Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore UP 4 MATEMATIKA (KOMPOSISI FUNGSI DAN INVES FUNGSI)

UP 4 MATEMATIKA (KOMPOSISI FUNGSI DAN INVES FUNGSI)

Published by Dina Widiastuti, 2021-06-17 23:16:50

Description: UP 4 MATEMATIKA (KOMPOSISI FUNGSI DAN INVES FUNGSI)

Search

Read the Text Version

i Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

Unit Pembelajaran 04 KOMPOSISI FUNGSI DAN INVES FUNGSI MATA PELAJARAN MATEMATIKA MADRASAH ALIYAH Penanggung Jawab Direktorat GTK Madrasah Direktorat Jenderal Pendidikan Islam Kementerian Agama Republik Indonesia Penyusun Untung Trisna Suwaji Wiwit Susanti Darno Raharjo Sigit Tri Guntoro Juanda Kasim Reviewer Abdur Rahman As’ari Copyright © 2020 Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah Hak CIpta Dilindungi Undang-undang Dilarang mengcopy sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Agama Republik Indonesia Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi ii

KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Undang – undang Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen Pasal 1 ayat 1 menyatakan bahwa Guru adalah pendidik profesional dengan tugas utama mendidik, mengajar, membimbing, mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta didik pada Pendidikan Anak Usia Dini jalur Pendidikan Formal, Pendidikan Dasar, dan Pendidikan Menengah. Agar dapat melaksanakan tugas utamanya dengan baik, seorang guru perlu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya secara bertahap, berjenjang, dan berkelanjutan melalui Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) guru. Untuk itu saya menyambut baik terbitnya modul ini sebagai panduan semua pihak dalam melaksanakan program PKB. Peningkatan Kompetensi Pembelajaran merupakan salah satu fokus upaya Kementerian Agama, Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan (GTK) dalam meningkatkan kualitas madrasah melalui pembelajaran berorientasi keterampilan berpikir tingkat tinggi, kontekstual, dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Program PKB dilakukan mengingat luasnya wilayah Indonesia dan kualitas pendidikan yang belum merata, sehingga peningkatan pendidikan dapat berjalan secara masif, merata, dan tepat sasaran. Modul ini dikembangkan mengikuti arah kebijakan Kementerian Agama yang menekankan pada pembelajaran berorientasi pada keterampilan berpikir tingkat tinggi atau higher order thinking skills (HOTS) dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Keterampilan berpikir tingkat tinggi adalah proses berpikir kompleks dalam menguraikan materi, membuat kesimpulan, membangun representasi, menganalisis, dan membangun hubungan dengan melibatkan aktivitas mental yang paling dasar. Sementara, nilai-nilai keislaman diintegrasikan dalam pembelajaran sebagai hidden curriculum sehingga tercipta generasi unggul sekaligus beriman dan bertakwa serta berakhlak mulia. iii Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

Sasaran Program PKB ini adalah seluruh guru di wilayah NKRI yang tergabung dalam komunitas guru sesuai bidang tugas yang diampu di wilayahnya masing-masing. Komunitas guru dimaksud meliputi kelompok kerja guru (KKG), Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP), dan Musyawarah Guru Bimbingan Konseling (MGBK). Model pembelajaran yang digunakan dalam modul ini adalah melalui moda Tatap Muka In-On-In sehingga guru tidak harus meninggalkan tugas utamanya di madrasah sebagai pendidik. Semoga modul ini dapat digunakan dengan baik sebagaimana mestinya sehingga dapat menginspirasi guru dalam materi dan melaksanakan proses pembelajaran. Kami ucapkan terima kasih atas kerja keras dan kerja cerdas para penulis dan semua pihak terkait yang dapat mewujudkan Modul ini. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai dan memudahkan upaya yang kita lakukan. Aamiin. Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Jakarta, Oktober 2020 An. Direktur Jenderal, Direktur Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah, Muhammad Zain Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi iv

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR................................................................................................................iii DAFTAR ISI .............................................................................................................................. v DAFTAR TABEL .....................................................................................................................vii DAFTAR GAMBAR................................................................................................................viii 01 PENDAHULUAN ................................................................................................................. 1 A. Latar Belakang ................................................................................................................ 1 B. Tujuan............................................................................................................................... 2 C. Manfaat ............................................................................................................................ 2 D. Sasaran ............................................................................................................................ 3 E. Petunjuk Penggunaan .................................................................................................. 3 02 TARGET KOMPETENSI ................................................................................................... 7 A. Target Kompetensi Guru ............................................................................................. 7 1. Target Kompetensi Guru........................................................................................... 7 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Guru .............................................................. 8 B. Target Kompetensi Peserta Didik.............................................................................. 9 1. Kompetensi Dasar ...................................................................................................... 9 2. Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK) ............................................................. 10 03 MATERI DAN ORGANISASI PEMBELAJARAN..........................................................12 A. Ruang Lingkup Materi .................................................................................................12 B. Organisasi Pembelajaran............................................................................................12 04 KEGIATAN PEMBELAJARAN........................................................................................13 v Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

A. Pengantar .......................................................................................................................13 B. Aplikasi dalam Kehidupan ..........................................................................................13 C. Integrasi Keislaman......................................................................................................14 D. Bahan Bacaan ...............................................................................................................15 1. Bahan Bacaan 1: Komposisi fungsi. .......................................................................15 2. Bahan Bacaan 2: Invers fungsi dan fungsi invers ............................................27 E. Aktivitas Pembelajaran ...............................................................................................36 1. Kegiatan In Service Learning – 1 (6 JP)................................................................36 2. Kegiatan On the Job Training (6 JP) ...................................................................42 3. Kegiatan In Service Learning – 2 (2 JP) ............................................................42 F. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) .........................................................................44 1. LKPD 1..........................................................................................................................44 2. LKPD 2....................................................................................................................... 50 G. Pengembangan Penilaian .........................................................................................54 05 PENILAIAN ...................................................................................................................... 56 A. Latihan Soal Asesmen Kompetensi Guru (AKG) ................................................. 56 B. Penilaian ....................................................................................................................... 60 1. Penilaian untuk Guru............................................................................................... 60 2. Penilaian untuk Peserta Didik ...............................................................................64 06 PENUTUP .........................................................................................................................68 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF.................................................................................. 69 DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................................................70 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi vi

DAFTAR TABEL Tabel 1 Target Kompetensi Guru ............................................................................... 7 Tabel 2 Indikator Pencapaian Kompetensi Guru .................................................... 8 Tabel 3 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik.................................................... 9 Tabel 4 Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik .................................. 10 Tabel 5 Organisasi Pembelajaran..............................................................................12 Tabel 6 Contoh Desain Pembelajaran Komposisi Fungsi...................................38 Tabel 7 Contoh Desain Pembelajaran Invers Fungsi...........................................40 Tabel 8 Contoh Kisi-Kisi Pengembangan Soal HOTS..........................................54 Tabel 9 Instrumen Penilaian Diri Bagi Guru .......................................................... 60 Tabel 10 Instrumen penilaian guru oleh asesor/fasilitator....................................62 Tabel 11 Instrumen penilaian diri bagi peserta didik .............................................64 Tabel 12 Instrumen penilaian peserta didik oleh guru ......................................... 66 vii Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

DAFTAR GAMBAR Gambar 1 Alur Tatap Muka In-On-In ............................................................................ 5 Gambar 2 Ilustrasi mesin komposisi ...........................................................................15 Gambar 3 Domain g∘f.....................................................................................................16 Gambar 4 Applet visualisasi komposisi......................................................................18 Gambar 5 Applet f∘g dan g∘f......................................................................................19 Gambar 6 Pemodelan panjang ikan haddock .........................................................26 Gambar 7 Invers fungsi .................................................................................................28 Gambar 8 Invers fungsi yang bukan fungsi..............................................................28 Gambar 9 Diagram Panah Fungsi Invers ..................................................................29 Gambar 10 Grafik invers suatu fungsi...........................................................................31 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi viii

01 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Unit pembelajaran ini disusun sebagai salah satu alternatif sumber bahan ajar bagi guru untuk memahami materi Komposisi dan Invers Fungsi di kelas X. Topik ini terbagai dalam dua materi yaitu: (1) Komposisi Fungsi, dan (2) Invers Fungsi. Melalui pembahasan materi yang terdapat pada unit ini, guru dapat memiliki dasar pengetahuan untuk mengajarkan materi-materi tersebut ke peserta didik yang disesuaikan dengan indikator yang telah disusun terutama dalam memfasilitasi kemampuan pengembangan kemampuan berpikir tingkat tinggi peserta didik. Untuk memudahkan guru mempelajari materi dan cara mengajarkannya, pada unit ini dimuat kompetensi dasar yang memuat target kompetensi dan indikator pencapaian kompetensi, aplikasi materi di dunia nyata, soal-soal UN, bahan pembelajaran dan pengembangan penilaian. Pada bagian pengembangan penilaian terdiri dari pembahasan soal UN dan pengembangan soal HOTS. Pada pengembangan soal HOTS guru diharapkan dapat mengembangkan soal HOTS yang sesuai dengan kompetensi yang dipelajari. Lembar Kegiatan Peserta Didik (LKPD) dapat digunakan guru untuk memfasilitasi pembelajaran. Bahan bacaan merupakan referensi yang dapat dipelajari oleh guru, maupun peserta didik, dan sebagai rujukan dalam mengembangkan kisi-kisi dan soal HOTS. Komponen-komponen di dalam unit ini dikembangkan dengan tujuan agar guru dapat dengan mudah memfasilitasi peserta didik belajar tentang komposisi dan invers fungsi serta mendorong peserta didik mencapai kemampuan berpikir tingkat tinggi. Pada Komposisi dan Invers Fungsi dibahas tentang pengertian komposisi fungsi, invers fungsi, dan aplikasinya dalam kehidupan nyata. Pada materi Komposisi Fungsi akan dibahas konsep komposisi fungsi, operasi komposisi pada fungsi, sifat-sifat operasi komposisi pada fungsi dan aplikasinya dalam kehidupan 1 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

nyata. Pada materi Invers Fungsi akan dibahas konsep fungsi invers, operasi invers pada fungsi, sifat-sifat operasi invers pada fungsi dan aplikasinya dalam kehidupan nyata. Semoga Unit ini dapat menjadi bahan referensi, kajian dan diskusi bagi guru dalam mengembangkan pembelajaran yang lebih baik di kelas. B. Tujuan Tujuan modul ini adalah: 1. Meningkatkan kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional guru melalui kegiatan PKB. 2. Meningkatkan hasil Asesmen Kompetensi Guru (AKG). 3. Menfasilitasi sumber belajar guru dan peserta didik dalam mengembangkan kurikulum, mempersiapkan dan melaksanaan pembelajaran yang mendidik. C. Manfaat Manfaat yang ingin dicapai: 1. Sebagai sumber belajar bagi guru dalam melaksanakan PKB untuk mencapai target kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional tertentu. 2. Sebagai sumber bagi guru dalam mengembangkan kurikulum, persiapan dan pelaksanaan pembelajaran yang mendidik. 3. Sebagai bahan malakukan asesmen mandiri guru dalam rangka peningkatan keprofesionalan. 4. Sebagai sumber dalam merencanakan dan melaksanakan penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar peserta didik. 5. Sebagai sumber belajar bagi peserta didik untuk mencapai target kompetensi dasar. Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 2

D. Sasaran Adapun sasaran modul ini adalah: 1. Fasilitator nasional, provinsi, dan kabupaten/kota 2. Pengawas Madrasah 3. Kepala Madrasah 4. Ketua KKG/MGMP/MGBK 5. Guru 6. Peserta didik. E. Petunjuk Penggunaan Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari dan mempraktikkan modul ini, ikutilah petunjuk belajar sebagai berikut: 1. Bacalah dengan cermat bagian pendahuluan sampai Anda memahami benar tujuan mempelajari Unit Pembelajaran ini. 2. Pelajarilah dengan seksama bagian target kompetensi sehingga Anda benar- benar memahami target kompetensi yang harus dicapai baik oleh diri Anda sendiri maupun oleh peserta didik. 3. Kegiatan Pembelajaran untuk menyelesaikan setiap Unit Pembelajaran dilakukan melalui moda Tatap Muka In-On-In sebagai berikut: a. Kegiatan In Servive Learning 1. Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka untuk mengkaji materi bersama fasilitator dan teman sejawat. Aktivitas yang dilakukan diantaranya: 1) Melakukan analisis kurikulum dan analisi hasil belajar peserta didik dari skor Ujian Nasional (UN) atau sumber lain untuk mengetahui kebutuhan kompetensi peserta didik. 2) Mempelajari konten materi ajar dan mendiskusikan materi ajar yang sulit atau berpeluang terjadi miskonsepsi. 3) Mendesain pembelajaran yang sesuai dengan daya dukung madrasah dan karakteristik peserta didik. 4) Mempelajari dan melengkapi LKPD. 3 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

5) Mempersiapkan intrumen penilaian proses dan hasil belajar. 6) Dalam kegiatan ini, dapat juga dilakukan rencana pengambilan data untuk dikembangkan menjadi Penelitian Tindakan Kelas. b. Kegiatan On Service Learning. Pada tahap ini, Anda dapat mengkaji kembali uraian materi secara mandiri dan melakukan aktivitas belajar di madrasah berdasarkan rancangan pembelajaran dan LKPD yang telah dipersiapkan. Buatlah catatan-catatan peluang dan hambatan yang ditemui selama pelaksanaan pembelajaran dan data-data pendukung PTK. Hasil kegiatan on baik berupa tugas lembar kerja maupun tugas lainnya dilampirkan sebagai bukti fisik bahwa Anda telah menyelesaikan seluruh tugas on yang ada pada Unit Pembelajaran. c. Kegiatan In Servive Learning 2. Tahap ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk melaporkan dan mendiskusikan hasil kegiatan on. Arahkan diskusi pada refleksi untuk perbaikan dan pengembangan pembelajaran. Jika memiliki data-data hasil PTK dapat pula dijadikan sebagai bahan diskusi dalam kegiatan ini. 4. Ujilah capaian kompetensi Anda dengan mengerjakan soal tes formatif, kemudian cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang tersedia di bagian akhir Unit Pembelajaran. 5. Lakukan penilaian mandiri sebagai refleksi ketercapaian target kompetensi. Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 4

Gambar 1 Alur Tatap Muka In-On-In Dalam melaksanakan setiap kegiatan pada modul ini, Anda harus mempertimbangkan prinsip kesetaraan dan inklusi sosial tanpa membedakan suku, ras, golongan, jenis kelamin, status sosial ekonomi, dan yang berkebutuhan khusus. Kesetaraan dan inklusi sosial ini juga diberlakukan bagi pendidik, tenaga kependidikan dan peserta didik. Dalam proses diskusi kelompok yang diikuti laki- laki dan perempuan, perlu mempertimbangkan kapan diskusi harus dilakukan secara terpisah baik laki-laki maupun perempuan dan kapan harus dilakukan bersama. Anda juga harus memperhatikan partisipasi setiap peserta didik dengan seksama, sehingga tidak mengukuhkan relasi yang tidak setara. Sebelum mempelajari atau mempraktikkan modul ini, ada beberapa perangkat pembelajaran, alat dan bahan yang harus disiapkan oleh guru dan peserta didik agar proses pembelajaran berjalan dengan baik. 5 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

1. Perangkat Pembelajaran, Alat dan Bahan yang harus disiapkan oleh guru a. Perangkat Pembelajaran: 1) Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) 2) Bahan ajar 3) Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) 4) Media pembelajaran yang sesuai 5) Instrumen penilaian 6) Buku referensi. b. Alat dan bahan pemelajaran, meliputi: 1) Laptop, terinstal aplikasi matematika (misal GeoGebra) 2) LCD Projektor 3) Alat tulis 2. Alat dan Bahan yang harus disiapkan oleh peserta didik a. Buku referensi b. Kertas milimeter blok untuk mempercepat melukis grafik. c. Alat tulis Unit Pembelajaran dalam modul ini dibagi dalam 2 topik, dengan total alokasi waktu yang digunakan diperkirakan 16 Jam Pembelajaran: 1. In Servive Learning 1 : 6 JP 2. On Service Learning : 6 JP 3. In Servive Learning 2 : 4 JP Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 6

02 TARGET KOMPETENSI A. Target Kompetensi Guru Target kompetensi guru didasarkan pada Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia Nomor 16 Tahun 2007 Tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru. Dalam Unit Pembelajaran ini, target kompetensi yang dituangkan hanya yang terkait kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional. 1. Target Kompetensi Guru Tabel 1 Target Kompetensi Guru Ranah Kompetensi Target Kompetensi Guru Kompetensi 1. Menyusun rencana pembelajaran yang lengkap. Pedagogis 2. Melaksanakan pembelajaran komposisi fungsi dan invers fungsi yang mengembangkan berfikir kritis dan kreatif. 3. Mengevaluasi pelaksanaan pembelajaran dan hasil belajar peserta didik untuk berbagai tujuan. Kompetensi 4. Menguasai materi, struktur, konsep, dan pola pikir Profesional keilmuan terkait dengan komposisi fungsi dan invers fungsi. 7 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

2. Indikator Pencapaian Kompetensi Guru Tabel 2 Indikator Pencapaian Kompetensi Guru Target Kompetensi Indikator Pencapaian Kompetensi Guru 1. Menyusun 1. Menjelaskan tujuan pembelajaran komposisi rencana fungsi dan invers fungsi. pembelajaran yang lengkap. 2. Merancang sintak pembelajaran untuk memberi pengalaman belajar yang sesuai dengan tujuan pembelajaran. 3. Membuat indikator, instrumen penilaian, serta evaluasi proses dan hasil belajar peserta didik. 2. Melaksanakan 4. Melakukan pembelajaran komposisi fungsi dan pembelajaran invers fungsi dengan pengungkit kasus pekerjaan komposisi siswa/guru. fungsi dan invers fungsi 5. Melakukan pembelajaran komposisi fungsi dan yang mengem- invers fungsi dengan menyisipkan titik kritis yang bangkan berfikir sering terabaikan. kritis dan kreatif. 6. Menggunakan media pembelajaran yang menuntut membangkitkan kreativitas siswa/guru, baik dalam penggunaan maupun pembuatannya. 3. Mengevaluasi 7. Menganalisis hasil belajar peserta didik untuk pelaksanaan perbaikan atau pengayaan. pembelajaran dan hasil belajar peserta didik untuk berbagai tujuan. 4. Menguasai 8. Menjelaskan pengertian komposisi fungsi dan materi, struktur, invers fungsi. Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 8

konsep dan 9. Mengidentifikasi titik-titik kritis terkait pola pikir penyelesaian masalah komposisi fungsi dan keilmuan invers fungsi. tentang komposisi 10. Memanfaatkan strategi dalam menyelesaikan fungsi dan masalah komposisi fungsi dan invers fungsi. invers fungsi. B. Target Kompetensi Peserta Didik Target kompetensi peserta didik dalam Unit Pembelajaran ini dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar kelas XI semester 2 (dua) sesuai dengan permendikbud nomor 37 tahun 2018 Tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Pelajaran Kurikulum 2013 Pada Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah sebagai berikut: 1. Kompetensi Dasar Tabel 3 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik No. Kompetensi Dasar Target Kompetensi Dasar 3.6 Menjelaskan 1. Menjelaskan konsep komposisi pada fungsi operasi komposisi 2. Menjelaskan operasi komposisi pada fungsi pada fungsi dan 3. Menjelaskan sifat-sifat operasi komposisi operasi invers pada fungsi invers serta pada fungsi sifat-sifatnya serta 4. Menjelaskan konsep invers pada fungsi menentukan invers eksistensinya. 5. Menjelaskan operasi invers pada fungsi invers 6. Menjelaskan sifat-sifat operasi invers pada fungsi invers 9 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

7. Menentukan eksistensi operasi invers pada fungsi invers 4.6 Menyelesaikan 1. Menyelesaikan masalah yang berkaitan masalah yang dengan operasi komposisi fungsi berkaitan dengan 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan operasi komposisi dengan operasi invers suatu fungsi dan operasi invers suatu fungsi 2. Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK) Kompetensi dasar dikembangkan menjadi beberapa indikator pencapaian kompetensi sebagai acuan bagi guru untuk mengukur pencapaian kompetensi dasar. Dalam rangka memudahkan guru menentukan indikator yang sesuai dengan tuntunan kompetensi dasar, indikator dibagi menjadi tiga kategori, yaitu indikator pendukung, indikator kunci, dan indikator pengayaan sebagai berikut: Tabel 4 Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi 3.6. Menjelaskan IPK Pendukung: operasi komposisi 3.6.1 Menjelaskan konsep fungsi pada fungsi dan 3.6.2 Menjelaskan domain dan range fungsi operasi invers pada 3.6.3 Mengidentifikasi sifat-sifat fungsi fungsi invers serta 3.6.4 Menjelaskan operasi pada fungsi sifat-sifatnya serta 3.6.5 Menjelaskan operasi penjumlahan, menentukan eksistensinya. pengurangan, perkalian, dan pembagian pada fungsi. 3.6.6 Menjelaskan domain pada operasi fungsi IPK Inti: 3.6.7 Menjelaskan pengertian komposisi fungsi Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 10

3.6.8 Menjelaskan syarat fungsi dapat dikomposisikan 3.6.9 Menjelaskan domain fungsi komposisi 3.6.10 Menjelaskan sifat-sifat komposisi fungsi 3.6.11 Menjelaskan operasi invers pada fungsi 3.6.12 Menjelaskan sifat-sifat invers pada fungsi 3.6.13 Menjelaskan invers fungsi komposisi 3.6.14 Menentukan eksistensi fungsi invers IPK Pengayaan: - IPK Pendukung: - 1.6. Menyelesaikan IPK Inti: 1.6.1. Menentukan fungsi komposisi masalah yang 1.6.2. Menentukan domain fungsi komposisi berkaitan dengan operasi komposisi 1.6.3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dan operasi invers dengan operasi komposisi fungsi suatu fungsi 1.6.4. Menentukan invers fungsi 1.6.5. Menentukan invers komposisi fungsi 1.6.6. Menentukan keberadaan invers fungsi 1.6.7. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi invers suatu fungsi IPK Pengayaan: - 11 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

03 MATERI DAN ORGANISASI PEMBELAJARAN A. Ruang Lingkup Materi Ruang lingkup materi Komposisi fungsi, invers fungsi, dan fungsi invers di Madrasah Aliyah meliputi: 1. Menjelaskan pengertian komposisi fungsi 2. Menentukan komposisi dua fungsi 3. Menentukan domain komposisi dua fungsi 4. Menjelaskan sifat-sifat komposisi fungsi 5. Menyelesaikan masalah terkait komposisi fungsi 6. Menjelaskan invers dua fungsi. 7. Menentukan invers fungsi 8. Menjelaskan invers dari komposisi fungsi 9. Menentukan invers komposisi fungsi. 10. Menyelesaikan masalah terkait dengan invers fungsi. B. Organisasi Pembelajaran Guna memudahkan guru dalam mempelajari modul ini, kita akan membaginya menjadi 2 topik bahasan dengan alokasi waktu sebagai berikut: Tabel 5 Organisasi Pembelajaran Topik Materi Jumlah JP In - 1 On In - 2 1 Komposisi fungsi 332 2 Invers fungsi dan fungsi invers. 332 Total Jam Pembelajaran PKB 664 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 12

04 KEGIATAN PEMBELAJARAN A. Pengantar Unit pembelajaran komposisi fungsi dan invers fungsi ini berisi materi, aktivitas, contoh desain pembelajaran, contoh LKPD, contoh kisi-kisi soal HOTS, dan evaluasi. Diharapkan apa yang ada dalam modul ini dapat menjadi alternatif sumber belajar bagi guru maupun peserta didik dalam mempelajari komposisi fungsi dan fungsi invers sesuai target kompetensi yang telah ditetapkan. B. Aplikasi dalam Kehidupan Misalkan sebuah supermarket memberikan diskon 20% dari harga awal untuk setiap item barang. Khusus bagi yang memiliki kartu member akan mendapatkan tambahan diskon 5%. Kemudian jika konsumen tidak membawa kantong sendiri, akan dikenakan biaya per kantong plastik sebesar Rp. 500. Jika seseorang pemilik kartu member berbelanja dengan harga awal ������, dan ia memerlukan 1 kantong plastik, maka biaya yang harus dikeluarkan akan mengikuti aturan komposisi fungsi. Ilustrasi biaya yang harus dibayarkan tampak seperti gambar berikut. Invers fungsi Seperti pada kasus di atas, misalkan seseorang tidak memiliki kartu member, maka toko hanya memberikan diskon 20% dan biaya kantong plastik Rp500 per kantong. Jika orang tersebut membeli barang yang harga awalnya adalah ������ dan membutuhkan 1 kantong plastik, ia harus membayar sebesar ������(������) = 0,9 ������ + 500. Sebaliknya, jika seseorang harus membayar ������ rupiah untuk sejumlah barang dan memerlukan 1 buah kantong plastik, maka berapa harga barang mula- mula? Proses membalik untuk menentukan harga mula-mula ini merupakan 13 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

contoh kasus invers fungsi dalam kehidupan sehari-hari. Ilustrasi permasalahan di atas tampak pada gambar di bawah. C. Integrasi Keislaman Perhatikan kutipan dalam surat Al Baqarah berikut: ۗ ‫َمثَ ُل ا َّل ِذ ْي َن يُ ْن ِفقُ ْو َن اَ ْم َوا َل ُه ْم ِف ْي َسبِ ْي ِل ّٰلهلاِ َك َمثَ ِل َح ّبَ ٍة اَ ْْۢن َبتَ ْت َس ْب َع َس َنا ِب َل ِف ْي ُك ِل ُس ْۢ ْنبُ َل ٍة ِمائَةُ َحبَّ ٍة‬ ٢٦١ - ‫َوّٰلهلاُ يُ ٰض ِع ُف ِل َم ْن يَّ َش ۤا ُء ۗ َوّٰلهلاُ َوا ِس ٌع َع ِل ْي ٌم‬ “Perumpamaan orang yang menginfakkan hartanya di jalan Allah seperti sebutir biji yang menumbuhkan tujuh tangkai, pada setiap tangkai ada seratus biji. Allah melipatgandakan bagi siapa yang Dia kehendaki, dan Allah Maha Luas, Maha Mengetahui.” (Al Baqarah 261). Ayat di atas menggambarkan sebuah komposisi dalam matematika. Jika diumpamakan seseorang menginfakkan sebanyak ������ biji, maka pada tahap pertama Allah akan menumbuhkan menjadi 7������ tangkai, atau bisa dinyatakan sebagai ������(������) = 7������. Selanjutnya dari masing-masing output dari ������(������) dengan satuan tangkai ini, akan tumbuh 100 biji. Jika diibaratkan sebagai fungsi ������, maka diperoleh ������(������) = 100������. Hasil akhir dari pelipatgandaan oleh Allah ini berupa sebuah komposisi fungsi ������ ∘ ������, dengan (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) = ������(7������) = 100 ⋅ 7������ = 700������. Demikian besar karunia Allah yang akan memberikan pahala kepada yang Dia kehendaki sebesar 700 kali lipat. Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 14

D. Bahan Bacaan 1. Bahan Bacaan 1: Komposisi fungsi. Pengertian Komposisi Fungsi Perhatikan permasalahan berikut. Suatu penggilingan padi dapat memproduksi beras super melalui dua tahap. Tahap pertama dari gabah diolah menggunakan mesin-1 yang menghasilkan produk beras pecah kulit (BPK). Pada tahap kedua, dengan menggunakan mesin-2 akan memisahkan menir (butiran pecahan beras), bekatul, dan beras giling. Dalam produksinya, mesin-1 menghasilkan BPK mengikuti fungsi ������(������) = 0,9 ������ dengan ������ menyatakan berat gabah dalam kilogram. Dari mesin-2 akan dihasilkan beras giling seberat 96% dari bahan BPK yang dimasukkan. Atau jika ditulis dalam bentuk notasi, dapat dinyatakan sebagai ������(������) = 0,96 ������. Jika berat gabah di awal proses adalah 2 ton, berapa beras giling yang dihasilkan? Pada mesin-1, dari 2 ton beras akan dihasilkan ������(2) = 0,9 ⋅ 2 = 1,8 ton. Selanjutnya produk ini dimasukkan ke mesin kedua, diperoleh hasil akhir ������(1,8) = 0,96 ⋅ 1,8 = 1,728 ton beras giling. Kesimpulannya, dari 2 ton gabah melalui dua proses penggilingan akan diperoleh 1,728 ton beras giling. Untuk lebih memudahkan pemahaman, perhatikan gambar di bawah. Gambar 2 Ilustrasi mesin komposisi Dengan memandang proses di mesin pertama dan mesin kedua sebagai fungsi ������ dan ������, gabungan kedua proses di atas dinamakan sebagai komposisi fungsi. 15 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

Definisi: Jika ������ dan ������ adalah dua fungsi sedemikian sehingga ������: ������ → ������ dan ������: ������ → ������, maka komposisi fungsi ������ ∘ ������: ������ → ������, ditentukan oleh rumus (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)). Domain dari ������ ∘ ������ adalah himpunan semua ������ ∈ ������������ sedemikian sehingga ������(������) ∈ ������������. Sebagai catatan, ������ ∘ ������ dapat dibaca sebagai “������ bundaran ������”, atau “������ komposisi ������”. Berdasarkan definisi di atas, maka ������������∘������ ⊂ ������������, dan ������������∘������ ⊂ ������������. Gambar 3 Domain g∘f Syarat dua fungsi dapat dikomposisikan Misal diberikan fungsi ������(������) = ������ + 1 dengan ������������ = {−2, −1, 0, 1, 2, 3}, ������(������) = −������ − 1 dengan ������������ = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Komposisi ������ ∘ ������, tersaji dalam bentuk diagram panah berikut. Pada komposisi di atas, (������ ∘ ������)(−2) tidak ada karena ������(−2) = −1 ∉ ������������. Selanjutnya, tidak ada ������ ∈ ������������ sedemikian hingga (������ ∘ ������)(������) = −6. Dari gambar kanan, tampak bahwa ������������∘������ = {−1. 0. 1, 2. 3} ⊂ ������������, ������������∘������ = {−1, −2, −3, −4, −5} ⊂ ������������, dan ������������ ∩ ������������ = {0, 1, 2, 3, 4}. Apa yang terjadi pada pada ������ ∘ ������ jika ������������ ∩ ������������ = Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 16

∅? (Catatan: Pembaca bisa menyelidiki dengan mengambil ������������ = {−2}, dan ������������ = {5}). Jika ������������ ∩ ������������ = ∅, maka ������ tidak bisa dikomposisikan dengan ������. Dengan melihat ilustrasi di atas, dua fungsi ������ dan ������ dapat dikomposisikan menjadi ������ ∘ ������ jika ������������ ∩ ������������ ≠ ∅. Contoh 0: Diberikan fungsi ������(������) = ������2 − ������ − 1 dan ������(������) = ������ − 2, dengan domain bilangan 2 real. Tentukan (������ ∘ ������)(������). Penyelesaian: Langkah Alasan (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) Definisi komposisi fungsi Substitusi ������(������) = ������ − 1 = ������(������ − 1) Substitusi ������ = (������ − 1) ke ������(������) = ������2 − ������ − 1 (������ − 1)2 2 = 2 − (������ − 1) − 1 Uraikan ������2 − 2������ + 1 = 2 − ������ + 1 − 1 Sederhanakan ������2 1 = 2 − ������ + 2 − ������ ������2 1 = 2 − 2������ + 2 Catatan: untuk contoh-contoh berikutnya pada modul ini, untuk menghemat tempat, maka cara pengerjaan akan dilakukan secara langsung tanpa penjelasan langkah-per langkah. Dalam proses pembelajaran ke siswa, perlu dibiasakan untuk memberikan alasan pada setiap langkah. Applet pada tautan https://www.geogebra.org/m/hn8n9shs dapat digunakan untuk menampilkan proses komposisi secara visual. 17 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

Gambar 4 Applet visualisasi komposisi Contoh 1: Diberikan fungsi ������(������) = √������ untuk ������ ≥ 0 dan ������(������) = ������ − 1 untuk ������ ≥ 1. Jika ada, tentukan (������ ∘ ������)(2), dan (������ ∘ ������)(0). Jawab: Domain ������ dan ������ berturut-turut adalah ������������ = [0, ∞) dan ������������ = [1, ∞). Perhatikan bahwa Perhatikan bahwa 2 ∈ ������������, sehingga (������ ∘ ������)(2) = ������(������(2)) = ������(2 − 1) = √1 = 1 Sementara itu untuk (������ ∘ ������)(0) perhatikan bahwa ������(0) = √0 = 0 ∉ ������������, akibatnya (������ ∘ ������)(0) tidak terdefinisi. Eksplorasi untuk domain ������ ∘ ������ dan ������ ∘ ������ dapat diakses melalui tautan https://www.geogebra.org/m/msmzarmd, dan https://www.geogebra.org/m/ha67cdqj. Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 18

Gambar 5 Applet f∘g dan g∘f Contoh 2: Hitunglah nilai (������ ∘ ������)(������) dan (������ ∘ ������)(������) untuk ������ = 0, 1, dan 2, jika a. ������(������) = ������ + 2 dan ������(������) = 4 − ������2. b. ������(������) = −������ − 1 dan ������(������) = √������ c. Selidikilah, apakah berlaku ������ ∘ ������ = ������ ∘ ������? Jawab: a. (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) = ������(4 − ������2) = (4 − ������2) + 2 = −������2 + 6 (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) = ������(������ + 2) = 4 − (������ + 2)2 = 4 − (������2 + 4������ + 4) = −������2 − 4������ Untuk ������ = 0, 1, dan 2. (������ ∘ ������)(0) = −02 + 6 = 6 (������ ∘ ������)(0) = −02 − 4 ⋅ 0 = 0 (������ ∘ ������)(1) = −12 + 6 = −1 + 6 = 5 (������ ∘ ������)(1) = −12 − 4 ⋅ 1 = −1 − 4 = −5 19 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

(������ ∘ ������)(2) = −22 + 6 = −4 + 6 = 2 (������ ∘ ������)(2) = −22 − 4 ⋅ 2 = −4 − 8 = −12 b. (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) = ������(√������) = −√������ − 1 (������ ∘ ������)(������) = ������(−������ − 1) = √−������ − 1 Selanjutnya untuk ������ = 0, 1, dan 2. (������ ∘ ������)(0) = −√0 − 1 = −1 (������ ∘ ������)(0) = √−0 − 1 = √−1, tidak terdefinisi. (������ ∘ ������)(1) = −√1 − 1 = −2 (������ ∘ ������)(1) = √−1 − 1 = √−2, tidak terdefinisi. c. Secara umum secara umum ������ ∘ ������ ≠ ������ ∘ ������. Contoh 3: Tentukan domain dari komposisi (������ ∘ ������)(������) jika ������(������) = ������2 − 3 dan ������(������) = 4 √9 − ������2. Penyelesaian. (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) = ������ (√9 − ������2) = (√9 − ������2)2 − 3 = 9 − ������2 − 3 = − ������2 − 3 4 4 4 4 4 Meskipun bentuk − ������2 − 3 dapat ditentukan nilainya untuk setiap ������ ∈ ������ tetapi 44 karena input dari ������ adalah ������(������) maka tetap harus perhatikan domain ������ dimana harus memenuhi 9 − ������2 ≥ 0 atau −3 ≤ ������ ≤ 3. Secara grafis, ������������ dan ������������ tampak pada gambar bawah kiri. Selanjutnya, meskipun ������������ = [−∞, ∞] namun setelah dikomposisikan, hanya elemen ������������ yang juga menjadi anggota ������������ yang dapat diperhitungkan. Akibatnya, ������������∘������ = [−3, 3]. Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 20

. Applet untuk eksplorasi masalah di atas bisa diakses melalui tautan https://www.geogebra.org/m/nqvmrxkr. Contoh 4: Tuliskan ℎ(������) = (2������ − 5)3 sebagai komposisi dua fungsi. Penyelesaian: Jawaban perintah di atas tidak tunggal. Ada banyak menyatakan ℎ(������) sebagai hasil komposisi dua fungsi. Salah satunya adalah dengan mengambil ������(������) = 2������ − 5, dan ������(������) = ������3. Sehingga dapat dituliskan ℎ(������) = (2������ − 5)3 = ������(2������ − 5) = ������(������(������)) = (������ ∘ ������)(������). Sebagai tambahan latihan, cobalah mengambil ������(������) = 2������, atau ������(������) = ������ − 2, atau fungsi yang lain. Dapatkah Anda menemukan prosedur umum penyelesaian soal di atas? 21 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

Contoh 5: Banyak bakteri dalam suatu makanan di lemari pendingin dinyatakan dengan ������(������) = 20������2 − 80������ + 500, dengan 2 ≤ ������ ≤ 14 dan ������ menyatakan suhu makanan dalam derajat Celcius. Selanjutnya ketika lemari pendingin tidak bekerja atau mati, suhunya akan berubah mengikuti rumus ������(������) = 4������ + 2 dengan 0 ≤ ������ ≤ 3, ������ menyatakan waktu dalam jam. a. Apa interpretasi komposisi (������ ∘ ������)(������) pada konteks di atas? b. Apa interpretasi komposisi (������ ∘ ������)(������) pada konteks di atas? c. Tentukan banyak bakteri dalam makanan ketika ������ = 2 jam setelah dikeluarkan dari lemari pendingin. Penyelesaian: a. Komposisi fungsi ������(������(������)) menyatakan banyaknya bakteri setelah ������ jam dikeluarkan dari lemari pendingin. b. Perhatikan bahwa (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)). Input fungsi N adalah suhu, sedangkan outputnya berupa banyak bakteri. Sementara itu, input dari c adalah suhu, bukan banyaknya bakteri. Sehingga dalam konteks ini, (������ ∘ ������)(������) tidak memiliki makna. c. (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) = 20(4������ + 2)2 − 80(4������ + 2) + 500 = 20(16������2 + 16������ + 4) − 320������ − 160 + 500 = 320������2 + 320������ − 80 − 320������ − 160 + 500 = 320������2 + 420 Ketika ������ = 2, banyak bakteri adalah ������(������(2)) = 320(2)2 + 420 = 1700. Sifat komposisi fungsi Untuk mengetahui beberapa sifat komposisi fungsi, selidikilah komposisi berikut. i. Fungsi ������(������) = ������ dan ������(������) = 2������2 − ������. Selidikilah (������ ∘ ������)(������) dan (������ ∘ ������)(������). ii. Misalkan diberikan ������(������) = 2������, ������(������) = ������2 − ������ + 1 dan ℎ(������) = √������, akan dilihat hasil komposisi (������ ∘ (������ ∘ ℎ))(������) dan ((������ ∘ ������) ∘ ℎ))(������). Terlebih dahulu dicari. Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 22

(������ ∘ ℎ)(������) = ������(ℎ(������)) = ������(√������) = (√������)2 − √������ + 1 = ������ − √������ + 1 (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) = ������(������2 − ������ + 1) = 2(������2 − ������ + 1) = 2������2 − 2������ + 2 Selanjutnya (������ ∘ (������ ∘ ℎ))(������) = ������((������ ∘ ℎ)(������)) = ������(������ − √������ + 1) = 2(������ − √������ + 1) = 2������ − 2√������ + 2 ((������ ∘ ������) ∘ ℎ)(������) = (������ ∘ ������)(ℎ(������)) = 2(ℎ(������))2 − 2 ℎ(������) + 2 = 2(√������)2 − 2√������ + 2 = 2������ − 2√������ + 2 Ternyata diperoleh (������ ∘ (������ ∘ ℎ))(������) = ((������ ∘ ������) ∘ ℎ)(������). Contoh kasus di atas menggambarkan beberapa sifat komposisi fungsi berikut. 1. Jika sebuah fungsi ������: ������ → ������ (memetakan ������ ke dirinya sendiri), maka fungsi tersebut dinamakan sebagai fungsi Identitas, dan berlaku (������ ∘ ������)(������) = (������ ∘ ������)(������) = ������(������). 2. Pada umumnya tidak berlaku sifat komutatif (lihat contoh 2) (������ ∘ ������)(������) ≠ (������ ∘ ������)(������) 3. Berlaku sifat asosiatif. Misalkan ������: ������ → ������, ������: ������ → ������, dan ℎ: ������ → ������ merupakan fungsi, maka (������ ∘ (������ ∘ ℎ))(������) = ((������ ∘ ������) ∘ ℎ)(������). Sifat ketiga ini dapat dibuktikan dengan langkah sebagai berikut: (������ ∘ (������ ∘ ℎ))(������) = ������((������ ∘ ℎ)(������)) = ������(������(ℎ(������))) = (������ ∘ ������)(ℎ(������)) = ((������ ∘ ������) ∘ ℎ)(������) Contoh 6. Menentukan ������ jika ������ dan ������ ∘ ������ diketahui. Diberikan ������(������) = 2������ − 4 dan (������ ∘ ������)(������) = 4������ + 6. Tentukan fungsi ������(������). Penyelesaian: ������(������(������)) = 4������ + 6 2(������(������)) − 4 = 4������ + 6 2 ⋅ ������(������) = 4������ + 10 ������(������) = 2������ + 5 Jadi ������(������) = 2������ + 5. 23 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

Contoh 7. Menentukan ������ jika ������ dan ������ ∘ ������ diketahui. Diberikan ������(������) = 2������ − 6 dan (������ ∘ ������)(������) = ������2 + 2������ − 3. Tentukan ������(������). Penyelesaian ������(������(������)) = ������2 + 2������ − 3 (∗) Cobalah terlebih dahulu sebelum melihat alternatif penyelesaian di bawah. Cara 1. Nyatakan ������ dalam ������(������). Dari informasi ������(������) = 2������ − 6 diperoleh ������ = ������(������)+6. 2 Untuk memudahkan perhitungan, misalkan ������(������) = ������, maka diperoleh ������ = ������ + 3. 2 Dengan mensubstitusikan ke (*) diperoleh ������(������) = ������ + 2 + 2 ������ + 3) − 3 = ������2 + 3������ + 9 + ������ + 6 − 3 = ������2 + 4������ + 12 (2 (2 4 4 3) Akibatnya ������(������) = ������2 + 4������ + 12. 4 Cara 2. Karena ������(������) = 2������ − 6, selanjutnya ruas kanan pada ekspresi ������(������������ − ������) = ������2 + 2������ − 3 dinyatakan dalam suku (2������ − 6). Notasi \" ≡ \" untuk menyatakan kedua ekspresi berikut ekuivalen. Langkah pertama, nyatakan ������2 + 2������ − 3 ≡ ������(������������ − ������)2 + ������(������������ − ������) + ������ Selanjutnya dicari nilai ������, ������, dan ������ agar kedua ruas menjadi ekuivalen. ������2 + 2������ − 3 ≡ ������(4������2 − 24������ + 36) + ������(2������ − 6) + ������ ������2 + 2������ − 3 ≡ 4������������2 + (2������ − 24������)������ + 36������ − 6������ + ������ Agar kedua ruas ekuivalen, maka 4������ = 1 (1) 2������ − 24������ = 2 (2) 36������ − 6������ + ������ = −3 (3) Dari (1) diperoleh ������ = 1, selanjutnya disubstitusikan ke (2) diperoleh 2������ − 24 ⋅ 1 = 44 2 → ������ = 4. Terakhir, substitusikan ke (3), diperoleh 36 ⋅ 1 − 6 ⋅ 4 + ������ = −3 → ������ = 4 12. Akibatnya ������(������������ − ������) = 1 (������������ − ������)2 + 4(������������ − ������) + ������ atau ������(������) = 1 ������2 + 4������ + 44 ������. Contoh 8. Aplikasi populasi ikan haddock Catatan: Gunakan kalkulator. Ukuran yang digunakan pada informasi ini adalah panjang dalam inchi, berat dalam pound, usia ������ dalam tahun. Dari studi yang dilakukan terhadap ikan haddock diketahui bahwa ikan haddock tumbuh mencapai panjang maksimum 21 inchi. Selisih ������ = ������(������) antara maksimum panjang dan panjang ������ = ������(������) saat usia ������ tahun membentuk fungsi eksponensial. Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 24

(bantuan: dinyatakan dalam ������ ⋅ ������������������ dengan ������ = lim (1 + 1)������ ≈ 2,7183). ������→∞ ������ a. Jika panjang awal larva ikan haddock adalah 0,35 inci, tentukan nilai awal dari ������. b. Jika panjang ikan haddock berusia 6 tahun adalah 15,8 inchi, carilah rumus untuk ������, dinyatakan dalam ������. c. Jika berat ������ dalam satuan pound seekor ikan haddock dapat dihitung dengan rumus ������ = 0,000293 ⋅ ������3, dengan ������ menyatakan panjang ikan haddock, gunakan fungsi komposisi untuk menentukan rumus ������ berdasarkan usia ������. d. Setelah ������ tahun, total populasi ikan haddock mengikuti rumus ������ = 1000������−0,2 ������. Total biomasa populasi ikan haddock dihitung sebagai hasil kali banyak populasi ikan dan berat per ikan. Tentukan rumus untuk mencari total biomassa sebagai fungsi dari usia. e. Jika ada, apa interpretasi dari ������ ∘ ������? f. Jika ada, apa interpretasi dari ������ ∘ ������? Catatan: dalam pemodelan matematika, lazim digunakan bentuk eksponen dalam ������ ⋅ ������������������ dengan pertimbangan kemudahan dalam mendiferensial dan mengintergralkan). Penyelesaian: Informasi yang dimiliki: ������(0) = 0,35 (panjang awal larva, ������ = 0), ������(6) = 15,8 (panjang usia ������ = 6) a. ������(������) merupakan selisih antara panjang maksimum dan panjang saat ������. ������(������) = 21 − ������(������) Nilai awal dari D adalah ������(0) = 21 − ������(0) = 21 − 0,35 = 20,65. b. ������(������) = 21 − ������(������); Misalkan ������(������) = ������ ⋅ ������������⋅������, maka ������ ⋅ ������������⋅������ = 21 − ������(������) ⇔ ������(������) = 21 − ������ ⋅ ������������⋅������ ������ = 0 ⇒ ������(0) = 21 − ������ ⋅ ������������⋅������ → 0,35 = 21 − ������ ⋅ ������������⋅0 → ������ = 20,65 25 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

������ = 6 ⇒ ������(6) = 21 − 20,65 ⋅ ������6������ → 15,8 = 21 − 20,65 ⋅ ������6������ → ������6������ = 21−15.8 20,65 → ln ������6������ = ln 0,2518 → 6������ = −1,3791 → ������ = −0,2298 Sehingga diperoleh ������(������) = 21 − 20,65 ⋅ ������−0,2298⋅������. (Jika pekerjaan benar, maka nilai ������(������) tidak akan melampaui 21, Anda bisa memeriksa grafik ������(������) menggunakan aplikasi-aplikasi matematika). Gambar 6 Pemodelan panjang ikan haddock c. Input dari ������ adalah panjang ikan, sementara itu panjang ikan ditentukan oleh ������(������), akibatnya, berat ikan merupakan komposisi ������(������(������)) = 0,000293 ⋅ (������(������))3 = 0,000293 ⋅ (21 − 20,65 ⋅ ������−0,2298⋅������)3 d. Rumus hasil c di atas menyatakan berat per ekor ikan. Sehingga total biomassa populasi ikan setelah t tahun menjadi Total berat = ������ ⋅ ������ = 0,000293 ⋅ (21 − 20,65 ⋅ ������−0,2298⋅������)3 ⋅ 1000������−0.2������ = 0,293 ⋅ ������−0,2������(21 − 20,65 ⋅ ������−0,2298������)3 e. (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) menyatakan berat ikan dalam usia ������. f. ������ ∘ ������ tidak memiliki makna, karena input dari ������ adalah waktu ������, sementara itu, ������ menyatakan berat ikan. Visualisasi Komposisi Fungsi Gambar di bawah merupakan visualisasi proses mengkomposisikan fungsi f dan g, sehingga diperoleh fungsi ℎ(������) = (������ ∘ ������)(������). Pembaca dapat mencoba menjalankan applet interaktif ini melalui tautan https://www.geogebra.org/m/u8ZKv3Gn. Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 26

2. Bahan Bacaan 2: Invers fungsi dan fungsi invers Invers Fungsi Sebagai pengantar untuk memahami pengertian invers fungsi, perhatikan permasalahan berikut ini. Keuntungan penjualan sepatu untuk setiap ������ pasang sepatu sebesar ������(������) = 50.000������ + 15.000 (dalam rupiah). Apabila dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 10 pasang sepatu, berapa keuntungan yang diperoleh? Jawabannya adalah ������(10) = 50.000 ⋅ 10 + 15000 = 515.000. Diperoleh keuntungan Rp515.000,-. Sekarang, berapa pasang sepatu yang harus terjual untuk mendapatkan keuntungan Rp1.015.000? Masalah ini sama saja dengan mencari nilai ������ jika ������(������) = 1.015.000. 1.015.000 = 50.000 ⋅ ������ + 15.000 50.000 ⋅ ������ = 1.015.000 − 15.000 50.000 ⋅ ������ = 1.000.000 ������ = 20 Jadi, banyaknya pasang sepatu yang harus terjual adalah 20 pasang sepatu. 27 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

Proses mencari nilai ������ dari suatu fungsi ������(������) ini merupakan pembahasan tentang invers suatu fungsi. Gambar 7 Invers fungsi Secara matematis, yang dimaksud dengan invers suatu fungsi dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan ������ suatu fungsi dari ������ ke ������ dengan ������ ∈ ������ dan ������(������) = ������ ∈ ������, maka relasi ������: ������ → ������ dengan ������(������) = ������ untuk ������ ∈ ������ dan ������ ∈ ������ dinamakan sebagai invers fungsi ������ dan dituliskan sebagai ������−1. Fungsi Invers Pandang fungsi ������: ������ → ������, dengan ������(������) = ������2, ������ = {−2, −1, 0, 1, 2}, dan ������ = {0, 1, 4}. Sesuai dengan definisi invers fungsi, maka ������−1(4) = −2 karena ������: ������ → ������, 4 ∈ ������, dan −2 ∈ ������. Namun demikian dipenuhi juga ������−1(4) = 2, karena 2 ∈ ������. Gambar 8 Invers fungsi yang bukan fungsi Pada kasus ini, ������−1 bukan suatu fungsi. Fungsi ������: ������ → ������ memiliki fungsi invers ������−1 jika dan hanya jika ������ fungsi bijektif. Contoh 1. Jika fungsi ������: ������ → ������ didefinisikan dengan diagram pada gambar kiri, maka invers fungsi ������−1: ������ → ������ ditunjukkan oleh gambar kanan. Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 28

Gambar 9 Diagram Panah Fungsi Invers Dari diagram di atas, terlihat bahwa: (������−1 ∘ ������)(������) = ������−1(������(������)) = ������−1(������) = ������ = ������(������). (������ ∘ ������−1)(������) = ������(������−1(������)) = ������(������) = ������ = ������(������). Dengan cara yang sama, akan didapat juga (������−1 ∘ ������)(������) = ������(������), (������−1 ∘ ������)(������) = ������(������), (������ ∘ ������−1)(������) = ������(������), dan (������ ∘ ������−1)(������) = ������(������) Ini menunjukkan sebuah sifat bahwa ������−1 ∘ ������ = ������ ∘ ������−1 = ������ Contoh 2. Misalkan fungsi ������ ∶ ������ → ������ yang didefinisikan dengan ������(������) = 2������ − 3. Karena fungsi ������ adalah fungsi yang bijektif, maka akan diperoleh fungsi inversnya. Untuk menentukan rumus fungsi invers ������−1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut. Misalkan 2������ − 3 = ������, maka 2������ = ������ + 3 sehingga ������ = 1 ������ + 3. Ingat bahwa ������ = 22 ������−1(������), akibatnya ������−1(������) = 1 ������ + 3. Ini sama artinya dengan ������−1(������) = 1 ������ + 3. 22 22 Jadi fungsi invers ������−1: ������ → ������ ditentukan oleh ������−1(������) = 1 ������ + 3. 22 Contoh 3: Suatu fungsi ������ pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi ������(������) = ������−1 . 2������+3 29 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

Tentukan domain dan kodomain ������ agar diperoleh fungsi invers ������−1 Penyelesaian: Dengan memperhatikan rumus fungsi ������ yang berupa fungsi pecah, maka domain dari fungsi ������ adalah: ������������ = {������|2������ + 3 ≠ 0, ������ ∈ ������} = {������|������ ≠ 3 ������ ∈ ������} −2, Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnya, Misalkan ������(������) = ������, maka ������ − 4 2������ + 3 = ������ ������ − 4 = ������(2������ + 3) ������ − 4 = 2������������ + 3������ (1 − 2������)������ = 3������ + 4 ������ = 3������ + 4 → ������ −1 (������) = 3������ + 4 1 − 2������ 1 − 2������ 3x + 4 Jadi ������−1(������) = 1 − 2x . Syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers apabila fungsi tersebut adalah bijektif, maka kodomain dari fungsi ������ adalah domain dari ������−1, sehingga kodomain dari ������ adalah ������������−1 = {������|(1 − 2������) ≠ 0, ������ ∈ ������} = {������|������ ≠ 1 , ������ ∈ ������} 2 Visualisasi Invers suatu fungsi Applet seperti gambar di bawah dapat digunakan untuk menunjukkan visualisasi grafik suatu fungsi dan inversnya, yang dapat diakses melalui tautan https://www.geogebra.org/m/jjzkJDDq. Pada applet tersebut, fungsi dapat dimasukkan melalui kotak yang disediakan. Invers fungsi dimunculkan dengan cara memberikan ceklis pada “invers dari f”. Titik A dapat digeser sepanjang grafik fungsi ������. Dapat dilihat bahwa ������: ������0 → ������(������0), sementara itu ������−1: ������(������0) → ������0. Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 30

Gambar 10 Grafik invers suatu fungsi Akan diselidiki ℎ−1 = Invers dari fungsi komposisi Misalkan fungsi ℎ = ������ ∘ ������ dengan ������ dan ������ diketahui. (������ ∘ ������)−1. Untuk menentukan fungsi (������ ∘ ������)−1, salah satu jalan yang dapat ditempuh dengan menentukan terlebih dahulu fungsi komposisi ������ ∘ ������ kemudian menentukan inversnya. Cara yang lain adalah melalui sifat komposisi fungsi bahwa (������ ∘ ������)−1 jika dikomposisikan dengan (������ ∘ ������) menghasilkan fungsi identitas ������(������) = ������, yaitu (������ ∘ ������)−1 ∘ (������ ∘ ������) = ������. Langkah Alasan (������ ∘ ������)−1 ∘ (������ ∘ ������) = ������ (������ ∘ ������)−1 ∘ (������ ∘ ������) ∘ ������−1 = ������ ∘ ������−1 Sifat identitas Kedua ruas dikomposisikan dengan ������−1 (������ ∘ ������)−1 ∘ ������ ∘ (������ ∘ ������−1) = ������−1 dari kanan agar diperoleh fungsi identitas. (������ ∘ ������)−1 ∘ ������ ∘ ������ = ������−1 Sifat asosiatif (������ ∘ ������)−1 ∘ ������ = ������−1 Sifat invers (������ ∘ ������)−1 ∘ ������ ∘ ������−1 = ������−1 ∘ ������−1 Sifat identitas Kedua ruas dikomposisikan dengan ������−1 dari kanan agar diperoleh fungsi identitas. 31 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

(������ ∘ ������)−1 ∘ ������ = ������−1 ∘ ������−1 Sifat invers Sifat identitas. (������ ∘ ������)−1 = ������−1 ∘ ������−1 Diperoleh rumus (������ ∘ ������)−1 = ������−1 ∘ ������−1. Dengan demikian untuk menentukan rumus invers fungsi dari fungsi komposisi, dapat dilakukan dengan dua cara yaitu: a. Menentukan dulu rumus fungsi komposisi, kemudian menentukan inversnya b. Menentukan dulu inversnya masing−masing fungsi, kemudian dikomposisikan. Contoh 1: Diketahui ������(������) = ������ − 7 dan ������(������) = 4������ + 1, tentukan (������ ∘ ������)−1(������) dengan dua cara di atas Penyelesaian: a. Menentukan dulu rumus fungsi komposisi, kemudian menentukan inversnya (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) = ������(4������ + 1) = 4������ + 1 − 7 = 4������ − 6 Misalkan ������ = 4������ − 6, maka ������ = ������+6 4 Jadi (������ ∘ ������)−1(������) = ������+6. 4 b. Menentukan dulu inversnya masing−masing fungsi, kemudian dikomposisikan Dari ������(������) = ������ − 7, dimisalkan ������ = ������ − 7, akibatnya ������ = ������ + 7, sehingga ������−1(������) = ������ + 7. Sementara itu, dari ������(������) = 4������ + 1 dengan cara yang sama diperoleh ������−1(������) = ������−1. Selanjutnya 4 (������ ∘ ������)−1(������) = (������−1 ∘ ������−1)(������) = ������−1(������−1(������)) Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 32

= ������−1(������ + 7) = (������ + 7) − 1 = (������ + 6) 4 4 Jadi (������ ∘ ������)−1(������) = (������+6) 4 Contoh 2 : Fungsi ������ dan ������ terdefinisi pada ������, dan diketahui pula ������(������) = ������ + 3 Tentukan ������(������) jika diketahui berikut ini! a. (������ ∘ ������)(������) = 3������ − 5 b. (������ ∘ ������)(������) = ������2 + 6������ Penyelesaian: a. Cara 1. Menggunakan sifat ������−1 ∘ ������ = ������. Langkah pertama dicari ������−1. Misalkan ������(������) = y = ������ + 3 maka ������ = ������ − 3, sehingga ������−1(������) = ������ − 3. Berdasarkan sifat-sifat fungsi invers maka (������−1 ∘ (������ ∘ ������))(������) = ������(������) dan karena diketahui (������ ∘ ������)(������) = 3������ − 5 diperoleh: ������(������) = (������−1 ∘ (������ ∘ ������))(������) = ������−1(3������ − 5) = (3������ − 5)− 3 = 3������ − 8 Jadi ������(������) = 3������ − 8 Cara 2. Perhatikan (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) = 3������ − 5 (1) Sementara itu, dari ������(������) = ������ + 3 bisa diturunkan ������(������(������)) = ������(������) + 3 (2) Dari (1) dan (2) diperoleh ������(������) + 3 = 3������ − 5 sehingga ������(������) = 3������ − 8. b. Cara 1. Berdasarkan sifat-sifat fungsi invers maka ������(������) = ((������ ∘ ������) ∘ ������−1)(������) dan karena ������−1(������) = ������ − 3 diperoleh: 33 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

������(������) = ((������ ∘ ������) ∘ ������−1)(������) = (������ ∘ ������)(������−1(������)) = (������ ∘ ������)(������ − 3) = (������ − 3)2 + 6(������ − 3) = ������2 − 9 Jadi ������(������) = ������2 − 9 Cara 2. (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) = ������2 + 6������ Sementara itu, dari ������(������) = ������ + 3 diperoleh ������ = ������(������) − 3. Jika disubstitusikan ke persamaan sebelumnya diperoleh ������(������(������)) = (������(������) − 3)2 + 6(������(������) − 3) = (������(������))2 − 6������(������) + 9 + 6������(������) − 18 = (������(������))2 − 9 Akibatnya ������(������) = ������2 − 9. Contoh 3: Jika diberikan ������ (1 − 1) = ������−1 dengan ������ ≠ 3, tentukan fungsi ������. ������ 2������+3 2 Penyelesaian: Misalkan ������ = 1 − 1, maka 1 = 1 − ������, sehingga ������ = 1 . Selanjutnya nilai ������ ������ ������ 1−������ disubstitusikan ke ������ (1 − 1) = ������(������) = ������−1 . Dengan melakukan manipulasi ������ 2������+3 aljabar, diperoleh 1 1 ������ . −1 1 − (1 − ������) ������ − 2 + 3(1 − ������) − 3������ ������(������) = = = 1 5 2 ⋅ 1 − ������ . +3 Jadi ������(������) = ������ dengan ������ ≠ 5. 5−3������ 3 Contoh 4 Saat ini satuan suhu yang sering digunakan adalah Fahrenheit dan Celcius. Hubungan antara kedua satuan tersebut adalah ������ = 1,8 ⋅ ������ + 32 dengan ������ dan ������ berturut-turut sebagai ukuran suhu dalam Fahrenheit dan Celcius. Dalam hal ini ������ merupakan fungsi dari ������. Sementara itu, di bidang fisika dan kimia, para ilmuwan sering menggunakan satuan Kelvin. Keunikan satuan Kelvin ini adalah bahwa nol Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 34

Kelvin merupakan suhu terendah di alam semesta. Konversi dari Celcius ke Kelvin ditentukan oleh ������ = ������ + 273,15. a. Jelaskan makna dari ������(30), dan kemudian tentukan nilainya. b. Carilah rumus untuk menyatakan suhu dalam Celcius sebagai fungsi dari suhu dalam satuan Kelvin. c. Carilah rumus untuk menentukan suhu dalam Fahrenheit sebagai fungsi dari suhu dalam Kelvin. d. Berapakah suhu dalam Fahrenheit suatu objek yang memiliki suhu 310 Kelvin? Penyelesaian: a. ������(30) mengonversi suhu 30°������ ke Kelvin. b. ������ merupakan fungsi dari ������. Karena ������ = ������ + 273,15 maka ������ = ������ − 273,15. (������ fungsi dari ������). c. ������ = 1,8 ⋅ ������ + 32. Karena ������ = ������ − 273,15, maka ������ = 1,8 ⋅ (������ − 273,15) + 32 d. ������(310) = 1,8(310 − 273,15) + 32 = 98,33 35 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

E. Aktivitas Pembelajaran 1. Kegiatan In Service Learning – 1 (6 JP) Aktivitas ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk mengkaji materi dan melakukan kegiatan pembelajaran. Aktivitas 1: Diskusikan bersama teman sejawat, materi prasyarat apa saja yang diperlukan sebelum membahas tentang komposisi fungsi, invers fungsi, dan fungsi invers. Aktivitas 2: Sebuah kelereng yang dijatuhkan ke kolam yang tenang membentuk gelombang melingkar dengan jari-jari ������(������) = 0,6 ������ dengan ������ menyatakan waktu (dalam detik) setelah kelereng membentur air. Sementara itu, luas lingkaran terluar dari gelombang yang terbentuk mengikuti fungsi ������(������) = ������������2. a. Jika ada, jelaskan makna dari (������ ∘ ������)(������). b. Jika ada, jelaskan makna dari (������ ∘ ������)(������). Aktivitas 3: Arman mengatakan: “Diberikan fungsi ������(������) dan ������(������), kamu dapat menentukan (������ ∘ ������) jika ������������ ⊂ ������������”. Benarkah pernyataan Arman? Berikan penjelasannya. Aktivitas 4: Berikut ini disajikan pekerjaan Dinda berkaitan dengan soal: “Diberikan ������(������) = ������ + 2 dan ������(������) = ������2 − 4. Tentukan (������ ∘ ������)(������) dan domain dari ������ ∘ ������”. (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) =(������ + 2) (������2 + 2) = ������3 − 2������ − 4 − 8 D(������∘������) = (-∞,∞) Benar atau salahkah pekerjaan Dinda? Jika salah, apa yang harus dilakukan guru untuk Dinda agar dia menyadari kesalahannya? Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 36

Aktivitas 5: Fadli memberikan sebuah teknik untuk mengetahui apakah invers sebuah fungsi ������ merupakan fungsi atau bukan. Caranya adalah dengan melihat grafik fungsi ������, kemudian dibuat garis-garis vertikal. Jika ditemukan garis vertikal yang memotong grafik ������ di lebih dari satu titik, maka dapat dipastikan bahwa invers dari fungsi ������ bukanlah sebuah fungsi. Benarkah teknik yang digunakan Fadli? Berikan penjelasannya. Aktivitas 6: Amir menyatakan: “Jika ������ memiliki fungsi invers ������−1, maka ordinat titik potong grafik fungsi ������ terhadap sumbu ������ sama dengan absis titik potong grafik ������−1 terhadap sumbu-������.” Benarkah pernyataan Amir? Berikan penjelasannya. Aktivitas 7: Candra menyatakan: “Jika ������ memiliki invers fungsi ������−1, maka domain ������ dan ������−1 sama”. Benarkah pernyataan Candra? Berikan penjelasannya. Aktivitas 8: Diketahui ������(������) = ������−1 dengan ������ ≠ − 1, tentukan ������−1(2������ − 1). 2������−1 2 Aktivitas 9: Diketahui ������(������) = ������−2 dengan ������ ≠ −1 dan ������(������) = ������ + 3. Jika ������−1(������) menyatakan ������+1 invers dari ������(������), tentukan (������ ∘ ������)−1(������). Aktivitas 10: Berkaitan dengan modul ini, a. Pelajari bahan bacaan dan contoh-contohnya. Diskusikan bagian-bagian yang belum dipahami. b. Cermati desain kegiatan pembelajaran berikut beserta LKPD terlampir, lakukan penyesuaian/perbaikan agar dapat diterapkan di sekolah Anda ketika melaksanakan kegiatan OJL (On the Job Learning). Upayakan 37 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

aktivitas yang mendukung tercapainya keterampilan abad-21 yaitu critical thinking, creativity, colaboration, dan communication. Contoh Desain Pembelajaran: Materi: Komposisi fungsi Waktu: 4 JP Tabel 6 Contoh Desain Pembelajaran Komposisi Fungsi No. Aktivitas Peserta Aktivitas Guru Didik 1 • Merespon, • Mengkondisikan suasana belajar. menyimak. • Menyampaikan tujuan dan topik • Membentuk pembelajaran kelompok. • Memandu peserta didik mengingat materi yang telah dipelajari sebelumnya dengan menanyakan materi yang terkait dengan konsep fungsi, operasi fungsi, domain, dan range fungsi. • Guru memotivasi peserta didik dengan cara memberikan apersepsi yang terkait dengan komposisi fungsi, misalnya: • Memberikan pengantar kasus penggilingan beras melalui dua tahap (mesin-1 dan mesin-2 seperti pada bahan bacaan. (lihat bahan bacaan). • Meminta peserta didik mengamati susunan fungsi yang terkait dengan apersepsi di atas dengan memancing siswa untuk bertanya tentang susunan fungsi tersebut. Alternatif lain, guru memberikan pertanyaan berikut. • “Berapa ton beras yang dihasilkan pada mesin-1, bagaimana caranya? Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 38

• Berapa ton beras yang dihasilkan pada mesin-2 ( beras yang sudah jadi), bagaimana caranya? • Guru menyampaikan kegiatan pembelajaran akan dilakukan dalam kelompok dengan model penemuan. 2 • Secara berkelompok • Guru memandu peserta didik masuk dalam peserta didik berdis- kelompok-kelompok yang sudah pernah kusi mengerjakan dibentuk. LKPD-1. • Guru menyampaikan masalah yang • Siswa mencoba ber- terdapat pada LKPD-1, yakni peserta didik diskusi secara aktif mencermati setiap pertanyaan/ instruksi dalam kelompok yang diberikan pada LKPD-1 untuk mengisikan jawaban pertanyaan pada tempat yang di- sediakan pada LKPD- 1 3 • Siswa menuliskan • Guru berkeliling memeriksa aktifitas dalam hasil diskusi pada tiap kelompok dan memberi bantuan LKPD-1 untuk untuk kepada kelompok-kelompok yang mengisikan jawaban memerlukan, secara terbatas, misalnya pertanyaan pada dengan pertanyaan-pertanyaan pancingan. tempat yang disedia- kan pada LKPD-1 • Siswa melakukan • Memverifikasi pekerjaan siswa. pemeriksaan secara cermat untuk mem- buktikan benar atau tidaknya hipotesis yang ditetapkan. • Membuat rangkuman, • Mengarahkan siswa untuk membuat membandingkan kesimpulan, dan membandingkan dengan kesimpulan yang sumber lain. dibuat dengan 39 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

sumber lain, misalnya • Guru meminta siswa menerapkan hasil buku paket kesimpulan pada latihan soal yang matematika diberikan secara individual. kurikulum 2013 untuk kelas X, atau sumber lain termasuk dari internet. Materi: Invers Fungsi Waktu: 4 JP Tabel 7 Contoh Desain Pembelajaran Invers Fungsi No. Aktivitas Peserta Aktivitas Guru Didik 1 • Siswa menyimak, • Guru memandu siswa untuk mengingat merespon. materi yang telah dipelajari sebelumnya yakni materi fungsi dengan menanyakan • materi yang terkait dengan konsep fungsi • Guru menyampaikan tujuan dan topik pembelajaran • Guru memotivasi siswa dengan cara memberikan apersepsi yang terkait dengan invers fungsi, misalnya: • Kalian pada waktu datang ke Sekolah diwajibkan memakai sepatu yang ada talinya dengan rapi. Dan pada waktu pulang seharusnya juga melepas sepatu dengan tertib juga. Hal ini ada kegiatan yang berkebalikan yaitu memakai sepatu dengan melepas sepatu. • Guru meminta siswa memikirkan sejenah kegiatan yang telah dilakukan tersebut dan memberikan pertanyaan kepada salah satu siswa untuk menceritakan bagaimana langkah-langkah memakai dan melepas sepatu, kemudian mengaitkan dengan Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 40

matematika, misalnya peserta diminta untuk memikirkan sebuah bilangan dikalian 2 kemudian ditambah 1hasilnya berapa? Bagaimana kalau dibalik dari hasilnya yang diperoleh dari proses itu sehingga diperoleh bilangan yang diperoleh. • Guru menjelaskan kegiatan tersebut dalam matematika disebut Invers • Guru menyampaikan kegiatan pembelajaran akan dilakukan dalam kelompok dengan model penemuan. 2 • Berkelompok. • Guru memandu siswa masuk dalam • Mencermati dan kelompok-kelompok yang sudah pernah mengerjakan LKPD-2 dibentuk. • Guru menyampaikan masalah yang terdapat pada LKPD-2, yakni siswa mencermati setiap pertanyaan/instruksi yang diberikan pada LKPD-2 3 • Berdiskusi • Secara berkelompok siswa berdiskusi menggunakan LKPD- mengerjakan LKPD-2. 2 • Siswa mencoba berdiskusi secara aktif dalam kelompok untuk mengisikan jawaban pertanyaan pada tempat yang disediakan pada LKPD-2. • Berdiskusi, bertanya • Guru berkeliling memeriksa aktifitas dalam kepada guru, tiap kelompok dan memberi bantuan menyimak. kepada kelompok-kelompok yang memerlukan, secara terbatas, misalnya dengan pertanyaan-pertanyaan pancingan • Siswa menuliskan hasil diskusi pada LKPD- 2 untuk untuk mengisikan jawaban pertanyaan pada tempat yang disediakan pada LKPD-2. 41 Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi

• Mencermati • Siswa melakukan pemeriksaan secara pekerjaan di LKPD-2. cermat untuk membuktikan benar atau tidaknya hipotesis yang ditetapkan. • Misal dengan memverifikasi jawaban yang telah didiskusikan • Merangkum, • Siswa bersama guru membuat rangkuman, membuat guru mengingatkan siswa untuk kesimpulan, membandingkan kesimpulan yang dibuat membandingkan dengan sumber lain, misalnya buku paket kesimpulan dengan matematika kurikulum 2013 untuk kelas X, sumber lain. atau sumber lain termasuk dari internet. • Mencoba latihan soal. • Guru meminta siswa menerapkan hasil kesimpulan pada latihan soal yang diberikan secara individual. 2. Kegiatan On the Job Training (6 JP) Pada kegiatan ini, setiap guru mempraktikkan pembelajaran terhadap peserta didik di madrasah masing-masing sesuai dengan perangkat pembelajaran yang telah disempurnakan pada kegiatan in-1. Sebagai bahan refleksi setelah mempraktekkan skenario pembelajaran, lakukan pencatatan selama pelaksanaan pembelajaran dalam tabel berikut. No. Kegiatan Guru Kegiatan Siswa Fakta yang Refleksi dan (yang diharapkan) terjadi Tindak Lanjut. 1 2 … 3. Kegiatan In Service Learning – 2 (2 JP) Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk melaporkan dan mendiskusikan hasil kegiatan on. Agar hambatan Unit Pembelajaran 4 : Komposisi Fungsi dan Inves Fungsi 42


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook