เอกสารประกอบการเรียนเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ

1 ตรีโกณมติ ิและการประยุกต์ 1. วงกลมหน่ึงหนว่ ย (unit circle) บทนิยาม 1 วงกลมหน่ึงหน่วย หมายถึง วงกลมที่มีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ่ีจุดกาเนิด (origin) และ มีรัศมียาวเทา่ กบั 1 หน่วย วงกลมน้ีเป็นกราฟของความสมั พนั ธ์ { (x,y) R ×R | x2+ y2 = 1 } ความยาวของเส้นรอบวงเทา่ กับ 2r หนว่ ย เมื่อ r = 1 ความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลมหนึง่ หน่วยเทา่ กบั 2 จากรปู เป็นพิกดั (x,y) ท่อี ยู่บนเสน้ รอบวงของวงกลมรัศมีหนึ่งหนว่ ยตามค่ามุมตา่ งๆ

2 แบบฝกึ หดั ที่ 1 กาหนดจานวนจริง  ใหห้ าจดุ ปลายส่วนโค้งทีย่ าว  หนว่ ยท่กี าหนดให้ 1.)  = 13 2.)  = 36 6 4 3.)  = 25 4.)  =  20 4 3 5.)  = 13 6.)  =  37 3 6 7.)  = 99 8.)  = 199 4 6

3 2. ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิเปน็ ฟังก์ชนั จากสบั เซตของ R ไป R จะใชว้ งกลมหน่งึ หน่วยเป็นหลักในการนิยาม ฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิ กาหนดจานวนจรงิ  (ทีตา) ถา้ (x, y) เป็นจดุ ปลายสว่ นโคง้ ท่ีวดั จากจุก (1,0) ยาว || หนว่ ย 1. ถ้า  > 0 จะวดั สว่ นโคง้ จากจดุ (1,0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬกิ า 2. ถา้   0 จะวัดส่วนโคง้ จากจดุ (1,0) ไปในทิศทางทวนเขม็ นาฬิกา บทนิยาม 2 เมือ่ (x, y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หนว่ ย ฟงั ก์ชันไซน์ (sine) คือ เซตของคู่อันดบั (, y) ฟังก์ชนั โคไซน์ (cosine) คือ เซตของคอู่ ันดับ (, x) เนื่องจาก (, y)  sine จะได้ y = sine หรือ y = sin และ (, y)  cosine จะได้ x = cosine หรอื x = cos จากความสัมพนั ธ์ (x,y)  R ×R|x2 + y2 = 1  จะเหน็ ว่า -1 ≤ y ≤1 ดงั น้นั -1 ≤ sin  ≤ 1 และ -1 ≤ x ≤1 ดังนัน้ -1 ≤ cos  ≤ 1 นนั่ คอื เรนจ์ของฟังก์ชันไซนแ์ ละโคไซน์ คือ เซตของจานวนจริง ตั้งแต่ -1 ถึง 1 และโดเมนของฟงั กช์ นั ไซน์และโคไซน์ คือ เซตของจานวนจริง 3. คา่ ของฟงั ก์ชนั ไซน์และโคไซน์ พิจารณาจากคู่อันดับซง่ึ เป็นจุดปลายสว่ นโคง้ ของวงกลมหนึ่งหน่วยซง่ึ เร่ิมต้นจากจุด (1, 0) และยาว || หนว่ ย โดยท่ี  แทนจานวนจริงใดๆ คา่ ของฟังกช์ ันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงบางจานวน จากรูปวงกลมหนึง่ หน่วย จะได้ดังตาราง ตอ่ ไปน้ี (ให้นกั เรียนลองเตมิ เองเป็นแบบฝกึ หดั ครบั ) จานวนจรงิ  0 ควอดรันต์ ท่ี 1 ควอดรันต์ ที่ 2  sin  0   2 3 5 cos  1 643 2346 ควอดรันต์ ที่ 3 ควอดรันต์ ท่ี 4 จานวนจรงิ   7 5 4 3 5 7 11 2 6432346 sin  cos 

4 4. คา่ ของฟังก์ชนั ไซน์และโคไซนข์ องจานวนจริงใดๆ ถา้ ส่วนโค้งของวงกลมหนง่ึ หน่วยทเ่ี ช่อื มระหวา่ งจุด (1, 0) กับ (x, y) ยาว || หน่วย สว่ นโค้งของ วงกลมหนึง่ หน่วยทีเ่ ชื่อมระหว่างจุด (1, 0) กบั จุด (x, -y) จะตอ้ งยาว || หนว่ ย เมื่อ  แทนจานวนจรงิ ใดๆ Y (x,y)  จากจดุ (x,y) และ (x,-y) (1,0) X สรปุ ได้ว่า sin (- ) = - sin - cos (- ) = cos (x,-y) การหาคา่ ของฟังชันกต์ รโี กณมิตขิ องจานวนจริงต้งั แต่ 0 ถงึ 2 จดุ ปลายสว่ นโค้งทยี่ าว  หน่วยอยู่ใน ควอดรันต์ ท่ี 2 ควอดรนั ต์ ท่ี 3 ควอดรันต์ ท่ี 4 3        2 3    2 2 sin(   ) = -sin 2 sin(  ) = sin cos(  ) = -cos sin(2  ) = -sin cos(  ) = -cos cos(2  ) = cos tan(  ) = -tan tan(   ) = tan tan(2  ) = -tan

5 แบบฝึกหดั ท่ี 2 1. ให้เตมิ คา่ ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจรงิ  ทก่ี าหนดให้  sin cos  sin cos  sin cos 2  5 7 343  2  4 11 336  2 199 24 2. กาหนดให้ 0     และ sin  = 0.4848 จงหาค่าของ 2 1.) sin(  ) 2.) cos(    ) 3.) cos(2  ) 4.) sin (- ) 3. จงหาค่าของ sin และ cos เมอื่  เป็นจานวนจริงตอ่ ไปนี้ 1.)  = 1,000 2.)  = 599 3 6 3.)  = 106 4.)  = 199 3 4

6 5. ฟังกช์ นั ตรีโกณมิตอิ ื่นๆ บทนิยาม 3 สาหรบั จานวนจรงิ  ใดๆ tangent  = เมอ่ื cos  ≠ 0 secant  = เมือ่ cos  ≠ 0 cosecant  = เม่อื sin  ≠ 0 cotagent  = เมือ่ sin  ≠0 ทฤษฎีบทของปีทาโกรัส 1. sin2 + cos2 = 1 2. sec2 - tan2 = 1 3. cosec2 - cot2 =1 ให้นกั เรียนลองพสิ จู นข์ ้อ 2 กับขอ้ 3 เป็นแบบฝึกหดั

7 แบบฝกึ หดั ท่ี 3 1. จงพสิ ูจน์ข้อความต่อไปนี้ 2.) cosec2 - cot2 =1 1.) sec2 - tan2 = 1 2. กาหนดให้ sin = -0.6 และ 3    2 จงหาคา่ ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิอืน่ ๆ ของ  2 3. จงหาค่าของ 1.) cos 7 - sin 5 + tan 9 - cos 5 + tan 7 2.) sin 5 + tan 7 - cos 3 sin 4 63 46 6 6 6 43 3.) sin 3 + tan cos  -cot 5 -sin 7 4.) sin  cos  + cos  sin  + sin 5 36 36 3 2 266 5.) cos2  + sin2  + sin2  cos211 6.) 2 sec2 sin0 - cos22 + cosec 3 4 46 6 2

8 4. จงพิสจู น์แต่ละข้อต่อไปนี้ 1.) cot2x + sec2x = tan2x + cosec2x 2 .) tan2x - sin2x = tan2xsin2x 3.) cosec x(cosec x - sin x) = cot2x 4.) cos x (sec x - cos x) = sin2x 5.) 1- cos x sin x cos x = sin2x 6.) 1+ sin x tan x sec x = sec2x 7.) cos + sin tan = sec 8.) 1 tan 2 x = tan2x cosec 2 x 9.) 1 tan 2 x = cos2x + sin2x 10.) 1 tan 2 x = cosec2x 1  tan 2 x tan 2 x 11.) 1 tan 2 x = tan2x 12.) 2sin xcosx = cot x cosec 2 x 1 cos2 x  sin 2 x

9 6. ฟังกช์ ันตรโี กณมติ ขิ องผลบวกและผลต่างของจานวนจรงิ หรอื มมุ Y P2(x2,y2) P3 (x3,y3) P1(x1,y1) P (1,0) X สูตรของฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติของผลบวกและผลตา่ งของจานวนจรงิ หรอื มมุ (ต้องจาใหไ้ ด้) ถ้า A,B เป็นจานวนหรือมุม ทีท่ าให้ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิตติ ่อไปนี้มีค่า แลว้ จานะ 1. sin (A+B) = sin A . cos B + cos A . sin B 2. sin (A-B) = sin A . cos B - cos A . sin B 3. cos (A+B) = cos A . cos B - sin A. sin B 4. cos (A-B) = cos A . cos B - sin A. sin B 5. tan (A+B) = 6. tan (A-B) = 7. cot (A+B) = 8. cot (A-B) = ส่ิงทค่ี วรเน้น 1. ผ้ศู ึกษาจะตอ้ งจาสตู รทงั้ 8 สูตรใหข้ ึ้นใจ 2. ถ้าผูศ้ ึกษาจาสูตรเหลา่ นี้ไมไ่ ด้ ผู้เขยี นเชอื่ ว่า ผูศ้ กึ ษาจะไม่สามารถศึกษาฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิได้อยา่ ง ราบรืน่ ดงั นนั้ ตง้ั ใจทอ่ งและจาให้ได้ นะเดก็ ๆ

10 1. จงหาคา่ ของ แบบฝึกหัดท่ี 4 1.1) sin 15 1.2) cos 15 1.3) tan 15 1.4) cosec 15 1.5) sec 15 1.6) cot 15 1.7) sin 75 1.8) cos 75 1.9) tan 75 1.10) sec 75 2. ถ้า tanA = 2 และ A+B = 135  เมอ่ื B เป็นมมุ แหลม แล้ว cosB มคี ่าเท่าไร

11 3. ถ้า sin A = 4 เม่อื  <A < และ sinB = - 2 เม่ือ  < B < 3 แลว้ จงหาคา่ ของ 52 52 3.1) cos A 3.2) cos B 3.3) sin (A+B) 3.4) cos(A+B) 3.5) tan(A-B) 3.6) tan(A+B) 4. จงหาค่าของ k ทที่ าให้ tan 70 – tan 20 = k tan 50 มีค่าเท่าไร 5. จงหาค่าของ k ทีท่ าให้ tan 65 – tan 25 = k tan 40  มีค่าเทา่ ไร

12 7. เอกลักษณข์ องฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ิ เอกลักษณ์ของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติ หมายถงึ สมการตรีโกณมิติที่เป็นจรงิ เสมอ ไม่วา่ จะแทนท่ีตวั แปลดว้ ย จานวนจรงิ ใดๆ กต็ าม โดยการแทนทตี่ ัวแปลด้วยจานวนจริงนน้ั จะต้องทาให้แต่ละพจน์มีความหมายดว้ ย การพิสูจนเ์ อกลกั ษณ์ หมายถงึ การพสิ ูจนใ์ หเ้ หน็ จรงิ ว่า กลมุ่ พจนท์ างด้านซา้ ยมอื และขวามือ ของ เครอ่ื งหมายเทา่ กบั เท่ากันเสมอ ในทุกๆ ค่าตัวแปร หลักการในการพิสูจน์เอกลกั ษณ์ 1. ควรพิสูจน์จากดา้ นทย่ี ุง่ ยากไปหาด้านท่งี ่ายกว่า 2. ควรจะเปลย่ี นฟังก์ชนั ตรโี กณมิติทโี่ จทย์กาหนดมาใหเ้ ป็นฟังก์ชัน sine หรอื cosine เพ่ือท่จี ะทาให้การ พสิ ูจน์เอกลักษณง์ า่ ยข้ึน 1. cos2A + cos2(60  + A) + cos2(60  - A) มคี ่าเทา่ ไร

13 15. ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิกับสามเหลยี่ มในระนาบ 1. ขอ้ ตกลงเกย่ี วกับสัญลักษCณแ์ ละความหมายของรูปสามเหลยี่ ม ABC C C ba A A BB A cB จากรูป 1. A, B และ C แทนมุมของรูปสามเหลย่ี ม ABC 2. a, b และ c แทนด้านของรปู สามเหลี่ยม ABC โดยที่ดา้ น a ตรงข้ามมุม A ด้าน b ตรงข้าม มมุ B และด้าน c ตรงขา้ มมุม C 2. การแก้สมการโดยตรโี กณมิติ การแกส้ ามเหล่ยี ม หมายถงึ กระบวนการคานวณหาค่าที่เป็นด้านหรือมุมที่ยังไม่ทราบของรปู สามเหลีย่ ม ใดๆ ในการแกส้ ามเหลี่ยมเราอาจจะต้องอาศัยกฎดังต่อไปนี้ 3. กฎของไซนแ์ ละโคไซน์ กฎของไซน์ (The Law of Sine) ในรปู สามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a, b และ c เปฯ็ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A, B และ C ตามลาดับ แล้ว จะได้ความสาพนั ธด์ งั น้ี sin A = sin B = sin C a bc หรอื a = b = c sin A sin B sin C กฎของโคไซน์ (The Law of Cosine) 1. ในรูปสามเหลย่ี ม ABC ใดๆ ถา้ a, b และ c เป็ฯความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A, B และ C ตามลาดับ แลว้ จะไดค้ วามสาพันธ์ดังนี้ a2 = b2+ c2- 2b . c . cosA b2 = c2 + a2 – 2c .a . cosB 2. เราอาจมองใหอ้ ยู่ในรูปแบบใหม่ได้ ดงั น้ี =cos A b2  c2  a2 2b.a cosB = c2  a2  c2 2c.a cosC = a2  b2  c2 2a.b

14 แบบฝกึ หดั ท่ี 9 1. ในสามเหลยี่ ม ABC รูปหน่งึ a = 7 , b = 5 และ c = 3 จงหามมุ ที่ใหญ่ท่สี ดุ 2. จงแก้สามเหล่ยี ม ABC รปู หน่งึ b = 75, c = 150 และ B = 30 3. กาหนดใหส้ ามเหลีย่ ม ABC รูปหน่ึง a = 300 หนว่ ย , b = 120 หน่วย และ C = 150 จง หาพ้นื ทขี่ องสามเหลย่ี ม ABC 4. ในสามเหลี่ยม ABC รปู หนงึ่ A = 22.5 , B = 45 และ b = 220 หน่วย จงหาพื้นท่ีของ สามเหล่ยี ม ABC

15 5. ในสามเหลย่ี ม ABC รปู หนึ่ง a = 17 หน่วย , b = 25 หน่วย และ c = 28 หน่วย จงหา พน้ื ที่ของสามเหลี่ยม ABC 6. ชุตมิ ายืนอยูห่ า่ งจากตึกหลงั หนงึ่ 18 เมตร มองเหน็ ยอดตึกและเสาอากาศซง่ึ อย่บู นยอดตกึ เปน็ มุม เงย 30 และ 60  ตามลาดับ แล้วจงหาความสูงของเสาอากาศ 7. เรอื สองลาทอดสมออยู่ห่างกัน 60 เมตร และอยใู่ นแนวเสน้ ตรงเดยี วกับประภาคาร ลกู เรอื ในเรือ แต่ละลามองเห็นยอดประภาคารเป็นมมุ เงย 45  และ 30 จงหาวา่ เรือลาท่ีอยใู่ กลป้ ระภาคารอยู่ ห่างจากประภาคารเทา่ ไร