2M. MODUL RUMUS DAN PERSAMAAN TRIGONOMETRI

MODUL MATEMATIKA PEMINATAN KELAS 11 MIPA

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI A. Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut y C(cos(   ), sin(   )) Pada gambar di samping diperlihatkan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1  B(cos, sin) satuan, sehingga titik A mempunyai  koordinat (1, 0). x O  A(1,0) Misalkan <AOB = α, dan <BOC = β, maka <AOC = α +β D(cos,  sin ) Dengan mengambil sudut pertolongan <AOD = –β, maka ∆ AOC kongruen dengan ∆ BOD, akibatnya : AC = BD AC2 = BD2 …………………………………………………………….……………….. (1) Karena jari-jari lingkaran 1 satuan, maka berdasarkan rumus koordinat didapatkan : Koordinat titik B(cos α, sin α) Koordinat tititk C ((cos(α+β), sin(α+β)) Koordinat titik D(cos(–β), sin(–β)) = D(cosβ, –sinβ) Dengan menggunakan rumus jarak dua titik diperoleh : Titik A(1, 0) dan C(cos(α+β), sin(α+β)) AC2 = { cos(α+β) – 1}2 +{ sin(α+β) – 0}2 AC2 = cos2(α+β) – 2 cos(α+β) + 1 + sin2(α+β) AC2 = cos2(α+β) 2 + sin2(α+β) + 1 – 2cos(α+β) AC2 = 1 + 1 – 2cos(α+β) AC2 = 2 – 2cos(α+β) …………………………………………………………………. (2) Titik B(cos α, sin α) dan D(cosβ, –sinβ) BD2 = (cos β – cos α )2 + (–sin β – sin α)2 Rumus-Rumus Trigonometri 1

BD2 = cos2β – 2 cos β.cos α + cos2α + sin2β + 2 sinβ.sin α + sin2α BD2 = (cos2β + sin2β) + (cos2α + sin2α) – 2cosα.cosβ + 2sinα.sinβ BD2 = 1 + 1 – 2cosα.cosβ + 2sinα.sinβ AC2 = 2 – 2cosα.cosβ + 2sinα.sinβ …………………………………………………. (3) Karena AC2 = BD2 diproleh hubungan : 2 – 2cos(α+β) = 2 – 2cosα.cosβ + 2sinα.sinβ cos(α + β) = cosα.cosβ – sinα.sinβ Jadi rumus identitas cosinus jumlah dua sudut adalah : cos(α + β) = cosα.cosβ – sinα.sinβ Rumus untuk cos (α – β) dapat diperoleh dari rumus cos(α + β) dengan cara mengganti sudut β dengan sudut (–β) sebagai berikut : cos(α + (–β)) = cosα.cos(–β) – sinα.sin(–β) cos(α – β) = cosα.cosβ – (–sinα.sinβ) cos(α – β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ Jadi rumus identitas cosinus selisih dua sudut adalah : cos (α – β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ Untuk mendapatkan rumus sin (α + β) dapat diperoleh dengan menggunakan rumus- rumus yang pernah diperlajari sebelumnya, yakni : sin (900 – α) = sin α dan cos (900 – α) = cos α sehingga diperoleh : sin (α + β) = cos [900 – (α + β)] sin (α + β) = cos [(900 – α) – β] sin (α + β) = cos(900 – α).cosβ + sin(900 – α).sinβ sin (α + β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ Jadi rumus untuk identitas sinus jumlah dua sudut adalah : sin (α + β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ Rumus untuk sin (α – β) dapat diperoleh dari rumus sin(α + β) dengan cara mengganti sudut β dengan sudut (–β) sebagai berikut : sin(α + (–β)) = sinα.cos(–β) + cosα.sin(–β) sin (α – β) = sinα.cosβ + (–cosα.sinβ) sin (α – β) = sinα.cosβ – cosα.sinβ Rumus-Rumus Trigonometri 2

Jadi rumus identitas sinus selisih dua sudut adalah : sin (α – β) = sinα.cosβ – cosα.sinβ Untuk mendapatkan rumus tan(α + β) diperoleh berdasarkan rumus perbandingan tan α = sin , maka cos tan(α + β) = sin(   ) cos(   ) 1 tan(α + β) = sin.cos   cos.sin  x cos .cos  cos.cos   sin.sin  1 cos.cos  sin.cos   cos.sin  tan(α + β) = cos.cos  cos.cos  cos.cos   sin .sin  cos.cos  cos.cos  sin.  sin  cos. cos  tan(α + β) = 1  sin  sin  cos cos  tan(α + β) = tan  tan  1  tan. tan  Jadi rumus untuk tan(α + β) adalah : tan(α + β) = Rumus untuk tan (α – β) dapat diperoleh dari rumus tan(α + β) dengan cara mengganti sudut β dengan sudut (–β) sebagai berikut : tan(α – β) = tan(α + (–β)) = tan  tan( ) 1  tan. tan( ) = tan  tan  1  tan. tan  Jadi rumus untuk tan(α – β) adalah : tan (α – β) = Rumus-Rumus Trigonometri 3

Rumus-rumus diatas dipakai untuk menentukan nilai eksak suatu bentuk sinus, cosinus, tangens atau yang lainnya. Nilai eksak adalah nilai yang didapat dari proses perhitungan dan tidak dilakukan pembulatan atau taksiran. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini: 01. Tentukanlah nilai eksak dari : (a) cos 750 (b) cos 1650 Jawab (a) cos 750 = cos(450 + 300) = cos450.cos300 – sin450.sin300 = ( 1 2 )( 1 3 ) – ( 1 2 )( 1 ) 22 22 = 1 6–1 2 44 = 1 ( 6  2) 4 (b) cos 1650 = cos(2100 – 450) = cos2100.cos450 + sin2100.sin450 = (  1 3 )( 1 2 ) + (  1 )( 1 2 ) 22 22 = 1 6 – 1 2 44 =  1 ( 6  2) 4 02. Tentukanlah nilai eksak dari : (b) sin 2850 (a) sin 150 Jawab (a) sin 150 = sin(450 – 300) = sin450.cos300 – cos450.sin300 1 2 )( 1 3)–(1 2 )( 1 ) =( 2 22 2 = 1 6–1 2 44 = 1 ( 6  2) 4 (b) sin 2850 = sin(2400 + 450) = sin2400.cos450 + cos2400.sin450 = (  1 3 )( 1 2 ) – (  1 )( 1 2 ) 22 22 = 1 6 + 1 2 44 =  1 ( 6  2) 4 Rumus-Rumus Trigonometri 4

03. Tentukanlah nilai eksak dari : (b) tan 2550 (a) tan 1050 Jawab (a) tan 1050 = tan(600 + 450) = tan600  tan 450 1  tan600. tan 450 = 3 1 1  ( 3)(1) = 1 3 x 1 3 1 3 1 3 1 3  3 3 = 13 42 3 = 2 = 2 3 (b) tan 2550 = tan(3000 – 450) = tan3000  tan 450 1  tan3000. tan 450  3 1 = 1  (- 3)(1) = 1 3 x 1 3 1 3 1 3 1 3  3 3 = 13 42 3 = 2 = 2 3 04. Tentukanlah nilai eksak dari : (b) cot 3450 (a) sec 2550 Jawab (a) cos 2550 = cos(2100 + 450) = cos2100.cos450 – sin2100.sin450 = (  1 3 )( 1 2 ) – (  1 )( 1 2) 22 22 = 1 6 + 1 2 44 2 6 = 4 Rumus-Rumus Trigonometri 5

Jadi sec 2550 = 4 2 6 = 4 x 2 6 2 6 2 6 = 4( 2  6) 26 = 4( 2  6) 4 =  ( 2  6) (b) tan 3450 = tan(3000 + 450) = tan3000  tan 450 1  tan3000. tan 450  3 1 = 1  (- 3)(1) 1 3 = 1 3 Jadi cot 3450 = 1  3 1 3 = 1 3 x 1 3 1  3 1 3 = 1 3  3 3 13 = 42 3 2 =  (2  3) 05. Diketahui sin  = –4/5 dan cos  = 7/25, dimana  sudut di kwadran III dan  di kuadran IV. Tentukanlah nilai dari : (a) sin (  –  ) (b) cos (  –  ) (c) tan(  –  ) Jawab 5 25 24 4  7 Karena 3α di kuadran III maka sin α = –4/5 cos α = –3/5 tan α = 3/4 Rumus-Rumus Trigonometri 6

Karena β di kuadran IV maka sin β = –24/25 cos β = 7/25 tan β = –24/7 sehingga : (a) sin (α – β) = sinα.cosβ – cosα.sinβ = (  4 )( 7 ) – (  3 )(  24 ) 5 25 5 25 =  28 – 72 125 125 =  100 125 = 4 5 (b) cos (α – β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ = (  3 )( 7 ) + (  4 )(  24 ) 5 25 5 25 =  21 + 96 125 125 = 75 125 =3 5 (c) tan (α + β) = tan  tan  1  tan. tan  = (3/4)  (24/7) 1  (3/4)(24/7) = (3/4)  (24/7) x 28 1  (72/28) 28 = 21  96 28  72 =  75 100 = 3 4 06. Buktikanlah bahwa : cos(A  B) = 1 – tanA.tanB cos A.cos B Jawab Ruas kiri = cos(A  B) cos A.cos B = cos A.cos B  sin A.sin B cos A.cos B Rumus-Rumus Trigonometri 7

= cos A.cos B – sin A.sin B cos A.cos B cos A.cos B = 1 – tanA.tanB = ruas kanan 07. Buktikanlah bahwa cos(A + B).cos(A – B) = cos2A – sin2B Jawab = cos(A + B).cos(A – B) Ruas kiri = (cosA.cosB – sinA.sinB)( cosA.cosB + sinA.sinB) = cos2A.cos2B – sin2A.sin2B = cos2A.(1 – sin2B) – (1 – cos2A).sin2B = cos2A – cos2A.sin2B – sin2B + cos2A.sin2B = cos2A – sin2B = ruas kanan 08. Buktikanlah bahwa sin(A  B)  sin(B  C)  sin(C  A)  0 sin A..sin B sin B.sin C sin C.sin A Jawab Ruas kiri = sin(A  B)  sin(B  C)  sin(C  A) sin A..sin B sin B.sin C sin C.sin A = sin A cosB  cosA.sin B  sin BcosC  cosBsin C  sin C cosA  cosCsin A sin A..sin B sin B.sin C sin C.sin A = cosB  cosA  cosC  cosB  cosA  cosC sin B sin A sin C sin B sin A sin C =0 = ruas kanan 09. Buktikanlah bahwa tan3  – tan2 – tan = tan3 .tan2 .tan Jawab Ruas kiri = tan3 – tan2 – tan = tan3 – (tan2 + tan ) = tan3 – (tan2  tan) (1 – tan2 .tan ) 1  tan2. tan = tan3 – tan3 (1 – tan2 .tan ) = tan3 – tan3 + tan3 tan2 .tan = tan3 tan2 .tan = ruas kanan Rumus-Rumus Trigonometri 8

10. Jika dalam segitiga ABC berlaku sin2A + sin2B = sin2C, maka tunjukkanlah bahwa sudut C siku-siku. Jawab sin2A + sin2B = sin2C sin2A + sin2B = sin2(180 – [A+B])0 sin2A + sin2B = sin2[A+B] sin2A + sin2B = (sinA.cosB + cosA.sinB)2 sin2A + sin2B = sin2A. cos2B + 2sinA.cosB.cosA.sinB + cos2A. sin2B sin2A – sin2A. cos2B + sin2B – cos2A. sin2B = 2sinA.cosB.cosA.sinB sin2A(1 – cos2B) + sin2B(1 – cos2A) = 2sinA.cosB.cosA.sinB sin2A.sin2B + sin2B.sin2A = 2sinA.cosB.cosA.sinB 2 sin2A.sin2B = 2sinA.cosB.cosA.sinB sinA.sinB = cosA.cosB cosA.cosB – sinA.sinB = 0 cos (A + B) = cos 900 A + B = 900 Karena A + B + C = 1800 900 + C = 1800 <C = 900 11. Jika pada segitiga ABC berlaku a.cos B = b.cos A , buktikanlah bahwa segitiga ABC sama kaki Jawab Menurut aturan sinus : a = b = c = 2R sin A sin B sin C Maka a.cos B = b.cos A 2R.sinA.cosB = 2R.sinB.cosA sinA.cosB = sinB.cosA sinA.cosB – sinB.cosA = 0 sin(A – B) = 0 sin(A – B) = sin 00 A – B = 00 jadi A = B sehingga ABC sama kaki Rumus-Rumus Trigonometri 9

SOAL LATIHAN 01 A. Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut 01. Nilai eksak dari sin 150 = ….. A. 1 2 6) B. 1 6 2) C. 1 2 6) ( ( ( 4 4 4 D. 1 2 6) E. 1 2  6) ( ( 2 2 02. Nilai eksak dari cos 750 = ….. A. 1 2 6) B. 1 6 2) C. 1 2 6) ( ( ( 4 4 4 D. 1 2 6) E. 1 2  6) ( ( 2 2 03. Nilai eksak dari sin 2850 = ….. A. 1 2 6) B. 1 6 2) C. 1 2 6) ( ( ( 4 4 4 D.  1 ( 2  6) E. 1 2  6) ( 4 2 04. Nilai eksak dari cos 3450 = ….. A. 1 2 6) B. 1 6 2) C. 1 2 6) ( ( ( 4 4 4 D. 1 2 6) E. 1 2 6) ( ( 2 2 05. Nilai eksak dari csc 1950 = … A. ( 6  2) B. ( 6  2) C. ( 2  6) C. ( 2  6) D.  ( 6  2) E. 1 6 2) C. 3 – 2 ( 2 06. Nilai eksak dari sec 3450 = … A. ( 6  2) B. ( 6  2) D.  ( 6  2) E. 1 6 2) ( 2 07. Nilai eksak dari tan 1950 = … A. 2 + 3 B. 2 – 3 D. – (2 + 3 ) E. 1 (2  3) 2 Rumus-Rumus Trigonometri 10

08. Nilai eksak dari cot 3450 = … A. 2 + 3 B. 2 – 3 C. 3 – 2 D. – (2 + 3 ) E. 1 (2  3) 2 09. Diketahui sin  = 3/5 dan cos  = 12/13 dengan  sudut tumpul dan  sudut lancip. Nilai dari sin ( +  ) = … A. 16/63 B. –16/63 C. 16/65 D. –16/65 E. 56/65 10. Diketahui sin  = –12/13 dan cos  = –4/5 dengan  dikuadran ke III dan  di kuadran ke II. Nilai dari cos ( –  ) = … A. 56/65 B. –56/65 C. 16/65 D. –16/65 E. 12/65 11. Diketahui sin = 5/13 dan sin  = –4/5 dimana 900 <  < 1800 dan 2700 <  < 3600 Nilai dari tan ( +  ) = … A. 42/16 B. 63/16 C. –63/16 D. 33/56 E. –21/8 12. Nilai tan  tan setara dengan … tan  tan A. sin (   ) B. sin (   ) C. sin (   ) cos (   ) cos (   ) sin (   ) D. cos (   ) E. sin (   ) cos (   ) sin (   ) 13. Nilai dari cos (   ) setara dengan … cos  . cos  A. 1 + sinα.cosβ B. 1 – sinα.sinβ C. 1 + tanα.tanβ D. 1 – tanα.tanβ E. 1 + cosα.cosβ 14. sin  + sin ( +1200 ) + cos (2100 –  ) = A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 15. Nilai tan (450 +  ) setara dengan … A. cos  sin  B cos  sin  C. sin   cos cos  sin  cos  sin  sin   cos D. sin   cos E. sin  sin   cos sin   cos Rumus-Rumus Trigonometri 11

16. Jika 3.cos ( +  ) = cos ( –  ) maka nilai tan .tan  = … A. –3/2 B. 3/2 C. 1/2 D. –1/2 E. 2 17. Jika m = sin A + sin B dan n = cos A + cos B maka nilai m2 + n2 = … A. 2 + 2sin (A – B) B. 2 – 2.sin (A – B) C. 2 + 2cos (A – B) D. 2 – 2.cos (A – B) E. 2 – 2.cos (A + B) 18. sin 1650.cos 150 + cos 1650.sin 150 = … A. 1 3 B. 1 C. 0   2 2 D. 1 E. 1 3 2 2 19. 4.cos 2000.cos 100 – 4.sin 2000.sin 100 = … A. 2 3 B. –2 3 C. 3 D. – 3 E. 1 3 2 20. cos 800.sin 200 – sin 800.cos 200 = … A. 1 B. 1 C. 1 2  2 2 2 D. 1 2 E. 1 3   2 2 21. sin(A  B) = … B. –sinA.sinB C. cosA.sinB E. cosA.cosB tan A  tanB A. sinA.sinB D. sinA.cosB 22. 3tan2400  3 tan150 = … 2  2 tan2400 tan150 A. 2/3 B. 3/2 C. –1/2 D. 2 3 E. –2 3 23. Nilai sin (A + B).sin (A – B)= … A. cos2A + cos2B B. cos2A – cos2B C. sin2A – sin2B D. sin2A + sin2B E. sin2A + cos2B Rumus-Rumus Trigonometri 12

π 24. Jika sin (x + ) = sin x, maka nilai tan x = 3 A. 2 B.  2 C. 2 2 D. –2 2 E. 3 25. Jika A + B = 3π , maka tan B = … 4 A. tan A  1 B. tan A  2 C. tan A  1 tan A  1 tan A  2 tan A  1 D. tan A  2 E. tan A  1 tan A  2 tan A  2 26. Jika (1 + tanA).(1 + tanB) = 2 maka nilai tan (A + B) = … A. 1 B. 1/2 C. –1/2 D. –1 E. 1 3  2 27. Jika tan (A + B) = 33 dan tan A = 3 maka nilai tan B = … A. 0,2 B. 0,4 C. 0,3 D. 0,5 E. 0,8 28. Diketahui tan  = 1 2 dan  adalah sudut tumpul, maka cos (90 +  ) = …  2 A. 1 5 B. 1 5 C. 1 3  2 3 2 D. 1 3 E. 3  3 29. Pada segitiga ABC diketahui tan A = 1 dan tan B = 3, maka tan C = … A. 2 B. 4 C. –2 D. –4 E. 5 30. dari gambar disamping, nilai tan  = … 2 A. 3/16 B. 6/17 2 C. 3/17 D. 5/16 E. 1/4 3 31. Nilai dari sin(A  B) B. sinA.sinB C. – cosA.cosB E. cos (A – B) tanA tanB A. cosA.cosB D. – sinA.sinB Rumus-Rumus Trigonometri 13

32. Pada segitiga ABC diketahui sin A = 3/5 dan sin B = 5/13 serta A dan B lancip. Maka nilai dari cos C = … A. 63/65 B. 56/65 C. 33/65 D. -63/65 E. -33/65 33. Bentuk sin (  ) .sin (  ) sama nilainya dengan ... A. sin2  – sin2  B. sin  – sin C. sin  + sin D. 2.sin  sin  E. sin  – cos  34. Jika berlaku 5.cos(x + 450) + p.sin(x + 450) = q.cos x, maka nilai p x q = ... A. 30 3 B. 30 C. 30 2 D. 25 E. 25 2 35. Diketahui sinα.cosβ = 1 dan (α + β) = 5 , Nilai sin(α – β) = ... 36 A. –5/6 B. –1/2 C. –1/6 D. 1/6 E. 1/2 Rumus-Rumus Trigonometri 14

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI B. Rumus Trigonometri Sudut Ganda dan Sudut Tengahan A. Rumus Sudut Ganda Yang dimaksud dengan sudut ganda adalah sudut 2α. Untuk mendapatkan rumus trigonometri untuk sin 2α, cos 2α dan tan 2α, diperoleh dari rumus-rumus sebelumnya, yakni: (1) Sudut sin 2α sin (α + β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ sin (α + α) = sinα.cos α + cosα.sin α Sin 2α = 2.sin α.cos α ……………………………………………………….. (1) (2) Sudut cos 2α cos (α + β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ cos (α + α) = cosα.cosα + sinα.sinα cos 2α = cos2α − sin2α ……………………………………………………. (2) Rumus cos2α yang lain : cos 2α = cos2α − sin2α cos 2α = (1 – sin2α) − sin2α cos 2α = 1 – 2sin2α ………………………………………………………….. (3) atau cos 2α = cos2α − sin2α cos 2α = cos2α − (1 – cos2α) cos 2α = 2.cos2α − 1 .............................................................................. (4) (3) Sudut tan 2α tan (α + β) = tan α  tan  1  tan α.tan  tan (α + α) = tan α  tan 1  tan α. tan tan 2 α = 2.tan  ................................................................................ (5) 1  tan2 Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini: 01. Tentukanlah nilai dari : (a) 4. cos2 67,50 − 4 sin 2 67,50 + 6 2 (b) 12 3 cos 2 150 − 6 3 Jawab Rumus-Rumus Trigonometri 1

(a) 4 cos2 67,50 − 4 sin 2 67,50 + 6 2 = 4( cos2 67,50 − sin 2 67,50 ) + 6 2 = 4.cos 2(67,50) + 6 2 = 4.cos 1350 + 6 2 = 4(  1 2 ) + 6 2 2 = −2 2 + 6 2 =4 2 (b) 12 3 cos 2 150 − 6 3 = 6 3 (2 cos2 150 – 1) = 6 3 .cos 2(150) = 6 3 .cos 300 = 6 3 .( 1 3 ) 2 =9 02. Jika tan α = 1 3 dan α sudut lancip, maka tentukanlah nilai sin 2 α 2 Jawab C AC2 = AB2 + BC2 7 AC2 = 22 + ( 3 )2 3 AC2 = 7  Jadi AC = 7 A2 B Sehingga : tan α = 1 3 2 sin α = 3 = 3 x 7 = 21 7 7 77 cos α = 2 = 2 x 7 =2 7 77 77 Jadi sin 2α = 2.sinα.cosβ = 2( 21 )( 2 7 ) 77 = 2.x. 21.x.2.x. 7 7.x.7 =4 3 7 Rumus-Rumus Trigonometri 2

03. Jika cos α =  1 dan 900 < α < 1800, maka tentukanlah nilai tan2α 3 Jawab C BC2 = AC2 – AB2 3 BC2 = ( 3 )2 – (1)2 2 BC2 = 2  Jadi BC = 2 A1 B Sehingga : cosα =  1 3 tanα =  2 =  2 1 Jadi tan 2α = 2.tan  1  tan2 = 2( 2) 1 ( 2)2 = 2 2 1 2 =2 2 04. Buktikanlah bahwa 1  tan2 α = cos2 α 1  tan2 α Jawab Ruas Kiri = 1  tan2 α 1  tan2 α 1  sin 2 α cos 2 α = 1  sin 2 α cos 2 α cos 2 α  sin 2 α = cos 2 α cos 2 α cos 2 α  sin 2 α cos 2 α cos 2 α = cos 2 α  sin 2 α cos 2 α  sin 2 α = cos 2α 1 Rumus-Rumus Trigonometri 3

= cos2α = ruas kanan 05. Jika  sudut lancip yang memenuhi 2.cos2 = 1 + 2.sin 2 , maka tentukanlah nilai tan 4 Jawab 2.cos2 = 1 + 2.sin 2 2.cos2 – 1 = 2.sin 2 cos2α = 2.sin2α sin2 =1 cos2α 2 tan2α = 1/2 Sehingga tan4α = tan2(2α) 2.tan 2 = 1  tan2 2 2.(1/2) = 1  (1/2) 2 =1 1 1 4 =1 3/4 =4 3 Yang dimaksud dengan sudut tengahan adalah sudut 1 α. Untuk mendapatkan rumus 2 trigonometri untuk sin 1 α, cos 1 α dan tan 1 α, diperoleh dari rumus-rumus 22 2 sebelumnya, yakni: Karena cos 2α = 1 – 2sin2α maka cos α = 1 – 2 sin 2 1  2 2 sin 2 1  = 1 – cos α 2 sin 1  =  1  cos ................................ (6) 22 Rumus-Rumus Trigonometri 4

Karena cos 2α = 2cos2α – 1 maka cos α = 2 cos 2 1  – 1 2 2 cos 2 1  = 1 + cos α 2 cos 1  =  1  cos ................................ (7) 22 Karena tan α = sin maka tan 1  = sin 1  cos 2 2 cos 1  2 1  cos tan 1  =  2 2 1  cos 2 tan 1  =  1  cos ........................................ (8) 2 1  cos Dari rumus (8) dapat dikembangkan rumus : tan 1  =  1  cos 2 1  cos tan 1  =   1  cos    1  cos   2  1  cos   1  cos   tan 1  =  (1  cos )2 2 1  cos 2  tan 1  =  (1  cos )2 2 sin 2  tan 1  = 1  cos ............................................................................................. (9) 2 sin  Atau tan 1  =  1  cos 2 1  cos tan 1  =   1  cos    1  cos   2 1  cos    1  cos   tan 1  =  1  cos 2  2 (1  cos )2 tan 1  =  sin 2  2 (1  cos )2 tan 1  = sin  ............................................................................................ (10) 2 1  cos Rumus-Rumus Trigonometri 5

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini: 06. Tentukanlah nilai eksak dari : (b) tan 22,50 (a) cos 112,50 Jawab (a) cos 112,50 = cos 1 (2250 ) 2 =  1  cos 2250 2 1 1 2 = 2 2 =  2 2 4 = 1 2 2 2 (b) tan 22,50 = tan 1 (450 ) 2 = 1  cos 450 sin 450 1 1 2 =2 12 2 = 2 2 2 = 2 1 07. Jika cos  = 7/25 dan 2700 <  < 3600 maka tentukanlah nilai tan ½  = … Jawab C BC2 = AC2 – AB2 25 24 BC2 = (25)2 – (7)2 AC2 = 576 Jadi AC = 24  B Sehingga : cos α = 7 dan sin α =  24 A7 25 25 Rumus-Rumus Trigonometri 6

Jadi : tan 1  =  1  cos 2 sin  tan 1  1 7 =  25 2  24 25 tan 1  =  25  7 2  24 tan 1  =  18 2 24 tan 1  =  3 24 Dari uraian di atas dapat pula diturunkan Rumus trigonometri untuk Sudut Yang Lain, yakni : sin 3α = sin (2α + α) = sin2α.cosα + cos2α.sinα = (2sinα.cosα).cosα + (1 – 2.sin2α).sinα = 2.sinα.cos2α + sinα – 2.sin3α = 2.sinα.(1 – sin2α) + sinα – 2.sin3α = 2.sinα – 2sin3α + sinα – 2.sin3α = −4.sin3α + 3.sin α cos 3α = cos (2α + α) = cos2α.cosα – sin2α.sinα = (2cos2α – 1)cosα – 2.sinα.cosα.sinα = 2.cos3α – cosα – 2.sin2α.cosα = 2.cos3α – cosα – 2.(1 – cos2α)cosα = 2.cos3α – cosα – 2.cosα + 2cos3α = 4.cos3α − 3.cos α Selain dua rumus di atas, dengan cara yang sama dapat juga diturunkan rumus-rumus yang lain Berikut ini akan diberikan penerapan rumus-rumus diatas untuk menentukan nilai eksak dari suatu bentuk trigonometri Rumus-Rumus Trigonometri 7

06. Tentukanlah nilai eksak dari : (a) sin 180 (b) cos 180 Jawab (a) Misalkan x = 180 maka 5x = 900 3x + 2x = 900 3x = 900 – 2x Sehingga : sin 3x = sin (900 – 2x) sin 3x = cos 2x Misalkan sin x = A −4.sin3x + 3.sin x = 1 – 2.sin2x 2 – 4A3 + 3A = 1 – 2A2 4A3 – 2A2 – 3A + 1 = 0 (A – 1)(4A2 + 2A – 1) = 0 Maka diperoleh A = 1 atau A = 5  1 atau A =  5  1 44 Tentu saja nilai sin180 bukan 1 dan juga bukan negatif, jadi yang memenuhi adalah sin180 = 1 ( 5  1) 4 (b) cos2180 = 1 – sin2180 cos2180 = 1 –  5 1  2 4 cos2180 = 16 –  6 2 5  16 16 cos2180 = 10  2 5 16 cos180 = 10  2 5 16 cos180 = 1 10  2 5 4 07. Jika A + B + C = 1800, buktikanlah bahwa : sin2A + sin2B + sin2C = 4.sinA.sinB.sinC Jawab sin2A + sin2B + sin2C = sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin 2A + sin 2B + sin (3600 – 2(A + B)) = sin 2A + sin 2B – sin 2(A + B) = sin 2A + sin 2B – sin2A.cos2B – cos2A.sin2B = sin 2A (1 – cos2B) + sin 2B (1 – cos2A) = sin 2A.2.sin2B + sin 2B.2.sin2A Rumus-Rumus Trigonometri 8

= 2sinA.cosA.2.sin2B + 2sinB.cosB.2.sin2A 9 = 4.sinA.cosA.sin2B + 4sinB.cosB.sin2A = 4sinA.sinB (sinA.cosB + cosA.sinB) = 4.sinA.sinB.sin(A + B) = 4.sinA.sinB.sin(180 – C) = 4.sinA.sinB.sinC 08. Buktikanlah bahwa 2.tan 2x = cos x  sin x – cos x  sin x cos x  sin x cos x  sin x Jawab Ruas kanan = cos x  sin x – cos x  sin x cos x  sin x cos x  sin x = (cos x  sin x)2  (cos x  sin x)2 cos 2 x  sin 2 x = cos2 x  2.sin x.cos x  sin 2 x  cos2 x  2.sin x.cos x  sin 2 x cos 2x = 4.sin x.cos x cos 2x = 2.sin 2x cos 2x = 2.tan2x = ruas kiri 09. Buktikanlah bahwa 32.cos2x. sin4x = 2 – cos 2x – 2.cos 4x + cos 6x Jawab Ruas kanan = 32.cos2x. sin4x = 4(2.cos2x)(2sin2x)2 = 4.(cos2x + 1)(1 – cos2x)2 = 4.(cos2x + 1)(1 – 2cos2x + cos22x) = 4.(cos2x + 1)(1 – 2cos2x + 1 (cos4x + 1)) 2 = 2.(cos2x + 1)(2 – 4cos2x + cos4x + 1) = 2.(cos2x + 1)(3 – 4cos2x + cos4x) = 2.(3cos2x – 4cos22x + cos2x.cos4x + 3 – 4cos2x + cos4x) Rumus-Rumus Trigonometri

= 6cos2x – 4(cos4x + 1) + cos6x + cos2x + 6 – 8cos2x + 2cos4x = 6cos2x + cos2x – 8cos2x – 4cos4x + 2cos4x + cos6x – 4 + 6 = –cos2x – 2cos4x + cos6x + 2 = 2 – cos 2x – 2.cos 4x + cos 6x = ruas kanan 10. Jika tan (A + B) = p dan tan (A – B) = q, buktikanlah bahwa tan 2A = p  q 1 pq Jawab tan 2A = tan(A + A) = tan [(A + B) + (A – B)] = tan(A  B)  tan(A  B) 1 tan(A  B).tan(A  B) = pq 1 pq 11. Jika pada segitiga ABC berlaku (tan A – cot B) sin 2A = 4.cos C, maka buktikanlah bahwa segitiga ABC siku-siku atau salah satu sisinya dua kali sisi yang lain Jawab (tan A – cot B) sin 2A = 4.cos C  sin A  cos B  sin2A = 4.cosC  cos A sin B  sin A sin B  cosA.cosB .2.sinA.cosA = 4.cosC cosA..sin B  cos(A  B) .2.sinA – 4.cosC = 0 .sin B  2 cos(1800  C).sin A – 4.cosC = 0 .sin B  2 cos(1800  C).sin A – 4.cosC = 0 .sin B 2.cosC.  sin A  2 = 0 .sin B Rumus-Rumus Trigonometri 10

Jadi 2.cosC = 0 < C = 900 maka segitiga siku-siku sin A  2 = 0 sinA = 2.sinB maka 1 = 2 .sin B .sin B .sin A Sehingga a : b = 1 : 2. Jadi a = 2b 12. Buktianlah bahwa 64.sin4x. cos4x = 9 + 6.cos 4x + cos24x – cos22x Jawab Ruas Kiri = 64.sin4x. cos4x = 64. 1  cos2x  2 1  cos2x  2  2   2  = 4.(1 – 2cos2x + cos22x) (1 + 2cos2x + cos22x) = 4.(1 – 2cos2x + 1  cos 4x )(1 + 2cos2x + 1  cos 4x ) 22 = (2 – 4.cos2x + 1 + cos4x)(2 + 4.cos2x + 1 + cos4x) = (3 – 4.cos2x + cos4x) (3 + 4.cos2x + cos4x) = ([3 + cos4x] – 4.cos2x) ([3 + cos4x] + 4.cos2x) = [3 + cos4x]2 – 4.cos22x = 9 + 6.cos 4x + cos24x – cos22x = ruas kanan 13. Nilai 2.cos 720. cos 360 = .... A. 2 B. 3/4 C. 1/2 D. –3/4 E. –2 Jawab 2.cos 720. cos 360 = 2.cos (90 – 18)0. cos 360 = 2.sin180. cos 360 = 2.sin180.cos180 cos 360 cos180 = sin 360 cos 360 cos180 = 2sin 360 cos 360 2 cos180 Rumus-Rumus Trigonometri 11

= sin 720 2 cos180 = sin(90 18)0 2 cos180 = cos180 2 cos180 = 1/2 14. Buktikanlah bahwa sin3100 + sin31300 + sin32500 = –3/8. Jawab sin3A = sin2A.cosA + cos2A.sinA sin3A = 2.sinA.cos2A + (1 – 2sin2A).sinA sin3A = 2.sinA.(1 – sin2A ) + sinA – 2sin3A sin3A = 3sinA – 4sin3A sin3A = 1 (3sinA – sin3A) 4 maka sin3100 + sin31300 + sin32500 = 1 (3sin100 – sin300) + 1 (3sin1300 – sin3900) + 1 (3sin2500 – sin7500) 44 4 = 1 (3sin100 – 1 ) + 1 (3sin1300 – 1 ) + 1 (3sin2500 – 1 ) 4 24 24 2 = 1 (3sin100 + 3sin1300 + 3sin2500 – 3 ) 42 = 3 (sin100 + sin1300) – 3 sin700 – 3 4 48 = 3 (2.sin300.cos200) – 3 sin700 – 3 4 48 = 3 (2. 1 .cos200) – 3 sin700 – 3 42 48 = 3 cos200 – 3 sin700 – 3 4 48 = 3 sin700 – 3 sin700 – 3 4 48 = –3/8 Rumus-Rumus Trigonometri 12

15. Diketahui segitiga ABC dimana c2 = a2 + b2 + ab 2 dan cos A. cos B = 1 (3 2  6) . 8 Hitunglah besar sudut-sudut segitiga tersebut Jawab Aturan kosinus : c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC 2.cosC = c2 = a2 + b2 + ab 2 cosC = A + B + C = 1800 < C = 1350 A + B + 1350 = 1800 Jadi A = 450 – B Maka ; cosA = cos (450 – B) cos A = cos450.cosB + sin450.sinB cos A = 1 2 cosB + 1 2 sinB 22 cosA.cosB = 1 2 (cos2B + sinB.cosB) 2 1 (3 2 + 6 ) = 1 2 ( 1 [cos2B + 1] + 1 sin2B) 22 2 8 2 2 ( cos2B + sin2B + 1) (3 2 + 6 ) = 3 + 3 = 2(cos2B + sin2B) + 2 1 + 3 = 2( cos2B + sin2B) (1 + 3 )2 = 4( cos2B + sin2B)2 1 + 2 3 + 3 = 4(1 + 2cos2B.sin2B) 2 3 + 4 = 4 + 4sin4B Sin4B = 1 3 2 4B = 600 Jadi <B = 150 , <A = 300 , <C = 1350 Rumus-Rumus Trigonometri 13

SOAL LATIHAN 02 B. Rumus Trigonometri Sudut Ganda dan Sudut Tengahan 01. Nilai dari 12.sin 22½0.cos 22½0. = … A. 3 2 B. 4 2 C. 3 3 D. 2 3 E. 2 2 π 02. Nilai dari 6 – 12.sin2 12 = …. A. 3 2 B. 4 2 C. 3 3 D. 2 3 E. 2 2 3π 03. Nilai dari 4 – 8.cos2 8 = …. A. 3 2 B. 4 2 C. 3 3 D. 2 3 E. 2 2 04. Nilai dari 2.tan112,50 =… 1  tan2112,50 A. 1 B. 3/2 C. 1/2 D. 2 E. 2 3 05. Jika sin A = 1/3 dan A sudut lancip maka nilai cos 2A = … A. 4 2 B. 4 2 C. 7 9 7 9 D. 4 E. 4 7 7 7 06. Jika tan  = 1/2 dan  sudut lancip maka nilai sin 2 = … A. 2 B. 2 C. 4 5 5 5 D. 3 E. 2 5 5 5 07. Jika sin A = 3/5 dan A sudut tumpul maka nilai tan 2A = … A. 12 B. – 24 C. – 12 7 7 7 D. 24 E. – 15 7 7 Rumus-Rumus Trigonometri 14

08. Jika tan B = 1/2 dan B sudut pada kuadran III maka nilai cos 2B = … A. 3 B. 4 C. 2 5 5 5 D. 1 3 E. 1 5 3 2 09. Nilai dari cos 720 + sin 720. tan 360 = … A. 3 B. 3 2 C. 1 3 2 D. 1 E. 1 2 10. Bentuk sin 2A – cos 2A sama dengan .. sin A cos A A. sec A B. csc A C. sec2A D. 2 + csc A E. 2.sec A 11. Bentuk sin3x  cos3x sama nilainya dengan sinx  cosx A. 1 – sin2x B. 1 + sin2x C. 1 – 2.sin2x C. 1 2  2 D. 1 – ½ sin2x E. 1 + 2.sin2x 2 12. Nilai eksak dari cos 22,50. = … C. 1 2  2 A. 2  2 B. 2  2 2 D. 1 2  2 E. 2 2  2 C. 1  2 2 C. 1 2  3 13. Nilai eksak dari sin 112,50. = … 2 A. 2  2 B. 2  2 D. 1 2  2 E. 2 2  2 2 14. Nilai eksak dari tan 157,50. = … A. 1  2 B. 2 1 D.  2 1 E. 2  2 15. Nilai eksak dari cos 750 = …. A. 2  3 B. 2  3 D. 1 2  3 E.  2  3 2 Rumus-Rumus Trigonometri 15

16. Nilai eksak dari tan 150 = …. A. 1  2 B. 2 1 C. 1  2 D. 3  2 E. 2  3 17. Jika tan 1 x = 3 dan x sudut tumpul maka nilai tan x = … 2 A. 2/3 B. –2/3 C. 3/4 D. –3/4 E. 1/2 18. Bentuk 1  cos  cos 2 sama nilainya dengan sin   sin 2 A. tan  B. cot  C. sec  D. csc  E. tan2 19. cos x  sin x  cos x  sin x = …. cos x  sin x cos x  sin x A. 2.sin2x B. tan 2x C. 2.tan 2x D. 2.tan x E. 2.tan 4x 20. Diketahui cos(x  y)   2 dan tan y = 7 , maka nilai tan x = …. cos(x  y) 5 5 A. 5/4 B. 5/3 C. 4/5 D. 3/5 E. 3/4 21. Jika  sudut lancip dan berlaku hubungan sin 1   x 1 , maka tan  = … 2 2x A. x2  1 B. 1  x2 C. x2  1 x2 x2 4 D. 1  x2 E. x2  1 22. Diketahui A adalah sudut lancip dan berlaku cos 1 = x  1 , maka nilai sin A = … A 2 2x A. x2 1 B. x C. x2 1 x x2 1 D. x2  1 E. x2  1 x 23. Diketahui tan (90 +  ) = –2 dengan  sudut lancip, maka cos 2  = … A. –2/5 B. 2/5 C. –3/5 D. 3/5 E. 4/5 Rumus-Rumus Trigonometri 16

24. Jika tan  = 3/4 dan  sudut lancip, maka nilai sin ½  = … A. 3 10 B. 10 C. 5 10 10 5 D. 3 5 E. 2 5 5 5 25. Jika sin  = 5/13 dan  sudut tumpul maka nilai cos ½  = … A. 5 26 B. 5 26 C. 26  26 26 26 D.  26 E. 5 13  26 13 26. Jika tan  = 1/2 dan  pada kuadran ke I maka nilai sin 4  = … A. –24/25 B. 24/25 C. 12/25 D. –12/25 E. 15/25 27. Jika sin  = –2/3 dan  pada kuadran ke III maka nilai cos 3  = …. A. 7 5 B. 7 5 C. 2 5    27 9 27 D. 7 5 E. 5 27 28. Diketahui sudut lancip A dengan cos 2A = 1/3. Nilai dari tan A = … A. 1 3 B. 1 2 C. 1 6 3 2 3 D. 2 5 E. 2 6 5 3 29. Nilai dari 4. tan750 = … 1  tan2 750 A.  3 B. 1 3 C. 1 3  2 2 E.  1 3 D. 1 3 6 3 30. Bila sin x – cos x = a, maka harga sin 2x adalah …. A. 2 a 2 B. 1 – a 2 C. a 2 + 1 D. 1 (1 – a 2 ) E. a 2 – 1 2 Rumus-Rumus Trigonometri 17

31. Jika  lancip dan sin 1  = x -1 , maka tan  = …. C. x -1 2 2x x A. x 2 -1 B. 1 x C. 2 x E. x2 -1 D. x 32. Nilai dari 2 3 – 2 = … cos100 sin100 A. 8 B. 4 D. –1 E. –8 Rumus-Rumus Trigonometri 18

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI C. Rumus Hasil Kali dan Jumlah Sinus dan Kosinus Rumus hasil kali sinus dan kosinus merupakan pengembangan dari rumus jumlah dan selisih dua sudut. Yakni sebagai berikut : sin (α + β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ sin (α − β) = sinα.cosβ − cosα.sinβ sin (α + β) + sin (α − β) = 2.sin α.cos β + 0  Jadi 2.sin α.cos β = sin (α + β) + sin (α − β) sin (α + β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ sin (α − β) = sinα.cosβ − cosα.sinβ  β sin (α + β) − sin (α − β) = 0 + 2.cos α.sin Jadi 2.cos α.sin β = sin (α + β) − sin (α − β) cos (α + β) = cosα.cosβ − sinα.sinβ cos (α − β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ  cos (α + β) + cos (α − β) = 2.cos α.cos β + 0 Jadi 2.cos α.cos β = cos(α + β) + cos(α − β) cos (α + β) = cosα.cosβ − sinα.sinβ cos (α − β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ cos (α + β) + cos (α − β) = 0 − 2.sinα.sinβ Jadi −2.sinα.sinβ = cos(α + β) − cos(α − β) Rumus-Rumus Trigonometri 1

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini: 01. Tentukanlah nilai dari : (a) 8.cos450.cos150 + 8.cos1350.sin150 (b) 2.sin7,50 [cos52,50 + sin322,50] Jawab (a) 8.cos450.cos150 + 8.cos1350.sin150 =4[cos(450 + 150) + cos(450 − 150) + sin(1350 + 150) – sin(1350 − 150)] = 4[cos600 + cos300 + sin1500 – sin1200 ] = 4[ 1 + 1 3 + 1 – 1 3 ] 22 22 =4 (b) 2.sin7,50 [cos52,50 + sin322,50] = 2.cos52,50.sin7,50 + 2.sin322,50.sin7,50 = 2.cos52,50.sin7,50 − (−2.sin322,50.sin7,50) = sin(52,50+7,50) – sin(52,50−7,50) – {cos(322,50+7,50) – cos(322,50−7,50)} = sin600 – sin450 – cos3300 + cos3150 =1 3–1 2–1 3+1 2 22 2 2 =0 02. Buktikanlah bahwa 4.cos x.cos2x.sin3x = sin2x + sin4x + sin6x Jawab Ruas kiri = 4.cosx.cos2x.sin3x = 2(2.cosx.cos2x).sin3x = 2(cos(x + 2x) + cos(x – 2x))sin3x = 2.cos3x.sin3x + 2.cos(–x).sin3x = 2.cos3x.sin3x + 2.cosx.sin3x = sin(3x + 3x) – sin(3x – 3x) + sin(x + 3x) – sin(x – 3x) = sin6x – sin0 + sin4x – sin(–2x) = sin6x – 0 + sin4x + sin2x = sin2x + sin4x + sin6x = ruas kanan Rumus-Rumus Trigonometri 2

03. Buktikanlah bahwa 2.sin(1350 + a).cos(450– a) = cos 2a Jawab Ruas kiri = 2.sin(1350 + a).cos(450– a) = sin([1350 + a] + [450– a]) + sin([1350 + a] – [450– a]) = sin1800 + sin(900 + 2a) = 0 + sin900.cos2a + cos900.sin2a = (1)cos2a + (0).sin2a = cos2a = ruas kanan Rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus merupakan bentuk manipulasi dari rumus hasil kali sinus dan kosinus yang telah dibahas sebelumnya. Proses selengkapnya adalah sebagai berikut : Misalkan A = α + β dan B = α – β, maka A=α+β A=α+β B=α–β B=α–β   A – B = 2β A + B = 2α Jadi α = 1 (A  B) Jadi β = 1 (A  B) 2 2 Sehingga diperoleh rumus : 2.sin α.cos β = sin (α + β) + sin (α − β) 2.Sin 1 (A + B). cos 1 (A – B) = Sin A + sin B 22 Jadi sin A + sin B = 2.sin (A + B). cos (A – B) 2.cos α.sin β = sin (α + β) − sin (α − β) 2.cos 1 (A + B). sin 1 (A – B) = Sin A − sin B 22 Jadi sin A − sin B = 2.cos (A + B). sin (A – B) 2.cos α.cos β = cos (α + β) + cos (α − β) 2.cos 1 (A + B). cos 1 (A – B) = cos A + cos B 22 Jadi cos A + cos B = 2.cos (A + B). cos (A – B) Rumus-Rumus Trigonometri 3

−2.sin α.sin β = cos (α + β) − cos (α − β) −2.sin 1 (A + B). sin 1 (A – B) = cos A − cos B 22 Jadi cos A − cos B = −2.sin (A + B). sin (A – B) Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini: 04. Tentukanlah nilai dari : (b) cos 1650 + cos 750 (a) sin 750 – sin 150 Jawab (a) sin 750 – sin 150 = 2.cos 1 (750 + 150). sin 1 (750 – 150) 22 = 2.cos450. sin300 = 2.( 1 2 )( 1 ) 22 =1 2 2 (b) cos 1650 + cos 750 = 2.cos 1 (1650 + 750). cos 1 (1650 – 750) 22 = 2.cos1200.sin450 = 2.(  1 )( 1 2 ) 22 = 1 2 2 05. Tentukanlah niai dari : (a) cos1950 – cos450 + cos750 (b) sin1050 + sin1950 – sin150 + sin750 Jawab (a) cos1950 – cos450 + cos750 = cos1950 + cos750 – cos450 = 2.cos 1 (1950 + 750).cos 1 (1950 – 750) – cos450 22 = 2.cos1350.cos600 – cos450 = 2(  1 2 )( 1 ) – ( 1 2 ) 22 2 = 1 2 – 1 2 22 = 2 Rumus-Rumus Trigonometri 4

(b) sin1050 + sin1950 – sin150 + sin750 = sin1050 – sin150 + sin1950 + sin750 = 2.cos 1 (1050+150).sin 1 (1050–150) + 2.sin 1 (1950+750).cos 1 (1950–750) 22 22 = 2.cos600.sin450 + 2.sin1350.cos600 = 2( 1 )( 1 2 ) + 2( 1 2 )( 1 ) 22 22 = 1 2+ 1 2 22 =2 06. Buktikanlah bahwa : (a) cos7x + cos x + cos5x + cos 3x = 4.cos4x.cos2x.cosx (b) sin10x + sin8x + sin4x + sin2x = 4.cos3x.sin6x.cosx Jawab (a) Ruas Kiri = cos7x + cos x + cos5x + cos 3x = 2.cos 1 (7x + x).cos 1 (7x – x) + 2.cos 1 (5x + 3x).cos 1 (5x – 3x) 22 22 = 2.cos4x.cos3x + 2.cos4x.cosx = 2.cos4x(cos3x + cosx) = 2.cos4x.2.cos 1 (3x + x).cos 1 (3x – x) 22 = 4.cos4x.cos2x.cosx = ruas kanan (b) Ruas Kiri = sin10x + sin8x + sin4x + sin2x = 2.sin 1 (10x + 8x).cos 1 (10x – 8x) + 2.sin 1 (4x + 2x).cos 1 (4x – 2x) 22 22 = 2.sin9x.cosx + 2.sin3x.cosx = 2.cosx(sin9x + sin3x) = 2.cosx.2.sin 1 (9x + 3x).cos 1 (9x – 3x) 22 = 4.cosx.sin6x.cos3x = 4.cos3x.sin6x.cosx = ruas kanan 07. Buktikanlah bahwa : sin2A + sin2B – sin2C = 2.sinA.sinB.cosC Jawab sin2A + sin2B – sin2C = sin2A + sin2B – sin2C = sin2B + (sinA + sinC)(sinA – sinC) = sin2B + 4sin A  C  cos  A  C  cos  A  C sin  A  C   2   2   2   2  Rumus-Rumus Trigonometri 5

= sin2B + 2sin A  C  cos  A  C  2.cos  A  C sin  A  C   2   2   2   2  = sin2B + sin(A + C).sin(A – C) = sin2B + sin(1800 – B).sin(A – C) = sin2B + sinB.sin(A – C) = sinB [sinB – sin(A – C)] = sinB. 2sin 1 (B + A – C).cos 1 (B – A + C) 22 = 2.sinB.sin 1 (1800 – 2C).cos 1 (1800 – 2A) 22 = 2.sinB.sin (900 – C).cos (900 – A) = 2.sinB.cosC.sinA = 2.sinA.sinB.cosC 08. Jika A + B + C = 2700 maka buktikanlah sin2A + sin2B + sin2C = –4.cosA.cosB.cosC Jawab sin2A + sin2B + sin2C = Sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2sin 1 (2A + 2B).cos 1 (2A – 2B) + 2.sinC.cosC 22 = 2sin (A + B).cos (A – B) + 2.sinC.cosC = 2.sin (2700 – C). cos (A – B) + 2.sinC.cosC = –2.cosC. cos (A – B) + 2.sinC.cosC = –2.cosC.[cos (A – B) – 2.sinC] = –2.cosC.[cos (A – B) – 2.sin(2700 – (A + B)] = –2.cosC.[cos (A – B) + 2.cos(A + B)] = –2.cosC.2.cosA.cosB = –4.cosA.cosB.cosC 09. Buktikanlah bahwa 16.sin5x = 10.sin x – 5.sin 3x + sin 5x Jawab Ruas kiri = 16.sin5x = 4.sinx (2.sin2x)2 = 4.sinx (1 – cos2x)2 = 4.sinx (1 – 2cos2x + cos22x) = 4.sinx – 8.sinx.cos2x + 4.sinx.cos22x = 4.sinx – 8.sinx.cos2x + 2.sinx (cos4x + 1) = 4.sinx – 8.sinx.cos2x + 2.sinx cos4x + 2.sinx = 6.sinx – 4.2.sinx.cos2x + 2.sinx cos4x Rumus-Rumus Trigonometri 6

= 6.sinx – 4(sin3x – sin x) + 2.sinx cos4x 7 = 6.sinx – 4sin3x + 4sin x + 2.sinx cos4x = 10.sin x – 5.sin 3x + sin 5x = ruas kanan 10. Buktikanlah bahwa 16. cos5x = 10.cosx + 5.cos 3x + cos 5x Jawab Ruas kanan = 16. cos5x = 4.  cos 2x 2 .cosx = 4. cos2x 12 .cosx = 4.(cos22x + 2cos2x + 1).cosx = cosx.(2[cos4x + 1] + 8cos2x + 4). = 2cosx.cos4x + 2cosx + 8cos2x.cosx + 4cosx. = 2cosx.cos4x + 8cos2x.cosx + 6cosx = cos5x + 5cos3x + 10cosx = 10.cosx + 5.cos 3x + cos 5x = ruas kanan 11. Buktikanlah bahwa cos3x. sin2x = 1 ( 2.cosx – cos 3x – cos 5x ) 16 Jawab Ruas kiri = cos3x. sin2x = cosx.cos2x. sin2x = cosx. 1 (cos2x + 1). 1 (1 – cos2x) 22 = 1 cosx. (cos2x + 1). (1 – cos2x) 4 = 1 cosx.(1 – cos22x.) 4 = 1 cosx.(1 – 1 [cos4x + 1].) 42 = 1 cosx.(1 – cos4x.) 8 = 1 cosx – 1 cos4x.cosx 88 = 1 cosx – 1 (cos5x + cos3x) 8 16 = 1 (2cosx – cos5x – cos3x) 16 = ruas kanan Rumus-Rumus Trigonometri

12. Buktikanlah bahwa 1 + cos 2x + cos 4x + cos 6x = 4.cosx .cos2x. cos3x Jawab Ruas kanan = 4.cosx .cos2x. cos3x = (2.cosx.cos2x)(2cos3x) = 2.cos3x[cos3x + cosx] = 2.cos3x.cos3x + 2.cos3x.cosx = cos6x + 1 + cos4x + cos2x = 1 + cos2x + cos4x + cos6x = ruas kiri 13. Buktikanlah bahwa sinA + sinB + sinC = 4.cos 1 C.cos 1 A.cos 1 B dimana ABC 2 22 adalah sudut-sudut pada segitiga Jawab Ruas kiri = sinA + sinB + sinC = 2.sin 1 (A + B)cos 1 (A – B) + sin2( 1 C) 22 2 = 2.sin 1 (A + B)cos 1 (A – B) + 2sin 1 Ccos 1 C 22 22 = 2.sin 1 (A + B)cos 1 (A – B) + 2sin 1 (1800 – (A+B)).cos 1 (1800 – (A+B)) 22 2 2 = 2.sin 1 (A + B)cos 1 (A – B) + 2sin (900 – 1 (A+B)).cos (900 – 1 (A+B)) 22 22 = 2.sin 1 (A + B)cos 1 (A – B) + 2cos 1 (A+B).sin 1 (A+B) 22 22 = 2.sin 1 (A + B) [cos 1 (A – B) + 2cos 1 (A+B)] 22 2 = 2.sin 1 (A + B) 2.cos 1 A.cos 1 B 2 22 = 4.sin 1 (1800 – C) .cos 1 A.cos 1 B 2 22 = 4.cos 1 C.cos 1 A.cos 1 B 222 = ruas kanan Rumus-Rumus Trigonometri 8

14. Buktikanlah bahwa cosA + cosB + cosC = 1 + 4.sin 1 C.2.sin 1 A.sin 1 B dimana ABC 2 22 adalah sudut-sudut pada segitiga Jawab Ruas kiri = cosA + cosB + cosC = 2.cos 1 (A + B)cos 1 (A – B) + cos (1800 – (A+B)) 22 = 2. cos 1 (A + B)cos 1 (A – B) – cos(A+B) 22 = 2. cos 1 (A + B)cos 1 (A – B) – (2cos2 1 (A+B) – 1) 22 2 = 2. cos 1 (A + B) [cos 1 (A – B) – cos 1 (A+B)] + 1 22 2 = 2. cos 1 (1800 – C) [–2.sin 1 A.sin 1 (–B)] + 1 2 22 = 2. sin 1 C.2.sin 1 A.sin 1 B + 1 2 22 = 1 + 4.sin 1 C.2.sin 1 A.sin 1 B 2 22 = ruas kanan 15. Buktikanlah bahwa pada segitiga ABC berlaku cotA.cotB + cotB.cotC + cotC cotA = 1 Jawab Ruas kiri = cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotD = cosA cosB + cosB cosC + cosC cosD sin A sin B sin B sin C sin C sin D = cosA.cosB.sin C  cosB.cosCsin A  cosC.cosA.sin B sin A.sin B.sin C = cosB.(cosA.sin C  sin A.cosC)  cosA.sin B.cosC sin A.sin B.sin C = cosB.sin(A  C)  cosA.sin B.cosC sin A.sin B.sin C = cos B.sin B  cos A.sin B.cosC sin A.sin B.sin C = cosB.  cosA.cosC sin A.sin C Rumus-Rumus Trigonometri 9

= cos (1800  (A  C))  cosA.cosC sin A.sin C =  cos(A  C))  cosA.cosC sin A.sin C =  cosA.cosC  sin A.sin C  cosA.cosC sin A.sin C = sin A.sin C sin A.sin C =1 = ruas kanan 16. Buktikanlah bahwa tan ½A. tan ½B + tan ½B.tan ½C + tan ½C. tan ½A = 1 dimana ABC adalah sudut-sudut suatu segitiga Jawab Ruas kiri = tan 1 A. tan 1 B + tan 1 B.tan 1 C + tan 1 C. tan 1 A 22 22 22 = tan 1 B [tan 1 A + tan 1 C] + tan 1 C.tan 1 A 22 2 22 = tan 1 B .tan 1 (A + C) [1 – tan 1 A.tan 1 C] + tan 1 C.tan 1 A 22 22 22 = tan 1 B .tan 1 (1800 – B) [1 – tan 1 A.tan 1 C] + tan 1 C.tan 1 A 22 22 22 = tan 1 B .cot 1 B [1 – tan 1 A.tan 1 C] + tan 1 C.tan 1 A 22 22 22 = (1) [1 – tan 1 A.tan 1 C] + tan 1 C.tan 1 A 22 22 = 1 – tan 1 A.tan 1 C + tan 1 C.tan 1 A 22 22 =1 = ruas kanan 17. Buktikanlah bahwa cos 2A + cos 2B – cos 2C = 4.cosA. cosB. cosC – 1 dimana A+B+C=  2 Jawab Ruas kiri = cos 2A + cos 2B – cos 2C = 2.cos 1 (2A + 2B).cos 1 (2A – 2B) – cos2C 22 = 2.cos (A + B).cos (A – B) – [1 – 2sin2C] = 2.cos (900 – C).cos (A – B) – 1 + 2sin2C Rumus-Rumus Trigonometri 10

= 2.sinC.cos (A – B) + 2sin2C – 1 = 2.sinC [cos (A – B) + sinC] – 1 = 2.sinC [cos (A – B) + sin(900 – [A+B])] – 1 = 2.sinC [cos (A – B) + cos(A+B)] – 1 = 2.sinC.2.cosA.cosB – 1 = 4.cosA. cosB. cosC – 1 = ruas kanan 18. Buktikanlah bahwa sin2A + sin2B + sin2C = 4.cosA.cosB. cosC untuk A + B + C = 900 Jawab Ruas kiri = sin2A + sin2B + sin2C = 2.sin(A + B).cos(A – B) + 2.sinC.cosC = 2.sin(900 – C) cos(A – B) + 2.sinC.cosC = 2.cosC.cos(A – B) + 2.sinC.cosC = 2.cosC.(cos(A – B) + sinC) = 2.cosC.(cos(A – B) + cos(900 – (A+B)) = 2.cosC.(cos(A – B) + cos(A+B)) = 2.cosC.2.cosA.cosB = 4.cosA.cosB.cosC 19. Untuk A+B+C = 3 buktikanlah bahwa 2 cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 4.sinA. sinB. sinC Jawab Ruas kiri = cos2A + cos2B + cos2C = 2.cos(A + B).cos(A – B) + cos2C = 2.cos(2700 – C).cos(A – B) + 1 – 2sin2C = –2.sinC.cos(A – B) – 2sin2C + 1 = –2.sinC [cos(A – B) + sinC] + 1 = 1 – 2.sinC [cos(A – B) + sin(2700 – (A+B)] = 1 – 2.sinC [cos(A – B) – cos(A+B)] = 1 + 4.sinC.sinA.sin(–B) = 1 – 4.sinC.sinA.sinB = ruas kanan 20. Buktikanlah bahwa cos 2A + cos 2B + cos 2C = 2 – 2.sinA. sinB. sinC dimana A + B + C = 3 2 Jawab Ruas kiri = cos 2A + cos 2B + cos 2C = 1 [cos2A + 1] + 1 [cos2B + 1] + cos 2C 22 Rumus-Rumus Trigonometri 11

= 1 [cos2A + cos2B] + 1 + 1 – sin 2C 2 = 2 + 1 [2.cos(A + B) cos(A – B)] – sin 2C 2 = 2 + cos(2700 – C) cos(A – B) – sin 2C = 2 – sinC.cos(A – B) – sin 2C = 2 – sinC [cos(A – B) + sinC] = 2 – sinC [cos(A – B) – sin(2700 – (A+B)] = 2 – sinC [cos(A – B) – cos(A+B)] = 2 + sinC.2.sinA.sin(–B) = 2 – sinC.2.sinA.sinB = 2 – 2.sinA. sinB. sinC = ruas kanan 21. Buktikanlah bahwa sin 2A + sin 2B + sin2 C = 1 + 2.sinA.sinB.sinC untuk A + B + C = 3 2 Jawab Ruas kiri = sin2A + sin2B + sin2C = 1 [1 – cos2A] + 1 [1 – cos2B] + sin 2C 22 = 1 [2 – cos2A – cos2B] + sin2C 2 = 1 – 1 [cos2A – cos2B] + sin2C 2 = 1 – 1 .2.cos(A + B)cos(A – B) + sin2C 2 = 1 – cos(2700 – C)cos(A – B) + sin2C = 1 + sinC.cos(A – B) + sin2C = 1 + sinC [cos(A – B) + sinC ] = 1 + sinC [cos(A – B) + sinC ] = 1 + sinC [cos(A – B) + sin(2700 – (A+B)) = 1 + sinC [cos(A – B) – cos (A+B)] = 1 + sinC [–2sinA.sin(–B)] = 1 + 2.sinA.sinB.sinC = ruas kanan Rumus-Rumus Trigonometri 12

22. Buktikanlah bahwa 16.cos2 . sin4 = 1 – 1 cos2 – cos4 + 1 cos6 22 Jawab Ruas kiri = 16.cos2 . sin4 = 16 1  cos 2  1  cos 2  2  2   2  = 2(1 + cos2 ) (1 – cos2 )2 = 2(1 – cos22 ) (1 – cos2 ) = 2(1 – 1 [1 + cos4 ])(1 – cos2 ) 2 = (2 – 1 – cos4 ])(1 – cos2 ) = (1 – cos4 ])(1 – cos2 ) = 1 – cos2 – cos4 + cos4 cos2 = 1 – cos2 – cos4 + 1 [cos(4 + 2 ) + cos(4 – 2 )] 2 = 1 – cos2 – cos4 + 1 cos6 + 1 cos2 22 = 1 – 1 cos2 – cos4 + 1 cos6 22 = ruas kanan 23. Pada segitiga ABC buktikanlah bahwa Sin2A + sin2B + sin2C = 4.sinA.sinB.sinC Jawab Ruas kiri = Sin2A + sin2B + sin2C = 2.sin 1 (2A + 2B).cos 1 (2A – 2B) + sin2(1800 – (A + B)) 22 = 2.sin(A + B).cos (A – B) – sin2(A + B) = 2.sin(A + B).cos (A – B) – 2.sin(A + B),cos(A + B) = 2.sin(A + B) [cos (A – B) – cos(A + B)] = 2.sin(A + B) [–2.sin 1 (2A).sin 1 (–2B)] 22 = 4.sin(A + B).sinA.sinB = 4.sin(1800 – C).sinA.sinB = 4.sinA.sinB.sinC = ruas kanan Rumus-Rumus Trigonometri 13

24. Buktikanlah bahwa sin 2x  sin 4x  sin 6x  tan4x cos2x  cos4x  cos6x Jawab Ruas kiri = sin 2x  sin 4x  sin 6x cos2x  cos4x  cos6x = sin 2x  sin 6x  sin 4x cos2x  cos6x  cos4x = 2.sin 4x.cos2x  sin 4x 2.cos4x.cos2x  cos4x = sin 4x.(2 cos2x  1) cos4x.(2 cos2x  1) = tan4x = ruas kanan 25. Buktikanlah bahwa 4.sin 360 cos 720 sin 1080 = 1 – cos 720 Jawab Ruas kiri = 4.sin 360 cos 720 sin 1080 = 4.sin 360 cos 720 sin(180 – 72)0 = 4.sin 360 cos 720 sin720 = 2.sin 360 2.cos 720 sin720 = 2.sin 360 sin1440 = 2.sin 360 sin(180 – 36)0 = 2.sin 360 sin360 = –cos(36 + 36)0 + cos(36 – 36)0 = – cos720 + cos00 = 1 – cos720 = ruas kanan 26. Dalam segitiga ABC buktikanlah bahwa ab  tan 1 ( A  B) Jawab 2 a  b tan 1 ( A  B) 2 a  b = 2R sin A  2R sin B ( aturan sinus a = b = c = 2R) ab 2R sin A  2R sin B sin A sin B sin C Rumus-Rumus Trigonometri 14

= sin A  sin B sin A  sin B 2sin 1 (A  B). cos 1 (A  B) =2 2 2cos 1 (A  B).sin 1 (A  B) 22 = tan 1 (A  B) . cot 1 (A  B) 22 tan 1 (A  B) =2 tan 1 (A  B) 2 27. Buktikanlah bahwa sin2A – sin2B = sin (A + B).sin (A – B) Jawab Ruas kiri = sin2A – sin2B = 1  co2A – 1  co2B 22 = 1 (cos2B – cos2A) 2 = 1 [–2sin 1 (2B + 2A).sin 1 (2B – 2A)] 22 2 = –sin(B + A).sin(–[B – A]) = sin (A + B).sin (A – B) = ruas kanan 28. Buktikanlah bahwa jika ABC suatu segitiga maka cos2A – sin2B = sin(B – A).sin C Jawab Ruas kanan = sin(B – A).sin C = sin(B – A). sin(B + A) = [sinB.cosA – cosB.sinA] [sinB.cosA + cosB.sinA] = sin2B.cos2A – cos2B.sin2A = (1 – cos2B).cos2A – cos2B.(1 – cos2A) = cos2A – cos2A. cos2B – cos2B + cos2A. cos2B = cos2A – cos2B = ruas kanan Rumus-Rumus Trigonometri 15

29. Buktikanlah bahwa jia ABC suatu segitiga maka berlaku hubungan : cos A + cos B – cos C = 4.sin ½ A.sin ½ B. sin ½ C + 1 Jawab Ruas kiri = cos A + cos B – cos C = cos A + cos B – cos(1800 – [A+B]) = 2cos 1 (A + B).cos 1 (A – B) – (2.cos2 1 (A+B) – 1) 22 2 = 2cos 1 (A + B).cos 1 (A – B) – 2.cos2 1 (A+B) + 1 22 2 = 2cos 1 (A + B) [cos 1 (A – B) – cos 1 (A+B) ] + 1 22 2 = 2cos 1 (1800 – C) [–2.sin 1 A.sin 1 (–B) ] + 1 2 22 = 2cos (900 – 1 C).2.sin 1 A.sin 1 B + 1 2 22 = 4.sin 1 A.sin 1 B.sin 1 C + 1 222 = ruas kanan 30. buktikanlah bahwa persamaan sin2A + sin2B + sin2C = 2(1 – cosA. cosB. cosC) berlaku dalam segitiga ABC Jawab Ruas kiri = sin2A + sin2B + sin2C = 1 (1 – cos2A) + 1 (1 – cos2B) + sin2[1800 – (A + B)] 22 = 1 – 1 (cos2A + cos2B) + sin2(A + B) 2 = 1 – 1 .2.cos 1 (2A + 2B). cos 1 (2A – 2B) + sin2(A + B) 22 2 = 1 – cos(A + B). cos(A – B) + 1 – cos2(A + B) = 2 – cos(A + B) [cos(A – B) – cos(A + B) ] = 2 – cos(A + B) 2.cosA.cos(–B) = 2 – 2.cos(1800 – C).cosA.cosB = 2 + 2.cosC.cosA.cosB = 2(1 – cosA. cosB. cosC) = ruas kanan Rumus-Rumus Trigonometri 16

31. Buktikanlah bahwa: cos2840 + cos2480 + cos2240 + cos2120 = 5/4 Jawab cos2840 + cos2480 + cos2240 + cos2120 = 1 (1 + cos1680) + 1 (1 + cos960) + 1 (1 + cos480) + 1 (1 + cos240) 2 222 = 1 (1 + cos1680 + 1 + cos960 + 1 + cos480 + 1 + cos240) 2 = 2 + 1 (cos1680 + cos960 + cos480 + cos240) 2 = 2 + 1 (2.cos1080.cos600 + 2.cos600.cos360) 2 = 2 + 1 (2. 1 .cos1080 + 2. 1 .cos360) 22 2 = 2 + 1 (cos1080 + cos360) 2 = 2 + 1 .2.cos720 .cos360 2 = 2 + cos720 .cos360 = 2 + cos(90 – 18)0 .cos360 = 2 + sin180 .cos360 = 2 + 2.sin180.cos180 cos 360 2 cos180 = 2 + sin 360 cos 360 2.cos180 = 2 + 2sin 360 cos 360 4 cos180 = 2 + sin 720 4.cos180 = 2 + sin(90 18)0 4.cos180 = 2 + cos180 4.cos180 = 2+ 1 4 = 5/4 Rumus-Rumus Trigonometri 17