Шүргэгч, нормаль шулуун

ЧЭНХБААТАР ШҮРГЭГЧ, НОРМАЛЬ ШУЛУУН Өвөрхангай 2020 он

Àãóóëãà 2 1 سðãýã÷ øóëóóíû òýãøèòãýë 2 4 1.1 Îíîëûí õàíäëàãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Íîðìàëü øóëóóíû òýãøèòãýë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Ïàðàìåòð õýëáýðýýð °ã°ãäñ°í ôóíêöèéí ø³ðãýã÷, íîðìàëü øóëóó- 5 íû òýãøèòãýë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Òóéëûí êîîðäèíàòààð °ã°ãäñ°í òýãøèòãýëèéí ø³ðãýã÷, íîðìàëü òýãøèòãýë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Æèøýý áîäëîãóóä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 1 سðãýã÷ øóëóóíû òýãøèòãýë 1.1 Îíîëûí õàíäëàãà y = f (x) ôóíêöèéã (a, b) èíòåðâàë äýýð òîäîðõîéëæ, x0 =∈ (a, b) ³åä òàñðàëòã³é áàéíà ãýæ ³çüå. Ýíý ³åä (1-ð çóðàã äýýðõ M öýã) ôóíêöèéí óòãà y0 = f (x0) áàéíà. x0 öýã ∆x çàéãààð °ñ÷ áàéíà. ∆y ôóíêöèéí õàðãàëçàõ °ñ°ëòèéã äàðààõ áàéäëààð èëýðõèéëíý. ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) . Çóðàã 1, M1 = (x0 + ∆x, y0 + ∆y) . M M1 äàéðñàí øóëóó- íû òýãøèòãýë íü y − y0 = k (x − x0) , õýëáýðòýé áàéíà. k íàëàëòûí êîýôôèöèåíò ∆x °ñ°ëòòýé òýíö³³

1.1 Îíîëûí õàíäëàãà 3 ∆y k = k (∆x) = . ∆x ∆x áóóðäàã, M1 öýã M : M1 → M öýãò øèëæèíý. ∆x → 0 õÿçãààðò M áà M1 öýã³³äèéí õîîðîíäîõ çàé òýã áîëíî. Ýíý íü f (x) ôóíêöèéã x0 äýýð òàñðàëòã³é áàéõààñ õàìààðíà. lim ∆y = 0, ⇒ lim |M M1| = lim (∆x)2 + (∆y)2 = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 M M1 øóëóóí íü y = f (x) ôóíêöèéí ãðàôèêèéí M öýã äýýðõ ø³ðãýã÷ øóëóóí ãýíý. Òîäîðõîéëîëò 1. Õýðýâ lim k (∆x) = k0, õÿçãààðòàé áîë (x0, y0) öýã äýýðõ ∆x→0 y = f (x) ôóíêöèéí ãðàôèêèéí ø³ðãýã÷ øóëóóí(íàëàëò) y − y0 = k (x − x0) , õýëáýðòýé áàéíà. Òîäîðõîéëîëò 2. Õýðýâ k-èéí õÿçãààðûí óòãà ∆x → 0: lim k (∆x) = ±∞, ∆x→0 áîë x = x0, (x0, y0) öýã äýýðõ y = f (x) ôóíêöèéí ãðàôèê äýýðõ áîñîî ø³ðãýã÷ øóëóóí ãýæ íýðëýäýã. k0 = lim k (∆x) = lim ∆y =f (x0) , ∆x→0 ∆x→0 ∆x Ýíý ø³ðãýã÷ øóëóóíû íàëàëò íü f (x0) ôóíêöèéí tg αx0 òýíö³³ áàéíà. Òèéìýýñ íàëóó ø³ðãýã÷ øóëóóíûã äàðààõ áàéäëààð áè÷èæ áîëíî. y − y0 = f (x0) (x − x0) y = f (x0) (x − x0) + f (x0) . سðãýã÷ øóëóóíû íàëàëò íü x òýíõëýãèéí ýåðýã ÷èãëýë- òýé ³³ñäýã α °íöãèéí òàíãåíñòàé òýíö³³ òóë äàðààõ òîäîð-

1.2 Íîðìàëü øóëóóíû òýãøèòãýë 4 õîéëîëò õ³÷èíòýé áàéíà. k = tg α = f (x0) . 1.2 Íîðìàëü øóëóóíû òýãøèòãýë y = f (x) ôóíêöèéí ãðàôèê M (x0, y0) öýã äýýðõ ø³ðãýã÷ øóëóóíä ïåðïåíäèêóëÿð(íîðìàëü) øóëóóí (Çóðàã 2) Õî¼ð øóëóóí ïåðïåíäèêóëÿð áîë òýäãýýðèéí íàëàëòûí ³ðæ- âýð −1-òýé òýíö³³, óðâóóãààð õýðýâ õî¼ð øóëóóíû íàëàë- òóóäûí ³ðæâýð −1 áàéâàë øóëóóíóóä õîîðîíäîî ïåðïåí- äèêóëÿð áàéíà. (x0, y0) : y − y0 = f (x0) (x − x0) , Íîðìàëü øóëóóíû òýãøèòãýë y − y0 =− 1 (x − x0) áè÷èæ áîëíî. f (x0)

1.3 Ïàðàìåòð õýëáýðýýð °ã°ãäñ°í ôóíêöèéí ø³ðãýã÷, íîðìàëü øóëóóíû 5 òýãøèòãýë 1.3 Ïàðàìåòð õýëáýðýýð °ã°ãäñ°í ôóíêöèéí ø³ðãýã÷, íîð- ìàëü øóëóóíû òýãøèòãýë x = x (t) , y = y (t) . (x0, y0) öýã äýýðõ ø³ðãýã÷ øóëóóíû íàëàëòûã ïàðàìåòð ôóíêö³³äèéí óëàìæëàëûã àâ÷ îëíî. k = tg α = yt . xt سðãýã÷ øóëóóíû òýãøèòãýë y − y0 = yt (x − x0) x − x0 = y − y0 . xt xt yt Íîðìàëü øóëóóíû òýãøèòãýë y − y0 = − xt (x − x0) x − x0 = −y − y0 . yt yt xt 1.4 Òóéëûí êîîðäèíàòààð °ã°ãäñ°í òýãøèòãýëèéí ø³ðãýã÷, íîðìàëü òýãøèòãýë x = r cos θ = f (θ) cos θ . y = r sin θ = f (θ) sin θ k = tg θ = yθ = (r sin θ) = rθ sin θ + r cos θ . xθ (r cos θ) rθ cos θ − r sin θ y − y0 = yθ (x − x0) (سðãýã÷ øóëóóí), xθ y − y0 = − xθ (x − x0) (Íîðìàëü). Ýíý òîõèîëäîëä θ °íö- yθ

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 6 ãèéã òóéëûí òýíõëýã (Æèøýýëáýë: x òýíõëýãèéí ýåðýã ÷èã- ëýëòýé áàéíà.) r ðàäèóñòàé âåêòîð àãóóëñàí øóëóóí ø³ð- ãýã÷èéí õîîðîíäîõ °íöãèéã β òýìäýãëýñýí.( Çóðàã 3) r tg β = rθ tg π = − ctg β = − 1 = −rθ . β+ 2 tg β r π Íîðìàëü øóëóóí ðàäèóñ âåêòîðòîé ³³ññýí °íö°ã β + . 2 tg π = − ctg β = − 1 = −rθ . β+ 2 tg β r 1.5 Æèøýý áîäëîãóóä Æèøýý 1.

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 7 √ y = x ìóðóéí (1, 1) öýã äýýðõ ø³ðãýã÷ øóëóóíû òýãøèò- ãýëèéã áè÷.(Çóðàã 4) √ = √1 , y = f (x) = x 2x f (x0) = f (1) = √1 = 1 21 , 2 1 x0 = 1, y0 = 1, f (x0) = 2 y − y0 = f (x0) (x − x0). y − 1 = 1 (x − 1) ⇒ y − 1 = x − 1 ⇒y= x−1+1 2 22 22 ⇒ y = x + 1 . 22 Æèøýý 2. y = x2 − 2x − 3 ìóðóéí ø³ðãýã÷ øóëóóí íü x òýíõëýãòýé

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 8 ïàðàëëåëü áàéõ öýãèéã îë. سðãýã÷ íü x òýíõëýãòýé ïàðàëëåëü áàéõ òóë óëàìæëàë íü 0 òýíö³³ áàéíà. y = x2 − 2x − 3 = 2x − 2 = 0. x0 = 1. Æèøýý 3. y = x4 ìóðóéí (−1, 1) öýã äýýðõ ø³ðãýã÷ øóëóóíû òýã- øèòãýëèéã áè÷. f (x) = x4 = 4x3. x0 = −1, f (x0) = f (−1) = 4 · (−1)3 = −4. y − y0 = f (x0) (x − x0) , y − 1 = −4 (x − (−1)) , y − 1 = −4 (x + 1) , y − 1 = −4x − 4, y = −4x − 3. Æèøýý 4. y = x3, x0 = 1 ø³ðãýã÷ øóëóóíû òýãøèòãýëèéã áè÷. y = f (x) = x3 = 3x2. f (x0) = 3 · 12 = 3. y0 = (x0)3 = 13 = 1. y − 1 = 3 (x − 1) ,

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 9 y − 1 = 3x − 3 y = 3x − 2. Æèøýý 5. y = √ ìóðóéòàé 45◦ °íö°ã ³³ñãýõ ø³ðãýã÷èéí x òýíõëýã x, äýýðõ öýãèéã îë. k = tg α = f (x0) . k = tg 45◦ = 1, f (x0) = 1. √ = √1 , ⇒ 1 = 1. x √ 2x 2 x0 √ ⇒ √ = 1 ⇒ x0 = 12 1 2 x0 = 1, x0 , =. 2 24 Æèøýý 6. y = x3 + ex, ìóðóéí x0 = 0 öýã äýýðõ íîðìàëü øóëóóíû òýãøèòãýë áè÷. x0 = 0, y0 = y(0) = 03 + e0 = 1 y (x) = x3 + ex = 3x2 + ex. x0 = 0, y (0) = 3 · 02 + e0 = 1. y − y0 = − 1 (x − x0) , y (x0) y − 1 = − 1 (x − 0) , 1 y = −x + 1. Æèøýý 7.

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 10 y = ln x2 ìóðóé y = x øóëóóíòàé ïàðàëëåëü ø³ðãýã÷ øó- ëóóíû òýãøèòãýë áè÷. y = ln x2 = 1 · 2x = 2 x2 . x سðãýã÷ øóëóóíû íàëàëò íü y = x øóëóóíû íàëàëòòàé òýíö³³ áàéíà. f (x) = 1, 2 x = 1, ⇒ x0 = 2 y0 = y (2) = ln 22 = ln 4. y − y0 = f (x0) (x − x0) , y − ln 4 = 1 · (x − 2) , y − ln 4 = x − 2, y = x + ln 4 − 2. Æèøýý 8. 2x + y − 4 = 0 ôóíêöèéí ãðàôèêèéí x0 = 1 íîðìàëü øó- ëóóíû òýãøèòãýëèéã áè÷. y = −2x + 4 y0 = −2 · 1 + 4 = 2. سðãýã÷ øóëóóíû íàëàëò íü −2 áàéíà. 1 Íîðìàëü øóëóóíû íàëàëò íü . 2 y − y0 = k (x − x0) , y − 2 = 1 (x − 1) , 2 2y − 4 = x − 1, x − 2y + 3 = 0.

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 11 Æèøýý 9. x+1 y = x − 1 ôóíêöèéí ãðàôèêèéí x = 2 öýã äýýðõ íîðìàëü øóëóóíû òýãøèòãýëèéã áè÷. x + 1 (x + 1) (x − 1) − (x + 1) (x − 1) y = x−1 = (x − 1)2 = x − 1 − (x + 1) = &x − 1 − &x + 1 = −2 (x − 1)2 (x − 1)2 (x − 1)2 . x0 = 2, 2+1 y (2) = 2−1 = 3, y (2) = f (2) = − 2 = −2. (2 − 1)2 Íîðìàëü øóëóóíû òýãøèòãýë áè÷âýë y − y0 =− 1 (x − x0) , f (x0) y − 3 = − 1 (x − 2) , (−2) y − 3 = x − 1, 2 x y = + 2. 2 Æèøýý 10. y = 2x2 ïàðàáîëûí (2, 8) öýã äýýðõ ø³ðãýã÷, íîðìàëü øó- ëóóíû òýãèøòãýëèéã áè÷.

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 12 y = 2x2 = 4x, ⇒ y (2) = 8. Íîðìàëü øóëóóíû òýãøèòãýë áè÷âýë y − y0 = y (x0) (x − x0) , y − 8 = 8 (x − 2) , y − 8 = 8x − 16, 8x − y − 8 = 0. y − y0 = − 1 (x − x0) , y (x0) y − 8 = −1 (x − 2) , 8 y − 8 = −x + 1 , 84 8y − 64 = −x + 2, x + 8y − 66 = 0. 8x − y − 8 = 0, x + 8y − 66 = 0. Æèøýý 11. √ öýã äýýðõ íîðìàëü øó- 3 x2 y2 + = 1 ýëëèïñèéí 1, 2 41 ëóóíû òýãøèòãýëèéã áè÷. ( Çóðàã 5). x2 y2 ⇒ 2x + 2yy = 0, ⇒ 4yy = −x, + =1, 4 41 ⇒y=−x. 4y

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 13 y (x0, y0) = y √ =− 1 = − √1 . 3 √ 1, 43 2 3 2 2 Íîðìàëü øóëóóíû òýãøèòãýë áè÷èõýä y − y0 =− 1 (x − x0) , y (x0, y0) √ √ √ √ ⇒y− 3 =− 1 3 2 3x 2 3, (x − 1) , ⇒ y − = − 2 − √1 2 23 √√ √√ 3 √ 3 3 ⇒ y = 2 3x − 2 3 + , ⇒ y = 2 3x − 22 ≈ 3, 46x − 2, 60. Æèøýý 12.

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 14 y = x2 − 1 ïàðàáîëûí x òýíõëýãòýé ³³ñãýõ °íöãèéã îë. 4 y = 0, ⇒ x2 − 1 = 0, ⇒ x0 = 1 4 . 2 f (x) = x2 − 1 = 2x; 1 f (x0) = f = 1. 2 tg α = f (x0) , tg α = 1, ⇒ α = arctg 1 = π = 45◦. 4 Æèøýý 13. y = x3 − x, ìóðóé x òýíõëýãòýé ³³ñãýõ °íöãèéã îë. f (x) = 0, ⇒ x3 − x = 0, ⇒ x (x − 1) (x + 1) = 0, ⇒ x1 = 0, x2,3 = ±1. f (x) = x3 − x = 3x2 − 1; f (0) = 3 · 02 − 1 = −1, f (−1) = 3 · (−1)2 − 1 = 2, f (1) = 3 · 12 − 1 = 2. 1. x1 = 0, ⇒f (0) = −1, ⇒ tg α1 = −1, ⇒ α1 = 3π = 135◦; 4 2. x2 = −1, f (−1) = 2, ⇒ tg α2 = 2, arctg 2 ≈ 63◦; 3. x3 = 1, f (1) = 2, tg α3 = 2, α3 = arctg 2 ≈ 63◦. Æèøýý 14. 1 y = x ãèïåðáîë íîðìàëü øóëóóíòàé (x0, y0) öýã äýýð x

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 15 òýíõëýãòýé 45◦ °íö°ã ³³ñãýíý. x0 öýãèéã îë. (Çóðàã 6). Íîðìàëü øóëóóíû íàëàëò 1 . Í°ã°° òàëààñ ³³ñýõ °íö- f (x0) ãèéí òàíãåíñòàé òýíö³³ áàéíà. − 1 = tg 45◦ = 1. f (x0) Ãèïåðáîë ôóíêöèéí óëàìæëàë 11 f (x) = = − áàéíà. x x2 −1 = 1, x20 = 1, x0 = 1. 1 − x20 Æèøýý 15. √ y = x x − 1 ôóíêöèéí x = 2 öýã äýýðõ ø³ðãýã÷, íîðìàëü

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 16 øóëóóíû òýãøèòãýëèéã áè÷. √ √√ y (x) = x x − 1 = x x − 1 + x x − 1 √ √x = 2 (x√− 1) + x = 3√x − 2 . = x−1+ 2 x−1 2 x−1 2 x−1 x = 2, öýã äýýðõ óëàìæëàë íü y (2) = 3√· 2 − 2 = 2. 2 2−1 y(2) = 2 · 1 = 2. سðãýã÷èéí òýãøèòãýë áè÷âýë y − y0 = y (x0) (x − x0) , ⇒ y − 2 = 2 (x − 2) , ⇒ y − 2 = 2x − 4, ⇒ y = 2x − 2. ãñ°í öýã äýýð íîðìàëü øóëóóíû òýãøèòãýë áè÷âýë: y − y0 = − 1 (x − x0) , ⇒ y − 2 = −1 (x − 2) , y (x0) 2 ⇒ y − 2 = −x + 1, ⇒ y = −x + 3. 22 Æèøýý 16. ln x ôóíêöèéí x0 = 1 öýã äýýðõ ø³ðãýã÷ áà íîðìàëü øó- ëóóíû òýãøèòãýëèéã áè÷.

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 17 11 f (x) = (ln x) = , f (1) = = 1. x1 y0 = ln 1 = 0. سðãýã÷ øóëóóíû òýãøèòãýë áè÷âýë y − 0 = 1 · (x − 1) , ⇒ y = x − 1. Íîðìàëü øóëóóíû òýãøèòãýë áè÷âýë y − 0 = −1 · (x − 1) , ⇒ y = −x + 1. Æèøýý 17. 1 y = arcctg ìóðóéí x = 1 öýã äýýðõ íîðìàëü øóëóóíû x òýãøèòãýëèéã áè÷.

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 18 1 =− 1 2· 1 =− 1 · − 1 y = arcctg 1 x 1 x2 1 + x2 x 1+ x = x2 · 1 = 1 1 + x2 x2 1 + x2 . Óëàìæëàëä x = 1 îðëóóëáàë 11 y (1) = = . 1+ 12 2 y(1) π y0 = = arcctg 1 = . 4 y − y0 = − 1 (x − x0) , y (x0) y − π = − 1 (x − 1) , 4 1 2 y − π = −2x + 2, 4 8x + 4y − 8 − π = 0. Æèøýý 18. y = 2x2 ïàðàáîëûã x = −1, x = 2 öýã³³äýýð îãòîëñîí. Îãò- ëîã÷òîé ïàðàëëåëü ø³ðãýã÷ øóëóóíû òýãøèòãýëèéã áè÷.( Çóðàã 8). Ýõëýýä KL îãòëîã÷èéí êîîðäèíàòûã òîîöîîëáîë. y (−1) = 2 · (−1)2 = 2; y (2) = 2 · 22 = 8.

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 19 KL øóëóóíû òýãøèòãýë áè÷âýë y − yK = x − xK , ⇒ y − 2 = x − (−1) ⇒ y−2 x+1 yL − yK xL − xK 8 − 2 2 − (−1) , = , 6 3 ⇒ y − 2 = 2 (x + 1) , ⇒ y = 2x + 4, سðãýã÷ øóëóóíû íàëàëò íü k = 2. y (x) = k, ⇒ 2x2 = 2, ⇒ 4x = 2, ⇒ x = 1 . 2 yM = 2 · 12 1 =. 22 11 M öýãèéí êîîðäèíàò , . 22

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 20 11 y − yM = k (x − xM ) , ⇒y− =2 x− , 2 2 ⇒ y − 1 = 2x − 1, ⇒ y = 2x − 1 . 22 Æèøýý 19. 1 y = ôóíêöèéí ãðàôèêèéí (1, 1) öýã äýýð (Çóðàã 9). AB x õýð÷ìèéí óðòûã îë. 1 = −1 , f (1) = −1. f (x) = x2 x y − 1 = −1(x − 1), y − 1 = −x + 1 y = −x + 2. A : x = 0, y = 2;

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 21 x = 2, y = 0. سðãýã÷ øóëóóí êîîðäèíàòûí òýíõëýã³³äòýé òýãø °íö°ãò ãóðâàëæèí ³³ñãýæ áàéíà. AB õýð÷ìèéí óðòûã ïèôàãîðûí òåîðåìîîð îëæ áîëíî. √√ AB = 22 + 22 = 8. Æèøýý 20. y = x2 ïàðàáîëûí x0 = 2 öýã äýýðõ íîðìàëü, ø³ðãýã÷ øóëóóí °ã°ãäñ°í.( Çóðàã 10). x òýíõëýãòýé îãòîëöîõ öý- ã³³äèéí õîîðîíäîõ AB õýð÷ìèéí óðòûã îë. y (x2) = 2x. y0 = x20, y (x0) = 2x0. M A ø³ðãýã÷ øóëóóíû òýãøèòãýë áè÷âýë: y − y0 = y (x0)(x − x0),

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 22 y − x20 = 2x0(x − x0), y − x20 = 2x0x − 2x20, y = 2x0x − x20. A öýãèéí y êîîðäèíàò 0 áàéíà. x öýãèéí êîîðäèíàòûã îëî- õîä 2x0xA − x02 = 0, ⇒ xA = x0 . 2 y − y0 = − 1 (x − x0) , y (x0) y − x02 = −1 (x − x0) , 2x0 y − x02 = −x + 1 2x0 , 2 y = −x + x02 + 1 2x0 . 2 B öýãèéí êîîðäèíàò B(xB, 0). − xB + x02 + 1 = 0, 2x0 2 xB = 2x30 + x0. AB = xB − xA = 2x30 + x0 − x0 = 2x03 + x0 . 2 2 x0 = 2; AB = 2x03 + x0 = 2 · 23 + 2 = 17. 2 2 Æèøýý 21.

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 23 y = 3 − x2 ôóíêöèéí (1, 2) öýã äýýðõ ø³ðãýã÷ øóëóóí êî- îðäèíàòûí õàâòãàéí òýíõëýã³³äòýé ³³ñýõ ãóðâàëæíû òàë- áàéã îë.(Çóðàã 11.) y − yM = f (xM ) (x − xM ) , ⇒ y − 2 = −2 (x − 1) , ⇒ y = −2x + 4. y = −2x + 4, ⇒ y + 2x = 4, ⇒ y + 2x = 1, ⇒ y + x = 1. 44 42 |OA| = 4, |OB| = 2, OAB òàëáàé |OA| · |OB| 4 · 2 S = = = 4. 22 Æèøýý 22. y = ln x ìóðóé M (1, 0) öýã äýýðõ íîðìàëü øóëóóíû òýã- øèòãýë y òýíõëýãòýé A öýãýýð îãòëîíî. AOM ãóðâàëæíû

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 24 òàëáàéã îë. 1 y = (ln x) = . x x0 = 1, y (1) = 1. y − y0 = − 1 (x − x0) , y (x0) y − 0 = −1 (x − 1) , y = −x + 1 1 Íàëàëò íü −1 áàéãàà òóë AOM àäèë õàæóóò ãóðâàëæèí áàéíà. S = 1 · 1 · 1 = 1 . 22 Æèøýý 23.

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 25 y = x2 + 2x + 3 ïàðàáîëûí A(−1, 1) öýãò òàòñàí ø³ðãýã÷ øóëóóíû òýãøèòãýëèéã áè÷. y = x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x + 1)2 + 2. y = x2 ïàðàáîëûí ãðàôèêèéã ç³³í òèéø 1 íýãæ, 2 íýãæýýð äýýøë³³ëæ ãðàôèêèéã çóðíà.(Çóðàã 13). A(−1, 1) öýãýýñ ïàðàáîëä 2 ø³ðãýã÷èéí òýãøèòãýë òàòàæ áîëíî. y − yA = k (x − xA) , ⇒ y − 1 = k (x − (−1)) , ⇒ y − 1 = kx + k, ⇒ y = kx + k + 1, k íàëàëò (ýõíèé ø³ðãýã÷ øóëóóíû íàëàëò k1, õî¼ð äàõü ø³ðãýã÷ øóëóóíû íàëàëò k2) B, C ø³ðãýã÷èéí öýã³³äýä

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 26 äàðààõ í°õö°ë áèåëíý. y = kx + k + 1 ⇒ kx + k + 1 = x2 + 2x + 3. y = x2 + 2x + 3 , B, C öýã³³äèéí íàëàëò íü y = x2 + 2x + 3 óëàìæëàëòàé òýíö³³ áàéíà. y = x2 + 2x + 3 = 2x + 2, k = 2x + 2. kx + k + 1 = x2 + 2x + 3 k = 2x + 2 kx + k + 1 = x2 + 2x + 3 , ⇒ (2x + 2) x + 2x + 2 + 1 = k = 2x + 2 x2 + 2x + 3, ⇒ 2x2 + 2x + 2x + 3 = x2 + 2x + 3, ⇒ x2 + 2x = 0, ⇒ x1 = −2, x2 = 0. x1 = −2, B öýã õàðãàëçàæ áàéíà. x2 = 0, C öýã õàðãàëçàæ áàéíà. íàëàëòûã òîîöîîëáîë: 1. AB íàëàëò: x1 = −2, k1 = −2; 2. AC íàëàëò: x2 = 0, k2 = 2. Ïàðàáîëûí ø³ðãýã÷ øóëóóíû òýãøèòãýëèéã áè÷âýë: 1. AB: y = −2x − 1; 2. AC: y = 2x + 3. Æèøýý 24.

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 27 y4 − 4x4 − 6xy = 0 ìóðóéí M (1, 2) öýã äýýðõ ø³ðãýã÷ øó- ëóóíû òýãøèòãýëèéã áè÷. Ýíý ìóðóé äàëä õýëáýðýýð °ã°ãäñ°í. Òèéìýýñ óëàìæëàë àâ÷ òýãøèòãýëèéã ÿëãàíà. y4 − 4x4 − 6xy = 0 , 4y3y − 16x3 − 6 (y + xy ) = 0, 4y3y − 16x3 − 6y − 6xy = 0, y 2y3 − 3x = 3y + 8x3, 3y + 8x3 y = . 2y3 − 3x M (1, 2) öýã äýýðõ óëàìæëàëûí óòãûã òîäîðõîéëáîë: 3 · 2 + 8 · 13 14 y (1, 2) = = . 2 · 23 − 3 · 1 13 y − 2 = 14 (x − 1) , 13 y − 2 = 14x − 14 , 13 13 13y − 26 = 14x − 14, 14x − 13y + 12 = 0. Æèøýý 25. x3 + y2 + 2x − 6 = 0 ìóðóéí (−1, 3) öýã äýýðõ íîðìàëü øóëóóíû òýãøèòãýëèéã áè÷. x3 + y2 + 2x − 6 = 0 , 3x2 + 2yy + 2 = 0,

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 28 2yy = −3x2 − 2, y = −3x2 + 2. 2y سðãýëòèéí öýãèéí êîîðäèíàòûã îðëóóëáàë: y = −3 · (−1)2 + 2 = − 5 . 2·3 6 y − y0 = − 1 (x − x0) , y (x0) y − 3 = − 1 (x − (−1)) , −5 6 y − 3 = 6 (x + 1) , 5 66 y = x + + 3, 55 6 21 y= x+ , 55 6x − 5y + 21 = 0. Æèøýý 26. x2 − y2 = 3, xy = 2 ìóðóéíóóäûí õîîðîíäîõ °íö°ã 90◦ ³³ñãýíý ãýæ áàòàë.

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 29 x2 − y2 = 3 x2 − y2 = 3 xy = 2 , ⇒ 2 , y= x ⇒ x2 − 2 2 ⇒ x2 − 4 = 3, x x2 = 3, ⇒ x4 − 3x2 − 4 = 0, ⇒ D = 9 + 16 = 25, ⇒ x2 = 3± 5 = −1; 4. x2 = 4, ⇒ x1,2 = ±2. 2 x1 = −2, ⇒ y1 = 2 = −1; (−2) 2 x2 = 2, ⇒ y2 = 2 = 1.

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 30 x2 − y2 = 3, ⇒ x2 − y2 = 3 , ⇒ 2x − 2yy = 0, ⇒ y = x . y 22 y= = − . x x2 k1 = x (−2) − 2 = −1; = = 2; k2 = x2 y x=−2 (−1) 2 y=−1 x=−2 ⇒ k1k2 = 2 · −1 = −1. 2 k1 = x2 − 2 − 1 = = 2; k2 = x2 = ; y 1 x=2 2 x=2 y=1 ⇒ k1k2 = 2 · −1 = −1. 2 Æèøýý 27. y = x2, y √ ìóðóéíóóä ÿìàð öýã³³äýýð îãòëîëöîõ âý? =x Ýäãýýð ìóðóéí îãòëîëöîëä ³³ñýõ °íöãèéã îë.

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 31 x2 = √ ⇒ x4 = x, ⇒ x4 − x = 0, ⇒x x3 − 1 = 0. x, x1 = 0, x2 = 1. x1 = 0 ãýñýí ýõíèé öýã äýýð ìóðóéí õîîðîíäîõ °íöãèéã îë. f1 (x) = x2 = 2x, ⇒ f1 (x1) = 2x1 = 0; √ = √1 , ⇒ f2 1 1 ∞. f2 (x) = ( x) 2x (x1) = √ = 2·0 = 2 x1 (tg α1 = 0, ⇒ α1 = 0), tg α2 = ∞, ⇒ α2 = π . 2 β1 = α2 − α1 = π − 0 = π 2 . 2 x2 = 1. f1 (x2) = 2x2 = 2;

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 32 11 f2 (x2) = √ = . 2 x2 2 tg (α2 − α1) = tg α2 − tg α1 . 1 + tg α2 tg α1 tg α1 = 2, tg α2 = 1 , 2 tg β2 = tg (α2 − α1) = tg α2 − tg α1 = 1 −2 = −3 1 + tg α2 tg α1 2 2 1+ 1 ·2 2 2 = − 3 . 4 β2 = arctg −3 = − arctg 3 4 . 4 33 − arctg = arctg . 44 √ y(x1) = x21 = x1 = 0; y(x2) = x22 = √ = 1. x2 (0, 0) : β1 = π3 ; (1, 1) : β2 = arctg . 2 4 Æèøýý 28. y = e2x + x2, ìóðóéí x = 0 öýã äýýðõ íîðìàëü øóëóóí °ã°ãäñ°í. Êîðäèíàòûã ýõýýñ íîðìàëü øóëóóíä õ³ðýõ óð- òûã îë.( Çóðàã 16.)

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 33 Ôóíêöýä x = 0 óòãûã îðëóóëáàë y (0) = e0 + 02 = 1. Óëàìæëàëûã îëîõîä y = e2x + x2 = 2e2x + 2x. y (0) = 2e0 + 2 · 0 = 2. M (0, 1) öýã äýýðõ íîðìàëü øóëóóíû òýãøèòãýë áè÷âýë y − y0 = − 1 (x − x0) , y (x0) y − 1 = −1 (x − 0) , 2 y = −x + 1. 2 ON = 2, OM = 1.

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 34 OM N °íä°ð íü OP OP = ON · OM . MN Ïèôàãîðûí òåîðåìîîð √ MN = ON2 + OM2. OP = ON · OM = √ ON · OM = √ 2 · 1 = √2 . MN ON2 + OM2 22 + 12 5 Æèøýý 29. r = a(1+cos θ) àñòðîèä ø³ðãýã÷ øóëóóí ðàäèóñ âåêòîðòîé ³³ñãýõ °íöãèéã îë. ( Çóðàã 17). ã°ãäñ°í °íöãèéã (Çóðàã 17) äàðààõ òîìü¼îãîîð òîîöîîë- íî r tg ω = . rθ

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 35 rθ = [a (1 + cos θ)] = −a sin θ. a (1 + cos θ) −1 + cos θ 2cos¡2 θ (−a sin θ) sin θ  2 tg ω = = = − 2 sin θ cos  θ  2  2   = − ctg θ = tg θπ . + 2 22 θπ ω= + . 22 Æèøýý 30. x = a cos3 t, y = a sin3 t, π t = öýã äýýðõ ø³ðãýã÷, íîð- 4 ìàëü øóëóóíû òýãøèòãýë áè÷.( Çóðàã 18). Ïàðàìåòðèéí ôóíêöèéí óëàìæëàëûã îëü¼. xt = a cos3t = −3a cos2t sin t; yt = a sin3t = 3a sin2t cos t. yx = yt = 3a sin2t cos t = − sin t = − tg t. xt (−3a cos2t sin t) cos t − tg t = tg (π − t) . tg α = yx = tg (π − t) , α = π − t = π − π = 3π = 135◦. 44 yx π = tg 3π = −1. 4 4

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 36 = a cos3 π = a √3 √ π 4 2 a2 x0 = x 4 2 =, 4 π √3 √ 4 = a sin3 π = a 2 a2 y0 = y 4 2 =. 4 √√ ⇒ y − a 2 = −1 x−a 2 y − y0 = yx (x0) (x − x0) , 4 4 , √√ √ 2 ⇒y−a 2 = −x + a 2 ⇒ y = −x + a 44 , 2 √ 1 a2 1 √ y − y0 = − (x − x0) , ⇒ y − = − x−a 2 , y (x0) 4 (−1) x 4 √√ a 2  a 2  ⇒ y −   = x −   , ⇒ y = x.  4  4   

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 37 Æèøýý 31. y = cos x, ìóðóéí M (x0, y0) 0 < x0 < π öýã äýýðõ ø³ðãýã÷ 2 øóëóóí áàéãóóëàâ. سðãýã÷ øóëóóí êîîðäèíàòûí òýíõ- ëýã³³äýý ³³ññýí ãóðâàëæíû òàëáàé õàìãèéí áàãà áàéõ x0 óòãûã îë. y (x) = (cos x) = − sin x, tg α = − sin x0 = y (x0) . y − y0 = y (x0) (x − x0) , ⇒ y − cos x0 = − sin x0 (x − x0) , ⇒ y − cos x0 = (− sin x0) x − (− sin x0) x0, ⇒ y + (sin x0) x = cos x0 + (sin x0) x0 xy + = 1. pq

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 38 y + (sin x0) x = 1. cos x0 + (sin x0) x0 cos x0 + (sin x0) x0 |OA| = q = cos x0 + (sin x0) x0, |OB| = p = cos x0 + (sin x0) x0 . sin x0 x0 = z, ∆OAB òàëáàéã S(z) : pq (cos z + z sin z)2 S = S (z) = = . 2 2 sin z 1 (cos z + z sin z)2 S (z) = 2 sin z = (cos z + z sin z) · z cos z sin z − cos2z . 2 sin2z π 0 < z < , cos z + z sin z > 0 2 z cos z sin z − cos2z = 0, ⇒ cos z (z sin z − cos z) = 0, ⇒ z − ctg z = 0. z = π : z − ctg z = π − ctg π = π − 1 ≈ −0.21 < 0. 4 4 44 π z − ctg z = π − ctg π = π − √1 ≈ 0, 47 > 0. z= : 3 3 33 3 ππ , (Çóðàã 20). 43

1.5 Æèøýý áîäëîãóóä 39 Õàìãèéí áàãà öýãèéí îéðîëöîîõ êîîðäèíàò íü 0.86rad = 49.3◦