NUMEROS REALES CARTILLA 9°

Tema 1 // Funciones y ecuacion exponenciales Aplicaciones y solución de problemas Afrontar un problema puede ser un buen camino para profundizar y aprender más acerca del tema que acabamos de ver. Analiza el proceso a seguir en el siguiente problema, el cual te ayudará a comprender y profundizar en las aplicaciones de ecuaciones exponenciales: 1. Presión atmosférica La presión atmosférica p en un globo o en un avión decrece conforme au- menta la altura. Esta presión, medida en milímetros de mercurio, está relacionada con el núme- ro de kilómetros h sobre el nivel del mar, mediante la fórmula: p = 760e 0.145h . a) Encontremos la presión atmosférica a una altura de 2 kilómetros. b) ¿Qué valor tiene p a una altura de 10 kilómetros? Solución p = 760e 0.145h p = 760e 0.145h a) Para obtener el valor de la presión atmosférica, reemplazamospa=h7p6o0re2 0k.1i4ló5(m2)etros de altura, en la ecuación p = 760e 0.145h , espto=e7s6h0=e 20.1y45nhos qpue=da7:60e 0.29 p =p 7=6706e0e0.1405.1h45h p = 760(0.748263) kilópppppm=====e57777tr66666oppppppppp80000s====,.(eee=====60l777787a0005.77776666...12166666449p400000558000r8(eee(he.(ee2e062)0s000.086007....i112.7..óppppp11234944449554n)55=====8(hh82(22)a577772)6t66666m3800003)o.)(eee60sf8000.é7...112r4944i55c8(h2a2) 6e3s)dpppppe = 568.68 = 760e 0.145h = 760e 0.145(10) A una altura de 2 =56786.068e 1.45 mercurio. milímetros de epppppn=====l1777a776666pppppeppppp80000cP=====.=(eeeu====2(017777a5t1001.777)7c26666...641176668445i=3000088ó55000.4(eee(h.2.1n1(ee6025007+0108).77012....34112..1ppppp14054436455531)5=====4(h0e14(15001777750)07)0766667.008200005).(eee)t207100.2...1144543554(h150p)7a0ra) = 760(0.234570) b) Aquí tomamos h= 10 opb=te1n7e8r .e2l 7valor de la presión atmosférica. P(t ) = 36000 1+11e 0.025t 5x+1 = 625 rK1e0mspk.uillaeóPsmpt(artees),t5sr=iPxoaó+1s1(nm,t+=)el3e1a6=5sd6212xpd0ie1x+d5r1e0+=ea0=03.s5108iq26661Pó5xu0e2t+8n(2e05.t06a0).a058t=2umx5+tym11o+a=es3fn1é166t1r02a0iec50Kla0a0m.0e2a5.slttddueeraa1ll7tfau8(r2p.xa2rx)e7la=si=mpó8rnixel3+ís2mait-ómexntrooesss- A una altura de de mercurio. Analiza las dos férica decrece, a 2 de 178.27. nadSaies mcopnreladerebaelsidaandaldizealrolsahs e2rcexhs=pofu85s(exqx+s12u)ta=es=,6te2e3lp5lar- exs2sdexne=bta8enux+n2tepnreorbllóegmfica(a.x y estar relacio- ) =2 x +1 f ( x)f (=x2)3x -x 151 = 82x+2x f+(1x) = 3 -x f (x  )Ca=pfítu(2lxo)x2.+=F1un3cfio-(nxxes) e=xpo2nenxc+ia1l y logarítmica 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Aplicación Copia los ejercicios en tu cuaderno, realízalos y compara resultados con tus compañeros: Información para resolver los ejercicios 1 y 2. Crecimiento de la población Supón que la función que da el crecimiento de la población mundial desde 1960, se ajusta mediante el modelo exponencial: P (t ) = 36000 1+11e 0.025t Siendo “t” los años transcurridos desde 1960 y P(t) la población en millo- nes de habitantes. D = 5e 0.4h 1. En 1960, ¿cuál era la población mundial, según este modelo? 2. ¿Cuál será la población mundial en el año 2010? w = 50e 0.004d AdmPinL(iats)tsr=iagc1ui+óie3n1n61td0eee0i00nu.0fn2o5trmmeadciicóanmseirnvteo para resolver los ejerci5cxi+o1s=36y254. 2x = 8x+2 La fórmula D = 5e m0.4ehdpicuiendaeeunsealrsteorpreanrateesnacnognutírnaer oeldneúumfne(prxoa)cdi=eenm3tei-ldixgersapmuoéss “D” de una cierta de haberla recibido f (x) = 2 x +1 w = 50e 0.004d 3. ¿Cuántos miligramos estarán presentes después de 1 hora? 4. ¿Cuántos5mx+1il=ig6ra2m5os estarán presentes después de 6 h3o6ra0s0?0 Inform2axci=ón8xp+2ara resolver P(t) = 1 +11e 0.025t los ejercicios 5 y 6 Satélites esfp(axc)ia=les3 - x D = 5e 0.4h El número “w” de watts proporcionados por la batería de un satélite espacial f (x) = 2 x +1 en un periodo de “d” días está dado por la fórmula: w = 50e 0.004d 5. ¿De cuánta potencia se dispondrá después de 30 dí5asx+?1 = 625 6. ¿Cuánta potenciase tendrá disponible después de 1 año (365 días)? 2x = 8x+2 152 f (x) = 3 - x   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemfas(lxin)eal=es 2 x +1

P(t)P=1(1t+)+1=311611e0e+0100.012e5t 0.025t Tema 1 // Funciones y ecuacion exponenciales DD==55ee0.04.h4h Día a día D = 5De=0.54he 0.4h El sonido 7w. w5w=5x=+x5=1+E501=5nw0e=06el=6e0o2.002s55.00054.0e00d40jed4edr0c.0i0c4idos 7 y 8, calcula el valor de x. Los físicos definen la intensidad de una onda 5x+1 =5x6+12=5 sonora como la cantidad de energía que la 8. 22x x==88x+x2+2 625 onda transmite a través de cierta área. Por ejemplo, el sonido menos intenso que el oído f f((xx)2R)xe===p2r83ex3xs+-=e2x-nx8txa+2los ejercicios 9 y 10 en el plano cartesiano. humano puede detectar es aproximadamente de 10-12 vatios (watts) por metro cuadrado. f f(9(x.x ))f=(=x2)f2(x=xx+)+131=- x 3 - x El decibelio unidad de medida utilizada para el nivel de potencia o nivel de intensidad 1f0(.x )f (=x)2=x +21x +1 del sonido. Se utiliza una escala logarítmica porque la Entendemos por… sensibilidad que presenta el oído humano a las variaciones de intensidad sonora sigue una Función exponencial a la función cuya variable independiente escala aproximadamente logarítmica, no lineal. está en el exponente, es decir, la función de la forma f(x) = ax. Por ello el belio (B) y su submúltiplo el Ejemplo: f(x) = 4x decibelio (dB), resultan adecuados para valorar la percepción de los sonidos por Diversión matemática un oyente. El volumen del sonido es medido en decibeles, ¿Podrás encontrar la salida? en honor de Alexander Graham Bell. 153   Capítulo 2. Funciones exponencial y logarítmica 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Tema 2. Función y ecuación logarítmicas Indagación Recuerdas ¿qué es un logaritmo? ¿Cuál es el número al que hay que elevar a 10 para que dé como resultado 1,000? Esto es, 10? = 1,000 escrito matemáticamente: 10x = 1,000 Sabemos que la base de la potencia es 10 y el exponente es la incógnita es x, entonces: Para hallar el valor de x decimos: logaritmo en base 10 de 1,000 es x, simbólicamente: Log10 1,000 = 3 porque 103 = 1,000. Siguiendo el anterior proceso, explica cuál sería Log28. Analízalo con un compañero. Conceptualización Recordemos el conceptloogda xe logaraitym=xo: log a x ay =x en donde “a” se llama base del logaritmo. Por ejemplo: ¿Cuál es el log6 36 ? log6 36 Aplicando el concepto de logaritmo, se debe buscar un número al cual hay que elevar a 6 para obtener 36. f(x) = loga x afy(x=)x= loga x ay = x Es decir: 6? = 36 dicho número es 2, porque 6 x 6 = 36 esto es 62 = 36 . Luego log6 36 = 2 Cuando un logaritmo no tiene escrita su base son lolgoagraixtmos enayb=axse “10”. Ejemplo: Log100 = 2 porque 102 = 100 de logalorigtm6 3o6, para graficar funciones loga- Recuerda, siempre debes aplicar el concepto rítmicas, expresándolas en formy a=eloxgpoa nxenciala: yf(=x)x= loyg=a xloga x a y = xa y = x También podyem= loosgeasxcribir ya =y =loxgfa(xx) = y a y = x , pues f(x) = y Representación gf(rxá)f=icya yf=(xl)o=g5yx y = log5 x Sean las funciones: y = log5 x y yy ==lloogg155 xx y = log1 x logayri=tmloog, 51exnxcontra5rye=moxs Aplicando el conyce=pltoog1dex 5 exponencial co- 5 rrespondiente: 5 su ecuación 5y = x y = log5 x y = log5 x yy5==ylol=oggx15 xx ⎛ 51y⎞ =y =x xy = log1 x ⎛ 1⎞y = x ⎜⎝ 5 ⎠⎟ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 154 y = log1 x ⎛ =15 ⎞⎟⎠loy g=51 5 y⎝⎜ 5 xx ⎛ 1 ⎞y = x ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 5   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadráticya, =exploonge5ncxial y logarítmica, y syis=temloasgl5inxeales 

yyy===llloooyygygg===xxxllloooyyyggg===lxxlxlooo⎛⎜⎝ggg15 ⎞⎠⎟xxx⎛⎝⎜=15x⎞⎟⎠ ⎛⎝⎜=15x⎞⎟⎠ = x0⎛⎜⎝yco⎛⎝⎜⎜⎛⎝15i5b⎝⎜⎛1⎛⎜⎝-ó5⎛⎝⎜15⎜⎝⎛y1⎝⎜⎛⎝⎛⎜5t1YySSSSSASSPSA51in51⎞⎠⎟0125⎝⎜⎛515e1055a01iiiiiiii⎠⎟⎞5-51⎟⎞⎠l5l5121Sn5r⎟⎠⎞1y0c125yyyxyyy⎜⎝⎛⎠⎟⎞e0y5⎜⎛⎝5yyyy⎟⎠⎞<⎛⎜⎝-a⎠⎞⎟51ei⎟⎠⎞-51=5e⎟⎠⎞=2151r==5⎛⎜⎝ff2⎝⎜⎛515=1⎠⎞⎟y0==125=====1efy0e120y==:(y5=yyy====10yg1yyyye=y1=5=cx1515=1c00=1x5⎟⎠⎞x⎜⎝⎛5==r==⎠⎟⎞c==l===x121-2-==lt==⎛⎝⎜xx==l⎛⎝⎜=lll)=a====⎠⎞⎟yiox,,x5u1⎜⎝⎛1oyotooo51x55⎞⎟⎠ex-,,,,1⎟⎞⎠;1x5<;xf5lu012x21=5gleelaxx;15x,l=gll105i;l;xxg1ogggxxy=50lll12xneeeeo;ox;1o0yxooc1oayyyyrnnooo;1;e1=5⎞⎟⎠;=;155⎝⎛⎜g5nnnn555f;151t2g5g;;=a;g⎞⎟⎠⎟⎞⎠rgg-1xyg==⎠⎞⎟;;=5l2tt;ggg1x5;ne1==2(;1=====;1(51o5otttto51x51yrxxxy15x012x1515x555515510y215ooooy1x5,5t555yyyy15x1l=121552s=11=lnn1==x52o1l1a51xx51ll==lll)=15x⎠⎞⎟xxnnnnoxx===xxp=oxxxx,a5xox==ooo=rcc5=====sn;5;===y=5==x=ccccge;⎛⎝⎜=s⎛⎝⎜gxo=e;;1x5gxxgggxee==ye⎜⎝⎛y;⎛⎝⎜c⎛⎝⎜x=⎜⎝⎛;l⎛⎝⎜x,xleeeeexxl=yllls⎜⎛⎝n5=15⎛⎜⎝o5x1r1ssx15=xd=os555515e1=o2x5ooo=x=x5155x1m511uy1xssssx1⎛⎜⎝e;5q5;2x51x1=t5y1g5x⎜⎝⎛x151;⎜⎝⎛ogsex5;;⎟⎞⎠gxxxx⎠⎟⎞gggx⎛⎝⎜mx5o⎝⎜⎛xl5⎝⎛⎜⎝⎛⎜nsl;555;51⎟⎠⎞u-x⎟⎞⎠⎟⎞⎠-⎞⎠⎟y⎞⎠⎟p=o⎝⎛⎜5x⎝⎜⎛51ox5⎛⎜⎝⎛⎜⎝55=l251=21ss51155x5151⎛⎝⎜=ty⎟⎞⎠-⎜⎝⎛155⎞⎟⎠5⎜⎝⎛155n5y5551051o121y55t105212=y2⎜⎛⎝110y⎜⎛⎝g1i0y⎛⎝⎜g=yeyyyl5yyyy55a1=12151⎛⎝⎜1y⎟⎞⎠o0125=1=15=5⎛⎜⎝=l5=1t0yg115fy55a15fyyyyfc=⎟⎠⎞-=51⎠⎞⎟=5⎠⎟⎞=x5a==xxx⎞⎠⎟15x==oa==15x===xyu255==1⎞(⎠⎟5f1==u5=(⎞⎟⎠=x======⎞⎟⎠===n5⎛⎝⎜5⎟⎠⎞xl5115⎛⎜⎝=a==zly0y=1255yy5se=⎟⎠⎞⎟⎠⎞x⎟⎠⎞-==x-(-0ygx⎞⎟⎠x5⎟⎠⎞⎜⎝⎛===lx====yyyyoo1x555x1xx55o212y1201x⎞⎟⎠1-yycy⎞⎟⎠===lo5n5yxxl115y2x0ox12=f1l1cuxxy0l121x5xxl==lll)x0yg⎞⎟⎠l=⎟⎠⎞5fslll)yyyy1a=o=x0ygy0=x12oxx1yyyyl⎞⎟⎠oxx=o==0ygx(1o=looo=xxoryyyy====oooi=fl=lllu)1==;==ox;;⎟⎠⎞=cyf=sa==e,;x=x==of=x=g=o=⎞⎟⎠=y(xxxooo=;og=a=======;⎠⎟⎞g=1x5a==x;;gx=⎛g⎜⎝;y;;gggxg==;y(gggx===(====;=lx=x===;;xbx=g;;qn1xl5xxiyxgyxsl=;;lll)ggggxxxloxx15cxxx15;1x55l11x55onxxx;1x5l=5555lll15)ooooo1555512=5ox1l2xx15l1o;xyx,lxx1x=;y1o55xoooll=2lll)xx51a215ucxl1=1xoxlll);=5555g115x;o1;2oox15g1xo5;;ooo=g1ogy;gggxxxxx5oegxx;ooo2;xxx;x1yx;g;ngggxx1;5;;5=g1;5;;⎛⎜⎝g=i;;s=g5x=gagggxxxxe155x=;⎞⎠⎟axr=15g;=15;;;5=15g5555x15gggx55551152s12=ó=;=1x1y;5y15a=e=55252=r1511e=1555=15121511551y1=y5yy5x15xxx2x1xx5=555xxx15=1xe12x=515=x51=xy0n=sxx55yxxx2axx1=x=x1=5x5ay=y=15=cx===x==x5axx==sxxxxxx1=x=ex=5⎞⎟⎠=2=yx=x===5xax==xyxpoo=x15xyxx=xy===/=x=xxs=xxx=yx5xxxxx⎛⎜⎝5⎛⎝⎜=xy=xoxbrxxx=xx=xy⎛⎝⎜5x5xxx15mxr155x=⎛⎝⎜=xxnx5xxsdx15ye⎛⎜⎝5y⎛⎜⎝15xv⎞⎟⎠xe⎞⎠⎟5dyxy155ees=⎞⎠⎟=y1⎛⎜⎝5x⎞⎟⎠yyiyri==p⎞⎠⎟y5yycncev15=⎞⎟⎠==xyx5y=oyr=x=eyonxey⎞⎟⎠=exxx=nvxtmyr=xx>vcexPed=xqsiixuor(cei(1usnxe(es1(en2atenn5/1ov(tl555,eots,e1l1,e,0a,-r()2sse)1xs)ei)a,s)gyec)upmnu⎝⎛⎜ioa⎝⎜⎛⎝⎜⎛ealc5r1na5y15q1i5ótou⎠⎟⎞⎛⎜⎝e5⎝⎜⎛e5yn⎛⎝⎜⎟⎠⎞⎛⎜⎝-⎟⎠⎞5r2e1:51c51y0=1251510y5yyyq1u==⎞⎠⎟5⎜⎝⎛l=⎠⎟⎞5==⎠⎟⎞=-⎠⎟⎞uo5==a2=1===51yy0120ygyyyy1x5c1exs==flx=l⎟⎞⎠xxa===l=llu==(oix=====xooyooóxx;11x5;xglx;glxx;;l=glll)ggxoxns;o;)oooo;;e15.=g1;5g5551;5;g12gggx;1;521115155b15555515o12xxxx1xy5T215115=5xyaxxx=xxbe=5==5a===mse=t===iye=x=xs=xexaxxx=xxxn2fxxxxxxue⎛⎝⎜⎛⎝⎜/:5/nse15515yeFs-⎞⎟⎠yu=y⎞⎠⎟n=y=xci=oxxnexs y ecuacion logarítmicas 5 =5x ;=15x=;x=1x=;x1= x1 5 = 5x ;=55x=;=x5x=; x5 = x2 5 =5x ;=125x5;=12x5;=12x5 = x-1 5⎜⎝⎛ 51=⎠⎞⎟5x⎛⎜⎝=51;x=⎟⎞⎠55x⎛⎜⎝==51;=x⎠⎞⎟x5x==;xx5 = x0 ⎛⎝⎜⎛⎝⎜ 5151⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎜⎝⎛⎜⎛⎝==5151xx⎞⎠⎟⎠⎟⎞⎛⎝⎜⎛⎝⎜;;=5=151151⎞⎠⎟x⎟⎞⎠x==;;=x=x151xx==;;xx151==xx1 Si x = -1, entonces 1 -1 ) )⎛ ) = x ; 5=x 2⎛ x⎞⎟⎠2⎝⎜⎛; ⎜⎝ ⎝⎜ 1 ⎞ =1 5=12⎟⎠⎞1x52;==2x15;log=a2( 1x5x50y y =) x= x + log a y Puntos (x,y) 5 ⎠⎟ 5 loga1x ( 1,0) loga 2x )1 1/5 (1/ 5, 1 ) -1y loga x1/2lo5ga y (1/ 25, 2) 5 ( 5, -1) loga X y = Y loga X 155 loga n X = loga x   nCapítulo 2. Funciones exponencial y logarítmica 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Al graficar las dos funciones en el mismo plano obtenemos: y 1.5 1 y = log 5 x 0.5 x -1 1 2 3 4 y-0.5 = log 1 x -1 5 -1.5 ¿Qué forma tienen las gráficas? Compara las gráficas de las funciones: ¿Por qué una es creciente y la otra decreciente? Propiedades de los logaritmos Analiza y apréndete las propiedades de los logaritmos, solo así podrás resolver ecuaciones logarítmicas. 1 -1 ((((( )))) ))))) )))))lLloLlLllooooogoogglgggalgolgallaoaaoaooagaggrggrralillaiaax5aoa1itoox5x15txx5511mtgnmggmxyxyxyxxyayaaXoo--o-y-XyXXyyy1111dd====dyyy=ellllleeoo=o=oo=xxxx=====uggggguYYYu;;;;lllllnaaaaaloooononolllxxx55axgg5gxgo5ooggn=p==aacgga=gaapaxxrxxoaaxaxllxlxlxooloooo++XcXo+X+g+gdtggieglllaealuaooaloonaonygygcygygcygtaataaieoaayyyyy )) = x ; 5=x ))) )))lLlolllooloolollgoogoogglgglCgagoggaoaaaaalagnaalagnronnoXXiXmaXXaXggXtXXmXXxbxlll=2=2===ooooiyy==o==ggg==dlldooYYllllelllllyyyooooooooeollglglxxxoo33o3ogggglggggulg((zz22zo2gogbgnngynynn444ggaaaaaaxxa3xaa3xaaxazxxzasxx4e4XrX))aíz )))) ))log x2 ) ))) xlo2 g loygx3(2zy43 z 4 ) log ) y3z4 log x2 log( y3z4 ) 156 log x2 log( y3z4 )   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

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Secundaria Activa // Ministerio de Edulocagci3ón2Nxac−ionloalg3 (x − 3) = 2 Aplicación )log3 )) )2x=2 ))x−3 )Copia los ejercicios )2x )rexal−íza3los tus compañeros: en tu 32 = y compalllrooolaoggggr333e3222s2xxxuxl−−−t−allldooolooggggs3333(((c(xxxox−−−n−3333))))====2222 cuaderno, ))1. dUrioanssa,besaolclttaieerbmiaapcsotceoqrimuaepdsleeeltaCresó.qlSueiireasr,ees9cepoa=dmriaviexiqdn2uez−exacl3acadocanomluonenadiaicaoshelooanrdailllaeooolpogggdAager333ab35ap0xxxcrx0222toe−−−2d−xxxrbxiu333aa3ccs,itres===-e=2222 calcula mediante la expresión: ) )log )t = A 33332222==== xxxx222−−−2−xxxx3333 500 )) )) )))) )) ))) ))D3452....e tttCs333lllllllllll===llaoooooooooooooo999o2222rgggggggggggggmlllr===oooo8888===333333333333333322p222gg888l222llaxxxlll++++++xxxexxoozzxxxxx222yyyt555clllggg−−lll−−−5555a222222ooo1111oo2222000aAAAxx−−−−−222ggglllxxxldgggxxx000333oooa8888a3333333333gg555t222ae3333−−−(((lbx¿F===olxxxCpllllooa5ooogr−−−ru8222:gemgg42á333s88886al1i=)))4ó=777Msl2===on4e6g85r:222aá2==1r=5íet213lmll3ll7oooovilcllllggggaoooooalA4gggggo52(r82533(+5+22d28xx3lexl+2+ox=−loxzA+y0oglgl523−o0g1o21b2)2g()galx8o=c83=+tg=5e254tl2r−o3i)a2gl7eo59ng.S8719859o...0x 72lh.3u 3ll3lllll3llotttoooooooool3llctlllooollllllllllllr===gggggggggiooooooooooooooolallll999=ogggooooo444gggggggggggggggs9555222nlll4ggggg(((5?2ooo888===222555333l333(((555+++(ao8=2533(222222222ggg5+888xxxxxx222g8llllxxxxxxxxlll+++222+++oooxxxal===x−−−oooxl+xxx2zzz+ox222+++yyy000=ggg−555oxzlllggg−−−llle2555222+y0g5333−−−ooo000l111ooo222000gAAA−lxxx11152222c3−o01o2)))2220Ax1ggg)))2ggg000lll333u)2xxxg)gooo0===l3888ll333===xFa+++o=oo8llggg3====555o+222coo555g55=5444ggr2lll2225i−−−88mooo4333ggl2ó44−222o322ggg332lllan66777g11oool==555447:o==e5ggg2244xg6688888p558xxx77722o==x117333==n55322e1133n77cial)))))) ) )) )) ) )) ))158)))) 6. lllooogg5555 222xxx00222200 +++ llloogg5555 xx3333 MMMM====lllooologgggAAAA++++3333lllooologggg(((888(8 tttt)))) 9999...999.92222 llloogg 555 +++ lllooggg 22xxx == 333Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales  33lloogg2 x == −− lloogg2 2277

)) ) ) )) ) )) ) ))) )cElCcFEFaeoosnuuunnniayngngsjjotuunceicegnnadiniónttonóeooaanmrndaBBcaialan.,elsqcdLiouoeuamoangdeteslalvlaaasllllloe=aaoooomrfe9lesluesíolgggglatenlmrrmcnome8=53c3pdoeli22g8iaóeneinmoccnnjtxl+2+uxxioátaoroxzdxon2ys0g5…dn:lg−let52eod0eode1o20Axs−tneulse2gegd0e3llllldn=eAeoooos8c3l3oa9+slEDoagggg5lmosp2olvsnmeole8=53s3aíci−cjonaucl2r2go8aarliiingaeoaladlxl+tf2moa+aaxlb5ouoeouxzl2y0lge5anstselnAmg−l52dsno30i1oc82f0Allllxcs=xúuooooi2xipg(íupg7902món3lxnaneotggggyr3o8n)iil3esso=a+collllo=o=8=533g5iiooooo2lmltu9.co22ógy8illggggv5noo−ngoálgogxal+r2soú+x8=533agirg+osoxlazcxm2ee2yr02gr85olgí5a−lyle5s2nxtlo0ae1o20Agxxlp+m2−e+oxsdrm2ogxozlgs0u83oy0ag5ielng−l5c28xe33oo70á1oe2+d0Ada2R3n5m2n2egdeg03itlxanoc−b8eeoc3cm+hillo=5tiga2ulaortriolnear5n−ro3eseinrgeooonsgglln8tpayoord5xoce7.tlegooni3óldsl8doonoxsee7s:sn3lceeclomolienasmejuonnenútfntomóotsrosemdsrAeoudlsyleTaelrBeqm,aualees2. // Funciones y ecuacion logarítmicas))) ll3looolgggo4g52(2(5+2xxlxo=−+g3−ll3l12ooo))llxgggoo==iLeetdoFg4g=5n2esa5bluo(v4r22(cgens5+re3ea2eerd2xssdMxalmrleactx7evnoi:=a−goasl+3llloglntaadaooo=og3−údrol1,2agggsromo)sldo)irll3lrsox4gí5eol2oo=eeetlm=(malngrns2g(gg=o5+odoo52i4dC2Acx4magl2xdó3leaxa(2eogpi2(l=+5−lnaiio2+7Igftcaxnrxoer33a−dbxs1rr2C=ai)−lnrtdt)li+eohrxiteoa=aaum3a=−gs1rgtRr=e)iíoo(5)lalie4ne28cto=d3osq=nh2sgesutRu5he7e4tT2piorct)e,eani2hectqsoat7mniuremgo9erdpnlbñ.oeoca9iogloé.us2ísnnanidscldanmeoeúncólmooColosclaeagilrmdbioofaooeeprrcnsanaootcriamasaidó,ofconcruueeodancsneniucdetaeBielflninaepctnseardeoosre,plGtCamóeuhsreatraientgeronenlmerbiostgoeurítiRradgogisicllnioebhmacnetlaera1dlraye9(d(oM13ars9eL5ee0)s,pn,0aae-umrs1na9bur8on5sa).) M = log A += 3amlopglit(u8d dte)las9o.n9d2as en milímetros, tomada directamente en el sismograma. ) M = log A + 3log(8 t)= ti9em.9p2o en segundos desde el inicio de las ondas P (Primarias) al de las ondas S (Secundarias).)) M == mloagnAitu+d 3arlboitgra(r8ia pte)ro c9on.9st2ante a terremotos que liberan la misma cantidad de energía. ) El uso del logaritmo en la escala es para reflejar la energía que se desprende en un terremoto.))) El logaritmo incorporado a la escala hace que los valores asignados a cada nivel aumenten de) forma logarítmica y no de forma lineal. Richter tomó la idea del uso de logaritmos en la escala de magnitud estelar, usada en la astronomía para describir el brillo de las estrellas y de otros objetos celestes. Richter arbitrariamente escogió un temblor de magnitud 0 para describir un terremoto que produciría un desplazamiento horizontal máximo de 1 μm (1 micrómetro equivale a una millonésima de metro). http://es.wikipedia.org/wiki/Escala_sismol%C3%B3gica_de_Richter 159   Capítulo 2. Funciones exponencial y logarítmica 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Aprendí como las ecuaciones logarítmicas Este capítulo ayudaron en el cálculo de la energía disipada fue clave porque por un terremoto, sabiendo así el daño causa- do por este. Apliqué conocimientos de álgebra, vistos anteriormente, en la solución de ecuaciones Aprendí a graficar y a analizar gráficas, in- exponenciales. terpretando la información que ésta suministra. Aprendí a representar gráficamente algunas Aprendí el manejo de las propiedades de los funciones exponenciales. logaritmos y sus aplicaciones en la solución de Aprendí a interpretar graficas de funciones ecuaciones logarítmicas. exponenciales. Me enseñó la importancia de la ecuación ex- ponencial en situaciones de la vida real. Aprendí a identificar los exponentes de ecuaciones en forma de potencia que tienen la misma base. Conectémonos con Ciencias Naturales Aplicaciones a la biología (crecimiento no inhibido) La mitosis, o división celular, es un proceso uni- versal indispensable en el crecimiento de los organismos vivos como las amibas, plantas, cé- lulas humanas y muchas otras. Con base en una situación ideal donde no mueren células ni hay efectos colaterales, el nú- mero de células presentes en un instante dado obedece a la ley del crecimiento no inhibido. Sin embargo, en la realidad, después de cier- to tiempo el crecimiento en forma exponencial cesa debido a la influencia de factores como la carencia de espacio, la disminución de la fuen- te alimenticia, entre otros. La ley del crecimiento no inhibido solo re- fleja de manera exacta las primeras etapas del proceso de la mitosis. El proceso de mitosis comienza con un cul- constante y que no cambia al aumentar el nú- tivo de N0 células donde cada célula crece du- mero de células. Después, estas células crecen rante cierto periodo y después se divide en dos y se dividen en dos, y así sucesivamente. células idénticas. Suponemos que el tiempo ne- Tomado de: http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/cal- culo/pdf/1_3_3.pdf cesario para que cada célula se divida en dos es 160   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Repasemos lo visto En nuestra vida cotidiana, muchos fenómenos pueden ser vistos como re- laciones funcionales entre dos variables, donde el comportamiento de una dependerá del comportamiento de la otra. No olvidemos que: Toda función se puede representar por: 1. Una expresión algebraica 2. Una tabla de valores 3. Una gráfica Gráficamente, la pendiente muestra el desplazamiento vertical y el desplaza- miento horizontal sobre el plano cartesiano. La solución de una ecuación es el valor numérico por el cual se puede rem- plazar la incógnita para que la igualdad sea verdadera. Solucionar un sistema es encontrar un punto, que es a la vez, solución de cada una de las ecuaciones que intervienen. El método gráfico consiste en trazar la gráfica que corresponde a cada ecua- ción, y determinar el punto en que se cortan dichas gráficas. Por su construcción, el punto pertenece simultáneamente a las dos rectas trazadas. 161   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Mundo rural EFunciones lineales de costos l costo es la expresión cuantitativa monetaria representativa del consumo necesa- rio de factores de la producción que se emplean para producir un bien o prestar un servicio. Las funciones lineales cumplen un importante papel en el análisis cuantitativo de los problemas económicos. Costo lineal Cuando una empresa produce cualquier bien o presta un servicio, deberá utilizar una serie de insumos que valorizados monetariamente le genera costos, que analizados en función a la relación con la producción total, los denominaremos costos fijos y costos variables. Los primeros, como lo indica su nombre, son independientes de las cantida- des de un artículo que se produzca o un servicio que se preste (por ejemplo: alquiler de la parcela, depreciación de los bienes durables, determinados impuestos, entre otros). En cambio, los costos variables dependen de la cantidad que se produzca de ese artículo o que se preste del servicio, (por ejemplo: costos de materiales, de mano de obra productiva, entre otros). El costo total es la suma de ambos Costo total = Costos fijos + Costos variables Si a los costos fijos de producir x artículos lo indicamos como b pesos, estamos en presencia de una función constante de la forma f(x) = b. 162   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Dato curioso Cuenta la historia que Arquímedes un día que En el campo militar se le debe la invención se encontraba en el baño, observó que sus pier- de catapultas, de garfios movidos por palancas nas podía levantarlas fácilmente cuando esta- para inventos mecánicos y ópticos logró defen- ban sumergidas. Esta fue la chispa que le per- der durante tres años a Siracusa que estaba si- mitió llegar a lo que ahora conocemos como tiada por los romanos. Dícese que empleando “Principios de Arquímedes”. espejos “ustorios” que son espejos cóncavos de gran tamaño, logro concentrar los rayos solares Fue tan grande el entusiasmo que le produjo sobre la flota romana incendiándola. Finalmen- el descubrimiento de su principio que tomó la te, el año 212 cayó Siracusa en manos de los corona en una mano y salió desnudo del baño romanos siendo Arquímedes asesinado por un corriendo por las calles de Siracusa y gritando soldado a pesar de haber ordenado el cónsul su célebre exclamación de júbilo: “¡Eureka!, Marcelo respetar la vida del sabio. ¡eureka! que quiere decir “ya lo encontré”. Lo que había hallado era un método para determi- http://roble.pntic.mec.es/~tvirgos/matematicos/arquime- nar la densidad de los cuerpos tomando como des.htm unidad la del agua. 163   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional ¿En qué vamos? Reflexiono y trabajo con mis compañeros Resuelve en tu cuaderno y compara con tus compañeros: Los ejercicios 1 y 2 se resuelven con la siguiente información: Una partícula describe un movimiento uniforme con ecuación p =8t, da- dos p en metros y 8 en minutos. 1. Es correcto afirmar que: a. Justo antes de arrancar, el móvil avanza 2 m. b. Por cada minuto que transcurre, el móvil avanza 8 m. c. Justo antes de arrancar el móvil se halla en el punto Q. d. Por cada 2 minutos que transcurren, el móvil avanza 4 m. 2. La grafica que representa la distancia p que recorre el móvil en función del tiempo es: A B C D p p p p 98 98 8 10 8 t t t t 1 1 1 1 Responde las preguntas 3, 4 y 5 de acuerdo con la siguiente afirmación: Notamos con ℕ, conjunto de los números naturales; ℤ, números enteros; ℚ, números raciones; ������, números irracionales; ℝ, números reales que verifican: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ; ������ ⊂ ℝ ; ℚ ∙ ������ = ϕ ; ℚ ∙ ������ = ℝ 3. La afirmación, ℤ ⊆ ℝ, es: a. Falsa porque ℤ ⊆ ℚ pero ℚ ⊄ ℝ b. Falsa porque ℤ ⊆ ℚ y ℚ ⊆ ℝ c. Verdadera porque ℤ ⊆ ℚ y ℚ ⊆ ℝ d. Verdadera porque ℤ ⊆ ℚ y ℚ ⊄ ℝ 164   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

4. Es falso afirmar que: a. Todo número natural es un número real. b. Ningún número racional es irracional. c. Todo entero es irracional. d. Existen enteros que no son naturales. 5. Si n ∈ ℤ es posible afirmar que: a. n ∈ ℚ y n ∈ ℝ b. n ∉ ℚ y n ∉ ������ c. n ∈ ������ y n ∈ ℝ d. n ∈ ℚ y n ∉ ℝ Responde las preguntas 6, 7 y 8, a partir de las siguientes graficas: AB CD t tt t 6. “La temperatura de una ciudad disminuye constantemente”. Este enunciado representa el comportamiento de la gráfica C. Esta afirmación es: a. Verdadera, porque muestra el cambio a través del tiempo. b. Falsa, porque la gráfica C representa una función creciente. c. Verdadera, porque muestra que decrece en función del tiempo. d. Falsa, porque no muestra el cambio en la temperatura. 7. Un enunciado que describe el comportamiento de la gráfica D es: a. Un avión que sobrevuela varias veces un aeropuerto antes que se per- mita su aterrizaje. b. La temperatura aumentó durante las horas de la mañana, pero nunca sobre- pasó los 20º grados. c. Luego de suministrar un medicamento a un paciente sus pulsaciones disminuye hasta ser constantes. d. Las ventas en función del precio del producto. 165   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional 8. La temperatura aumentó en la mañana. Hacia el mediodía descendió pues hubo un gran aguacero. La gráfica que representa mejor el enuncia- do anterior es: a. La gráfica A b. La gráfica B c. La gráfica C d. La gráfica D Responde las preguntas 9 y 10 de acuerdo con la siguiente información: Se tiene una población de bacterias de 500 miembros. Después de una hora se observa que la población ha alcanzado las 1,500 bacterias. Una hora más tarde se observa que la población ha llegado a 4,500 bacterias. 9. La cantidad de bacterias que se espera observar en la próxima hora es: a. 13,000 b. 13,500 c. 14,000 d. 14,500 10. Con respecto a la información dada, es posible afirmar que: a. Por cada hora que transcurre la población aumenta en 1,000 bacterias. b. Por cada hora que transcurre la población de bacterias se duplica. c. Por cada hora que transcurre la población de bacterias se triplica. d. Por cada hora que transcurre la población aumenta aproximadamente en 3,000 bacterias. 166   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Le cuento a mi profesor Con tu profesor, resuelve la siguiente rejilla. Qué sé hacer Superior Alto Básico Bajo Determino la ecuación de una recta a partir de elementos y viceversa Grafico rectas en el plano y hallo sus intersectos Identifico rectas paralelas y rectas perpendiculares, según sus pendientes. Soluciono sistemas de ecuaciones lineales por los diferentes métodos estudiados. Resuelvo problemas planteando las ecuaciones y/o planteo las ecuaciones a partir del enunciado del problema. Represento información utilizando modelos de funciones, lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas. Resuelvo problemas que involucren crecimiento exponencial y/o logarítmico. Resuelvo ecuaciones cuadráticas. Calculo las raíces de una ecuación cuadrática por medio de la fórmula cuadrática. Grafico la función cuadrática, a partir de sus parámetros. Resuelvo problemas que involucren ecuaciones cuadráticas. Aplico las ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y/o logarítmicas en distintas situaciones de la vida diaria. Resuelvo ecuaciones logarítmicas y exponenciales. Grafico la función exponencial y/o logarítmica a partir de sus parámetros. Observo, analizo y aprecio las diferentes funciones en mi entorno. Autoevaluación S A Bs Bj Participo y aprendo Participo de manera activa en clase, formulando o respondiendo preguntas. Aplaudo las actitudes creativas que inviten a buscar nuevas soluciones a situaciones problemáticas. Participo activamente en los grupos de trabajo. Comparto mis saberes y dudas con mis compañeros. Fomento la disciplina dentro del grupo. Permito la libre discusión. Propongo problemas o actividades para resolver en clase. Repaso en casa lo suficiente, sobre lo aprendido en el colegio. 167   Unidad 3. Funciones: Lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica, y sistemas lineales 

Unidad 4 Estadística Resolvamos Te has preguntado: emplear los recursos de la estadística. Cada cinco ¿En qué se aplica la estadística? años llevaban a cabo un censo de la repoblación, y los funcionarios públicos tenían la obligación de El saber cuántos habitantes tiene un pueblo, una anotar nacimientos, defunciones y matrimonios, ciudad o una nación, ha sido siempre una nece- sin olvidar los recuentos periódicos del ganado y sidad de los gobernadores, para establecer las ne- de las riquezas contenidas en las tierras conquista- cesidades de su pueblo. Se tiene registro que esto das. En la época del nacimiento de Cristo sucedía he hacia desde la conformación de los reinos en la uno de estos empadronamientos de la población Antigüedad. Un ejemplo de esto, se encuentra en bajo la autoridad del Imperio. la biblia donde se cuenta la historia que el rey Da- vid, por ordenó a Joab, general del ejército, hacer Durante un brote de peste que apareció a fi- un censo de Israel con la finalidad de conocer el nes del siglo XVI, el gobierno inglés comenzó a número de habitantes, y el libro Crónicas describe publicar estadísticas semanales de los decesos. el bienestar material de las diversas tribus judías. En 1662, el capitán John Graunt, compiló docu- mentos que abarcaban treinta años, mediante los Los griegos, hacia el año 594 a.C., efectuaron cuales efectuó predicciones sobre el número de censos periódicamente con fines tributarios, so- personas que morirían de diversas enfermedades, ciales (división de tierras) y militares (cálculo de así como de las proporciones de nacimientos de recursos y hombres disponibles). Parece que reali- hombres y mujeres que cabía esperar. zaron 69 censos para calcular los impuestos, deter- minar los derechos de voto y ponderar la potencia En nuestros días, la estadística se ha convertido guerrera. Pero los romanos fueron los maestros de la organización política, quienes mejor supieron 168

en un método efectivo para describir con exactitud los valores de los da- tos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del ex- perto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en interpretar esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden estudiar con gran exactitud utilizando determinadas distribuciones probabilísticas. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísti- cas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determina- do estudio estadístico. Tomado de: http://www.uv.mx/cienciahombre/revistae/vol18num2/articulos/historia/index.htm Referentes de calidad Capítulos Resuelvo y formulo problemas seleccionando información relevante en 1. Análisis e interpretación conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas (prensa, revistas, televisión, de datos experimentos, consultas, entrevistas). Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden 2. Combinatoria y originar distintas interpretaciones. probabilidad Reconozco tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas. Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, entre otros). Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo). Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático probabilístico. 169

Capítulo 1 Análisis e interpretación de datos Podemos decir que el objeto que tiene la estadís- y su análisis está relacionado con los mismos grá- tica, es estudiar los fenómenos de tipo aleatorio, ficos presentados. es necesario aclarar que la estadística tiene como función describir las características de datos ante- Muchos acontecimientos de la vida cotidiana, riores y con base en estos poder predecir su com- están cargados de incertidumbre, “¿Lloverá hoy?”, portamiento en un futuro. “¿Ganará Montoya la próxima carrera?”, “¿Llegaré a tiempo a mi cita?”. Aunque se puede definir de muchas maneras la estadística, aquí diremos que es un área de las A este tipo de acontecimientos, cuya realiza- matemáticas que permite recolectar, organizar e ción depende del azar los llamamos sucesos alea- interpretar información relacionada con acciones torios. Alea, del latín, significa dado, suerte, azar. humanas. Al finalizar, la información se pude pre- sentar a partir de tabulaciones, gráficas o números La teoría de probabilidad nos da la posibilidad de medir hasta qué punto se puede esperar que ocurra un suceso. A esta medida la llamamos su probabilidad. Estadística y probabilidad su estudio se realiza su estudio se realiza mediante el estudio de mediante el estudio de Cualitativas Variables Elementos Cuantitativa de probabilidad Población y Espacio Regla de mueatra muestral Laplace se utilizan para la Mediciones Cálculo de probabilidades Tablas Toma de desiciones Gráficas 170   Unidad 3. Estadística 

Tema 1. Registro y análisis de datos estadísticos Indagación Analiza, responde las preguntas, en tu cuaderno y comenta tus respuestas con algunos compañeros. Pepe hizo una encuesta a personas de su ve- reda, para saber con qué regularidad ellas van al pueblo y los resultados fueron: Respuestas Frecuencia dístico. Un ejemplo de población, son todos los absoluta estudiantes del colegio al que perteneces. Todos los días Una vez a la semana 15 Tamaño de la población: número total de indivi- Una vez al mes 25 duos o unidades estadísticas que tiene una pobla- Alguna vez al año 10 ción. En este caso si tu colegio es de 500 estudiantes, Nunca 12 esta sería el tamaño de la población, si hablamos de No contesta 5 Bogotá, la población es de 7’363.782 habitantes. 3 Muestra: cuando una población es muy grande, 1. ¿A cuántas personas encuestó Pepe? lo que se hace es subdividir el conjunto al que hace 2. ¿Cuántas personas van con más frecuencia referencia la población; a este subconjunto lo llama- mos la muestra de la población. La muestra debe ser al pueblo? representativa y para que pase esto, se utilizan dife- 3. ¿Con qué frecuencia van más personas al pueblo? rentes técnicas de muestreo para asegurar que ten- 4. ¿Cuál es el porcentaje de personas que nunca gan las mismas características de toda la población. van al pueblo? Un ejemplo de la muestra, es escoger a los es- 5. ¿Cuál es el porcentaje de personas que más tudiantes que están cursando séptimo grado en tu colegio. Otro ejemplo es que si te mandas a sacar van al pueblo? sangre en un laboratorio, te dicen que te estas sa- 6. ¿Cómo representarías gráficamente los resulta- cando una muestra de sangre, es decir que la po- blación seria toda la sangre que tienes en tu cuerpo. dos obtenidos por Pepe? Realízalo. De esta misma manera funciona en la estadística. Conceptualización Individuo o unidad estadística: cada uno de los componentes de la población. A continuación te presentamos una síntesis de los conceptos básicos estudiados desde los cur- Datos: podemos decir que son números o me- sos anteriores. didas que se obtuvieron como resultado de las ob- servaciones para realizar el estudio estadístico. Población: conjunto de personas, objetos o ele- mentos sobre los que se realiza un estudio esta- Variable: cantidad o cualidad que es objeto de estudio en todos los individuos de la pobla- ción o muestra. 171   Capítulo 1. Análisis e interpretación de datos 

{ {Las variables Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Cualitativas: son características o atributos. Ejemplo: color de ojos estadísticas son: Cuantitativas Discretas: Valores enteros. Ejemplo: N° de hermanos. (Numéricas) Continuas: Valores decimales. Ejemplo: Estatura en metros. Con el siguiente ejercicio recordemos lo estu- Histograma diado anteriormente: Es un caso particular del diagrama anterior en el caso de variables conti-nuas. Si los intervalos son Gráficas estadísticas correlativos, los rectángulos aparecen pegados en la representación gráfica. En caso de que la am- Tomado de: http://ocwus.us.es/metodos-de-investigacion-y- plitud de los intervalos no se igual para todos, hay diagnostico-en-educacion/analisis-de-datos-en-la-investigacion- que hacer coincidir el área del rectángulo con la frecuencia del intervalo. Un ejemplo muy utilizado educativa/Bloque_I/page_19.htm de histograma es una pirámide de población. Existe una gran variedad de gráficos para represen- 40 tar información, los más conocidos son los diagra- 35 mas de barras, histogramas y diagramas de sectores. 30 25 Una vez construida la tabla de frecuencias, va- 20 mos a representar mediante distintos gráficos el 15 estudio rea-lizado. Entre los gráficos más utilizado 10 podemos destacar: 5 Diagrama de barras Consiste en dos ejes perpendiculares y una barra 5 10 15 20 25 30 o rectángulo para cada valor de la variable. Nor- malmente, se suele colocar en el eje horizontal los Polígono de frecuencias valores de la variable (aunque también se puede Representamos dos ejes perpendiculares y represen- hacer en el vertical). El otro eje se gradúa según tamos en el horizontal los valores de la variable y en los valores de las frecuencias. La representación el vertical las frecuencias. Representamos los puntos gráfica consiste en dibujar una barra o un rectán- que tiene por primera coordenada el valor de la va- gulo para cada uno de los valores de la variable de riable y por segunda el valor de la frecuencia. altura igual a su frecuencia. Uniendo todos los puntos obtenemos una línea 9 fx poligonal que es la representación que buscamos. 8 7 6 5 4 3 2 1 172 0 1 2 3 4 5 6 7   Unidad 3. Estadística 

Tema 1 // Registro y análisis de datos estadísticos Diagrama de sectores 1% Plástico 5% Metales Consiste en dividir un círculo en tantos sectores Otros como valores de la variable. La amplitud de cada 17% Dispositivos eléctricos sector debe ser proporcional a la frecuencia del 40% Goma valor correspondiente. 37% Ahora resolvamos las siguientes situaciones aplicado las conceptualizaciones que vimos anteriormente: 1. El alcalde de Bogotá ha decidido invertir en obras sociales para los estratos me- nos favorecidos y para esto aplico una encuesta a 50 familias en uno de los sec- tores necesitados, para saber que estrato es el que más predomina en el sector. La pregunta que realizo fue: ¿A que estrato socioeconómico pertenece usted? La siguiente tabla muestra las respuestas de las 50 familias. 1131323233 3211123122 3122133212 2233213211 1312232231 a. Determina el tipo de variable que se utiliza en el problema (cualitativa 173 o cuantitativa). b. Construye la tabla de frecuencias correspondiente. c. A partir de la tabla de frecuencias, elabora el diagrama de barras correspondiente. d. ¿Qué nivel socioeconómico tiene una mayor representación en el barrio? e. ¿Cuál es el porcentaje de representación de cada estrato? f. Si la alcaldía decide implementar la obra social en los barrios donde la re- presentación de los estratos 1 y 2 sea mayor al 67%. ¿Este barrio tendría la inversión de obras sociales? Solución: a. El tipo de variable que se utiliza es cuantitativa y es “El nivel socioeconómico” b. Tabla de frecuencias. Recuerda que se hace el conteo de la cantidad de per- sonas que pertenecen a estrato 1, 2 y 3. Estrato 1: 18 familias que pertenecen a este estrato. Estrato 2: 17 Familias que pertenecen a este estrato. Estrato 3: 15 familias que pertenecen a este estrato.   Capítulo 1. Análisis e interpretación de datos 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Variable: Nivel f fa fr fp socioeconómico Estrato 1 18 18 18 = 0.36 36% Estrato 2 50 Estrato 3 Total 17 35 17 = 0.34 34% 50 15 50 15 = 0.30 30% 50 50 50 50 = 1 100% 50 Recuerda que f, representa la frecuencia absoluta simple, fa representa la frecuencia absoluta acumulada, fr la frecuencia relativa y fp la frecuencia porcentual o porcentaje. c. Diagrama de barras Nivel socieconómico del barrio 18 Estrato 2 Estrato 3 17,5 17 16,5 16 15,5 15 14,5 14 13,5 Estrato 1 d. El nivel socioeconómico que tiene una mayor representación en el ba- rrio es el estrato 1 con 18 familias, que representan un 36% de las fami- lias encuestadas. e. El porcentaje de representación de cada estrato es: Estrato 1: 36%, Es- trato 2: 34%, Estrato 3: 30%. f. Como la inversión se hace si la suma de los porcentajes de personas que viven en estrato 1 y 2 es mayor al 67%, sumamos los porcentajes que obtuvimos y tenemos que: 36% + 34% = 70%. Esto quiere decir que el alcalde si tendrá la inversión de obras sociales. 174   Unidad 3. Estadística 

Tema 1 // Registro y análisis de datos estadísticos Entendemos por… Muestras: subconjuntos de observaciones de la población de estudio. Diversión matemática En una mesa hay tres sombreros negros y dos blancos. Tres señores en fila india se ponen un sombrero al azar cada uno y sin mirar el color. Se le pregunta al tercero de la fila, que puede ver el color del sombrero del segundo y el primero, si puede decir el color de su sombrero, a lo que responde negativamente. Se le pregunta al segundo que ve solo el sombrero del primero y tampoco puede responder a la pregun-ta. Por último el primero de la fila que no ve ningún sombrero responde acertadamente de qué color es el sombrero que tenía puesto. ¿Cuál es este color y cuál es la lógica que uso para saberlo? Día a día Variación del dólar 0,077 0,076 0,075 0,074 0,073 0,072 0,071 0,070 15 nov 05 dic 23 dic 12 ene La gráfica muestra el comportamiento del valor del dólar en Colombia durante algunos meses. Observa en cuáles meses ha subido y en cuáles ha bajado, saca conclusiones y compártelas con tus compañeros. Tomado de: http://mx.finance.yahoo.com/q/bc?s=MXNUSD=X&t=3m&l=on&z=m&q=l&c= 175   Capítulo 1. Análisis e interpretación de datos 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Tema 2. Medidas estadísticas Indagación Recuerda las principales medidas estadísticas que has estudiado desde los cursos pasados y en tu cuaderno realiza una lista que compararás con dos o tres compañeros. Conceptualización Medidas estadísticas Haciendo una recopilación de lo estudiado en cursos anteriores, a cerca de las medidas usadas en estadística, tendremos en cuenta lo siguiente: Las medidas descriptivas se dividen en dos grandes grupos, las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión o variación. Las medidas de tendencia central corresponden a aquellas que nos dan una idea de los valores medios, valores centrales o más frecuentes de una de- terminada distribución de valores. La media, moda y mediana son ejemplos de ellas. Recordemos lo que significan: • La media aritmética o promedio, es la medida de tendencia central más utilizada, un ejemplo de esta utilización, es el sacar el promedio de las notas de una materia. Esta medida de tendencia central es un dato que se ubica en el centro de los daos y representa las características del grupo. Podemos decir que esta medida es el punto de equilibrio del conjunto de datos. Recuerda que se representa con el símbolo X . • La mediana es el dato que divide un conjunto de dXatos en dos partes pro- porcionalmente iguales. Se representa por: X . Xˆ • La moda es el dato que más se repite. Se puXede representar de dos formas Mo y X , pero la más utilizada es la primeraXˆ. 2+3+4+5+6+7+9 X= 7 = 5.143 X X = 2 + 3 +4 2+2+57 3+2+6 4+2+7 5+2+9 6=2+57.12+4392 31.43 Xˆ 2= 7 = X = 2+3 +4+ 5+6 +7+ 9 = 5.143 2= 22+ 32+ 42+ 52+ 62+ 72+ 92 = 31.43 7 72 2= 22+ 32+ 42+ 52+ 62+ 72+ 92 = 31.43 = 4.978 = 2.231 7 2 176 5.143 + =3 45..917483 +=4 25.2.13413 + 5 5.143 + 6 5.143 + 7 5.143 + ∑ ∑iS == n2 −x )2 dx = 2 7 = 2 5.143 + 3 5.143 + 4 5.143 + 5 5.143 + 6 5.143 + 7 5.143 + 9 5.14 ( x1 − ( x1 2.231 xE=stadísXticMaá quina 1 = 470 + 453 + 465 + 460 + 4758 + 468 + 465 + 470 + 466 + 455 4i =.1978 x )2 n   Unidad 3d. n =1

Tema 2 // Medidas estadísticas Las medidas de dispersión son aquellas que nos informan sobre el grado de variabilidad o variación presente en un grupo de datos u observaciones y como ejemplo tenemos al rango, varianza, desviación estándar, desviación media y el coeficiente de variación. Otros autores hacen la siguiente clasificación: Las medidas de centralización sirven para determinar los valores centrales de la distribución o conjunto de datos. Estas son moda, media y media arit- mética o promedio. Las medidas de dispersión dan una idea sobre la representatividad de las medidas centrales, a mayor dispersión menor representatividad. Ellas son: va- rianza, desviación estándar y desviación media. Las medidas de localización son útiles para encontrar determinados valores importantes, para una “clasificación” de los elementos de la muestra o pobla- ción. Ellas son los cuartiles, deciles y percentiles. Resumiendo: Estadística: es la rama de la matemática que nos permite recoger, organizar y analizar datos. Existen dos conceptos importantes dentro de la estadística que nos permiten analizar y estudiar dichos datos, estos son: población y muestra. Población: es el conjunto de datos que caracteriza el fenómeno que se desea estudiar. Muestra: es un subconjunto de la población a estudiar, el cual es necesario que sea representativo de toda la población. Gráfica: es una representación de la relación entre variables, muchos tipos de gráficos aparecen en estadística, según la naturaleza de los datos involucrados y el propósito de la gráfica, es la de representar los valores tabulados obtenidos de los muestreos o los datos del total de la población. Las gráficas más usadas son: pictogramas, barras, histogramas, polígonos de frecuencias y gráficas circulares. Distribución de frecuencia: Al resumir grandes colecciones de datos, es útil distribuirlos en clases o categorías, y determinar el número de individuos que per- tenecen a cada clase llamado frecuencia de clase. Una disposición tabular de los datos por clases, junto con las frecuencias correspondientes de clase, se llaman distribuidores de frecuencia o tablas de frecuencia. 177   Capítulo 1. Análisis e interpretación de datos 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Analicemos el caso siguiente: En un taller de automóviles, su dueño quiere realizar un estudio para saber que el taller se puede sostener sin tener pérdidas, para esto, ha establecido que el promedio de carros que debe entrar diario de lunes a domingo, para poder pagar a sus empleados debe ser mínimo de 5 carros o mayor, para esto tomó los siguientes datos en una semana de lunes a domingo: Dados los datos de carros que entran de lunes a domingo en su orden: 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. Para poder responder a la pregunta del dueño, es necesario establecer un estudio estadístico que me permita responder a la pregunta. Para esto, es ne- cesario calcular: a. La moda, la mediana y la media. b. La varianza, la desviación media y la desviación típica. c. Los cuartiles 1º y 3º. d. Los deciles 2º y 7º. e. Los percentiles 32 y 85. Solución a. Moda: no existe moda porque todas las puntuaciones tienen la misma frecuencia, es decir no hay números que se repitan. Mediana 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Me = 5 porque es el dato que queda en el cen- tro del conjunto ordenado.X Conclusión: el 50% de loXs días que se abrió, 5 carros o menos fueron al taller. Media aritmética, medXiˆa o promedio X= 2+3+4+5+6+7+9 = 5.143 7 CSuomncaludseiótond: odsulroasn2vte=alloo2r2se+ss,3ied2+tiev4i2dd+iída57so2,+ee6nn2t+rep7re2o+lmn9eú2 d=mioer3of1u.te4or3toanl de dato. al 5.143 carros taller y puede redondearse a 5. 2 = 4.978 = 2.231 n dx = 2 5.143 + 3 5.143 + 4 5.143 + 5 5.143 + 6 5.143 + 7 5.143 + 9 5.143 = 1.87 7 ∑ (x1 − x )2 S = i =1 n 470 + 453 + 465 + 460 + 458 + 468 + 465 + 470 + 466 + 455 178 10 XMáquina 1 =   Unidad 3. Estadística  X = 4,630 = 463

X X Xˆ Tema 2 // Medidas estadísticas X X X= 2 + 3 + 4X+ 5 + 6 + 7 + 9 = 5.143 7 b. VarianzaXˆ +2257++362++47XX2ˆ+ X = 2 + 3 +2 =4 952+= 652.1+4732+ 92 = 31.43 7 La varian2z=a 2e2+s 3laa2+rim4t2m+e5éd7X2t2i+iac=6a2a+r2d7it2+e+m93ué2 nt=+iac4a3d1+di.4se573trli+bcuu6ca+idó7rna+deo9stda=edí5lsa.t1isc4ad3.esLvaiavcairoinaneszaresse- pecto a la media repLLreuaseDegnoetsavvaipaoecr=sióan4i2g2.t9ouí7pa8pil=cdoa=ar dSo4.22.29.E.=27s3t8á12n2+=da3r22+e.24s32l+1a 57ra2+íz6c2+ua7d2+ra9d2a=de3l1a.4v3arianza. d x 2 5.143 + 3 5.143 + 4 5.143 + 5 5.143 + 6 5.143 + 7 5.143 + 9 5.143 = = 1.878 2 + 4 5.143 + 5 5=.14234+.967857.=1423.+237 15.143 + 9 5.143 dx = 5.143 + 3 5.143 = 1.878 media: 7 Desviación X M1 áe=qlu4inn7Eaú0s1m+=la4e45sr7ou30m+d+4ea64tdo55ar+3ita4o+6sd40.e6+5l4a5+s84d1+06if40=e6r+8e4+n45c4.9i86a175+s08+4e4n67=t80re++ 2l4o.6s253d+1a4to7s0y+l4a6m6e+d4ia5,5dividida entre XMáquina 466 + 455 d x = 2 X5M.á1qu4ina31X+=M43á,q16u0i3n5a01.=1=44463,316+0340 =54.61343 + 5 5.143 + 6 5.143 + 7 5.143 + 9 5.143 = 1.878 7 )2 XMáquinXa X2M=áRRRMquá4aaiq=n6nnuai0ngg29a+oo=1-:4==42456D=40+a774+t07o40+4m+54a45+5y35o4r+7+-0446d+65a145+t0o54+56m43+e6+4n046o75+r01+40+454688137+0++444647580+++447406875 + 445 + 470 + 455 + 470 + 466 c. CuarXtiMláequsin:a 2 X= M4á,1qX6u03inM0aá2q=u=in4a6413,162=03, 043,1,=64034,0653,=64, 673, 9 XMáquina 2 = 4=604+.947485==+ 442.7.9207381+Q4=1552M+.2e4361Q51+30463 + 470 + 487 + 445 + 470 + (465 − 463)2 + (460Q− 416=3)E2l+2(455%8 −d4e63lo)2s+d(4ía6s8 −en46q3u)2e+ s(4e6t5o−m4ó63l)a2 +a(s4is7t0e−nc46ia3)d2 e+ (c4a6r6ro−s4,633)2c+ar(r4o5s5 − 463)2 3)2 + (465 − 463o)2m+e(n46o0s −as4is6t3ie)r2o+n(4a5l 18ta0−ll4er6,3m)2ie+n(t4ra6s8q−u4e63el)27+5(%46d5e−l4o6s3d)í2a+s (m4á7s0d−e4633c)a2 r+ro(4s 66 − 463)2 + (455 − 463)2 +ad((sa7−ims1)Q2t0ie+3e)n2=r(+ot−eEn(127l0a)72c)l52+ata%+(r3rl(lo)e2d2sr)+e.o2(l+−mo5(s1)3e20dn)+2íoa(+Xs5s()aMe2−sán+5iqsu()1qti2n2i0aue)+22re+o(=5sn(e7)42a)t2,l+o16+tm0(a3(23ló0l))e22lr=++a, S= (7)2 (4a86s)i23stencia de carros, aproxima- de los días S= m(7i)e2n+tr(a3s)2qu+e(8e)l225% máSs=de479 +p1e0rs0o+n4a+s 9a+si2s5tie+r2o5n+. 410+=49 + 9 + 64 = 2.231 10 4.978 d. DeSci=les:49 + 100 + 4 + 9 + 25 + 25 + 4 + 49 + 9 + 64 463)2 + (465 − 463)2 + (460 − 4677S3((72)=2//11+0031(3))048==5418..94− 10 entonces + D2 = 3 463)2 + (470 − 463)2 + (466 − 463)2 + (455 − 463) S = 33.8S 6− (3S2=/150.08)1= 463)2 +e(n4to6n8c−es463 )2 (D476=5 = 338 e. Percentiles 2.2 10 10 7 entonces (7)2 + (−107)2(8+5(/21)020+) S(=3=5)2.9+33(−.85)2 +en(5to)n2 c+e(s2)2 (7) ( )PP23852+==347 2 (8)2 S = + + S = 5.81 10 S = 49 + 100 + 4 + 9 + 25 + 25 + 4 + 49 + 9 + 64 179 10 S = 338   Capítulo110. Análisis e interpretación de datos 

Secundaria Activa // Ministerio de EdXucaXción Nacional X uadCbXn2oeno==otaXmPEle2tanrla22m==oslXoX2ˆa++lebudase22nXl33eolX2ˆede++2ssl++mtematr33rma44aas2psb++2ui++ár2gadeq44u:p55j77es2au2++ira++deoi1n55n77odd660a2tr2eu++e++sXcbqg66277tqtouaa2==o2u++++Xtbiseee2eel772299lr==aXoslX222eˆta++.+tis==re22saesX9933XXn2ˆsa5l++2l2le3++lb.ae==1e331e,l4l4n2.ar5++432nma3++.3c1ose441au45577m2.++nde423á++asp3el5577tnr662áde++ct2ni++esaa66adsl277l,++,aaa2++slus77iemen299m++ne2átdán99==rqaqo2cub5==uui3l.anieo115njan4sa3..a14,3td14sr43.aom743er30disdcctaáeocñndaqssduauidñaeceaposrdauenaet,qoesufenreseeicndcuooelnganeays. M2 áquina 1 470 453 465 460 458 468 465 470 467 455 2 2=2.243261.023=144542.9472780 = 455 465 463 470 487 445 470 =4M.9á47q.89u7in=8a = 2.231 =∑ ∑−xx)2)2n ( xin=1n1−dX( xxdxMX1ná=X)xMq−2uáM=Xi2nqxáauqMi)2nu1á2ianq5=au1.i2n15=4a4=.72143044=7++6304043++65+0433dX45X5++4x.M3M1st455áoX=X4aádX4q+4q.mbu6+M13uMxMi5L2ni45enáá44aóá=XoaqE+qrq6+3u+7u1u1siMid5qpnin4052n4=4=aáa+eaeurq+.7+61i2l1u1e4m440il0n54p=544a==,7a1m.6e+6r.s+35102104o44r3055á4d44o4,=+m+7160.6q3+o5+531000q433eu4s58=444+u+d1+506i+3m+6n+54e0i503434o55a8=6X44+át151++4.3e+6q+6dtM14030555in4485u7á5Xee4464.qe+41.6+1in3+u63M+16cnmi5054ne543á448.47aa+4q3c.6+o+73us+e611=lE+6.i5,snl40+l544s4=ea43+c4pqm+73n+6+71o6+e6a44u40a00n45=el+44r5,.e41a9+6n.6+7+l55ep14+70a67h0o5305p4l.,44r40s181ar.406o+5oc+831+50c4b+73pm55ud7448=e34o4+=00r.ae413+e5r+o16t+6,4l+r+8e05d8=6m44+45e6ll71e4i273a41l+6s+4o43esa0+65.+6055t526hmds+448a7146d..4353ai++65b1áo0+76e5l1.+4587l1l44q43.ea54d1447c3+u6cr+6e54+3.503iec4l+n5.354alr14.++6al+7e647u+m5c491n030n4o+76ea+7ln50+dedl450e.l4io+71.9ea5en1+8.04ml.4a4d7134+8c3ee54l+67aun+.34l61=sa4at+6o47+l1b+46m43.o5ld784+4aute57+=55e4e.8ml5j1514+s5luat..47á5ri184sca3q0.477iuqo380+iunp+9eaa9srX1ae5.=51.4123X4XXˆ+3=3=1+.18.47887+857 S S i =1 = X MvDXááqleuMiidnáea=qosu2itnada=4e2m.49c=,a176on0483ne,01or6a0c=3=,i0mp42oi6=Xe.d32nM4e3átX6moq1lEu3Maoisnpásasqaeub2orilnaoa=bpt2ssre4eao=l,rblm16vae40as3er,.1r60dc0q3iuo=u0áe4dl=le6eas43cm6lca3ecmdoiáanqaeurliintcmauéaqtluicleaaenmsotááeqdsuauiñnnaaed2lae.mlleenna-2 = 22+ 32+ 42+ 5 to 7 2 = 4.978 d=esv2ia.2ci3=ó1n=4es.9t4á7.n89d7a8=r q=u2e.22n3.2o13s 1permitirá observar cuál es la = 4.978 = Utilizaremos la − 463)2 + (465 − 463)2 + (460 − 463)2 +d(4is5p8e−rs4ió6n3)d2e+l(o4s6d8a−to4s6c3o)2n+re(4sp6e5c−to46a3l)a2 m+ (e4d7ia0.− 463)2 + (466 − 463)2 + (455 − 463)2 ∑=437−0(44−674306)−32 +)426(+346()245S+5−S3=(44=−65(43376)(−)23724+))+226((+3+4−S)6((12−400S=+16)−025(=44+)4−S2669(54+324=+6)9)−S(22132+40++=))(622107((303++4)+2)(0)5((2742+348++)++)6(2−42(−(09S+S4−4+1++−65(6=0(=19−0)2314−S)201+25056−)1+0321=+31)42+014)320(+0)5920(652182+2(+35)4+0+4+S2)()9(2+15622+(2=08++5)44+)(205212(−++(+380+)4+4442()0i5−(6n=4229++318+34+)++(()42−)6742x(9929+3−)4+1n+2++++56()−(9+721(36−)2914x20)++(45)50231+621+))(21++052)20+46(5201+(5642−(+3+0485)(4(2)56d282−+6+8e5))+3244s2(−+v)+6(2+28i443)a(+)6422c)+2239(+)ió442+)+(2n97+7(90+4+()edX72+6(−s94xt)+M5á642+6á=n(46−q+536ud3i4(2n4)−a3)a262r4)1+32+65=)(+32(.814)4(+)286427(+63)042(−7++4047436−0534−3)5X624+.36+M1)4á34(2q64)3u+2i55na++(5+41(−4644=6466466−05,31−.64+1)0634244360353)28= S =S =33.381308 S =S5=.8133.8 S =S =333838 XMáquina 2 = 460 + 445 + 470 + 455 + 1010 180 S =S =333.83.8 S = 5.81 EstadSístic=Sa  5=.851.81 4,63   3. XMáquina 2 = 10 Unidad

==446600++444455X++M4á4q7u70in0a+2+4=4554556+0+4M+46á6q45u54in1+a5+024+4664337+0+4+4774005+5++448847765++1+4404445563+++44X747M070áq0uin+1a 024=87 + 445 + 470 10 10 4, 6X3M0áqu=ina426=3 4,630 = 463 X Máquina = 4,630 = 463 Tema 2 // Medidas estadísticas 10 2.231 10 XXMMáqáuqiuniana22==4M4,1,6160á303q00u==in44X6a6M331áquina 2 2 = 10 = 4.978 = = 4.978 = 2.231 = 4.978 = 2.231= 4.978 = 2.231 463)2 46=5S−4=4.9673(48)720+=−(4462630.2)2−3+14(64533)2−+46(43)528+−(446653−)426+3()24+68(4−604−6436)32 )2 + (458 − 463)2 + (468 − 463)2 + (465 − 463)2 + (470 − 463)2 + (466 − 463)2 + (455 − 463)2 (453 − + ( + (465 − 463)21+0 (470 − 463)2 + (466 − 463)2 + (455 − 463)2 −+10S−10=(−404=)4266)26+354+34)9(−S2)29(+242+=)+6+21)(2130+4(0+4)(05(27053(8++3)8+)2−42)(−4+244++4+6(+6(9−60(3SS−913−+5−)+05==)21)21241))202+1250620+150+1(+3(+4+0(47+0(4)9((5622)25622+85)+)85)2+212−+(+−+0+(4+44−04(54S((61236+82++30)=3))−4242))42)229+4+29++++46++((+9(793(−(79(294+)5)4+)221)+62)+6212120++5+56500+61+((4−0(4+0−(343(34+5642)))26285)6422+3+3+−+++)()((24429S88(−6S+2+)++)5=232)1(=()4221)44202590+177+3(++0+0(073(7()5298−−42)5)2++6442++5(66+6−S33(44−1(32))0=+422)))26242+++3+94+((9)((44+(228+766)9+)21)66220(++−4−0+(6374+4(4)036642 3)−+3+2)()49SS+2−26+5+==(+138)2(20()5)41+243321+05335(+0525.858(5)−24−++64446(626+3−)342)4)9+226+(379))2+2+6+(43(4)25+5(8−)42 63)2 S = 338 10 S = 5.81 S = 338 10 S = 33.8 S = 31308 S = 1303.8 S = 33.8 S = 5.81 SS== 533.8.81 S = 5.81 S = 5.81 654(546−−65454−6−643346)6)322131)++20)012(+1(04+40(6(46436363−3−−4−44664M63633)3a)2)2)2q2+++u+(((i4(44n4777a700002−−−−444466663333))))2222++++((((444488887777−−−−44466463363))322))+2+2+((+44(4(4445544−5−544−−6643436)6)2323++))2(2(4+4+77(0(044−7−740046−63−34)42)62633))22 S =S=S==((−−(3(3−−)3)232)+)2+2+(+(−S(−(8−8−=8)8)2)2)2(+2+4++(6(7(0(777)−)2)2242+6++3(()(−−2−−8+888)()))242224++++5(((−(22224)))621)21221300+++)0+2(((00+(00))(2)24)27+2++0+((−77((7)4)7226))+32+2)+(2(+22+(4(42(2)4)42425+)5+)22−((+−+4−86(8(−)3−)2)8282++)+)2(2((7+74+)6)2(52(77−))24263 )2 + (463 − 463 )2 + (470 − 463)2 + ( 487 − 463 )2 + (445 − 463 )2 + (470 − 463 )2 S 10 10 999+++666444+++ 44499 ++ 666444+++444+++000+++449499++ 5+5775667++666+446++444+9949 SSS=== 9 + 64 + 49 + 64 + 4 +1110000+ 49 + 576 + 64 + 49 S = (−3)2 + (−8)2 + (7)2 + (−8)2 + (2)2 + (0)2 + (7)2 + (24)2 + (−8)2 + (7)2 S= 10 10 SSS=== 88818818180800000 S = 9 + 64 + 49 + 64 + 4 + 0 + 49 + 576 + 64 + 49 S= 10 SSS=== 180888 88 S = 880 SSSS====9998..3.383888 10 S = 88 SSS===99.93..33888 S = 9.38 S = 9.38 S = 9.38 S = 9.38 Como resultado tenemos, que la desviación estándar de las máquinas son: máquina 1: S = 5.81 y la máquina 2: S = 9.38 , es así como podemos concluir que la máquina 2, es la que tiene mayor dispersión. De esta manera, podemos deducir que es la máquina que se debe enviar a reparación. 181   Capítulo 1. Análisis e interpretación de datos 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Aplicación En tu cuaderno resuelve los siguientes ejercicios y analízalos con tus compañeros. 1. El maestro de música de la escuela de Luna nueva, ha conformado una banda con sus 20 estudiantes quienes tienen edades que oscilan entre los 11 y los15 años. Las edades son: 14 15 11 13 14 14 12 15 15 14 13 14 12 11 14 14 13 12 14 15 Sigue cada instrucción: 1. Ordena la distribución de edades, de mayor a menor. 2. Construye la tabla de frecuencias. 3. Señala la mediana (Me). 4. Identifica la modas o modas, si las hay. 5. Expresa el rango de la distribución. 6. Encuentra los cuartiles. 7. Calcula la varianza. 8. Encuentra la desviación típica. 9. Calcula la desviación media. 10. Representa la distribución dada en un histograma. 2. Una empresa petrolera desea contratar a una persona que sea quien dirija las inversiones en la ciudad capital, para esto, ya solo dos aspirantes están en la etapa de las últimas pruebas y los resultados de cada una, se mues- tran a continuación: Prueba 1 Prueba 2 Prueba 3 Prueba 4 Prueba 5 Prueba 6 Prueba 7 Prueba 8 Prueba 9 Prueba 10 Aspirante 9.5 8.3 8.7 9.1 9.3 9.7 8.7 9.2 9.8 10 1 Aspirante 10 10 8.0 9.2 9.8 7.0 9.5 9.8 9.8 9.5 2 ¿Qué aspirante elegiría usted para quedarse con el cargo? 182   Unidad 3. Estadística 

Tema 2 // Medidas estadísticas Entendemos por… Diversión matemática La simpática media aritmética Medida a la expresión comparativa de las dimensiones o cantidades, también podemos decir que es la unidad u Diviértete con tus amigos resolviendo el acertijo: objeto que sirve para medir. La edad media de las siete primeras personas que acudieron al cumpleaños del abuelo de Blanca es de Día a día 21 años. Medición indirecta Después llegaron Luis y Ana, y la edad media creció a 23 años.Y al llegar el abuelo de Blanca, la edad media En el momento en el que una persona está fue de 29 años. ¿Qué edad tiene el abuelo de Blanca? determinando la proporción establecida entre la dimensión de un objeto y la unidad de medida, se está 183 llevando a cabo el procedimiento de medición, siempre y cuando dicha dimensión y dicha unidad cuenten con una idéntica magnitud. Cuando se efectúa la medición, nunca se está exento de que se generen errores en el análisis. Por otro lado, hay dos tipos de medidas: directas e indirectas, ambas susceptibles al surgimiento de errores. En el primer caso, una medida directa es que aquella que se produce con la disposición de un instrumento de medida que puede obtener el peso de la masa. Por esta razón, cuando se quiere efectuar una medición de la distancia que hay entre un punto “a” y un punto “b” se puede realizar de manera directa solo cuando disponemos de dicho instrumento. En segundo término, tenemos las medidas indirectas, que se realizan con instrumentos de medición indirecta, el tema que nos ocupa. La misma se produce cuando es imposible, desde ya, realizar una medición directa del peso, debido a que no poseemos la instrumentación necesaria como para realizarla. Esto se debe, a que el valor que se quiere medir es o bien demasiado grande, o bien demasiado pequeño, e incluso porque surgen una serie de obstáculos de otra naturaleza que frenan el pesaje. Pero para contrarrestar estas limitaciones, el proceso indirecto lo que hace es medir una variable, al tiempo que se puede calcular otra variable distinta que nos interese. En la vida del campo existen muchas mediciones indirectas, por ejemplo medir una longitud de terreno con los pasos. Tomado de: http://www.basculasbalanzas.com/instru- mentos-de-medicion/medicion-directa-e-indirecta.html   Capítulo 1. Análisis e interpretación de datos 

Capítulo 2 Combinatoria y probabilidad El deseo de la humanidad de conocer los eventos La probabilidad de ocurrencia de un suceso futuros, originó el concepto de probabilidad. puede definirse como la proporción de veces que ocurriría dicho suceso si se repitiese un experi- El estudio de las probabilidades interesó a los mento o una observación en un número grande de jugadores y partidarios de los pasatiempos. Pos- ocasiones, bajo condiciones similares. Por defini- teriormente, se perfeccionaron las técnicas y a la ción, entonces, la probabilidad se mide por un nú- probabilidad se le dio otros usos. mero entre cero y uno: si un suceso no ocurre nun- ca, su probabilidad asociada es cero, mientras que En la actualidad, se ha continuado el estudio de si ocurriese siempre su probabilidad sería igual a nuevas metodologías que han permitido maximi- uno. Así, las probabilidades suelen venir expresa- zar el uso de la computación en el estudio de las das como decimales, fracciones o porcentajes. probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos. La probabilidad se estudia mediante la aplicación de los Factoriales definidos como operados y aplicados al cálculo del n!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x ( n - 1 ) x n simplificados en Espacio muestral Regla de Laplace variaciones permutaciones combinaciones 184   Unidad 3. Estadística 

Tema 1. Aplicación del factorial de un número Indagación El grupo de baile “Paso de Tumbao”, está conformado por seis integrantes: tres mujeres y tres hombres. Escribe las posibles parejas que se pueden formar. Cada pareja se compone de un elemento rojo y un elemento verde, los cuales corresponden a mujer y hombre respectivamente. Conceptualización El número factorial Sabemos que n! factorial es el producto de todos los números desde 1 hasta el número dado. Según hemos visto en el curso anterior, podemos decir simbólicamente: n! = 1 2 3 4 ... (n 1)(n) Recordemos que: 0! = 1 Por definición 153024n!!!!!!!=======1.53241!!!!!111111153042n=====!!!!!!!xxxx=======11111112121221112xxxx=xxxxxxx22222222223333==xxxxxx=xx2233633333444=xx==xxx644462.454.4=.x==2x.5.(4.1n2=524(01n=12)01(1n2))(0n) . .. . .. . n!.= 1 2 3 4 5 6 7 ... (n 1) n VV VVrEPinraolgpdeieendesaruadla::nEPtloefdcaneecms!tonm=nmoor=r1=.VVsinnmanmm(!dlm2nm==nm=(edm=m1=cm(e3mi!m(nr(m2c(1m)mmqm!u)4(u!3a!nmnel1)1)q5!!)4)n(u(m2!mi6e)5=(rm2n76n)2((ú)mn3(m7.-.m).1.e.3.).r.()!(.o.mn.3.()(em.n.s1n.)(i+1mgn)u1n+)a1nln) a+ 1) por el facto- él, V V V VVEcliefnatcetsoraiapladrteirudnenmnéúl,mnmhnmearsomt,anVnlmlmee,,nsgaerl producto de todos los factores decre- a la unidad. El factorial de un número V Vse escribe n!, siendnmo=Vmnn(mmn=c=um−(a!(mnmlq)m−m!−u!!inne))r!!número entero positivo. 185 32(3=32 −=3mn(!23(=3)−3!m−3!=!2n2))13!!!=== 1313!!C!!=×1a=p23ít3×1u=l×21o6=22.C6=om6binatoria = V2 V VVR3 y probabilidad  n =nmn n

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional n! = 1 2 3n! =4 1 ... 2(n 31)(n)4 ... (n 1)(n) eVnaPlraoisadcceomimoobnsiaenpaslciicoanrel1302os!.!!!s====fa1111ctoxxri2a2le=x10s2n2!!!!e3==n==113002n=!1!!!!!!l111a==6=====s11x11v111a22rxxi2a=c222io3=x3n2e3s,44=pe6r..m.... u(t(nanci1o)1(n)ne()ns )y en general VV VV VVlloossUErTUdeianalninmesltamoaaibrnsrreivrteévonaegnastrgloorilpgaisoaoor,cucrdoisdiópíeroeondimnnmseeasonf...p54nsidos1..530n42na!!o!oo!r!!!!!!cndnm==nmr=mrry==ta=====ode=1a=11l1ac.153042npic111111mynode!(!!!!!!uexxm2lnao==(====s=tlxxxxmroamsiir122icn111er111ra232p222!idnpslórxxoae1...5)3e=xxxx4nexxxnd!rs)nt4!!!!p33i(e.2n22c22nm2=vm=nm=33=V3e3V......553y4n24niaxxm=t!ó!1!!=e!5=!!!=111ixxxrnxxnm==nm=n==lcnm=i=nm=m44e(o2a2=e61=i33xxx131sm11=23m614=4óc4)l(1=1emsxe((mimn=mxxxxem=e222m2o(xxmdx(2xxm7235nmm!nse6(4r2n2222.e4t4xxxeem54n3.em!=1)o4n2.2=np3!xxxos).41=)d3s=3!33.tx1)(i!n2m).o4mt.33e3mxx((d2.e12)1=.msn.inxx5.!0e=5e()nn442(xx.335(mto6nda0=o6fm44l424mo1i2om(xxv6a65)1)r=)n=sax1x(n(i(mn2anrnm)4m4e2t220di75+e75aa)a64l41)=oe1xc=(n)f=qv3ms).mia(32.ó.1a)un.75c..1d)24en..re.)t.2e0i.n(o=(:.acm03n(t.r(Nnoco.m1i)n.an.is2o.eó1ln..)re0n(n(e1+emsnn)np:1nno+)etrr(t1a1ndmin)c)nii+nó≥ta1onn)n-d. )oas V V V VVLas variaciones se. dmen.otanm,pn orn nn mm o m,nm,n VVVVVVR VVV V VVVVVRVVVRVscoenrC(ELmcajdaeosi,lmspncptu)ip,olnl(alamstosairb:,sllqel:ae)ts,rs(appps,oammsrie),b,pj(nalpe32s!ymn,s=nmnmq=nmmns3q=vo)=.1n==(,=.an(3(!qmr(mm:nmnm=nmi−3m,2a(m!=m1n=−2mcm!))mimn(3o!!,nmyn2)n(=1)!mm32!e()VmV4Vnm13qmV(s=3!!!mnm,n,=nRR32dp32=mn1()=5nm=e)!3mn=(53)4=nm3(m=m=e(=2−d3m3×((16=n!)ommn3m(−2−m5(32smmm!!),me−n3n−2n!7e2=s!!)mn)−n26=t!l)!ee6)!)(=3!n.m!m13.)c!13).!7=.!!!ae.=.=sn(13(3om.!nt!33.o).=.××11ls.a.122(qn3s()mn=u×+1=pe61a2n6)1rsne)e=+jap61nsu)e(mde,qn) estable- y (q,m) PCCPCPPPVPPVVVRPVRRRRCRRRCRPPVVVPVVPRRPRCRPPPPCPCPPVPRRRPPPCPPCPCRVPPPRRRCRVPPPPPVPPPPP PPPP nn P Pn nPC P186 StVdleoeiatssrrtLSNSelaisilaaíisnsaiomscitmdmmmoiebpeosa,npooc≤npgtvsolireirrinaarc;ybustrnaaclpiqemacootsecosomseliovd nonofoanoontUrrresridmseneamP:eilesPdpco=iCmn64naanmsicCes3do.=8.d92=3o2ant=nae8,9n2nm33o,ina=5y,nb=naP,nbc,l4.nm3,en=53,4,bse,=cnb,!cE=Ci!n,4s.r,.==.c(óm(=.cs.=p(32e..36=.=.(8t.d=m2mnnm.nn2=.nao6ap8m=naem,m=2−!emn23−,−=3d=53!,8b=renb1n,a−!−!a,ní!,4×mn,=sc(=−12t4dc=−a!n=t!an.9×ti3eP.3.1o(n.!i=)).−!co×.!c!9×!nmnm3(1=!!=eCs)−nm=ai3×s!b88nmP×!b×C)CP!(ót=CP=l= −!Pms!C8oPnb8(!9!e2=−b×12e−4anan=iaanRnn,n!R(Cnn×m!3×CR,nm!6l4!==mn351)43−−,!4mnb1!mnn9mb,eRnn,n16!n!n,!4×!−ccd×c=8!9,2==c)×!82nac91=×2m=e!==na)!(,!=!.!na==e3−.c,==.enac=,nm1,.!b)b8!.(nb3n,,4b>=.=35=×n,V!b,4!s!1×n,)bec,=mmnP!!c1n2===(n=!,!4Pt.m813:−=,!,3.==.c.×m(.nc.1×.no(7)!=−n2!..!.n!×6×..=.⎛⎜⎜=m1mn..!,n2×=a!..1.6(−t168a6ns.!×.7.m2.m−co=c!−−.=e==mmn!−)!n2.=!91!.×08a4S3!−261!a!dnm!×nsl!−1=×4!=−!×+!5íe!=93(=1×0×31e5)a×n−))an!×qb8×=!,×b!×mp!(=5!=n!−×!)0.1×!.93!P7b8u(Pm3!b.1×!n.−u4,=4.6×!−!n!(.!ne×0!2×e−n4(××=4!)ne0n=1an×b8×1!n44b×!−1cc×d26)s!!−cn⎟⎞⎟=c(0=!t)!!2!5−4!=e!!!o1en×n3e=1!n×=×!×,=1××6)1×1n)s0nr=p×−c2c!,!,..()a..77422..==u!.t!m.!en..!.621!o.606=qe=×n=1×=)×04m+0d=u!,t.5.!7×25.r5n.ee,a.a1!.06,×3n!:−d=05r40×44o10te5o)×20sPs!,d×t03dano4×2be=s0n2lnenl==oc!ese1nn5re!=lcneoman!ellonass-

V m = m(mV1m)(=mm(m2)(m1)(m3)...2()m(m nn3+)=1..).(m mn!+1) VV Vn m = m! n = m! m (m − n)! (m n)m! (m n)! 3! 3! 3× 2 Tema 1 // Aplicación del factorial de un número − 2)! 1! 1 V V V VVn n 2 = (3 = = = 6 m m,n m m,n 3 Sí se repiten los elementos. VVPRCR PPVVRR VVRRy 5EE¿?CnjVmeVtumoa3á2nmntpn=enm53c=ltmoeo=(=3(s:sámm:−3tn!imnV−2cúV!)amn,!32m)mnd=e=!nm53o=er13=o(=nn!!3(std=mm5e−3ed!:m3n3−2e=1.53024nm!)×1n!!!!!!!!t52=)r========e!x5=ns1513111111!1!!.53024nyxc6!=!!!!!=!5ixxxxnf========r31=a11122122×1P112113s22;C=sxxxx5xxxe2=8222222333p3mn6=53nu==xxx==xx=e32d33633m444e8=xx−n=1fx4n6o44=−42.r15.m=4.x(=.8=.a2..5.((r4−.1nn=c(21no(−0)1n!n121=)10)l()1o!n(7)sn()!n)=d)ig5i,t0o4s0: 1, 2, 3, 4 PC PPC PVVVVV VVVVRVPCPCPPRRRV=VnP! PP P nPCPCPRRR VP CPCPRRPPVP PPVVVVPPR P n !LLcPPttooliaeoaedssrDPEDmnor1mpoxPemsae,ae2risCunmdmlsnmreo,eutdt8mo923=ans=aeanosj,3e,=,tte,bnbe,ucs4an,4ea,mcucl=t!ti..l=.o.opam.(cyne.cp=mmnn2=dcen8momi5la!−t{irooPo1enao−1oann!×m.es=−C!:smnj!,n9nmnte31nnu×au!2×l!89(2e==re)tcan=onanb8,alt,b×o3!,s=,banib!s,t(s!n3,4−4rsd,ocnsccnc=!nc××P.,!}e.=.e.1e.(i,i.−c{cusló)=mnmrn2==1{8!e!!ímpc61l!−1n=a×m,11×au)i−uan!×,..nm!,=2−r.!p.!l97de23.31en.e!a.×!,!.3×!26de(,pe=nmn)nm=srnmnmb83b×!0=2ereot1!...53042n(!=1um}o=−54=}nsrn!!,!!!!n×,!..×!n,(nts10mn=nm=a=se{−3c=n(mu=c==f!()3224=eod!m!!2snmmnm==nm1cnm1t=(−e10,=13=111×rae1×)nmmop=mu1=l=!m1mm!,.(c−.27m2no.(=dt.xxxx,om23m.!!.3i(i(!),6a(njsnmn3ilo=nrmnm2mm!mumciri0(−122d)n223}z=b)nm92=m!=nh5,!3)nam!=14en!naa,−n2lm=,(e3{,toxxx3,e0nb!2n!2bo1),m),n13nnsn,4!4!!,2c!)5,!41c)oc333!y)5.(0c!=.=.ap)3.4o!.=(mr.n(uP=d,n=mnmaxxn2nm=1325cúam1e!3o!r6!j6an5)mna}u4n4a−=(×2a!×1,d=sdn6ma!2)!e9{e=ea3nx23no7(63rt×)r!×s!omr(×,o2)1s!utb7=5eml,b×!u1o4so32n7!p.!d,s=4.s6s)dani3.n×2e=×..!te.e.1e)3ee}...cdcl..6t)2(ll.ne=(.y!a!t..eeem0rn.(m(l.m×e{mlm1×(n(3olfsme,a.no.e,2s.e.1nsc.nr2n.61n)emtni,t)po1f+l0ntor+1)eoaosa1s+n},m1ssns.)q1)sis:nbeci)eunnloeehtnr:soeasslpnoío.erensddtnie=dertlinroogaasirn---. VVPRCRVVVVPCRPCCVRPdefdilonenrapECladrjCeiredmm64“eRu=eepnmrnmnl4aoe!u=c:(mleí6e⎜⎝⎛⎜¿r6seDCcmm−!tCsruea4ae+64lR).onnc=r!ne”tumn=od−,4á!=o(1n4(qp6n!6⎟⎞⎟⎠t⎜⎜⎛⎝2uo!6adm=!−!sera=4(e+d?n“m)jn6i!s!nes(e×4t+=mm−mni53nPn×5sn14=p=32−t=Cim6×3mn!⎞⎟⎠⎟at−l2=!úno8s×m=4!=1e),=(35)=f×2n!n(3o”!(l=nnm×=o3mPr6!−−36e4ms1(×2!×4m+nm−82m==ca−2×5!),1nnosnn−lnm!(×3=−4=a−)m1n=pn!×!=41(1=um()e8−153)×2!6e⎜⎝⎜⎛!!!n(−u61×3dnm=s−)!e1e×a2−!)sn3l4!2+t1e=r×1))snsa=!!ne72en1=!d−n=5=tea14tu5r6e6s!⎠⎞⎟⎟,n20re!ma=4!o0=mic(nnhmea6!os(×ea4+mpl)×5,enp−rd×3sr−eoin×n4n1m)c)a×2!i!osp×3daio×o2lre2yqduee=e-l 15 PPPRRRPVVPPPCPRRRCRRRP CVPPRPP PPP P nCR P P nCRrSPLseoaíepnserintmpleoter86(suaar4!!mdtn−3avi54us!tec2o=ttci)iadnoe!(cot5snio+,so+ese8n6(ls32o4g4l!e!-!!rs−ss−c3u5e4e!1opc2g=)lon)oeu!!(mnsn=5r+qdeer+Pueopn8C324xpete-b!!!oe−892ptnaPsnat,i1v3,ui=,,cb=bCc),e,4es,!ciiccó8í.dó8.mn=.=.an.e.nminen=935×2,=nanmb=2=san,8n3,,==,,bc7!−=b,d.,84p1.,xacefac×.×e86m.(o!.o=.=!=.l.!98.436r!−r!=mnn2×m=n!t×!1mt(×ean!=−ab8=−b×a!r54a×15ax!ec!8e!−4×2!9(r=3=×nlenl×8××s!×!b×e!)1rex4o(b!ccm!b×o−7)(n=!!!nr×!×!c54×1den+=cn××−o×c!31×)en+6!!cn,c.×1v.7n2t==.!×!.×)o.3e4!.e2,6!×15×.x-7sc=!s.s,0−.!.=.×eo2í.d.=.5.ss611x4so,,e,)500m×n6.!,4.r0d38.e=e0(40e×mpl0e2ietm=el=8nxnep!a1=nrn,lio6t+m=o8s=s!be0edr!8l+eee×mlcfeo7em+rnm×et.oa.n6.stq×o.=u5xsnee×): 4 × 3 × 2 = 1, 680 x 187 PCRV Pn = 2! Cm mnan ,=bmn,c.n.. !=(mam3!−!!×nb)!!n×c! ×... PRP P n!=2,3n,4  9 C9a!pítulo 2.Combinatoria y probabilidad  = 1,260 n=

V VVR V VV VVVSecundaria Activa = 5! = 1 x 32 .x(33− 2x)!4(m1x! 5n)=! 112(m0 n)! Min32 i=ste(r3io−3d!2e)E!d=u32mc=13a!!c(=i3(ómn−33!N−2×1a)n2!c)i=o!=n136a!!l= . m7,n ... // 3 ×1. 2 = 6 mn .n=! =mmn1n n 2 3m,n4m 5 6 (n 1) n CCPCPCVVPRRRRCR VPP PP PCCPCPVVVPVVVVRRRRCR VPPVPVPCRPCCPCPCVVCVPVPVCCPCPRCRVVCRVPRVRCRRRPRRPPRRCRRVPVVPPPPPCCPCPCVVCVPVRRRRRCRRPPPPVPPPP PPn P n P nPCRR P VVRR P nPCCPCPCCRRRRR VVVP PPP P nP P nPC PP86(Cnm644nm!!=892=−an3=na,5mn34,=53nm,b!nb,42n,4=,=c=!c==!)..=.(..(!.(6mtCcLasmSlCl⎛⎝⎜⎜=mmnn2=56ooa8om+zoaem!−−!ons+d1asoan−suPann!×CCPCPREEHPTEEl4C=m−!o+CP!3a294ell3mc1qnannjl)loRe8a6×-e(l!ns!R×!g!CaelRo(nm6=4o!n−a)b4nmRmutns!e!bm8Rcrb×ry!m=eo8ls=9m2b=1!−−iena3=u(moú!onac,y−4lnb5lnm34,)n=35nmn,anb!1do1:nbn×,p4×1ip!rmos24!nbV,4=i1a,a=ccen=P0!dc6c==5i!−c⎞⎠⎟⎟!éc)nP.lcal=).=.i(e2s.s!=ct.(oen!!e!ou.!en(n6am=o1a⎛⎝⎜⎜oc!t=mtmnn2l=5g=6s8×iritamca1m×e+a)m!−o−ni=nm!oo:cnr+p!,1.(oaate−8mc.a7n!×x2u.ndtnr.tmos4=−!.+oic!3!29.n6!4nioobdo6!31n.po)eoe=×-se!n(!×!i!d(=t!ens×−0e4i)+óomPb8nnrsPeb×nbn!qe=u5s=1a!−×5(gn!snste−l4aa,m)unnn−econn×0r×p1e!×4!3s8nd1bc−ued64!−c⎞⎟⎠⎟oscñ=oson)×b2×4!ic=dit!a!,!p10e=1os!na)oss=ao×)e7r×21×n)!toPi=ln!dclir!,.(cnr.ben8.×7r×aox2ns3.nc.maCeo.nmo6e4a!.6!snml6!n!sto6×r3s22=fes(islopnm=8nm×,0=94e2nm+o==nmdmpmcna=×ns=an2,v5dss=penm3d,×l5r=53=i,u1b=nu=unb,5,4eoexms−qnpe,40eto=d×,3=c8(l=!ctee−!=r×im!s4.auo3t(i.=.pnn(c(eP×d.×am14.(vidnE.10m2r6mx4n8m6)rec(eu=md(nmi5−dCden2)=enm7×6324j6!te8ti4nmóPmm!ali!×!lmeaa!ne−−e!soem!=e×8aónp×9e23=M−12n−mbran3=a.m−sand3ae,n!×v,3nssl534,!nm6=u53×enm¿,aP!42b=),−!tn!anbe,4¿!n92ni×ennpa=,43ee1=C!,nlp=c×=pcet)!cCC21=nP×)=mnm!64!d).×!neramnv).sen=.(=n(2!.!=)olo3.(d286u!o5()2ix.4db(8!Cmn=6:8unemnm9bno×d2nm64=r⎜⎝⎛⎜=nmi!=mnmae(4mnn2an===5e6!=nar!m8i×!e,ara!3o,2=m(e+!5mn34,mmá1=!53=3a−mn8=tnz−−,4dr9b2nm=1!==mnbn,4−+nan3=nn1nor=an!xa4br,n4,−?n!×=n×an1!×!,sa=5c45(abmn3s4,=e!=35cmn5=,a1=b4=m!t!=−!n.+bt,4,3s(6!3×2.9=.=24o1((n!−c=tc3r.,14o=.(nnoih,)=ace)s(.6m=e2(!,×-ca6t!m=n!==m!×!n!!!⎝⎜⎜⎛)!.=m(!nm3(l−=3,3n!2n−.==.5i?3)(2s(d61.s8l8!al.(ob8s!mm2e.nbm×=m3(!y!a6c×−me−!6×me=m!1⎜⎝⎛⎜×=mn)mn1−)0n!o2−+=c−5123(tm=!6a8n−yg−64ano!×cemsm+!,m(p×)m.o1!n!2−−!n.P!4m!7=),se−snn×!n2×+1.!e+4!−en!912rm4.nina0311−u!.ann!×8í6mc!6).6uor1!−c×-)⎞⎠⎟⎟26cC!ein=eñ!47×nm=)!=6−)4b!)+(2=a!!nmn32−9=!!=4=s)men6!=!3s1!)!!!n3b82np!n)×n0=s1b4×!a×-!1!a=n8ae(r!×=9!2!nme==d)×1(==!!n−−1an×==4)()e!,=anmeot51,3tl−=a4b8p!nd×3b)5×mn345,!,!ne=653omn.n(,oe.=!b8.=n!×c7ñ×1n1br!s,x2,!4−4.!nms(.!6.nmdo1)1,43o8−4=0.,ess=6c×!.).(6!s=3n!−co⎟⎟⎞⎠!=6!ccin=.a!==)n!!××.1m!20=43e!rn.!==.d4.(s(p(!!1i.!.t(×04d2n6×+.=l.1dt!4!(−c⎟⎠⎟⎞gm=c6mrmo==)30v⎜⎛⎝⎜(i×=mmne2ia−n251×!==(d5)3e=!)6!a!i8×s5ae=tmm=,n1i×!2mm!,ns(×!l,−s.−!(1e=3m!8.d−t×7entsx20s.1+×n−o12)×em.3tma8i−a=.an!×−mn!×.6!3i!,×i26!4n.d(1a!48=).−lnb7!sy+x2×nnr=×.an!944(.nmn3110!.×n04×td+!.6i)1!)2ma26!×-llo!nn=atn×!m)o7)×s2(d==!!n5oa−==()=e)ao×35!n×0b84!+rtn2tb×ms!,×e+=n×4=36ssn−i)e1d0s!5−e(×=!38×51n3.−4nse−nc)6×d1n4,.2=nee!pr6sn−nnd!××e1!×f0n.×4!!4t×=l3a8a1)10i(×ae−ln6a2e)ua!e−4c⎠⎟⎟⎞=c1mme=)n)7s×2×2×!c4!=(!5!sm,!x10eq!5,mim=)1=!in×t×.u3=)37×n!2××nd!n1u×o)t!=ne1lr6×e!,v×e×2v.(×e13x4oe8r.nt7x2e≥.5nn=.mániii×nn.n:!2.6!6××26!s2att+tns=taan=(5nox×l3×n0o4+21eib=emerd=)!n×os5)×ls=5xa×a5s(1aan=ard.,mx46:!−dm×2n0e5ess×38i1−t×ed4pcnx4no=ea××5p4≥10a3eit×)nfd1utr)7c×2rr!o×nea,t!3asaeee6××r3nn)2es×s---,.8n6×202==×21=5,x=61!×,816x4058×03× 2 = CRn = ⎛⎝⎜⎜ m +n − 1⎟⎟⎞⎠ = (nm(!4(+m−3n!2−−)n!1))+!! 3! m 8n! 2! 188 6! Unidad 3. E54st=ad(ís5tic+a 4(-4−−31!)2!)=! + 8x32!!! = 8× 7 × 6 × 5 × 4×3× 2 = CR  x x 1, 680

V Vn n C Vm = n!m(nmmm=−!(mn)m!m!,nn )! n = m! Tema 1 // Aplicación del factorial de un número VVVVVVR VCCRlddo6ea4sld=LEco1mnoj4uess!3=2ama3(2mpmmn=t6l⎜⎛⎝⎜dnm=rp6oom=−i!5(lr=s(o3,(t34e(+eim:mm)ln−enn−33e!n!tn!mnm−2=o−2ml−a!)),ssnnen14!!ue6)!n⎟⎞⎠⎟)=g=2!b!x!t=r!opg13u13=!!srr!(!pnuem=p6o=!sp(o×si4+3moó3d×5×1snnf×r1−o×32í−dasr2n×4mie1n=)g)×2=!ua!46e×3di6s,e×t2oaens2rnter=c:eloo1pn5setqildouosesd,2íe,gsi3ttáonosn Entendemos por… Combinación el número de subconjuntos que se pueden extraer de un conjunto dado. VVRRCR4 = (553nm=+=4m-−n1)! = 8! = 8 × 7 × 6 × 5× 4 × 3× 2 = 1, 680 5 x x x Diversión matemática PVCR PdC8eo!sppiuaéesnn35d=etuacnnu−a1ali=dzea(rnrnlo−os1l)yo!sressiogluvieernlotess ejercicios y Tres hombres desean cruzar un río con tres niños, pero en compara tus la barca en que viajaban solo se permite cruzar el río a un hombre o dos niños cada vez. PC PPr6es!pPuCe8st=ans=co8−n1n=−l1a=(s8(d−ne1−)a1!l)=g!u7n!o=s5c,0o4m0pañeros. ¿Cómo harán para cruzar el río? PR P P(4 −3P!2C)!8na,b=+,c..32. =A!!8−1pa=!li×(c8ba−!cn×1i)có!!=n×7.!.=. 5,040 PPRR PPa,b,c... Día a día =an,b,c... aa!! ××bb!! n Los cocteles sin alcohol =n ×n×cc!!××...... Tradicionalmente un m¿cl¿eCCotaunurra92ájás92,ansu3,enn3,,bn,4d,tt4ccoat=.e=.oo.ssn2=2“npdn!!Faaelú××Io!Nl99m33als×!!!o!Cbbe4×s×Ar!r4a4onnp”×!s!sú?rcis=m!dm=e×1ee1e,.p2.r,tr.2uor6oe6es0ssd0nnceaúintfmurafroesarrlpmoenuss=an?epr=dac!eronen!sfoldares-l coctel es una mezcla o 1. combinación de licores. Hoy, se han puesto de moda los cocteles sin alcohol, PPPRRR P P nP n2. que en general tienen un aspecto muy similar a los cocteles tradicionales, con la diferencia de que no V3. ¿¿foCDrmnumenmá==canudtoáonsmnnmptpaoasrrft6oidremoqsaussiepdojiusfe?ergeannteesnseunputoerdneeno con- utilizan ningún tipo de bebida con alcohol, por lo que CC VP4. cubrir son aptos para cualquier tipo de persona, incluso para CC Plhdoaemnsynmu=c=7nanarnpg!!oj(o(umsmnsmnmibdt−−!!aleenndsp))e!!creaasnciddceiiódnnatetoc,oss?mecurentaalrisoabyietensdooreqruoe 5. En la heladería le ofrecen a Martha conos de C6. PtrCreee64sd64s,=r=¿soaC4,4b!u!M(o(á66r6na6e−−!!rtsai,o44s))s,!v!iMa==larai44arh6!6í!2c!ea2!!i!lo=ay=ndN6ee6×s4ra×í4t×5daa×5e×3ldi×3×a4sisa×4×2psbe×2×o3on×r×23reee2×2úsdn2=hee1a=n55y1?as5abo- CRdC¿CDiaalelRcoucnmgmnulaa==árnl⎛⎝⎜⎜⎛⎜⎝⎜eatmmnas sol++afpnnonnecr−ram−af11cea⎟⎞⎟⎠⎠⎟⎟⎞itsoe==drní(iean(smn!s,mti(!:s+nm(i+mtnal−ans−−n−ms1)ne)!1e!))p!s!aueedsernedsoenndtaar,? los niños. Los cócteles sin alcohol son en su mayoría frutales, aunque no se descarta la posibilidad de un cóctel sin alcohol con crema de leche o café. CCRR7. 7! – 55454!== ((55++ 44--−−11))!!== 8x8x!! ==88××7 ×7 6××65x××5xx4××x43××32×=21,=618,06aLE8atnr0adgceetcnivoearr,aajclailómonsádscoeecxltoterslaecvsoacrgetaefnrleetess.cdaenbteessceornesbtaimseuleanntferuytas 8. (3!)2 + (1!) permiten más elementos decorativos que los otros 9. 88!! tipos de bebidas, algunas ideas son sombrillitas, gajos, 66!! rodajas o cáscaras de frutas y nunca olvidar un agitador a tono del coctel. 10. ((44−−22))!! + 3! Tomado de: http://bebidasycocteles.com/cocteles-sin- 33!! 22!! alcohol 189   Capítulo 2.Combinatoria y probabilidad 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional Tema 2. Probabilidad de la ocurrencia sucesiva de eventos Indagación $100 Algunos de los conceptos que abordaremos, ya son conocidos de los cursos an- $100 teriores, y a partir de ellos construirás otros nuevos. Recordaremos aquí lo visto: $100 Piensa en la experiencia aleatoria al hacer los lanzamientos: 190 a. Una moneda b. Un dado En cada caso, ¿qué posibilidades pueden ocurrir? Escribe en tu cuaderno las posibles respuestas y después compara y analiza con tus compañeros. Conceptualización Experimentos aleatorios y espacio muestral La moneda puede caer en cara o en sello y el dado puede caer en uno de los números 1, 2, 3, 4, 5 o 6. A cada uno de estos sucesos se le llama suceso elemental, además, tanto en el caso de la moneda, como en el caso del dado se trata de sucesos equiprobables. Los sucesos equiprobables son aquellos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. La probabilidad de ocurrencia la calculamos por la aplicación de la regla de Laplace. Recordemos que para sucesos elementales como los de la moneda o los del dado, la Ley de Laplace, se expresa como: P (de cada suceso elemental) = 1 cuaCSSPliiq16a(lPuiacgei(aaelmcr1racaodra)naarPdae)de=(doo1++a)lcoP12nnaso=(oigsne1eaús16letlsmáoset)leáalorl=ot,ecslraaa2rddgmePPaa=16i,d((sP1l1dmcoa(ae,caapracarpNlraoa)6ardPbúo)aam=be(pb1+ssare)uioblrP12sciobidile=(eaiadsdsmbdoeeai16lplddelsiorduleeeea)csmqdeilusgeaoeundmsatcealeialsli)maegqmaua=PP.eec16n((a.dctrNcaaaePalúreoecaimgssra):adePera=(joeu1smdn)u12eoc-e=ssuoc16ee1sleoms eenletmale) 2 22 ( ) ( )  Unidad 3. Estadística  1 + 1 = 2 = 1 P cara + P sello 2 22

P (de cada suceso elemental) = 1 P (cara) = 1 Tema 2 // ProbabNilúidmadedreoladoecusrurecnecsiaossuecleesmivaednetaevleenstos 2 plo, la probabilidad de que salga11 es: P (1) = 1 y tanto 1 como 2, 3, 4, 66 1 5 o 6 tienen la misma pPro(dbeabcialiddaadsudceessoaleirl.emental) = Número de sucesos elementales CAexnápaE¿elClncircuiuemeállmleocneoatsdsso:oe?laPPdpep((dclrroaoelrabcbanaa)azbdaaib=Plm16isid(uliicae12cdadnerastaoodd)eedPeleet=(som1ld)aeoP12nms=t(acol12loa)n16rsea=ds)ua++,cNehPúsemo(msse12eoreloslloedvm)eis=estounctqae122usleoe=ss 1 ealseomceiandtaolessa un hay dos sucesos eleSESmonieneenllstdaelaaliesnd:sozspaaeomc16ssaPiicerb(onl1c1e2rta,PPros16res:a((cPadcdc)tce(aoae1+a+rr,uPP)arcacPna2(()ya=1d(cP,d12ds)asas=a12e(aePPra116ld+1s6allcu((l)uooo)dca1P2nc),.are+eo=+(¿r=3scc2adoPP,au))e16ds22PPá((1e6a1+aslel=((ec1e)2e=1ss3Psamlt)ul+)+o1r1os2(ceso34e=P)n=nss),t(=uo16as2l+16caloe16))ecslP22esa++som(=ru=4sP5ec)en1e16(yNst3s+aoseú)laPsq)m+c+ue(ae=5ilPrrpe)omr(616o4N+.deb)eúnPa+mt+sba(ul6elPecer16),oes1(es5pdon)oest+os+seinublPcecle16eme1(sss6?eo:)ns=teall16eems=en1tales (+616) 6 11 ==6516 P (1) + P (2)1+ P++P(P3()c(16sa+erPalPl+)o((n4)+o)P163+()sPe(+l=5lo)1)+16−P =1 6 +− 66 =1 6 P (car6a) 1 1612 P+(3+)16 =12+1216P (16A+)=+= 22126ssu=ucce1+es=soos16s22eps=op=se1ir16bald=eos1s 6 + meaLL¿nCaaouussnpáu3rlemo.exbaspaedlbareiilmpidlraeoPasPnbd(tp(ano3rdboo)aePib3llie(=1)6adn1abao)tP=iPdo16l++si(r(dda1iAnoPaceo−da)(e16nreP23s=os16)3(1611ds+.s+)a=ee=ucs++PtcaP66oP1eir16(Pdg(s(33uo4(o−−146)?2ass))l)++l16e16=o=+a+sPsp==11Pss(e1161a0u04r165(cac663)ade=)+r+so−o++0scPs.u16P1(e16a0(516lle4q)==m)u++0+i+e65e.nPr1Pat16160(a(6ld5e×)e)s=++a1los016Pos016c(=n=6iaú)1d1m=o0es%16ro=s 1 sacLCEaanrom3pgreoeonsbe:laarabsli:ulimdPaaPdP((dA(d44ee)))lP=s=aP=as(c(s1n1s31pau10o0PuPrc)rcoe3(3(=esb4=)4soea0o))ssb.s=P1P=e16=iPpl0s((iop1(Ad1n1=3s1se1ao00u)ir)−0dbac3.=eldPPP1=ee=)so160ss(((ss04Ao9e=u×.16=ss)1ocop1e011=966soB0,=)o−s01)es=i1−00nb==e16.tls11oe1P=1p1600sn0=(e%0cAr×=+e.a661)ds01,+165o−100ls=aP0(106p=B.r1)=o10b065a%×bi1li0d0ad= 10% de no La plorsobsuacbeilsiodsadePlPPPde((((em44A9oP)eooocPnP=(99uBt(A(a))r414)rl==1e)e0)=)PPPPns=11=c(((=P=(12q0044Ai9(au0sA11)oos1+eu.1od001)PuP=ce99lP0+cB1ae((1)) =eu04(s=14)Pc9s==1onC)0)0=(o0)saBs.=PPsm.=11p11uP==e12)1í((00tp001cspu(441210s1opAel11oo00=u1×+oo.sse0n1)2ocir0.eb=990e1aC+1=en.1sl))d0o01e=0so.Pm0o0==0s.sl1(.sb0a=41Bip0×1n.1501s2o1a)0u=t0s0=1omi%r00bi×0aa.0l1.ey1d01s=p0e0ro×10×lba0a1=sb%10ipl0i10dr00ao=d%b= a11b00i%l%idades de 191

P (de cada suceso elemental) = Secundaria Activa // MinisterioPVjederteoaabEaEbmn.y.d auosLLucbesaaaniclaqlppiiaódurrcnoosiaaeNibbdgjraaPeaauc16dbbisi(doPeeeiicnellPn(aaii16tteddctlie(r12Peevaaaacrnmr(eddas)aecirPPnP12itdda1n6a)16nut=(((reePPo)aa1+d+dcaPrsc)se((aie):1eaiP=c12rx(12óccza)1+ca+t=(nora)ar)sta+ad:P12marP12ePear)1=6le=P(r(jb(le1slso1++u(i12et)un)n)a2n16l12cPúlas)a=oe=m=d(ns)+tsoaoue12e=22r16msPr16lejol.elo(e=etR39r22a)ma).e1d=qe=g+aunlsea1tP22Nadtdl(eeú)=4enlm)g11l=aea+ar16esolPPPNlu1d(((nmú01ce512úm.)aa)smSre+uae+Prec)oPree(Pox1++sd((to)24er6Psa.)s)e=(eu+sluc12eene1P16mllsao(oe3t)sna)tr=ea-+lleemP22s (e=4nt)1a+lesP (5) quicSEELe.llaor aenlrLuseúeacpgmsiapl:óacernoirdoobeamdLbePauiPlpeeP(16i1d(lslP(aetn)aP3rcmPo(ad16+)+e1(le(3n)dEn(3Pn=E)PoPeMo+)+tP(MP16oP((sP1e631621=(Psc(=l1=216)d(()A)eaond3(3i16grS1+oc+2+e)+aS=)+ie16rl=))3)−P=Pe=aqe1=+)++{+16(s(lsu16216p3s216n−Pe,=ePsu16a)1)6úul316(clc(=am++c3c++,1+esi16oe1o2es)4pePPs66ol−n,r=rml+o+os16oo(j(16516us43ub)P−e,61664n)p)eas6=(t16sbopóo++,+4+=t16+−iser7l)9adirPiP22b,da66l.=e16++(16l(8d1a6e16e=45td,osPas65−))=169sr1nd(j++,++5e+e(61561t)EaPPs0M+1P6asP+1=616}((P:c165()6(aP(An)=65)r316(=o+)+u+)+6nn3()=16PS=a)16)(1616ts=6=a16=su16)ru1c1j=ce==1+e0ets.a161so−16ocs16=su=e16aps1l1op-=+seirba66ld16eos−s + 1 5 6 6 1 6 = soloLahparyoubnabailtiadraPjed(taAdPec)(osA=nac)PeasPs=rs(ue(unlca4conseseu)úst3uascom=co)resjeseese1so=trp1asoo0sopsc1eeseopnsirbn−oaptrldseeeeiorsl16ba1snld0e=úo.sms66ero−4 1es=P5(4) = 1 porque 10 66 maCLpaoomprcrooedbneatubcaiallid.AdaPasPínd:((ú44PtPma))(m(e4==4rPb)o)P1iP1(1=éh1P=0(A0(na4(4y1)19)=1p1)00u)=u=0=ne==.as1d11s1u00t011eu0a1c.0cr=1eeje=s0ex=0sotpoa=0.s10rs,.ee10.0e1pss0.na01op×tr=se0os=ir1neba0×00cld.ee1e.0o1n1ss0s0=0cf0×oa1×rd=0m1a%101a0Pu00P0n(d%=(a4e=9)cd1)1ie0=m0=%e%a1l11ll0a10os =t=eien0n0.1.ef1o0l0ra-==00.1.100 × 100 = × 100 = mmloiessEremonvae4cnp)otrsooeesblpyaniabdúiqelmiudleeaaPrPPP«dpo((((er44Ad99oxPPPPe).btoor(((o(aCa44As=999baeBu)P))oolrioPa1Pi)lPPPP==(1ri=4n990.(d(=((((B4»Ad))9444Aa1)1)Po=e)1d2==10ooo0o=o=x(=e0dAc99911BB+sP=.1e2l1)))001)tu11)(o)01q00===A+y10==1+u.es0=1)Pu11e1P5=Pl012+1c(a000(1l(Be00Aa=.ApP1d.)+1)rt(0)0eaoB0+,.+r1b=1×j1)s=0eaP0eP0tb(10a(.Bsi×B10.luq1i)0d)mu01ae=0×ad×0ns1d1e=01le0ae0%01s«x0PPPP0etp=r((((=x%ra444Ato1ir1gb0oooao0aea%999%rbBt)))e9i)ln===»i=dg,aa1115eP12d00se(etlAos+n)edús+1e-:10P(B) 10 1 1 P(4Po(49)oPP=91((144)215=oo 91) = + 10 1 5 = 10 12 9) 2 1 1 10 P(T ) = 4 12 P(4P(oT9))==14015 10 192 12 UnidPad(T3P. )E(sT=ta1)1d1P42í0=st(ic1S34a0)  = 3 P(S) = 3 10 10   P(P) = 3

Tema 2 // Probabilidad de la ocurrencia sucesiva de eventos Esta probabilidad indica que puede suceder uno de los dos eventos mutua- mente excluyentes; esto es, que salga la tarjeta con el número 4 o que salga tarjeta con el número 9. Podemos concluir que: Cuando dos eventos no pueden ocurrir simultáneamente al realizar un experimento, se dice que éstos son mutuamente excluyentes o inde- pendientes y para terminar la probabilidad de dos eventos de este tipo se suman las probabilidades de que ocurra cada evento. Diagrama de árbol Una buena estrategia en la resolución de problemas es hacer una representa- ción gráfica que esquematice y resuma la situación planteada y quizás visua- lice caminos de solución. Una de estas representaciones es el diagrama de árbol, llamado así por- que presenta divisiones y subdivisiones parecidas a ramas, brotes y hojas de un árbol. Resulta muy útil a la hora de contar casos que se pueden dar en una cierta situación. El diagrama de árbol es una forma de conocer el número de posibles resultados o arreglos que se pueden hacer con varios eventos, como en la siguiente situación: Dos niñas están jugando y una debe adivinar el arreglo que a otra haga con tres canicas de diferente color, cuando éstas caigan en tres huecos alineados (roja, blanca y amarilla). ¿Cuántos posibles arreglos se pueden hacer con esas canicas? Esto se puede representar a través de un diagrama, el cual se llama de árbol por la forma que adquiere. Observa el diagrama que muestra dichos arreglos, según el hueco que ocupe cada canica. BA R AB CANICAS RA B AR RB A BR 193   Capítulo 2.Combinatoria y probabilidad 

Secundaria Activa // Ministerio de Educación Nacional En el siguiente caso no es importante el orden: Se desea comprar un reloj y la tienda ofrece cuatro marcas diferentes y tres modelos de cada una. ¿Cuántas opciones se tienen para elegir un reloj? ¿Qué probabilidad se tiene de elegir un reloj de la marca 1 y modelo 3? RELOJ 1 M1 2 3 1 M2 2 3 1 M3 2 3 1 M4 2 3 194   Unidad 3. Estadística 

P1( A) =1ssuu+cceesso1osseps+opseirba1ldeoss+ 1 + 1 = 1P(=41o 9) = 2 10 + 66 6 6 6 66 Tema 2 // doe 9la)o=cur1rencia sucesiva de eventos PP((34) ) = 1 ProbabilPid(a4d = 110 5 6 La probabilidad de elegir unPre(Pnl(oo4j3)d)=e=1m101a=r−c0a.1110=y=6m0.1−o0d1e×lo=10350 s=e1rí0a%de 1 . 12 66 66 decEAinrh, oscirinaerqtoaubeesesecrxvuiaestloaatnrsoelaevsjamemaisprmilfoaaPrse(upAnPno()ads9=io)ben=inslsduicud1cei1ce0caeseldsoo=loesps0seee,p.xs1doppp0iseaeair=braraelid0emnos.c1stear0end×ta1o0t1ae0rds0jee=stialn1o.0sr%eaelummpnPlao(zsTom), =eáss140 sobresalientes de primero, segundPo(Ay oteBrc)e=r Pg(rAa)d+o.PH(Ba)y 4 alumnos de tercero, 3 3 de segundo y 3 de primero en una urna. y susPn(Po4(m)4=bor91e1)0s=se110co+lo1c10an en un papel depositPán(dSo)l=os 10 scsaeeilpuggLPAPuamuarnrnqnoondudrbeboioíofnaasaebg,bgllsriaarilaeliatndidorddhtioatfeoaaaad:sdcl:Pgqeddadu(eepSnee)oeie.tnlrivloeiaeecnslnireiadimtnforeaisllnoaepsasnorrciainmfeilaóul1,ePnmcPPPP0rs,(PPu((((no4,¿144Ag((9a1PPoc)n442yr)roosu((ao:at=ooTS=o99dádBq99))))1leoi11)))u0====1ne:0t===eest1=Pe1134rP=120l1é0015cna20(0(0seAt.Lo+ep1.r1)a0?rg0e+1so1r=0s=abPp0dea(0r.Bolbo1.1:)0ibt0loPia×dt×b(aaT1li1d)l0.di00dPd0ea=re=oda1qble10uua0s%mb%eqinuluiodnesaadtqliueudPnmeePPPe(nlpPno(((oaTsSP)lrddo))=t)iees-===130626316 P(4 o 9) = 110 P(P) = 53 P(T ) = 3 10 8 y laSriifeanelsapporrimeelirmaienxatcraiócncioónsisner1se1a2ecmPó(pTel)la=znoo63,mebnrteondceeus,npaalruamdneotedrme itnearcrelraPsg(rpaSrd)oo-= 3 8 babilidades se tiene lo siguiente: P(TP()S=) =4 2 P(P) = 2 10 6 8 Total de alumnos = 9 P(PS )(P=)13=0 1 P(T ) = 3 Alumnos de tercero = 3 6 7 Alumnos de segundo = 3 P(P) = 3 P(S) = 2 Alumnos de primero = 3 P(T )1=03 7 Las probabilidades son ahora: P(T ) = 38 P(P) = 2 P(S ) =63 7 PP(S(P) )==6282 18 P(P) = 6 En la segunda extracción se eliminPa(eTl) n=3o73mbre de un alumno de primeroP.(T ) = 3 6 P(T ) = 8 2 = P(S) 2 P(S) = 3 7 6 8 P(S ) = =2 2 P(P) 7 P(P) = 1 P(P) = 8 6 195 PP(T(T) =) =3 3 2=1 7 6 63   PCP(aSp()Sítu=)lo=2262.Combinatoria y probabilidad 

P(T ) = 6 PP((TT))== 33 66 Secundaria Activa // Ministerio de Educación NacPio(nSal) = 2 PP((SS))=== 22 6 666 Entonces, elPol t(qoPuta)el=ldae16s alumnos ePPPs(((PdPPe)))=8==16y1616 disminuye en uno los alumnos de primero, con probabilidades son: P(T ) = 3 el PPP((T(TT)))===838383 alumno de segundo; así pues, las 8 nombPPPPrPP((e((((SPSSPPd))))))e======u838283838282n P(S) = 3 PPP(((TTT)))=== 73723723 8 PPP(((SSS)))=== 277 En la tercerPa (sPe )e=xtr2ae probabilidades son: 8 P(T ) = 3 7 P(S) = 2 PPP(((PPP)))===727272 7 7 sgiaennYDedeeolanalqarlisaufaípcsreuoenabtreiaPtePPPalbn((((ciPeelTSPuixd))q)a)tar=ru===adteoce72662316cslai:ópnrosebaebsiclPPPoiPPPPPPd(((g((((((T62SaPeTT6622SSPPd)))=))))))e=====d======l131313e662316n662366213616qomueburen de un alumno de primero, alumno de segundo grado remCDInpoetleannezbtsoota,eseleaessjedepnemr:olpobl621soabe=sijele13imdo2abpdsleoesrsvvmaa2roqíasutnrea,d5611PPd56561111ceo((us66spa))usn==5e2é5252d161socdouenncq552252lueuexypeseuqrciumeede:enuton se realiza sin evento. El experimento 5de la u5rna odceu5BrrearncPoo411(un6l)loi=csoi166nnsriesetemepnladzeot.erminar la proba- bilidad de que u1n evento 141 texto. In4v61ita a tus compañeros(as) de grupo. Lee y analiza el6siguiente 611166×× P(6) = 1 1 = 1 6 61 = 316 1 16611×500 166 = 139391466 8 4 183 196 1 111005 xx199141944xx188311833== 720 24 6 11505 2,772300 9214 =   U16nid×ad163.=Es31ta6dística  = 1111205440x 194x 183 = 27,72300 = 9214

=P(3S ) = 2 P(S) = 2 6 Tema 2 // Pr6obabilidad de la ocurrencia sucesiva de eventos P(T ) PP((SP))dESu=lna=Pimasd(62616i6g2Pueuulr)=nilcea=ao1n3cmd16teiepóoeBnjreetramenmonpiuleoplnl,itr,oiolcudobsentlreuaremnleaemaxspspimlearuzimloa,eclnioótonc.udael P(P) = 1 6 problemas duen62aa=zida13eraeampprolexainmdao- permite dar El señor Rosas vende enciclopedias, los datos de ventas le han permi- 2 t=id1o establecer que cada vez que visita un cliente tiene una probabilidad 6 de3 1 de h2acer u2na venta de $1,000,000, una probabilida1d de 2 de ha2cer 55 5 55 5 una1venta de $500,000 y finalmente una probabilidad d1e no vender es 1 de 26 . 2 6 5 SP5i (e6l)se=ñ165or Rosas tiene programado visitar diez clientes, P¿c(u6á)n=to16venderá? 1 P6(6un)noua=Pla41ul1irracnoasinm(oruecleaamjrape)lscatoezmop;oreosebtvoleemensta,o,ssesseecoetelmoncpgalaenna.taenl teaxspcearnimiceanstdoedd41eifleareunrtneacdoeloBr eern- Pa16ra este ejemplo, una canica roja representa la probabili1dad de hacer una 1 venta6 de $1,000,000, dos canicas blancas la probabilidad de6 hacer una venta de $S1e50×e0x1t,r0a=0e0a1yl dos cuannaiccaasnviceardyesselarepprioteblaabeilxidpaedriednecniaodeiefezcvtue1ac×resn1i(nd=geub1indaovaenqtuae. 4 azar 1 estos6son6 los3c6lientes que visitará), registrándose los resultados6obte6nido3s6. 6 ×Ro16sACa=11ols503nev16fieesicltletou1a9as4ersuepslu1ec8e3xldipeenetrteeimns.eernutonaseidtieeanedne lo que, quizá, ocurra10cuando9 el se8ñor los siguientes datos:15 14 13 1 6 x 11191241059404xx118391483=EbCrCxCovlaaalje12innanen87ii3,nctcco7ta2aae=300✓217,=7223209041✓3= 24 11T05otxal194 8 720 24 941 13 2, 730 91 10 5 6 7 89 10 x = = 15 ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ 143 10 15 204 14 14 x 14Cvea=rndie1ca96 = ✓49 ✓ ✓ 143 x 14 = 196 = 49 20 20 20 400 100 20 20 400 100 De la tabla de datos, se observa que la canica roja salió tres veces, esto indi- 1240vcpaeaosxcruqEel1sus2sote,4536c0oqlt006piadu=e,,,rlaeonvb1ut4teeaa546n90zslb790a.60vlv,,,eieedm=znedena1656na4o2540at9$,,,epr0erv2oae,lx5650niic5320dme,,,0eavr,d0áe0an564$0t6373da.,e0Pal0olog0ruq,ú0nul0atei:0mq; uocio,zmláaoscu455laca872ne,,,cidcaaanisv474cie658aer,,,dlbselae635snñ743600aco948,,,lair,,,óRsato546rl546esi790óa075s,,,s,,,cvvueica566set556i254rts005oa,,,, 55, 63 48, 45, 52, 56 57, 48, 52, 76, 63, 47 52, 52, 60, Est6e10ti,po 5d69e5,mo5d85el,o se4653p,ued4e9aplicar a o4tr8o,s pr5o42b5,l,em5a3s28,y c6o541n27,e, llo5469d85,e,ter5m48i8,- 45, 49 (49.5 – 5619.57 ) 5n0a,r la5p9r,oba5b4il,idad52d,e qu5e6 un evento ocurr5a7e,n un48e,xpe4ri9m, en5to0., 50 3s6e, cLoan4s7ipm,rouglar6ac2mi,óans 6tdi3een, ceoum4n7paugtardanor,apploicr accitiaó5rn2u,ennelj7ae6mi,npgleo7n. 4iAe,nrítae6sy5d,seuepl5reo0bhaarcuern- 6sa1ev,icóon(r3,5r5is9ge.,e5en–fep54ca82trú,a.5ae)ev4ni5ta,tirelarrs4(a4c9u2un.a5nsd–imo4ue9ll.a5ac)vroiónde(v45uv92ue.,5leel.o–,55e26n,.5c)a5so2,d(e345q8.u5,e–ha44y28a.5f)allas (42.5 – 49.5) (56.5 – 63.5) (63.5 – 70.5) (70.5 – 77.5) (56.5 – 63.5) (63.5 – 70.5) (70.5 – 77.5) (35.5 – 42.5) (42.5 – 49.5)  (4C9ap.5ítu–lo 52.6C.o5m)binatoria y probabilidad 

P(T ) = 3 PP((SP62))PP===((T7S2P7213))(T==)727= 7 6 3 Secundaria Activa // Ministerio de EducacióPn(NSa)cio=na2l 6 6 cuQPineruoLSSSridtéiaiioebnohlstlsaetauniotrmbciemorpegviuPosihlaenils(aadlea621paPcdldoari)tep=ooíóadd=rnnrmé1so3etics16oas2eoteato,,sdexmvsnmpeueaolrdnsoaeeaessiacocli2ohmptlbiéanaoeaacerrfntnnáaiseceitamaciocsvtaolaáoppm.t.oeeicrdmoPPPdoreples(((amTlrSPPseq56111l))o)(ausPa6PPsdi===eg()sa((suPPPiTed6S6231=6eipm)((52eem))62SP16asn=b==cbr)t)r=arer72a=6263i=asbr13r.:.ee6216an52liezlarcoemxppeorritmamenietonstocodne Pucon(n6oALed)saiqedcdpuiseeotresceonpdiabrtua,irapnéPbe1os6456111li(el×ded6ixdeve)c1aeln=pndu=5tri>1o6odd1beo2aasqpplbauudaieleepr5iasdlratooaslebedslqarapusbnaaeeizhcllaeiio6edolrraaceeumdossniPpgn665112ud1116a14611du(oeec6055=0aa×csPi)dolt;euxr1613(=oaan665211mPc152l=oc9P16n)u4=56411111yamúe39(=4i1x6s1.3gm6ost)16aer521aep8=l3rmr52152oeo8163o=sbmda12iab,f527yi,i2clo72,i5a2dr303aql0,adu4=ec,po5r2o29n,,bd461éai;csbptieioelirnydoaalead.ll cdp2c1C¿Cau.ó.e á luasnRrA¿A¿C¿clleácCACgquqelohpnauuauullulonrgaantleeáálioirnurosecstallsetzuneerlieeaadanjjensaaulsurstnedac3emelevjeodepou0gglelsasoaomaog.zerlysdaeassl,aoppilnosrtbod¿raeuzsrgql?iseñoaalladu?tihmneabnadaéarzdzdaaiaovseaoaordasbnnrsepcltmioodocsyolrriroesoednegsqgnnysuoadauuoompncordenercuiisa?ezgteetadr,dniaisdsdele?adtoenurodoesenteononsclvsmaeúól.eodsqmam11611sn1e122upre0550roti44o0l0regpoaosxs6aopsxsuisnbu1olyt9a1ci2mda4l1rio4d3d09rda4íxoem6i?aassn=s1--b83114i8n390=54a6.0. d 2clCsO¿Ado=a7Ee,oaonn7bssg2md1matE¿Lzsu3a04oCllaea0onrip09rzíumed0eavaplaásaxsoa=rirlaepeod11c16qd416111n1eseb2ee9o112052uta50st×r4aseo36654m1ida4e400tmlbx601016ecahopdiP,,,,ux1e11l16e?r416111o=epi9eenc(d05450s1×1r2r1161s6ht161da39oi112d2o4u41c45650)xx0o516d50o6b×o4400li9907=tósa11ddxa==16,,,,cd98bnxe43eddo116e11i39=1o8a4n9ld4112o3xo4i=61do9de565604t309clb41ro1aba4258x60o6a8ot2sd3te,,,,=sn1te17,mnri8=8pn3g7do32=ee114uauees38l1r0465539neir0=42oed052530oded607n91bo,,,,,br0eo27t=a2tstese=7e:,e.3c0n7nnc229ou445601io3e0nd44n179360enr0so=o9lc0i1sdlep=,u29enerser41iin2a9mn3ór41.nseeee?rll 48, 4 57, 4 52, 7 52, 5 ¿Obtuvieron esos resultados? 60, 60, 6565Pe2458l(,,,,2dºods4556au3552dn,,,,oo)s)4645122=((369743500P56x..(551122u124n4––0040o35664x=006e2312,,,n..551440e))90l465=601709e1,,,4=r4555.9072821d604((,,,,6560a469524d0=32,,,o..4475551)425860x––5659,,,,0P35274,,,90(u7354..55n9842))564o,,,, 637en6445((587074,,,,90..55 56–5056.5) 5–077.5) ¿Cuántos sucesos elementales resultan5?0, 59, 48 3. 36, 47, 4 ¿De cuántas maneras se ppureodbeaboiblitdeanderd6de1o,os butne5on9se?,r 5 ¿Cuál es entonces la 5 dos unos, al lanzar dos dados? 198 60, 6601, , 6559, , 555,8, 6435, 49 48, 455 (35.5 – 42.5) (42.5 –5409,.5)59, (495.45, – 5562.,5) 56 57, 48 –637610,,.5563)45(006379,,,5,, .(574650–65709.28,,,54,,2–.5665764)542753,,,.,,5) 5457, 63 52, 4786, (56.5 – 63.5) (63.5 654329(,,42.54576– 5(429, .555–5272,,5   Unidad 3. Estadística  49.5)

2=1 P(S) = 3 1 12 2 63 Tema 2 // Probabilida5d de la5ocurrenci5a sucesiva de eventos P(P) 1=0 P(P) = 3 6 10 P146651111(×6)asRpEerp1iilxzr=umteo=upac52eLALEebrao16gesnaannacrnd1lisatbiracumpeoooeliecnirslngnezdipoialeddnyaat52be1saoetuaaeod0dlnerdhlbsnenpdetoesilaoyliesrrdpigparthodouunrrqsaoaocneddiuiyedldobdielunaouraoe1rdrtcabbcs5eeiellttintsaionlestopeitsoqdaojenoeercuarosennmvdadepndiiurelpeonelnef3nolrreaoaletvesucct:g,epodentelrdurreailincdeeosmaluinaaslzlqaldeoosoaqnuressmrsude..stcéaooPPPPPPuPqPPual46651121((((((rccTT((SuSPaPa(cnTaSho))))6))lel=t)z)ige==a==u==n)l==austlsa8183s3366231862io=r7273niel,q552smonétun16esseseeoo.tnnaonhftssdieaecdennaie52soogefsdneausaecanerdtgfpaaueionlrdoc.iscostdAuaaoesdnoslfí.eoe,secsoCsenetjasuueolromcesessugauoePo1l6l16641111caxsis(z50.×hrp6daael)16neas-,==11639416 8 13 1161112055040xdup6enr1o9US4b1ti39oa4nex6rblnd1ip,il8illi3raold1io8mgsa3=!rcdeaaYrm2dso7oe,pan7s2oqofd30rauee0veúsoálde=rtraliebmbft29oeelo4el1crc,stnuesosrooiossnloato9a,ysmlduaeddpploaoorsocsabo1pPva4rrlPib1i116oiPPP1611mspm(i(((05u50Pe×lT6o2SPsir)ea)e))das=x16=r==l=iaaio13b721z626316d=esl9ae41sdr3s9n41ed,x6eo¡eqlp1u8sue3ae1xe8l3eps=ietleors.r2oeqi7mn,gu72ueed3n0yned0atfooes=:ecnthou29alo4o1ssaos11ce112s2a05a,4400delxoasx1912440x=1831490=602=7, 7213040090= 24 91 14 x 14 = 196 = 49 10 extracción 5 20 20 400 100 1415 10 60, 60, 65, 55, 63 12 2 50, 59, 54, 52, 56 63, 47 Tornillo no 205 D5efectu5oso 36, 47, 62, 45, 49 defectuoso 1 61, 59, 58, ((7444658623,,,..55 ––37498447,,,09..55))546705,,, ((4765590050..55 60, 60, 65, 55, 63194 Segunda 154142P8640(,6)x= 12164405,= 196 =41740,90 65 extracción 43080, 50, 59, 54, 52,defeNc5tou6oso Defec5tu71o,so 48, 49, 50, 50 36, 47, 62, 63, 47 exTte55rra6c22641cec0,,riaó,n 61, 59, 58, 45, 49 8 516 0× ,16 = 76, 74, 65, 50 (35.5 – 42.5) 48, 13 351D6562e1905f3,e,,ctuo5s56o254,,, (56.5 – 63.5) 57, No 4585,, 4683 defectuoso 52, 56 52, 3106, 947,8 62, 63, 47 (35.5 – 42.5) P (3(4to2rn.5ill–os4n9o.5d)efect(u4o9so.5s)–= 56110651.x,59)14x5981,3= 58, 45, 49 52, 52, 52, 48, 48 (56.5 – 63.5) 720 = 24 (63.5 – 70.5) (70.5 – 7175 .51)4 13 2,730 91 14 (3250.5 – 42.5) (42.5 – 49.5) (49.5 – 56.5) (512640.x512–40 6=314.90560)= 49 (70.5 – 77.5) 100 (63.5 – 70.5) 60, 60, 65, 55, 63 48, 45, 38, 47, 65 199 50, 59, 54, 52, 56 57, 48, 49, 50, 50 36, 47, 62, 63, 47 52, 76, 74, 65, 50   Capítulo 621.C, om59b,inat5o8r,ia y45p,rob4a9bilidad  52, 52, 52, 48, 48

67 P(S) = 2 12 2 1 Secundaria Activa // Ministerio de EPd(uTca)c6=ión3 Nacional 55 5 6 P(6) = 1 P(P) = 1 6 1 6 biliOEd62PPnab((=dsSsPíee13)n)sr6=t=veea6s216sius1,n.sheepcuheodeimdpeocritraP61qn(6ut)ee=:e16n cada 1 la suma de las proba- bifurcació4n: 4 1 6 iLc1gaauda62palr=oea2bvl13eapnbrotioldi.du2acdtoddeedloasporo161bm×aá1bsi=leid1vaedntdoes (cuando 1n×o1h=ay1reemplazo) es cada uno6, o6bten3i6da después de 10 9 8 A5hora5, analiz5a este otro 6 6 36 15 14 13 ejemplo: bh52laayn1ca4s,tasrijeatla11es50xbtrlaaen19r4claas1p8y3ri6maezrau,leéss.taC11sa05elcxrue1li9an4rtexlag1r83para=olb2aa7,rbc72ih3l0ii0dvao=d. 2d4e E1n u1n arc2hivo 91 saca6r d5os ta5rjetas 11p05rixm19e4rxa 1s83ea=b2l7,a72n30c0a=e29s4114 PLa(6p61)r=ob16abilidad de que la 20 pues nuevamente en el aDpL1664111rarc0e×oPph16d6411l16r(oiu×o6vc=)b16oata=on39=hb1t6d16eia3le1riy6diolaa28rds0spdetreaocrbdojaoenbstcaiollsiudmydaeedá1122esql5364400asu006es,,,xdveeec:12nu44650ata709mo=,,,lseb14s(oc95660s1u245604,,,ae=nvsed1655on4o5230nt9,,,0osbís lh465ian673andy12ce65634r0ap0160ese,,,,xe.nm12d4p65540ie0997la=n,,,, zteo14s)965650554.8245e60278,,,,s,,, = 49 100 47, 48, 55, 63 50, 65 57, 5425,, 3586, 50 52, 65, 50 52, ig6447u5386a,,,,l al47449479,, 48 1510 14 9 138 61, 59, 58, 45, 49 52, 52, 52, 48, (49.5 – 56 (70.5 – 77 110511x051x949xA141xp83l8ic1=a3=2c7,i7ó7223n000 = 24 (35.5 – 42.5) (42.5 – 49.5) 9214 – 42.5) (42.5 – 49(5.56).5 –(6439..55)– 56.5) (63.5 – 70.5) 15 14 13 2,730 = 9(315.5 (56.5 – 63.5) (63.5 – 70.5) (70.5 – 77.5) 1414 Intég2r0a2te0a un equipo y con cuaderno y lápiz a la mano, resuelve los proble- dmoass12pq40ou12rex40tus12xes4012cp40or=em=s14ep9104na9600tña60en=r=oa1s41c04d09o09e0ntointruoascgiórunp.oCso. mpara tus resultados con los obteni- 1. Los pesos de 40 estudiantes son: 60,60, 606,0, 656,5, 5555,, 663 484,8, 454, 5, 38,38,47, 476, 5 65 50,50, 595,9, 545,4, 5522,, 5566 575,7, 484, 8, 49,49,50, 505, 0 50 36,36, 474,7, 626,2, 6633,, 4477 525,2, 767, 6, 74,74,65, 655, 0 50 61,61, 595,9, 585,8, 4455,, 4499 525,2, 525, 2, 52,52,48, 484, 8 48 a. Calcula la media de estos datos. b. Agrupa los datos en intervalos: (35.5 – 42.5) (42.5 – 49.5) (49.5 – 56.5) (35(.556.–5 4–26.35.)5) (4(623..55 –– 4790..55)) (7(409.5.5––775.65.)5) (56.5 – 63.5) (63.5 – 70.5) (70.5 – 77.5) 200   Unidad 3. Estadística