ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 3 Slide PowerPoint_สื่อประกอบการสอน

1หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ ฟงั กช์ ันตรโี กณมิติ ผลการเรยี นรู้ • เขา้ ใจฟังกช์ นั ตรโี กณมิตแิ ละลักษณะกราฟของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ และนาไปใชใ้ นการแก้ปญั หา • แก้สมการตรีโกณมติ ิ และนาไปใช้ในการแกป้ ัญหา • ใชก้ ฎของโคไซนแ์ ละกฎของไซนใ์ นการแกป้ ญั หา

GPS เป็นเทคโนโลยที ีช่ ่วยในการระบุตาแหนง่ ของวตั ถหุ รอื บคุ คลบนพน้ื ผิวโลก โดยใช้การสง่ คลื่นสญั ญาณจากพ้นื ผิวโลกไปยังดาวเทียม จากน้นั จึงสง่ ตอ่ กลับมายงั ผรู้ บั ทอี่ ยบู่ นพนื้ ผวิ โลกอีกครงั้ หนึ่ง นกั เรียนคดิ ว่า GPS มีความเกย่ี วข้องกับ ฟังก์ชันตรโี กณมติ ิ อย่างไร?

การวดั ความยาวส่วนโคง้ และพกิ ัดของจุดปลายส่วนโคง้ • วงกลมที่เปน็ กราฟของความสมั พนั ธ์ x, y ϵ R × R|x2 + y2 = 1 เรยี กวา่ วงกลมหน่ึงหน่วย (unit circle) • การวดั ความยาวส่วนโค้งและพกิ ดั ของจดุ ปลายส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหนว่ ย เป็นดงั นี้ Y (0, 1) θ > 0 จะวัดสว่ นโคง้ จากจุด (1, 0) ไปในทิศทาง P θ θ>0 ทวนเข็มนาฬิกาเป็นระยะ θ หนว่ ย (-1, 0) O X θ = 0 จดุ ปลายส่วนโค้ง คอื จุด (1, 0) Pθ (1, 0) θ < 0 จะวดั ส่วนโคง้ จากจุด (1, 0) ไปในทศิ ทาง θ<0 ทวนเข็มนาฬกิ าเป็นระยะ θ หนว่ ย (0, -1)

การวัดความยาวส่วนโค้งและพกิ ดั ของจุดปลายสว่ นโค้ง ตัวอยา่ งที่ 1 กรณี θ > 0 Y Y (0, 1) O X (-1, 0) O X (1, 0) (1, 0) π θ=π θ=2

การวัดความยาวส่วนโคง้ และพิกัดของจดุ ปลายส่วนโค้ง ตัวอยา่ งท่ี 2 กรณี θ < 0 Y Y (0, 1) O X X (1, 0) O (1, 0) 3π θ = −2π θ=− 2

ค่าของฟังก์ชนั ไซนแ์ ละฟงั กช์ ันโคไซน์ • ฟงั ก์ชนั ไซน์และฟงั ก์ชันโคไซน์ - ฟงั ก์ชนั โคไซน์ คือ f = θ, x ϵ R × R | x = cos θ - ฟังก์ชนั ไซน์ คือ f = θ, y ϵ R × R | y = sin θ Y (0, 1) (x, y) (-1, 0) O X (1, 0) (0, -1)

คา่ ของฟังก์ชันไซนแ์ ละฟังกช์ นั โคไซน์ • คา่ ของฟังกช์ ันไซนแ์ ละฟงั กช์ ันโคไซนข์ องจานวนจรงิ ใด ๆ กาหนด θ เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ จะได้วา่ ������. cos −θ = cos θ 2. sin −θ = − sin θ Y sin π − α = sin α sin 2nπ + α = sin α X cos π − α = − cos α cos 2nπ + α = cos α sin π + α = −sin α sin 2π − α = − sin α cos π + α = − cos α cos 2π − α = cos α

ค่าของฟงั ก์ชนั ไซนแ์ ละฟังกช์ ันโคไซน์ ตวั อยา่ งท่ี 3 จากรูปวงกลมหนงึ่ หน่วยทก่ี าหนด ใหห้ าค่าของ sin − π และ cos π 22 วธิ ที า Y (0, 1) (-1, 0) O X (1, 0) (0, -1) จากความสมั พันธ์ x = cos θ และ y = sin θ จะไดว้ ่า sin − π = −sin π = −1 และ cos π = 0 22 2

ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิตอิ ่นื ๆ • กาหนด θ เปน็ จานวนจริงใด ๆ จะไดว้ า่ 1. ฟงั กช์ ันแทนเจนต์ (Tangent Function) 2. ฟงั ก์ชันโคแทนเจนต์ (Cotangent Function) tan θ = sin θ เมื่อ cos θ ≠ 0 cot θ = cos θ เมื่อ sin θ ≠ 0 cos θ sin θ 3. ฟงั กช์ ันเซแคนต์ (Secant Function) 4. ฟงั กช์ ันโคเซแคนต์ (Cosecant Function) sec θ = 1 เมื่อ cos θ ≠ 0 cosec θ = 1 เมอื่ sin θ ≠ 0 sin θ cos θ Y sin θ และ cosec θ Q2 Q1 ทุกฟงั กช์ ัน มคี ่าเป็นบวก Q3 Q4 มีค่าเปน็ บวก tan θ และ cot θ X มคี า่ เป็นบวก cos θ และ sec θ มคี ่าเปน็ บวก

ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิตอิ ่นื ๆ ตัวอย่างท่ี 4 ใหห้ าค่าของฟงั กช์ ันตรโี กณมิตใิ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ 1) tan 7π 2) cot 7π 3) sec 7π 4) cosec 7π 6 6 6 6 วธิ ีทา 1) 7π = sin 7π tan 6 6 7π cos 6 1 =2 3 2 1 = 3 3 =3

ฟงั ก์ชันตรีโกณมติ อิ ื่น ๆ ตัวอยา่ งที่ 4 ให้หาค่าของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ใิ นแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี 1) tan 7π 2) cot 7π 3) sec 7π 4) cosec 7π 6 6 6 6 วธิ ีทา 2) 7π = cos 7π cot 6 6 7π sin 6 3 = 2 1 2 =3

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิตอิ ื่น ๆ ตัวอยา่ งที่ 4 ใหห้ าคา่ ของฟังกช์ นั ตรโี กณมิตใิ นแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ 1) tan 7π 2) cot 7π 3) sec 7π 4) cosec 7π 6 6 6 6 วิธีทา 7π 1 3) sec 6 = 7π cos 6 1 = 3 2 2 = 3 23 =3

ฟังกช์ ันตรีโกณมิตอิ น่ื ๆ ตัวอย่างท่ี 4 ใหห้ าคา่ ของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ใิ นแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ 1) tan 7π 2) cot 7π 3) sec 7π 4) cosec 7π 6 6 6 6 วิธีทา 7π 1 4) cosec 6 = 7π sin 6 1 =1 2 =2

ฟงั กช์ ันตรโี กณมิตขิ องมุม • หน่วยการวัดมมุ ในระบบเรเดียน r กาหนด θ มีขนาด 1 เรเดยี น จะไดว้ ่า θ มมุ ในหน่วยเรเดียน = มุมในหน่วยองศา × π Or 180 มุมในหน่วยองศา = มมุ ในหน่วยเรเดยี น × 180 π

ฟังก์ชันตรีโกณมติ ขิ องมุม • ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิของมุมของรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก B จากรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC ซ่ึงมีมุม C เปน็ มมุ ฉาก จะไดว้ า่ Y sin A = BC = ความยาวด้านตรงขา้ มมุม θ D AB ความยาวดา้ นตรงข้ามมุมฉาก AC ความยาวดา้ นประชิดมมุ θ cos A = AB = ความยาวด้านตรงข้ามมมุ ฉาก A (1, 0) C X tan A = BC = ความยาวด้านตรงขา้ มมุม θ 0 AC ความยาวด้านประชิดมุม θ

ฟงั ก์ชันตรโี กณมิตขิ องมมุ ตวั อย่างที่ 5 1) เปล่ียน 60 องศา ใหม้ ีหน่วยเปน็ เรเดยี น 2) เปลยี่ น π เรเดยี น ให้มหี น่วยเปน็ องศา 4 วิธที า 1) เน่ืองจาก 180 องศา เท่ากับ 1 เรเดียน π ดังนั้น 60 องศา เทา่ กบั 60 × π เรเดียน 180 = π เรเดียน 3

ฟงั ก์ชันตรโี กณมิติของมมุ ตัวอย่างท่ี 5 1) เปล่ียน 60 องศา ให้มหี น่วยเป็นเรเดยี น 2) เปลีย่ น π เรเดยี น ใหม้ หี นว่ ยเป็นองศา 4 วิธที า 2) เนือ่ งจาก 1 เรเดียน เท่ากับ 180 องศา π ดังนัน้ π เรเดียน เทา่ กบั π × 180 องศา 4 4π = 45 องศา

ตัวอยา่ งท่ี 6 ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ขิ องมมุ ให้หาอัตราส่วนตรีโกณมิติของมมุ B ทกุ อตั ราส่วน B 10 6 C A 8 AC 8 4 วิธีทา sin B = AB = 10 = 5

ตัวอยา่ งท่ี 6 ฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิของมมุ ให้หาอัตราสว่ นตรีโกณมิติของมุม B ทุกอตั ราสว่ น B 10 6 C A 8 BC 6 3 วธิ ที า cos B = AB = 10 = 5

ตัวอยา่ งท่ี 6 ฟงั ก์ชันตรีโกณมิติของมมุ ให้หาอัตราสว่ นตรีโกณมติ ขิ องมุม B ทุกอตั ราสว่ น B 10 6 C A 8 AC 8 4 วธิ ที า tan B = BC = 6 = 3

ตัวอยา่ งท่ี 6 ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิตขิ องมมุ ให้หาอัตราสว่ นตรโี กณมติ ิของมมุ B ทุกอัตราสว่ น B 10 6 C A 8 1 13 วธิ ที า cot B = tan B = 4 = 4 3

ตัวอยา่ งท่ี 6 ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิตขิ องมมุ ให้หาอัตราสว่ นตรโี กณมติ ิของมมุ B ทุกอัตราสว่ น B 10 6 C A 8 1 15 วธิ ที า sec B = cos B = 3 = 3 5

ตวั อยา่ งที่ 6 ฟังก์ชนั ตรโี กณมิติของมุม ให้หาอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ขิ องมุม B ทุกอัตราสว่ น B 10 6 C A 8 1 15 วธิ ีทา cosec B = sin B = 4 = 4 5

การใชต้ ารางคา่ ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ • ถ้า 0 ≤ θ ≤ 45° ใช้คา่ ฟงั กช์ นั ที่กาหนดในแถวบน โดยอ่านจากบนลงล่าง • ถ้า 45° ≤ θ ≤ 90° ใช้คา่ ฟงั ก์ชนั ที่กาหนดในแถวล่าง โดยอา่ นจากล่างขน้ึ บน สามารถดสู รุปการใช้ ตารางค่าฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิได้ ในหน้าถัดไป



กราฟของฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิ • กราฟของ ������ = sin ������ Y กาหนด f ∶ R → R, f x = a sin nx เมอื่ n > 0 จะได้วา่ เรนจ์ของฟังก์ชัน คอื −a, a 1 คาบของฟงั กช์ ัน คือ 2π −2π −π 0 X n -1 1 คาบ π 2π แอมพลิจดู ของฟงั ก์ชนั คือ a 1 คาบ

กราฟของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ • กราฟของ ������ = cos ������ Y กาหนด f ∶ R → R, f x = a cos nx เม่อื n > 0 1 จะไดว้ า่ เรนจ์ของฟงั กช์ นั คอื −a, a −2π 3π −π π 0 π π 3π 2π X คาบของฟังกช์ ัน คอื 2π −2 −2 -1 22 n 1 คาบ 1 คาบ แอมพลิจดู ของฟงั กช์ ัน คือ a

กราฟของฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ิ • กราฟของ ������ = tan ������ Y 5π −2π 3π −π π 0 π π 3π 2π 5π X โดเมนของฟงั กช์ นั คือ x|x ∈ R, x ≠ nπ + π , n ∈ I 2 22 2 −2 −2 −2 คาบของฟังก์ชนั คอื π ไม่มีแอมพลจิ ดู 1 คาบ 1 คาบ 1 คาบ 1 คาบ 1 คาบ

กราฟของฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติ • กราฟของ ������ = cosec ������ Y 1 โดเมนของฟงั ก์ชัน คอื x|x ∈ R, x ≠ nπ, n ∈ I เรนจ์ของฟังกช์ นั คือ ሺ−∞, −1] ∪ ሾ1, ∞) 5π −2π 3π −π π 0 π π 3π 2π 5π −2 −2 − 2 -1 222 X คาบของฟังก์ชนั คอื 2π ไมม่ ีแอมพลจิ ดู

กราฟของฟังกช์ ันตรโี กณมิติ • กราฟของ ������ = sec ������ Y โดเมนของฟังกช์ ัน คอื x|x ∈ R, x = nπ + π , n∈I 2 1 เรนจข์ องฟงั กช์ ัน คอื ሺ−∞, −1] ∪ ሾ1, ∞) 5π −2π 3π −π π 0 π π 3π 2π 5π X −2 −2 − 2 -1 2 22 คาบของฟังกช์ นั คอื 2π ไมม่ ีแอมพลจิ ดู

กราฟของฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิ • กราฟของ ������ = cot ������ Y −2π 3π −π π 0 π π 1π 2π 5π 3π โดเมนของฟังกช์ นั คอื x|x ∈ R, x ≠ nπ, n ∈ I − 2 −2 2 22 คาบของฟงั กช์ นั คอื π X ไม่มีแอมพลิจูด

ฟังก์ชันตรโี กณมติ ขิ องผลบวกและผลต่างของจานวนจริงหรอื มมุ กาหนด α และ β เปน็ จานวนจรงิ หรือมมุ ใด ๆ จะได้วา่ 1) sin α + β = sin α cos β + cos α sin β 2) sin α − β = sin α cos β − cos α sin β 3) cos α + β = cos α cos β − sin α sin β 4) cos α − β = cos α cos β + sin α sin β 5) tan α + β = tan α + tan β 6) tan α − β = tan α − tan β 1 − tan α tan β 1 + tan α tan β 7) cot α + β = cot α cot β − 1 8) cot α − β = cot α cot β + 1 cot α + cot β cot α − cot β

ฟังก์ชันตรีโกณมติ ขิ องผลบวกและผลต่างของจานวนจรงิ หรือมมุ ตัวอย่างที่ 7 ให้หาคา่ ของ 2) tan π tan 7π 3 6 1) cos 45° − 60° π 7π 1 − tan 3 tan 6 วิธีทา 1) จาก cos α − β = cos α cos β + sin α sin β จะได้ cos 45° − 60° = cos 45° cos 60° + sin 45° sin 60° 21 23 = 2 2+ 2 2 2+ 6 =4 ดงั นนั้ cos 45° − 60° = 2+ 6 4

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของผลบวกและผลตา่ งของจานวนจรงิ หรือมมุ ตวั อยา่ งที่ 7 ให้หาคา่ ของ 2) tan π tan 7π 3 6 1) cos 45° − 60° π 7π 1 − tan 3 tan 6 วิธที า 2) tan π tan 7π = tan π + 7π 3 6 π 7π 36 1 − tan 3 tan 6 9π = tan 6 3π = tan 2 =0 ดังนน้ั tan π tan 7π =0 3 6 π 7π 1 − tan 3 tan 6

ฟงั ก์ชันตรีโกณมิตขิ องสองเทา่ สามเทา่ และครึง่ เท่าของจานวนจริงหรือมมุ กาหนด α และ β เป็นจานวนจริงหรอื มมุ ใด ๆ จะไดว้ า่ 1) sin 2α = 2 sin α cos α 2) cos 2α = 2 cos2 α – 1 = 2 tan α = 1 − 2 sin2 α 1 + tan2 α = 1 − tan2 α 1 + tan2 α 3) tan 2α = 2 tan α 4) sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α 1 − tan2 α 5) cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α 6) tan 3α = 3 tan α − tan3 α 1 − 3 tan2 α 7) sin α = ± 1 − cos α 8) cos α = ± 1 + cos α 2 2 2 2 9) tan α = ± 1 − cos α 2 1 + cos α

ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องสองเทา่ สามเทา่ และครึง่ เทา่ ของจานวนจริงหรอื มุม ตัวอย่างที่ 8 กาหนด cos θ = 4 และ sin θ > 0 เม่อื 0 < θ < π ให้หาค่าของ sin 2θ วิธีทา 52 เนือ่ งจาก sin2 θ + cos2 θ = 1 จะได้ sin2 θ + 4 2 = 1 5 sin2 θ = 1 − 16 25 sin2 θ = 9 25 sin θ = ± 3 5 sin θ = 3 (sin θ > 0) 5 ดังน้ัน sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 2 3 4 = 24 5 5 25 นนั่ คอื sin 2θ = 24 25

ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติของสองเท่า สามเทา่ และครึ่งเท่าของจานวนจรงิ หรอื มุม ตัวอยา่ งท่ี 9 กาหนด cos 19° = 0.9455 ให้หาคา่ ของ cos 57° วิธที า จาก cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α จะได้ cos 57° = cos 3 19° = 4 cos3 19° − 3 cos 19° = 4 0.9455 3 − 3 0.9455 ≈ 3.3810 − 2.8365 = 0.5445 ดังนั้น cos 57° ≈ 0.5445

ฟังก์ชันตรโี กณมิตขิ องสองเทา่ สามเทา่ และครง่ึ เท่าของจานวนจรงิ หรือมมุ ตัวอยา่ งท่ี 10 ให้หาคา่ ของ tan 45° วิธที า จาก tan α = ± 1 − cos α 2 1 + cos α จะได้ tan 45° = tan 90° = ± 1 − cos 90° = ± 1−0 = ±1 2 1 + cos 90° 1+0 ดังนนั้ tan 45° = ±1

ฟังก์ชนั ตรีโกณมิตขิ องผลบวกและผลตา่ งของจานวนจริงหรอื มมุ กาหนด α และ β เป็นจานวนจรงิ หรอื มุมใด ๆ จะได้วา่ 1) 2 sin α cos β = sin α + β + sin α − β 2) 2 cos α sin β = sin α + β − sin α − β 3) 2 cos α cos β = cos α + β + cos α − β 4) 2 sin α sin β = cos α − β − cos α + β 5) sin α + sin β = 2 sin α + β cos α − β 6) sin α − sin β = 2 cos α + β sin α − β 22 22 7) cos α + cos β = 2 cos α+β cos α−β 8) cos α − cos β = −2 sin α+β sin α−β 2 2 2 2

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิตขิ องผลบวกและผลต่างของจานวนจรงิ หรอื มมุ ตัวอย่างท่ี 11 ให้หาค่าของ วิธที า 1) 2 cos 40° sin 10° − 50° 2) cos 60°+cos 30° sin 75° 1) เนอ่ื งจาก 2 cos α sin β = sin α + β − sin α − β จะได้ 2 cos 40° sin 10° − 50° = sin 40° + 10° − sin 40° − 10° − sin 50° = sin 50° − sin 30° − sin 50° = − sin 30° 1 = −2 ดังนนั้ 2 cos 40° sin 10° − 50° = − 1 2

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลตา่ งของจานวนจรงิ หรือมมุ ตวั อยา่ งที่ 11 ให้หาคา่ ของ วธิ ที า 1) 2 cos 40° sin 10° − 50° 2) cos 60°+ cos 30° sin 75° 2) cos 60°+ cos 30° = 2 cos 60°+ 30° cos 60°− 30° sin 75° 2 2 cos 15° 2 cos 45° cos 15° = cos 15° 2 =2 2 =2 ดังนัน้ cos 60°+ cos 30° = 2 sin 75°

ตวั ผกผนั ของฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิ • ตวั ผกผันของฟงั กช์ นั ไซน์ Y x = sin y π y = sin x π 2 −2π 3π −π π0 π π 3π 2π X 22 −2 −2 π −2 −π arcsin x = θ โดยท่ี sin θ = x เม่อื − π ≤ y ≤ π 2 2

ตัวผกผันของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิ ตวั อยา่ งที่ 12 ให้หาคา่ ของ arcsin − 1 วิธีทา 2 ให้ arcsin − 1 = y 2 โดยบทนิยาม จะได้ sin y = − 1 เมอื่ y ∈ − π , π 22 2 เม่ือ y ∈ − π , π เน่อื งจาก sin − π = − 1 22 62 จะไดว้ ่า y = −π 6 ดังนน้ั arcsin − 1 = − π 26

ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ • ตัวผกผันของฟงั กช์ ันโคไซน์ Y π y=x y = arccos x π y = cos x 2 0, 1 1, 0 π π X 2 −1 −1 arccos x = θ โดยท่ี cos θ = x เมอื่ 0 ≤ y ≤ π

ตวั ผกผนั ของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิ ตัวอยา่ งท่ี 13 ให้หาค่าของ arccos 0 วิธที า ให้ arccos 0 = y โดยบทนยิ าม จะได้ cos y = 0 เมอ่ื y ∈ 0, π เนอ่ื งจาก cos π = 0 เมอื่ y ∈ 0, π จะได้วา่ 2 y=π 2 ดังนนั้ arccos 0 = π 2

ตัวผกผันของฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิ • ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั แทนเจนต์ Y y = tan x π y = arctan x 2 X 1 π −1−1π0 1π −2 2 −2 arctan x = θ โดยท่ี tan θ = x เมือ่ − π < y < π 22

ตวั ผกผันของฟังกช์ ันตรโี กณมิติ ตวั อย่างที่ 14 ให้หาค่าของ arctan 3 วิธที า ให้ arctan 3 = y โดยบทนยิ าม จะได้ tan y = 3 เมื่อ y ∈ − π , π เนอ่ื งจาก 22 จะได้วา่ tan π = 3 เมือ่ y ∈ − π , π 3 22 y=π 3 ดงั นนั้ arctan 3 = π 3

เอกลักษณแ์ ละสมการตรโี กณมิติ • เอกลกั ษณ์ตรีโกณมิติ กาหนด θ เปน็ จานวนจรงิ หรอื มมุ ใด ๆ เรยี ก สมการตรโี กณมิตทิ เี่ ป็นจริงสาหรบั ทกุ θ วา่ เอกลักษณ์ตรโี กณมติ ิ เชน่ sin2 θ + cos2 θ = 1 1 + tan2 θ = sec2 θ 1 + cot2 θ = cosec2 θ

เอกลกั ษณแ์ ละสมการตรีโกณมติ ิ ตัวอย่างท่ี 15 ให้พสิ จู น์ว่า cos θ tan θ + cot θ = cosec θ วิธีทา cos θ tan θ + cot θ = cos θ tan θ + cos θ cot θ sin θ cos θ = cos θ cos θ + cos θ sin θ cos2 θ = sin θ + sin θ sin2 θ + cos2 θ = sin θ 1 = sin θ = cosec θ ดังนั้น cos θ tan θ + cot θ = cosec θ