и для биологич. наук) дельных исследований греческого учёного Архимеда в форме подсобной науки — математич. статистики. (3 в. до н. э ), требовавших уже начатков исчисле­ ния бесконечно малых] могли еще удовлетворить­ В окончательном же анализе социальных явлений ся этим же запасом основных математич. понятий. моменты качественного своеобразия каждого исто­ Единственной наукой, к-рая задолго до широкого развития математич. изучения явлений природы в рия. этапа приобретают столь доминирующее поло­ 17—18 вв. систематически предъявляла М. свои жение, что математич. метод отступает на задний особые и очень большие требования, была астро- план. вомия, целиком обусловившая, например, раннее развитие тригонометрии. Запас понятий, с кото­ Математика и техника. Начала арифметики и рым имела дело М. до начала 17 в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной мате­ элементарной геометрии, как будет видно из исто­ матики», преподаваемой в начальной и средней рии. очерка, возникли из непосредственных запро­ школе. сов практики; дальнейшее формирование новых ма­ В 17 в. новые запросы естествознания и техники тематич. методов и идей происходит под влиянием заставляют математиков сосредоточить своё внима­ опирающегося в своём развитии на те же запросы ние на создании методов, позволяющих математи­ чески изучать движение, процессы изменения вели­ практики математич. естествознания (астрономии, чин, преобразования геометрия, фигур (при проекти­ механики, физики и т. д.). Прямые же связи М. с ровании и т. п.). С употребления переменных вели­ чин в аналитич. геометрии франц, учёного Р. Де­ техникой чаще имеют характер применения уже карта и создания дифференциального и интеграль­ созданных математич. теорий к техническим проб­ ного исчисления начинается период мате­ матики переменных величин, к-рый лемам. Укажем, однако, примеры возникновения новых общих математич. теорий ва основе непосред­ ственных запросов техники. Создание метода наи­ меньших квадратов связано с геодезия, работами; изучение многих новых типов уравнений с частными производными впервые начинается с решения технич. проблем; операторные методы решения дифферен­ циальных уравнений развиваются на почве электро­ техники и т. д. В новейшее время из запросов элект­ ротехники возник новый раздел теории вероятно­ стей — теория передачи информации. Задачи син­ теза регулирующих и счётно-решающих устройств привели к развитию новых разделов алгебры. По преимуществу под непосредственным воздействием технич. нужд возникли начертательная геометрия и номография. Наряду с нуждами астрономии ре­ шающую роль в развитии методов приближенного решения дифференциальных уравнений играли тех- ★ 59 в. с. э. т. 26.

466 МАТЕМАТИКА можно условно назвать также периодом «высшей ма­ тян в этом направлении явилось открытие способа вычис­ тематики». Естественно, впрочем, что ни в этот, ления объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием, ни в следующий период не прекращалось и дальней­ соответствующего формуле шее развитие элементарной М. «=у (а’+аЬ+ІР). Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых Правила вычисления площади круга и объёмов цилиндра и М., привело в начале 19 в. к необходимости отне­ конуса соответствуют иногда грубо приближённому значению стись к процессу расширения предмета математич. исследований сознательно, поставив перед собой п—3, иногда же значительно более точному п = 3,16... задачу систематич. изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количест­ См. также Папирусы математические. венных отношений и пространственных форм. Со­ Вавилония. Математич. текстов, позволяющих судить о здание русским математиком Н. И. Лобачевским его «воображаемой геометрии», получившей впоследст­ М. в Вавилонии, несравненно больше, чем египетских. Ва­ вии вполне реальные применения, было первым зна­ вилонские клинописные математические тексты (см.) охва­ чительным шагом в этом направлении. Развитие тывают период от 2-го тысячелетия до и. э. (эпоха династии подобного рода исследований внесло в строение М. Хаммурапи и касситов) до возникновения и развития гре­ столь важные новые черты, что М. в 19 и 20 вв. ческой М. Однако уже первые из этих текстов относятся к естественно отнести к особому периоду со­ периоду расцвета вавилонской М.; дальнейшие тексты, не­ временной математики. смотря на наличие нек-рых новых моментов, свидетельст­ вуют в целом окорее о её застое. Вавилония времён династии 1. Зарождение математики. Хаммурапи получила еще от шумерского периода развитую смешанную десятично-шестидесятиричную систему нуме­ Счёт предметов на самых ранних ступенях раз­ рации, заключавшую уже в себе позиционный принцип (одни вития культуры привёл к созданию простейших и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных понятий арифметики натуральных чисел. Только шестидесятиричных разрядов). Наир.: на основе разработанной системы устного счисления (см.) возникают письменные системы счисления и 40 4С 60 + 25=2065 • постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметич. Аналогично обозначались и шестидесятиричные дроби. Это действий (из к-рых только деление еще долго пред­ позволяло совершать действия с целыми числами и с шести­ ставляло большие трудности). Потребности измере­ десятиричными дробями по единообразным правилам. Де­ ния (количества зерна, длины дороги и т. п.) при­ ление при помощи таблиц обратных чисел сводилось к умно­ водят к появлению названий и обозначений про­ жению. В более поздних текстах вычисление обратных чисел стейших дробных чисел и к разработке приёмов доводится до восьмого шестидесятиричного знака. Кроме выполнения арифметич. действий над дробями. таблиц обратных чисел, имеются таблицы произведений, Таким образом, накапливается материал, склады­ квадратов, квадратных и кубичных корней. Большое коли­ вающийся постепенно в древнейшую математич. чество хозяйственных записей доказывает широкое употреб­ науку — арифметику (см.). Измерение площадей и ление всех этих средств в сложной хозяйственной дворцовой объёмов, потребности строительной техники, а не­ и храмовой деятельности. Широкое развитие получили также сколько позднее — астрономии, вызывают развитие расчёты процентов по долгам. Имеется также ряд текстов- начатков геометрии (см.). Эти процессы шли у мно­ времён династии Хаммурапи, посвящённых решению задач, гих народов в значительной мере независимо и па­ к-рые с современной точки зрения сводятся к уравнениям раллельно. Особенное значение для дальнейшего первой, второй и даже третьей степени. Существует пред­ развития науки имело накопление арифметич. и положение, что такие более отвлечённые научные интересы, геометрич. знаний в Египте и Вавилонии. В Вави­ не ограничивавшиеся непосредственно необходимой в прак­ лонии на основе развитой техники арифметич. вы­ тике рецептурой, а приводившие к созданию общих алгеб- числений появились также начатки алгебры, авсвязи раич. методов решения задач, возникли в «школах писцов», с запросами астрономии — начатки тригонометрии. где ученики готовились к счётио-хозяйственной деятельно­ сти. Тексты такого рода позднее исчезают. Зато дальше Египет. Сохранившиеся математич. тексты Древнего развивается техника вычислений с многозначными числами Египта состоят по преимуществу из примеров на решение в связи с развитием в 1-м тысячелетии до н. э. более точных отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их реше­ методов в астрономии. На почве астрономии возникают пер­ ния, к-рые иногда удаётся понять, лишь анализируя число­ вые обширные таблицы эмпирически найденных зависимо­ вые примеры, данные в текстах. Следует говорить именно о стей, в к-рых можно видеть прообраз идеи функции. Вави­ рецептах для решения отдельных типов задач, т. к. матема­ лонская клинописная математич. традиция продолжается в тич. теории в смысле доказательств общих теорем, видимо, Ассирии, персидском государстве и даже в эллинистич. эпо­ вовсе не существовало. Об этом свидетельствует, наир., то, ху вплоть до 1 в. до н. э. Из достижений вавилонской М, что точные решения употреблялись без всякого отличия от в области геометрии, выходящих за пределы познаний егип­ приближённых. Тем не. менее, самый запао установленных тян, следует отметить разработанное измерение углов и математич. фактов был, в соответствии с высокой строитель­ нек-рые зачатки тригонометрии, связанные, очевидно, с раз­ ной техникой, сложностью земельных отношений, потреб­ витием астрономии. Вавилонянам была уже известна теорема ностью в точном календаре и т. и., довольно велик. По папи­ Пифагора. русам 1-й половины 2-го тысячелетия до н. в. состояние еги­ петской М. того времени может быть охарактеризовано в 2. Период элементарной математики. следующих чертах. Преодолев все трудности действий с це­ лыми числами на основе системы счисления, понятной из Только после накопления большого конкретного примера материала в виде разрозненных приёмов арифметич. вычислений, способов определения площадей и П<2'?<?ППШ = 2323> объёмов и т. п. возникает М. как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия её метода египтяне создали своеобразный и довольно сложный и необходимости систематического развития её аппарат действий с дробями, требовавший специальных основных понятий и предложений в достаточно общей вспомогательных таблиц. Систематически решались задачи форме. В применении к арифметике и алгебре воз­ на нахождение неизвестных чисел, к-рые были бы теперь можно, что этот процесс начался уже в Вавилонии. записаны в виде уравнений с одним неизвестным. Геомет­ Однако вполне определилось это новое течение, рия сводилась к правилам вычисления площадей и объёмов. заключавшееся в систематическом и логически по­ Правильно вычислялись площади треугольника и трапе­ следовательном построении основ математич. нау­ ции, объёмы параллелепипеда и пирамиды о квадратным ки, в Древней Греции. Созданная древними гре­ основанием. Наивыошим известным нам достижением егип­ ками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперёд сделалась образцом де­ дуктивного построения математич. теории. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел (см. Чисел теория). Создаётся систематич. учение о ве­ личинах (см.) и измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия дей­ ствительного числа (см. Число) оказы-

МАТЕМАТИКА 46? вается, как будет видно из дальнейшего, весьма Древняя Греция. Развитие М. в Древней Греции п*риняло длительным. Дело в том, что понятия иррациональ­ существенно иное направление, чем на Бостоне. Если в от-і ного и отрицательного числа относятся к тем более ношении вычислительной техники, искусства решения *задач сложным математич. абстракциям, к-рые, в отличие от алгебранч. характера и разработки математич. средств астроА понятий натурального числа, дроби или геометрич. номии лишь в эллинистич. эпоху был достигнут и превзойдён1 фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в до­ уровень вавилонской М., то уже гораздо раньше М. в Древ­ научном общечеловеческом опыте. Даже в наше ней Греции вступила в совершенно новый этап логич. раз­ вития. Появилась потребность в отчётливых математич. до-- время, когда их реальное содержание и практич. казательствах, были сделаны первые попытки систематич. польза общепризнаны, эти математич. понятия построения математич. теории, М., как и всё научное в воспринимаются начинающими не без труда и обыч­ художественное творчество, перестала быть безличной, какой но только в результате систематич. школьного обу­ она была в странах древнего Востока; она создаётся теперь чения. Естественно, что их формирование потребо­ известными по именам математиками, оставившими после себя вало от человечества больших усилий. математич. сочинения (дошедшие до нас лишь в отрывках, сохранённых позднейшими комментаторами). Это изменение Создание алгебры (см.) как буквенного ис­ характера математич. науки объясняется более развитой об­ числения завершается лишь в конце рассматри­ щественно-политической и культурной жизнью греческих ваемого двухтысячелетнего периода. Специальные государств, приведшей к высокому развитию диалектики, обозначения для неизвестных появляются у греч. искусства спора, к привычке отстаивать свои утверждения в математика Диофанта (вероятно, 3 в.) и более си­ борьбе с противником. Возникновение независимой от рели­ стематически— в Индии в 7 в., но обозначение бук­ гии философской мысли привело к потребности в рациональ­ ном объяснении явлений природы, что поставило перед М. вами коэфициентов уравнения введено только в новые задачи. 16 в. франц, математиком Ф. Виетом. Греки считали себя в области арифметики учениками фи­ Развитие геодезии и астрономии рано приводит никиян, объясняя высокое развитие арифметики у них по­ требностями их обширной торговли; начало же греческой к детальной разработке тригонометрии (см.) как геометрии традиция связывает с путешествиями в Египет плоской, так и сферической. первых греческих геометров и философов Фалеса Милетского (конец 7 в.— 1-я половина 6 в. до н. э.) и Пифагора Самос-' Период элементарной М. заканчивается (в Зап. ского (6 в. до н. э.). В шноле Пифагора арифметика из просто­ Европе в начале 17 в.), когда центр тяжести мате­ го искусства счисления перерастает в теорию чисел. Сумми­ матич. интересов переноситсявобластьМ.переменных руются простейшие арифметич. прогрессии [в частности, 14-ЗН-54-... 4-(2п —1) =п’], изучаются делимость чисел, раз-, величин. Естественно, что этот переход был подго­ личные виды средних (арифметическое, геометрическое и гар-: товлен предшествующим развитием М. Еще в М. моническое). Более изысканные вопросы теории чисел (напр., древнего мира на материале изучения тригонометрия, разыскание т. н. совершенных чисел) связываются в школе’ функций и при составлении их таблиц формируются Пифагора с мистич. магич. значением, приписываемым чис­ ловым соотношениям. В связи с геометрич. теоремой Пифа­ представления о функциональной зависимости. Но, гора был найден метод получения неограниченного ряда напр., представление об угловом аргументе, изменяю­ троек «пифагоровых чисел», т. е. троек чисел, удовлетворя­ щемся от 0 до + оо, и тригонометрия, функциях от та­ ющих соотношению а24-Ьа=с8. В области геометрии задачи, кого аргумента возникает только в 16 в. (у Виета). к-рыми занимались греческие геометры 6—5 вв. до н. э.' Греяескиѳ математики (особенно Архимед) подходят после усвоения египетского наследства, также естествен­ к идеям анализа бесконеяно малых, но это теяение но возникают из простейших запросов строительного искус­ не полуяает развития; интерес к нему после неяс­ ства, землемерия н навигации. Таковы, напр., вопросы о ных попыток англ, математика Т. Брадвардина (14 в.) соотношении между длинами катетов и гипотенузы прямо­ и итал. математика Николая Кузанского (15 в.) угольного треугольника (выражаемом «теоремой Пифагора»), возобновляется лишь в конце 16 в. (фламандский соотношении между площадями подобных фигур, квадратуре уяёный С. Стевин). Таким образом, весь период до круга, трисекции угла и удвоении куба (см.). Новым, однако, 17 в. остаётся в основном периодом элементарной М. является подход к этим задачам, ставший необходимым о усложнением предмета исследования. Не ограничиваясь Наяало рассматриваемого периода развития М. приближёнными, эмпирически найденными решениями, (греческая, эллинистическая и римская М.) отно­ греческие геометры ищут точных доказательств и логически сится к эпохе рабовладельческого общества, вторая исчерпывающих решений проблемы. Ярким примером этой же половина — к эпохе феодального (в Китае, новой тенденции может служить доказательство несоизме­ Индии, Средней Азии, на Ближнем Востоке и в Зап. римости диагонали квадрата с его стороной. Во 2-й половине Европе). После бурного расцвета, греч. и эллини- 5 в. до н. э. философская и научная жизнь Греции сосредото­ стия. М., всё более отрываясь от практики в усло­ чивается в Афинах, куда собираются учёные из различных виях господства рабовладельческих отношений и концов греческого мира. Здесь протекает основная деятель­ подчиняясь ограничительным тенденциям идеали- ность Гнппия Элитского и Гиппократа Хиосского. Испробо­ стич. философии, приходит к окончательному упад­ вав элементарные средства решения задачи о трисекции угла. ку. В средние века в странах Востока с их боль­ Гиппий Элитский ок. 420 до н. э. решаеі эти задачи при шими гидротехнич. сооружениями, развитием миро­ помошн построения специальной трансцендентной кривой — вых торговых центров, возросшими потребностями в квадратрисы (см.), к-рую Динострат (4 в. до н. э.) затем крупных геодезия, работах и более практич. тен­ применяет к решению эадачи о квадратуре круга. Первый денциями чиновничьей бюрократии, тесно сращи­ систематич. учебник геометрии приписывается Гиппократу вающейся с купечеством, особенное развитие полу­ Хиосскому (2-я половина 5 в. до н. з.). К этому времени, не­ чает вычислительная сторона М. сомненно, уже была создана разработанная система геомет­ рии, не пренебрегавшая такими логич. тонкостями, как до­ В конце рассматриваемого периода на темпы роста казательство случаев равенства треугольников и т. п. Отра­ западноевропейской М. оказывает влияние процесс жением в М. первых, хотя бы и чисто умозрительных, попыток зарождения в недрах феодализма ноного буржуаз­ рационального объяснения строения материи явилось едва л» ного общестна. В эпоху Возрождения (15—16 вв.) не самое замечательное достижение геометрии 5 в. до н. э. — быстро возрастают запросы к М. со стороны инжене­ разыскание всех пяти правильных многогранников — резуль­ ров, строителей, художников, военных, мореплава­ тат поисков идеальных простейших тел, могущих служить, телей и географов. Вместе с тем создание в универ­ основными камнями мироздания.На границе 5 и 4 вв. до н. э. ситетах возможности более свободной научной знаменитый философ-материалист Демокрит, исходя из атомистич. представлений, создаёт способ определения объ­ критики и научной конкуренции стимулирует ре­ ёмов, послуживший позднее для Архимеда исходным пунктом' шение трудных, казавшихся ранее неразрешимыми разработки метода бесконечно малых. В 4 в. до н. э. в об­ задач и более смелое развитие теории. становке политич. реакции и упадка могущества Афин на­ ступает эпоха известного подчинения М. ограничениям, вы­ 69* двинутым идеалистич. философией. Наука о числах строго отделяется здесь от «искусства счисления», а геометрия — от «искусства измерения». Опираясь на существование несо­ измеримых отрезков, площадей и объёмов, Аристотель нала­ гает общий запрет на применение арифметики к геометрии. В самой геометрии проводится строгое ограничение построе­ ниями, осуществимыми при помощи циркуля и линейки; найденные в эту же эпоху решения т. н. делийской задачи об удвоении куба объявляются лежащими вне геометрии, т. к. они прибегают к более сложным конструктивным средствам. Наиболее значительным конкретным достижением математи­ ков 4 в. до н. э. можно считать связанные с тенденцией к логнч» анализу основ геометрии исследования Евдокса Книдского

468 МАТЕМАТИКА (1-я половина 4 в. до н. э.), разработавшего теорию пропорций ство привело философию 4 в. до н. э. к полному отрицанию и давшего первое доказательство теоремы об объёме пирамиды законности применения арифметики к изучению геометрич. (известной в качестве эмпирич. факта египтянам с начала величин. В действительности, в теории пропорций и в методе 2-го тысячелетия до н. э., см. выше). По поводу этого доказа­ исчерпывания математикам 4 и 3 вв. до н. э. всё же удалось тельства им было сформулировано обшее допущение (назы­ косвенным образом осуществить это применение арифметики ваемое часто аксиомой Архимеда), лежащее в основе метода к геометрии. Ближайшие зека принесли не положительное исчерпывания (см. Исчерпывангія .метод). В стороне от глав­ разрешение проблемы путём создания фундаментального ного течения М. 4 в. до н. э. следует отметить начало матема­ нового понятия (иррационального числа), а постепенное её тич. разработки механики у Архита Тарентского (2-я поло­ забвение, ставшее возможным с постепенной утратой пред­ вина 5 в.— 1-я половина 4 в. до н. э.) — полководца и автора ставлений о математич. строгости. На этом этапе истории М. одного из упоминавшихся решений задачи об удвоении куба. временный отказ от математич. строгости оказался, однако, Эллинистическая н римская эпоха.С 3 в. до н. э. на протя­ полезным, открыв возможность беспрепятственного развития жении семи столетий основным центром научных и особенно алгебры, допускавшейся в рамках строгих концепций эвкли­ математич. исследований • являлась Александрия. Здесь, в довых «Начал» лишь в чрезвычайно стеснительной форме обстановке объединения различных мировых культур, боль­ «геометрической алгебры» отрезков, плошадей и объёмов. ших государственных и строительных задач и невиданного Значительные успехи в этом направлении можно отметить ранее по своей широте государственного покровительства в «Метрике» Герона (см.) (вероятно, 1 з.), известного особенно науке, греческая М. достигла своего высшего расцвета. Не­ своими работами по геодезии, составившими основу грандиоз­ смотря на распространение греческой образованности и науч­ ной практич. деятельности римских геодезистов. Это заме­ ных интересов во всём эллинистическом и римском мире, чательное сочинение, являющееся первым самостоятельным Александрия с её «музеем», являвшимся первым научно-иссле­ изложением приёмов вычислительной геометрии, содержит, довательским институтом в современном смысле слова, и биб­ между прочим, т. н. формулу Герона (известную, впрочем, лиотеками обладала столь большой притягательной силой, еше Архимеду) _________________ что почти все крупнейшие учёные стекались сюда. Из упоми­ нающихся ниже математиков лишь Архимед остался верным в- /р (р—а) (р—Ь) (р—с) родным Сиракузам. Наибольшей напряжённостью математич. для плошади треугольника (под знаком корня произведение творчества отличается первый век Александрийской эпохи четырёх отрезков — выражение, геометрически бессмыслен­ (3 в. до н. э.). Этому веку принадлежат Эвклид, Архимед ное). Однако самостоятельное и широкое развитие настоя­ (см.), Эратосфен и Аполлоний Пергский. Сложные гидротех- щего алгебраич. исчисления встречается лишь в «Арифме­ нич. сооружения (напр., архимедов винт), требования тике» Циофанта (см.), посвяшённой в основном решению военной техники (метательные машины Архимеда), запросы уравнений. Здесь формулируется правило перенесения чле­ мореплавания (исследования Архимеда о равновесии и устой­ нов из одной части уравнения в другую, производится умно­ чивости плаваюших тел), развитие геодезии и картографии жение обеих частей уравнения на одно и то же выражение, (определение Эратосфеном размеров земного шара), а также даются общие приёмы решения квадратных уравнений, реша­ разработка точных астрономия, измерений и вычислений ются также нек-рые задачи, приводящие к уравнениям тре­ (Юлианское приближение к длине года, равное 365 1/4 дней), тьей степени, и задачи на неопределённые уравнения с не­ наконец, развитие механики и оптики — всё это поставило сколькими неизвестными. Диофант ишет всегда положитель­ перед М. множество новых задач. 3 в. до н. з. явился веком ные решения; однако при умножении алгебраич. выражений плодотворного соединения соответствующего этим требова­ употребляет правило для умножения «отнимаемых» чисел, ниям стремительного развития М. вширь с глубиной теоре- предваряющее позднейшие правила действий с отрицатель­ тич. мысли. В частности, воанпкший из прикладных нужд ными числами. Относя свои исследования к чистой арифме­ интерес к приближённому измерению величин и приближён­ тике, Диофант, естественно, ограничивается, в отличие от ным вычислениям не привёл математиков 3 в. до н. э. к отказу практика Герона. рациональными решениями, исключая тем от математич. строгости. Все многочисленные приближённые самым возможность геометрич. или механич. приложений извлечения корней и даже все астрономия, вычисления про­ езоей алгебры. Тригонометрия воспринимается в древнем изводились ими с точным указанием границ погрешности, мире в большой мере как часть астрономии, а не как часть по типу знаменитого архимедова определения длины окруж­ М. К ней так же, как и к вычислительной геометрии Герона, ности в форме безукоризненно доказанных неравенств не предъявляется требований полной строгости формулировок и доказательств. Гиппарх (2 в. до н. э.) первый составил таб­ лицы хорд, исполнявшие роль ваших таблиц синусов. На­ 3у|й<р<3у<і, чала сферич. тригонометрии создаются Менелаем (1 в.) и где р — длина окружности с диаметром 3. Это отчётливое по­ Клавдием Птолемеем (2 в.). Птолемею же принадлежит ини­ нимание того, что приближённая М. не есть «нестрогая» М., циатива систематич.употребления широт и долгот для обо­ было позднее надолго 8абыто. значения географии, мест, что явилось, повидимому, первой формой употребления системы координат. В своих «Началах» Эвклид собрал и подверг окончатель­ ной логич. переработке достижения предыдущего периода В области чистой М. деятельность учёных последних веков в области геометрии (см. «Начала» Эвклида). Вместе с тем древнего мира (кроме Диофанта) всё более сосредоточивается в «Началах» же Эвклид впервые заложил основы систематич. на комментировании старых авторов. Впрочем, Паппу (ве­ теории чисел, доказывая бесконечность ряда простых чисел роятно, конец 3 в.) среди обширных комментариев на «Нача­ и строя законченную теорию делимости. Наконец, «Начала» ла» Эвклида удалось установить теорему (позднее названную содержат во второй, шестой и десятой книгах своеобразную теоремой Гюльдена) об объёме произвольного тела врашения. геометрич. замену алгебры, позволившую в геометрич. Труды учёных-комментаторо8 этого времени [Паппа, Прокла форме не только решать квадратные уравнения, но и про­ (5 в.) и др ], при всей их универсальности, не могли уже в изводить сложные преобразования квадратичных ирра­ обстановье упадка античного мира привести к объединению циональных выражений. В стиле этой же «геометрической изолированно развивавшихся алгебры Диофанта, включённой алгебры» Архимед сформулировал свою теорему о сумме в астрономию тригонометрии и откровенно нестрогой вычис­ квадратов членов арифметич. прогрессии. Из геометрич. лительной геометрии Герона, популярной у геодезистов, работ Эвклида, не вошедших в «Начала», и работ Аполлония в единую, способную к большому развитию науку Пергского наибольшее значение для дальнейшего развития М. имело создание законченной теории конических сечений Китай» С окончательным упадком культуры греко-рим­ (см.). Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось ского мира центр научного прогресса на долгое время пере­ определение разнообразных плошадей и объёмов (в т. ч. носится на Восток.На дальнейшее развитие М. в Европе наи­ площадей параболич. сегмента и поверхности шара, объёмов большее влияние окаэали работы математиков Индии, Сред­ шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и ней Азии и Ближнего Востока. Однако хронологически во центров тяжести (напр., шарового сегмента и сегмента пара­ многих вопросах первенство принадлежит математикам Ки­ болоида); архимедова спираль (см.) является лишь одним из тая. Уже «Арифметика в девяти главах», составленная по примеров изучавшихся в 3 в. до н. э. трансцендентных кри­ более ранним источникам во 2—1 вв. до н. э. Чжан Цаном и вых. После Архимеда, хотя и продолжался рост объёма науч­ Цзин Чоу-чаном, обнаруживает наличие у китайских мате­ ных энаний, александрийская наука уже не достигала преж­ матиков высоко разработанной вычислительной техники и ней цельности и глубины. В астрономии это выразилось в том, интерес к обшим алгебраич. методам. В этом сочинении что, несмотря на возросшую точность наблюдений и усовер­ впервые описывается способ извлечения квадратного и ку­ шенствование математич. аппарата, вполне усвоенные лучши­ бичного корня из целых чисел, совпадающий в сушественном ми умами предшествующих поколений идеи Аристарха Самос­ с современным школьным способом. ского (конец 4 в. — 1-я половина 3 в. до н. э ) о движении Земли вокруг Солнца и о расстояниях до неподвижных звёзд Большое число задач формулируется так, что их можно были отвергнуты. В М. зачатки анализа бесконечно малых, понять только как примеры, служившие для разъяснения содержавшиеся в эзристич. приёмах Архимеда (сообщённых отчётливо воспринятой схемы исключения неизвестных в системах линейных уравнений. Напр., система уравнений, к-рая в современной записи имела бы вид: им в специальном сочинении «О методе» с указанием на их Зх4-2ц4-х —39, нестрогость; в окончательном изложении он считал нужным заменять их методом исчерпывания), не получили дальней­ 2х+3уч-г\" 3,4, шего развития. х + 2у-ЬЗг — 26, Сушественным недостатком всей М. древнего мира было вводится при помощи условий «три пачки верна первого сорта отсутствие окончательно сформированного понятия ирра­ вместе с двумя пачками второго и одной третьего составляют ционального числа. Как уже было указано: это обстоятель­ . 39 мер» (и точно так же для второго и третьего уравнений).

МАТЕМАТИКА 469 Система записывается в виде таблицы нек-рых случаях аналогичный знак в шестидесятиричной системе встречается в поздних вавилонских текстах) и разра­ 1 2 3 1-й сорт ботка на этой основе более совершенной вычислительной тех­ ники, включая близкие к современным приёмы деления много­ 2 3 2 2-й сорт значных чисел (эта операция не представляла, конечно, для 3 1 И 3-й сорт математиков древнего мира принципиальной трудности, но осуществлялась более сложным образом). Происхождение 26 34 39 меры употреблявшихся в Индии цифр, называемых теперь «араб­ Числа второго столбца умножаются на «число первого сорта» скими», не вполне выяснено. Второй, ещё более важной основ- ' третьего столбца, т. е. на 3, и из них вычитаются дважды ной заслугой индийских математиков является создание ал­ числа третьего столбца. Затем числа третьего столбца вычи­ гебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с таются из умноженных на 3 чисел первого столбца. В резуль­ иррациональными и отрицательными числами. «Вычитаемые» тате этих двух операций получается таблица числа (обозначаемые точкой наверху) у индийцев (в отличие от Диофанта и подобно китайцам) получают право стоять 4 5 2-й сорт отдельно. Напр., уравнение 8 1 3-й сорт уа ■1X1 3 уа 10 гм 8 I ,, 2 , ,п о ѵ2 39 24 меры уа ѵа 1 уа 0 гм 1 | + может быть преобразовано (по Брамагуита) в Тем же способом, в к-ром без труда можно узнать способ исключения неизвестных при помоши «уравнивания коэ- гм 9 I (_9__2жз_ 10ж). фициентов», решается полученная система уравнений с дву­ мя неизвестными, что даст таблицу г/а ѵа 2 ѵа 10 1 36 | 3-й сорт О реальном истолковании отрицательных чисел (с противо­ 99 | меры положностью имущества и долга) у индийцев встреча­ ются лишь отдельные упоминания, обычно же при истолко­ откуда: г= =2 3/4ит. д. В тех случаях, когда описанный вании решений задач отрицательные решения считаются не­ алгоритм приводит, в современной терминологии, к отрица­ возможными. Вообще следует отметить, что в то время как тельным числам, в «Арифметике в девяти главах» рекомен­ дробные и иррациональные числа с самого момента своего дуется метод «чжэн-фу» («чжэн» означает «прибавляемый», возникновения связаны с измерением непрерывных величин, «фу» — «вычитаемый»; такие числа изображались различными отрицательные числа возникают в основном из внутренних цветами: чжэн — красным, фу—чёрным). Отрицательных реше­ потребностей алгебры и лишь позднее (в полной мере в 17 в.) ний уравнений в китайских источниках не имеется, но с получают самостоятельное значение. отрицательными коэфициентами китайские математики обра­ щаются с большой свободой. В последнем отделе «Арифме­ Брамагупта дал общее правило решения квадратных тики в девяти главах» фэмулируется чисто арифметически уравнений (объединяя при помощи употребления отрица­ теорема Пифагора и решается ряд задач на её применение. тельных чисел различные случаи, рассматривавшиеся Дио­ фантом, в один). Бхаскара указал на двузначность квадрат­ В связи с календарными расчётами в Китае возник инте­ ного корня, занимался исследованием иррациональных вы­ рес к задачам такого типа: при делении числа на 3 остаток есть 2, при делении на 5 остаток есть 3, а при делении на ражений вида |/\"а делал преобразования типа: 7 остаток есть 2, каково это число? Сунь-цзы (между 2 и 6 вв.) и более полно Цинь Цзю-шао (13 в.) дают изложенное К 10 + 1^24+^4 0 + ^60 = ^ 2 + Ѵ\" 3+К5, на примерах описание регулярного алгоритма для решения таких задач, найденного много позднее нем. математиком владел приёмами освобождения дроби от иррациональности в К. Гауссом (1801). Примером высокого развития вычисли­ знаменателе, решал нек-рые частные случаи уравнений выс­ тельных методов в геометрии может служить результат Цзу ших степеней. Наконец, Брамагупта и Бхаскара дали об­ Чун-чжи (2-я половина 5 в.), в-рый показал, что отношение щие методы решения в целых числах неопределённого урав­ длины окружности к диаметру лежит в пределах нения первой степени с двумя неизвестными, а также урав­ нений вида: ах2+Ь — су2 и ху—ах+Ьу+с, 3,1415926 < п < 3,1415927. Особенно замечательны работы китайцев по численному ре­ В тригонометрии заслугой индийских математиков яви­ шению уравнений. Геометрии, задачи, приводящие к урав­ лось введение линий синуса, косинуса, синус-верзуса. нениям третьей степени, впервые встречаются у астронома и математика Ван Сяо-туна (1-я половина 7 в.). Изложение Средняя Азия и Ближний Восток. Арабские завоевания методов решения уравнений четвёртой и высших степеней и кратковременное объединение огромных территорий под было дано в работах математиков 13—14 вв. Цинь Цзю-шао, властью арабских халифов привели к тому, что в течение Ли Е, Ян Хуэя и Чжу Ши-иве. Употребляемый ими «метод 9—15 вв. учёные Средней Азии,Ближнего Востока и Пиреней­ небесного элемента» в существенном совпадает с методом, из­ ского п-ова пользовались арабеним языком. Наука здесь рав- вестным ныне под названием метода Горнера (по имени англ, вивается в мировых торговых городах, в обстановке широкого учёного, вновь открывшего его в 1819). Любопытным следст­ международного общения и государственной поддержки вием высокого развития именно приближённых вычислитель­ больших научных начинаний [напр., точное измерение дуги ных методов является то, что в трактате Цинь Цзю-шао «Де­ меридиана по повелению халифа аль-Мамуна в начале 9 в., вять отделов математики» (1247) биквадратное уравнение строительство в 13 в. обсерватории в Мараге для аверб. учё­ решается по обшей схеме, причём в промежуточных вычис­ ного Насирзддина Туси внуком Чингисхана Хулагу-ха- лениях фигурирует полное уравнение четвёртой степени. ном, учреждение библиотек (библиотека в Кордове содержала К 14 в. средневековая китайская М. достигла своего высшего в 9 в. 600 тыс. томов)]. Блестящим завершением этой эпохи развития. Связи её с греко-римской, индийской, среднеазиат­ явилась в 15 в. деятельность узбекского астронома Улуг-бека, ской и средневековой западноевропейской М. мало изу­ к-рый при своём дворе и обсерватории в Самарканде собрал чены, однако их наличие доказывается тем, что ряд вадач более ста учёных и организовал долго остававшиеся непрев­ повторяется в математич. рукописях различных стран с зойдёнными астрономия, наблюдения, вычисление матема­ точным совпадением числовых данных. Напр., указанная тич. таблиц и т. ц. выше китайская задача на решение системы сравнений До недавнего времени в западноевропейской науке гос­ х“2(шо(13), х=3(пюб5). х=2(іпО(17) подствовало мнение, что роль «арабской культуры» в области точно повторяется в «Книге об абаке» итал. математика Лео­ М. сводится в основном к сохранению и передаче математи­ нардо Пизанского (1202). кам Зап. Европы математич. открытий древнего мира и Индии. Действительно, сочинения греческих математиков впервые Индия. Расцвет индийской М. относится к 5—12 вв. стали известны в Зап. Европе по арабским переводам. Однако [наиоолее известны индийские математики Ариабхата (ко­ всё более выясняется, что в действительности вклад математи­ нец 5 в.), Брамагуита (7 в.), Бхаскара (12 в.)]. Индийцам ков, писавших на арабском языке, и в частности математи­ принадлежат две основные заслуги. Первоіі из них является ков’ принадлежавших к народам современной советской Сред­ введение в широкое употребление современной десятичной ней Азии и Кавказа (хорезмийских, узбекских, таджикских, системы нумерации и систематич. употребление нуля для азербайджанских), в развитие пауки значительно больше. обозначения отсутствия единиц данного равряда (лишь в В 1-й половине 9 в. среднеазиатский учёный Мухаммед бен­ Муса Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоя­ тельной науки. Термин «алгебра» производят от названия сочинения Хорезми «Ал-джебр», по к-рому европейские мате­ матики раннего средневековья познакомились с решением квадратных уравнений. Вскоре после Хорезми впервые на­ чинают систематически рассматриваться задачи, приводящие к уравнениям третьей степени. Среднеавиатский учёный Би- руни (конец 9 в.— 1-я половина 10 в.) привёл задачу о на- хожпении стороны правильного девятиугольника к решению уравнения хэ-|-1 = 3х и получил приближенное решение этого уравнения в виде шестидесятиричной дроби. Задача о по­ строении правильного семиугольника была сведена к реше­ нию уравнения х3-(- 1 — 2х-рх2. Ибн-аль-Хайтам иэ Ирака (конец 10 в.—начало И в.) свёл одну из задач геометрия, оптики к решению уравнения четвёртой степени. Таджик-

470 МАТЕМАТИКА сний математик Омар Хайям (см.) (конец 11 в.— начало 12 в.) более широкое распространение. Наряду с этим практич. систематически изучил уравнения третьей степени, дал их направлением, основными центрами теоретич. научной мысли классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смыс­ становятся университеты. Прогресс алгебры как теоретич. ле существования положительных корней). Хайям в своем дисциплины, а не только собрания практич. правил для ре­ алгеОраич. трактате говорит, что он много занимался поиска­ шения задач, сказывается в ясном понимании природы ирра­ ми точного решения уравнений третьей степени. В этом на­ циональных чисел как отношений несоизмеримых величин правлении поиски среднеазиатских математиков не увенча­ [англ, математик Т. Брадвардин (1-я половина 14 в.) и франц, лись успехом, но им были хорошо известны как геометри­ математик Н. Оресм (середина 14 в.)] и особенно во введении ческие (при помощи конич. сечений), так и приближенные дробных (Н. Оресм/, отрицательных и нулевых [франц, ма­ численные методы решения. Заимствовав от индийцев деся­ тематик Н. Шюке (конец 15 в.)] показателей степеней. Здесь тичную систему счисления с употреблением нуля, математи­ же возникают первые, предваряющие следующую эпоху идеи ки Средней Азии и Ближнего Востока применяли в больших о бесконечно больших и бесконечно малых величинах [Т. Бра­ научных вычислениях по преимуществу шестидесятиричную двардин и итал. математик Николай Кузанский (1-я поло­ систему (повидимому, в связи с шестидесятиричным делением вина 15 в.)], о характере изменения функций вблизи углов в астрономии). На этой основе ими была создана и максимумов и минимумов (Н. Оресм) и т. п. Широкий размах единая система обозначения шестидесятиричных целых и научных исследований этой эпохи нашёл отражение не только дробных чисел: запись в многочисленных переводах и изданиях греческих и араб­ ских авторов, но и в таких начинаниях, как составление 43: 0,- 16; +8; 37 обширных тригонометрич. таблиц, вычисленных с точностью (знак + здесь отделяет целые разряды от дробных) обозна­ до седьмого знака нем. математиком И. Региомонтаном чала число (И. Мюллером), являющимся также автором руководства по тригонометрии «Пять книг о всевозможных треугольниках» 43.60Н0.60 + 16+А+_2.. (1461, опубликовано в 1533). Значительно совершенствуется математич. символика; напр., записи Шюке в конце 15 в., Иранский учёный Абу-ль-Вефа (10 в.), уже пользовавшийся будучи отличными по форме, мало отличаются от современ­ этой системой, написал сочинение о способах извлечения кор­ ных по своей лаконичности: ней третьей, четвёртой и пятой степеней. Омар Хайям в не­ дошедшем до нас сочинении изложил способы извлечения ^4гР4'Рг’Р1 вместо Y4хг+4х-і-2х+\\. корней с любым натуральным показателем. ‘ Ещё более существенным является развитие научной В связи с астрономии, и геодезии, работами большое раз­ критики и полемики, вследствие чего, напр., предложенный витие полупила тригонометрия. Сириец аль-Батани (2-я по­ Николаем Кузанским в качестве точного, в действительности ловина 9 в,—напало 10 в.) ввёл в употребление тригономет­ же лишь приближённый метод спрямления окружности не­ рии. функции синус, тангенс и котангенс, Абу-ль-Вефа — медленно нашёл опровержение в специальном сочинении все шесть тригонометрии, функций, он же выразил словесно Региомонтана. Следует отметить также, что сосредоточенные алгебраин. зависимости между ними, выииелил таблицы си­ поиски решения трудных задач, поощряемые обычаем пуб­ нусов через 10' с точностью до 1*/60 и таблицы тангенсов и личных состязаний в их решении, приводят к первым доказа­ установил теорему синусов для сфер ич. треугольников. Азерб. тельствам неразрешимости. Уже Леонардо Пизанский в со­ учёный Насирэддин Туси (13 в.) (см. НасираЭЭин) достиг из­ чинении «Цветок» (ок. 1225), в к-ром собраны предложенные вестного завершения разработки сферич. тригонометрии, си­ ему и блестяще решённые им задачи, доказал неразреши­ стематически рассмотрев все шесть случаев решения сферич. мость уравнения: х’+2х2+10х=>20 не только в рациональных треугольников; сам он впервые нашёл решение двух труд­ числах, но и при помощи простейших квадратич. иррацио­ нейших случаев (определение углов по трём сторонам и сто­ нальностей (вида ■/а + ГЬит. п.). рон по трём углам). Насирэддин перевёл на арабский язык и комментировал «Начала» Эвклида; комментарии к «Нача­ Западная Европа в 16 в. Этот век был первым веком пре­ лам» составил также Хайям. Их занимает принципиальный восходства Зап. Европы над древним миром и Востоком. Так вопрос о доказуемости постулата о Параллельных. Собствен­ было з астрономии (открытие польского астронома Н. Копер­ ные их сочинения написаны с большим вниманием к изло­ ника) и в механике (к концу этого столетия уже появляются жению строгих доказательств теорем. Принципиальное зна­ первые исследования итал. учёного Г. Галилеи), так в целом чение имеет возникновение у Хайяма и Насирэддина ясной обстоит дело и в М., несмотря на то, что в нек-рых направ­ концепции действительного (положительного) числа. Напр., лениях европейская наука еще отстаёт от достижений средне­ о произвольном отношении величин (соизмеримых или не­ азиатских математиков 15 в. и что в действительности боль­ соизмеримых) Насирэддин писал: «каждое из этих отноше­ шие новые идеи, определившие дальнейшее развитие новой ний может быть названо числом, которое определяется еди­ европейской М., возникают лишь в следующем, 17 в. В 16 же ницей так же, как один из членов этого отношения опреде­ веке казалось, что новая эра в М. начинается с открытием ляется другим из этих членов». алгебраич. решения уравнений третьей (итал. математиком С. Ферро, ок. 1515, и позднее и независимо итал. математи­ В заключение следует специально остановиться на дости­ ком Н. Тартальей, ок. 1530) и четвёртой (итал. математиком жениях сотрудника Улуг-бека самаркандского математика Л. Феррари, 1545) степени, к-рое считалось в течение столе­ Гиясэддина Джемшида ибн-Масуда аль-Каши (см.) (начало тий неосуществимым (подробнее об истории этих открытий 15 в.). Он дал систематич. изложение арифметики десятичных см. Алгебра, Кардано формула). Итал. математик Дж. Кар­ дробей, к-рые справедливо считал более доступными, чем дано исследовал уравнения третьей степени, открыв т. и. шестидесятиричные. В Европе аналогичного совершенства неприводимый случай, в к-ром действительные корни урав­ приёмы вычислений с десятичными дробями достигли только нения выражаются комплексно. Это заставило Кардано, хотя у фламандского учёного С. Стевина в конце 16 в. В связи с и очень неуверенно, признать пользу вычислений с комп­ вопросами извлечения корней Джемшид сформулировал сло­ лексными числами. Он же предложил общие методы прибли­ весно формулу бинома Ньютона, указал правило образования жённого решения уравнений любой степени. Дальнейшее раз­ коэфицнентов С —С 4-С \". В «Трактате об окружно­ витие алгебра получила у франц, математика Ф. Виета (см.), сти» (ок. 1427) Джемшид, определяя периметры вписанного указавшего, напр., способ составления уравнения п-й степени и описанного 3-2®-угольников, нашёл л с семнадцатью де­ по его корням. Виет является основателем настоящего алге­ сятичными знаками. В связи с построением обширных таблиц браич. буквенного исчисления (1591) (до него буквами обо- синусов Джемшид дал весьма совершенный итерационный вначались лишь неизвестные). Из других достижений 16 в. метод численного решения уравнений. следует указать разложение квадратных корней в непрерыв­ ную дробь (итал. математик Р. Бомбелли, 1572), первое Западная Европа до 16 в. 12—15 вв. являются для запад­ точное аналитич. выражение для к в виде бесконечного проив- ноевропейской М. по преимуществу периодом усвоения на­ ведения (Виет, 1593), определение тригонометрич. функций следства древнего мира и Востока. Тем не менее уже в этот для аргумента, изменяющегося до + оо (Виет, 1594). Учение период, не приведший еще к открытию особенно значитель­ о перспективе, развивавшееся в геометрии еще ранее 16 в., ных новых математич. фактов, общий характер европейской излагается знаменитым нем. художником А. Дюрером (1525). математич. культуры отличается рядом существенных про­ Виет применил алгебраич. методы к исследованию возмож­ грессивных черт, обусловивших возможность стремительного ности геометрия, построений, являясь также тонким масте­ развития М. в последующие века. Высокий уровень требо­ ром в синтетич. решении задач на построение [он восстано­ ваний быстро богатеющей и политически независимой бур­ вил (1600), напр., утерянное решение задачи Аполлония о жуазии итал. городов привёл к созданию и широкому рас­ построении окружности, касающейся трёх данных]. Неза­ пространению'учебников, соединяющих практическое об­ висимо от Джемшида нем. математик М. Штифель (1544) от­ щее направление с большой обстоятельностью и научностью. крыл закон образования биномиальных коэфицнентов, а Меньше чем через 100 лет после появления в 12 в. первых ла­ фламандский учёный С. Стевин разработал (1585) правила тинских переводов греческих и арабских математич. сочи­ арифметич. действий с десятичными дробями. нений итал. математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) выпускает в свет свои'«Книгу об абаке» (1202) и «Практику Россия до 18 в. Математич. образование в России находи­ геометрии» (1220), излагающие арифметику, коммерческую лось в 9—13 вв. на уровне наиболее культурных стран Вост, арифметику, алгебру и геометрию. Эти книги имели большой и Зап. Европы. Затем оно было надолго задержано монголь­ успех; «Книга об абаке» распространяется с 1228 в новом пе­ ским нашествием. В 15—16 вв. в связи с укреплением рус­ реработанном варианте. К концу рассматриваемой эпохи ского государства и экономич. ростом страны значительно (с изобретением книгопечатания) учебники, вроде изданного в выросли потребности общества в математич. знаниях. В кон- 1494 курса арифметики, геометрии, пропорций и пропорцио­ нальности итал. математика Луки Пачоли, получают ещё

МАТЕМАТИКА 471 пе 16 в. и особенно в 17 в. появляются многочисленные нечные изменения переменных величин с их пове­ рукописные руководства по арифметике, геометрии, в к-рых налагались довольно обширные сведения, необходимые для дением в непосредственной близости отдельных при­ практич. деятельности (торговли, налогового дела, артилле­ рийского дела, строительства и пр.). нимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных В Древней Руси получила распространение сходная с уравнений (см.), и задача интегрирования этих урав­ греко-византийской система числовых знаков, основанная на славянском алфавите. Каждая буква, независимо от её нений выдвигается в качестве одной из важнейших местоположения, обозначала одно и то же число, при этом задач М. Разыскание неизвестных функций, опре­ над буквой ставили знак (титло). Буквы от а до ѳ обо­ делённых другого рода условиями, составляет пред­ значали единицы (персты), от | до т — десятки, от р до у — мет вариационного исчисления (см.). Таким образом, сотни. Те же буквы обоаначали также числа высших разря­ дов, но для этого употреблялись особые знаки. Так, для наряду с уравнениями, в к-рых неизвестными яв­ обозначения тысяч перед соответствующей буквой ставился ляются числа, появляются уравнения, в к-рых знак Славянская нумерация в русской математич. лите­ неизвестны и подлежат определению функции. ратуре встречается до начала 18 в., но уже с конца 16 в. эту нумерацию всё более вытесняет принятая ныне десятич­ Предмет изучения геометрии также существенно ная позиционная система. расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур (см. Движение Наиболее древнее известное нам математич. произведе­ ние относится к 1136 н принадлежит новгородскому монаху в геометрии, Преобразования геометрические). Одно Кирику. Оно посвящено арифметико-хронологич. расчётам, и то же движение или одно и то же преобразование к-рые показывают, что в то время на Руси умели решать сложную задачу вычисления пасхалий (определения на каж­ может перемещать или преобразовывать самые раз­ дый год дня наступления праздника пасхи), сводящуюся в личные фигуры. Поэтому геометрия начинает изучать своей математич. части к решению в целых числах неопре­ движение и преобразования сами по себе. Наир., в делённый уравнений первой степени. Арифметич. рукописи конца 16—17 вв. содержат, помимо изложения славянской проективной геометрии (см.) одним из основных пред­ и арабской нумерации, арифметич. операций с целыми поло­ жительными числами, также подробное изложение правил метов изучения являются сами проективные преоб­ действия с дробями, тройное правило н решение уравнений разования плоскости или пространства. Впрочем, первой степени с одним неизвестным посредством правила ложного положения. Для целей практич. использования об­ сознательное развитие этих идей относится лишь к щих правил в рукописях рассматривалось много примеров концу 18 в. и началу 19 в. Гораздо раньше, с созда­ реального содержания и излагался т. н. дощаный счёт — про­ нием в 17 в. аналитической геометрии (см.), принци­ тотип русских счётов (см.). Подобным же обраэом была по­ строена и первая арифметич. часть знаменитой «Арифмети­ пиально изменилось отношение геометрии к осталь­ ки» Л. Ф. Магницкого (1703). В геометрич. рукописях, в ной М.: был найден универсальный способ перевода большинстве своём преследовавших также практич. цели, вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и содержалось изложение правил определения площадей фи­ гур и объёмов тел, часто приближённых, испольэовались решения их чисто алгебраич. и аналитич. методами, свойства подобных треугольников и теорема Пифагора. а с другой стороны, открылась широкая возможность Необходимо отметить, что русские математич. рукописи изображения (иллюстрирования) алгебраич. и ана­ до сих пор еще недостаточно изучены. В последние годы (1950) литич. фактов геометрически, наир, при графич. удалось обнаружить ряд важных документов, к-рые пока­ зывают, что в 15—17 вв. в России интересовались философ­ изображении функциональных зависимостей (см. скими проблемами М.— определением основных геометрич. Координаты). Эта обратная возможность была, понятий (точки, линии, сферы и др.), вопросами, связан­ ными с понятиями бесконечности,непрерывности и пр. однако, ограничена трёхмерностью пространства. Такое положение привело к склонности рассматри­ 3. Период создания математики переменных вать арифметику, алгебру и анализ с теорией функ­ величин. ций как части «чистой» М., определяемой в качестве С 17 в. начинается существенно новый период науки о числах, величинах и зависимостях между изменяющимися величинами, геометрию же считать развития математики. Ф. Энгельс по этому поводу первой частью (предшествующей, напр., механике) писал: «Поворотным пунктом в математике была «прикладной» М„ применяющей результаты «чистой» декартова переменная величина. Бла­ М. и вырабатывающей свои методы для специального изучения геометрич. фигур и геометрич. преобразова­ годаря этому в математику вошли движение нии. На следующем этапе развития такое подчинён­ и диалектика и благодаря этому же стало ное положение геометрии было вновь устранено. немедленно необходимым д и- Алгебра 17 и 18 вв. в значительной мере посвящена следствиям, вытекающим из возможности изучать ференциальное и интегральное левую часть уравнения Е(х) = 0 как функцию пере­ исчисление» (Энгельс Ф., Диалектика при­ менного х. Этот подход к делу позволил изучить роды, 1952, стр. 206). Круг количественных отно­ вопрос о числе действительных корней, дать методы их отделения и приближённого вычисления, в ком­ шений и пространственных форм, изучаемых те­ плексной же области привёл франц, математика Ж. Д’Аламбера к не вполне строгому, но для мате­ перь М., уже не исчерпывается числами, величинами матиков 18 в. достаточно убедительному доказа­ и геометрич. фигурами. В основном это было обус­ тельству «основной теоремы алгебры» о существо­ ловлено явным введением в М. идей движения и из­ вании у любого алгебраич. уравнения хотя бы одного менения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится корня. Достижения «чистой» алгебры, не нуждаю­ щейся в заимствованных из анализа понятиях о идея зависимости между величинами (значение сум­ непрерывном изменении величин, в 17—18 вв. были тоже значительны (достаточно указать здесь на ре­ мы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако, шение произвольных систем линейных уравнений при помощи определителей, разработку теории дели­ чтобы охватить количественные отношения в про­ мости многочленов, исключения неизвестных и т. д.), цессе их изменения, надо было самые зависимости однако сознательное отделение собственно алгебраич. между величинами сделать самостоятельным пред­ фактов и методов от фактов и методов математич. метом изучения. Поэтому на первый план выдвигает­ анализа типично лишь для более позднего времени (2-я половина 19 в.— 20 п.). В 17 18 вв. алгебра ся понятие функции (см.), играющее в дальнейшем в значительной мере воспринималась как порван такую же роль основного и самостоятельного пред­ глава анализа, в к-рой вместо исследования произ­ мета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функцио­ нальных зависимостей приводит далее к основным понятиям математич. анализа, вводящим в М. в явном виде идею бесконечного, к понятиям преде­ ла, производной, дифференциала и интеграла (см.). Создаётся анализ бесконечно малых,в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интеграль­ ного исчисления (см.), позволяющий связывать ко­

472 МАТЕМАТИКА вольных зависимостей между величинами и реше­ ности понятия скорости в механике; поэтому вопрос заключался не в том, можно ли логически оправ­ ния произвольных уравнений ограничиваются за­ дать это понятие, а лишь в том, как это сделать. висимостями и уравнениями алгебраическими. Математич. достижения 17 в. начинаются откры­ Создание новой М. переменных величин в 17 в. тием логарифмов (см.). Шотландский математик Дж. Непер, опубликовавший свои таблицы в 1614, обо­ было делом учёных передовых стран Зап. Европы. сновывает их построение не ссылкой на давно из­ В 18 в. одним из основных центров научных мате- вестные свойства арифметич. и геометрич. прогрес­ сий, а рассматривает непрерывное «течение» лога­ матич. исследований становится также Петербург­ рифма при изменении числа, т. е. впервые вводит ская академия наук, где работал ряд крупнейших представление о непрерывной функции, не заданной математиков того времени иностранного происхож­ никаким алгебраич. выражением или геометрич. построением. В 1637 франц, учёный Р. Декарт дения (Л. Эйлер, Д. Бернулли), и постепенно скла­ (см.) публикует свою «Геометрию», содержащую осно­ дывается русская математическая школа, блестяще вы координатного метода в геометрии, классифика­ цию кривых с подразделением их на алгебраические развернувшая свои исследования с начала 19 в. и трансцендентные, а алгебраических — по «родам» 17 век. Охарактеризованный выше новый этап (к роду т он относит в современной терминологии кривые порядков 2т — Іи 2т). В тесной связи с воз­ развития М. органически связан с созданием в 17 в. можностью представить корни уравнения Р(х)=0 точками пересечения кривой у=Р(х) с осью абсцисс математич. естествознания, имеющего целью объяс­ в алгебре исследуются действительные корни урав­ нение течения отдельных природных явлений дейст­ нения любой степени (Р. Декарт, И. Ньютон, франц, вием общих, математически формулированных за­ математик М. Ролль). Исследования франц, мате­ матика ГІ. Фермй о максимумах и минимумах и конов природы. На протяжении 17 в. действительно разыскании касательных к кривым уже содержат в себе, по существу, приёмы дифференциального глубокие и обширные математич. исследования отно­ исчисления, но самые эти приёмы еще не выделе­ сятся лишь к двум областям естественных наук — ны и не развиты, и слова «производная» или «диф­ ференциал» остаются еще не произнесёнными. к механике [итал. учёный Г. Галилей открывает Другим источником анализа бесконечно малых законы падения тел (1632, 1638), нем. астроном является развитый нем. астрономом И. Кеплером (1615) и итал. математиком Б. Кавальери (1635) И. Кеплер — законы движения планет (1609, 1619), «метод неделимых», применённый ими к определению англ, учёный И. Ньютон устанавливает закон все­ объёмов тел вращения и ряду других задач. В этом методе действительная принципиальная новизна мирного тяготения (1687)] и к оптике [Галилей основных понятий анализа бесконечно малых пред­ (1609) и Кеплер (1611) сооружают зрительные тру­ ставляется в мистич. форме неразрешённого проти­ воречия (напр., между объёмом тела и совокупно­ бы, Ньютон развивает оптику на основе теории исте­ стью не имеющих объёма плоских сечений, при чения, голландский учёный X. Гюйгенс и англ, помощи к-рых этот объём должен быть определён). Неудивительно поэтому, что приёмы Кеплера и учёный Р. Гук—на основе волновой теории]. В дру­ Кавальери подверглись критике (1635—41) со сто­ гих областях естествознания применение М. ограни­ роны швейцарского математика П. Гюльдена, пред­ почитавшего пользоваться строгим классич. мето­ чивается пока установлением первых и простейших дом исчерпывания. Однако свободное употребление количественных закономерностей [напр., закон бесконечно малых одерживает окончательную победу Бойля для зависимости объёма газа от давления в работах по определению площадей («квадратур») (1662), закон Гука в теории упругости (1660) и т. п.]. франц, математиков П. Фермй, Б. Паскаля и англ, математика Дж. Валлиса. Так, в геометрич. форме Тем не менее рациовалистич. философия 17 в. уже были, по существу, созданы начала дифференциаль­ выдвигает идею универсальности математич. метода ного и интегрального исчисления. (Р. Декарт, Б. Спиноза, Г. Лейбниц), придающую Параллельно развивается учение о бесконечных особенную яркость устремлениям этой, по преиму­ рядах (см. Ряды). Свойства простейших рядов, начи­ ная с геометрич. прогрессий, возникающих из пред­ ществу философской, эпохи в развитии М. ставления обыкновенных дробей в виде периодич. Хотя применение новых возникающих в 17 в. десятичных, изучил Валлис (1685). Нем. учёный Н. Меркатор (1668), интегрируя по х разложение математич. методов к проблемам техники широко развилось лишь в течение следующих двух веков, j-^=l—х+х2—..., получил разложение в степенной «очень важную роль сыграло спорадическое при­ ряд ln(14-z). И. Ньютон получил (1665—69) формулу менение машин в XVII столетии, так как оно бинома для любого показателя, интегрируя разло­ дало великим математикам того времени практи­ жение (1—х2)~~'^, получил разложение arc sin х и, ческие опорные пункты и стимулы для создания наконец, нашёл степенные ряды обратных к совремевной механики» (Маркс К., Капитал, ¡у=1п(1-|-а:) и j/ = arcsinz функций: т. 1, 1953, стр. 356). и, соответственно, Серьёзные новые математич. проблемы в 17 в. X — sin у = -у- — ѵ\" i «* выдвигает усовершенствование часового дела и fi ' 120 необходимость создания точных хронометров для целей навигации. Одним из изобретателей маятни­ ковых часов является Гюйгенс (1657). Через 16 лет после своего изобретения Гюйгенс опубликовал книгу «Маятниковые часы» (1673), являющуюся образцом органич. слияния конструкторской тех- нич. мысли с наиболее тонкими для того времени математич. методами исследования. Актуальные задачи ставились перед М. 17 в. также карто­ графией, баллистикой, гидравликой. Авторы 17 в. понимают и любят подчёркивать большое практич. значение М. В 17 в. рост буржуазного общества позволил ему выдвинуть перед наукой задачи на несколько веков вперёд с полным сознанием их практич. ценности. Опираясь на свою тесную связь с естествознанием, М. 17 в. смогла подняться на но­ вый этап развития. Новые понятия, не укладываю­ щиеся в старые формально-логич. категории М., получали своё оправдание в соответствии реальным соотношениям действительного мира. Так, напр., реальность понятия производной вытекала из реаль­

МАТЕМАТИКА 473 В дальнейшем развитии учения о бесконечных ря­ основным понятием дифференциального исчисления дах приняли участие почти все математики 17 в. (Дж. Валлис, X. Гюйгенс, Г. Лейбниц, Я. Бернулли, являлись дифференциалы — бесконечно малые при­ и др.). Следует отметить, что авторы 17 в. имели ращения переменных величин (наоборот, Ньютон, достаточно ясные представления о понятии предела последовательности и сходимости ряда и считали вводя соответствующее понятие «момента», стре­ нужным доказывать сходимость употребляемых ими мился в более поздних работах от него осво­ рядов. С созданием координатного метода и распро­ странением представлений о направленных меха­ бодиться). С публикации работ Лейбница в конти­ ник. величинах (скорости, ускорения) понятие от­ нентальной Европе начался период интенсивной рицательного числа приобрело полную наглядность коллективной работы над дифференциальным и ин­ и ясность. Наоборот, комплексные числа, попреж- тегральным исчислением, интегрированием диффе­ нему оставаясь побочным продуктом алгебраич. аппарата, продолжают быть по преимуществу лишь ренциальных уравнений и геометрич. приложениями предметом бесплодных споров. С наибольшей опре­ анализа, в к-рой принимали участие, кроме самого делённостью их признавал голландский математик А. Жирар, впервые (1629) заявивший, что каждое Лейбница, Я. Бернулли, И. Бернулли (см.), франц, уравнение п-й степени имеет п корней (что, как математик Г. Лопиталь и др. Здесь создаётся со­ известно, справедливо лишь в комплексной области и при надлежащем учёте кратности корней). временный стиль математич. работы, при к-ром полу­ К последней трети 17 в. относится открытие ченные результаты немедленно публикуются в жур­ дифференциального и интегрального исчисления нальных статьях и уже очень скоро после опублико­ в собственном смысле слова. В отношении публика­ ции приоритет этого открытия принадлежит Г. Лейб­ вания используются в исследованиях других учёных. ницу (см.), давшему развёрнутое изложение основ­ Кроме аналитич. геометрии, развивается в тесной ных идей нового исчисления в статьях, опублико­ ванных в 1682—86. Наоборот, в отношении времени связи с алгеброй и анализом дифференциальная гео­ метрия (см.) [в области последней следует отметить, фактич. получения основных результатов имеются все освования считать приоритет принадлежащим в частности, введение понятия радиуса кривизны И. Ньютону (см.), к-рый к основным идеям диффе­ ренциального и интегрального исчисления пришёл у Кеплера (1604), изучение эволют и эвольвент в течение 1665—66. «Анализ с помощью уравнений» у Гюйгенса (1673) и т. п.], в 17 в. закладыва­ Ньютона в 1669 был передан им в рукописи англ, математикам И. Барроу и Дж. Коллинзу и полу­ ются основы дальнейшего развития чистой геомет­ чил широкую известность среди англ, математиков. рии, гл. обр. в направлении создания основных по­ «Метод флюксий» — сочинение, в к-ром Ньютон дал нятий проективной геометрии. Франц, математик вполне законченное систематич. изложение своей Ж. Дезарг, занимаясь теорией перспективы (1636), теории,— был написан в 1670—71 (издан в 1736). Лейбниц же начал свои исследования по анализу развил целую систему представлений о бесконечно бесконечно малых лишь в 1673. Ньютон и Лейбниц удалённых элементах, ввёл понятие инволюции впервые в общем виде рассмотрели основные для нового исчисления операции дифференцирования и т. д. Теория конич. сечений разрабатывается с и интегрирования функций, установили связь между этими операциями (т. н. формула Ньютона—Лейб­ проективной точки зрения франц, математиками ница) и разработали для них общий единообразный Ж. Дезаргом (1639), Б. Паскалем (1640), Ф. Лагиром алгоритм. Подход к делу у Ньютона и Лейбница, (1685). Из других открытий 17 в. следует отметить: однако, различен. Для Ньютона исходными поня­ в теории чисел — формулировку принципа мате­ тиями являются понятия «флюенты» (переменной матич. индукции (Б. Паскаль, 1665) и глубокие ис­ величины) и её «флюксии» (скорости её изменения). следования П. Ферма, в значительной мере опреде­ Прямой задаче нахождения флюксий и соотношений между флюксиями по заданным флюентам (диффе­ лившие дальнейшее развитие этой науки; разработ­ ренцирование и составление дифференциальных ку основных понятий комбинаторики (П. Ферма, уравнений) Ньютон противопоставлял обратную задачу нахождения флюент по заданным соотноше­ Б. Паскаль, Г. Лейбниц); первые работы по теории ниям между флюксиями, т. е. сразу общую задачу вероятностей (П. Ферма, Б. Паскаль), увенчав­ интегрирования дифференциальных уравнений; за­ дача нахождения первообразной появляется здесь шиеся в конце века результатом принципиального как частный случай интегрирования дифференциаль­ значения — открытием простейшей формы закона больших чисел (Я. Бернулли, опубликовано в 1713); ного уравнения ~ = /(х). Такая точка зрения была теорию непрерывных дробей [итал. математик II. Ка- вполне естественна для Ньютона, как создателя ма- тальди (1613), нем. математик Д. Швентер (1617, тематич. естествознания: его исчисление флюксий 1618), Дж. Валлис (1656), X. Гюйгенс (1703)]; метод являлось просто отражением той идеи, что элемен­ неопределённых коэфициентов (Р. Декарт, 1637); тарные законы природы выражаются дифференциаль­ ными уравнениями, а предсказание хода описываемых формулировку т. н. теоремы Эйлера о многогран­ этими уравнениями процессов требует их инте­ никах (Р. Декарт, ок. 1620). Необходимо указать грирования (см. Флюксий исчисление). Для Лейб­ ещё на построение Б. Паскалем (1641) и Г. Лейбни­ ница в центре внимания находился вопрос о переходе от алгебры конечного к алгебре бесконечно малых; цем (1673—74) первых счётных машин, оставшееся интеграл воспринимался прежде всего как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых, а надолго, впрочем, без практич. последствий. 18 век. В начале 18 в. еще продолжает работать поколение создателей анализа (И. Ньютон, Г. Лейб­ ниц). Однако общий стиль математич. исследований постепенно меняется. Успех 17 в., обусловленный в основном новизной метода, создавался гл. обр. смелостью и глубиной общих идей, что сближало М. с философией. К началу 18 в. развитие новых областей М., созданных в 17 в., достигло того уров­ ня, при к-ром дальнейшее продвижение вперёд стало требовать в первую очередь искусства в овла­ дении математич. аппаратом и изобретательности в разыскании неожиданных обходных решений труд­ ных задач. Из двух величайших математиков 18 в. петербургский академик Л. Эйлер (см.) является наиболее ярким представителем этой виртуозной тенденции, а франц, математик Ж. Лагранж (см.), быть может уступая Эйлеру в количестве и разнооб­ разии решённых задач, соединил блестящую тех­ нику с широкими обобщающими концепциями, ти­ 60 Б. С. Э. т. 26.

474 МАТЕМАТИКА пичными для франц, школы 2-й половины 18 в., школе в Бомоне, 20 лет — профессор военной школы в Париже, 37 лет — член Парижской акаде­ тесно связанной с большим философским движением мии наук). При этом, однако, математич. естество­ франц, просветителей и материалистов. Увлечение знание (механика, математич. физика) и технич. необычайной силой аппарата математич. анализа применения М. остаются в сфере деятельности ма­ тематиков. Эйлер занимается вопросами корабле­ приводит, естественно, к вере в возможность его строения и оптики, Лагранж создаёт основы анали- гич. механики. Лаплас, считавший себя в основном чисто автоматич. развития, в безошибочность мате­ математиком, также является крупнейшим астро­ матич. выкладок даже тогда, когда в них входят номом и физиком своего времени и т. д. символы, лишённые смысла. Если при создании Переходя к обзору достижений М. 18 в. по от­ анализа бесконечно малых сказывалось неуме­ дельным областям, начнём с теории чисел. Благодаря работам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и франц, математи­ ние логически справиться с идеями, имевшими пол­ ка А. Лежандра, теория чисел впервые приобретает ную наглядную убедительность, то теперь открыто характер систематич. науки. Лагранж дал (1769, опу­ бликовано в 1771) общее решение неопределённых проповедуется право вычислять по обычным прави­ уравнений второй степени. Эйлер установил (1772, лам с лишёнными непосредственного смысла мате­ опубликовано в 1783) закон взаимности для квадра­ тичных вычетов (см.). Он же привлёк (1737, 1748, матич. выражениями, не опираясь ни на наглядность, 1749) для изучения простых чисел дзета-функцию ни на к.-л. логич. оправдание законности таких опе­ (см.), чем положил начало аналития, теории чисел. раций. Из старшего поколения в эту сторону всё При помощи разложений в непрерывные дроби больше склоняется Лейбниц, к-рый в 1702 по по­ Л. Эйлер доказал (1737, опубликовано в 1744) воду интегрирования рациональных дробей при иррациональность е и е2, а нем. учёный И. Ламберт (1766, опубликовано в 1768) — иррациональность п. помощи их разложения на мнимые выражения го­ В алгебре швейцарский математик Г. Крамер (1750) ввёл для решения систем линейных уравнений опре­ ворит о «чудесном вмешательстве идеального мира» делители (известные ранее Лейбницу, не опублико­ и т. п. Более реалистически настроенный Эйлер вавшему своего открытия). Дальнейшей разработ­ кой линейной алгебры занимались П. Лаплас и не говорит о чудесах, но воспринимает законность франц, математик А. Вандермонд. И. Ньютон, операций с мнимыми числами и с расходящимися ря­ Л. Эйлер и франц, математик Э. Безу^ развивали теорию делимости многочленов и теорию исключе­ дами [напр.,по Эйлеру, + 1—1+2—6+24—120+...+ ния. Эйлер рассматривал как эмпирически установ­ +(—1)я пІ+...=0,5963475922...] как эмпирич. ленный факт существование у каждого алгебраич. факт, подтверждаемый правильностью получаемых уравнения корня вида Л+В'К—1. Постепенно уко­ при помощи подобных преобразований следствий.. реняется убеждение, что вообще мнимые выражения (не только в алгебре, но и в анализе) всегда приво­ Л. Эйлер и шотландский математик К. Маклорен начинают всё же работу по рациональному уяснению димы к виду А+ВУ—1. Д’Аламбер доказал (1748), основ анализа бесконечно малых. Наиболее после­ что модуль многочлена не может иметь минимума, отличного от нуля (т. н. лемма Д’Аламбера), считая довательным в стремлении к логич. строгости и это за доказательство существования корня у любого отчётливости из математиков 18 в. представителем алгебраич. уравнения. Формулы англ, математика А. Муавра и Л. Эйлера, связывающие показатель­ этой тенденции является франц, энциклопедист ную и тригонометрия, функции комплексных аргу­ Ж. Д’Аламбер (см.). В частности, по вопросу о ментов, привели к дальнейшему расширению при­ менений комплексных чисел в анализе. И. Ньютон, логич. основах анализа Д’Аламбер сформулиро­ шотландский математик Дж. Стирлинг и Л. Эйлер вал в общих чертах вполне современные взгляды заложили основы исчисления конечных разностей о переменных бесконечно больших и бесконечно (см. Конечных разностей исчисление}. Лагранж раз­ вивал символич. исчисление, рассматривая поло­ малых величинах, о производной как конечном жительные и отрицательные степени операторов А и Лаплас дал общие методы решения разност­ пределе отношения двух бесконечно малых и т. д. ных уравнений. Англ, математик Б. Тейлор открыл Замечательно по серьёзной критике различных спо­ (1715) свою формулу разложения произвольной функции в степенной ряд. У исследователей 18 в., собов обоснования анализа сочинение русского ма­ особенно Эйлера, ряды становятся одним из самых тематика С. Е. Гурьева «Опыт об усовершении еле- мощных и гибких орудий анализа. С Д’Аламбера ментов геометрии» (1798). Однако систематическое начинается серьёзное изучение условий сходимости рядов. Эйлер, Лагранж и особенно Лежандр зало­ проведение логич. обоснования анализа было осу­ жили основы исследования эллиптич. интегралов — ществлено лишь в 19 в. Поэтому Лагранж, не удов­ первого вида неэлементарных функций, подвергну­ летворённый незаконченными концепциями своих того глубокому специальному изучению. И. Бер­ нулли, итал. математик Дж. Риккати. Д. Бернулли современников, сделал попытку освободиться сразу (см.), Л. Эйлер и франц, математик А. Клеро инте­ от всех трудностей, связанных как с самим понятием грируют новые типы обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений первого и второго порядка. Эйлер функции, так и с обоснованием анализа бесконечно дал (1739, опубликовано в 1743) первый метод реше­ ния линейного дифференциального уравнения лю­ малых, став на чисто алгебраич. точку зрения; он бого порядка с постоянными коэфициентами.Д’Алам- заменил непосредственное рассмотрение функций вычислениями с их рядами Тейлора и свёл, таким •образом, дифференцирование и интегрирование и все дальнейшие операции анализа к алгебраич. действиям с коэфициентами рядов. Если виднейшие математики 17 в. очень часто были в то же время философами или физиками- экспериментаторами, то в 18 в. научная работа мате­ матика становится самостоятельной профессией. Математики 18 в.— это люди из разных кругов об­ щества, рано выделившиеся своими математич. спо­ собностями, с быстро развивающейся академия, карьерой (Эйлер, происходя из пасторской семьи в Базеле, 20 лет был приглашён адъюнктом в Петер­ бургскую академию наук, 23 лет становится там же профессором, 37 лет — председателем физико-мате- матич. класса Берлинской академии наук; Лагранж— сын франц, офицера, 18 лет— профессор в Турине, 30 лет — председатель физико-математич. класса Берлинской академии наук; Лаплас — сын франц, крестьянина, 18 лет — преподаватель М. в военной

МАТЕМАТИКА 475 бер рассматривал системы дифференциальных урав­ логич. анализа и объединения его с новых точек зре­ нений. Лагранж и Лаплас развивали общую теорию ния. Открытие и введение в употребление геометрич. линейных дифференциальных уравнений любого интерпретации комплексных чисел [датский земле­ порядка. Эйлер, франц, математик Г. Монж и Ла­ гранж заложили основы общей теории дифферен­ мер К. Бессель, 1799, и франц, математик Ж. Арган циальных уравнений с частными производными первого порядка, а Эйлер, Монж и Лаплас — вто­ (Арганд), 1806], доказательство неразрешимости в рого порядка. Специальный интерес представляет радикалах общего алгебраич. уравнения пятой сте­ уравнение колебания струны и связанное с ним введение в анализ разложения функций в тригоно­ пени (итал. математик П. Руффини, 1799, и более метрия. ряды, т. к. в связи с этой задачей между строго — норвежский математик Н. Абель, 1824), Эйлером, Д. Бернулли, Д’Аламбером, Монжем и Лагранжей развернулась полемика по вопросу о создание франц, математиком О. Коши основ тео­ понятии функции (подробнее см. Функция), подго­ товившая фундаментальные результаты 19 в. о со­ рии функций комплексного переменного, работы отношении между аналитич. выражением и произ­ Коши по строгому обоснованию анализа бесконечно вольным заданием функции. Наконец, новым отделом малых, создание русским математиком Н. И. Лоба­ анализа, возникшим в 18 в., является вариацион­ ное исчисление, созданное Эйлером и Лагранжей. чевским (см.) (1826, опубликовано в 1829—30) и А. Муавр, Я. Бернулли, П. Лаплас и англ, матема­ венгерским математиком Я. Больяй (1832) неэвкли­ тик Т. Байес на основе отдельных достижений 17— 18 вв. заложили начала теории вероятностей (см.). довой геометрии, работы нем. математика К. Гаусса (1827) по внутренней геометрии поверхностей — вот В области геометрии Эйлер привёл к завершению систему элементарной аналитич. геометрии. Начиная типичные примеры наметившихся на рубеже 18 и с Ньютона, систематически изучаются кривые треть­ 19 вв. новых тенденций в развитии М. его порядка. Англ, математик Э. Баринг установил ряд свойств алгебраич. кривых любого порядка. Связь М. с естествознанием, оставаясь по существу В работах Эйлера, Клеро, Монжа и франц, матема­ тика Ж. Менье были заложены основы дифферен­ не менее тесной, приобретает теперь более слож­ циальной геометрии пространственных кривых и поверхностей. Проблемы дифференциальной геомет­ ные формы. Большие новые теории возникают не рии явились одним из основных источников упомя­ нутого выше развития теории дифференциальных только в результате непосредственных запросов уравнений с частными производными. Ламберт раз­ естествознания или техники, а также из внутренних вил теорию перспективы, а Монж придал оконча­ потребностей самой М. Таково в основном было раз­ тельную форму начертательной геометрии (см.). витие теории функций комплексного переменного, Из приведённого обзора видно, что М. 18 в., занявшей в начале и середине 19 в. центральное основываясь на идеях 17 в., по размаху работы далеко превзошла предыдущие века. Этот расцвет положение во всём математич. анализе. Главная М. был связан по преимуществу с деятельностью академий; университеты играли меньшую роль. линия развития заключалась здесь в том, что переход Отдалённость крупнейших математиков от универ­ в комплексную область делал более ясными и обо­ ситетского преподавания возмещалась той энер­ зримыми свойства подлежащих изучению функций. гией, с к-рой все они, начиная с Эйлера и Ла­ гранжа, писали учебники и обширные, включаю­ Широкий интерес к непосредственному реальному щие отдельные исследования, трактаты. Новую струю в организацию науки внесла в конце 18 в. применению функций комплексного переменного, французская буржуазная революция. Крупнейшие напр. как функций, задающих комформное отобра­ учёные (Лагранж, Лаплас, Лежандр, Монж) привле­ жение, развился позднее, хотя возможности таких каются к созданию метрич. системы мер, связанному с ней измерению меридиана, организованному на применений были намечены еще Эйлером. государственные средства вычислению новых триго­ Ещё более замечательным примером теории, воз­ нометрии. таблиц и т. д. Наиболее важным для даль­ нейшего развития М. оказалось учреждевие в 1794 никшей в результате внутреннего развития самой Политехнической школы в Париже, возглавленной Монжем и сделавшейся для Франции в начале 19 в. М., явилась «воображаемая геометрия» Лобачев­ основным рассадником математич. культуры. ского (см. Лобачевского геометрия). Возможность Ш. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА. этой новой системы геометрии была усмотрена Лоба­ Все созданные в 17 и 18 вв. разделы математич. чевским на основе выяснения происхождения основ­ анализа продолжали с большой интенсивностью раз­ виваться в 19 и 20 вв. Чрезвычайно расширился за ных геометрич. понятий из материальной действи­ эти века и круг их применений к задачам, выдвигае­ тельности и логич. анализа строения обычной эвкли­ мым естествознанием и техникой. Однако, помимо этого количественного роста, с последних лет 18 в. довой геометрии. Самому Лобачевскому удалось и в начале 19 в. в развитии М. наблюдается и ряд существенно новых черт. применить свою геометрию лишь к вычислению нек-рых интегралов. Позднее были обнаружены связи 1. Расширение предмета математики. его геометрии с теорией поверхностей и с теорией Накопленный в 17 и 18 вв. огромный фактич. групп преобразований, геометрия эта нашла при­ материал привёл к необходимости углублённого менения приисследовании важных классов аналитич. 6*0 функций и т. д. Только в 20 в. с созданием тео­ рии относительности получило осуществление пред­ положение Лобачевского о возможности примене­ ния его геометрич. идей к исследованию реального физич. пространства. Можно привести ещё один пример того, как начав­ шийся в конце 18 в. и 1-й половине 19 в. пересмотр с более общих точек зрения добытых ранее кон­ кретных математических фактов нашёл во 2-й половине 19 в. и в 20 в. мощную поддержку в новых запросах естествознания. Теория групп (см. Группы) ведёт своё начало с рассмотрения Лагранжей групп подстановок в связи с проблемой разрешимости в радикалах алгебраич. уравнений высших степеней. Именно на этой почве были получены уже упоминав­ шиеся результаты Руффини и Абеля, завершившиеся несколько позднее тем, что франц, математик Э. Галуа (1830—32, опубликовано в 1832, 1846) при помощи теории групп подстановок дал окончательный ответ на вопрос об условиях разрешимости в радикалах алгебраич. уравнений любой степени. В середине 19 в. англ, математик А. Кэли дал общее «абстракт­

476 МАТЕМАТИКА ное» определение группы. Норвежский математик В дополнение к сказанному об определении предмета М. следует заметить, что пространственные формы можно рас­ С. Ли разработал, исходя из общих проблем гео­ сматривать как частный вид количественных отношений, если метрии, теорию непрерывных групп (см.). И лишь этому последнему термину придать достаточно широкое толкование, так что с этой точки зрения включение в опреде­ после этого русский кристаллограф и геометр Е. С. ление М. особого упоминания «пространственных форм» яв­ Фёдоров (1890) и нем. математик А. Шёнфлис (1891) ляется лишь указанием на относительную самостоятельность установили, что теоретико-групповым закономерно­ геометрия, отделов М. Количественные отношения (в общем философском понимании этого термина) характеризуются, стям подчинено строение кристаллов (см. Кристал­ в отличие от качественных, лишь своим безразличным отно­ шением к конкретной природе тех предметов, к-рые они свя­ лография)-, ещё позднее теория групп становится зывают. Поэтому они и могут быть совершенно отделены от мощным средством исследования в квантовой физике. их содержания как от чего-то безразличного для дела (ср. указание Энгельса, приведённое в начале статьи). Так, число В более непосредственной и непрерывной зави­ остаётся одним и тем же, независимо от того, численность симости от запросов механики и физики происхо­ какого рода предметов оно выражает; линейная зависимость дило формирование векторного и тензорного ана­ у—ах + Ь остаётся одной и той же, независимо от того, что обозначают х и у, и т. д. Можно сказать, что количественные лиза. Постепенно всё более обнаруживалось, что отношения суть чистые отношения, сохраняющие от конкретной действительности, от к-рой они отвлечены, только именно с точки зрения механики и физики «скаляр­ то,что предусмотрено в их определении.Из этих общих свойств ные» величины, послужившие исходным материалом количественных отношений легко объясняются основные осо­ бенности М. как науки о такого рода отношениях. Её по пре­ для формирования понятия действительного числа, имуществу дедуктивный характер объясняется тем, что все являются лишь частным случаем величин много­ свойства чистых отношений должны содержаться в самом их мерных. Рассмотрение функциональных зависимо­ определении. Широкая применимость каждой математич. теории в рааличных по конкретному содержанию областях стей между такими величинами и составляет содер­ естествознания и техники объясняется тем, что М. изучает жание векторного исчисления и тензорного исчисления только отношения, безразличные к конкретной природе свя­ зываемых ими объектов. В создании методов, достаточно (см.). Перенесение векторных и тензорных пред­ гибких, чтобы научать весьма общие и разнообразные коли­ ставлений на бесконечномерные величины происхо­ чественные отношения (в указанном выше широком пони­ мании), и заключается принципиальная новизна современ­ дит в рамках функционального анализа (см.) и тесно ного периода развития М. Сказанному лишь кажущимся обрааом противоречит частое употребление в М. термина ка­ связывается с потребностями квантовой физики. чественные методы (см.). В указанном широком понимании Таким образом, как в результате внутренних изучаемые М. отношения всегда являются количественными. Но когда в н.-л. области М., наряду с количественными отно­ потребностей М., так и новых запросов естествозна­ шениями, уже получившими стандартное выражение и под­ ния круг количественных отношений и простран­ чинёнными определённым вычислительным правилам, тре­ ственных форм, изучаемых М., чрезвычайно расши­ буется ввести в рассмотрение существенно новые стороны ис­ следуемых явлений, то говорят, что происходит переход от ряется: в него входят отношения, существующие количественных рассмотрений к качественным. Так, в тео­ между элементами произвольной группы, векторами, рии дифференциальных уравнений к области качественных операторами в функциональных пространствах, всё методов относят методы исследования поведения интеграль­ ных кривых «в целом», не требующие фактич. интегрирова­ разнообразие форм пространств любого числа из­ ния самих дифференциальных уравнений, а основанные на общих топологии, соображениях. Однако при их полном мерений и т. п. При таком широком понимании тер­ развитии сами эти топологии, методы подчиняются определён­ минов «количественные отношения» и «пространст­ ному алгоритму, сводящему вопрос к вычислению нек-рых числовых характеристик (степень отображения и т. п.), венные формы» приведённое в начале статьи опре­ что уже явно указывает на количественный характер вновь деление М. применимо и на новом современном этапе привлечённых отношений. Большой удельный вес в современ­ ной М. качественных (в таком относительном смысле) мето­ её развития. дов объясняется сложностью строения М., когда постоянно Существенная новизна начавшегося в 19 в. этапа на основе одних математич. теорий воаникают новые теории, имеющие дело с новыми объектами (вопрос о разрешимости развития М. состоит в том, что вопросы необходимого уравнений в радикалах сводится к строению соответствую­ щих групп подстановок и т. п.). расширения круга подлежащих изучению количе­ ственных отношений и пространственных форм ста­ Что касается термина «пространственные формы», то в литературе по философии М. нет установившегося отноше­ новятся предметом сознательного и активного инте­ ния к вопросу о границах, до к-рых разумно расширять реса математиков. Если прежде, напр., введение его понимание. Геометрия обычного трёхмерного эвкли­ дова пространства является лишь частным случаем разнооб­ в употребление отрицательных и комплексных чисел разных геометрич. систем, созданных современной геомет­ рией, а из числа этих геометрич. систем далеко не все созданы и точная формулировка правил действий с ними тре­ с пелью изучения именно пространственных форм действи­ бовали длительной работы, то теперь развитие М. тельного мира в непосредственном смысле этого слова. По­ этому, напр., в статье Геометрия (см.) сказано, что геомет­ потребовало выработки приёмов сознательного и рия является наукой о пространственных отношениях и фор­ планомерного создания новых геометрия, систем, мах, «а также о других отношениях и формах действительности, сходных с новых «алгебр» с «некоммутативным» или даже «не­ пространственными по овоей струк­ ассоциативным» умножением и т. д. по мере воз­ тур е». Последовательно проводя это различие между собст­ венно пространственными формами и формами, лишь «сход­ никновения в них потребности. В настоящее время ными» с пространственными, следовало бы и сам термин «и р о- странство» применять лишь к единственному реаль­ вопрос о том, не следует ли, напр., ради анализа ному пространству, полное изучение всех свойств к-рого ив современным представлениям относится к физике и и синтеза того или иного типа релейно-контакт­ к-рое в М. изучается лишь в том или ином приближе­ ных схем создать новую «алгебру» с новыми прави­ нии (напр., в достаточном для практич. целей — эвклидов- лами действий, является не вызывающим особого ском). удивления делом повседневной научно-технич. прак­ тики. Но трудно переоценить важность той Однако в математич. литературе более распространено перестройки всего склада математич, мышления, широкое понимание термина «пространство», объяснён­ ное подробно в разделах III и VII статьи Геометрия. С та­ к-рая для этого должна была произойти в течение ким пониманием термина «пространство» естественно свяаы- 19 в С этой идейной стороны наиболее значитель­ вается и широкое понимание термина «пространствен­ ным среди открытий начала 19 в. явилось открытие ные формы», охватывающее все формы, названные в статье Геометрия лишь «пространственно-подобными». На примере неэвклидовой геометрии Лобачевского. Именно на фазовых пространств (см.) любого числа измерений в меха­ нике и физике видно, что пространственные формы в этом примере этой геометрии была преодолена вера в широком смысле слова являются тоже реальными формами везыблемость освящённых тысячелетним развитием действительного мира (а не произвольными построениями геометров), как и пространственные формы в М. аксиом, была понята возможность создания суще­ узком смысле слова. Только при этом широком понимании ственно новых математич. теорий путём правильно выполненной абстракции от налагавшихся ранее ограничений, не имеющих внутренней логич. необхо­ димости, и, наконец, было обнаружено, что подобная абстрактная теория может получить со нременем всё болсо широкие, вполне конкретные применении.

МАТЕМАТИКА 477 терминов в настоящее время остаётся верным утверждение, а все новые объекты или отношения, вводимые по мере раз­ что геометрия является наукой о пространственных вития теории сверх упомянутых в аксиомах, формально опре­ отношениях и формах действительности. деляются через эти последние. 2. Вопросы обоснования математики. Роль теории Из указанных требований, в частности, вытекает, что ма­ тематич. теория, применимая к к.-л. системе объектов, при­ множеств и математической логики. менима автоматически и к любой «*изоморфной системе (см. Изоморфизм). Заметим по этому поводу, что кажущееся Чрезвычайное расширение предмета М. привлекло иногда весьма абстрактным понятие изоморфизма является в 19 в. усиленное внимание к вопросам её «обоснова­ просто математич. выражением идеи «моделирования» фи- ния», т. е. критич. пересмотра ее исходных положе­ зич. явлений из к.-л. одной области (напр., тепловых) фи- ний (аксиом), построения строгой системы определе­ зич. явлениями иной природы (напр., электрическими) ний и доказательств, а также критич. рассмотрения (см. Моделирование и Моделирование математическ< е). логич. приёмов, употребляемых при этих доказатель­ ствах. Важность такого рода работы становится Изложенная концепция строения математич. теории яв­ особенно понятной, если учесть то, что было выше ляется по существу лишь пек-рой конкретизацией опреде­ сказано об изменившемся характере взаимоотноше­ ления М. как науки о количественных отношениях в разъяс­ ний между развитием математич. теории и её про­ нённом выше широком понимании термина «количественные веркой на практич. материале, доставляемом естест­ отношения». «Безразличие» количественных отношений к вознанием и техникой. При построении обширных конкретной природе тех предметов, к-рые они связывают, и иногда весьма абстрактных теорий, охватываю­ находит здесь своё выражение в возможности свободно пе­ щих, помимо тех частных случаев, к-рые привели реходить от одной системы объектов к любой, ей изоморфной. к их созданию, огромный материал, получаюший конкретные применения лишь в перспективе деся­ Теоретико-множественная концепция не только доставила тилетий, ждать непосредственных сигналов о не­ основной в настоящее время стандарт математич. «строгости», достаточной корректности теории в форме заре­ но и позволила в значительной мере разобраться в разнооб­ гистрированных ошибок уже нельзя. Вместо этого разии возможных математич. теорий и их систематизировать. приходится обратиться ко всему накопленному Тан, чистая алгебра определяется как наука о системах опыту работы человеческой мысли, к-рый как объектов, в к-рых задано конечное число операций, примени­ раз и суммируется в вырабатываемых постепенно мых (каждая) к определённому конечному числу объектов си­ наукой требованиях к «строгости» доказательств. стемы и производящих из них новый объект системы [напр., в В соответствии с этим работы по строгому обосно­ случае алгебраич. поля — две операции (сложение и умно­ ванию тех или иных отделов М. справедливо зани­ жение) нац двумя алементами каждая]. Этим чистая алгебра мают значительное место в М. 19 и 20 вв. В при­ отделяется от анализа и геометрии (в собственном смысле менении к основам анализа (теория действительных слова,предполагающем известную «непрерывность» изучаемых чисел, теория пределов и строгое обоснование всех пространств), к-рые существенно требуют введения «предель­ приёмов дифференциального и интегрального ис­ ных» отношений, связывающих бесконечное число объектов. числения) результаты этой работы с большей или меньшей полнотой излагаются в настоящее время в Естественно, что аксиоматич. изложение к.-л. специаль­ большинстве учебников (даже чисто практич ха­ ной математич. теории (напр., теории вероятностей) не рактера). Однако до последнего времени встречаются начинают на пустом месте, а пользуются понятиями ранее случаи, когда строгое обоснование возникшей из построенных теорий (напр., понятиями натурального или практич. потребностей математич. теории запазды­ цействительпого числа). В результате этого безукоризненное вает. Так н течение долгого времени уже на рубеже проведение аксиоматич. изложения математич. теорий пере­ 19 и 20 вв. было с операционным исчислением (см ), стало быть чем-либо особенно обременительным и всё больше получившим весьма широкие применения в механике входит во всеобщее употребление. При изучении таких и электротехнике. Лишь с большим запозданием было сложных и в то же время обших образований, как, напр., построено логически безупречное изложение мате­ непрерывные группы <см.). различные виды линейных про­ матич. теории вероятностей (см ). И в настоящее странств (см.), этот способ изложения и исследования необ­ время еще отсутствует строгое обоснование многих ходим для достижения полной ясности и избежания ошибок. математич. методов, широко применяемых в совре­ менной теоретич. физике, где много ценных резуль­ Во всех конкретных хотя бы и весьма обших, математич. татов получается при помощи незаконных матема­ теориях (от теории действительных чисел до обшей теории тич. приёмов, дающих, напр,, иногда правильный топологич. пространств и т. п.) точна зрения теории множеств себя вполне оправдала в том смысле, что благодаря её про­ ответ лишь «с точностью» до заведомо ошибочного ведению из конкретных математич. исследований практически множителя, поправляемого из посторонних данному исчезли случаи длительных неясностей и разногласий по «математич. выводу» соображений, или при помощи вопросу о корректности определений и достаточной убеди­ отбрасывания в сумме слагаемых, обращающихся в тельности доказательств отдельных теорем. Возникшие в бесконечность, и т. п. самой теории множеств неясности и даже прямые противоре­ чия (см Парадоксы математические) связаны гл. обр. с Только к концу 19 в. сложился стандарт требований к теми её областями где понятию бесконечного множества при­ логич. строгости, остающийся и до настоящего времени гос­ даётся общность, излишняя для к.-л. приложений. С прин­ подствующим в практич работе математиков над развитием ципиальной стороны, однако, следует иметь в виду, что тео­ отдельных математич. теорий. Этот стандарт основан на ретико-множественное построение всех основных математич. теоретико-множественной концепции строе­ теорий, начиная с арифметики натуральных и действительных ния любой математич. теории (см. Множеств теория, Аксио­ чисел, требует обращения к теории именно бесконсч- ма, раздел III статьи Алгебра, раздел VII статьи Геометрия). н ы х множеств, а их теория сама требует логич. обоснова­ С этой точки зрения любая математич. теория имеет дело с ния (см. Бесконечность в математике), так как абстракция, одним или несколькими множествами объектов, связанных приводящая к понятию бесконечного множества, законна и между собой нек-рыми отношениями. Все формальные свой­ осмысленна лишь при определённых условиях, к-рые еще ства этих объектов и отношений, необходимые для развития далеко не выяснены. теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих кон­ кретной природы самих объектов и отношений. Теория при­ Другую сторону строения любой математич. теории осве­ менима к любой системе объектов с отношениями, удовлет­ щает математич. логика. Система аксиом в изложенном выше воряющей положенной в её основу системе аксиом. В соот­ (теоретико-множественном) понимании лишь ограничивает ветствии с этим теория может считаться логически строго извне область применений данной математич. теории, ука­ построенной только в том случае, если при её равнитии не зывая свойства подлежащей изучению системы объектов с используется никаких конкретных, не упомянутых в аксио­ отношениями, но не даёт никаких указаний относительно мах, свойств ивучаемых объектов и отношений между ними, логич. средств, при помощи к-рых эту математич. теорию придётся развивать Напр., свойства системы натуральных чисел с точностью до изоморфизма задаются при помощи очень простой системы аксиом. Тем не менее, решение вопросов, ответ на к-рые в принципе однозначно предопределён приня­ тием этой системы аксиом, оказывается часто очень сложным: именно теория чисел изобилует давно поставленными и очень простыми по формулировке проблемами, не нашедшими и до настоящего времени решения. Возникает, естественно, вопрос о том, происходит ли это только потому, что решение нек-рых просто формулируемых проблем теории чисел требует очень длинной цепи рассуждений, составленной из известных и уже вошедших в употребление элементарных звеньев, или же потому, что для решения нек-рых проблем теории чисел необходимы существенно новые, не употреблявшиеся ранее приёмы логич. вывода. Современная логика математическая (см.) дала на зтог нопрос определённый ответ: никакая единая дедуктивная теория не может исчерпать разнообразия проблем тео­ рии чисел. Точнее: уже в пределах теории натуральных чисел можно сформулировать последовательность проблем

478 МАТЕМАТИКА р,, р„ .... рп, ... такого рода,что для любой дедуктивной теории вопрос о содержании понятия дифференциала. Выдвинутая среди этих проблем найдётся неразрешимая в пределах дан­ им концепция дифференциала, как «оперативного символа», ной теории. При этом под «дедуктивной теорией» понимается предвосхитила идеи, возрождённые только в 20 в., а его по­ теория, к-рая развивается из конечного числа аксиом при нимание дифференциала как главной части приращения помощи построения сколь угодно длинных цепей рассужде­ вполне соответствует тому, к-рое излагается в современных ний, составленных из звеньев, принадлежащих к конечному учебниках и отсутствовало в руководствах, изучавшихся числу фиксированных для данной теории элементарных спо­ К. Марксом (работы математиков по обоснованию анализа, собов логич. вывода. начиная с работ франц, математика О. Коши, К. Марксу оставались неизвестными). Таким образом было обнаружено, что понятие математич. теории в смысле теории, охватываемой единой системой 3. История математики в 19 и 20 вв. аксиом теоретико-множественного типа, существенно шире, чем логич. понятие дедуктивной теории: даже при развитии Начало и середина 19 в. В начале 19 в. происходит арифметики натуральных чисел неизбежно неограниченное новое значительное расширение области приложе­ обращение к существенно новым способам логич. рассужде­ ний математич. анализа. Если до этого времени ния, выходящим за пределы любого конечного набора стан­ основными отделами физики, требовавшими большого дартизированных приёмов. математич. аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, Все те результаты, к-рые могут быть получены в пределах теория магнетизма и термодинамика. Получают одной дедуктивной теории, могут быть также получены в ы- широкое развитие важнейшие разделы механики числением, производимым по данным раз навсегда пра­ непрерывных сред, из к-рых только гидродина­ вилам. Если для решения нек-рого класса проблем даётся мика несжимаемой идеальной жидкости была со­ строго определённый рецепт их вычислительного решения, здана еще в 18 в. Д. Бернулли, Эйлером, Д’Аламбером то говорят о математич. алгоритме (см.). С оамого создания и Лагранжей. Быстро растут и математич. запросы достаточно разработанной системы знаков математических техники. В начале 19 в.— это вопросы термодина­ (см.) проблемы построения достаточно общих и в то же время мики паровых машин, технич. механики, балли­ кратких алгоритмов занимали большое место в истории М. стики. В качестве основного аппарата новых обла­ Но только в последние десятилетия в результате развития стей механики и математич. физики усиленно разра­ математич. логики начала создаваться общая теория алгорит­ батывается теория дифференциальных уравнений с мов и «алгоритмической разрешимости» математич. проблем. частными производными и особенно теория потен­ Практич. перспективы этих теорий, повидимому, весьма циала (см. Потенциала теория). В этом направле­ велики, особенно в связи с современным развитием вычисли­ нии работает большинство крупных аналитиков на­ тельной техники, позволяющей заменить сложные математич. чала и середины века [нем. математик К. Гаусс алгоритмы работой машин. (см.), франц, математики Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши (см.), нем. математик П. Дирихле, англ, Отмеченной выше ограниченности возможностей любой математик Дж. Грин, русский математик М. В. фиксированной дедуктивной теории в теории алгоритмов со­ Остроградский (см.)]. Остроградский заложил основы ответствуют теоремы о невозможности «универсальных» алго­ вариационного исчисления для функций нескольких ритмов для достаточно общих классов математич. проблем. переменных, нашёл (1828, опубликовано в 1831) Эти теоремы дали философии М. наиболее интересную знаменитую формулу преобразования тройных инте­ и острую конкретизацию общего положения о том, что живое гралов в двойные и её п-мерное обобщение (1834, мышление принципиально отличается от работы любого опубликовано в 1838), усовершенствовал теорию за­ вида вычисляющих автоматов. мены переменных в кратных интегралах (1836, опуб­ ликовано в 1838), получив по существу те резуль­ Теория множеств, успешное построение большинства ма­ таты, к-рые были для общего п-мерного случая ком­ тематич. теорий на основе теоретико-множественной аксио­ пактно формулированы позднее (1841) нем. мате­ матики и успехи математич. логики (с входящей в нёе теорией матиком К. Якоби (см. Якобиан). В результате ис­ алгоритмов) являются весьма важными предпосылками для следований по уравнениям математич. физики в разрешения многих философских проблем современной М. работах англ, математиков Дж. Стокса и др. возни­ Благодаря теоретико-множественной переработке всех отде­ кает векторный анализ (одной из основных формул лов М., решение проблем, связанных с понятием веско- к-рого, впрочем, являлась по существу и упомяну­ нечностив М., сведено к обоснованию и критич. выяс­ тая формула Остроградского). нению содержания понятия бесконечного множества. Теоре­ тико-множественная аксиоматика, как уже было указано, Несмотря на господствовавшее в естествознании даёт оредства для достаточно общей трактовки вопроса о начала 19 в. механистич. убеждение в возможности количественном характере изучаемых М. отношений. Она же описать все природные явления дифференциальными позволяет с единой точки зрения рассмотреть строение спе­ уравнениями, под давлением запросов практики полу­ циальных математич. теорий, предметное содержание к-рых чает значительное дальнейшее развитие теория ве­ закрепляется при помощи соответствующей системы аксиом, роятностей. Лаплас и Пуассон создают с этой целью и, таким образом, до известной степени осветить как вопрос новый мощный аналитич. аппарат. В России при­ об отношении математич. теории к действительности, так и менением теории вероятностей к приёмочному конт­ вопрос о своеобразии математич. метода исследования. Мы ролю и статистике занимаются М. В. Остроградский видели, что возникающее таким образом понятие математич. и В. Я. Буняковский; П. Л. Чебышев даёт строгое теории существенно шире, чем понятие дедуктивной теории в обоснование элементов теории вероятностей и дока­ смысле формальной логики. Относящиеся к этому вопросу зывает свою знаменитую теорему (1867), объединив­ результаты современной математич. логики позволяют с пол­ шую н одной общей формулировке известные ранее ной конкретностью проследить диалектич. процесс создания формы больших чисел закона (см.). дедуктивных теорий и алгоритмов, к-рые доставляют нам фор­ мально-логические и вычислительные средства для решения Как уже отмечалось, наряду с развитием работ, всё более широкого круга проблем математич. теории. возникших из новых запросов естествознания и тех­ ники, чрезвычайное внимание математиков с самого В 20 в., когда перечисленные общие вопросы могли быть начала 19 в. привлекают нопросы строгого обоснова­ поставлены с достаточной широтой, в науке капиталистич. ния анализа. Коши опубликовал в 1821 и 1823 чи­ стран уже сделались преобладающими реакционные идеали- танные в Политехнической школе лекции, содержа­ стич. течения. Логисты (об этом течении буржуазной фило­ щие строгое изложение теории пределов, теории софии М. см. в статье Логистика) использовали достижения рядов, определение понятия непрерывности функ­ теоретико-множественной аксиоматики, к-рые на самом деле вскрывали бблыпую, чем ранее предполагалось, широту связей математич. теории с действительностью (возможность изучать в пределах одной теории много различных реальных кругов явлений), для провозглашения прямо противополож­ ного тезиса о полной независимости М. от задач изучения ма­ териального мира. Позднее интуиционисты (см. Интуицио­ низм) воспользовались логич. трудностями обоснования тео­ рии бесконечных множеств для того, чтобы объявить М. вообще не наукой, изучающей лежащие вне нас объекты, а своеобразной творческой «деятельностью» по созданию не отвечающих никакой внешней реальности мысленных кон­ струкций. Наконец, достижения математич. логики исполь­ зуются формалистами (см. Формализм) для того, чтобы свести всё содержание М. к построению символич. «исчислений», символы к-рых вообще ничего ие обозначают. Исследование философских проблем М. на основе созна­ тельной материалистич. диалектики было начато К. Марксом (см. М атематические рукописи Маркса), к-рый дал глубокий анализ историч. развития М. в 17 и 18 вв. и осветил диалек­ тич. процесс возникновения на почве алгебры конечных ве­ личин анализа бесконечно малых (см. об этом также в статье Бесконечно малые). Особенно детально К. Маркс разработал

МАТЕМАТИКА 479 ции и основанное на теории пределов изложение дача общего абстрактного изучения групп ставится дифференциального и интегрального исчисления (в Кэли. Следует отметить, что даже в алгебре всеоб­ частности, теорему о существовании интеграла от щее признание значения теории групп произошло, непрерывной функции). Нек-рые дополнения к этому только после работ франц, математика К. Жордана в 70-х гг. От работ Галуа и Абеля берёт своё начало изложению, а также теорема о существовании и единственности решений дифференциальных урав­ также понятие поля алгебраич. чисел, приведшей нений были опубликованы позднее. Лобачевский к созданию новой науки — алгебраич. теории чисел. (1834) и, позднее, Дирихле (1837) отчётливо сфор­ На существенно новую ступень поднимается & мулировали определение функции, как совершен­ 19 в. и разработка старых задач теории чисел, свя­ но произвольного соответствия. Дирихле доказал занных с простейшими свойствами обычных целых (1829, 1837) изобразимость любой функции с конеч­ чисел. Гаусс разрабатывает (1801) теорию предста­ ным числом максимумов и минимумов рядом Фурье; перекрывающиеся (в смысле общности) условия схо­ вимости чисел квадратичными формами, Чебышев; получает (1848, 1850) основные результаты о плот­ димости рядов Фурье дал Лобачевский (1834—35). ности расположения в натуральном ряде про­ Выше уже отмечалась работа датского земле­ стых чисел, Дирихле доказывает (1837) теорему мера Бесселя, содержавшая геометрия, интерпре­ о существовании бесконечного числа простых чисел! тацию комплексных чисел, но она осталась незаме­ в арифметич. прогрессиях, и т. д. ченной. В 1799 Гаусс опубликовал первое доказа­ Дифференциальная геометрия поверхностей со­ тельство основной теоремы алгебры, осторожно здаётся К. Гауссом (1827) и русским математиком; формулируя, однако, эту теорему в чисто действи­ К. М. Петерсоном (1853). Для выработки новых тельных терминах (разложимость действительного взглядов на предмет геометрии основное значение, многочлена на действительные множители первой как уже было указано, имело создание Лобачевским и второй степени). Лишь значительно позже (1831) неэвклидовой геометрии. Построив неэвклидову Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел. тригонометрию и аналитич. геометрию, он дал по. Тем временем Арган опубликовал в 1806 теорию ком­ существу всё необходимое для установления совмест­ плексных чисел с их геометрия, интерпретацией и ности и полноты системы аксиом этой новой гео­ доказательством леммы Д’Аламбера, а в 1815—до­ метрии. Параллельно развивалась, долгое время; казательство основной теоремы алгебры, близкое независимо от неэвклидовой геометрии, проектив­ по идее к доказательству Коши (1821). ная геометрия (франц, математик Ж. Понселе, На основе ясного понимания природы комплекс­ швейцарский математик Я. Штейнер, нем. математик ных чисел возникает теория функций комплексного X. Штаудт и др.), также связанная с существенным переменного. Гаусс очень много знал в этой обла­ изменением старых взглядов на пространство. Нем. сти, но почти ничего не опубликовал. Общие основы математик Ю. Плюккер строит геометрию, рассмат­ теории были заложены Коши, теория эллиптич. ривая в качестве основных элементов прямые, нем. функций была развита Абелем и Якоби. Уже на этом математик Г. Грасман создаёт аффинную и метрич. этапе характерно, в отличие от чисто алгоритмич. геометрию п-мерного векторного пространства. подхода 18 в., сосредоточение внимания на выясне­ Уже в гауссовской внутренней геометрии поверх­ нии своеобразия поведения функций в комплексной ностей дифференциальная геометрия по существу области и основных господствующих здесь геомет­ также освобождается от неразрывной связи с гео­ рия. закономерностей (начиная с зависимости ра­ метрией Эвклида: то, что поверхность лежит в трёх­ диуса сходимости ряда Тейлора от расположения мерном эвклидовом пространстве, является для этой особых точек, открытой Коши). Этот в известном теории случайным обстоятельством. Исходя из этого, смысле слова «качественный» и геометрия, характер Риман создаёт (1854, опубликовано 1866) концеп­ теории функций комплексного переменного ещё уси­ цию n-мерного многообразия с метрич. геометрией, ливается в середине 19 в. у нем. математика Б. Рима­ определяемой дифференциальной квадратичной фор­ на (см.). Здесь оказывается, что естественным гео­ мой ds2=^aikdxidxk. Этим было положено начало метрия. носителем аналитич. функции в случае её общей дифференциальной геометрии и-мерных мно­ многозначности является не плоскость комплекс­ гообразий. Риману же принадлежат и первые идеи ного переменного, а соответствующая «риманова в области топологии многомерных многообразий. поверхность» — образование, природа к-рого мо­ Конец 19 в. и 20 в. Математика в СССР. Лишь в жет быть понята лишь в рамках нового понимания геометрии, о к-ром говорилось выше. Хотя нем. ма­ начале 70-х гг. 19 в. нем. математик Ф. Клейн на­ тематик К. Вейерштрасс достигает той же общности, ходит модель неэвклидовой геометрии Лобачев­ что и Риман, оставаясь на почве чистого анализа, ского, к-рая окончательно устраняет сомнения в её геометрия, идеи Римана оказываются в дальнейшем непротиворечивости. Клейн подчиняет (1872) всё всё более определяющими весь стиль мышления в разнообразие построенных к этому времени «гео­ области теории функций комплексного переменного. метрий» пространств различного числа измерений В период увлечения теорией функций комплекс­ идее изучения инвариантов той или иной группы ного переменного крупнейшим представителем инте­ преобразований. В это же время (1872) работы по- обоснованию анализа получают необходимый фун­ реса к конкретным вопросам теории функций в дей­ дамент в виде строгой теории иррациональных чисел ствительной области является П. Л. Чебышев (см.). (нем. математики Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейер­ Наиболее ярким выражением этой тенденции яви­ штрасс). В 1879—84 публикуются основные работы лась созданная(начиная с 1854) Чебышевым, исходив­ Кантора по общей теории бесконечных множеств. шим из запросов теории механизмов, теория наилуч­ Только после этого могли быть сформулированы ших приближений (см.). современные общие представления о предмете М., В алгебре после уже упомянутого доказатель­ строении математич. теорий, роли аксиоматики ства неразрешимости в радикалах общего уравнения и т. д. Широкое их распространение потребовало пятой степени (Руффини и Абель) франц, математик еще несколько десятилетий (общее признание со­ Э. Галуа показал, что вопрос о разрешимости урав­ временной концепции строения геометрии обычно- нений в радикалах зависит от свойств связанной с уравнением группы Галуа (см. Галуа теория). За­ связывается с выходом в свет в 1899 «Оснований геометрии» нем. математика Д. Гильберта).

480 МАТЕМАТИКА Дальнейшее углубление исследований по основа­ менитую проблему Гольдбаха для нечётных чисел ниям М. сосредоточивается на преодолении логич. (см. Гольдбаха проблема) и создавшего наиболее трудностей, возникших в общей теории множеств, сильный метод решения разнообразных других про­ и на исследовании строения математич. теорий и блем аддитивной теории чисел. Большое значение приёмов конструктивного решения математич. за­ имеют также работы по теории чисел советских мате­ дач средствами математич. логики. Эти исследова­ матиков Л. Г. Шнирельмана, Б. Н. Делоне, А. О. ния вырастают в большой самостоятельный отдел Гельфонда и др. Продолжают развиваться классич. М. (см. Логика математическая). Основы матема­ отделы алгебры. В частности, подробно исследуются тич. логики создаются в 19 в. англ, логиком Дж. Бу­ различные возможности сведения решения уравнений лем, русским математиком П. С. Порецким, нем. высших степеней (не разрешимых в радикалах) к математиками Э. Шрёдером и Г. Фреге, итал. мате­ решению уравнений возможно более простого вида — матиком Дж. Пеано и др. В 20 в. математики т.н. проблема резольвент (см.) (Ф.Клейн, Д.Гильберт, Зап. Европы и Америки также имеют в этой об­ в СССР — Н. Г. Чеботарев). В связи с запросами ласти большие достижения [теория доказательств теории колебаний (устойчивость, автоматич. регули­ Гильберта; конструктивная логика, созданная гол­ рование) широко исследуется вопрос о критериях ландским математиком Л. Брауэром и его последо­ того или иного расположения корней уравнения на вателями (под связанным с их ошибочными философ­ плоскости (см., напр., Гурвица критерий). Вопросы скими взглядами названием «интуиционистской ло­ линейной алгебры, получающей всё более широкие гики»); установление австрийским математиком применения в механике и физике, освещаются с К. Гёделем принципиальной неполноты формальных совершенно новой стороны благодаря привлечению дедуктивных теорий; разработка концепции алго- геометрия, идей теории ге-мерных векторных про­ ритмич. «вычислимости» числовых функций ит. д.], странств (см.). Однако центр тяжести теоретич.алгеб­ однако в буржуазном мире работы по основаниям раич. исследований переносится в её новые области: М. всё более подпадают под влияние реакционной теорию групп, полей, колец, структур и т. д. Многие философии и часто служат для пропаганды агности­ из этих отделов алгебры получают глубокие приме­ цизма и полного отрыва математич. теории от прак­ нения в естествознании: в частности, теория групп— тики. Ряд крупных фактич. открытий в области в кристаллографии (в работах Е. С. Фёдорова и принципиальных проблем теории множеств и мате­ А. Шёнфлиса), а позднее — в вопросах квантовой матич. логики принадлежит советским исследовате­ физики (см. Представления групп). Над общими во­ лям [работы Н. Н. Лузина по проективным множе­ просами современной алгебры (особенно теории ствам; данное А. Н. Колмогоровым конструктивное групп) в СССР работает первоклассная научная шко­ истолкование «интуиционистской логики»; работы ла (О. Ю. Шмидт, А. Г. Курош, А. И. Мальцев и др.). П. С. Новикова о непротиворечивости нек-рых пред­ На границе между алгеброй и геометрией норвеж­ ложений теории множеств; развитие А. А. Марковым ский математике. Ли создаёт (начиная с 1873) теорию (младшим) теории алгоритмов и алгоритмич. разре­ непрерывных групп, методы к-рой позднее проникают шимости математич. проблем]. Исследования по ос­ во все новые области М. и естествознания. Весьма нованиям М. в СССР и в странах народной демо­ значительные результаты по теории непрерывных кратии сознательно исходят из положений филосо­ групп в СССР получены Л. С. Понтрягиным и др. Элементарная и проективная геометрия привлекают фии диалектического материализма. Во 2-й половине 19 в. начинается интенсивная внимание математиков конца 19 в. и 20 в. гл. обр. разработка вопросов истории М. [М. Кантор (Герма­ под углом зрения изучения их логич. и аксиоматич. ния), Г. Цейтен (Дания), В. В. Бобынин (Россия)]. основ (см. Геометрия раздел V—-Основания геомет­ Большие успехи достигнуты в СССР группой учёных рии). Большое развитие, кроме уже упоминавшейся (М. Я. Выгодский, А. П. Юшкевич, С. А. Яновская начертательной геометрии, получают нек-рые но­ и др.), изучающей на основе марксистско-ленин­ вые прикладные геометрии, дисциплины: номогра­ ской методологии различные проблемы истории М. фия (см.), методы графических вычислений, графиче­ Чрезвычайное развитие, превосходящее пред­ ская статика (см.) и т. п. Но основными отделами шествующие периоды не только по количеству ра­ геометрии, привлекающими наиболее значительные бот, но также по совершенству и силе методов и окон­ научные силы, делаются дифференциальная геомет­ чательности результатов, получают в конце 19 в. рия и, в несколько меньшей степени, алгебраическая и в 20 в. все разделы М., начиная с самого старого геометрия (см.). Дифференциальная геометрия эвкли­ из них — теории чисел. Нем. математики 3. Кум­ дова трёхмерного пространства получает полное мер, Л. Кронекер, Р. Дедекинд, русский математик систематич. развитие в работах итал. математика Е. И. Золотарев и нем. математик Д. Гильберт за­ Е. Бельтрами, франц, математика Г. Дарбу и др. кладывают основы современной алгебраич. теории Позднее бурно развивается дифференциальная гео­ чисел. Франц, математик Ш. Эрмит в 1873 доказы­ метрия различных более широких (чем группа эвк­ вает трансцендентность числа е, нем. математик лидовых движений) групп преобразований (см., Ф. Линдеман в 1882— числа я, франц, математик напр., Конформно-дифференциальная геометрия, Ж. Адамар (1896) и бельгийский математик Ш. Ла Проективно-дифференциальная геометрия) и осо­ Валле-Пуссен (1896) завершают исследования Чебы­ бенно дифференциальная геометрия многомерных шева о законе убывания плотности расположения пространств, как метрическая (см. Римановы гео­ простых чисел в натуральном ряду. Нем. математик метрии), так и различных других «связностей» Г. Минковский вводит в теоретико-числовые исследо­ (аффинной, конформной, проективной). Это направ­ вания геометрия, методы. В России работы по тео­ ление геометрич. исследований, получившее мощ­ рии чисел после Чебышева блестяще развивают, ный импульс к развитию с возникновением общей кроме уже упомянутого Золотарева, А. Н. Коркин, теории относительности (см. Относительности тео­ Г. Ф. Вороной и А. А. Марков (старший). Достиг­ рия), создано прежде всего работами итал. матема­ нутое благодаря их работам ведущее положение тика Т. Леви-Чивита, франц, математика Э. Кар- русской науки в области теории чисел ещё более тана и нем. математика Г. Вейля. Во всех основных закрепляется в советский период благодаря ра­ направлениях дифференциальной геометрии важ- ботам И. М. Виноградова, решившего (1937) зна­ I ные работы принадлежат советским математикам

МАТЕМАТИКА 481 (Д. Ф. Егоров, С. П. Фиников, Н. Н. Лузин). Боль­ каждой точке х производную / (х)=Р'(х), по этой шую школу исследователей, работающих тензор­ производной]. Основы современной теории функций ными методами, создал в СССР В. Ф. Каган. Особенно действительного переменного заложили математики большие достижения имеют советские исследова­ франц, школы (К. Жордан, Э. Борель, А. Лебег, тели в области изучения дифференциально-геомет­ Р. Бэр). Позднее руководящая роль переходит к рических образований «в целом» (работы о сущест­ русской и советской школе, созданной Д. Ф. Егоро­ вовании замкнутых геодезических Л. А. Люстер- ника и Л. Г. ІПнирельмана, работы об изгибании вым и особенно Н. Н. Лузиным. К виднейшим поверхностей «в целом» А. Д. Александрова, и др.). представителям этой школы принадлежат Д. Е. Мень­ В связи с развитием более общих точек зрения шов, А. Я. Хинчин, П. С. Александров, М. Я. Сус­ теории множеств и теории функций действительного лин, И. И. Привалов (работавший гл. обр. в об ластях, пограничных между теорией функций переменного (см. ниже) теория аналитич. функций действительного переменного и теорией аналитич. в конце 19 в. лишается того исключительного поло­ функций), И. К. Бари и др. Интенсивно разрабаты­ жения ядра всего математич. анализа, к-рое намеча­ вается теория функций действительного переменного лось для неё в начале и середине 19 в. Однако она и теория множеств польской школой, возглавляемой продолжает не менее интенсивно развиваться как в соответствии со своими внутренними потребностями, В. Серпинским. так и из-за обнаруживающихся новых связей её Исследование функций действительного перемен­ с другими отделами анализа и непосредственно с ного велось, однако, и с другой, примыкающей к Чебышеву, классической точки зрения. Именно, естествознанием. Особенно существенным в этом было обнаружено, что более узкие классы функций, последнем направлении было выяснение роли кон­ имеющие основной практич. интерес (классы функ­ формных отображений при решении краевых задач для уравнений с частными производными (напр., ций, данное число раз дифференцируемых, или ана- литнч. функций), могут быть охарактеризованы задачи Дирихле для уравнения Лапласа), при изуче­ тем, насколько быстро убывают с возрастанием п нии плоских течений идеальной жидкости и в зада­ отклонения от функции наилучшим образом аппро­ чах теории упругости. ксимирующих её многочленов степени п. Наиболее Нем. математик Ф. Клейн и франц, математик значительные результаты были получены в начале А. Пуанкаре создают теорию автоморфных функций (см.), в к-рой находит замечательные применения 20 в. С. Н. Бернштейном, возглавившим затем боль­ геометрия Лобачевского. Франц, математики Э. Пи­ шое направление конструктивной теории фіункций кар, А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Э. Борель глубоко (см.), в к-рой ведущее место принадлежит советским разрабатывают теорию целых функции, что позво­ исследователям (см. Приближение и интерполиро­ ляет, в частности, получить уже упоминавшуюся вание функций). Теория приближений функций многочленами в комплексной области тоже с наи­ теорему о плотности расположения простых чисел. большим успехом разрабатывается советскими иссле­ Геометрия, теорию функций и теорию римановых дователями (М. А. Лаврентьев, М. В. Келдыш и др.). поверхностей (см.) развивают А. Пуанкаре, Д. Гиль­ Помимо своего непосредственного интереса, тео­ берт, Г. Вейль, нем. математик К. Каратеодори, теорию конформных отображений (см.) — советские рия функций действительного переменного оказала математики И. И. Привалов, М. А. Лаврентьев, большое влияние на развитие многих других отде­ Г М. Голузин и др. Наиболее широкие применения лов М. Выработанные в её пределах методы оказа­ лись особенно необходимыми при построении основ в аэромеханике и теории упругости конформные отображения (и их обобщение — квазиконформные функционального анализа. Если в отношении мето­ дов функциональный анализ развивался под влия­ отображения) находят в работах Н. Е. Жуковского, нием теории функций действительного переменного и теории множестн, то по своему содержанию и ха­ С. А. Чаплыгина, Н. И. Мусхелишвили, М. А. Лав­ рентьева и других советских исследователей. рактеру решаемых в нём задач он примыкает непо­ В результате систематич. построения математич. средственно к классич. анализу и математич. физике,’ анализа на основе строгой арифметич. теории ирра­ становясь особенно необходимым [гл. обр. в форме циональных чисел и теории множеств возникла но­ теории операторов (см. Операторное исчисление)] в квантовой физике. Впервые сознательное выде­ вая отрасль М. — теория функций действительного переменного (см. Функций теория). Под этим не­ ление функционального анализа как особой ветви М. было произведено итал. математиком В. Воль- сколько условным названием понимают по преиму­ терра в конце 19 в. В качестве частей функциональ­ ществу исследование основных понятий анализа ного анализа воспринимаются теперь возникшее (напр., понятий функции, производной, интеграла) и основных операций анализа [напр., разложения много ранее вариационное исчисление (см.), задачей к-рого является разыскание максимумов и миниму­ функций в тригонометрические ряды (см.)] с до­ мов функционалов, и теория интегральных урав­ статочно общей точки зрения. Если ранее система­ нений (см.), систематич. построение к-рой было на­ тически изучались лишь функции, возникающие (»естественно» из тех или иных специальных задач, чато тем же Вольтерра и продолжено шведским мате­ матиком Э. Фредгольмом, закончившим в общих чер­ то для теории функций действительного перемен­ тах теорию важного класса линейных интегральных ного типичен интерес к полному выяснению дейст­ ураннений, названных его именем. С более общей вительного объёма общих определений (в самом на­ точки зрения центральное положение в функцио­ чале её развития чешским математиком Б. Больцано нальном анализе занимает теория бесконечномерных и позднее К. Вейерштрассом было, напр., обнару­ линейных пространств (см.) (разработанная в наи­ жено, что непрерывная функция может не иметь более употребительной ныне форме польским мате­ производной ни в одной точке) и к обобщению основ­ матиком С. Банахом) и операторов в них. Наиболее ных понятий анализа в тех случаях, когда в перво­ важный специальный случай операторов в гильбер­ товом пространстве (см.), основная роль к-рого вы­ начальной форме они не дают исчерпывающего ответа на ту задачу, из решения к-рой они возникли яснилась из работ Гильберта по интегральным урав­ [напр., создание такого процесса интегрирования, нениям, разрабатывается особенно интенсивно. Зна­ к-рый позволил бы восстановить с точностью до по­ чительные работы по общим вопросам функциональ- стоянной любую функцию Р(х), имеющую в *61 б. С. Э. т. 26.

482 МАТЕМАТИКА ного анализа принадлежат венгерскому математику осуществлено советской топологич. школой (П. С. Александров, Л. С. Понтрягин), работы к-рой лежат Ф. Рису, амер, математику Дж. Нейману, совет­ скому математику И. М. Гельфанду и др. Советским в основе современного этапа развития топологии. математиком Н. И. Мусхелишвили и его школой раз­ Применения топологич. методов в анализе разраба­ работана теория сингулярных интегральных урав­ тывались амер, математиками Г. Биркгофом, М. Морсом, польским математиком Ю. Шаудером, нений (см.), имеющая большое значение в вопросах советским математиком Л. А. Люстерником и др. теории упругости. Важные работы по вариацион­ Теория дифференциальных уравнений с частными ному исчислению выполнены в СССР М. А. Лавренть­ производными еще в конце 19 в. получает сущест­ евым, Л. А. Люстерником, Н. Н. Боголюбовым. Ме­ венно новый вид благодаря сосредоточению основ­ тоды функционального анализа нашли широкое ного внимания на краевых задачах (см.) и отказу от применение к решению конкретных задач математич. физики также в работах С. Л. Соболева и других ограничения аналитическими краевыми условиями. Аналитич. теория, восходящая к Коши, Вейерштрас- советских аналитиков. су и русскому математику С. В. Ковалевской, не Развитие общих идей функционального анализа теряет при этом своего значения, но отступает не­ не изменяет, однако, того положения, что наиболь­ сколько на задний план, т. к. обнаруживается, что шее число задач, выдвигаемых перед М. естество­ при решении краевых задач она не гарантирует знанием и техникой, сводится к решению дифферен­ «корректности», т. е. возможности приближённо циальных уравнений, как обыкновенных (при изуче­ найтя решение, зная граничные условия тоже лишь нии систем с конечным числом степеней свободы), приближённо, в то время как без этой возможности теоретич. решение не имеет практич. ценности. так и с частными производными (при изучении не­ прерывных сред и в квантовой физике). Поэтому Картина более сложна,' чем представлялось с. все направления исследования дифференциальных точки зрения аналитич. теории: краевые задачи, уравнений в рассматриваемый период интенсивно к-рые можно «корректно» ставить для разных культивируются. Для решения сложных линейных типов дифференциальных уравнений, оказываются систем создаются методы операционного исчисления различными. Наиболее надёжным путеводителем (см.), возникновение к-рого не вполне правильно в выборе для каждого типа уравнений надле­ жащих краевых задач становится непосредствен­ связывается с именем англ, инженера О. Хевисайда [ряд основных фактов этого исчисления был, напр., ное обращение к соответствующим физич. пред­ указан ранее (1862) русским математиком М. Е. Ва­ ставлениям (о распространении волн, течении щенко-Захарченко]. При исследовании нелинейных тепла, диффузии и т. и.). Связанное с этим превра­ щение теории дифференциальных уравнений с ча­ систем с малой нелинейностью широко применяется метод разложения по параметру. Продолжает раз­ стными производными гл. обр. в теорию уравнений рабатываться аналитич. теория обыкновенных математической физики (см.), имея большое поло­ дифференциальных уравнений (франц, математи­ жительное значение в смысле накопления огром­ ки А. Пуанкаре, П. Пенлеве, советский матема­ ного конкретного материала, в то же время служит и признаком недостаточного развития общей тео­ тик И. А. Лаппо-Данилевский и др.). Однако наи­ рии краевых задач, к-рая позволила бы системати­ большее внимание в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений привлекают теперь чески изучать все теоретически возможные «коррект­ ные» краевые задачи. Существенный прогресс в этом вопросы качественного исследования их решений: направлении намечается лишь в последнее время в классификация особых точек (Пуанкаре и др.), работах И. Г. Петровского, С. Л. Соболева и ряда вопросы устойчивости (см.), особенно глубоко других советских математиков. изученные русским математиком А. М. Ляпуно­ вым, отыскание предельных циклов и другие вопро­ Работы по отдельным типам уравнений матема­ тич. физики справедливо составляют значительную сы топология, расположения интегральных кривых, часть всей современной математич. продукции. вопросы о поведении интегральных кривых «в сред­ После нем. математиков П. Дирихле и Б. Римана нем» [в форме т. н. эргодической теории (см.)]. Все уравнениями математич. физики занимались франц, эти исследования получают широкое развитие математики А.Пуанкаре, Э. Пикар, Э. Гурса, Ж. Ада- в СССР (Л. И. Мандельштам, А. А. Андронов, мар, англ, физики Дж. Рэлей и У. Томсон, нем. ма­ В. В. Степанов, Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, тематики К. Нейман, Г. Шварц, Д. Гильберт, Р. Ку­ И. Г. Петровский и др.). рант и многие другие. Для эллиптич. уравнений Качественная теория дифференциальных уравне­ фундаментальный вопрос об аналитичности их ре­ ний (см.) послужила для Пуанкаре отправным пунк­ шений был решён в начале 20 в. в России С. Н. Берн­ том для широкого продолжения лишь едва намечен­ штейном. Основателями систематически работаю­ ных Риманом исследований по топологии (см.) мно­ щей отечественной школы в области уравнений мате­ гообразий, особенно в направлении изучения не­ матич. физики являются А. М. Ляпунов, В. А. Стек­ лов, Н. М. Гюнтер, А. Н. Крылов. В настоящее подвижных точек их непрерывных отображений на время эта школа возглавляется В. И. Смирновым. самих себя. Здесь получили своё начало «комби­ И. Г. Петровским, С. Л. Соболевым, А. Н. Тихоно­ наторные», «гомологические» и «гомотопические» вым и рядом других учёных, доставивших советской методы современной топологии, разработанные гол­ науке во многих разделах этой области М. ведущее ландским математиком Л. Брауэром, амер, матема­ положение. тиками О. Вебленом, Дж. Александером и С. Лефшет- Существенным дополнением к методам теории диф­ цем и немецким математиком Г. Гопфом. Дру­ ференциальных уравнений при изучении природы гое направление в топологии возникло на почве тео­ и решении технич. задач являются методы теории рии множеств и функционального анализа и привело вероятностей (см.). Если в начале 19 в. главными потребителями вероятностных методов были теория к систематич. построению теории общих топологич. артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в пространств (франц, математик М. Фреше, нем. конце 19 в. и в начале 20 в. теория вероятностей математик Ф. Хаусдорф, советские математики П. С. Урысон, П. С. Александров, А. Н. Тихонов), получает много новых применений благодаря раз­ в частности теории их размерности (Урысон). Объ­ единение этих направлений, придавшее полную об­ щность алгебраич. «комбинаторным методам», было

МАТЕМАТИКА 483 витию статистич. физики и механики и разработке В последнее время всё большее значение приобре­ аппарата математической статистики (см.). Наи­ более глубокие теоретич. исследования по общим тает использование при вычислениях больших ско­ вопросам теории вероятностей в конце 19 в. и в на­ ростных вычислительных машин. С этим связано воз­ чале 20 в. принадлежат русской школе [П. Л. Чебы­ шев, А. А. Марков (старший), А. М. Ляпунов]. никновение нового отдела М.— теории программи­ Они сосредоточиваются вокруг вопроса об условиях рования (см.), т. е. теории приведения математич. применимости центральной предельной теоремы (см.) теории вероятностей. В 20 в. происходит задач к форме, позволяющей их решать наиболее общий подъём интереса к теории вероятностей во всех странах (Р. Мизес в Германии, Э. Борель, рациональным способом на математич. машинах. П. Леви во Франции, В. Феллер в США и многие О технич. стороне «машинной» М. см. Счётная машин­ другие). В СССР фундаментальное значение имеют ная техника, Математические машины, Математи­ работы С. Н. Бернштейна, завершившего работы ческие приборы, Вычислительные машины, Счёт­ чебышевской школы и начавшего целый ряд новых теоретических и прикладных направлений. Совет­ ные машины, Универсальные вычислительные маши­ скими исследователями (А. Я. Хинчин, А. Н. Кол­ ны, Электронные вычислительные машины. могоров и др.) создаются основы теории «случай­ ных», или в ероятностных, процессов Лит.: История и философия матема­ и даётся окончательная форма аксиоматич. изложе­ тики — Сборник статей по философии математики, под ред. ния теории вероятностей, исходящая из усмотрен­ С. А. Яновской, М., 1936; Александров А. Д., Ленин­ ных впервые Борелем аналогий между понятием ве­ ская диалектика и математика, «Природа», 1951, № 1; его роятности и понятием меры в теории функций дей­ же, Об идеализме в математике, там же, 1951, № 7—8; Ц е й т е н Г. Г., История математики в древности и в средние ствительного переменного. века, пер. с франц., 2 изд., М.—Л., 1938; его же, История Практич. использование результатов теоретич. математики в XVI и XVII веках, пер. с нем., 2 изд., М.—Л., 1938; Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в древ­ математич. исследования требует получения ответа нем мире, М.—Л., 1941; Белл юстин В., Как постепенно на поставленную задачу в числовой форме. Между дошли люди до настоящей арифметики, М., 1940; Ш е р е м е- тем, даже после исчерпывающего теоретич. разбора т е в с к и й В. П., Очерки по истории математики, М., 1940; задачи это часто оказывается совсем не лёгким делом. В а с и л ь е в А. В., Математика, вып. 1 (1725—1826—1863), В конце 19 в. и в 20 в. численные методы (см.) ана­ П„ 1921; Гнеденко Б. В., Очерки по истории матема­ лиза вырастают в большую самостоятельную ветвь тики в России, М.—Л., 1946; Кэджори Ф., История эле­ М. Особенно большое внимание уделяется при этом ментарной математики с указанием на методы преподавания, методам численного интегрирования дифференциаль­ пер. с англ., 2 изд., Одесса, 1917; Клейн Ф., Лекции о ных уравнений (см. Приближенное интегрирование). развитии математики в XIX столетии, пер. с нем.,ч. 1, М.—Л., Для обыкновенных дифференциальных уравнений 1937; Историко-математические исследования, вып. 1—6, получает широкое распространение метод, откры­ М.—Л., 1948—53; Вилейтнер Г., Хрестоматия по исто­ тый англ, астрономом Дж. Адамсом еще в 1855 и рии математики, составленная по первоисточникам. Ариф­ развитый далее норвежским математиком К. Штёр- метика и алгебра. Геометрия и тригонометрия .... пер. с нем., 2 изд., М.—Л., 1935; Cantor М., Vorlesungen über мером. Другого типа метод предложил нем. матема­ Geschichte der Mathematik, Bd 1—4, 3 Aull., Lpz., 1907—13; тик К. Рунге. Кроме многочисленных найденных W i e 1 e 1 t n e г II., Geschichte der Mathematik. Neue Bear­ позднее вариантов этих двух типов методов и давно beitung, Bd 1—2, B., 1922—23; С а j о r 1 F., А history of ma- известного метода последовательных приближений thematics, 2 ed., N. Y., 1931; Loria G., Storla delle (см. Последовательных приближений метод), тео­ matematlche dell’alba della clvllitä al secolo XIX, 2 ed., ретически обоснованного Пикаром, советским мате­ Milano, 1950; его же, Guida allo studlo della storla delle матиком С. А. Чаплыгиным предложен (1919) метод matematlche, 2 ed., Milano, 1946; Tropf ke J., Geschichte интегрирования обыкновенных дифференциальных der Elementar-Mathematik. In systematischer Darstellung mit уравнений, основанный на существенно иных прин­ besonderer Berücksichtigung der Fachwörter, Hd 1—4, 3 Aull., ципах. Для уравнений с частными производными B.— Lpz., 1930-40; Bd 5-7, 2 Aull., B.-Lpz., 1923-24. разностные методы, разработка к-рых была начата нем. математиком Г. Либманом, были усовершенст­ Математические энциклопедии и об­ вованы в СССР С. А. Гершгориным и рядом других зоры — Математика. [Сб. статей], под ред. II. С. Алексан­ исследователей. Другой метод, предложенный нем. дрова [и др.], М.—Л., 1932 (Наука в СССР за 15 лет. 1917— математиком В. Ритцем (1908) (см. Ритца метод), 1932); Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947. Сб. получил замечательное развитие в работах русского статей, под ред. А. Г. Куроша [и др.], М.—Л., 1948; Труды учёного Б. Г. Галёркина (1915). Условия примени­ Всероссийского съезда математиков в Москве 27 апреля— мости метода Галёркина были исследованы М. В. Кел­ 4 мая 1927, М.—Л., 1928; Труды первого Всесоюзного съезда дышем и др. На развитие в СССР всех направле­ математиков (Харьков, 1930), М.—Л., 1936; Труды второго ний исследований в области численных методов ана­ Всесоюзного математического съезда. Ленинград 24—30 июня лиза оказали большое влияние труды А. Н. Крыло­ 1934, т. 1—2, Л.—М., 1935—36;«Успехи математических наук», ва. Замечательные связи численных методов анализа М.—Л., 1936—44, вып. 1 —10, 1946—53, т. 1—8; Энциклопе­ с функциональным анализом обнаружены исследо­ дия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова ваниями Л. В. Канторовича. [и др. ], кн. 1—3, М.—Л., 1951—52; Вебер Г. и В ел ъ- штейн И., Энциклопедия элементарной математики, пер. Широкое развитие работ, требующих численных с нем., т. 1—3, 2 изд., Одесса, 1911 —14; Enziclopädie der расчётов, приводит к необходимости вычисления и mathematischen Wissenschaften, mit Einschluss ihrer Anwen­ публикации всё возрастающего количества таблиц dungen, Bd 1—6, Lpz., 1898—1934, то же, Bd 1, 2 Aufl., математических (см.). Ряд вопросов, связанных с Lpz., 1952; Encyclopédle des sciences mathématlques pures et рациональным составлением таблиц и интерполиро­ appliquées, t. 1—7, P.— Lpz., 1904—14; Pascal E., Reper­ ванием в них, особенно в случае таблиц функций torium der höheren Mathematik, 2 Aufl., Lpz.—B., 1910—29; нескольких переменных, стимулирует и развитие В e г z о 1 а г i L. [e. a.], Enciclopedia delle mateinatiche соответствующих теоретич. исследований («теория elementar! e complementi con estensione alle principan teorie табулирования»), analitlche, geometrlche e fisiche. Loro appilcazlonl e notlzle storico-bibliografiee, v. 1—3, Milano, 1930—50. *61 МАТЕМАТИКА в школе — предмет преподава­ ния в общеобразовательной школе. Необходимость распространения математич. знаний среди людей возникла из потребностей практики в глубокой древности; об этом свидетельствуют, напр., созданные в Древнем Египте еще за два тысячелетия до нашей эры и частично дошедшие до нас учебники, содер­ жащие начальные сведения по арифметике и геомет­ рии. По мере того как М. из собрания разрознен­ ных практич. правил становилась стройной систе­ мой, выяснилась и другая важная её сторона — воспитание навыков правильного мышления. М. как школа абстрактного мышления особое признание получила в Древней Греции. В Зап. Европе в средние века М. входила в число «семи свободных искусств», овладение к-рыми признавалось желательным для

484 МАТЕМАТИКА - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРТОГРАФИЯ верхушки феодального общества: «тривиум» — грам­ дачами изучение каждого раздела школьной М., даже если это нарушало стройность и систематичность из­ матика, риторика (красноречие), диалектика (ис­ ложения. Коренной недостаток школы того време­ кусство спора)—и «квадривиум» — геометрия, ариф­ ни, вскрытый в постановлениях ЦК ВКП(б) от 5 еент. метика, астрономия, музыка. На первый плав здесь выдвигалась воспитательная цель. В связи с разви­ 1931 и 25 авг. 1932, заключался в том, что школа не давала достаточного объёма общеобразовательных тием промышленности и торговли всё большее зна­ знаний и неудовлетворительно решала задачу под­ чение приобретали практич. приложения М. При­ мером преобладания практич. пели в изучении М мо­ готовки вполне грамотных людей, хорошо владею­ жет служить её преподавание в России начала 18 в., щих основами наук (физика, химия, математика, нашедшее отражение в книге Л. Ф. Магницкого родной язык, география и др.). Постановления ЦК ВКП(б) о школе содержали, в частности, ряд «Арифметика» (1703). Развитие университетского и конкретных указаний о необходимых изменениях в высшего технич. образования вызвало необходи­ мость в подготовке студенческих кадров, имеющих программах и методах обучения и предусматривали определённый запас математич. знаний и навыков, увеличение числа часов на изучение М.' Целью преподавания М. в советской средней школе а в связи с этим усилилось общеобразовательное и является сообщение учащимся фактич. знаний и специальное значение М. воспитание необходимых навыков для применения В дореволюционной России, несмотря на все их в различных практич. вопросах. В процессе недостатки системы народного образования в целом, преподавания М. учителем осуществляются, в тес­ изучению М. в начальной и средней школах уделя­ ной связи с преподаванием других предметов, общие лось большое внимание. В разработке программ и задачи коммунистического воспитания. методов обучения М., создании учебников и учеб­ М. в средней школе слагается из систематич. курса ных пособий принимали активное участие круп­ арифметики, алгебры, геометрии, тригонометрии. нейшие математики-теоретики (Л. Эйлер. Н. И. Ло­ Преподавание М. должно обеспечить достаточную бачевский. П. Л. Чебышев и др.), а также матема­ подготовку оканчивающих семилетнюю и среднюю тики-методисты (А. И. Гольденберг, С. И. Шохор- школу для дальнейшего обучения в соответствую­ Троцкий, В. П. Шереметевский, К. Ф. Лебединцев щих учебных заведениях (техникумах и высших учебных заведениях) и вместе с тем дать за­ и др.). Наиболее полно и оригинально была разра­ ботана методика преподавания М. в начальной шко­ конченную подготовку для практич. деятельности ле, многое было сделано также и по методике препо­ лицам, не продолжающим образование. давания М. в средних школах различных типов — В связи с задачами осуществления политехнич. гимназиях, реальных училищах, кадетских корпу­ обучения большое внимание уделяется вопросам применения М. в технике, напр. вычислительным ме­ сах, коммерческих училищах. Уже в конце 19 в. тодам, навыкам обращения с простейшими измери­ тельными инструментами, чтению и построению русские учёные пришли к выводу о необходимости чертежей, умению поставить и разрешить матема­ коренной перестройки всего общеобразовательного курса М. и наметили целый ряд принципов этой тич. задачу, к к-рой приводит тот или другой прак­ тич. вопрос, и т. д. перестройки, как, напр., основное значение идеи функциональной зависимости. В начале 20 в. и в Лит..- Л а н к с в А. В.,К истории развития передовых идей в русской методике математики, М., 1951; Б р а д ис В. М., Зап. Европе получила широкое признание идея не­ Методика преподавания математики в средней школе, 2 изд.. обходимости преобразования всей системы обуче­ М., 1951; Методика преподавания математики, Л,—М., 1952; «Математика в школе», М., 1937—41, 1946—53; Клейн ф., ния М. В Германии была создана «Интернациональ­ Элементарная математика сточки зрения высшей, пер. с нем., т. 1—2, 2 изд., М,—Л.. 1933—34; Lietzmann W., Methodik ная комиссия по преподаванию математики», в к-рую des mathematischen Unterrichts,TI 1—3,2 Auil.,Lpz., 1923—24. вошли многие математики-теоретики (среди них нем. «МАТЕМАТИКА в П1К0ЛЕ» — математический математик Ф. Клейн, от России — Д. М. Синцов и К. А. Поссе) и математики-методисты ряда стран. Ко­ журнал для учителей, орган Министерства просве­ щения РСФСР, издаётся в Москве Учпедгизом. Ос­ миссия проделала большую подготовительную ра­ нован в 1937; выходит 6 номеров в год (в 1942—45 боту для реформы преподавания М., однако не издавался). Большое место уделяется вопросам серьёзных практич. результатов не дала. методич. характера. Методич. отдел журнала обоб­ Из большого числа учебников и учебных посо­ щает опыт передовых учителей. В «М. в ш.» печа­ бий по элементарной М., изданных в России в тече­ таются также статьи по истории математики и исто­ ние 19 в. и в начале 20 в., нек-рые оказались весьма рии преподавания математики. В работе журнала принимают участие, наряду с учителями и специа­ удачными, напр. учебники А. П. Киселева; они до настоящего времени используются (в переработан­ листами по методике, крупнейшие советские учёные. МАТЕМАТЙЧЕСКАЯ ГЕОГРАФИЯ — раздел ном виде) в советской школе. Высокого развития физич. географии, в к-ром излагаются сведения о методика М. в России достигла в период всероссий­ движении Земли как планеты, о её фигуре (форме), ских съездов преподавателей М. (1911—14), наметив­ величине, географии, координатах (широте и долго­ те) и т. д. Однако в связи с развитием астрономии, ших программу развития математич. образования. Только после Великой Октябрьской социалисти­ изучающей Землю как планету, и геодезии, зани­ мающейся изучением величины и фигуры Земли, ческой революции возникли возможности осущест­ М. г. имеет лишь вспомогательное значение для пер­ воначального ознакомления с основами географии. вления и дальнейшего развития передовых идей ме­ тодики М., разработанных в России. Несмотря на МАТЕМАТЙЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ — общий все трудности первых лет существования молодой способ математич. доказательств и определений. См. Советской республики, проводилась интенсивная Индукция математическая. и плодотворная работа по созданию нового школь­ МАТЕМАТЙЧЕСКАЯ КАРТОГРАФИЯ — учение ного курса М., соответствующего общим принципам о математич. основе карт и способах учёта влия­ советской педагогики. Были разработаны программы ния присущих картография, проекциям искажений; но М. применительно к принципу трудовой школы, учёт производится в процессе выполнения по картам Появился ряд новых учебников и учебных пособий, обеспечивавших возможность работы по этим про­ граммам. Однако при этом были допущены и серьёз­ ные ошибки, основанные на ложной теории отмира­ ния школы и на стремлении связать с практич. за­

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА — МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 485 разного рода измерений углов, длин, площадей ных свойствах совокупности, статистич. данные по­ (см. Картометрия). Элементами математич. ос­ зволяют глубже проникнуть в существо дела. новы карт являются масштаб, картографическая проекция, координатная сетка, нарезка и ориенти­ Напр., данные гранулометрии, анализа породы (т. е. ровка карты, а также увязка в одну систему коорди­ данные о распределении образующих породу частиц по раз­ нат опорных пунктов и графических картографии, мерам) дают ценную дополнительную информацию по срав­ материалов, относящихся к различным земным эл­ нению с испытанием нерасчленённых образцов породы, поз­ липсоидам (см.) и исходныіМ геодезич. данным. воляя в нек-рой мере объяснить свойства породы, условия её образования и пр. (см. Гранулометрия). Так называемые плоские прямоугольные координаты для численной обработки геодезич. измерений удобно рас­ Метод исследования, опирающийся на рассмотре­ сматривать как декартовы координаты изображений точек ние статистич. данных о тех или иных совокупно­ поверхности земного эллипсоида в нек-рой картографии, стях объектов, называется статистическим. проекции. При помощи нек-рых картографии, проекций и Статистич. метод применяется в самых различных сеток просто и наглядно решаются графически или номогра- областях знания. Однако черты статистич. метода в фически различные задачи сферич. геометрии. Вопросы, применении к объектам различной природы столь связанные с этими проблемами, иногда также относят к М. к. своеобразны, что было бы бессмысленно объединять, напр., социально-экономич. статистику [именуемую До 20 в. вопросы М. к. рассматривались в геоде­ статистикой (см.) в собственном смысле слова], зии. Позже М. к. оформилась как самостоятельная физич. статистику (см. Статистическая физика), дисциплина, причём первоначально к пей относили звёздную статистику (см. Звёздная астрономия) только теорию картографии, проекций. С таким со­ и т. п. в одну науку. держанием и была издана в 1927 в Польше первая книга под заглавием «Математическая картография», Общие черты статистич. метода в различных об­ написанная А. Ломницким. В СССР по М. к. были ластях знания сводятся к подсчёту числа объектов, изданы исследования и курсы В. Каврайского (1933 входящих в те или иные группы, рассмотрению рас­ и 1934), А. Траура (1938)\", Н. Урмаева (1938 на пра­ пределения количественных признаков, примене­ вах рукописи и 1941). нию выборочного метода (в случаях, когда детальное исследование всех объектов обширной совокупности Лит.: Гинзбург Г. А., О некоторых основных воп­ затруднительно), использованию теории вероятно­ росах математической картографии, «Сборник научно-техни­ стей при оценке достаточности числа наблюдений для ческих производственных статей по геодезии, картографии, тех или иных выводов и т. и. Эта формальная топографии, аэросъемке и гравиметрии», 1948, вьш. 22; его математическая сторона статистич. методов ж е, К вопросу о математической основе карт новых геогра­ исследования, безразличная к специфич. природе фических атласов, там же. 1949, вып. 26; е г о ж е, К во­ изучаемых объектов, и составляет предмет М. с. просу о современном состоянии и путях развития математи­ ческой картографии, «Вопросы географии», 1940, сб. 11; см. II. Связь математической статистики с теорией также лит. к ст. Картографические проекции, Картометрия. вероятностей. МАТЕМАТЙЧЕСКАЯ ЛОГИКА — наука, изу­ Связь М. с. с теорией вероятностей имеет в разных чающая математич. доказательства. См. Логика ма- случаях различный характер. Теория вероятностей темат ическая. (см.) изучает не любые массовые явления, а явления случайные и именно «вероятностно случайные», МАТЕМАТЙЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Содер­ т. е. такие, для к-рых имеет смысл говорить о соот­ ветствующих им распределениях вероятностей. Тем жание: не менее, теория вероятностей иі'рает определённую роль и при статистич. изучении массовых явлений I. Предмет математической статистики.......................... 485 любой природы, могущих не относиться к категории II. Связь математической статистики с теорией вероят­ вероятностно случайных. Это осуществляется через основанные на теории вероятностей теорию выбороч­ ностей ............................................................................... 485 ного метода (см.) и теорию ошибок измерений (см. III. Простейшие приёмы статистического описания . . 486 Ошибок теория). В этих случаях вероятностным IV. Связь статистических распределений с вероятно­ закономерностям подчинены не сами изучаемые яв­ ления, а приёмы их исследования. стными. Оценка параметров. Проверка вероятност­ ных гипотез.................................................................... 487 Более важную роль играет теория вероятностей V. Выборочный метод.........................................................488 при статистич. исследовании вероятностных явле­ VI. Дальнейшие задачи математической статистики . . 489 ний. Здесь в полной мере находят применение такие VII. Историческая справка................................................... 489 основанные на теории вероятностей разделы М. с., как теория статистич. проверки вероятностных ги­ Математическая статистика — раздел математи­ потез, теория статистич. оценки распределений ки, посвящённый математич. методам систематиза­ вероятностей и входящих в них параметров и т. д. ции, обработки и использования статистиче­ Область же применения этих более глубоких стати­ ских данных для научных и практич. выво­ стич. методов значительно уже, т. к. здесь требуется, дов. При этом статистич. данными называются све­ чтобы сами изучаемые явления были подчинены до­ дения о числе объектов в к.-л. более или менее об­ статочно определённым вероятностным законо­ ширной совокупности, обладающих теми или иными мерностям. Напр., статистич. изучение режима тур­ признаками (таковы, напр., данные табл. Іа и 2 а). булентных водных потоков или флюктуаций в радио­ приёмных устройствах производится на основе I. Предмет математической статистики. теории стационарных вероятностных процессов (см.). Однако применение той же теории к анализу Статистич. описание совокупности объектов за­ экономических временных рядов может привести нимает промежуточное положение между индиви­ к грубым ошибкам ввиду того, что входящее в опре­ дуальным описанием каждого из объектов совокуп­ деление стационарного процесса допущение нали­ ности, с одной стороны, и описанием совокупности чия сохраняющихся в течение длительного времени по её общим свойствам, совсем не требующим её рас­ неизменных распределений вероятностей в этом слу­ членения на отдельные объекты,— с другой. По срав­ чае’, как правило, совершенно неприемлемо. нению с первым способом статистич. данные всегда в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную ценность в случаях, когда су­ щественны именно индивидуальные данные (напр., учитель, знакомясь с классом, получит лишь весьма предварительную ориентировку о положении дела из одной статистики числа выставленных его предшест­ венником отличных, хороших, посредственных и не­ удовлетворительных оценок). С другой стороны, по сравнению с данными о наблюдаемых извне суммар­

486 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Вероятностные закономерности получают статн- пределения и надёжного вычисления по групповым стич. выражение (вероятности осуществляются при­ численностям основных характеристик распределе­ ближённо в виде частот, а математические ожи­ ния (см. о них ниже). Составленная по таким груп- дания — в виде средних) в силу закона больших чи­ сел (см. Больших чисел закон). Табл. 16. —Распределение диамет­ ра детали основной выборки (из III. Простейшие приёмы статистического описания. табл. Іа) при более крупных интер­ Изучаемая совокупность из п объектов может по валах группировки. к.-л. качественному признаку А разбивать­ Диаметр Число деталей ся на классы Аі, А2і..., Аг. Соответствующее этому 13,00-13,24 11 разбиению статистическое распределе­ 13,25—13.49 138 ние задаётся при помощи указания численностей 13,50-13,74 51 г Всего 200 (частот) п1;п2..... пг(2 н, = п) отдельных классов. Вме- пированным данным гистограмма (см.) наглядно і= 1 сто численностей п,- часто указывают соответствую­ изображает распределение. Гистограмма, составлен­ щие относительные частоты (частости) — (удов- ная на основе слиш­ г ком мелкой группи­ летворяющие, очевидно, соотношению 2 Л( = 1). Если ровки, обычно много­ і =*■ 1 изучению подлежит нек-рый количественный при­ вершинная, и не отра­ знак, то его распределение в совокупности из п объек­ тов можно задать, перечислив непосредственно наб­ жает наглядно суще­ людённые значения признака: атх, х2,...,хп, напр. в по­ ственных свойств рас­ рядке их возрастания. Однако при больших п та­ кой способ громоздок и в то же время не выявляет пределения. отчётливо существенных свойств распределения (под­ В качестве примера на робнее о способах изображения и простейших ха­ рис. 1 дана гистограмма рактеристиках распределения одного количествен­ распределения 200 диа­ ного признака см. Вариационный ряд, Распределения). метров, соответствую­ При сколько-либо больших п на практике обычно щая данным первого Рис. 1. Гистограмма распределе­ совсем не составляют полных таблиц наблюдённых столбца табл. Іа, а на ния диаметров 200 деталей. Дли­ значений х,-, а исходят во всей дальнейшей работе рис. 3 — гистограмма то­ на интервала группировки из таблиц, содержащих лишь численности классов, го же распределения (со­ 0,05 мм. получающихся при группировке наблюдённых ответствующая таблица значений по надлежаще выбранным интервалам. не приводится ввиду её громоздкости) при интервале 0,01л<лі. С другой стороны, группировка по слишком крупным Напр., в первом столбце табл. Іа даны результаты интервалам может приве­ измерения 200 диаметров деталей, сгруппированные по интер­ ъ 150г сти к потере ясного пред­ валам длины 0,05 мм. Основная выборка соответствует нор­ мальному ходу технологич. процесса. 1-я, 2-я и 3-я выбор­ |£ МО- ставления о характере ки сделаны через нек-рые промежутки времени для провер­ О 50- распределения и к гру­ ки устойчивости этого нормального хода производства. бым ошибкам при вычи­ В табл. 16 результаты измерения деталей основной вы­ слении среднего и дру­ борки даны при группировке по интервалам длины 0,25 лам. гих характеристик рас­ 73,30 ЙЛ0 Ц70 пределения (см. табл. 16 Табл. Іа. — Распределение диаметра дета­ и соответствующую гисто­ ли в мм, обнаруженное при статистиче­ Диаметр в мм грамму на рис. 2). ском исследовании массовой продук­ Рис. 2. Гистограмма распределения В пределах М. с. ции (объяснение обозначений х, 5, в см. стр. 487—488). диаметров 200 деталей. Длина вопрос об интервалах интервала группировки 0,25 мм. группировки может быть рассмотрен только с этой формальной стороны: полноты математич. описания распределения, точно- Диаметр Основная 1-я 2-я 3-я выборка выборка выборка выборка 13,05 — 13,09 11 13, 10 — 13,14 2 — — — 13. 15 — 13. 19 1 — 1 1 13,20-13,24 я — 13,25-13,29 17 1 2 1 13,30 — 13,34 27 1 1 9 13,35 — 13,39 30 2 3 і 13,40 — 13,44 37 2 1 1 13,45 — 13,49 27 1 —— 13,50 — 13,54 25 2 1 — 13,55 — 13,59 17 — — — 13,60 — 13,64 7 1— 2 13,65 — 13,69 2 1 — — Всего 200 10 10 10 X 13,416 13,430 13,315 13,385 2.3910 0,0990 0,1472 0,3602 Я2 б 0,110 0,105 0,128 0,200 Обычно группировка по 10—20 интервалам, в Рис. 3. Гистограмма распределения диаметров 200 дета­ каждый из к-рых попадает не более 15—20% зна­ лей. Длина интервала группировки 0,01 мм. чений 27, оказывается достаточной для довольно сти вычисления средних по сгруппированным данным полного выявления всех существенных свойств рас­ и т. д. О группировке, имеющей целью выделить

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 487 качественно различные группы в изучаемой сово­ где купности, см. Группировка в статистике. 52 = X *-()• * При изучении совместного распределения двух і=1 признаков пользуются таблицами с двумя входами. Примером совместного распределения двух каче­ При вычислении х, S21 и D по группированным дан­ ственных признаков может служить таблица 2 а. ным пользуются формулами В общем случае, когда по признаку А материал гг разбит на классы А2, А2,..., Аг, а по признаку = 2® = ѵ 2 nkak В— на классы Ви В2, ..., таблица состоит из hkak< численностей п;-у объектов, принадлежащих одно- A = 1 fe=l временно классам /1,- и Вj. Суммируя их по 2= у П- (а,;.— я)2 = о Г nkak — = 21формулам пі- п‘р п1р получают чис- fc=1 fe=»l или j— І—І г ленности самих классов Л/ и Вj (очевидно, что D^= ^hka^ — x2, Г8 Г8 A=1 2 2 і = 2”<- = 2\"-; = п> где п — чис- где г — число интервалов группировки, ak — нх се­ « = 1)=1 і—1 3—1 редины (в случае табл. Іа—13,07; 13,12; 13,17; 13,22 и т. д.). Если материал сгруппирован по слишком ленность всей изучаемой совокупности). В зависи­ мости от целей дальнейшего исследования вычис­ крупным интервалам, то такой подсчёт даёт слиш­ ляют те или иные из относительных частот ком грубые результаты. Иногда в таких случаях по­ лезно прибегать к специальным поправкам п .j nj j n.j * Zip на группировку. Однако эти поправки имеет смысл вводить лишь при условии выполне­ Табл. 2а. — Распределение заболев­ ния определённых вероятностных предположений. ших и не заболевших гриппом сре­ ди работников Центрального уни­ О различных типах распределений и других их характеристиках см. Вариационный ряд. Распределе­ вермага в Москве, вдыхавших и не вдыхавших противогриппоз­ ния. О совместных распределениях двух и большего числа признаков см. Корреляция, Регрессия. ную сыворотку (1939). IV. Связь статистических распределений с вероятностными. Оценка параметров. Проверка вероятностных гипотез. Не забо­ Заболев­ Всего Выше были изложены лишь нек-рые избранные левшие шие простейшие приёмы статистич. описания, представ­ Не вдыхавшие . . 1 675 150 1 825 ляющего собой в настоящее время довольно обшир­ Вдыхавшие - ■ - 497 4 501 ную дисциплину с хорошо разработанной системой Всего .... 2 172 154 2 326 понятий и техникой вычислений. Приёмы статистич. описания интересны, однако, не *смаи по себе, а в Напр., при изучении влияния вдыхания сыворотки на за­ болевание гриппом по табл. 2а естественно вычислить от­ качестве средства для получения из статистич. ма­ носительные частоты, данные в табл. 26. Пример таблицы для териала выводов о закономерностях, к-рым подчи­ совместного распределения двух количественных признаков няются изучаемые явления, и о причинах, приводя­ см. в статье Корреляция. Табл. Іа служит примером смешан­ щих в каждом отдельном случае к тем или иным ного случая: материал группируется по одному качествен­ ному признаку (принадлежность к основной выборке, произ­ наблюдённым статистич. распределениям. ведённой для определения среднего уровня производствен­ Напр., данные, приведённые в табл. 2а, естественно свя­ ного процесса, и к трём выборкам, произведённым в различные моменты времени для проверки сохранения этого нормаль­ зать с такой теоретич. схемой. Заболевание гриппом каждого ного среднего уровня) и по одному количественному при­ отдельного работника универмага следует считать случай­ знаку (диаметр деталей). ным событием, т. к. общие условия работы и жизни обследо­ ванных работников универмага могут определять не сам факт Табл. 26. — О т н о с и т е л ь н ы е частоты заболевания такого-то и такого-то работника, а лишь нек-рую (соответствующие данным табл. 2а). вероятность (см.) заболевания. Вероятности заболевания для вдыхавших сыворотку (р,) и для не вдыхавших (р0), судя по статистич. данным, различны: эти данные дают основания предполагать, что р, существенно меньше р0. Перед М. с. возникает задача: по наблюдённым частотам Л, «0,008 Не забо­ Заболев­ Всего и й0= 150 —0,082 оценить вероятности р, ир0 и проверить, левшие шие достаточен ли статистич. материал для того, чтобы считать Не вдыхавшие . . 0,918 0,082 1,000 установленным, что р,<р0 (т. е. что вдыхание сыворотки Вдыхавшие . ■ ■ 0,992 0.008 1.000 действительно уменьшает вероятность заболевания). Утвер­ дительный ответ на поставленный вопрос в случае данных Простейшими сводными характеристиками распре­ табл. 2 а достаточно убедителен н без тонких средств М. с. Но в более сомнительных случаях необходимо прибегать к деления одного количественного признака являются разработанным М. с. специальным критериям. среднее п Данные первого столбца табл. Іа собраны с целью установления точности изготовления деталей, рас­ 1=1 чётный диаметр к-рых равен 13,40 мм, при нор­ в среднее квадратичное отклонение мальном ходе производства. Простейшим допу­ щением, к-рое может быть в этом случае обос­ новано некоторыми теоретическими соображения­ ми, является предположение, что диаметры от­ дельных деталей можно рассматривать как слу­ чайные величины, подчинённые нормальному рас­

488 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА пределению вероятностей значений х и в для трёх выборок с нормальными зна­ чениями а и а, оценёнными по первому столбцу таб­ \" <“• *>< лицы, можно сделать следующие выводы: пер­ вая выборка не даёт оснований предполагать сущест­ — ОО венного изменения хода производственного процес­ са, вторая выборка даёт основание к заключению об Если это допущение верно, то параметры а и а2— уменьшении среднего диаметра а (см. Стъюдента среднее и дисперсию вероятностного распределения— критерий), третья выборка — к заключению об уве­ личении дисперсии (см. «Хи-квадрат» критерий). можно с достаточной точностью оценить по соответст­ вующим характеристикам статистического Все основанные на теории вероятностей правила статистич. опенки параметров и проверки гипотез распределения (т. к. число наблюдений п=200 до­ действуют лишь с определённым уровнем значи­ мости, (са.) ш< 1, т. е. могут приводить к ошибоч­ статочно велико). В качестве оценки для теоретич. ным результатам с вероятностью а=1—ш. Напр., ес­ дисперсии а2 предпочитают не статистич. дисперсию ли в предположении нормального распределения и известной теоретич. дисперсии а2 производить оцен­ Р2 = —, а несмещённую оценку (см.) ку а по х по правилу Для теоретического среднего квадратичного откло­ х — к V п <а<х + к —V =п■ , нения не существует общего (пригодного при любом то вероятность ошибки будет равна я, связанному распределении вероятностей) выражения несмещён­ с к соотношением (см. таол. 3): ной опенки. В качестве оценки (вообще говоря, сме­ ОО _ X2 шённой) для о чаще всего употребляют s. Точность к оценок х и s для а и а указывается соответствую­ Вопрос о рациональном выборе уровня значимо­ сти в данных конкретных условиях (напр., при раз­ щими дисперсиями, к-рые в случае нормального работке правил статистич. контроля массовой про­ дукции) является весьма существенным. При этом распределения (1) имеют вид _ tj- 82 °а - V ’ 2 2о‘ 2s‘ а8а п-1 ~ п ’ 2 S2 °8 ~ 2ТГ ~”2п ’ где знак ~ обозначает приближённое равенство при Табл. 3, — Зависимость больших п. Таким образом, уславливаясь к оцен­ « и »= 1 — « от А. кам прибавлять со знаком ± их среднее квадратич­ й 1,96 2,58 3,00 3,29 ное отклонение, имеем при больших п в предполо­ жении нормального распределения (1): а 0.050 0,010 0,003 0,001 ц> 0,950 0,990 0,997 0,999 (2) желанию применять правила лишь с высоким (близ­ ким к единице) уровнем значимости противостоит В случае данных первого столбца табл. 1а, формулы то обстоятельство, что при ограниченном числе наблюдений такие правила позволяют сделать лишь (2) дают а =13,416 ±0,008, очень бедные выводы (не дают возможности устано­ вить неравенство вероятностей даже при заметном а = 0,110 ±0,006. неравенстве частот и т. д.). Объём выборки п=200 достаточен для законности V. Выборочный метод. пользования этими формулами теории «больших вы­ борок». В разделе IV результаты п наблюдений, исполь­ зуемых для оценки распределения вероятностей или Дальнейшие сведения об оценке параметров тео­ его параметров, подразумевались (хотя это и не ретич. распределений вероятностей см. в статьях оговаривалось) независимыми (см. Теория Оценки статистические, Доверительные границы. вероятностей и, особенно, Независимость). Хорошо О способах, при помощи к-рых по данным первого изученным примером использования зависимых столбца табл. Іа можно было бы проверить исход­ наблюдений может служить оценка статистич. ные гипотезы нормальности распределения и неза­ распределения или его параметров в «генеральной висимости наблюдений, см. в статьях Распределения, совокупности» из N объектов по произведённой из Непараметрические методы, Статистическая про­ неё «выборке», содержащей п < N объектов. верка гипотез. Терминологическое замечание. Часто При рассмотрении данных следующих столбцов табл. Іа, каждый из к-рых составлен на основе 10 совокупность п наблюдений, сделанных для оценки распре­ измерений, употребление формул теории больших деления вероятностей, также называют «выборкой». Этим выборок, установленных лишь в качестве предель­ объясняется, напр., происхождение употреблённого в разделе ных формул при п —>■ оо, может служить только для IV термина «теория малых выборок». Эта терминология связа­ на с тем, что часто распределение вероятностей представляют первой ориентировки. В качестве приближённых себе в виде статистич. распределения в воображаемой беско­ оценок параметров а и о попрежнему употребляются нечной «генеральной совокупности» и условно считают, что наблюдаемые п объектов «выбираются» из этой совокупности. величины х и в, но для оценки точности и надёж­ Эти представления не имеют отчётливого содержания. В соб­ ности таких оценок необходимо применять теорию ственном смысле слова, выборочный метод всегда предпола­ малых выборок (см.). При сравнении по правилам гает исходную конечную генеральную совокупность. М. с. выписанных в последних строках табл. Іа Примером применения выборочного метода мо­ жет служить следующий. Пусть в партии из N изде­ лий имеется X дефектных. Из партии отбирается

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 489 случайным образом выборка из п<1Ѵ изделий (напр., такого рода были разработаны давно (см., напр., п=100 при 7Ѵ= 10000). Вероятность того, что чис­ ло х дефектных изделий в выборке будет равно т, о методе двойной выборки в статье Приёмочный ста­ равна тистический контролъ). Строго говоря, стати­ стические методы контроля мас­ р = т ] = _______ п\\(Н-п)1 Х!(ЛГ-Х)!________ совой продукции являются областью при­ > ( т|(п—т)І(Х — т)1(/Ѵ — X— п+т)!/Ѵ! менения еще не сложившегося раздела М. с., посвя­ щённого проблемам регулирования про­ Таким образом, х и соответствующая относительная цессов по выборочным статистическим данным, где выбор статистических правил диктуется не задачей частота Л= —п оказываются слуг чайными величинами,1 получения выводов с заданным уровнем значимости, распределение к-рых зависит от параметра X или, а задачей достижения определённого хода регули­ руемого процесса (напр., установления режима что то же самое, от параметра Н= Задача оценки производства, гарантирующего заданный уровень качества продукции). относительной частоты Н по выборочной относитель­ ной частоте /і очень похожа на задачу оценки вероят­ VII. Историческая справка. ности р по относительной частоте Л при п независи­ мых испытаниях. При больших п с вероятностью, Первые начала М. с. можно найти уже в сочине­ близкой к единице, в задаче об оценке вероятности ниях создателей теории вероятностей — швейцар­ имеет место приближённое равенство ского математика Я. Бернулли (конец 17 — нача­ ло 18 вв.), франц, математиков П. Лапласа (2-я по­ р ~к, ловина 18— начало 19 вв.) и С. Пуассона (1-я по­ ловина 19 в.). В России методы М. с. в применении а в задаче об оценке относительной частоты — к демографии и страховому делу развивал на основе приближённое равенство теории вероятностей В. Я. Буняковский (1846). Решающее значение для всего дальнейшего разви­ Н~к. тия М. с. имели работы русской классич. школы тео­ рии вероятностей 2-й половины 19 — начала 20 вв. Однако в задаче об оценке Н формулы сложнее, а (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов, отклонения Аот Л в среднем несколько меньше, чем С. Н. Бернштейн). Многие вопросы теории статистич. отклонения Л от р в задаче об оценке вероятности оценок были по существу разработаны на основе (при том же п). Таким образом, оценка доли Н де­ теории ошибок и метода наименьших квадратов [нем. фектных изделий в партии по доле к дефектных из­ математик К. Гаусс (1-я половина 19 в.) и русский ма­ делий в выборке при данном объёме выборки п про­ тематик А. А. Марков (конец 19 — начало 20 вв.)]. изводится всегда (при любом У) несколько точнее, Работы А. Кетле (19 в., Бельгия), Ф. Гальтона (19 в., чем оценка вероятности р по относительной часто­ Англия) и К. Пирсона (конец 19 — начало 20 вв., Англия), к-рых в буржуазной литературе чаще те Л при п независимых испытаниях. Когда ^--^-оо, всего выдвигают как основателей М. с., имели боль­ шое значение, но по уровню использования достиже­ формулы задачи о выборке переходят асимптотиче­ ний теории вероятностей отставали от работ рус­ ски в формулы задачи об оценке вероятности р. ской школы, а в части использования методов См. также Выборочный метод. М. с. в социальных и биологич. науках имели реак­ ционную направленность. К. Пирсоном была широко VI. Дальнейшие задачи математической статистики. развёрнута работа по составлению таблиц функций, необходимых для применения методов М. с. В созда­ Теория оценок и вообще статистич. выводов, по­ нии теории малых выборок, общей теории статистич. строенных на использовании результатов заданного оценок и проверки гипотез, последовательного ана­ числа п независимых наблюдений с постоянным рас­ лиза весьма значительна роль более молодых предста­ пределением вероятностей, и теория выборочного вителей англо-американской школы [Стьюдент метода для случая выборок фиксированного объёма (псевдоним В. Госсета), Р. Фишер, Э. Пирсон — п остаются наиболее разработанными разделами М.с. Англия, Ю. Нейман, А. Вальд — США], деятель­ ность к-рых началась в 20-х гг. 20 в. В СССР значи­ Классическая теория корреляции изучает зависи­ мость между величинами на основе совокупности н е за­ тельные результаты в области М. с. получены вис и м ы х наблюдений. Напр., зависимость между вели­ В. И. Романовским, Е. Е. Слуцким, к-рому принад­ чинами и 7| исследуется при помощи п независимых между собой наблюдений, каждое из к-рых даёт пару значений лежат важные работы по статистике связанных ста­ (х>, Уд. подчинённых исследуемому совместному распределе­ ционарных рядов, Н. В. Смирновым, заложившим нию величин Е и т). По аналогичной схеме изучается зависи­ основы теории непараметрических методов М. с.; мость между качественными признаками при помощи диспер­ на основе М. с. особенно интенсивно разрабаты­ сионного анализа (см.). ваются статистич. методы исследования и контроля, массового производства, статистич. методы в об­ Методы исследования зависимых наблюдений под­ ласти гидрологии (см. Гидрологические расчёты), верглись в М. с. глубокой разработке лишь в тео­ климатологии, звёздной астрономии и многие др. рии временных рядов, гл. обр. при сильно ограни­ Советские учёные подвергают критике ошибочные чивающем условии их стационарности (см. Стацио­ методология, установки, формализм и упрощен­ нарные вероятностные процессы). Большое значе­ чество буржуазных научных школ в области М. с. ние имеют также вопросы планирования Полному пересмотру подвергнуты в советской нау­ статистического эксперимента. В ке вопросы применения М. с. в биологических и со­ простейшем случае — это вопрос определения чи­ циальных науках, где формальные методы М. с. осо­ сла испытаний п, необходимого для получения с заданным уровнем значимости вынодов требуемой бенно часто используются буржуазными учёными в точности и полноты. Однако часто априорное опре­ антинаучных целях (см. Статистика, Биометрия). деление числа наблюдений невозможно (или нецеле­ сообразно, так как, не фиксируя число наблюде­ Лит.: Романовский В. И., Элементарный курс мате­ ний заранее, а определяя его в ходе эксперимента, матической статистики, М.—Л., 1939; Митрополь­ можво уменьшить его математич. ожидание). Ме­ ский А. К., Техвика статистического исчисления. М.—Л._ тоды статистич. эксперимента, в к-рых число на­ блюдений не фиксируется заранее, а устанав­ ливается в ходе эксперимента, объединяют в на­ стоящее время под общим названием последователь­ ного анализа (см.). Впрочем, простейшие приёмы 62 б. с. Э т. 26.

490 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА — МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЖУРНАЛЫ 1931; его же, Статистическое исчисление, т. 1—2, Л., только функциональных зависимостей. Отказ пред­ 1952; Длин А. М,, Математическая статистика в тех­ нике, 2 изд., М., 1951; Бородачев Н. А. иЖурав- ставителей этой школы от причинного объяснения л е в А. Н., Статистические методы анализа и контроля качества продукции, хода технологического процесса и со­ означает отказ от выяснения внутреннего существа стояния производственного оборудования, в кн.; Машино­ экономия, категорий и процессов. В этом ярко вы­ строение, Энциклопедический справочник, т. 15, М., 1950 (стр. 597—647); Романовский В. И., Математиче­ ражается полное банкротство и апологетич. сущ­ ская статистика, М,—Л., 1938; К р а м е р Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Арлей Н. и ность вульгарной политич. экономии, скользящей Бух К. Р., Введение в теорию вероятностей и математиче­ лишь по поверхности явлений и сознательно отка­ скую статистику, пер. с англ., М., 1951; Pearson К., Tables for statisticians and blometrlclans, p. 1—2, L., 1930—31; зывающейся проникать внутрь их, ибо это грозит К end al 1 M. (1., The advanced theory of statistics, v, 1 — 2, разоблачением капиталистич. эксплуатации. Так, L. , 1948; H a 1 d A., Statistical theory with engineering ap­ plications, N. Y.—L., 1952; его же, Statistical tables and М. ш. в. п. э. трактует цену (см.) только как количест­ formulas, N. Y., 1952. венное отношение двух вещей, за к-рым нет, по Обзор работ советских учёных в её утверждению, социально-экономич. сущности. области математической статистики — Смирнов Н. В., Математическая статистика, в кн.: Ма­ В учении математич. школы цена выступает как тематика в СССР за тридцать лет. 1917—1947. Сб. статей, категория, лишённая внутреннего содержания и за­ под ред. А. Г. Куроша [и др.], М.—Л., 1948. висящая от чисто случайных и внешних условий. Столь же антинаучной, как и теория цены М. ш. в. п. э., МАТЕМАТЙЧЕСКАЯ ФИЗИКА — термин, не является её теория распределения, согласно к-рой имеющий чётко установленного значения; под этим названием объединяют гл. обр. математич. методы заработная плата, процент и земельная рента пред­ исследования и решения встречающихся в физике дифференциальных уравнений. См. Уравнения ма­ ставляют собой продукт трёх видов капиталов — тематической физики. личных, движимых и земельных. На основании этой теории представители математич. школы утвержда­ МАТЕМАТЙЧЕСКАЯ ШКОЛА ВУЛЬГАРНОЙ ют, будто рабочие являются владельцами личных ка­ ПОЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИИ — одно из направ­ питалов. Заявляя, что прибыль есть результат чисто природного процесса использования потреби­ лений вульгарной политической экономии,представи­ тельной стоимости, заключающейся в капитале, тели к-рой подменяли научный анализ экономии, яв­ лений математич. манипуляциями. По своему содер­ М. ш. в. п. э. отрицает эксплуатацию рабочего класса. жанию теория математич. школы родственна воз­ В частности, Парето доказывал, что капитал произво­ зрениям австрийской школы (см.). Положения по­ следней математич. школа пытается облечь в матема­ дит прибыль гак же «просто», как вишнёвое дерево тич. форму, для того чтобы прикрыть её науч­ ную несостоятельность. М. ш. в. п. э. возникла приносит вишнн. в 80-х гг. 19 в., т. е. в тот период, когда классовая М. ш. в. п. э. выступила с защитой свободной кон­ борьба пролетариата приняла более острые и угро­ жающие для капитализма формы, чем прежде. В этих куренции. Поэтому она в дальнейшем не могла условиях представители математич. школы — англ, экономист У. Джевонс, итал. экономист В. Парето удовлетворить буржуазию, к-рая в период империа­ и др., видя банкротство историч. школы (см. Исто­ лизма и особенно общего кризиса капитализма тре­ рическая школа в политической экономии), стремились бует от своих учёных апологетов безудержного вос­ создать для буржуазии иное оружие борьбы против теории марксизма, всё шире внедрявшейся в созна­ хваления монополистич. капитала и распростране­ ние пролетариата и всех трудящихся. Применяя в целях апологетики капитализма математич. метод, сто­ ния открыто реакционных измышлений. В этих ронники М. ш. в. п. э. пытались «подкрепить» этим условиях влияние М. ш. в. п. э. практически сошло т. н. теорию «предельной полезности!) (см.). на нет. М. ш. в.п. э., грубо извращая сущность политич. эко­ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЖУРНАЛЫ. Специаль номии, превращала её в один из разделов матема­ тики и сводила предмет политич. экономии исключи­ ные М. ж., являющиеся органами различных науч­ тельно к определению величин цены, заработной пла­ ных обществ, объединений или издательств, исто­ ты, прибыли, ренты и т. д. Под прикрытием различ­ ных математич. формул, придающих их работам «учё­ рически возникли сравнительно поздно, в начале ный» вид, представители М. ш. в. п. э. выхолащивали 19 в, В настоящее время во всём мире насчитывается из политич. экономии всё, что связано с противо­ речиями капитализма и классовой борьбой. В своём более 100 М, ж. В это число не входят разнообраз­ стремлении подменить анализ экономия, явлений тенденциозными количественными подсчётами, сбли­ ные непериодич. издания, к-рые иногда также можно зить политич. экономию с механикой, отождест­ рассматривать как М. ж. особого рода. Значительно вить социально-экономич. процессы с физич. про­ возросший выпуск математич. публикаций (как жур­ цессами представители М. ш. в. п. э. договаривались нальных статей, так и книжной литературы) сделал до самых нелепых измышлений. Так, Парето заяв­ необходимым издание реферативных журналов по лял, будто суть экономия, явлений — в установле­ нии соответствия между вкусами человека и пре­ математике, регулярно сообщающих в краткой форме пятствиями на пути к удовлетворению этих вкусов. о содержании вышедших в свет статей и книг. Рас­ В целях апологетики капитализма М. ш. в. п. э. старается максимально «упростить» анализ эконо­ ширение математич. образования определило со­ мия. действительности, изобразить её в виде одно- •образных процессов, различающихся между со­ здание М. ж., посвящённых педагогия, вопросам и бой лишь своими количественными показателями. методике преподавания математики (гл. обр. в сред­ M. ш. в. п. э. совершенно игнорирует изучение при­ них учебных заведениях). В помещаемый ниже об­ чин экономия, явлений,ограничиваясь рассмотрением зор включены также общие научные издания, отводя­ щие значительное место математич. публикациям. Отечественным М. ж. принадлежит ведущая роль во всей мировой математич. периодике. Еще в 18 в. математич. публикации в изданиях Петербургской академии наук оказывали существенное, а часто и решающее влияние на развитие математики. Значе­ ние советских М. ж. определяется высоким научным уровнем статей, оригинальностью постановки про­ блем. Общие журналы. Отдельные математич. статьи впервые стали печататься в общих журналах. Боль­ шой историч. интерес представляют: «Journal des savants» (Париж, с 1665, одновременно из­ давался в Амстердаме и Кёльне). В журнале публикова­ лись работы братьев Бернулли (см.) по исчислению бесконеч­ но малых.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЖУРНАЛЫ 4SI «Phllosophical transactions of the Royal society ot London» malica pura ed applicata» (Рим — Милан — Болонья, c 1858); (орган Лондонского королевского общества; выходит с 1665, «Proceedings ot the London mathematical society» (Лондон, c в 1887 разделен на две серии, одна из к-рых — «Mathematical 1865); «Mathematische Annalen» (Лейпциг — Берлин, с 1869); and physical sciences»), «Bulletin de la Société mathématique de France» (Пария:, c 1872); «American journal of mathematics» (Балтимор [CIIIA1, «Acta eruditorum» (выходил в Лейпциге с 1682 по 1731). c 1878); «Acta mathematica» (Упсала—Стокгольм, c 1882); В этом журнале были напечатаны многочисленные работы «Annals of mathematics» (Принстон, с 1884); «Rendicontl del Г. Лейбница (см.) по дифференциальному и интегральному clrcolo matematico dl Palermo» (Палермо [Италия], с 1887); исчислению, изложение содержания «Математических начал «Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung» натуральной философии» И. Ньютона (см.), а также статьи (Лейпциг— Берлин, с 1892); «Transactions ot the American Г. Лопиталя (см.), Бернулли и других виднейших матема­ mathematical society» (Минаша — Нью-Йорк — Ланкастер, тиков. с 1900); «Bulletin of the American mathematical society» (Минаша —■ Нью-Йорк — Ланкастер, с 1891); «Sitzungs­ «Commentaril Academlae sclentlarum lmperialls Petropo- berichte der Berliner mathematischen Gesellschaft» (Лейпциг— litanae» (орган Петербургской академии наук; выходил в Пе­ Берлин — Гёттинген, 1901—38); «Töhoku mathematical тербурге с 1728 по 1751), название было изменено на «Novi journal» (Сендай [Япония], с 1911). cominentarii Academlae sclentlarum lmperialls Petropoll­ tanae» (1750—76), затем на «Acta Academlae sclentlarum im- Специализированными М. ж. более позднего пе­ perlalis Petropolltanae» (1778—86), «Nova acta Academiae риода являются: sclentlarum lmperialls Petropolltanae» (1787—1806) и «Mémoi­ res de ГAcadémie impériale des sciences de St.-Pétersbourg» «Труды Математического института им. В. А. Стеклова» (выходил под различными дополнительными подзаголовками с (Л.—М., с 1931); «Известия Академии наук СССР. Серия мате­ 1809 по 1897).Вэтих и некоторых других изданиях Петербург­ матическая» (М., с 1937); «Труды Тбилисского математиче­ ской академии наук были помещены 43 работы Д. Бернулли, ского института» (Тбилиси, с 1937, на рус. и груз.яз.); «Укра­ 473 работы Л. Эйлера (ем.) (статьи Эйлера печатались вплоть инский математический журнал» (Киев, с 1949); «Journal of до 1830). the London mathematical society» (Лондон, с 1926); «Acta scientiarum mathematicorum» (Сегед [Венгрия], c 1922); Другие наиболее важные общие периодич. издания Петер­ «Rendiconti del seminario matematico della focolta di scienze бургской академии наук, содержащие математич.сочинения: della universita di Roma» (Рим, c 191 3/14); «Studla mathema­ «Mémoires présentés à l’Académie impériale des sciences de tica» (Львов — Вроцлав, с 1929); «Colloquium mathematlcum» St.-Pétersbourg par divers savants et lus dans ses assemblées» (Вроцлав, с 1947): «Revista matemática din Timisoara» (1831—59); «Bulletin scientillque» (1837—42); «Bulletin de la (Тимишоара [Румыния], с 1921); «Mathematica» (Клуж classe physico-mathématique de l’Académie Impériale des [Румыния], с 1929), «Commentaril mathematicl helveticl» sciences de St.-Pétersbourg» (1843—59); «Bulletin de l’Aca- (Цюрих, с 1928); «Quarterly of applied mathematics» (Минаша démie impériale des sciences de St.-Pétersbourg» (1860—94): [США], с І943); «Duke mathematical journal» (Дергем [США], «Mélanges mathématiques et astronomiques» (1853—94); «За­ с 1935); «Mathematische Zeitschrift» (Берлин, с 1918); писки Академии наук» (1862—95) и «Записки Академии «Compositlo mathematica» (Гронинген, 1934—40, с 1950): наук» (8 серия, по отделению физико-математических наук, «Journal of the Chinese mathematica] society» (Пекин, с 1951). 1894—1930); «Известия Академии наук» (5 серия,1894— 1906; 6 серия, 1907—27; 7 серия — отделение физико- По преимуществу математике посвящены следую­ математических наук, 1928—31, и отделение математических щие журналы: и естественных паук, 1931—35). В этих изданиях-было напе­ чатано большое число работ знаменитых русских математи­ «Journal de l’École polytechnique» (Париж, c 1795); «Anna­ ков (М. В. Остроградского — 60, В. Я. Буняковского — 103, les scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure» (Париж, c П. Л. Чебышева — 50, Е. И. Золотарева —6, А. А. Маркова — 1864); «Casopis pro péstovanl matematiky a fisiky» (Прага, 51, А. М. Ляпунова — 20, В. А. Стеклова — 47). c 1872); «Monatshefte für Mathematik und Physik» (Лейпциг— Вена, с 1890); «Zeitschrift für angewandte Mathematik und Многочисленные научные общества и универси­ Mechanik» (Берлин, c 1921); «Zeitschrift für Mathematik und теты в различных городах России и СССР издавали Physik» (Лейпциг, 1856—1917); «Прикладная математика и свои «Известия», «Труды», «Сообщения», «Сборники механика» (М.—Л., 1933—36, Новая серия. М., с 1937). работ» ит. п., в к-рых также помещались матема­ тич. статьи. Среди этих изданий особенно выде­ Небольшое число М. ж. поснящено отдельным об­ ляются: ластям математики: «Казанский вестник» (см.) (1821—33) и его продолжение «Acta arithmetica» (Варшава, с 1935); «Fundamenta mathe- «Ученые записки Казанского университета» (см.) (с 1834), matlcae» (Варшава, с 1920 — журнал, посвящённый теории в к-рых впервые были опубликованы важнейшие сочинения множеств), «Journal of symbolic logic» (Минаша — Балти­ И. И. Лобачевского (см.); «Известия Физико-математического мора [США], с 1936), «Annales of mathematical statistics» общества при Казанском университете» (с 1891); «Ученые за­ (Анн-Арбор [США], с 1930); «Mathematical tables and other писки Московского университета» (1833—36), «Ученые за­ aids to consumption» (Вашингтон, c 1943); журналы по исто­ писки Московского университета. Отдел физико-математи­ рии математики: «Физико-математические науки в их настоя­ ческий» (1880—1916); «Ученые записки Московского универ­ щем и прошедшем» (1885—97, 1899—1905)—журнал В. В. Бо­ ситета им. М. В. Ломоносова» (с 1933); «Журнал Ленинград­ бынина; «Bibliotheca mathematica» (Стокгольм — Лейпциг, ского физико-математического общества» (1926—29). 1884—1915); «Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen» (Лейпциг, Различные общие издания иностранных академий, 1877—1913); «Il bolletino di matemática» (Рим — Болонья, университетов и научных общестн также отводят с 1902); «Bolletino di bibliografia е storia delle scienze matema- значительное место математич. публикациям. tiche (Турин, 1898—1919); «Scripta mathematica» (Нью- Йорк, c 1932). Ряд крупных общих журналов имеет своим назна­ чением быстрое (в течение 2—3 недель) опублико­ Реферативные журналы. «Русская библиография по есте­ вание коротких предварительных сообщений о до­ ствознанию и математике, составленная при имп. Академии паук С.-Петербургским бюро международной библиографии» стигнутых результатах (обычно без доказательств) (СПБ, 1904—17); «Физико-математический реферативный по различным наукам, в том числе по математике. журнал» (М., 1939—41); «Реферативный журнал. Матема­ Основными журналами этого типа являются: тика» (М., с 1953); «Jahrbuch über die Fortschritte der Mathe­ matik» (Берлин— Лейпциг, с 1868), «Zentralblatt für Mathe­ «Доклады Академии наук СССР», издаваемые с 1922 (еже­ matik und ihre Grenzgebiete» (Берлин, c 1931); «Mathematical декадно) и «Comptes rendus de l’Académie des sciences», изда­ Reviews» (Ланкастер [США], с 1940). ваемые Парижской академией наук с 1835 (еженедельно). Следует отметить также «Сообщения Академии наук Грузин­ Журналы по общим вопросам и по элементарной ской ССР» (Тбилиси, ежемесячно, с 1940, на рус. и груз, яз.) математике. Новым направлением в математич. жур­ и «Proceedlngs ot the National academie of sciences ol the налистике было начавшееся в 1936 издание выпу­ United States of America» (Вашингтон, ежемесячно, с 1915). сков «Успехи математических наук» (см.) (в 1936 — 1944 вышло 10 выпусков). С 1946 «Успехи математи­ Специализированные математические журналы. ческих наук» — М. ж., посвящённый обзорам со­ Старейшими и крупнейшими М. ж., продолжающими временного состояния наиболее актуальных вопросов математики и важнейших событий математич. жиз­ сохранять ведущее положение и в настоящее время, ни в СССР. являются: Из журналов по общим нопросам и по элементар­ »Математический сборник» (см.) (основан Московским ма­ ной математике и методике её преподавания можно тематическим обществом, издаётся в Москве с 1866); «Сооб­ указать следующие: щения Харьковского математического общества» (см.) (назва­ ние журнала несколько раз менялось, издаётся в Харькове «Педагогический сборник» (СПБ, 1864—1918); «Математи­ с 1879); «Journal de mathématiques pures et appliquées» ческий сборник. Отдел второй» (М.., 1867—78); «Вестник опыт­ (Париж, c 1836); «Journal fllr die reine und angewandte Mathe- ной физики и элементарной математики» (Киев— Одесса, mattk» (Берлин — Лейпциг, с 1826); «Quarterly journal of pure and applled matheniatics» (Лондон, 1857—1929); «Quarterly journal of matheniatics» (Оксфорд, c 1930); «Annal! di mate- 62*

492 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАКИ — МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МАШИНЫ 18S6—1917); «Математическое образование» (М., 1912—17, нальные устройства (см.) и т. п.]. Такие приборы на­ 1928—30); «Математика в школе» (М., с 1937); «Mathesls» зывают часто счётно-решающими устройствами (см.), (Гент—Парши, с 1881); «Éducation mathématique» (Париж, с 1898); «Enseignement mathématique» (Женева — Париж, с в) Собственно М. м.— совокупность устройств,связан­ 1899) , «Journal de mathématiques élémentaires» (Париж, ных автоматич. управлением [напр., интегрирующая с 1877), «Revue de mathématiques spéciales» (Париж, c 1890); машина (см.), машины для решения систем линей­ «Zeitschrift fiir mathematischen und naturwlssenschaftlichen ных алгебраич. уравнений, минимизаторы (см.)]. Unterricht aller Schulgattungen» (Берлин — Лейпциг, 1870— 1939), «Mathematics teacher» (Сиракузы— Ланкастер — Точность решения, даваемого М. м. этого типа, со­ Нью-Йорк, с 1908); «American mathematical monthly» (Ланкастер — Минаша — Чикаго, с 1894); «Intermédiaire ставляет несколько значащих цифр (напр., точность des recherches mathématiques» (Париж, с 1945). планиметров—две-три значащие цифры, нек-рых ин­ тегрирующих машин— до четырёх); причиной огра­ МАТЕМАТЙЧЕСКИЕ ЗНАКИ — см. Знаки мате- ничения точности часто является недостаточная чув­ матические. МАТЕМАТЙЧЕСКИЕ МАШЙНЫ — машины, ствительность измерительных приборов. М. м. первого типа позволяют решать задачи пу­ применяемые для решения математич. задач. М. м. тём осуществления численного алгоритма (см.), предназначены с помощью тех или иных технич. т. е. последовательности арифметич. и логич. опе­ средств упрощать и ускорять производство различ­ раций (напр., выборка из таблиц функций, сравне­ ных математич. операций, приводящих к решению ние чисел по величине и т. п.). При работе на ариф­ данной задачи. М. м. возникли и непрестанно со­ вершенствуются в процессе развития и взаимодей­ мометре последний используется лишь для выпол­ нения отдельных арифметич. действий, необходи­ ствия математики и техники, науки и практики (об мый же порядок действий и выполнение логич. опе­ этом, а также об историческом и народнохозяйст­ раций обеспечиваются вычислителем, к-рый, кроме венном значении М. м. см. статью Счётная машин­ того, записывает результаты действий на заранее за­ ная техника). Среди М. м. имеются устройства, ос­ готовленном вычислительном бланке и набирает нованные на различных физических принципах: па клавиатуре нужные числа. При использовании механическом, электрическом, оптическом, гид­ счётно-аналитич. машин числа наносятся на специ­ равлическом и др., а также на сочетаниях некото­ альные карты в виде расположенных в определён­ рых из этих принципов. Не существует резкой гра­ ном порядке пробивок — перфораций (см. Перфо­ ратор), к-рые машина воспринимает автомати­ ницы между М. м. и математическими прибора­ ми (см.). чески. В таком же виде, что и числа, кодируются (см. Код) и воспринимаются «команды», управляю­ М. м. в собственном смысле слова представляют собой обычно совокупность объединённых автоматич. щие работой машины (см. Перфорационный прин­ цип управления). Каждая из счётно-аналитич. ма­ управлением устройств, осуществляющих различ­ ные математич. операции, а также устройств, слу­ шин выполняет лишь определённую операцию (напр., табулятор вычисляет алгебраич. сумму чисел, мно­ жащих для ввода в машину исходных величин и вы­ дачи результата. Напр., интегрирующая машина жительный автомат — произведение, раскладочная машина производит сортировку, упорядочение карт содержит интеграторы, сумматоры, множительные, ит. п.), поэтому при работе с комплектом таких ма­ функциональные и другие устройства, работающие шин вычислитель не освобождён от «распределитель­ автоматически. ных» обязанностей (напр., переброска карт, содер­ В зависимости от того, в каком виде представля­ жащих промежуточные результаты, из одной маши­ ются в М. м. значения переменных, её можно отне­ ны в другую). сти к одному из двух основных типов: От этих функций вычислитель полностью освобож­ Цифровые, или вычислительные дён при работе на универсальной вычислительной ма­ (счётные), машины — машины дискретного дей­ шине с автоматич. управлением. Весь процесс вычи­ ствия, оперирующие над значениями переменных, слений на такой машине, от восприятия данных до представленными в виде чисел (см. Вычислительные выдачи результата, полностью автоматизирован. Ма­ машины). К М. м. этого типа относятся суммирующие шина состоит из устройств, производящих арифме­ машины, арифмометры (см.) и автоматич. арифмо­ тич. действия, хранящих результаты вычислений и метры (см. Счётные маш ины) с электрич. приводами, управляющих работой машины, а также устройств, счётно-аналитические машины (см.), счётные машины служащих для ввода и вывода данных. с автоматич. управлением (см. Универсалъные вы­ Решению каждой задачи предшествует её про­ числительные машины, Электронные вычислительные граммирование (см.). Оно состоит из: 1) Выбора ме­ машины, Релейные вычислительные машины). При тода решения задачи и составления такого соответ­ соответствующем оборудовании цифровая машина позволяет найти решение с любой требуемой точно­ ствующего ему и наиболее экономного численного стью. алгоритма, к-рый может быть реализован в усло­ Машины непрерывного дейст­ виях ограниченных возможностей данной машины. вия, производящие операции над переменными, 2) Записи алгоритма с помощью определённого к-рые могут принимать непрерывный ряд значений. кода, позволяющего представить числовые данные К ним относятся: а) Приборы, предназначенные для и «команды», отвечающие определённым арифме­ выполнения вполне определённой операции (не­ тич. и логич. операциям алгоритма. 3) Фактич. на­ скольких операций) или для решения определённой задачи (нескольких задач) и работающие, как пра­ несения разработанной программы на перфоленту, вило, самостоятельно вне связи с другими М. м. ленту магнитной записи и т. п. [напр., планиметр, пантограф, гармонический ана­ Нанесённые данные и «команды» воспринимаются лизатор, курвиметр (см.), интегриметр, интеграф, специальным устройством машины, к-рое, воздейст­ дифференциатор (см. Математические приборы) вуя на соответствующие электрич. цепи машины, и т. п.]. При этом известные величины задаются управляет её работой, обеспечивает требуемый по­ обычно в виде графиков, б) Приборы, хотя и выпол­ рядок действий и выдачу результата. няющие определённую операцию, но работающие совместно с другими приборами и являющиеся ча­ Первая часть работ по программированию тре­ бует, как правило, значительно больше времени, стью более сложных М. м. [напр., интеграторы, чем для производства самих вычислений; поэтому сумматоры, множительные устройства, функцио­ универсальные вычислительные машины с успехом »

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МАШИНЫ — МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ 493 используются для решения задач, в к-рых имеются Подобным же образом составляется схема настройки ма­ многократные повторения аналогичных последова­ шины в общем случае; соответствующая схема может быть тельностей действий. Универсальные М. м. являются составлена для весьма широкого класса обыкновенных диф­ сложнейшими устройствами, и сама эксплуатация их ференциальных уравнений. связана со многими математич. проблемами. Такие машины позволяют решить всякую задачу, если При решении более общих дифференциальных уравнений только для неё указан численный алгоритм. Од­ приходится вводить в машину функции, полученные опытным нако эта принципиальная универсальность ограни­ путём; для этого используются функциональные устройства чена обычно технич. параметрами машины, в различных типов. Современные интегрирующие машины ос­ особенности ёмкостью её «запоминающих» устройств, нованы на электронном принципе, однако составление схемы т. с. количеством чисел, к-рые могут одновременно настройки их проводится принципиально так же, как ука­ храниться в машине. зано выше для механич. интегрирующей машины. В нек-рых интегрируюших машинах настройка производится автома­ М. м. второго типа работают по принципу анало­ тически с помощью устройства программного управления, вос­ гий; они представляют собой физич. систему (опи­ принимающего соответствующие команды, к-рые кодируются сываемую теми же соотношениями, что и решаемая и вводятся в машину подобво тому, как это осуществляется в универсальных вычислительных машинах с автоматич. задача), позволяющую проводитьпеобходимые изме­ управлением. рения и получить нужный результат. М. м. непрерыв­ ного действия являются специализированными ма­ Интегрирующая машина может быть использо­ шинами и предназначены для решения задач более вана и для нек-рых других задач, напр. гармонии, или менее узкого класса |_папр., для гармонического анализа, решения систем линейных алгебраич. урав­ анализа (см.), решения систем линейных алгебраич. нений и т. п. уравнений, решения систем дифференциальных урав­ Лит.: Делоне Б. Н., Краткий курс математических нений]. Подобно вычислительным машинам, их рабо­ машин, ч. 1, М.—Л., 1952; КрыловА. Н., Собрание тру­ та автоматизирована в различной степени. Эти ма­ дов, т. 5, М,—Л., 1937; БрукИ. С., Машина для интегриро­ шины либо требуют участия вычислителя для ввода вания дифференциальных уравнений. М.—Л., 1941; Б ы х о в- данных и производства нек-рых действий, либо рабо­ ский М. А., Основы электронных математических машин тают совершенно автоматически от восприятия дан­ дискретного счета, «Успехи математических наук». 1949, ных до выдачи результатов в напечатанном виде. т. 4, вып. 3; Муррей Ф., Теория математических машин, Результат может быть также передан другому уст­ пер. с англ., М., 1949; Быстродействующие вычислительные машины, пер. с англ., М., 1952; Уилкс М., Уилер Д., ройству в виде механического или электрического Гилл С., Составление программ для электронных счетных воздействия. машин, пер. с англ.. М., 1953. Одной из распространённых М. м. непрерывного МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ — соревно­ действия является интегрирующая машина (см.). Первая интегрирующая машина была разработана и вания учащихся в решении математич. задач, орга­ построена в 1904 русским математиком А. Н. Крыло­ низуемые в порядке внеклассной или внешкольной вым. Для решения нек-рой системы дифференциаль­ работы. См. Олимпиады математические. ных уравнений машина должна быть соответствую­ щим образом настроена. Напр., в механических и МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ (или мате­ электромеханических интегрирующих машинах, где матические инструменты) — прибо­ значения каждой переменной задаются углом пово­ ры, применяемые для решения математич. задач. рота определённого вала, входные и выходные валы интеграторов и сумматоров должны быть так соеди­ КМ. п. относят разнообразные устройства: лога- рифмич. линейку, циркуль, конторские счёты, счёт­ нены между собой, чтобы при вращении вала неза­ чик, гармонич. анализатор и т. д. Обычно М. п. висимого переменного вращение вала искомой функ- отличают от математических машин (см.) в соб­ ции определяло решение. ственном смысле слова по следующим признакам: а) М. и. служат для выполнения определённой Начальные условия учитываются соответствую­ операции (нескольких операций) или для решения щей установкой интеграторов. Закон изменения ско­ определённой математич. задачи (нескольких задач); рости вала искомой функции может быть зафикси­ б) в М. п. не автоматизированы восприятие исход­ рован либо графически, либо в виде таблицы (с по­ ных данных, проведение вычислений и выдача ре­ мощью специального счётчика оборотов). Соответ­ зультата. Будучи основанными на различных фи­ ствующий график или таблица дают искомое решение. зических принципах, М. п. оперируют с перемен­ На рисунке изображена схе­ ными, представленными либо в виде чисел (ц и ф- ма соединения валов двух ин­ р о в ы е, или вычислительные, М. п.), теграторов и сумматора, соответ­ либо в виде физических величин (длин, сил тока, ствующая уравнению: напряжений и пр.), значения к-рых могут менять­ ся непрерывно (М. п. непрерывного дей­ у’ — у = 0. ствия). В тех случаях, когда М. п. предназначен для работы совместно с другими приборами или Вал х соединён с первыми вхо­ является частью более сложной математич. машины, дами обоих интеграторов, вто­ его принято называть счётно-решающим устрой­ рой вход интегратора I соединён с валом у'; выход его — с ва­ ством (см.). лом у'; этот последний — со вто­ К числу цифровых М. п. относятся конторские рым входом интегратора II, вы­ ход к-рого соединён с валом у. счёты, счётчики, суммирующие машины, арифмо­ Валы у и у\" соединены между собой в соответствии с требо­ метры с ручным приводом и др. О М. п. этого типа ванием уравнения у\"—у=0. Из схемы видно, что: 1) вращение вала х вызывает вращение валов всех переменных, 2) не про­ см. статью Вычислительные машины. изойдёт остановки или поломки устройства, ибо каждому Геометрич. приборы, служащие для решения гео­ валу вращение передаётся только от одного определённого вала; 3) соотношение у' — у=0 выполняется для каждого х, метрия. задач, принадлежат к М. п. непрерыв­ т. е. так настроенная машина представляет физич. систему, ного действия. Среди них: поведение к-рой описывается нужным уравнением. Вращение вала у (или у'} может быть либо выдано в качестве резуль­ 1) М. п. для построения отдельных точек по их тата, либо передано соответствующему элементу машины и декартовым или полярным координатам и для опре­ иснользовано при решении иного уравнения, в к-рое входит деления координат уже построенных точек — ко­ решение этого уравнения — функции ех, наир, уравнения: ординатограф (см.). у'ех~ віву’- у = 0. 2) М. п. для вычерчивания линий (напр., цир­ куль, приборы для вычерчивания конич. сечений, спиралей и др.). 3) М. и. для перечерчивания линий с одним и тем же изменением масштаба по обеим координатным

494 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ осям (пантограф, см.) или с различными измене­ длиннее второго, соединены шарнирно в средней точке С рычага АВ. Концы А первого и В второго скользят вдоль ниями его по каждой из осей (аффинпанто- направляющей (оси Ох). На отростке рычага СВ насажено колесико К радиуса р, ось к-рого параллельна рычагу СВ, а г р а ф); нычерчинания линий, у к-рых координаты плоскость проходит через точку В. При перемещении обвод­ ного штифта В параллелько оси Оу точка Б остаётся не­ равны квадратам (корням квадратным и т. п.) подвижной, плоскость ко­ лёсика вращается вокруг ординат заданной линии; построения линии, полу­ оси, перпекдикулярной чер­ тежу и проходящей через чающейся из данной путём инверсии её точек точку В; при этом колёси­ ко не поворачивается во­ относительно нек-рой окружности (инверсор, см.); круг своей осн. При пере­ мещении А параллельно вычерчивания эвольвенты данной линии и т. п. оси Ох на (іх колёсико по­ ворачивается на число обо­ 4) М. п. для измерения длин дуг линий — курви­ ротов сіи: метр (см.), или длиномер. 2тер (іи ™ эіпагіх. Если длина СВ равна I и 5) М. п. для построения касательной к линии в у нек-рой её точке — дифференциатор. Боль­ ордината В есть у,то й*іпа- шинство дифференциаторов являются оптич. прибо­ н 4гр I (іи^у(іх. Следовательно, при любом х разность их—и& исходного и фиксируемого показаний счётного механиз­ рами. ма (числа оборотов колёсика) даёт величину, пропорциональ­ ную значению интеграла Простым дифференциатором служит, напр., трёхгран­ ная призма.Призму располагают на чертеже так, чтобы проек­ х ция её верхнего ребра на плоскость чертежа проходила че­ ydx = kml (иж —u0). рез данную точку М линии xe (рис. 1,а). Изображение ли­ нии будет видно сквозь Точность такого интегриметра — три значащие цифры. призму без разрыва вточке М только втомслучае,когда упомянутая проекция при­ мет направление нормали к линии в точке М (рис. 1 ,б). Это направление, а также направление касательной может быть отмечено с помощью дополнительного устройства, с к-рым связана призма. Существуют также специальные приборы для вы­ черчивания графика производной от функции, за­ 6) М. п. для построения графика функции Г(х)= X данной графически,— дифференциографы (их назы­ = у йх по заданному графику функции у=1(х) или, вают иногда дифференциаторами). 6) М. п. для определения кривизны кривой. ІІростейшим примером может служить один из пер­ вых по времени изме­ что то же, для построения интегральной кривой ритель кривизны, пред­ дифференциального уравнения = /(ж) — и н- ложенный русским ма­ тематиком П. Л. Чебы­ т е г р а ф. Интеграф автоматически воспроизво­ шевым (рис. 2), в кото- „ ром упругая пластинная дит порядок действий при графическом интегри­ і— с помощью нажимного ровании. винта б располагается Первый интеграф был построен краковским математиком Рис. 2. по кривой в окрестности Б.Абданк-Абакановичем в 1879. Простейший интеграф (рис. 4) точки, где измеряется состоит из каретки К„ перемещающейся вдоль оси Ох на кривизна. Прогиб пластинки, изогнутой по дуге соприка­ специальных катках. Шарнир Q\"i связанный~ с\" одн...и..м.....и. .з. сающегося круга, отсчитывают по шкале. двух параллельных оси Оу рельсов каретки К„ Большую группу М. п. непрерывного действия постоянно лежитнадосью Ох. Устройство позволяет составляют приборы механич. типа: рычагу ЬЕ поворачивать­ ся вокруг точки О и 1) М. п. для определения площади произвольной скользить через неё так, что длина отрезка ОЕ плоской фигуры — планиметр (см.), ь может меняться. Конец Е 2) М. и. для определения интегралов вида^/(х)х«/ж рычага ЕЕ скреплён шар­ нирно со стержнем ЕЕ. а Этот стержень, оставаясь параллельным оси Ох, пе­ ь ремещается вместе с ка­ реткой К,. Каретки К3 и или [' [f(x)]ndx (для определённого п), т. е. поляр- Кзкатятся соответственно по рельсам СО и АВ. а Стержень Е,Е,, парал­ лельный оси Ох, связан ных моментов и моментов инерции соответствующих с кареткой К, и поддер­ порядков плоских фигур, — моментометр живает ось Р,Р, колеса й (см. Планиметр). с острым краем (т. н. ко­ леса Абданка). Это коле­ 3) М. п. для вычисления коэфициентов Фурье за­ со, слегка врезаясь в бу­ данной функции — гармонический анализатор (см.). 4) М. п. для вычисления интегралов вида Рис. 4. |Т(х) df(x) магу, не может скользить по ней, а может....т..о..л..ь..к. о катиться в направлении своей плоскости. Осью колеса является одна из сторон РіР9 шар­ нирного параллелограмма Р,РаРаР4. Противоположная ей — стилтьес-планиметр (см. Планиметр). сторона Р3Р4 параллелограмма постоянно перпендикулярна Один из таких приборов был впервые построен рычагу LE и перемещается вдоль него вместе с кареткой К4. русским математиком А. Н. Крыловым в 1911. Точкой F стержня EF следуют вдоль графика функции у—/(х). Из чертежа видно, что угол «, образуемый рычагом с осью х Ох, таков, что tg а— ^2, где Ъ — неизменная проекция от­ 5) М. п. для вычисления интеграла | f(x)dx по резка ОЕ на ось Ох. Благодаря параллелограмму, проекция Хо плоскости колеса на чертеже постоянно составляет с осью методу, не требующему обвода всей (соответствую­ Ох угол «. Поэтому колесо движется по такой кривой F(x), щей интегралу) криволинейной трапеции, — и н- для к-рой угловой коэфициент касательной в каждой точке тегриметр. Обычный интегратор также яв­ равен /(х) Для каждого х ордината F(x) определяется рас­ ляется интегриметром. стоянием от оси Ох до точки соприкосновения колеса R с чертежом. Поэтому грифель, скреплённый с любой точкой Одна из простейших конструкций интегриметра показана на рис. 3. Два рычага АВ и СВ, из к-рых первый вдвое

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗВЛЕЧЕНИЯ И ИГРЫ 495- стержня E¡F,, вычерчивает график функции Игра Б а ш е, Из кучки, содержащей п (напр., 35) пред­ метов, двое играющих берут поочерёдно не более чем по т- F(x)= у f(x)dx. (напр., 5) предметов. Выигрывает тот, кто возьмет последние предметы. Теория игры устанавливает, что если п не делится Хо на тп-|-1, то начинающий игру непременно выиграет, если каждый раз будет оставлять партнёру число предметов, крат­ Точность подобного интеграфа находится в пределах ное тп-Р 1 (в примере — кратное шести). обычной точности графич. вычислений. Идея, положенная в основу конструкции описанного М. п., используется во всех Игра «15». Играет один человек. На шестнадцатикле­ интеграфах; колесо Абданка — непременная и главная их точной доске расположены в случайном порядке 15 пере­ часть. Аналогичный принцип используется в так называе­ нумерованных шашек. Передвигая шашку одну за другой мых обобщённых интеграфах, предназначенных для вычер­ на свободную клетку с любой из смежных с ней клеток, тре­ чивания интегральных кривых обыкновенных дифферен­ буется упорядочить расположение шашек (привести к нор­ циальных уравнений, и каждый из них — лишь для вполне мальному расположению — положению /, указанному на определённого типа уравнений (напр., для линейных урав­ рис. 1). Теоретич. анализ игры, известный с 1879, показы­ нений первого порядка, уравнений Риккати и т. п.). Эти вает, что задача может быть решена только в том случае, интеграфы, имея ограниченную область применения, не по­ если число инверсий (см.) (т. е. число нарушений нормального' лучили распространения, уступив место интегрирующим расположснин), образуемых номерами шашек в исходном машинам (см.), пригодным для интегрирования весьма ши­ положении, имеет ту же чётность, что и номер строки, в к-рой рокого класеа^обыкновенных дифференциальных уравнений. есть свободная клетка. Чтобы установить число инверсий, надо для каждой шашки подсчитать число предшествую­ В большой группе М. п. переменные величины и щих ей шашек с ббльшим номером и сложить все эти операции над ними моделируются (см. Моделиро­ числа; их сумма и равна искомому числу инверсий. При этом вание математическое) на электрич. сетках (цепях) устанавливается следующая последовательность в исход­ с активными сопротивлениями, ёмкостями и индук­ ном расположении шашек: слева направо вдоль строк и тивностями. Основой такого моделирования являют­ сверху вниз при переходе от одной строки к другой. ся законы Ома и Кирхгофа, связываюшие величины Напр., в расположении II (см. рис. 1) число инверсий силы тока, напряжения и параметров цепи. Так, равно 40, т. к. в последовательности номеров іпатпек.' напр., суммирование (вычитание) моделируется суммированием (нычитанием) соответствующих на­ 6, 3, 8, 1, 4. 15, 2, 7, 13, 12, 14, 5, 10, 11, 9 пряжений с помощью потенциометра, умножение числу 3 предшествует одно число, большее его (число 6), и деление — с помощью цепей мостикового типа числу 8 — ни одного, числу 1 — три (числа 6, 3, 8), и т. д. Моделирование сетками широко применяют, числу 4 —два (числа 6 и 8) и т. д. Таким образом, рас­ напр., для интегрирования уравнений с частными положение II может быть приведено к нормальному, т. к. производными. число инверсий в нём чётно (равно 40) и свободная клетка Описанные механич. приборы и электрич. сетки 0000 для интегрирования наиболее употребительны, од­ 000 нако вместе с совершенствованием электронной, а 0000 также оптической измерительной техники появи­ 0000 лись электронные и оптич. приборы, моделирующие различные математич. операции (напр., интегриро­ / и III вание). Так, напр., среди оптич. приборов имеются М. п. для определения площадей плоских фигур, Рис. 1. гармония, анализа, периодограммного анализа, вы­ полнения преобразований Фурье (см. Фурье преобра­ находится в чётной(во 2-й) строке. Напротив, расположение- зование) и т. п. III привести н нормальному невозможно, т. к. число инвер­ сий в нём нечётно (равно 1 : шашка с № 15 предшествует Для решения этих же и других математич. задач шашке с № 14), а свободная клетка находится в 4-й строке имеются М. п., основанные на иных физич. прин­ (в строке с чётным номером). ципах. Полное математич. обоснование имеется также у Лит.: Крылова. Н., Лекции о приближенных вычис­ лениях, 5 изд., М.—Л., 195С; Садовский Л. Е., Ин­ таких М. р. и и., как вычерчивание фигур одним рос­ тегрирующие механизмы, «Успехи математических наук», 1948, т. 3, вып. 3; Г у т е н м а х е р Л. И., Электрические черком, лабиринты, комбинаторные задачи на шах­ модели физических явлений, «Электричество», 1948, № 8: Виллере Ф. А., Математические инструменты, пер. е матной доске и др. Большая группа М. р. и и. свя­ нем., М., 1949; Мейер Цур Капе л лен В., Матема­ тические инструменты, пер. е нем.. М., 1950; Свобода А., зана с поисками оригинальных и красивых решений Счетно-решающие механизмы, пер. е англ., М., 1949. задач, допускающих практически неисчерпаемое- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗВЛЕЧЁНИЯ И ЙГРЫ. Математическими развлечения- или даже бесконечное множество решений. м и называют обычно разнообразные задачи и уп­ К числу таких развлечений относится, напр., «составле­ ражнения занимательного характера, требующие ние паркетов» — задача о заполнении плоскости правильно проявления находчивости, смекалки, оригинально­ чередующимися фигурами одного и того же вида (напр., сти мышления, умения критически оценить усло­ одноимёнными правильными многоугольникамн)или несколь­ вия или постановку вопроса; в частности — голо­ ких данных видов. Если «двухцветный квадратный пар­ воломки, задачи на превращение одной фигуры в дру­ кет» с осями симметрии А'А и В' В (см. рис. 2) составляется' гую путём разрезания и переложения частей, фо­ из 4п2 равных квадратов, каждый из к-рых кусы, основанные на вычислениях, математич. игры. разбит диагональю на белую и чёрную по­ К математическим играм относят та­ ловины, то число различных паркетов рав­ кие игры, исход к-рых может быть предопределён предварительным теоретич. анализом. но 42,2 (это число быстро растёт при возра­ стании п). Каждая математич. игра, как правило, состоит Д'- _д в поочерёдном выполнении играющим или несколь­ кими играющими определённых действий — ходов— Очень большое, до сих пор точно с целью решения заранее поставленной задачи. Тео­ рия математич. игр устанавливает условия, выпол­ не установленное, число решений нение к-рых обеспечивает победу. Полное матема­ тич. обоснование имеют, напр., следующие игры: имеют также: задача Эйлера о шах­ матном коне — обойти ходом коня РіІ0 2 шахматную доску, побывав на каж­ дой клетке по одному разу, и задача о составлении многоклеточных магических квадратов (см.). В по­ добного рода задачах интересуются обычно опреде­ лением числа решений, разработкой методов, даю­ щих сразу большие группы решений. Математич. содержание ряда других М. р. и и.— в установле­ нии наименьшего числа операций, необходимых для достижения поставленной цели. К таким развлечениям относятся: задачи типа «переправ», «размещений» или игры, аналогичные игре «ханойская баш­ ня». суть к-рой в подсчёте числа ходов, необходимых для перенесения пластинок со столбика А (см. рис. 3) на стол-

496 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ МАРКСА бик С, пользуясь столбиком В, если за один ход можно (14 марта 1883) прервала эту работу, и опа осталась переносить лишь одну пластинку с любого столбика на лю­ незаконченной. Математич. рукописи К. Маркса бой другой, но нельзя класть ббльшую пластинку выше были частично опубликованы лишь в 1933 в СССР. меньшей. Математич. рукописи К. Маркса разделяются на М. р. и и. пользовались вниманием многих круп­ четыре группы: ных учёных [итал. математики Леонардо Пизанский Первая группа состоит гл. обр. из тех руко­ (13 в.), Н. Тарталья (16 в.), Дж. Кардано (16 в.), фран­ писей, в к-рых речь идёт о приложениях математики к политич. экономии. К этой же группе относятся цузский математик рукописи, в к-рых отражается первоначальное озна­ комление К. Маркса с дифференциальным и инте­ с Г.Монж(2-я половина гральным исчислением; н последнем К. Маркса при­ влекла его широкая приложимость к решению задач В 18 — начало 19 вн.), естествознания и практики. Убедившись в преимуще­ петербургский акаде­ ствах этого исчисления, в его простоте и лёгкости, в его практич. значении, К. Маркс переходит затем к выяс­ мик Л. Эйлер (18 в.) нению сущности его основных понятий и операций. и др.]. Наиболее пол­ Вторая группа отражает тот период заня­ ные сборникиМ.р.и и. тий, когда К. Маркс собирал весь доступный ему материал с целью разобраться в основных поня­ //■ начали появляться тиях и приёмах дифференциального исчисления, с 17 века. Содейстнуя а также в связях между дифференциальным исчис­ повышению интереса учащихся к матема­ лением и алгеброй. В тетрадях по алгебре К. Маркс уделяет особое тике, развитию со­ внимание подбору материала по следующим во­ образительности, на­ просам: стойчивости и внимания, М. р. и и. применяются а) Как происходит переход от элементарной ал­ гебры к дифференциальному исчислению? также и в педагогия, процессе. В России это нашло б) Какую роль при этом играет теорема о би­ отражение уже в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого номе Ньютона? (1703) и даже в математик, рукописях 17 в. в) Как вообще происходит переход от много­ Лит.: Игнатьев Е. И., В царстве смекалки, или члена конечной степени к бесконечному ряду? Арифметика для всех, ин. 1—3, 2 изд., М.—Л., 1924—25; Кордемский Б. А., Математическая смекалка, М., г) Чем отличаются выражения вида -у в алгебре и 1 954; Перельман Я. И., Живая математика, 3 изд., М.—Л., 1949; его же, Занимательная арифметика, 7 изд., в дифференциальном исчислении? М.—Л., 1938; его же, Занимательная алгебра, 5 изд., д) Где и как могло зародиться в алгебре понятие М.—Л., 1950; его же, Занимательная геометрия, 8 изд., М.—Л., 1951; Кордемский Б. А. иРусалевН. В., функции — основное понятие математич. анализа? Удивительный квадрат, М.—Л., 1952; Окунев Л. Я., е) В какой форме и при решении каких задач встре­ Комбинаторные задачи на шахматной доске, М.—Л., 1935; Шуберт Г., Математические развлечения и игры, пер. с чаются в алгебре прообразы производных функций? нем., 2 изд., Одесса, 1923; А р е н с В., Математические игры, В конспектах по дифференциальному исчисле­ пер. с нем., Л.—М., 1924; Kraltchik М., Mathematical recreations, L., 1943. нию К. Маркс детально выясняет и сравнивает раз­ личные способы определения оснонных понятии и МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ МАРКСА — приёмы, характерные для этого исчисления. сохранившиеся в рукописном наследии К. Маркса Третью группу составляют работы, по­ свящённые критич. пересмотру попыток обоснова­ рукописи, посвящённые в большинстве сноём про­ ния дифференциального исчисления, прежде всего теории аналитич. функций Лагранжа. В центре вни­ блеме диалектико-материалистич. обоснования диф­ мания К. Маркса при этом находился вопрос об ал- гебраич. корнях дифференциального исчисления и о ференциального исчисления, его основных понятий и связи теорем Тейлора и Маклорена е теоремой (обоб­ щённой) о биноме Ньютона. операций; рукописи эти насчитывают свыше 1 000 Работая над выяснением диалектич. перехода от листов. алгебры к дифференциальному исчислению, К. Маркс обращает внимание на то, что основатели дифферен­ Математикой К. Маркс начал заниматься в конце циального исчисления, равно как и учёные более позднего времени, с самого начала действовали на 50-х гг. 19 в. в снязи с работой над «Капиталом» и не почве самого исчисления и не искали его алгебраич. истоков. Ньютон «был еще слишком поглощен раз­ прекращал этих занятий до последних дней своей работкой самих диференциальных операций, которые у Тэйлора и Маклорена предполагаются как данные жизни. Работая совершенно самостоятельно, он бы­ и известные. Кроме того Ньютон... пришел к ним сперва от механических, а не принадлежащих чи­ стро перешёл от арифметики и алгебры к изучению стому анализу исходных положений.— Что касает­ ся... Тэйлора и Маклорена, то они с самого начала дифференциального исчисления. Здесь перед ним работали и действовали на почве самого дифереп- циального исчисления и поэтому не имели никакого встала задача «сорвать покров тайны», окружавшей повода к тому, чтобы искать возможно более про­ стых алгебраических истоков этого исчисления со времени И. Ньютона и Г. Лейбница основные по­ тем более, что спор между ньютонианцами и лейбни- цианцами вращался вокруг определенных, уже го­ нятия и методы дифференциального исчисления. товых форм исчисления, как новооткрытой, совер­ шенно особой, как небо от земли отличной от обык­ Труднейшая задача обоснования дифференциального исчисления стала для К. Маркса пробным камнем применения метода материалистич. диалектики к ма­ тематике. При решении этой задачи К. Маркс про­ делал большую предварительную работу. Он изучил и критически сравнил многочисленные учебники по математич. анализу, применявшиеся в высших шко­ лах Англии и Франции (среди них курсы С. Лакруа, Дж. Гайнда, Т. Хелла, Ж. Бушарла, Сори, Г. Хем- минга и др.); познакомился с нек-рыми произведе­ ниями в первоисточниках (напр., с работой Ньютона «Анализ при помощи уравнений с бесконечным чис­ лом членов»). Для решения ряда возникших вопро­ сов он детально изучил, кроме того, курсы алгебры Л. Эйлера, К. Маклорена, С. Лакруа и др. Проделанная работа убедила К. Маркса в не­ удовлетворительности всех известных ему попыток обоснования дифференциального исчисления и по­ служила основой для выработки собственного метода. В конце 70-х годов К. Маркс приступил к систематич. изложению своей точки зрения. Смерть

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ МАРКСА 497 новенной алгебры математической дисциплины... Дж # О, К. Маркс получает для «предварительной» производной символич. выражение Производная Действительные и потому простейшие связи нового со старым всегда открываются лишь, когда самое /'(ж) соответственно обозначается символически новое принимает уже законченные формы...» Этот символ, к-рый К. Маркс (в соответствии с упо­ (Маркс К., см. журн. «Под знаменем марксизма», 1933, № 1, стр. 93—94). требительной в его время терминологией) называет К. Маркс тщательно изучил «чисто алгебраиче­ «символическим диференциальным коэфициентом», ское диференциальное исчисление» Лагранжа (см. там же, стр. 68) и пришёл к выводу, что по­ непосредственно имеет смысл только в целом. Од-, пытка Лагранжа заменить дифференциальное исчи­ сление исчислением функций является несостоя­ нако, в силу способа образования производной, ра­ тельной. В приложениях своей теории аналитич. венство d, ll = f(x)d,x (1) функций Лагранж сам постоянно нуждается в том оказывается и математически правильным и несво­ или другом из отвергаемых им «метафизических» димым к тождеству 0=0. Формула (1), к-рую мож­ но рассматривать как определение дифференциала, представлений, таких, как ньютоновы флюксии, верна и для дифференцирования сложной функции. лейбницевы бесконечно малые различных поряд­ В этом случае она используется как оператив­ ков, предельные значения отношения исчезающих ная формула, позволяющая (в довольно широких предположениях) свести нахождение производной величин, а также в специфической для дифферен­ от функции 7^(г)=/ [ср («)] к отысканию производных циального исчисления символике. /'(ж) и <р'(х). Для этого достаточно в формулу (1) Четвёртая группа в основном состоит подставить ж=ср (г) и сІх--'?'(і^і. Отношение и из самостоятельных работ, в к-рых К. Маркс изла­ даёт теперь производную функцию ?'(«). гает собственные мысли об основных понятиях и ме­ тодах дифференциального исчисления и об исто­ Но таким образом происходит оборачивание ме­ тода: мы идём не от реального математич. процесса рия. ходе его развития. образования производной к её символич. выраже­ Задача, которую ставил перед собой К. Маркс, нию, а, наоборот, опираясь на символич. формулу состояла в выяснении сущности дифференциального (1) и образуя отношение , находим выражение для исчисления как такового, т. е. как особого матема- тич. исчисления, оперирующего с характерными производной Р'(»)- Первым (нетривиальным) при­ для него символами. В соответствии с этим К. Маркс мером такого оборачивания метода является прежде всего выявляет реальное содержание процес­ дифференцирование произведения у=иг. Обращаясь са дифференцирования и останавливается на спосо­ к выводу формулы +з^, К. Маркс бах непосредственного нахождения производной функции (см. Дифференциальное исчисление). указывает, что символические дифференциальные коэфициенты становятся при этом «самостоя­ Производная /'(ж) от функции /(х) получается, по тельным исходным пун кто м». Их «ре­ К. Марксу, следующим образом: альный эквивалент лишь должен быть найден... Но тем самым и диференциальное исчисление вы­ Для функции у=і(х) сначала образуется (если это ступает как некоторое специфическое исчисление, возможно) «предварительная производная», т. е. такая функция Ф(хЕ,х) двух переменных хг и х, уже самостоятельно оперирующее на своей собст- к-рая при хг—х непрерывна, а для х-^х удовлет­ воряет соотношению Ф(х1,х) = • Значение этой функции для хг= х и есть производная функ бѳннои почве. Ибо его исходные пункты: ~ суть ция /'(ж). лишь ему принадлежащие и его характеризующие К. Маркс ищет алгоритмич. приёмы, позволяющие (в простейших случаях) непосредственно находить математические величины. И это обращение метода по выражению функции /(ж) выражение производ­ получилось здесь как результат алгебраического ной і'(х). Так, для случая степенной функции у=хп диференцирования иг. Таким образом алгебраиче­ х'1-хп ский метод сам собой превращается в противополож­ этот приём состоит в следующем: отношение х ~ ный ему диференциальный... Но тем самым сим­ преобразуется к виду волические диференциальные коэфициенты тотчас превращаются в оперативные симво- Ф(хь х) = х” —’ + ж• ж” ~2 -¡-х2-х\"~3 + л ы. в символы процессов, которые должны быть + ■ . . 4-ж\"~2 • х, -рх\" '1 , произведены... для нахождения... .произподных“. что при х1 = х даёт Возникший первоначально как символическое вы­ /'(х) = хп~1 -|-ж”—’+ . . . -\\-хп — 1=: пхп~1 , ражение .производной“, т. е. уже выполненных п раз операций диференцирования,— символический ди- ференциальиый коэфициепт играет теперь роль Такого рода способы непосредственного нахожде­ символа операций диференцирования, которые лишь ния производной К. Маркс называл «алгебраиче­ ским» дифференцированием. Термин «алгебраиче­ нужно еще произвести» (Маркс К., см. там же, ское» употребляется им в том же смысле, в каком он стр. 28—29). встречается у многих математиков 19 в. (папр., у Н. И. Лобачевского): как не требующий использо­ К. Маркс не ограничивается понятием дифферен­ вания понятий актуально бесконечно малого, диф­ циала как оперативного символа. В применении к ференциала и т. п. вопросу о приближённом выражении приращения функции он использует понятие дифференциала как «Алгебраический» способ дифференцирования до­ главной линейной части приращения. Понятие диф­ пускает символич. отображение в ставшей общепри­ ференциала как оперативного символа, впервые открытое К. Марксом, и различие обоих понятий нятой форме. Обозначив разности Хі—х и уг—у~ дифференциала приобретает, как это показано со­ =/(жх)—/(ж) соответственно через Дж и Ду, причём ветским математиком В. И. Гливенко, особенно важ­ ное значение в современных обобщениях понятия дифференциала на функциональный анализ. ★ 63 в. С. Э. т. 26.

498 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ МАРКСА — «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК» В истории обоснования дифференциального исчис­ о математич. отображении движения, о соотношении ления К. Маркс различает следующие периоды: между историч. ходом развития науки и её логич. обоснованием, а также многочисленные вопросы 1) Мистическое дифференциаль­ истории математики. По всем этим вопросам, являю­ ное исчисление. В силу того, что осново­ щимся актуальными и в настоящее время, мате­ положники дифференциального исчисления, в матич. рукописи К. Маркса содержат чрезвычай­ первую очередь Ньютон и Лейбниц, прираще­ но ценные высказывания. Математические рукописи ние аргумента рассматривали с самого начала К. Маркса представляют образец применения мето­ как дифференциал, они могли получать правиль­ да материалистич. диалектики к математике. ные результаты лишь посредством отбрасывания дифференциалов более высоких порядков. Это с Лит.: Маркс К.. [Математические рукописи], «Под зна­ неизбежностью приводило к тому, что дифферен­ менем марксизма», 1933, № 1 (стр. 15—73); е г о ж е, [Письмо] циалу приписывались какие-то особые таинствен­ Энгельсу 11 января 1858 г., в кн.: Маркс К. иЭнгельс Ф., ные свойства, что он рассматривался как неко­ Соч., т. 22, М.—Л., 1931; е г о ж е, [Письмо] Энгельсуб июля торая мистич. величина: и нуль и не нуль одновре­ 1863 г., там же, т. 23, М.—Л., 1930; Энгельс Ф., [Письмо] менно. К. Маркс не видел в этом никакой диалектики Марксу 18 августа 1881 г., в кн.: Маркс К. и Энгельс Ф„ и считал такую трактовку положительно неправиль­ Соч., т. 24, М.—Л., 1931; его же, [Письмо] Марксу ной. В то же время К. Маркс высоко оценивал са­ 21 и 22 ноября 1882г., там же; Яновская С., О математи­ мое открытие дифференциального исчисления Нью­ ческих рукописях К. Маркса, «Под знаменем марксизма», тоном и Лейбницем и подчёркивал то обстоятельство, 1933, Лі 1; Гливенко В. И., Понятие диференциала у что борьба мнений, развернувшаяся вокруг этого Маркса и Адамара, там же, 1934, № 5. открытия, была необходимой, чтобы проложить путь МАТЕМАТЙЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ — см. Таб­ новому. В связи с этим особенно существенно следующее лицы математические. МАТЕМАТЙЧЕСКИИ ИНСТИТУТ ЙМЕНИ замечание К. Маркса: «Итак: сами верили в мисти­ ческий характер новооткрытого исчисления, кото­ В. А. СТЕКЛбВА АКАДЕМИИ НАУК СССР — цент­ рое давало правильные (и притом в геометрическом ральное советское научно-исследовательское учреж­ применении прямо поразительные) результаты ма­ дение, разрабатывающее вопросы математики; нахо­ тематически положительао неправильным путем. дится в Москве. Институт существует как самостоя­ Таким образом сами себя мистифицировали и тем тельное учреждение с 1934, когда он выделился из со­ более ценили новое открытие, тем более бесили става Физико-математич. института Академии наук, толпу старых ортодоксальных математиков и вызва­ организованного В, А. Стекловым в 1921. С мо­ ли таким образом враждебный крик, отдавшийся мента основания Математический институт был воз­ даже в мире несведущих в математике людей и быв­ главлен И. М. Виноградовым, к-рый является дирек­ ший необходимым для того, чтобы проложить путь тором и в настоящее время (1954). новому» (см. журн. «Под знаменем марксизма», 1933, № 1, стр. 65). В институте разрабатываются наиболее важные проблемы теории чисел, алгебры, геометрии, топо­ 2) Рациональное дифференциаль­ ное исчисление Д'А ламбера исправ­ логии, теории функций, дифференциальных уравне­ ляет метод Ньютона и Лейбница. Переменному аргу­ ний, теории вероятностей, математич. статистики менту х даётся вначале конечное приращение Дж, и других разделов математики. Научными сотруд­ благодаря чему функция у—](х) получает конечное никами института выполнен ряд работ, имеющих фун­ же приращение Ді/. Лишь затем, когда уже состав- даментальное значение: созданы новый метод в ана- литич. теории чисел и методы исследования транс­ лено отношение —, полагают Дж=0. Определение цендентных чисел; разработана теория выпуклых многогранников и выпуклых поверхностей; по­ производной становится, таким образом, математиче­ строена гомология, теория топология, пространств; ски строгим, однако реальный (эффективный) спо­ соб нахождения производной при этом не выявляет­ развита теория характеров топология, групп; изу­ чена топология, структура замкнутых групп Ли; ся. Больше того, составление отношения фактиче­ разработана теория представления групп; исследо­ ваны вопросы теории приближения функций и тео­ ски основывается на предположении, что разложе­ рии тригонометрия, рядов; разработана теория квази­ ние выражения )(х-^-\\х) в ряд по степеням Дж уже най­ конформных отображений; проведено изучение си­ дено, т. е. что найдена и искомая производная /'(ас), стем дифференциальных уравнений с частными произ­ к-рую остаётся только «высвободить из ее окруже­ водными; даны вовые методы изучения уравнений с ния» (термин К. Маркса). частными производными гиперболического и сме­ шанного типа; получила дальнейшее развитие ка­ 3) Чисто алгебраическое диффе­ чественная теория дифференциальных уравнений; ренциальное исчисление Лагранжа разработаны аналитич. методы в теории вероятно­ уже явно исходит из разложимости функции/(ж-|-Л) стей; исследованы непараметрич. задачи математич. в ряд по степеням К и определяет производвую как статистики; изучены различные вопросы математич. коэфициент члена ряда, содержащего приращение /і теории упругости, гидродинамики и др. Авторы мно­ в первой степени. Вопрос об алгоритмах нахождения гих из перечисленных работ удостоены за них Сталин­ производной (для определённых классов функций), ских премий. При институте имеется кандидатская и таким образом, и здесь остаётся нерешённым. докторская аспирантура. Институт издаёт «Труды» Больше того, Лагранж так и не доходит до собст­ (по 1953 вышел 41 том). венно дифференциального исчисления. Дифферен­ циальные символы у вего представляют собой про­ МАТЕМАТЙЧЕСКИИ МАЯТНИК — абстрактное сто «дело номенклатуры, которая одна лишь остается понятие, применяемое для характеристики коле­ от собственно диференциального исчисления» баний вокруг оси тяжёлого тела, размерами к-рого (Маркс К., см. там же, стр. 69). можно пренебречь по сравнению с длиной подве­ са — нити или стержня; последние при этом счи­ В ходе работы над математикой К. Маркс инте­ таются невесомыми. См. Маятник. ресовался широким кругом вопросов. Среди них (кроме отмеченных): о роли математич. символики, «МАТЕМАТЙЧЕСКИИ СВбРНИК» — старейший русский математич. журнал, на страницах к-рого публикуются оригинальные научные исследования, относящиеся к различным разделам математики;