i Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Unit Pembelajaran 03 PENERAPAN BARISAN DAN DERET MATA PELAJARAN MATEMATIKA MADRASAH ALIYAH Penanggung Jawab Direktorat GTK Madrasah Direktorat Jenderal Pendidikan Islam Kementerian Agama Republik Indonesia Penyusun Darno Raharjo Juanda Kasim Wiwit Susanti Sigit Tri Guntoro Untung Trisna Suwaji Reviewer Abdur Rahman As’ari Copyright © 2020 Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah Hak CIpta Dilindungi Undang-undang Dilarang mengcopy sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Agama Republik Indonesia Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret ii
KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Undang–Undang Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen Pasal 1 ayat 1 menyatakan bahwa Guru adalah pendidik profesional dengan tugas utama mendidik, mengajar, membimbing, mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta didik pada Pendidikan Anak Usia Dini jalur Pendidikan Formal, Pendidikan Dasar, dan Pendidikan Menengah. Agar dapat melaksanakan tugas utamanya dengan baik, seorang guru perlu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya secara bertahap, berjenjang, dan berkelanjutan melalui Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) guru. Untuk itu saya menyambut baik terbitnya modul ini sebagai panduan semua pihak dalam melaksanakan program PKB. Peningkatan Kompetensi Pembelajaran merupakan salah satu fokus upaya Kementerian Agama, Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan (GTK) dalam meningkatkan kualitas madrasah melalui pembelajaran berorientasi keterampilan berpikir tingkat tinggi, kontekstual, dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Program PKB dilakukan mengingat luasnya wilayah Indonesia dan kualitas pendidikan yang belum merata, sehingga peningkatan pendidikan dapat berjalan secara masif, merata, dan tepat sasaran. Modul ini dikembangkan mengikuti arah kebijakan Kementerian Agama yang menekankan pada pembelajaran berorientasi pada keterampilan berpikir tingkat tinggi atau higher order thinking skills (HOTS) dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Keterampilan berpikir tingkat tinggi adalah proses berpikir kompleks dalam menguraikan materi, membuat kesimpulan, membangun representasi, menganalisis, dan membangun hubungan dengan melibatkan aktivitas mental yang paling dasar. Sementara, nilai-nilai keislaman diintegrasikan dalam pembelajaran sebagai hidden curriculum sehingga tercipta generasi unggul sekaligus beriman dan bertakwa serta berakhlak mulia. iii Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Sasaran Program PKB ini adalah seluruh guru di wilayah NKRI yang tergabung dalam komunitas guru sesuai bidang tugas yang diampu di wilayahnya masing-masing. Komunitas guru dimaksud meliputi kelompok kerja guru (KKG), Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP), dan Musyawarah Guru Bimbingan Konseling (MGBK). Model pembelajaran yang digunakan dalam modul ini adalah melalui moda Tatap Muka In-On-In sehingga guru tidak harus meninggalkan tugas utamanya di madrasah sebagai pendidik. Semoga modul ini dapat digunakan dengan baik sebagaimana mestinya sehingga dapat menginspirasi guru dalam materi dan melaksanakan proses pembelajaran. Kami ucapkan terima kasih atas kerja keras dan kerja cerdas para penulis dan semua pihak terkait yang dapat mewujudkan Modul ini. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai dan memudahkan upaya yang kita lakukan. Aamiin. Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Jakarta, Okttober 2020 An. Direktur Jenderal, Direktur Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah, Muhmmad Zain Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret iv
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR................................................................................................................. iii DAFTAR ISI................................................................................................................................. v DAFTAR TABEL....................................................................................................................... vii DAFTAR GAMBAR................................................................................................................. viii 01 PENDAHULUAN ...................................................................................................................1 A. Latar Belakang ..................................................................................................................1 B. Tujuan..................................................................................................................................1 C. Manfaat ..............................................................................................................................2 D. Sasaran ..............................................................................................................................2 E. Petunjuk Penggunaan ....................................................................................................3 02 TARGET KOMPETENSI .....................................................................................................6 A. Target Kompetensi Guru ...............................................................................................6 B. Target Kompetensi Peserta Didik ............................................................................... 7 1. Kompetensi Dasar ........................................................................................................ 7 2. Indikator Pencapaian Kompetensi .......................................................................... 7 C. Materi dan Organisasi Pembelajaran.........................................................................8 04 KEGIATAN PEMBELAJARAN ..........................................................................................9 A. Pengantar ..........................................................................................................................9 B. Aplikasi dalam Kehidupan.............................................................................................9 C. Integrasi Keislaman........................................................................................................ 11 D. Bahan Bacaan ................................................................................................................ 12 a. Aplikasi Barisan dan Deret Aritmetika.................................................................. 12 b. Aplikasi Barisan dan Deret Geometri ................................................................... 15 E. Aktivitas Pembelajaran................................................................................................ 23 v Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
1. Kegiatan In Learning Service-1 ( 4 JP) .................................................................. 23 2. Kegiatan On Job Training ( 6 JP) .......................................................................... 24 3. Kegiatan In Learning Service-2 ( 4 JP) ................................................................. 31 F. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD).......................................................................... 32 1. LKPD Aplikasi Barisan dan Deret Aritmetika ...................................................... 32 2. LKPD Aplikasi Barisan dan Deret Geometri....................................................... 34 3. LKPD Aplikasi Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga................................ 36 G. Pengembangan SOAL HOTS.................................................................................... 38 05 PENILAIAN ........................................................................................................................ 40 A. Tes Formatif ................................................................................................................... 40 B. Penilaian.......................................................................................................................... 44 1. Penilaian untuk Guru................................................................................................. 44 2. Penilaian untuk Peserta Didik ............................................................................... 46 06 PENUTUP .......................................................................................................................... 49 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ................................................................................... 50 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................ 51 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret vi
DAFTAR TABEL Tabel 1 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik ............................................................. 7 Tabel 2 Materi dan Organisasi Pembelajaran ..................................................................8 Tabel 3 Penyusutan Harga Mobil....................................................................................... 10 Tabel 4 Desain Pembelajaran Aplikasi dan Deret Aritmetika ................................... 26 Tabel 5 Refleksi Pelaksanaan Pembelajaran On Job Training .................................. 31 Tabel 6 Kisi-Kisi Pengembangan Soal HOTS ................................................................ 38 Tabel 7 Instrumen Penilaian Diri Bagi Guru.................................................................... 44 Tabel 8 Instrumen Penilaian Guru oleh Asesor/Fasilitator ......................................... 45 Tabel 9 Instrumen Penilaian Diri bagi Peserta Didik ................................................... 46 Tabel 10 Instrumen Penilaian Peserta Didik oleh Guru ................................................47 vii Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
DAFTAR GAMBAR Gambar 1 Alur Tatap Muka In-On-In ....................................................................................4 Gambar 2 Desain Ubin Lantai ............................................................................................. 13 Gambar 3 Trampolin: Ilustrasi Deret Geometri................................................................17 Gambar 4 Ilustrasi Pantulan Bola Karet ............................................................................ 18 Gambar 5 Ilustrasi Lintasan Ayunan................................................................................. 36 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret viii
01 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pendidikan merupakan proses yang sangat strategis dalam mencerdaskan kehidupan bangsa sehingga harus dilakukan secara profesional. Undang-Undang Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen Pasal 10 ayat (1) mengamanatkan bahwa guru yang profesional harus memiliki kompetensi pedagogik, kompetensi kepribadian, kompetensi sosial, dan kompetensi profesional. Keempat kompetensi tersebut bersifat holistik dan merupakan suatu kesatuan yang menjadi ciri guru profesional. Agar dapat melaksanakan tugas profesinya dengan baik, seorang guru perlu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya secara bertahap, berjenjang, dan berkelanjutan melalui Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) guru. Strategi pelaksanaan PKB guru madrasah yang ditempuh oleh Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah adalah melalui KKG/MGMP/MGBK, Kantor Wilayah Kementerian Agama Provinsi, dan Kementerian Agama Pusat. Untuk mendukung program tersebut, diperlukan modul sebagai salah satu aternatif sumber bahan ajar bagi guru untuk mempelajari konten materi, merancang pembelajaran dan cara mengajarkannya, mengembangkan Lembar Kerja Peserta Didik, mengembangkan instrumen penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar. B. Tujuan Tujuan modul ini adalah: 1. Meningkatkan kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional guru melalui kegiatan PKB. 2. Meningkatkan hasil Asesmen Kompetensi Guru (AKG). 3. Menfasilitasi sumber belajar guru dan peserta didik dalam mengembangkan kurikulum, mempersiapkan dan melaksanaan pembelajaran yang mendidik. 1 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
C. Manfaat Manfaat yang ingin dicapai: 1. Sebagai sumber belajar bagi guru dalam melaksanakan PKB untuk mencapai target kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional tertentu. 2. Sebagai sumber bagi guru dalam mengembangkan kurikulum, persiapan dan pelaksanaan pembelajaran yang mendidik. 3. Sebagai bahan malakukan asesmen mandiri guru dalam rangka peningkatan keprofesionalan. 4. Sebagai sumber dalam merencanakan dan melaksanakan penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar peserta didik. 5. Sebagai sumber belajar bagi peserta didik untuk mencapai target kompetensi dasar. D. Sasaran Adapun sasaran modul ini adalah: 1. Fasilitator nasional, provinsi, dan kabupaten/kota 2. Pengawas Madrasah 3. Kepala Madrasah 4. Ketua KKG/MGMP/MGBK 5. Guru 6. Peserta didik. Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 2
E. Petunjuk Penggunaan Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari dan mempraktikkan modul ini, ikutilah petunjuk belajar sebagai berikut: 1. Bacalah dengan cermat bagian pendahuluan sampai Anda memahami benar tujuan mempelajari Unit Pembelajaran ini. 2. Pelajarilah dengan seksama bagian target kompetensi sehingga Anda benar- benar memahami target kompetensi yang harus dicapai baik oleh diri Anda sendiri maupun oleh peserta didik. 3. Kegiatan Pembelajaran untuk menyelesaikan setiap Unit Pembelajaran dilakukan melalui moda Tatap Muka In-On-In sebagai berikut: a. Kegiatan In Service Learning 1. Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk mengkaji materi dan melakukan kegiatan pembelajaran, meliputi: mempelajari konten materi ajar dan mendiskusikan materi ajar yang sulit atau berpeluang terjadi miskonsepsi, mendesain pembelajaran yang sesuai dengan daya dukung madrasah dan karakteristik peserta didik, mempelajari dan melengkapi LKPD, serta mempersiapkan intrumen penilaian proses dan hasil belajar. b. Kegiatan On Service Learning. Pada tahap ini, Anda dapat mengkaji kembali uraian materi secara mandiri dan melakukan aktivitas belajar di madrasah berdasarkan rancangan pembelajaran dan LKPD yang telah dipersiapkan. Buatlah catatan-catatan peluang dan hambatan yang ditemui selama pelaksanaan pembelajaran. Hasil kegiatan on baik berupa tugas lembar kerja maupun tugas lainnya dilampirkan sebagai bukti fisik bahwa Anda telah menyelesaikan seluruh tugas on yang ada pada Unit Pembelajaran. c. Kegiatan In Servive Learning 2. Tahap ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk melaporkan dan mendiskusikan hasil kegiatan on. Arahkan diskusi pada refleksi untuk perbaikan dan pengembangan pembelajaran. 4. Ujilah capaian kompetensi Anda dengan mengerjakan soal yang tersedia. 3 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
5. Lakukan penilaian mandiri sebagai refleksi ketercapaian target kompetensi. Dalam melaksanakan setiap kegiatan pada modul ini, Anda harus mempertimbangkan prinsip kesetaraan dan inklusi sosial tanpa membedakan suku, ras, golongan, jenis kelamin, status sosial ekonomi, dan yang berkebutuhan khusus. Kesetaraan dan inklusi sosial ini juga diberlakukan bagi pendidik, tenaga kependidikan dan peserta didik. Dalam proses diskusi kelompok yang diikuti laki- laki dan perempuan, perlu mempertimbangkan kapan diskusi harus dilakukan secara terpisah baik laki-laki maupun perempuan dan kapan harus dilakukan bersama. Anda juga harus memperhatikan partisipasi setiap peserta didik dengan seksama, sehingga tidak mengukuhkan relasi yang tidak setara. Gambar 1 Alur Tatap Muka In-On-In Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 4
Sebelum mempelajari atau mempraktikkan modul ini, ada beberapa perangkat pembelajaran, alat dan bahan yang harus disiapkan oleh guru dan peserta didik agar proses pembelajaran berjalan dengan baik. 1. Alat dan Bahan yang harus disiapkan oleh guru a. Laptop b. LCD c. Buku paket/referensi d. Lembar Kerja Peserta Didik e. Instrumen penilaian proses 2. Alat dan Bahan yang harus disiapkan oleh peserta didik a. Buku paket/referensi b. Alat tulis Unit Pembelajaran dalam modul ini dibagi dalam dua topik, dengan total alokasi waktu yang digunakan diperkirakan 14 Jam Pembelajaran: 1. In Service Learning 1 : 4 JP 2. On Service Learning : 6 JP 3. In Service Learning 2 : 4 JP 5 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
02 TARGET KOMPETENSI A. Target Kompetensi Guru Target kompetensi guru didasarkan pada Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia Nomor 16 Tahun 2007 Tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru. Dalam Unit Pembelajaran ini, target kompetensi yang dituangkan hanya yang terkait kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional. 1. Kompetensi Pedagogik - Menyusun rencana pembelajaran yang lengkap. - Melaksanakan pembelajaran yang mengembangkan berpikir kritis dan kreatif. - Memanfaatkan teknologi informasi dan komunikasi untuk kepentingan pembelajaran. - Mengevaluasi pelaksanaan pembelajaran dan hasil belajar peserta didik. 2. Kompetensi Profesional - Menguasai materi, struktur, konsep, dan pola pikir keilmuan berkaitan penerapan barisan dan deret. - Mampu menyelesaikan soal-soal yang disediakan dalam modul. Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 6
B. Target Kompetensi Peserta Didik Target kompetensi peserta didik dalam Unit Pembelajaran ini dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar kelas XI semester 1 (satu) sesuai dengan permendikbud nomor 37 tahun 2018 Tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Pelajaran Kurikulum 2013 Pada Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah sebagai berikut: 1. Kompetensi Dasar a. Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri b. Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas) 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Tabel 1 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik No. Kompetensi Dasar Target Kompetensi Dasar 3. 6 Menggeneralisasi pola 3.6.1 Membuat generalisasi (bentuk bilangan dan jumlah pada umum) suku ke-n dari suatu barisan Aritmetika dan barisan aritmetika Geometri 3.6.2 Membuat generalisasi (bentuk umum) suku ke-n dari suatu barisan geometri 3.6.3 Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan n suku pertama dari suatu barisan aritmetika 3.6.4 Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan suku ke-n dari suatu barisan geometri 3.6.5 Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan barisan geometri tak hingga 4. 6 4.6.1 Mengidentifikasi terjadinya pola pada masalah yang berkaitan dengan barisan bilangan 7 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
4.6.2 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan pertumbuhan 4.6.3 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan peluruhan 4.6.4 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bunga majemuk 4.6.5 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan anuitas 4.6.6 Memecahkan masalah yang berkaitan barisan dan deret geometri tak hingga. C. Materi dan Organisasi Pembelajaran Guna memudahkan guru dalam mempelajari modul ini, kita akan membaginya menjadi dua topik bahasan dengan alokasi waktu sebagai berikut: Tabel 2 Materi dan Organisasi Pembelajaran Topik Materi Jumlah JP In - 1 On In - 2 1 Aplikasi Barisan dan Deret Aritmetika 464 2 Aplikasi Barisan dan Deret Geometri Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 8
04 KEGIATAN PEMBELAJARAN A. Pengantar Unit Pembelajaran ini disusun sebagai salah satu aternatif sumber belajar bagi guru maupun peserta didik untuk memahami materi aplikasi barisan dan deret dengan target sesuai yang ditetapkan di dalamnya. Unit Pembelajaran ini dilengkapi aktivitas pembelajaran, lembar kegiatan peserta didik (LKPD), dan contoh kisi-kisi pengembangan intrumen penilaian HOTS dan latihan yang dapat dijadikan intrumen penilaian diri bagi guru sebelum melaksanakan Asesmen Kompetensi Guru (AKG). B. Aplikasi dalam Kehidupan Leonardo Fibonacci, dalam karya terbesarnya Liber Abaci yang diterbitkan pada tahun 1202 menjelaskan suatu teka teki yang membawanya kepada apa yang sekarang dikenal sebagai barisan bilangan Fibonacci. Barisan bilangan Fibonacci dapat ditemukan pada benda di sekitar kita seperti cangkang kerang, pohon dan cabangnya, putik bunga, dan mahkota bunga. Barisan bilangan Fibonacci memiliki pola 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, dan seterusnya. Bilangan ke-������ (dengan ������ bilangan bulat) pada deret ini dirumuskan sebagai penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya. 0, jika ������ = 0 ������(������) = {1, jika ������ = 1 ������(������ − 1) + ������(������ − 2), lainnya Pertumbuhan penduduk di suatu daerah dapat diprediksi untuk jangka waktu tertentu, harga barang yang semakin mengalami penyusutan tiap tahunnya, zat yang mengalami peluruhan dalam kurun waktu tertentu, panjang lintasan ayunan sampai berhenti, ataupun banyaknya tabungan yang dimiliki seseorang dalam waktu tertentu. Beberapa hal tersebut merupakan contoh penerapan barisan dan deret bilangan yang dapat kita temui dalam kehidupan ini. Secara umum 9 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
penerapan barisan dan deret bilangan dapat kita jumpai pada hal/aspek dengan pola tertentu. Penyusutan Harga Misalnya seseorang membeli mobil seharga Rp380.650.000,00. Nilai jual mobil tersebut akan berkurang sebesar 12% per tahun. Tabel berikut menunjukkan nilai jual mobil tersebut per tahun sampai dengan lima tahun setelah dibeli. Tabel 3 Penyusutan Harga Mobil Tahun setelah pembelian Nilai jual mobil (Rp) 0 Rp380.650.000,00 1 Rp334.972.000,00 2 Rp294.775.360,00 3 Rp259.402.317,00 4 Rp228.274.039,00 5 Rp200.881.154,00 Penyusutan nilai jual mobil merupakan contoh dari peluruhan eksponensial. Apabila suatu kuantitas berkurang dengan persentase tetap setiap periode waktu tertentu, maka banyaknya kuantitas (������) setelah (������) periode waktu dinyatakan dalam ������ = ������(1 − ������)������, dengan ������ adalah banyak kuantitas mula-mula dan ������ adalah persentase pengurangan dalam desimal. Persentase pengurangan ������ dinamakan tingkat peluruhan (rate of decay). Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 10
C. Integrasi Keislaman Segala sesuatu yanga ada di dunia telah Allah atur dengan sedemikian rupa. Salah satunya adalah yang berkaitan dengan perdagangan atau jual beli. Allah SWT telah menetapkan aturan dan hukum yang berkaitan dengan jual beli. Dalam Al Qur’an telah dijelaskan sebagai berikut: َالْم ِسَ ِم نَ الشَّيْط ا ُنَ ي ت خ بَّطُهَُ الَّ ِذ يَ ي قُومَُ ك م اَ إِ َّلَ ي قُو ُم ونَ لَ ال ِر ب اَ ي أْكُلُونَ الَّ ِذين َۚ َف م ْنَ َۚ ال ِر ب اَ و ح َّر مَ الْب يْعَ ّللَّا َُ و أ ح َّلَ َۚ ال ِر ب اَ ِم ثْ ُلَ الْب يْ ُعَ إِنَّم اَ ق الُواَ بِأ نَّهُ ْمَ ذَٰ لِك َُف أ ُولَٰ ئِكَ ع ادَ و م ْنَ َۚ ّللَّا َِ إِل ىَ و أ ْم ُر هَُ س ل فَ م اَ ف ل هَُ ف انْت ه َٰىَ ر ب ِهَِ ِم ْنَ م ْو ِع ظ ةَ ج اء ه َخ الِدُونَ فِيه اَ هُ ْمَ َۚ النَّا ِرَ أ ْص ح ا ُب “Orang-orang yang makan (mengambil) riba (bunga) tidak dapat berdiri melainkan seperti berdirinya orang yang kemasukan syaitan lantaran (tekanan) penyakit gila. Keadaan mereka yang demikian itu, adalah disebabkan mereka berkata (berpendapat), sesungguhnya jual beli itu sama dengan riba (bunga), padahal Allah telah menghalalkan jual beli dan mengharamkan riba (bunga). Orang-orang yang telah sampai kepadanya larangan dari Tuhannya, lalu terus berhenti (dari mengambil riba), maka baginya apa yang telah diambilnya dahulu (sebelum datang larangan); dan urusannya (terserah) kepada Allah. Orang yang kembali (mengambil riba/bunga), maka orang itu adalah penghuni-penghuni neraka; mereka kekal di dalamnya.” (Q.S. Al Baqarah: 275). Baik riba tersebut dilakukan dengan cara melebihkan atau melipatgandakan suatu barang atau uang dari kadar awal peminjamannnya. Salah satu contoh permasalahan di atas adalah bungan majemuk, yaitu bunga yang diberikan untuk sejumlah uang yang ditabungkan dalam jangka waktu tertentu. Berdasarkan hal tersebut tentu saja kembali pada keyakinan dan prinsip masing-masing individu. Sesungguhnya islam adalah ajaran yang universal dan sempurna. Hal tersebut terbukti dengan banyaknya muncul bank yang berbasis islam (bank syariah). Bank islam adalah lembaga keuangan yang berfungsi menghimpun dana untuk 11 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
disalurkan kepada orang atau lembaga yang membutuhkan dana tanpa sistem bunga. Beberapa pengganti sistem bunga dalam bank islam, diantaranya: wadi’ah, mudharobah, syirkah, murabahah, dan qard hasan. D. Bahan Bacaan a. Aplikasi Barisan dan Deret Aritmetika Barisan dan deret aritmetika banyak kita temui di sekitar kita. Misal, seorang anak yang gemar menabung secara rutin setiap bulannya. Pada bulan pertama anak tersebut menabung sebesar Rp100.000,00. Pada bulan kedua anak tersebut menabung sebesar Rp150.000,00. Demikian seterusnya sehingga jumlah uang yang ditabung setiap bulan selalu berselisih Rp50.000,00 dengan bulan sebelumnya. Banyaknya jumlah uang setelah lima bulan dapat kita peroleh dengan menjumlahkan lima suku pertama, yaitu: Rp100.000,00 + Rp150.000,00 + Rp200.000,00 + Rp250.000,00 + Rp300.000, Untuk menentukan rumus jumlah setiap deret aritmetika, perhatikan deret berikut: ������������ = ������1 + ������2 + ������3 + ������4 + ⋯ + ������������ ������������ = ������ + (������ + ������) + (������ + 2������) + (������ + 3������) + ⋯ + (������ + (������ − 2)������) + (������ + (������ − 1)������) Dengan menuliskan ke bentuk yang lain: ������������ = ������ + (������ + ������) + ⋯ + (������ + (������ − 2)������) + (������ + (������ − 1)������) ������������ = (������ + (������ − 1)������) + (������ + (������ − 2)������) + ⋯ + (������ + ������) + ������ ---------------------------------------------------------------------------------------------------- + 2������������ = (2������ + (������ − 1)������) + (2������ + (������ − 1)������) + ⋯ + (2������ + (������ − 1)������) + (2������ + (������ − 1)������) ������ kali Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 12
2������������ = ������(2������ + (������ − 1)������) ������ ������������ = 2 (2������ + (������ − 1)������) Bentuk ������������ = ������ (2������ + (������ − 1)������) dapat dituliskan: 2 ������ ������������ = 2 (������ + ������ + (������ − 1)������) Mengingat ������ + (������ − 1)������ = ������������, sehingga: ������ ������������ = 2 (������ + ������������) Contoh 1 Sebuah lantai didesain dalam bentuk trapesium dengan lebar 4 m di bagian dasarnya dan 2 m di bagian atasnya (perhatikan gambar). Gambar 2 Desain Ubin Lantai Pada lantai tersebut akan dipasang ubin berukuran 20 cm x 20 cm, sedemikian sehingga setiap baris ubin mengandung satu ubin lebih sedikit daripada baris ubin sebelumnya. Berapakah banyak ubin yang diperlukan? Perhatikan: Panjang lantai bagian bawah = 4 m = 400 cm, panjang lantai bagian atas =2 m, dan ukuran ubin = 20 cm x 20 cm. Banyaknya ubin yang mengisi baris paling bawah = 400 = 20. 20 13 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Banyaknya ubin yang mengisi baris paling atas = 200 = 10. 20 Karena setiap baris ubin mengandung satu ubin lebih sedikit daripada baris ubin sebelumnya, maka: Banyak ubin di baris ke-2 = 19 ubin Banyak ubin di baris ke-3 = 18 ubin, dan seterusnya dengan banyak baris adalah 11 baris. Banyaknya ubin tiap baris membentuk deret aritmetika: 20 + 19 + 18 + ⋯ + 10 dengan ������ = 20, ������ = 1, dan ������������ = 10. Banyaknya ubin yang diperlukan: ������ ������������ = 2 (������ + ������������) 11 ������11 = 2 (20 + 10) = 165 Jadi, banyaknya ubin yang diperlukan adalah 165 ubin. Contoh 2 [MAT DAS UM UGM 2016 Kode 571] Bila pembayaran pinjaman sebesar Rp8.800.000,00 diangsur berturut-turut tiap bulan sebesar Rp250.000,00; Rp270.000,00; Rp290.000,00; Rp310.000,00; dan seterusnya, maka pinjaman akan lunas pada pembayaran bulan ke …. A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 E. 21 Permasalahan dari soal di atas dapat direpresentasikan: 250.000 + 270.000 + 290.000 + 310.000 + … + ������������ = 8.800.000 ������1 + ������2 + ������3 + ������4 + ⋯ + ������������ = 8.800.000 yang ditanyakan pada soal itu adalah nilai ������ itu sendiri. Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 14
Bentuk 250.000 + 270.000 + 290.000 + 310.000 + … + ������������ = 8.800.000 merupakan deret aritmetika dengan: ������ = 250.000 dengan beda ������ = 270.000 − 250.000 = 20.000 dan ������������ = 8.800.000 dengan demikian: ������ (2������ + (������ − 1)������) = ������������ 2 ������ (2(250.000) + (������ − 1)(20.000)) = 8.800.000 2 ������ (500.000 + 20.000������ − 20.000) = 8.800.000 2 ������ (20.000������ + 480.000) = 8.800.000 2 ������(10.000������ + 240.000) = 8.800.000 10.000������2 + 240.000������ = 8.800.000 10.000������2 + 240.000������ = 8.800.000 ������2 + 24������ − 880 = 0 (������ + 44)(������ − 20) = 0 ������ = −44 atau ������ = 20 ������ menunjukkan waktu, jadi yang memenuhi adalah 20. Jadi, pinjaman akan lunas pada pembayaran ke-20 b. Aplikasi Barisan dan Deret Geometri Barisan dan deret geometri seringkali kita temukan dalam kehidupan sehari-hari. Misalkan Anda mengirimkan sebuah surat elektronik (surel) berisi kata-kata motivasi untuk dua orang teman pada Senin. Setiap teman yang menerima dan membaca surel pada Senin, selanjutnya mengirimkan surel tersebut untuk dua orang teman lagi pada Selasa. Dengan pola yang sama, setiap teman yang menerima dan membaca surel pada Selasa, selanjutnya mengirimkan surel tersebut untuk dua orang teman lagi pada Rabu. Demikian seterusnya. Perhatikan bahwa setiap hari, banyak orang yang menerima dan membaca surel tersebut adalah dua kali banyak orang yang menerima dan membaca surel tersebut pada hari sebelumnya. Pada Minggu, banyak orang, termasuk Anda yang 15 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
sudah membaca surel tersebut adalah sebanyak 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128. Bilangan-bilangan 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 membentuk barisan geometri dengan suku pertama ������ = 1 dan perbandingan dua suku berurutan (rasio) ������ = 2. Bentuk penjumlahan bilangan-bilangan 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 dinamakan deret geometri. Untuk menentukan hasil penjumlahan deret tersebut, dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari 8 suku pertama deret geometri ������8. ������8 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 2������8 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 ____________________________________________________ __ (1 − 2) ������8 = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 − 256 ������8 = 1−256 = 255 1−2 Secara umum menjumlahkan ������ suku pertama dari deret geometri ������������: ������������ = ������ + ������. ������ + ������. ������2 + ������. ������3 + ⋯ + ������. ������������−1 ������. ������������ = ������. ������ + ������. ������2 + ������. ������3 + ⋯ + ������. ������������−1 + ������. ������������ ______________________________________________________________ ___ ___ (1 − ������). ������������ = ������ + 0 + 0 + ⋯ + 0 − ������. ������������ (1 − ������). ������������ = ������ − ������. ������������ (1 − ������). ������������ = ������(1 − ������������) ������������ = ������(1−������������) untuk ������ ≠ 1 1−������ Deret Geometri Tak Hingga Trampolin merupakan salah satu wahana lompat-lompat yang menyenangkan untuk anak-anak dan dewasa. Ketinggian lompatan yang terjadi dalam permainan ini akan semakin rendah dari lompatan awal ke lompatan berikutnya. Perubahan ketinggian lompatan yang terjadi membentuk deret geometri jika perubahan yang terjadi antar lompatan tetap. Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 16
Gambar 3 Trampolin: Ilustrasi Deret Geometri Seorang anak terayun di atas trampoli, pantulan pertama tinggi lintasan 3 meter. Pantulan kedua tinggi lintasan 4 dari tinggi lintasan mula-mula. Pantulan ketiga 5 tinggi lintasan 4 dari tinggi lintasan kedua. Demikian seterusnya sampai berhenti. 5 Berapakah total tingggi lintasan anak tersebut? Total tinggi lintasan anak tersebut dapat dinyatakan dalam notasi penjumlahan sebagai berikut: 4 44 4 44 3 + 5 (3) + 5 . 5 (3) + 5 . 5 . 5 (3) + ⋯. Bentuk di atas merupakan deret geometri tak hingga yang apabila diteruskan akan mendekati nol. Untuk menentukan jumlah pada deret geometri tak hingga tersebut, dapat menggunakan rumus: ������������ = 3(1−(54)������) 1−54 karena ������ → ∞, kita dapat menggunakan konsep limit: 3 (1 − (45)������) ������∞ = lim ������������ = lim 4 5 ������→∞ ������→∞ 1 − 17 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
������������ = (4)������akan menuju 0 ketika ������ → ∞, 5 3(1 − 0) 3 3 = 15 ������∞ = = = 4 4 1 1 − 5 1− 5 5 Jadi, total tinggi lintasannya adalah 15 m. Contoh 3. Sebuah bola karet dijatuhkan dari ketinggian 10 meter. Setiap kali memantul, tinggi pantulan bola tersebut adalah setengah dari ketinggian semula seperti pada gambar berikut. 10 55 2,5 2,5 1,25 1,25 Gambar 4 Ilustrasi Pantulan Bola Karet Tentukan panjang lintasan yang ditempuh bola karet tersebut, jika a. sampai pantulan ke-4, b. sampai berhenti. Alternatif Penyelesaian: Perhatikan bahwa lintasan bola karet adalah turun (saat jatuh) dan naik (saat memantul). Jumlah jarak untuk masing-masing lintasan turun dan naik membentuk deret geometri tak hingga. Jumlah jarak untuk lintasan turun adalah 10 + 5 + 2,5 + 1,25 + ... Jumlah jarak untuk lintasan naik adalah 5 + 2,5 + 1,25 + ... Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 18
a. total panjang lintasan yang ditempuh bola karet sampai pantulan ke-4 adalah dengan menjumlahkan panjang lintasan turun dan panjang lintasan naik, S = 10+ 5+2,5 +1,25 + 5+2,5 +1,25 turun naik sehingga S = 10 + 2 (5 + 2,5 + 1,25) = 10 + 2.S3 = 10 + 2(8,75) = 27,5 Dengan demikian panjang lintasan bola karet tersebut sampai pantulan ke-4 adalah 27,5 meter. b. total panjang lintasan yang ditempuh bola karet sampai berhenti adalah dengan menjumlahkan panjang lintasan turun dan panjang lintasan naik, S = 10+ 5+2,5 +1,25+...+ 5+2,5 +1,25+... turun naik sehingga S = 10 + 2 (5 + 2,5 + 1,25 + ...) 5 + 2,5 + 1,25 + … merupakan deret geometri dengan: ������ = 5 dan ������ = 2,5 = 1 52 Jumlah deret 5 + 2,5 + 1,25 + … ������������ = ������(1−������������) = 5(1−(21)������) 1−������ 1−21 karena ������ → ∞, kita dapat menggunakan konsep limit: 5 (1 − (12)������) ������∞ = lim ������������ = lim 1 2 ������→∞ ������→∞ 1 − ������������ = (1)������akan menuju 0 ketika ������ → ∞, 2 ������∞ = 5(1 − 0) 5 5 = = = 10 1 1 1 1 − 2 1 − 2 2 Jadi S = 10 + 2. S = 10 + 2.10 = 30. Maka panjang lintasan bola karet sampai berhenti adalah 30 meter. 19 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Secara umum: ������1 + ������2 + ������3 + ⋯ + ������������ = ������ + ������. ������ + ������. ������2 + ������. ������3 + ⋯ + ������. ������������−1 Jumlah ������ suku pertama dari deret geometri ������������ = ������(1−������������) 1−������ Pada deret geometri dengan banyaknya suku tak tentu disebut deret geometri tak hingga: ������1 + ������2 + ������3 + ⋯ = ������ + ������. ������ + ������. ������2 + ������. ������3 + ⋯ karena ������ → ∞, kita dapat menggunakan konsep limit: ������∞ = lim ������������ ������→∞ ������∞ = lim ������(1 − ������������) ������→∞ 1 − ������ ������∞ (1 ������ ������������������ ������) = lim − − ������ 1 − ������→∞ = lim ������ ������������������ ������∞ − lim ������→∞ 1 − ������ 1 − ������ ������→∞ ������∞ = 1 ������ ������ − 1 ������ ������ ( lim ������������) − − ������→∞ ������∞ = 1 ������ ������ (1 − lim ������������) − ������→∞ Terlihat bahwa nilai ������∞ bergantung denga nada atau tidaknya nilai lim ������������. Ada ������→∞ dua kemungkinan nilai lim ������������, yaitu: ������→∞ 1. Jika |������| < 1 atau −1 < ������ < 1 rasio ������ merupakan pecahan ������ dengan ������ < ������, maka untuk ������ → ∞ ������ mengakibatkan lim ������������ = 0 ������→∞ sehingga: ������∞ = 1 ������ ������ (1 − lim ������������) − ������→∞ ������ ������∞ = 1 − ������ (1 − 0) ������ ������∞ = 1 − ������ Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 20
Deret geometri tak hingga di atas dikatakan mempunyai limit jumlah atau konvergen. 2. Jika |������| > 1 atau ������ < −1 atau ������ > 1 rasio ������ merupakan pecahan ������ dengan ������ > ������, maka untuk ������ → ∞ mengakibatkan ������ lim ������������ = ±∞ ������→∞ sehingga: ������∞ = 1 ������ ������ (1 − lim ������������) − ������→∞ ������ ������∞ = 1 − ������ (1 − ±∞) = ±∞ Deret geometri tak hingga di atas dikatakan tidak mempunyai limit jumlah atau divergen. Contoh 4. [SIMAK UI 2019] Diberikan deret geometri 1 − (������ + 3) + (������ + 3)2 − (������ + 3)3 + ⋯ = 2������ + 9 dengan −4 < ������ < −2. Jika ������, −7, ������ membentuk barisan geometri baru, nilai 2������ + ������ = ⋯. A. 7 B. 0 C. −7 D. −14 E. −21 1 − (������ + 3) + (������ + 3)2 − (������ + 3)3 + ⋯ merupakan deret geometri tak hingga dengan ������ = 1, ������ = −(������ + 3) dan ������∞ = 2������ + 9. dari: ������∞ = ������ 1−������ 2������ + 9= 1 1−(−(������+3)) 21 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
2������ + 9 = 1 ������+4 (2������ + 9)(������ + 4) = 1 2������2 + 17������ + 35 = 0 (2������ + 7)(������ + 5) = 0 ������ = − 7 atau ������ = −5 2 karena −4 < ������ < −2, maka yang memenuhi adalah ������ = − 7 . 2 deret baru: ������, −7, ������ = − 7 , −7, ������ 2 dengan rasio ������ = −7 = 2 −72 sehingga nilai ������ = −7 ������ 2 = −14 Jadi nilai 2������ + ������ = 2 (− 7) + (−14) = −21. 2 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 22
E. Aktivitas Pembelajaran 1. Kegiatan In Learning Service-1 ( 4 JP) Aktivitas ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk mengkaji materi dan melakukan kegiatan pembelajaran. Aktivitas 1: Berdiskusi dengan teman sejawat tentang: 1. Model pembelajaran yang dapat digunakan untuk mengajarkan aplikasi barisan dan deret. 2. Bahan ajar yang tepat dalam pembelajaran aplikasi barisan dan deret. 3. Menyusun LKPD yang mengarahkan siswa agar berpikir kritis dan kreatif. Aktivitas 2: Membahas dan mendiskusikan soal HOTS UNBK 2019 yang terkait dengan penerapan barisan dan deret. Berdasarkan https://hasilun.puspendik.kemdikbud.go.id/ hasil rata-rata untuk soal di atas secara nasional sebesar 3,85 (dari skala penilaian 0-100). Dalam rangka memperingati hari kemerdekaan Republik Indonesia, Desa X mengadakan lomba mengambil kelereng dari wadah dengan aturan sebagai berikut: - Setiap tim terdiri dari 5 orang dan setiap anggota kelompok harus mengambil sesuai urutannya. - Pada pengambilan putaran pertama (5 orang secara bergantian) hanya diperbolehkan mengambil masing-masing satu kelereng. - Pada putaran kedua, orang pertama setiap kelompok mengambil 2 kelereng dan selalu bertambah 3 kelereng untuk peserta pada urutan berikutnya dalam kelompok tersebut. - Pada putaran selanjutnya, setiap anggota tim mengambil 3 kelereng lebih banyak dari anggota sebelumnya. Tim B beranggotakan Aldi, Budi, Cahyo, Deni, dan Endra (urutan pengambilan Akketilveirteansg3:sesuai dengan urutan abjad awal nama). Bersamaan dengan habisnya wakktu, ternyata tim B berhasil mengumpulkan 350 kelereng. Banyak kelereng Akyatinvgitabse3rh: asil diambil pada pengambilan terakhir oleh salah seorang anggota tim B adalah . . . kelereng. 1. Membahas bersama teman sejawat soal-soal (UN, SPBMPTN, AKG, dll) yang terkait dengan aplikasi barisan dan deret. 23 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
2. Bertukar pemikiran dengan teman sejawat cara menyelesaikan soal tersebut. 2. Kegiatan On Job Training ( 6 JP) Pada kegiatan ini, setiap guru mempraktikkan pembelajaran terhadap peserta didik di madrasah masing-masing sesuai dengan perangkat pembelajaran yang telah disempurnakan pada kegiatan in-1. Contoh model pembelajaran yang dapat digunakan adalah model Discovery Learning (DL) dengan sintak: 1) Pemberian Stimulus (Stimulation) Pada tahap ini peserta didik dihadapkan pada sesuatu yang menimbulkan tanda tanya. Kemudian, dilanjutkan untuk tidak memberi generalisasi, agar timbul keinginan untuk menyelidiki sendiri. Di samping itu guru dapat memulai kegiatan PBM dengan mengajukan pertanyaan, anjuran membaca buku, dan aktivitas belajar lainnya yang mengarah pada persiapan pemecahan masalah. 2) Pernyataan/Identifikasi masalah (Problem Statement) Setelah dilakukan stimulasi langkah selanjutya adalah guru memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengidentifikasi sebanyak mungkin masalah-masalah yang relevan dengan materi pembelajaran, kemudian salah satunya dipilih dan dirumuskan dalam bentuk hipotesis. Permasalahan yang dipilih itu selanjutnya dirumuskan dalam bentuk pernyataan sebagai jawaban sementara atas pertanyaan yang diajukan. 3) Pengumpulan Data (Data Collection) Ketika eksplorasi berlangsung guru juga memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengumpulkan informasi sebanyak-banyaknya yang relevan untuk membuktikan benar atau tidaknya hipotesi. Pada tahap ini berfungsi untuk menjawab pertanyaan atau membuktikan benar tidaknya hipotesis. Dengan demikian peserta didik diberi kesempatan untuk mengumpulkan (collection) berbagai informasi yang relevan, membaca literatur, mengamati objek, wawancara dengan narasumber, melakukan uji coba sendiri dan sebagainya. Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 24
4) Pengolahan Data (Data Processing) Semua informasi hasil bacaan, wawancara, observasi, dan sebagainya, semuanya diolah, diacak, diklasifikasikan, ditabulasi, bahkan bila perlu dihitung dengan cara tertentu serta ditafsirkan pada tingkat kepercayaan tertentu. Data processing disebut juga dengan pengkodean/kategorisasi yang berfungsi sebagai pembentukan konsep dan generalisasi. Dari generalisasi tersebut peserta didik akan mendapatkan pengetahuan baru tentang alternatif jawaban/penyelesaian yang perlu mendapat pembuktian secara logis. 5) Pembuktian (Verification) Pada tahap ini peserta didik melakukan pemeriksaan secara cermat untuk membuktikan benar atau tidaknya hipotesis yang ditetapkan tadi dengan temuan alternatif, dihubungkan dengan hasil data processing. Berdasarkan hasil pengolahan dan tafsiran, atau informasi yang ada, pernyataan atau hipotesis yang telah dirumuskan terdahulu itu kemudian dicek, apakah terjawab atau tidak, apakah terbukti atau tidak. 6) Menarik Kesimpulan/Generalisasi (Generalization) Tahap ini merupakan proses penarikan sebuah kesimpulan yang dapat dijadikan prinsip umum dan berlaku untuk semua kejadian atau masalah yang sama, dengan memperhatikan hasil verifikasi. Berdasarkan hasil verifikasi maka dirumuskan prinsip-prinsip yang mendasari generalisasi. Setelah menarik kesimpulan peserta didik harus memperhatikan proses generalisasi yang menekankan pentingnya penguasaan pelajaran atas makna dan kaidah atau prinsip-prinsip yang luas yang mendasari pengalaman seseorang, serta pentingnya proses pengaturan dan generalisasi dari pengalaman- pengalaman itu. 25 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Kegiatan Pembelajaran ( 2 x 60 menit) Materi: Aplikasi Barisan dan Deret Aritmetika Tabel 4 Desain Pembelajaran Aplikasi dan Deret Aritmetika Langkah- Aktivitas Peserta Aktivitas Guru Waktu Langkah Didik Pembelajaran 10 menit Pendahuluan - Menjawab salam, - Memulai pembelajran berdoa, membaca dengan mengucap salam surat pendek dan meminta salah satu peserta didik untuk memimpin doa dan membaca salah satu surat pendek sebelum belajar. - Membagi peserta didik menjadi beberapa kelompok dengan tiap kelompok terdiri atas 4-5 peserta didik. - Memperhatikan dan - Menyampaikan tujuan memahami pembelajaran yang ingin penjelasan guru dicapai. - Memberikan gambaran tentang pentingnya memahami konsep barisan dan deret aritmetika serta penerapannya. Pemberian - Mengamati masalah - Memberikan masalah 100 Stimulus nyata terkait dengan nyata terkait dengan menit (Stimulation) barisan dan deret barisan dan deret aritmetika yang aritmetika yang tertuang diberikan. dalam LKPD, Buku Paket, dll. Pernyataan/Iden - Mengidentifikasi - Meminta peserta didik tifikasi masalah masalah nyata untuk mengidentifikasi masalah tersebut terkait tersebut konsep barisan dan deret Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 26
(Problem aritmetika, rumus suku ke- Statement) ������, jumlah ������ suku pertama. Pengumpulan Data (Data - Berdiskusi tentang - Mengarahkan peserta Collection) masalah yang ada didik untuk menemukan dalam LKPD, Buku konsep barisan dan deret Pengolahan Paket, dll yang aritmetika, rumus suku ke- Data diberikan. ������, jumlah ������ suku pertama. (Data Processing) - Mengajukan pertanyaan- Pembuktian pertanyaan yang (Verification) berkaitan dengan masalah yang ada dalam LKPD, Buku Paket, dll yang diberikan. - Memahami konsep - Meminta peserta didik barisan dan deret untuk memahami konsep aritmetika, rumus barisan dan deret suku ke-������, jumlah ������ aritmetika, rumus suku ke- suku pertama dan ������, jumlah ������ suku pertama mengaplikasikan dan mengaplikasikan dalam masalah nyata. dalam masalah nyata. - Mendefinisikan - Meminta tiap kelompok konsep barisan dan untuk mendefinisikan deret aritmetika, konsep barisan dan deret rumus suku ke-������, aritmetika, rumus suku ke- jumlah ������ suku ������, jumlah ������ suku pertama pertama dan dan mengaplikasikan mengaplikasikan dalam masalah nyata. dalam masalah nyata. - Memperhatikan dan - Terlibat aktif dalam mendorong semua peserta diskusi kelompok didik untuk terlibat diskusi dan mengarahkan jika ada kelompok yang melenceng jauh pekerjaannya. 27 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Menarik - Salah satu kelompok - Salah satu kelompok Kesimpulan/ diminta untuk diminta untuk mempresentasikan mempresentasikan hasil Generalisasi hasil diskusinya ke diskusinya ke depan kelas. (Generalization) depan kelas. Sementara kelompok lain, Sementara kelompok menanggapi dan lain, menanggapi dan menyempurnakan apa menyempurnakan yang dipresentasikan. apa yang dipresentasikan. - Menyimpulkan konsep barisan dan deret aritmetika, rumus suku ke-������, jumlah ������ suku pertama dan mengaplikasikan dalam masalah nyata. Penutup - Menyimak - Menyimpukan konsep 10 penjelasan yang barisan dan deret menit diberikan aritmetika, rumus suku ke- ������, jumlah ������ suku pertama dan mengaplikasikan dalam masalah nyata. Kegiatan Pembelajaran ( 4 x 60 menit) Materi: Aplikasi Barisan dan Deret Geometri Tabel 5. Desain Pembelajaran Aplikasi dan Deret Geometri Langkah- Aktivitas Peserta Didik Aktivitas Guru Waktu Langkah Pembelajaran - Menjawab salam, - Memulai pembelajran 20 berdoa, membaca surat dengan mengucap salam menit Pendahuluan pendek dan meminta salah satu peserta didik untuk memimpin doa dan Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 28
membaca salah satu surat pendek sebelum belajar. - Membagi peserta didik menjadi beberapa kelompok dengan tiap kelompok terdiri atas 4-5 peserta didik. - Memperhatikan dan - Menyampaikan tujuan memahami penjelasan pembelajaran yang ingin guru dicapai. - Memberikan gambaran tentang pentingnya memahami konsep barisan dan deret geometri serta penerapannya. Pemberian - Mengamati masalah - Memberikan masalah nyata 200 Stimulus nyata terkait dengan terkait dengan barisan dan menit (Stimulation) barisan dan deret deret geometri yang tertuang geometri yang diberikan. dalam LKPD, Buku Paket, dll. Pernyataan/Iden - Mengidentifikasi - Meminta peserta didik untuk tifikasi masalah masalah nyata tersebut mengidentifikasi masalah (Problem tersebut terkait konsep Statement) barisan dan deret geometri, rumus suku ke-������, jumlah ������ suku pertama. Pengumpulan - Berdiskusi tentang - Mengarahkan peserta didik Data (Data masalah yang ada dalam untuk menemukan konsep Collection) LKPD, Buku Paket, dll barisan dan deret geometri, yang diberikan. rumus suku ke-������, jumlah ������ suku pertama. - Mengajukan pertanyaan- pertanyaan yang berkaitan dengan masalah yang ada dalam LKPD, Buku Paket, dll yang diberikan. Pengolahan - Memahami konsep - Meminta peserta didik untuk Data barisan dan deret memahami konsep barisan geometri, rumus suku dan deret geometri, rumus 29 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
(Data ke-������, jumlah ������ suku suku ke-������, jumlah ������ suku Processing) pertama dan pertama dan mengaplikasikan dalam mengaplikasikan dalam masalah nyata. masalah nyata. Pembuktian - Mendefinisikan konsep - Meminta tiap kelompok (Verification) barisan dan deret untuk mendefinisikan konsep geometri, rumus suku barisan dan deret geometri, ke-������, jumlah ������ suku rumus suku ke-������, jumlah ������ pertama dan suku pertama dan mengaplikasikan dalam mengaplikasikan dalam masalah nyata. masalah nyata. - Terlibat aktif dalam - Memperhatikan dan diskusi kelompok mendorong semua peserta didik untuk terlibat diskusi dan mengarahkan jika ada kelompok yang melenceng jauh pekerjaannya. Menarik - Salah satu kelompok - Salah satu kelompok diminta Kesimpulan/ diminta untuk untuk mempresentasikan mempresentasikan hasil hasil diskusinya ke depan Generalisasi diskusinya ke depan kelas. Sementara kelompok (Generalization) kelas. Sementara lain, menanggapi dan kelompok lain, menyempurnakan apa yang menanggapi dan dipresentasikan. menyempurnakan apa yang dipresentasikan. - Menyimpulkan konsep barisan dan deret geometri, rumus suku ke-������, jumlah ������ suku pertama dan mengaplikasikan dalam masalah nyata. Penutup - Menyimak penjelasan - Menyimpukan konsep 20 yang diberikan barisan dan deret geometri, menit rumus suku ke-������, jumlah ������ suku pertama dan mengaplikasikan dalam masalah nyata. Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 30
3. Kegiatan In Learning Service-2 ( 4 JP) Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk melaporkan dan mendiskusikan hasil kegiatan on. Agar hambatan selama pembelajaran terekam dengan baik, lakukan refleksi pelaksanaan pembelajaran dan tuliskan ke dalam lembar berikut: Tabel 5 Refleksi Pelaksanaan Pembelajaran On Job Training No. Refleksi Aktivitas Refleksi Aktivitas Hambatan Lain Peserta Didik Guru 1 2 3 dst Diskusikan hambatan pelaksanaan pembelajaran Anda dengan teman sejawat untuk mendapatkan pemecahan masalah guna perbaikan pembelajaran yang akan datang. 31 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
F. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) 1. LKPD Aplikasi Barisan dan Deret Aritmetika Nama Peserta didik : 1.................................................. 2.................................................. Kelas 3.................................................. Hari/tanggal 4.................................................. : ...................................................... : ...................................................... Tujuan Pembelajaran: Melalui diskusi kelompok, peserta didik dapat: 1. Membuat generalisasi (bentuk umum) suku ke-n dari suatu barisan aritmetika 2. Membuat generalisasi (bentuk umum) suku ke-n dari suatu barisan aritmetika 3. Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan n suku pertama dari suatu barisan aritmetika Pengantar: Cermati setiap pertanyaan/instruksi yang diberikan pada LKPD ini. Berdiskusilah secara aktif dalam kelompokmu, kemudian isikan jawaban pada tempat yang disediakan. Diberikan salah satu permasalahan dalam kehidupan sehari–hari yang terkait dengan barisan dan deret aritmetika. Suatu gedung pertunjukkan teater mempunyai 18 kursi penonton pada baris terdepan atau baris pertama. Pada baris kedua gedung tersebut mempunyai 22 kursi penonton. Pada baris ketiga Gedung tersebut mempunyai 26 kursi penonton. Pada baris keempat Gedung tersebut mempunyai 30 kursi penonton. Banyaknya baris kursi penonton pada Gedung itu sebanyak 15 baris. Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 32
Lembar Kerja Peserta Didik: Banyak Kursi Penonton 1. Lengkapi tabel berikut: ………… ………… Baris Kursi Penonton ………… Baris ke-5 ………… Baris ke-6 Baris ke-7 Baris ke-8 2. Berdasarkan data di atas, apakah barisan aritmetika? Mengapa? ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... 3. Berapakah banyaknya kursi penonton pada gedung teater tersebut? ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... 4. Presentasikan hasil diskusi kelompok di depan kelas, kelompok lain memberikan tanggapan dengan mengajukan pertanyaan ataupun memberikan masukkan. 33 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
2. LKPD Aplikasi Barisan dan Deret Geometri Nama Peserta didik : 1.................................................. 2.................................................. Kelas 3.................................................. Hari/tanggal 4.................................................. : ...................................................... : ...................................................... Tujuan Pembelajaran: Melalui diskusi kelompok, peserta didik dapat: 1. Membuat generalisasi (bentuk umum) suku ke-n dari suatu barisan geometri 2. Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan suku ke-n dari suatu barisan geometri 3. Memecahkan masalah yang berkaitan barisan geometri Pengantar: Cermati setiap pertanyaan/instruksi yang diberikan pada LKPD ini. Berdiskusilah secara aktif dalam kelompokmu, kemudian isikan jawaban pada tempat yang disediakan. Diberikan salah satu permasalahan dalam kehidupan sehari–hari yang terkait dengan deret geometri. Suatu wabah penyakit menyebar dengan cepat. Misalkan pada minggu pertama terdapat 5 orang yang terdiagnosis terjangkit penyakit tersebut. Selanjutnya setiap orang yang sudah terjangkit akan menularkan ke LemebmapraKterojaraPnegseyratanDgidlaikin: pada akhir minggu berikutnya. Pada akhir 1. mMiisnaglkgaun, bkaen-1y0a,k obraenragpyaangbatenryjaankgkiot rpaandga myinagnggu pseurdtaamha =te5rdiagnosis tLeernjagnkgapkittapbeenlybaekrikt utet:rsebut? Akhir Banyak Orang Yang Terjangkit Minggu ke-2 ………… Minggu ke-3 ………… Minggu ke-4 ………… Minggu ke-5 ………… 2. Berdasarkan data di atas, apakah barisan geometri? Mengapa? ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 34
................................. ........................................................................................................................ 3. banyak orang yang sudah terdiagnosis terjangkit penyakit pada akhir minggu ke-10 adalah ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... 4. Presentasikan hasil diskusi kelompok di depan kelas, kelompok lain memberikan tanggapan dengan mengajukan pertanyaan ataupun memberikan masukkan. 35 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
3. LKPD Aplikasi Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga Nama Peserta didik : 1.................................................. 2.................................................. Kelas 3.................................................. Hari/tanggal 4.................................................. : ...................................................... : ...................................................... Tujuan Pembelajaran: Melalui diskusi kelompok, peserta didik dapat: 1. Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan dari suatu deret geometri tak hingga 2. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan deret geometri Pengantar: Cermati setiap pertanyaan/instruksi yang diberikan pada LKPD ini. Berdiskusilah secara aktif dalam kelompokmu, kemudian isikan jawaban pada tempat yang disediakan. Diberikan salah satu permasalahan dalam kehidupan sehari–hari yang terkait dengan deret geometri tak hingga. Sebuah ayunan mencapai lintasan pertama sejauh 90 cm, dan lintasan berikutnya hanya mencapai 5 dari lintasan sebelumnya. 8 Tentukan panjang lintasan seluruhnya hingga ayunan berhenti. Lembar Kerja Peserta Didik: 1. Perhatikan gambar. Gambar 5 Ilustrasi Lintasan Ayunan 36 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Lengkapi tabel berikut: Panjang Lintasan Lintasan Ayunan 90 cm Ke-1 ………… Ke-2 ………… Ke-3 ………… Ke-4 2. Dari tabel di atas lintasan ayunan membentuk deret: 90 + . . . + . . . + . . . + . . . Deret apakah yang terbentuk? ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... 3. Berpakah total panjang lintasan ayunan yang ditempuh sampai berhenti? ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... 4. Presentasikan hasil diskusi kelompok di depan kelas, kelompok lain memberikan tanggapan dengan mengajukan pertanyaan ataupun memberikan masukkan. 37 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
G. Pengembangan SOAL HOTS HOTS singkatan dari Higher Order Thinking Skills yang artinya kemampuan berpikir tingkat tinggi. Soal model HOTS ini mendorong peserta didik untuk melakukan penalaran tingkat tinggi sehingga tidak terpaku hanya pada satu pola jawaban yang dihasilkan dari proses menghafal, tanpa mengetahui konsep ilmunya. HOTS merupakan salah satu tuntutan keterampilan dalam pembelajaran abad 21, yaitu berpikir kritis, kreatif, kolaboratif, dan komunikatif. Bagian ini menyajikan contoh kisi-kisi pengembangan penilaian HOTS sesuai dengan kompetensi, lingkup materi, dan indikator soal. Selanjutnya buatlah kisi-kisi yang lain dan kembangkan menjadi instrumen penilaian dari kisi tersebut dalam aktivitas In Learning Service-1. KISI-KISI SOAL HOTS Nama Madrasah : Madrasah Aliyah Mata Pelajaran : Matematika Alokasi Waktu : …………………………. Jumlah Soal : …………………………. Tahun Pelajaran : …………………………. Tabel 6 Kisi-Kisi Pengembangan Soal HOTS Kompetensi Lingkup Indikator Indikator Soal No. Level Bentu Dasar Materi KD Soal Kognitif k soal 3.6 Menggeneralis Barisan Peserta Diberikan 1 L3 Uraian asi pola dan didik dapat masalah bilangan dan Deret menggener kontekstual jumlah pada alisasi pola tentang barisan bilangan pertumbuhan, Aritmetika dan dan jumlah peserta didik Geometri pada diminta barisan untuk dapat Aritmetika menganalisis dan Geometri Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 38
Barisan Peserta Diberikan 2 L3 Uraian dan didik dapat masalah 3 L3 Uraian deret menggener kontekstual alisasi pola tentang Barisan bilangan peluruhan, dan dan jumlah didik diminta deret pada untuk dapat barisan menganalisis Aritmetika dan Diberikan Geometri masalah kontekstual Peserta tentang bunga didik dapat majemuk, didik menggener diminta untuk alisasi pola dapat bilangan menganalisis dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri 39 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
05 PENILAIAN A. Tes Formatif 1. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah … buah A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 E. 80 2. Ahmad menabung sejumlah uang disebuah bank. Jenis tabungan yang dipilih Ahmad adalah tabungan dengan sistem bunga tunggal sebesar 3% per caturwulan. Jika setelah 3 tahun tabungan Ahmad menjadi Rp.25.400.000, maka besar tabungan awal Ahmad di bank tersebut adalah …. A. Rp20.000,00 B. Rp20.500,00 C. Rp21.000,00 D. Rp22.000,00 E. Rp22.500,00 3. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.200.000.000. Jika setiap tahun harganya mengalami penyusutan 20% dari nilai tahun sebelumnya, maka harga mobil itu setelah dipakai selama 5 tahun adalah …. A. Rp65.000.000,00 B. Rp65.536.000,00 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 40
C. Rp66.536.000,00 D. Rp67.500.000,00 E. Rp68.500.000,00 4. Sebuah mobil berjalan dengan kecepatan 60 km/jam selama satu jam pertama. Pada jam kedua, kecepatan berkurang menjadi seperempatnya, demikian juga pada jam berikutnya. Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah …. A. 80 km B. 90 km C. 100 km D. 120 km E. 160 km 5. Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah 64, suku ke-4 deret tersebut adalah …. A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 E. 12 6. Salah satu contoh bilangan ganjil yang berurutan adalah 21, 23, 25, dan 27. Tentukan empat bilangan ganjil berurutan yang mempunyai jumlah 160. 41 Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
7. Di pusat taman kota terdapat air mancur yang dibatasi oleh bangunan dari beton sebagai pagar dengan warna putih. Para pekerja memasang ubin berbentuk segienam dengan warna hitam sebagai lapisan pertama, untuk mengelilingi pagar air mancur. Selanjutnya, para pekerja memasang ubin berbentuk segienam berwarna putih sebagai lapisan kedua untuk mengelilingi air mancur, setelah memasang ubin berwarna hitam. Berikutnya berwarna hitam, selanjutnya berwarna putih dan demikian seterusnya sampai lapisan ke- 15. Berwarna apakah ubin pada lapisan ke-15? Dan ada berapa banyak ubin yang ada pada lapisan ke-15? 8. Jumlah anak tangga dari sebuah tangga di suatu sekolah tiga lantai adalah 24 anak tangga. Anak tangga yang paling dasar memerlukan 100 buah batu bata. Dan, setiap anak tangga berikutnya memerlukan 4 buah batu bata lebih sedikit dari anak tangga sebelumnya. Berapa batu bata yang diperlukan untuk membangun tangga sekolah ini? Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret 42
Search
