่ข้อสอบโอเน็ต สถิติ

สถิติ 8 Nov 2017

สารบญัสถิติภาคบรรยาย...................................................................................................................................................................... 1การแจกแจงความถี่.................................................................................................................................................................. 4กราฟแจกแจงความถี่ ............................................................................................................................................................... 9แผนภาพต้น - ใบ................................................................................................................................................................... 12คา่ กลางข้อมลู ....................................................................................................................................................................... 13คา่ เฉลย่ี .................................................................................................................................................................................. 14คา่ เฉลยี่ ถว่ งนา้ หนกั ............................................................................................................................................................... 19คา่ เฉลยี่ (อนั ตรภาคชนั ้ เป็นชว่ ง)........................................................................................................................................... 21การหาคา่ เฉลย่ี โดยการลดทอนข้อมลู ................................................................................................................................... 24สมบตั ิของคา่ เฉลย่ี ................................................................................................................................................................ 28มธั ยฐาน................................................................................................................................................................................. 30มธั ยฐาน (อนั ตรภาคชนั ้ เป็นช่วง).......................................................................................................................................... 34มธั ยฐาน (จากกราฟ)............................................................................................................................................................. 36สมบตั ิของมธั ยฐาน ............................................................................................................................................................... 38ฐานนิยม ................................................................................................................................................................................ 40ฐานนิยม (อนั ตรภาคชนั ้ เป็นช่วง) ......................................................................................................................................... 44ฐานนิยม (จากกราฟ) ............................................................................................................................................................ 46สมบตั ิของฐานนิยม............................................................................................................................................................... 47คา่ เฉลย่ี - มธั ยฐาน - ฐานนิยม ............................................................................................................................................. 49การวดั ตาแหนง่ ข้อมลู ............................................................................................................................................................ 52การวดั ตาแหนง่ ข้อมลู (อนั ตรภาคชนั ้ เป็นชว่ ง) ..................................................................................................................... 60การวดั การกระจายสมั บรู ณ์ .................................................................................................................................................. 64พสิ ยั ....................................................................................................................................................................................... 65สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน ........................................................................................................................................................ 68สมบตั ขิ องสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน ....................................................................................................................................... 73แผนภาพกลอ่ ง....................................................................................................................................................................... 76

สถิติ 1 สถิติภาคบรรยายสถิติ จะแปลวา่ “ข้อมลู ” ก็ได้ หรือจะแปลวา่ “วธิ ีจดั การข้อมลู ” ตามระเบยี บวธิ ีการทางสถิติ ก็ได้สถิติมหี ลายชนิด ตามลกั ษณะการนาไปใช้ เชน่  สถิตเิ ชงิ พรรณนา = สถิตทิ ม่ี งุ่ อธิบายภาพรวมของข้อมลู  สถิตเิ ชิงอนมุ าน = สถิติท่ีศกึ ษากลมุ่ ตวั อยา่ งเลก็ ๆ เพอื่ เดาข้อสรุปของข้อมลู ทงั้ หมด  สถิติเพ่อื การตดั สนิ ใจ = สถิตชิ นดิ นี ้จะไมต่ ้องการภาพรวมของข้อมลู แตจ่ ะมงุ่ เน้นเพือ่ ตดั สนิ ใจบางเร่ือง โดยจะกาหนดก่อนวา่ ต้องใช้คา่ สถิตใิ ดในการตดั สนิ ใจ แล้วจึงเก็บข้อมลู เทา่ ทจ่ี าเป็นระเบียบวิธีการทางสถิติ ประกอบด้วย การเก็บข้อมลู → นาเสนอข้อมลู → วเิ คราะห์ → ตคี วามการเก็บข้อมลู สามารถเก็บจากทะเบยี นประวตั ิ จากการสารวจ จากการทดลอง หรือ จากการสงั เกตโดยเราแบง่ ประเภทข้อมลู ตามวธิ ีเก็บได้เป็น 2 ชนดิ  ข้อมลู ปฐมภมู ิ = ข้อมลู ทเ่ี ก็บจากต้นกาเนดิ ข้อมลู โดยตรง  ข้อมลู ทตุ ิยภมู ิ = ข้อมลู ท่เี ก็บจากผลการเก็บข้อมลู ของคนอ่ืนอีกที เช่น เก็บจากเอกสาร หรือทะเบียนทมี่ อี ยู่ซง่ึ ก่อนเก็บข้อมลู เราต้องเลอื กอกี วา่ จะเก็บจาก “ประชากร” หรือเก็บจาก “ตวั อยา่ ง”  ประชากร = ข้อมลู “ทงั้ หมด”  ตวั อยา่ ง = ข้อมลู “บางสว่ น”การเก็บข้อมลู จากประชากร จะได้ผลครบถ้วนสมบรู ณ์กวา่ เก็บจากตวั อยา่ ง แตก่ ็ใช้เวลามากกวา่ในชีวติ จริง เรามกั นิยมเก็บข้อมลู จากจากตวั อยา่ งโดยจะมวี ธิ ีเลอื กตวั อยา่ งตามหลกั สถิติ เพ่ือให้ตวั อยา่ งที่เลอื ก สามารถเป็นตวั แทนของประชากรได้ใกล้เคยี งทีส่ ดุการนาเสนอข้อมลู คอื การเอาข้อมลู มาจดั เป็นรูปแบบทีเ่ ข้าใจง่าย ซง่ึ แบง่ ได้เป็น 2 แบบ คือ  ไมเ่ ป็นแบบแผน ได้แก่ การนาเสนอในรูปบทความ หรือ แบบกึ่งตาราง  เป็นแบบแผน ได้แก่ การนาเสนอด้วยตาราง แผนภมู ิ หรือ กราฟการวเิ คราะห์ข้อมลู คือ การหาข้อสรุปเก่ียวกบั ลกั ษณะตา่ งๆ (คา่ เฉลย่ี , มธั ยฐาน, ฐานนยิ ม, ฯลฯ) ของข้อมลูคา่ ทวี่ เิ คราะห์ได้ จะมชี ่ือเรียก 2 ช่ือ ขนึ ้ กบั วา่ เอาข้อมลู ระดบั ไหนมาวเิ คราะห์  พารามเิ ตอร์ = คา่ ที่ได้จาก “ประชากร”  คา่ สถิติ = คา่ ที่ได้จาก “ตวั อยา่ ง”ปกติ เราจะไมว่ เิ คราะห์ประชากร แตเ่ ราจะวเิ คราะห์ตวั อยา่ ง เพอื่ หาคา่ สถิติแล้วนามาประมาณพารามเิ ตอร์โดยข้อมลู ที่นามาวเิ คราะห์ จะแบง่ ได้เป็น 2 ประเภท  ข้อมลู เชงิ ปริมาณ คือ ข้อมลู ท่ีบอกปริมาณ เช่น อายุ สว่ นสงู นา้ หนกั  ข้อมลู เชิงคณุ ภาพ คือ ข้อมลู ที่แสดงคณุ สมบตั ิ เช่น เพศ กรุ๊ปเลอื ด ข้อมลู ประเภทนี ้จะไมส่ ามารถ บวก ลบ คณู หาร หรือเทียบมากกวา่ น้อยกวา่ ได้ จึงหาไมส่ ามารถหาคา่ เฉลยี่ หรือ มธั ยฐาน ได้การตีความข้อมลู คือ การหาข้อสรุปจากคา่ ทไ่ี ด้จากการวเิ คราะห์

2 สถิติ แบบฝึกหดั 1. ข้อใดถกู ต้อง 1. เบอร์โทรศพั ท์ เป็นข้อมลู เชิงปริมาณ 2. การเก็บข้อมลู ของชมุ ชน จากทวี่ า่ การเขต จดั เป็นการเก็บข้อมลู แบบปฐมภมู ิ 3. การหาคา่ เฉลย่ี ของข้อมลู เป็นสว่ นหนง่ึ ของการนาเสนอข้อมลู 4. สถิติเชิงอนมุ าน คอื สถิตทิ ่มี งุ่ อธิบายลกั ษณะกว้างๆของข้อมลู 5. พารามเิ ตอร์ คอื คา่ ทไี่ ด้จากการนากลมุ่ ตวั อยา่ งมาคานวณ 6. ประโยชน์ของการนาเสนอข้อมลู คือ ทาให้เข้าใจข้อมลู ได้ง่ายขนึ ้2. ข้อตอ่ ไปนมี ้ ีผลกระทบตอ่ ความถกู ต้องของการตดั สนิ ใจโดยใช้สถติ ิ ยกเว้นข้อใด [O-NET 52/34]1. ข้อมลู 2. สารสนเทศ 3. ขา่ วสาร 4. ความเช่ือ3. ข้อใดเป็นขนั้ ตอนหนง่ึ ของการสารวจความคดิ เห็น [O-NET 57/28] 1. ตงั้ สมมตุ ิฐานของปัญหาที่ทาการสารวจ 2. กาหนดขอบเขตของการสารวจ 3. ประมาณการคา่ ใช้จา่ ยในการสารวจความคิดเหน็ 4. คดั เลอื กผ้เู ก็บข้อมลู การสารวจ 5. นาผลการสารวจความคิดเห็นไปใช้ประโยชน์4. ข้อใดไมอ่ ยใู่ นขนั้ ตอนของการสารวจความคิดเห็น [O-NET 56/30]1. กาหนดขอบเขตของการสารวจ 2. กาหนดวธิ ีเลอื กตวั อยา่ ง3. สร้างแบบสารวจความคิดเห็น 4. ประมวลผลและวิเคราะห์ผลการสารวจ5. เผยแพร่ผลการสารวจความคิดเห็น5. ในการใช้สถิตเิ พอื่ การตดั สนิ ใจและวางแผน สาหรับเร่ืองทีจ่ าเป็นต้องมกี ารใช้ข้อมลู และสารสนเทศ ถ้าขาดข้อมลู และสารสนเทศดงั กลา่ ว ผ้ตู ดั สนิ ใจควรทาขนั้ ตอนใดกอ่ น [O-NET 53/36]1. เก็บรวบรวมข้อมลู 2. เลอื กวธิ ีวิเคราะห์ข้อมลู3. เลอื กวิธีเก็บรวบรวมข้อมลู 4. กาหนดข้อมลู ทจ่ี าเป็นต้องใช้

สถิติ 36. ข้อใดตอ่ ไปนีเ้ป็นเท็จ [O-NET 52/25] 1. สถิติเชิงพรรณนาคอื สถิติของการวเิ คราะห์ข้อมลู ขนั้ ต้นทมี่ งุ่ อธิบายลกั ษณะกว้างๆของข้อมลู 2. ข้อมลู ท่เี ป็นหมายเลขทใี่ ช้เรียกสายรถโดยสารประจาทางเป็นข้อมลู เชิงคณุ ภาพ 3. ข้อมลู ปฐมภมู คิ ือข้อมลู ทผ่ี ้ใู ช้เก็บรวบรวมจากแหลง่ ข้อมลู โดยตรง 4. ข้อมลู ท่ีนกั เรียนรวบรวมจากรายงานตา่ งๆที่ได้จากหนว่ ยงานราชการเป็นข้อมลู ปฐมภมู ิ7. ครูสอนวทิ ยาศาสตร์มอบหมายให้นกั เรียน 40 คน ทาโครงงานตามความสนใจ หลงั จากตรวจรายงานโครงงานของ ทกุ คนแล้ว ผลสรุปเป็นดงั นี ้ผลการประเมนิ จานวนโครงงาน ดเี ยี่ยม ดี 3 พอใช้ 20 ต้องแก้ไข 12 5ข้อมลู ท่ีเก็บรวบรวม เพ่อื ให้ได้ผลสรุปข้างต้นเป็นข้อมลู ชนดิ ใด [O-NET 53/27]1. ข้อมลู ปฐมภมู ิ เชิงปริมาณ 2. ข้อมลู ทตุ ยิ ภมู ิ เชิงปริมาณ3. ข้อมลู ปฐมภมู ิ เชิงคณุ ภาพ 4. ข้อมลู ทตุ ิยภมู ิ เชิงคณุ ภาพ

4 สถิติการแจกแจงความถี่“ตารางแจกแจงความถี่” คือ ตารางที่บอกวา่ มขี ้อมลู กี่ตวั ตกอยใู่ นแตล่ ะช่วง คา่ ของข้อมลู (������) คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (คน) ความถี่ (������) ในทนี่ ีค้ ือคะแนนสอบ เป็นคา่ ทีบ่ อกวา่ มีข้อมลู ก่ีตวั ตกอยู่ ของนกั เรียนแตล่ ะคน 1 - 10 3 ในแตล่ ะชว่ ง ในทน่ี ีค้ อื จานวน 11 - 20 12 นกั เรียนในแตล่ ะชว่ งคะแนน 21 - 30 15 31 - 40 24 อนั ตรภาคชนั้ 41 - 50 6 เรียกสนั้ ๆวา่ “ชนั้ ” หมายถึง แตล่ ะแถวของชว่ งข้อมลู เชน่ ในตารางนี ้จะมี 5 ชนั้บางตารางจะใจดี บวกจานวนข้อมลู มาให้ข้างลา่ ง บางตารางก็มีชอ่ ง “ความถ่ีสะสม” มาให้ คา่ พวกนเี ้ราคานวณเองได้ คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (คน) ความถ่ีสะสม (������) ความถี่สะสม (������) ได้จากการนาชอ่ ง “ความถี่” มาบวก 1 - 10 3 3 สะสม โดยเร่ิมสะสมตงั้ แตช่ นั้ แรก 11 - 20 12 15 21 - 30 15 30 31 - 40 24 54 41 - 50 6 60 60 จานวนข้อมลู ทงั ้ หมด (������)นอกจากนี ้ยงั มชี อ่ งอ่ืนๆทไี่ มค่ อ่ ยจะได้ใช้อกี ดงั นี ้  ความถ่ีสมั พทั ธ์ = ความถ่ี = ������ สมั พทั ธ์ → ÷ ������ จานวนข้อมลู ทงั้ หมด ������  ความถ่ีสะสมสมั พทั ธ์ = ความถสี่ ะสม = ������ จานวนข้อมลู ทงั้ หมด ������  ร้อยละของความถ่ีสมั พทั ธ์ = ความถ่ีสมั พทั ธ์ × 100 ร้อยละ → × 100  ร้อยละของความถี่สะสมสมั พทั ธ์ = ความถ่ีสะสมสมั พทั ธ์ × 100 ÷ ������ × 100คะแนน จานวน ความถ่ี ความถ่ี ความถ่ีสะสม ร้ อยละของ ร้ อยละของ สอบ นกั เรียน สะสม สมั พทั ธ์ สมั พทั ธ์ ความถ่ี ความถ่ีสะสม (คน) (������) สมั พทั ธ์ 1 - 10 3/60 = 0.05 3/60 = 0.05 สมั พทั ธ์11- 20 3 3 12/60 = 0.20 15/60 = 0.25 0.05 × 100 = 521 - 30 12 15 15/60 = 0.25 30/60 = 0.50 0.20 × 100 = 20 0.05 × 100 = 531 - 40 15 30 24/60 = 0.40 54/60 = 0.90 0.25 × 100 = 25 0.25 × 100 = 2541 - 50 24 54 60/60 = 1.00 0.40 × 100 = 40 0.50 × 100 = 50 60 6/60 = 0.10 0.10 × 100 = 10 0.90 × 100 = 90 6 1.00 × 100 = 100 60 1.00 100กลอ่ ง ความถี่สมั พทั ธ์ ร้อยละของความถี่สมั พทั ธ์ รวมกนั ได้ 1 เสมอ รวมกนั ได้ 100 เสมอ

สถิติ 5ในตารางแจกแจงความถ่ี มคี าศพั ท์ทต่ี ้องรู้ดงั นี ้ ขอบลา่ ง = ค่าต่าสดุ ของชนั้ +ค่าสงู สดุ ของชนั้ กอ่ นหน้า 2 ขอบบน = ค่าสงู สดุ ของชนั้ +ค่าตา่ สดุ ของชนั้ ถดั ไป 2 จดุ กง่ึ กลางชนั้ = ค่าสงู สดุ ของอนั ตรภาคชนั้ +คา่ ตา่ สดุ ของอนั ตรภาคชนั้ = ขอบบน+ขอบลา่ ง 2 2 ความกว้างชนั้ (������) = ขอบบน − ขอบลา่ ง = คา่ ข้อมลู ตาแหนง่ เดยี วกนั ระหวา่ ง 2 ชนั้ ท่ีตดิ กนั ลบกนั คะแนนสอบ ขอบลา่ ง ขอบบน จดุ กงึ่ กลางชนั้ ความกว้างชนั ้ (������) 1 - 10 0.5 (10+11)/2 = 10.5 (1+10)/2 = 5.5 10.5 − 0.5 = 10 11 - 20 (10+11)/2 = 10.5 (20+21)/2 = 20.5 (11+20)/2 = 15.5 20.5 − 10.5 = 10 21 - 30 (20+11)/2 = 20.5 (30+31)/2 = 30.5 (21+30)/2 = 25.5 30.5 − 20.5 = 10 31 - 40 (30+31)/2 = 30.5 (40+41)/2 = 40.5 (31+40)/2 = 35.5 40.5 − 30.5 = 10 41 - 50 (40+41)/2 = 40.5 (41+50)/2 = 45.5 50.5 − 40.5 = 10 50.5หมายเหต:ุ ขอบลา่ งของชนั้ ตา่ สดุ จะคานวณจากแนวโน้มความหา่ งของขอบบน ขอบบนของชนั้ สงู สดุ จะคานวณจากแนวโน้มความหา่ งของขอบลา่ งแบบฝึกหดั1. จงเตมิ ตารางแจกแจงความถี่ให้สมบรู ณ์1. 27 1 14 8 30 20 8 27 12 14 27 3 55 19 2 17 15 14 12 ความถ่ี คา่ ข้อมลู ความถ่ี ความถ่ี สมั พทั ธ์ ความถี่สะสม ร้ อยละของ ร้ อยละของ สะสม สมั พทั ธ์ ความถ่ี ความถ่ีสะสม สมั พทั ธ์ สมั พทั ธ์ 1 - 10 11 - 20 21 - 302. 5 12 10 22 11 20 16 8 14 29 6 16 12 9 18 18 15 34 34 20 คา่ ข้อมลู ความถ่ี ความถี่สะสม จดุ ก่งึ กลางชนั้ ความกว้างชนั้ ขอบลา่ ง ขอบบน 1 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40

6 สถิติ 3. คา่ ข้อมลู ความถ่ี ความถ่ีสะสม จดุ กึง่ กลางชนั้ ความกว้างชนั้ ขอบลา่ ง ขอบบน 2 5.5 5 11.5 16 17.5 20 23.54. คา่ ข้อมลู ความถ่ี ความถ่ีสะสม จดุ กึง่ กลางชนั้ ความกว้างชนั้ ขอบลา่ ง ขอบบน 5 2.5 12 6.5 13 4 30 42. ในการสารวจอายขุ องคนในหมบู่ ้านแหง่ หนงึ่ เป็นดงั นี ้อายุ (ปี) ความถี่ (คน) ความถี่สมั พทั ธ์0  10 10 ������11  20 25 0.1021  30 3531  4041  50 4051  60 2061  70 1571  80 381  90 2คา่ ������ ในตารางแจกแจงความถ่ีสมั พทั ธ์เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 54/39]3. ข้อมลู ชดุ หนงึ่ มบี างสว่ นถกู นาเสนอในตารางตอ่ ไปนี ้อนั ตรภาคชนั้ ความถ่ี ความถ่ีสะสม ความถ่ีสมั พทั ธ์ 2- 6 6 11 0.2 7 - 11 1412 - 1617 - 21 0.3ชว่ งคะแนนใดเป็นชว่ งคะแนนที่มคี วามถี่สงู สดุ [O-NET 53/34]

สถิติ 74. ตารางแสดงนา้ หนกั ของนกั เรียนจานวน 50 คน เป็นดงั นี ้นา้ หนกั (กิโลกรัม) จานวน (คน) 30 - 39 4 40 - 49 5 50 - 59 13 60 - 69 17 70 - 79 6 80 - 89 5ข้อสรุปในข้อไดตอ่ ไปนี ้ไมถ่ กู ต้อง [O-NET 49/1-27]1. นกั เรียนกลมุ่ นสี ้ ว่ นใหญ่มนี า้ หนกั 60 - 69 กิโลกรัม2. นกั เรียนทม่ี ีนา้ หนกั ตา่ กวา่ 50 กิโลกรัม มี 9 คน3. นกั เรียนที่มีนา้ หนกั ในช่วง 50 - 59 กิโลกรัม มี 26 %4. นกั เรียนท่มี นี า้ หนกั มากกวา่ 80 กิโลกรัม มี 10 %5. กาหนดให้ตารางแจกแจงความถส่ี ะสมของคะแนนของนกั เรียนห้องหนงึ่ เป็นดงั นี ้ชว่ งคะแนน ความถ่ีสะสม 30 - 39 1 11 40 - 49 18 50 - 59 20 60 - 69 [O-NET 50/37]ข้อสรุปในข้อใดตอ่ ไปนี ้ถกู ต้อง1. นกั เรียนที่ได้คะแนน 40 - 49 คะแนน มีจานวน 27 %2. นกั เรียนสว่ นใหญ่ได้คะแนน 60 - 69 คะแนน3. นกั เรียนท่ีได้คะแนนมากกวา่ 53 คะแนน มจี านวนน้อยกวา่นกั เรียนทไ่ี ด้คะแนน 40 - 49 คะแนน4. นกั เรียนทีไ่ ด้คะแนนน้อยกวา่ 47 คะแนน มีจานวนมากกวา่นกั เรียนที่ได้คะแนนมากกวา่ 50 คะแนน

8 สถิติ6. จานวนผ้วู า่ งงานทวั่ ประเทศในเดอื นกนั ยายน ปี พ.ศ. 2551 มจี านวนทงั้ สนิ ้ 4.29 แสนคน ตารางเปรียบเทยี บอตั รา การวา่ งงานในเดอื นกนั ยายน ปีพ.ศ. 2550 กบั ปีพ.ศ. 2551 เป็นดงั นี ้ พนื ้ ท่ีสารวจ อตั ราการวา่ งงานในเดือนกนั ยายน (จานวนผ้วู า่ งงานตอ่ จานวนผ้อู ยใู่ น ภาคใต้ ภาคตะวนั ออกเฉียงเหนือ กาลงั แรงงานคณู 100) ภาคเหนือ ปีพ.ศ. 2550 ปีพ.ศ. 2551 ภาคกลาง (ยกเว้นกรุงเทพมหานคร) กรุงเทพมหานคร 1.0 1.0 ทว่ั ประเทศ 0.9 1.3 1.5 1.2 1.3 0.9 1.2 1.2 1.2 1.1 ข้อใดถกู ต้องบ้าง [O-NET 53/35] 1. จานวนผ้วู า่ งงานในภาคใต้ในเดอื นกนั ยายนของปีพ.ศ. 2550 และของปีพ.ศ. 2551 เทา่ กนั 2. จานวนผ้อู ยใู่ นกาลงั แรงงานทวั่ ประเทศในเดอื นกนั ยายน ปีพ.ศ. 2551 มีประมาณ 39 ล้านคน

สถิติ 9กราฟแจกแจงความถี่ในเร่ืองนจี ้ ะพดู ถึงวิธีการนาตารางแจกแจงความถี่ มาเขยี นเป็นแผนภมู ิให้อา่ นงา่ ยก่อนอ่ืน เราสามารถนาตารางแจกแจงความถี่ มาเขยี นเป็นแผนภมู ิแทง่ ทเี่ รียกวา่ “ฮิสโทแกรม” ได้ ดงั นี ้คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (คน) จานวนนกั เรียน (คน) แตล่ ะแทง่ จะแทนแตล่ ะอนั ตรภาคชนั้ ความสงู ของแทง่ = ความถ่ีในชนั้ นนั้ ๆ 1 - 10 3 25 ความกว้างของแทง่ = ความกว้างชนั้ 11 - 20 12 20 21 - 30 15 31 - 40 24 15 41 - 50 6 10 5 คะแนนสอบ 0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5 แตล่ ะแทง่ ชน จดุ ก่งึ กลางชนั้ กนั ท่ขี อบชนั้และเราสามารถนาฮิสโทแกรม มาสร้างเป็น “รูปหลายเหลย่ี มของความถ่ี” โดยลากเส้นเช่ือมตามยอดของแตล่ ะแทง่ จานวนนกั เรียน (คน) 25 คะแนนสอบ 20 15 10 5 0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5และสดุ ท้าย เราสามารถนารูปหลายเหลย่ี มของความถี่ มาปรับให้เป็นเส้นโค้ง ที่เรียกวา่ “เส้นโค้งของความถี่” ได้ ดงั นี ้ 0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5 คะแนนสอบในโค้งความถ่ี มกั จะไมน่ ิยมแสดง แกนจานวนนกั เรียน 11 20โดยในโค้งความถี่ เราจะใช้ “พนื ้ ทีใ่ ต้โค้ง” ในการบอกจานวนข้อมลูเชน่ จานวนนกั เรียนทไี่ ด้คะแนน 11 - 20 จะเป็นสดั สว่ นกบั พนื ้ ทใี่ ต้โค้ง จาก 11 ถึง 20และเราสามารถใช้คาวา่ “เบ้” มาบอกลกั ษณะการเอยี งของโค้งความถ่ีได้อกี ด้วย เบ้ซ้าย เบ้ขวา สมมาตร

10 สถิตินอกจากนี ้เรายงั สามารถเอา “ความถ่ีสะสม” มาสร้างกราฟคล้ายๆฮิสโทแกรมได้ ดงั นี ้ คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (คน) ความถี่สะสม ความถ่ีสะสม (������) คะแนนสอบ 1 - 10 3 3 60 11 - 20 12 15 50 21 - 30 15 30 40 31 - 40 24 54 30 41 - 50 6 60 20 10 0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5จะเหน็ วา่ กราฟท่ไี ด้จากความถี่สะสม จะสงู ขนึ ้ เร่ือยๆ (เพราะความถ่ีสะสมมแี ตบ่ วกเพ่ิมไปเรื่อยๆ)และแทง่ สดุ ท้ายจะสงู เทา่ กบั จานวนข้อมลู (������)และสดุ ท้าย ถ้าลากเส้นเชื่อมตามยอดของแตล่ ะแทง่ ของความถี่สะสม ดงั รูป เราจะได้กราฟทเี่ รียกวา่ “โอจีฟ” ความถี่สะสม (������) 60 คะแนนสอบ 50 40 30 20 10 0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5ประโยชน์ทสี่ าคญั อยา่ งหนง่ึ ของโอจีฟ คือ เราสามารถพลอ็ ตหา คา่ ประมาณของข้อมลู ณ ตาแหนง่ ตา่ งๆ ตามใจชอบได้เพราะตาแหนง่ ข้อมลู จะมคี วามสมั พนั ธ์โดยตรง กบั ความถ่ีสะสมความถ่ีสะสม (������) 60 ตวั ที่ 45 เช่นจากรูป จะได้วา่ 50  ข้อมลู ตวั ท่ี 20 มคี า่ ประมาณ 23 กวา่ ๆ 40  ข้อมลู ตวั ที่ 45 มีคา่ ประมาณ 36 กวา่ ๆ 30 20 ตวั ที่ 20 10 คะแนนสอบ 0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5แบบฝึกหดั คา่ ข้อมลู ความถี่1. จงเติมตารางแจกแจงความถี่ให้สอดคล้องกบั แผนภาพตอ่ ไปนี ้ 1. ความถ่ี 20 คา่ ข้อมลู 15 10 5 0 6.5 12.5 18.5 24.5

สถิติ 11 นา้ หนกั จานวนคน2. จานวนคนสะสม นา้ หนกั 25 20 15 10 5 0 4 9 14 19

12 สถิติ แผนภาพต้น - ใบแผนภาพต้นใบ เป็นวธิ ีนาเสนอข้อมลู อกี แบบหนง่ึ ที่สะดวกในการดแู นวโน้มของคา่ ข้อมลูโดยเราจะนา “หลกั หนว่ ย” ของข้อมลู มาเขยี นเป็น “ใบ” และนา หลกั สบิ , ร้อย, พนั , ... มาเขยี นเป็น “ลาต้น”เชน่ ข้อมลู 15 24 8 10 32 10 23 18 31 25 9 22 21 37 22จะนามาสร้างแผนภาพต้น - ใบ ได้ดงั นี ้089 ในแตล่ ะแถว จะ15008 เรียงลาดบั ข้อมลู2435122 ยงั ไงก็ได้3217หลกั สิบ หลกั หน่วยและในกรณีทมี่ ีข้อมลู 2 กลมุ่ เราสามารถนาข้อมลู ทงั้ 2 กลมุ่ มาเขยี นลงใน “ลาต้นเดยี วกนั ” ได้เชน่ ถ้ามคี ะแนนสอบของนกั เรียน 2 ห้องคะแนนสอบห้อง 5/1 130 คะแนนสอบห้อง 5/2 115 123 120 98 102 121 133 121 110 91 102 105 111 115 116 124 114 119 124 120 138 124 99จะนามาเขยี นแผนภาพต้น - ใบ โดยใช้ลาต้นเดยี วกนั ได้ ดงั นี ้ ห้อง 5/1 ห้อง 5/2 8919 5 2 10 2 9 5 1 11 0 5 6 40 4 3 1 12 1 4 0 4 3 0 13 8แบบฝึกหดั คา่ ข้อมลู ความถ่ี1. จงเขยี นตารางแจกแจงความถี่ จากแผนภาพต้นใบตอ่ ไปนี ้ 80 - 88 86 2 0 3 89 - 97 98 3 1 2 7 98 - 106 10 4 9 3 107 - 115 11 2 32. ในกรณีทมี่ ีข้อมลู จานวนมาก การนาเสนอข้อมลู ในรูปแบบใดตอ่ ไปนที ้ าให้เหน็ การกระจายของข้อมลู ได้ชดั เจนน้อยท่สี ดุ [O-NET 52/32]1. ตารางแจกแจงความถี่ 2. แผนภาพต้นใบ3. ฮิสโทแกรม 4. การแสดงคา่ สงั เกตทกุ คา่

สถิติ 13 คา่ กลางข้อมลูเวลาเรามขี ้อมลู หลายๆตวั (เช่น นา้ หนกั ของเดก็ 30 คน) เรามกั จะสนใจวา่ “ตรงกลาง” ของข้อมลู ชดุ นนั้ มีคา่ เทา่ ไหร่และเรามกั ใช้คา่ “ตรงกลาง” นี ้เป็นตวั แทนของข้อมลู ทงั้ กลมุ่ เพอื่ นาไปวิเคราะห์ หรือ เปรียบเทยี บกบั ข้อมลู ชดุ อืน่ ตอ่ ไป“คา่ กลางข้อมลู ” แปลตรงๆตวั วา่ คา่ ท่อี ยตู่ รงกลางของกลมุ่ ข้อมลูคา่ กลางข้อมลู มีอยหู่ ลายชนดิ ขนึ ้ กบั วา่ เราจะวดั ความกลางยงั ไงซง่ึ ในบทนี ้เราจะได้เรียนคา่ กลาง 3 ชนิด ได้แก่  “คา่ เฉลย่ี ” คือ คา่ ท่อี ยตู่ รงกลาง โดยใช้ “คา่ ของข้อมลู ” เป็นตวั วดั  “มธั ยฐาน” คอื คา่ ที่อยตู่ รงกลาง โดยใช้ “ตาแหนง่ ของข้อมลู ” เป็นตวั วดั  “ฐานนิยม” คือ คา่ ที่ “ซา้ บอ่ ยทส่ี ดุ ” ในกลมุ่ ข้อมลูคา่ กลางข้อมลู แตล่ ะชนดิ มขี ้อดขี ้อเสยี ตา่ งกนั ขนึ ้ กบั วา่ จะเอาไปใช้ทาอะไรข้อมลู บางประเภท ก็ไมส่ ามารถหาคา่ กลางบางชนิดได้การเลอื กคา่ กลาง จงึ ต้องคานงึ ถงึ ลกั ษณะข้อมลู และการนาไปใช้

14 สถิติคา่ เฉลย่ีคา่ เฉลยี่ (Mean) คอื คา่ ท่ไี ด้จากการเอาข้อมลู ทกุ ตวั มา “รวม” กนั แล้ว “เฉลยี่ ” ด้วยจานวนตวัคา่ เฉลย่ี ยงั แบง่ ตอ่ ไปได้อกี หลายชนดิ ขนึ ้ กบั วา่ จะ “รวม” และ “เฉลย่ี ” ยงั ไง เช่น  คา่ เฉลย่ี เลขคณิต (Arithmetric Mean: A.M.) ได้จากการเอาข้อมลู ทกุ ตวั มา “บวก” กนั แล้ว “หาร” ด้วย จานวนตวั  คา่ เฉลย่ี เรขาคณิต (Geometric Mean: G.M.) ได้จากการเอาข้อมลู ทกุ ตวั มา “คณู ” กนั แล้ว “ถอดรูท” อนั ดบั ที่ตามจานวนตวั  คา่ เฉลยี่ ฮาร์โมนิค (Harmonic Mean: H.M.) ได้จาก เอาข้อมลู มากลบั เศษ - สว่ น แล้วนาไปหาคา่ เฉลย่ี เลข คณิต แล้วนาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตทไี่ ด้ มากลบั เศษ - สว่ น กลบั ไปเป็นแบบเก่าตวั อยา่ ง ข้อมลู ชดุ หนงึ่ มี 4 จานวน ประกอบด้วย 2 , 4 , 9 , 18 จงหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิต คา่ เฉลยี่ เรขาคณิต และ คา่ เฉลย่ี ฮาร์โมนิค ของข้อมลู ชดุ นี ้วธิ ีทา คา่ เฉลย่ี เลขคณิต = 2+4+9+18 = 33 = 8.25 44 คาเฉลยี่ เรขาคณิต = 4√2 × 4 × 9 × 18 = 6 คา่ เฉลย่ี ฮาร์โมนคิ → เอาข้อมลู มากลบั เศษ - สว่ น ได้เป็น 1 , 1 , 1 , 1 2 4 9 18 → หาคา่ เฉลย่ี เลขคณิต ได้ =12+41+19+118 18+9+4+2 = 33 × 1 = 11 36 4 4 36 4 48 → กลบั เศษ - สว่ น อีกรอบ แล้วตอบ จะได้ 48 # 11คา่ เฉลย่ี เลขคณิต จะเป็นคา่ กลางที่ใช้บอ่ ยกวา่ คา่ กลางอน่ืดงั นนั้ ถ้าได้ยินคาวา่ “คา่ เฉลยี่ ” เฉยๆ ก็ให้หมายถงึ “คา่ เฉลยี่ เลขคณิต” โดยอตั โนมตั ิในเร่ืองสถติ นิ ี ้อีกเดย๋ี วจะมีสตู รมากมาย โผลอ่ อกมาให้เราทาความเข้าใจ และ ทอ่ ง (ถ้าไมเ่ ข้าใจ)ดงั นนั้ เราควรทาความค้นุ เคยกบั สญั ลกั ษณ์ทีน่ ิยมใช้ในเรื่องนกี ้ นั กอ่ นในเร่ืองสถติ ิ เรานยิ มใช้ ������ แทน “จานวนข้อมลู ” และใช้ ������ แทน “คา่ ของข้อมลู ”โดยเรานิยมให้ ������1 แทนคา่ ของข้อมลู ตวั ท่ี 1 ������2 แทนคา่ ของข้อมลู ตวั ท่ี 2 ⋮ ������������ แทนคา่ ของข้อมลู ตวั ที่ ������เชน่ ถ้าข้อมลู ชดุ หนงึ่ ประกอบด้วย 2 , 6 , 9 , 18 จะได้วา่ ������ = 4 และ ������1 = 2 , ������2 = 6 , ������3 = 9 , ������4 = 18เราจะใช้สญั ลกั ษณ์ ������̅ แทนคา่ เฉลยี่ เลขคณิตดงั นนั ้ เราจะเขยี นสตู รได้เป็น ������̅ = ������1+������2+ … +������������ ������

สถิติ 15อยา่ งไรก็ตาม เรานิยมใช้สญั ลกั ษณ์ ∑ มาชว่ ยเขยี นสตู รให้กระชบั ขนึ ้ ได้โดยสญั ลกั ษณ์ N = ผลบวกของ ������������ ทงั้ หลาย โดยเร่ิมตงั้ แต่ ������ = 1 จนถงึ ������ = ������”  ������������ i 1 = ������1 + ������2 + ������3 + … + ������������ นน่ั เอง N  xiดงั นนั้ สตู รคา่ เฉลยี่ เลขคณติ จะนยิ มเขยี นเป็น ������̅ = i1 หรือเขยี นแบบยอ่ ๆได้วา่ ������̅ =  xi NNสตู รนี ้เป็นความสมั พนั ธ์ของปริมาณ 3 อยา่ ง คอื “คา่ เฉลยี่ ” “ผลรวมข้อมลู ” และ “จานวนข้อมลู ”ถ้าโจทย์บอก 2 อยา่ งใดๆมา เราต้องสามารถหาตวั ท่ีเหลอื ได้ทนั ที ดงั นี ้ ������̅ = ∑ ������������ ������ = ∑ ������������ *** ∑ ������������ = ������ ∙ ������̅ ������ ������̅ตวั อยา่ ง นกั เรียนห้องหนงึ่ มี 40 คน มีคา่ เฉลยี่ ของคะแนนสอบเทา่ กบั 7.8 คะแนน ตอ่ มาพบวา่ ตรวจคะแนนผดิ โดยจะต้องเพมิ่ คะแนนให้นกั เรียนคนหนง่ึ 5 คะแนน และลดคะแนนของนกั เรียนอกี คนหนงึ่ 1 คะแนน จงหาคา่ เฉลย่ีหลงั จากทแี่ ก้ไขคะแนนแล้ววธิ ีทา ตอนแรก ������̅ = 7.8 , ������ = 40 ดงั นนั ้ ผลรวมคะแนน = 7.8 × 40 = 312แตท่ ีถ่ กู ต้องมีคะแนนคา่ หนงึ่ เพม่ิ ขนึ ้ 5 และอีกคา่ หนงึ่ ลดลง 1ดงั นนั้ ผลรวมคะแนนทถี่ กู ต้อง คอื 312 + 5 − 1 = 316ดงั นนั ้ ������̅ หลงั แก้คะแนน = 316 = 7.9 คะแนน # 40แบบฝึกหดั1. จงหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของข้อมลู 5 , 8 , 12 , 12 , 162. นกั เรียน 8 คน มคี า่ เฉลย่ี เลขคณิตของคะแนนสอบคือ 7.5 ถ้าคะแนนของนกั เรียน 7 คนแรก คือ 5 , 8 , 7.5 , 8 , 6 , 7 , 9 แล้ว จงหาคะแนนของอีกหนง่ึ คนท่เี หลอื

16 สถิติ 3. นกั เรียนห้องหนง่ึ มี 20 คน มคี ะแนนเฉลยี่ คือ 8 แตต่ อ่ มาพบวา่ คา่ เฉลยี่ นี ้ไมถ่ กู ต้อง เน่อื งจากอา่ นคะแนนของ นกั เรียนคนหนงึ่ ผดิ ไป จากคะแนนท่ีถกู คอื 6 คะแนน อา่ นผิดเป็น 8 คะแนน จงหาคะแนนเฉลยี่ ทถี่ กู ต้อง 4. นกั เรียนห้องหนง่ึ มี 20 คน เป็นผ้หู ญิง 12 คน ถ้าคะแนนเฉลย่ี ของนกั เรียนหญิง คือ 8 คะแนน และคะแนนเฉลยี่ ของนกั เรียนชาย คือ 6 คะแนน จงหาคะแนนเฉลยี่ ของนกั เรียนทงั้ ห้อง 5. นกั เรียนห้องหนง่ึ มนี า้ หนกั เฉลย่ี 50 กก. ถ้านา้ หนกั เฉลยี่ ของนกั เรียนหญิงคอื 45 กก. และนา้ หนกั เฉลย่ี ของนกั เรียน ชายคือ 60 กก. จงหาอตั ราสว่ นของจานวนนกั เรียนหญิง ตอ่ จานวนนกั เรียนชาย 6. นกั เรียนห้องหนงึ่ มีอตั ราสว่ นนกั เรียนชาย ตอ่ นกั เรียนหญิง คือ 2 : 3 ถ้านา้ หนกั เฉลย่ี ของนกั เรียนชายคอื 65 กก. และนา้ หนกั เฉลย่ี ของนกั เรียนหญิงคอื 50 กก. จงหานา้ หนกั เฉลย่ี ของนกั เรียนทงั้ ห้อง

สถิติ 177. สตั ว์กลมุ่ หนง่ึ มี 30 ตวั ประกอบด้วย ววั 8 ตวั ช้าง 12 ตวั และ ม้า 10 ตวั พบวา่ อายเุ ฉลยี่ ของสตั ว์กลมุ่ นี ้คอื 20 ปี และ อายเุ ฉลยี่ ของววั เทา่ กบั 10 ปี ถ้าอายรุ วมของช้าง คอื 300 ปี จงหาอายเุ ฉลย่ี ของม้า8. คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของนา้ หนกั ของพนกั งานของบริษัทหนงึ่ เทา่ กบั 48.01 กิโลกรัม บริษัทนมี ้ พี นกั งานชาย 43 คน และพนกั งานหญิง 57 คน ถ้าคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของนา้ หนกั พนกั งานหญิงเทา่ กบั 45 กิโลกรัม แล้ว นา้ หนกั ของ พนกั งานชายทงั้ หมดรวมกนั เทา่ กบั ก่ีกิโลกรัม [O-NET 53/28]9. อายเุ ฉลย่ี ของคนกลมุ่ หนงึ่ เทา่ กบั 31 ปี ถ้าอายเุ ฉลยี่ ของผ้หู ญิงในกลมุ่ นเี ้ทา่ กบั 35 ปี และอายเุ ฉลยี่ ของผ้ชู ายกลมุ่ นี ้ เทา่ กบั 25 ปี แล้ว อตั ราสว่ นระหวา่ งจานวนผ้หู ญิงตอ่ จานวนผ้ชู ายในกลมุ่ เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 50/17]10. ในการสารวจนา้ หนกั ตวั ของนกั เรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 ของโรงเรียนแหง่ หนงึ่ ซง่ึ มี 3 ห้อง มีจานวนนกั เรียน 44, 46 และ 42 คน ตามลาดบั ปรากฏวา่ มคี า่ เฉลย่ี เลขคณติ เทา่ กบั 50 กิโลกรัม แตพ่ บวา่ เครื่องชง่ั ทใ่ี ช้สาหรับนกั เรียน ห้องแรกมคี วามคลาดเคลอ่ื นทาให้ชงั่ นา้ หนกั ได้ตวั เลขสงู เกินจริงคนละ 1 กิโลกรัม ดงั นนั้ คา่ เฉลยี่ เลขคณิตท่ีถกู ต้อง ของนา้ หนกั ตวั ของนกั เรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 นเี ้ทา่ กบั กี่กิโลกรมั [O-NET 56/32]

18 สถิติ 11. ในการแขง่ ขนั กีฬามหาวิทยาลยั โลกครัง้ ท่ี 24 ซงึ่ ประเทศไทยเป็นเจ้าภาพ มกี ารสง่ รายช่ือนกั กีฬาจากประเทศไทย 379 คน มีอายเุ ฉลยี่ 22 ปี ถ้ามกี ารถอนตวั นกั กีฬาไทยออก 4 คน ซง่ึ มีอายุ 24, 25, 25 และ 27 ปี และมกี ารเพ่ิม นกั กีฬาไทยอีก 5 คน ซง่ึ มีอายเุ ฉลย่ี 17 ปีแล้ว อายเุ ฉลยี่ ของนกั กฬี าจากประเทศไทยจะเทา่ กบั ก่ีปี [O-NET 51/38] 12. ชายคนหนงึ่ ตกั ปลาที่เลยี ้ งไว้ในกระชงั เพอ่ื สง่ ขายจานวน 500 ตวั ซงึ่ มนี า้ หนกั โดยเฉลย่ี ตวั ละ 700 กรัม ในจานวนนี ้ เป็นปลาจากกระชงั ที่หนงึ่ 300 ตวั และจากกระชงั ทส่ี อง 200 ตวั ถ้าปลาในกระชงั ที่หนง่ึ มีนา้ หนกั เฉลยี่ ตอ่ ตวั มากกวา่ ในกระชงั ทสี่ อง 50 กรัม แล้วเขาตกั ปลาจากกระชงั ที่สองมากก่ี ิโลกรัม [O-NET 54/38] 13. ถ้าในปี พ.ศ. 2547 คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของอายพุ นกั งานของบริษัทแหง่ หนง่ึ เทา่ กบั 23 ปี ในปีตอ่ มา บริษัทได้รับ พนกั งานเพิ่มขนึ ้ อีก 20 คน ทาให้คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของอายพุ นกั งานในปี พ.ศ. 2548 เทา่ กบั 25 ปี และผลรวมของ อายขุ องพนกั งานเพม่ิ ขนึ ้ จากปี พ.ศ. 2547 อกี 652 ปี เมอื่ สนิ ้ ปี พ.ศ. 2548 บริษัทแหง่ นมี ้ พี นกั งานทงั้ หมดกีค่ น [O-NET 49/1-29]

สถิติ 19คา่ เฉลยี่ ถว่ งนา้ หนกัในการหาคา่ เฉลย่ี เราสามารถ “ถ่วงนา้ หนกั ” ให้กบั ข้อมลู ทนี่ ามาหาคา่ เฉลย่ี ได้ด้วยในกรณีที่ข้อมลู แตล่ ะตวั มคี วามสาคญั ไมเ่ ทา่ กนั เราสามารถกาหนดนา้ หนกั (������) ให้กบั ข้อมลู แตล่ ะตวัซง่ึ จะสง่ ผลให้คา่ เฉลยี่ เอยี งไปตามข้อมลู ทส่ี าคญั มากกวา่ ข้อมลู ทีไ่ มส่ าคญัเชน่ ในการคดิ เกรดเฉลย่ี เรามกั ให้นา้ หนกั เกรดบางวชิ า มากกวา่ อีกวิชาสตู รของคา่ เฉลย่ี ถว่ งนา้ หนกั จะหาได้จากสตู ร คา่ เฉลยี่ ถว่ งนา้ หนกั = ∑ ������������������������ เอาข้อมลู มาคณู กบั นา้ หนกั ของ ∑ ������������ มนั กอ่ น คอ่ ยเอามาบวกกนั หารด้วยผลบวกของนา้ หนกั ทงั้ หมดตวั อยา่ ง จากตารางตอ่ ไปนี ้จงหาเกรดเฉลยี่ แบบไมถ่ ว่ งนา้ หนกั และเกรดเฉลยี่ แบบถว่ งนา้ หนกั ด้วยหนว่ ยกติ หนว่ ยกิต คณิตศาสตร์ วทิ ยาศาสตร์ ภาษาไทย ภาษาฝร่ังเศส สขุ ศกึ ษา เกรด 2.5 2 2 1 0.5 4 3 3 1 2วิธีทา เกรดเฉลย่ี แบบไมถ่ ่วงนา้ หนกั = 4+3+3+1+2 = 13 = 2.6 5 5 เกรดเฉลย่ี แบบถ่วงนา้ หนกั ด้วยหนว่ ยกติ = (4×2.5)+(3×2)+(3×2)+(1×1)+(2×0.5) = 24 = 3 2.5+2+2+1+0.5 8 จะเหน็ วา่ เกรดเฉลย่ี แบบถว่ งนา้ หนกั จะเอียงไปทางวชิ าทหี่ นว่ ยกิตมาก (คณิตศาสตร์, วทิ ยาศาสตร์, ภาษาไทย) มากกวา่ วชิ าที่หนว่ ยกิตน้อย (ภาษาฝรั่งเศส, สขุ ศกึ ษา) (หมายเหต:ุ ปกตเิ วลาโรงเรียนคดิ เกรดเฉลย่ี จะคดิ ด้วยวธิ ีถ่วงนา้ หนกั ด้วยหนว่ ยกิตเสมอ) #ตวั อยา่ ง นกั เรียนห้องหนง่ึ มี 30 คน เป็นชาย 12 คน และเป็นหญิง 18 คน ถ้านา้ หนกั เฉลยี่ ของนกั เรียนชายคอื 60 กก. และนา้ หนกั เฉลยี่ ของนกั เรียนหญิงคือ 50 กก. แล้ว จงหานา้ หนกั เฉลย่ี ของนกั เรียนทงั้ ห้องวิธีทา ข้อนคี ้ ิดได้หลายวธิ ี ทีต่ ้องระวงั คอื คาตอบจะไมเ่ ทา่ กบั นา้ หนกั เฉลย่ี ชาย + นา้ หนกั เฉลี่ยหญิง 2 เพราะนกั เรียนหญิง มจี านวนมากกวา่ ดงั นนั้ นา้ หนกั เฉลย่ี ของทงั้ ห้อง ควรจะเอนไปทางนกั เรียนหญิงมากกวา่ นน่ั คือ คาตอบ จะเทา่ กบั คา่ เฉลย่ี ทถ่ี ว่ งนา้ หนกั ด้วย “จานวนนกั เรียน ชาย / หญิง” ดงั นนั้ นา้ หนกั เฉลยี่ ของทงั้ ห้อง = (60×12)+(50×18) 12+18 = 720+900 30 = 1620 = 54 ก.ก. # 30

20 สถิติแบบฝึกหดั1. จงหาเกรดเฉลย่ี วิชา คณิตศาสตร์ ภาษาไทย คอมพวิ เตอร์ พละ หนว่ ยกิต 2.5 2 1 0.5 เกรด 2 3.5 4 42. ถ้าเกรดเฉลย่ี เทา่ กบั 3.0 จงหาหนว่ ยกิตของวชิ า ภาษาจีน วชิ า ภาษาไทย ภาษาองั กฤษ ภาษาจีน ภาษาละติน หนว่ ยกิต 2 2 ? 1 เกรด 2 3.5 4 33. ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนายคณติ ในชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 เป็นดงั นี ้ รหสั วิชา ค41101 ค42101 ค41102 ค41202 จานวนหนว่ ยกิต 1 1.5 1 1.5 เกรด 2.5 3 3.5 2 เกรดเฉลย่ี ของวชิ าคณิตศาสตร์ของนายคณิต ในชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 50/16]4. บริษัทหนงึ่ มยี อดขายในแตล่ ะไตรมาสของปี 2557 เป็นตามลาดบั ดงั นี ้ 17 21 19 23 (หนว่ ย : ล้านบาท) การพยากรณ์ยอดขายในไตรมาสถดั ไปจะใช้คา่ เฉลย่ี เลขคณิตถว่ งนา้ หนกั ถ้าบริษัทถว่ งนา้ หนกั ข้อมลู ด้วย 1, 1, 1 และ 3 ตามลาดบั แล้ว คา่ เฉลย่ี เลขคณิตถ่วงนา้ หนกั ของข้อมลู ชดุ นเี ้ทา่ กบั กี่ล้านบาท [O-NET 59/27]

สถิติ 21คา่ เฉลย่ี (อนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง)ในกรณีท่ขี ้อมลู มาในรูปตารางแจกแจงความถี่ทม่ี อี นั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง เราจะสญู เสยี ความแมน่ ยาของข้อมลู ไปนิดหนอ่ ยกลา่ วคอื เราจะไมร่ ู้วา่ นกั เรียน 3 คน ในชนั้ 1-10 ได้คะแนนแบบเป๊ ะๆเทา่ ไหร่ คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) 1 - 10 3 11 - 20 12 21 - 30 15 31 - 40 24 41 - 50 6ในกรณีนี ้ถ้าเราอยากหา ������̅ เราจะสมมตวิ า่ “แตล่ ะตวั ในชนั้ มีคา่ เทา่ กบั จดุ กง่ึ กลางชนั้ ”เชน่ เราจะสมมติวา่ นกั เรียน 3 คน ในชนั้ 1-10 ได้คะแนน 5.5ดงั นนั้ ผลรวมคะแนนของชนั้ แรก = 3 × 5.5 = 16.5 ผลรวมคะแนนของชนั ้ ที่สอง = 12 × 15.5 = 186.0 ⋮จากนนั้ เอาคะแนนของทกุ ชนั้ มารวมกนั แล้วหารด้วยจานวนนกั เรียนทงั้ หมด กจ็ ะได้ ������̅คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) จดุ กงึ่ กลางชนั ้ (������) ผลรวมคะแนน (������������) 1 - 10 3 5.5 3 × 5.5 = 16.5 11 - 20 12 15.5 12 × 15.5 = 186.0 21 - 30 15 25.5 15 × 25.5 = 382.5 31 - 40 24 35.5 24 × 35.5 = 852.0 41 - 50 6 45.5 6 × 45.5 = 273.0 ������ = ∑ ������������ = 60 ∑ ������������������������ = 1710.0ดงั นนั ้ ������̅ = ∑ ������������������������ = 1710 = 28.5 คะแนน ������ 60อยา่ งไรกต็ าม ถ้าในตารางมี “อนั ตรภาคชนั้ เปิด” เราจะหาคา่ เฉลยี่ เลขคณิตไมไ่ ด้อนั ตรภาคชนั้ เปิด คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) จดุ ก่ึงกลางชนั้ หาจดุ กง่ึ กลางชนั้ ไมไ่ ด้ จงึ หา ������̅ ไมไ่ ด้ 1 - 10 3 5.5 11 - 20 12 15.5 21 - 30 15 25.5 31 - 40 24 35.5 ≥ 41 6 ???ในตารางแจกแจงความถี่ จะมชี นั้ เปิดได้ 2 ที่ คอื ทีช่ นั้ มากสดุ (เชน่ > 41) กบั ท่ชี นั้ น้อยสดุ (เชน่ < 10)ซงึ่ ในกรณีนี ้เราจะหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตไมไ่ ด้ เพราะไมร่ ู้วา่ จดุ ก่ึงกลางชนั้ เทา่ กบั เทา่ ไหร่

22 สถิติแบบฝึกหดั1. จงหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้ คะแนน ความถี่ 1 - 10 2 11 - 20 8 21 - 30 6 31 - 40 42. ถ้าคา่ เฉลยี่ ของคะแนน คอื 9 จงหาคา่ ������ คะแนน ความถ่ี 1- 4 2 5- 8 5 9 - 12 ������ 13 - 16 33. ตารางแจกแจงความถี่ แสดงจานวนนกั เรียนในชว่ งอายตุ า่ งๆของนกั เรียนกลมุ่ หนงึ่ เป็นดงั นี ้ ชว่ งอายุ (ปี) ความถี่ (คน) 1-5 4 6 - 10 9 11 - 15 2 16 - 20 5 อายเุ ฉลยี่ ของนกั เรียนกลมุ่ นี ้เทา่ กบั ก่ีปี [O-NET 50/19]

สถิติ 234. ในการทดสอบความถนดั ของนกั เรียนกลมุ่ หนงึ่ มีตารางแจกแจงความถี่ของผลการสอบดงั นี ้ชว่ งคะแนน ความถี่ (คน)0-4 45-9 510 - 14 ������15 - 19 7ถ้าคา่ เฉลยี่ เลขคณิตของคะแนนสอบเทา่ กบั 11 แล้ว นกั เรียนทสี่ อบได้คะแนนในชว่ ง 5 - 14 คะแนนมีจานวนคดิ เป็นร้อยละของนกั เรียนกลมุ่ นเี ้ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 51/35]5. ในการสารวจนา้ หนกั ตวั ของนกั เรียนในชนั้ เรียนที่มีนกั เรียน 30 คน เป็นดงั นี ้นา้ หนกั (กิโลกรัม) ความถี่สะสม (คน)30  49 1050  69 2670  89 30คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของนา้ หนกั ตวั ของนกั เรียนในชนั้ เรียนนเี ้ทา่ กบั กี่กิโลกรัม [O-NET 54/36]

24 สถิติการหาคา่ เฉลย่ี โดยการลดทอนข้อมลูสมบตั ทิ ี่สาคญั อยา่ งหนงึ่ ของคา่ เฉลย่ี คือ เราสามารถ “แปลง” ข้อมลู กบั คา่ เฉลย่ี ด้วยสตู รเดียวกนั ได้พดู ง่ายๆกค็ ือ ถ้าเราเอาข้อมลู เกา่ มาบวกลบคณู หารด้วยตวั เลขอะไรก็ได้ เป็นข้อมลู ชดุ ใหม่จะได้ คา่ เฉลยี่ ของข้อมลู ชดุ ใหม่ มีคา่ เปลย่ี นไปจาก คา่ เฉลย่ี เดมิ ด้วยการบวกลบคณู หารแบบเดยี วกนัเช่น ถ้าเรามขี ้อมลู ������������ ซง่ึ ประกอบด้วย 2 , 6 , 10 , 18 มี ������̅ = 2+6+10+18 = 9 4 ตอ่ มา เราแปลงข้อมลู ������������ ให้เป็นข้อมลู ������������ ชดุ ใหมโ่ ดย การ “คณู 2 แล้วลบด้วย 8 หารด้วย 4” ดงั นี ้ ������������ คณู 2 ลบ 8 หารด้วย 4 ������������ 2 −1 6 → (2×2)−8 1 10 3 18 4 7 ������̅ = 9 ���̅��� = ? → (6×2)−8 4 → (10×2)−8 4 → (18×2)−8 4 ถ้าจะหาคา่ เฉลย่ี ของข้อมลู ������������ ชดุ ใหม่ เราไมต่ ้องหาตรงๆแล้ว แตใ่ ห้เอา ������̅ มา “คณู 2 ลบ 8 หารด้วย 4” ได้เลย นน่ั คือ จะได้ ���̅��� = (9×2)−8 = 2.5 4 (−1)+1+3+7 หรือถ้าหาแบบตรงๆ กจ็ ะได้ ���̅��� = 4 = 2.5 เทา่ กนัตวั อยา่ ง นกั เรียนห้องหนง่ึ มีคา่ เฉลย่ี ของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์เทา่ กบั 74 คะแนน ตอ่ มา คณุ ครูพบวา่ ต้องบวกคะแนน จิตพิสยั ให้ทกุ ๆคนอีกคนละ 10 คะแนน จงหาคา่ เฉลยี่ ของคะแนนหลงั จากท่ีบวกคะแนนจิตพิสยั เข้าไปแล้ววธิ ีทา จากสมบตั ขิ องคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ถ้าข้อมลู ทกุ ตวั เพิ่มขนึ ้ 10 ก็จะทาให้คา่ เฉลยี่ เพิ่มขนึ ้ 10 ด้วย ดงั นนั้ คา่ เฉลย่ี ของคะแนนหลงั จากท่บี วกคะแนนจิตพิสยั เข้าไปแล้ว จะเทา่ กบั 74 + 10 = 84 คะแนน #นอกจากนี ้ความรู้ในเรื่องการแปลง ยงั ชว่ ยให้เราหลกี เลย่ี งการคานวณเลขเยอะๆยงุ่ ๆ ได้โดยในกรณีทข่ี ้อมลู มคี า่ เยอะ หรือเป็นตวั เลขทศนยิ มท่คี านวณลาบาก เราจะมวี ธิ ีหา ������̅ โดยการ “ลดทอนข้อมลู ” ดงั นี ้ 1. แปลงข้อมลู ให้เป็น “ตวั เลขงา่ ยๆ” ก่อน สตู รแปลงท่นี ยิ มใช้ คือ “ลบด้วยตวั ทซ่ี า้ มากสดุ แล้วหารทอนด้วยความกว้างชนั้ ” 2. หา ������̅ ของตวั เลขงา่ ยๆ 3. แปลง ������̅ ในข้อ 2 กลบั ด้วยการย้อนสตู รทใี่ ช้แปลงในข้อ 1

สถิติ 25ตวั อยา่ ง จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณิตของข้อมลู 9.87 , 12.87 , 12.87 , 16.87 , 18.87วิธีทา ถ้าคดิ แบบตรงไปตรงมา จะได้ ������̅ = 9.87+12.87+12.87+16.87+18.87 = 14.27 5 อีกวธิ ี คอื เราจะลดทอนข้อมลู โดยเอาข้อมลู ทกุ ตวั มาลบด้วย 12.87 เพอื่ ให้ “.87” หายไป 9.87 −12.87 −3 12.87 0 12.87 0 16.87 4 18.87 6จะได้ข้อมลู ชดุ ใหมแ่ บบตวั เลขงา่ ยๆ คือ −3 , 0 , 0 , 4 , 6 → คา่ เฉลย่ี = −3+0+0+4+6 = 7 = 1.4 55 +12.87 ??? 1.4เอา 1.4 มาย้อนสตู รแปลงกลบั โดยการบวก 12.87 จะได้ ������̅ = 14.27 #ตวั อยา่ ง จากตารางแสดงคะแนนสอบของนกั เรียน 40 คน จงหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน 10 - 19.9 7 20 - 29.9 11 30 - 39.9 17 40 - 49.9 5วธิ ีทา ในกรณีนี ้ถ้าจะหา ������̅ เราจะสมมตุ วิ า่ ทกุ ตวั ในชนั้ มคี า่ ประมาณจดุ กึง่ กลางชนั้ ถ้ายอมเหนื่อยหนอ่ ย ก็ทาแบบตรงไปตรงมาดงั นี ้คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) จดุ กง่ึ กลางชนั ้ (������) รวมคะแนนในชนั ้ (������������)10 - 19.9 7 14.95 104.6520 - 29.9 11 24.95 274.4530 - 39.9 17 34.95 594.1540 - 49.9 5 44.95 224.75 40 1198.00ซงึ่ จะได้ ������̅ = 1198 = 29.95 40แตถ่ ้าไมอ่ ยากเหนื่อย ก็มีอกี มวี ิธี คอื เราจะแปลงจดุ กง่ึ กลางชนั้ ให้เป็นตวั เลขงา่ ยๆก่อนวิธีแปลงทีน่ ยิ มคือ ลบด้วยตวั ทซ่ี า้ มากสดุ (= 34.95) แล้วหารทอนด้วยความกว้างชนั้ (= 10)จากนนั้ ลมื จดุ กงึ่ กลางชนั้ ไปซะ แล้วหาคา่ เฉลยี่ ของผลแปลงแทน ดงั นี ้คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) จดุ กึง่ กลางชนั ้ (������) ผลแปลง (������ = ������−34.95) รวมคะแนนในชนั ้ (������������) 1010 - 19.9 7 14.95 −1420 - 29.9 11 24.95 −2 −1130 - 39.9 17 34.95 −140 - 49.9 5 44.95 0 40 0 5 1 −20จะได้คา่ เฉลยี่ ของผลแปลง คือ ������̅ = −20 = −0.5 40

26 สถิติ จากนนั้ แปลง −0.5 กลบั ให้เป็นคา่ เฉลย่ี ของข้อมลู เดิม โดยย้อนสตู รที่ใช้แปลง − 34.95 , ÷ 10 ขามา เราลบ 34.95 แล้วหารด้วย 10 # ดงั นนั้ ขากลบั ต้องคณู 10 แล้วบวก 34.95 ������ ������ จะได้ ������̅ = (−0.5×10) + 34.95 = 29.95 × 10 , +34.95แบบฝึกหดั1. คณุ ครูท่ีโรงเรียนแหง่ หนงึ่ มีอายเุ ฉลยี่ 35 ปี หลงั จากนนั้ 5 ปี มีครูใหมเ่ ข้ามาเพม่ิ 10 คน ทาให้อายเุ ฉลย่ี เปลย่ี นเป็น 36 ปี ถ้าครูใหมท่ งั้ 10 คน มอี ายุ 28 ปี ทกุ คน จงหาวา่ เดมิ โรงเรียนแหง่ นมี ้ คี รูก่ีคน2. ในการสอบยอ่ ยเพื่อเก็บคะแนน พบวา่ คะแนนดบิ ของนกั เรียน 5 คน คอื 26 , 29 , 25 , 28 , 27 อยา่ งไรก็ตาม คะแนนดิบนี ้ต้องนาไปคณู 2 ก่อน จึงจะได้คะแนนเก็บจริงๆ จงหาคา่ เฉลยี่ ของคะแนนเก็บจริงๆ ของนกั เรียนทงั้ 5 3 คนนี ้3. จงหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ โดยวธิ ีลดทอนข้อมลู สว่ นสงู จานวนนกั เรียน (������) 140 - 149 3 150 - 159 12 160 - 169 18 170 - 179 7

สถิติ 274. คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียน 50 คน มีตารางแจกแจงความถ่ีดงั นี ้ชว่ งคะแนน จานวนนกั เรียน (คน) 1 – 20 321 – 40 541 – 60 1361 – 80 2081 – 100 9คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของคะแนนสอบนเี ้ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 56/40]5. คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียนกลมุ่ หนงึ่ เป็นดงั ตารางแจกแจงความถ่ีคะแนน ความถี่20 – 29 730 – 39 1040 – 49 650 – 59 760 – 69 670 – 79 880 – 89 6คา่ เฉลยี่ ของคะแนนสอบนเี ้ป็นเทา่ ใด [O-NET 58/30]6. ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งกาไร (������) และราคาทนุ (������) ของสนิ ค้าในร้านแหง่ หนง่ึ เป็นไปตามสมการ ������ = 2������ − 30 ถ้า ราคาทนุ ของสนิ ค้า 5 ชนดิ คือ 31, 34, 35, 36 และ 39 บาท แล้ว คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของกาไรในการขายสนิ ค้า 5 ชนดิ นี ้เทา่ กบั กี่บาท [O-NET 50/18]

28 สถิติสมบตั ขิ องคา่ เฉลยี่คา่ เฉลยี่ เลขคณิต มีสมบตั ิพเิ ศษ อยหู่ ลายอยา่ งอยา่ งแรก ������̅ จะมี “คา่ ” อยตู่ รงกลาง แตไ่ มแ่ นว่ า่ จะมี “ตาแหนง่ ” อยตู่ รงกลางหรือเปลา่เช่น ข้อมลู 2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 24 → จะได้ ������̅ = 2+3+5+7+13+24 = 9 6 จะเห็นวา่ มีข้อมลู 4 ตวั (= 2, 3, 5, 7) ทน่ี ้อยกวา่ 9 แตม่ ขี ้อมลู 2 ตวั (= 13, 24) ท่ีมากกวา่ 9 จะเหน็ วา่ ������̅ ไมไ่ ด้มี “ตาแหนง่ ” อยตู่ รงกลางอยา่ งไรกต็ าม ������̅ จะมี “คา่ ” อยตู่ รงกลางถ้าเราเทียบ ������̅ กบั ข้อมลู แตล่ ะตวั จะเห็นวา่ มขี ้อมลู “บางตวั ” มากกวา่ ������̅ และมีข้อมลู “บางตวั ” น้อยกวา่ ������̅แตถ่ ้าหกั ลบกนั ออกมาแล้ว สว่ นที่มากกวา่ ������̅ กบั สว่ นท่นี ้อยกวา่ ������̅ จะหกั กนั หมดพอดีเชน่ ข้อมลู 2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 24 → จะได้ ������̅ = 2+3+5+7+13+24 = 9 6 2 น้อยกวา่ 9 อยู่ 7 13 มากกวา่ 9 อยู่ 4 3 น้อยกวา่ 9 อยู่ 6 24 มากกวา่ 9 อยู่ 15 5 น้อยกวา่ 9 อยู่ 4 7 น้อยกวา่ 9 อยู่ 2 = 19 = 19หรือพดู อกี แบบ ถ้าเราพิจารณาคา่ ของ ������������ − ������̅ จะเห็นวา่ ������������ ที่มากกวา่ ������̅ จะทาให้ ������������ − ������̅ เป็นบวก ������������ ที่น้อยกวา่ ������̅ จะทาให้ ������������ − ������̅ เป็นลบแตถ่ ้าเรานา ������������ − ������̅ ทงั้ หมด มาบวกกนั จะได้ผลหกั ล้างกนั เป็น 0 เสมอสมบตั ขิ ้อนี ้ เขยี นเป็นประโยคสญั ลกั ษณ์ได้วา่ ∑(������������ − ������̅) = 0เชน่ จากตวั อยา่ งทแี่ ล้ว ∑(������������ − ������̅) = (2 − 9) + (3 − 9) + (5 − 9) + (7 − 9) + (13 − 9) + (24 − 9) = (−7) + (−6) + (−4) + (−2) + 4 + 15 =0สมบตั ิอยา่ งท่สี อง คอื ∑(������������ − ������)2 จะมีคา่ น้อยทสี่ ดุ เม่อื ������ = ������̅ข้อนี ้ตา่ งจากสมบตั ิข้อแรก ตรงท่ีมีการยกกาลงั สอง ซงึ่ จะทาให้เลขลบกลายเป็นบวกเชน่ จากตวั อยา่ งทแ่ี ล้ว ถ้าแทน ������ ด้วย ������̅ จะได้ ∑(������������ − ������̅)2 = (2 − 9)2 + (3 − 9)2 + (5 − 9)2 + (7 − 9)2 + (13 − 9)2 + (24 − 9)2 = (−7)2 + (−6)2 + (−4)2 + (−2)2 + 42 + 152 = 49 + 36 + 16 + 4 + 16 + 225 = 346จะเห็นวา่ คราวนี ้ไมไ่ ด้ 0 เพราะการยกกาลงั สอง จะทาให้เลขลบกลายเป็นบวก ตวั เลขจงึ ไม่หกั กนั เหมือนสมบตั ขิ ้อแรกแตถ่ งึ จะไมไ่ ด้ 0 สมบตั ขิ ้อนี ้จะรับประกนั วา่ 346 เป็นคา่ ทนี่ ้อยท่ีสดุ ในบรรดา ∑(������������ − ������)2 ทงั้ หมดพดู งา่ ยๆก็คอื ถ้า ������ เป็นคา่ อนื่ ท่ีไมใ่ ช่ ������̅ จะไมม่ ีวนั ได้ ∑(������������ − ������)2 น้อยกวา่ 346

สถิติ 29เชน่ ถ้าแทน ������ ด้วย 10 จะได้∑(������������ − 10)2 = (2 − 10)2 + (3 − 10)2 + (5 − 10)2 + (7 − 10)2 + (13 − 10)2 + (24 − 10)2 = (−8)2 + (−7)2 + (−5)2 + (−3)2 + 32 + 142= 64 + 49 + 25 +9 + 9 + 196= 352 → มากกวา่ 346หรือ ถ้าแทน ������ ด้วย 8.5 จะได้ ∑(������������ − 8.5)2 = (2 − 8.5)2 + (3 − 8.5)2 + (5 − 8.5)2 + (7 − 8.5)2 + (13 − 8.5)2 + (24 − 8.5)2 = (−6.5)2 + (−5.5)2 + (−3.5)2 + (−1.5)2 + (4.5)2 + (15.5)2 = 42.5 + 30.25 + 12.25 + 2.25 + 20.25 + 240.25 = 347.5 → มากกวา่ 346ดงั นนั ้ จะเห็นวา่ ∑(������������ − ������)2 จะมคี า่ น้อยทส่ี ดุ เมื่อ ������ = ������̅แบบฝึกหดั 2. (������ − 2)2 + (������ − 4)2 + (������ − 9)21. ให้ ������ เป็นจานวนจริงใดๆ จงหาคา่ ต่าสดุ ของ 1. (2 − ������)2 + (4 − ������)2 + (9 − ������)23. (������ + 2)2 + (������ + 4)2 + (������ + 9)2 4. 2(2 − ������)2 + (������ + 5)2 + (������ − 1)2

30 สถิติมธั ยฐานคา่ กลางตวั ถดั มาทตี่ ้องเรียน คือ “มธั ยฐาน” (Median) หรือเรียกสนั้ ๆวา่ Medมธั ยฐาน เป็นคา่ มี “ตาแหนง่ ” อยตู่ รงกลาง เม่อื เรียงลาดบั ข้อมลู จากน้อยไปมาก (หรือมากไปน้อยก็ได้)หรือพดู ง่ายๆก็คือ Med จะเป็นจดุ ทแี่ บง่ จานวนข้อมลู ออกเป็น 2 สว่ น เทา่ ๆกนัการหา Med ประกอบด้วย 2 ขนั้ ตอนขนั้ แรก ต้องหากอ่ นวา่ “ตาแหนง่ ตรงกลาง” คือตาแหนง่ ท่เี ทา่ ไหร่เชน่ ถ้ามขี ้อมลู 3 ตวั ตาแหนง่ ตรงกลางคือตวั ท่ี 2 ถ้ามีข้อมลู 4 ตวั ตาแหนง่ ตรงกลางคือตวั ที่ 2.5 (คืออยรู่ ะหวา่ งตวั ท่ี 2 กบั ตวั ท่ี 3) ถ้ามขี ้อมลู 5 ตวั ตาแหนง่ ตรงกลางคอื ตวั ที่ 3จะได้สตู ร คอื ตาแหนง่ มธั ยฐาน = ������+1 2ขนั้ ถดั มา เอาตาแหนง่ ท่ไี ด้ไปหาคา่โดยต้องเรียงข้อมลู จากน้อยไปมาก (หรือมากไปน้อยก็ได้) แล้วจมิ ้ นวิ ้ ไลน่ บั จนกวา่ จะถึงตาแหนง่ ที่ต้องการถ้าตาแหนง่ ทคี่ านวณได้ ไปตกอยตู่ รงกลางระหวา่ งข้อมลู สองคา่ ให้เอาสองคา่ นนั้ บวกกนั หารด้วยสองตวั อยา่ ง จงหาคา่ มธั ยฐานของข้อมลู ชดุ หนงึ่ ซง่ึ ประกอบด้วย 5 , 15 , 12 , 21 , 13 , 9 , 18 #วิธีทา มีข้อมลู 7 ตวั ดงั นนั้ มธั ฐานจะอยตู่ าแหนง่ ท่ี 7+1 = 4 # 2 เรียงข้อมลู จากน้อยไปมาก จะได้ 5 , 9 , 12 , 13 , 15 , 19 , 21 จะเห็นวา่ ตวั ท่ี 4 มีคา่ = 13 (จริงๆไมต่ ้องเรียงข้อมลู จนหมดทกุ ตวั ก็ได้ แคเ่ รียงให้ถึงตาแหนง่ ที่ 4 ก็พอ) ดงั นนั ้ จะได้ Med = 13ตวั อยา่ ง จงหาคา่ มธั ยฐานของข้อมลู ชดุ หนง่ึ ซง่ึ ประกอบด้วย 12 , 18 , 22 , 25วิธีทา มขี ้อมลู 4 ตวั ดงั นนั้ มธั ฐานจะอยตู่ วั ที่ 4+1 = 2.5 2 จะเห็นวา่ ข้อนใี ้ จดี เรียงข้อมลู มาให้แล้ว และตาแหนง่ ที่ 2.5 จะอยตู่ รงกลางระหวา่ งตวั ที่ 2 กบั ตวั ที่ 3 ถ้าเป็นแบบนี ้ให้เอาตวั ท่ี 2 กบั ตวั ที่ 3 บวกกนั หารด้วย 2 จะได้ Med = 18+22 = 20 2ในกรณีทีข่ ้อมลู มาในรูปตารางแจกแจงความถ่ี เราจะหา “ตาแหนง่ ” ของข้อมลู ยากขนึ ้ นดิ หนอ่ ยสง่ิ ทตี่ ้องราลกึ อยเู่ สมอ คือ ตาแหนง่ ของข้อมลู จะมคี วามเก่ียวข้องโดยตรงกบั “ความถ่ี” คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) ตวั ที่ 1 , 2 ตวั ท่ี 3 , 4 , 5 14 2 ตวั ท่ี 6 , 7 , 8 , 9 , 10 15 3 ตวั ที่ 11 , 12 , 13 16 5 17 3จะเหน็ วา่ “ตาแหนง่ ” ของข้อมลู จะได้จากการนา “ความถ่ี” มาบวกสะสมไปเรื่อยๆ

สถิติ 31บางคนจะนิยมสร้างชอ่ ง “ความถี่สะสม” เพ่อื ความสะดวกรวดเร็วในการระบตุ าแหนง่ ข้อมลู #คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) ความถ่ีสะสม (������) ตวั ท่ี 1 , 2 ตวั ท่ี 3 , 4 , 5 14 2 2 ตวั ท่ี 6 , 7 , 8 , 9 , 10 15 3 5 ตวั ท่ี 11 , 12 , 13 16 5 10 17 3 13ความถ่ีสะสม จะบอกวา่ “ตวั สดุ ท้ายของชนั้ ” คอื ตวั ท่ีเทา่ ไหร่ดงั นนั้ ถ้าอยากหา “ตวั ที่ ������” ก็แคด่ วู า่ ความถ่ีสะสม “เลย ������” ไปในชนั้ ไหนเช่น ข้อมลู ตวั ที่ 4 จะอยใู่ นชนั้ ท่ี 2 เพราะ ความถี่สะสม เลย 4 ในชนั้ ที่ 2 (������ = 5) ข้อมลู ตวั ที่ 8 จะอยใู่ นชนั้ ที่ 3 เพราะ ความถี่สะสม เลย 8 ในชนั้ ที่ 3 (������ = 10) ข้อมลู ตวั ที่ 10 จะอยใู่ นชนั้ ท่ี 3 และเป็นตวั สดุ ท้ายของชนั้ ท่ี 3 ข้อมลู ตวั ท่ี 11 จะอยใู่ นชนั้ ที่ 4 เพราะ ความถ่ีสะสม เลย 11 ในชนั้ ที่ 4 (������ = 13) เป็นต้นตวั อยา่ ง จงหามธั ยฐานของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้ นา้ หนกั จานวนนกั เรียน (������) 50 6 51 13 52 11 53 5วธิ ีทา อนั ดบั แรก สร้างชอ่ ง “ความถ่ีสะสม” กอ่ น เพื่อความสะดวกในการอ้างตาแหนง่นา้ หนกั จานวนนกั เรียน (������) ความถี่สะสม (������) 50 6 6 51 13 19 52 11 30 53 5 35จะเหน็ วา่ มขี ้อมลู ทงั้ หมด 35 ตวั ดงั นนั้ Med จะอยตู่ าแหนง่ ที่ 35+1 = 18 2ยา้ อกี ที วา่ 18 ไมใ่ ช่ “คา่ ” มธั ยฐาน แตเ่ ป็น “ตาแหนง่ ” มธั ยฐานถดั มา หาวา่ ตวั ที่ 18 มคี า่ เทา่ ไหร่ เราต้องหากอ่ น วา่ ตวั ที่ 18 อยใู่ นชนั้ ไหนจะเหน็ วา่ ความถี่สะสม เลย 18 ในชนั้ ท่ี 2 (������ = 19) ดงั นนั้ ตวั ที่ 18 อยใู่ นชนั้ ที่ 2ดงั นนั ้ จะได้ Med = 51หมายเหต:ุ นกั เรียนจานวนมาก มกั สบั สนระหวา่ ง “ตาแหนง่ ” กบั “คา่ ” สตู ร ������+1 เป็นสตู รทใ่ี ช้หา “ตาแหนง่ ” มธั ยฐาน เทา่ นนั้ ไมใ่ ช่ “คา่ ” มธั ยฐาน 2 เรายงั ต้องเอาตาแหนง่ ดงั กลา่ ว ไปหา “คา่ ” ตอ่ อีก

32 สถิติตวั อยา่ ง จงหามธั ยฐานของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้ คะแนนสอบ ความถี่สะสม 6 5 10 12 12 20 15 32 18 40วิธีทา ข้อนี ้โจทย์ตงั้ ใจหลอก โดยให้ “ความถ่ีสะสม” มา แทนท่จี ะเป็น “ความถ่ี” เฉยๆ เหมอื นปกติ ถ้าไมส่ งั เกตดีๆ เราอาจคิดวา่ โจทย์ให้ “ความถี่” มา แล้วดนั ไปสร้างช่อง “ความถี่สะสม” เพม่ิ จะได้คาตอบทผ่ี ิด จะเหน็ วา่ ข้อนมี ้ ขี ้อมลู ทงั้ หมด 40 ตวั ดงั นนั้ Med จะอยตู่ าแหนง่ ที่ 40+1 = 20.5 2 ยา้ อีกที วา่ 20.5 ไมใ่ ช่ “คา่ ” มธั ยฐาน แตเ่ ป็น “ตาแหนง่ ” มธั ยฐาน ตวั ที่ 20.5 จะอยตู่ รงกลาง ระหวา่ งตวั ท่ี 20 กบั ตวั ท่ี 21 → ต้องเอาตวั ที่ 20 กบั 21 มาบวกกนั แล้ว ÷2 ตวั ท่ี 20 → เป็นตวั สดุ ท้ายของชนั้ ท่ี 3 พอดี ดงั นนั้ ตวั ท่ี 20 มคี า่ = 12 ตวั ที่ 21 → ความถ่ีสะสม เลย 21 ในชนั้ ที่ 4 (������ = 32) ดงั นนั้ ตวั ที่ 21 อยใู่ นชนั้ ที่ 4 มคี า่ = 15 ดงั นนั ้ จะได้ Med = 12+15 = 13.5 # 2แบบฝึกหดั 2. 5 , 2 , 8 , 10 , 7 , 11 , 91. จงหามธั ยฐานของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้ 1. 2 , 5 , 8 , 13 , 14 , 14 , 18 , 20 3. 0 5 8 4. คะแนน ความถ่ี 1022 72 25677 88 31 9 12 10 6

สถิติ 335. จานวนนกั เรียน 6. คะแนน ความถ่ีสะสม 5 21 2 4 22 8 3 23 12 2 24 15 1 25 16 0 1234 เกรดวิชาเลข7. 2 , 4 , 6 , … , 30 8. 5 , 7 , 9 , 11 , … , 1012. จากแผนภาพต้น – ใบของข้อมลู ชดุ หนง่ึ เป็นดงั นี ้ 0789 10157 2122 302จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณติ และ มธั ยฐาน ของข้อมลู ชดุ นี ้ [O-NET 57/30]3. จากการสอบถามเยาวชนจานวน 12 คน วา่ เคยฟังพระธรรมเทศนามาแล้วจานวนกี่ครัง้ ปรากฏผลดงั แสดงใน แผนภาพตอ่ ไปนี ้ [O-NET 52/33] จานวนเยาวชน 5 จานวนครัง้ ทีเ่ คยฟังพระธรรมเทศนา 4 3 2 1 0 123456มธั ยฐานของข้อมลู ชดุ นเี ้ทา่ กบั กค่ี รัง้4. กาหนดให้ข้อมลู ชดุ หนง่ึ คอื 10, 3, ������, 6, 6 ถ้าคา่ เฉลยี่ เลขคณิตของข้อมลู ชดุ นี ้มีคา่ เทา่ กบั มธั ยฐาน แล้ว ������ มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 50/20]

34 สถิติมธั ยฐาน (อนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง)ในกรณีทขี่ ้อมลู มาในรูปตารางแจกแจงความถ่ีทม่ี ีอนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง เราจะคานวณ Med ยากขนึ ้ เยอะเลย คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) 1 - 10 8 11 - 20 10 21 - 30 20 31 - 40 12ในกรณีนี ้ถ้าจะหา Med จะมีขนั้ ตอนดงั นี ้ 1. สร้างชอ่ ง “ความถ่ีสะสม” เพ่อื ความสะดวกในการหาคา่ ข้อมลู ณ ตาแหนง่ ตา่ งๆ 2. หา “ตาแหนง่ ” มธั ยฐาน ด้วยสตู รใหม่ ตาแหนง่ มธั ยฐาน = ������ สตู รนี ้ใช้กบั กรณี อนั ตรภาคชนั้ เป็นช่วงเทา่ นนั้ 2 ถ้ามาเป็นตวั ๆ ให้ใช้สตู ร ������+1 เหมอื นเก่า 2 3. ใช้ชอ่ งความถ่ีสะสม หาวา่ มธั ยฐาน อยชู่ นั้ ไหน แล้วใช้สตู รไหนก็ได้ จาก 2 สตู รตอ่ ไปนี ้ ความถี่สะสมชนั ้ ทีต่ ่ากวา่ Med สตู รนี ้จะเริ่มจากขอบลา่ ง ������ − ������������) ความกว้างชนั ้ Med แล้วหาวา่ ต้องเดนิ หน้าตอ่ ไปอีกเป็นสดั สว่ นเทา่ ไหร่ของชนั้ Med = ������ + (2 ������������ ������ โดยจะดวู า่ Med ลา้ เข้าไปในชนั้ นนั้ ๆ เป็นสดั สว่ นเทา่ ไหร่ ขอบลา่ งชนั ้ Med ความถ่ีชนั ้ Med สดั สว่ นทีล่ า้ = Med ลา้ ไปในชนั้ ก่ีตวั จานวนตวั ในชนั้ ความถ่ีสะสมชนั ้ Med สตู รนี ้จะเริ่มจากขอบบน (������������ − ������ ความกว้างชนั ้ Med แล้วหาวา่ ต้องถอยกลบั มาเป็นสดั สว่ นเทา่ ไหร่ของชนั้ 2 Med = ������ − ) ������ โดยจะดวู า่ Med พร่องไปจากชนั้ นนั้ ๆ เป็นสดั สว่ นเทา่ ไหร่ ������������ ขาดก่ีตวั Med ถงึ จะเล่ือนไปเต็มชนั้ ขอบบนชนั ้ Med ความถ่ีชนั ้ Med สดั สว่ นที่พร่อง = จานวนตวั ในชนั้เช่น คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) ความถ่ีสะสม (������) ������ = 50 , Med อยตู่ วั ท่ี 50 = 25 = ชนั ้ ท่ี 3 2 1 - 10 8 8 11 - 20 10 18 ������ = 20.5 , ������ = 30.5 , ������ = 10 21 - 30 20 38 31 - 40 12 50 ������������ = 18 , ������������ = 38 , ������������ = 20 Med = 20.5 + (25−18) (10) หรือถ้าใช้อีกสตู ร Med = 30.5 − (38−25) (10) 20 20 = 20.5 + 3.5 = 30.5 − 6.5 = 24 = 24 เทา่ กนั

สถิติ 35ตวั อยา่ งอกี อนั เช่นคะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) ความถี่สะสม (������) ������ = 40 1 - 12 8 8 Med อยตู่ วั ที่ 40 = 20 = ตวั สดุ ท้ายของชนั้ ท่ี 2 13 - 24 12 20 2 25 - 36 10 30 37 - 48 7 37 ������ = 12.5 , ������ = 24.5 , ������ = 12 49 - 60 3 40 ������������ = 8 , ������������ = 20 , ������������ = 12Med = 12.5 + (201−28) (12) หรือถ้าใช้อกี สตู ร Med = 24.5 − (201−220) (12) = 12.5 + 12 = 24.5 − 0 = 24.5 = 24.5 เทา่ กนัสงั เกตวา่ ถ้าบงั เอิญ Med ไปตกอยู่ “ตวั สดุ ท้ายของชนั้ ” แล้ว ������ − (������������ − ������ ) ������ จะเทา่ กบั ������ − 0 = ������ เสมอ 2 ������������นกั เรียนสว่ นใหญ่จงึ นิยมจาวา่ “ตวั สดุ ท้ายของชนั้ จะมคี า่ เทา่ กบั ขอบบนของชนั้ ” เสมอเชน่ ตวั ที่ 8 มคี า่ 12.5 ตวั ท่ี 20 มคี า่ 24.5 คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) ความถี่สะสม (������) ตวั ท่ี 30 มคี า่ 36.5 ตวั ที่ 37 มคี า่ 48.5 1 - 12 8 8 ตวั ท่ี 40 มีคา่ 60.5 เป็นต้น 13 - 24 12 20 25 - 36 10 30 37 - 48 7 37 49 - 60 3 40แบบฝึกหดั1. จงหามธั ยฐานของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้1. คะแนน ความถ่ี 2. คะแนน ความถี่ 1 - 10 6 1- 4 2 11 - 20 12 5- 8 5 21 - 30 10 9 - 12 10 31 - 40 2 13 - 16 133. คะแนน ความถี่สะสม 1 - 10 6 11 - 20 18 21 - 30 20 31 - 40 35 41 - 50 40

36 สถิติมธั ยฐาน (จากกราฟ)เราสามารถหา Med แบบคร่าวๆ จาก “โอจีฟ” ได้โอจีฟ คือ กราฟทไ่ี ด้จากการนา “ความถี่สะสม” มาเขียนกราฟ แล้วลากเส้นเชื่อมยอดแทง่ ดงั รูป คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (คน) ความถ่ีสะสม ความถ่ีสะสม (������) คะแนนสอบ 1 - 10 3 3 60 11 - 20 12 15 50 21 - 30 10 25 40 31 - 40 29 54 30 41 - 50 6 60 20 10 0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5ซง่ึ จากหวั ข้อทีเ่ รียนไปก่อนหน้านี ้เราสามารถใช้โอจีฟ มาพลอ็ ตหาคา่ ประมาณของข้อมลู ณ ตาแหนง่ ตา่ งๆได้ ความถี่สะสม (������) 60 ตวั ที่ 45 50 40 30 20 ตวั ที่ 20 10 คะแนนสอบ 0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5ในการหา Med จาก โอจีฟ เราจะหาตาแหนง่ ของ Med มากอ่ น แล้วพลอ็ ตหาคา่ ประมาณของตาแหนง่ ดงั กลา่ วเนื่องจาก ความถ่ีสะสมชอ่ งสดุ ท้าย จะมคี า่ เทา่ กบั ������ เสมอดงั นนั ้ ตาแหนง่ Med ท่ีเคยหาจากสตู ร ������ จะสามารถหาได้จาก ความสงู สดุ ท้ายของโอจีฟ ด้วย 22และเราสามารถใช้ตาแหนง่ ดงั กลา่ ว พลอ็ ตหา Med ได้ดงั รูป ความถ่ีสะสม (������) 60 50 = 40 30 ตาแหน่ง Med 20 = 10 คะแนนสอบ 0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5เชน่ จากรูป จะได้ Med มีคา่ ประมาณ 32 กวา่ ๆ

สถิติ 37นอกจากนี ้เรายงั สามารถหา Med แบบคร่าวๆ จาก “โค้งความถ่ี” ได้อีกด้วยโค้งความถี่ จะมสี มบตั ทิ ส่ี าคญั อยา่ งหนง่ึ คอื “พนื ้ ที่ใต้กราฟ” จะเป็นสดั สว่ นกบั “จานวนข้อมลู ” 11 20เชน่ จานวนนกั เรียนท่ไี ด้คะแนน 11 - 20 จะเป็นสดั สว่ นกบั พนื ้ ทใ่ี ต้โค้ง จาก 11 ถงึ 20เนื่องจาก Med เป็นจดุ ท่ีแบง่ “จานวนข้อมลู ” ออกเป็น 2 สว่ น เทา่ ๆกนัดงั นนั้ Med จะเป็นจดุ ทแ่ี บง่ “พนื ้ ที่ใต้โค้ง” เป็น 2 สว่ นเทา่ ๆกนั ด้วยดงั นนั้ ถ้าให้โค้งความถ่มี า เราสามารถประมาณคา่ Med โดยเลง็ หาจดุ ที่แบง่ พนื ้ ทีใ่ ต้โค้งออกเป็น 2 สว่ นเทา่ กนั ดงั รูปAB0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5 คะแนนสอบMed คอื จดุ ท่ที าให้พนื ้ ท่ี A = พนื ้ ท่ี B

38 สถิติสมบตั ิของมธั ยฐานสมบตั ิอยา่ งแรกของมธั ยฐาน คอื มนั “ทน” กบั ข้อมลู ทม่ี ากผดิ ปกติ หรือน้อยผดิ ปกติ ได้ปกติ เราจะไมค่ อ่ ยชอบให้ข้อมลู ท่ผี ิดปกติ มาฉดุ ภาพรวมของข้อมลู ไปซกั เทา่ ไหร่เชน่ 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 , 2000 → จะเหน็ วา่ 2000 เป็นข้อมลู ท่ีมากผดิ ปกติซงึ่ การมอี ยขู่ อง 2000 นี ้จะ “ฉดุ ������̅” ได้สดุ ๆเชน่ ถ้าไมม่ ี 2000: 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 ������̅ = 6+7+7+8+11+12+12 =9 ถ้า มี 2000: 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 , 2000 7 ������̅ = 6+7+7+8+11+12+12+2000 = 257.88 8อยา่ งไรกต็ าม การมอี ยขู่ อง 2000 จะ ไมม่ ผี ลกบั Med มากนกัเชน่ ถ้าไมม่ ี 2000: 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 Med = 8 ถ้า มี 2000: 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 , 2000 Med = 8+11 = 9.5 2ดงั นนั้ ถ้าในข้อมลู มีบางตวั ท่ีมากหรือน้อยผดิ ปกตอิ ยู่ เรามกั นิยมใช้ Med เป็นคา่ กลาง แทน ������̅สมบตั อิ ีกอยา่ งทสี าคญั คือ ∑|������������ − ������| จะมคี า่ น้อยท่ีสดุ เมอื่ ������ = Medข้อนี ้จะคล้ายๆ กบั ของ ������̅ ซงึ่ นกั เรียนสว่ นใหญ่ มกั จะจาสบั กนั ∑(������������ − ������)2 จะมคี า่ น้อยทส่ี ดุ เมือ่ ������ = ������̅แต่ ∑|������������ − ������| จะมีคา่ น้อยท่ีสดุ เมื่อ ������ = Medตวั อยา่ งเช่น ข้อมลู 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 มี Med = 8 ∑|������������ − 8| = |6 − 8| + |7 − 8| + |7 − 8| + |8 − 8| + |11 − 8| + |12 − 8| + |12 − 8| = 2+ 1+ 1 + 0 + 3 + 4 + 4 = 15สมบตั ขิ อง Med จะรับประกนั ได้วา่ 15 จะเป็นคา่ ท่ีน้อยทีส่ ดุ ในบรรดา ∑|������������ − ������| ทงั้ หมดพดู ง่ายๆกค็ ือ ถ้า ������ เป็นคา่ อนื่ ที่ไมใ่ ช่ Med จะไมม่ วี นั ได้ ∑|������������ − ������| น้อยกวา่ 15เช่น ถ้าแทน ������ ด้วย 7 จะได้ ∑ |������������ − 7| = |6 − 7| + |7 − 7| + |7 − 7| + |8 − 7| + |11 − 7| + |12 − 7| + |12 − 7| = 1+ 0+ 0 + 1 + 4+ 5+ 5 = 16 → มากกวา่ 15หรือ ถ้าลองแทน ������ ด้วย ������̅ ดู (ข้อมลู ชดุ นี ้มี ������̅ = 6+7+7+8+11+12+12 = 9) จะได้ 7 ∑ |������������ − 9| = |6 − 9| + |7 − 9| + |7 − 9| + |8 − 9| + |11 − 9| + |12 − 9| + |12 − 9| = 3+ 2+ 2 + 1 + 2 + 3 + 3 = 16 → ก็ยงั แพ้ Medดงั นนั ้ จะเห็นวา่ ∑|������������ − ������| จะมคี า่ น้อยทสี่ ดุ เมอื่ ������ = Med

แบบฝึกหดั สถิติ 391. ให้ ������ เป็นจานวนจริงใดๆ จงหาคา่ ต่าสดุ ของ 2. |������ − 2| + |������ − 4| + |������ − 9| + |������ − 10| 1. |2 − ������| + |4 − ������| + |9 − ������|3. |������ + 2| + |4 − ������| + |������ + 3| 4. 2|1 − ������| + 3|������ + 4| + |������|

40 สถิติฐานนยิ มคา่ กลางตวั สดุ ท้ายที่ต้องเรียน คอื “ฐานนิยม”ฐานนิยม (Mode) คือ คา่ ท่ขี ้อมลู สว่ นใหญ่นยิ มเป็นเราสามารถหาฐานนิยมโดยหาข้อมลู ที่ “ซา้ มากสดุ ”  ถ้ามีข้อมลู ท่ีซา้ มากสดุ เทา่ กนั สองตวั ก็ให้ตอบเป็นฐานนยิ มไปทงั้ สองตวั  ถ้ามขี ้อมลู ที่ซา้ มากสดุ เทา่ กนั เกินสองตวั นิยมตอบวา่ “ไมม่ ฐี านนยิ ม”  ถ้าข้อมลู ไมซ่ า้ กนั เลย ตอบวา่ “ไมม่ ฐี านนยิ ม”เช่น 5 , 6 , 6 , 7 , 8 , 8 , 8 , 6 , 7 , 7 , 11 , 12 , 15 , 6 , 6 , 10 , 11 , 12 , 12 , 17 , 20 , 20 , 24 , 28 10 , 10 , 11 , 12 , 12 13 , 15 , 15 , 16 , 18 → Mode = 7, 20 → Mode = 8 → Mode = ไมม่ ี คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) อายุ จานวนนกั เรียน (������) 11 6 14 25 12 12 15 53 13 15 16 31 14 18 17 53 15 2 → Mode = 15 , 17 → Mode = 14แบบฝึกหดั 2. 0 21. จงหาฐานนยิ มของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้ 11231 1. 3 , 4 , 8 , 12 , 19 , 13 , 16 , 12 24994 34 3. จานวนพนกั งาน 4. คะแนน ความถี่ 4 72 3 88 2 9 12 1 10 6 0 56789 เบอร์รองเท้า 5. คะแนน ความถ่ีสะสม 23 2 24 7 25 12 26 13

สถิติ 412. ข้อมลู สองชดุ เป็นดงั นี ้ ชดุ ท่ี 1 : 1 3 3 6 8 9 ชดุ ท่ี 2 : 2 3 4 5 5 5 ข้อใด ผดิ [O-NET 58/31] 1. คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของข้อมลู ชดุ ที่ 1 มากกวา่ คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของข้อมลู ชดุ ที่ 2 อยู่ 0.5 2. ข้อมลู ทงั้ สองชดุ มมี ธั ยฐานเทา่ กนั 3. ฐานนยิ มของข้อมลู สองชดุ นตี ้ า่ งกนั อยู่ 2 4. คา่ เฉลย่ี เลขคณิตรวมของข้อมลู ทงั้ สองชดุ เทา่ กบั 4.5 5. คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของข้อมลู ชดุ ที่ 1 เทา่ กบั ฐานนยิ มของข้อมลู ชดุ ที่ 23. แผนภาพต้นใบของข้อมลู ชดุ หนง่ึ เป็นดงั นี ้ 200358 314467 43357 51222 635 ข้อใดถกู ต้องบ้าง [O-NET 54/20] 1. ข้อมลู ชดุ นไี ้ มม่ ฐี านนยิ ม 2. มธั ยฐานของข้อมลู ชดุ นเี ้ทา่ กบั 404. ถ้าข้อมลู ชดุ หนง่ึ ประกอบด้วย 10, 12, 15, 13 และ 10 ข้อความในข้อใดตอ่ ไปนเี ้ป็นเท็จ สาหรับข้อมลู ชดุ นี ้[O-NET 49/1-14] 2. ฐานนิยม น้อยกวา่ 12 4. คา่ เฉลย่ี เลขคณิต มากกวา่ 121. มธั ยฐาน เทา่ กบั 123. ฐานนิยม น้อยกวา่ คา่ เฉลยี่ เลขคณิต

42 สถิติ 5. แผนภาพต้นใบของนา้ หนกั ในหนว่ ยกรัมของไขไ่ ก่ 10 ฟอง เป็นดงั นี ้ 578 6789 70447 81 ข้อสรุปใดเป็นเทจ็ [O-NET 53/29] 1. ฐานนิยมของนา้ หนกั ของไขไ่ กม่ ีเพียงคา่ เดยี ว 2. คา่ เฉลยี่ เลขคณิตและมธั ยฐานของนา้ หนกั ของไขไ่ กม่ ีคา่ เทา่ กนั 3. มไี ขไ่ ก่ 5 ฟองทม่ี ีนา้ หนกั น้อยกวา่ 70 กรัม 4. ไขไ่ ก่ทม่ี นี า้ หนกั สงู กวา่ ฐานนยิ ม มีจานวนมากกวา่ ไขไ่ ก่ที่มนี า้ หนกั เทา่ กบั ฐานนยิ ม 6. ข้อมลู ชดุ หนง่ึ ประกอบด้วย 4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4 ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง [O-NET 52/27] 1. คา่ เฉลยี่ เลขคณิต < ฐานนิยม < มธั ยฐาน 2. ฐานนิยม < มธั ยฐาน < คา่ เฉลยี่ เลขคณิต 3. ฐานนยิ ม < คา่ เฉลยี่ เลขคณติ < มธั ยฐาน 4. มธั ยฐาน < ฐานนยิ ม < คา่ เฉลยี่ เลขคณิต 7. กาหนดแผนภาพ ต้น - ใบ ของข้อมลู ชดุ หนงึ่ ดงั นี ้ 0375 1643 20212 301 สาหรับข้อมลู ชดุ นี ้ข้อใดตอ่ ไปนเี ้ป็นจริง [O-NET 51/36] 1. มธั ยฐาน < ฐานนยิ ม < คา่ เฉลย่ี เลขคณิต 2. มธั ยฐาน < คา่ เฉลยี่ เลขคณติ < ฐานนิยม 3. คา่ เฉลยี่ เลขคณิต < ฐานนิยม < มธั ยฐาน 4. คา่ เฉลยี่ เลขคณิต < มธั ยฐาน < ฐานนิยม

สถิติ 438. ถ้านา้ หนกั (คดิ เป็นกิโลกรัม) ของนกั เรียน 2 กลมุ่ กลมุ่ ละ 6 คน เขยี นเป็นแผนภาพ ต้น - ใบ ได้ดงั นี ้นกั เรียนกลมุ่ ที่ 1 นกั เรียนกลมุ่ ท่ี 2 864349 8664224 50ข้อสรุปในข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้อง [O-NET 49/1-30]1. นา้ หนกั เฉลย่ี ของนกั เรียนกลมุ่ ท่ี 2 มากกวา่ นา้ หนกั เฉลย่ี ของนกั เรียนกลมุ่ ท่ี 12. ฐานนิยมของนา้ หนกั ของนกั เรียนกลมุ่ ท่ี 2 มากวา่ ฐานนยิ มของนา้ หนกั ของนกั เรียนกลมุ่ ที่ 13. มธั ยฐานของนา้ หนกั ของนกั เรียนกลมุ่ ที่ 2 มากกวา่ มธั ยฐานของนา้ หนกั ของนกั เรียนกลมุ่ ท่ี 14. มธั ยฐานของนา้ หนกั ของนกั เรียนทงั้ หมด มากกวา่ มธั ยฐานของนา้ หนกั ของนกั เรียนกลมุ่ ท่ี 19. จากแผนภาพ ต้น-ใบ ของข้อมลู แสดงนา้ หนกั (กิโลกรัม) ของนกั เรียนกลมุ่ หนงึ่ เป็นดงั นี ้ 4210 508322 60314 เมื่อสมุ่ เลอื กนกั เรียนมา 1 คน จากกลมุ่ นี ้ความนา่ จะเป็นที่จะได้นกั เรียนท่มี นี า้ หนกั น้อยกวา่ ฐานนยิ มของกลมุ่ มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 50/36]10. ถ้าสมุ่ ตวั เลขหนง่ึ จากข้อมลู ชดุ ใดๆ ซงึ่ ประกอบด้วยตวั เลข 101 ตวั แล้ว ข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู [O-NET 51/39] 1. ความนา่ จะเป็นทตี่ วั เลขทีส่ มุ่ ได้มคี า่ น้อยกวา่ คา่ มธั ยฐาน < 1 2 2. ความนา่ จะเป็นทต่ี วั เลขทีส่ มุ่ ได้มคี า่ น้อยกวา่ คา่ เฉลยี่ เลขคณติ < 1 2 3. ความนา่ จะเป็นทตี่ วั เลขที่สมุ่ ได้มคี า่ มากกวา่ คา่ มธั ยฐาน > 1 2 4. คา่ เฉลย่ี เลขคณิต < มธั ยฐาน < ฐานนิยม

44 สถิติฐานนยิ ม (อนั ตรภาคชนั้ เป็นช่วง)ในกรณีทข่ี ้อมลู มาในรูปตารางแจกแจงความถ่ีทม่ี อี นั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง ก็จะมวี ิธีหา Mode ท่ียากขนึ ้ พอสมควร คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) 1 - 10 8 11 - 20 10 21 - 30 20 31 - 40 12ในกรณีนี ้ถ้าจะหา Mode จะมขี นั้ ตอนดงั นี ้ 1. หาอนั ตรภาคชนั้ ท่ี Mode ตกอยู่ โดยดจู ากชนั้ ที่ความถ่ีสงู สดุ 2. คานวณ “ผลตา่ งความถี่” ระหวา่ งชนั้ Mode กบั ชนั้ ทีอ่ ยตู่ ิดกบั Mode ทงั้ ชนั้ บนและชนั้ ลา่ ง ������1 = ความถ่ีชนั้ Mode − ความถ่ีชนั้ ตา่ กวา่ ������2 = ความถี่ชนั้ Mode − ความถ่ีชนั้ สงู กวา่ 3. คานวณคา่ Mode ด้วยสตู รไหนก็ได้ จาก 2 สตู รตอ่ ไปนี ้ ความกว้าง ชนั ้ Mode ความกว้าง ชนั ้ Mode Mode = ������ + ( ������1 ) ������ Mode = ������ − ( ������2 ) ������ ������1+������2 ������1+������2 ขอบลา่ ง ชนั ้ Mode ขอบบน ชนั ้ Modeเชน่ คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) ชนั้ ที่ 3 ความถ่ีมากสดุ = 20 → Mode อยชู่ นั้ ที่ 3 1 - 10 8 ������ = 20.5 , ������ = 30.5 11 - 20 10 ������1 = 20 − 10 = 10 21 - 30 20 ������2 = 20 − 12 = 8 31 - 40 12 Mode = 20.5 + ( 10 ) 10 หรือถ้าใช้อีกสตู ร Mode = 30.5 − ( 8 ) 10 10+8 10+8 = 20.5 + 5.56 = 30.5 − 4.44 = 26.06 = 26.06 เทา่ กนัตวั อยา่ งอกี อนั เช่น จานวนนกั เรียน (������) ชนั้ ที่ 1 ความถี่มากสดุ = 16 → Mode อยชู่ นั้ ท่ี 1 คะแนนสอบ 16 ������ = 0.5 , ������ = 8.5 12 1- 8 11 ������1 = 16 − 0 = 16 (ถือวา่ กอ่ นชนั ้ 1 มคี วามถี่ = 0) 9 - 16 9 17 - 24 ������2 = 16 − 12 = 4 25 - 32 Mode = 0.5 + ( 16 ) 8 หรือถ้าใช้อีกสตู ร Mode = 8.5 − ( 4 ) 8 16+4 16+4 = 8.5 − 1.6 = 0.5 + 6.4 = 6.9 เทา่ กนั = 6.9

สถิติ 45ในกรณีท่ี อนั ตรภาคชนั้ กว้างไมเ่ ทา่ กนั เราจะไมส่ ามารถใช้ความถ่ีมาวดั ความนิยมของชนั้ ได้อกี ตอ่ ไป(ไมง่ นั้ ชนั้ ทแ่ี คบ จะเสยี เปรียบชนั้ ทกี่ ว้าง เพราะชนั้ ที่กว้างจะมโี อกาสทม่ี ีข้อมลู อยหู่ ลายตวั กวา่ )ในกรณีนี ้เราจะใช้ ความหนาแนน่ ของชนั้ = ความถ่ี (������) มาวดั ความนิยม และใช้ในการคานวณ ������ แทนความถี่ ������ ความกว้างชนั้ (������)เชน่ คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) ความกว้างชนั ้ (������) ความหนาแน่น ������ ������ 1–8 8 81 5 หนาแนน่ สดุ9 – 10 10 211 – 20 20 10 221 – 35 12 15 0.8ชนั้ ที่ 2 หนาแนน่ สดุ = 5 → Mode อยชู่ นั้ ท่ี 2������ = 8.5 , ������ = 2 → Mode = 8.5 + (4+43) 2������1 = 5 – 1 = 4 = 8.5 + 1.14������2 = 5 – 2 = 3 = 9.64แบบฝึกหดั1. จงหาฐานนยิ มของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้1. คะแนน ความถี่ 2. คะแนน ความถ่ี 1 - 10 3 1- 5 4 11 - 20 9 6 - 10 13 21 - 30 12 11 - 15 12 31 - 40 11 16 - 20 113. คะแนน ความถ่ี 4. คะแนน ความถี่สะสม 1- 4 2 11 - 16 4 5- 8 3 17 - 22 16 9 - 12 6 23 - 28 26 13 - 16 11 29 - 34 37 35 - 40 425. คะแนน ความถ่ี 6. คะแนน ความถ่ีสะสม 1 - 10 5 1 - 10 5 11 - 30 10 11 - 15 15 31 - 40 6 16 - 19 21 41 - 60 6 20 - 29 27

46 สถิติฐานนิยม (จากกราฟ)เราสามารถหา Mode จากฮิสโทแกรม ได้ คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) จานวนนกั เรียน (คน) คะแนนสอบ 1 - 10 8 20 11 - 20 10 15 21 - 30 20 10 31 - 40 12 5 0 5.5 15.5 25.5 35.5โดยมขี นั้ ตอน ดงั นี ้ 1. หาแทง่ ทีส่ งู ที่สดุ 2. ลากเส้นไขว้จากยอดของแทง่ ท่ีสงู สดุ ไปยงั ยอดของแทง่ ข้างๆ 3. จากจดุ ตดั ทไ่ี ด้ ลากลงไปหาคา่ Mode ที่แกนคา่ ข้อมลู ได้เลย จานวนนกั เรียน (คน) เชน่ เราจะหา Mode ได้จากตวั อยา่ งดงั รูป ซง่ึ จะได้ Mode มีคา่ ประมาณ 26 20 15 คะแนนสอบ 10 5 0 5.5 15.5 25.5 35.5นอกจากนี ้เรายงั สามารถหา Mode จากโค้งความถ่ีได้ด้วยโดย Mode จะอยบู่ ริเวณทโ่ี ค้งความถ่ี “โดง่ ทีส่ ดุ ” คะแนนสอบ เชน่ เราจะ Mode ได้จากตวั อยา่ งดงั รูป ซง่ึ จะได้ Mode มคี า่ ประมาณ 26 5.5 15.5 25.5 35.5

สถิติ 47 สมบตั ขิ องฐานนิยมฐานนยิ ม เป็นคา่ กลางเพยี งตวั เดยี ว ทีส่ ามารถใช้กบั “ข้อมลู เชิงคณุ ภาพ” ได้ข้อมลู เชงิ คณุ ภาพ คอื ข้อมลู ท่ีแสดงคณุ สมบตั ิ เชน่ สที ่ชี อบ เพศ กรุ๊ปเลอื ด  ข้อมลู ประเภทนี ้จะไมส่ ามารถ บวก ลบ คณู หาร ได้ จึงหาคา่ เฉลยี่ ไมไ่ ด้  ข้อมลู ประเภทนี ้จะไมส่ ามารถเทยี บมากกวา่ น้อยกวา่ ได้ จงึ หา Med ไมไ่ ด้เชน่ ถ้าผลการสารวจสที ่ีชอบของนกั เรียน 7 คน พบวา่ ชอบ สฟี า้ , สเี ขยี ว , สเี ขียว , สชี มพู , สดี า , สฟี า้ , สเี ขยี วข้อมลู ประเภทนี ้หมดสทิ ธ์ิหา ������̅ หรือ Med เพราะ บวก ลบ คณู หาร หรือ เรียงลาดบั ไมไ่ ด้แตจ่ ะหา Mode ได้ = สเี ขียวแบบฝึกหดั1. การเลอื กใช้คา่ กลางของข้อมลู ควรพิจารณาสงิ่ ตอ่ ไปนีย้ กเว้นข้อใด [O-NET 52/29]1. ลกั ษณะของข้อมลู 2. วิธีจดั เรียงลาดบั ข้อมลู3. จดุ ประสงค์ของการนาไปใช้ 4. ข้อดีและข้อเสยี ของคา่ กลางแตล่ ะชนดิ2. ข้อใดถกู [O-NET 58/29] 1. ข้อมลู ท่จี ะวดั คา่ กลางได้ต้องเป็นข้อมลู เชงิ ปริมาณเทา่ นนั้ 2. กรณีท่ีข้อมลู มีจานวนน้อยควรใช้ฐานนยิ มเป็นคา่ กลางเพราะสามารถนบั ความถ่ีของข้อมลู ได้สะดวก 3. คา่ เฉลย่ี เลขคณิตเป็นคา่ กลางทีไ่ มเ่ หมาะสมกบั ข้อมลู ทมี่ บี างคา่ ตา่ กวา่ ข้อมลู อ่ืนๆมาก 4. เน่ืองจากมธั ยฐานคอื คา่ ของข้อมลู ทีอ่ ยกู่ ึ่งกลางของข้อมลู ทงั้ ชดุ ดงั นนั้ มธั ยฐานจงึ ใช้เฉพาะกรณีทข่ี ้อมลู มี จานวนข้อมลู เป็นจานวนค่ีเทา่ นนั้ 5. คา่ กลางของข้อมลู ทแี่ จกแจงความถี่แล้วมคี วามถูกต้องแนน่ อนมากกวา่ คา่ กลางของข้อมลู ชดุ เดยี วกนั ท่ยี งั ไมไ่ ด้ แจกแจงความถี่3. คา่ กลางของข้อมลู ในข้อใดมคี วามเหมาะสมทจ่ี ะใช้เป็นตวั แทนของข้อมลู ของกลมุ่ [O-NET 56/29] 1. คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของนา้ หนกั ตวั ของชาวจงั หวดั เชียงใหม่ 2. คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของจานวนหน้าของหนงั สอื ทคี่ นไทยแตล่ ะคนอา่ นในปี พ.ศ. 2554 3. มธั ยฐานของจานวนเงินทแ่ี ตล่ ะคนใช้จา่ ยตอ่ เดอื นของคนไทย 4. ฐานนยิ มของความสงู ของนกั เรียนห้องหนงึ่ 5. คา่ เฉลย่ี ของฐานนิยมกบั มธั ยฐานของคะแนนสอบของนกั เรียนทงั้ โรงเรียน

48 สถิติ 4. คา่ กลางของข้อมลู ในข้อใดมคี วามเหมาะสมทีจ่ ะใช้เป็นตวั แทนของข้อมลู ของกลมุ่ [O-NET 57/29] 1. คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของขนาดรองเท้าของนกั เรียนห้องหนง่ึ 2. คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของจานวนผ้โู ดยสารรถไฟฟา้ ใต้ดินตอ่ วนั ในเดือน มกราคม พ.ศ. 2557 3. มธั ยฐานของนา้ หนกั ตวั ของคนไทยในปี พ.ศ. 2556 4. ฐานนิยมของความสงู ของนกั กีฬาไทยได้ที่ได้รับเหรียญทองจากการแขง่ ขนั กีฬาโอลมิ ปิก 5. คา่ กงึ่ กลางระหวา่ งมธั ยฐานกบั คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรียนชนั้ ม.6 ของ โรงเรียนแหง่ หนง่ึ5. ข้อมลู ตอ่ ไปนแี ้ สดงนา้ หนกั ในหนว่ ยกิโลกรัม ของนกั เรียนกลมุ่ หนงึ่41 , 88 , 46 , 42 , 43 , 49 , 44 , 45 , 43 , 95 , 47 , 48คา่ กลางในข้อใดเป็นคา่ ทีเ่ หมาะสมทีจ่ ะเป็นตวั แทนของข้อมลู ชดุ นี ้ [O-NET 53/31]1. มธั ยฐาน 2. ฐานนิยม3. คา่ เฉลย่ี เลขคณิต 4. คา่ เฉลย่ี ของคา่ สงู สดุ และคา่ ตา่ สดุ6. ยอดขายตอ่ เดอื น (หนว่ ย : หมืน่ บาท) ของบริษัทแหง่ หนงึ่ ในระยะเวลา 10 เดอื น เป็นดงั นี ้ 154 151 148 405 158 157 158 148 148 153 ข้อใดถกู [O-NET 59/29] 1. คา่ เฉลย่ี เลขคณิต (������̅) เป็นคา่ กลางที่เหมาะสมทีส่ ดุ สาหรับเป็นตวั แทนของข้อมลู นี ้และ ������̅ = 178 2. ฐานนยิ ม เป็นคา่ กลางทเี่ หมาะสมทส่ี ดุ สาหรับเป็นตวั แทนของข้อมลู นี ้และ ฐานนยิ ม = 148 3. ฐานนิยม เป็นคา่ กลางท่ีเหมาะสมทีส่ ดุ สาหรับเป็นตวั แทนของข้อมลู นี ้และ ฐานนิยม = 158 4. มธั ยฐาน เป็นคา่ กลางที่เหมาะสมทสี่ ดุ สาหรับเป็นตวั แทนของข้อมลู นี ้และ มธั ยฐาน = 157.5 5. มธั ยฐาน เป็นคา่ กลางที่เหมาะสมทสี่ ดุ สาหรับเป็นตวั แทนของข้อมลู นี ้และ มธั ยฐาน = 153.5