ใบความรู้ matrix สำหรับ modle

หนว่ ยท่ี 2 เมตรกิ ซ(์ Matrix) ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 ครูชณนั ตญา กองใจ

เมตริกซ์(Matrix) การเขยี นจานวนตวั เลขอาจเขยี นในรูปแบบเฉพาะทีต่ วั เลขแตล่ ะตวั มีตาแหน่งแน่ชดั เป็ นกลุ่มเรียงแถวและหลกั อยา่ งเป็ นระเบยี บ เรียกกลุ่มตวั เลขน้ีวา่ เมตริกซ์ สามารถสร้างใหก้ ระทาเป็ นระบบสอดคลอ้ งกนั โดยกาหนดคุณสมบตั ิ และการกระทาไดด้ ว้ ย การบวก ลบ คูณและส่วนกลบั นอกจากน้ีนาไปคานวณในลกั ษณะเฉพาะที่เรียกวา่ ดีเทอร์ มิแนนท์ ปฏิบตั ิการเช่ือมโยงกนั และนาไปประยกุ ตใ์ ชแ้ กร้ ะบบสมการเชิงเสน้ ไดอ้ ยา่ งมีประสิทธิภาพ เมตริกซ์(Matrix) กลุ่มของตวั เลขหรือจานวนท่ีเขียนเรียงกนั เป็นแถวหรือหลกั ในลกั ษณะสี่เหล่ียมผนื ผา้ สามารถจาแนก จานวนแถวและหลกั ไดอ้ ยา่ งชดั เจนและเขยี น [ ] หรือ ( ) ลอ้ มรอบตวั เลขเหล่าน้ีเรียกวา่ เมตริกซ์ และเรียกตวั เลขทอี่ ยู่ ภายในวา่ “สมาชิก” เมตริกซ์ท่มี ีจานวนแถว(Row) = m แถว และหลกั (Column) = n หลกั เรียกวา่ m×n เมตริกซ์ เช่น เมตริกซ์ A มีมิติ 2×3 จะเขียนเมตริกซ์ ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ [ ]A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 2×3 จากตวั อยา่ งน้ีเรียกเมตริกซ์ A วา่ มี 2 แถว 3 หลกั มีสมาชิกท้งั หมด 6 ตวั สญั ลกั ษณ์รูปทวั่ ไปของ A = [aij]m×n i=1,2,3,4…,m j=1,2,3,4…,n หมายถึง เมตริกซ์ A มีจานวนแถว m จานวนหลกั n โดยที่ a11 หมายถึงสมาชิกทอ่ี ยใู่ นแถวท่ี 1 หลกั ที่ 1 หมายถึงสมาชิกทอี่ ยใู่ นแถวที่ 2 หลกั ท่ี 3 a23 หมายถึงสมาชิกทีอ่ ยใู่ นแถวท่ี i หลกั ที่ j aij ขอ้ สงั เกต*** i เป็ นตวั เลขบอกตาแหน่งแถว j เป็ นตวั เลขบอกตาแหน่งหลกั และสมาชิกทกุ ตวั ของเมตริกซม์ ี ตาแหน่งของตวั เองเสมอ

ชนดิ ของเมตริกซ์ การเรียงตวั ของกลุ่มตวั เลข หรือสมาชิก สามารถจาแนกและเรียกช่ือเฉพาะและมีคณุ สมบตั ดิ งั น้ี 1. เมตริกซ์แถว (Row Matrix) เป็นเมตริกซ์ทีม่ ีสมาชิกเพยี งแถวเดียว เช่น A=[0 -1 2]1×3 เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 1×3 [ ]2 . เมตริกซ์หลกั (Column Matrix) เป็นเมตริกซท์ ่ีมี สมาชิกเพยี ง หลกั เดียว 4 เช่น A= 3 -2 3×1 เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 3×1 3 เป็ นสมาชิกในตาแหน่ง a21 หรือแถวที่ 2 หลกั ที่ 1 3. เมตริกซ์ศูนย(์ Zero Matrix) เป็นเมตริกซท์ ี่มีสมาชิกทกุ ตวั เป็น 0 สญั ลกั ษณ์ 0 แทนเมตริกซศ์ นู ย์ เช่น [ ]0 0 A= 0 0 2×2 เมตริกซ์ 0 ท่ีมีขนาดมิติ 2×2 4. เมตริกซ์จตั ุรสั (Square Matrix) เป็ นเมตริกซ์ท่ีมีจานวนแถวและหลกั เท่ากนั A = [aij]m×n ; i=1,2,3,4…,n และ j=1,2,3,4…,n 1 -2 3 A= 0 5 -1 [ ]เช่น 0 1 2 3×3 เป็นเมตริกซจ์ ตั รุ ัสมีขนาดมิติ 3×3 และมีสมาชิก 9 ตวั 5. สเกลาร์เมตริกซ์(Scalar Matrix) เป็นเมตริกซ์จตั รุ สั ทมี่ ีสมาชิกในแนวเสน้ ทะแยงมุมหลกั (Main Diagonal) เท่ากนั หมด และสมาชิกที่เหลือเป็น 0 หมด  เช่น A= 300 030 0 0 3 33

6. เมตริกซ์เอกลกั ษณ์ (Identity Matrix) เป็น scalar matrix ทีม่ ีสมาชิกในแนวเสน้ ทะแยงมุมหลกั มีค่าเป็น 1 เทา่ กนั หมด สญั ลกั ษณ์ ใช้ I แทน Identity Matrix [ ]เช่น I2 หรือ I22 = 10 01 10 0 0 10 0 01 [ ]เช่น I2 หรือ I22 = เมตริกซเ์ อกลกั ษณ์เป็นเมตริกซท์ ี่มีคุณสมบตั สิ าคญั ในการคูณ การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์ A ทรานสโพสของเมตริกซ์(Transpose Matrix) ถา้ A เป็นเมตริกซ์ทม่ี ี มิติ 33 ทรานสโพสของเมตริกซ์ A เกิดจากการเปล่ียนที่จากแถวเป็ นหลกั ของ เมตริกซ์ A สญั ลกั ษณ์ At แทน ทรานสโพสของเมตริกซ์ A นน่ั คอื A = [aij] มีมิติ m  n At = [aji] มีมิติ n  m 1 2 -1 0 3 5 23 [ ]ตวั อยา่ ง A = [ ]1 0 23 At = -1 5 32

การเท่ากนั ของเมตริกซ์ เมตริกซ์ใด ๆ จะเป็ นเมตริกซ์เท่ากนั ภายใต้เง่ือนไข 1. เมตริกซจ์ ะตอ้ งมีมิติเทา่ กนั 2. สมาชิกในแต่ละตาแหน่งเทา่ กนั เช่น 1 8 -2 4 A= [ ] [ ]0.5 4 -1 B= 1 2 -2 1 16 -1 2 A= B การบวกและการลบเมตริกซ์ การบวกและการลบเมตริกซส์ องเมตริกซใ์ ด ๆ สามารถกระทาไดภ้ ายใตเ้ ง่อื นไข 1. เมตริกซ์ ท้งั สองตอ้ งมีมิติเทา่ กนั 2. นาสมาชิกที่อยตู่ าแหน่งเดียวกนั บวกหรือลบกนั นิยาม ให้ A = [a1j]mn และ B = [bij]mn จะได้ Cij = Aij + Bij (1) A + B = C = [c1j]mn โดยท่ี Cij = Aij - Bij (2) A - B = C = [c1j]mn โดยท่ี [ ] [ ] [ ]ตัวอย่าง กาหนดให้ A = 1 2 27 B= -3 5 C= 3 -8 6 -2 41 1+(-5) 2 + 5 2 + 6 7 +(-2) [ ] [ ]1 A + B = = -3 7 8 -5 จากโจทยจ์ งหาคา่ ของ 1. B – A = 2 (A + B ) + C = 3 (B + A) - C = 4 B – (A + C) = 5 A + ( B + C) =

สมบตั ิของการบวก ถา้ A , B , C เป็นเมตริกซม์ ิติ mn 1. A + B เป็นเมตริกซ์มิติ mn (คุณสมบตั ิปิ ด) 2. A + B = B + A (คุณสมบตั ิสลบั ท)่ี 3. A + (B + C) = (A + B ) + C (คุณสมบตั เิ ปล่ียนกล่มุ ได)้ 4. นเอกลกั าณ์การบวกคือ 0 + A = A + 0 = A 5 วอร์สการบวกของเมตริกซ์ A คอื -A โดยท่ี A + (-A) = 0 การคูณเมตริกซ์ ด้วย สเกลาร์ กาหนด k เป็นสเกลาร์ ใด ๆ แลว้ abc [ ]ka kb kc xyz kx ky kz [ ]kA =k = การคณู เมตริกซ์ ด้วยเมตริกซ์ เมตริกซ์ จะคูณกนั ไดก้ ต็ อ่ เมื่อ จานวนหลกั ของเมตริกซต์ วั ต้งั เทา่ กบั จานวนแถวของเมตริกซ์ตวั คูณ ถา้ A , B ,C เป็นเมตริกซ์ A มีมิติ m  n B มีมิติ n  p และ AB = C แลว้ C มีมิติ m  p Amn Bnp = Cmp การคูณตามผงั ท่แี สดงกล่าวคอื แถวของตวั ต้งั ไปคูณกบั หลกั ของตวั คูณ โดยคูณสมาชิกทสี่ มนยั กนั เป็นคู่ ทา เช่นน้ีเร่ือย ๆ จนครบทกุ หลกั และเริ่มท่แี ถวทสี่ องตอ่ ไป ตามผงั 22 เป็ นตวั อยา่ ง

-2 -1 -4 -3 ตัวอย่าง กาหนด A = 1 2 [ ]B= [ ]3 4 [ ][ ]วธิ ีทา AB = 1 2 -2 -1 3 4 -4 -3 [ ][ ]1 2 -2 -1 = 1(-2) + 2(-4) = –2– 8 = -10 3 4 -4 -3 [ ][ ]1 2 -2 -1 = 1(-1) + 2(-3) = - 1 –6 = -7 3 4 -4 -3 [ ][ ]1 2 -2 -1 = 3(-2) + 4(-3) = -6 –16 = -22 3 4 -4 -3 [ ][ ]1 2 -2 -1 = 3(-1) + 4(-3) = -3 -12 = -15 3 4 -4 -3 -10 -7 -22 -15 [ ]AB = ดีเทอร์มิแนนท์ (Determinant) เป็นคา่ ท่ีไดจ้ ากการคานวณจากเมตริกซท์ ก่ี าหนดให้ A เป็น nn เมตริกซ์ ดีเทอร์มิแนนทข์ องเมตริกซ์ A เขยี นแทนดว้ ย det(A) หรือ A ดงั น้ี [ ]A =ab, [ ]a b - cd c dว จะได้ det(A) = ad - bc + *** 1. det(A) ท่ีมิมิติ 33 เมตริกซ์ จะเพม่ิ 2 หลกั แรก และหาคา่ โดยวธิ ีใชล้ ูกศร 2 det(At) =det(A) 3. det(An) = (det(A))n 4. det(AB) = det(A)det(B)

อนิ เวอร์การคณู ของเมตริกซ์ (Inverse Matrix) นิยาม [ ]a b แลว้ A-1 = 1 [ ]d -b A= cd det( A) -c a 4 -3 จงหา A-1 -2 -1 ตัวอย่าง [ ]A = วธิ ีทา [ ]A-1 = 1 ( 10 ) –1 3 24 1 -3 10 10 -1 -2 [ ]A-1 = 55 การหาดีเทอร์มีแนนท์โดยวธิ กี ารของโคแฟคเตอร์(Cofactor) นอกจากวธิ ีการใชล้ ูกศรช่วยในการหาดีเทอร์มีแนนทแ์ ลว้ การใช้ Cofactor เป็ นวธิ ีการทีตอ้ งใชก้ บั เมตริกซท์ ม่ี ีขนาดมากกวา่ 33 โคแฟคเตอร์(Cofactor) กาหนด A = [aij]nm n2 โคแฟคเตอร์ของ aij คอื ผลคูณของ (-1)i+j และไมเนอร์ของ aij เขยี นแทนโคแฟคเตอร์ของ aij ดว้ ย Aij โดยที่ Aij = (-1)I+j Mij และ Mij แทนไมเนอร์ของ aij ก่อนที่จะหาโคแฟคเตอร์จาเป็นตอ้ งรูจ้ กั วธิ ีหาไมเนอร์ ดงั น้ี ไมเนอร์(Minor) ของเมตริกซ์ A ให้ M แทน ไมเนอร์(Minor) ของเมตริกซ์ A ไมเนอร์(Minor) ของเมตริกซ์ A คือดีเทอร์มีแนนทข์ องเมตริกซ์ A ท่เี กิดจากการตดั แถว i และหลกั ที่ j ออก ถา้ ให้ A = [ ]a b c ] de f g h i 33

M11 คือไมเนอร์ของ A แถวที่ 1 และ หลกั ท่ี 1 M11 = ef h i = ei - hf สมาชิก a11 เป็ นจุดตดั ออก ในแถวที่ 1 หลกั ที่ 1 ดงั เสน้ ประที่แสดงไว้ ส่วนท่เี หลือเป็ นไมเนอร์ของ A และเป็น ดีเทอร์มิแนนท์ จงึ ใชส้ ญั ลกั ษณ์   กากบั ไว้ แบบฝึ กหดั เมตริกซ์ จงเติมเฉพาะคาตอบในช่องว่าง -1 -1 1 1  ,C = 2 1 3 1.กาหนดให้ A = 1  ,B= 0 2  2 1 5 0  3 3  จงหา (1) -4AC ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... (2) AB ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 2. กาหนดให้ A = 1 1 , B = 2 -1  3 1  - 3 2  (1) จงแสดงวา่ AB = BA หรือไม่ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... (2) จงหา (AB) t ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................

3.จงหา B t A t ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 4.จงหาค่า (3A) t ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 3.กาหนดให้ A = 2 4 ,B= -1 0 3  5  -1  2  (1) จงหา det (A) ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... (2) จงหา det(AB) ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... (3) จงหา det(A)det(B) ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 2 2 4 4. กาหนดให้ A = 2 1 1 จงหา det (A) -1 1 -1 ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................

จงเติมเฉพาะคาตอบในช่องว่าง 5.กาหนดให้ A = 1 2 ,B= 0 5 - 3  2 8 4  (1) det(A) . det(A t ) = ......................................................................................... (2) (A+B) t = .................................................................................................. (3) det(B 2 ) = ...................................................................................................... (4) det (A) + det (B) = ...................................................................................... (5) det(A+B) = ..................................................................................................... 2 0 3 6.กาหนดให้ A= -1 0 4 จงหาคาตอบ 0 1 1  1.M = ............................................................................................................... 12 2.M = ................................................................................................................ 32 3.โคแฟคเตอร์ของ 2 คอื .................................................................................…… 4.โคแฟคเตอร์ของ -1 คอื ..............................................................................……. 5.det(A) = ........................................................................................................….. 1 2 3  7. กาหนดให้ A = 5 8 -1 จงหาคาตอบ โดยกาหนด I เป็ นเมตริกซ์เอกลกั ษณ์ 1 2 3  (1) AI = ......................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... (2) det (A) = .................................................................................................. ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................

(3) det(A t ) = .................................................................................................. ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 8. จงหาอินเวอร์การคูณของเมตริกซ์ตอ่ ไปน้ี (1) A = 5 4 3 1 ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... (2) B = 2 -5 1 - 3 ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................

10. จากสมการ 2 =3  x   8   5 2  y   9    ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................