Б. Баяржаргал, Д. Анхтуяа, Э. Азжаргал, Ж. Батболд, М. Бат-Эрдэнэ, Д. Даваасүрэн, Ж. Дэнсмаа, А. Наранхүү, Б. Сандагдорж, Д. Түмэнбаяр, Н. Цогзолмаа, Б. Энхболд Багшийн ном Математик X-XII Ерөнхий боловсролын сургуулийн 10-12 дугаар ангийн сонгон судлах хичээл Боловсрол, Соёл, Шинжлэх ухаан, Спортын Яамны зөвшөөрлөөр хэвлэв. Анхны хэвлэл Сургуулийн номын санд олгов. Борлуулахыг хориглоно Улаанбаатар хот 2018 он
Сонгон судлах хичээлийн багшийн ном: Ерөнхий боловсролын 12 жилийн сургуулийн 10-12 дугаар анги /Баяржаргал Д., ба бус; Ред. Пүрэвсүрэн Д., -УБ.2018.160х/ Энэхүү багшийн ном нь “Монгол Улсын Зохиогчийн эрх болон түүнд хамаарах эрхийн тухай” хуулиар хамгаалагдсан бөгөөд Боловсрол, Соёл, Шинжлэх ухаан, Спортын Яамнаас бичгээр авсан зөвшөөрлөөс бусад тохиолдолд уахим болон хэвлэмэл хэлбэрээр мэдээллийн санд оруулахыг хориглоно. Багшийн номын талаарх санал, хүсэлтээ [email protected] хаягаар ирүүлнэ үү. Боловсрол, Соёл, Шинжлэх ухаан, Спортын Яамн ISBN ……………..
УДИРТГАЛ
АГУУЛГА Математик X 7 Математик XI 28 Математик XII 64
X-XII ангийн агуулгын залгамж холбоо 1.а.Тэг, бүхэл, бутархай зэргийн тодорхойлолтыг ойлгох 1.а. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг шинжлэх 1.а. x - ийн утгыг ойлгох, a = b ⇔ a2 =b2 , x − a < b , x − a > b 1.б.Зэргийн чанарыг мэдэх, хэрэглэх 1.б. Квадрат тэнцэтгэл биш бодох (шийдийг тоон шулуун дээр дүрслэх) хэлбэрийн модултай тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш бодох 1.в.Стандарт дүрсээр бичигдсэн тоон дээр үйлдэл гүйцэтгэх 1.в. Квадрат тэнцэтгэл бишийг графикийн аргаар бодох 1.г. Бодит тооны үйлдлийн чанаруудыг ойлгох 2.а. Дөрөв хүртэл зэргийн олон гишүүнтийг нэг болон хоёр зэргийн 1.г. ax2 + bx + c квадрат гурван гишүүнт үргэлж эерэг (сөрөг) утгатай байх олон гишүүнтэд хуваах үйлдлийг ойлгох, ногдвор ба үлдэгдлийг олох / 2.а. Рациональ илтгэгчтэй алгебрийн илэрхийллийг хялбарчлах нөхцөлийг мэдэх үлдэгдэл 0 байж болно/ 2.б. Алгебрийн илэрхийллийг үржигдэхүүн болгон задлах, 2.б. Безугийн теорем ашиглан олон гишүүнтийг үржигдэхүүнд задлах, тухайлбал 1.д.* ax2 + bx + c = 0 тэгшитгэлийн коэффициент ба шийд хоорондын 3 ба 4 зэргийн тэгшитгэл бодох, үл мэдэгдэх коэффициентийг олох 2.в. Алгебрийн бутархайг хялбарчлах, тухайлбал хамаарлыг мэдэх, хэрэглэх (Виетийн теорем) 2.в. Рациональ функцийг таних, хүртвэр олон гишүүнтийн зэрэг нь 2.г. Хуваарь нь шугаман эсвэл квадрат олон гишүүнт байх хуваарь олон гишүүнтийн зэргээс хэтрэхгүй байх тохиолдолд тодорхой алгебрийн бутархай илэрхийллийг нэмэх, хасах. тухайлбал 2.a. Шулуун ба муруйн харилцан байршлын нөхцөлийг мэдэх бус коэффициентийн аргаар хялбар рациональ функцүүдийн нийлбэрт 2.д.* Кубын томьёог мэдэх хэрэглэх 2.б. Шугаман болон квадрат тэгшитгэлээс тогтох системийг орлуулах аргаар бодох (2 хувьсагчтай) задлах (хуваарь нь дараах хэлбэртэй үед) (ax +b)(cx + d ), (ax +b)2 3.а. Функц, функцийн тодорхойлогдох ба утгын муж, дүрийг ойлгох 2.в. Шугаман тэгшитгэлийн системийг урвуу матрицын аргаар бодох (хоёр 2.г. Хүртвэр олон гишүүнтийн зэрэг нь хуваарь олон гишүүнтийн 3.б. Квадрат ба урвуу хамаарлын функцийн графикийг утгын хувьсагчтай) зэргээс хэтрэхгүй байх тохиолдолд тодорхой бус коэффициентийн хүснэгт ашиглан байгуулах, аргаар хялбар рациональ функцүүдийн нийлбэрт задлах (хуваарь 3.г y = axn хэлбэрийн функцийн графикийг утгын хүснэгт 2.г. Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг бодох ашиглан байгуулах нь дараах хэлбэртэй үед) (ax +b)(cx +d )(ex + f ) , (ax +b)(cx + d )2 , 55 3.д. y = ax хэлбэрийн функцийн графикийг утгын хүснэгт 3.а. Функц, функцийг өгөх арга ашиглан байгуулах ( )(ax +b) cx2 + d 3е. y = kax хэлбэрийн функцийн графикийг утгын хүснэгт 3б. Функцийн тэмдэглэгээг хэрэглэх ашиглан байгуулах 2.д. Рациональ функцийг тодорхой бус коэффициентийн аргаар олон 3.ё. Муруйн шүргэгчийг зурж, налалтыг ойролцоогоор 3.в. Өгсөн муруй нь функцийн график мѳн эсэхийг босоо шулуун ашиглаж гишүүнт болон хялбар рациональ функцүүдийн нийлбэрт задлах тооцоолох шалгах 3.а. Зэрэг ба логарифмын харилцан хамаарлыг ойлгох, логарифмын 4.а. Мэдээллийг матриц хэлбэрээр илэрхийлэх 3.г. Функцийн тодорхойлогдох муж ба дүрийг олох чанаруудыг мэдэх, хэрэглэх, e тоог мэдэх 4.б. Матрицын нэмэх, хасах, тоогоор үржүүлэх үйлдэл 3.б. Илтгэгч ба логарифм функцийн харилцан хамаарлыг ойлгох. ex ба 4.в. Матрицуудын үржүүлэх үйлдэл 3.д. Давхар функцийн тухай ойлгох ln x функцийн графикийг таних тэдгээр нь харилцан урвуу функцүүд 4.г. Тэг болон нэгж матрицыг мэдэх болохыг мэдэх, шинж чанаруудыг ойлгох 4.д. 2×2 матрицын тодорхойлогч бодох 3.е. Урвуу функцийн тухай мэдэх, функц ба түүний урвуу функцийн хоорондын 3.в. ax = b , ax ≤ b , ax > b хэлбэрийн тэгшитгэл болон хялбар 4.е. 2×2 матрицын урвууг олох хамаарлыг мэдэх (график нь y = x шулууны хувьд тэгш хэмтэй байдгийг илтгэгч тэнцэтгэл бишийг логарифм ашиглан бодох 4.ё.* 3×3 матрицын тодорхойлогч, урвууг олох мэдэх), харилцан нэг утгатай функцийг таних, өгсөн функц нь харилцан нэг 3.г. Рациональ функцийг таних, хялбар тохиолдолд графикийг нь утгатай эсэхийг тодорхойлох байгуулах 5.а. Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл биш, тэнцэтгэл бишийн системийг бодох 3.ё. Функц өсөх, буурах тухай ойлгох ( )3.д. y = f ( x) функц(тэгшитгэл) өгсөн үед y = f ( x) , y = f x , 5.б. Квадрат тэгшитгэл бодох 3.ж. Тэгш, сондгой функцийг таних функцийн графикийг байгуулах -Үржигдэхүүн болгон задлах 3.е.Параметрт хялбар тэгшитгэл, түүний графикийг байгуулах -Томьёо ашиглах 3.з*. y = f ( x) функцийн график өгөгдсөн үед y = af ( x) =; y f ( x) + a ; 3.ё. Муруй, муруйн тэгшитгэл -Шийдтэй эсэхийг дискриминантаар шинжлэх =y f ( x + a) ; y = f (ax) функцийн графикийг байгуулах 5.в.Квадрат тэгшитгэлд шилждэг рационал тэгшитгэл бодох, 4.а. Комплекс тоо түүний бодит ба хуурмаг хэсгийг мэдэх, комплекс хэрэглэх 3.и*. Урвуу функц оршин байх нөхцөлийг мэдэх (тодорхойлогдох муж ба тооны модуль, аргумент, хосмогийг ойлгох 5.г. Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем бодох, дүрийн хамаарал), харилцан нэг утгатай функцийн урвууг олох 4.б. x + iy хэлбэрээр өгсөн хоёр комплекс тоог нэмэх, хасах, үржих, хэрэглэх (графикийн арга) хуваах үйлдлийг мэдэх 5.д. Хоёр хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл биш, тэнцэтгэл 4.а. Арифметик ба геометр прогресс 4.в. Хоёр комплекс тоо тэнцүү байх нөхцөлийг мэдэх, ойлгох бишийн системийн шийдийг координатын хавтгайд дүрслэх 4.б. Арифметик прогрессын n дүгээр гишүүний томьёо, эхний n гишүүний 4.г. Бодит коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийн комплекс тоон 5.е. Хялбар илтгэгч тэгшитгэл бодох, графикийн аргаар бодох нийлбэрийн томьёог ашиглах шийдүүд хосмог тоонууд байна гэсэн үр дүнг ашиглах 5.ё.* Бүтэн квадрат ялгах аргаар шийдийг олох ерѳнхий 4.д. Комплекс тооны геометр утгыг дүрслэх томьёо гаргах 4.в. Геометр прогрессын n дүгээр гишүүний томьёо, эхний n гишүүний 4.е. Комплекс тоог r(cosθ + i sinθ ) =reiθ хэлбэрээр илэрхийлэх, энэ 5.ж.* Квадрат тэгшитгэлд шилждэг тэгшитгэл таних, нийлбэрийг томьёо ашиглан олох үед комплекс тоог үржих, хуваах үйлдэл хялбар байдгийг мэдэх бодох, хэрэглэх, тухайлбал , орлуулгаар квадрат тэгшитгэлд 4.ё Комплекс тооны квадрат язгуурыг олох (хоёр язгууртай гэдгийг шилждэг илтгэгч тэгшитгэл, буцах тэгшитгэл 4.г. Арифметик ба геометр прогрессын дараалсан 3 гишүүний чанар, түүнийг ойлгох) 5.з.* Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем мэдэх, хэрэглэх 4.ж. Комплекс тооны нэмэх, хасах, үржих, хуваах, хосмогоор үржих бодох, хэрэглэх үйлдлийн геометр утгыг ойлгох 4.д*. (a + b)n бином задаргааны томьёо ашиглах, энд n нь эерэг бүхэл тоо 4.з Комплекс тоо агуулсан хялбар тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийн 6.а.Тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш, тэдгээрийн системийн шийдийг бичихэд логик ба геометр дүрслэл хэрэглэх 4.е*. Cnr ба n! тэмдэглэгээ хэрэглэх шийдийг дүрслэх. Жишээлбэл, z − a < k, z − a = z −b , arg( z − a) =α 6.б. Олонлог өгөх, дүрслэх аргуудыг мэдэх 6.в.* Олонлогууд дээрх үйлдэл, тэдгээрийг тэмдэглэх, хэрэглэх 4.ё*. Биномын задаргааны гишүүний Cnk ⋅ an−k ⋅ bk , 0 ≤ k ≤ n томьёог хэрэглэх 11.а. Огторгуйн координатын системд шулууныг r= a +tb хэлбэрээр 6.г.* Эрэмбэлэгдсэн хосууд, эрэмбэлэгдсэн гуравт, эрэмбэлэгдсэн 4.ж*. Төгсгөлгүй геометр прогрессын нийлэх нөхцөлийг мэдэх илэрхийлэх, шулууны тэгшитгэлийн r, a, t, b тэмдэгтүүдийн утгыг хосууд ба эрэмбэлэгдсэн гуравтуудын олонлог, тэдгээрийн 4.з*.Нийлэх геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэрийн томьёог ойлгох чадал, комбинаторикийн үржвэрийн зарчим хэрэглэх 11.б. Огторгуйн хоёр шулууны харилцан байршлыг тодорхойлох 6.д.* Олонлогуудын нэгдлийн чадал, комбинаторикийн 4.и*. Арифметик ба геометр прогресс ашиглан практик асуудлыг (параллель,огтлолцох, солбисон) нийлбэрийн зарчим шийдвэрлэх 11.в. Хоёр шулууны хоорондох өнцгийг олох, хэрэв огтлолцсон бол түүний огтлолцлын цэгийг олох 7.а. Тойргийн хөвч, шүргэгч, огтлогчийн чанаруудыг хэрэглэх 5.а. Өгсөн нөхцөлийг ашиглан шулууны тэгшитгэлийг олох, тухайлбал, түүний 11.г. ax + by + cz =d эсвэл (r – a,n) = 0 хэлбэрээр илэрхийлэгдэх 7.б. Тойрогт багтсан өнцгийн чанар хэрэглэх хоёр цэгийн координат эсвэл нэг цэг ба налалт өгсөн үед хавтгайн тэгшитгэлийг ойлгох 7.в. Тойрогт багтсан ба тойргийг багтаасан олон өнцөгтийн 11.д. Зай, өнцөг, огтлолцолтой холбоотой асуудал шийдвэрлэхэд чанарыг мэдэх, хэрэглэх (гурвалжин, дөрвөн өнцөгт, зөв олон 5.б. Хоёр шулууны параллель, перпендикуляр байх нөхцөлийг мэдэх хавтгай, шулууны тэгшитгэлийг ашиглах. Тухайлбал, өнцөгт) (налалтаар) - Хангалттай мэдээлэл өгсөн тохиолдолд шулуун ба хавтгайн 7.г. Цэгийн геометр байр тэгшитгэлийг олох 5.в. =y mx + c ба y − y1= m( x − x1) хэлбэрийн шулууны тэгшитгэлийг - Шулуун ба хавтгайн харилцан байршлыг тодорхойлох (шулуун нь 8.а. Хавтгайн тэгш өнцөгт координатын систем, цэгийн хавтгай дээр орших, шулуун нь хавтгайтай параллель байх, шулуун координат ойлгох тайлбарлах, хэрэглэх нь хавтгайтай огтлолцох, энэ үед огтлолцлын цэгийг олох) 8.б. Хавтгайн координатын системд хоёр цэгийн хоорондох зай, - Параллель биш хоёр хавтгайн огтлолцлын шулууныг олох 5.г. Огторгуйн координатын систем, цэгийн координатыг ойлгох, огторгуйн - Цэгээс шулуун хүртэлх зай, цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох координатын системд цэг тэмдэглэн дүрс, биет байгуулах - Хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг, шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцгийг олох 5.д. Огторгуйн координатын системд хоёр цэгийн хоорондох зай, хэрчмийн 10.а.Секанс, косеканс, котангенс функцүүд косинус, синус, тангенс дундаж цэгийн координатыг олох функцүүдтэй ямар хамааралтайг ойлгох, тэдний шинж чанар, дурын өнцгийн хувьд тригонометрийн дээрх 6 функцийн графикийг 5.е*. Хавтгайн координатын системд шулууныг r= a + tb хэлбэрээр тоймлон зурах 10.б.Дараах адилтгал, томьёоны гаргалгааг хийх: илэрхийлэх (вектор хэлбэр) 8.а. Векторын стандарт тэмдэглэгээг хэрэглэх, ө.х. ( x, y), xi + yj, a, AB 8б. Огторгуй дахь векторуудын нэмэх, хасах, тоогоор үржих үйлдэл, тэдгээрийн геометр тайлбар хийх 8в. Огторгуйн координатын систем дэх суурь векторууд, векторын координат, тэнцүү векторууд, хоёр векторын параллель байх нѳхцѳл 8.г. Векторын уртыг олох 8.д. Векторын скаляр үржвэр 8.е*. Өгсөн векторын координатын тэнхлэгүүдтэй үүсгэх өнцгийг олох 8.ё*. Хоёр векторын хоорондох өнцгийг олохдоо скаляр үржвэр ашиглах, векторын перпендикуляр чанартай холбоотой бодлогыг скаляр үржвэр ашиглан бодох 6.а*. Өнцгийн радиан хэмжээг ойлгох, радиан ба градусан хэмжээсийн хоорондын холбоог мэдэх 6.б*. Тойргийн нумын урт ба дугуйн секторын талбайтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх=эд l r=θ , S 1 r2θ томьёог хэрэглэх
хэрчмийн дундаж цэгийн координатыг олох 2 а) sec2θ = 1+ tan2θ ба cosec2θ = 1+ cot 2θ 8.в. Координат нь өгсөн хоёр цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл, налалтыг олох 7.а. Нэгж радиустай тойрог ашиглан тригонометрийн функцийн утгыг олох б) Нийлбэр, ялгаврын томьёо: sin ( A ± B), cos( A ± B) ба tan ( A ± B), 8.г. Шулууны тэгшитгэлийг, y = kx + b, Ax + By + C = 0 хэлбэрт 7.б. 30°,45°,60° -ын өнцгийн синус, косинус, тангенсын утгыг ашиглан зарим в) Давхар өнцгийн томьёо: sin2A,cos2A, tan2A бичих, тайлбарлах утгуудыг олох, тухайлбал, 8.д. Координатын эх дээр төвтэй тойргийн тэгшитгэл бичих, г) Туслах өнцгийн томьёо: asinθ + b cosθ илэрхийллийг Rsin (θ ± α ) хэрэглэх 7.в . tgα = sinα ба sin2 α + cos2 α =1 адилтгалуудыг хэрэглэх , Rcos(θ ± α ) хэлбэрт бичих cosα 9.а. Векторыг чиглэлт хэрчмээр дүрслэх, тэмдэглэх, векторын 10.в. Тригонометрийн томьёо ашиглан, илэрхийллийг хялбарчлах , урт ба чиглэл, тэнцүү болон эсрэг векторыг ойлгох 7.г*. Синус, косинус, тангенс функцийн графикийг тоймлон зурах, хэрэглэх илэрхийллийн утгыг олох, адилтгал батлах , 9.б. Векторын нэмэх, хасах, тоогоор үржүүлэх, коллинеар 10.г. Тригонометрийн тэгшитгэл бодох. векторыг таних (өнцгийн хэмжээг градус эсвэл радианаар өгсөн үед)Синус функцийн график 9.в. Векторыг өгсөн хоёр шулууны дагуу векторуудын нийлбэрт задлах байгуулах 9.г. Координатын хавтгай дээрх вектор, түүний координатыг тодорхойлох, тэмдэглэх 7.д*.Тригонометрийн урвуу функцийн утгыг мэдэх 9.д. Суурь вектор, векторыг суурь вектороор илэрхийлэх, sin−1,arcsin,cos−1,arccos, tg−1,arctg тэмдэглэгээ хэрэглэх векторын уртыг координатаар олох, координат ашиглан 5.а. Уламжлал ex , ln x, sin x, cos x, tan x функцийн уламжлалыг мэдэх, векторын нэмэх, хасах, тоогоор үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх 7.е*. Хялбар тригонометрийн тэгшитгэлийн бүх шийдийг өгсөн завсарт эдгээр функцийг тогтмолоор үржиж, нэмж, хассан үед уламжлалыг 9.е. Хоёр векторын хоорондох өнцгийг мэдэх, скаляр үржвэр, мэдэх олох, тэдгээрийг шугаман функцтэй давхарлан хэрэглэсэн үед скаляр үржвэрийг координатаар илэрхийлэх олох (шийдийн ерөнхий хэлбэрийг оролцуулахгүй) уламжлалыг олох, хэрэглэх. XМатематик анги 9.ё. Хоёр вектор коллинеар, ортогонал байх нөхцөлийг ойлгох, хэрэглэх 9.а. y = f ( x) функцийн графикийн ѳгсѳн цэг дээрх шүргэгч шулууны 5.б.Үржвэр ба ногдворын уламжлалыг олох 10.а. Хурц өнцгийн тригонометр харьцааг хэрэглэх (Өнцгийг налалтыг олох, уг функцийн графикийн цэгүүд дээрх налалтууд нь функц 5.в. Давхар функцийн уламжлал градусаар, харьцааг тохирох нарийвчлалтай тоймлох) болохыг ойлгох 5.г. Параметр ба далд функцийн 1-р эрэмбийн уламжлалыг олох, 10.б. 0° −180° өнцгийн косинус, синусыг тооцоолох 9.б. Уламжлал болон дифференциалчлах үгийн утгыг мэдэх ашиглах 1 9.в. f ′( x), f ′′( x), dy , d2y тэмдэглэгээг хэрэглэх 6.а. Интеграл нь уламжлалын урвуу үйлдэл гэсэн санааг өргөтгөн 10.в. Гурвалжны талбайг олоход absinα томьёог хэрэглэх dx dx2 2 eax+b, 1 ,sin (ax + b), cos(ax + b) , ба 9.г. функцийн уламжлалыг тооцоолох (n- рационал тоо) sec2 (ax + b) функцийн 10.г.Аливаа гурвалжны хувьд косинус, синусын теоремыг мэдэх, ax + b хэрэглэх 9.д. Нийлбэр, ялгавар, тогтмол тоон үржигдэхүүнтэй функцийн уламжлалыг интегралыг тооцоолох 10.д.*Тригонометр харьцааг хэрэглэх (огторгуйн биет) олох 6.б. Тодорхой бус коэффициентийн аргыг ашиглан рационал функцийн 11.а. Координатын хавтгайд дараах хувиргалтуудыг хийх, интегралыг олох координатын хувиргалтын томьёо олох, хэрэглэх 9.е. Давхар функцийн уламжлалыг олох - Тэгш хэм 9.ё. Уламжлал ашиглан f ′(x) - Эргүүлэлт f (x) - Параллель зөөлт а) Функцийн графикийн өгсөн цэг дээрх налалтыг олох, шүргэгч ба 6.в. хэлбэрийн интегралыг таних, түүний интегралыг олох - Гомотетын төв, коэффициентийг олох. Хавтгайн дүрсүүдийг өгсөн (эерэг, сөрөг) коэффициенттэй гомотетоор хувиргах нормаль шулууны тэгшитгэлийг олох 11.б. Хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх 11.в.* Дараалсан хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх б) Функцийн өсөх, буурах завсрыг олох 6.г. Орлуулгын аргаар тодорхой болон тодорхой бус интегралыг хялбар 11.г.* Хувиргалтуудыг таних, тодорхойлох интегралд шилжүүлэн бодох в) Функцийн өөрчлөлтийн хурдыг олох 12.а. Тойргийн нумын урт болон дугуйн сектор, сегментийн 6.д. Тригонометр хамаарлыг ашиглан функцийн интегралыг олох. талбайг олох 9.ж. функцийн экстремум цэг олох (максимум, минимум цэг) Тухайлбал, cos2 x-ыг давхар өнцгийн томьёо ашиглан бодох 12.б. Пирамид, цилиндр, призм, бөмбөрцөг, конусын гадаргуун талбай, эзлэхүүнийг олох томьёог мэдэх, хэрэглэх 9.з. Графикийг тоймлон зурахад экстремум цэгийг ашиглах 6.е. Хэсэгчлэн интегралчлах аргаар бодогдох интегралыг таних, 12.в. Пирамид, цилиндр, призм, бөмбөрцөг, конусын хавтгай түүнийг бодлогод хэрэглэх. Жишээлбэл, xsin 2x, x2, Inx огтлол байгуулах, огтлолын талбайг тооцоолох 9.и*. II эрэмбийн уламжлал, тэмдэглэгээ -Диагональ огтлол 6.ё. Трапецийн дүрэм ашиглан тодорхой интегралыг үнэлэх. -Тэнхлэг огтлол 9.й*. II эрэмбийн уламжлал ашиглах Ингэхдээ графикийг зурж, трапецийн дүрмээр доод/дээд үнэлгээний -Суурьтай параллель огтлол алин болохыг тодорхойлох 12.г. Төсөөтэй дүрсүүдийн талбай, төсөөтэй биетүүдийн а) Максимум, минимум цэгийг тодорхойлох эзлэхүүний харьцааг мэдэх, хэрэглэх 12.д.* Нийлмэл биетийн гадаргуун талбай, эзлэхүүнийг б) Функцийн хотгор, гүдгэр завсар олох тооцоолох в) Нугаралтын цэг олох 13.а. Бүлэглэсэн өгөгдлийн моод бүлэг, медиан, арифметик дунджийг тооцоолох (тэнцүү, тэнцүү биш завсраар бүлэглэсэн) 9.к*. Функцийн графикийг тоймлон зурахад II эрэмбийн уламжлалын 13.б. Гистограмм байгуулах, унших (тэнцүү, тэнцүү биш завсраар бүлэглэсэн) мэдээллийг ашиглах 13.в. Цэгэн диаграмм, түүний хандлагын шулууныг ойлгох, баримжаалан зурах 9.л*. Уламжлалыг хэрэглэх (их, бага утгыг олох бодлого) 7.а. Дараалал ба цувааны тухай ойлгох 13.г. Корреляцыг ойлгох, тайлбарлах (эерэг, сөрөг, хамааралгүй) 13.д. Хуримтлагдсан давтамжийн график байгуулах, хэрэглэх, 10.a. Дифференциалчлахын урвуу үйлдэл нь интегралчлах болохыг мэдэх, 7.б. n -р гишүүн ( un ) ба эхний n гишүүний нийлбэрийн ( Sn ) медианыг олох ойлгох, дифференциал тэгшитгэл, ерөнхий ба тухайн шийдийн талаар анхны хамаарлыг мэдэх 13.е. Квартиль, квартиль хоорондын далайцыг үнэлэх, ойлголттой болох тайлбарлах 10.б. xn функцийг интегралчлах (n - рационал тоо) 7.в. n -р гишүүн нь томьёогоор өгөгдсѳн дараалал байгуулах 13.ё.* Хуримтлагдсан давтамжийн график ашиглан хоёр түүврийг харьцуулах 10.в. (ax + b)n функцийг интегралчлах (энд n ≠ −1 рационал тоо) 7.г. Төгсгөлгүй нийлбэр ба цувааны нийлэлтийн тухай мэдэх 14.а. Факториалын томьёог хэрэглэх 10.г. Интегралын чанаруудыг хэрэглэх (тогтмол тоон үржигдэхүүн, нийлбэр, ∑7.д. тэмдэглэгээ хэрэглэх 14.б. Сэлгэмэл, хэсэглэлийг ойлгох, томьёо хэрэглэх ялгавар) 7.е. Ялгаврын аргаар цувааны нийлбэрийг олох 15.а. Нийлмэл үзэгдлийн магадлалыг тооцоолох (модны схем, үр 10.д. Интегралын тогтмолыг үнэлэх тухай бодлого бодох дүнгийн хүснэгт, Эйлер-Веннийн диаграмм ашиглах) 7.ё. p p 15.б.* Нийцтэй ба нийцгүй үзэгдлүүдийн ялгааг 10.е. Тодорхой интеграл бодох (олон гишүүнт байх тохиолдолд) q ойлгох, магадлалуудын нийлбэрийн дүрэм буюу рациональ тоо бол (1 + x) q функцийг биномын томьёо 10.ё. Тодорхой интеграл ашиглан талбай олох. Үүнд :a) Муруй ба тэнхлэгүүдтэй P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( A ∩ B) томьёог хэрэглэх параллель шулуунуудаар хашигдсан дүрсийн талбай б) Хоёр муруйгаар ашиглан цуваанд задлах, урвуу үйлдлийг гүйцэтгэх (энд сөрөг зэрэг хашигдсан дүрсийн талбай мөн хамаарна), жишээлбэл, 10.ж*.Хуваалт ашиглан муруй шугаман трапецын талбайг ойролцоогоор тооцоолох 7.ж. Бином цувааны нийлэлтийн нөхцөлийг тодорхойлох 10.з*. Тодорхой интеграл ашиглан муруйг аль нэг тэнхлэгийг тойруулан 8.а*. Математик индукцийн аргыг ойлгох, түүнийг ашиглан эргүүлэхэд үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олох баталгаа хийх 10.и*. Хялбар өргөтгөсөн интеграл бодох 9.а. Дифференциал тэгшитгэлд хүргэдэг хялбар бодлогууд бодох тэгшитгэлийг бичих 11.а. Иш навчны диаграмм, гистограмм, хуримтлагдсан давтамжийн график хайрцган диаграммыг тайлбарлах, байгуулах 9.б. Хувьсагч нь ялгагдах, 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн олоод ерөнхий шийдийг олох 11.б. Статистик өгөгдлүүдийг дүрслэх тохиромжтой хэлбэрийг сонгох, дүрслэлүүдийн давуу болон дутагдалтай талуудыг тайлбарлах 9.в. Тухайн шийдийг олоход анхны нөхцөлийг ашиглах. 11.в. Дунджууд (арифметик дундаж, медиан, моод) ба хазайлтууд (далайц, 9.г. Дифференциал тэгшитгэлд хүргэдэг хялбар бодлогуудын квартиль, дисперс, стандарт хазайлт) гэсэн статистик үзүүлэлтүүдийг ойлгох, шийдийн утгыг тайлбарлах хэрэглэх, тухайлбал, хоёр түүврийг харьцуулахад ашиглана. 14.а. X- дискрет санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын хүснэгтийг 11.г. Хуримтлагдсан давтамжийн график ашиглан ѳгөгдлийн медиан, квартиль, байгуулах, математик дундаж, дисперс, стандарт хазайлтыг тооцоолох квартиль хоорондын далайц тооцоолох 14.б. X- дискрет санамсаргүй хувьсагчийн математик дундаж, дисперс, 11.д. Бүлэглэсэн ѳгөгдлийн арифметик дундаж, стандарт хазайлтыг тооцоолох стандарт хазайлтыг тооцоолох 12.a*. n тѳрлийн элементээс k ширхэг элемент сонгож нэг эгнээнд 14.в.Бином тархалтыг практик нөхцөлд таних, түүний томьёог байрлуулах ялгаатай аргыг тооцоолох хэрэглэх, B(n, p) тэмдэглээг мэдэх 12.б*. Өгөгдсөн бүтэц бүхий сэлгэмлийн тоог тооцоолох 14.г.Бином тархалтын математик дундаж, дисперс,стандарт 13.а*.Үзэгдлийн магадлалыг тооцоолохдоо сэлгэмэл, хэсэглэлийн томьёо хазайлтын томьёог хэрэглэх хэрэглэх 13.б*.Үл хамаарах ба хамаарах үзэгдлүүдийн ялгааг таних 15.а.Хэвийн тархалтын хэрэглээг ойлгох, хэвийн тархалтын 13.в*.Нөхцөлт магадлалыг таних, магадлалуудын үржвэрийн дүрэм буюу хүснэгтийг хэрэглэх N(µ,σ 2) тэмдэглэгээг мэдэх P( A B) = P( A) P(B|A) томьёог мэдэх 15.б. Хэвийн тархалтын дараах бодлого бодох 13.г*.Үл хамаарах үзэгдлүүдийн хувьд биелэх P( A B) = P( A) P( B) 15.в. Бином тархалтын ойролцоо утгыг олохдоо хэвийн тархалтыг ашиглаж болох нөхцлийг мэдэх томьёо нь магадлалуудын үржвэрийн дүрмийн тухайн тохиолдол болохыг ойлгох 12.а.Тодорхой зааглал өгсөн үед боломж тоолох 13.д*. Нийлмэл үзэгдлийн магадлалыг модны схемээр тооцоолохдоо 12.б.Давталттай хэсэглэлийг ойлгох, тооцоолох нөхцөлт магадлалыг тооцох 13.а.Модны схемээр бүтэн болон нөхцөлт магадлалыг тооцоолох 13.б. Геометр магадлалын тухай ойлголттой болох, хялбар асуудлыг шийдвэрлэх
XМатематик анги X анги АЛГЕБРЫН ИЛЭРХИЙЛЭЛ Кубүүдийн нийлбэр, ялгаврын томьёог хэрэглэх Өмнө нь хоёр илэрхийллийн нийлбэр, ялгаврын квадрат, квадратуудын ялгаврын томьёо хэрэглэн квадрат гурван гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон задлахыг судалсан. Эдгээрийг бататгаад X ангид шинээр кубуудийн нийлбэр, ялгаврын томьёог мэдэх, хэрэглэх чадвар эзэмшүүлнэ. Энэ суралцахуйн зорилтын хүрээнд a3 + b3 , a3 − b3 хэлбэрийн илэрхийллүүдийг үржигдэхүүн болгон задлах аргад суралцана. Эхлээд a талтай квадратын нэг булангаас b талтай квадратыг огтолж авахад үлдэх дүрсийн талбайг a2 − b2 = (a� + b)�(� a −b) томьёогоор олсныг сэргээн сануулаад, энэ бодлогыг өргөтгөн a ирмэгтэй кубийн нэг булангаас b ирмэгтэй кубийг тасалж авахад үлдэх биетийн эзлэхүүнийг олох бодлогыг дэвшүүлж болно. b ирмэгтэй кубийг тасалж авсны дараа үүсэх биетийн эзлэхүүн нь V = a3 − b3 байна. Энэ биетийн эзлэхүүнийг өөр аргаар олъё. Зурагт үзүүлснээр биетийг 3 тэгш өнцөгт паралеллепипед болгон хувааж эзлэхүүнийг олбол V = (a − b)⋅ a ⋅ a + (a − b)⋅ a ⋅b + (a − b)⋅b ⋅b = (a − b) (a2 + ab + b2 ) болно. Иймд V = a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2 ) гэж гарна. a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2 ) томьёог хоёр кубийн ялгаврын томьёо гэнэ. Дээрх томьёоны b -г �(−b) -гээр сольж a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2 ) байхыг гаргаж болно. a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2 ) томьёог хоёр кубийн нийлбэрийн томьёо гэнэ. Энэ сэдвийн агуулгыг сурагчдад эзэмшүүлэхийн тулд дараах хэлбэрийн бодлогууд бодуулах хэрэгтэй. Жишээ 1. 27c3 + 0.008d 3 илэрхийллийг үржигдэхүүн болгон задал. Бодолт. Илэрхийллийг кубийн нийлбэрийн томьёо ашиглан үржигдэхүүн болгон задалбал ( )27c3 + 0.008d 3 = (3c)3 + (0.2d )3 = (3c + 0.2d ) (3c)2 − 3c ⋅0.2d + (0.2d )2 = (3c + 0.2d ) (9c2 − 0.6cd + 0.04d 2 ) болно. ( ) ( )Жишээ 2. 3 7 − 3 5 3 49 + 3 35 + 3 25 утгыг ол. Бодолт. Кубийн ялгаврын томьёог урвуугаар ашиглавал 33 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 7 − 3 5 3 49 + 3 35 + 3 25 = 3 7 − 3 5 3 72 + 3 7 ⋅5 + 3 52 = 3 7 − 3 5 = 7 − 5 = 2 болно. Жишээ 3. x + 1 = −1 бол x3 + 1 илэрхийллийн утгыг ол. x x3 Бодолт. x3 + 1 илэрхийллийг кубуудийн нийлбэрийн томьёог хэрэглэн үржигдэхүүн болгон x3 задалбал x3 + 1 = x+ 1 x2 −1+ 1 болно. Хоёрдугаар үржигдэхүүнээс гүйцэд квадрат ялган, x3 x x2 утгыг орлуулбал x + 1 x2 −1+ 1 = x + 1 x + 2 = −1 (−1)2 − 3 = −1 ( −2 ) = 2 гэж гарна. x x2 x − 3 1 x 7
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном Дасгал 1. Илэрхийллийг үржигдэхүүн болгон задал. а. 763 − 213 б. 0.125a3 + 0.001b3 в . 1 a3 − 8 b3 ( )3 64 27 г. 3a + 2 − 2 2 2. Илэрхийлллийг хялбарчил. в. (2a + 3b)3 − (2a − 3b)3 ( ) ( )( )а. (a − 4b) a2 + 4ab +16b2 б. 3 2x − 3 y 3 4x2 + 3 2xy + 3 y2 3. Адилтгалыг батал. 18 18 1 + 1 2 − 6 ( 1 + 2 − 8b + a = 28a 3a3 2b3 9a3 ab )3 4b3 4. y = 1 бол 2 y3 + 9 − ( y −1) ( y2 + y +1) илэрхийллийн утгыг ол. 2 МАТРИЦ 3×3 хэмжээстэй матрицын тодорхойлогч Бид 2 мѳр 2 баганатай матрицын хувьд тодорхойлогчийг хэрхэн бодох талаар ѳмнѳ нь үзсэн билээ. a b c Тэгвэл 3 мѳр 3 баганатай A = d e f матрицын хувьд g h i + + +− − − a b c a b d e f d e g h i g h det A = a ⋅e ⋅i + b ⋅ f ⋅ g + c ⋅ d ⋅ h − a ⋅ f ⋅ h − b ⋅ d ⋅i − c ⋅e ⋅ g зурагт үзүүлснээр улаан сумын дагуу байрлалтай тоонуудыг үржүүлж, дээрээ нэмэх тэмдэгтэй эхний гурван үржвэрийг нэмэх тэмдэгтэйгээр, харин дээрээ хасах тэмдэгтэй дараагийн гурван үржвэрийг хасах тэмдэгтэйгээр тус тус авч хооронд нь нэмэхэд гарах det A = a ⋅e ⋅i + b ⋅ f ⋅ g + c ⋅ d ⋅ h − a ⋅ f ⋅ h − b ⋅ d ⋅i − c ⋅e ⋅ g тоог A матрицын тодорхойлогч гэнэ. Мѳн дараах маягаар аль тоонуудыг үржүүлж нэмэх, аль тоонуудыг үржүүлж хасахаар авахаа бодож болдог. Энд зураасаар холбогдсон гурвалуудыг хооронд нь үржүүлж, дээрээ нэмэх тэмдэгтэйг нэмэх тэмдэгтэй, хасах тэмдэгтэйг хасах тэмдэгтэйгээр авч хооронд нь нэмнэ. +− 21 3 Жишээ 1. 4 −1 2 матрицын тодорхойлогчийг ол. 1 3 −2 Бодолт. 21 3 4 −1 2 = 2⋅(−1)⋅(−2) +1⋅ 2⋅1+ 3⋅ 4⋅3 − 2⋅ 2⋅3 −1⋅ 4⋅(−2) − 3⋅(−1)⋅1 = 4 + 2 + 36 −12 − (−8) − (−3) = 41 1 3 −2 болно. Тодорхойлогч нь тэг болон тэг биш байх тѳрѳл бүрийн жишээ бодлого бодуулах хэрэгтэй. 8
XМатематик анги ДАСГАЛ 1 2 5 2 −2 5 1. 3 4 1 , 1 −1 0 матрицуудын тодорхойлогчийг ол. 2 1 2 3 1 3 2 −2 5 2. A = 1 −1 0 бол 2 A2 − 3A матрицыг олж тодорхойлогчийг ол. 3 1 3 3×3 матрицын урвуу матриц 1 0 0 Өмнѳ нь 3×3 болон бусад хэмжээстэй матрицууд дээрх үйлдлүүд болон E = 0 1 0 гэсэн 3×3 0 0 1 хэмжээстэй нэгж матрицын тухай судалсан. Тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай 2×2 хэмжээстэй A матрицын хувьд A⋅ A−1 = E нѳхцѳл биелдэг. Энэ нөхцөл нь A гэсэн 3 мѳр 3 баганатай матрицын хувьд мѳн биелнэ. a b c x1 x2 x3 Иймд A = d e f матрицын урвуу матрицыг A−1 = y1 y2 y3 гэвэл g h i z1 z2 z3 a b c x1 x2 x3 1 0 0 d e f y1 y2 y3 = 0 1 0 гэсэн матрицан тэгшитгэл гарна. Үүнийг g h i z1 z2 z3 0 0 1 a b c x1 1 a b c x2 0 a b c x3 0 d e f y1 = 0 , d e f y2 = 1 , d e f y3 = 0 g h i z1 0 g h i z2 0 g h i z3 1 гэсэн гурван матрицан тэгшитгэлд шилжүүлж болох бѳгѳѳд эдгээр нь 3 хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд юм. Эдгээр систем бүрийг бодох замаар x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 утгуудыг олж, урвуу матрицыг олно. Хэрэв A матрицын тодорхойлогч нь тэг бол дээрх тэгшитгэлийн системүүд шийдгүй тул урвуу матриц олдохгүй гэдгийг жишээн дээр тайлбарлаарай. ДАСГАЛ 1 2 5 2 −2 1 3 2 1 1. а. 3 1 1 б. 1 −1 0 в. −1 −1 0 матрицуудын урвууг ол. 2 4 2 3 1 3 2 1 1 ТЭГШИТГЭЛ, ТЭНЦЭТГЭЛ БИШ Квадрат тэгшитгэлд шилждэг тэгшитгэл Квадрат тэгшитгэлд шилждэг илтгэгч тэгшитгэл A⋅ a2 f (x) + B ⋅ a f (x) + C = 0 , A⋅ a f (x) + C ⋅ a− f (x) + B = 0 ба A⋅ a2 f (x) + B ⋅ a f (x)b f (x) + C ⋅b2 f (x) = 0 хэлбэрийн илтгэгч тэгшитгэлийг орлуулгын аргаар квадрат тэгшитгэлд шилжүүлж бодож болно. Жишээ 1. 32x − 4⋅3x = 45 тэгшитгэлийг бод. Бодолт. Энэ тэгшитгэлийг бодохын тулд эхлээд 3x = a гэсэн орлуулгыг хийе. Тэгвэл a2 − 4a − 45 = 0 гэсэн квадрат тэгшитгэлд шилжинэ. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох томьёо ёсоор a1, 2 = −(−4) ± (−4)2 − 4⋅1⋅(−45) = 4 ± 196 буюу шийдийн олонлог нь {−5, 9} болно. Анхны 22 орлуулгад буцааж орлуулж бодвол 3x ≠ −5 /эерэг тоог дурын зэрэгт дэвшүүлэхэд эерэг/ буюу 3x = 9 9
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном болно. Эндээс x = 2 гэсэн шийд олдоно. Жишээ 2. 21+x − 23−x = 15 тэгшитгэлийг бод. Бодолт. Тэгшитгэлийг эхлээд хялбарчилж, 2x = a гэсэн орлуулга хийе. Тэгвэл 2a2 −15a − 8 = 0 квадрат тэгшитгэлд шилжинэ. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох томьёо ёсоор (−15)2 − 4⋅ 2⋅(−8) = 15 ± 289 2⋅2 4 −(−15) ± −1, болно. Анхны 2 { }a1,2 = буюу шийдийн олонлог нь 8 орлуулгад буцааж орлуулбал 2x ≠ − 1 /эерэг тоог дурын зэрэгт дэвшүүлэхэд эерэг/ буюу 2x = 8 2 болно. Эндээс x = 3 болно. Жишээ 3. 64⋅9x − 84⋅12x + 27 ⋅16x = 0 тэгшитгэлийг бод. Бодолт. Тэгшитгэлийг бодохын тулд эхлээд тэнцэтгэлийн хоёр талыг 16x -д хуваагаад 3 x = a 4 гэсэн орлуулга хийе. Тэгвэл 64a2 − 84a + 27 = 0 квадрат тэгшитгэлд шилжинэ. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох томьёо ёсоор −(−84) ± (−84)2 − 4⋅64⋅ 27 = 84 ± 144 буюу a1, 2 = 2⋅64 128 { }шийдийн олонлог нь 9, 3 болно. Анхны орлуулгад буцааж орлуулбал 3 x 9 буюу 3 x = 3 16 4 4 = 4 4 16 болно. Эндээс x1 = 1 буюу x2 = 2 болно. Буцах тэгшитгэл Тодорхойлолт: ax3 + λbx2 + λ2bx + λ3a = 0 ба ax4 + bx3 + cx2 + λbx + λ2a = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг гурав ба дөрвөн зэргийн буцах тэгшитгэл гэнэ. Энд λ тэгээс ялгаатай тогтмол тоо, a ≠ 0 =байна. Жишээ 4. 2x3 + 3x2 + 3x + 2 = 0 тэгшитгэлийг бод. Бодолт. Өгсөн тэгшитгэл нь λ = 1 байх гурван зэргийн буцах тэгшитгэл байна. Иймээс 2x3 + 3x22+x33+x 3+2x2x23=++303x⇔x+2г+э22д3=xгx3э0+эс⇔2 +=230xx3⇔2++232+x33=+x022+⇔+33x2x(=2x+03 3+⇔x1б)=у2+ю0(3xу⇔x3 (+x12+)(+1x)33+=x1(0)x⇔++31x()x(=x+0+1⇔)1()2=x(x20+⇔1xб)+о((2лx2xо+)2х1=+)(0xб2а+x22э+)н=xд+0ээ2с) = 0 + 3x(x +1) = 0 ⇔ (x +1)(2x2 + x + 2) = 0 болно. Иймд x = −1 гэсэн шийдтэй ба 2x2 + x + 2 = 0 квадрат тэгшитгэлийг бодвол дискриминант нь сөрөг тоо гарах тул уг тэгшитгэл шийдгүй болно. Анхны тэгшитгэлийн шийд нь x = −1 болно. Жишээ 5. ax3 + λbx2 + λ2bx + λ3a = 0 тэгшитгэлийг бод. Бодолт. Өгсөн гурван зэргийн буцах тэгшитгэлийг Жишээ 2 -ын адил үржигдэхүүн болгон задалбал ax3 + λbx2 + λ2bx + λ3a = 0 ⇔ aa(гxэ3д+гэλэbс3 )x+2 +λλbбx2үb(xлэ+глλэ)3вa=э=л00⇔⇔(xa+(xλ3 )+(aλx32)−+λabx(+xλ+2λa )+=λ0bx⇔) =(0xб+олλо)(хax2 − λбаax + λ2a + λ bx(x + λ) = 0 ⇔ (x + λ)(ax2 − λax + λ2a + λbx) = 0 болно. Эндээс уг тэгшитгэлийн нэг шийд нь x = −λ болно. Мөн ax2 − λ(a − b)x + λ2a = 0 квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд анхны гурван зэргийн буцах тэгшитгэлийн шийд болно. Дүгнэлт: Гурван зэргийн буцах тэгшитгэлийн хувьд x = −λ нь ямагт шийд болно. Жишээ 6. 9x4 − 6x3 −18x2 − 2x +1 = 0 тэгшитгэлийг бод. 22 Бодолт. 9x4 − 6x3 9−x148−x62 −x32−x1+81x=2 −02⇔xг+9э1дxг=4э−0эс6⇔x3 9−x148−x62 −x3−1318⋅x62x−+1313⋅6⋅x9+=013 ⋅9 = 0 учраас өгсөн тэгшитгэл нь λ=1 байх дөрвөн зэргийн буцах тэгшитгэл болно. Иймээс уг тэгшитгэлд x=0 гэсэн 3 шийд байхгүй учраас уг тэгшитгэлийг бодохдоо тэнцэтгэлийн хоёр талыг x2 -д хуваавал анхны тэгшитгэл 9x2 − 6x −18 − 1 ⋅ 6⋅ 1 + 1 2 ⋅ 9 ⋅ 1 =0 буюу 9 x2 + 1 − 6 x + 1 −18 = 0 тэгшитгэл 3 x 3 x2 9x2 3x тэй адил чанартай болно. Уг тэгшитгэлд x+ 1 = y орлуулга хийе. Тэгвэл x2 + 1 = y2 − 2 болох ба 3x 9x2 3 эндээс 9 y2 − 2 − 6 y −18 = 0 буюу 9 y2 − 6 y − 24 = 0 гэсэн квадрат тэгшитгэлд шилжинэ. Уг квадрат 3 10
XМатематик анги = − 41 тэгшитгэлийн шийд нь y = 2 буюу y болно. Уг шийдүүдээ орлуулгадаа тавьбал x + 3x = 2 2 3 1 буюу x + 1 = − 4 гэсэн хоёр тэгшитгэл гарна. Эндээс 3x2 − 6x +1 = 0 буюу 3x2 + 4x +1 = 0 гэсэн 3x 3 квадрат тэгшитгэлүүд гарах ба эдгээр тэгшитгэлээ бодвол анхны тэгшитгэлийн шийдийн олонлог нь −1, −1, 3− 6, 3+ 6 болно. 3 3 3 1. Дараах тэгшитгэлийг бод. Дасгал в. 4x2 − 2x2 − 2 = 0 а. 22x − 3⋅ 2x+2 + 32 = 0 г. 41+x + 41−x = 10 б. 4 + 22x − 6x = 18⋅32x е. 4x2+2 − 9 ⋅ 2x2+2 + 8 = 0 д. 52x − 2 ⋅5x −15 = 0 ё. 32x−1 −12 ⋅3x + 81 = 0 ж. 4 x2 −2x+1 + 2 = 9 ⋅ 2 x2 −2x з. 43x2 +x − 8 = 2 ⋅ x2 +x 3 8 2. Дараах тэгшитгэлийг бод. б. 9 ⋅ 22x+2 − 45⋅ 6x − 32x+4 = 0 в. 52x − 5x − 600 = 0 а. 64⋅9x − 84⋅12x + 27 ⋅16x = 0 д. 3x + 9x−1 − 810 = 0 е. 9x − 3x − 6 = 0 г. 5⋅ 23x−3 − 3⋅ 25−3x = −7 ж. 4x + 2x+1 = 80 25 е. 32 x − 4 ⋅3 x + 3 = 0 з. 4 + 3x −1 = 3x−1 3. Дараах тэгшитгэлийг бод. б. 4x − 3⋅ 2x − 4 = 0 в. 42x+2 + 4x −1 = 0 а. 9x − 3x+1 = 54 б. 4 ⋅9x − 7 ⋅12x + 3⋅16x = 0 в. 32x+1 − 2 ⋅15x − 52x+1 = 0 а. 6 ⋅ 4x − 6x −12 ⋅9x = 0 б. 72x−3 = 7x−2 + 6 в. 3x + 5⋅32−x = 14 а. 9x −12 ⋅3x + 27 = 0 d. 3⋅ 25x − 8⋅15x + 5⋅9x = 0 в. 5x − 6 ⋅5−x = 3.8 в. 32x−3 − 8 ⋅3x−2 = 3 4. Дараах тэгшитгэлийг бод. а. x4 + 2x3 − 34x2 +14x + 49 = 0 б. 2x4 + 3x3 −16x2 + 3x + 2 = 0 в. x4 + 4x3 − 2x2 −12x + 9 = 0 г. 2x4 + 9x3 − x2 + 9x + 2 = 0 д. 6x4 −13x3 +12x2 −13x + 6 = 0 . 4x4 +12x3 − 47x2 +12x + 4 = 0 б. 12x4 −16x3 −11x2 −16x +12 = 0 5. Дараах тэгшитгэлийг бод. а. x + 1 = 2 б. x + 1 = 2 в. x + 1 =2 г. x + 1 = 2 д. x + 1 =2 3x 3x 3x 3x 3x е. x + 1 = 2 ё. x + 1 =2 ж. x + 1 =2 з. x + 1 =2 д. 3x 3x 3x 3x 3 хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем бодох, хэрэглэх Сурагчид 2 хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг өмнөх ангиудад болон заавал судлах агуулгаар судалсан. Одоо 3 хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх болон орлуулах аргаар бодно. Үүний тулд x хувьсагчийг агуулсан тэгшитгэлийг эхний тэгшитгэл болгон аваад уг тэгшитгэлээ тоогоор үржүүлж хоёр ба гуравдугаар тэгшитгэл дээр нэмэх замаар эдгээр тэгшитгэлийн x хувьсагчийг зайлуулна. Дараа нь хоёр ба гуравдугаар тэгшитгэлийн y хувьсагчийг агуулсан тэгшитгэлийг хоёрдугаар тэгшитгэл болгон авч уг тэгшитгэлээ тоогоор үржүүлж гуравдугаар тэгшитгэл дээр нэмэх замаар уг тэгшитгэлийг зөвхөн z хувьсагчаас хамаарсан болгоно. Гуравдугаар тэгшитгэлээс z хувьсагчаа олж хоёрдугаар тэгшитгэлд орлуулж y хувьсагчийг олох ба y, z хувьсагчдыг эхний тэгшитгэлд орлуулан x хувьсагчийг олно. Энэ аргыг Гауссын арга гэнэ. x+ y− z =1 Жишээ 7. Шугаман тэгшитгэлийн системийг бод. x + 3y + z = 9 x − 3y + 2z = −1 Бодолт. Системийн эхний тэгшитгэлийг хэвээр нь бичнэ. Эхний тэгшитгэлийг −1 -ээр үржүүлж, 2 ба 3 дугаар тэгшитгэл дээр нэмэхэд харгалзан гарах тэгшитгэлүүдийг системийн 2 ба 3 дугаар 11
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном x+ y− z =1 тэгшитгэл болгон бичвэл дараах систем гарна. 2 y + 2z = 8 . Системийн 2 дугаар тэгшитгэлийг − 4 y + 3z = −2 2-т хувааж 2 дугаар тэгшитгэл болгон бичээд, түүнийг 4-өөр үржүүлж 3 дугаар тэгшитгэл дээр x+ y− z =1 нэмбэл дараах систем үүснэ: y + z = 4 . Энэ системийн 3 дугаар тэгшитгэлээс z = 2 гэж гарна. 7z =14 Энэ утгыг 2 дугаар тэгшитгэлд орлуулбал y + 2 = 4 болох ба эндээс y = 2 гэж гарна. Энэ хоёр утгаа 1 дүгээр тэгшитгэлд орлуулбал x + 2 − 2 =1 буюу x =1 гэж гарна. Иймд системийн шийд нь (1, 2, 2) байна. Санамж. Эхний тэгшитгэлээс z = x + y −1 гэж илэрхийлээд хоёр, гуравдугаар тэгшитгэлд орлуулж x ба y гэсэн хоёр үл мэдэгдэгчтэй тэгшитгэлүүд гарган авч, тэдгээрийн системийг бодож x ба y -ийг олоод z = x + y −1-д орлуулан z -ийг олж болно. Энэ аргыг орлуулах арга гэнэ. Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем бодоход хүргэдэг бодлого Параболын тэгшитгэлийг олох, хавтгайн тэгшитгэлийг олох, бөмбөлгийн төвийг олох (огторгуйд өгсөн гурван цэгээс ижил зайд орших цэгийн координатыг олох), бутархай рационал функцийн интеграл бодох үед гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем бодох хэрэгтэй болдог. Жишээ 1. y = ax2 + bx + c функцийн график (1, 2) , (2, 0) ба (3, 0) цэгүүдийг дайрдаг бол a, b, c коэффициентийг ол. Бодолт. Өгсөн цэгүүдийн координатыг функцийн томьёонд орлуулбал a + b + c = 2 4a + 2b + c = 0 гэсэн шугаман тэгшитгэлийн систем үүснэ. Энэ системээс a = 1, b = −5, c = 6 гэж 9a + 3b + c = 0 олдоно. Иймд функцийн томьёо нь y = x2 − 5x + 6 болно. Дасгал. Гурван тооны нийлбэр 10-тай тэнцүү. Эхний тоог 3-аар үржүүлж 3 дугаар тооноос хасвал 2 дугаар тоотой тэнцүү тоо гарна, харин 2 дугаар тоог 3-аар үржүүлж 1 дүгээр тоон дээр нэмбэл 3 дугаар тооноос 5 дахин их тоо гарна. Эдгээр тоог ол. Санамж. Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийд нь бутархай тоо гарах, шийдгүй эсвэл төгсгөлгүй олон шийдтэй байж болно. A+B+C =0 Жишээ 2. 8A + 4B + 6C = 8 систем тэгшитгэлийг бод. Бид бичиглэлийг товчлохын тулд “эндээс 15A + 3B + C = 0 мөрдөн гарна” гэсэн утгатай ⇒ тэмдгийг хэрэглэн бодолтоо бичих болно. A+B+C =0 A+B+C =0 C = −A − B 8A + 4B + 6C = 8 ⇒гэд4гAээ+с 2Bэх+н3иCй =т4эг⇒шит4гAэл+э2эсB +c3-г(− Aол−жB)2=,34-⇒р тэгшитгэлд орлуулбал Бодолт. 15A + 3B + C = 0 15A + 3B + C = 0 15A + 3B + (− A − B) = 0 B+C =0 C = −A − B C = −A − B C = −A − B C = −A − B + 2B + 3C = 4 ⇒ 4A + 2B + 3(− A − B) = 4 ⇒буюу ⇒болBно=. A2−-р4 тэгшитг⇒элээAс −BB-г= 12тэ, гBш=и−тг3э12лд= 7 + 3B + C = 0 15A + 3B + (− A − B) = 0 A − B =4 14 A 4олж⇒3A-р= − 2 , C = 3 2B + 2 ( A − 4) = 0 8A = 4 14A + = 0 C = − A −CB = − A−CB= − A −CB = − A − B C =C− A=−−CBA −= B− A − B 1A4−AB+ор=2лB4у1у=A4л0−бAа⇒B+л=2B14B4==A0A+⇒−2 (4A1B4−=A4A+) =−2 0(4A⇒б−ую48A)уA=−=0BBA⇒4=== 412A8A−A⇒−4=BA4=э=н4д12э,э⇒Bс =A−=31212,=B−=72−,3C12==3−. 7 2 , C = 3. 12
XМатематик анги x + y + 2z = 6 Жишээ 3. Тэгшитгэлийн системийг бод. x − y+ z =2 . x + y + 2z = 6 −2x + 2 y − 2z = −4 Бодолт. x − y + z = 2 ⇒ 2 дугаар тэгшитгэлийг −2 -оор үржүүлбэл 3 дугаар тэгшитгэл гарах −2x + 2 y − 2z = −4 тул 3 дугаар тэгшитгэлийг орхиж болно. Эхний тэгшитгэлийн –1-ээр үржүүлж хоёрдугаар тэгшитгэл дээр нэмбэл x + y + 2z = 6 болох ба сүүлийн тэгшитгэлээс y-ийг олбол − y − 3z = −4 x = 8 − 3z , y = 4 − 3z гэж гарах ба z ∈ R . Энд z -ийн дурын утга бүрд харгалзах x ба y -ийн утга 22 олдоно. Иймд тэгшитгэл 8 − 3z , 4 − 3z , z хэлбэрийн төгсгөлгүй олон шийдтэй. 2 2 3x − 2y + 5z = 7 Жишээ 4. Тэгшитгэлийн системийг бод. −x + y − 3z = −3 . −2x + y − 2z = −2 Бодолт. Системийн гурван тэгшитгэлийг нэмбэл 0 = 2 худал тоон тэнцэтгэл гарлаа. Иймд энэ тэгшитгэлийн систем шийдгүй. Дасгал 1. Тэгшитгэлийн системийг бод 2x − 3y + z = −1 3x + 2 y + z = 20 x + 2 y + 5z = −9 а. 5x + 2 y − z = 0 б. 4x −10z = −10 в. x − y + 3z =2 x − y + 2z = 3 −x − 2 y + 2z = −1 3x − 6 y − z = 25 2. Тэгшитгэлийн систем зохиож бод. 150 кг масстай гурван хэсэг хайлш байв. 1 дүгээр хайлш 60%, 2 дугаар хайлш 30%, 3 дугаар хайлш 10% зэс агуулна. Хоёр ба гурав дугаар хайлшид буй нийт зэс нэгдүгээр хайлшийн зэсээс 28.4 кг -аар бага, харин гуравдугаар хайлш хоёрдугаараас 6.2 кг -аар бага зэстэй. Хайлш тус бүрийн массыг ол. Санамж: 1. Тэгшитгэлүүдийг тоогоор үржүүлж, нэмэхдээ эерэг сөрөг тооны үйлдлийн алдаа гаргадаг. Үүнээс зайлсхийхийн тулд алхам бүрээ эргэн хянах, олсон шийдээ тэгшитгэл бүрд орлуулж шалгаж байх хэрэгтэй. 2. Тэгшитгэлийн систем шийдгүй үед дүгнэлтийг буруу эсвэл дутуу гаргадаг. Шийдгүй системтэй тааралдаж байгаагүй сурагчид яахаа мэдэхээ больж өөртөө итгэхгүй байдалд ордог. Иймээс ийм систем сурагчдаар заавал бодуулсан байх хэрэгтэй. 3. Төгсгөлгүй олон шийдтэй байх тохиолдлыг заавал авч үзэж, шийдийг томьёо хэлбэрээр гаргаж сурах хэрэгтэй. Тоон олонлог дээрх үйлдэл хийх, Эйлер-Веннийн диаграмм ашиглан олонлогийг дүрслэх, тэдгээрийн хамаарлыг илэрхийлэх. Тодорхой шинж чанарын дор цуглуулсан зүйлийг олонлог гэдэг. Жишээ нь ангийн хүүхдийн олонлог, монголын цагаан толгойн үсгүүдийн олонлог, нарурал тоон олонлог, бодит тоон олонлог гэх мэт. Олонлогийг бүрдүүлж буй зүйлсийг элемент гэнэ. А олонлог төгсгөлөг тооны элментээс тогтсон бол=A -аа5р=, АBоло3нлогийн элментийн тоог тэмдэглэнэ. Жишээ. A = {1, 2, 4, 5, 7} ба B = {1, 4, 5} хоёр тоон олонлог авъя. Тэгвэл=A 5=, B 3 болно. Өөрөөр хэлбэл A олонлог 5, B олонлог 3 элементтэй гэсэн үг. 2∈ A, б2у∉юBу 2 нь А олонлогт орно, Харин 2∈ A, 2∉ B буюу 2 нь B олонлогт харьяалагдахгүй эсвэл орохгүй байна гэдгийг илэрхийлж байна. Энэ нь 2-ын тоо A олонлогийн элемент, B олонлогийн элемент биш болохыг илэрхийлж байна. Авч үзэж буй бүх зүйлийг агуулсан олонлогийг универсаль олонлог гээд Ω-оор тэмдэглэнэ. 13
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном Жишээндэх В олонлогийн хувьд А олонлог универсаль олонлог нь болж болно. Эсвэл А, В-ийг хоёуланг нь агуулсан өөр нэг олонлог Ω = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} олонлог универсаль олонлог болж болно. Ω -ийн аливаа дэд олонлог А-ийн хувьд Ω дахь А-д ороогүй бүх элементийн олонлогийг А олонлогийн гүйцээлт гээд A′ =г{э0ж, 3т,э6м, 8д,э9г}лэдэг. Ω = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} универсаль олонлогийн хувьд A′ = {0, 3, 6, 8, 9} болно. Хэрвээ А-ийн элемент бүр В-ийн элемент болж байвал А-г В-ийн дэд олонлог гээд A ⊆ B гэж тэмдэглэнэ. Манай жишээнд B ⊆ A байна. Олонлогийн дэд олонлог, жинхэнэ дэд олонлог гэсэн ялгаатай 2 ойлголт байдаг. ⊆ тэмдэг нь тоон ≤=тэмдэгтэй төстэй гэж ойлгож болно. B ⊆ A гэж бичсэн тохиолдолд В = A байхыг зөвшөөрнө гэсэн үг. Үүний адилаар ⊂ тэмдэг нь < тэмдэгтэй ижил юм. B ⊂ A гэж бичсэн байвал B-ийн элемент бүр A-ийн элемент болох ба А-д В-д ордоггүй элемент байгаа гэсэн үг. Жишээ нь зураг дээрх зөв олон өнцөгтүүдийн олонлог нь олон өнцөгтүүдийн олонлогийн жинхэнэ дэд îëîí ºíöºãò¿¿ä ºÇíºâöºîãëòî¿í¿ä олонлог болно. Сэдвийн эхэнд авч үзсэн жишээний хувьд B ⊂ A юм. Ямар ч элементгүй олонлAогиBйг= ∅ буюу хоосон олонлог гэнэ. Аливаа олонлог өөрийнхөө дэд олонлог болох ба хоосон олонлог аливаа хоосон биш олонлогийн жинхэнэ дэд олонлог болно. Өөрөөр хэлбэл A ⊆ A ба ∅ ⊂ A . А ба В-ийн ядаж нэгэнд нь харъяалагдах элементийн олонлогийг А ба В-ийн нэгдэл гээд A B гэж тэмдэглэнэ. Манай жишээнд A B = {1, 2, 4, 5, 7} буюу A B = A байна. Учир нь B ⊂ A юм. А ба В-д хоёуланд нь харьяалагдах элементүүдээс тогтох олонлогийг А ба В-ийн огтлолцол гээд AB гэж тэмдэглэнэ. Манай жишээнд B ⊂ A учраас A B = {1, 4,5} = B болно. Дээрх бүгдийг Эйлер-Веннийн диаграмаар харуулбал дараах зураг гарна. Ω 2-оос олон олонлогийн хувьд тэдгээрийн нэгдэл, огтлолцлыг дээрхийн адилаар A B тодорхойлдог. A1, A2, A3,...An гэсэн n олонлогийн нэгдэл A1 A2 ... An 2, 7 1, 4, 5 -ийг тэдгээрийн ядаж нэгд нь харьяалагдах элементүүдийн олонлог гэж ойлгож болно. Үүнийг товчоор n Ai гэж тэмдэглэнэ. A′ 0, 3, 6, 8, 9 i=1 A1, A2, A3,...An олонлогуудын бүх олонлогт агуулагдах элементүүдийн олонлогийг эдгээр олонлогуудын огтлолцол гээд A1 ... Am , буюу товчоор n Ai гэж тэмдэглэж болно. i=1 Жишээлбэл зураг дээрх будсан хэсэг нь А,В,С гурван олонлогийн огтлолцол Ω буюу A B C -ыг дүрсэлж байна. C Олонлогуудын огтлолцол хоосон олонлог байж болно. Энэ үед тэдгээрийг үл AB огтлолцох олонлогууд гэх ба A B = ∅ гэж бичнэ. ДАСГАЛ 1. Дасгал 1. Амар, Болд, Даш, Гэрэл, Цэлмэг нар нийлж А хамтлагийг байгуулжээ. Мөн Болд, Гэрэл, Цэлмэг, Шижир, Ядам нар В хамтлаг байгуулав. а. А ба В хамтлагийн ерөнхий гишүүдийг нэрлээрэй. б. Дараа нь хоёр хамтлаг нэгдэж нэг С хамтлаг болов. С хамтлаг хэдэн гишүүнтэй вэ? 2. Дасгал 2. Эерэг бүхэл тэгш тооны олонлог ба эерэг бүхэл сондгой тооны олонлогийн нэгдэл ямар олонлог үүсгэх вэ? Энэ хоёр олонлогийн огтлолцол ямар олонлог үүсгэх вэ? 3. Дасгал 3. Цагаан толгойн 35 үсгийн олонлогийг универсал олонлог гэж авъя. Эгшиг үсгийн олонлогийн гүйцээлт нь ямар олонлог болох вэ? 4. Дасгал 4. Ангийн сурагчид А олонлог байг. Охидын олонлогийг В гэвэл А ба В-ийн хамаарлыг бичээрэй. Энэ ангийн хөвгүүдийн олонлогийг хэрхэн илэрхийлэх вэ? 5. Дасгал 5. Системийн шийдийг олоорой. Шийдийг дүрслээрэй. а. x2 − 7x + 6 = 0 б. x+7y = 2 в. 4x − 2 > 6 г. x+2y < 7 5x − 30 = 0 4x +11y = −9 5x + 8 < 2x + 26 6x − 3y < 9 14
XМатематик анги д. 2x −1< 7 e. 2x −1< 7 ё. 4x −1< −9 ж. x+2y <7 3x + 4 <19 x + 5 < 3x − 5 x +1< 5x − 7 6x − 3y < 9 6. А = {Шоо орхиход буух тоонуудын үржвэрүүд}, B ={40-өөс бага тэгш тоонууд}, Ω =={40 хүртэлх натурал тоонууд} гэсэн гурван олонлог өгчээ. а. Эдгээр олонлогуудыг Эйлер-Веннийн диаграммаар дүрслээрэй б. Дараах олонлогийн элементүүдийг жагсааж бичээрэй. A B , A′ , B′ в. Тооцоолж олоорой A B = ? , A B = ? , Ω = ? , ( A ∩ B) ∪ B′ = ? г. Дараах бичиглэлийн үнэн худлыг тогтоо A ⊂ B , B ⊂ A , A = A′ , A = B − 2 Эрэмбэлэгдсэн хосууд, эрэмбэлэгдсэн гуравт, эрэмбэлэгдсэн хосууд ба эрэмбэлэгдсэн гуравтуудын олонлог, тэдгээрийн чадал, комбинаторикийн үржвэрийн зарчим A = (a1, a2,..., aB ) ба B = {b1, b2,..., bn} гэсэн хоёр олонлог өгсөн байг. Тэгвэл=A m=, B n гэсэн үг. a1 элементийг хэчнээн янзаар В-ийн элементүүдтэй хослуулж болох вэ? Эдгээр нь (a1, b1 ) , (a1, b2 ) ,..., (a1, bn ) юм. Зөвхөн a1 элементийг n янзаар В олонлогийн элементүүдтэй хослуулж болж байна. Үүний адилаар А-ийн элемент бүрийг В-ийн элементүүдтэй n янзаар хослуулж болно. А олонлог m элементтэй тул a ∈ A, b∈ B байх (a, b) нийт хосын тоо m ⋅ n -тэй тэнцүү. a ∈ A, b∈ B байх (a, b) хосыг эрэмбэлэгдсэн хос гэж нэрлэдэг. Эрэмбэлэгдсэн хосуудын олонлогийг С гэвэл түүний элементийн тоо нь C = A ⋅ B байна гэж дүгнэж болно. Үүний адилаар эрэмбэлэгдсэн гуравтуудын олонлог болон түүний элементийн тоог тодорхойлно: A = (a1, a2,..., aB ) , B = {b1, b2,..., bn} , C = {c1, c2, ..., ck } олонлогууд өгсөн бол a ∈ A, b ∈ B, c ∈C байх ( a, b, c ) эрэмбэлэгдсэн гуравтын олонлог m ⋅ n ⋅ k элементтэй байна. Ерөнхий тохиолдолд=A1 n=1, A2 n2,..., Ak = nk байх A1, A2,..., Ak олонлогууд өгсөн бол a1 ∈ A1, a2 ∈ A2,..., ak ∈ Ak байх (a1, a2, ..., ak ) эрэмбэлэгдсэн k -туудын тоо нь n1 ⋅ n2 ⋅...⋅ nk болно. Үүнийг комбинаторикийн үржвэрийн зарчим гэж нэрлэдэг. Жишээ 1. 1,2,3 цифрүүдийг ашиглан хэчнээн 2 оронтой тоо зохиож болох вэ? Бодолт. 2 оронтой тоог ab гэвэл a нь {1,2,3}, b нь мөн {1,2,3} олонлогоос утгаа авах тул үржвэрийн зарчмаар нийт 3⋅3 = 9 эрэмбэлэгдсэн хос үүснэ. Иймд 2 оронтой 9 тоо зохиож болно. Жишээ 2. Гурван оронтой, цифрүүд нь бүгд ялгаатай хэчнээн тоо байх вэ? Бодолт. Гурван оронтой тоог abc гэе. a нь A = {1, 2,..., 9} олонлогоос утгаа авна. b нь a -аас ялгаатай боловч, 0 байж болох тул мөн 9 элементтэй олонлогоос утгаа авна. c нь өмнөх хоёр оронгоос ялгаатай байх тул 8 ялгаатай утга авч чадна. Үржвэрийн зарчмаар нийт 9⋅9⋅8 = 648 ийм тоо байна. Жишээ 3. Улаанбаатар хотын автомашины дугаар УБ? ****, эсвэл УН? **** гэсэн 2 янз байна. Энд ? тэмдгийн оронд Монгол хэлний цагаан толгойн Ъ, Ь –ээс бусад үсэг, *-ны оронд дурын цифр байж болно. Улаанбаатар хотод ялгаатай дугаартай автомашин хэд байж болох вэ? Бодолт. Монгол хэлний цагаан толгой 35 үсэгтэй тул ? нь 33 ялгаатай утга авч чадна. * тус бүр 10 ялгаатай утга авна. Иймд УБ дугаартай машин 33⋅10⋅10⋅10⋅10 = 330000 байж болно. УН дугаар мөн төчнөөн байх тул Улаанбаатарын дугаартай машин нийт 330 000⋅ 2 = 660 000 байж болно. Үржвэрийн дүрмийг дараах байдлаар арай өөрөөр гаргаж болно. Даалгаврыг 2 үе шаттай гүйцэтгэдэг байг. 1 дүгээр үе шатыг n1 аргаар, арга тус бүрийн хувьд 2 дугаар үе шатыг n2 аргаар гүйцэтгэж болдог байвал даалгаврыг нийтэд нь n1 ⋅ n2 аргаар гүйцэтгэж болно. Жишээ 4. Та А, В, С гурван малгайтай, хар ба цагаан 2 цувтай байжээ. Аль ч малгай цув хоёрыг өмсөхөд танд таатай байдаг бол та малгай, цуваа хэдэн янзаар хослуулан сонгож чадах вэ? Бодолт. Даалгаврыг 2 үе шаттай гүйцэтгэе. 1 дүгээр шат – малгайгаа сонгох, 2 дугаар шат – цуваа сонгох. О цэгээс эхэлсэн 3 мөчир зурж төгсгөл дээр нь 1 дүгээр шатны 3 сонголтын нэрийг бичье. Энэ төгсгөлийн цэг бүрээс 2 дугаар шатны сонголтуудыг төлөөлөх мөчрүүд зурж, төгсгөл дээр нь 15
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном харгалзах сонголтын нэрийг бичнэ. Үр дүнд нь доорх зураг үүснэ. Үүнийг модны схем гэж нэрлэдэг. (Эхлээд цуваа, дараа нь малгайгаа сонгосон үед схем О-оос эхлээд 2 1− р цув мөчир, дараа нь мөчир тус бүрийн төгсгөлөөс 3 мөчмр салбарласан байдалтай зурагдана.) A малгай 2 − р цув Модны схемийн зам бүр малгай, цувны нэг сонголтыг төлөөлнө. 1 дүгээр В малгай 1− р цув шатны 3 мөчир тус бүрийн араас 2 дугаар шатны 2 мөчир салбарлаж O 2 − р цув байгаа тул нийт 2⋅3 = 6 зам байна. Модны схем нь үржвэрийн зарчмыг тайлбарлахад их тохиромжтой боловч С малгай 1− р цув сонголтууд олон бол зурахад төвөгтэй тул үе шат ба сонголтууд цөөн үед хэрэглэдэг. 2 − р цув ДАСГАЛ 1. Нисэх буудал 3 терминалтай бөгөөд терминал тус бүр нь 50 хаалгатай байв. Энэ нисэх буудлаас нэг зэрэг хэдэн нислэг хийх боломжтой вэ? 2. Улаанбаатараас Булган эсвэл Архангай хүрэх тус бүр 3 замтай, энэ аймгуудаас Хөвсгөл орох тус бүр 2 замтай байв. Улаанбаатараас эдгээр аймгуудаар дамжин хэдэн аргаар Хөвсгөл аймаг хүрч болох вэ? 3. а. ТОГТОЛЦОО гэдэг үгийн ялгаатай 4 үсгийг ашиглан хэчнээн 4 үсэгтэй үг (үг нь утгагүй байж болно) зохиож болох вэ? б. Үсгүүд давтагдаж болох үед хэчнээн 4 үсэгтэй үг зохиож болох вэ? (Жишээ нь ТТТТ гэсэн үг байж болно.) 4. 52 модтой хөзрөөс 4 хөзөр сугалахад 4 өөр өнгийн, 4 өөр тоотой хөзөр таарах хэчнээн боломж байгаа вэ? Олонлогуудын нэгдлийн чадал, комбинаторикийн нийлбэрийн зарчим Олонлогуудын нэгдэл, огтлолцлын хувьд дараах томьёо биелнэ. А ба В хоёр олонлогийн хувьд: A ∪ B = A + B − A ∩ B , Тухайн тохиолдолд, А ба В үл огтлолцох олонлогууд бол A B = A + B байна. А, В, С гурван олонлогийн хувьд A ∪ B ∪ C = A + B + C − A ∩ B − B ∩ C − A ∩ C + A ∩ B ∩ C байна. Үүнийг оруулах-гаргах зарчим буюу нэгтгэн зайлуулах зарчим гэдэг. Манай анхны жишээнд A = {1, 2, 4, 5, 7} ба B = {1, 4, 5} жишээний олонлогийн хувьд A ∪ B = A + B − A ∩ B = 5 + 3 − 3 = 5 юм. Бид мөнгийг яаж тоолбол хурдан зөв тоолох вэ? Мөнгөө дэвсгэртээр нь багцлаад багц бүрд хэдэн дэвсгэрт байгааг тоолж, нэмбэл хурдан, хялбар байдаг шүү дээ. Математикт үүний адилаар олонлогийн элемэнтийг тоолохдоо тоолох зүйлсээ үл огтлолцох хэсгүүдэд хуваагаад хэсэг тус бүрийн элемэнтийг тоолж нэмдэг. Үүнийг комбинаторикийн нийлбэрийн зарчим гэдэг. Тухайлбал A ба B олонлогуудын хувьд A B = ∅ бол A B = A + B байна. Жишээ. зөвхөн 1 ба 3 –ын цифрээр бичигдэх 1000-аас бага тоо хэчнээн байхыг тоолъё. Бодолт. Тоонуудаа 1 оронтой, 2 оронтой, 3 оронтой гэж 3 ангилан тоолъё. 1 оронтой тоо 2 ширхэг, 2 оронтой тоо үржвэрийн зарчмаар 2 ⋅ 2 = 4 , 3 оронтой тоо үржвэрийн зарчмаар 2⋅ 2⋅ 2 = 8 байна. Иймд нийт 2 + 4 + 8 = 14 тоо байна. ДАСГАЛ 1. а. Зөвхөн 1, 2, 3-ын цифрээр бичигдэх, 3-аас илүүгүй оронтой тоо хэд байх вэ? б. Зөвхөн 1, 2, 3-ын цифрээр бичигдэх, 3-аас илүүгүй оронтой тэгш тоо хэд байх вэ? в. Зөвхөн 1, 2, 3-ын цифрээр бичигдэх, 3-аас илүүгүй оронтой, цифрүүдийн нийлбэр нь 5 тай тэнцүү тоо хэд байх вэ? 2. A ={тэгш тоо}, B ={3-д хуваагдах тоо}, C ={5-д хуваагдах тоо}, Ω = {100-аас ихгүй натурал тоо} гэж өгсөн байвал A B C -ийг олоорой. /Хариу: 79/ 3. Үдэшлэгт ирсэн хүмүүсийн 10 нь цагаан цамцтай, 8 нь улаан цамцтай байв. 4 хүн хар гуталтай ба цагаан цамцтай байв. 3 хүн хар гутал ба улаан цамцтай байв. Улаан эсвэл цагаан цамц эсвэл хар гуталтай нийт 21 хүн байсан бол хэдэн хүн хар гуталтай байсан бэ? /Хариу:10/ 4. Цифрүүдийн нийлбэр нь 4 байх10000-аас үл хэтрэх тоо хэчнээн байх вэ? 16
XМатематик анги Пифагорын теорем ба тригонометр Огторгуйн бодлого бодоход тригонометр харьцааг ашиглах Бодлого 1. 1 см өндөртэй шулуун призмийн суурь 2 см талтай 30° хурц өнцөгтэй ромбо байв. Суурийн нэг ирмэгийг дайрсан суурийн хавтгайтай 60° өнцөг үүсгэх хавтгай огтлолыг байгуулав. Энэ огтлолын талбайг ол. Бодолт. A1 оройгоос B1C1 талд A1E өндөр буулгая. B1I үргэлжлүүлж AA1 -тэй огтлолцох цэгийг М гэе. EM-ийн IJ-тэй огтлолцох цэгийг F гэе. Тэгвэл F E огтлолд үүсэх M B1IJC1 параллелограммын өндөр болох ба огтлолын талбай L S = B1C1 ⋅ EF болно. A1B1 = 2, B1 = 30° тул IA JD B1 AE� тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд BF C =A1E 2=, B1E 3 болно. A1EM тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд E = 60° тул M = 30° ба эндээс ME = 2 болно sin 60° = A1M тул A1M = ME sin 60° = 3, E A1 C1 30° D1 ME B1 AM AM = 3 −1 болно. FMA тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд sin 60° = MF ( ) ( )тул MF = AM = 3 −1 2 3 −1 2 2 3 sin 60 ; FE = ME − MF = 2 − = болно. Огтлолын талбай 3 33 S = 2⋅2 3 = 4 3 . 33 Бодлого 2. Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидад багтсан бөмбөлгийн төв түүнийг багтаасан бөмбөлгийн төвтэй давхацдаг бол суурийн ирмэг дэх хоёр талст өнцгийг ол. F Бодолт: О нь багтсан бөмбөлөг болон багтаасан бөмбөлгийн төв байг. Суурийн талыг a, HMF = x гэе. Тэгвэл HMF гурвалжинд харьцаа бичвэл tg x = FH тул FH = a tg x болно. О нь багтсан HM 2 O бөмбөлгийн төв учраас OM нь HMF өнцгийн бисектрисс болно. A D Иймээс OHM гурвалжнаас OH = a tg x ба HOC гурвалжнаас HM 2 2 C B CH = 2 2 , CO = a 2 + tg2 x гарна. Багтаасан бөмбөлгийн төв О гэдгээс OC = OF гарна. Эндээс 2 22 FH = FO + OH = a tg x + a 2+ tg2 x = a tg x + 2+ tg 2 x = a tg x гэсэн тригонометр тэгшитгэл 2 22 2 2 2 2 2 2 tg x x t +t3 2 2 1−t2 гарна. Үүнийг бодъё. tg x = tg2 x задаргааг хэрэглэн, tg = t орлуулбал = 2 + t2 тэгшитгэл 1 − 2 гарна. 2 + t2 ≥ 0 Тодорхойлогдох муж болно. Тэгшитгэлийн тэнцүүгийн хоёр талыг квадрат зэрэг t +t3 1− t2 ≥0 t 2 + 2t 4 + t6 1− 2t2 + t4 ( )( )дэвшүүлэхэд = 2 + t2 буюу t 2 + 2t 4 + t6 = 2 + t 2 1− 2t 2 + t 4 болно. Эндээс 2t4 + 4t2 − 2 = 0 гэсэн биквадрат тэгшитгэл болно. t2 = s гэвэл 2s2 + 4s − 2 = 0 тэгшитгэлийн шийд гэдгээс s1,2 = −1± 2 болно. Иймд t2 = −1− 2 ба t2 = −1+ 2 хоёр тэгшитгэл үүсэх ба эхний тэгшитгэл шийдгүй ба хоёр 17
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном дугаар тэгшитгэлээс t = ± −1+ 2 гэсэн хоёр тоо олдоно. Тодорхойлогдох мужийг хангах эсэхийг шалгавал t = −1+ 2 шийд болно. Иймд tg x = −1+ 2 болж бидний олох 2 талст өнцөг 2 2 arctg −1+ 2 гарна. Бодлого 3. Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидад суурийн нэг талыг агуулсан хавтгай огтлол байгуулахад хажуу гадаргуугийн талбайг хагаслан хуваахаас гадна суурийн ирмэг дэх хоёр талст өнцгийг хагаслан хувааж байв. Хажуу талстын суурийн хавтгайтай үүсгэх өнцгийг ол. Бодолт. ABCDF зөв дөрвөн өнцөгт пирамидыг BCJ хавтгайгаар F огтлоход хажуу гадаргуугийн талбай болон суурийн хоёр талст өнцгийг хагаслан хувааж байг. IMJ Суурийн талыг a, хажуу талсын болох адил хажуут гурвалжны AL GD H P өндрийг h , GEF = x гэе. O =FEM =MEG x ба SBFC + SIFJ + 2SJFC = 2SDCJ + SADJI (1) нөхцөл 2 B EC FM + MG = h өгөгдсөн. SBFC = 1 ah, FM FE h гарна. Эндээс MG = ah , MF = h2 болно. 2 MG = EG = a a+h a+h DCJ гурвалжинд JP өндөр татъя. SDCJ = 1 a ⋅ JP болно. Тэгвэл JP олохын тулд FO апофем татъя. 2 JP = JD гэтэл MG = JD учраас JP = MG буюу JP = MG. Иймд SDCJ = 1 a ⋅ JP = a2h FO FD FG FD FO FG 2 2(a + h) болох ба SFCJ = SFCD − SDCJ = ah − a2h = ah2 . 2 2(a + h) 2(a + h) SIFJ = 1 FM ⋅ IJ ба IJ = ah тул SIFJ = ah3 болно. 2 a+h 2(a + h)2 ( ) (( ) )SAIJD a2h = S AFD − SIFJ 1 ah3 2 = 2 a + 2h гэж гарна. SBFC ,� � SIF� J , � SJF�C , � SDC� J , � SADJI -ийг = ah − a+h a+h 2 22 (1) нөхцөлд орлуулж ерөнхий хуваарьт оруулахад ( ) ah a2 + 2ah + h2 + ah3 + 2ah2 (a + h) = 2a2h(a + h) + a2h(a + 2h) 2(a + h)2 2(a + h)2 болох ба эндээс a = h 2 гарна. FEH тэгш өнцөгт гурвалжнаас cos x = a гарах ба a = h 2 2 2h гэдгийг ашиглавал cos x = болж эндээс x = 45° гарна. 2 ГЕОМЕТР ХУВИРГАЛТ Дараалсан хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх Математик X сурах бичгийн геометр хувиргалт сэдвийн хүрээнд зөвхөн дараах хүснэгтэд байгаа хувиргалтын матрицыг олох, хэрэглэх талаар судалсан. Харин энэ суралцахуйн зорилтын хүрээнд эдгээр хувиргалтыг дараалан хэрэглэж, нэг дүрс нөгөө дүрсэд хувирсан бол тухайн хувиргалтыг матрицаар хэрхэн илэрхийлэхийг судална. Хувиргалтын матрицын хүснэгт 18
XМатематик анги Хувиргалт Ox тэнхлэгийн Oy тэнхлэгийн y = x шулууны y = –x шулууны O(0,0) цэгийн хувь дахь тэгш хувь дахь тэгш хувь дахь тэгш хувь дахь тэгш хувь дахь тэгш Хувиргалтын хэм хэм хэм хэм хэм матриц 1 0 −1 0 0 1 0 −1 −1 0 0 −1 0 1 1 0 −1 0 0 −1 Хувиргалт O(0,0) төвтэй O(0,0) төвтэй O(0,0) төвтэй O(0,0) төвтэй k 90° =өнцгөөр 180° =өнцгөөр коэффициенттэй эргүүлэх (−90°) өнцгөөр эргүүлэх гомотет эргүүлэх Хувиралтын 0 −1 0 1 −1 0 k 0 1 0 −1 0 0 −1 y 0 k матриц 6 Тодорхойлолт. E ба F нь хувиргалт байг. Өгсөн дүрсийг эхлээд E -ээр хувиргаж гарсан дүрийг F -ээр хувиргадаг хувиргалтыг E ба F дараалсан хувиргалт гээд, FE гэж4 тэмдэглэе. y Бодлого 1. Координатын эх дээр төвтэй 90° =өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтийг E , y = −x шулууны хувь дахь 2 тэгш хэмийг F гэж тус тус тэмдэглэе. Тэгвэл A а. A дүрсийг FE хувиргалтаар хувирга, б. A дүрсийг EF хувиргалтаар хувирга. −6 −4 −2 O 2 4 6x Бодолт. а. A дүрсийг E хувиргалтаар хувиргаж гарах y = −x −2 y дүрийг A′ гэж тэмдэглэе (зураг). Өөрөөр хэлбэл A 6 дүрсийг O дээр төвтэй 90° =өнцгөөр эргүүлэхэд гарах A′ 4 дүрсийг A′ гэнэ. Дараа нь A′ дүрсийг F хувиргалтаар −4 хувиргаж гарах дүрийг A′′ гэж тэмдэглэе (зураг). Өөрөөр y2 хэлбэл y = −x шулууны графикийг зурж, A дүрсийг A′′ 6 A y = −x шулууны хувь дахь тэгш хэмээр хувиргахад гарах дүрсийг A′′ гэж тэмдэглэе. Ингэснээр FE хувиргалтаар −6 −4 −2 O 24 6x A дүрсийн дүр A′′ -ийг координатын хавтгайд байгууллаа. 4 б. Өмнөх тохиолдлын адил A дүрсийг F хувиргалтаар хувиргаж гарах дүрийг A′ гэж тэмдэглэе (зураг). Дараа нь y A′ дүрсийг E хувиргалтаар хувиргаж гарах дүрийг A′′ y = −x −2 2 A −4 гэж тэмдэглэе (зураг). Ингэснээр EF хувиргалтаар A−6 −4 −2 O 2 4 6x дүрсийн дүр A′′ -ийг координатын хавтгайд байгууллаа. A′′ Дүгнэлт. Дүрсийг FE ба EF хувиргалтаар хувиргахад −2 гарах дүрүүд нь тэнцүү байх албагүй. Бодлого 2. Хэрэв E ба F нь харгалзан A = a1 b1 ба −4 c1 d1 A′ B = a2 b2 гэсэн матрицтай хувиргалтууд бол FE хувиргалтын матрицыг ол. c2 d2 x1 a1 b1 x y1 c1 d1 y Бодолт. E хувиргалтаар ( x, y) координаттай цэгийн дүр ( x1, y1 ) гэвэл = � байна, F хувиргалтаар ( x1, y1 ) координаттай цэгийн дүр ( x2 , y2 ) гэвэл x2 = a2 b2 x1 байна. Тэгвэл y2 c2 d2 y1 FE хувиргалтаар ( x, y) координаттай цэгийн дүр ( x2 , y2 ) болно. Тэгвэл x2 = a2 b2 x1 y2 c2 d2 y1 томьёоны x1 матрицыг x1 = a1 b1 � x гэдгийг тооцвол x2 = a2 b2 a1 b1 x гэж y1 y1 c1 d1 y y2 c2 d2 c1 d1 y 19
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном гарах ба энэ нь FE хувиргалтын томьёо юм. Эндээс a2 b2 a1 b1 нь FE хувиргалтын матриц c2 d2 c1 d1 болно. Дүгнэлт. Хэрэв E ба F хувиргалтын матриц харгалзан A ба B бол FE хувиргалтын матриц нь BA байна Бодлого 3. Координатын эх дээр төвтэй (−90°) өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтийг E , y = −x шулууны хувь дахь тэгш хэмийг F гэж тус тус тэмдэглэе. а. FE хувиргалтын матрицыг олж, ямар хувиргалт болохыг ол. б. EF хувиргалтын матрицыг олж, ямар хувиргалт болохыг ол.. Бодолт. а. Хувиргалтын матрицын хүснэгтээс E хувиргалтын матриц 0 1 ба F хувиргалтын −1 0 матриц 0 −1 болно. Бодлого 2-д гаргасан үр дүнг ашиглаж FE хувиргалтын матриц −1 0 0 −1 0 1 = 1 0 болно. Одоо 1 0 нь ямар хувиргалтын матриц вэ гэдгийг −1 0 −1 0 0 −1 0 −1 FE хүснэгтээс харснаар FE нь Ox тэнхлэгийн хувь дахь тэгш хэм байна. б. EF хувиргалтын хувиргалтын матриц 0 1 0 −1 = −1 0 болно. Хүснэгтээс харснаар 0 −1 0 −1 0 1 −1 0 EF 0 1 нь Oy тэнхлэгийн хувь дахь тэгш хэмийн матриц тул EF нь Oy тэнхлэгийн хувь дахь тэгш хэм байна. Санамж E хувиргалтын матриц A ба F хувиргалтын матриц B байг. Тэгвэл AB = BA байх албагүй тул FE хувиргалтын матриц EF хувиргалтын матрицтай тэнцүү байх албагүй. Бодлого 4. E нь a b матрицтай хувиргалт ба F нь e вектороор параллел зөөлт байг. f b d а. FE хувиргалтын томьёог олж, матрицан хэлбэрт бич. б. FE хувиргалтын томьёог олж, матрицан хэлбэрт бич. Бодолт. а. E хувиргалтаар ( x, y) координаттай цэгийн дүр ( x1, y1 ) гэвэл x1 = ax + by байна. F y1 = cx + dy хувиргалтаар ( x1, y1 ) координаттай цэгийн дүр ( x2 , y2 ) гэвэл x2 = x1 + e байна. Тэгвэл x2 = x1 + e y2 = y1 + f y2 = y1 + f томьёоны x1 ба y1 -ийг x1 = ax + by гэдгийг тооцвол x2 = ax + by + e гэж гарах ба энэ нь FE y1 = cx + dy y2 = cx + dy + f хувиргалтын томьёо юм. Матрицын нэмэх ба үржүүлэх үйлдлээс x2 = ax + by + e томьёог y2 = cx + dy + f x2 a b x e y2 c d y f = + матрицан хэлбэрт бичиж болно. б. F хувиргалтаар ( x, y) координаттай цэгийн дүр ( x1, y1 ) гэвэл x1 = x + e байна. F хувиргалтаар y1 = y + f ( x1, y1 ) координаттай цэгийн дүр ( x2 , y2 ) гэвэл x2 = ax1 + by1 байна. Тэгвэл x2 = ax1 + by1 томьёог y2 = cx1 + dy1 y2 = cx1 + dy1 20
XМатематик анги x2 = a b x1 хэлбэрээр бичиж x1 ба y1 -ийг x1 = x + e гэдгийг тооцвол y2 b y1 y1 = y + f d x2 = a b x+e буюу x2 = a b x + e гэж гарах ба энэ нь EF хувиргалтын y2 b d y+ f y2 b d y f томьёоны матрицан хэлбэр болно. ДАСГАЛ 1. x = 0 шулууны хувь дахь тэнхлэгийн тэгш хэмийг T1 , y = 0 шулууны хувь дахь тэнхлэгийн тэгш хэмийг T2 , y = x шулууны хувь дахь тэнхлэгийн тэгш хэмийг T3 , y = −x шулууны хувь дахь тэнхлэгийн тэгш хэмийг T4 , O (0, 0) цэгт төвтэй 90° =өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтийг R1 , O (0, 0) цэгт төвтэй 180° =өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтийг R2 , O (0, 0) цэгт төвтэй (−90°) өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтийг R3 , O (0, 0) цэгт төвтэй, өгсөн k коэффициенттэй гомотетийг H гэж тус тус тэмдэгдэе. а. R1T1 хувиргалтын томьёог ол, б. R1H хувиргалтын томьёог ол, в. HT3 хувиргалтын томьёог ол, г. HR3 хувиргалтын томьёог ол, д. R1H хувиргалтын томьёог ол, е. T2R3 хувиргалтын томьёог ол, ё. R2T4 хувиргалтын томьёог ол. 2. E нь O (0, 0) төвтэй (−90°) өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлт, F нь y = x шулууны хувь дахь тэнхлэгийн тэгш хэм, G нь O (0, 0) төвтэй k коэффиценттэй гомотет, H 6 нь −2 вектороор 1 параллел зөөлт байг. 4 а. HE хувиргалтын томьёог ол, б. EH хувиргалтын томьёог ол, y в. HF хувиргалтын томьёог ол, г. FH хувиргалтын томьёог ол, A д. HG хувиргалтын томьёог ол, е. GH хувиргалтын томьёог ол. 2 3. Бодлого 2-д өгсөн E , F , G ба H хувиргалтын хувьд −6 −4 −2 O 4x 6 а. A� дүрсийг HE хувиргалтаар хувирга, 2 б. A� дүрсийг � FH хувиргалтаар хувирга, −2 в. A� дүрсийг хувиргалтаар хувирга. Хувиргалтыг таних, тодорхойлох −4 A′ Энэ сэдвийн хүрээнд хэрэв ямар нэг хувиргалтаар (параллел зөөлт, төвийн тэгш хэм, тэнхлэгийн тэгш хэм, эргүүлэлт, гомотет) нэг олон өнцөгт нөгөө олон өнцөгтөд хувирсан бол ямар хувиргалт болохыг таних, дараа нь уг хувиргалтыг тодорхойлох чадвар эзэмшинэ. Параллел зөөлт, төвийн тэгш хэм, тэнхлэгийн тэгш хэм, эргүүлэлт, гомотет хувиргалтуудын аль хувиргалтаар A олон өнцөгт B олон өнцөгтөд хувирсныг танихын тулд хувиргалтын шинж чанарыг ашиглана. Хэрэв A олон өнцөгт B олон өнцөгтөд параллел зөөлтөөр хувирсан бол � A нь B -тэй тэнцүү бөгөөд харгалзах талууд нь параллел байна. Хэрэв A олон өнцөгт B олон өнцөгтөд цэгийн хувь дахь тэгш хэмээр хувирсан бол � A нь B -тэй тэнцүү бөгөөд A -ийн цэг бүрийг дүртэй нь холбосон хэрчмүүд нэг цэгээр огтлолцоно. Хэрэв A олон өнцөгт B олон өнцөгтөд тэнхлэгийн тэгш хэмээр хувирсан бол A -ийн цэг бүрийг дүртэй нь холбосон хэрчмүүд нь хоорондоо параллел бөгөөд ерөнхий нэг дундаж перпендикуляр шулуунтай байна. Хэрэв A олон өнцөгт B олон өнцөгтөд эргүүлэлтээр хувирсан бол � A нь B -тэй тэнцүү бөгөөд A -ийн ямар нэг цэгийг тойруулан эргүүлэхэд харгалзах талууд нь параллел байрлалд орно. Хэрэв A олон өнцөгт B олон өнцөгтөд гомотетоор хувирсан бол � A нь B -тэй төсөөтэй бөгөөд A 21
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном -ийн цэг бүрийг дүртэй нь холбосон шулуунууд нэг цэгт огтлолцоно. Хувиргалтыг тодорхойлно гэдгийг Математик X сурах бичгээс харахыг зөвлөж байна. 6 Бодлого 1. A тугийг B тугт шилжүүлэх хувиргалтыг тодорхойл. 4 A 6 2 x4 Бодолт. A туг B тугтай параллел байрлалд оршихгүй тул параллел зөөлт y 6 биш, A тугийг байр дээр нь эргүүлэхэд дүртэйгээ параллел байрлалд орох тул 6 эргүүлэлт байна. 2 6 Одоо A тугийг B тугт шилжүүлэх эргүүлэлтийн төвийг олъё. Цэг, түүний дүр −2 O хоёрыг холбосон хэрчмийн дундажид перпендикуляр шулуу−н6 дэ−э4р B эргүүлэлтийн төв оршдог. Иймд A тугийн ямар нэг хоёр цэгийг дүртэй нь хэрчмээр холбож, үүсэх хоёр пе6рпендикуляр шулууны 6огтлолцол дээр −2 эргүүлэлтийн төв орших тул эргүүлэлтийн төв O (−1, 2) юм. −4 44 yy A′ A A 2 2 M −6 −4 −2 O 2−6 x 4−4 6−2 O 2 x4 6 B B −2 −2 Одоо A тугийг B тугт шилжүүлэх эргүүлэлтийн өнцгийн хэмжээг олъё. Энэ нь эргүүлэлтийн төвөөс цэг ба түүний дүрийг тус тус даAй′ руул−4ан татсан хоёр цацрAа′гийн−4хоорондох өнцгийн хэмжээ юм. 1. A тугийн M цэгийн дүр N тул ∠ MON өнцөг эргүүлэлтийн өнцөг юм. 2. Бид ∠ MON = 90° болохыг төвөггүй мэдэж болно. 6y F Иймд O цэгт төвтэй (−90°) өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлт байна. 4 Бодлого 2. а. F тугийг G тугт шилжүүлэх хувиргалтыг тодорхойл. б. F тугийг R тугт шилжүүлэх хувиргалтыг тодорхойл. Бодолт. а. F тугийг G тугт шилжүүлэх хувиргалт нь параллел зөөлт 2 болон гомотет биш байна. Мөн F тугийг байр дээр нь эргүүлэхэд G −2 O R 2x дүртэйгээ параллел байрлалд орохгүй тул эргүүлэлт биш. Мөн F тугийн−6 −4 4 цэг бүрийг дүртэй нь холбосон хэрчмүүд ерөнхий дундаж цэггүй тул 4 6−y2 цэгийн хувь дахь тэгш хэм биш, харин F тугийн цэг бүрийг дүртэй нь холбосон хэрчмүүд хоорондоо параллел бөгөөд дунджид перпендикуляр F 4−4 ерөнхий нэг шулуунтай тул тэнхлэгийн тэгш хэм байна (Зураг). Иймд тэгш хэмийн тэнхлэгийг зурах ба тэгшитгэл нь y = −x байна. y = −x A′ б. F тугийг R тугт шилжүүлэх хувиргалт нь гомотет байна. Учир нь цэг 2 бүрийг дүртэй холбосон шулуунууд нэг цэгт огтлолцох болно. Одоо G −2 O 2x гомотетын төвийг олъё. Цэг, түүний дүр хоёрыг холбосон шулуун дээр−6 −4 гомотетын төв оршдог. Зургаас F тугийн M , K цэгийн дүр харгалзан N, L тул MN ба KL шулуун дээр гомотетын төв оршино. Иймд −2 гомотетын төв бол O (3, −4) байна. Одоо гомотетын коэффицентийг олъё. F ба R тугийн төсөөгийн коэффицентийг k -г олно. MK хэрчмийн дүр NL ба NL = 0.5⋅ MK y −4 K A′ тул k = 0.5 болно. Иймд O (3, −4) цэгт төвтэй k = 0.5 коэффциенттэй гомотет F байна. 4 Санамж Бид зөвхөн дараах хувиргалтуудыг тодорхойлох бодлогыг авч үзэх M2 болно. B 90°, (−90°) ,180° өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлт −2 O 2 x4 =y a=,� � x a , y = x , y = −x тэгшитгэлтэй шулууны хувь дахь тэгш хэм−4 N Координатын эх дээр төвтэй, бодит тоон коэффиценттэй гомотет Аливаа вектороор параллел зөөлт −2 −4 O 22
XМатематик анги ДАСГАЛ 1. а. A дүрсийн дүр нь A1 байх дан хувиргалтыг тодорхойл. y A6 б. A дүрсийн дүр нь A2 гарах дан хувиргалтыг тодорхойл. в. A дүрсийг A3 -д хувиргах дан хувиргалтыг тодорхойл. 4 г. A дүрсийн дүр A4 байх дан хувиргалтыг тодорхойл. д. A дүрсийн дүр A5 гарах дан хувиргалтыг тодорхойл. A4 2 A е. A дүрсийг A6 -д хувиргах дан хувиргалтыг тодорхойл. ё. A1 дүрсийн дүр нь A7 байх хувиргалтыг тодорхойл. −4 −2 A1 2 4x O A2 2. Дараах хувиргалтын томьёо ямар дараалсан 2 хувиргалтыг A3 A7 тодорхойлох вэ? −2 a. x′ = 2x + 2 б. x′ = y −1 в. x′ = y +2 A5 y′ = 2y −1 y′ = x +2 y′ = x −1 −4 г. x′ = − y + 2 д. x′ = x + 2 y′ = −x −1 y′ = − y −1 3. a. x′ = y +1 томьёотой хувиргалтаарх A (1,1) , B (1, 2) , C (3,1) цэгт оройтой ABC гурвалжны y′ = − x − 4 дүр A′B′C′ -г олж, координатын хавтгайд ABC ба A ' B ' C ' гурвалжныг байгуул. б. ABC гурвалжныг A′B′C′ -д хувиргах дараалсан хувиргалтыг тодорхойл. в. A′B′C′ гурвалжныг ABC -д хувиргах дараалсан 2 хувиргалтыг тодорхойлж, хувиргалтын томьёог ол. Үнэлгээний даалгавар 4 1. O (0, 0) цэгт төвтэй (−90°) өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтийг R, x = 0 y шулууны хувь дахь тэгш хэмийг T гэж тэмдэглэе. 2 A а. RT хувиргалтаар A дүрсийг хувиргаж гарах дүрийг зур −2 O 2 4 6x б. RT хувиргалтын томьёог ол. −4 2. O (0, 0) цэгт төвтэй, өгсөн −0.5 коэффиценттэй гомотетыг H ,� O (0, 0) цэг−т2 төвтэй 90° =өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтийг R гэж тэмдэглэе. а. HR хувиргалтын томьёог ол. б. HR хувиргалтын томьёогоор зурагт өгсөн A дүрсийг хувиргахад гарах дү−4рийг ол. 3. y = 0 шулууны хувь дахь тэнхлэгийн тэгш хэмийг T1 , y = x шулууны хувь дахь тэнхлэгийн тэгш хэмийг T2 , O (0, 0) цэгт төвтэй 90° =өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтийг R гэж тэмдэглэе. T2T1 дараалсан хувиргалт R хувиргалттай тэнцүү болохыг харуул (хувиргалтын томьёо нь тэнцүү). 4. y = 0 шулууны хувь дахь тэнхлэгийн тэгш хэмийг T1 , y = −x шулууны хувь дахь тэнхлэгийн O (0, 0) тэгш хэмийг T2 , цэгт төвтэй ( −90° ) өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтийг R гэж тэмдэглэе. T2T1 дараалсан хувиргалт R хувиргалттай тэнцүү болохыг харуул. 6 5. T нь O (0, 0) цэгт төвтэй 90°, (−90°) ,180° өнцгөөр y эргүүлэх эргүүлэлтүүдийн нэг эсвэл=y 0=, x 0 , y = x, 4 A5 y = −x тэгшитгэлтэй шулууны хувь дахь тэгш хэмийн 2 нэг, H нь O (0,0) цэгт төвтэй, k коэффиценттэй A гомотет байг. Тэгвэл TH хувиргалт нь HT 2 4 6x хувиргалттай тэнцүү болохыг харуул. −6 −4 −2 O 6. x′ = 3y� � � хувиргалтын томьёо ямар дараалсан 2 −2 y′ = −3x� � A6 −4 A2 A1 A3 хувиргалтыг тодорхойлох вэ? A1 −6 7. а. A дүрсийн дүр нь A1 байх дан хувиргалтыг тодорхойл. 23
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном б. A дүрсийн дүр нь A2 гарах дан хувиргалтыг тодорхойл. в. A дүрсийг A3 -д хувиргах дан хувиргалтыг тодорхойл. г. A дүрсийн дүр A4 байх дан хувиргалтыг тодорхойл д. A дүрсийн дүр A5 гарах дан хувиргалтыг тодорхойл. е. A дүрсийг A6 -д хувиргах дан хувиргалтыг тодорхойл. 8. а. A1 дүрсийг A2 дүрсэд хувиргах дараалсан 2 хувиргалтыг тодорхойл. б. A5 дүрсийг A2 дүрсэд хувиргах дараалсан 2 хувиргалтыг тодорхойл. ӨГӨГДЛИЙН ШИНЖИЛГЭЭ Хуримтлагдсан давтамжийн график ашиглан хоёр түүврийг харьцуулах Тус бүр 30 тооноос тогтох дөрвөн өгөгдөл авч үзье. а. 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9 б. 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9 в. 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8 г. 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9 Өгөгдлүүдийг ажиглавал 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 цифрүүдийн давтамж байна. а өгөгдөл дотор 2, 3, 4, 5 цифрүүд бусдаасаа харьцангуй олон, моод 4 байна. Гэтэл б өгөгдлийн 5, 6, 7,8 цифрүүд олон, моод нь 7, 8 байна. в өгөгдлийн ихэнх нь дундаа төвлөрсөн, г өгөгдлийн цифрүүдийн тоо ойролцоогоор тэнцүү байгааг ажиглуулна. Давтамжийн хүснэгтийг байгуулбал Хуримтлагдсан давтамжийн хүснэгт а, б өгөгдлүүдийн давтамжийн ба хуримтлагдсан давтамжийн графикийг байгуулж үзье. Давтамжийн график. Хуримтлагдсан давтамжийн график. Графикууд ямар ялгаатай дүрслэгдэж байгааг ажиглавал а графикийн өсөлт их байснаа багасаж, б график аажим өсаж байснаа цаашид түргэснэ. Харин в, г өгөгдлүүдийн хуримтлагдсан давтамжийн графикуудыг сурагчдаар зуруулж үзээд, в график медианыхаа хувьд тэгш хэмтэй, г график бараг шугаман байна гэсэн дүгнэлт хийлгэх хэрэгтэй. Тус бүрийн медиан, квартилуудыг хоёр дахь графикаас олж, хэвтээ тэнхлэг дээр тэмдэглэе. Босоо тэнхлэг дээрх 30-ын хагас 15-ыг дайруулан хэвтээ тэнхлэгтэй параллел шулуун татаж, графиктай огтлолцсон цэгийн абсцессыг авбал тэр нь өгөгдлийн медиан болдог. Ингэж медианыг олбол а өгөгдлийн медиан, б өгөгдлийн медианаас бага байгаа нь харагдана. Квартилуудын хувьд ч адилхан. Байгуулалтыг сурагчдаар хийлгэх, аль өгөгдлийн ямар квартил нөгөө өгөгдлийн харгалзах квартилаас их, бага байгааг харуулна. в, г өгөгдлүүдийн хувьд төсөөтэй байгуулалт хийлгэн медианууд тэнцүү, квартилууд ялгаатай байгаад дүгнэлт хийлгэнэ. Хоёроос олон өгөгдийг харьцуулах шаардлагагүй. 24
XМатематик анги Амьдрал, ахуйн хэрэглээний, практик агуулгатай дараах хэлбэрийн бодлогуудыг бодож, графикуудыг уншиж, байгуулж, дүгнэлт хийж сурах хэрэгтэй. Дасгал 1. Салхины хурдыг хоёр өөр A, B сумын нутагт сарын (30 хоногийн) турш хэмжиж, хуримтлагдсан давтамжийн графикийг зуржээ. а. Сум тус бүрийн 20 м/секундээс бага салхитай өдрийн тоог ол. б. Сум тус бүрийн 20 м/секундээс их салхитай өдрийн тоог ол. в. Аль сумын нутагт салхин цахилгаан станц байгуулбал илүү эрчим хүч үйлдвэрлэх вэ? г. Тус бүрийн медиан, квартилуудыг графикаас олж, харьцуул. 2. Хоног тутмын агаарын температурын дунджийг сарын турш хэмжихэд дараах өгөгдөл гарав. Үүнд: III сар –12, –10, –11, –12, –8, –9, –6, –7, –4, –7, –8, –3, 0, –2, 0, 1, 4, 3, 5, 7, 8, 10, 8, 7, 6, 12, 13, 11, 10, 12, 14 IX сар 18 , 16, 15, 12, 18, 19, 16, 17, 14, 17, 18, 13, 10, 12, 10, 5, 4, 3, 5, 7, 8, 10, 8, 7, 6, 7, 8, 5, 8, 9 а. Дараах хуримтлагдсан давтамжийн хүснэгтийг байгуул. Өдрийн тоо <–25° <–20° <–15° <–10° <–5° <0° <5° <10° <15° <20° <25° III сар IX сар б. Сар тус бүрийн дундаж температурын хуримтлагдсан давтамжийн график байгуул. в. Медианыг олж жиш. г. Квартилуудыг олж жиш. МАГАДЛАЛ Нийцтэй ба нийцгүй үзэгдлүүдийн ялгааг ойлгох, нийцтэй үзэгдлүүдийн хувьд P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B) томьёог хэрэглэх Математикийн заавал судлах агуулгын хүрээнд нийцтэй ба нийцгүй үзэгдлүүдийн ялгааг ойлгох чадварыг тодорхой хэмжээгээр эзэмшүүлсэн байх ёстой. Гэхдээ зөвхөн нийцгүй үзэгдлүүдийн хувьд биелэх P ( A B) = P ( A) + P ( B) томьёог хэрэглэх тал дээр голлон анхаарахаар сургалтын хөтөлбөрт тусгагдсан билээ. Харин сонгон гүнзгийрүүлэх агуулгын хүрээнд нийцтэй болон нийцгүй үзэгдлүүдийг ялгааг таних, хэрэв A, B үзэгдлүүд нийцтэй бол P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B) томьёог хэрэглэх чадварыг эзэмшүүлэхийг зорих хэрэгтэй. Математик X сурах бичгийн 191 дүгээр нүүрний Жишээ 4-д 52 модтой багц хөзрөөс нэг хөзөр таамгаар сугалахад бундан хөзөр таарах, ноён хөзөр таарах үзэгдлүүд нийцтэй юу? гэсэн асуулт тавигджээ. Уг жишээний бодолтод дурдсан үзэгдлүүд нийцтэй бөгөөд учир нь эдгээр үзэгдлүүдэд зэрэг харьяалагдах эгэл үзэгдэл оршин байх бөгөөд тэр нь бундангийн ноён таарах үзэгдэл болохыг диаграммаар харуулсан байна. Мөн энэ туршилтад ноён хөзөр таарах үзэгдлийн магадлал 4 = 1 , 52 13 13 1 бундан хөзөр таарах үзэгдлийн магадлал 52 = 4 , бундангийн ноён таарах эгэл үзэгдлийн магадлал 1 52 байхыг хялбархан тооцоолж болно. Жишээ 1. 52 модтой багц хөзрөөс нэг хөзөр таамгаар сугалахад ноён хөзөр таарах, бундан хөзөр таарах үзэгдлүүдийн ядаж нэг нь илрэх магадлалыг ол. Бодолт. Энэ туршилтын үр дүнд илрэх ноён хөзөр таарах үзэгдлийг A, бундан хөзөр таарах үзэгдлийг B гэж тэмдэглэе. Тэгвэл A B ≠ ∅ учраас P( A B) ≠ 0 = болох ба ийм тохиолдолд нийцтэй үзэгдлүүдийн хувьд биелэх P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B) томьёог хэрэглэнэ. Ингээд энэ томьёонд өмнө олсон магадлалуудынхаа тоон утгыг орлуулбал P( A B) = 1 + 1 = 17 болж 13 4 52 байна. 25
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном Аливаа үзэгдэл нь эгэл үзэгдлүүдийн олонлог байна. Хэрэв хоёр буюу хэд хэдэн үзэгдлүүдэд нэгэн зэрэг харьяалагдах эгэл үзэгдэл олдохгүй буюу өөрөөр хэлбэл эгэл үзэгдлийн олонлогуудын огтлолцол хоосон бол эдгээрийг нийцгүй үзэгдлүүд гэнэ. Нийцгүй үзэгдлүүдийн нэгдлийн магадлал нь үзэгдэл тус бүрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна. Хэрэв үзэгдлүүд нийцтэй бол эдгээр үзэгдлийн нэгдэл үзэгдлийн магадлалыг хэрхэн олох вэ? Жишээ 2: Ангийн 40 сурагчийн 20 нь хөл бөмбөг, 24 нь гар бөмбөг, 9 нь хөл бөмбөг, гар бөмбөгийн аль алийг нь сонирхдог байв. Ангийн нэг сурагчийг таамгаар сонгоход а. хөл бөмбөг, гар бөмбөгийн алийг ч сонирхдоггүй байх үзэгдлийн магадлалыг, б. хөл бөмбөг, гар бөмбөгийн ядаж нэгийг сонирхдог байх үзэгдлийн магадлалыг тус тус ол. Бодолт: Ангийн сурагчдын олонлогийн Эйлер-Веннийн диаграмм ба тэдгээрт харгалзах үзэгдлүүдийн магадлалын диаграммыг байгуулъя. Ангийн нэг сурагчийг таамгаар сонгоход хөл бөмбөг сонирхдог сурагч таарах үзэгдлийг A, гар бөмбөг сонирхдог сурагч таарах үзэгдлийг B гэж тэмдэглэе. Тэгвэл хөл бөмбөг, гар бөмбөгийн ядаж нэгийг сонирхдог сурагч таарах үзэгдэл A B болох ба хөл бөмбөг, гар бөмбөгийн алийг ч сонирхдоггүй байх үзэгдэл ( A B)′ болно. Зөвхөн хөл бөмбөг сонирхдог сурагч таарах үзэгдлийн магадлал 11 = 0.275, зөвхөн гар бөмбөг 40 сонирхдог сурагч таарах үзэгдлийн магадлал 15 = 0.375 ба хоёуланг нь сонирдог сурагч таарах 40 үзэгдлийн магадлал 9 = 0.225 байхыг тооцоолж хоёрдахь диаграммыг байгуулжээ. Таамгаар 40 сонгосон нэг сурагч а. хөл бөмбөг, гар бөмбөгийн алийг ч сонирхдоггүй байх үзэгдлийн магадлал 5 = 0.125 болно, 40 б. хөл бөмбөг, гар бөмбөгийн ядаж нэгийг сонирхдог байх үзэгдэл нь алийг нь ч сонирхдоггүй үзэгдлийн эсрэг үзэгдэл учраас магадлалыг нь 1− 5 = 0.225 гэж шууд олж болох боловч бас 40 20 24 9 35 өөрөөр + − = = 0.225 гэж олж болох байв. 40 40 40 40 A, B үзэгдлүүд нийцгүй бол P( A B) = P( A) + P(B) A, B үзэгдлүүд нийцтэй бол P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( A ∩ B) томьёонууд тус тус биелнэ. Эдгээр томьёог хамтад нь магадлалын нийлбэрийн дүрэм гэдэг. A B нь A ба B үзэгдлүүдэд нэгэн зэрэг харьяалагдах эгэл үзэгдлүүдийн олонлог. A B = ∅ буюу өөрөөр хэлбэл, эдгээр үзэгдлийн огтлолцол боломжгүй үзэгдэл бол A, B үзэгдлүүдийг нийцгүй үзэгдлүүд гэдэг. Жишээ 3: A, B үзэгдүүдэд харгалзах магадлалын диаграммыг дүрсэлжээ. Энэхүү диаграммаас дараах магадлалуудыг олоорой. a. P( A) ба P( B) , б. P( A′) ба P( B′) , в. P( A B) , г. P(( A B)′) . Бодолт: a. P ( A) = 0.1+ 0.2 = 0.3 , P ( B) = 0.2 + 0.4 = 0.6 байна. б. P ( A′) = 1− 0.3 = 0.7 ба P ( B′) = 1− 0.6 = 0.4 болно. в. P( A B) = 0.3 + 0.6 − 0.2 = 0.7 байна. г. ( AB)′ нь A B үзэгдлийн эсрэг үзэгдэл учраас ( )P ( A B)′ = −0.7 = 0.3 болно. 26
XМатематик анги Дасгал 1. Мөнхгэрэл A, B үзэгдлүүд нийцгүй байсан ч P ( A B) = P ( A) + P ( B) − P ( AB) томьёо биелнэ гэж хэлжээ. Түүний зөв үү? 2. Нэг ангийн 50 сурагчийн 25 нь франц хэл, 20 нь герман хэл, 10 нь өөр гадаад хэл сонгон судалдаг. Нэг сурагч таамгаар сонгоход а. франц, герман хэлний ядаж нэгийг судалдаг байх үзэгдлийн магадлалыг, б. гадаад хэл сонгон судалдаггүй байх үзэгдлийн магадлалыг Эйлер-Веннийн диаграмм ашиглан ол. 3. A, B үзэгдүүдэд харгалзах магадлалын диаграммыг дүрсэлжээ. Энэхүү диаграммаас дараах магадлалуудыг олоорой. а. P( A B) б. P( A B) в. P( A ') ба P( B′) . 4. Мөнхөө, Гэрлээ хоёр 100-аас ихгүй натурал тоо санамаргүйгээр бичихэд тэр тоо нь тэгээр төгсөх ба 7-д хуваагдах үзэгдлүүдийн ядаж нэг нь илрэх магадлалыг олох бодлого бодож байв. Мөнхөө 0.23, Гэрлээ 0.25 гэсэн хариу гаргажээ. Хэнийх нь зөв бэ? Яагаад? 5. 1000-аас хэтрэхгүй натурал тоо сонгон авахад тэр тоо нь 2 ба 3-ын ядаж нэгэнд нь хуваагдах үзэгдлийн магадлалыг олоорой. Энэхүү үзэгдлийн эсрэг үзэгдлийг нэрлэж магадлалыг нь олоорой. 6. Туршилтын дүнд илрэх бүх эгэл үзэгдлийн олонлог Ω = {a, b, c, d} б=а P(a) 0=.2, P(b) 0.4, P(c) = 0.1 , A = {a, b, c} , B = {b, c, d} бол A B ба (A B) ' үзэгдлүүдийн магадлалыг хоёр өөр аргаар олоорой. Хэрэглэгдэхүүн: Үзэгдлийн магадлалыг нийлбэрийн дүрэм болон Эйлер-Веннийн диаграмм хэрэглэн олох төрөл бүрийн бодлогууд бүхий тараах материал байж болно. 27
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном XI анги КВАДРАТ ТЭГШИТГЭЛ БА ТЭНЦЭТГЭЛ БИШ Квадрат тэгшитгэлийн коэффицент ба шийд хоорондын хамаарал Виетийн теорем мэдэх, хэрэглэх Энэ суралцахуйн зорилтыг өмнөх ангид судалсан квадрат тэгшитгэлийн шийдийг нь тэгшитгэлийн коэффиценттой нь харьцуулан хамаарлыг нь тогтоох жишээ бодлогоор сэдэлжүүлэн заах нь зүйтэй. Жишээ. 2x2 − 5x + 2 = 0 тэгшитгэлийн коэффицент болон шийдийн хамаарлыг тогтоо. Бодолт. Тэгшитгэлийн шийдийг нь x = −b ± b2 − 4ac томьёогоор олбол 2a =x1 12=, x1 2 болно. Одоо шийдийн нийлбэр болон үржвэрийг нь олъё. Тэгвэл x1 + x2 = 2+ 1 = 5 , x1 ⋅ x2 = 2⋅ 1 =1 болох ба 5 1 шийдүүдийг тэгшитгэлийн коэффицент 2 2 2 , 2 a = 2, b = −5, c = 2 тоотой харьцуулж үзье. Энд тодорхой хамаарал харагдахгүй байгаа тул тэгшитгэлээ эмхэтгэсэн квадрат тэгшитгэлд шилжүүлье. Тэгвэл x2 − 5 x +1 = 0 болох ба 2 p = − 5 , q = 1 коэффицентуудыг шийдүүдийн нийлбэр, үржвэртэй харьцуулж харвал нийлбэр 2 55 q =1 x1 + x2 = 2 нь p = − коэффицентын эсрэг тоон утгатай тэнцэж, харин үржвэр x1 ⋅ x2 = 1 нь 2 коэффиценттой тэнцэж байна. Иймд x2 − 5 x +1 = 0 тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр нь x -ийн 2 өмнөх коэффицентыг эсрэгээр, үржвэр нь сул гишүүнтэй тэнцэнэ гэж хэлж болох юм. Өөрөөр 5 хэлбэл x1 + x2 = 2 , x1 ⋅ x2 = 1 байна. Сурагчдаар бие даалган хэд хэдэн эмхэтгэсэн квадрат тэгшитгэл бодуулж шийд болон коэффицентуудын хамаарлыг харуулсны дараа Виетийн теоремыг томьёолох хэрэгтэй. b a Теорем. ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 квадрат тэгшитгэлийн x1, x2 язгуурын нийлбэр − − тай тэнцүү, үржвэр нь c -тай тэнцүү. b a a x1 + x2 = − Өөрөөр хэлбэл x1 ⋅ x2 = байна. Үүнийг Виетийн теорем гэнэ. c a Баталгаа. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох томьёог хэрэглэн баталж болно. Дискриминант D≥0 үед шийдийг x1 = −b + D x2 = −b − D гэж олдог тул шийдүүдийн нийлбэр ба үржвэр нь 2a 2a x1 + x2 = −b + D + −b − D = −b + D −b− D = −2b = − b 2a 2a 2a 2a a b (x1 ⋅ x2 −b − D −b + D ) (−b − )D = b2 − b2 + 4ac = 4ac = c x1 + x2 = − a −b + D 2a 4a2 4a2 a = 2a ⋅ = 4a2 буюу байна. c x1 x2 = a Жишээ 1. 6x2 − 5x − 2 = 0 тэгшитгэлийн шийд x1, x2 бол тэгшитгэлийг бодолгүйгээр дараах илэрхийллийн утгыг ол. а. x1 + x2 ба x1 ⋅ x2 б. 1+1 в. x13 + x3 г. x1 − x2 x1 x2 2 28
Математик XI анги Бодолт. Виетийн теоремыг хэрэглэхийн тулд өгөгдсөн тэгшитгэлээ гүйцэд квадрат тэгшитгэлд шилжүүлье. Тэгшитгэлийн хоёр талыг 6-д хуваавал x2 − 5 x − 2 = 0 болно. 66 а. x1 + x2 = − 5 = 5 ба x1 ⋅ x2 =−2=−1 5 6 6 63 б. Илэрхийллийг хялбарчилж утгыг орлуулбал 11 = x1 + x2 = 6 = −2.5 болно. + x1 x2 −1 x1 x2 3 в. Илэрхийллийг кубийн нийлбэрийн томьёогоор задалж, хоёрдугаар үржигдэхүүнээс гүйцэд ( ) ( )квадрат ялгавал ( )x13+ x3 = x12 − x1x2 + x22 = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 )2 − 3x1x2 болно.Энд x1 + x2 , x1 ⋅ x2 2 x1 + x2 илэрхийллийн утгуудыг орлуулахад x13 + x3 = 5 5 2 − 3 ⋅ − 1 = 5 ⋅ 61 = 305 = 1 89 гэж гарна. 2 6 6 3 6 36 216 216 5 2 1 49 илэрхийллийн утгыг ашиглаж болно. 6 3 36 Энэ бодлогод x12 + x2 = ( x1 + x2 )2 − 2x1x2 = − 2 ⋅ − = 2 г. Квадрат язгуурын чанар болон ялгаврын квадратын томьёо ашиглавал ( )x1 − x2 = ( x1 − x2 )2 = x12 x2 x12 − 2x1x2 + x22 = x12 + x22 − 2x1x2 болно. Илэрхийлэлд x1 ⋅ x2 ба + 2 утгуудыг орлуулахад x1 − x2 = 49 1 73 болно. +2⋅ = 36 3 6 Жишээ 2. x2 + 5x − 3 = 0 тэгшитгэлийн шийдүүд α , β бол α2 + β2 илэрхийллийн утгыг ол. β α Бодолт. Илэрхийллийг хялбарчилбал ( )α 2 β β2 α 3 +β 3 (α + β ) (α 2 −αβ + β 2 ) (α + β ) (α + β )2 − 3αβ α αβ + = = αβ = αβ болох ба α , β нь x2 + 5x −3 = 0 тэгшитгэлийн язгуур тул Виетийн теоремоор α + β = −5 байна. Иймд αβ = −3 ( ) ( )орлуулж утгыг олбол α2 + β2 (α + β ) (α + β )2 − 3αβ −5⋅ (−5)2 + 3⋅3 = 170 болно. βα 3 = αβ = −3 Энэ сэдвийн агуулгын хүрээнд дараах хэлбэрийн бодлогуудыг бодуулаарай. Дасгал 1. –3 ба 1 язгууртай бүхэл тоон коэффиценттэй квадрат тэгшитгэл зохио. 2 2. −5x2 + 2x + 7 = 0 тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр ба үржвэрийг ол. 3. 3x2 + kx +12 = 0 тэгшитгэлийн язгуурууд тэнцүү бол k -г ол. 4. x2 − 2x −15 = 0 тэгшитгэлийг бодолгүйгээр а. язгууруудын квадратын нийлбэр б. язгууруудын квадратын ялгавар в. язгууруудын кубийн нийлбэр г. язгууруудын кубийн ялгаврыг тус тус ол. ТЭГШИТГЭЛИЙН СИСТЕМ 3 хувьсагчтай тэгшитгэлийн систем бодох Крамерын дүрэм Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем авч үзье. 29
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном a11x + a12 y + a13 z = b1 a21x + a22 y + a23z = b2 (∗) Энэ тэгшитгэлийн системийг бид орлуулах арга, хувьсагчийг дэс дараалан a31x + a32 y + a33 z = b3 зайлуулах Гауссын арга болон урвуу матрицын аргаар бодож сурсан. Хувьсагчдын өмнөх коэффицентуудаар зохиосон a11 a12 a13 x b1 A = a21 a22 a23 матрицыг үндсэн матриц, X = y -ийг хувьсагчийн баганан матриц, B = b2 a31 a32 a33 z b3 -ийг сул гишүүний баганан матриц гээд (∗) тэгшитгэлийн системийг A⋅ X = B гэсэн матрицан тэгшитгэл хэлбэртэй бичиж болно. Энд A матрицын I, II, III баганын элементийг сул гишүүний баганаар солиход үүсэх матрицыг харгалзан A1 , A2 , A3 гэе. b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 b1 A1 = b2 a22 a23 A2 = a21 b2 a23 A3 = a21 a22 b2 b3 a32 a33 a31 b3 a33 a31 a32 b3 Теорем. Хэрэв (∗) тэгшитгэлийн системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч 0-ээс ялгаатай буюу A ≠ 0 =байвал уг систем цор ганц шийдтэй ба системийн шийд x= A1 , y= A2 , z= A3 байна. A A A Үүнийг Крамерын дүрэм (Крамерын томьёо) гэнэ. Баталгаа. (∗) тэгшитгэлийн системийн тодорхойлогч 0-ээс ялгаатай байвал A⋅ X = B матрицан тэгшитгэлийг хэрхэн бодох вэ? A ≠ 0 =тул A матрицын урвуу матриц A−1 оршин байна. Матрицан тэгшитгэлийн хоёр талыг A−1 матрицаар үржүүлбэл A−1 ⋅ A⋅ X = A−1 ⋅ B буюу X = A−1 ⋅ B гэж гарна. Ийнхүү A үндсэн матрицын урвуу A−1 матрицыг B сул гишүүний багана матрицаар үржүүлж хувьсагчдын матриц % -ийг олдог байх нь. Санамж 3×3 матрицын тодорхойлогч ба урвуу матрицыг олох, матрицын үржүүлэх үйлдлийг сурагчид өмнө нь сайн хийж сурсан байх хэрэгтэй. Үржвэр матрицын элементүүд нь харгалзан A1, A2 , A3 матрицуудын тодорхойлогчдыг A -д хуваахад гарч байгааг ажиглуулаарай. x+2y− z = 6 Жишээ 1. 4x − 5y + 3z = −9 тэгшитгэлийн системийг Крамерын дүрмээр бод. x + y = 3 1 2 −1 6 6 2 −1 1 6 −1 1 2 6 Бодолт. A = 4 −5 3 , B = −9 , A1 = −9 −5 3 , A2 = 4 −9 3 , A3 = 4 −5 −9 болох 1 1 0 3 3 1 0 1 3 0 1 1 3 1 2 −1 ба A = 4 −5 3 = −6 ≠ 0 тул систем ганц шийдтэй байна. Эндээс A1 = −6, A2 = −12, A3 = 6 гэж 11 0 тус тус олдоно. Иймд Крамерын дүрмээр x = −6 = 1, y = −12 = 2, z = 6 = −1 гэж гарна. Ийнхүү −6 −6 −6 системийн шийд нь (1, 2, −1) болно. 1. Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын дүрмээр бод. 7x − 6y = 5 x1 + 2x2 − x3 = 2 x+2y− z =1 x − 2 y + 2z = 13 8x − 7y = −10 в. 3x + 2z = −2 г. 3x + 2 y −10z = −33 а. б. 2 x1 − 3x2 + 2x3 =2 4x − 2 y + 5z = 0 −2x + y + 5z = 7 3x1 + x2 + x3 = 8 2. Шугаман тэгшитгэлийн системийг бод 30
Математик XI анги x + 2 y = 10 x+ y+ z = 6 x+2y− z = 2 а. 3x + 2 y + z = 23 б. 2x + 3y − 5z = −7 в. 2x − y + 3z = 5 y + 2z = 13 3x + 5y + 4z = 25 x − 3y + 4z = 1 Хариу. 2а. (4, 3, 5) 2б. (1, 2, 3) 2в. Шийдгүй ФУНКЦ БА ГРАФИК y = f ( x ) функцийн график өгөгдсөн үед y = f ( x ) + a , y = f ( x + a ) , y = af ( x ) , y = f (ax ) функцийн графикийг байгуулах X ангид квадрат функцийн хувьд энэ тухай судалсан тул өмнө үзсэн зүйлийг сэргээн сануулж эхлэх нь зохимжтой. Одоо үзсэн функцүүдийг жишээ болгон авч y = f ( x ) + a , y = f ( x + a ) , y = af ( x ) , y = f (ax ) функцүүдийн графикийг байгуулна. 1. y = f ( x) функцийн графикийг ашиглан y = f ( x) + c гэсэн функцийн графикийг байгуулах: y = f ( x) функцийн тодорхойлогдох мужийн аливаа x0 дээрх утгыг y0 гэе. Тэгвэл y = f ( x) + c функцийн x0 дээрх утга нь y0 + c байна. Иймд y = f ( x) функцийн график дээрх цэг бүрийг Oy тэнхлэгийн дагуу c хэмжээгээр зөөж y = f ( x) + c функцийн графикийг байгуулна. Өмнө үзсэн функцүүдийг жишээ болгон авч, ажиглалт хийлгэх замаар c эерэг үед c нэгжээр дээш, c сөрөг үед c нэгжээр доош зөөгднө гэдгийг дүгнэх хэрэгтэй. Жишээ 1. f ( x) = x функцийн графикийг ашиглан y = x +1 ба y = x −1 функцийн графикийг байгуулъя. y M1 ( x, y +1) 4 M ( x, y) y = f ( x) функцийн графикийн аливаа цэгийг M ( x, y ) гэвэл 3 M2 ( x, y −1) M1 ( x, y +1) цэг нь y = x +1 муруйн, харин M2 ( x, y −1) цэг нь 2 y = x −1 муруйн цэг байна. Иймд y = f ( x) функцийн 1 графикийн цэг бүрийг Oy тэнхлэгийн дагуу 1 нэгжээр дээш зөөхөд y = x +1 функцийн график, харин доош 1 нэгжээр зөөхөд y = x −1 функцийн график гарна. Зургийг харна уу–.4 –2 O 1234 x –1 y = x +1 функцийн тодорхойлологдох муж D = [0, ∞[ , дүр нь I = [1, ∞[ байна. y = x −1 функцийн тодорхойлологдох муж D = [0, ∞[ , дүр нь I = [−1, ∞[ байна. 2. y = f ( x) функцийн графикийг ашиглан y = f ( x + c) гэсэн функцийн графикийг байгуулах: y = f ( x) функцийн тодорхойлогдох мужийн аливаа x0 дээрх утгыг y0 гэе. Тэгвэл y = f ( x + c) функцийн x0 − c� цэг дээрх утга нь y0 байна. Иймд y = f ( x) функцийн график дээрх цэг бүрийг Ox тэнхлэгийн дагуу c хэмжээгээр зөөж y = f ( x + c) функцийн графикийг байгуулна. Өмнө үзсэн функцүүдийг жишээ болгон авч, ажиглалт хийлгэх замаар c эерэг үед c нэгжээр зүүн тийш, c сөрөг үед c нэгжээр баруун тийш зөөгднө гэдгийг дүгнэх хэрэгтэй. Жишээ 2. f ( x) = x функцийн графикийг ашиглан f ( x) = x +1 ба f ( x) = x −1 функцийн графикийг байгуулъя. y M1 ( x −1, y) M ( x, y) y = f ( x) функцийн графикийн аливаа цэгийг M ( x, y ) гэвэл M2 ( x +1, y) M1 ( x −1, y ) цэг нь y = x +1 муруйн, харин M2 ( x +1, y ) цэг нь y = x −1 муруйн цэг байна. Иймд y = f ( x) функцийн 1 графикийн цэг бүрийг Ox тэнхлэгийн дагуу 1 нэгжээр–4зүүн–2 O1 x −1 x x +1 –1 тийш зөөхөд y = x +1 функцийн график, харин баруун тийш 1 нэгжээр зөөхөд y = x −1 функцийн график гарна. Зургийг харна уу. y = x +1 функцийн тодорхойлологдох муж D = [−1, ∞[ , дүр нь I = [0, ∞[ байна. y = x −1 функцийн тодорхойлологдох муж D = [1, ∞[ , дүр нь I = [0, ∞[ байна. 3. y = f ( x) функцийн графикийг ашиглан y = cf ( x) (c ≠ 0) гэсэн функцийн графикийг байгуулах: Энэ тохиолдлыг авч үзэхийн өмнө y = f ( x) функцийн график ашиглан y = − f ( x) функцийн 31
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном графикийг байгуулах тухай авч үзвэл тохиромжтой. Бид y = x2 ба y = −x2 ; y = x ба y = − x гэх мэт функцүүдийн хувьд y = f ( x) функцийн тодорхойлогдох мужийн аливаа x0 цэг дээрх утгыг y0 гэе. Тэгвэл y = cf ( x) функцийн x0 цэг дээрх утга нь cy0 байна. Иймд c > 0 үед y = f ( x) функцийн графикийг Oy тэнхлэгийн дагуу c дахин сунгах/агшаах замаар y = cf ( x) функцийн графикийг байгуулна. Харин c < 0 үед y = − f ( x) функцийн графикийг Oy тэнхлэгийн дагуу c дахин сунгах/агшаах замаар y = cf ( x) функцийн графикийг байгуулна. Жишээ 3. y = f ( x) функцийн графикийг ашиглан y а. y = 2 f ( x) б. y = 1 f (x) y = f (x) 2 Ox в. y = − f ( x) г. y = −2 f ( x) функцийн графикийг байгуул. Бодолт. y = f ( x) функцийн графикийн аливаа цэгийг M ( x, y ) гэвэл ( x, 2 y ) цэг нь y = 2 f ( x) муруйн, x, 1 y цэг нь y = 1 f (x) муруйн цэг, ( x, − y) цэг нь y = − f (x) муруйн, ( x, −2 y) цэг нь 2 2 y = −2 f ( x) муруйн цэг байна. Дараах зурагт графикуудыг харууллаа. y y =2 f (x) y y = f (x) y = f (x) x 1 y O y= 1 f (x) x 2 2 O M ( x, y) M1 x, M ( x, y) а. M1 ( x, 2y) б. M1 ( x, − y) y y = f (x) M2 ( x, −2 y ) y y = −2 f ( x) M1 ( x, − y) Ox y =− f (x) M ( x, y) M ( x, y) y =− f (x) г. Ox в. y = f (x) 4. y = f ( x) функцийн графикийг ашиглан y = f (cx) гэсэн функцийн графикийг байгуулах: Энэ тохиолдлыг авч үзэхийн өмнө y = f ( x) функцийн график ашиглан y = f (−x) функцийн графикийг байгуулах тухай авч үзвэл тохиромжтой. y = f (−x) функцийн хувьд тухайн функц тэгш, сондгой эсэхээс хамаарах тул тухай бүрд нь авч үзэх хэрэгтэй. Тэгш сондгой функцийн тухай 11 дүгээр ангийн заавал судлах агуулга дээр судалсан. y = f ( x) функцийн тодорхойлогдох мужийн аливаа x0 цэг дээрх утгыг y0 гэе. Тэгвэл y = f (cx) ( c ≠ 0 )=функцийн 1 цэг дээрх утга нь y0 байна. Иймд c>0 үед y = f (x) функцийн графикийг c x0 Ox тэнхлэгийн дагуу c дахин агшаах /сунгах замаар y = f (cx) функцийн графикийг байгуулна. Харин c < 0 үед y = f (−x) функцийн графикийг Oy тэнхлэгийн дагуу c дахин агшаах /сунгах замаар y = f (cx) функцийн графикийг байгуулна. Жишээ 4: y = f ( x) функцийн графикийг ашиглан y а. y = f (2x) б. y= f 1 x функцийн графикийг байгуул. y = f (x) 2 Ox Бодолт. y= f (x12) x, yфунцкэцгийннь графикийн аливаа цэгийг y = f 1 x муруйн цэг байна. гэвэл 2 M ( x, y) y = f (2x) муруйн, (2x, y ) цэг нь Дараах зурагт графикуудыг харууллаа. 32
Математик XI анги y = f (x) y = f (2x) y y M1 (2x, y) M ( x, y) O y = f 1 x б. 2 Ox y = f (x) x 1 M ( x, y) M1 2 x, y а. Жишээ 5: y = 1 функцийн график ашиглан y= x 2 + 2 функцийн графикийг байгуулах дарааллыг x −1 гаргаж, уг дарааллын дагуу байгуул. Бодолт. y = 2 → y = 2 → y = 2 + 2 дарааллаар байгуулж зурагт харууллаа. y = 2 x x −1 x −1 x функцийн график дээр орших аливаа цэгийг M ( x,� y) гэвэл M2 ( x +1, y + 2) M ( x, y) M1 ( x +1, y) y+2 M1 ( x + 1, y) цэг нь y = 2 функцийн график дээр, y = x 2 + 2 x −1 −1 M2 ( x +1, y + 2) цэг нь y y = 2 + 2 функцийн график дээр x −1 y = 2 O x x +1 x −1 оршино. y = 2 x Жишээ 6: y = 2x функцийн график ашиглан y = −2x+1 − 2 функцийн графикийг байгуулах дарааллыг гаргаж, гаргасан дарааллын дагуу байгуул. Бодолт. y = −2x → y = −2x+1 → y = −2x+1 − 2 дарааллаар y байгуулж зурагт харууллаа. y = −2x функцийн график дээр орших M1 ( x −1, y) M ( x, y) O x аливаа цэгийг M ( x,� y) гэвэл M1 ( x −1, y) цэг нь y = −2x+1 функцийн M2 ( x −1, y − 2) y = −2x график дээр, M 2 ( x −1, y − 2) цэг нь y = −2x+1 − 2 функцийн график дээр оршино. y = −2x+1 y = −2x+1 − 2 ПРОГРЕСС БА БИНОМ ЗАДАРГАА Төгсгөлгүй геометр прогрессын нийлэх нөхцөл Бодлого 1. Төгсгөлгүй тооны гишүүнтэй геометр прогрессын нэгдүгээр гишүүн 25 ба хуваарь нь 1 бол а. Эхний n гишүүний нийлбэрийг ол. б. Бүх гишүүдийн нийлбэрийг ол. 2 Бодолт. а. Геометр прогрессын эхний n гишүүний нийлбэрийг олох томъёо ёсоор 25 1 n −1 n 2 25 25 25 1 50 Sn = 25 + + + .. . + 2n−1 = = 50 1 − 2 = 50 − 2n гэж гарна. 1 −1 2 22 2 б. n = 5, 6, . . . тооны утгад харгалзах эхний n гишүүний нийлбэрийг тооцоолон хүснэгтэд бичье. n 5 6 7 8 9 10 50 50 50 50 50 50 50 − ≈ 50 − ≈ 50 − ≈ 50 − ≈ 50 − ≈ 50 − ≈ Sn 32 64 128 256 512 1024 ≈ 50 −1.563 ≈ 50 − 0.781 ≈ 50 − 0.391 ≈ 50 − 0.195 ≈ 50 − 0.098 ≈ 50 − 0.049 33
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном 50 50 Одоо гишүүдийн тоо n хангалттай ихэсвэл Sn = 50 − 2n томьёоны 2n тоо багасаж бараг тэг болох тул Sn нь бараг 50 болно. Өөрөөр хэлбэл бүх гишүүдийн нийлбэр 25 25 25 25 + 2 + 22 + . . . + 2n−1 + . . . = 50. Эхний гишүүн нь b ба хуваарь нь q байх төгсгөлгүй тооны гишүүнтэй геометр прогрессын бүх гишүүдийн нийлбэрийг олох бодлогыг авч үзье. Өөрөөр хэлбэл b + bq + bq2 + . . . + bqn−1 + . . . илэрхийллийн тоон утгыг q - ээс хамааруулан үзэх нь ойлгомжтой. b ≠ 0 =ба q < 1 байг. Тэгвэл геометр прогрессын эхний n гишүүний нийлбэрийн томьёогоор ( )Sn = b + bq + bq2 + . . . + bqn−1 =b qn −1 байна. n -ийг ихэсгэх тусам qn нь тэг руу дөхнө. Иймд q −1 b (1− qn ) n -ийг ихэсгэх тусам -илэрхийллийн утга b руу дөхнө. Эндээс 1− q 1− q b + bq + bq2 +. . .+ bqn−1 +. . . = b болно. 1− q b ≠ 0 =ба q > 1 байг. n -ийг ихэсгэх тусам qn нь маш их тоо гарах боломжтой. Иймд n -ийг b (qn −1) ихэсгэх тусам q −1 илэрхийллийн утга маш том тоо гарна. Эндээс бүх гишүүдийн нийлбэрийг олох боломжгүй. b ≠ 0 =ба q = 1 байг. Тэгвэл геометр прогрессын эхний n гишүүний нийлбэр Sn = nb эсвэл Sn = −nb болно. n -ийг ихэсгэх тусам Sn утга маш том тоо гарна. Эндээс бүх гишүүдийн нийлбэрийг өмнөхийн адилаар олох боломжгүй байна. b = 0 үед бүх гишүүд тэг болох тул бүх гишүүдийн нийлбэр тэг гарна. Дүгнэлт. Эхний гишүүн нь тэгээс ялгаатай төгсгөлгүй тооны гишүүнтэй геометр прогрессын хувьд Хэрэв q < 1 бол бүх гишүүдийн нийлбэр төгсгөлөг тоо гарна. Хэрэв q ≥ 1 бол бүх гишүүдийн нийлбэр төгсгөлөг тоо гарахгүй. Тодорхойлолт. Хэрэв төгсгөлгүй тооны гишүүнтэй геометр прогрессын хуваарь q нь q < 1 бол түүнийг төгсгөлгүй буурах геометр прогресс гэнэ. Харин бүх гишүүдийн нийлбэрийг b томьёогоор олно. 1− q Нийлдэг геометр прогрессын бүх гишүүдийн нийлбэрийн томьёог хэрэглэх 1. Төгсгөлгүй геометр прогрессын эхний гурван гишүүн нь 4, 2, 1 бол а. q ол б. S10 ол. в. Хэрэв бүх гишүүдийн нийлбэр төгсгөлөг тоо гарах бол түүнийг ол. 2. Төгсгөлгүй геометр прогрессын эхний гурван гишүүн нь 2, 6, 18 бол а. q ол б. S10 ол. в. Хэрэв бүх гишүүдийн нийлбэр төгсгөлөг тоо гарах бол түүнийг ол. 3. Дараах геометр прогрессын бүх гишүүдийн нийлбэр төгсгөлөг тоо гарах эсэхийг шалгаж, хэрэв тийм бол бүх гишүүдийн нийлбэрийг ол. а. 5, 5 , 5 , . . . б. 20, -10, 5, -2.5, . . . в. 2, 10 , 50 250 г. 0.5, 0.05, 0.005, 0.0005, . . . 3 32 3 32 , 33 , . . . 4. Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессын бүх гишүүдийн нийлбэр эхний гишүүнээс 5 дахин их бол хуваарийг ол. 5. Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессын бүх гишүүдийн нийлбэр 21 ба эхний гурван гишүүний нийлбэр 133/9 бол эхний гурван гишүүнийг ол. 6. Төгсгөлгүй геометр прогрессын бүх гишүүдийн нийлбэр төгсгөлөг тоо гарах эсэхийг шалгаж, 34
Математик XI анги хэрэв тийм бол бүх гишүүдийн нийлбэрийг ол. а. 2−3+ 9 − . . . ( ) ( )б. 2 + 2 − 2 + 3 2 − 4 + . . . в.1+ 2 + 4 + . . . 2 3 9 ( ) ( )г. 1+ 2 + 2 + . . . д. 2 +1 +1+ 2 −1 + . . . Арифметик ба геометр прогресс ашиглан практик асуудал шийдвэрлэх 1. 0< x≤π байг. Хэрэв b1 = 1 ба 1 байх төгсгөлгүй геометр прогрессын бүх гишүүдийн 2 q = 2 sin x нийлбэр 3 бол x -ийн утгыг ол. 4 2. 0° < θ < 90° байг. O цэгт огтлолцох ∠XOY = θ байх OX ,�OY хэрчмийг авч үзье. OX хэрчим дээр A1 цэгийг OA1 = a байхаар авъя. A1 цэгээс OY хэрчимд перпендикуляр буулгаж, перпендиулярын суурийг нь A2 гэж тэмдэглэе. Дараа нь A2 цэгээс OX хэрчимд перпендикуляр буулгаж, перпендиулярын суурийг нь A3 гэж тэмдэглэе. Үүнтэй адиллаар A4 , A5 , ... гэх мэтээр төгсгөлгүй тооны гишүүнтэй цэгэн дараалал үүснэ. а. Хэрэв A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + . . . = 3a бол θ -ийн утгыг ол. б. θ = 30° үед SA1A2A3 + SA3A4A5 + SA5A6A7 + . . . нийлбэрийг ол. 3. Зурагт үзүүлсэн A0 A1 A3 A4 ... дахир муруйг A0 цэгээс гарсан шоргоолжийн явах зам гэж үзвэл а. Шоргоолж эхлээд A0 цэгээс a = 1 векторын чиглэлийн дагуу 1 нэгж явж, дараа нь = 0 0 b 1 a векторын чиглэлийн дагуу 1 нэгж явж, дараа нь = 1 векторын чиглэлийн дагуу 1 нэгж 2 0 22 явж, дараа нь b = 0 векторын 1 нэгж явах гэх мэтээр төгсгөлгүй 1 чиглэлийн дагуу 23 үргэлжлүүлэхэд шоргоолж ямар координаттай цэг рүү дөхөх вэ? б. Шоргоолж эхлээд A0 цэгээс a = 1 векторын чиглэлийн дагуу 1 нэгж явж, дараа нь = 0 0 b 1 ( )векторын чиглэлийн дагуу 1 нэгж явж, дараа нь ( −a ) векторын чиглэлийн дагуу 1 нэгж явж, 2 яваж, дараа нь дараа нь 2a2 векторын дараа нь −b векторын нэгж 1 чиглэлийн дагуу 23 чиглэлийн дагуу 1 нэгж явах гэх мэтээр төгсгөлгүй үргэлжлүүлэхэд шоргоолж ямар 24 координаттай цэг рүү дөхөх вэ? 4. Таазнаас дүүжилсэн бөмбөг хоёр тийш савлаж байв. Анх таазтай перпендикуляр тэнхлэгтэй 30° =үүсгэхээр савласан ба дараагийн савлалт бүр өмнөх савлалтын 90%-тай тэнцүү өнцгөөр савлаж байв. а. 10 дахь савалт дуусахад бүх савласан өнцгүүдийн нийлбэрийг ол. 35
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном б. Хэсэг хугацааны дараа савалт зогсох тул нийт савласан өнцгүүдийн нийлбэрийг ол. (a + b)n бином задаргааны томьёо хэрэглэх, энд n нь эерэг бүхэл тоо Тодорхойлолт. Хоёр гишүүнтэй илэрхийллийг бином гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл a + b хэлбэрийн илэрхийлэл юм. n сөрөг биш бүхэл тоо үед (a + b)n хэлбэрийн илэрхийллийг биномын n зэрэг гэж нэрлэдэг. n = 0,1, 2, 3 утга авах үед (a + b) биномыг n зэрэгт дэвшүүлж задаргааг хийе. n = 0 үед (a + b)0 = 1 , n = 1 үед (a + b)1 = a + b , n = 2 үед (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , n = 3 үед (a + b)3 = (a + b) (a + b)2 = (a + b) (a2 + 2ab + b2 ) = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ДАСГАЛ 1. а. (a + b)4 илэрхийллийн задаргааг бич. б. (a + b)5 илэрхийллийн задаргааг бич. n сөрөг биш бүхэл тоо үед биномын n зэргийн задаргааны гишүүдийн өмнөх коэффицентийг биномын коэффицент гэх бөгөөд эдгээрийг баруун гар талд ялган бичье. Биномын n зэргийн задаргаа Биномын коэффицент (a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ( a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 ( a + b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � гэх мэт Биномын коэффицентоос тогтсон гурвалжныг Паскалийн гурвалжин гэдэг. Паскалийн гурвалжны хамгийн дээд талын мөрийг 0-р, дараагийн мөрийг 1-р, дараагийн мөрийг 2-р гэх мэт нэрлэдэг. Дээр Паскалийн гурвалжны 0-р мөрөөс 5-р мөрийг бичсэн байна. Паскалийн гурвалжны мөр бүрийн төгсгөлийн хоёр тоо 1 ба бусад тоо бүр зүүн дээд ба баруун дээд элементүүдийн нийлбэртэй тэнцүү болно. ( a + b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5 задаргааг ажиглавал Зүүнээс баруун тийш a -ийн зэрэг нэгээр хасагдаж b -ийн зэрэг нэгээр нэмэгдэж байна. Задаргааны гишүүн бүрд a ба b зэргийн нийлбэр 5 байна. Задаргаан дахь гишүүдийн тоо 6 байна. Дүгнэлт. Ерөнхий тохиолдолд (a + b)n илэрхийллийн задаргааны хувьд Зүүнээс баруун тийш a -ийн зэрэг нэгээр хасагдаж b -ийн зэрэг нэгээр нэмэгдэж байна. Задаргааны гишүүн бүрд a ба b зэргийн нийлбэр n байна. Задаргаан дахь гишүүдийн тоо n +1 байна. Бодлого 1. Паскалийн гурвалжны 6-р мөрийг ашиглан (a + b)6 илэрхийллийн задаргааг ол. Бодолт. Паскалийн гурвалжны 6-р мөрийн төгсгөлийн хоёр тоо 1 бөгөөд бусад тоонууд нь зүүн дээд ба баруун дээд хоёр тооны нийлбэртэй тэнцүү байна. Иймд 5-р мөр 1 5 10 10 5 1 6-р мөр 1 6 15 20 15 6 1 гэж гарна. Үүнийг ашиглавал ( a + b)6 = a6 + 6a5b +15a4b2 + 20a3b3 +15a2b4 + 6ab5 + b6 болно. 36
Математик XI анги ДАСГАЛ 2. (a + b)3 илэрхийллийн задаргааг ашиглан өгсөн илэрхийллийг задалж, эмхэтгэ. 3 а. ( x +1)3 б. ( x + 2)3 в. ( x − 4)3 г. (2x +1)3 д. 3x − 1 x 3. (a + b)4 илэрхийллийн задаргааг ашиглан өгсөн илэрхийллийг задалж, эмхэтгэ. а. ( x + 2)4 б. (3z +1)4 в. (2x −1)4 г. x + 1 4 д. 2c − 1 4 x c 4. а. (2a + b)5 илэрхийллийн задаргаа дахь a4b3 -ийг агуулах гишүүний өмнөх коэффицентийг ол. б. (3a − 2b)6 илэрхийллийн задаргаа дахь a2b5 -ийг агуулах гишүүний өмнөх коэффицентийг ол. 1 6 x в. 3x2 + илэрхийллийн задаргаанд x-ийг агуулаагүй гишүүний өмнөх коэффицентийг ол. 1 8 4x2 г. 2x3 − илэрхийллийн задаргаа дахь x9 -ийг агуулах гишүүний өмнөх коэффицентийг ол. Cnk ба n ! тэмдэглэгээ хэрэглэх Бодлого 1. a үсэг бичигдсэн 3 ширхэг, b үсэг бичигдсэн 2 ширхэг картаар 5 үсгээс бүрдсэн ялгаатай үг зохиох боломжийн тоог ол. аbааb Бодолт. Ялгаатай үг зохиох боломжийн тоог x гэе. Жишээ нь: abaab гэсэн үгийг авъя. Энэ үгийн үсгүүдийг харгалзан a1, b1, a2 , a3 , b2 гэж a1 b1 a2 a3 b2 тэмдэглэе. Тэгвэл a1, b1, a2 , a3 , b2 үсгүүдийн байрыг сэлгэж үүсгэх сэлгэмлийн тоо бол 5! боловч ялгаатай үг зохиох боломжийн тоо нь биш юм. Учир нь ижил үгүүд байраа сэлгэхэд ялгаатай үг зохиогдохгүй. Өөрөөр хэлбэл a1b1a2a3b2 ба a1b1a3a2b2 үгүүд ижил болно. Иймд abaab үгийн үсгүүдийг сэлгэснээр ижил үг зохиох боломжийн тоо 3!⋅ 2! байна. Иймд a1, b1, a2 , a3, b2 үсгүүдийн байрыг сэлгэж үүсгэх сэлгэмлийн тоонд нэг үг 3! ⋅2! удаа давхардаж тоологдсон гэсэн үг. Эндээс x⋅3!⋅2!= 5! ба x = 5! ! болно. 3!⋅ 2 1. 4 ширхэг a үсэг, 2 ширхэг b үсэг орсон 6 үсгээс тогтсон ялгаатай үг зохиох боломжийн тоо нь 6 хүүхдээс 2 хүүхдээс бүрдсэн бүжгийн хос нэгийг сонгох боломжийн тоотой тэнцүү гэж харуул. Санамж Математик X сурах бичгийн XIII бүлгээс Cnk -ийг n -ээс k -аар авсан хэсэглэлийн тоо гэж уншдаг бөгөөд Cnk = n! болохыг мэдсэн. k !(n − k)! 2. n,�k нь сөрөг биш, бүхэл тоо бөгөөд n ≥ k болог. Тэгвэл n − k ширхэг a үсэг, k ширхэг b үсгээр n урттай ялгаатай үг зохиох боломжийн тоо Cnk болохыг харуул. (a + b)3 илэрхийллийн задаргааны нэгдүгээр, хоёрдугаар, гуравдугаар, дөрөвдүгээр гишүүдийн өмнөх коэффицент харгалзан (a + b) (a + b) (a + b) үржвэрээс a3, a2b, ab2 , b3 илэрхийлэл үүсэх тоог заана. (a + b) (a + b) (a + b) илэрхийллийн задаргаанд a3 -н өмнөх коэффицент 1 байна. Энэ нь 3 ширхэг a үсгээр 3 урттай ялгаатай үг зохиох боломжийн тоо тэнцүү. (a + b) (a + b) (a + b) илэрхийллийн задаргаанд a2b -н өмнөх коэффицент 3 байна. Энэ нь 2 ширхэг a үсэг, 1 ширхэг b үсгээр 3 урттай ялгаатай үг зохиох боломжийн тоо 23!⋅!1!-тэй тэнцүү. (a + b) (a + b) (a + b) илэрхийллийн задаргаанд ab2 -н өмнөх коэффицент 3 байна. Энэ нь 1 ширхэг a үсэг, 2 ширхэг b үсгээр 3 урттай ялгаатай үг зохиох боломжийн тоо 3! -тэй тэнцүү. 1!⋅ 2! (a + b) (a + b) (a + b) илэрхийллийн задаргаанд b3 -н өмнөх коэффицент 1 байна. Энэ нь 3 ширхэг b үсгээр 3 урттай ялгаатай үг зохиох боломжийн тоотой тэнцүү байна. 3. Паскалийн гурвалжны 0-р мөрөөс 5-р мөр хүртэлх бүх тоог хэсэглэл ашиглан илэрхийлж бич. 37
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном 4. Паскалийн гурвалжны n -р мөрийн эхний 3 тоог хэсэглэлийн тоо ашиглан илэрхийлж бич. 5. Паскалийн гурвалжны n -р мөрийн k +1 дүгээр тоог хэсэглэлийн тоо ашиглан илэрхийлж бич. Бодлого 2. а. Cnk = C n−k , б. Cnk + Cnk+1 = C k+1 � батал. n n+1 Бодолт. а. Cnk = k !( n! k )! томьёоны k -ийн оронд ( n − k )-г орлуулбал C n−k = ( n n! ! k ! гэж гарна. n− n −k) Эндээс Cnk = C n−k . n б. Cnk = n! томьёог хэрэглэвэл k !(n − k)! Cnk + Cnk+1 = k n! k )!+ (k n! k − 1) ! = k !(n n! −1)! n 1 k + k 1 1 = −k − + !(n − +1)!(n − = k !( n n ! −1) ! ⋅ ( k + n +1 − k ) = ( k (n + 1) ! k )! − k +1) !(n − 1) (n гэж гарах бөгөөд энэ нь C k+1 тоотой тэнцүү. n+1 Дүгнэлт. (a + b)n биномын задаргааны an−kbk -ны өмнөх коэффицент Cnk -тэй тэнцүү. Иймд биномын задаргааг хэсэглэл ашиглан илэрхийлж бичье. Ньютоны бином. n натурал тоо бол ( )a + b n = Cn0 a n + Cn1a bn−1 1 + Cn2a bn−2 2 + … + C abn−1 n−1 + Cnnbn . Үүнийг товчоор n n ∑(a + b)n = Cnk an−kbk хэлбэрээр бичиж болно. k =0 5. Биномын задаргааг бич а. (1+ x)7 б. (2 + x)6 в. б. (2x −1)7 Ерөнхий гишүүний томьёо хэрэглэх (a + b)n биномын задаргааны k дугаар гишүүнийг Tk гэж тэмдэглэдэг. Жишээ нь: T1 = Cn0an , T2 = Cn1an−1b1 , T3 = Cn2a bn−2 2 1. (a + b)n биномын задаргааны хувьд өгсөн хүснэгтийг дэвтэртээ нөхөж бич. Гишүүний дугаар 23 7 k +1 n−5 n Гишүүн Cn2a bn−2 2 Ньютоны биномын гишүүнийг олох томъёо. (a + b)n биномын задаргааны k +1 дугаар гишүүний бол Tk+1 = Cnk an−kbk байна. 2. Өгсөн биномын задаргааны эхний 3 гишүүн ба сүүлийн 3 гишүүнийг бич. n а. (1+ x)n б. (2 + x)n в. (1+ 2x)n г. 1 + x x ( )Жишээ нь n Cn0 a n + Cn1an−1 x1 Cn2an−2 x2 +…+ C a xn−2 2 n−2 + C a bn−1 1 n−1 Cnnbn a+x = + n n + 3. Паскалийн гурвалжны 5-р мөрд орших тоонуудын нийлбэрийг ол. 4. Паскалийн гурвалжны 6-р мөрд орших тоонуудын нийлбэрийг ол. 5. (1+ x)n биномын задаргааг ашиглан Cn0 + Cn1 +…+ Cnn = 2n болохыг харуул. Бодлого 1. (z − 2)25 биномын задаргаанд z18 -г агуулсан гишүүний дугаар ба коэффицентийг ол. Бодолт. Биномын задаргааны k +1 дугаар гишүүний томъёо ёсоор Tk +1 = C zk 25−k ( −2 )k гэж гарна. Энэ 25 гишүүн z18 -ийг агуулахын тул 25 − k = 18 . Эндээс k = 7 буюу 8 дугаар гишүүн z18 -ийг агуулна. 7 −2 7 z18 ( ) ( )T = C z7 25−7 z18 -ийг агуулсан гишүүний коэффицент 7+1 25 Иймд −2 = C7 болох ба 25 38
Математик XI анги −2 7 = −C275 27 . ( )C7 25 ДАСГАЛ 1 10 x2 6. x3 + биномын задаргааны x -ийг агуулаагүй гишүүн болон түүний дугаарыг ол. 2 24 x3 7. x5 + биномын задаргааны 9-р гишүүнийг ол. 2 22 x 8. 3 x + биномын задаргааны x−1 -ийг агуулсан гишүүнийг олоорой. 9. ( x + 3) (2x −1)6 илэрхийллийн задаргааны x5 -ийг агуулсан гишүүний коэффицентийг ол. 10. 1 10 ax x2 + биномын задаргаанд x11 -ийг агуулсан гишүүний коэффицент 15 бол a -г ол. 11. Хэрэв (1+ kx)n = 1− 48x + 960x2 − . . . бол n ба k -ийн утгыг ол. 12. � a+ a� x n -ийн задаргааны 5-р гишүүнийн коэффицентийг 3-р гишүүний коэффицентод x харьцуулсан харьцаа харьцаа 11 бол 9-р гишүүнийг ол. 8 13. 5 a4 x−1 биномын задаргааны дөрөв дэх гишүүн нь 56a5.5 бол x -ийн утгын олонлогийг ол. x−1 + a ⋅ a x+1 ax 14. (1+ kx) (2 − x)6 задаргааны x2 -ийн коеффициент тэгтэй тэнцүү байх k -ийн утгыг ол. 15. (2x − 3y )8 биномын задаргааны x5 y3 ба x3 y5 -ын өмнөх коэффицентийн нийлбэрийг ол. 16. а. ( x + y )n биномын задаргааны бүх коэффицентийн нийлбэр 4096 бол хамгийн их коэффицентийг ол. б. (a − 2b)n биномын задаргааны бүх коэффицентийн нийлбэр -1 бол n -ийн утгын олонлогийг ол. Үнэлгээний даалгавар 1. (4 y − 2x)5 илэрхийллийг задал. 3 x 10 x 2. −2 илэрхийллийн задаргаа дахь x -ийг агуулсан гишүүний дугаарыг ол. 3. (1+ kx) (3 + 2x)6 задаргааны x2 -ийн коэффицент 100-тай тэнцүү байх k -ийн утгыг ол. 4. (5a − 2b)n биномын задаргааны бүх коэффицентийн нийлбэр 729 бол 3-р гишүүнийг ол. 5. Эхний гишүүн нь b1 , хуваарь нь q байх төгсгөлгүй буурах геометр прогрессын бүх гишүүдийн нийлбэр 10, харин эхний гишүүн нь b1 , хуваарь нь q2 байх төгсгөлгүй буурах геометр прогрессын бүх гишүүдийн нийлбэр 15 бол эхний гишүүн нь b1 , хуваарь нь q3 байх төгсгөлгүй буурах геометр прогрессын бүх гишүүдийн нийлбэр хэд вэ? P цэг координатын эх O цэгээс a 1 6. Координатын хавтгай дээр = 1 векторын чиглэлийн дагуу 2 нэгж шилжиж, дараа = 1 векторын чиглэлийн дагуу 1 нэгж шилжиж, дараа нь a = 1 нь b −1 1 векторын чиглэлийн дагуу 1 нэгж шилжиж, дараа нь b = 1 векторын чиглэлийн дагуу 1 2 −1 22 нэгж шилжих гэх мэтээр төгсгөлгүй үргэлжлүүлэхэд P цэг ямар координаттай цэг рүү дөхөх вэ. 39
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном КООРДИНАТЫН ГЕОМЕТР Хавтгай дахь шулууны вектор тэгшитгэл Хавтгай дахь тэгш өнцөгт координатын системд өгсөн l шулуун дээр A ( x0 , y0 ) цэг авч үзье. l шулуунтай параллел тэг биш аливаа векторыг уг шулууны чиглүүлэгч вектор гэнэ. Зураг дээрх b вектор нь l шулууны чиглүүлэгч вектор болно. A y цэгийн радиус вектор OA = a байг. Уг шулуун дээр A-аас ялгаатай, OR = r� радиус вектортой R ( x, y ) цэг авъя. Тэгвэл b ба AR l b векторууд коллинеар тул A R =t ⋅b байх t бодит тоо олдоно. Иймд A( x0 , y0 ) OR = OA + AR учраас r = a + tb нбэорллоэхдэбг.өгЭөнөддbү=ү(нpи,йqг) хавтгай дахь шулууны вектор тэгшитгэл гэж a , OR = ( x,� y ) , Or R ( x, y) x OA = ( x0 , y0 ) гэж авбал вектор тэгшитгэлийг ( x, y ) = ( x0 , y0 ) + t ( p, q) гэж бичиж болно. Эндээс x = x0 + pt гэж гарах бөгөөд үүнийг шулууны параметрт тэгшитгэл гэнэ. y = y0 + qt Тэгшитгэлээс t -г олж тэнцүүлбэл x − x0 = y − y0 болж өмнө нь судалсан хавтгай дахь шулууны pq тэгшитгэл гbа=рн(а1,. Үүнийг цааш хялбарчилан ерөнхий тэгшитгэл бичиж болно. бич. Жишээ 1. 6) вектортой параллель, A (2, −4) цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэлийг Бодолт. A цэгийн радиус вектор OA = (2, −4) тул шулууны вектор тэгшитгэлийг бичвэл ( x, y) = (2, −4) + t (1, 6) болно. Харин параметрт тэгшитгэл нь x=2+t болно. Ерөнхий y = −4 + 6t тэгшитгэл нь 6x + y − 8 = 0 байна. Жишээ 2. A (2, −4) , B (−3, 4) цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл бич. Бодолт. Хоёр цэгийн радиус векторуудыг бичвэл OA = (2, −4) , OB = (−3, 4) бөгөөд ялгавар нь уг шулууны чиглүүлэгч вектор болно. Өгсөн хоёр цэгээс аль нэгийг нь сонгож аваад, түүнийг дайрсан OA − OB = (5, −8) вектортой параллель шулууны вектор тэгшитгэлийг бичвэл ( x, y ) = (2, −4) + t (5, −8) болно. Харин ерөнхий тэгшитгэл нь 8x + 5y + 4 = 0 байна. РАДИАН Өнцгийг радианаар хэмжих Өнцгийг градус, минут, секунд гэсэн нэгжүүдээс гадна тоонд шилжүүлэн радиан гэж нэрлэх нэгжээр мөн хэмждэг. Тодорхойлолт. Тойргийн радиустай тэнцүү урт бүхий нумд тулсан төв өнцгийг нэг радиан өнцөг гэнэ. Өнцгийг хэмжих градус ба радиан хоёрын хоорондын холбоог тогтооё. Хагас тойрогт харгалзах төв өнцөг 180° =байна. Энэ хагас тойргийн нумын уртыг l гэвэл l = 2π r = π r болно. Энэ хагас тойргийн төв өнцөг 180° =-ын радиан хэмжигдэхүүнийг олохын тулд 2 l πr радиан өнцгийн тодорхойлолт ёсоор нумын урт l -ийг радиусын урт r -д хуваахад r = r =π болно. Иймээс 180°-=ын өнцгийн радиан хэмжээ π =тоотой тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл 180° = π рад. Эндээс 1°-=ын өнцөгт харгалзах радиан хэмжээг олбол 1° = π рад буюу 1° ≈ 0.017 рад. 180° 180° 180° = π рад тэнцэтгэлээс 1 рад = π ≈ 57°17′45′′ болно. 40
Математик XI анги Санамж l = π тэнцэтгэлээс r = 1 нэгж тойргийн уртын хагас нь l = π байна. Бүтэн тойргийн урт r 2π =байна. r = 1 тул 1 радиан өнцөгт харгалзах нумын урт бас 1 нэгж тул x радиан өнцөгт харгалзах нумын урт мөн x тоотой тэнцүү. Жишээ. 4.5 радиан, π =радиан өнцгүүдийг градусаар илэрхийл. 3 180° 180° 900° Бодолт. 1 рад = π ≈ 57°17′45′′ учраас 4.5 рад = π ⋅ 4.5 = π = 258°, π = рад = π ⋅18π0° = 180° = 60° байна. 3 3 3 Жишээ. 36° =өнцгийг радианаар илэрхийл. Бодолт. 1° = π рад гэдгээс 36° = 36⋅18π0° рад = π рад 180° 5 Жишээ. а. α = 1.2� рад б. α = −3.6� рад бол sin α , cos α , tgα тоонууд ямар тэмдэгтэй байх вэ? Бодолт. 0 < 1.2 < π учраас α = 1.2� рад өнцөг I мөчид оршино. Иймд sin 1.2 > 0, cos1.2 > 0, tg 1.2 > 0 2 байна. − 3π < −3.2 < −π учраас α = −3.2� рад өнцөг II мөчид оршино. Иймд 2 sin(−3.2) > 0, cos(−3.2) < 0, tg (−3.2) < 0 байна. Санамж Радианаар илэрхийлэгдсэн өнцгийн хувьд рад гэж бичсэнийг цаашдаа орхиж бичнэ. Дасгал 1. Дараах өнцгийн хэмжигдэхүүнийг радианд шилжүүл. а. 90° б. 30° в. 270° г. 180° д. 135° е. 210° ё. −120° ж. −225° з. 300° 2. Радианаар илэрхийлэгдсэн өнцгийн хэмжигдэхүүнийг градуст шилжүүл. а. π = б. π = в. − 8π г. 3π = д. 5π = е. − 5π ё. 11π = ж. − 3π з. π = 5 9 2 4 6 6 12 5 20 3. а. 28π =б. − 28π в. 5π =г. − 5π бол синус, косинус, тангенс функцийн утга ямар тэмдэгтэй байх вэ? 5 5 12 12 4. Хурц өнцгийн синус, косинус, тангенсаар илэрхийл. а. sin 5 π = б. sin (−2π ) в. cos 7 π = г. cos(−2π ) д. tg(− 7 π ) е. tg 12 π = 6 6 5 7 5. Дараах функцийн утгыг ол. а. sin 7 π = б. tg 9 π = в. tg(− 2π) г. tg( 7 π ) = д. cos(− 7 π) е. cos 12 π = 6 4 3 4 5 7 Тойргийн нумын урт ба дугуйн секторын талбайтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх Тойргийн урт нь 2π r -=тэй тэнцүү учраас 1°-=ын өнцөгт харгалзах нумын урт 2π r =учир θ� -г градусаар хэмжсэн тохиолдолд l нумын урт πr ⋅1θ° болно. Oθ l 360 180 r Харин θ -г радианаар хэмжсэн тохиолдолд нумын уртыг l = rθ томьёогоор O нь төв өнцөг, 1 тулсан нум нь l олно. 1° хэмжээтэй төв өнцөгт харгалзах секторын талбай дугуйн талбайн 360 буюу π r2 − тай тэнцүү. Иймд θ хэмжээтэй төв өнцөгт харгалзах секторын 360 талбай πr2 ⋅ θ болно. Харин θ -г радианаар хэмжсэн тохиолдолд секторын A 360 1° Oα талбайг S = 1 r2θ томьёогоор олно. r B 2 41
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном Жишээ 1. r =6 радиустай дугуйн α өнцөгт харгалзах секторын талбай Scek = 2π бол α өнцгийг ол. Бодолт. 2π = 1 π ⋅62 ⋅α учраас α = 1 рад болно. 29 Дасгал 1. A цэгт төвтэй тойрог ABC тэгш өнцөгт гурвалжны BC талыг K цэгт шүргэнэ. Харин AB талыг E, AC талыг F цэгүүдээр огтолно=. BK 1=2, KC 3 бол BEK ,� KFC цэгүүдэд оройтой дүрсийн талбайн нийлбэрийг ол. 2. A цэгт төвтэй тойрог ABC тэгш өнцөгт гурвалжны BC талыг K цэгт шүргэнэ. Харин AB талыг E, AC талыг F цэгүүдээр огтлоно.=BK 4=, KC 9 бол EKF сегментийн талбайг ол. ТРИГОНОМЕТР Тригонометрийн функц, адилтгал, тэгшитгэл Тригонометр функцийн график байгуулахаас өмнө тригонометр функцийн тэгш, сондгой, үелэх чанарыг үзэх нь зүйтэй. Тригонометр функцийн тэгш ба сондгой чанар OA радиусыг α өнцгөөр эргүүлж OB радиуст, −α өнцгөөр эргүүлж OC y радиуст шилжүүлье. B, C цэгүүдийг хэрчмээр холбоход Ox тэнхлэг BOC B -ийн биссектрис болно. Иймд B� ба C цэгүүд Ox тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй. B цэгийн координатыг (x, y) гэвэл C -гийн координат (x,-y) болно. Rα KA Эндээс харахад синус, косинус, тангенсийн эсрэг өнцгүүдийн хамаарал O −α x sin(−α ) = −y = − y = − sin α , cos(−α ) = x = cos α C R R R tg(−α ) = −y = − y = −tgα болно. Иймд синус, тангенс функцүүд сондгой, x x косинус функц тэгш функц байна. Тригонометр функцийн үелэх чанар ОА радиусыг ОВ радиуст шилжүүлэх α өнцгийг бүтэн эргэлтийн өнцгөөр y эргүүлэн өөрчлөхөд түүний синус, косинус, тангенсын утгууд B ( x, y) өөрчлөгдөхгүй. Иймд синус, косинус, тангенс функцүүд нь үет функц байна. Өөрөөр хэлбэл sin(α + 360°⋅ n) = sin α , cos(α + 360°⋅ n) = cos α α A тэнцэтгэлүүд биелнэ. Иймд 360°⋅ n нь синус, косинус функцийн үе байна. O x Харин I мөчид орших α өнцөг III мөчид орших α +180° өнцгүүдийн хувьд tgα = y , tg (α +180°) = −y = y учраас tg (α +180°⋅ n) = tgα байна. Иймд x −x x y 180°⋅ n нь тангенс функцийн үе байна. Эдгээрээс хамгийн бага эерэг тоо α +180° y M ( x, y) 360° -=ыг синус, косинусын үндсэн үе, 180°-=ыг тангенсын үндсэн үе гэнэ. α −x O A Синус функцийн график xx y = sin x функцийн графикийг дараах чанарууд дээр тулгуурлан байгуулья. −y 1. Тодорхойлогдох муж: ]−∞, +∞[ M1 (−x, − y) 2. Утгын муж: [−1,1] 3. Координатын I,II мөчид эерэг, III, IV мөчид сөрөг утгатай 4. Сондгой функц. Өөрөөр хэлбэл функцийн график О (0,0) цэгийн хувьд тэгш хэмтэй 5. 2π =үндсэн үетэй учраас графикийн [0, 2π ] хэрчимд харгалзах хэсгийг зурна. Үүний тулд дараах хүснэгтийг хийвэл x0 π = π = π = 2π = 5π = π= 7π = 4π = 3π = 5π = 11π = 2π = 6 3 2 3 6 6 3 2 3 6 y0 1 31 3 1 0 −1 −3 –1 −3 −1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 42
Математик XI анги ба эндээс координатын харгалзах хавтгай дээр ( 0, 0) , π , 1 , π , 3 , π ,1 2π , 3 5π , 1 (π , 0) 7π , − 1 4π , − 3 3π , −1 , 5π , − 3 , 6 2 3 2 2 3 2 6 2 6 2 3 2 2 3 2 11π , − 1 , ( 2π , 0) цэгүүдийг дэс дараалан холбож, y = sinx функцийн графикийн [0, 2π ] хэрчимд 6 2 харгалзах хэсгийг зурна. Энэ y хэсгийг Ox тэнхлэгийн 2π = 1 урттай хэрчим бүрд зурснаар 1 y = sinx функцийн график 2 байгуулагдана. − π 1 π π π 2π 5π π 3π 2π x Дээрх хүснэгтэд зөвхөн x 2 2 63236 2 − −1 хувьсагчийн тодорхой хэдэн y утгыг авсан. Харин x 1 хувьсагчийн дурын утгуудаас 60° 1 2 з5а2р°и, м25πыг)=тооанвчы (Жишээ нь: машин ашиглан 30° 1 30° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360° 450° x 2 − түүний синусын утгыг −1 бодуулж, гарсан цэг график дээр оршиж байгаад үнэмшүүлэх нь зүйтэй. Өмнөх ангид y = x2 функцийн график ашиглан хувиргалтаар y = x2 + a, y = ax2 , y = ( x − m)2 , y = a ( x − m)2 + n функцийн графикийг хэрхэн байгуулахыг үзсэн. Үүнтэй адилаар y = sin x функцийн график ашиглан y = k + sin α , y = sin ( x −α ) , y = k sin x, k > 0, y = sin (kx) , k > 0, y = − sin x, y = sin (−x) хэлбэрийн функцийн графикийг байгуулна. f ( x ) = k + sin x хэлбэрийн функцийн график y = k + sin x функцийн график нь k > 0 бол y = sin x функцийн графикийг Oy тэнхлэгийн дагуу дээш k нэгжээр k < 0 бол y = sin x функцийн графикийг Оy тэнхлэгийн дагуу доош k нэгжээр зөөхөд гарна Жишээ. f ( x) = 0.6 + sin x , f ( x) = −0.7 + sin x функцийн графикийг байгуул. Бодолт. 0.6 эерэг тоо тул y = sin x функцийн графикийг Oy тэнхлэгийн дагуу дээш 0.6 нэгжээр зөөхөд f ( x) = 0.6 + sin x функцийн график, −0.7 нь сөрөг тоо тул y = sin x функцийн графикийг �Oy тэнхлэгийн дагуу доош 0.7 нэгжээр зөөхөд f ( x) = −0.7 + sin x функцийн график тус тус гарна. y f ( x) = 0.6 + sin x x f ( x) = sin x 0.6 0 f ( x) = −0.7 + sin x −0.7 f ( x) = sin ( x −α ) хэлбэрийн функцийн график f ( x) = sin ( x −α ) функцийн хувьд α нь тогтмол эерэг байна. f ( x) = 0 буюу sin ( x −α ) = 0 үед x −α = 0, π , 2π , 3π ,… байх бөгөөд x = 0 +α , π +α , 2π +α , 3π +α ,… болно. f (x) =1 буюу sin ( x −α ) = 1 үед x −α =π , 5π … байх бөгөөд x = π +α , 5π +α,… болно. 2 2 2 2 f ( x) = −1 буюу sin ( x −α ) = −1 үед x −α = 3π , 7π … байх бөгөөд x = 3π +α , 7π +α,… болно. 2 2 2 2 f ( x) = sin ( x −α ) функцийн хувьд α > 0 бол Ox тэнхлэгийн дагуу зүүн тийш α нэгжээр зөөнө. α < 0 бол Ox тэнхлэгийн дагуу баруун тийш α нэгжээр зөөнө. 43
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном Жишээ: f (x) = sin x −π функцийн графикийг байгуул. 4 π y = sin x функцийн графикийг Ох тэнхлэгийн дагуу баруун тийш 4 =нэгжээр зөөхөд f ( x ) = sin x − π функцийн график гарна. 4 y f (x) = sin x − π 4 f ( x) = sin x 1 0 2π 9π 3π x −π π π 5π 4 44 −1 f ( x ) = k sin x хэлбэрийн функцийн график y = kf ( x) нь y = f ( x) функцийн графикийг k > 1 бол Оy тэнхлэгийн дагуу k дахин сунгахад y 0 < k < 1 бол Оy тэнхлэгийн дагуу 1 дахин агшаахад гарна. y =k f (x) k y = f (x) Жишээ: f ( E) = 3 sin x функцийн графикийг байгуул. f ( x) = sin x функцийн графикийг байгуулж, уг функцийн графикийг Оy тэнхлэгийн дагуу 3 дахин сунгахад f ( x) = sin x функцийн Ox тэнхлэг x дээрх цэгүүд байрандаа үлдэж, бусад бүх цэгүүд Оy тэнхлэгийн дагуу шилжснээр f ( x) = 3 sin x функцийн график гарна. y 3 f ( x) = 3sin x 2 1 f ( x) = sin x −2π 3π −π π 0 π π 3π 2π 5π 3π x 2 2 2 − − −1 2 2 −2 −3 f ( x) = sin kx хэлбэрийн функцийн график f ( x) = sin x функцийн утгын хүснэгтийг ашиглан f ( x) = sin 2x функцийн утгын хүснэгт зохино. x 0 π = π = 3π = π = 5π = 3π = 7π = 2π = 4 2 4 4 2 4 2x 0 π = π = 3π = 2π = 5π = 3π = 7π = 4π = 2 2 2 2 f ( x) 0 1 0 –1 0 1 0 –1 0 f ( x) = 3sin x Хүснэгтээ ашиглан функцийн графикийг тоймлон зурна. y 1 −π 3π 0 π 3π π 5π 3π x 4 24 42 − − π − π π 2 4 4 f ( x) = sin 2x −1 Графикаас харахад: f ( x) = sin 2x функцийн үе нь π ,=( 2π )= 2 утгын муж −1 ≤ x ≤ 1 44
Математик XI анги k > 1 бол Ох тэнхлэгийн дагуу k дахин агшаана. 0 < k < 1 бол Ох тэнхлэгийн дагуу 1 дахин сунгана. Үүнтэй адилаар f ( x) = sin 3x , . . . , k f ( x) = sin kx хэлбэрийн функцийн үе нь 2π ,=. . . , 2π =болохыг сурагчдаар хийлгэх нь зүйтэй. 3 k f ( x ) = − sin x , f ( x ) = sin (− x ) хэлбэрийн функцийн график y y = f ( x) функцийн графикийг Ox тэнхлэгийн хувьд тэгшхэмтэй хувиргахад y = − f ( x) функцийн график гарна. y = f (x) y = f ( x) функцийн графикийг Оy тэнхлэгийн хувьд тэгшхэм хийхэд y = f (−x) функцийн график гарна x y =− f (x) y f ( x) = sin x 1 0 −π π 2π 3π x −1 f ( x) = − sin x Косинус функцийн график y = cosx функцийн графикийг дараах чанарууд дээр тулгуурлан байгуулья. 1. Тодорхойлогдох муж: ]−∞, +∞[ 2. Утгын муж: [−1,1] 3. Координатын I,IV мөчид эерэг, II,III мөчид сөрөг утгатай 4. Тэгш функц. Өөрөөр хэлбэл функцийн график Оy тэнхлэгийн хувьд тэгшхэмтэй 5. 2π =үндсэн үетэй учраас y = cos x функцийн графикийн [−π , π ] хэрчимд харгалзах хэсгийг зурна. x −π − 5π − 2π − π − π − π 0 π = π = π = 2π = 5π =−π 6 3 2 3 6 6 3 2 36 y –1 −1 −3 0 1 31 3 1 0 −3 −1 –1 2 2 2 2 2 2 2 2 Үүний тулд дээрх хүснэгт дэх цэгүүдийг дэс дараалан холбосноор функцийн графикийн [−π , π ] хэрчимд харгалзах хэсгийг байгуулна. Энэ хэсгийг Ox тэнхлэгийн 2π =урттай хэрчим бүрд зурснаар y = cosx функцийн график байгуулагдана. y = cos x функцийн график ашиглан y = k + cos x, y = cos ( x −α ) , y = k cos x, k > 0, y = cos (kx) , k > 0, y = − cos x, y = cos (−x) хэлбэрийн функцийн графикийг байгуулах нь y = k + sin x, y = sin ( x −α ) , y = k sin x, k > 0, y = sin (kx) , k > 0, y = − sin x, y = sin (−x) хэлбэрийн функцийн графикийг байгуулахтай адил учраас сурагчдаар бие даан хийлгэж, шалган, зөвлөж, үнэл. y 1 y = cos x − 2π −π 0 ππ 3π 2π 5π x 3π 2 2 2 − 3π − π 2 2 −1 Тангенс функцийн график y = tgx функцийн графикийг дараах чанарууд дээр тулгуурлан байгуулья. 1. Тодорхойлогдох муж. x ≠ ( 2k +1) π , k∈Z 2. Утгын муж ]−∞, +∞[ 2 3. Координатын I,IV мөчид эерэг, II,III мөчид сөрөг утгатай 45
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном 4. Сондгой функц. Өөрөөр хэлбэл функцийн график О (0,0) цэгийн хувьд тэгшхэмтэй 5. π =үндсэн үетэй учраас y = tg x функцийн графикийн − π , π хэрчимд харгалзах хэсгийг 2 2 нарийвлалтай зурахын тулд дараах хүснэгтийг хийнэ. y x − π − π − π − π 0 π = π = π = π = 3 2 3 4 6 6 4 3 2 –1 −1 0 1 1 1 3 3 1 y −∞ − 3 3 ∞= − π − π 3 3 6 0 −π π ππ π πx Хүснэгтэд байгаа цэгүүдийг дэс дараалан холбож, − 2 − 43 2 1 π π −1 3 2 2 y = tg x функцийн графикийн − , хэрчимд −3 харгалзах хэсгийг зурна. Дараа нь Ox тэнхлэгийн дагуу π =урттай хэрчим бүрд энэхүү хэсгийг зурах замаар y = tg x функцийн графикийг байгуулвал, зураг дээрх хэлбэртэй график гарна. Дасгал 1. 0 ≤ x ≤ 3π үед дараах функцийн графикийг байгуул. а. y = sin 2x б. y = sin (−x) в. y = sin (π − x) г. y = −2 sin x ж. y = 2 sin 3x д. y = 1− sin x е. y = −2 + sin x ё. y = 3 − 4 sin x г. y = cos (−x) 2. 0 ≤ x ≤ 3π үед дараах функцийн графикийг байгуул. ж. y = 2 cos 3x а. y = cos 2x б. y = cos (π + x) в. y = cos x г. y = 2 − tg x д. y = 1− cos x е. y = cos( x − 1 π ) ё. y = 3 − 4 cos x 2 3. 0 ≤ x ≤ 2π үед дараах функцүүдийн графикийг байгуул. а. y = tg 2x б. y = 1+ tg x в. y = − tg x Тригонометрийн урвуу функцууд y = sin−1 x = arcsin x функцийн график =y s=in x, y cos x функц бүх тоон шулуун дээр урвуу функцгүй. Харин синус, косинус функцийг тодорхойлогдох мужийн өсөх юмуу буурах завсарт авч үзвэл урвуу функцтэй байна. Тухайлбал: Синус функц − π ≤ x ≤ π завсарт өсөх учраас энэ завсарт урвуу функцийг нь авч үздэг. 2 2 y 1 f ( x) = sin x 3π −π 0 π 3π 2π 5π 3π x 2 − − π π 2 2 22 −1 Синус функцийн урвуу функцийг нь арксинус гэж нэрлээд y = sin−1 x y эсвэл y = arcsin x гэж тэмдэглэнэ. y = sin x функц − π ≤ x ≤ π завсарт π y=x 2 2 2 өсөх ба утгын муж [−1,1] тул түүний урвуу y = arcsinx функц дараах 0 чанаруудтай. 1. Тодорхойлогдох муж [−1,1] − 3π −π − π −1 1 πx π 2 2 2 2. Утгын муж − π ,π y = sin x −1 2 2 − π 3. y = arcsinx тодорхойлогдох муж дээрээ өснө. y = arcsin x 2 4. x ∈ − π , π ба y ∈[−1,1] үед arcsin (sin x) = x, sin (arcsin y ) = y бөгөөд sin x = y ⇔ arcsin y = x 2 2 46
Математик XI анги байна. 5. y = arcsinx нь сондгой функц өөрөөр хэлбэл arcsin (−x) = −arcsinx Эдгээр чанарууд болон урвуу функцийн графикууд y=x шулууны хувьд тэгш хэмтэй гэдгийг ашиглан графикийг нь зурна. Жишээ: sin−1 1 , sin arcsin 2 , arcsin sin π утгыг ол. 2 5 6 Бодолт: sin π = 1 тул sin−1 1 = π , sin arcsin 2 = 2, arcsin sin π = π байна. 6 2 26 5 5 6 6 y = cos−1 x = arccosx функцийн график y = cos x функц 0 ≤ x ≤ π завсарт буурах учраас урвуу функцтэй. Урвуу функцийг нь арккосинус гэж нэрлээд y = cos−1 x эсвэл y = arccos x гэж тэмдэглэнэ. y = arccos x функц дараах чанаруудтай. 1. Тодорхойлогдох муж [−1,1] y 2. Утгын муж [0;π ] 3. y = cos−1 x = arccos x функц тодорхойлогдох муж дээрээ y=x буурна. y = arccos x π 4. x ∈[0, π ] ба y ∈[−1,1] үед arccos (cos x) = x, cos (arccos y) = y 2 1 бөгөөд cos x = y ⇔ arccos y = x байна. y = cos x 5. y = arccos x тэгш ч биш, сондгой ч биш функц. Х−аπ рин 0 1π πx cos(π − x) = − cos x байх тул дурын x∈ −ц32πэгийн хувьд 2 [−1,1] − π −1 2 arccos (−x) = π − arccos x байна. −1 Эдгээр чанарууд болон урвуу функцийн графикууд y=x шулууны − π 2 хувьд тэгш хэмтэй гэдгийг ашиглан графикийг нь зурна. Жишээ: arccos − 1 утгыг ол 2 Бодолт. cos π = 1 бөгөөд cos(π − x) = − cos x байх тул −1 ≤ x ≤ 1 цэгийн хувьд 32 arccos (−x) =π − arccosx байна. Иймд arccos − 1 = π − arccos 1 = π −π = 2π болно. 2 2 3 3 y = tg−1 x = arctgx функцийн график y = tgx функц − π , π завсарт өсөх учраас урвуу функцтэй. Урвуу функцийг арктангенс гэж 2 2 нэрлээд y = tg−1x эсвэл y = arctg x гэж тэмдэглэнэ. y = arctgx y функц дараах чанартай. y=x 1. тодорхойлогдох муж −∞ ≤ x ≤ ∞ π y = arctg x 12 2. утгын муж − π ≤ x ≤ π πx 2 2 π 2 − 4 0 3. y = arctg x тодорхойлогдох муж дээрээ өснө. − π π 2 4 − π π 4. x ∈ 2 , 2 ба y∈ ]−∞, ∞[ үед arctg ( tg x) = x, tg (arctg y) = y −1 бөгөөд tg x = y ⇔ arctg y = x байна. − π 2 5. y = arctg x нь сондгой функц өөрөөр хэлбэл arctg (−x) = −arctgx y = tg x Эдгээр чанарууд болон урвуу функцийн графикууд y=x шулууны хувьд тэгш хэмтэй гэдгийг ашиглан графикийг нь зурна. Жишээ: arctg1 утгыг ол. Бодолт: tg π = 1 тул arctg1 = π болно. 4 4 47
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном Хялбар тригонометр тэгшитгэл Тодорхойлолт. Үл мэдэгдэх х тригонометр функцийн аргументэд агуулагдсан байх тэгшитгэлийг тригонометр тэгшитгэл гэнэ=. sin x a=, cos x a, tg x = a хэлбэрийн тэгшитгэлийг хялбар тригонометр тэгшитгэл гэнэ. Жишээ 1. (0 ; 2π ) завсарт 2 cos2 x − sin x = 1 тэгшитгэлийг бод. Бодолт. 2 (1− sin2 x) − sin x = 1 , 2 − 2 sin2 x − sin x = 1 y 2 sin2 x + sin x −1 = 0 Квадрат тэгшитгэлийг 1 f ( x) = sin x үржигдэхүүн болгон задлахад (2 sin x −1) (sin x +1) = 0 0.5 болно. Үржвэр тэгтэй тэнцүү б−а3й2π хын ту−лπд ядаж н− эπ2г нь 0 π π 2π π 4π 3π 5π 2π x 5π тэгтэй тэнцүү байна. 2π x 2 323 32 3 5π sin x = 1 sin x = −1 Тэгшитгэлийн графикийг −1 2 2 π 5π 3π байгуулж, шийдээ олбол x = 6 , x = 6 , x = 2 байна. Жишээ 2. а. cos x = 0 нь sin x tg x = 1 тэгшитгэлийн шийд болох уу? Яагаад вэ? Тайлбарла. б. sin x tg x = 1 тэгшитгэлийн шийдийг 0 ≤ x ≤ 360° завсарт ол. Бодолт. а. tg x = sin x томьёог ашиглавал y cos x sin2 x = y = cos x cos x 1 болно. cos x нь хуваарьт байгаа − π 0.6 π учраас sin x tg x = 1 тэгшитгэли−й3н2π 2 −π 0 π шийд 2 болохгүй. б. sin2 x = 1 ерөнхий хуваарь өгвөл sin2 x = cosx , 1− cos2 x = cos x, cos2 x + cos x −1 = 0 болно. Энэ cosx 1 ( )тэгшитгэлийг 2 байна. бодоход cos x= −1± 5 cos x = 0.618… тэгшитгэлийн графикийг байгуулж, шийдийг 0 ≤ x ≤ 360° завсарт олно. Хэрэв шийдийг харахад хүндрэлтэй байвал тооны машинаар тооцоолж болно. Шийд нь ойролцоогоор x = 51.8° x = 308.2° байна. cos x = −1.618… тэгшитгэл шийдгүй. Жишээ 3. (0 < x < 360°) завсарт y sin x = −0.3 тэгшитгэлийн шийдийг ол. 1.2 Бодолт. sin x = −0.3 тэгшитгэлийн x -ийн 0.6 утгыг тооцоолоход x = 17.5° −б32аπ йна. −π π −17.5° 0 π 2π x Графикаас харахад 2 − − 0.6 y = −0.3 x = 180° +17.5° = 197.5° , −1.2 x = 360° −17.5° = 342.5° болно. Давхар өнцөг агуулсан тэгшитгэл Ихэнх тригонометр тэгшитгэл θ -ийн үржвэр болон харьцаануудыг агуулсан байдаг. Тухайлбал: cos 2θ = 1 , tg 3θ = −2 гэх мэт. Эдгээр тэгшитгэлүүдийг θ . -ийн утгаас y 2 хамаарч үржүүлэх юм уу хуваах замаар хялбархан шийдэж болдог. Хэрвээ θ –ийн утга нь α ≤ θ ≤ β � байх бөгөөд үржвэрийн утга kθ байх 1 0 π πx шаардлагатай бол α , β -ийг мөн k -гаар үржүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл 42 kα ≤ kθ ≤ k β . −π − π 2 Тухайлбал: 0≤θ ≤ 360° , 0 ≤ 2θ ≤ 720° , 0≤ 1θ ≤ 180° гэх мэт 2 Жишээ 1: −π ≤ θ ≤ π завсарт cos 2θ = 1 тэгшитгэлийн бод. 2 48
Search
