NUMEROS REALES CARTILLA 9°

Tema 1 // Características de los sólidos Ángulo central: es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios de ella. Ángulo inscrito: es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de ella. Para todo ángulo inscrito, existe un ángulo del centro que subtiende el mismo arco. El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco. 101   Capítulo 2. Cuerpos geométricos 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Segmento circular: es cada una de las partes en que se divide un círculo cuando se traza una cuerda DB. Si la cuerda es un diámetro, cada parte será un semicírculo, Sector circular: es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco. Corona circular: es la porción del plano comprendida entre dos circunfe- rencias concéntricas (tienen el mismo centro). 102   Unidad 2. Geometría 

Tema 1 // Características de los sólidos Aplicación En tu cuaderno, copia los siguientes ejercicios, resuélvelos y compara con tus compañeros: Utilizando instrumentos de geometría: regla, escuadra, transportador y compás, realiza las construcciones: 1. Una circunferencia cuyo diámetro mida 7.5 cm. 2. Una circunferencia de radio 7.5 cm y una cuerda de 4 cm. 3. Un ángulo central de 50°. 4. Un ángulo 65°, inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio. 5. Un arco cuyo ángulo central es 60°. 6. Una corona circular de 3 cm de ancho en un círculo de 7 cm de radio. 7. Un sector circular correspondiente a un ángulo de 120°. 8. Verifica que a un ángulo de 50°, inscrito en un círculo, corresponde con un ángulo central de 100°. 9. En tu cuaderno describe cómo es cada línea de la circunferencia: radio, diámetro, cuerda, arco, secante y tangente. 10. Dos polígonos regulares de 5 y de 8 lados. Entendemos por… 103 Circunferencia la línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de un punto fijo llamado centro. La circunferencia tiene longitud igual a 2π por el radio. Círculo aquella superficie plana limitada por una circunferencia. Como el círculo es la parte interior de una circunferencia, entonces el círculo tiene área.   Capítulo 2. Cuerpos geométricos 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Diversión matemática ¿Diagonal igual que radio? Aquí te presentamos un caso en el que debes verificar si una diagonal de ese rectángulo coincide con el radio del círculo. Tomado de: http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_ content&view= article&id=6143:el-radio-del-culo&catid=113:acertijos&directory=67 Día a día avisos publicitarios. En Hungría, en cambio, los hacían un Círculos en los cultivos par de adolescentes traviesos. Hoy, conociendo la técnica, surgen los más variados dibujos Una mañana de 1979, los habitantes de Winchester, por todas partes, unos cuantos de ellos con demasiado Inglaterra, quedaron asombrados cuando en sus campos humor. Y ya casi ningún ufólogo defiende su origen de trigo aparecieron gigantes dibujos circulares. Extrañas extraterrestre. formas, algunas de ellas verdaderas obras de arte, que se volvieron cada vez más complejas y numerosas. Después de Tomado de: http://www.webmisterios.com/general/ovni- esto, figuras similares aparecieron en Alemania, Hungría y circulos-en-los-cultivos.html Nueva Zelandia. Los ufólogos, especialistas en el fenómeno Ovni, atribuyeron estas figuras a alguna forma de comunicación entre seres extraterrestres y sus naves. Pasaron 21 años y nos llenaron de hipótesis descabelladas, hasta que al fin el misterio se develó: Doug Bower y Dave Chorley, 2 aburridos jubilados ingleses, confesaron públicamente ser los autores de los primeros dibujos. Y los reprodujeron a la perfección mostrando que utilizaban hilos para trazar las formas y valiéndose de tablas aplastaban las plantas. La técnica dio origen a una más reciente camada de artistas ingleses que en este momento exponen sus maravillas en la página web www.circlemakers.org y hasta las venden para 104   Unidad 2. Geometría 

Tema 2 // Áreas y volúmenes de los sólidos Tema 2. Áreas y volúmenes Conceptualización de los sólidos Prisma Indagación Es un poliedro limitado por dos polígonos con- gruentes y paralelos llamados bases y varios para- Recordemos que volumen es la medida del es- lelogramos llamados caras laterales. pacio ocupado por un cuerpo. El volumen de los cuerpos es el resultado de sus tres dimensiones: Los prismas se clasifican según el polígono que ancho, alto y profundidad. corresponde a sus bases. Así, los prismas pueden ser triangulares, pentagonales, hexagonales, entre otros. En escultura y pintura, la manera de tratar la tri- dimensionalidad (tres dimensiones: largo, ancho y En cualquier prisma se puede calcular el área alto) de las masas. lateral, el área total y el volumen. En escultura, se le llama volumen a una estruc- Área Lateral (AL ) tura formal tridimensional, así como también volu- men a las partes componentes del todo escultóri- co, cuando éstas tiene el carácter de masas. En arquitectura, se le llama volumen al con- junto exterior de un edificio, que encierra el es- pacio interior. Escribe en tu cuaderno a cerca del volumen, por ejemplo, cuáles objetos de tu casa tienen volumen. Compara tu trabajo con dos o tres compañeros. Es la suma de las áreasAdLe=lha.sPBcaras laterales ypocroerrlepseproímndeetroaldperoudnua(cAdtAoLe)Tlda=(esA(AAlbLaLTa) s)a+el2tsu.AraB del prisma ÁreaAtL(oA=taTLhlA).VPL(BA==ThA).PB.Bh AT A=L AdA=eLTh+l.=aP2sBAAdLBo+s2bAaBses Es la suma del área y el área lateral del prisma. ATVA=L((=AAA=LATLhV))+B..P2h=BAABB. h VVo(=lAumAT )Be.nh Es el producto dAeTl =árAeaL +de2AlaB base por la altura 105 del prisma. V = AB. h   Capítulo 2. Cuerpos geométricos 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Analicemos la situación siguiente: Pirámide: Una caja prismática de base triangular tiene las dimensiones como muestra la figura. Queremos conocer su: área lateral, área total y volumen. Para calcular el área lateral del prisma se calcula La pirámide es un poliedro en el cual una el perímetro de la base y se multiplica por la altura. de sus caras, llamada base, es un polígono y lasotras caras, llamadas caras laterales, siem- P= 3 cm + 4 cm + 5 cm = 12 cm pre son triángulos que concurren en un vér- tice común. AL = h . PB AL = 6cm . 12cm = 72cm2 Las pirámides se clasifican según el polígono que corresponde a su base, en pirámide triangular, Para calcular el área total del prisma, se calcula hexagonal, pentagonal, entre otras. Además, una el área de la base. pirámide puede ser recta u oblicua. Luego, se suma el área lateral con el doble del Una pirámide es recta si todas sus caras latera- área de la base. les son triángulos isósceles y es oblicua si alguna de sus caras laterales es un triángulo escaleno. AB = 3cm. 4cm= 6cm2 2 En cualquier pirámide se puede calcular el área lateral, el área total y el volumen. AT = AL + 2AB Área Lateral (AL ) : es la suma de las áreas de las AT = 72cm2 + 2. 6cm2 = 84cm2 claarbaassleatyer“aAlA”eLse.=AsALnes=.ílA,há.sPrieB“an”deesuenlandúemlearsocdaeralsadlaotserdae- les, se tienAeT Aq=TuA=eB(:AA+LT )+AL2AALB = n.A Y para calcular el volumen del prisma, se mul- el áÁrereaalatotetaral l(.AVT=) :AeB.sAhATAlLa=L==sAnuBn.mA.+AaALdel área de la base y tiplica el área de la base por la altura: áreVaodleumlaVebn=a: s1e3es(yAlaBla.hVtAVVae)ATlTr=t==c=u(=13((eA1133ArAA(rTAaB((AaTT)BAA+Bd))+.BBphAe..hh)AaLl))rLatepidreálmpidroed. ucto del V = AB. h Ejemplo: calcular el área lateral y el volumen de V = 6cm2. 6cm = 36cm3 una pirámide cuya base es un cuadrado de lado 4 cm. y cuyas caras laterales son triángulos equiláteros. 106   Unidad 2. Geometría 

Tema 2 // Áreas y volúmenes de los sólidos Para calcular el área lateral se halla el área del triángulo EBA y se multipli- ca por el número de lados de la base, así: Primero hallamos la altura del triángulo EBA, aplicando el Teorema de Pi- tágoras, recordemos que la altura va del ángulo al lado opuesto y es perpen- dicular al punto medio: h = (4cm)2 (2cm)2 = 16cm2 4cm2 = 12cm2 = 3. 46cm h = (4cm)2 (2cm)2 = 16cm2 4cm2 = 12cm2 = 3. 46cm Luego, se calcula 4elcmár.e3a, del triángulo EBA: A= 4cm. 32, 46cm 13. 84 A= 46cm = 13.284 cm2 = 6. 92cm2 2 = cm2 = 6. 92cm2 2 Luego se calcula el área lateral, para ello se multiplica por 4 el área del triángulo EBA, (la pirámide tiene cuatro caras, pues su base es cuadrada): AL = n . A AL = 4 . (6. 92cm2 ) = 27. 68cm2 aplPicaarandcoalecluTlaeroAAerAAAelLLLLmGv====oa=ln4n4ud..m.e.(A((A6e3P6..ni.9t4,9á26p2gccrocAAmimmrmLLa2)2se==2):)r=no4=(2..d22(A7e7c6.b.m.66e98)8m2c2ccmom=ms222h)1a=1ll.a29r77l.ca6m8a2lctmur42acdme2la=p2i.r8á2mcimde, AAGG== ((33..4466ccmAmG)V)22==((3122(c3(cm.Am4B))62.2ch=m=) )21111..(99277cccmmm)222 =44cc1mm1.229==7c22m..88222ccm4mcm2 = 2. 82cm Por lo tanto el volumen es: VVV===3131(1(AA(1BB.6.hch)m)V2 .=23.18(2AcBm. h))= 1 ( 45.12cm3 ) = 15.04cm3 3 3 VV ==3131((1166ccmm22V..22=..88122(cc1mm6)c)m==23131.((244.585.2.11c22mccmm) =33))1==(141555...010424cccmmm333) = 15.04cm3 33 Cuerpos redondos: son sólidos limitados por superficies curvas o por su- perficies planas y curvas. Los principales cuerpos redondos son: el cilindro, el cono y la esfera. Cilindro Es un cuerpo redondo limitado por una superfi- cie curva y dos caras planas circulares. La superficie curva que conforma el cilindro se denomina cara lateral y las dos caras circulares se denominan bases. 107   Capítulo 2. Cuerpos geométricos 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Al efectuar el desarrollo de un cilindro se puede observar que la cara lateral pertenece a un rectángulo cuyo largo es la longitud de la circunferencia que corresponde a la base y cuyo ancho es la altura del cilindro. Por tanto, si “h” es la altura del cilindro y “r” el radio de la base se tiene que: El área lateral (AL ) del cilindro corresponde al área del bpreaocsrEEteAálllsaATnAváTygToa=rue=ll=etuAaluloAmLArátLa+Loqre+e+tu2ndaa2eeA2lAdAllBTAreaVAdeBcB==ltLpiee(=c==lA(Arlr=iVi2ane(LATl(ch2iVlsd2)+B.n.i.=e.Plr.A2hd.in=oBnAAALrA.t.rodBaAL.BL=.()r.rrBA=h(es=)o(h)(.AhusTAh2+(h(=Te)2T+e2.+d2)s=)l..2e2.pls..a..rar.r.o.2.r)srrrdr.h.ru)2.)ohhur2.hmrlh2=cl2oa=t=(o.2(d(2d2.e.e.ll.áár.r.r)rere()a)ha((hhd+d+e+er)rrll)aa)sbdaoses V = AB. h = .r2. h Analicemos el área lateral, área total y el volumen del cilindro de radio 3 cm. y altura 4 cm. Se reemplazan las medidas del radio y de la altura en las expresiones correspondientes al área lateral, al área total y al volumen del cilindro. Luego, se realizan las operaciones indicadas así: Área lateral: AL = (2 . . r)h = 2 . 3.14 . 3cm . 4cm = 75. 36cm2 ATÁ=re(a2A.toL t=a. l(r:2)(.h +.rr))=h (=22. 3. .31.144. .3c3mcm)(4. c4mcm+=3c7m5.)3=61c3m1.288cm2 AT = (2A. LV=.=(r2)(.h. r+2.r.r)h)=h=(=23.2.13.4.3(1.314c4m. .32c3)mc.m)4(c4.mc4mc=m+11=33c7.m50.)43=c6m1c33m1.288cm2 ATV=o(lu2m. Ven.=:r)(h. r+2r.)h==(23..134.(134c(m.A32Lc))m. )4(c4mcm=+1133c.m0)4=cm133 1.88cm2 V = . r2 . h = 3.1A4L(3=c(mA2.L)r).. 4gcm = 113. 04cm3 Cono Es un cuerpo redondo limALit=a(dAo.TLr)p.ogr una superficie curva y una cara planAaT c=irAcLu+laAr.B =AL =.(rA..Tgr)+. g . r2 = . r . (g + r) carLEaal lacgtoeennraeolr,aetbrsAAiatzTTáse==ec,soAAvenLLél++frostiAAercmgBBem==,adeanlot..tuo(rrpAr..aoqTggru)y++elgotesi..enrrnse22ierg==auctrioeimzn.. .rrtoe..sp(( gguen++letorrm))s eenxttores-: mos el vértice del cono un punto de la circunferencia de la base. La altura es la medida del segmento perpendicular a la base, cuyo punto extremo es el vértice del cono. Si simbolizamos con “r” el radio de la base del cono, con “g” la generatriz del cono y con “h” su altura, se tiene que: 108   Unidad 2. Geometría 

AL = (2 . . r)h = 2 . 3.14 . 3cm . 4cm = 75. 36cm2 Tema 2 // Áreas y volúmenes de los sólidos AT =A(L2=. (2 .. Ar)L(.h=r+)(h2r=). =2(.23r..)1h34.=1.423.c.3m3c.1m.44)(.c4m3ccm=m7+.534.c3cmm6c)=m=72153.13.68c8mcm2 2 AT = (2 . AT.=rAV)(L(2=h=.+(2r.)..r=r2).(.2hhr.+=)3hr3.).1=1=424.((.2333cc..mm13.42)1().44.3c.4cm3mccm+m.3=4)c(c14mm1c)3m==. 0+17435c.1cm3.m8638)ccm=m12 32 1.88cm2 AT =V(2=. . E.rlr2V.)á(=hhre=+a3.r.)r1l=a24.t(eh32rca=.ml33.2.11)(44A. .(4L33)cccmmmd=2e))(1l4.1cc43moc. 0mn+4o3=ccm1cm13o)3r.=r0e14s3pc1mo.8n38dcema2 l Esfera árVea=de.l rs2e.chto=r 3cA.i1(LrA4c=L(u3)lca.mrrq2.)(ugA.eL4)rcemsu=lt1a1d3.e0s4ucmd3esarrollo. AL = . r(AA.L(TgA=)L ) . r . g Es un cuerpo redondo limitado por una superficie curva. Todos los puntos de la superficie de la esfera equidistan de un punto llamado centro. dAeT =ElAalTAáb=Lra+eAAsaeATL B+t=yo=AtAeaBlLl=á+.(rrAAeA.LBaT.g=r)=l+a.(dgtAee..T+.rl(rr)arAc..l2T.gog.=)rn+2o=.e.rsr.2l.(a=rg.s+u(gr.m)r+a.r(d)ge+l área La distancia entre un punto de la superficie de r) la esfera y el centro se denomina radio. La intersección de la superficie de la esfera con AT = AL + AB = . r . g + . r2 = . r . (g + r) un plano que pasa por su centro se denomina cir- cunferencia máxima y el círculo determinado por El volumen del cono es un tercio del producto esta se denomina círculo máximo. del área de la base por la altura del cono. V = 1 AB . h = 1( . r2. h) 3 3 Veamos cómo resolver el problema de un cono: g = (6cmCa)2lc+u(l5acr mla)m2 =edid3a6cdme l2a+g2e5ncemra2tr=iz, e6l1ácrmea2 late7-, 81cm ral, área total y el volumen de un cono cuyo radio AeeT sl=T5PAeaoLcr.rma=erm.h. (ya.aglrsl.+daugrer=al)Palt3=Viut.má13r=ag.e4113od.e4Aris5adB.cs6.a5:mhccd=m.me713..l.(a(871.g.rce82mn.1hec=)mra1t+2ri25z.,c6ms1e)7a=cpm2li02c1a.11ctvimeecn2SEeeilssqáeeurleeráae:rpedraeesdeleanltscauírcpcoeunrlfoi“cmri”eáedxliemraloda.ioesdfeeralaeessfceuraatrsoe g =VLu=(e613cgmoA()L,2=s+.e(r5V.r2rce..mg=eh)=m13)2 3==pA.1Bl143a.3.z(h653acc=.nmm11324l.a+(7..s28(5.51mcrccmm2em.d2=h)i=)1d2.2a266s.1c6dc1mme7)lc2 m=ra217d,58io71c,cmmla3 AE = 4 r 2 g = ea(6lltcáumrrAea)Ta2y=+tol(a5t.acrglm.e(y)gn2e+e=lrra)v=tor3l3i6uz.1cm4mp.ea25nrc+a.m2c.5(ac7lm.c8u21cl=mar+e651lccmám)re=2a20l71a.,t18e11rcacmml2, eExlApEvroe=lsu4iómnre:2n de lVa Ee=sfe34ra se calcula mediante r3 la AL =V =.r13.g( =. 3r.21. 4h).=5c13m(3..174. 8. (15ccmm)=2.162c2m. 6) 1=71c5m7c2m3 AT =V4E =. r342 =r43. 3.1e4n(d6ocmnd)2e=r 4es. 3e.l1r4a.d3io6cdme2la= e4s5f2e.r3a9. cm2 AT = . r .(g + r) h=)3=.1134(.35.1c4m..((57c.m81)c2.m6+cmV5cA)m=T=)1=43=5472c.0m1.r.3r312=1c=43m4.2.3V3.1.dpe=14sia4ofr.43eCE(ae6(rjoa6cescma.cmm6ymlroc)pcs32)uulml3=ola=a=.v:43er4oLc43se..ualflue3.3el.crá.mg31a1ur.o4eV4e1Atlaia.4n.EsEeer3,(dn.==6e6sere2eclic3414ulmemása6nmur)c2ersr3mdpud=a23=ilpi3áad4áe43=mz5mera2f.9elie.ac0lt33tari.4rose91o.muc43dypme2e.esesdc22u1rmi1fd2iv623caoccicledmmumedm3,l.e=sreuaun9dr.n0ia4oa-. 32cm3 V ( .r = 1 2. 3 AT = 4 . r2 = 4. 3.14(6cm)2 = 4. 3.14 . 36cm2 = 452. 39cm2 V = 4 . r3 = 4 . 3.14 . (6cm)3 = 4 . 3.14 . 216cm3 = 904. 32cm3 3 3 3 109   Capítulo 2. Cuerpos geométricos 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Aplicación En forma individual, resuelve los siguientes ejerci- Calcula área lateral, área total y volumen de los cios, en tu cuaderno. Dibuja las figuras que sean cuerpos siguientes: necesarias. 5. 1. Marisol tiene una cajita como muestra la figura. 6. Ella quiere saber: a) El área lateral b) El área total c) El volumen 2. Un trozo de madera tiene la forma y las medi- das que muestra la figura. Calcula: a) El área lateral 7. b) El área total c) El volumen 3. En una empresa de enlatados se utilizan re- cipientes con forma cilíndrica para empacar arvejas como se muestra a continuación: 8. 8 cm 4 cm 12 cm 6 cm a) ¿Cuál de los dos recipientes tiene mayor capacidad? b) ¿En cuál de los dos recipientes se utiliza ma- yor cantidad de hojalata para su elaboración? c) Si en cada recipiente la etiqueta cubre toda 9. la cara lateral, ¿en cuál de las dos etiquetas se utiliza mayor cantidad de papel? 4. Josefa elaboró unos gorritos para una fiesta infan- til. El diseño y medidas se muestran en la figura. Calcula: a) El área lateral 10. Realiza el dibujo y calcula el área lateral, el b) El área total área total y el volumen de una caja cúbica de 110 c) El volumen 75.25 cm de lado.   Unidad 2. Geometría 

Entendemos por… Tema 2 // Áreas y volúmenes de los sólidos Equidistante aquel punto que queda a la misma Día a día distancia de otro. Por ejemplo, el centro de una Sección áurea y la Gran Pirámide de Gizeh circunferencia es equidistante de los puntos de ella. La gran pirámide de Gizeh se construyó hace 4,500 años aproximadamente y se incluyó entre las siete maravillas del mundo, siendo la más antigua y sin embargo la única que se conserva en la actualidad. Diversión matemática Leyendas de todo tipo han acompañado a cualquier manifestación de esta cultura fascinante y desconocida: 1. En la sopa de letras siguiente aparecen los nombres sus dioses, sus faraones, sus jeroglíficos y, por supuesto, de diez matemáticos. Búscalos: sus increíbles templos y construcciones funerarias nos hablan de grandeza y de misterio. Y de saberes ocultos Bolzano, Cauchy, Euclides, Euler, Fermat, celosamente guardados por poderosos sacerdotes. Gauss, Leibniz, Newton, Pitágoras y Taylor. Entre estos saberes secretos se hallan, cómo no, los conocimientos matemáticos. Mucho se ha escrito sobre GC AU S E RHU P las matemáticas de las pirámides, y se pueden leer todo L A P NA F OD R I tipo de fantásticas relaciones numéricas encarnadas en EUL E ROL YA T las formas y medidas de esas enormes moles de piedra. U C OWO S Y U P A La cuestión es que efectivamente hay matemáticas, y CHN T GAU S SM no hay más que fijarse en la forma elegida, pero quizá L Y A O A Z WM I R no tantas como se cree. Veamos un ejemplo de estos I L ZNTOEGB E supuestos conocimientos: imaginemos que alguien DA L E I BN I Z F Nos muestra el siguiente dibujo, en el que la letra E ROT P I T A E A representa la sección áurea. S ABN I ZOR TN Según el historiador griego Heródoto, la Gran Pirámide de Gizeh construyó de modo que la superficie de una cara fuese igual a la de un cuadrado que tuviese por lado la altura de la pirámide. Es decir: el apotema de la pirámide, la distancia que va desde la cúspide de la pirámide hasta el punto medio de una de las aristas horizontales, se eligió de modo que la superficie de cada una de las caras triangulares fuese igual al cuadrado de la altura. Tomado de: http://www.epsilones.com/paginas/t- historias1.html 111   Capítulo 2. Cuerpos geométricos 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Este capítulo fue clave porque Aprendí a calcular el área y el volumen de figuras geométricas como la pirámide, el cono, la esfera y el cilindro. Comprendí la importancia de aprovechar las figuras geométricas en maximizar la economía. Aprendí a utilizar las razones trigonométricas, y su aplicación en la resolución de problemas. Aprendí el uso de la calculadora en funciones trigonométricas Conectémonos con Biología Geometría en el cuerpo humano Polígono. La sangre llega al cráneo por dos caminos o dos pares de arte- rias: las carótidas por delante y las vertebrales por detrás. Para evitar que la obstrucción de una de ellas dañe a un órgano tan importante como el cerebro, se comunican entre sí por otras pequeñas arterias que adoptan en la base del cráneo la forma de un hexágono: se trata del polígono de Willis. Son un muy acertado mecanismo de seguridad. Triángulo. El triángulo de Scarpa es bien conocido por los toreros. Tiene su base en la ingle, y su vértice, hacia abajo, y puede apreciarse bien en la parte anterior e interna del muslo en las personas delgadas. Su importancia radica en que por él discurren, muy superficialmente, la arteria femoral, las venas femoral y safena interna y el nervio crural. Se considera que es uno de los lugares preferidos por el toro para cornear y sus lesiones pueden ser extremadamente graves. Tomado de: http://www.eltiempo.com/archivo/documento/MAM-442258 112   Unidad 2. Geometría 

Repasemos lo visto Inicialmente decíamos: No olvidemos que: Te has preguntado: ¿Qué importancia tiene la geome- Las razones trigonométricas nos ayudan a resol- tría en nuestra vida? ver problemas donde podemos calcular alturas Revisamos cómo desde la Antigüedad el ser humano de gran longitud, sin necesidad de medir dicha altura. ha utilizado métodos de medición para solucionar sus problemas de la vida diaria y con el correr de los siglos se sen = CO ; cos = CA ;: tan = CO ; sec = 1 ; csc = 1 ; ctg = 1 ha constituido la geometría en una ciencia no solo prácti- HIP HIP CA cos sen tan ca sino con todo un desarrollo teórico digno de estudiar. Gráficamente, podemos determinar cuándo dos fi- Las construcciones definen el ambiente físico que ro- guras son semejantes, por medio del Teorema de Tales. dea al ser humano, y forman parte de la cultura e historia de cada civilización. Es necesario tener presente las fórmulas de área y vo- lumen de los diferentes sólidos. Cada construcción se diseña pensando en su funcio- nalidad, belleza y disposición de los volúmenes, usando figuras geométricas en su diseño. Solido Formula Grafica Área lateral AL = h.PB 113 (cara lateral) Área total AT = AL + 2 AB Prisma Volumen V = AB.h Área lateral AL = n.A Área total AT = AB + AL Volumen V = 1 ( AB .h) Pirámide 3 Área lateral πAL = (2. .r)h Cilindro Área total AT = AL + 2AB = (2.π . r)h + 2.π . r 2 = (2 .π .r) ( h + r) Volumen V = AB . h = π . r 2. h Área lateral AL = π . r .g Área AT = AL + AB = π . r . g + π . r 2 = π . r g + r)) Total Cono Volumen área total V = 1 AB . h = 1 ( π .r 2. h) 3 3 AT = 4 . π . r 2 Esfera Volumen AT = 4 . r2 V = 4 . r3 3   Unidad 2. Geometría 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Mundo rural Ayuda al guiado en labores agrícolas ción. Asimismo, se han cuidado al máximo dis- con elevad o ancho de trabajo me- tintos aspectos en el diseño del producto, como diante AGROSAT la adecuación al tipo de parcelas que se da en Con el aumento en precisión de los recep- nuestra región y en el territorio nacional, al tores de posicionamiento GPS, varios han sido tiempo que se ha hecho un esfuerzo importante los productos destinados al guiado de tractores por facilitar en lo posible todos los aspectos de en parcelas agrícolas; es un sistema de guiado manejo del dispositivo”. cuya característica fundamental es su adapta- El dispositivo AGROSAT, proporciona presta- bilidad a parcelas de geometría irregular. ciones similares a los que ya existen en el merca- do añadiendo nuevas funcionalidades: se adapta Los sistemas de guiado basados en GPS a parcelas de geometría irregular, en la Figura En los últimos 5 años, han surgido en el mer- 1 se muestran los elementos de AGROSAT, así cado productos destinados a la asistencia al como su instalación en un tractor agrícola. guiado basados en GPS para aplicaciones agrícolas con elevado ancho de trabajo. Su Instalación de AGROSAT principal destino ha sido la distribución de La instalación de AGROSAT es extremada- fertilizantes y la aplicación de herbicidas en mente sencilla. Se coloca en el salpicadero parcelas cerealistas. En el resto de aplicacio- del tractor y dispone de dos entradas; una nes agrícolas como labores de arada, prepa- toma de corriente de 12 voltios, y el cable de ración del terreno, y siembra, estos productos la antena receptora GPS, que se coloca en la no aportan ventajas a una conducción tradi- parte superior externa de la cabina del tractor. cional visual. Tomado de: http://www.mappinginteractivo.com/ El total de productos que actualmente se ofer- plantilla-ante.asp?id_articulo=1410) tan en el mercado no supera la docena. Dichos productos, la mayoría de origen estadounidense, están orientados a trabajar en parcelas grandes y de geometría regular, e indican al operario el sentido y la magnitud de lo que tienen que mo- ver el volante en cada momento para realizar una pasada paralela a la pasada anterior. La empresa nacional GMV Sistemas espe- AGROSAT instalado en el tractor. cializada en la realización de proyectos de in- geniería avanzada y en particular de sistemas de navegación por satélite, acaba de lanzar al mercado su producto AGROSAT. “Hemos detectado una demanda creciente de este tipo de productos en el sector, que cada vez son más solicitados ya que facilitan la labor así como la reducción de los costes de opera- AGROSAT 114   Unidad 2. Geometría 

Dato curioso Los egipcios: primeros topógrafos Cuando las inundaciones del Nilo dejaban cubier- tas de fértil limo sus riberas, los egipcios medían la tierra para repartirla entre los cultivadores por me- dio triángulos y polígonos; así nació la geometría (del griego geo = tierra, metron = medida). Los egipcios además formaban a partir de cuer- das, divididas por nudos de 3, 4 y 5 unidades de longitud, triángulos con un ángulo recto exacto. Fue tal la importancia de su saber geomé- trico, que a uno de los lados del triángulo rec- tángulo (cateto), le llamaban “Piremus” de cuyo nombre se deriva la palabra pirámide, figura central de toda la cultura egipcia 115   Unidad 2. Geometría 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional ¿En qué vamos? Reflexiono y trabajo Responde las preguntas 8, 9 y 10 a partir de con mis compañeros las siguientes figuras: Resuelve cada ejercicio en tu cuaderno. 1. Un padre desea dividir el terreno de la figura entre sus cuatro hijos, pero de tal forma que a todos les toque la misma forma geométrica. ¿Cómo puede hacerlo? 8. Respecto al triángulo ABC es falso afirmar que: 2. ¿Cuál es el ángulo que forman las manecillas a) es un triángulo escaleno. de un reloj si son las 12 y 15? b) sel mayor de sus ángulos es el ángulo ABC. c) es un triángulo isósceles. d) el menor de sus ángulos es el ángulo ACB. 9. Es posible afirmar que el triángulo ABC es semejante al triángulo DEF porque: 3. ¿Cuánto vale el ángulo A? a) poseen la misma forma y orientación 4. Un árbol proyecta una sombra de 6 m. si los b) sus lados correspondientes son proporcionales. c) cada lado de ABC es mayor que cada lado rayos del Sol forman un ángulo de 70º respecto al piso, calculemos la altura del árbol. de DEF. d) cada lado de ABC es menor que cada lado de DEF. 10. Para el ángulo DFE sFFFFFFACFFAACCCAeEDDDEECDEACCCAAAvDDDEDBBEEBBBBEBBerifica que. A. es congruente con B. es congruente con C. es congruente con D. es congruente con Según la figura, calcula: 5. Diagonal a. 6. Diagonal b. 116 7. Diagonal c.   Unidad 2. Geometría 

Le cuento a mi profesor Con tu profesor, resuelve la siguiente rejilla. Lee el enunciado y señala con una x la categoría correspondiente, según lo que has aprendido. Qué sé hacer Superior Alto Básico Bajo Calculo el área lateral, total y el volumen de un prisma. Calculo el área lateral, total y el volumen de una pirámide. Calculo el área lateral, total y el volumen de un cono. Calculo el área lateral, total y el volumen de una esfera. Calculo el área lateral, total y el volumen de un cilindro. Resuelvo problemas que involucran el cálculo de áreas o volúmenes de sólidos. Resuelvo triángulos rectángulos utilizando razones trigonométricas. Aplico las razones trigonométricas de ángulos de 30º, 45º, 60º en la resolución de triángulos rectángulos y problemas asociados con éstos. Resuelvo problemas prácticos por medio de triángulos rectángulos. Encuentro las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Utilizo la definición de semejanza para determinar si dos figuras son o no semejantes, utilizando el Teorema de Tales. Autoevaluación Participo y aprendo Superior Alto Básico Bajo Participo de manera activa en clase, formulando o respondiendo preguntas. Aplaudo las actitudes creativas que inviten a buscar nuevas soluciones a situaciones problemáticas. Participo activamente en los grupos de trabajo. Comparto mis saberes y dudas con mis compañeros. Fomento la disciplina dentro del grupo. Permito la libre discusión. Propongo problemas o actividades para resolver en clase. Repaso en casa lo suficiente, sobre lo aprendido en el colegio. 117   Unidad 2. Geometría 

Unidad 3 Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales Resolvamos Te has preguntado: ¿Qué importancia tienen En la vida diaria, conocemos diferentes movi- las funciones en nuestra vida? mientos: cuando caminamos, cuando vamos en un vehículo, cuando montamos a callo, etc. Cuando un cuerpo se ve primero en un lugar y lue- go en otro, es lógico decir que se desplaza; pero Todas esas actividades pueden analizarse mate- si no se observó en cada instante ese cambio de máticamente a través de análisis de variables que posición, es difícil saber qué tan rápido lo hizo. constituyen las funciones y son el objeto de estu- dio de esta unidad La velocidad es el cambio de posición en un tiempo determinado. La aceleración es el cambio de velocidad en un tiempo determinado. 118

Referentes de calidad Capítulos Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. 1. Funciones y ecuaciones lineal y cuadrática Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. 2. Funciones Exponencial Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba y logarítmica conjeturas Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas. Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. Analizo los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales. Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación. Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que las representan. Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familia de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas. 119

Capítulo 1 Funciones lineal y cuadrática Pedro tiene un galpón y ha registrado la relación En gráficas como ésta puedes encontrar la infor- existente entre el número de aves y ración de co- mación que da respuesta a algunas preguntas como: mida, en libras, por ave. Si en el corral hay 6 aves, ¿Cuántas raciones de comida le corresponden a cada una? Si a cada ave le corresponden dos raciones de comida, ¿Cuántas aves hay en el corral? Si hay 10 aves, ¿Cuántas raciones de comida le corresponden a cada una? Función es se expresa mediante puede ser Afín Tabla Y=mx+b La relación de A en Gráfica Líneal se expresa B en la que a todo Y=mx como elemento de A le Diagrama corresponde un único Algunas son elemento de B. Una línea recta Ax+By+C=0 M es la pendiente 120   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Tema 1. Funciones y ecuaciones lineales Indagación ¿Mi velocidad de crecimiento y mi peso están relacionados? Las tablas de crecimiento son cuadros de medidas Velocidad de crecimiento al año que permiten valorar y comparar el crecimiento de niños, jóvenes y adultos en relación con un grupo Edad (años) Estatura (cm) Peso (kg) estándar. Las tablas de crecimiento aceptadas a nivel nacional se basan en datos de mediciones recopila- 10-11 6 4 dos por el Centro Nacional de Estadísticas en Salud. Los parámetros que se miden, principalmente en 11-12 6.5 5 ellas son la estatura y el peso. 12-13 6.5 5 En los niños y jóvenes deportistas es especial- mente importante hacer un seguimiento perma- 13-14 7 5 nente de los cambios de peso y estatura. Esto se realiza mediante la elaboración de las curvas de 14-15 6 6.5 crecimiento y aumento de peso, elaboradas por los médicos y nutricionistas, las cuales se basan en las 15-16 4 5.5 tablas y gráficas de crecimiento del Instituto Co- lombiano de Bienestar Familiar (ICBF). Analicemos 16-17 3 4 la tabla siguiente: 17-18 1.5 3 1. Qué sucede con el peso de un adolescente a medida que aumenta su edad? 2. Qué sucede con la estatura de un adolescente a medida que aumenta su edad? 3. Identifica la variable independiente y la varia- ble dependiente de la tabla anterior. 4. Entre qué edades se espera que un adolescente crezca más rápido? Función (f) a la relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de tal forma que a cada ele- mento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). 121   Capítulo 1. Funciones lineal y cuadrática 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Conceptualización Observa la siguiente grafica y con tus compañeros de grupo resuelve: 1. ¿Cuál es el límite mínimo de la frecuencia del pulso para una persona de 20 años? 2. ¿Cuál es el límite máximo de la frecuencia del pulso para una persona de 20 años? 3. ¿Cuál es el límite máximo de la frecuencia del pulso para una persona de 45 años? 4. ¿Cuál es el límite mínimo de la frecuencia del pulso para una persona de 50 años? Representación gráfica de funciones Analicemos las situaciones siguientes: Dada la función: y = 2x , ésta puede representarse en el plano cartesiano, así: Escribimos la expresión algebraica es y = 2x , construimos una tabla de valores y después graficamos. Tabla de valores Gráfica y = 2x x y (x,y) 2 4 (2,4) 1 2 (1,2) 0 0 (0,0) -1 -2 (-1,-2) -2 -4 (-2,-4) Se va dando valores arbitrarios a x Se calcula el valor de y reemplazando x en y = 2x Se escriben las parejas o puntos (x, y) 122   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Tema 1 // Funciones y ecuaciones lineales Toda función se puede representar por: Una expresión algebraica 123 Una tabla de valores Una gráfica La ecuación lineal es de la forma y = ax + b Para graficar una ecuación de la forma y = ax + b , se cons- truye una tabla dándole valores a x y determinamos los valores de y. Señalamos dichos valores en un plano car- tesiano y graficamos. (Mínimos se necesitan 2 puntos para trazar una gráfica). Analicemos la siguiente ecuación y = 3x + 2 x 0 1 2 -1 y 2 5 8 -1 Si la ecuación no está de la forma: , se puede encontrar de la forma general: Cómo se grafican estas ecuaciones? Buscamos las intersecciones con los ejes x e y. Para determinar la intersección con el eje y, le damos el valor de 0 a x, y despejamos y Así por ejemplo: 3x = 6y – 12 , si x=0, entonces 3.0 = 6y – 12 , 0 = 6y – 12 12 = 6y 2 = y. La intersección con el eje Y, ocurre en el punto (0,2) Para determinar la intersección con el eje x, le damos el valor de 0 a y, y despejamos x 3x = 6y – 12 si y=0, entonces, 3x = 6(0) – 12 3x = 0 – 12 3x = -12 x = -12 = -4 3   Capítulo 1. Funciones lineal y cuadrática 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional y La intersección con el eje x, ocurre en el punto (-4,0). 8 La gráfica de la ecuación de la forma x = a, será una recta 6 vertical paralela al eje y 4 Representemos la ecuación x = -3 Para cada valor de y, x siempre será = -3: -3 -2 ( -3,0); ( -3,1); ( -3,2); ( -3,-1); ( -3,-3); -4 x La gráfica de la ecuación de la forma y = b, dará una recta vertical paralela al eje x Representemos y = 2 Para cada valor de x, y siempre será = 2 (0,2); (-1,2); (-2,2); (3,2); (1,2) ; Aplicación En forma individual, realiza los ejercicios siguientes y des- pués compara tu trabajo con el realizado por tus compañeros. Para cada una de las funciones siguientes, completa la tabla de valores y realiza la gráfica correspondiente 1. 2x = y Esta función puede escribirse como y = 2x xx y 124   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

x Tema 1 // Funciones y ecuaciones lineales y= 5 x 2. y = 2x + 5 x x y x 3. y = 5 y = 2x +5 x y 4. Si 3y = – 6 entonces y = ____________ x 0 0.5 1 -1 -2 x y 5. 2x + 1 = 6 x 2xx = 6 125 y   Capítulo 1. Funciones lineal y cuadrática 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional 6. 2x = 6 xx y 7. En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establece una función a fin que dé la altura de la planta en función del tiempo y representar gráficamente. x (semanas) 1 234 y (crecimiento en cm) 2.5 cm Función: ________________________________ Escribe la expresión algebraica que se encuentra representada en cada plano cartesiano: 8. 10. 9. 126   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Tema 1 // Funciones y ecuaciones lineales m Pendiente de una recta La siguiente grafica representa el crecimiento de un árbol durante un año. En la gráfica observamos que cada pe- dazo tiene su propia inclinación. Ahora contesta: ¿En cuáles meses se produjo el mayor cre- cimiento del árbol? ¿Fue uniforme el crecimiento del árbol? ¿En cuáles meses se produjo el menor crecimiento del árbol? Para ver qué tan inclinada está una recta, es decir, “qué y 6-3 tan pendiente” está una recta, procedemos así: x 6 Tomamos dos puntos de ella, por ejemplo los puntos 5 4 P(2,3) y Q(4,6). En el triángulo rectángulo que se forma, es- 4 tablecemos la razón entre sus catetos opuesto y adyacente 3 al ángulo P y la llamamos m. Esto es: m= 6 3 = 3 = 1.5 42 2 En general, si llamammo=s yx(mx22 1=.yxy611)1 aPy 3(x=2.y12.)5a Q, 2 4-2 3= 1 23 y Esto es: (x1.y1) = P y (x2.y42) =2 Q,2 -4 -3 -2 -1 -1 1 expresaremos la pendiente m= y2 y1 -2 6 6-3 x2 x1 5 4 yLa pendiente m s=irvye2 -pya1ra determinar la ecuación de la4-2recta. m 3 ¿C56 uál es la ecuaciónxd2e-xl1a recta que pasa por los puntos 2 1 4 -3 -2 -1 -1 1-mm2 P2mm-==(123dSH==,xxyy3-213-4ae21e)22224bcxxyym----1yiexxyyr2222mo----Q1111q2xxyysmmxou4(1111=d4-se23i==,46q=c6mhu)446?xxyy6oe(23-22223xq----=23xxyy2muxmmm-1111em=x23(=:1===x23)=2mmxy46=xxyy-22x232222==(--1----yxy23)xxyy112xx11yy11==-my2222==(----231y=xxyy)464611112 -x,yy=23d22231--e)46=xy=d1123o2323n=d23e23=poxyd22e--m23os -4 -2 -3 m(mx(2x3-mx2(3x-1mx)(=2Rx1-=e)=2m223e-=()my(223e=x(2)pny-m2l=2y32-amx(-m1(z=2yy)x1a(1)2=2=dmy)-xy-=o2322(223-xy--(x)u)xyy3222n3333=--11)23-xyx(xxm-mxp(x2y11x2221u(21)---=2=ny2)3-33-t262=t2em2o(xyy)232-xy=nx)(2)22=3dey22=2=-=--=m)ex==-y22xy6-m222223yl21o1y)x0-ya--()(s21y=226=2y3:)-r=--2+e226m-2233c-26xyy)3t(322a2==y)--)-,xy2p6-x1y1xyo)32222r---)xye232311jem=. p23xylo22=--P23(xy222,--3)23y 127 3x32x- 2226--y)262=)y=2=233y=-2xx26y--22+2--66-626)+6)y6)2=333=x2xxy--222--62-3326+yxx6)y6)22=2=-- 0=222yyy-2226-==+6 60-)C6a+pí6tulo 1. Funciones lineal y cuadrática  3x32x-

x2 -x1 m = y2 -y1 Secundarima A(cxti2mva-x=/1/)Mxy=in22i(--syxyte112r-ioy=d1e)46Edu23mca=c=ió23nxxyN222a---cxxyio111nal= 6 3=3 4 22 Por la ley fu3mn(xd=2a-m223e)n=tma2l(=myd2e(-xyx322l2a--)-xysmx111p)=r=o2323p(oy=r2c-myixyo122=n)--e23xys 22 -y1 3 = y2- 3 nos queda: -x1 2 x2- 2 3x2 - 6) = 2y2 - 6) 3(x2 - 2) = 2(y2 - 3) 3x2 - 2y2 = - 6+6 3x2 - 6) = 2y2 - 6) 3x2 - 2y2 = 0 3x2 - 2y2 = - 6+6 Que podemo3sxes-c2ryib=ir 0como: 3x2 - 2y2 = 0 3x - 2y = 0 La ecuación de la recta dados: su pendiente m y un puntos (x1 –y1) es y – y1 = m(x –x1) y se conoce con el nombre de ecuación de la forma punto pendiente. En general, la ecuación de la recta que pasa por el punto (x, y) y tiene pen- diente m es: y = mx + b en donde m = es la pendiente y b= es el punto de intersección de la recta con el eje Y Sobre el plano cartesiano, la pendiente muestra el desplazamiento tanto ver- tical como horizontal Para representar las rectas, primero se ubica el punto dado y a partir de allí, se realizan los desplazamientos horizontal y vertical que indique la pendiente, así: y y 4 desplazamiento vertical -523 m= desplazamiento horizontal ---2-u------- (4,4) --------------------- 2 ------------------- ---------- 4 1 1 3u m = 3 desplazamiento vertical 5u -1 2 desplazamiento horizontal -1 x -1 ( 2,1) 3 Unidades arriba 1 1 234 24 x 2 ------2--u------ 2 Unidades derecha 128   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Tema 1 // Funciones y ecuaciones lineales Posiciones de dos rectas en el plano 1. Paralelas: Si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces son paralelas. Analicemos si las dos rectas: y = 3x + 1 y 2y = 6x + 4 son paralelas. y y = 3x + 1 La pendiente de la recta y = 3 x + 1 es m1 = 3 3 x Ahora, veamos cómo es la pendiente de la ecuación 2y = 6x + 4. 2 Despejando la incógnita y tenemos: 1 1 y = 6x + 4 = 6x + 4 = 6x + 4 =3x+2 2y = 6x + 4 -1 2 2222 2 -1 Como 2y = 6x + 4 es equivalente a y= 3x+2 y su pendiente es m2 = 3, concluimos son paralelas. -2 -3 Perpendiculares: Si la pendiente de una es el recíproco negativo de la otra, lo cual sillADDPguuonneeeeraiggllfllooaaioicceeassetuuaccmqnuuppuotaaoeeesccnn:iisdóóddimonniileea1sm23snnr1mmyyttdeeeyco1y2-+mtee3smy=2am==ssym2xrsxye12m=m2y32-===s33c===22mo1=2mxt==23--a33nx-=--=22x312123s22x13--:133=p2=23x-2t-2x313x3e21et-x-=-y2n23x3er3121pne-+23=1mee21mn=mxom1d1os=i1:c1sm:-uymy21lyamy=m2==yrm=me12==23-233s==2122y23-xs33==2x2--2ix3-x3213s-x--2x3233xu2,11-23==1p=,r-o11d-s313uoycn+to2pxee=-r2sp-1-e1n.dic-1ularesy. 2 2y - 6x = -1 x 1 12 -1 -2 Concluimos que las rectas 3y +2x = - 1 y 2y -3x = -1 son perpendiculares. 129   Capítulo 1. Funciones lineal y cuadrática 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Cuando tenemos un sistema de dos ecuaciones, cada una de ellas con dos incógnitas (x,y u otras letras), puede ser que al graficarlas nos resulten: Paralelas, lo que significa que no tienen puntos comunes, entonces no tienen solución. Intersecantes en un punto es decir que se corten en un punto y ese punto es la solución de ellas porque nos da el valor para cada incógnita. Que coincidan en todos los puntos, entonces son la misma ecuación y tendrán infinitas soluciones. Existen varios métodos para la solucionar un sistema de ecuaciones lineales con dos incóg- nitas y pueden utilizarse cualquiera de ellos, pero no olvides siempre verificar su solución. Estos métodos son: Gráficamente, por sustitución, por igualación o por reducción. Gráficamente o método gráfico En la compra de un cuaderno y un lapicero se pagan $8,000, ¿cuál es el precio de cada artículo, si la diferencia de ambos es de $2,000? Seguramente puedes dar una respuesta inmediata. Organicemos lo datos: Cuaderno = x Precio del cuaderno Lapicero = y Precio del lapicero Las ecuaciones son: x + y = 8,000 (Ecuación 1) x – y = 2,000 (Ecuación 2) Estas dos ecuaciones son las que representan la situación del problema. Las ecuaciones 1 y 2 forman un sistema de ecuaciones de primer grado, llamadas también ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas. Analicemos cómo se resuelve el sistema de ecuaciones que representan la situación del pro- blema, por método gráfico: x + y = 8,000 x – y = 2,000 Despejando la y de la ecuación 1 se tiene: y = 8,000 – x Despejando a y de la ecuación 2 se tiene: – y = 2 000 – x , es decir, y = – 2,000 + x Para efectos de tabulación y de gráfica vamos a adoptar una escala de 1:1,000, es decir cada valor de las parejas representa unidades de mil y cada punto de las rectas en el gráfico también representa miles. Tabulando estas dos expresiones con x= 1000, 2000, 3000, 4000, se obtiene: Tabulación de la ecuación 1 Tabulación de la ecuación 2 y = 8,000 - x y = x – 2,000 x y Punto (x,y) x y Punto (x,y) 17 A(1,7) 1 -1 F(1,-1) 26 B(2,6) 20 G(2,0) 35 C(3,5) 31 H(3,1) 44 D(4,4) 42 I(4,2) 130 53 E(5,3) 53 J(5,3)   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Tema 1 // Funciones y ecuaciones lineales Localizando los puntos A, B, C, D, E, F, G, H, I y J en el plano cartesiano, tenemos: y 8 7 -------A ------------------- 6 ------------ B -------------------------Gráfica de la ecuación (1) -------------------------------- (en miles) 5 ------------------- C-------------------------------------- 4 -------------------------- D-------------------------------------------- E Punto de intersección (5,3) 3 --------------------------------- 2 -------------------------- I J 1 ------------------- H Gráfica de la ecuación (2) 12 34 56 7 x -2 -1 F (en miles) -1 -2 Observemos que las gráficas de las ecuaciones se cortan en un lugar que 131 corresponde a los puntos E y J; por lo tanto, las coordenadas de dicho punto son x=5 y y = 3. Como 5 y 3 representan miles, entonces la solución al problema es: x = 5,000; y = 3,000. En el sistema que representa la situación del problema, se sustituyen las dos variables por los valores hallados, para comprobar que la solución es correcta. Reemplazamos en la ecuación 1: x + y = 8,000 5,000 + 3,000 = 8,000 8,000 = 8,000 Reemplazamos en la ecuación 2 x – y = 2,000 5,000 – 3,000 = 2,000 2, 000 = 2,000 De acuerdo con lo anterior, el precio de cada artículo es: Cuaderno: $5,000 y lapicero: $3,000 De esta forma, se dice que el sistema es compatible o consistente, cuando en las gráficas se cortan las rectas en un punto de intersección. Concluyendo, podemos decir que: El método gráfico consiste en trazar la gráfica que corresponde a cada ecuación, en el plano cartesiano, determinar el punto en que se cortan dichas gráficas, que es su solución y que pertenece simultáneamente a las dos rectas trazadas.   Capítulo 1. Funciones lineal y cuadrática 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Método de Sustitución AB En la mesa A se sirvieron 3 jugos de frutas y 2 limonadas y se pagaron $13 500. En la mesa B se sirvieron 2 jugos y una limonada, la cuenta fue de $8 500. ¿Cuál es el valor de un jugo y cuál el valor de una limonada? Haz algunos tanteos sucesivos, antes de proceder con lápiz y papel y lla- ma j al jugo y l a la limonada. La ecuación para la mesa A es: 3 j + 2 l = 13,500 Ecuación 1 La ecuación para la mesa B es: 2 j + 1 l = 8,500 Ecuación 2 Despejamos la incógnita l en Ecuación 2: l = 8 500 – 2 j Reemplazamos o sustituimos en Ecuación 1 el Ahora reemplazamos el valor de j en Ecuación 1: valor encontrado para I 3 j + 2 l = 13,500 3j + 2(8,500 – 2j) = 13,500 3(3,500) + 2 l = 13,500 3j + 17,000 – 4 j = 13,500 7,000 +2 l = 13,500 3j – 4 j = 13,500 – 17,000 2 l = 13,500 – 7,000 –j = – 3 500 2 l = 6,500 j = 3,500 l = 6,500 ÷ 2 l =3,250 El procedimiento general del método de sustitución consiste en: 1. Despejar una variable en función de la otra, en alguna de las dos ecuaciones. 2. Sustituir la variable despejada en la otra ecuación. 3. Resolver la ecuación resultante, y encontrar el valor de una variable. 4. Sustituir el valor hallado en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema, para encontrar el valor de la otra variable. 5. Comprobar en ambas ecuaciones los valores encontrados. 132   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Tema 1 // Funciones y ecuaciones lineales Método de igualación Analicemos la situación siguiente: Isidro y Juan sembraron maíz en parcelas contiguas. Si juntas miden 860 m2 de área y la parcela de Isidro mide 120 m2 más que la de Juan, ¿cuál es el área de cada parcela? Solución: Se simbolizan las incógnitas con variables: x = área parcela de Isidro y = área parcela de Juan Planteando el problema por medio de un sistema de ecuaciones se tiene: x + y = 860 x = y + 120 Si se despeja en ambas ecuaciones la misma incógnita, se tendrá: x = 860 – y x = y + 120 Como el primer miembro en ambas ecuaciones es el mismo, en este caso es x, se igualan los segundos miembros y se halla el valor de una incógnita. x = 860 – y De aquí concluimos que { 860 – y = y + 120 x = y + 120 860 –120 = y + y 740 = 2y y = 370 Al sustituir el valor de y en alguna de las dos ecuaciones se encuentra el valor de la otra incógnita. x = y + 120 x = 370 + 120 x = 490 Por tanto, la parcela de Isidro mide 490 m2 y la de Juan 370 m2. Al comprobar los valores encontrados en las dos ecuaciones, se tiene: x + y = 860 x = y + 120 490 + 370 = 860 490 = 370 + 120 860 = 860 490 = 490 133   Capítulo 1. Funciones lineal y cuadrática 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional El procedimiento general del método de igualación consiste en: 1. Se despeja en ambas ecuaciones la misma incógnita. 2. Se Igualan los segundos miembros y se halla el valor de una incógnita. 3. Se sustituye este valor en alguna de las ecuaciones para hallar el valor de la otra incógnita. 4. Se comprueban los valores encontrados en las dos ecuaciones. Por reducción o cancelación Solucionemos el sistema de ecuaciones: x + 2y = 10 –x + y = – 1 Se observa en el sistema anterior que las x son simétricas, por lo cual es posi- ble sumar ambas ecuaciones y eliminar dicha literal. x + 2y = 10 –x + y = – 1 0 + 3y = 9 dividiendo por 3 ambos miembros de la igualdad 3y = 9, obtenemos y = 9 Sustituyendo el valor de y en una de las ecuaciones, se puede obtener el valor de x: x + 2y = 10 x + 2(3) = 10 x + 6 = 10 x + 6 – 6 = 10 – 6 = 4 Comprobamos sustituyendo ambos valores en la segunda ecuación: –x+y=–1 –4+3=–1 –1 = – 1 El procedimiento general del método de reducción o cancelación consiste en: 1. Eliminar una de las dos incógnitas por me- 2. Sustituir el valor encontrado en una de las dio de la suma o resta de las ecuaciones. ecuaciones. 134 3. Comprobar los resultados en la otra ecuación.   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Tema 1 // Funciones y ecuaciones lineales Aplicación Copia los ejercicios siguientes en tu cuaderno, resuélvelos y compara tus res- 135 puestas con algunos compañeros. Resuelve por el método gráfico: 1. Un joven compró 2 conejos y un pollo, pagó por ello $ 35,000. Otro jo- ven adquirió 1 conejo y 3 pollos y le cobraron un total de $ 35,000. ¿Cuál era el precio de cada conejo y de la gallina, si los objetos eran idénticos? 2. 4x + 3y = 2 -3x – 2y = -1 Resuelve por el método de sustitución: 3. María vende pollos en el mercado. Los pollos pequeños los vende a $ 12 000 y los más grandes a $20 000. Al finalizar el día había vendido un total de 9 pollos y recaudó $ 140 000. ¿Cuántos pollos de cada tamaño vendió? 4. 2x + y = 9 x–y=3 Resuelve por el método de Igualación 5. Pedro y Armando empacan fruta en cajas. Las cajas de pera deben pesar 25 kg y las de manzana 40 kg; al terminar su turno han empacado entre los dos un total de 25 cajas con un peso de 790 kg. ¿Cuántas cajas de pera empacaron y cuántas de manzana? 6. 8x – 3y = 7 8y – 3x = 18 Resuelve por el método de reducción 7. 6x – 4y = 12 3x + y = 9 8. Juan compró 2 lechugas y una papaya, pagó por ello $ 10,000 y Luís compró 1 lechuga y 1 papaya iguales a las de Juan, en $ 6,000. ¿Cuánto cuesta cada lechuga y cada papaya?   Capítulo 1. Funciones lineal y cuadrática 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Resuelve por el método que tú Diversión matemática quieras Números narcisistas 9. Una pita de 49 cm de largo se fija a El número 153 tiene la propiedad de ser igual a la suma de los tres clavos como cubos de sus cifras, así: lo indica el dibujo. Los clavos A y B 13 + 53 + 33 = 1 + 125 + 27 = 153. Esta propiedad también la están separados 35 cm y el clavo C se cumplen: 370, 371 y 497. Compruébalo. colocó para tensionar la pita y formar en A un ángulo recto. Así se tiene Día a día que el triángulo ABC es rectángulo. Calcula las longitudes AC y BC. El sonido es cualquier fenómeno que involucra la propagación en Pista: Utiliza el teorema de de Pi- forma de ondas elásticas audibles o casi inaudibles, a través de un tágoras. medio elástico que genera el movimiento vibratorio de un cuerpo. Además tú sabes que: y2 – x2 = (y La propagación del sonido implica transporte de energía en forma + x) (y – x) de ondas mecánicas que se propagan a través de la materia sólida, líquida o gaseosa.La velocidad de propagación del sonido varía 35 cm B dependiendo de los cambios de temperatura del medio a través del A cual viajan las ondas sonoras. Por ejemplo, sobre una superficie nevada, el sonido se desplaza C atravesandograndes distancias, debido a las refracciones producidas bajo la nieve. Cada capa de nieve tiene una 10. 1 x+ 1 y=6 temperatura diferente. Así las capas más profundas donde no llega 43 el sol, están más frías que las superficiales, y por tanto, en estas el sonido se propaga con menor velocidad.En el aire, la velocidad x+ 2 y=16 del sonido a una temperatura de 20ºC es de 343 m/s, en tanto 3 que a 0ºC, la velocidad es de 331 m/s, y por cada grado que se incremente la temperatura del aire, la velocidad del sonido aumenta 0,6 m/s. Tomado de Supermat Matemáticas 7-Ed. Voluntad Entendemos por… Rectas paralelas aquellas que nunca se cortan. Las líneas rectas que tienen la misma pendiente son paralelas. Rectas perpendiculares aquellas que se cortan formando cuatro ángulos rectos. El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a -1. 136   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Tema 2 // Funciones y ecuaciones Cuadráticas Tema 2. Funciones y ecuaciones Cuadráticas Indagación Analicemos la situación siguiente: La trayectoria de un proyectil, ¿Es una ecuación de segundo grado? Proyectil lanzado con velocidad diferente de cero y bajo la acción de g La descripción de la trayectoria de un proyectil desde su salida hasta el 137 punto en donde toca al suelo, fue uno de los grandes problemas de la inge- niería militar medieval. En la edad Media se creía que los proyectiles ascendían oblicuamente hasta que se gastaba su provisión de ímpetus, una especie de fuerza que le imprimía la pólvora a la bala. Agotado el ímpetu, el proyectil caía perpendicularmente al suelo. Esta teoría del movimiento entraba en descuerdo con la observación: los proyectiles parecían describir una curva y no una línea quebrada. La moderna teoría del movimiento, que aparece con Galileo, debe muchos de sus logros al problema del movimiento del proyectil. Desde el siglo XVII se sabe que la trayectoria de un proyectil es una curva de segundo grado. A partir de entonces, muchos de los problemas relacionados con estas tra- yectorias se resuelven usando Ecuaciones Cuadráticas.   Capítulo 1. Funciones lineal y cuadrática 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Conceptualización Existen problemas que se modelan con una ecuación lineal o con un siste- ma de ecuaciones lineales o con una ecuación cuadrática, llamada también ecuación de segundo grado. Ejemplo: Se sabe que el cuadrado de un número es igual al doble de dicho número. ¿Cómo expresas el cuadrado de un número cualquiera? ¿Cómo expresas el doble de dicho número? x Si llamamos x al número, entonces llamaremos xx2 al cuadrado de x . x2 2xx2 x2 +2+x++2555+xx5xxx2x5===2+x=xx1+115=2281885x++xx81x1mc5243pmxeeaaxex2ax2x=8255u.....rqqex=xaq23x23ao xe223xxxax1qu2e4uEEIeSPCLx2y4x+2ax3+ussx3241xa+23xxgd2282==jsniai:ooq2+xu2x+x42ixxx+2io3x23+xx8x2ieuóx3223ratxa32vxvxalrr22v+xx2u+xxá2a224i+11exm2x+2xm23b2a+4albn2xd+x+3xa,b2aa,xb2b2v2axeaa,aatba2td22=22x+xfa+=q=x88x2=2bxi2xlbxx=x+=xxbxx=o2x34xiba=4x3xxoax,xoe4a5xb32xqpamxxvxmaxlaxcxel2xx32=xx22,=2+l,2ub=2724xx27n2nx+,b+4322xx+ex7x222rxeee2bnax,+x2lx22caax1be2o2xc1xxua,2ax4lbx+222c132=m,=oaxe+xb7x=at2=dixx2px=x+2b24xqqe=2xxdxxx=3x+x51x=c,c51oa22xx==33cax+xax21x=25lvi=cxmaxn2st2,2ae+372r2,xa+b227oxx=ae2vuuxxe2219244+522=xx++ca,ac22133+92b02+=eb=20=c1a=0b0=01aer=,=x=d22xb20ba=,xxomb2x9=4++xxnxaxx=1x22ii=5xxxs=xec=ba=xxx0==axx5x=2xcb=332sl5xx08xaax4e22x0,x0vvxx00x7six022ux+022922sx++eg22l22,22bbcó1xá,x20=xx2=+xx7x22xaa220,,0=2c=+bb22x220exu20ecaacee1eee==x=xx=abbx==t1xxx+x52n2=c+a44x22xxxe+x.xxxs2il=x=0xxc0xsn1scllq5=c0a202x,,9ct2377++2r++2222xxee0t=25x=5a0cc11uxe5e9aeo+r1=ua2l40=x+=3+0xx==xx5:a5oxx211lr55a==2ccaalxs0,08+x2x2ixxa250qx320xx99c05taxnvxex00==i==22l+é00x2e2uxxbue2nxi+aax,xsbú2=2a11oxxr22j=+=1nxb=xx00qe00c+4e=xxm23xm5x8dd8122nl18xxa2,ó7m5u+222x4e2x+53rxc11e8ee++18i=e2=ge=x+xnx2x=ixxex1c85s=cap83xran=p55vx2o02ec+i02o9axx0blx2d=0=la=r,i1rbxx0=2eoaaqux,=a0t=,xx2b=2e31xx4elxx8a2xq1xxl0a0r2i3u2e20s4,x+870e+n,22x2ee2x8c12usce24=x+n11+xx2iessee+2=3x=xx1ina5=c+xavxx2itt882ct2+óe30xaagbaooxvxa29at,5b222+0a0u==qbna0l=xxu2b==xxax2,3nsnb42xa2xx=x=alxb2xxy2nu+,424x70xc0d3xe+22xxe2+00lddcc122,27xd+x+e22xxe22isxo5c1x=3ioxe5a=ca+vxt1soó22+sx2=xx5ab=casax,xb2o0=a8e=n50=ls=xb=xxg4x0==2l=xsvs0nexxl2=xax2=,0r07i+22xe+2ax2gc12atem00x2c1lual0u2x=x1dx5a8=cl+5ao+o8a1an+s9aoxtxr0==m5x0ceér58adexm2e5caexxi22=xrsqxxs002o3pó=qommxxo232bxu241x+l3n=snu24xnx+3+eo02gio+x8ox22i1xsn+x32:x21tixassrvxs135x2n2ata+82vxaboe2x+2e8+a2a,abxbl8axx2xa,==bd2b=raax=nqx4=x=ixb=x2x53iá42lxexg=oa,ddxx7nlt2+22xeu2,24x+7x3c10+e+q22xeu2,xoe2c132d10+xx=xx21ix5s=caaax3==ux241s5a5x+=ce38ayvx,229+2l2lb0x==+x9xapa2x,i0xdb12esa0==3==0a=dxb=vxxx42xe2x2e+2sex8xb0=0xxl2a,o2q,b2070,ag0n2+22xe=2=xxxb=cx1x24lxxbu1xeuxadxl+eax2=2,x157=ca++22xe2leq8nc1xni23e95ie0=x=x=x510du52=4gtcax+3eexaneoxd22x29xuo+xx2i0x00=ql=s30xtn23aev2xax2e2+2xb2ux2e4cx+a,e30b02+la1.=2=xb=g21dxxxe+x4xl2xixx8x3la52r,vxp8+as722+.22+txe22abc1x,aé,x=bd2oa==5=dx=bx=15=ca4rxlxnxlm0aoxt,97+220xe20==ee0c11nix=exnx125=ca80n0e1xe2t9xo0==e0=s--8+x2000=52xx+0 5x 18 = 0 18 =0 xxx22 x2 algUu3nxn3o2axx=2se2e+c+ul14l3a9axxcm=ióa10ni5nq=cuo0emtipelneetat.oAd3s3oxíx,s2 s=us1té9rminos se llama completa y si le falta 2en= lo1s9ejemplos anteriores, las ecuaciones: 138 1y e4qsuoinv4acxol2emap7le=xt2a0+s y las ecuaciones 2, 3 y 5 son incompletas. 18 5x 18 = 0 x 2 + 5x = 3x2 + 4x = 0   Unidad 3. Funcione3sx: 2Lin=eal,1c9uadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales  22

Tema 2 // Funciones y ecuaciones Cuadráticas Solución de ecuaciones cuadráticas completas Analicemos la situación siguiente: Andrea es 4 años mayor que Juan. Si el producto de sus edades es 45, ¿cuál es la edad de Juan? Solución: Supongamos que x es la edad de Juan. Como Andrea es 4x2años mayor, entonces su edad podemos representarla con la expresión x +24.x Además, el proxxb22le=m2axplantea que el producto de las edades de Andrea y Juan es igual a 452,xpor tanto escribimos: x ( x + 4 ) = 45 Lo qu e equxi x2v2al=2e x2ax:=xx2x2x(2xx+22)4x+x (4 ) = x425 x2 x 45 2x 2x x=2 raícIVgeeusaadmleaomuxsano2cxasó2aem2a+xcxc2obue2=xalr+xaco2a+2x2bi:,xxfóx2cbax22xn==,c2=+2=xc2xtdx222ox20c22e+xxrx22===ixzsx4xe220a22xgcxx2ux=xi2óx-2n2==2n42dxxx225oxe2xxs=guxr20axn22dx2axo==2b.x22ux2xex==n2a22xxexstr2axtegia para encontrar las xxx2eensxaa22+esnú2xxxrx2t5m22=xPEFPCSSxo20222xxa++axxnii2on+oe2,xxcr+22t((r=rcbbmaoo5x22to2====xxetoxxxx14nxaxxosqslx22r28++22con22iu=+-=q2dz=e=xstxxxxxecceuo5xx1aes299dq22e,==ms238ern,)ocxuex4c)l+22mox00e=oeaspxox=p2iaxx.s3s2srqaxavxur23n2r+0txaxxe2a,0d2qaoxbul423lax+c,2baxts24mxxeudx2x4xx+l2i2ile,e+,3xu72p4a+cv2xee2ue+xa2a2xc1+2xnn2oy32xai+xlaxibbdxa=cx2a23,+3m5i=bar2taatx=bsxxx4=a,=2xc2bbapxxoat2b4xlax+xxaba,9x2x2ob0=74x2eax0o2x+te,xx=:rnb1x+x+22x22i,xlaxacx7xe3ldx2+2xase2a(=ac0c1,d15=27ab2+x+x222as,2bc2xvo2c1naa,x=bñe2==95qxe=cb2ixx+x0e=2b4+xxaxx=+0xs+4ó5xcxxes=2a3xox2u,2xxd20==,+l+x22xl220,7b2sn+c22x4b0ad+3,o2s+o0=a5b2=cae1x220a==2x2b=xx=x.x0+xcbxx0x2e=uxrxsxxax5,=c2xbdd3xa020+,l=92b2nx+22+n22axd22=2cbxdexx0==ax,b0=2,d57ax++x22xeb)xxx2cox44c1xc2e1x0alx0e0x,2(x2=57asx55s+dbc2x8===xa,c=1ax2xo==xxbJxxap=22xi0==5x=cu2=2y3x022lz0x2,d1a=u+222x242ax+cxa0==q0x-0x200q8rcnx+xaxd2xxxcéu-35ua00i=9,x2e2+3n2óibxx=ea,be22)2y4x+t+axnb0x2y4J2xerxr0x=u+xx2x2,:d73ebes+2xaxac12a2+2i=a=xbssxxx0a,=sbc25n=cxtt+,xbx24xaae+x2a2sx0==2,(=07ebd+p2xea,xc1bx2dc=s=xbxxoat00=x-5x=cxeax=2,9s5+222a0bmc0=2=+02d0xxx,ecaox00e2uñ=ss2n+)xnoe2axe02(osr4ba,xlb2==xb.uxyxdxvxx2,n+a22e2xlc-al2xxncoloeúr=)sdmd2b2xa0fexauxe2dc2sr==xxoctdxo2a22e=prnxexAods5sno.idd2tiedrvxbeooeas, 139 x2 2 x axa2,b+,bcx + c32xx=220=+3x32x1+x9x2421++x53bx5x3==2aax2x+,00x+b=252,41c+x8x5b==2=exb1 qx00+8Cucaeipvq=í2tauu0laloiev,1b.a,Flcuenxca2io+nxe5s2xl+ine51axl8y a=c1ux0a82d+=rátb0icxa + c = 0 = 22ax, b2, c2 x

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Solución general de la ecuación cuadrática Una ecuación cuadrática puede resolverse por diferentes métodos de acuerdo con sus características. Es interesante llegar a una expresión que permita resolver cualquier tipo de estas ecuaciones. Recuerda que la expresión general de la ecuación cuadrática es: ax2 + bx + c = 0 En daoxn2d+e:bx +esc l=a0incógnita, axe2s+ebl xc+oecfi=ci0ente del término cuadráatixc2o+, bx + c = 0 es coeficiente del términaoxl2in+ebalxy+ c =es0el término independiente. 2====zldl14aaaxaex2xa121cf2e2xLSEACEUylóbbbbi2=acDasoj+óbo=rpenl±+±−tu11xxxxsm2lanea2ambmlua=ai,cxe====d14xxoaccuecppsu=xcdxa+2222bbbbxita++xloiaulóra21ea22óaaaa22222orpa12lr1cbbbblanc2sxuaana+:rpb=lic±s:=e−±+±c1=nóa=.2Ro2e=ib±sei=04444don0xeójl0ixxf2c1xxxeuóaaaaon.=ósn4+2222bbbbu++cocncccce===1ry2aalaaaa22221a2iemsl1xacax=óxxvpp2cs=24±2=c2en22a=e:ua1=iobbbxxxuórc0++4444rl0±ab=r2=e01xxxxa−+±aa2n===u1l2aaaaaa2bbs4fad==x1xxxx====a1óx2cccccaaxxxgxxxgrx2cxer21xxxxxx====221±á4=ea+222bbb,2me+bbb++2ic2x2a422t++x2ónx====aaa1222nnbbbbaa1i2u1±+−21ccau++c221xna2e2bx=obbexxa==bbbb−±±+0=al22a==xr2+22=bbxrxxsa22bc==1dxxxxaxxxs±−+±bbbba10x444220xxx+22bbbi=2++a+00++b1pxxxxa=lb1=xxxxgló====1paaa±±+−aa+2222===xaaabbbb122±+++d1xaaxo2xe1bb====encc=x1u1xxx24c=ccc2xx=====ax12aaaa2222aax1+2222axbbbbsnxx1=2+x+xxxscc=2xxe22xx==1xx±i2=22xx===aaaa12bbbb2222e=aa121+222222bbbbb=dc122+++c2++0=0=2444rbbbx220brbbbbx===210001aaaaxx+±−±ibbbboaa2222e=++e1±02=a+44441aaal02cc++=2bxbb00b2x−+±==in−+±±nxx22e12l±±−+2=aaaacccx2tbbb022=4444bb2xxxb.02==2bb=ma022++=cccccxbxbbbrlaaaa+2222xxxbbbbxxx04444++++±−xxx40a++e200=b22ec=ccccpbbaaaa+22222222bbbb+±−+2221aaaa++2222+±=bbb2bbbbs1+2+++++cc2nxebb2xaaaalxx2=2222oc=cccc11aaaa2aaa2222=222111ax=0c1ccx1xxcc==4cc+222lbbb+++==1z±vu=o=+22204444bbb===2+++0===aaa222001==ae=a1n21ccaaa0aaaa44442221004444100rccr0c44400t=20ccccc=aaaas00aaaar===24i=aaae==aacccccó=cccccx04440±r0,444p00ccc0np=00=aaa1a=aaalop4oacccc1g1ccccdo=r0se==er=lnd1xxxom=12el1oso===12raaos±2axsmx2xxsls±2±2vo22étsbbb00eatl++oobunl−±+l2o=dc2ebbu2=rioxmxxxcoe22as1i+222nsbbbo+++o±2d2=2eaaas2221nq10cce:s1xxxxau=:=o==r====1e4fala0x444x0axr00cta21aaa22itbbbbcíeoccccc+bon±−±+1re22=bine=s-xxx1=+2222bbbb++2aaaa2222121c=±==04444002aaaa4ccccc a= x =1 22 x 4 22 1± x 1 x 2±( ) (( ())) ( (()))( ) (( )() ) (( )) ( (( )))( ) ( )( ) ( ) ( ( )) ( )( )x = = x= ( ) (( ()()( ))()((((((()))(())()())())())())((((()((()))())((()()))))()()))((())()((()()())()())) ( ( )) ( )( )140 x= 3.xxxFux===n2ETR=c22iesoex±+n22nxed=eemxx00exs=m2:c==p==12L=2ixoilr±n222axxs2222=1e±qz:a2+22x==u2==al,x00en=2cx±11 ud=22==12x=aa41o22d2=12222=r±21eá2212±tb12xs==i2co1±±x1+a22=114±s,2xx4=20e2v1±xx=x=2ab2bp1=222a11xx==lab2o4222o±12+2n22122====r1±22+22e22101e2n=1x=+2222400s2xc2b21=xx2=i14xa21a+=22a00e244x=2==xxx2lxxx==c4n222=00y1=±==1===2222xx==1==4l22±=lo1=4=14ba2x2222=g2=24==1+2222221xab1a4±f2222==1+2+=22=11r1c+xcó2200±bx12=4í=t=2r==m0011b0222==00±===11+m24==2i211±2±1+c2b21==14===140u22a2222a2=±2002,=l2222±2b2222=a2====y±2b0±2=a422==2==11sga222=224±i=4es221±21=2112±±t241n2ae=2424=2me4cc402212a±2r21a14±a0a44=sc=2=c02l4l=i1=n220x4e4=2±a2±2x=4=l2e==±2±20s=22 201022±b±2220±±=20±21+2=02000±22==2b==0±2=a22202222±±2xx±2=±240==0210a422c+22x 0 = 2 =1 0 =2 2 Unidad 0 = 2 =1 4 = 22 ± = 1 2  

2(1) 2 (2 ) 2 x= ( 2)± ( 2)2 + 4(1)(1) = 2± 4 4 =x 2=±22+200 == 222±2=01 Tema 2 // Funciones y ecuaciones Cuadráticas 2x(=1)2 2 2 0 = 2 =1 2 Significax q=u2e 2 0 == 22=+10 = 2 = 1 o x = 2 0 = 2 = 1. 22 2 22 x En este caso x = 1 einxccu=oam2c2ipo0lne=etas22s:= 1 x = 1ctaumaCdborimaédnpo2ru,eeesbsiagdueqaculiera, lhedal oynbdúlomesdevreaoléoqlrxxuep(2esxueq2exxd2uxl(2)eeex==vs0s2a0ea2xd)rt=io=s00f0aao-l Solución de cuadráticas raíces de una ecuación son los va- Las soluciones o lores de las incógnitas quxe =la1satisfacen. cen la ecuación. x=0x=0 x 2 = 0 x Las ecuaciones de primer grado con una incóg- 2 = 0 nita admiten una sola solución o raíz. Representación gráfica de la x =0 de Las ecuaciones de segundo grado tienen siem- función cuadrática llamadaxs x=0 Las ecuaciones cuadráticas pre dos soluciones o raíces, porque existen dos va- t2a=mx 0b2ié=n0 lores de la incógnita que satisfacen a la ecuación. segundo grado, tienen representacióxn=e0n+ 2el plano x = 0+2 cartesiano. x2 2x = 0 x=2x=2 Volvamos al ejemplo del problema inicial, que dice que el cuadrado de un número es igual al do- x2A 2lxa= 0ecuación cuadrática 3x 2 +36xx2 =0 , le ble de dicho número. +6 x 0 = Observa el procedimiento a seguir para re- (( ))pccuoxu(mreErxdexxnpes==lp2nlea00)on=neirl0dcasuieeaingcxdtuieaóan2nlladd=acof0udunammdciruióxáxexcntxn2hixxc=tícxxrasa1u2i==ms22ahxx00dao=q===ryyysu1á0=00ye=tdiv=coea3ays3ynl((o3=x0yv=1xr))al=e222al3s3+++o2((f3r60661=uexa))((xn1s22200)c+++)qxi666óu((xney10)) solverlo. Tenemos que la ecuación es x2 2x = 0 Para saber cuál es el valor dxe(xx fa2c) t=o0rizamos ( ((((()) ))) ) (( (())()()(((((((((())()))))(())))))) )(((((()(()))))(()) )) ( ) ( ) (( )) ( ) (( ))( ) ( ) (( )) (((((())))))((())()(((((()))))))(((()))()()()()()()()() ) ( )( ) ( ) (( )) ( ) (( ))( )xsix=gx=n1ETx=1ienUf=nitconey12yanamy12=syy=cxqa3x=syo==exucxxxo23xxy=3sxsx32axxxx2eyl=xxx==3xxu33=+2n0d==xxx12=2===10cx=cx3+20d16o12x12===0a2=22+xi002=126xox3só=dx+2+=+22+002=201x3=n=+++a=e=y0666f20y0=yayy01l0666xoy=e0yyu=1cy012=0xyxf==3xys=xn1yy==12at0312xxyy=3xxxx2=oxy=3x23ocxxxx2x==3xyxx2=2=3xr=xxx33xx=xx2x+22t33xx=xxx233+ex0=o=xxx3d122+3+2===x0xx2=xxx06y3+x1x2s022===312026xr3+2ex===x3300223162x62=22+00=xxx22===2==062xxx2=22+002=2c3+c6=x2=22+++000+x2x12e=x212===02=22+20+00++2===x=o+u++x220=60=12l06x20=6=63+++0=2==22+y00l262066my20006x16=2063ox0==++0+6066=1x+0o0020x.l==1s00yy12ú1x0y061a66601=0=0=ney3px=xo10312x32sx=r32yxxxxty3o3ri343222= =xxxxg=ad14q23+2+01u2====1420uCuxs=6=363a+2=22+a00co220=ex30=pl++++01t6dl204=0=oíuat6666au0120c3+xl:c1do012i43y6óe12a1==2rn1x2.2o+Fcxe3u6e=31212=nsrxc:=o1214i1=o0,122n2+e++=syy1261y36vvlrcl2==iyl43e=naau1a33=2es=rlmmxxxyauoSSPi0312343al214=a=xiil=rapyt3+be0r1xxa2=d0lcxa+ls6e3r3uea2=22+2á6==xn3a12g=q+++20n4dd=vr,u1l6066raeaaá0le,3+x,3fp12tory1012iiei4iec36c43esgla=annean2dub 2cttrxx+doaaloove3imel6n===naredxxnrcnc11in2oaene==e1tdssyeds12ces22pl.,=,o.e++ovpyyyy1212pAr=yyayn16rle3====syyel2ya==d=oní33s32n==:i=2=rpdexxxxxyyoe3303343343noy212i22=14=xxx=s==xe3yx+3+ctn3+=y0y10211ne2===2030==xaxd62=+q6==6s3tx3322=2r2+2=22+002e2iux326x03t312e2+=2v=+++++3ex20yxey2+012433+n3==ayyy162xs66666y==x6==dl4i36=2==000o3ax3+q2xx2c212o+11012012x0nr++y2u4a3=432632ey61243333o=l+ea66=x0s=2cy2xxx===443r22x60u+=l+2a2p2y+3a3x+l-my,+62a063=3a12203=6243=f+46r=6lm=o,uxal=4+=+x6asn3+221o333m0y012121206+c204336s1243=ai=4q6a+==ó,2l2===udo+n13+x2303ea10s122,,6=43624333==2+21+1012114121426=42+1==++1+01126126223=+==0114

() () x 2 = 0y = 3 1 2 + ( ) ( ) ((() ) )( () ) ( )( ) (()) (())(( )) (( ))Secundaria Activay 6 1 30xxx0=x2=x=x=+0=02=0+2++62+222620 0 x x 2 =0 Educyac=iónx3N=a0c0io+2n+2alx6=x01= 1 2+ =y =3 0 0 // Ministerxio=de1 y= 3 = 6122012xyy12yy=y2=yx==yxy3=3+=0==32x=x=6xx3232323+3+311323+x1x6623x122x2622xx22+++x+14=+=+===6612=6666000x0x120+11x3126+214+6xx6+12==6 x2 2x x x= =1 2 0 x 2=0 11 11 ++66 Si x = 1 3x2 + 6x = 0 x1y2==x2=x=+023126 202 1== 33 44 11 2 2 22 ,ye=yn=to3xxn=2c3+ex126s,xx 2 ( ) ( ) ( ) (( )) ( )( ((() )))(( ()) ()(((())()())(((() ()))())())( )()(((((()())())())())(())()))(((( ())))()(() )) ( ) (( ))( )( ) ( ) ( ) (( ()() )((( )))()((() ))()(( ()())())((()())))(((( ))))((( )))(((())))(((())())((()))(()((())()())( ))) ( ) ( (( )) ) (( ))( ) ( ) ( ) (( )) ( )( () )( ) ( )y = yyac3==boyrm2SLLP3xeL3x=oaio3no+12a232xxcxdxxy3+xf=(hyy321ap2ee3+12u=23xx3=x=ayxl=l6=am+x==(xny=1y21i22x3x2c23z=r==c=2c6y=20==,x0y=áoix00+ax2+2o3ia+2=b2e0y+0s=ó3m300+32+36ex+2nyy+12o33yay36nx6=r=y6xx2f432o)yt6e0x6l3==bi=432=x3x2)o2=a0c12=xs+=2sxx32xaxxy+x=+yni2xu=y2=y1y+12yxxxx2e3=je22=634333x02==x6cc34o30=m3=+=26=s==+12+n263=0==xxxxx0=0=02xoexxy.oy+044+x1=(xxt20yy626122===i+03srxe3s3y22=r2==6yy123x=63=333t,y3=3=2x2==3+6x030x2+xa22-012+=xp3yl12x0===2=2+=+yd1220430=2=o=x00+4022y+06yu323=y+4,21ya6y+22e+66=3330ys3=,xx6y0xx=+xx2ny==l2==y3x6l03+3x6=2==26343343=232)c01=020t12+1=2xxx+3+263=2e=22xxxx3243=o6tyx+3+xx=403áyy0x+1é3xjx++x2====36=y(0=4y332=y621xs32e3yy4l1223x32=2,66+142333023=y3r3x3xx-23==c=6+=62=22+=1x0020=6=y+m=03e=2=xxx0=x3+==x21122g==(xdyxu4=yx4y3+x2=1+x+x22x2212633x20xn43xxx63x223===32r2=02e0,3li3+12x3==2236=321y=00+1+26x=x6236=2+=2102xxax==x3onxx3+1y+1x2x+xx=x2x3+0y22yxxx=e+yx+120=(-=++yx3+31y33x=x21(=x23f=y2yx1-yl2313=2203s43o06+3x420x2-1=3(260=yi12=00+1=yl=21a312+2==xxx-=26,=y=3=6=61343x=6=-6==6=xc+=3===4==31x2=x=yy4+0=-33+xy2x=)2a26323=ps0x3-+=02=2x+21=x6x2-2x===a3+222c2x0xx02022-23202x000+yn2+x6yy0+1220=x06++l1=22+2=63320ay30+4x3=31d3=2u3241yy++3)01420+3a-6+2+6+-yy3+0312=-2-=2342+3=30033212=t32-+623x24xx12yy+123b6030x2xy==x2=-233326ya3ye142+na3640=3-x6===y=0=66++x+x662===x43=-=22+=)643+xy20206)-224s20x63===+0=r2=d2=02x=-4xo3x2232)xx,2==-20+63=43c04i66+6e=-=2xx3xx=x+xx2x6+=0+y-16ry12o+=+==12=y0-=33x2==030i=22c3xn-+3á63+14233yx40x3=6022432=3-03x04=s3=3+3r6=x2=2xxx=0-1612+6=660043=120a14=2-001+ty1x=12=0ae+06x-43=3+0+2640120i04x34==0361Px3xe=xr62===0=+c0s41s=24xx+1662=t3036u=3l2123,2+2=32xoe232+1y23223+=202+o=e3002012024p3=n612+++x=+0s32p((0+61(2,3y412+=+36=+=n+24++=026l3t=x1,i20e,44306xe36ayyl12616===oa==3,=,y3,,3+,22a4606666s6x3=xx2n3+j4003u3223+02n3syx30e0x=0n==33+1202022y04123)3+43o36))x===4xxxn31446033=4o30412n6312d41303+o12=242331=62d4=312a432===6=0ee2041032=x2x2y2226x+xx2xye+2l1+g=22+c32+002t22x34=3x++21a2=o6=112a++=xa66l===206+1===2==ab236+1bt2=r0066+21ix02=ts0+6l2+3=v0txxe+122a6+e1113131o312=221+12s12x1=2122n1122x=2312a2i,122=2+++2=a2e+1+0+20xes4====0=+e124=n,+m12í=1n6166==1:n010o20x120+023+ox22t03l3+,=32=1o0=1o2s13===436y43e6ns0y=20l140014sa0=cy2=314v=0x23xeac=u+++xxx2s0l3u+xn31221o4666=xxx=rs6a3+0rv122===u0ex26ax+ps2=22+s002x112=+a1+2s+6=200r1212=i2ra0666g0á0ymxu+b10=i2oa1e12sln2xat3se=ey2.0=140 + 6 1 2 -------------------------- ---------------------------------- ES¿Qni txuxoyé=n==1lc0ee2,3osecy2tynue3=yt=r2nxor=+(een333m36xcaxx3202e1o2+lx++sas2222,66=+++fx)lyuxxoy1=666=n=s===3x0c100v00i4óa33nlx+yo20xyr6y+e1x=2s2=2=6+d=x0=63e23xy01x202=:+xx=+2126y1=+0y=2x=6==,2y12e00=n33exy=3s2=0t00o+s2263p++ux66nt012o0s2?x+==6 ( ) (( )) ( ) ( ) ( )( ) ((( ))) ((())) ( ) ( ) ( )142 1 y= 3 1 2 1 = 3 1 +6 2 =31 24 3 3 =4 2 +6 01 4 +6 1 y 2= 33 2 4 Funcxio=nesy:12xL=i+3nxex2ya3==l==, 0c200yua2=3d+rá36t3xic122a22,+2e+6=x2ypx6+o==n63e0n12y42c3=ia=+l=2y363lo223g2+a142r43í=6+txmy+6+2=i62c16+2a2, 643=+=2y12x1si=32s=33t=e=04ym410=a3+2s436++li3n162e2a2l=e22=s+ 016=2 ( ) (( )) (( ))( )( () )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) (()) ( ) ( ) ( )  2 1=2 +3 142+=6 02 = 12 +12 = 0 + Unidad 3. 12 = 0

( ) ( ) ( ) ((( )))( )( (((() )))) ((( ()))()((() ())()((())()))((((()()))())) ()((())(())( )))( (() ))(( ))( () )( )plaesrEESmryaisni=íxdtcee=eesxs3ch1t2=oiaor,2sl3lqesayy122pyoxnury+==(yyul1t=e3u3ol=6=no=xxcnyxc3st234y32iuc=o2+(o3y(+3+c0e31=asnxx2))e=s6n63=222e2),0sr3xdx=+++os+e=3o,3=2=s66632y60ce+32(x0dyl021x=012sua43436)e3t=2mox23x2fy++yl(u03yy+x+(ya3ep33=n336=6==66sx==x2xlxfx=cx:eu2222202i2+2+203nó3++x+q3y33+212xcyx2n213=x66y66u3===+iy2))6=100=x3ó2xxxyx3xt=e=+=6+==o=2x23n0x:=122==2=33+2m362320+60x.032+2+30x3+00+xx+y(06Dy36x=4a+324x6036y36x6x==6==+2xe1140xxex+xx=02=s++2232020l26xp2+=+2=6+03+23=0=636+vx3e=4+20662x=0a=x62j2064y=26+0a)l(2y0+32o0x0x33=n=6+==x23r06xxx=xd2==123+x=20(62y0o+32+0323=0=+=16+,0=3x4x2x6x2l1.20s62a620==02)2+e20+++xx+=03+v=+21t6=a662==1i3)62001er=xx+210=i0x2n=2a42=2=+603e0b=0++100l+=4l0210e6a62=x+e=0=1,0c26200u=eT+a2=en0mc1ci=a2uó12en=2n1/+/q0t2rFu1au+e2sn1c=2ion0=e0s y ecuaciones Cuadráticas y = 312(2)2xx+A+3x36px=432(=2l==i)2c0=00ac3i12(ó4,)n+3xxx643x+3x+(x2x=2=2)======2x23x000x00+3xx3x1+x3=(xxp22x=p=(=2o+=x2=ox=r1=0xx002+r2+l0x00o+l2==o2)2t=0a=)t=2an=0n00xtxo0t+3oxx=2xx==+=2=0200=20 y = 3x2 + 6x 1. Dadxa1s=l0asyecx2u=ac2iones siguientes, completa la tabla identificando sus téy r=m3inxo2 +s.6x 0 2+6 0 0dCeoletféicrmienintoe Ecuación cuadrático ( ) ( )( ) ( )( ) ( )y =y=3 = Coeficiente Término 2 +6 2 indepen- 3 2 = 3 4 + 6 2 = 1( 2a+)12 = 0 del término diente lineal ( b ) 3x(33xxx22+++32xx3xx3x663xxx)22xxx222xxxxx222x+22=2+2+22+2=+=+67+670+676711xx2x0x2110xx2xx255xx55++xxx+x+xx==8989==89==89==0===0==0=00=00=000000000 2. Escr3ibxe= l0a y = x2 a cada ecuación x= 0 funyycy=i=óxxx2n222=cxo+rr1espondiente y = x22== xx ++11 yyyyyyyyyyyyy=============xxxxxxxxxxxxx22222233222xxxx2222−+−−33−+xxxx−+−=xx−+−2222222xx222222222222++xxxxE222xxxxxx22++-+-cxxx-66+-77-+-+8366u771183--+833xxxx3113a1xxxx5583c55++3xx++ixxó8899==8899n========00==0000000000 x+2=0 Función x=2 xxxx2222++++2222xxxx====0000 3. La base de un triángulo mide 6 cm más que la altura y el área es de 20 cm2. Calcular la base y la alyytyyu====raxx.xx2222 4. El área de un terrenoyyryye====cxxtxxa2222n====gxxuxxla++++r11e11s 360 m2, y el largo excede al ancho eenl tderorsenmoe?trosyy.yy¿====Cxxuxx22á22−−n−−t22o22xxxxs--m--3333etros lineales se necesitan para cercar 143 yyyy====xxxx2222++++2222xxxx++++3333 yyyy====xxxx2222−−−−2222 xxxxC----a88p88ítulo 1. Funciones lineal y cuadrática 

333xxx22222Se11c155u5xnxxd==a=r0i0a0Activa // Ministerio de Educación Nacional xxxxxx52222222222.++ +dD676767oxxxxebxxt++el+er8989m89s====ei==na0000a00euqnuinvaúlmenetreo entero tal que el cuadrado del antecesor de su al cuadrado del número aumentado en 5. xxx22222+++222xxx===000 Grafica las funciones: 6. yyy===xxx22222 7. yyy===xxx22222===xxx+++111 8. yyy===xxx22222−−−222xxx---333 9. yyy===xxx22222+++222xxx+++333 10.y yy===xxx22222−−−222xxx---888 Entendemos por… Día a día Término cada uno de los sumandos que aparecen en Las ecuaciones cuadráticas se aplican en fórmulas una expresión algebraica. físicas relacionadas con el movimiento, por ejemplo, un Coeficiente la constante que multiplica la parte literal proyectil disparado verticalmente hacia arriba, con una de un término algebraico. velocidad inicial de 120 pies por segundo y teniendo Incógnita cada una de las letras distintas que aparecen en cuenta que la única fuerza sobre el proyectil es la en una ecuación gravedad, se tiene que la altura “h” en pies del proyectil sobre el suelo después de “t” segundos está dada por: Diversión matemática h= -16t2 + 120t Diviértete resolviendo este acertijo: (Tomado de Hipertexto 9 Santillana). Una ardilla se encuentra en la entrada de su madriguera, en un árbolde 16 m. de altura. Si desde la copa del árbol hasta la madriguera hay tres veces la distancia que de la madriguera al suelo, a qué altura se encuentra la ardilla? 144   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Tema 2 // Funciones y ecuaciones Cuadráticas Comprendí la importancia que tienen las fun- Este capítulo ciones en la vida cotidiana, en el desempeño de fue clave porque los trabajos y en la vida escolar. Identifiqué la relación de las funciones con He podido reflexionar sobre la importancia otras ciencias como: Biología, por ejemplo al de interpretar gráficas de función lineal, exis- relacionar la estatura y edad de los adolescen- tentes en nuestro entorno, y que son conoci- tes; Física, al relacionar la velocidad del sonido mientos muy importantes en el diario vivir. Sa- con temperatura.etc. ber que existen situaciones que relacionan por ejemplo la cantidad de animales con el consu- He aprendido cómo solucionar ecuaciones mo de alimento, el crecimiento de las plantas tanto lineales como cuadráticas y aplicalo en la con el abono que se aplica. solución de problemas. Conectémonos con Economía En la naturaleza existen muchos animales que Sutton agregó: “Esto nos muestra cuán poco tienen la capacidad de hacer saltos de gran al- sabemos acerca de la capacidad de insectos tura, en proporción a su tamaño. muy comunes”. Por ejemplo, el antílope de África meridional Y me imagino que todos concordamos con puede saltar 15 veces su propia altura, el can- el doctor Sutton, que no conocemos ni siquiera guro rojo, que mide 2 metros, saltar hasta los 3 una miniscula parte del mundo que nos rodea. metros de alto, la pulga común puede saltar has- Es impresionante el diseño que se ve hasta en ta una altura de 130 veces su tamaño corporal. estos minúsculos animalitos. Este tipo de saltos se pueden mostrar usando http://www.planetacurioso.com/2011/02/11/por-que-las- gráficas que suponen una parábola, y se hace pulgas-saltan-tan-alto-y-tan-rapido/ su análisis a partir de las características de ese tipo de gráficas. Una pulga salta una distancia de hasta 200 veces la longitud de su cuerpo se debe a una estructura como un resorte en su cuerpo. Imá- genes captadas a alta velocidad ahora revelan que el secreto radica en la forma en que las pulgas usan sus patas traseras como palancas articuladas. Este “efecto palanca” les permite a las pulgas llevar sus patas al suelo y liberar repentinamente energía como un resorte hacia delante y hacia arriba, afirman los científicos en la revista Journal of Experimental Biology (Re- vista de Biología Experimental). 145   Capítulo 1. Funciones lineal y cuadrática 

Capítulo 2 Funciones exponencial y logarítmica En la Arqueología y la Paleontología, las funciones El uso del logaritmo en la escala es para refle- exponenciales son muy importantes para calcular jar la energía que se desprende en un terremoto. la Antigüedad de los fósiles. Mientras un animal o El logaritmo incorporado a la escala hace que los planta tenga vida, el carbono 14 se mantiene en valores asignados a cada nivel aumenten de forma una concentración constante en los tejidos. Sin exponencial, y no de forma lineal. Richter tomó la embargo, cuando mueren, dejan de absorber el idea del uso de logaritmos en la escala de magni- carbono, y con el paso del tiempo, el propio carbo- tud estelar, usada en la astronomía para describir no 14 disminuye, por desintegración radioactiva. el brillo de las estrellas y de otros objetos celestes. Función logaritmica Son de la forma y = loga x,o, f (x) = loga x El eje “y” es una asín- tonta para dicha curva y = log(a0x, ,o),( f (x,) =) logya=xloga x,o, f (x) = loga x Al ser graficadas to- El Dominio El Rango das cortan el eje “x”, y =(0a,x ,o)(, f (x, ) =) ax (0, )( , ) pero no al eje “y” y = ax ,o, f (x) = ax y = ax ,o, f (x) = ax Si a > 1, la función Si 0 < a < 1, la fun- No existen logaritmos es creciente ción es decreciente de números negativos y = loga x,o, f (x) = loga x Función logaritmica (0, )( , ) Son de la forma y = ax ,o, f (x) = ax y = loga x,o, f (x) = loga x El Rango Al ser graficadas to- y = loga x,o, f (x) = loga x (0, )( , ) das cortan el eje “y”, El Dominio pero no al eje “x” (0, )( , ) Si a > 1, la función Si 0 <a d<ey1c=r,elacaixef,unont,e- f ( x) = aEx l eje “x” es una asyín=toa- x , o, f (x) = a x es creciente ción es ta para dicha curva 146   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Tema 1. Función y ecuación exponenciales Indagación El crecimiento exponencial El crecimiento exponencial ocurre en muchos campos de la ciencia y la tecnología. Por ejemplo, el modelo de crecimiento bacte- ederArspsiioasseuaontlneucirauCLRcDEUEsssoonoloTsascfeeotinaoan,amsnoicasumaumdócecsel:,fvnoinaatntlumrceoeeaad22asiafffcenecontnnrcrxxo(((romlixifucotdttfeaaa=xxxusrpe.auaie=nocsmbe)))Con:;o0cdnisl===lhcnecinmyloeioe0cótelfociete22nx;aitepónneviuórnsn:sx2xyetro/nalecan/etynewseyesedecnieaenxat;wgxlcooietxppgouswefpueus22sgl1p2uoofffffdin(s.atxoa12nseuxxon(xnuno(((((el22egpdfninafffffnxq)dn=cxxxxxumesaxxoxr(ets=e(((((a)tu=i:e)))))eennáxisrno0nl==xxxxxoe=thnscie====ctec=)uent22)))))zagi00uffffccs0iegi12cr=naleoa222====arxxxeuiraa((((aá012ccats.xálncxx2x=cxxxxanceex222fxilofr=ieeriecyie))))oei12esinyc2xxxet0óc2emxcósix/nn====scTóoisaq:nyn0pmynSeóepxnpsglu22222ggUdx12yoaiffffffssdgdeeay(exxoeKxxx212((ngnn((((((cioeuvxñqUxfxxtany=xxxxxxei(tlyloenan)12uetp=inNe))dn))))))x-xaivrrdae0=reonsaE=eie)c=====ax=ogea_nxlat0ncpicm=siCesb(aepoc2222l0x=o12eclo1A2arxn12allnéaeexxxx2inéeeRre0)aamcrn12rlsbnLysb.sxeyxljei=Oxctt.uaaaoacc=aesicSalxsensssopn.g.u/lel0etm12toatay(ee12s2nnxax--.:x)x==mPdq22gg12ffffff0uauxx12((((((((exxee=xxxxxxRLSSSSLdq=))s))))))iiiaiaxius0et=d=====ouxxxxea0ffau2222uxl====bqx12inqx2xxxnacu-c2-01ayuc210xys1ee1xiu,,,eieómó,mseeegnxne22ugg12nnnffffff(o12enxx((x((((((ttta22bggs12noooxxfffffft22=xxxxxxgg12)uffffffeoxx=a(())tnnn(((((())))))xx((=((((((masl0xxns=xxxxxx==xxccc=====a=xxxxxx=e))0c))))))m=))eeee22))))))0gg102yffffff2222=0x12e======sssnt2=====xx12((e0((((((x2xxxas=0xxt2222=xxxxxxxnyyyyyx2222ayyyyxb1eyyyyy=12))yyyyx))))))x2xxx12o421f0x2xxx/s====u=====td====2=====yry====(ayg0xyemlixx22222222mq2222ax2222s(s22221212g)m1x021axxx2xu021cg201eb120u1(1)y=y=e12==i=1(y==ix==s12=xix=óno====n=xé==2)1121421ar4)nu4dxn21g412x=12,120=12yqe=12(f=;12;;e;;22;ugg;pe12xc;Pu;;ffffff;0;n12xx0;.)nr((;uxa;((((((e12yxyy;eyytyyxxy(==xxxxxxyycnyroy-(((==c))1yx=y))))))a01=1=ity==x==n0=y2==óio==,======0.,e1=121=c,,,11=02sn224l1=e4n42e2222142/xa4(2n121212t1x2sc)))xxxxx212e)t,,rfyo.=yy==euxa=)ncPn000gmci0u,,ce,e(,5125e5enxis5ósd,)ttxenio=a-.= 0 x 1 147 2 f (x) = 2x g (1x) f (x)   C1apítxulo 2. Funciones exponencial y logarítmica  f (x) f (2x) = 2x g ( x )g ( x ) = 1x

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional ( ( ( (Si x = 0, entoncesgggg(((x(xx)x))=)=== 12112212xxxx ( Realicemos la tabulación para la función g(x) = 1 x 2 (( (( 0 (( =1 ; y=1 y= 1 (( 2 ( (Si 2=1 ; y=1( 1 44 (( (( ( (Si 2 x =1, entonces yyyy==== 11221111222211220200220=2=======114111144114;;;;;;;y;yyyyyy===y==1==11=114114414yy == 1 21 ; y=2 x = 2, entonces yyyy==== 1 2 = 1 ( ( ( (Si x = -1, entoncesyyyy==== 12112212 111=1=== 121122121111 ;;;;yyyy====2222 (( (( x y = g(x) Puntos (x,y) 01 (0,1) 1 1/2 (1,1/2) 2 1/4 (2,1/4) -1 2 (-1,2) Al graficar las dos funciones en el mismo plano obtenemos: y ( (f (x) = 1 x f (x) = 2x 2 4 3 ------------ 2 --- -------------- 1 x ------------------------- -3 -2 -1 1 2 -1 -2 Contesta las preguntas: ¿Qué forma tienen las gráficas? ¿Por qué una es creciente y la otra decreciente? Comenta con dos o tres compañeros. Analizamos la siguiente ecuación y función: 3x+1 = 0 Dada la ecuación: e3yyyyynx=====+1la33333=120xf++++1u01+1111n,====cs3u33i3ó2130fn==u=n3=yyyyy392cx71=====+;i1ó;;33333=n;y102xy++++1y01=e+111y=1x====3o==p9b3133o232t13ne07===enne=392cm71;ia;o;l;ysycyl=yoa==r3=sr9i1eg2sup7ioenndteietnatbeuelasc: iyyyyyón=====: 3x+1 3; y=3 Dando valores a x 30+1 = 31 = 9 ; y=9 31+1 = 32 = 27 ; y = 148 32+1 = 33 = =1 ; y= 3 1+1 = 30   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

120-1,,,,eeeennnntttoootonnnncccceeeessss333yyyyyyyyyyyyyyy3yyyyyxxx===============+++x=====111+1333333333333333===33333111=000222xxx+++1+++++++++11102x000111++++111111111+++101111+111=========1=======3333333333333332221113333210003=========0======333999222=392777111;;;71;;;;;;;;;;;yyy;;yyyyyyyy===yyyy====y====333====3999=1119122227777 Tema 1 // Funciones y ecuacion exponenciales Si x = Si x = Si x = Si x = x y Puntos (x;y) 03 (0,3) 19 (1,9) 2 27 (2, 27) -1 1 (-1 ,1) Al graficar la función obtenemos: y x -3 -2 -1 3y x + 1 = 3 2 1 1 -1 Casos especiales de funciones exponenciales 1. Dada la ecuación 2x = 64 Esta es uennaeel ceux2apcxoi=nóen2netex2.po2nen2cia2l, p2or=q2u6e la incógnita (o sea la variable), se encuentra 2x = 64 Observemos quae x2=x a=y64 puexde= eyxpresarse como 2x = 2 2 2 2 2 2 = 26 . 2. qnlSaouitsleaCEPPuidgaaxqcoeurrpiumaanoireeenorednsehesaetpstmaerooulce,oalpeemvssrdmeoevoelrepaissasurimsoepdenildb33377377777737la22xgaai4111dasx333333xxxxcuxx=8882(33377777377xxxxx2a22eexbd9ae6i=====11er===333333cxxxx)=====xxxxxnra:6=88v(xxxxxe333777377a22a22nux=2662s222====S====7a(47(=444n)=====33333xxxxlet6xxxxax4x67i(l=7xxar1exxxxx942999=269a22.a222,c8x=====4===b27(s4442x33373777772a222=x99++=====46xxxxi6ae(+7)xxy)94ia+2999+++ó333333xxxx2xxxx666622xpa2229xglc2=x333666(2xxxxxx7(444=+s99)++nxxx26+44+x6ru3 ====ut(====37)xxey++++3)2999=====6e6o69xx)333666aa+2x)e=C++=2n+6622axxx2p22723e+3l)c7(444+3+++xa62d44ex6)s(i,7xxx333666yi4)p2999p33377773e2a222+órx3ay2xíe=39++dot3333xxxxxxxx22xxxx+x)dnl)u++++qxxxx66aa2anlx333666====.=====+)ou+====sexd33em3í22i266x222a)222enyv=7(44.l2pi44x6s(7cxxayoFs299xxouiyml2xg=d++2xxa22e+nn=)+++re62lcnax3366a6e)i+3ostyr=nl3be222ena)qcae2a=dsiupsxa6eee2e2o323377777372a222lx=xb:ts333333xxx6x=paxxxxxe=e(exxxxx33377377722a22oyxm6n========22n)=====33333xxxxxxxx6ixh=cexxxxxgb6=26622a2223337773777772a2====a=nx===i7(444uo=====a644x6c(1117lxx333333xxxy2xx4x2999a=2l8886622i(sca222xxxxxxaa2x76(444=9++===l===xxx2=44i+xl6==()7=====xx)myar+6+++ó299966yxx333666=26n2+2xa)222=2++ne(+4xxx27(4443li+3)o+4+++3x67e(766xlx1y294)l2999xg3336668)xyom2+2xv3=a99++xxx3+)s)xr2+a+++)66ebí9x333666t2+)lem+s=3ro3x3xpoi)rc2pye=sa2docx deyín=2efiel2calnyaa=t2imein2g=sceu6aón2asgt6líed-: ad 149

150 Secundaria Activa  //UMniindiasdSc3teii3.ra .ixoSdmnCPRCSlF33333337737777377733932a222333333377737377773393933xxxxxx22a2xxxxxx((duiooea=111111((e1111422((2xxxxx333333xxxxxxxx2333333xxxxoo2xxx2x333333377373777777333933x2xxxx22a22xxxxxxx+==+a2====x8882ne===22222x(888xxxxx2222(xxxxx(1ndlr=s11136333333777777773373393933)==11112a22((224=2=xxxx333333xxxx2xxxxxxmm16====)==xxxx2ECLE===xc=u+2======)2=========x8882)22222(====xxxxxo(99xxxxxE)=6===22)1t1x=====1111xxxx((l=422b9i1xxxx333333xxx6x2)===6=22=22xxxxsox====x2====o99+eqc==22=22xoo66===d)x22888===a,2222222)(===2=====xxxxxpplxxxx991=276(22=242(x2t166722x(444=aa3333333773777737733933322219n62222p)======xxxxxxs2=v1u===272(si24=(99441===o9ux=6772(=2x444(m 2662279xxa)e=1222y===(===rr9))41=====1oexxxx1272(9999924(1111((s=44224939916t7xxxx(333333x=x2xx6x744422c(9xrx2xxxi87xxxx=1y+)(=oo=29)24441===e9xx=6718882yxav22999(2222ans(x99=7993xxxxxxx9e9e=1++y2=29xe6a9)24122xxx8n12a2222=999x1====2+69399)==))xo(x122=27(=2====)48(:=2xx===7+(+++444x)(bbd=22a9n99x+s2+)c92===6x6nt,)2x=sxxx=====929xxxx9+9+941=26+92x=672x2e333exx66)x26xx(xL27+=xx)+=1)xoyx)+=í9+=))34+++3333333773777737773399333i22a221l2+2999xxxxxx+++xa299aae9939t9626=232x666ó226d3p9a8222:9ip====xsm(o1)(x3336626x273x33(66264x(o1+n271111((x(242+444+nxxxxx333333xxx)x2)x++9=2199xx2xx++xr9ccnn)++22 +==xxx229441:===993xx=6788823+o22222(u(3)xxxxxxx7x3xxoe=1y2=)r19)4e3+)=1+++12+9996)31==9399c2=x+2====62ii16====8o)9x2122lea)N()2)====x)3332666xe2=====xxxxxxx99xóóxr==6+2m99d2++)==+9xo2)=xxxxe221==+l2+l)x9x2)399ss=)1a23=2x,662+22+++da222=33333337777777377393a=====2a222x2xnn163xxxxxx627(24+e(0===97s(s444l==921x33366=c6x0x2c)0+2(=o=)441+09x=67s=(o127lexx1111=(+=12y:qxxxx333333xxxx299)4::231xx2xxi299930x=u99399)+ea=128vi=0==o3xx2888 l+0)222((2syxxxxx02x333s33337777377773733933302=122a22x=1xxxxxx99)++ag=u92=21a62xxxx2=02n=2+0c==)====xax===0==t(=2)+=+++1))d1111((y422===1x2xxxx333333xxxx2s)66e=====2xxxxnxxx9x9aae=2o6+2=2x23332666x=x==ux888l=2222+()xxxxx+x0=rimy1==+2=9=91lol603)==2=2x=n32=660iá22====a=g2220==b====2321a+)272(2===4()f27(2=====1xxxx444s99)=6t220=29xrtiu4410=x2x67i2is0(2cy799xxa0)=1y2=21xc669eo)224ca212222999s=====9931227(24(e=78(444ixx9ia)(2=t=e=my2xs441 a9=x=x67=e(99++7óxx=1yi2=rxxx92)242,2122999+)9939x2xp=)0n=s8x++++v)(n20x22de260x6nx=0999++qa96f2xxxx23336662xo2+)xx+a=)x+=p)2at++++e+x2b9y663u936epx33366d6x2r32b+3333333777737777733399333+c)o2a22+xxxxxx21+,a=9)o322e3x(e1x31111((e242a+2xxxx333333xxxx2rex2xxx)n=21s+1l)==22===x88862222(eexxxxxmxSon21s2e==ce=1)6)==x3333333773377777773393933212=2a2===xxxxxx=======2nn)e=2===n)i======xxxx(99sxu=66212==1111((2x224lxxxx333333xxxx2=o2xx==x=3c+e2.==0=992tt6=o==2x8882=2x222226(x222xxxxxa22202====a101oo27=(di24(0=016)==7(s4442=9l3337333377773773733339933==,a22a22=0===233373337777737xx39x3xxxa2202xxxxxx2)401===9x=67c)(=====xxxx799xx=(1y=6nny2(ol29)=41x11111((22249991xxxxx333333xxxxy21111(39992yxxxxx33333=xxx2xx2xxvxx2x68xa2+==x99+2i====x2)=2(y888yx2==622222x(28882xxxxxa22222(222x2xxx====tx=cc1s199++127=(9ó24(12=62)==a17xxx6(2=4442==-9====2p+=a====)xx==2=)-2a)l===41)+9===x=)67+++)=====(xxxxxee99==xxxxx7x291=xx6o=61=y266222l9nx)49x11m2999n=9939xl333666x22s9989+o2)x2=+x=2x66g6622)(22ss2aa22222=====i===+2,x119x27(27=2(43(24(99++7(379(444,í44299txxxc2a+23)xxre+44144129x=67x=67)i((o77+2xxxx1+++==11yys)99))x442211662299999rlt99939399ee9333a333337377777777339393333333377777737733399332a222a2xxxxxx8x8xxxxxxx333x66x62xx)()(oí22+o)e)2+x2dx,1xx==t(99==99++++(9+212xxx9nm21111xx((124223rxxxxx3333332xxxx2+1111((2422+3m)xxxxx333333xxxxxxxx22)xxx=p=)x2x=)+x==++++n2n3++=++==x888==g+==x2222222(e=x==26x888xxxxx6=662222(91xxxxx=91)=tx23336166x16x)33==666x=2=+216====l))+o+==i=2)===+2=2x==r2e2ob+====)+pc===93))920=3=====xxxxxa31)99===3=6)22s=====xxxxx0a9932=l6+30262=+nax02=m1262991)nrx=22=2x)o66ao222=2=a22299======2=2xx1r6=227(2,x24(a2222o7(====)444911)pe27(24(1y7(c444441d99x=67l(7=xx0==1yo2x=9)4149qx=671x=2=999y(si0u9993927n=xx===01r==98)e04x1=2999)(2e9993n22xx8=os299x++9u)(220=sxxx2cc22x+0=sd)xxx=0992=++)m9y00:2+2c+++0xxx0xi22+066)xpx9:=e)isi++++x333666xex2+6)6+2óo9ay+t9x333666xy3i3o+)2+e33333333777773377773339933322++aexxxxxx9lg3n213)l2m=(:3s+1x1111((2422axxxxx333333mdxxxx212)n)12+e==2===x88822222(xxxxxxa21=3333333773777377773933=2a2x)16)a==xxxxxx212===i=2s=====s2i2)b===)(t======xxxxx99=216xi221111((g42dxxxxx333333xxxx2==62xx=ax=0==+2g=dl299====x02888=2o2x2222(02xxxxx22i20======u1127(24(n=17(6)444=0=92=u===e===0s12d29x=70)x(===e7xx)20=y1a=====xxxx99)4=16299922999932xa28ax)(e229m62lxl2=2xx=6992y++a92222====6xxxlel12d+a27(24()xx7e(=)4449++++ax266419x=67ni(s7ixxx333666=ax1y9)+4)1+2999gr9939ee+2 983x3)(2d2x3x+=99u++c9me21xxx)22+)xx==)x+2+++ux)2a6l61lt9x333666xob=+i)+l=a=2+=e9e3=3asr3+c60x1n)o2r0200xi2p)e1sóle=xono===n=dxns0=elp02e00eaeoxlnyxamnptpeeoiigonsnsu--toeeannsl--::