Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore UP 5 MATEMATIKA (MATRIKS)

UP 5 MATEMATIKA (MATRIKS)

Published by Dina Widiastuti, 2021-06-17 23:18:02

Description: UP 5 MATEMATIKA (MATRIKS)

Search

Read the Text Version

i Unit Pembelajaran 5 : Matriks

Unit Pembelajaran 05 MATRIKS MATA PELAJARAN MATEMATIKA MADRASAH ALIYAH Penanggung Jawab Direktorat GTK Madrasah Direktorat Jenderal Pendidikan Islam Kementerian Agama Republik Indonesia Penyusun Untung Trisna Suwaji Wiwit Susanti Darno Raharjo Sigit Tri Guntoro Juanda Kasim Reviewer Abdur Rahman As’ari Copyright © 2020 Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah Hak CIpta Dilindungi Undang-undang Dilarang mengcopy sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Agama Republik Indonesia Unit Pembelajaran 5 : Matriks ii

KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Undang – undang Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen Pasal 1 ayat 1 menyatakan bahwa Guru adalah pendidik profesional dengan tugas utama mendidik, mengajar, membimbing, mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta didik pada Pendidikan Anak Usia Dini jalur Pendidikan Formal, Pendidikan Dasar, dan Pendidikan Menengah. Agar dapat melaksanakan tugas utamanya dengan baik, seorang guru perlu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya secara bertahap, berjenjang, dan berkelanjutan melalui Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) guru. Untuk itu saya menyambut baik terbitnya modul ini sebagai panduan semua pihak dalam melaksanakan program PKB. Peningkatan Kompetensi Pembelajaran merupakan salah satu fokus upaya Kementerian Agama, Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan (GTK) dalam meningkatkan kualitas madrasah melalui pembelajaran berorientasi keterampilan berpikir tingkat tinggi, kontekstual, dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Program PKB dilakukan mengingat luasnya wilayah Indonesia dan kualitas pendidikan yang belum merata, sehingga peningkatan pendidikan dapat berjalan secara masif, merata, dan tepat sasaran. Modul ini dikembangkan mengikuti arah kebijakan Kementerian Agama yang menekankan pada pembelajaran berorientasi pada keterampilan berpikir tingkat tinggi atau higher order thinking skills (HOTS) dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Keterampilan berpikir tingkat tinggi adalah proses berpikir kompleks dalam menguraikan materi, membuat kesimpulan, membangun representasi, menganalisis, dan membangun hubungan dengan melibatkan aktivitas mental yang paling dasar. Sementara, nilai-nilai keislaman diintegrasikan dalam pembelajaran sebagai hidden curriculum sehingga tercipta generasi unggul sekaligus beriman dan bertakwa serta berakhlak mulia. iii Unit Pembelajaran 5 : Matriks

Sasaran Program PKB ini adalah seluruh guru di wilayah NKRI yang tergabung dalam komunitas guru sesuai bidang tugas yang diampu di wilayahnya masing-masing. Komunitas guru dimaksud meliputi kelompok kerja guru (KKG), Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP), dan Musyawarah Guru Bimbingan Konseling (MGBK). Model pembelajaran yang digunakan dalam modul ini adalah melalui moda Tatap Muka In-On-In sehingga guru tidak harus meninggalkan tugas utamanya di madrasah sebagai pendidik. Semoga modul ini dapat digunakan dengan baik sebagaimana mestinya sehingga dapat menginspirasi guru dalam materi dan melaksanakan proses pembelajaran. Kami ucapkan terima kasih atas kerja keras dan kerja cerdas para penulis dan semua pihak terkait yang dapat mewujudkan Modul ini. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai dan memudahkan upaya yang kita lakukan. Aamiin. Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Jakarta, Oktober 2020 An. Direktur Jenderal, Direktur Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah, Muhammad Zain Unit Pembelajaran 5 : Matriks iv

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR................................................................................................................. iii DAFTAR ISI................................................................................................................................. v DAFTAR TABEL....................................................................................................................... vii DAFTAR GAMBAR................................................................................................................. viii 01 PENDAHULUAN ...................................................................................................................1 A. Latar Belakang ..................................................................................................................1 B. Tujuan.................................................................................................................................2 C. Manfaat ..............................................................................................................................2 D. Sasaran ..............................................................................................................................2 E. Petunjuk Penggunaan ....................................................................................................3 02 TARGET KOMPETENSI .....................................................................................................6 A. Target Kompetensi Guru ...............................................................................................6 1. Target Kompetensi Guru ............................................................................................6 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Guru................................................................ 7 B. Target Kompetensi Peserta Didik ............................................................................... 7 1. Kompetensi Dasar ........................................................................................................ 7 2. Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK).................................................................9 03 MATERI DAN ORGANISASI PEMBELAJARAN.......................................................... 12 A. Ruang Lingkup Materi .................................................................................................. 12 B. Organisasi Pembelajaran ............................................................................................ 12 04 KEGIATAN PEMBELAJARAN ........................................................................................ 13 v Unit Pembelajaran 5 : Matriks

A. Pengantar ........................................................................................................................ 13 B. Aplikasi dalam Kehidupan........................................................................................... 13 C. Integrasi Keislaman....................................................................................................... 14 D. Bahan Bacaan ................................................................................................................ 15 1. Bahan Bacaan 1: Matriks. .......................................................................................... 15 E. Aktivitas Pembelajaran................................................................................................ 49 1. Kegiatan In Learning Service-1 ( ±6 JP) ................................................................ 49 2. Kegiatan On Job Training (±6 JP) .......................................................................... 51 3. Kegiatan In Service Learning-2 (2 JP) ................................................................. 56 F. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD).......................................................................... 57 1. LKPD 1 ........................................................................................................................... 57 2. LKPD 2 Determinan Matriks................................................................................... 62 3. LKPD 3 Invers Matriks.............................................................................................. 65 G. Pengembangan Penilaian.......................................................................................... 68 05 PENILAIAN ..........................................................................................................................71 A. Latihan Soal Asesmen Kompetensi Guru (AKG) ....................................................71 B. Penilaian...........................................................................................................................74 1. Penilaian untuk Guru..................................................................................................74 2. Penilaian untuk Peserta Didik ................................................................................77 06 PENUTUP ........................................................................................................................... 81 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ................................................................................... 82 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................... 83 Unit Pembelajaran 5 : Matriks vi

DAFTAR TABEL Tabel 1 Target Kompetensi Guru.................................................................................6 Tabel 2 Indikator Pencapaian Kompetensi Guru ..................................................... 7 Tabel 3 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik..................................................... 7 Tabel 4 Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik .....................................9 Tabel 5 Organisasi Pembelajaran .............................................................................. 12 Tabel 6 Harga Beras, Ayam, dan Telur..................................................................... 15 Tabel 7 Perolehan Medali .............................................................................................17 Tabel 8 Harga Paket Makanan .................................................................................. 20 Tabel 9 Tarip Sewa dan Kebutuhan ......................................................................... 22 Tabel 10 Desain Pembelajaran Pertemuan 1............................................................ 52 Tabel 11 Desain Pembelajaran Pertemuan 2........................................................... 53 Tabel 12 Refleksi Pelaksanaan Pembelajaran On The Job Training ................. 56 Tabel 13 Kisi-Kisi Pengembangan Soal HOTS......................................................... 68 Tabel 14 Instrumen Penilaian Diri Bagi Guru.............................................................74 Tabel 15 Instumen Penilaian Guru oleh Asesor/fasilitator/................................... 76 Tabel 16 Instrumen Penilaian Diri bagi Peserta Didik.............................................77 Tabel 17 Instrumen Penilaian Peserta Didik oleh Guru......................................... 79 vii Unit Pembelajaran 5 : Matriks

DAFTAR GAMBAR Gambar 1 Alur Tatap Muka In-On-In .............................................................................4 Gambar 2 . A. Struktur Rangka Batang. B. Transformasi pada pengolah gambar ........................................................................................................................... 14 Gambar 3 Dua matriks beda ordo, tidak bisa dijumlahkan ................................... 18 Gambar 4 Dua matriks tidak bisa dikalikan .............................................................. 23 Gambar 5 Situs WolframAlpha..................................................................................... 28 Unit Pembelajaran 5 : Matriks viii

01 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Unit pembelajaran ini disusun sebagai salah satu alternatif sumber bahan ajar bagi guru untuk memahami materi Matris di kelas XI. Topik ini terbagai dalam dua materi yaitu: (1) Matriks dan operasinya, dan (2) Determinan dan Invers Matriks. Melalui pembahasan materi yang terdapat pada unit ini, guru dapat memiliki dasar pengetahuan untuk mengajarkan materi-materi tersebut ke peserta didik yang disesuaikan dengan indikator yang telah disusun terutama dalam memfasilitasi kemampuan pengembangan kemampuan berpikir tingkat tinggi peserta didik. Untuk memudahkan guru mempelajari materi dan cara mengajarkannya, pada unit ini dimuat kompetensi dasar yang memuat target kompetensi dan indikator pencapaian kompetensi, aplikasi materi di dunia nyata, soal-soal UN, bahan pembelajaran dan pengembangan penilaian. Pada bagian pengembangan penilaian terdiri dari pembahasan soal UN dan pengembangan soal HOTS. Pada pengembangan soal HOTS guru diharapkan dapat mengembangkan soal HOTS yang sesuai dengan kompetensi yang dipelajari. Lembar Kegiatan Peserta Didik (LKPD) dapat digunakan guru untuk memfasilitasi pembelajaran. Bahan bacaan merupakan referensi yang dapat dipelajari oleh guru, maupun peserta didik, dan sebagai rujukan dalam mengembangkan kisi-kisi dan soal HOTS. Komponen-komponen di dalam unit ini dikembangkan dengan tujuan agar guru dapat dengan mudah memfasilitasi peserta didik belajar tentang matriks serta mendorong peserta didik mencapai kemampuan berpikir tingkat tinggi. Semoga Unit ini dapat menjadi bahan referensi, kajian dan diskusi bagi guru dalam mengembangkan pembelajaran yang lebih baik di kelas. 1 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

B. Tujuan Tujuan modul ini adalah: 1. Meningkatkan kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional gurumelalui kegiatan PKB. 2. Meningkatkan hasil Asesmen Kompetensi Guru (AKG). 3. Menfasilitasi sumber belajar guru dan peserta didik dalam mengembangkan kurikulum, mempersiapkan dan melaksanaan pembelajaran yang mendidik. C. Manfaat Manfaat yang ingin dicapai: 1. Sebagai sumber belajar bagi guru dalam melaksanakan PKB untuk mencapai target kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional tertentu. 2. Sebagai sumber bagi guru dalam mengembangkan kurikulum, persiapan dan pelaksanaan pembelajaran yang mendidik. 3. Sebagai bahan malakukan asesmen mandiri guru dalam rangka peningkatan keprofesionalan. 4. Sebagai sumber dalam merencanakan dan melaksanakan penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar peserta didik. 5. Sebagai sumber belajar bagi peserta didik untuk mencapai target kompetensi dasar. D. Sasaran Adapun sasaran modul ini adalah: 1. Fasilitator nasional, provinsi, dan kabupaten/kota 2. Pengawas Madrasah 3. Kepala Madrasah 4. Ketua KKG/MGMP/MGBK 5. Guru 6. Peserta didik. Unit Pembelajaran 5 : Matriks 2

E. Petunjuk Penggunaan Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari dan mempraktikkan modul ini, ikutilah petunjuk belajar sebagai berikut: 1. Bacalah dengan cermat bagian pendahuluan sampai Anda memahami benar tujuan mempelajari Unit Pembelajaran ini. 2. Pelajarilah dengan seksama bagian target kompetensi sehingga Anda benar- benar memahami target kompetensi yang harus dicapai baik oleh diri Anda sendiri maupun oleh peserta didik. 3. Kegiatan Pembelajaran untuk menyelesaikan setiap Unit Pembelajaran dilakukan melalui moda Tatap Muka In-On-In sebagai berikut: a. Kegiatan In Servive Learning 1. Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka untuk mengkaji materi bersama fasilitator dan teman sejawat. Aktivitas yang dilakukan diantaranya: 1) Melakukan analisis kurikulum dan analisi hasil belajar peserta didik dari skor Ujian Nasional (UN) atau sumber lain untuk mengetahui kebutuhan kompetensi peserta didik. 2) Mempelajari konten materi ajar dan mendiskusikan materi ajar yang sulit atau berpeluang terjadi miskonsepsi. 3) Mendesain pembelajaran yang sesuai dengan daya dukung madrasah dan karakteristik peserta didik. 4) Mempelajari dan melengkapi LKPD. 5) Mempersiapkan intrumen penilaian proses dan hasil belajar. 6) Dalam kegiatan ini, dapat juga dilakukan rencana pengambilan data untuk dikembangkan menjadi Penelitian Tindakan Kelas. b. Kegiatan On Service Learning. Pada tahap ini, Anda dapat mengkaji kembali uraian materi secara mandiri dan melakukan aktivitas belajar di madrasah berdasarkan rancangan pembelajaran dan LKPD yang telah dipersiapkan. Buatlah catatan-catatan peluang dan hambatan yang ditemui selama pelaksanaan pembelajaran dan data-data pendukung PTK. Hasil kegiatan on baik berupa tugas lembar kerja maupun tugas lainnya dilampirkan sebagai bukti fisik bahwa Anda telah menyelesaikan seluruh tugas on yang ada pada Unit Pembelajaran. 3 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

c. Kegiatan In Servive Learning 2. Tahap ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk melaporkan dan mendiskusikan hasil kegiatan on. Arahkan diskusi pada refleksi untuk perbaikan dan pengembangan pembelajaran. Jika memiliki data-data hasil PTK dapat pula dijadikan sebagai bahan diskusi dalam kegiatan ini. 4. Ujilah capaian kompetensi Anda dengan mengerjakan soal tes formatif, kemudian cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang tersedia di bagian akhir Unit Pembelajaran. 5. Lakukan penilaian mandiri sebagai refleksi ketercapaian target kompetensi. Gambar 1 Alur Tatap Muka In-On-In Dalam melaksanakan setiap kegiatan pada modul ini, Anda harus mempertimbangkan prinsip kesetaraan dan inklusi sosial tanpa membedakan suku, ras, golongan, jenis kelamin, status sosial ekonomi, dan yang berkebutuhan khusus. Kesetaraan dan inklusi sosial ini juga diberlakukan bagi pendidik, tenaga kependidikan dan peserta didik. Dalam proses diskusi kelompok yang diikuti laki- laki dan perempuan, perlu mempertimbangkan kapan diskusi harus dilakukan secara terpisah baik laki-laki maupun perempuan dan kapan harus dilakukan Unit Pembelajaran 5 : Matriks 4

bersama. Anda juga harus memperhatikan partisipasi setiap peserta didik dengan seksama, sehingga tidak mengukuhkan relasi yang tidak setara. Sebelum mempelajari atau mempraktikkan modul ini, ada beberapa perangkat pembelajaran, alat dan bahan yang harus disiapkan oleh guru dan peserta didik agar proses pembelajaran berjalan dengan baik. 1. Perangkat Pembelajaran, Alat dan Bahan yang harus disiapkan oleh guru a. Perangkat Pembelajaran: 1) Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) 2) Bahan ajar 3) Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) 4) Media pembelajaran yang sesuai 5) Instrumen penilaian 6) Buku referensi. b. Alat dan bahan pemelajaran, meliputi: 1) Laptop, terinstal aplikasi matematika (misal GeoGebra) 2) LCD Projektor 3) Alat tulis 2. Alat dan Bahan yang harus disiapkan oleh peserta didik a. Buku referensi b. Alat tulis Unit Pembelajaran dalam modul ini dibagi dalam 2 topik, dengan total alokasi waktu yang digunakan diperkirakan 14 Jam Pembelajaran: 1. In Servive Learning 1 : 6 JP 2. On Service Learning : 6 JP 3. In Servive Learning 2 : 2 JP 5 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

02 TARGET KOMPETENSI A. Target Kompetensi Guru Target kompetensi guru didasarkan pada Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia Nomor 16 Tahun 2007 Tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru. Dalam Unit Pembelajaran ini, target kompetensi yang dituangkan hanya yang terkait kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional. 1. Target Kompetensi Guru Tabel 1 Target Kompetensi Guru Ranah Kompetensi Target Kompetensi Guru Kompetensi 1. Menyusun rencana pembelajaran yang lengkap. Pedagogis 2. Melaksanakan pembelajaran matriks yang mengembangkan kemampuan berfikir kritis dan kreatif. 3. Mengevaluasi pelaksanaan pembelajaran dan hasil belajar peserta didik untuk berbagai tujuan. Kompetensi 4. Menguasai materi, struktur, konsep, dan pola pikir Profesional keilmuan terkait dengan matriks. Unit Pembelajaran 5 : Matriks 6

2. Indikator Pencapaian Kompetensi Guru Tabel 2 Indikator Pencapaian Kompetensi Guru Target Kompetensi Indikator Pencapaian Kompetensi Guru 1. Menyusun rencana 1. Menjelaskan tujuan pembelajaran matriks. pembelajaran yang 2. Merancang sintaks pembelajaran untuk memberi lengkap. pengalaman belajar yang sesuai dengan tujuan pembelajaran. 3. Membuat indikator, instrumen penilaian, serta evaluasi proses dan hasil belajar peserta didik. 2. Melaksanakan 4. Melakukan pembelajaran matriks dengan pembelajaran pengungkit kejadian-kejadian dalam kehidupan matriks. sehari-hari. B. Target Kompetensi Peserta Didik Target kompetensi peserta didik dalam Unit Pembelajaran ini dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar kelas XI semester 2 (dua) sesuai dengan permendikbud nomor 37 tahun 2018 Tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Pelajaran Kurikulum 2013 Pada Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah sebagai berikut: 1. Kompetensi Dasar Tabel 3 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik No. Kompetensi Dasar Target Kompetensi Dasar 3.3 Menjelaskan matriks dan 1. Menjelaskan matriks dengan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah kontekstual menggunakan masalah kontekstual dan melakukan 2. Menjelaskan kesamaan matriks operasi pada matriks yang dengan menggunakan masalah meliputi penjumlahan, kontekstual pengurangan, perkalian 3. Melakukan penjumlahan matriks 4. Melakukan pengurangan matriks 7 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

skalar, dan perkalian, serta 5. Melakukan perkalian skalar matriks transpose 6. Melakukan perkalian matriks 7. Melakukan transpose matriks 3.4 Menganalisis sifat-sifat 1. Menganalisis sifat-sifat determinan determinan dan invers matriks matriks berordo 2×2 dan 3×3 2. Menganalisis invers matriks 4.3 Menyelesaikan masalah 1. Menyelesaikan masalah kontekstual kontekstual yang berkaitan yang berkaitan dengan matriks. dengan matriks dan operasinya 2. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan operasi matriks 4.4 Menyelesaikan masalah yang 1. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan berkaitan dengan determinan dan invers matriks berordo matriks berordo 2×2 2×2 dan 3×3 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan matriks berordo 3×3 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan invers matriks berordo 2×2 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan invers matriks berordo 3×3 Unit Pembelajaran 5 : Matriks 8

2. Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK) Kompetensi dasar dikembangkan menjadi beberapa indikator pencapaian kompetensi sebagai acuan bagi guru untuk mengukur pencapaian kompetensi dasar. Dalam rangka memudahkan guru menentukan indikator yang sesuai dengan tuntunan kompetensi dasar, indikator dibagi menjadi tiga kategori, yaitu indikator pendukung, indikator kunci, dan indikator pengayaan sebagai berikut: Tabel 4 Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik Kompetensi Indikator Pencapaian Kompetensi Dasar 3.3. IPK Pendukung: Menjelaskan - matriks dan IPK Inti: kesamaan 3.3.1. Menjelaskan pengertian matriks dengan matriks dengan meng- menggunakan masalah kontekstual gunakan ma- 3.3.2. Menjelaskan kesamaan dua matriks dengan salah konteks- tual dan me- menggunakan masalah kontekstual lakukan opera- 3.3.3. Menentukan penjumlahan dua matriks si pada matriks 3.3.4. Menentukan pengurangan dua buah matriks yang meliputi 3.3.5. Menentukan hasil perkalian matriks dengan skalar. penjumlahan, 3.3.6. Menentukan hasil perkalian dua buah matriks pengurangan, 3.3.7. Menentukan transpose suatu matriks. 3.3.8. Membuat representasi elemen-elemen hasil operasi matriks pada konteks kehidupan nyata. IPK Pengayaan: 3.3.8. Menganalisis sifat-sifat perkalian matriks perkalian skalar, dan perkalian, serta transpose IPK Pendukung: - 9 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

3.4. IPK Kunci: Menganalisis 3.4.1. Menentukan determinan matriks berordo 2×2 sifat-sifat 3.4.2. Menentukan determinan matriks berordo 3×3 determinan 3.4.3. Menganalisis sifat-sifat determinan matriks dan invers 3.4.4. Menentukan invers matriks berordo 2×2 matriks 3.4.5. Menentukan invers matriks berordo 3×3 berordo 2×2 3.4.6. Menganalisis sifat-sifat invers matriks dan 3×3 IPK Pengayaan: - 4.3. IPK Pendukung: Menyelesaikan - masalah IPK Inti: kontekstual 4.3.1. Membuat model matriks dari masalah kontekstual yang berkaitan 4.3.2. Menyelesaikan masalah kontekstual berkaitan dengan matriks dan dengan matriks operasinya 4.3.3. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan penjumlahan matriks 4.3.4. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan perkalian matriks. IPK Pengayaan: - 4.4. IPK Pendukung Menyelesaikan IPK Inti masalah yang 4.4.1. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan berkaitan dengan deter- determinan matriks berordo 2x2 minan dan 4.4.2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan invers matriks determinan matriks berordo 3x3 Unit Pembelajaran 5 : Matriks 10

berordo 2×2 4.4.3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan dan 3×3 invers matriks berordo 2x2 4.4.4. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan invers matriks berordo 3x3 IPK Pengayaan: - 11 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

03 MATERI DAN ORGANISASI PEMBELAJARAN A. Ruang Lingkup Materi Ruang lingkup materi Komposisi fungsi, invers fungsi, dan fungsi invers di Madrasah Aliyah meliputi: 1. Pengertian matriks dan kesamaan matriks 2. Operasi Matriks 3. Determinan Matriks 4. Invers Matriks B. Organisasi Pembelajaran Guna memudahkan guru dalam mempelajari modul ini, kita akan membaginya menjadi 2 topik bahasan dengan perkiraan alokasi waktu sebagai berikut: Tabel 5 Organisasi Pembelajaran Topik Materi Jumlah JP In - 1 On In - 2 1 Matriks dan Operasi Matriks 33 1 2 Determinan dan Invers 33 1 Total Jam Pembelajaran PKB 662 Unit Pembelajaran 5 : Matriks 12

04 KEGIATAN PEMBELAJARAN A. Pengantar Unit pembelajaran matriks ini berisi materi, aktivitas, contoh desain pembelajaran, contoh LKPD, contoh kisi-kisi soal HOTS, dan evaluasi. Diharapkan apa yang ada dalam modul ini dapat menjadi alternatif sumber belajar bagi guru maupun peserta didik dalam mempelajari matriks sesuai dengan target kompetensi yang telah ditetapkan. B. Aplikasi dalam Kehidupan Matriks pertama kali diperkenalkan oleh Athur Cayley (1821-1895) pada tahun 1859 di Inggris dalam sebuah studi sistem persamaan linear dan transformasi linear. Pada awalnya, matriks hanya dianggap permainan karena tidak bisa diaplikasikan, namun demikian saat ini disadari atau tidak matriks telah kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari. Saat ini kita dimudahkan oleh teknologi. Di komputer, untuk mengubah bentuk gambar, cukup dengan menarik mouse. Tahukah Anda, bagaimana komputer bekerja? Dengan tarikan mouse tersebut, sebenarnya komputer melakukan proses transformasi titik demi titik pada objek awal ke posisi yang baru. Proses ini sangat terbantu dengan adanya matriks. Sebagai contoh, matriks (−01 10) akan mencerminkan objek semula terhadap sumbu-y. Di dunia intelijen, tahun 1929, Lester S. Hill menemukan metode enkripsi dan dekripsi pesan rahasia berbasis aljabar linear. Pada proses menyandikan dan membaca kembali pesan rahasia ini digunakan matriks. Di bidang teknik sipil dikenal konstruksi rangka batang. Salah satu metode untuk menentukan besar gaya tarik atau tekan yang diterima oleh setiap batang penyusun ketika struktur diberi beban adalah menggunakan matriks. Pada gambar di bawah terdapat 7 batang, diperlukan matriks 7 × 7 untuk menentukan besar gaya yang diterima oleh setiap batang. Melalui perhitungan ini dapat diperhitungkan dengan tepat kebutuhan kekuatan tarik atau tekan batang- batang yang diperlukan. 13 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

Gambar 2 . A. Struktur Rangka Batang. B. Transformasi pada pengolah gambar C. Integrasi Keislaman Bayangkan ketika membangun jembatan, kuda-kuda, atau konstruksi lainnya hanya menggunakan perkiraan. tanpa perhitungan yang tepat, barangkali besi yang dibutuhkan terlalu kuat, yang berakibat pada mahalnya biaya. Atau bahkan sebaliknya, besi yang digunakan tidak kuat menahan beban yang mengakibatkan runtuhnya jembatan. Melalui perhitungan yang tepat, yang salah satunya adalah menggunakan matriks, pada akhirnya dicapai sebuah efisiensi. Di SMA telah dipelajari program linear. Manfaat dari program linear adalah dengan memanfaatkan sumber daya yang minimal sehingga didapatkan hasil yang optimal. Pada jenjang ini, variabel yang digunakan biasanya terbatas pada dua variabel, karena masih dimungkinkan divisualisasikan objeknya dalam diagram kartesius. Dalam kehidupan nyata, atau di level pendidikan yang lebih tinggi, variabel yang digunakan bisa lebih banyak lagi. Penyelesaian masalah ini membutuhkan ilmu tentang matriks. Dua ilustrasi di atas menunjukkan pentingnya peranan matriks dalam kehidupan manusia. Dengan menggunakan matriks, banyak bidang pekerjaan dapat diefisienkan. Hal ini sejalan dengan hadits nabi: “Sesungguhnya Allah SWT sangat mencintai seseorang melakukan suatu pekerjaan yang dilakukannya secara itqan (tepat, terarah, jelas, dan tuntas)” (HR. Thabarani). Unit Pembelajaran 5 : Matriks 14

D. Bahan Bacaan 1. Bahan Bacaan 1: Matriks. a. Matriks dan kesamaan matriks Tabel berikut ini merupakan tabel harga per kilogram beras, daging ayam, dan telur di Yogyakarta, Solo, Semarang, dan Wonogiri. (diramu dari situs hargalapangan.id september 2019). Tabel 6 Harga Beras, Ayam, dan Telur Yogyakarta Solo Semarang Wonogiri 11.250 Beras 12.000 12.900 11.500 32.000 Medium I 21.000 30.700 29.600 28.900 Daging Ayam 21.900 21.750 20.750 Telur Ketika kolom jenis barang dan baris kota disembunyikan, maka tersisa susunan bilangan-bilangan yang tersusun menurut baris dan kolom. Susunan bilangan seperti ini yang diletakkan di antara dua kurung dinamakan sebagai matriks. 12000 12900 11500 11250 (30700 29600 28900 32000) 21900 21750 20750 21000 Matriks di atas memiliki 3 baris dan 4 kolom, sehingga dikatakan memiliki ordo 3 × 4. Matriks biasa dinotasikan dengan huruf kapital (������, ������, ������, dst. ). Ordo matriks dapat juga dinotasikan sebagai indeks, misal matriks ������ berordo ������ × ������, dapat dinotasikan sebagai ������������×������. Bilangan-bilangan penyusun matriks dinamakan sebagai elemen matriks. Notasi untuk setiap elemen ditandai berdasarkan indeks ganda, sebagai contoh ������23 merupakan elemen matriks A pada baris ke-2 kolom ke-3. Beberapa matriks memiliki nama khusus. Matriks yang hanya memiliki 1 kolom dinamakan sebagai matriks kolom, matriks yang hanya memiliki satu baris dinamakan sebagai matriks baris. Matriks persegi digunakan untuk menamai matriks yang banyaknya kolom sama dengan banyak baris. 15 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

������ ������11 ������12 ������13 … ������1������ ������21 ������22 ������23 … ������2������ ������31 ������32 ������33 … ������3������ , = ⋮ ⋮ ⋮ ⋱⋮ ������������������ merupakan elemen baris ke ������ kolom ke ������. ( ������������1 ������������2 ������������3 … ������������������) Catatan: Kadang-kadang ������������������ dituliskan sebagai ������������,������. Kesamaan Matriks Dua matriks ������ dan ������ dikatakan sama ditulis ������ = ������, jika kedua matriks memiliki ordo yang sama dan anggota yang seletak bernilai sama. Jadi jika matriks ������ = (������������������) berordo ������ × ������ dan matriks ������ = (������������������) berordo ������ × ������, maka ������ = ������ jika dan hanya jika ������������������ = ������������������ untuk i = 1, 2, 3, ....., m dan j = 1, 2, 3, ......., n. Contoh: 4������ 8 4 12 8 4 Diketahui matriks ������ = ( 6 −1 −3������) dan ������ = ( 6 −1 −3������). Jika ������ = ������, 5 3������ 9 5 ������ 9 tentukan nilai ������ + ������ + ������. Penyelesaian: 4������ 8 4 12 8 4 Karena ������ = ������, maka ( 6 −1 −3������) = ( 6 −1 −3������). Berdasar kesamaan matriks: 5 3������ 9 5 ������ 9 • Dari ������11 = ������11 diperoleh 4������ = 12 → ������ = 3 • Dari ������21 = ������21 diperoleh −3������ = −3������ → ������ = ������, karena ������ = 3 maka ������ = 3 • Dari ������32 = ������32 diperoleh 3������ = ������ → 3������ = 3 → ������ = 1. Akibatnya ������ + ������ + ������ = 3 + 3 + 1 = 7. Unit Pembelajaran 5 : Matriks 16

b. Operasi Matriks Seperti pada bilangan real yang dapat dioperasikan dengan penjumlahan, perkalian, dan sebagainya, pada matriks juga dikenal beberapa operasi, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan invers terhadap perkalian. 1) Penjumlahan Matriks dan Pengurangan Matriks Misalkan perolehan medali pada seagames hari pertama dan kedua adalah untuk 4 negara Indonesia, Malaysia, Singapura, dan Vietnam. Tabel 1: Perolehan Tabel 7 Perolehan Medali Tabel 3: Perolehan Medali Hari pertama Medali Hari Pertama Tabel 2: Perolehan Em Pk Pg Medali Hari kedua Em Pk Pg Indonesia 5 6 2 Em Pk Pg Brunei 1 01 D. Malaysia 4 1 5 Indonesia 5 3 3 Timor 0 22 Singapura 3 5 5 Malaysia 3 4 5 L. Vietnam 4 3 1 Singapura 4 0 2 Vietnam 4 5 0 Jika ketiga tabel disajikan dalam bentuk matriks ������, ������, dan ������, maka 562 533 ������ = (34 1 55) ������ = (43 4 52) ������ = (01 0 21) 5 0 2 431 450 Total perolehan medali di hari pertama dan kedua dari Indonesia, Malaysia, Singapura, dan Vietnam dapat diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak, jika dinyatakan dalam bentuk matriks 5+5 6+3 2+3 10 9 5 (43 + 3 1+4 5 + 25) = ( 7 5 170) + 4 5+0 5 + 7 5 4+4 3+5 1+0 881 Operasi seperti contoh di atas dinamakan sebagai penjumlahan matriks, yang dinotasikan sebagai ������ + ������. Bagaimana dengan penjumlahan ������ + ������? 17 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

Penjumlahan ������ + ������ tidak dapat dilakukan karena ukuran matriks berbeda dan konteks negara juga berbeda. Gambar 3 Dua matriks beda ordo, tidak bisa dijumlahkan Dua matriks ������ dan ������ dapat dijumlahkan, jika keduanya mempunyai ordo yang sama. Elemen-elemen matriks hasil penjumlahan dua matriks diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen seletak pada matriks yang dijumlahkan. Jika ������ + ������ = ������, maka ������������������ = ������������������ + ������������������ Dalam bentuk umum dapat dituliskan ������11 ������12 ⋯ ������1������ ������11 ������12 ⋯ ������1������ Jika ������ = ( ������21 ������22 ⋯ ������2������ ), ������ = ( ������21 ������22 ⋯ ������2������ ), maka ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ������������1 ������������2 ⋯ ������������������ ������������1 ������������2 ⋯ ������������������ ������11 ������12 ⋯ ������1������ ������11 ������12 ⋯ ������1������ ������22 ������ + ������ = ( ������21 ⋯ ������2������ ) + ( ������21 ������22 ⋯ ������2������ ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ������������1 ������������2 ⋯ ������������������ ������������1 ������������2 ⋯ ������������������ ������11 + ������11 ������12 + ������12 ⋯ ������1������ + ������1������ = ( ������21 + ������21 ������22+������22 ⋯ ������2������ + ������2������ ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ������������1 + ������������1 ������������2+������������2 ⋯ ������������������ + ������������������ Seperti halnya penjumlahan, pengurangan dua matriks dapat dilakukan jika keduanya berordo sama. ������11 ������12 ⋯ ������1������ ������11 ������12 ⋯ ������1������ ������22 ������ − ������ = ( ������21 ⋯ ������2������ ) − ( ������21 ������22 ⋯ ������2������ ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ������������1 ������������2 ⋯ ������������������ ������������1 ������������2 ⋯ ������������������ ������11 − ������11 ������12 − ������12 ⋯ ������1������ − ������1������ = ( ������21 − ������21 ������22−������22 ⋯ ������2������ − ������2������ ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ������������1 − ������������1 ������������2−������������2 ⋯ ������������������ − ������������������ Unit Pembelajaran 5 : Matriks 18

Contoh: Jika ������ = (21 31), ������ = (23 41) dan ������ = (−22 −34), tentukan : a. ������ + ������ b. ������ + ������ c. ������ − ������ d. ������ − ������ e. (������ + ������) + ������ f. ������ + (������ + ������) Jawab: 13) + (32 14) = (21 + 3 1 + 41) = (35 27) 14) + (21 + 2 3 + a. ������ + ������ = (12 31) − (32 b. ������ + ������ = (23 41) − (21 31) = (23 + 2 1 + 13) = (35 27) c. ������ − ������ = (12 + 1 4 + d. ������ − ������ = (32 14) = (21 − 3 1 − 14) = (−−11 −01) − 2 3 − 13) = (23 − 2 1 − 31) = (11 10) − 1 4 − e. (������ + ������) + ������ = ((12 31) + (23 14)) + (−22 −34) = (35 27) + (−22 −34) = (71 −102) f. ������ + (������ + ������) = (12 31) + ((32 41) + (−22 −34)) = (12 13) + (05 −73) = (71 −102) Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan matriks. Contoh di atas sekaligus menjadi bahan untuk menduga tentang sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan matriks, yaitu 1) Berlaku hukum komutatif untuk penjumlahan (������ + ������ = ������ + ������) 2) Tidak berlaku hukum komutatif untuk pengurangan (������ − ������ ≠ ������ − ������) 3) Berlaku hukum asosiatif (������ + ������) + ������ = ������ + (������ + ������) Bukti 1) ������ + ������ = (������������������) + (������������������) definisi penjumlahan matriks = (������������������ + ������������������) sifat komutatif penjumlahan bilangan = (������������������ + ������������������) 19 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

= (������������������) + (������������������) definisi penjumlahan matriks = ������ + ������ (terbukti) 2) Untuk menunjukan bahwa suatu aturan tidak berlaku, Anda bisa mengambil satu contoh kasus. Ambil ������ = (11 20) , ������ = (12 11), maka ������ − ������ = (−01 −11) dan ������ − ������ = (01 −11), diperoleh ������ − ������ ≠ ������ − ������. 3) (������ + ������) + ������ = ((������������������) + (������������������)) + (������������������) = ((������������������ + ������������������) + ������������������) definisi penjumlahan matriks = ((������������������ + ������������������ + ������������������)) sifat penjumlahan bilangan = (������������������) + (������������������ + ������������������) sifat asosiatif penjumlahan matriks = (������������������) + ((������������������) + (������������������)) definisi penjumlahan matriks = ������ + (������ + ������) (terbukti). 2) Perkalian Matriks dengan Skalar Berikut ini merupakan tabel harga paket makan di dua rumah makan. Tabel 8 Harga Paket Makanan Haga Makanan RM “Lezat” Cabang 1 Caban g 2 Paket 1 12000 15000 Paket 13000 16000 2 Paket 14000 18000 3 Paket 15000 20000 4 Dalam rangka perayaan ulang tahun rumah makan, diberikan diskon kepada semua konsumen sebesar 10%, atau dengan kata lain, konsumen cukup membayar 90% dari harga normal. Unit Pembelajaran 5 : Matriks 20

Bagaimana tabel yang baru? Bagaimana proses menentukan elemen-elemennya? 12000 15000 0,9 × 12000 0,9 × 15000 ������ = (1134000000 1168000000) 20000 ������ = (00,,99 × 13000 0,9 × 1168000000) 15000 × 14000 0,9 × 0,9 × 15000 0,9 × 20000 10800 13500 = (1121760000 1146420000) 18000 13500 Dalam matematika, operasi di atas dituliskan sebagai ������ = 0,9 ������. Misalkan matriks ������ = (������������������) berordo ������ × ������, maka hasil kali skalar ������ dengan matriks ������ dinyatakan dengan ������������ = (������ ⋅ ������������������). Contoh: Jika ������ = (32 −−51) maka 2������ = 2 (32 −−51) = (22 ⋅ 2 2 ⋅ ((−−15))) = (64 −−120) ⋅ 3 2 ⋅ − 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ (−1) −1 1 ( ⋅ 3 − 2 ⋅ ) (3 52) − 1 ������ = − 1 (23 −−51) = 2 1 = 2 2 2 − 1 2 (−5) −2 2 Sifat perkalian matriks dengan skalar. Misalkan diberikan matriks ������, ������, dan skalar ������, ������. i. ������(������ + ������) = ������������ + ������������ ii. ������(������ − ������) = ������������ − ������������ iii. (������ + ������)������ = ������������ + ������������ iv. (������ − ������)������ = ������������ − ������������ v. (������������)������ = ������(������������) Bukti untuk i). ������(������ + ������) = ������ ((������������������) + (������������������)) 21 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

= (������(������������������ + ������������������)) (definisi penjumlahan matriks) = (������������������������ + ������������������������) (definisi perkalian skalar matriks) = (������������������������) + (������������������������) (definisi penjumlahan matriks) = ������(������������������) + ������(������������������) (definisi perkalian skalar matriks) = ������������ + ������������ terbukti. Bukti untuk sifat ii-v diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. 3) Perkalian Dua Matriks Untuk menyelenggarakan sebuah kegiatan, diperlukan sejumlah meja, kursi, dan tenda. Terdapat dua tempat penyewaan, dan beberapa opsi kebutuhan seperti tampak pada tabel berikut. Berapa biaya yang diperlukan untuk masing-masing opsi pada kedua tempat rental? Tabel 9 Tarip Sewa dan Kebutuhan Tarip Sewa (Rp.) Kebutuhan Meja Kursi Tenda Opsi 1 Opsi 2 Opsi 3 Rental A 1200 1500 40000 Meja 3 4 5 20 Rental B 1000 1100 60000 Kursi 12 16 3 Tenda 1 2 Perhitungan anggaran untuk setiap opsi di setiap tempat persewaan dapat dihitung satu per satu. Misal di Rental A untuk opsi 1 adalah 1200 ⋅ 3 + 1500 ⋅ 12 + 40000 ⋅ 1. Perhitungan seperti ini akan memakan banyak tempat. Alternatif lain adalah dengan menyusunnya dalam tabel seperti berikut. 1200 ⋅ 3 + 1500 ⋅ 12 + 40000 ⋅ 1 1200 ⋅ 4 + 1500 ⋅ 16 + 40000 ⋅ 2 1200 ⋅ 5 + 1500 ⋅ 20 + 40000 ⋅ 3 1000 ⋅ 3 + 1100 ⋅ 12 + 60000 ⋅ 1 1000 ⋅ 4 + 1100 ⋅ 16 + 60000 ⋅ 2 1000 ⋅ 5 + 1100 ⋅ 20 + 60000 ⋅ 3 Dari tabel di atas, apa interpretasi dari elemen pada baris pertama kolom kedua? Makna dari elemen ini adalah biaya sewa di rental A untuk opsi 1. Selanjutnya Anda bisa menginterpretasi makna dari masing-masing baris, atau kolom. Dalam matematika, operasi yang dilakukan pada tabel tarif sewa dan kebutuhan, sehingga menghasilkan tabel ketiga, merupakan operasi perkalian matriks (perhatikan arah perkalian pada garis merah dan biru). Unit Pembelajaran 5 : Matriks 22

Perhatikan perkalian matriks ������ dan ������ dengan ordo 2 × 3 dan 2 × 2 berikut. Tampak bahwa ������13 dan ������23 tidak memiliki pasangan untuk dikalikan pada elemen matriks ������. Akibatnya kedua matriks tidak dapat dikalikan. Gambar 4 Dua matriks tidak bisa dikalikan Secara umum Jika ������ = (������������������) matriks berordo ������ × ������ dan ������ = (������������������) berordo ������ × ������, maka perkalian matriks ������������ didefinisikan sebagai ������������ = (������������������) Dengan ������ ������������������ = ������������1 ⋅ ������1������ + ������������2 ⋅ ������2������ + ������������3 ⋅ ������3������ + ⋯ + ������������������ ⋅ ������������������ = ∑ ������������������ ⋅ ������������������ ������=1 Contoh: (32 −−21) (26 4 03) = (23 ⋅ 2 + (−1) ⋅ 6 2 ⋅ 4 + (−1) ⋅ 1 2 ⋅ 3 + (−1) ⋅ 00) 1 ⋅ 2 + (−2) ⋅ 6 3 ⋅ 4 + (−2) ⋅ 1 3 ⋅ 3 + (−2) ⋅ = (64−−162 8−1 6 + 00) = (−−62 7 96) 12 − 2 9 + 10 Untuk mempermudah pemahaman proses mendapatkan elemen-elemen perkalian matriks, perhatikan kembali posisi baris, kolom, dan elemen pada hasil perkaliannya. 23 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

Apabila ������ suatu matriks persegi, maka dapat dituliskan ������ ⋅ ������ = ������2, ������2 ⋅ ������ = ������3, ������ ⋅ ������3 = ������4, dan seterusnya. Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks adalah; a) Pada umumnya ������������ ≠ ������������ (tidak komutatif) b) ������(������ ⋅ ������) = (������ ⋅ ������)������ c) ������(������ + ������) = ������ ⋅ ������ + ������ ⋅ ������ d) (������ + ������)������ = ������ ⋅ ������ + ������ ⋅ ������ e) ������(������ − ������) = ������ ⋅ ������ − ������ ⋅ ������ f) (������ − ������)������ = ������ ⋅ ������ − ������ ⋅ ������ g) ������(������. ������) = (������������)������ = ������(������������), dengan ������ ∈ ������ atau ������ skalar h) Jika ������������ = ������������, belum tentu ������ = ������ i) ������������ = ������������ = ������, ������ adalah matriks identitas. Pada kesempatan ini akan dibuktikan untuk sifat c) dan h). Bukti untuk sifat-sifat yang lain diserahkan kepada pembaca. Untuk membuktikan sifat 3, tunjukkan bahwa setiap elemen yang bersesuaian pada matriks ������(������ + ������) dan ������������ + ������������ sama besar. Asumsikan ������ berordo ������ × ������, ������ dan ������ berordo ������ × ������. Sesuai dengan definisi perkalian matriks, maka elemen baris ke ������ kolom ke ������ pada ������(������ + ������) adalah ������������1(������1������ + ������1������) + ������������2(������2������ + ������2������) + ⋯ ������������������(������������������ + ������������������). Sementara itu, elemen baris ke-������ kolom ke-������ pada ������������ + ������������ adalah (������������1������1������ + ������������2������2������ + ⋯ + ������������������������������������) + (������������1������1������ + ������������2������2������ + ⋯ + ������������������������������������) Unit Pembelajaran 5 : Matriks 24

= ������������1������1������ + ������������1������1������ + ������������2������2������ + ������������2������2������ + ⋯ + ������������������������������������ + ������������������������������������ = ������������1(������1������ + ������1������) + ������������2(������2������ + ������2������) + ⋯ ������������������(������������������ + ������������������) Terlihat bahwa elemen yang bersesuaian pada ������(������ + ������) dan ������������ + ������������ sama. Akibatnya ������(������ + ������) = ������������ + ������������. (Terbukti). Bukti h) menggunakan contoh kontra Ambil ������ = (12 21), ������ = (01 02), dan ������ = (−21 11), ditunjukkan bahwa ketika ������������ = ������������, ternyata ������ ≠ ������. ������������ = (12 21) (10 20) = (21 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 22) = (12 24) ������������ = (12 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 2 ⋅ 0 + 2 ⋅ (21 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 2 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 11) 12) (−21 11) = ⋅ (−1) + 2 ⋅ 2 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ = (12 42) Terlihat bahwa ������������ = ������������, namun ������ ≠ ������. (terbukti). 4) Transpose Matriks Transpose matriks ������ merupakan matriks yang diperoleh dari matriks ������ dengan menukarkan elemen-elemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya elemen- elemen pada kolom menjadi baris. Transpose matriks A dinyatakan dengan ������������ atau ������′. Contoh: 3 21 2 dan ������ = (−43), tentukan: Jika ������ = (−1 0 ), ������ = (−1 0), 2 −2 −2 3 a. ������������ b. (������������)������, bandingkan hasilnya dengan ������ c. (������ + ������)������ dan ������������ + ������������, bandingkan hasil keduanya. d. (������ ⋅ ������)������ dan ������(������������), bandingkan hasil keduanya. e. (������������)������ dan ������������������������, bandingkan hasil keduanya. Jawaban 25 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

a. ������������ = (23 −1 −22) 0 b. (������������)������ = (32 −1 −22)������ = 3 2 0 (−1 0 ) = ������ 2 −2 3 21 24 4 → (������ + ������)������ = (44 −2 10) c. ������ + ������ = (−1 0 ) + (−1 0) = (−2 0) 0 1 2 −2 −2 30 ������������ + ������������ = (32 −1 −22) + (21 −1 −32) = (44 −2 01) 0 0 0 Diperoleh (������ + ������)������ = ������������ + ������������ 3������ 2������ ������ = (32������������ −������ −22������������) d. (������������)������ = (−������ 0) 0 2������ −2������ ������(������������) = ������ (32 −1 −22) = (23������������ −������ −22������������) 0 0 Diperoleh (������������)������ = ������������������. Sifat Transpos matriks. a) (������������)������ = ������ b) (������ + ������)������ = ������������ + ������������ c) (������������)������ = ������(������������) d) (������������)������ = ������������������������ c. Determinan Matriks Perhatikan bentuk sistem persamaan linear ������������ + ������������ = ������ (1) ������������ + ������������ = ������ (2) Sistem persamaan di atas dapat diubah dalam bentuk perkalian matriks. (������������ ������������) ������ = (������������) (������) Unit Pembelajaran 5 : Matriks 26

Penyelesaian sistem persamaan linear di atas dapat dilakukan dengan berbagai cara, salah satunya dengan metode eliminasi. Dengan mengeliminasi ������ dan ������ berturut-turut, diperoleh: ������������ + ������������ = ������ |×× ������������| ������������������ + ������������������ = ������������ − ������������ − ������������ (3) ������������ + ������������ = ������ ������������������ + ������������������ = ������������ } ������ = ������������ − ������������ (4) ������������ + ������������ = ������ (������������ − ������������)������ = ������������ − ������������ ������������ − ������������ ������������ + ������������ = ������ } ������ = ������������ − ������������ |×× ������������| ������������������ + ������������������ = ������������ − ������������������ + ������������������ = ������������ (������������ − ������������)������ = ������������ − ������������ Perhatikan pada penyelesaian (3) dan (4) di atas, diperoleh penyebut yang sama yaitu ������������ − ������������. Ketika dikaitkan dengan matriks (������������ ������������), nilai ������������ − ������������ ini dinamakan sebagai determinan dari matriks (������������ ������������). Istilah determinan berasal dari bahasa Inggris Determinant yang artinya adalah “penentu”. Nilai determinan menentukan ada tidaknya solusi dari sistem persamaan linear. Definisi: Jika ������ = (������������ ������������), maka determinan dari matriks A, det(������) = |������| = ������������ − ������������ Kembali ke (3) dan (4). Apa yang terjadi ketika ������������ − ������������ = 0? Pada sistim persamaan linear, determinan menentukan ada tidaknya solusi dari sistem persamaan linear tersebut. Diagram berikut memberikan ilustrasi untuk memudahkan mengingat proses mencari determinan matriks 2 × 2. Dengan notasi determinan, maka (3) dan (4) dapat dituliskan sebagai: 27 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

������ = |������������ ������������| dan ������ = |������������ ������������| |������������ ������������| |������������ ������������| Determinan matriks ������ × ������ Seperti halnya pada sistem persamaan linear dua variabel, untuk tiga variabel, sistem persamaan linear ������������ + ������������ + ������������ = ������ (5) ������������ + ������������ + ������������ = ������ ������������ + ℎ������ + ������������ = ������ Dalam bentuk matriks, dapat ditulis sebagai ������ ������ ������ ������ ������ (������ ������ ������) (������) = (������) ������ ℎ ������ ������ ������ Penyelesaian sistem persamaan (5) dapat diperoleh dengan metode eliminasi, atau gabungan eliminasi dan substitusi. Meskipun metode ini cukup mudah, namum memerlukan proses yang relatif panjang. Untuk mempercepat kerjaan, dapat menggunakan bantuan aplikasi GeoGebra pada jendela CAS (Computer Algebra System). Ketikkan perintah: solve({a*x+b*y+c*z=p, d*x+e*y+f*z=q, g*x+h*y+i*z=r},{x,y,z}) Alternatif lain, buka situs https://www.wolframalpha.com/, ketikkan perintah yang sama ke kotak pencarian, tekan enter. Tunggu beberapa saat, jawaban akan diberikan. Gambar 5 Situs WolframAlpha 28 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

Perintah di atas akan menghasilkan penyelesaian sistem persamaan (5) yaitu ������������������ − ������������������ − ������������������ + ������ℎ������ + ������������������ − ������ℎ������ ������ = ������������������ − ������������ℎ − ������������������ + ������������������ + ������������ℎ − ������������������ −������������������ + ������������������ + ������������������ − ������������������ − ������������������ + ������������������ ������ = ������������������ − ������������ℎ − ������������������ + ������������������ + ������������ℎ − ������������������ ������������������ − ������ℎ������ − ������������������ + ������������������ + ������ℎ������ − ������������������ ������ = ������������������ − ������������ℎ − ������������������ + ������������������ + ������������ℎ − ������������������ Perhatikan bahwa pembilang pada penyelesaian di atas bernilai sama. Nilai ini ������ ������ ������ merupakan determinan dari matriks (������ ������ ������). ������ ℎ ������ Determinan matriks berordo 3 × 3 dapat dilakukan dengan beberapa cara, di antaranya adalah metode Sarrus, Minor, dan kofaktor. Metode Sarrus Metode ini hanya berlaku matriks 3 × 3. Langkah-langkahnya sebagai berikut: i. Salin elemen kolom pertama dan kedua pada kolom ke-4 dan ke-5. ii. Hitung jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama (dari arah kiri atas ke kanan bawah) dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama. iii. Hitung jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder (dari arah kiri bawah ke kanan atas) dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonel sekunder. iv. Kurangi hasil pada langkah ii dengan hasil langkah iii. det ������ = ������������������ + ������������������ + ������������ℎ − (������������������ + ℎ������������ + ������������������) 29 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

1 2 −3 Misal diberikan matriks ������ = (−2 −1 3), untuk mencari determinan dengan 045 metode Sarrus, terlebih dahulu dibuat bantuan dengan menambahkan dua kolom: det ������ = 1 ⋅ (−1) ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 ⋅ 0 + (−3) ⋅ (−2) ⋅ 4 − (0 ⋅ (−1) ⋅ (−3) + 4 ⋅ 3 ⋅ 1 + 5 ⋅ (−2) ⋅ 2) = −5 + 0 + 24 − (0 + 12 − 20) = 19 − (−8) = 27 Minor dan Kofaktor Untuk menentukan determinan matriks persegi dengan ordo lebih dari 2 × 2, akan lebih mudah menggunakan minor dan kofaktor. Pada matriks persegi, minor ������������������ dari elemen ������������������ adalah determinan matriks yang diperoleh setelah baris ke-������ dan kolom ke-������ dihapus. Kofaktor ������������������ dari elemen ������������������ adalah ������������������ = (−1)������+������������������������. Misalkan matriks ������ berordo 3×3 ������11 ������12 ������13 ������11 ������12 ������13 ������ = ( ������21 ������22 ������23), determinan ������ = |������| = |������21 ������22 ������23| ������31 ������32 ������33 ������31 ������32 ������33 Sebagai contoh, perhatikan Minor dan kofaktor dari elemen ������11, ������21 dan ������32 berikut. Ambil elemen ������11, hapus baris ke-1 dan kolom ke-1. Minor dari elemen ������11 adalah ������11 = |������������2322 ������������3233| Kofaktor dari ������11 adalah ������11 = (−1)1+1������11 = ������11 Unit Pembelajaran 5 : Matriks 30

Ambil elemen ������21, hapus baris ke-2 dan kolom ke-1. Minor dari elemen ������21 adalah ������21 = |������������1322 ������������1333| Kofaktor dari ������21 adalah ������21 = (−1)2+1������21 = −������21 Ambil elemen ������32, hapus baris ke-3 dan kolom ke-2. Minor dari elemen ������32 adalah ������32 = |������������1211 ������������1233| Kofaktor dari ������32 adalah ������32 = (−1)3+2������32 = −������32 Contoh 1 2 −3 Diberikan matriks ������ = (−2 −1 3 ), periksalah perhitungan minor dan 045 kofaktor berikut. ������11 = |−41 53| = −5 − 12 = −17 Selanjutnya dapat dihitung ������11 = |−41 53| = −17, ������12 = |−02 35| = −10, ������13 = |−02 −41| = −8, ������21 = |24 −53| = 22, ������13 = |10 24| = 4, ������22 = |10 −53| = 5, ������31 = |−21 −33| = 3, ������32 = |−12 −33| = −3, ������33 = |−12 −21| = 3, ������11 = (−1)1+1������11 = −17, ������12 = (−1)1+2������12 = 10, ������13 = (−1)1+3������13 = −8, ������21 = (−1)2+1������21 = −22, ������22 = (−1)2+2������22 = 5, ������23 = (−1)2+3������23 = −4, ������31 = (−1)3+1������31 = 3, ������32 = (−1)3+2������32 = 3, ������33 = (−1)3+3������33 = 3, 31 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

Dengan minor dan kofaktor, determinan matriks ditentukan dengan ������ dengan mengambil sebarang ������. (Ekspansi baris ������) dengan mengambil sebarang ������. (Ekspansi kolom ������) det ������ = |������| = ∑ ������������������������������������ , ������=1 ������ det ������ = |������| = ∑ ������������������������������������ , ������=1 Catatan. Karena tanda positif negatif ������������������ tergantung baris dan kolom, maka untuk lebih memudahkan perhitungan bisa diberikan tanda berselang-seling. Berikut ini merupakan tanda kofaktor untuk matriks 3 × 3 dan 4 × 4. +−+ +−+− −+− −+−+ +−+ +−+− −+−+ Contoh: 1 2 −3 Diberikan matriks ������ = (−2 −1 3), tentukan det ������ melalui 045 a. Ekspansi baris pertama b. Ekspansi baris kedua c. Ekspansi kolom ketiga Jawab. a. Ekspansi baris pertama (menggunakan definisi) ������ (baris pertama, maka ������ = 1) det ������ = ∑ ������1������������1������ ������=1 = 1 ⋅ ������11 + 2 ⋅ ������12 + (−3) ⋅ ������13 −41| = 1 ⋅ (−1)2 ⋅ |−14 53| + 2 ⋅ (−1)3 ⋅ |−20 35| + (−3) ⋅ (−1)4 ⋅ |−02 = 1 ⋅ (−17) − 2 ⋅ (−10) − 3 ⋅ (−8) = −17 + 20 + 24 = 27 Unit Pembelajaran 5 : Matriks 32

b. Ekspansi baris kedua (menggunakan tanda) Perhatikan pada tanda di atas, baris kedua dimulai dari tanda negatif. det ������ = −(−2) ⋅ ������21 + (−1) ⋅ ������22 − 3 ⋅ ������23 = −(−2) ⋅ |24 −53| + (−1) ⋅ |10 −35| − 3 ⋅ |01 42| = 2 ⋅ 22 + (−1) ⋅ 5 − 3 ⋅ 4 = 44 − 5 − 12 = 27 c. Ekspansi kolom ketiga (menggunakan tanda) Lihat gambar pada jawaban b, kolom ketiga diawali dengan tanda positif. det ������ = (−3) ⋅ ������13 − 3 ⋅ ������23 + 5 ⋅ ������33 = (−3) ⋅ |−02 −41| − 3 ⋅ |01 42| + 5 ⋅ |−12 −12| = (−3) ⋅ (−8) − 3 ⋅ 4 + 5 ⋅ 3 = 24 − 12 + 15 = 27 Perhatikan, dengan ketiga metode di atas diperoleh nilai determinan matriks A yang sama, yaitu 27. Sifat-sifat determinan matriks Eksplorasi penjumlahan dan pengurangan antar baris −2 0 −1 Misalkan, diberikan matriks ������ = ( 4 0 1), maka det(������) = −2. Dibentuk −2 1 3 matriks baru ������ yang berasal dari matriks ������ dengan cara elemen-elemen baris pertama ditambah dengan elemen-elemen baris kedua pada kolom yang bersesuaian. −2 + 4 0 + 0 −1 + 1 200 ������ = ( 4 0 1 ) = ( 4 0 1) −2 1 3 −2 1 3 33 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

Dengan ekspansi baris untuk ������11, diperoleh det(������) = 2 ⋅ |10 31| − 0 ⋅ |−42 11| + 0 ⋅ |−42 01| = 2 ⋅ (−1) − 0 + 0 = −2 Perhatikan bahwa det(������) = det(������). Cobalah membentuk matriks lain dengan cara menjumlahkan elemen antar baris, misal matriks ������ diperoleh dengan menjumlahkan elemen baris ketiga dengan elemen baris pertama dari matriks A. −2 0 −1 −2 0 −1 ������ = ( 4 0 1 ) = ( 4 0 1) −2 + 1 + 3 + Selanjutnya carilah nilai det(������) dan bandingkan dengan nilai det ������. Matriks ������ diperoleh dari matriks A, dimana elemen baris pertama dikurangi elemen baris ketiga, tentukan det(������), bandingkan nilainya dengan det(������). −2 − (−2) 0 − 1 −1 − 3 0 −1 −4 ������ = ( 4 0 1 ) = ( 4 0 1) −2 1 3 −2 1 3 Dengan ekspansi kolom ������12 diperoleh det(������) = −(−1) ⋅ |−24 13| + 0 ⋅ |−20 −34| − 1 ⋅ |04 −14| = 14 + 0 − 16 = −2 Ternyata det(������) = det(������). Cobalah mencari determinan matriks lain yang diperoleh dari penjumlahan atau pengurangan antar baris matriks ������. Jika matriks ������ diperoleh dari matriks ������ dengan menambahkan atau mengurangkan salah satu baris dengan baris yang lain, maka |������| = |������|. Applet untuk mencocokkan hasil eksplorasi Anda dapat diakses di tautan https://www.geogebra.org/m/cfqpbguf Unit Pembelajaran 5 : Matriks 34

Dari eksplorasi penjumlahan dan pengurangan baris yang telah dilakukan, apa dugaan Anda? Untuk eksplorasi lebih lanjut, anda dapat memeriksa bahwa Jika matriks ������ diperoleh dari matriks ������ dengan menambahkan atau mengurang-kan salah satu baris dengan ������ kali baris yang lain, maka |������| = |������| Contoh, ������ = |131 62| = 11 ⋅ 2 − 6 ⋅ 3 = 22 − 18 = 4 Misalkan C diperoleh dari A dengan mengurangi baris pertama dengan 3 kali baris kedua, maka |������| = |11 −3 ⋅ 3 6 −3 ⋅ 2| = |23 20| = 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 0 = 4 3 2 Eksplorasi penjumlahan dan pengurangan antar kolom −2 0 −1 Masih menggunakan matriks ������ = ( 4 0 1), dibentuk matriks ������ yang berasal −2 1 3 dari matriks A, dengan elemen kolom pertama ditambah kolom ketiga. Sehingga −2 + (−������) 0 −������ −3 0 −1 ������ = ( 4 + ������ 0 ������ ) = ( 5 0 1 ) −2 + ������ 1 ������ 113 Determinan B dicari melalui ekspansi kolom kedua. det(������) = −0 ⋅ |15 13| + 0 ⋅ |−13 −13| − 1 ⋅ |−53 −11| = −0 + 0 − 2 = −2 Tentukan determinan matriks ������, −2 − (−������) 0 −������ −1 0 −1 ������ = ( 4 − ������ 0 ������ ) = ( 3 0 1 ) −2 − ������ 1 ������ −5 1 3 det(������) = −0 ⋅ |−35 31| + 0 ⋅ |−−15 −13| − 1 ⋅ |−31 −11| = 0 + 0 − 2 = −2 Cobalah untuk kasus-kasus penjumlahan dan pengurangan kolom yang lain. 35 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

Dari eksplorasi penjumlahan dan pengurangan kolom di atas, apa dugaan Anda? Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan menambahkan salah satu kolom ke kolom yang lain, maka |������| = |������| Eksplorasi elemen pada baris atau kolom dikalikan dengan skalar. Pada matriks ������ di atas, tentukan determinan matriks baru yang diperoleh dengan i. Setiap elemen baris pertama dikalikan dengan ������. ii. Setiap elemen baris kedua dikalikan dengan ������. iii. Setiap elemen kolom ketiga dikalikan ������. −2 0 −1 Dari matriks ������ = ( 4 0 1), |������| = 2 −2 1 3 ������ ⋅ (−2) ������ ⋅ 0 ������ ⋅ (−1) −������������ ������ −������ i. ������ = ( 40 1) = ( 4 0 1) −2 1 3 −2 1 3 Menggunakan ekspansi kolom ke-2. det(������) = −0 ⋅ |−42 13| + 0 ⋅ |−−2���2��� −���3���| − 1 ⋅ |−2���4��� −���1���| = 0 + 0 − (2������) = −2������ −2 0 −1 −2 0 −1 ii. ������ = (������ ⋅ 4 ������ ⋅ 0 ������ ⋅ 1) = (������������ ������ ������) −2 1 3 −2 1 3 Menggunakan ekspansi kolom ke-2. det(������) = −0 ⋅ |−4���2��� 3���3���| + 0 ⋅ |−−22 −31| − 1 ⋅ |−4���2��� −���1���| = 0 + 0 − 2������ = −2������ −2 0 ������ ⋅ (−1) −2 0 −������ iii. ������ = ( 4 0 ������ ⋅ 1) = ( 4 0 ������) −2 1 ������ ⋅ 3 −2 1 ������������ Menggunakan ekspansi kolom ke-2 det(������) = −0 ⋅ |−42 3������������| + 0 ⋅ |−−22 −3������������| − 1 ⋅ |−42 −������������| = 0 + 0 − 2������ = −2������ Unit Pembelajaran 5 : Matriks 36

Dari kasus-kasus di atas, apa dugaan Anda? Jika matriks ������ diperoleh dari mengalikan semua elemen pada salah satu baris atau kolom matriks A dengan skalar k, maka |������| = ������|������| Sifat-sifat determinan terkait dengan penjumlahan dan pengurangan baris atau kolom, perkalian baris atau kolom dengan skalar berguna untuk menyederhanakan perhitungan determinan. Sebagai contoh, | 25 30 | = | 5⋅5 5⋅6 | = 5 ⋅ 14 ⋅ | 5 6 | = 70 ⋅ | 5 1 | = 70 ⋅ 4 = 280. 14 28 14 ⋅ 1 14 ⋅ 2 1 2 1 1 Penjelasan: 5 merupakan faktor elemen baris pertama, 14 faktor elemen baris kedua. Pada langkah ketiga, dilakukan penguaran kolom ke-2 dikurangi kolom pertama. Determinan hasil kali matriks 1 −2 2 201 Diberikan matriks ������ = (0 3 2) dan ������ = (0 −1 −2), tentukan |������|, |������|, 1 01 3 1 −2 |������������|, dan |������||������|. Penyelesaian 1 −2 20 −2 1 = |−23 12| = −7 |������| = |0 3 2| = |0 3 2| 0 11 0 1 1 (Ket.: baris 1 dikurangi baris 3; selanjutnya menggunakan ekspansi kolom ke-1). 2 0 12 0 1 = −1 ⋅ |32 −14| = 11 |������| = |0 −1 −2| = |3 0 −4| −2 3 1 −2 3 1 (Ket.: baris 2 ditambah baris 3; selanjutnya menggunakan ekspansi kolom ke-2). 1 −2 2 2 0 1 84 1 ������������ = (0 3 2) (0 −1 −2) = (6 −1 −10) 1 0 1 3 1 −2 5 1 −1 Determinan AB akan dicari menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan baris, serta ekspansi baris atau kolom setelah beberapa elemen menjadi nol. 8 41 3 32 2 5 11 1 7 20 |������������| = | 6 −1 −10 | = | 1 −2 −9 | = | 1 −2 −9 | = | 1 −2 −9 | −2 −3 ⏟1 ⏟5 1 −1 ⏟5 1 −1 ⏟2 06 ������1−������2 ������1−������3 ������3−������1 ������3−������2 ������1−������3 ������2−������3 ������1−������2 ������2−������3 37 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

0 7 14 | = 1⏟⋅ |−27 −1154| = 1 ⋅ 7 ⋅ |−12 −152| = −77 −2 −15 =|0 7 faktor dari elemen ⏟1 0 6 ekspansi kolom 1 baris pertama Perhatikan bahwa |������||������| = |������������|. Determinan transpose matriks. Di atas telah dibicarakan mencari determinan bisa dilakukan dengan ekspansi ������ ������ ������ baris atau kolom. Misalkan akan dicari |������| = |������ ������ ������| dengan cara ekspansi ������ ℎ ������ ������ ������ ������ baris pertama dan |������������| = |������ ������ ℎ| dengan ekspansi kolom pertama, maka ������ ������ ������ |������| = ������ ⋅ |ℎ������ ������������| − ������ ⋅ |������������ ������������| + ������ ⋅ |������������ ℎ������| = ������(������������ − ������ℎ) − ������(������������ − ������������) + ������(������ℎ − ������������) |������������| = ������ ⋅ |������������ ℎ������| − ������ ⋅ |������������ ������������| + ������ ⋅ |������������ ���ℎ���| = ������(������������ − ������ℎ) − ������(������������ − ������������) + ������(������ℎ − ������������) Diperoleh |������| = |������������| Dari penjelasan tentang sifat-sifat determinan di atas, maka dapat dirangkum 1) Pengurangan dan penjumlahan antar baris pada suatu matriks tidak mengubah nilai determinan. 2) Pengurangan dan penjumlahan antar kolom pada suatu matriks tidak mengubah nilai determinan. 3) Jika salah satu baris atau salah satu kolom pada matriks ������ dikalikan skalar k, maka determinannya menjadi ������|������| 4) |������������| = |������| ⋅ |������| 5) |������������| = |������| Unit Pembelajaran 5 : Matriks 38

Invers Matriks Pada bilangan real, 1 merupakan elemen identitas untuk operasi perkalian, karena untuk setiap bilangan ral ������ berlaku ������ ⋅ 1 = 1 ⋅ ������ = ������. Elemen identitas untuk operasi penjumlahan adalah 0, karena ������ + 0 = 0 + ������ = ������. Sementara itu, untuk pengurangan tidak ada elemen identitas. Perhatikan bahwa untuk setiap ������, berlaku ������ − 0 = ������, namun 0 − ������ = −������ ≠ ������, kecuali untuk ������ = 0. Pada perkalian bilangan real, jika ada ������ sedemikian sehingga ������ ⋅ ������ = ������ ⋅ ������ = 1, maka ������ dikatakan invers perkalian dari ������ atau ditulis ������ = ������−1. Dengan demikian ������−1 ⋅ ������ = ������ ⋅ ������−1 = 1. Demikian juga pada matriks, Jika ������ matriks berordo ������ × ������ dan dapat ditemukan matriks ������ berordo ������ × ������ sedemikian sehingga ������������ = ������������ = ������, dengan ������ matriks identitas berordo ������ × ������, maka dikatakan ������ invers dari ������ dan dinotasikan sebagai ������ = ������−1. Pada kasus di atas, dapat dikatakan kedua matriks ������ dan ������ saling invers (������ invers dari ������, dan sekaligus ������ invers dari ������). Jika matriks ������ memiliki invers, maka dikatakan ������ matriks nonsingular. Jika tidak memiliki invers, disebut sebagai matriks singular. Istilah singular berasal dari bahasa latin singulus yang berarti terpisah, individual, tunggal. Bisa juga dimaknai sebagai di luar kebiasaan, atau merepotkan. (Schwartzman, 1994). Dalam persamaan matriks ������������ = ������, akan diperoleh penyelesaian jika ������ ������������������������������������������������������������������. Contoh: Tunjukkan bahwa ������ = ( 2 −7 ) , dan ������ = ( 4 7 ) −1 4 1 2 Perhatikan ������������ = ( 2 −7 ) ( 4 7 ) = ( 2 ∙ 4 + (−7) ∙ 1 2 ∙ 7 + (−7) ∙ 2 ) = ( 1 0 ) = ������ −1 4 1 2 (−1) ∙ 4 + 4 ∙ 1 (−1) ∙ 7 + 4 ∙ 2 0 1 39 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

������������ = ( 4 7 ) ( 2 −7 ) = ( 4 ∙ 2 + 7 ∙ (−1) 4 ∙ (−7) + 7 ∙ 4 ) = ( 1 0 ) = ������ 1 2 −1 4 1 ∙ 2 + 2 ∙ (−1) 1 ∙ (−7) + 2 ∙ 4 0 1 Karena ������������ = ������������ = ������, maka kedua matriks ������ dan ������ saling invers. Contoh: Tentukan invers dari matriks ������ = ( 2 1 ). 5 3 Penyelesaian. Misalkan ������−1 = ( ������ ������ ), maka berlaku ������������−1 = ������. ������ ������ ( 2 1 ) ( ������ ������ ) = ( 1 0 ) → ( 2������ + ������ 2������ + ������ ) = ( 1 0 ) 5 3 ������ ������ 0 1 5������ + 3������ 5������ + 3������ 0 1 Berdasarkan ketentuan kesamaan dua matriks maka diperoleh 2������ + ������ = 1 (1) 2������ + ������ = 0 (3) 5������ + 3������ = 0 (2) 5������ + 3������ = 1 (4) Selanjutnya dari keempat persamaan dengan mengeliminasi ������ dan ������, didapat: 2������ + ������ = 1 |×× 31| 6������ + 3������ = 3 2������ + ������ = 0 |×× 13| 6������ + 3������ = 0 5������ + 3������ = 0 5������ + 3������ = 0− 5������ + 3������ = 1 5������ + 3������ = 1− ������ = 3 ������ = −1 Hasil ������ = 3 disubstitusikan ke (1) dan ������ = −1 ke persamaan (3). 2 ⋅ 3 + ������ = 1 → ������ = −5 2 ⋅ (−1) + ������ = 0 → ������ = 2 Jadi ������−1 = ( 3 −1 ). −5 2 Mencari invers matriks ������ × ������ Operasi elementer baris Proses mencari invers melalui operasi elementer baris ini cukup sederhana, dan berlaku untuk semua matriks berukuran ������ × ������. Proses ini menggunakan algoritma yang cukup sederhana untuk diaplikasikan ke dalam pemrograman komputer Unit Pembelajaran 5 : Matriks 40

khususnya untuk matriks berukuran besar. Pada kesempatan ini hanya akan diberikan algoritmanya, tidak diberikan bukti matematisnya. Misalkan ������ matriks berordo ������ × ������. 1. Susun matriks ������ berukuran ������ × 2������ yang memuat elemen-elemen matriks ������ di bagian kiri, dan matriks ������ di bagian kanan. 2. Jika memungkinkan, lakukan operasi baris elementer pada matriks ������ sehingga bagian kiri matriks ������ menjadi elemen-elemen matriks identitas. Ketika matriks identitas terbentuk, maka bagian sebelah kanan merupakan ������−1. Operasi baris elementer meliputi: i. Pengurangan atau penjumlahan suatu baris dengan ������ kali baris yang lain. ii. Mengalikan baris dengan suatu bilangan. Perhatikan bagian kiri telah membentuk matriks identitas. Maka bagian kanan adalah ������−1. 3. Jika tidak terbentuk matriks identitas di sebelah kiri, maka ������ tidak memiliki invers, atau dikatakan A matriks singular. 4. Periksa apakah ������������−1 = ������−1������ = ������. Contoh: Misalkan ������ = (52 31), tentukan ������−1 menggunakan operasi baris elementer. Penyelesaian. Buat matriks, ������ = (52 1 1 01), terapkan operasi baris elementer untuk 3 0 mengubah bagian kiri menjadi matriks identitas. (52 1 1 01) ������2 − 2������1 → ������1 3 0 ������1 − ������2 → ������1 (21 1 1 10) 1 −2 41 Unit Pembelajaran 5 : Matriks

(11 0 3 −11) ������2 − ������1 → ������2 1 −2 (10 0 3 −21) 1 −5 Perhatikan bagian kiri telah membentuk matriks identitas. Maka bagian kanan adalah ������−1. Sehingga ������−1 = (−35 −21). Pembaca dipersilakan untuk memeriksa apakah ������������−1 = ������−1������ = ������. 123 Contoh: Terntukan invers matriks ������ = (1 3 3) 243 Buat matriks P dengan menggabungkan matriks B dengan matriks identitas di sebelah kanan. 123 100 ������ = (1 3 3 0 1 0) 243 001 Selanjutnya dilakukan operasi baris elementer. 123 100 ������2 − ������1 → ������2 (1 3 3 0 1 0) ������3 − 2������1 → ������3 001 243 1 12 3 100 − 3 ������3 → ������3 (0 1 0 −1 1 0) 0 0 −3 −2 0 1 ������1 − 3������3 123 10 0 ������1 − 2������2 (0 1 0 −1 1 0) 001 2 0 −1 120 33 (0 1 0 −1 0 1 001 −1 1 0) 100 2 0 −1 (0 1 0 33 001 1 −2 1 −1 1 0) 2 0 −1 33 Unit Pembelajaran 5 : Matriks 42


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook