1 −2 1 3 −6 3 Jadi ������−1 = (−1 1 0) = 1 (−3 3 0) 0 −1 3 2 0 −1 2 3 3 Mencari invers dengan menggunakan adjoint. Adjoint matriks ������, ditulis Adj ������ adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mentranspos matriks kofaktor dari ������. Misalkan ������ = (������������������) suatu matriks persegi berordo ������ × ������ dan ������������������ adalah kofaktor ������11 ������21 … ������������1 dari ������������������, maka adjoint ������ = Adj ������ = (������������������)������ = ( ������12 ������22 … ������������2 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ������1������ ������2������ … ������������������ Selanjutnya invers matriks A ditentukan dengan ������−1 = 1 ⋅ Adj ������, dengan |������| ≠ 0 |������| Invers Matriks Berordo 2×2 menggunakan adjoint. Untuk matriks 2 × 2, bagaimana menentukan Adj ������? Terlebih dahulu dicari minor matriks ������. Misalkan ������ = (������������ ������������), maka minor dan kofaktornya adalah: ������11 = ������ → ������11 = ������ ������12 = ������ → ������12 = −������ ������22 = ������ → ������22 = ������ ������21 = ������ → ������21 = −������ Selanjutnya Adj ������ merupakan transpose Didapat matriks kofaktor ( ������ −������ ). −������ ������ dari kofaktor ������, sehingga Adj ������ = (−������������ −������������)������ = (−������������ −������������). Ingat bahwa |������| = ������������ − ������������ akibatnya ������−1 = ������������ 1 ������������ ⋅ (−������������ −������������) dengan syarat ������������ − ������������ ≠ 0 − Invers Matriks Berordo 3×3 menggunakan adjoint. 43 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
−3 4 2 Misal diberikan matriks ������ = ( 2 1 3), akan dicari inversnya menggunakan 1 0 −1 adjoint. Langkah pertama adalah menentukan determinan matriks A. Mencari determinan ������. Anda bisa menggunakan minor kofaktor, Sarrus, atau operasi baris. Pada kali ini digunakan operasi baris dan ekspansi baris atau kolom yang memuat lebih banyak nol. −3 4 20 4 −1 = 1 ⋅ |14 −51| = 21 |2 1 1 5| 0 3 | = |0 0 −1 1 −1 ⏟1 ������1+3������3 ������2−2������3 Mencari minor dan kofaktor ������11 = |01 −31| = −1 ������12 = |21 −31| = −5 ������13 = |12 01| = −1 ������11 = −1 ������12 = −(−5) = 5 ������13 = −1 ������21 = |40 −21| = −4 ������22 = |−13 −21| = 1 ������23 = |−13 04| = −4 ������21 = −(−4) = 4 ������22 = 1 ������23 = −(−4) = 4 ������31 = |41 23| = 10 ������32 = |−23 32| = −13 ������33 = |−23 14| = −11 ������31 = 10 ������32 = −(−13) = 13 ������33 = −11 Sehingga didapat ������11 ������12 ������13 ������ −1 5 −1 ������ −1 4 10 Adj ������ = (������21 ������22 ������23) = ( 4 1 4 ) = ( 5 1 13 ) ������31 ������32 ������33 10 13 −11 −1 4 −11 Dengan demikian ������−1 = 1 ⋅ Adj A = 1 ⋅ −1 4 10 |������| 21 (5 1 13 ) 4 −1 −11 Unit Pembelajaran 5 : Matriks 44
Sifat-sifat invers matriks Misalkan ������ = (������������ ������������) dan ������ = (������������ ������������) merupakan matriks yang memiliki invers, maka Bagimana dengan (������������)−1 untuk ������ ≠ 0? ������������ = (������������������������ ������������������������) (������������)−1 = ������������ ⋅ ������������ 1 ������������ ⋅ ������������ ⋅ (−������������������������ −������������������������) = ������2 ⋅ 1 − ������������) ⋅ ������ ⋅ (−������������ −������������) − (������������ = 1 ⋅ ������������ 1 ������������ ⋅ (−������������ −������������) = 1 ⋅ ������−1 ������ − ������ Ternyata diperoleh hasil (������������)−1 = 1 ⋅ ������−1 (1). ������ Bagaimana jika ������ = 0? Bagaimana dengan (������−1)−1? ������−1 = ������������ 1 ������������ (−������������ −������������) . − (������−1)−1 = 1 ⋅ (−������������ −������������)−1 = (������������ − ������������) ⋅ ������������ 1 ������������ ⋅ (������������ ������������) = (������������ ������������) = ������. 1 − ������������ − ������������ Jadi diperoleh sifat (������−1)−1 = ������ (2). Dengan cara serupa, anda dapat melanjutkan untuk menyelidiki ������−1������, ������������−1, (������������)−1, ������−1������−1 untuk memperoleh hubungan-hubungannya. Anda juga dapat menyelidiki bahwa jika ������������ = ������, maka ������ = ������������−1 atau ������ = ������−1������. Jadi beberapa sifat invers yang dapat disimpulkan antara lain: Jika matriks ������ dan ������ adalah matrik mempunyai invers, maka: a. (������������)−1 = 1 ⋅ ������−1, untuk ������ ≠ 0. ������ b. (������−1)−1 = ������ c. ������−1 ⋅ ������ = ������ ⋅ ������−1 = ������ d. (������ ⋅ ������)−1 = ������−1 ⋅ ������−1 e. Jika ������ ⋅ ������ = ������, maka ������ = ������ ⋅ ������−1 atau ������ = ������−1 ⋅ ������ 45 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
Penyelesaian sistem persamaan linear Suatu sistem persamaan linear dapat diubah ke bentuk perkalian matriks. Sebagai contoh. ������ + 2������ = −1 menjadi (11 −22) (������������) = (−31) ������ − 2������ = 3 Sistem persamaan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat perkalian dan invers matriks ������������ = ������ ������−1������������ = ������−1������ (kedua ruas dikalikan A−1 dari kiri) ������������ = ������−1������ (sifat invers perkalian, ������−1������ = ������������−1 = ������) ������ = ������−1������ (sifat matriks identitas) Misal ������ = (11 −22), maka ������−1 = ������������ 1 ������������ (−������������ −������������) = 1 2 (−−21 −12) = − 1 (−−12 −12) − −2 − 4 Selanjutnya (11 −22) ������ = (−31) (������) − 1 (−−12 −12) (11 −22) ������ = − 1 (−−12 −12) (−31) 4 (������) 4 (01 01) ������ = − 1 (12 − 63) (������) 4 + ������ = (−11) (������) Jadi penyelesaian sistem persamaan di atas adalah ������ = 1 dan ������ = −1. Menyelesaikan SPL dengan operasi baris elementer (OBE). Misal diberikan sistem persamaan linear ������ + 2������ = −1 ������ − 2������ = 3 ������ (11 −22) ������ = (−31) Jika dituliskan dalam bentuk ������ ⋅ (������) = ������ menjadi (������) Unit Pembelajaran 5 : Matriks 46
Penyelesaian SPL dengan OBE menggunakan langkah-langkah sebagai berikut: i. Buat sebuah matriks baru berukuran 2 × 3 dimana dua kolom pertama berisi elemen matriks A dan kolom ketiga berisi elemen matriks ������. (11 2 −1 ) −2 3 ii. Lakukan operasi baris elementer, sehingga terbentuk matris identitas di sebelah kiri, maka diperoleh penyelesaian ������ = ������, ������ = ������. (11 2 −1 ) → OBE sampai diperoleh bentuk → (10 0 ������ ) −2 3 1 ������ Sehingga pada SPL di atas, proses OBE yang dilakukan adalah sebagai berikut: (11 2 −1 ) ���⃗⃗���⃗⃗2⃗⃗⃗−⃗⃗⃗⃗⃗���⃗⃗���⃗1 (01 2 −1 ) −2 3 −4 4 ⃗⃗⃗⃗⃗1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (01 2 −1 ) ⃗⃗���⃗���⃗⃗1⃗⃗⃗−⃗⃗⃗⃗⃗2⃗⃗⃗���⃗⃗���⃗2 (10 0 1 ) − 4 ������2 − ������1 1 −1 1 −1 iii. Dari proses di atas, diperoleh penyelesaian ������ = 1 dan ������ = −1. Soal di atas menunjukkan proses mencari penyelesaian SPL melalui invers matriks dan operasi baris elementer sehingga didapatkan satu penyelesaian. Adakalanya sebuah sistem persamaan linear tidak memiliki solusi, atau memiliki tak hingga solusi. Tabel berikut menunjukkan hubungan antara banyak solusi, nilai determinan, dan hasil paling sederhana setelah OBE. Bentuk I Bentuk II Bentuk III SPL ������ + ������ = 3 ������ − 2������ = 1 ������ − 2������ = 2 ������ − 2������ = 0 −2������ + 4������ = 1 2������ − 4������ = 4 Grafik Dua garis Dua garis sejajar Dua garis berimpit berpotongan 47 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
Bentuk Pers. (11 −12) ������ = (30) (−12 −42) ������ (12 −−24) ������ = (24) Matriks (������) (������) (������) = (11) Determinan |11 −12| = −3 |−12 −42| = 0 |12 −−42| = 0 Bentuk paling (01 0 2 ) 1 −2 1 (10 −2 2 ) sederhana 1 1 (0 0 −3) 0 0 setelah operasi baris. 2 Perhatikan, pada persamaan matriks ������������ = ������, jika determinan ������ tidak nol (������ memiliki invers) maka ������ dapat ditemukan solusinya. Sementara itu jika determinan ������ adalah nol, maka ada dua kemungkinan, yaitu tidak memiliki solusi, atau ada tak hingga solusi. Unit Pembelajaran 5 : Matriks 48
E. Aktivitas Pembelajaran 1. Kegiatan In Learning Service-1 ( ±6 JP) Aktivitas ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk mengkaji materi dan melakukan kegiatan pembelajaran. Aktivitas 1: Buatlah contoh kontekstual untuk membelajarkan penjumlahan matriks, termasuk syarat dua matriks dapat dijumlahkan, dan contoh kontekstual dua matriks tidak dapat dijumlahkan. Aktivitas 2: Buatlah contoh kontekstual untuk membelajarkan operasi perkalian skalar dengan matriks dan matriks dengan matriks. Aktivitas 3: Buktikan bahwa untuk skalar ������, ������, dan matriks ������ berlaku (������ + ������)������ = ������������ + ������������. Aktivitas 4: Buatlah contoh kontekstual untuk membelajarkan operasi perkalian dua matriks. Dari contoh yang anda buat, berikan interpretasi atas a. Elemen-elemen pada baris ke-2. b. Elemen-elemen pada kolom pertama. c. Elemen baris kedua kolom pertama. Aktivitas 5: Buatlah contoh kontekstual yang dapat direpresentasikan menjadi dua matriks, dimana kedua matriks tersebut tidak dapat dikalikan. Aktivitas 6: Seorang siswa mencari determinan matriks ������ berordo 4 × 4 dengan cara membuat coret-coretan sebagai berikut: 2110 ������ = (02 1 0 01), 2 2 0111 |������ | = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 ⋅ 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 ⋅ 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 −0 ⋅ 0 ⋅ 2 ⋅ 0 − 2 ⋅ 0 ⋅ 2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 2 ⋅ 0 ⋅ 1 =8+0+0+0−0−0−4−0=4 49 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
Benarkah prosedur yang dilakukan di atas? Berikan penjelasannya. Aktivitas 7: Untuk masing-masing guru, buatlah sebarang matriks ������ dan ������ berordo 2 × 2 yang determinannya tidak nol. Ikuti perintah berikut, dan bandingkan hasilnya dengan pekerjaan teman dalam satu kelompok. a. Buat matriks ������ dari matriks ������ dengan cara mengalikan elemen-elemen salah satu baris dengan ������. Selidiki hubungan antara |������| dengan |������|. b. Buat matriks ������ dari matriks ������ dengan cara menjumlah atau mengurangi salah satu baris dengan baris yang lain. Selidiki hubungan antara |������| dan |������| c. Buat matriks ������ dari matriks ������ dengan cara menjumlah atau mengurangi salah satu baris dengan ������ kali baris yang lain. Selidiki hubungan antara |������| dan |������| d. Misal ������ = (������������ ������������), dan ������ = (������ ⋅ ������ ������ ⋅ ������������). Buktikan bahwa |������| = ������ ⋅ |������|. e. Misal ������ = (������������ ������ ������������), dan ������ = (������������ + ������ ������ + ������). Buktikan bahwa |������| = |������|. ������ f. Misal ������ = (������������ ������������), dan ������ = (������������ − ������������ ������ − ������������). Buktikan bahwa |������| = ������ |������|. g. Jelaskan manfaat apa yang dapat diambil dari butir a sampai f di atas? Aktivitas 8: 12 Seorang siswa mengatakan bahwa ������ = (1 3) merupakan invers dari ������ = −11), karena ������������ = (01 11 (11 −1 01) = ������. Perhatikan bahwa 0 (11 −1 −11) 1 2 = (1 1⋅ 1− 1⋅ 1+1⋅1 1 1 1⋅ 2− 1⋅ 3+1⋅1 1) = (01 01) = ������ 0 (1 3) ⋅1 +0 ⋅1 + (−1) ⋅ ⋅2 +0 ⋅3 + (−1) ⋅ 1 1 Benarkah pernyataan siswa di atas? Jelaskan. Aktivitas 9: Dari bahan bacaan yang diberikan, telah diberikan beberapa cara menentukan invers suatu matriks, yaitu cara Sarrus, adjoint, dan operasi baris elementer. Menurut anda apa kelebihan dan kekurangan ketiga cara tersebut? Unit Pembelajaran 5 : Matriks 50
Aktivitas 10: Buku Jiuzhang Suanshu (The nine chapters on the mathematical art), merupakan sebuah buku Tiongkok kuno yang naskah aslinya rusak akibat kebakaran besar yang terjadi tahun 213 SM. Naskah yang tersisa kemudian diperbaiki dan diberi komentar-komentar oleh Liu Hui di tahun 263. Naskah inilah yang ada sampai saat ini. Pada bab ke delapan terdapat sebuah cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Carilah informasi, bagaimana penyelesaian SPLTV yang digunakan, kemudian bandingkan dengan penyelesaian SPLTV melalui operasi baris elementer (Gauss-Jordan). Catatan: gunakan kata kunci “fangcheng method” pada mesin pencari di internet (google, yahoo, dll.). Aktivitas 11: Cermati bahan bacaan pada modul ini, diskusikan hal-hal yang belum dipahami. Catat bagian yang masih kurang, carilah dari berbagai referensi untuk melengkapinya. Cermati skenario pembelajaran dan LKPD, perbaiki agar sesuai dengan kondisi di sekolah masing-masing. 2. Kegiatan On Job Training (±6 JP) Pada kegiatan ini, setiap guru mempraktikkan pembelajaran terhadap peserta didik di madrasah masing-masing sesuai dengan perangkat pembelajaran yang telah disempurnakan pada kegiatan in-1. Contoh model pembelajaran yang dapat digunakan adalah model penemuan terbimbing. Kegiatan Pembelajaran Pertemuan 1 ( 2 × 45 menit) Materi : Pengertian matriks dan operasi matriks Tujuan : Dengan bekerja kelompok berbasis penemuan terbimbing, peserta didik dapat menyelesaikan masalah kontekstual berkaitan dengan matriks. Kompetensi Dasar: 3.3. Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah kontekstual dan melakukan operasi pada matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian, serta transpose 4.3. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks dan operasinya Model Pembelajaran: Penemuan Terbimbing. 51 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
Tabel 10 Desain Pembelajaran Pertemuan 1. No. Aktivitas Peserta Aktivitas Guru Didik 1 • Merespon, • Mengkondisikan suasana belajar. menyimak. • Menyampaikan tujuan pembelajaran • Membentuk kelompok. • Memberikan pengantar tentang matriks, dan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari, misal aplikasi pada perhitungan struktur rangka batang, persandian (chiper), dll.. • Membagi kelompok 4-5 anggota. • Menyiapkan LKPD 1. • Menyiapkan aplikasi matematika (misal GeoGebra) atau aplikasi spreadsheet (misal Excel) untuk perhitungan matriks. 2 • Secara • Menyampaikan contoh masalah terkait berkelompok penjualan bunga dari tiga toko untuk bulan siswa menyimak Januari dan Februari (seperti terlihat di LKPD penjelasan. 1). • Menyiapkan • Menyampaikan petunjuk pengerjaan LKPD 1 kertas/ buku jika • Membagikan LKPD 1 pekerjaan tidak cukup dikerjakan di LKPD. 3 • Siswa menuliskan • Guru berkeliling memeriksa aktifitas dalam hasil pekerjaan tiap kelompok dan memberikan scaffolding pada LKPD-1, jika ada yang mengalami kesulitan. tentang • Memastikan siswa mengetahui syarat operasi pengertian matriks. matriks, operasi matriks. • Memastikan siswa dapat merumuskan sifat- sifat operasi matriks. • Berdiskusi dengan teman • Memastikan siswa dapat menginterpretasikan sejawat. hasil operasi matriks ke dalam konteks permasalahan awal. Unit Pembelajaran 5 : Matriks 52
• Bertanya/klarifika si kepada guru. 4 • Siswa melakukan • Memverifikasi pekerjaan siswa. pemeriksaan • Memberikan penguatan terkait matriks, secara teliti. operasi matriks, dan interpretasinya. 6 • Membuat • Mengarahkan siswa untuk membuat rangkuman. rangkuman. • Mengerjakan • Memberikan latihan soal dan penugasan yang latihan. diberikan secara individual. • Melakukan • Mengajak siswa melakukan refleksi refleksi. pembelajaran yang telah dilakukan. Kegiatan Pembelajaran Pertemuan 2 ( 4 x 45 menit) Materi: Determinan dan Invers Matriks. Tabel 11 Desain Pembelajaran Pertemuan 2 No. Aktivitas Peserta Aktivitas Guru Didik • Mengkondisikan suasana belajar. • Menyampaikan tujuan dan topik • Merespon, pembelajaraan yaitu determinan dan invers menyimak. matriks. • Menjawab • Mengajak siswa mengingat kembali tentang sistem persamaan linear dua variabel dan tiga metode variabel (SPLDV & SPLTV) beserta dengan metode penyelesaiannya. penyelesaian 1 SPLDV dan SPLTV. • Membangkitkan rasa ingin tahu siswa dengan • Membentuk mengajukan pertanyaan, bagaimana kalau kelompok. SPL-nya memuat 7, 10, atau bahkan lebih banyak lagi variabel? Hal ini akan lebih mudah • Menyiapkan alat diselesaikan dengan matriks. tulis. • Membagi per kelompok 4-5 anggota. • Menyiapkan LKPD 2 (determinan) dan LKPD 3 (invers matriks). 53 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
• Menyiapkan berbagai sumber terkait metode mencari determinan dan invers untuk matriks 3 × 3 atau lebih. • Menyiapkan aplikasi matematika (misal GeoGebra) atau aplikasi spreadsheet (misal Excel) untuk perhitungan matriks, atau komputasi cloud (misal melalui situs wolframalpha.com) • Secara 2 berkelompok • Menyampaikan petunjuk pengerjaan LKPD 2. siswa menyimak • Membagikan LKPD 2. penjelasan. • Siswa menuliskan hasil pekerjaan • Guru berkeliling memeriksa aktifitas dalam tiap pada LKPD-1, kelompok dan memberikan scaffolding jika tentang ada yang mengalami kesulitan. pengertian matriks, • Menyampaikan makna dari determinan (kata penjumlahan dan benda, inggris: determinant yang berasal dari 3 pengurangan kata kerja determine (menentukan)). matriks, serta Determinan menentukan ada tidaknya solusi perkalian matriks atas suatu SPL. dengan skalar. • Memastikan siswa bisa menentukan • Berdiskusi determinan suatu matriks. dengan teman • Memastikan siswa menguasai sifat-sifat sejawat. determinan. • Bertanya/klarifika si kepada guru. • Siswa melakukan • Memverifikasi pekerjaan siswa. 4 pemeriksaan • Memberikan penguatan terkait determinan secara teliti. dan sifat-sifatnya. • Membuat • Mengarahkan siswa untuk membuat rangkuman. 5 rangkuman. • Mengerjakan • Memberikan latihan soal secara individual. latihan. Unit Pembelajaran 5 : Matriks 54
• Peserta didik menyimak dan • Menginformasikan kepada peserta tentang materi invers matriks. menanggapi penjelasan. • Mengajak siswa mengingat kembali matriks 6 • Menyiapkan identitas dan sifat-sifatnya. kertas/ buku jika • Menjelaskan aktivitas pada LKPD 3 (invers pekerjaan tidak matriks) dan petunjuk pengerjaannya. cukup dikerjakan • Membagikan LKPD 3. di LKPD. • Guru berkeliling memeriksa aktifitas dalam tiap • Siswa menuliskan kelompok dan memberikan scaffolding jika hasil pekerjaan ada yang mengalami kesulitan. pada LKPD-1, • Memastikan siswa mengetahui syarat agar tentang perkalian suatu matriks memiliki invers. matriks. • Memastikan siswa dapat menentukan invers 7 matriks. • Berdiskusi dengan teman • Memastikan siswa memahami sifat invers sejawat. matriks. • Bertanya/klarifika • Memastikan siswa dapat menyelesaikan si kepada guru. sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks. 8 • Siswa melakukan • Memverifikasi pekerjaan siswa. pemeriksaan secara teliti. • Membuat • Mengarahkan siswa untuk merangkum. rangkuman. • Memberikan latihan soal dan penugasan yang 9 • Mengerjakan diberikan secara individual. latihan. • Mengajak siswa melakukan refleksi • Melakukan pembelajaran yang telah dilakukan. refleksi. 55 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
3. Kegiatan In Service Learning-2 (2 JP) Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk melaporkan dan mendiskusikan hasil kegiatan on. Agar hambatan selama pembelajaran terekam dengan baik, lakukan refleksi pelaksanaan pembelajaran dan tuliskan ke dalam lembar berikut: Tabel 12 Refleksi Pelaksanaan Pembelajaran On The Job Training No. Refleksi Aktivitas Refleksi Aktivitas Hambatan Lain Peserta Didik Guru 1 2 … Unit Pembelajaran 5 : Matriks 56
F. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) 1. LKPD 1 Materi : Pengertian matriks dan operasi matriks. Tujuan : Dengan bekerja kelompok, berbasis penemuan terbimbing peserta didik dapat melakukan operasi matriks, menggunakan sifat-sifat operasi matriks, dan menginterpretasikan operasi matriks pada konteks real,. Petunjuk : Lakukan aktivitas sesuai dengan butir-butir pertanyaan atau aktivitas di LKPD ini. Jika lembar LKPD tidak mencukupi, gunakan kertas tambahan. Disajikan tabel penjualan bunga dari tiga toko bunga pada bulan Januari dan Februari 2019 sbb: Penjualan Januari Penjualan februari Mawar Toko Toko Toko Mawar Toko Toko Toko Lili “Segar” “Alami” “Harum” Lili “Segar” “Alami” “Harum” Carnation Carnation Anggrek 14 18 17 Anggrek 10 12 15 10 15 10 5 10 13 11 12 11 9 12 12 13 13 11 13 12 11 2. Dengan menghilangkan judul kolom dan baris, susunlah bilangan-bilangan pada kedua tabel di atas dalam tampilan baris dan kolom di bawah. Susunan ������ untuk penjualan Januari, dan ������ untuk penjualan Februari. ′′ ������ = ( ), ������ = ( ) Susunan bilangan dalam bentuk baris dan kolom di atas selanjutnya dikenal sebagai matriks. (Inggris: Matrix (tunggal), Matrices (Jamak)). 3. Notasi ������������������ atau kadang-kadang ditulis ������������,������ menyatakan elemen matriks ������ pada baris ke-������ kolom ke-������. Tentukan nilai dan representasi dari masing-masing elemen berikut. a. ������24 = , merepresentasikan …. b. ������31 = , merepresentasikan … 57 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
Total penjualan bunga pada bulan Januari dan Februari disajikan pada tebel berikut: Tabel penjualan bulan Januari dan Februari Toko “Segar” Toko “Alami” Toko “Harum” Bunga Mawar 24 … … … … … Bunga Lili … … … Bunga … … … Carnation Bunga Anggrek 4. Jumlah penjualan bulan Januari dan Pebruari jika disajikan ke dalam matriks adalah ������ + ������ = ������ ′ ′ ′ ( )+ ( )= ( ) 5. Jelaskan merepresentasikan apakah elemen-elemen matriks ������ pada: a. Baris ke-2 b. Kolom pertama c. Baris dua kolom ketiga (������23) 6. Soal-soal di atas merupakan gambaran penjumlahan dua buah matriks. Secara umum penjumlahan matriks berordo 2 × 2 adalah; (������������ ������������) + (������������ ���ℎ���) = ( + + + +) 7. Menurut kalian, apakah matriks berikut dapat dijumlahkan? (������������ ������������) ������ b. (������������ ������������) ������ c. (������������ ������������) ������ ������ ������ (������) (������ ℎ ������) a. + + (������) + ������ 8. Berdasarkan No. 6 dan 7 diatas, jelaskan syarat penjumlahan dua buah matriks. Syarat penjumlahan dua buah matriks adalah _________________________________ Unit Pembelajaran 5 : Matriks 58
9. Karena banyaknya permintaan dari pelanggan kedua toko bunga memperkirakan adanya penjualan pada Bulan Maret 2019 sebesar dua kali lipat dibandingkan bulan Februari. Perkiraan penjualan Bulan Maret adalah Mawar Toko “Segar” Toko “Alami” Toko “Harum” Lili .... Carnation .... .... .... Anggrek .... 20 .... .... .... 10. Tabel pada No.6 di atas jika dijadikan ke dalam matriks adalah ′ ′ ) ������ = 2 ( )=( 11. Jika matriks ������ = (������������ ������������) dikalikan dengan skalar ������, maka hasil perkaian matriks A dengan skalar ������ adalah ������������ = ������ (������������ ������������) = (′ ) 12. Untuk lebih memahami materi operasi matriks selesaikanlah soal dibawah ini. 2 32 3 Diketahui matriks ������ = (−2 9) dan ������ = (−2 6 ). Tentukan 31 1 −2 c. 5������ + 2������ a. ������ + ������ b. ������ − ������ 59 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
Masalah 2: Amir, Budi, dan Cici akan membeli peralatan ujian berupa pensil, penghapus dan rautan. Daftar jumlah barang yang akan mereka beli dan harga masing-masing toko disajikan dalam tabel berikut: Pensil Harga Harga Toko Harga Toko Penghapus toko X Y (Rp.) Z (Rp.) (Rp.) Rautan Amir 2 1 1 Pensil 3000 3500 Pensil 2000 2000 2500 Penghapus 2500 Budi 3 1 1 Penghapus 4000 4500 Cici 2 0 1 Rautan Untuk menuntun kalian memahami perkalian dua matriks, isilah titik-titik berikut dan buatlah kesimpulan berdasarkan pemahaman yang kalian peroleh. 1. Kita akan menghitung harga uang yang dibayarkan Amir, Cici dan Ito untuk membeli ketiga barang itu a. Harga yang harus dibayar oleh Amir jika membeli di toko ������ = × ������������ + × ������������ + × ������������ = ������������ Harga yang harus dibayar oleh Amir jika membeli di toko ������ = × ������������ + × ������������ + × ������������ = ������������ b. Harga yang harus dibayar oleh Budi jika membeli di toko ������ = × ������������ + × ������������ + × ������������ = ������������ Harga yang harus dibayar oleh Budi jika membeli di toko ������ = × ������������ + × ������������ + × ������������ = ������������ c. Harga yang harus dibayar oleh Cici jika membeli di toko ������ = × ������������ + × ������������ + × ������������ = ������������ Harga yang harus dibayar oleh Cici jika membeli di toko ������ = × ������������ + × ������������ + × ������������ = ������������ 2. Andaikan, tabel kebutuhan pensil, penghapus dan rautan ketiga orang tersebut dinyatakan dalam matriks ������, dan tabel harga dinyatakan dalam bentuk matriks ������, maka perhitungan jumlah harga yang harus dibayarkan masing-masing dapat disajikan dalam bentuk matriks ������. Lengkapi tabel di bawah ini, tuliskan hasil akhir saja. ������������ = ������ Unit Pembelajaran 5 : Matriks 60
2 1 1 3000 3500 ′ (3 1 1) (2000 2500) = ( ) 2 0 1 4000 4500 3. Operasi terhadap dua matriks ������ dan ������ di atas dinamakan sebagai perkalian matriks. Lengkapi bentuk umum perkalian matriks dalam bentuk umum di bawah ini. (������������ ������ ������������ ) ������ ������ ×+ ×+× ×+ ×+× ������ (������ ������ ) = ( ×+ ×+× × + × + ×) ������ ������ 4. Jika pada masalah 2, ketiganya membeli di toko C. Matriks perkaliannya disajikan di bawah. Dapatkah mereka mendapatkan total harga yang harus dikeluarkan untuk ketiga jenis barang yang akan dibeli? Jawab _____________________ . 2 1 1 (22050000) (3 1 1) 0 2 1 Dari kasus pertanyaan nomor 4, dan hasil pekerjaan nomor 3, tuliskan syarat agar dua matriks dapat dikalikan. Jawab _________________________________________ 5. Diketahui ������ = (−21 23), ������ = (24 01), dan ������ = (31 −32), selidiki apakah berlaku: a. ������������ = ������������? b. ������(������ + ������) = ������������ + ������������? 61 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
2. LKPD 2 Determinan Matriks Materi : Determinan matriks. Tujuan : Dengan bekerja kelompok, berbasis penemuan terbimbing peserta didik dapat menentukan determinan matriks, dan menjelaskan sifat-sifat matriks. Petunjuk : Lakukan aktivitas sesuai dengan butir-butir pertanyaan atau aktivitas di LKPD ini. Jika lembar LKPD tidak mencukupi, gunakan kertas tambahan. 1. Ingat kembali cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). ������������ + ������������ = ������ ������������ + ������������ = ������ Lengkapi proses berikut untuk mendapatkan nilai ������ dan ������ ������������ + ������������ = ������ |×× ������������| ������ + ������ = − } ������ = (1) ������������ + ������������ = ������ ������ + ������ = ( − )������ = − ������������ + ������������ = ������ |×× ������������| ������ + ������ = − } ������ = (2) ������������ + ������������ = ������ ������ + ������ = ( − )������ = − Adakah keunikan dari penyelesaian ������ dan ������ sistem persamaan di atas? (perhatikan penyebutnya). Ubahlah bentuk sistim persamaan linear di atas ke dalam bentuk perkalian matriks. (′′ ′ ) (������������) = (′′ ) ′ Dalam kaitannya dengan matriks (������������ ������������), nilai ������������ − ������������ dinamakan sebagai determinan. Nilai ini mempengaruhi terhadap ada tidaknya penyelesaian dari sistem persamaan linear. Notasi determinan matriks ������ = (������������ ������������), dinotasikan dengan det ������ = |������| = |������������ ������������| = ������������ − ������������. Apa yang terjadi jika pada SPLDV di atas jika ������������ − ������������ = 0? Jawab: _____________ Unit Pembelajaran 5 : Matriks 62
2. Untuk sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV), ������������ + ������������ + ������������ = ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������ + ������������ + ������������ = ������ ������������ + ℎ������ + ������������ = ������ atau dalam bentuk matriks (������ ������ ������) (������) = (������) ������ ℎ ������ ������ ������ Seperti pada SPLDV, tentunya kalian dapat mencari solusi untuk ������, ������, dan ������ dengan proses yang lebih panjang. Untuk menghemat waktu, kalian dapat menggunakan bantuan halaman situs www.wolframalpha.com atau menggunakan aplikasi matematika seperti GeoGebra (melalui jendela CAS yang bisa dibuka melalui menu view → CAS). Perintah yang dimasukkan adalah solve({a*x+b*y+c*z=p, d*x+e*y+f*z=q, g*x+h*y+i*z=r},{x,y,z}) Salin solusi yang diberikan ′ ′ ′ ′ ������ = ′ ������ = ′ ������ = Bagian mana yang sama, pada solusi ������, ������, ������ di atas? Jawab ___________________. ������ ������ ������ Pada matriks ������ = (������ ������ ������), penyebut solusi ������, ������, dan ������ di atas dinamakan ������ ������ ℎ determinan matriks ������. Bagaimana solusi dari SPLTV di atas jika |������| = 0? Jawab: ___________________. 3. Terdapat beberapa cara untuk menentukan determinan matriks 3 × 3, carilah dari berbagai sumber, kemudian presentasikan di depan kelas. 63 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
4. Untuk masing-masing siswa, buatlah sebarang matriks ������ dan ������ berordo 2 × 2 yang determinannya tidak nol. Ikuti perintah berikut, dan bandingkan hasilnya dengan pekerjaan teman. h. Buat matriks ������ dari matriks ������ dengan cara mengalikan elemen-elemen salah satu baris dengan ������. Selidiki hubungan antara |������| dengan |������|. i. Buat matriks ������ dari matriks ������ dengan cara menjumlah atau mengurangi salah satu baris dengan baris yang lain. Selidiki hubungan antara |������| dan |������| j. Buat matriks ������ dari matriks ������ dengan cara menjumlah atau mengurangi salah satu baris dengan ������ kali baris yang lain. Selidiki hubungan antara |������| dan |������| k. Selidiki hubungan |������||������| dam |������������|. l. Selidiki hubungan antara |������| dan |������������| Unit Pembelajaran 5 : Matriks 64
3. LKPD 3 Invers Matriks Materi : Invers Matriks. Tujuan : Melalui LKPD-3 ini secara berkelompok kalian akan melakukan aktivitas untuk mampu menjelaskan invers dari suatu matriks, menentukan invers, dan mengidentifikasi sifat invers. Petunjuk : LKPD ini terdiri rangkaian aktivitas dan pertanyaan. Berdiskusilah secara aktif dalam kelompokmu, kemudian isikan jawaban pada tempat yang disediakan. Masalah 1: Untuk memahami konsep invers matriks selesaikanlah permasalahan di bawah ini. Kamu dapat menyelesaikan masalah ini dengan memperguankan persamaan linear dua variabel. Diketahui matriks ������ = (32 11), ������ = (������������ ������������), dan ������ = (10 0������ ).Tentukanlah matriks ������ jika a. ������������ = ������ b. ������������ = ������ Penyelesaian: 1. ������������ = ������ ) = (10 01) (32 11) (������������ ������������) = (01 10) → ( 3������ + ������ Berdasarkan persamaan matriks di atas diperoleh 4 buah persamaan, yaitu 3������ + ������ = 1 (1) (3) (2) (4) Tentukan nilai ������, ������, ������ dan ������ dengan eliminasi atau substitusi, hasilnya adalah ������ = (′ ) 2. ������������ = ������ (������������ ������������) (32 11) = (10 01) → (3������ + 2������ ) = (01 10) Berdasarkan persamaan matriks di atas diperoleh 4 buah persamaan, yaitu 3������ + 2������ = 1 (1) (2) (3) (4) 65 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
Tentukan nilai ������, ������, ������ dan ������ dengan eliminasi atau substitusi, diperoleh ������ = (′ ) 3. Dari dua eksplorasi di atas berlaku ������������ = ������������ = ������, maka matriks ������ adalah invers dari ������ dan ditulis ������ = ������−1. Demikian juga sebaliknya, ������ merupakan invers dari matriks A, sehingga ������ = ������−1, dan dikatakan matriks ������ dan ������ saling invers. Masalah 2: Jika pada masalah 1 disajikan matriks yang elemen-elemennya bilangan, sekarang akan dicari invers dari matriks ������ = (������������ ������������) dengan memisalkan ������−1 = (������������ ������������). ������−1������ = ������ ������������ + ������������ = 1 (1) (������������ ������������) (������������ ������������) = (01 01) → { ������������ + ������������ = 0 (2) ������������ + ������������ = 0 (3) ������������ + ������������ = 1 (4) Selanjutnya ������, ������, ������, dan ������ akan dinyatakan dalam ������, ������, ������, dan ������. 1. Dari (1) dan (2), akan dieliminasi ������ untuk mendapatkan ������, ������������ + ������������ = 1 |×× ������������| ������������������ + ������������������ = ������ (6) ������������ + ������������ = 0 ������������������ + ������������������ = 0 −} diperoleh ������ = ������������−������������ (7) (7) ( − )������ = ������ 2. Dari (1) dan (2), dieliminasi ������, diperoleh ������ ������������ + ������������ = 1 |×× ������������| ������������������ + ������������������ = ������ ������������ + ������������ = 0 ������������������ + ������������������ = 0 −} diperoleh ������ = ������������−������������ ( − )������ = ������ 3. Dari (3) dan (4), eliminasi ������, diperoleh ������. ������������ + ������������ = 0 × + ������������������ = 0 ������������ + ������������ = 1 |× | + ������������������ = ������ −} diperoleh ������ = ������������−������������ ( − )������ = −������ Unit Pembelajaran 5 : Matriks 66
4. Dari (3) dan (4), eliminasi ������, diperoleh ������. ������������ + ������������ = 0 × + =0 (8) ������������ + ������������ = 1 |× | + = − } diperoleh ������ = ������������−������������ − )������ = ( 5. Dari (5), (6), (7), dan (8), susunlah rumus umum ������−1 ������−1 = (������������ ′ ������������ − ������������ ) = 1 ′ ) ������������) = (′������������ − ������������ − (′ ������������ ������������ ������������ − ������������ 1′ ������������ − ������������ = |������| ⋅ (′ ) 6. ������ jika |������| = 0? Apa yang terjadi terhadap penyelesaian ������ ⋅ (������) = Jawab:__________ 7. Apa syarat agar sebuah matriks persegi memiliki invers? Jawab: _________________ 8. Misalkan ������ adalah matriks non singular berordo 2 × 2. Buktikan bahwa (������������)−1 = 1 ⋅ ������−1. ������ 9. Cobalah masing-masing siswa membuat sebarang dua matriks non singular ������ dan ������ berordo 2 × 2. Selidiki nilai (������������)−1, ������−1������−1, dan ������−1������−1. Bandingkan hasil yang diperoleh. Bandingkan juga dengan hasil yang diperoleh teman- temanmu. Buatlah dugaan terkait hubungan antara (������������)−1 dan ������−1������−1. 10. Carilah dari berbagai sumber prosedur mencari invers matriks berordo 3 × 3, pelajari, kemudian presentasikan di hadapan teman-temanmu. 67 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
G. Pengembangan Penilaian Bagian ini menyajikan contoh kisi-kisi pengembangan penilaian HOTS sesuai dengan kompetensi, lingkup materi, dan indikator soal. Selanjutnya buatlah kisi-kisi yang lain dan kembangkan menjadi instrumen penilaian dari kisi tersebut dalam aktivitas In Learning Service-1. KISI-KISI SOAL HOTS Nama Madrasah : Madrasah............. Mata Pelajaran : Matematika Alokasi Waktu : .............................. Jumlah Soal : ……………………… Tahun Pelajaran : …........................... Tabel 13 Kisi-Kisi Pengembangan Soal HOTS Kompetensi Lingkup Indikator No. Level Bentuk Dasar Indikator Soal Kognitif soal Materi KD Soal Menyelesaikan Matriks Menjelaskan Diberikan masalah 1 L3 Uraian masalah representasi tentang home (Pena- kontekstual elemen hasil industry pembuat- laran) yang berkaitan kali matriks an boneka. Tabel dengan matriks pada A berisi 3 jenis dan operasinya masalah boneka yang kontektual. dibuat, dalam bulan Januari dan februari. Tabel B memuat waktu yang diperlukan oleh dua pegawai untuk masing- masing jenis bone- ka. Siswa dapat menentukan representasi elemen-elemen hasil perkalian matriks. Unit Pembelajaran 5 : Matriks 68
Menyelesaikan Operasi Siswa dapat Diberikan persa- 2 L3 PG masalah Matriks. menentukan maan yang meli- (Pena- kontekstual elemen yang batkan operasi laran) yang berkaitan belum dike- campuran penjum- dengan matriks tahui pada lahan dan perkali- dan operasinya persamaan an matriks, siswa matriks yang dapat menen- melibatkan tukan jumlah operasi elemen yang matriks. belum diketahui. Menyelesaikan Determi Menentukan Diberikan sebuah 3 L3 PG masalah yang nan dan elemen ma- matriks, yang be- (Pena- berkaitan Invers triks yang berapa elemennya laran) dengan deter- Matriks belum dike- berupa variabel minan dan tahui jika dgn. nilai deter- invers matriks nilai deter- minan diketahui. berordo 2×2 minan yang Siswa dapat dan 3×3 diberikan. menentukan nilai variabel. Menyelesaikan Determi Siswa dpt. Diberikan sebuah 4 L3 PG masalah yang nan dan menentukan matriks yang (Pena- berkaitan invers elemen yang beberapa elemen- laran) dengan deter- matriks. berlum dike- nya dalam bentuk minan dan tahui jika si- variabel. Peserta invers matriks fat determin- didik dapat berordo 2×2 an matriks menentukan dan 3×3 tersebut interval agar diberikan. matriks tersebut non singular. Menyelesaikan Determi Siswa dapat Diberikan sifat per- 5 L3 (Pe- Uraian masalah yang nan dan membukti- kalian matriks, jika nalaran) berkaitan invers kan pernya- dengan deter- matriks. taan mate- ������ non singular, minan dan matika ter- maka ������−1������ = invers matriks kait invers ������������−1 = ������, peserta matriks. didik dapat 69 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
berordo 2×2 membuktikan bah- dan 3×3 wa untuk ������, ������, ������ non singular, berlaku (������������������)−1 = ������−1������−1������−1. Unit Pembelajaran 5 : Matriks 70
05 PENILAIAN A. Latihan Soal Asesmen Kompetensi Guru (AKG) Pilihlah jawaban yang paling tepat! 1. Jika ������ = (−31 −22) dan ������ = (10 10) memenuhi ������2 = ������������ + ������������, maka nilai 2������ + ������ sama dengan … . A. 8 D. 14 B. 10 E. 16 C. 12 2. Jika hasil kali matriks ������ ⋅ (50 −63) = (−3150 −3207), maka jumlah semua elemen matriks ������ pada baris pertama adalah … . A. −2 D. 6 B. 2 E. 8 C. 5 3. Diberikan matriks ������ = (24 −06), dan ������ = (−11), pernyataan berikut yang benar adalah … . A. ������ − ������ = (51 −06) C. ������ + ������ = (24 −17) B. ������ − ������ = (51 −−51) D. ������ + ������ = (33 −17) E. ������ − ������ tidak terdefinisi. 4. Diketahui matrika ������ = (23������ −−31), ������ = (������������ − ������ 03), dan ������ = (−−43 25). Jika ������������ + 1 adalah transpose dari matriks C dan ������ + ������ = ������������, maka nilai dari 3������ + 2������ = … . A. −1 D. −14 B. −7 E. −25 C. −11 71 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
1 1 5. Jika invers matriks ������ adalah (−������−1������ ������+1������) dan berlaku ������ = 2������, maka matriks ������−������ ������+������ ������ adalah … . A. (������������ − ������ ������ − ������������) D. (−������������++������������ ������ − ������������) + ������ ������ + ������ + B. (������������ − ������ −������������++������������) E. (������������ + ������ −������������−+������������) + ������ + ������ C. (−������������−−������������ −������������++������������) ������ 0 0 2������ 0 0 6. Matriks ������ = (0 ������ ������) dan ������ = ( 0 4 6). Jika ������ − ������������ = ������, dengan ������ 005 0 02 matriks identitas berordo 3 × 3, maka nilai dari ������ + ������ + ������ + ������ adalah … . A. −14 D. 12 B. −12 E. 14 C. −10 3 ������ 0 7. Diberikan matriks ������ = (−2 1 2 ). Jika ������ adalah matriks singular, maka 5 0 ������ + 3 jumlah semua nilai ������ yang mungkin adalah … . A. 19 D. −19 B. 19 E. − 19 2 2 C. 9 8. Pernyataan terkait determinan berikut ini yang salah adalah … . A. Jika matriks persegi ������ diperoleh dari matriks ������ dengan menukar elemen baris pertama dengan baris kedua, maka det(������) = det(������) B. Jika ������ adalah matriks persegi, maka det(������) = − det(������������) C. Jika ������ = 2������, maka det(������) = 2 det(������) D. Jika pada suatu matriks ������, elemen kolom ketika merupakan 2 kali elemen pada kolom kedua, maka det(������) = 0 E. Jika ������ dan ������ dua matriks berordo 3 × 3, maka det(������������) = det(������) ⋅ det(������) Unit Pembelajaran 5 : Matriks 72
9. Diberikan matriks non singular ������, ������, ������, dan matriks identitas ������. Jika ������������������ = ������, maka A. ������ = ������−1������−1 D. ������−1 = ������������. B. ������−1 = ������������ E. ������−1 = ������������ C. ������ = ������−1������−1 10. Seorang peternak memiliki tiga jenis domba: Garut, Batur, dan Kibas. Total domba yang ia pelihara pada awalnya adalah 2500 dengan komposisi domba garut lebih banyak 300 ekor daripada domba Batur. Setelah satu tahun terdapat peningkatan populasi domba Garut sebesar 6%, domba Batur 4%, dan domba Kibas 3%. Dengan peningkatan ini, keseluruhan domba meningkat sebanyak 110 ekor. Jika ������, ������, dan ������ menyatakan banyak domba, maka persamaan matriks yang merepresentasikan kondisi di atas adalah … . 1 1 1 ������ 2500 A. ( 1 −1 0 ) (������)=( 300 ) 1,06 1,04 1,03 ������ 2610 1 1 1 ������ 2500 B. ( 1 −1 0 ) (������)=( 300 ) 1,06 1,04 1,03 ������ 110 1 1 1 ������ 2500 C. ( 1 −1 0 ) (������)=( 300 ) 0,06 0,04 0,03 ������ 2610 1 1 1,06 ������ 2500 D. (1 −1 1,04) (������)=( 300 ) 1 0 1,03 ������ 2610 1 1 0,06 ������ 2500 E. (1 −1 0,04) (������)=( 300 ) 1 0 0,03 ������ 2610 73 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
B. Penilaian 1. Penilaian untuk Guru a. Penilaian Mandiri Guru Setelah Anda mempelajari, melaksanakan aktivitas, dan mencoba soal-soal yang disediakan pada unit pembelajaran ini, Anda dapat memperkirakan tingkat keberhasilan Anda secara mandiri dengan mengisi lembar berikut ini. Isilah lembar ini dengan objektif, jujur dengan memberikan tanda ceklis pada kolom sesuai dengan apa yang Anda rasakan. Tabel 14 Instrumen Penilaian Diri Bagi Guru Terget Kompetensi Penilaian Diri Ket. Tercapai Belum 1. Mengidentifikasi materi prasyarat untuk mempelajari materi matriks. 2. Mengidentifikasi kesulitan belajar siswa pada pembelajaran matriks. 3. Mengidentifikasi miskonsepsi yang sering terjadi pada pembelajaran matriks. 4. Berkomunikasi secara efektif, efisien, simpatik, dan santun kepada peserta didik. 5. Melaksanakan penilaian autentik. 6. Menggunakan media yang relevan 7. Menggunakan berbagai sumber belajar yang relevan Unit Pembelajaran 5 : Matriks 74
8. Mengembangkan instrumen penilaian dan evaluasi proses 9. Menganalisis hasil penilaian proses dan hasil belajar untuk berbagai tujuan 10. Memanfaatkan hasil penilaian dan evaluasi pembelajaran untuk meningkatkan kualitas pembelajaran 11. Menguasai materi, struktur, konsep, dan pola pikir keilmuan pada materi matriks. 12. Memahami standar kompetensi dan kompetensi dasar terkait materi matriks. 13. Melakukan refleksi mandiri terhadap pe- nguasaan materi matriksi dan memanfaatkannya untuk peningkatan keprofesian. Catatan: 75 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
b. Penilaian oleh Asesor/Fasilitator Tabel 15 Instumen Penilaian Guru oleh Asesor/fasilitator/ Terget Kompetensi Penilaian Oleh Ket. Asesor/Fasilitator Tercapai Belum 1. Mengidentifikasi materi prasyarat yang diperlukan untuk mempelajari materi matriks. 2. Mengidentifikasi kesulitan belajar siswa pada pembelajaran matriks. 3. Mengidentifikasi miskonsepsi yang sering terjadi pada pembelajaran matriks. 4. Berkomunikasi secara efektif, efisien, simpatik, dan santun kepada peserta didik. 5. Melaksanakan penilaian autentik. 6. Menggunakan media yang relevan 7. Menggunakan berbagai sumber belajar yang relevan 8. Mengembangkan instrumen penilaian dan evaluasi proses 9. Menganalisis hasil penilaian proses dan hasil belajar untuk berbagai tujuan 10. Memanfaatkan hasil penilaian dan evaluasi pembelajaran untuk meningkatkan kualitas pembelajaran 11. Menguasai materi, struktur, konsep, dan pola pikir keilmuan pada materi matriks. 12. Memahami standar kompetensi dan kompetensi dasar terkait materi matriks. 13. Melakukan refleksi mandiri terhadap pe- nguasaan materi matriks dan memanfaatkannya untuk peningkatan keprofesian. Unit Pembelajaran 5 : Matriks 76
Catatan: 2. Penilaian untuk Peserta Didik a. Penilaian Mandiri oleh Peserta Didik Tabel 16 Instrumen Penilaian Diri bagi Peserta Didik Indikator Capaian Kompetensi Penilaian Diri Ket. Tercapai Belum 3.3.1 Menjelaskan pengertian matriks 3.3.2 Menjelaskan kesamaan matriks 3.3.3 Menentukan penjumlahan dan pengurangan matriks. 3.3.4 Menentukan perkalian matriks dengan skalar. 3.3.5 Menentukan perkalian dua matriks. 3.3.6 Melakukan transpos metriks. 3.3.7 Membuat representasi elemen- elemen hasil oerasi matriks pada konteks kehidupan nyata. 3.3.8 Menganalisis sifat-sifat perkalian matriks. 3.4.1 Menjelaskan pengertian determinan. 3.4.2 Menentukan nilai determinan suatu matriks 77 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
3.4.3 Menganalisis sifat-sifat determinan matriks. 3.4.4 Menentukan invers matriks. 3.4.5 Menganalisis sifat-sifat invers matriks. 4.3.1 Membuat model berkaitan dengan masalah kontekstual 4.3.2 Menyelesaikan masalah kontekstual berkaitan dengan matriks. 4.3.3 Menyelesaikan masalah kontekstual berkaitan dengan penjumlahan matriks. 4.3.4 Menyelesaikan masalah kontekstual berkaitan dengan perkalian matriks. 4.4.1 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan determinan matriks. 4.4.2 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan invers matriks. Catatan: Unit Pembelajaran 5 : Matriks 78
b. Penilaian oleh Guru Tabel 17 Instrumen Penilaian Peserta Didik oleh Guru Penilaian oleh Indikator Capaian Kompetensi Guru Ket. Tercapai Belum 1.3.1. Menjelaskan pengertian matriks 1.3.2. Menjelaskan kesamaan matriks 1.3.3. Menentukan penjumlahan dan pengurangan matriks. 1.3.4. Menentukan perkalian matriks dengan skalar. 1.3.5. Menentukan perkalian dua matriks. 1.3.6. Melakukan transpos metriks. 1.3.7. Membuat representasi elemen- elemen hasil oerasi matriks pada konteks kehidupan nyata. 1.3.8. Menganalisis sifat-sifat perkalian matriks. 3.4.1. Menjelaskan pengertian determinan. 3.4.2. Menentukan nilai determinan suatu matriks 3.4.3. Menganalisis sifat-sifat determinan matriks. 3.4.4. Menentukan invers matriks. 79 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
3.4.5. Menganalisis sifat-sifat invers matriks. 4.3.1. Membuat model berkaitan dengan masalah kontekstual 4.3.2. Menyelesaikan masalah kontekstual berkaitan dengan matriks. 4.3.3. Menyelesaikan masalah kontekstual berkaitan dengan penjumlahan matriks. 4.3.4. Menyelesaikan masalah kontekstual berkaitan dengan perkalian matriks. 4.4.1. Menyelesaikan masalah berkaitan dengan determinan matriks. 4.4.2. Menyelesaikan masalah berkaitan dengan invers matriks. Catatan: Unit Pembelajaran 5 : Matriks 80
06 PENUTUP Anda telah mempelajari unit pembelajaran matriks yang berkaitan dengan kompetensi dasar 3.6 “Menjelaskan operasi komposisi pada fungsi dan operasi invers pada fungsi invers serta sifat-sifatnya serta menentukan eksistensinya” dan kompetensi dasar 4.6 “Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi komposisi dan operasi invers suatu fungsi”. Semoga unit pembelajaran ini dapat menambah wawasan dan pengetahuan Anda dalam mengembangkan pembelajaran dan penilaian sehingga dapat membentuk generasi yang unggul, dan berakhlak mulia. Secara garis besar unit pembelajaran komposisi dan invers fungsi ini memuat tentang Kompetensi Dasar (KD) yang berhubungan dengan unit yang dipelajari dan diturunkan dalam terget kompetensi dan indikator pencapaian kompetensi. Indikator pencapaian kompetensi terdiri atas indikator pendukung, indikator kunci, dan indikator pengayaan. Pada unit ini indikator pengayaan tidak ada karena kompetensi dasar sudah berada pada level C4 analisis yang masuk pada indikator kunci. Aplikasi di dunia nyata mengaitkan materi yang ada pada unit ini dengan kegiatan yang berhubungan dengan materi yang ada disekitar peserta didik. Unit ini juga memuat soal-soal Ujian Nasional yang bisa dijadikan untuk latihan. Unit ini juga memuat contoh aktivitas pembelajaran yang bisa digunakan guru dalam proses pembelajaran dengan menggunakan model pembelajaran discovery learning, yang dilengkapi dengan lembar kerja peserta didik. Contoh ini bukan model yang sempurna, guru bisa mengubah, memperbaiki, atau menyesuaikan dengan kondisi kelas masing-masing. Selanjutnya pada unit ini ada bagian bahan bacaan untuk peserta didik dan bahan bacaan sebagai pengayaan untuk guru. Unit ini juga dilengkapi dengan pengembangan penilaian berupa soal HOTS berbentuk pilihan dan uraian yang disertai dengan jawaban. 81 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF 1. B 2. B 3. E 4. A 5. B 6. A 7. E 8. C 9. D 10. A Unit Pembelajaran 5 : Matriks 82
DAFTAR PUSTAKA Crauder, B., Evans, B., & Noell, A. (2008). Function and Change, a Modeling Approach to College Algebra and Trigonometry. Boston: Houghton Mifflin Company. Larson, R. (2017). Elementary Linear Algebra. Boston: Cengage Learning. Larson, R., Boswell, L., Kanold, T.D., & Lee, S. (2007), Algebra 2. Illinois: McDougal Littell. Larson, R., Hostetler, R.P., & Edwards, B.H. (2005). College Algebra, a graphing approach. Boston: Houghton Mifflin Company Martin-Gay, E. (2012). Algebra, A Combined Approach. Boston: Prentice Hall Rockswold, G. K. (2012). Essentials of College Algebra with Modeling & Visualization. Boston: Addison-Wesley. Schwartzman, S. (1994). The Words of Mathematics, an Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. Washington: Mathematical Association of America. Wibawa, A.D., Mafuah. (2017), Matriks dan Vektor, Modul Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan Matematika SMA, Jakarta, Kemdikbud. 83 Unit Pembelajaran 5 : Matriks
Unit Pembelajaran 5 : Matriks 84
Search