คณิตศาสตร์

ตวั อยา่ ง ๑๑๓.-

ตัวอ ่ยางหนังสอื เรียน รายวิชาพ้นื ฐาน คณติ ศาสตร์ ช้ัน มัธยมศึกษาปีที่ ๑ เลม่ ๑ ตามมาตรฐานการเรียนรู้และตัวชว้ี ดั กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศกั ราช ๒๕๕๑ จดั ท�ำ โดย สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี จัดทำ�เปน็ ฉบบั e–book คร้ังท่ี ๒ พ.ศ. ๒๕๖๖ มีลขิ สิทธ์ติ ามพระราชบัญญัติ

สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.) ไดจ้ ดั ท�ำ หนงั สอื เรยี น ฉบบั e-book นข้ี น้ึ โดยมเี นอ้ื หาเชน่ เดยี วกบั หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี ๑ เลม่ ๑ ฉบบั สอ่ื สง่ิ พมิ พ์ ท่ีจัดทำ�ตามมาตรฐานการเรียนรู้และตัวช้ีวัด กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้นั พ้นื ฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ ทุกประการ เพ่อื ให้นักเรียน ครู ผ้ปู กครอง นักวิชาการ และผ้สู นใจท่วั ไป เข้าถึงได้ง่ายและสะดวกรวดเร็ว รวมท้งั สามารถเลือกใช้ตามความเหมาะสมกับ จดุ ประสงคต์ า่ ง ๆ ทง้ั น้ี สสวท. ขอสงวนสทิ ธใ์ิ นหนงั สอื เรยี น ฉบบั e-book น้ี ตามกฎหมายลขิ สทิ ธ์ิ หา้ มผใู้ ดท�ำ ซ�ำ้ คดั ลอก ดดั แปลง เลยี นแบบ จ�ำ หนา่ ย หรอื เผยแพร่ โดยมไิ ดร้ บั อนญุ าต สามารถเขา้ ถงึ สอ่ื ดจิ ทิ ลั ตา่ ง ๆ ของ สสวท. ไดท้ ่ี http://www.ipst.ac.th/ebook-resource/ ตัวอ ่ยาง

ตัวอ ่ยาง ค�ำ ช้ีแจง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) ได้จัดทำ�ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ (ฉบบั ปรบั ปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลกั สตู รแกนกลางการศกึ ษาขน้ั พื้นฐาน พทุ ธศักราช ๒๕๕๑ โดยมีจุดเน้นเพื่อต้องการพัฒนาผู้เรียนให้มีความรู้ความสามารถที่ทัดเทียมกับนานาชาติ ได้เรียนรู้คณิตศาสตร์ที่เชื่อมโยง ความรู้กับกระบวนการคิด มีความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์ คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ สามารถวิเคราะห์ปัญหาหรือสถานการณ์ ได้อย่างรอบคอบและถ่ีถ้วน ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหา ได้อย่างถูกต้องเหมาะสม และสามารถนำ�ไปใช้ ในชีวิตจริงได้อย่างมีประสิทธิภาพ ซึ่งในปีการศึกษา ๒๕๖๑ เป็นต้นไปนี้ โรงเรียนจะต้องใช้หลักสูตรกลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) สสวท. จึงได้จัดทำ�หนังสือเรียนที่เป็นไปตามมาตรฐานหลักสูตรเพื่อให้โรงเรียน ไดใ้ ช้ส�ำ หรบั จัดการเรยี นการสอนในชน้ั เรยี น หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ๑ เล่ม ๑ นี้ ประกอบด้วยเร่ือง จำ�นวนเต็ม การสร้าง ทางเรขาคณติ เลขยกก�ำ ลงั ทศนยิ มและเศษสว่ น รปู เรขาคณติ สองมติ แิ ละสามมติ ิ ซง่ึ เปน็ เนอ้ื หาสาระตามมาตรฐานการเรยี นรู้ ท่ีได้ก�ำ หนดไวใ้ นหลกั สตู ร อยา่ งไรกต็ ามผสู้ อนสามารถปรบั บทเรยี นใหเ้ หมาะสมกบั ศกั ยภาพของผเู้ รยี น ทง้ั น้ี หนงั สอื เรยี นเลม่ น้ี ได้จัดเนื้อหาตามพัฒนาการของผู้เรียน โดยมุ่งหวังให้ผู้เรียนสามารถสร้างองค์ความรู้ได้ด้วยตนเองและนำ�ความรู้ ทางคณิตศาสตร์น้ันไปประยุกต์ใช้เพื่อพัฒนาคุณภาพชีวิตของตนเอง อีกท้ังยังมีแบบฝึกหัดที่หลากหลายและท้าทายให้ผู้เรียน ใช้ตรวจสอบความเข้าใจ มีเกร็ดความรู้ที่เชื่อมโยงกับศาสตร์อื่น ๆ และชีวิตจริง รวมทั้งมีสื่อเทคโนโลยีประเภทต่าง ๆ อาทิ เครื่องคิดเลข วีดิทัศน์ การใช้ซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัตในการสำ�รวจ เพ่ือเป็นเครื่องมือในการทำ�ความเข้าใจบทเรียนให้ง่าย และลกึ ซ้งึ ยงิ่ ขึ้น ตลอดจนมกี จิ กรรมที่สง่ เสริมใหผ้ เู้ รียนท�ำ งานรว่ มกับผู้อืน่ ไดว้ เิ คราะหป์ ญั หา สบื เสาะความรู้ ร่วมกันอภิปราย เพ่ือให้ได้แนวทางในการแก้ปัญหา รวมท้ังส่งเสริมให้ผู้เรียนได้แก้ปัญหาด้วยวิธีการที่หลากหลาย ซ่ึงจะช่วยพัฒนาทักษะ แห่งศตวรรษที่ ๒๑ และสามารถใช้เป็นเคร่ืองมือในการเรียนรู้คณิตศาสตร์และศาสตร์อ่ืน ๆ ในระดับท่ีสูงขึ้น ในการจัดทำ� หนังสือเรียนเล่มน้ี ได้รับความร่วมมือเป็นอย่างดียิ่งจากผู้ทรงคุณวุฒิ นักวิชาการอิสระ คณาจารย์ท้ังหลาย รวมทั้งครูผู้สอน นักวิชาการจากสถาบนั และสถานศกึ ษาท้ังภาครฐั และเอกชน จงึ ขอขอบคุณไว้ ณ ทน่ี ี้ สสวท. หวงั เปน็ อยา่ งยง่ิ วา่ หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร์ เลม่ น ี้ จะเปน็ ประโยชนแ์ กผ่ เู้ รยี น และผทู้ เ่ี กยี่ วขอ้ ง ทุกฝ่าย ท่ีจะช่วยให้การจัดการศึกษาด้านคณิตศาสตร์มีประสิทธิภาพและประสิทธิผล หากมีข้อเสนอแนะใดที่จะทำ�ให้ หนงั สือเรียนเลม่ น้มี ีความสมบูรณ์ยิ่งขึน้ โปรดแจง้ สสวท. ทราบดว้ ย จะขอบคุณยง่ิ (ศาสตราจารยช์ กู ิจ ลิมปิจ�ำ นงค)์ ผู้อำ�นวยการสถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธิการ

การสอ่ื ความหมายของรปู ภาพและกรอบทีค่ วรรู้ 1 จุดประสงค์ของบทเรียน 6 ข้อควรระวงั ความรู้และทักษะที่นักเรียนควรทำ�ได้ ความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่อาจเข้าใจผิด เมื่อเรยี นจบบทน้ี หรอื น�ำ ไปใชโ้ ดยไมร่ ะวงั เพอื่ ใหเ้ กดิ ความ เข้าใจท่ีถูกต้อง และยำ้�เตือนให้นักเรียน 2 ทบทวนความรกู้ ่อนเรียน 7 เกดิ ความรอบคอบในการนำ�ไปใช้ ตัวอ ่ยางท บ ท ว น เ น้ื อ ห า ห รื อ ค ว า ม รู้ ก่ อ น เ รี ย นกจิ กรรม เพ่ือเตรียมความพร้อมสำ�หรับการเรียน เน้ือหาใหม่ ซ่ึงจะมีลิงก์ และ QR-code กิจกรรมที่เน้นให้นักเรียนได้ลงมือปฏิบัติ ส�ำ หรบั เขา้ ไปท�ำ แบบทดสอบออนไลน ์ เพอ่ื เพ่ือฝึกการสังเกต ฝกึ การคิด และเพือ่ ให้ ตรวจสอบความรพู้ น้ื ฐานกอ่ นเขา้ สบู่ ทเรยี น เกิดการเรียนรู้หรอื สร้างองค์ความรใู้ หม่ ๆ ทั้งยังช่วยพัฒนาทักษะและกระบวนการ 3 มมุ คณติ 8 ทางคณติ ศาสตร์ ความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่เพ่ิมเติมจาก ค�ำ ถามทา้ ยกิจกรรม เนื้อหา เพื่อเสริมความรู้ทางคณิตศาสตร์ ให้กับนักเรยี น คำ�ถามเพื่อสรุปความรู้ หรือขยายความรู้ จากกิจกรรมทไี่ ด้ท�ำ 4 ชวนคิด 9 มุมเทคโนโลยี คำ�ถามเพื่อตรวจสอบความรู้หรือขยาย ความรู้ จากเนอ้ื หา ตวั อยา่ ง หรอื แบบฝกึ หดั ความรู้หรือกิจกรรมท่ีใช้เทคโนโลยีเป็น โดยเน้นให้เกิดการอภิปรายร่วมกันใน เคร่ืองมือในการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เช่น ชน้ั เรยี น เพอ่ื ขยายความคดิ เพม่ิ เตมิ และ เคร่ืองคิดเลข หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิต แลกเปลีย่ นเรียนรูซ้ ง่ึ กนั และกัน พลวัต เพื่อให้นักเรียนมีทักษะในการใช้ เทคโนโลยใี นการแกป้ ัญหา 5 ข้อสังเกต 10 สื่อเสรมิ เพิ่มความรู้ ขอ้ มลู หรอื ความรทู้ างคณติ ศาสตรท์ ส่ี งั เกต แ ล ะ ส รุ ป ไ ด้ จ า ก เ นื้ อ ห า ห รื อ ตั ว อ ย่ า ง ข้อมูลหรือวีดิทัศน์เสริมความรู้ท่ีเพิ่มเติม เพ่ือส่งเสริมให้นักเรียนได้ฝึกการสังเกต จากเนื้อหา ตัวอย่าง หรือแบบฝึกหัด คาดการณ์ และลงข้อสรุป เพ่ือแนะนำ�แหล่งการเรียนรู้ให้นักเรียน ไดศ้ กึ ษาเพิม่ เติม

การสอื่ ความหมายของรปู ภาพและกรอบทีค่ วรรู้ 11 เกร็ดนา่ รู้ 17 สรปุ ท้ายบท ความรู้ทั่วไปในชีวิตจริงท่ีสอดคล้องกับ สรปุ เน้อื หาของบทเรียน เพ่ือสรุปสง่ิ ที่ได้ เน้อื หา ตัวอยา่ ง หรอื แบบฝึกหดั เรียนรูใ้ นบทเรียนนน้ั ๆ 12 เคร่ืองคดิ เลข 18 กิจกรรมทา้ ยบท แนะนำ�ให้ใช้เคร่ืองคิดเลขช่วยในการ กจิ กรรมทา้ ยบทเรยี น เพอื่ ใหน้ กั เรยี นไดน้ �ำ ค�ำ นวณ ความรู้ในบทเรียนมาใช้ในการแก้ปัญหา ตัวอ ่ยาง จากสถานการณ์ทหี่ ลากหลาย 13 ซอฟต์แวรต์ ารางท�ำ งาน 19 แบบฝกึ หดั ท้ายบท แ น ะ นำ � ใ ห้ ใ ช้ ซ อ ฟ ต์ แ ว ร์ ต า ร า ง ทำ � ง า น ในการทำ�กิจกรรม หรือการแก้ปัญหา แบบฝึกหัดท้ายบทเรียน เพ่ือให้นักเรียน ได้ประยกุ ต์ใชค้ วามรทู้ ี่ได้จากหัวขอ้ ต่าง ๆ 14 The Geometer’s Sketchpad 20 ในบทเรียนน้ี รวมทั้งบทเรียนก่อนหน้า มาใชใ้ นการแกป้ ญั หา แนะน�ำ ใหใ้ ชซ้ อฟตแ์ วร์ The Geometer’s กจิ กรรมคณิตศาสตรเ์ ชงิ สะเต็ม Sketchpad ในการท�ำ กจิ กรรม การส�ำ รวจ กิจกรรมท่ีเน้นการประยุกต์ใช้ความรู้ทาง หรอื การแก้ปัญหา ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ม า แ ก้ ปั ญ ห า ใ น ชี วิ ต จ ริ ง โดยให้นักเรียนได้บูรณาการความรู้ทาง 15 ทา้ ทาย คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี ร ว ม ทั้ ง ก ร ะ บ ว น ก า ร อ อ ก แ บ บ เ ชิ ง แบบฝึกหัดข้อท่ีมีความยากหรือซับซ้อน 21 วศิ วกรรม มากกว่าตัวอย่างที่มีให้ แต่ยังสามารถ ใช้เน้ือหาความรู้ที่เรียนมาประยุกต์ใช้ สอ่ื AR (Augmented Reality) ในการแก้ปญั หาได้ สอ่ื เสรมิ การเรยี นรู้ ดาวนโ์ หลดแอปพลเิ คชนั 16 ตรวจสอบความเขา้ ใจ “AR สสวท. คณิต มัธยม” เพ่ือใช้งาน ได้ที่ http://ipst.me/9075 ตรวจสอบความเข้าใจของตนเองภายหลัง จากเรียนจบบทเรียน เพื่อตรวจสอบว่า เนื้อหาใดท่ีเข้าใจ และเน้ือหาใดต้อง ทบทวนหรือเรียนร้เู พ่ิมเติม

สารบญั บทท่ี 1–3 หนา้ บทที่ เนือ้ หา 10 13 1 บทท่ี 1 จำ�นวนเตม็ 19 1.1 จำ�นวนเตม็ 31 จ�ำ นวนเตม็ 1.2 การบวกจำ�นวนเตม็ 40 1.3 การลบจำ�นวนเต็ม 48 2 1.4 การคณู จ�ำ นวนเต็ม 55 1.5 การหารจ�ำ นวนเต็ม 1.6 สมบตั ิของการบวกและการคณู จ�ำ นวนเตม็ 70 73 บทท่ี 2 การสรา้ งทางเรขาคณิต 82 2.1 รปู เรขาคณติ พ้นื ฐาน 98 2.2 การสร้างพืน้ ฐานทางเรขาคณิต 2.3 การสร้างรปู เรขาคณิต 122 ตัวอ ่ยาง 125 การสรา้ งทางเรขาคณติ 134 147 3 บทที่ 3 เลขยกกำ�ลัง 3.1 ความหมายของเลขยกก�ำ ลงั 3.2 การคูณและการหารเลขยกก�ำ ลัง 3.3 สัญกรณว์ ทิ ยาศาสตร์ เลขยกก�ำ ลงั

สารบัญ บทท่ี 4–5 หน้า บทที่ เนอื้ หา 162 165 4 บทที่ 4 ทศนิยมและเศษส่วน 174 4.1 ทศนยิ มและการเปรียบเทยี บทศนยิ ม 183 ทศนยิ มและเศษส่วน 4.2 การบวกและการลบทศนยิ ม 198 4.3 การคูณและการหารทศนยิ ม 204 4.4 เศษสว่ นและการเปรยี บเทยี บเศษสว่ น 215 4.5 การบวกและการลบเศษสว่ น 226 4.6 การคณู และการหารเศษสว่ น 4.7 ความสมั พันธ์ระหวา่ งทศนยิ มและเศษส่วน ตัวอ ่ยาง 5 บทที่ 5 รปู เรขาคณิตสองมติ แิ ละสามมิต ิ 240 5.1 หน้าตัดของรปู เรขาคณติ สามมิติ 243 5.2 ภาพดา้ นหนา้ ภาพด้านขา้ ง และภาพด้านบนของรปู เรขาคณติ สามมิติ 254 รูปเรขาคณิต สองมิตแิ ละสามมติ ิ บรรณานุกรม 280 ภาคผนวก ดัชนี 282 บญั ชสี ัญลกั ษณ์ 286 คณะผู้จัดท�ำ 287

10 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม หนังสอื เรยี นรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 จำ�นวนเต็ม 1.1 จ�ำ นวนเตม็ 1.2 การบวกจำ�นวนเตม็ 1.3 การลบจ�ำ นวนเตม็ 1.4 การคูณจำ�นวนเต็ม 1.5 การหารจ�ำ นวนเต็ม 1.6 สมบตั ิของการบวกและการคณู จำ�นวนเต็ม ตัวอ ่ยาง จดุ ประสงค์ของบทเรยี น เมอ่ื เรียนจบบทนแ้ี ลว้ นักเรยี นจะสามารถ 1. เปรียบเทยี บจำ�นวนเต็ม 2. หาผลบวก ผลลบ ผลคูณ และผลหารของจำ�นวนเต็ม 3. น�ำ ความรู้เรือ่ งจ�ำ นวนเต็มไปใช้ในการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ CC CC สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนังสอื เรยี นรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม 11 บทที่ 1 จำ�นวนเตม็ ตัวอ ่ยาง “ อาคารบางอาคารทม่ี กี ารสรา้ งชนั้ ใตด้ นิ หลาย ๆ ชนั้ มกั ก�ำ หนดใหช้ นั้ ทอ่ี ยรู่ ะดบั เดยี วกบั ถนน “ เป็นช้ันท่ี 1 และเพ่ือให้ชั้นที่อยู่ในระดับลึกลงไปสามารถกำ�หนดรู้ได้ว่าช้ันใดอยู่สูงหรือต่ำ�กว่า ชัน้ ใด จึงมีการก�ำ หนดชัน้ ทอ่ี ย่ตู �่ำ ลงไปเปน็ ช้ัน 0, -1, -2 และ -3 ลดหลั่นไปตามลำ�ดบั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

12 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ หนงั สอื เรียนรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ทบทวนความรูก้ ่อนเรียน ✤ ตัวอยา่ งของเส้นจ�ำ นวน 12 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0369 ตัวอ ่ยาง ✤ การบวก และการลบจ�ำ นวนนับ สามารถใช้เสน้ จำ�นวนแสดงการหาผลบวกและผลลบได้ เชน่ ◆ หาผลบวก 6 + 3 โดยใชว้ ธิ กี ารนบั ตอ่ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6+3 = 9 ◆ หาผลลบ 7 _ 4 โดยใช้วธิ ีการนบั ถอยหลัง 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7_4 = 3 ✤ การคณู จ�ำ นวนนับ สามารถทำ�ได้โดยการบวกเพ่มิ คร้ังละเทา่ ๆ กัน เช่น 5 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 ✤ การหารจ�ำ นวนนับ ท่ีเปน็ การหารลงตัว สามารถทำ�ไดโ้ ดยการหาจ�ำ นวนนับที่น�ำ มาคณู กับตัวหารแลว้ ไดผ้ ลคณู เทา่ กับตวั ตั้ง เชน่ 18 ÷ 6 จะต้องหาจ�ำ นวนนับท่ีนำ�มาคูณกับ 6 แลว้ ได้ 18 นั่นคือ 3 ดงั นน้ั 18 ÷ 6 = 3 นักเรยี นสามารถทำ�แบบทดสอบความรพู้ ้ืนฐานกอ่ นเรยี นได้ท่ี goo.gl/Y3ymx3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนงั สือเรียนรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเตม็ 13 1.1 จำ�นวนเต็ม เกร็ดน่ารู้ ในอดีตหลงั จากท่ีมนษุ ยร์ ูจ้ ักเปรยี บเทยี บความมากกว่า หรอื น้อยกวา่ แลว้ 1) ในสมัยโบราณ ชาวอินคา (Inca) มนุษย์จึงเริ่มมีแนวคิดเกี่ยวกับจำ�นวนนับตัวแรก ๆ โดยยังไม่มีการกำ�หนด ในทวีปอเมริกาใต้ใช้การมัดเชือก สัญลกั ษณ์แทนจ�ำ นวนที่ชดั เจน ต่อมาเมอื่ มคี วามจ�ำ เปน็ ทต่ี ้องการทราบจำ�นวน ให้เป็นปมแทนการบันทึกจำ�นวน ท่ีแน่นอน จึงเริ่มมีการนับเกิดขึ้น เช่น เม่ือคนเล้ียงแกะจะปล่อยแกะออกไป โดยสนั นษิ ฐานวา่ หน่งึ ปม หมายถึง กนิ หญ้า เขาใช้กอ้ นหินหน่งึ กอ้ นวางไวเ้ พื่อแทนแกะหน่งึ ตวั ทปี่ ลอ่ ยออกไป และ ธญั พืชหนง่ึ มัด เม่ือถึงเวลาที่แกะกลับเข้าคอกจะหยิบก้อนหินออกจากกองหน่ึงก้อนแทนแกะท่ี กลับเข้ามาหน่งึ ตัว ซ่งึ ภายหลงั จากทไี่ ม่มแี กะกลับเขา้ คอกอีก จะทราบไดท้ นั ทีวา่ 2) การสร้างรอยบากบนกระดูกสัตว์ แกะนั้นกลับมาครบทุกตัวหรือไม่ ในด้านของการบันทึกจำ�นวน มนุษย์มีวิธี เพ่ือเป็นสัญลักษณ์แทนจำ�นวนใน การบันทึกที่แตกต่างกันไปตามแหล่งอารยธรรม เช่น การมัดเชือกเป็นปม ยุคโบราณ กระดูกน้ีพบในบริเวณ การทำ�รอยบากบนกระดูกสัตว์หรือก่ิงไม้ เห็นได้ว่า การนับในลักษณะน้ี ท่ีเรียกว่า อิชันโก (Ishango) เป็นการจับคู่ระหว่างร่องรอยของการบันทึกกับสิ่งท่ีต้องการนับ ต่อมาจึงได้มี ประเทศคองโก ในปัจจุบัน การบันทึกจำ�นวนอย่างเป็นระบบมากข้ึน พัฒนาการดังกล่าวทำ�ให้เกิดเป็น สัญลักษณ์ท่ีใช้แทนจำ�นวนนับ (counting number) หรือจำ�นวนธรรมชาติ (natural number) หรือจำ�นวนเต็มบวก (positive integer) อันได้แก่ 1, 2, 3, ... ตัวอ ่ยาง นอกจากจ�ำ นวนเตม็ บวกแลว้ ยงั มจี �ำ นวนเตม็ ศนู ย์ (zero) ทม่ี ปี ระโยชนใ์ น การใชง้ าน การใชศ้ นู ยน์ น้ั มดี ว้ ยกนั หลายความหมายตามแตส่ ถานการณท์ ต่ี อ้ งการ โดย “ศนู ย์” อาจใชแ้ ทน “ความไมม่ ี” เช่น เราไมน่ ยิ มพูดว่ามแี กะอยู่ 0 ตวั แต่ จะพดู วา่ ไม่มแี กะ แตใ่ นบางสถานการณ์ “ศนู ย์” ไม่ได้แทน “ความไม่มี” เชน่ ✤ อุณหภูมิของอากาศเป็น 0 องศาเซลเซียส หมายถึง อุณหภูมิของ อากาศมคี วามรอ้ นระดบั หน่ึง ซง่ึ ไมไ่ ด้หมายความวา่ อากาศไม่มคี วามร้อน ✤ เกรด 0 หมายถึง ผลการเรียนระดับหนึ่ง อาจเป็นเพราะนักเรียน ยังให้ความสนใจในการเรียนไม่เพียงพอ จึงทำ�ให้ผลการเรียนในรายวิชาน้ัน ๆ อยู่ในระดับ 0 ซ่ึงไมไ่ ด้หมายความว่านักเรยี นไมม่ ผี ลการเรยี นในรายวชิ านนั้ ๆ เมื่อมีความเจริญมากข้ึน มนุษย์เร่ิมแลกเปลี่ยนค้าขายสินค้ากัน จึงทำ�ให้รู้จักท่ีจะหยิบยืมและมีหนี้สินเกิดข้ึน ดว้ ยเหตนุ เ้ี องท�ำ ใหจ้ �ำ นวนนบั และศนู ยท์ ใ่ี ชง้ านอยไู่ มเ่ พยี งพอ ซง่ึ นา่ จะเปน็ เหตผุ ลหนง่ึ ทท่ี �ำ ใหเ้ กดิ แนวคดิ ในการสรา้ งจ�ำ นวนเตม็ ลบ (negative integer) ข้ึน นอกจากการใช้จำ�นวนเต็มลบแทนการหยิบยืมและการเป็นหน้ีสินแล้ว เรายังใช้จำ�นวนเต็มลบ เพื่อแสดงถึงสภาพหรือปริมาณที่ต่ำ�กว่าเกณฑ์บางอย่างท่ีกำ�หนด เช่น ในการกำ�หนดให้อุณหภูมิที่ทำ�ให้น้ำ�เปลี่ยนสถานะ จากของเหลวกลายเป็นของแข็งเทา่ กบั 0 องศาเซลเซยี ส ดังนนั้ อุณหภมู ิทตี่ �ำ่ กวา่ อุณหภูมิดงั กล่าวจึงแทนด้วยจำ�นวนลบ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

14 บทที่ 1 | จำ�นวนเต็ม หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 มมุ คณติ ในระดับประถมศึกษา นักเรียนได้รู้จักจ�ำ นวนนับ ซ่ึงต่อไปนี้ จะเรียกอีก อย่างหนึ่งว่า จำ�นวนเต็มบวก โดยจำ�นวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดคือ 1 และ ในการเขียนเส้นจำ�นวน จะเขียน จำ�นวนเตม็ บวกอื่น ๆ เกิดจากการนบั เพ่ิมข้นึ ทีละ 1 ท�ำ ให้สามารถแสดงได้ดว้ ย หัวลูกศรทั้งสองข้าง เพ่ือแสดงว่ายังมี แผนภาพที่นบั ต่อจาก 1 ไปทางขวาทลี ะ 1 หน่วย ดงั นี้ จำ�นวนอื่น ๆ ที่มากกว่าหรือน้อยกว่า จ�ำ นวนทีเ่ ขยี นแสดงไว้ 0 12 3 4 5 6 7 เรียก 1, 2, 3, 4, 5, ... วา่ จ�ำ นวนเตม็ บวก ขอ้ สังเกต จาก 1 ถา้ นับลดลงทีละ 1 จะได้ 0, -1, -2, -3, -4, ... แสดงไดด้ ้วย ในการเขียนจำ�นวนเต็มลบจะเขียน แผนภาพทีน่ บั ถอยหลงั จาก 1 ไปทางซ้ายทลี ะ 1 หนว่ ย ดงั น้ี เครือ่ งหมาย - ไวห้ นา้ ตัวเลข เช่น -3, -5, -98 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 แตก่ รณจี �ำ นวนเตม็ บวก ไมน่ ยิ มเขยี น เรยี ก -1, -2, -3, -4, -5, ... วา่ จ�ำ นวนเตม็ ลบ เครื่องหมาย + ไวห้ น้าตัวเลข ตัวอ ่ยาง ขอ้ ควรระวัง จ�ำ นวนเต็มบวก จำ�นวนเตม็ ลบ และศูนย์ กลา่ วรวมเรียกวา่ จ�ำ นวนเตม็ (integer) ดงั น้นั จำ�นวนเตม็ ไดแ้ ก่ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... โดยแสดงได้ เม่ือกล่าวถึงจำ�นวนเต็ม บางคนอาจ ดว้ ยจุดบนเส้นจ�ำ นวน (number line) ดงั นี้ นกึ ถงึ จ�ำ นวนเตม็ บวกเทา่ นน้ั แตอ่ ยา่ ลมื วา่ จ�ำ นวนเตม็ ลบ และศนู ย์ กเ็ ปน็ จ�ำ นวนเตม็ ศนู ย์ เช่นกัน จำ�นวนเตม็ ลบ จ�ำ นวนเตม็ บวก -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 จากเส้นจำ�นวน สังเกตว่า จำ�นวนเต็มท่ีอยู่ทางขวาของศูนย์เป็นจำ�นวน เต็มบวก จำ�นวนเต็มทอ่ี ย่ทู างซา้ ยของศนู ย์เปน็ จ�ำ นวนเตม็ ลบ และจ�ำ นวนทอ่ี ยู่ ทางขวาจะมากกวา่ จ�ำ นวนทอ่ี ยทู่ างซา้ ยเสมอ ศนู ยเ์ ป็นจ�ำ นวนเต็มท่ไี ม่ใชจ่ �ำ นวนเตม็ บวก และไมใ่ ช่จ�ำ นวนเตม็ ลบ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนังสือเรียนรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ 15 การเปรยี บเทยี บจ�ำ นวนเต็ม เราอาจใชเ้ ส้นจ�ำ นวนในการเปรยี บเทียบจำ�นวนเตม็ สองจ�ำ นวนที่ไม่เท่ากนั โดยการลงจุดบนเสน้ จ�ำ นวน แลว้ ใช้หลกั การ พจิ ารณาท่วี า่ จำ�นวนเต็มทอ่ี ยู่ทางขวาจะมากกวา่ จ�ำ นวนเต็มท่ีอย่ทู างซ้ายเสมอ ตวั อยา่ งท ่ี 1 ให้นักเรียนพิจารณาการเปรียบเทยี บจ�ำ นวนเต็มสองจ�ำ นวนตอ่ ไปนี้ จ�ำ นวนเตม็ ลงจดุ บนเส้นจ�ำ นวน สรปุ 9 และ 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 และ 4 -2 และ 0 9 อยูท่ างขวาของ 3 3 และ -3 หรือ -1 และ -8 3 อยู่ทางซา้ ยของ 9 ตัวอ ่ยาง 9 มากกวา่ 3 เขียนแทนดว้ ย 9 > 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 หรอื 4 อยู่ทางขวาของ 0 หรือ 3 น้อยกว่า 9 เขยี นแทนดว้ ย 3 < 9 0 อย่ทู างซา้ ยของ 4 4 มากกวา่ 0 เขยี นแทนดว้ ย 4 > 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 หรอื 0 อยทู่ างขวาของ -2 หรือ 0 น้อยกวา่ 4 เขียนแทนดว้ ย 0 < 4 -2 อยู่ทางซ้ายของ 0 0 มากกวา่ -2 เขียนแทนด้วย 0 > -2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 หรือ 3 อย่ทู างขวาของ -3 -2 นอ้ ยกวา่ 0 เขยี นแทนดว้ ย -2 < 0 หรือ 3 มากกว่า -3 เขียนแทนดว้ ย 3 > -3 -3 อยทู่ างซา้ ยของ 3 หรือ -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -3 น้อยกว่า 3 เขยี นแทนดว้ ย -3 < 3 -1 อยู่ทางขวาของ -8 -1 มากกวา่ -8 เขยี นแทนดว้ ย -1 > -8 หรือ หรอื -8 อยูท่ างซา้ ยของ -1 -8 นอ้ ยกวา่ -1 เขยี นแทนดว้ ย -8 < -1 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

16 บทที่ 1 | จำ�นวนเต็ม หนงั สือเรยี นรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 นอกจากการใชเ้ สน้ จ�ำ นวนในการเปรยี บเทยี บจ�ำ นวนเตม็ สองจ�ำ นวนแลว้ เรายงั สามารถใชเ้ สน้ จ�ำ นวนในการเปรยี บเทยี บ จ�ำ นวนเต็มทม่ี ากกว่าสองจำ�นวนได้ดังตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี ตวั อยา่ งท ่ี 2 จงเรยี งลำ�ดบั 4, -1, 6, -2, -7 และ 0 จากน้อยไปมาก วธิ ที �ำ เขยี นเส้นจำ�นวนและลงจุดบนเส้นจำ�นวนไดด้ งั น้ี -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 จากการลงจุดบนเสน้ จำ�นวน สามารถเรียงล�ำ ดับจำ�นวนเต็มท่กี �ำ หนดให้จากนอ้ ยไปมาก ได้ดังน้ี -7, -2, -1, 0, 4 และ 6 ตอบ -7, -2, -1, 0, 4 และ 6 ตัวอ ่ยาง แบบฝกึ หัด 1.1 1. ก�ำ หนดจ�ำ นวนดงั ตอ่ ไปนี้ -1 0 100 7 3.0 -3 2 7.6 51 -13  1   6  99 6 6 4.5 22.3 4 1.2 -24  1  9 1 52   6  2.5 10.0  0  36 7 5 4 1) จำ�นวนใดบ้างเปน็ จำ�นวนเตม็ บวก 2) จำ�นวนใดบา้ งเปน็ จำ�นวนเตม็ ลบ 3) จำ�นวนใดบ้างเปน็ จำ�นวนเตม็ 2. จงเขียนจำ�นวนหา้ จำ�นวนตามเงอื่ นไขท่กี ำ�หนดให้ตอ่ ไปนี้ 1) จำ�นวนท่ีตอ่ จาก 0 โดยลดลงทีละ 3 2) จำ�นวนท่ตี ่อจาก 7 โดยลดลงทีละ 4 3) จำ�นวนท่ตี อ่ จาก -5 โดยเพ่ิมข้ึนทลี ะ 2 4) จำ�นวนทตี่ ่อจาก -10 โดยเพิ่มขน้ึ ทลี ะ 3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนงั สือเรียนรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเตม็ 17 3. จงเปรยี บเทยี บจำ�นวนตอ่ ไปนี้โดยใช้การลงจดุ บนเส้นจ�ำ นวน 1) -4 และ 0 2) 0 และ -7 3) 5 และ -5 4) -2 และ 8 5) -6 และ -9 6) -8 และ -3 7) -9 และ -4 8) -11 และ 11 ■4. จงเตมิ เคร่อื งหมาย > หรือ < ลงใน เพือ่ ทำ�ใหป้ ระโยคตอ่ ไปนี้เป็นจรงิ 1) 14 ■ 0 2) -9 ■ 9 3) -3 ■ 5 4) -18 ■ 19 5) 0 ■ -1 6) 11 ■ -27 7) 29 ■ -30 8) -4 ■ 6 ตัวอ ่ยาง ■5. จงเติมเคร่ืองหมาย > หรือ < ลงใน เพ่อื ทำ�ให้ประโยคตอ่ ไปน้ีเป็นจริง 1) -5 ■ -8 2) 5 ■ 8 ■ 3) -25 -24 4) 25 ■ 24 ■ 5) -46 -99 6) 46 ■ 99 ■ 7) -35 -21 8) 21 ■ 35 จากโจทยข์ ้อ 5 ขา้ วกลอ้ งเหน็ อะไรเหมอื นที่ ขา้ วหอมเหน็ ไหมจะ๊ ข้าวกลอ้ งว่า...ขา้ วกลอ้ งเห็นนะ แล้วเพือ่ น ๆ สังเกตเห็นอะไรกันไหมครับ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

18 บทท่ี 1 | จำ�นวนเต็ม หนงั สือเรยี นรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 6. จงเรียงล�ำ ดับจ�ำ นวนเต็มต่อไปนจี้ ากมากไปนอ้ ย 1) -5, 1, 0 และ 3 2) -6, -7, -4 และ -1 3) -7, -5, 4, -1 และ 7 4) 9, -2, 0, 5 และ -6 5) 4, -4, 2, -2, 6 และ -6 6) -10, 9, -8, 7, -6 และ 0 7. กำ�หนดจ�ำ นวนเตม็ 5, -17, -4, 0, 21 และ -9 จากจำ�นวนเตม็ ทกี่ �ำ หนดให้ จงหา 1) จ�ำ นวนเต็มทั้งหมดที่อยรู่ ะหว่าง -17 และ 5 2) จ�ำ นวนเตม็ ลบทัง้ หมดที่น้อยกวา่ 21 3) จ�ำ นวนเต็มทง้ั หมดที่มากกว่า -4 ตัวอ ่ยาง 8. กำ�หนดจ�ำ นวนเต็ม 5, -17, -4, 0, 21 และ -9 จากเง่ือนไขในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน ้ี จงหาจำ�นวนเต็มอนื่ ๆ อยา่ งน้อยหน่งึ จำ�นวนทไี่ มใ่ ชจ่ �ำ นวนเต็มที่ก�ำ หนดให้ 1) จ�ำ นวนเตม็ ที่อยู่ระหว่าง -17 และ 5 2) จ�ำ นวนเต็มลบทีน่ ้อยกวา่ 21 3) จ�ำ นวนเต็มทีม่ ากกวา่ -4 9. ใบไผ่กำ�ลังน่ังเครื่องบินจากเชียงรายไปยังกรุงเทพมหานคร ในขณะที่เครื่องบินกำ�ลังไต่ระดับ เขาสังเกตท่ีหน้าจอ แสดงข้อมลู การบินในระยะเวลาหน่งึ แล้วพบข้อมูลที่น่าสนใจเกย่ี วกับระดบั ความสงู ของเครอ่ื งบนิ จากระดับนำ้�ทะเล กับอุณหภูมภิ ายนอกเครอ่ื งบิน เขาจึงบนั ทึกขอ้ มูลได้ดังตารางตอ่ ไปน้ี เกร็ดนา่ รู้ ระดบั ความสงู ของเครอ่ื งบนิ อุณหภมู ภิ ายนอกเคร่ืองบิน เคร่ืองบินโดยสารส่วนใหญ่จะบินท่ี จากระดบั น้ำ�ำ้ ทะเลโดยประมาณ (เมตร) (องศาเซลเซยี ส) บรรยากาศชน้ั โทรโพสเฟยี ร์ (Troposphere) ซง่ึ เปน็ ชน้ั บรรยากาศทอ่ี ยตู่ ง้ั แตผ่ วิ โลกขน้ึ ไป 900 9 ประมาณ 8 ถงึ 14 กโิ ลเมตร 1,800 3 2,700 -3 3,600 -9 4,500 -15 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนังสือเรียนรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ 19 จากตาราง จงตอบค�ำ ถามตอ่ ไปน้ี ชวนคิด 1.1 1) ขณะที่อุณหภูมิภายนอกเคร่ืองบินต่ำ�สุด เคร่ืองบินอยู่ที่ระดับ จากตารางในข้อ 9 ขณะทีเ่ คร่อื งบินอยู่ ความสงู ประมาณกเี่ มตร จากระดบั น�ำ้ ทะเล ท่รี ะดบั ความสูงประมาณ 2,700 เมตร จาก 2) ขณะที่อุณหภูมิภายนอกเคร่ืองบินสูงสุด เคร่ืองบินอยู่ที่ระดับ ระดับนำ้�ทะเล อุณหภูมิภายนอกเคร่ืองบิน ต่างจากขณะที่เครื่องบินอยู่ท่ีระดับความสูง ความสูงประมาณก่เี มตร จากระดบั น�ำ้ ทะเล ประมาณ 3,600 เมตร จากระดับน้ำ�ทะเล 3) ขณะทเ่ี ครอ่ื งบนิ อยทู่ ร่ี ะดบั ความสงู ประมาณ 1,800 เมตร และ อยู่เท่าไร ประมาณ 2,700 เมตร จากระดับน้ำ�ทะเล ท่รี ะดับความสูงใด มีอุณหภูมิภายนอกเครื่องบนิ สูงกวา่ กัน 4) ขณะทอ่ี ณุ หภมู ภิ ายนอกเครอื่ งบนิ เปน็ 0 องศาเซลเซยี ส ระดบั ความสูงของเครื่องบินท่ีเป็นไปได้ น่าจะอยู่ท่ีระดับความสูง ประมาณกเี่ มตร จากระดบั น้�ำ ทะเล 5) ระดับความสูงของเครื่องบินจากระดับน้ำ�ทะเลสัมพันธ์กับ อณุ หภูมภิ ายนอกเครอ่ื งบนิ อย่างไร ตัวอ ่ยาง 1.2 การบวกจ�ำ นวนเตม็ การบวกจ�ำ นวนเตม็ บวกดว้ ยจ�ำ นวนเตม็ บวก ท�ำ ไดเ้ ชน่ เดยี วกบั การบวก จ�ำ นวนนบั ดว้ ยจ�ำ นวนนบั ซง่ึ สามารถใชเ้ สน้ จ�ำ นวนแสดงการหาผลบวก โดยวธิ กี ารนบั ตอ่ ไปทางขวาไดด้ งั น้ี ตวั อยา่ งท ่ี 1 จงหาผลบวก 4 + 2 วธิ ที �ำ เรมิ่ ตน้ ท่ี 0 แล้วนับไปทางขวาถงึ 4 และเมื่อบวกดว้ ย 2 ใหน้ ับต่อไปทางขวาอีก 2 หนว่ ย ซ่งึ จะไปส้นิ สุดท่ี 6 ดังนี้ ดังนั้น 4 + 2 = 6 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ตอบ 6 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

20 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ หนังสอื เรียนรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 การบวกจ�ำ นวนเตม็ ลบดว้ ยจ�ำ นวนเตม็ ลบ สามารถใชเ้ สน้ จ�ำ นวน แสดงการหาผลบวกโดยวธิ กี ารนบั ตอ่ ไปทางซา้ ยไดด้ งั น้ี ตวั อยา่ งท ่ี 2 จงหาผลบวก 1) (-4) + (-2) 2) (-2) + (-4) วธิ ที �ำ 1) เร่ิมต้นท่ี 0 แล้วนับไปทางซ้ายถึง -4 และเม่ือบวกด้วย -2 ให้นับต่อไปทางซ้ายอีก 2 หน่วย ซึ่งจะไป สนิ้ สดุ ที่ -6 ดงั นี้ ตัวอ ่ยาง -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 ดังนัน้ (-4) + (-2) = -6 ตอบ -6 2) เร่ิมต้นที่ 0 แล้วนับไปทางซ้ายถึง -2 และเม่ือบวกด้วย -4 ให้นับต่อไปทางซ้ายอีก 4 หน่วย ซึ่งจะไป ส้นิ สุดท่ี -6 ดังน้ี -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 ดังนนั้ (-2) + (-4) = -6 ตอบ -6 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนงั สอื เรียนรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเตม็ 21 กจิ กรรม : การบวกของชาวจนี ชาวจีนขึ้นชอื่ วา่ เปน็ ผู้มีความสามารถในการค�ำ นวณเป็นอันดบั ต้น ๆ ของโลก อาจเปน็ เพราะธรรมชาตขิ อง พวกเขาสว่ นใหญ่นน้ั อยกู่ บั การค้าขาย จึงมีทกั ษะในการค�ำ นวณจำ�นวนตา่ ง ๆ ไดอ้ ย่างคลอ่ งแคลว่ ในอดีตชาวจีน มวี ธิ ีการหาผลบวกระหวา่ งจำ�นวนเตม็ บวกและจ�ำ นวนเต็มลบแบบหนง่ึ โดยใชไ้ ม้สแี ดงแทนจ�ำ นวนเตม็ บวก และใช้ ไม้สีดำ�แทนจำ�นวนเตม็ ลบ แล้วใชก้ ารหกั ออกเป็นคู่ ๆ เชน่ (-4) + 9 ตัวอ ่ยาง ใช้ไมส้ ีด�ำ 4 อนั แทน -4 และไมส้ แี ดง 9 อนั แทน 9 จากนนั้ จบั คู่สีทต่ี า่ งกนั แล้วหกั ออก จะเหลอื ไม้สีแดง 5 อนั ดังนัน้ ผลบวกของ (-4) + 9 คือ 5 อุปกรณ์ ✤ ไมไ้ อศกรีม 2 สี สลี ะ 20 อนั ตอ่ กลมุ่ ขั้นตอนการทำ�กจิ กรรม 1. แบง่ กลุม่ กลมุ่ ละ 4 คน โดยแต่ละกลมุ่ แบ่งออกเปน็ 2 ฝา่ ย คอื ฝา่ ย ก และฝ่าย ข 2. ใหฝ้ า่ ย ก ตง้ั โจทยก์ ารบวกระหวา่ งจ�ำ นวนเตม็ บวกและจ�ำ นวนเตม็ ลบ โดยทจ่ี �ำ นวนเตม็ บวกเปน็ จ�ำ นวน ทไี่ มเ่ กิน 20 และจ�ำ นวนเต็มลบเป็นจำ�นวนท่ีไม่น้อยกวา่ -20 แล้วให้ฝา่ ย ข หาผลบวกโดยใช้แนวคิด เชน่ เดยี วกบั ชาวจนี ในสมัยโบราณ โดยใชไ้ มไ้ อศกรมี แทนไม้สีตา่ ง ๆ ของชาวจีน 3. สลับให้ฝ่าย ข เปน็ ผู้ต้งั โจทย์ในลักษณะเดยี วกับฝา่ ย ก แล้วใหฝ้ ่าย ก เปน็ ผู้หาผลบวก 4. ท�ำ เช่นน้ีจนกระท่ังแต่ละฝ่ายแก้ปญั หาครบ 5 ขอ้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

22 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเต็ม หนังสอื เรียนรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 การบวกกันของจำ�นวนเต็มบวกกับจำ�นวนเต็มลบ สามารถใช้ เส้นจำ�นวนแสดงการหาผลบวก โดยใช้การนับแบบย้อนทิศทางกัน ไดด้ งั น้ี ตวั อย่างที่ 3 จงหาผลบวก 4 + (-6) วธิ ีทำ� เริ่มตน้ ที่ 0 แลว้ นบั ไปทางขวาถึง 4 และเมอื่ บวกดว้ ย -6 ให้นับไปทางซ้าย 6 หนว่ ย ซง่ึ จะไปส้นิ สดุ ท่ี -2 ดงั น ้ี ตัวอ ่ยาง -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ดงั นนั้ 4 + (-6) = -2 ตอบ -2 ตวั อย่างท่ ี 4 จงหาผลบวก (-5) + 9 วิธีท�ำ เริม่ ตน้ ที่ 0 แล้วนับไปทางซ้ายถึง -5 และเม่อื บวกดว้ ย 9 ใหน้ ับไปทางขวา 9 หนว่ ย ซ่งึ จะไปสน้ิ สดุ ที่ 4 ดังน้ ี -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ดงั นน้ั (-5) + 9 = 4 ตอบ 4 ตวั อย่างท่ี 5 จงหาผลบวก (-6) + 6 วิธีท�ำ เร่ิมต้นท่ี 0 แล้วนับไปทางซ้ายถึง -6 และเม่อื บวกด้วย 6 ใหน้ บั ไปทางขวา 6 หนว่ ย ซ่ึงจะไปสิ้นสุดท่ี 0 ดงั น้ี -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 ดังนั้น (-6) + 6 = 0 ตอบ 0 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนังสือเรยี นรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ 23 การบวกจ�ำ นวนเตม็ ใด ๆ กบั ศนู ย์ จะไดผ้ ลบวกเปน็ จ�ำ นวนเตม็ จ�ำ นวนนน้ั โดยสามารถใชเ้ สน้ จ�ำ นวนแสดงการหาผลบวกไดด้ งั น้ี ตัวอยา่ งท่ี 6 จงหาผลบวก (-6) + 0 วิธีทำ� เร่มิ ต้นท่ี 0 ใหน้ บั ไปทางซา้ ยถึง -6 และเม่อื บวกด้วยศูนย์ หมายถงึ ไม่ตอ้ งนับตอ่ จงึ สิน้ สุดที่ -6 ดงั น้ี ตัวอ ่ยาง ชวนคดิ 1.2 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 จงหาผลบวก 0 + (-6) ดงั นน้ั (-6) + 0 = -6 ตอบ -6 การบวกจ�ำ นวนเต็มโดยใช้คา่ สมั บรู ณ์ การบวกจ�ำ นวนเตม็ โดยใชเ้ สน้ จ�ำ นวนดงั ทก่ี ลา่ วมาแลว้ เปน็ วธิ ที ช่ี ว่ ยใหน้ กั เรยี นเขา้ ใจไดง้ า่ ย แตส่ �ำ หรบั กรณจี �ำ นวนเตม็ บวก ทีม่ ีค่ามาก หรือจ�ำ นวนเตม็ ลบที่มคี ่าน้อย การบวกโดยใชเ้ สน้ จำ�นวนอาจไมส่ ะดวก และเสียเวลามาก เราจึงมวี ธิ ีหาผลบวกของ จ�ำ นวนเต็มโดยใช้คา่ สัมบรู ณข์ องจ�ำ นวนเต็ม ดังจะกล่าวตอ่ ไปน้ี คา่ สมั บรู ณ์ (absolute value) ของจ�ำ นวนเตม็ จ�ำ นวนหนงึ่ คอื ระยะทจี่ �ำ นวนเตม็ นน้ั อยหู่ า่ งจาก 0 บนเสน้ จ�ำ นวน เชน่ จากแผนภาพ -2 -1 0 1 2 3 4 5 จะเหน็ วา่ 5 อยหู่ ่างจาก 0 เปน็ ระยะ 5 หนว่ ย จึงกล่าวได้วา่ คา่ สัมบรู ณข์ อง 5 เทา่ กับ 5 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

24 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ชวนคดิ 1.3 จากแผนภาพ ลองบอกค่าสัมบูรณ์ของจำ�นวนเต็ม -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 ตอ่ ไปนี้ 1) 6 2) -6 จะเห็นว่า -4 อยหู่ ่างจาก 0 เปน็ ระยะ 4 หนว่ ย 3) 15 4) -15 จงึ กล่าวได้วา่ ค่าสมั บูรณข์ อง -4 เท่ากบั 4 5) -28 6) 0 จากตัวอย่างที่ 2 จะเห็นว่า การบวกกันของจำ�นวนเต็มลบใช้การนับต่อ เช่นเดียวกับการบวกกันของจำ�นวนเต็มบวก เพียงแต่เป็นไปในทิศทางตรงกันข้าม ซึ่งเปรียบได้กับการนำ�ระยะจาก 0 ถึงจำ�นวนเต็มลบแต่ละจำ�นวนมาบวกกัน น่ันคือ การน�ำ คา่ สมั บรู ณข์ องจ�ำ นวนเตม็ ลบแตล่ ะจ�ำ นวนมาบวกกนั แลว้ ตอบเปน็ จ�ำ นวนเตม็ ลบ เราจงึ สามารถใชค้ า่ สมั บรู ณใ์ นการหา ผลบวกของจ�ำ นวนเตม็ ลบกบั จำ�นวนเต็มลบ ไดด้ งั นี้ การหาผลบวก (-15) + (-17) ทำ�ได้โดย นำ�ค่าสัมบูรณ์ของ -15 บวกด้วยค่าสัมบูรณ์ของ -17 แล้วตอบเป็น จ�ำ นวนเต็มลบ ดงั น้ี ค่าสมั บรู ณข์ อง -15 เท่ากบั 15 คา่ สมั บูรณข์ อง -17 เทา่ กบั 17 ดังนัน้ (-15) + (-17) = -(15 + 17) = -32 ตัวอ ่ยาง การบวกจำ�นวนเตม็ ลบด้วยจำ�นวนเตม็ ลบ ใหน้ ำ�ค่าสมั บรู ณ์ของจำ�นวนเตม็ ลบ ท้งั สองจ�ำ นวนมาบวกกนั แล้วตอบเป็นจ�ำ นวนเต็มลบ ตวั อยา่ งท ่ี 7 จงหาผลบวก [(-30) + (-25)] + (-12) วธิ ที �ำ [(-30) + (-25)] + (-12) = -(30 + 25) + (-12) = -55 + (-12) = -(55 + 12) = -67 ตอบ -67 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนงั สือเรยี นรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ 25 จากตัวอย่างท่ี 3 และ 4 จะเห็นว่า การบวกกันของจำ�นวนเต็มบวกกับจำ�นวนเต็มลบ ใช้การนับแบบย้อนทิศทางกัน ซง่ึ เปรยี บได้กบั การนำ�ระยะจาก 0 ถึงจ�ำ นวนเต็มแตล่ ะจ�ำ นวนมาลบกัน โดยใชร้ ะยะทมี่ ากกวา่ เปน็ ตัวตง้ั หรอื นำ�คา่ สัมบูรณท์ ี่ มากกว่าลบด้วยค่าสัมบูรณ์ท่ีน้อยกว่า แล้วตอบเป็นจำ�นวนเต็มชนิดเดียวกับจำ�นวนเต็มท่ีมีค่าสัมบูรณ์มากกว่า ดังนั้น เราจงึ สามารถใชค้ ่าสมั บูรณใ์ นการหาผลบวกระหวา่ งจ�ำ นวนเต็มบวกและจำ�นวนเตม็ ลบ ไดด้ ังนี้ การหาผลบวก 15 + (-13) ทำ�ไดโ้ ดย น�ำ ค่าสัมบรู ณ์ท่มี ากกว่าลบดว้ ยค่าสัมบรู ณ์ทน่ี ้อยกวา่ แลว้ ตอบเปน็ จำ�นวนเตม็ ชนดิ เดยี วกบั จำ�นวนเตม็ ท่มี คี า่ สมั บูรณม์ ากกวา่ ซง่ึ ในทนี่ ี้ คา่ สัมบูรณ์ของ 15 เทา่ กับ 15 ค่าสัมบรู ณ์ของ -13 เท่ากบั 13 และ 15 > 13 จึงไดค้ ำ�ตอบเป็นจ�ำ นวนเต็มบวก ตัวอ ่ยาง ดงั นนั้ 15 + (-13) = 15 – 13 = 2 การบวกกันของจำ�นวนเต็มบวกกบั จ�ำ นวนเต็มลบ ท่ีมคี ่าสมั บรู ณ์ไมเ่ ท่ากัน ใหน้ ำ�ค่าสมั บรู ณ์ทีม่ ากกวา่ ลบดว้ ยค่าสัมบรู ณท์ ่ีนอ้ ยกวา่ แลว้ ตอบเปน็ จ�ำ นวนเต็มชนิดเดียวกับจ�ำ นวนเต็มทีม่ ีค่าสมั บรู ณ์มากกวา่ ตวั อยา่ งท่ี 8 จงหาผลบวก (-26) + 14 ค่าสัมบรู ณข์ อง -26 เทา่ กับ 26 วธิ ที �ำ (-26) + 14 = -(26 – 14) ค่าสมั บูรณข์ อง 14 เทา่ กับ 14 = -12 ตอบ -12 เนอ่ื งจาก 26 > 14 ดงั นน้ั (-26) + 14 จะมีผลบวก ตวั อยา่ งท่ี 9 จงหาผลบวก 27 + (-32) วธิ ที �ำ 27 + (-32) = -(32 – 27) เปน็ จำ�นวนเต็มลบ = -5 ตอบ -5 ตวั อยา่ งท่ี 10 จงหาผลบวก [(-18) + 22] + (-37) วธิ ที �ำ [(-18) + 22] + (-37) = (22 – 18) + (-37) = 4 + (-37) = -(37 – 4) = -33 ตอบ -33 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

26 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ หนงั สือเรยี นรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 มมุ คณิต การบวกกันของจำ�นวนเต็มบวกกับจำ�นวนเต็มลบท่ีมีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน ใหน้ ำ�คา่ สัมบูรณ์ของจ�ำ นวนทงั้ สองนัน้ มาลบกนั ซ่ึงจะไดผ้ ลบวกเปน็ ศนู ย์ ในบางกรณี เราสามารถละวงเล็บ ในการเขยี นได้ เช่น (-31) + 31 สามารถ ตวั อยา่ งท ่ี 11 จงหาผลบวก 45 + (-45) ละวงเล็บแลว้ เขียนได้เป็น -31 + 31 แต่ 45 + (-45) ไม่นยิ มเขยี นโดยละวงเล็บ วธิ ที �ำ 45 + (-45) = 45 – 45 = 0 ตอบ 0 ตวั อยา่ งท ่ี 12 จงหาผลบวก -31 + 31 วธิ ที �ำ -31 + 31 = 31 – 31 ตัวอ ่ยาง = 0 ตอบ 0 ตวั อยา่ งท ่ี 13 ขณะทนี่ กั ขา่ วคนหนงึ่ บงั คบั โดรนขน้ึ ไปในแนวดง่ิ สงู จากพน้ื ดนิ 5 เมตร เพ่ือบันทึกภาพเหตุการณ์ทางอากาศ เขาพบว่าภาพที่บันทึกได้ยังเห็น เหตุการณไ์ มส่ มบรู ณ์ เขาจงึ บังคับโดรนข้นึ ไปในแนวดิง่ อกี 7 เมตร อยากทราบ วา่ ขณะนี้โดรนอย่สู ูงจากพื้นดินเท่าไร เกรด็ นา่ รู้ 7 เมตร โดรน (drone) หรอื อากาศยานไรค้ นขบั 5 เมตร ไดร้ บั การพฒั นาขน้ึ เพอ่ื ใชป้ ระโยชนใ์ นวงการ ทหาร แตต่ อ่ มาไดม้ กี ารปรบั ใหใ้ ชป้ ระโยชน์ วธิ ที �ำ จากโจทย์ นักข่าวบังคับโดรนข้ึนไปในแนวด่ิงสูงจากพื้นดิน 5 เมตร กบั เรอ่ื งตา่ ง ๆ ไดม้ ากขน้ึ เชน่ การน�ำ กลอ้ ง และบงั คับโดรนขน้ึ ไปในแนวดิง่ อกี 7 เมตร ไปติดไว้กับโดรนเพ่อื บันทึกภาพทางอากาศ จะได้วา่ โดรนอย่สู ูงจากพนื้ ดิน 5 + 7 = 12 เมตร การสง่ ยาหรอื อปุ กรณท์ างการแพทยเ์ พอ่ื ชว่ ย ตอบ 12 เมตร ชวี ติ หรอื ใชเ้ พอ่ื ฉดี พน่ ปยุ๋ ในงานเกษตรกรรม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนังสอื เรยี นรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ 27 พจิ ารณาภาพต่อไปนี้ ตัวอ ่ยาง ทม่ี า : https://www.flash-mini.com สืบค้นเม่อื 16 มกราคม 2560 จากภาพ จะเหน็ วา่ เมอ่ื กลา่ วถงึ ความสงู ทตี่ �ำ แหนง่ ใดต�ำ แหนง่ หนงึ่ โดยเทยี บ ขอ้ สงั เกต กับระดับน้ำ�ทะเล สามารถใช้จำ�นวนเต็มบวก จำ�นวนเต็มลบ หรือศูนย์แทน ความสงู ของต�ำ แหนง่ นนั้ ๆ โดยใหค้ วามสงู ของต�ำ แหนง่ ทอ่ี ยสู่ งู กวา่ ระดบั น�ำ้ ทะเล ความสูงของตำ�แหน่งที่อยู่สูงกว่าหรือ แทนดว้ ยจ�ำ นวนเตม็ บวก เชน่ ความสงู ทตี่ �ำ แหนง่ A เทา่ กบั 200 เมตร จากระดบั ตำ่�กว่าระดับน้ำ�ทะเล ในบางคร้ังอาจจะ น้ำ�ทะเล และให้ความสูงของตำ�แหน่งที่อยู่ตำ่�กว่าระดับนำ้�ทะเลแทนด้วย เปน็ ทศนิยมไดเ้ ชน่ กนั จ�ำ นวนเต็มลบ เชน่ ความสูงท่ตี �ำ แหน่ง B เทา่ กบั -44 เมตร จากระดบั นำ้�ทะเล สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

28 บทที่ 1 | จำ�นวนเตม็ หนงั สือเรียนรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เกร็ดนา่ รู้ ตวั อยา่ งท ่ี 14 ระดบั น�ำ้ ทะเล ปลาขวาน (Hatchet fish) เป็น ปลาทะเลนำ้�ลึกขนาดเล็ก มีมากถึง 45 สายพันธุ์ โดยปลาขวานสายพันธุ์ที่ใหญ่ ที่สุดน้ันมีลำ�ตัวยาวเพียง 12 เซนติเมตร ปลาขวานอาศัยอยู่ในแถบนำ้�เย็นท่ีระดับ -180 เมตร ถึง -1,370 เมตร จากระดับ น�ำ้ ทะเล ตัวอ ่ยาง เตา่ ตัวหนงึ่ ว่ายน้�ำ อยู่ท่ีระดับ -50 เมตร จากระดับนำ้�ทะเล และปลาขวาน ตัวหน่งึ ว่ายน�ำ้ อยู่ทีร่ ะดบั -240 เมตร จากระดบั ของเต่า จงหาวา่ ปลาขวานตวั นี้ อยทู่ ี่ระดบั เท่าไรจากระดับน�ำ้ ทะเล วธิ ที �ำ ใหร้ ะดบั น�้ำ ทะเลเป็น 0 เมตร จากโจทย์ เตา่ อยทู่ ่รี ะดบั -50 เมตร จากระดับน�้ำ ทะเล และปลาขวานอยูท่ ่รี ะดบั -240 เมตร จากระดบั ของเตา่ จะไดว้ า่ ปลาขวานอยทู่ ีร่ ะดับ (-50) + (-240) = -290 เมตร จากระดับนำ้�ทะเล ตอบ -290 เมตร จากระดับน�ำ้ ทะเล ตวั อยา่ งท ่ี 15 ขณะท่ีอุ๋มกำ�ลังนั่งดูรายการโทรทัศน์ก็ได้ยินข่าวพยากรณ์อากาศที่ประกาศเกี่ยวกับสภาพอากาศที่มี ความแปรปรวนมาก ดงั น้ี “สภาพอากาศในช่วงนีอ้ ยู่ในภาวะทม่ี ีการเปลยี่ นแปลงอย่างฉบั พลัน สำ�หรับวนั น้ี วัดอุณหภมู ิเฉล่ีย ในเมืองได้ -7 องศาเซลเซียส และคาดวา่ ในวนั พรุง่ นีอ้ ณุ หภูมเิ ฉลย่ี จะสูงขน้ึ 9 องศาเซลเซยี ส จงึ ขอใหท้ กุ ทา่ นยังคงสวมใสเ่ สือ้ ผา้ ทีห่ นากว่าปกติ และท�ำ ใหร้ ่างกายอบอนุ่ อย่เู สมอ” จงหาว่าในวนั พร่งุ น้อี ุณหภูมเิ ฉลี่ยของเมอื งนจี้ ะเปน็ เทา่ ไร วธิ ที �ำ เนอ่ื งจากอณุ หภมู ิเฉลี่ยของวันนเ้ี ปน็ -7 องศาเซลเซยี ส และคาดวา่ ในวันพรงุ่ น้อี ุณหภมู ิเฉล่ียจะสูงข้นึ 9 องศาเซลเซยี ส จะไดว้ ่า อณุ หภมู ิเฉล่ยี ของวนั พรงุ่ นี้ คอื -7 + 9 = 2 องศาเซลเซียส ตอบ 2 องศาเซลเซียส สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนังสอื เรียนรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 1 | จำ�นวนเตม็ 29 แบบฝึกหัด 1.2 1. จงหาผลบวก 2) 24 + 30 1) 25 + 0 4) 0 + (-87) 3) 14 + 16 6) 41 + (-38) 5) 14 + (-75) 8) -82 + 22 7) (-51) + 60 10) -125 + (-34) 9) (-102) + 120 12) (-12) + (-106) 11) -142 + (-18) ตัวอ ่ยาง 2. จงหาผลบวก 2) (-8) + 7 ชวนคดิ 1.4 1) 7 + (-8) 4) (-73) + (-14) 3) -14 + (-73) 6) 27 + (-35) จากขอ้ 2 นกั เรียนไดข้ ้อสังเกตอะไร 5) -35 + 27 8) -31 + (-29) 7) (-29) + (-31) 3. จงหาผลบวก 2) 10 + [7 + (-5)] ชวนคิด 1.5 1) (10 + 7) + (-5) 4) (-6 + 5) + 1 จากข้อ 3 นกั เรียนได้ข้อสงั เกตอะไร 3) (-6) + (5 + 1) 6) -4 + [(-8) + 15] 8) (-7) + [(-12) + (-6)] 5) [-4 + (-8)] + 15 10) [(-10) + 3] + (-2) 7) [-7 + (-12)] + (-6) 9) (-10) + [3 + (-2)] ■4. จงหาจำ�นวนเต็มทีเ่ ติมลงใน แล้วทำ�ให้ประโยคเป็นจรงิ ■ 1) (-9) + = -9 2) ■ + 18 = 18 ■ 3) (-5) + = -8 4) ■ + (-7) = -11 5) (-6) + ■ = 0 6) -2 + ■ = 2 7) ■ + (-3) = 6 8) 9 + ■ = -2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

30 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม หนงั สือเรยี นรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 5. ให้ a, b และ c เปน็ จ�ำ นวนเตม็ ซ่ึงปรากฏบนเสน้ จำ�นวนในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ ถา้ c = a + b แล้ว c อย่ใู นตำ�แหน่งทสี่ มเหตสุ มผลหรอื ไม่ ถา้ ไม่สมเหตสุ มผล จงหาวา่ c ควรอยทู่ ีต่ ำ�แหน่งใด 1) a cb 0 2) bc a 0 3) a bc 4) ตัวอ ่ยาง ab c 5) a cb เกร็ดนา่ รู้ 6. ขณะที่นักดำ�น้ำ�คนหนึ่งกำ�ลังดำ�น้ำ�อยู่ที่ระดับ -28 เมตร จากระดับ นำ้�ทะเล เขาพบฝูงปลาการ์ตูนว่ายน้ำ�อยู่เหนือเขา เขาจึงว่ายขึ้นไป การดำ�นำ้�แบ่งเป็น 2 ประเภทหลัก ๆ ในแนวด่ิงเป็นระยะ 13 เมตร เพ่ือถ่ายภาพฝูงปลาน้ันในแนวระดับ ได้แก่ เดียวกับฝูงปลา จงหาว่า ฝูงปลาการ์ตูนอยู่ที่ระดับความสูงเท่าไร ✤ การดำ�น้ำ�ตื้น เป็นการดำ�น้ำ�ที่ผิวน้ำ� จากระดับน�้ำ ทะเล โดยใช้อุปกรณ์ไม่มาก เช่น หน้ากาก ระดบั น้�ำ ทะเล ทอ่ หายใจ การด�ำ น�ำ้ ในลกั ษณะน้ี เรยี กได้ หลายแบบ เชน่ snorkeling, skin dive ✤ การดำ�น�้ำ ลกึ เปน็ การดำ�น้ำ�ทล่ี ึกลงไป เกนิ กวา่ ทจ่ี ะใชท้ อ่ หายใจได้ ซง่ึ นกั ด�ำ น�ำ้ จำ�เป็นต้องใช้อุปกรณ์ช่วยหายใจใต้น�ำ้ การดำ�นำ้�ในลักษณะนี้อาจเรียกว่า scuba สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนังสือเรยี นรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ 31 7. นักวิทยาศาสตร์คนหน่ึงทดลองผสมสารละลาย A กบั สารละลาย B แลว้ วัดอณุ หภูมิของสารละลายใหมไ่ ดเ้ ปน็ 24 องศาเซลเซียส จากน้ัน เขากลับมาวดั อณุ หภูมิของสารละลายใหม่นท้ี กุ ๆ ช่ัวโมง ปรากฏอณุ หภูมทิ เ่ี ปลี่ยนแปลงไป ในแตล่ ะช่วั โมง เปน็ ดังตารางต่อไปน้ี จ�ำ นวนช่ัวโมงทีผ่ า่ นไป 123456 อณุ หภมู ิที่เปลย่ี นไป -5 -8 -10 -14 -9 -2 จากช่ัวโมงกอ่ นหน้า (˚C) จากตาราง จงตอบค�ำ ถามตอ่ ไปนี้ 1) เมือ่ เวลาผ่านไป 2 ช่ัวโมง สารละลายใหม่นีม้ ีอณุ หภูมิกี่องศาเซลเซยี ส 2) สารละลายใหม่นว้ี ัดอุณหภูมิได้ -13 องศาเซลเซียส เมอื่ เวลาผา่ นไปกช่ี ั่วโมง ตัวอ ่ยาง 1.3 การลบจำ�นวนเตม็ จ�ำ นวนตรงขา้ ม พจิ ารณา 3 และ -3 ซ่งึ เปน็ จำ�นวนเต็มท่ีมคี า่ สมั บรู ณ์เท่ากัน คอื 3 แสดงไดด้ ังแผนภาพต่อไปนี้ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 จะเห็นว่า ยังมจี �ำ นวนเตม็ บวกและจำ�นวนเตม็ ลบท่มี คี ่าสัมบูรณเ์ ทา่ กันอกี หลายคู่ เชน่ 5 และ -5 8 และ -8 ซึ่งจ�ำ นวน เตม็ บวกและจ�ำ นวนเตม็ ลบทม่ี คี า่ สมั บรู ณเ์ ทา่ กนั เหลา่ น้ี จะอยคู่ นละขา้ งของ 0 บนเสน้ จ�ำ นวน และอยหู่ า่ งจาก 0 เปน็ ระยะทเ่ี ทา่ กนั ในทางคณติ ศาสตรเ์ รยี กจ�ำ นวนเหลา่ นวี้ ่าเป็นจำ�นวนตรงขา้ มของกันและกัน เชน่ เรียก -3 ว่าเปน็ จำ�นวนตรงข้ามของ 3 และเรียก 3 วา่ เปน็ จำ�นวนตรงข้ามของ -3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

32 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ หนังสอื เรียนรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ชวนคดิ 1.6 จ�ำ นวนตรงขา้ ม (opposite number) ของจำ�นวนเตม็ จ�ำ นวนหนึง่ คอื จำ�นวนเต็มอีกจำ�นวนหน่ึง โดยท่ีจำ�นวนเต็มท้ังสองน้ีอยู่ห่างจากศูนย์บน ลองบอกจำ�นวนตรงข้ามของจำ�นวนเต็ม เสน้ จ�ำ นวนเปน็ ระยะเท่ากนั ต่อไปนี้ ส�ำ หรับ 0 จะมี 0 เปน็ จำ�นวนตรงข้ามของ 0 1) 14 2) -14 3) 37 4) -37 นอกจากนี้ หากพิจารณาผลบวกของจำ�นวนเต็มจำ�นวนหนึ่งกับจำ�นวน 5) 52 6) -52 ตรงขา้ มของจำ�นวนนน้ั จะพบวา่ เท่ากับศูนย์ เช่น 3 + (-3) = 0 และ (-3) + 3 = 0 5 + (-5) = 0 และ (-5) + 5 = 0 8 + (-8) = 0 และ (-8) + 8 = 0 ตัวอ ่ยาง เมอ่ื a เป็นจำ�นวนเตม็ ใด ๆ จ�ำ นวนตรงขา้ มของ a เขยี นแทนดว้ ย -a และ a + (-a) = 0 = (-a) + a ขา้ วหอมคิดว่าจำ�นวนตรงข้าม ของจำ�นวนเต็มจำ�นวนหนงึ่ มกี ี่จำ�นวน ข้าวหอมวา่ มีจ�ำ นวนเดียวนะ แลว้ ข้าวกล้องละ่ คิดวา่ มีก่จี �ำ นวน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนังสอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 1 | จำ�นวนเต็ม 33 เมื่อพิจารณาจำ�นวนตรงข้ามของจำ�นวนเต็มจำ�นวนหนึ่งบนเส้นจำ�นวน จะเห็นว่า จำ�นวนตรงข้ามของจำ�นวนเต็ม จ�ำ นวนน้นั มเี พยี งจำ�นวนเดยี วเท่านัน้ เช่น สำ�หรับจำ�นวนเต็ม -7 จำ�นวนตรงข้ามของ -7 คอื 7 เนื่องจาก จำ�นวนตรงขา้ มของ a เขยี นแทนดว้ ย -a ดงั นั้น จำ�นวนตรงขา้ มของ -7 จึงเขยี นแทนไดด้ ้วย -(-7) และเนอ่ื งจาก จำ�นวนตรงขา้ มของ -7 มีเพยี งจ�ำ นวนเดียว คือ 7 จงึ ทำ�ให้ -(-7) = 7 เม่อื a เป็นจ�ำ นวนเตม็ ใด ๆ จ�ำ นวนตรงข้ามของ -a คอื a นน่ั คือ -(-a) = a ตัวอ ่ยาง ในการลบจำ�นวนเตม็ จะเขียนการลบใหอ้ ยูใ่ นรปู ของการบวก แลว้ จึงหาผลบวกของจำ�นวนเต็มตามวิธีทีก่ ลา่ วมาข้างต้น การเขียนการลบใหอ้ ยูใ่ นรปู ของการบวก อาศยั ขอ้ ตกลงดงั นี้ ตัวต้งั – ตวั ลบ = ตัวต้ัง + จ�ำ นวนตรงขา้ มของตัวลบ ชวนคิด 1.7 นนั่ คอื a – b = a + (-b) เมอื่ a และ b เป็นจ�ำ นวนเต็มใด ๆ จงเขียนการลบต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปของ ตวั อยา่ งท ่ี 1 จงหาผลลบ 8 – 12 การบวก 1) 5 – 3 2) 6 – 10 วธิ ที �ำ 8 – 12 = 8 + (-12) 8 – 12 คือ 8 บวกดว้ ย 3) 4 – (-2) 4) (-8) – (-1) จำ�นวนตรงขา้ มของ 12 = -4 ตอบ -4 ตวั อยา่ งท ่ี 2 จงหาผลลบ (-11) – 6 วธิ ที �ำ (-11) – 6 = (-11) + (-6) = -17 ตอบ -17 ตวั อยา่ งท ่ี 3 จงหาผลลบ 0 – (-15) วธิ ที �ำ 0 – (-15) = 0 + [-(-15)] = 0 + 15 = 15 ตอบ 15 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

34 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 มุมเทคโนโลยี ตวั อยา่ งท ่ี 4 จงหาผลลบ 9 – (-3) นักเรียนสามารถตรวจสอบคำ�ตอบ วธิ ที �ำ 9 – (-3) = 9 + [-(-3)] โดยใช้เคร่ืองคิดเลขได้ ดังตวั อย่างต่อไปน้ี 1) (-11) – 6 = 9 + 3 = 12 1 1 +/- – 6 = ตอบ 12 2) -7 – (-4) ตวั อยา่ งท ่ี 5 จงหาผลลบ -7 – (-4) วธิ ที �ำ -7 – (-4) = -7 + 4 7 +/- – 4 +/- = = -3 ตอบ -3 ชวนคิด 1.8 ตวั อยา่ งท ่ี 6 จงหาผลลบ [(-4) – 5] – (-13) จงหาผลลบ (-4) – [5 – (-13)] วธิ ที �ำ [(-4) – 5] – (-13) = (-9) – (-13) = (-9) + 13 = 4 ตอบ 4 ตัวอ ่ยาง ตวั อยา่ งท ่ี 7 เรอื ด�ำ น�้ำ ล�ำ หนงึ่ ถกู ปลอ่ ยออกจากฐานสง่ เรอื ซง่ึ อยสู่ งู กวา่ ระดบั น้ำ�ทะเล 6 เมตร เรือดำ�นำ้�เร่ิมออกสำ�รวจท้องทะเลที่ระดับ -80 เมตร จากระดบั น้ำ�ทะเล เปน็ ระยะทาง 3 กโิ ลเมตร แลว้ ด�ำ ต่อไปอีก -40 เมตร จาก ระดับเดมิ เพ่ือส�ำ รวจอีก 2 กิโลเมตร จากน้ัน เรือจึงลอยขึ้นมา 65 เมตร และ สำ�รวจย้อนกลับมาเป็นระยะทาง 5 กิโลเมตร อยากทราบว่าขณะนี้เรือดำ�นำ้� อยหู่ ่างจากฐานสง่ เรือกเี่ มตร วธิ ที �ำ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนังสอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ 35 ให้ระดับน้�ำ ทะเลเปน็ 0 เมตร จากโจทย์ เรอื ดำ�น้ำ�เริ่มออกส�ำ รวจทอ้ งทะเลทร่ี ะดับ -80 เมตร จากระดับน้ำ�ทะเล แล้วจงึ ดำ�ตอ่ ไปอีก -40 เมตร จากระดบั เดิม จะไดว้ า่ ต�ำ แหน่งท่ีเรือด�ำ นำ้�อยู่ลกึ ทีส่ ดุ เปน็ -80 + (-40) = -120 เมตร จากระดบั น้�ำ ทะเล เกร็ดน่ารู้ จากน้ัน เรอื จึงลอยขน้ึ มา 65 เมตร จะไดว้ า่ ตำ�แหน่งทีเ่ รอื ดำ�น้ำ�อยู่ขณะน้เี ปน็ -120 + 65 = -55 เมตร จากระดบั น้ำ�ทะเล ดังน้ัน เรอื ดำ�น�ำ้ อย่หู ่างจากฐานสง่ เรอื อยู่ 6 – (-55) = 61 เมตร ตอบ 61 เมตร ตัวอ ่ยาง ตวั อยา่ งท ่ี 8 จากการรวบรวมสถติ ขิ องพจี เี อ ทวั ร์ (PGA tour) เพอ่ื จดั อนั ดบั “โปรเม เอรียา จฑุ านกุ าล นกั กอล์ฟ นักกอล์ฟระดับโลก โดยนับเฉพาะพาร์ 3 (par 3 performance) ตั้งแต่เดือน ชาวไทย ลงสนามเก็บเพม่ิ อีก มกราคมถึงตุลาคมของ ค.ศ. 2016 ปรากฏคะแนนรวมของนักกอล์ฟ 8 คน 3 อนั เดอรพ์ าร์ กอ่ นจบสกอรร์ วมสว่ี นั ดังตารางต่อไปนี้ ท่ี 17 อันเดอรพ์ าร์ จากชยั ชนะใน วนั นี้ท�ำ ใหโ้ ปรเมขยบั ขน้ึ เปน็ นักกอลฟ์ คะแนนรวม นักกอลฟ์ หญงิ มือ 1 ของโลก จาก การจดั อันดบั เม่อื วนั ท่ี 12 มิถุนายน ฟลิ มคิ เคลสนั -20 2560” รกิ ก้ี บารเ์ นส -7 การเล่นกอล์ฟ 1 รอบ ผู้เล่นจะต้องเล่น อเลก็ ซ์ เคจกา -5 ทั้งหมด 18 หลุม โดยแต่ละหลุมจะกำ�หนด อดมั สก็อตต์ -1 จำ � น ว น ค ร้ั ง ท่ี นั ก ก อ ล์ ฟ ค ว ร ตี ลู ก ก อ ล์ ฟ เดวดิ เอียน E ให้ลงหลุม เรียกวา่ คา่ พาร์ (par) เช่น หลมุ ที่ เจสัน เดย์ +1 ก�ำ หนดเปน็ พาร์ 3 ถา้ ผเู้ ลน่ ตลี กู กอลฟ์ ลงหลมุ พอล คาเซย์ +8 ได้ใน 3 ครง้ั จะได้ 0 คะแนน หรือ E (even) มาร์ค วลิ สนั +12 หรือเรียกว่า พาร์ ถ้าตีลงหลุมได้ใน 2 ครั้ง จะได้ -1 คะแนน แตห่ ากตลี งหลมุ ไดใ้ น 4 ครงั้ ทม่ี า : http://www.pgatour.com สบื คน้ เมอ่ื 25 ตลุ าคม 2559 จะได้ +1 คะแนน ดงั น้นั ในการเล่นกอล์ฟ ผทู้ มี่ คี ะแนนนอ้ ยทส่ี ดุ จะเปน็ ผชู้ นะ และจาก จากตาราง จงตอบค�ำ ถามตอ่ ไปน้ี การรายงานข่าว จะเหน็ วา่ เอรยี า จุฑานุกาล 1) ฟลิ มคิ เคลสนั มีคะแนนน�ำ รกิ กี้ บาร์เนส อยู่เทา่ ไร น้ันสามารถทำ�คะแนนได้ -3 คะแนน และ 2) ถ้านำ�คะแนนรวมของริกกี้ บาร์เนส อเล็กซ์ เคจกา และอดัม สก็อตต์ คะแนนรวมตลอดสี่วันเปน็ -17 คะแนน มารวมกันจะท�ำ ให้มคี ะแนนรวมชนะฟิล มิคเคลสนั ได้หรือไม่ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

36 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ หนังสือเรยี นรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 วธิ ที �ำ 1) เนือ่ งจาก ฟิล มิคเคลสัน และรกิ กี้ บารเ์ นส มคี ะแนนรวม นน่ั คือ ฟิล มิคเคลสัน เป็น -20 และ -7 ตามลำ�ดับ มีคะแนนนำ�ริกก้ี บารเ์ นส จะไดว้ ่า ฟิล มิคเคลสนั มีคะแนนนำ�ริกกี้ บารเ์ นส เท่ากับ -20 – (-7) = -13 คะแนน อยู่ 13 อันเดอร์พาร์ ตอบ -13 คะแนน 2) เนื่องจาก ริกกี้ บาร์เนส อเล็กซ์ เคจกา และอดัม สก็อตต์ มีคะแนนรวมเป็น -7, -5 และ -1 ตามลำ�ดับ เมื่อนำ�คะแนนรวมของนักกอล์ฟทั้งสามคนมารวมกัน โดยรวมคะแนนของสองคนแรกก่อน จะได้เป็น [-7 + (-5)] + (-1) = -12 + (-1) = -13 คะแนน แต่ฟลิ มิคเคลสัน มีคะแนนรวมเป็น -20 คะแนน ดังนั้น ถ้านำ�คะแนนรวมของนกั กอล์ฟทั้งสามคนมารวมกันยงั ไม่สามารถชนะฟิล มิคเคลสนั ได้ ตอบ ไม่ได้ ตัวอ ่ยาง แบบฝึกหดั 1.3 2) 40 – 52 4) 33 – 0 1. จงหาผลลบ 6) 0 – 37 1) 13 – 16 8) -18 – (-36) 3) (-14) – 0 5) 0 – (-74) 2. จงหาผลลบ 2) 20 – (-100) 7) (-20) – 20 1) (-100) – 20 4) 15 – (-22) 3) -22 – 15 6) 27 – (-63) ชวนคดิ 1.9 5) (-63) – 27 8) -28 – (-24) 7) -24 – (-28) จากขอ้ 2 นกั เรียนไดข้ ้อสงั เกตอะไร 3. จงหาผลลบ 2) 18 – (11 – 15) ชวนคดิ 1.10 1) (18 – 11) – 15 4) -25 – (12 – 27) จากข้อ 3 นกั เรียนไดข้ อ้ สังเกตอะไร 3) (-25 – 12) – 27 6) 36 – [(-13) – (-21)] 8) (-50) – [(-18) – (-32)] 5) [36 – (-13)] – (-21) 7) [(-50) – (-18)] – (-32) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนงั สือเรยี นรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเตม็ 37 4. จงหาผลลพั ธ์ 2) (-42 + 16) – (-8) 1) (-21) + [14 – (-7)] 4) [(-12) – (-23)] + (-11) 3) -19 – (-28 + 16) ■5. จงหาจ�ำ นวนเตม็ ท่เี ติมลงใน แล้วทำ�ใหป้ ระโยคเปน็ จรงิ 1) ■ – 11 = 10 2) 32 – ■ = -1 ■ 3) -10 – = -15 4) ■ – 0 = -17 ■ 5) – (-28) = 28 6) 0 – ■ = 24 ■ 7) (-8) – = 0 8) ■ – (-40) = 5 ■ 9) – (-13) = -20 ■10) (-72) – = -72 ตัวอ ่ยาง ■ 11) 20 – = -14 12) -27 – ■ = -43 6. จงหาคา่ ของ (a – b) + c และ a – (b + c) เมื่อกำ�หนด a, b และ c ดงั ต่อไปนี้ 1) a = 2 b = -5 c=4 มุมคณิต 2) a = 3 b = -2 c = -1 3) a = -7 b = -7 c = -1 7. ให้ a, b และ c เปน็ จ�ำ นวนเต็ม ซึง่ ปรากฏบนเสน้ จำ�นวนในแต่ละข้อ การหาคา่ ของ (a – b) + c ต่อไปน้ี ถ้า c = a – b แล้ว c อยู่ในตำ�แหนง่ ทีส่ มเหตสุ มผลหรือไม่ เมอื่ a = 4, b = -5 และ c = -6 ทำ�ได้ ถ้าไม่สมเหตสุ มผล จงหาวา่ c ควรอยูท่ ่ีต�ำ แหน่งใด ดงั น้ี 1) ba c (a – b) + c = [4 – (-5)] + (-6) = 9 + (-6) = 3 2) c ab 3) bc a 4) ac b 5) bc a สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

38 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ หนงั สอื เรียนรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 เกรด็ นา่ รู้ 8. เรอื ด�ำ น�ำ้ ล�ำ หนง่ึ ออกส�ำ รวจเรอื อบั ปางซง่ึ จมอยกู่ น้ ทะเลทร่ี ะดบั -92 เมตร จากระดบั น�้ำ ทะเล ในสภาพหงาย เมอ่ื เรอื ด�ำ น�้ำ ลงไปถงึ ระดบั -68 เมตร จากระดับน้ำ�ทะเล จงึ ไดพ้ บกับดาดฟา้ ของเรือทอ่ี บั ปาง อยากทราบว่า เรือที่อับปางนม้ี คี วามสงู จากทอ้ งเรอื ถึงดาดฟา้ ประมาณกี่เมตร อบั ปาง เปน็ ค�ำ กรยิ า แปลวา่ ลม่ จม หรอื อุณห ูภมิต(องศาเซลเ ีซยส)ัวอ ่ยาง 9. จากบนั ทกึ สถติ กิ ารแขง่ ขนั กฬี ากระโดดน�ำ้ แตก ซง่ึ ค�ำ วา่ อบั ปางนจ้ี ะใชก้ บั เรอื เดนิ ทะเล นั ก กี ฬ า ค น ห นึ่ ง ก ร ะ โ ด ด อ อ ก จ า ก อาทิตย� แพลตฟอรม์ ซง่ึ อยสู่ งู จากผวิ น�ำ้ 10 เมตร เกรด็ นา่ รู้ จันทร� แล้วลอยตวั ขึน้ ไป 2 เมตร จากนน้ั เขา ัองคาร ทิ้งตัวลงไปเปน็ ระยะ 15 เมตร จากจุด การแข่งขันกระโดดน้ำ�ในปัจจุบันมี ทลี่ อยขน้ึ ไปสงู ทสี่ ดุ ถา้ สระนล้ี กึ 5 เมตร 2 แบบ คือ แบบแพลตฟอร์ม (platform) พุธ อยากทราบว่าในการกระโดดคร้ังนี้เขา และแบบกระดานสปริง (springboard) พฤ ัหสบ ีด จะลงไปแตะถงึ กน้ สระหรือไม่ สำ�หรับการแข่งขันแบบแพลตฟอร์มน้ัน มคี วามสูงด้วยกัน 3 ระดับ คือ 5 เมตร 7.5 ุศก �ร 10. กราฟต่อไปนี้แสดงอุณหภูมิต่ำ�สุด และสูงสุดในสัปดาห์หน่ึง ของเมือง เมตร และ 10 เมตร โดยในการแขง่ ขนั กฬี า เสาร� เซน็ ทรัล รฐั อะแลสกา ประเทศสหรฐั อเมรกิ า โอลมิ ปกิ ยคุ ปจั จบุ นั ก�ำ หนดความสงู ทร่ี ะดบั 10 เมตร ส่วนการแข่งขันแบบกระดาน 10 สปรงิ ก�ำ หนดความสูงท่รี ะดบั 3 เมตร 5 อุณหภมู ิ 0 สูงสุด -5 อณุ หภูมิ -10 ต่ำสดุ -15 ท่ีมา : http://www.yourweatherservice.com สืบคน้ เมอื่ 13 ตุลาคม 2559 จากกราฟ จงตอบคำ�ถามตอ่ ไปน้ี 1) เมอ่ื เปรยี บเทยี บอณุ หภมู สิ งู สดุ ของแตล่ ะวนั แลว้ วนั ใดมอี ณุ หภมู ติ �ำ่ ทส่ี ดุ 2) ในวันพุธ อุณหภมู สิ ูงสุดต่างจากอุณหภูมิต�่ำ สดุ อยู่เทา่ ไร 3) วันใดท่ีอุณหภูมิสูงสุดและอุณหภูมิต่ำ�สุด แตกต่างกันน้อยท่ีสุด และตา่ งกันอยูเ่ ทา่ ไร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนงั สือเรียนรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเตม็ 39 ชวนคดิ 1.11 เวลาในประเทศท่ัวโลกน้ันแตกต่างกนั อันเนื่องมาจากการท่โี ลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ และหมุนรอบตัวเองไปด้วย ทำ�ให้พื้นที่บนผิวโลกมืดและสว่างไม่พร้อมกัน เวลาที่กำ�หนดข้ึนในแต่ละประเทศบางครั้งจะเรียกว่า เวลาท้องถิ่น ซ่ึงกำ�หนดตามเวลากรีนชิ (Greenwich Mean Time หรอื GMT) เนื่องจากโลกหมุนรอบตัวเอง 1 รอบ ใช้เวลาประมาณ 24 ชั่วโมง เราจึงแบ่งเขตเวลาออกเป็น 24 เขตเวลา โดยเริ่มท่ีเส้นลองจิจูด 0˚ ซึ่งผ่านเมืองกรีนิช ประเทศสหราชอาณาจักร เมื่อนับไปทางขวาหรือทางตะวันออกของ เสน้ ลองจจิ ดู นจี้ ะบวกเวลาไปทลี ะ 1 ชวั่ โมง ตอ่ 1 เขตเวลา และเม่ือนับไปทางซ้ายหรอื ทางตะวนั ตกจะลบเวลาไปทีละ 1 ชว่ั โมง ตอ่ 1 เขตเวลา และทเี่ สน้ ลองจจิ ดู 180˚ จะเป็นเส้นลองจจิ ูดท่เี ขตเวลาทางฝ่งั ตะวันออกและตะวันตกเปน็ เส้น เดียวกนั เรียกเส้นนว้ี ่า เสน้ แบง่ เขตวนั สากล (International Date Line) ดังภาพ -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 สหราช อาณาจักร เ �สนแบ�งเขต ัวนสากล ฮาวาย ไทย เสน� แบง� เขตวนั สากล ัตวอ ่ยาง เปรู 180 ํ 165 ํ 150 ํ 135 ํ 120 ํ 105 ํ 90 ํ 75 ํ 60 ํ 45 ํ 30 ํ 15 ํ 0 ํ 15 ํ 30 ํ 45 ํ 60 ํ 75 ํ 90 ํ 105 ํ 120 ํ 135 ํ 150 ํ 165 ํ 180 ํ 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 จากภาพ ใหพ้ ิจารณาแถบตวั เลขด้านบน จะเหน็ วา่ ประเทศไทยอยใู่ นเขตเวลา GMT +7 และถ้าขณะน้ีประเทศ สหราชอาณาจกั รเปน็ เวลา 11 นาฬกิ าของวนั หนง่ึ ประเทศไทยกจ็ ะเปน็ เวลา 18 นาฬกิ าของวนั เดยี วกนั แตถ่ า้ ขณะน้ี ประเทศไทยเป็นเวลา 12 นาฬิกาของวันหนง่ึ เกาะฮาวาย ซึง่ อยูใ่ นเขตเวลา GMT -10 จะเป็นเวลา 19 นาฬิกาของ วนั ก่อนหน้าวันนนั้ หน่ึงวัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

40 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเตม็ หนงั สือเรยี นรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 สือ่ เสรมิ จากข้อมลู ข้างต้น จงตอบคำ�ถามตอ่ ไปนี้ เพม่ิ ความรู้ 1) ถ้าต้นข้าวซ่ึงเรียนอยู่ท่ีประเทศสหราชอาณาจักร นัดคุยทาง นักเรียนสามารถศึกษาเกย่ี วกับ โทรศพั ทก์ บั ขา้ วโอต๊ ซงึ่ ไปท�ำ งานทปี่ ระเทศเปรู ในเวลา 19 นาฬกิ า เวลาสากลเพม่ิ เติมไดท้ ่ี ตามเวลาท้องถ่ินของประเทศเปรู อยากทราบว่า ต้นข้าวจะต้อง goo.gl/eEFdgz โทรศพั ท์หาขา้ วโอต๊ ในเวลาเท่าไรของประเทศสหราชอาณาจกั ร 2) ถ้าคุณแม่ของต้นข้าวและข้าวโอ๊ตซึ่งอยู่ที่ประเทศไทย ต้องการคุยทางโทรศัพท์กับลูกทั้งสองคนพร้อมกัน โดยคุณแม่จะสะดวกโทรศัพท์ในช่วงเวลา 17–21 นาฬิกา ส่วนต้นข้าวนั้นสะดวกรับโทรศัพท์ในช่วงเวลา 7–12 นาฬิกา แต่ขา้ วโอต๊ ไมส่ ะดวกรับโทรศัพท์ในชว่ งเวลา 6–17 นาฬกิ า ตามเวลาท้องถ่นิ ของประเทศที่ ตนเองอาศยั อยู่ อยากทราบวา่ คุณแม่สามารถโทรศัพท์หาลกู ทงั้ สองคนในชว่ งเวลาใด ตามเวลาทอ้ งถิ่นของ ประเทศไทย จึงจะไดค้ ุยทางโทรศพั ท์กบั ลูกทง้ั สองคนพรอ้ ม ๆ กนั ตัวอ ่ยาง 1.4 การคณู จ�ำ นวนเต็ม การคูณจำ�นวนเต็มบวกด้วยจำ�นวนเต็มบวก คือ การคูณจำ�นวนนับดว้ ยจำ�นวนนับ นั่นเอง เช่น 2 × 9 = 9 + 9 = 18 3 × 8 = 8 + 8 + 8 = 24 4 × 7 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28 การคูณจำ�นวนเต็มบวกด้วยจำ�นวนเต็มลบ สามารถหาผลคูณ โดยใชค้ วามหมายของการคูณและหลักการบวกจำ�นวนเต็มลบ เช่น 2 × (-9) = (-9) + (-9) = -18 3 × (-8) = (-8) + (-8) + (-8) = -24 4 × (-7) = (-7) + (-7) + (-7) + (-7) = -28 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนงั สอื เรียนรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 1 | จำ�นวนเตม็ 41 การคูณจ�ำ นวนเตม็ บวกด้วยจำ�นวนเต็มลบ จะได้ผลคูณเป็นจ�ำ นวนเตม็ ลบ ทม่ี คี า่ สัมบรู ณเ์ ท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำ�นวนน้นั จากตวั อยา่ ง การหาผลคณู 2 × (-9) อาจท�ำ ไดโ้ ดยพจิ ารณาวา่ คา่ สมั บรู ณข์ อง 2 เทา่ กบั 2 และคา่ สมั บรู ณข์ อง -9 เทา่ กบั 9 จงึ ไดว้ า่ 2 × (-9) = -(2 × 9) = -18 ตัวอ ่ยาง การคูณจำ�นวนเต็มลบด้วยจำ�นวนเต็มบวก อาจพิจารณา การหาผลคูณได้จากแบบรูปต่อไปน้ี พิจารณาผลคณู ต่อไปน้ี 3 × 5 = 15 -5 -5 2 × 5 = 10 -5 1 × 5 = 5 0 × 5 = 0 (-1) × 5 = ■ (-2) × 5 = ■ (-3) × 5 = ■ หากสงั เกตจากผลคูณในลำ�ดบั กอ่ นหน้า ซง่ึ ลดลงทลี ะ 5 ทำ�ใหค้ าดเดาวา่ ผลคณู ในล�ำ ดับตอ่ มาจะลดลงทีละ 5 เชน่ เดิม ท�ำ ให้ได้วา่ (-1) × 5 = -5 (-2) × 5 = -10 และ (-3) × 5 = -15 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

42 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเต็ม หนังสอื เรียนรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 จากแนวคิดข้างต้น จะเห็นได้ว่า การคูณจำ�นวนเต็มลบด้วยจำ�นวนเต็มบวก จะมีผลคูณเป็นไปตามหลักการคูณ จำ�นวนเตม็ ลบด้วยจ�ำ นวนเตม็ บวกท่ีวา่ การคณู จ�ำ นวนเตม็ ลบด้วยจ�ำ นวนเต็มบวก จะได้ผลคูณเป็นจำ�นวนเตม็ ลบ ทมี่ คี ่าสมั บรู ณเ์ ทา่ กับผลคณู ของคา่ สมั บรู ณ์ของสองจำ�นวนน้ัน ตวั อยา่ งท ่ี 1 จงหาผลคณู (-7) × 3 ค่าสมั บูรณข์ อง -7 เทา่ กบั 7 คา่ สัมบูรณข์ อง 3 เทา่ กบั 3 ค่าสมั บูรณข์ อง -9 เทา่ กบั 9 คา่ สมั บรู ณ์ของ 10 เทา่ กับ 10 วธิ ที �ำ ตัวอ ่ยาง(-7) × 3 = -(7 × 3) = -21 ตอบ -21 ตวั อยา่ งท ่ี 2 จงหาผลคูณ -9 × 10 วธิ ที �ำ -9 × 10 = -(9 × 10) = -90 ตอบ -90 ในทางคณิตศาสตร์ เมื่อ a และ b เปน็ จำ�นวนใด ๆ อาจเขียนแทน a × b ดว้ ย a . b หรอื ab หรอื (a)(b) เชน่ 3 . (-5) หมายถึง 3 × (-5) (-3)(-2) หมายถึง (-3) × (-2) (4 . 3)(-2) หมายถึง (4 × 3) × (-2) ตวั อยา่ งท ่ี 3 จงหาผลคณู (-8)12 วธิ ที �ำ (-8)12 = -(8 × 12) = -96 ตอบ -96 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนงั สือเรยี นรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม 43 การคณู จ�ำ นวนเตม็ ลบดว้ ยจ�ำ นวนเตม็ ลบ อาจพจิ ารณา การหาผลคณู ได้จากแบบรูปต่อไปน้ี พิจารณาผลคณู ต่อไปน้ี (-2) × 4 = -8 +2 +2 (-2) × 3 = -6 +2 (-2) × 2 = -4 (-2) × 1 = -2 (-2) × 0 = ■ (-2) × (-1) = ■ (-2) × (-2) = ■ (-2) × (-3) = ■ ตัวอ ่ยาง หากสังเกตจากผลคูณในลำ�ดับก่อนหน้า ซ่ึงเพ่ิมขึ้นทีละ 2 ทำ�ให้คาดเดาว่าผลคูณในลำ�ดับต่อมาจะเพ่ิมข้ึนทีละ 2 เช่นเดมิ ทำ�ใหไ้ ดว้ า่ (-2) × 0 = 0 (-2) × (-1) = 2 (-2) × (-2) = 4 และ (-2) × (-3) = 6 จากแนวคิดข้างต้น จะเห็นได้ว่า การคูณจำ�นวนเต็มลบด้วยจำ�นวนเต็มลบ จะมีผลคูณเป็นไปตามหลักการคูณจำ�นวน เตม็ ลบด้วยจำ�นวนเตม็ ลบท่วี า่ การคณู จ�ำ นวนเตม็ ลบดว้ ยจ�ำ นวนเต็มลบ จะไดผ้ ลคณู เป็นจำ�นวนเต็มบวก ที่มีค่าเท่ากับผลคูณของค่าสมั บูรณข์ องสองจ�ำ นวนนน้ั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

44 บทที่ 1 | จำ�นวนเตม็ หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ตวั อยา่ งท ่ี 4 จงหาผลคณู (-5) × (-4) ค่าสัมบรู ณ์ของ -5 เทา่ กบั 5 วธิ ที �ำ (-5) × (-4) = 5 × 4 คา่ สมั บูรณ์ของ -4 เทา่ กับ 4 = 20 ตอบ 20 ตวั อยา่ งท ่ี 5 จงหาผลคณู (-3) . (-7) ค่าสมั บรู ณ์ของ -3 เทา่ กับ 3 วธิ ที �ำ (-3) . (-7) = 3 . 7 ค่าสมั บูรณ์ของ -7 เท่ากับ 7 = 21 ตอบ 21 ตัวอ ่ยาง ตวั อยา่ งท ่ี 6 จงหาผลคูณ [(-5) . 4](-3) วธิ ที �ำ [(-5) . 4](-3) = [-(5 . 4)](-3) = (-20)(-3) = (20)(3) = 60 ตอบ 60 ตวั อยา่ งท ่ี 7 บอลลูนลูกหน่ึงลอยขึ้นจากพ้ืนดินได้ 13 เมตร ในเวลา 1 นาที ดว้ ยอตั ราเรว็ คงตวั อยากทราบวา่ เมอ่ื เวลาผา่ นไป 5 นาที บอลลูนนี้ จะอยู่สงู จากพืน้ ดนิ กี่เมตร วธิ ที �ำ ในเวลา 1 นาที บอลลนู ลอยขน้ึ ไปได้ 13 เมตร จะไดว้ า่ ในเวลา 5 นาที บอลลนู จะลอยข้นึ ไปได้ 5 × 13 = 65 เมตร ตอบ 65 เมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หนงั สอื เรียนรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ 45 ตวั อยา่ งท่ี 8 อุณหภูมิเฉลี่ยของอากาศในฤดูหนาวของเมืองเบราน์ชไวก์ ชวนคดิ 1.12 ประเทศเยอรมนี คือ -2 องศาเซลเซียส ถ้าอุณหภูมิบนยอดเขาซึ่งอยู่ใน เมืองนี้ต่ำ�กว่า 0 องศาเซลเซียส อยู่ 9 เท่าของอุณหภูมิเฉล่ียของอากาศ เมอื งเบรานช์ ไวก์ ในเมอื ง อยากทราบวา่ อณุ หภูมบิ นยอดเขาเปน็ กีอ่ งศาเซลเซียส (Braunschweig) วธิ ที �ำ อณุ หภูมเิ ฉลยี่ ของอากาศในเมอื งเท่ากับ -2 องศาเซลเซียส ประเทศเยอรมนี อุณหภูมิบนยอดเขาตำ่�กวา่ 0 องศาเซลเซยี ส อยู่ 9 เท่าของ เปน็ บ้านเกิดของ อุณหภมู ิเฉล่ยี ของอากาศในเมอื ง เกาส์ (Gauss, Carl จะไดว้ ่า อณุ หภมู บิ นยอดเขาเปน็ 9 × (-2) = -18 องศาเซลเซยี ส Friedrich, ค.ศ. 1777–1855) ผู้ท่ีได้รับ ตอบ -18 องศาเซลเซยี ส ฉายาว่าเป็น เจ้าชายของนักคณิตศาสตร์ (The Prince of Mathematicians) ในสมยั http://ipst.me/12535 เด็ก เกาส์สามารถหาผลบวกของจำ�นวนนับ ตัวอ ่ยาง ต้ังแต่ 1 ถึง 100 ได้ในเวลาอันรวดเร็ว แลว้ ถ้านกั เรยี นต้องบวกจำ�นวนนบั เหล่านน้ั เชน่ เดยี วกบั เกาส์ นกั เรยี นจะมวี ธิ หี าผลบวก ให้รวดเร็วได้อยา่ งไร แบบฝึกหดั 1.4 2) 35 . 0 ชวนคิด 1.13 4) (-1)(44) 1. จงหาผลคูณ 6) -14 × 8 จากขอ้ 2 นกั เรยี นได้ข้อสังเกตอะไร 1) 7 × 14 8) (-20)(-20) 3) -95 × 1 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 5) 50 . (-5) 2) (-22) × 6 7) -8 × (-13) 4) 13 × (-9) 6) -25(-12) 2. จงหาผลคณู 8) (-8) × (-17) 1) 6(-22) 3) (-9) . 13 5) -12 × (-25) 7) (-17) × (-8)

ตัวอ ่ยาง นายพัฒนะ พัฒนทวดี ล ผพู ิมพแ ละผโู ฆษณา ๖๖๐๐๐๘๓