i Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
Unit Pembelajaran 11 KOMPOSISI TRANSFORMASI MATA PELAJARAN MATEMATIKA MADRASAH ALIYAH Penanggung Jawab Direktorat GTK Madrasah Direktorat Jenderal Pendidikan Islam Kementerian Agama Republik Indonesia Penyusun Wiwit Susanti Darno Raharjo Sigit Tri Guntoro Juanda Kasim Untung Trisna Suwaji Reviewer Abdur Rahman As’ari Copyright © 2020 Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah Hak CIpta Dilindungi Undang-undang Dilarang mengcopy sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Agama Republik Indonesia Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi ii
KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Undang – Undang Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen Pasal 1 ayat 1 menyatakan bahwa Guru adalah pendidik profesional dengan tugas utama mendidik, mengajar, membimbing, mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta didik pada Pendidikan Anak Usia Dini jalur Pendidikan Formal, Pendidikan Dasar, dan Pendidikan Menengah. Agar dapat melaksanakan tugas utamanya dengan baik, seorang guru perlu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya secara bertahap, berjenjang, dan berkelanjutan melalui Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) guru. Untuk itu saya menyambut baik terbitnya modul ini sebagai panduan semua pihak dalam melaksanakan program PKB. Peningkatan Kompetensi Pembelajaran merupakan salah satu fokus upaya Kementerian Agama, Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan (GTK) dalam meningkatkan kualitas madrasah melalui pembelajaran berorientasi keterampilan berpikir tingkat tinggi, kontekstual, dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Program PKB dilakukan mengingat luasnya wilayah Indonesia dan kualitas pendidikan yang belum merata, sehingga peningkatan pendidikan dapat berjalan secara masif, merata, dan tepat sasaran. Modul ini dikembangkan mengikuti arah kebijakan Kementerian Agama yang menekankan pada pembelajaran berorientasi pada keterampilan berpikir tingkat tinggi atau higher order thinking skills (HOTS) dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Keterampilan berpikir tingkat tinggi adalah proses berpikir kompleks dalam menguraikan materi, membuat kesimpulan, membangun representasi, menganalisis, dan membangun hubungan dengan melibatkan aktivitas mental yang paling dasar. Sementara, nilai-nilai keislaman diintegrasikan dalam pembelajaran sebagai hidden curriculum sehingga tercipta generasi unggul sekaligus beriman dan bertakwa serta berakhlak mulia. iii Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
Sasaran Program PKB ini adalah seluruh guru di wilayah NKRI yang tergabung dalam komunitas guru sesuai bidang tugas yang diampu di wilayahnya masing-masing. Komunitas guru dimaksud meliputi kelompok kerja guru (KKG), Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP), dan Musyawarah Guru Bimbingan Konseling (MGBK). Model pembelajaran yang digunakan dalam modul ini adalah melalui moda Tatap Muka In-On-In sehingga guru tidak harus meninggalkan tugas utamanya di madrasah sebagai pendidik. Semoga modul ini dapat digunakan dengan baik sebagaimana mestinya sehingga dapat menginspirasi guru dalam materi dan melaksanakan proses pembelajaran. Kami ucapkan terima kasih atas kerja keras dan kerja cerdas para penulis dan semua pihak terkait yang dapat mewujudkan Modul ini. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai dan memudahkan upaya yang kita lakukan. Aamiin. Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Jakarta, Oktober 2020 An. Direktur Jenderal, Direktur Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah, Muhammad Zain Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi iv
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR..................................................................................................................... iii DAFTAR ISI ....................................................................................................................................v DAFTAR TABEL ..........................................................................................................................vii DAFTAR GAMBAR.....................................................................................................................viii 01 PENDAHULUAN ...................................................................................................................viii A. Latar Belakang ..................................................................................................................... 1 B. Tujuan.................................................................................................................................... 4 C. Manfaat ................................................................................................................................. 4 D. Sasaran ................................................................................................................................. 4 02 TARGET KOMPETENSI ........................................................................................................ 8 A. Target Kompetensi Guru .................................................................................................. 8 1. Target Kompetensi Guru................................................................................................ 8 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Guru ................................................................... 8 B. Target Kompetensi Peserta Didik................................................................................... 9 1. Kompetensi Dasar ........................................................................................................... 9 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik (IPK) .........................................10 03 MATERI DAN ORGANISASI PEMBELAJARAN...............................................................12 A. Ruang Lingkup Materi ......................................................................................................12 B. Aplikasi dalam Kehidupan ...............................................................................................12 C. Integrasi Keislaman........................................................................................................... 13 D. Bahan Bacaan ....................................................................................................................15 v Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
1. Bahan Bacaan 1: Komposisi Transformasi (Translasi dan Refleksi) Berurutan .15 2. Bahan Bacaan 2 : Komposisi Transformasi (Rotasi dan Dilatasi) Berurutan dan Komposisi Transformasi Menggunakan Matriks .........................................................18 04 KEGIATAN PEMBELAJARAN............................................................................................22 A. Organisasi Pembelajaran................................................................................................22 B. Perangkat dan Media Pembelajaran .............................................................................22 C. Aktivitas Pembelajaran.................................................................................................... 23 1. Kegiatan In Learning Service-1 ( 6 JP)....................................................................... 23 2. Kegiatan On Job Learning (6 JP) ..............................................................................29 3. Kegiatan In Learning Service-2 (2 JP) ......................................................................30 D. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD)..............................................................................30 1. Contoh LKPD 1 ................................................................................................................. 31 2. Contoh LKPD 2..............................................................................................................36 E. Pengembangan Penilaian............................................................................................... 44 05 PENILAIAN ............................................................................................................................46 A. Tes Formatif .......................................................................................................................46 B. Penilaian .............................................................................................................................50 1. Penilaian untuk Guru.....................................................................................................50 2. Penilaian untuk Peserta Didik ....................................................................................52 06 PENUTUP ..............................................................................................................................55 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF........................................................................................56 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................... 57 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi vi
DAFTAR TABEL Tabel 1 Target Kompetensi Guru ........................................................................................ 8 Tabel 2 Indikator Pencapaian Kompetensi Guru............................................................ 8 Tabel 3 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik ........................................................... 9 Tabel 4 Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik .......................................... 10 Tabel 5 Organisasi Pembelajaran ....................................................................................22 Tabel 6 Kisi-Kisi Pengembangan Soal HOTS ................................................................44 Tabel 7 Instrumen Penilaian Diri Bagi Guru .................................................................. 50 Tabel 8 Instrumen Penilaian Guru oleh Asesor/Fasilitator ..........................................51 Tabel 9 Instrumen Penilaian Diri bagi Peserta Didik ...................................................52 Tabel 10 Instrumen Penilaian Peserta Didik oleh Guru...............................................53 vii Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
DAFTAR GAMBAR Gambar 1 Daya Serap Peserta Didik terhadap Mata Pelajaran Matematika pada Ujian Nasional 2019 ......................................................................................2 Gambar 2 Daya Serap Peserta Didik terhadap Materi Geometri dan Trigonometri pada Ujian Nasional 2019...................................................3 Gambar 3 Alur PKB melalui Tatap Muka In-On-In ..................................................... 7 Gambar 4 Transformasi dalam Kehidupan Sehari-hari .......................................... 12 Gambar 5 Komposisi Translasi .................................................................................... 15 Gambar 6 Komposisi Refleksi Berurutan terhadap Dua Garis Sejajar ............... 16 Gambar 7 Komposisi Refleksi Berurutan terhadap Dua Garis yang Saling Tegak Lurus ................................................................................................................17 Gambar 8 Komposisi Refleksi Berurutan terhadap Dua Garis Saling Berpotongan ..................................................................................................17 Gambar 9 Komposisi Rotasi terhadap Titik Pusat O(0,0) ...................................... 18 Gambar 10 Komposisi Rotasi terhadap Titik P(m,n).................................................. 19 Gambar 11 Komposisi Dilatasi terhadap Titik Pusat O(0,0) ................................... 20 Gambar 12 Komposisi Dilatasi terhadap Titik P(m,n)............................................... 20 Gambar 13 Refleksi Berurutan terhadap Dua Garis Saling Berpotongan .......... 24 Gambar 14 Komposisi rotasi terhadap titik pusat O(0,0)........................................ 25 Gambar 15 Penerapan Komposisi Translasi dan Refleksi dalam Kehidupan Sehari-hari ..................................................................................................... 31 Gambar 16 Penerapan Komposisi Rotasi dan Dilatasi dalam Kehidupan Sehari- hari ..................................................................................................................37 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi viii
01 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Undang-Undang Nomor 20 Tahun 2003 Tentang Sistem pendidikan Nasional pasal 3 menjelaskan bahwa tujuan pendidikan nasional adalah untuk mengembangkan potensi peserta didik agar menjadi manusia yang beriman dan bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, berakhlak mulia, sehat, berilmu, cakap, kreatif, mandiri, dan menjadi warga negara yang demokratis serta bertanggung jawab. Tujuan pendidikan nasional tersebut dapat tercapai jika guru dapat melaksanakan tugas utamanya mendidik, mengajar, membimbing, mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta didik dengan baik. Untuk itu, seorang guru perlu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya secara bertahap, berjenjang, dan berkelanjutan melalui Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) guru. Strategi pelaksanaan PKB guru madrasah yang ditempuh oleh Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah adalah melalui kegiatan MGMP matematika. Tujuannya adalah untuk meningkatkan kompetensi pedagogis dan profesional sehingga dapat meningkatkan capaian hasil belajar peserta didik. Hasil UN tahun 2019 menunjukkan bahwa daya serap peserta didik terhadap materi matematika pada Madrasah Aliyah (MA) lebih rendah dari Sekolah Menengah Atas (SMA). Oleh karena itu, Guru perlu mengaktifkan diri dalam kegiatan MGMP tersebut untuk membedah materi ajar, merancang pembelajaran yang bermakna bagi peserta didik, mengembangkan intrumen penilaian HOTS, serta melakukan refleksi guna perbaikan pembelajaran secara berkesinambungan sehingga guru mampu meningkatkan kompetensinya untuk membantu peserta didik dalam mencapai kompetensi dasar. 1 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
SMA MA Daya Serap Peserta Didik (%) 100 90 80 70 60 50 46,18 35,59 35,07 32,12 35,69 31,56 40 41,95 31,92 30 20 10 0 Aljabar Kalkulus Geometri & Statistika Trigonometri Materi yang Diuji Gambar 1 Daya Serap Peserta Didik terhadap Mata Pelajaran Matematika pada Ujian Nasional 2019 Sumber : https://hasilun.puspendik.kemdikbud.go.id/ Komposisi Transformasi merupakan materi yang dianggap sulit oleh peserta didik. Hasil Ujian Nasional tahun 2019 menunjukkan bahwa daya serap peserta didik terhadap materi tersebut hanya 28.51%. Oleh karena itu perlu disusun Unit Pembelajaran khusus yang membahas materi Komposisi Transformasi pada program PKB ini. Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 2
Menyelesaiakan permasalahan terkait 28,09 aturan kosinus Indikator yang Diuji 28,51 Menentukan bayangan sebuah kurva terhadap komposisi dua transformasi… 49,4 Menentukan jarak titik dengan bidang 30,85 pada suatu kubus 42,04 Menentukan jarak titik P ke garis QR jika diketahui titik P, Q, dan R terletak pada… 41,37 Menyelesaikan masalah kontekstual 21,89 100 berhubungan dengan aturan sinus… 20 40 60 80 Menentukan gambar grafik dari suatu Daya Serap (%) fungsi trigonometri Menentukan nilai suatu perbandingan trigonometri di berbagai kuadran 0 Gambar 2 Daya Serap Peserta Didik terhadap Materi Geometri dan Trigonometri pada Ujian Nasional 2019 Sumber : https://hasilun.puspendik.kemdikbud.go.id/ Unit Pembelajaran ini diharapkan dapat menjadi salah satu sumber belajar bagi guru dalam PKB. Unit Pembelajaran ini dilengkapi dengan target kompetensi yang harus dimiliki guru untuk dapat melaksanakan pembelajaran yang baik guna mencapai kompetensi dasar peserta didik. Bahan bacaan disusun secara singkat dan padat sehingga diharapkan memudahkan guru dalam memahami konten dan menghindarkan dari kesalahan konsep. Materi ajar dihubungkan dengan dunia nyata serta integrasi nilai-nilai keislaman guna mendorong pembelajaran yang kontekstual sekaligus menanamkan nilai-nilai karakter peserta didik. Unit Pembelajaran juga dilengkapi contoh alternatif aktivitas pembelajaran, lembar kegiatan peserta didik (LKPD), contoh pengembangan soal guna memudahkan guru dalam merancang pembelajaran dan penilaian yang sesuai dengan daya dukung madrasah dan karakteristik peserta didik. Di akhir Unit Pembelajaran terdapat latihan tes formatif yang dapat dijadikan intrumen penilaian diri bagi guru sebelum melaksanakan Asesmen Kompetensi Guru (AKG) maupun bagi peserta didik dalam hal penguasaan materi. 3 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
B. Tujuan Tujuan Unit Pembelajaran ini adalah: 1. Meningkatkan kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional guru melalui kegiatan PKB di MGMP Matematika. 2. Meningkatkan hasil Asesmen Kompetensi Guru (AKG). 3. Menfasilitasi sumber belajar guru dalam mengembangkan kurikulum, mempersiapkan dan melaksanaan pembelajaran yang mendidik. 4. Meningkatkan hasil belajar peserta didik. C. Manfaat Manfaat yang ingin dicapai: 1. Sebagai sumber belajar bagi guru dalam melaksanakan PKB. 2. Sebagai referensi bagi guru dalam mengembangkan perencanaan dan pelaksanaan pembelajaran yang mendidik. 3. Sebagai sarana bagi guru untuk melakukan asesmen mandiri guru dalam rangka peningkatan kompetensi pedagogis dan kompetensi professional. 4. Sebagai referensi bagi guru dalam mengembangkan instrument penilaian proses dan hasil belajar peserta didik. D. Sasaran Adapun sasaran modul ini adalah: 1. Fasilitator nasional, provinsi, dan kabupaten/kota 2. Pengawas Madrasah 3. Kepala Madrasah 4. Guru Matematika 5. Peserta didik. Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 4
E. Petunjuk Penggunaan Sebelum Anda mempelajari dan mempraktikkan materi, bacalah dengan seksama petunjuk penggunaan Unit Pembelajaran ini. Laksanakan aktivitas PKB bersama dengan fasilitator dan teman sejawat di MGMP Matematika Anda dengan sungguh-sungguh agar Anda berhasil mencapai target kompetensi yang diinginkan. Secara umum, aktivitas yang harus Anda lakukan adalah sebagai berikut : 1. Pahami tujuan dan target kompetensi yang harus dicapai baik oleh diri Anda sendiri maupun oleh peserta didik. 2. Bacalah dengan cermat keseluruhan isi dari Unit Pembelajaran ini. 3. Bacalah sumber belajar lain terkait materi yang sedang dipelajari. 4. Aktivitas pembelajaran pada setiap Unit Pembelajaran dilakukan melalui moda Tatap Muka In-On-In. Ikutilah setiap aktivitas pembelajaran In-On-In sebagai berikut: a. Kegiatan In Service Learning 1 (In 1) Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka dan untuk mengkaji materi bersama teman sejawat dan fasilitator dalam MGMP Matematika. Aktivitas yang dilakukan di antaranya : 1) Melakukan analisis kebutuhan guru baik dalam kompetensi pedagogis maupun kompetensi profesional. 2) Mengkaji materi bersama fasilitator dan teman sejawat serta mendiskusikan materi-materi esensial yang kemungkinan masih menimbulkan miskonsepsi di kalangan guru. 3) Mendemonstrasikan praktik baik pembelajaran yang pernah dilakukan oleh guru di madrasah masing-masing maupun yang dicontohkan dalam Unit Pembelajaran ini. 4) Mempelajari dan membuat Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD). 5 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
5) Mempersiapkan intrumen penilaian proses dan hasil belajar. 6) Pada tahap ini, dapat juga dilakukan rencana pengambilan data untuk dikembangkan menjadi Penelitian Tindakan Kelas. b. Kegiatan On The Job Learning Pada tahap ini, aktivitas yang Anda lakukan diantaranya: 1) Mengkaji kembali uraian materi secara mandiri. 2) Mempraktikkan pembelajaran bersama peserta didik di madrasah masing-masing berdasarkan rancangan pembelajaran, LKPD, dan instrumen penilaian yang telah dipersiapkan pada kegiatan in-1. 3) Membuat catatan-catatan selama pelaksanaan pembelajaran sebagai bahan evaluasi, refleksi, atau sebagai data hasil PTK. 4) Membuat laporan pelaksanaan on the job learning dengan melampirkan bukti fisik dan dokumentasi kegiatan yang mendukung. c. Kegiatan In Service Learning 2 (In 2) Tahap ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat dengan aktivitas : 1) Melakukan presentasi laporan kegiatan on the job learning. 2) Mengevaluasi dan merefleksi pelaksanaan on the job learning untuk perbaikan pelaksanaan pembelajaran berikutnya. 3) Jika memiliki data-data hasil PTK dapat pula dijadikan sebagai bahan diskusi untuk dikembangkan menjadi laporan PTK. 5. Ujilah capaian kompetensi Anda dengan mengerjakan soal tes formatif. 6. Lakukan penilaian mandiri sebagai refleksi pencapaian target kompetensi. Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 6
Gambar 3 Alur PKB melalui Tatap Muka In-On-In Dalam melaksanakan setiap kegiatan pada Unit Pembelajaran ini, Anda harus mempertimbangkan prinsip kesetaraan dan inklusi sosial tanpa membedakan suku, ras, golongan, jenis kelamin, status sosial ekonomi, dan yang berkebutuhan khusus. Kesetaraan dan inklusi sosial ini juga diberlakukan bagi pendidik, tenaga kependidikan dan peserta didik 7 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
02 TARGET KOMPETENSI A. Target Kompetensi Guru Target kompetensi guru didasarkan pada Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia Nomor 16 Tahun 2007 Tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru. Dalam Unit Pembelajaran ini, target kompetensi yang dituangkan hanya yang terkait kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional. 1. Target Kompetensi Guru Ranah Kompetensi Tabel 1 Target Kompetensi Guru Kompetensi Target Kompetensi Guru Pedagogis 1. Menyusun rencana pembelajaran yang lengkap 2. Melaksanakan pembelajaran komposisi transformasi yang mengembangkan berpikir kritis dan kreatif 3. Mengevaluasi pelaksanaan pembelajaran dan hasil belajar peserta didik untuk berbagai tujuan Kompetensi Menguasai materi, struktur, konsep, dan pola pikir Profesional keilmuan berkaitan komposisi transformasi 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Guru Tabel 2 Indikator Pencapaian Kompetensi Guru Target Kompetensi Indikator Pencapaian Kompetensi Guru Menyusun rencana 1. Menjelaskan tujuan pembelajaran komposisi pembelajaran yang transformasi lengkap 2. Merancang sintak pembelajaran untuk memberi pengalaman belajar yang sesuai untuk mencapai tujuan pembelajaran 3. Membuat indikator dan instrumen penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar peserta didik. Melaksanakan 1. Melakukan pembelajaran komposisi transformasi pembelajaran dengan pengungkit kasus pengerjaan siswa/guru Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 8
komposisi 2. Melakukan pembelajaran komposisi transformasi transformasi yang dengan menyisipkan titik kritis yang sering mengembangkan terabaikan berfikir kritis dan kreatif 3. Menggunakan media pembelajaran yang menuntut kekreatifan siswa/guru dalam penggunaan maupun pembuatannya Mengevaluasi 1. Menganalisis hasil belajar peserta didik untuk pelaksanaan perbaikan pembelajaran dan/atau pengayaan pembelajaran dan penilaian hasil belajar 1. Menjelaskan komposisi transformasi peserta didik untuk 2. Mengidentifikasi titik-titik kritis terkait penyelesaian berbagai tujuan masalah komposisi transformasi Menguasai materi, 3. Memanfaatkan strategi dalam menyelesaikan struktur, konsep dan pola fikir keilmuan masalah komposisi transformasi tentang komposisi transformasi B. Target Kompetensi Peserta Didik Target kompetensi peserta didik dalam Unit Pembelajaran ini dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar kelas XI semester 1 (satu) sesuai dengan permendikbud nomor 37 tahun 2018 Tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Pelajaran Kurikulum 2013 Pada Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah sebagai berikut: 1. Kompetensi Dasar Tabel 3 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik No. Kompetensi Dasar Target Kompetensi Dasar 3. 5 Menganalisis dan Mampu menganalisis dan membandingkan transformasi membandingkan transformasi dan dan komposisi transformasi komposisi transformasi dengan dengan menggunakan menggunakan matriks matriks 4. 5 Menyelesaikan masalah yang Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks berkaitan dengan matriks transformasi 9 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
transformasi geometri geometri (translasi, refleksi, dilatasi dan (translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi) rotasi) 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik (IPK) Kompetensi dasar dikembangkan menjadi beberapa indikator pencapaian kompetensi sebagai acuan bagi guru untuk mengukur pencapaian kompetensi dasar. Dalam rangka memudahkan guru menentukan indikator yang sesuai dengan tuntunan kompetensi dasar, indikator dibagi menjadi tiga kategori, yaitu indikator pendukung, indikator kunci, dan indikator pengayaan sebagai berikut: Tabel 4 Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi IPK Pendukung: 3.5.1 Menjelaskan konsep transformasi geometri. 3.5.2 Menentukan bayangan hasil translasi 3.5.3 Menentukan bayangan hasil refleksi. 3.5.4 Menentukan bayangan hasil rotasi. 3.5.5 Menentukan bayangan hasil dilatasi. 3.5 Menganalisis dan IPK Inti: membandingkan transformasi dan 3.5.6 Menjelaskan konsep komposisi komposisi transformasi. transformasi dengan menggunakan 3.5.7 Menentukan bayangan hasil komposisi matriks translasi 3.5.8 Menentukan bayangan hasil komposisi refleksi 3.5.9 Menentukan bayangan hasil komposisi rotasi 3.5.10 Menentukan bayangan hasil komposisi dilatasi 3.5.11 Menentukan bayangan hasil komposisi transformasi dengan menggunakan matriks Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 10
IPK Pengayaan: 3.5.12 Menganalisis permasalahan transformasi geometri dalam menyelesaikan masalah konstekstual. 3.5.13Membandingkan berbagai macam transformasi geometri dalam menyelesaikan masalah konstekstual. 4.5 Menyelesaikan IPK Pendukung: masalah yang berkaitan dengan 4.5.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan matriks transformasi dengan translasi geometri (translasi, refleksi, dilatasi dan 4.5.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan rotasi) dengan refleksi 4.5.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rotasi 4.5.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan dilatasi IPK Inti: 4.5.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi transformasi dengan menggunakan matriks IPK Pengayaan: 4.5.6 - 11 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
03 MATERI DAN ORGANISASI PEMBELAJARAN A. Ruang Lingkup Materi Ruang lingkup materi komposisi transformasi di Madrasah Aliyah meliputi: 1. Menjelaskan komposisi transformasi 2. Menentukan bayangan hasil dua translasi berurutan 3. Menentukan bayangan hasil refleksi terhadap dua garis sejajar 4. Menentukan bayangan hasil refleksi terhadap dua garis tegak lurus 5. Menentukan bayangan hasil refleksi terhadap dua garis yang berpotongan 6. Menentukan bayangan hasil dua rotasi berurutan terhadap titik pusat ������(0,0) 7. Menentukan bayangan hasil dua rotasi berurutan terhadap titik ������(������, ������) 8. Menentukan bayangan hasil dua dilatasi berurutan terhadap titik pusat ������(0,0) 9. Menentukan bayangan hasil dua dilatasi berurutan terhadap titik ������(������, ������) 10. Menentukan bayangan hasil komposisi transformasi menggunakan matriks B. Aplikasi dalam Kehidupan Gambar 4 Transformasi dalam Kehidupan Sehari-hari 12 Sumber : www.google.com Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
Perhatikan gambar di atas, pada gambar 1) para santri sedang mengangkut atau memindahkan air dalam ember dari sumber air ke asramanya, gambar 2) ada santri yang sedang bercermin merapikan jilbabnya, gambar 3) ada masyarakat yang menikmati permainan biang lala di pasar malam dan gambar 4) pada acara keputrian, narasumber menyampaikan materi menggunakan proyektor. Semua kegiatan di atas merupakan penerapan transformasi geometri dalam kehidupan sehari-hari. Transformasi dapat diartikan sebagai perpindahan atau perubahan. Dengan mengandaikan benda-benda tersebut sebagai bentuk geometri, maka perpindahan atau perubahan tersebut dapat disebut transformasi geometri. Pada gambar 1) kegiatannya kita kenal dengan translasi/pergeseran, gambar 2) dikenal sebagai refleksi/pencerminan, gambar 3) disebut sebagai rotasi/perputaran dan gambar 4) kita sebut dilatasi/perkalian. Tidak sebatas kegiatan pada gambar, namun banyak sekali kegiatan sehari-hari kita berkaitan dengan transformasi geometri karena sejatinya hidup kita penuh dengan perubahan dari waktu ke waktu. C. Integrasi Keislaman Manusia sebagai makhluk ciptaan Allah pasti selalu mengalami perubahan atau keinginan untuk berubah. Manusia akan mengalami perubahan baik karena kodratnya sebagai manusia ataupun karena lingkungan yang akan mengubahnya. Perubahan disini tentu diharapkan kearah yang lebih baik karena kita ingin menjadi kaum yang beruntung, bukan kaum yang merugi karena tidak ada perubahan dari kemarin apalagi kaum celaka yang lebih buruk dari kemarin. Translasi/pergeseran dapat kita maknai salah satunya dengan pergeseran mental menuju kedewasaan. Diharapkan dengan bergesernya usia juga dapat mengubah mental kita menjadi dewasa. Demikian juga dalam mencari ilmu, kita harus terus belajar, yang akan mengantarkan kita pada sifat rendah hati. Karena, jika seseorang memasuki tahap pertama, dia akan sombong, jika dia memasuki tahapan kedua maka dia akan rendah hati, jika dia memasuki tahapan ketiga maka dia akan merasa bahwa dirinya tidak ada apa-apanya (Umar Bin Khatab). 13 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
Refleksi/pencerminan kita maknai sebagai usaha terus memperbaiki diri dengan bercermin terhadap kegagalan yang telah kita alami sebelumnya. Tidak ada orang sukses yang tidak gagal. Maka kita jadikan refleksi untuk mengindentifikasi penyebab kegagalan, mengoreksi diri kita dan merencanakan cara jitu agar kegagalan itu tidak terjadi lagi. Rotasi/perputaran mengajarkan kita untuk tidak sombong karena posisi kita bisa saja berubah. Jangan sombong ketika kita di atas dan jangan berputus asa ketika kita sedang di bawah karena sejatinya roda akan terus berputar. Sesuai dengan firman Allah pada surah Al-Isra : 37. َو ََل تَ ۡم ِش ِفي ٱ ۡۡلَ ۡر ِض َم َر ًح ۖا ِإنَّ َك َلن تَ ۡخ ِر َق ٱ ۡۡلَ ۡر َض َو َلن تَ ۡب ُل َغ ٱۡل ِج َبا َل ُطو اَل Artinya: “Dan janganlah kamu berjalan di muka bumi ini dengan sombong, karena sesungguhnya kamu sekali-kali tidak dapat menembus bumi dan sekali-kali kamu tidak akan sampai setinggi gunung.” [Q.S.Al-Isra:37] Dilatasi/perkalian memberikan semangat untuk kita terus berbuat kebaikan karena Allah menjanjikan balasan kebaikan yang berlipat ganda untuk kita. Yakinlah bahwa sekecil apapun kebaikan yang kita lakukan akan kembali ke kita bahkan dengan kebaikan yang lebih besar. Sesuai dengan firman Allah pada surah Al-An’am : 160. َمن َجآ َء ِبٱۡل َح َس َن ِة َف َلهُۥ َع ۡش ُر أَ ۡمثَا ِل َه ۖا َو َمن َجآ َء بِٱل َّسيِئَ ِة فَََل يُ ۡج َز ٓى ِإ ََّل ِم ۡث َل َها َو ُه ۡم ََل يُ ۡظ َل ُمو َن Artinya: “Barangsiapa membawa amal yang baik, maka baginya (pahala) sepuluh kali lipat amalnya; dan barangsiapa yang membawa perbuatan jahat maka dia tidak diberi pembalasan melainkan seimbang dengan kejahatannya, sedang mereka sedikitpun tidak dianiaya (dirugikan).” [Q.S. Al-An’am:160] Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 14
D. Bahan Bacaan 1. Bahan Bacaan 1: Komposisi Transformasi (Translasi dan Refleksi) Berurutan a. Komposisi Translasi Bentuk komposisi translasi dapat diamati pada gambar : ������ ������′′ ������′′ ������2 ������2 ������′ ������2 ������′ ������1 ������ ������1 ������ ������1 ������ ������ ������ ������′ ������′′ Gambar 5 Komposisi Translasi Titik ������ ditranslasikan oleh ������1 = (������������11) menghasilkan titik ������′, lalu titik ������′ ditranslasikan oleh ������2 = (������������22) menghasilkan titik ������′′. Proses yang demikian disebut komposisi translasi. Komposisi translasi titik ������ dapat ditulis dengan : ������(������, ������) →������1=(������������11) ������′(������′, ������′) →������2=(������������22) ������′′(������′′, ������′′) Titik (������, ������) ditranslasi oleh ������1 dilanjutkan dengan ������2 menghasilkan (������′′, ������′′) dengan rumus : (������������′′) = ������ + (������������11) + (������������22) (������) b. Komposisi Refleksi 1) Komposisi Refleksi Berurutan terhadap Dua Garis Sejajar Refleksi berurutan terhadap dua garis sejajar dapat dilihat pada gambar : 15 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
������ = ������ ������ = ������ . .������′ . ������ ������′′ Gambar 6 Komposisi Refleksi Berurutan terhadap Dua Garis Sejajar Refleksi terhadap dua garis sejajar akan sama dengan translasi sebesar dua kali jarak kedua garis tersebut dengan arah tegak lurus kedua garis tersebut menurut arah refleksinya. i) Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis Sejajar Sumbu ������ Bayangan titik ������(������, ������) oleh refleksi terhadap garis ������ = ������ dilanjutkan dengan refleksi terdahap garis ������ = ������ adalah ������′′(������′′, ������′′) dengan : (������������′′′′) = (������ + 2(������ − ������)) ������ ii) Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis Sejajar Sumbu ������ Bayangan titik ������(������, ������) oleh refleksi terhadap garis ������ = ������ dilanjutkan dengan refleksi terdahap garis ������ = ������ adalah ������′′(������′′, ������′′) dengan : (������������′′′′) = (������ + ������ − ������)) 2(������ Untuk memahami lebih lanjut tentang materi komposisi refleksi berurutan terhadap garis sejajar Anda dapat mengunjungi link geogebra : https://www.geogebra.org/m/B2KUzeMN 2) Komposisi Refleksi Berurutan terhadap Dua Garis yang Saling Tegak Lurus Refleksi berurutan terhadap dua garis yang saling tegak lurus dapat dilihat pada gambar : Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 16
������ = ������ ������ = ������ .������′′ ���.��� .������′ Gambar 7 Komposisi Refleksi Berurutan terhadap Dua Garis yang Saling Tegak Lurus Bayangan titik ������(������, ������) oleh refleksi terhadap garis ������ = ������ dilanjutkan dengan refleksi terdahap garis ������ = ������ adalah ������′′(������′′, ������′′) dengan : (������������′′′′) = (−01 −01) ������ + (22������������) (������) 3) Komposisi Refleksi Berurutan terhadap Dua Garis Saling Berpotongan Refleksi berurutan terhadap dua garis saling berpotongan dapat dilihat pada gambar : ������′′ ℎ ������������ ������ ������′ ������ ������ ������ ������ ������ Gambar 8 Komposisi Refleksi Berurutan terhadap Dua Garis Saling Berpotongan Titik ������′ merupakan bayangan titik ������ oleh ������1, dan ������′′ merupakan bayangan titik ������′ oleh ������2. ∠������������������′ = 2������, ∠������′������������′′ = 2������, maka ∠������������������′′ = 2(������ + ������), sementara (������ + ������) = ������ merupakan besar sudut antara garis ������ dan garis ℎ. 17 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
Bayangan titik ������(������, ������) oleh refleksi terhadap garis ������ dilanjutkan dengan refleksi terdahap garis ℎ adalah ������′′(������′′, ������′′) dengan : (������������•′′′′) = (−������������������������������������������������ ������������������������������������������������) (������������) dimana ������ adalah besar sudut antara garis ������ dan garis ℎ. Untuk memahami lebih lanjut tentang materi komposisi refleksi berurutan terhadap dua garis saling berpotongan Anda dapat mengunjungi link geogebra : https://www.geogebra.org/m/CDYKmK3w 2. Bahan Bacaan 2 : Komposisi Transformasi (Rotasi dan Dilatasi) Berurutan dan Komposisi Transformasi Menggunakan Matriks a. Komposisi Rotasi 1) Komposisi Rotasi terhadap Titik Pusat ������(0,0) Komposisi rotasi terhadap titik pusat ������(0,0) dapat diamati pada gambar : ������ ������′′ ������′ ������ ������ ������ ������ ������ Gambar 9 Komposisi Rotasi terhadap Titik Pusat O(0,0) Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 18
Komposisi rotasi titik ������ dituliskan dengan ������(������, ������) ������[������,������] ������′(������′, ������′) ������[������,������] ������′′(������′′, ������′′). Titik ������(������, ������) dirotasikan sebesar → → ������ dilanjutkan rotasi sebesar ������ terhadap titik pusat ������(0,0) menghasilkan ������′′(������′′, ������′′) dengan aturan : (������������′′) = (������������������������������������((������������ + ������) −���������������������������������(���(������������++���������)���)) ������ + ������) (������) 2) Komposisi Rotasi terhadap Titik ������(������, ������) Komposisi rotasi terhadap titik ������(������, ������) dapat diamati pada gambar : ������′ ������′ ������′′ ������′′ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������′ ������ ������′′ ������ Gambar 10 Komposisi Rotasi terhadap Titik P(m,n) Komposisi rotasi titik ������ dituliskan dengan ������(������, ������) ������[������,������] ������′(������′, ������′) ������[������,������] ������′′(������′′, ������′′). Titik ������(������, ������) dirotasikan sebesar → → ������ dilanjutkan rotasi sebesar ������ terhadap titik pusat ������(������, ������) menghasilkan ������′′(������′′, ������′′) dengan aturan : (������������′′) = (������������������������������������((������������ + ������) −���������������������������������(���(������������++������������))) (������������−−������������ ) + (������������ ) + ������) b. Komposisi Dilatasi 1) Komposisi Dilatasi terhadap Titik Pusat ������(0,0) Komposisi dilatasi terhadap titik pusat ������(0,0) dapat diamati pada gambar : 19 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
������′′ ������′′ ������′ ������′ ������ ������ ������ ������′ ������′′ ������ Gambar 11 Komposisi Dilatasi terhadap Titik Pusat O(0,0) Komposisi dilatasi titik ������ dituliskan dengan ������(������, ������) didilatasikan ������(������, ������) ���→���[������,������1] ������′(������′, ������′) ���→���[������,������2] ������′′(������′′, ������′′). Titik dengan faktor skala ������1 dilanjutkan dilatasi dengan faktor skala ������2 terhadap titik pusat ������(0,0) menghasilkan ������′′(������′′, ������′′) dengan aturan : (������������′′) = (������10������2 ������10������2) ������ (������) 2) Komposisi Dilatasi terhadap Titik ������(������, ������) Komposisi dilatasi terhadap titik pusat ������(������, ������) dapat diamati pada gambar : ������′′ ������′′ ������′ ������′ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������′ ������′′ Gambar 12 Komposisi Dilatasi terhadap Titik P(m,n) Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 20
Komposisi dilatasi titik ������ dituliskan dengan ������(������, ������) ���→���[������,������1] ������′(������′, ������′) →������[������,������2] ������′′(������′′, ������′′). Titik ������(������, ������) didilatasikan dengan faktor skala ������1 dilanjutkan dilatasi dengan faktor skala ������2 terhadap titik pusat ������(������, ������) menghasilkan ������′′(������′′, ������′′) dengan aturan : (������������′′) = (������10������2 ������10������2) ������ − ������ + (������������ ) ( ������ − ������ ) c. Komposisi Transformasi Menggunakan Matriks Komposisi transformasi merupakan gabungan dua atau lebih transformasi yang dilakukan pada suatu titik atau kurva. Diketahui ������1 dan ������2 merupakan jenis-jenis transformasi yang bersesuaian dengan matriks-matriks. ������1 = (������������ ������������) dan ������2 = (������������ ���ℎ���) 1) Komposisi transformasi (������2 ∘ ������1) artinya transformasi terhadap matriks ������1 dilanjutkan transformasi terhadap ������2. Bentuk (������2 ∘ ������1) bersesuaian dengan perkalian matriks : (������2 ∘ ������1) = (������������ ���ℎ���) (������������ ������������) 2) Komposisi transformasi (������1 ∘ ������2) artinya transformasi terhadap matriks ������2 dilanjutkan transformasi terhadap ������1. Bentuk (������1 ∘ ������2) bersesuaian dengan perkalian matriks : (������1 ∘ ������2) = (������������ ������������) (������������ ℎ������) 21 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
04 KEGIATAN PEMBELAJARAN A. Organisasi Pembelajaran Guna memudahkan guru dalam mempelajari modul ini, kita akan membaginya menjadi dua topik bahasan dengan alokasi waktu sebagai berikut: Tabel 5 Organisasi Pembelajaran Topik Materi Jumlah JP In - 1 On In - 2 1 Komposisi Transformasi (Translasi dan 2 Refleksi) Berurutan Komposisi Transformasi (Rotasi dan Dilatasi) 6 4 2 Berurutan dan Transformasi Menggunakan 2 Matriks Total Jam Pembelajaran PKB 644 14 B. Perangkat dan Media Pembelajaran Sebelum mempelajari atau mempraktikkan materi dalam Unit Pembelajaran ini, ada beberapa perangkat pembelajaran, alat dan bahan yang harus disiapkan oleh guru dan peserta didik agar proses pembelajaran berjalan dengan baik. 1. Perangkat Pembelajaran, Alat dan Bahan yang harus disiapkan oleh guru a. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) b. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) c. Bahan Ajar d. Media Pembelajaran e. Instrumen Penilaian 2. Alat dan Bahan yang harus disiapkan oleh peserta didik a. Buku paket/Buku referensi b. Kertas petak c. Alat tulis lengkap Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 22
C. Aktivitas Pembelajaran 1. Kegiatan In Learning Service-1 ( 6 JP) Aktivitas ini dilakukan secara tatap muka bersama dengan teman sejawat yang dipandu fasilitator (pengajar diklat) untuk mengkaji materi dan melakukan kegiatan yang telah dirancang dalam unit pembelajaran. Aktivitas 1 : Diberikan permasalahan : Garis ������: 4������ + 3������ + 12 = 0 ditranslasikan oleh ������ (−12) dan dilanjutkan oleh ������ (−43). Tentukan persamaan hasil translasi garis ������! a. Apa makna dari ������ (−12) dan ������ (−43), rumuskan penjelasan komposisi translasi yang gampang diterima peserta didik! b. Selesaikan permasalahan di atas dengan mengambil dua titik yang terdapat pada garis ������, kemudian ditranslasikan titik tersebut. Setelah diperoleh bayangan masing-masing titik, kemudian tentukan persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut! c. Selesaikan permasalahan di atas menggunakan persamaan : (������������′′) = ������ + (������������11) + (������������22) (������) d. Diskusikan dengan teman sejawat mana langkah yang lebih efektif untuk disampaikan ke peserta didik! Aktivitas 2 : Rumuskan dengan teman sejawat, contoh permasalahan kontekstual terkait dengan komposisi dua translasi berurutan beserta penyelesaiannya! Aktivitas 3 : Bayangan titik ������(������, ������) oleh refleksi terhadap garis ������ = ������ dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis ������ = ������ adalah ������′′(������′′, ������′′) dengan : (������������′′′′) = (������ + 2(������ − ������)) ������ 23 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
a. Diskusikan dengan teman sejawat munculnya rumus di atas! b. Apakah ������ dan ������ pada rumus boleh dibalik? c. Bertukar pengalaman tentang penyelesaian masalah terkait refleksi dua garis sejajar! Aktivitas 4 : Bayangan titik ������(������, ������) oleh refleksi terhadap garis ������ = ������ dilanjutkan dengan refleksi terdahap garis ������ = ������ adalah ������′′(������′′, ������′′) dengan : (������������′′′′) = (−01 10) (������������) + (22������������) a. Diskusikan dengan teman sejawat munculnya rumus di atas! b. Buat soal berkaitan dengan refleksi dua garis yang saling tegak lurus dan diskusikan penyelesaiannya! Aktivitas 5 : Refleksi berurutan terhadap dua garis saling berpotongan dapat dilihat pada gambar : ������′′ ℎ ������������ ������ ������′ ������ ������ ������ ������ ������ Gambar 13 Refleksi Berurutan terhadap Dua Garis Saling Berpotongan Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 24
Bayangan titik ������(������, ������) oleh refleksi terhadap garis ������ dilanjutkan dengan refleksi terdahap garis ℎ adalah ������′′(������′′, ������′′) dengan : (������������′′′′) = (−������������������������������������������������ ������������������������������������������������) (������������) dimana ������ adalah besar sudut antara garis ������ dan garis ℎ a. Diskusikan dengan teman sejawat munculnya rumus di atas! b. Rancang LKPD dengan penemuan terbimbing (Discovery) sehingga peserta didik dapat menemukan rumus di atas! Aktivitas 6 : Komposisi rotasi terhadap titik pusat ������(0,0) dapat diamati pada gambar : ������ ������′′ ������′ ������ ������ ������ ������ ������ Gambar 14 Komposisi rotasi terhadap titik pusat O(0,0) Komposisi rotasi titik ������ dituliskan dengan ������(������, ������) ������[������,������] ������′(������′, ������′) ������[������,������] ������′′(������ ′′, ������ ′′). Titik ������(������, ������) dirotasikan sebesar ������ → → dilanjutkan rotasi sebesar ������ terhadap titik pusat ������(0,0) menghasilkan ������′′(������′′, ������′′) dengan aturan : (������������′′) = (������������������������������������((������������ + ������) −���������������������������������(���(������������++������������))) (������������) + ������) a. Diskusikan dengan teman sejawat munculnya rumus di atas! b. Turunkan rumus untuk komposisi rotasi yang berpusat di ������(������, ������)! 25 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
c. Bagaimana jika pusat rotasi pertama tidak sama dengan pusat rotasi kedua? d. Buat contoh soal berkaitan dengan komposisi rotasi dengan pusat yang tidak sama dan penyelesaiannya! Aktivitas 7 : Komposisi dilatasi titik ������ dituliskan dengan ������(������, ������) ���→���[������,������1] ������′(������′, ������′) ���→���[������,������2] ������′′(������′′, ������′′). Titik ������(������, ������) didilatasikan dengan faktor skala ������1 dilanjutkan dilatasi dengan faktor skala ������2 terhadap titik pusat ������(0,0) menghasilkan ������′′(������′′, ������′′) dengan aturan : (������������′′) = (������10������2 ������10������2) (������������) a. Diskusikan dengan teman sejawat munculnya rumus di atas! b. Turunkan rumus untuk komposisi dilatasi yang berpusat di ������(������, ������)! c. Bagaimana jika pusat dilatasi pertama tidak sama dengan pusat dilatasi kedua? Aktivitas 8 : Telaah dan diskusikan dengan teman sejawat soal-soal Ujian Nasional dan SBMPTN terkait tentang transformasi geometri! 1) Contoh Soal Ujian Nasional 2016 Persamaan bayangan kurva ������ = 3������2 + 2������ − 1 oleh pencerminan terhadap sumbu ������ dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu ������ adalah … A. ������ = −3������2 − 2������ − 1 B. ������ = −3������2 + 2������ − 1 C. ������ = −3������2 + 2������ + 1 D. ������ = 3������2 + 2������ + 1 E. ������ = 3������2 − 2������ + 1 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 26
2) Contoh Soal Ujian Nasional 2017 Persamaan bayangan garis ������ = 3������ + 2 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks (10 21) dilanjutkan dengan rotasi pusat ������(0,0) sebesar 900 adalah … A. ������ = − 7 ������ − 2 33 B. ������ = − 7 ������ + 2 33 C. ������ = 7 ������ + 2 33 D. ������ = − 3 ������ + 2 73 E. ������ = 3 ������ + 2 73 3) Contoh Soal Ujian Nasional 2018 Segitiga ������������������ dengan koordinat ������(−1,2), ������(6, −2), dan ������(5,2). Segitiga tersebut dirotasi sejauh 1800 dengan pusat (2, −1). Koordinat bayangan segitiga ������������������ adalah … A. ������′(−4,5), ������′(−2,0), ������′(−1, −4) B. ������′(5, −4), ������′(2,0), ������′(−1, −4) C. ������′(5, −4), ������′(−2,0), ������′(−1, −4) D. ������′(5,4), ������′(0, −2), ������′(−4, −1) E. ������′(5,4), ������′(2,0), ������′(4, −1) 4) Contoh Soal Ujian Nasional 2019 Misalkan ������′(−2, −3) dan ������′(5,7)adalah hasil bayangan titik ������(0, −1) dan ������(1,2) oleh transformasi matriks ������ berordo 2 × 2. Jika ������′(−1, −2) adalah bayangan titik ������ oleh transformasi tersebut, maka titik ������ adalah … A. (1, −1) B. (−1,4) C. (−3, −8) D. (−5, −4) 27 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
E. (−5, −7) 5) Contoh Soal SBMPTN 2013 Transformasi ������ merupakan pencerminan terhadap garis ������ = ������ dilanjutkan 3 pencerminan terhadap garis ������ = −3������. Matriks penyajian ������ adalah … A. (−01 01) B. (−01 −01) C. (01 −01) D. (−01 01) E. (−01 −01) 6) Contoh Soal SBMPTN 2016 Jika grafik fungsi ������ = ������2 − (9 + ������)������ + 9������ diperoleh dari grafik fungsi ������ = ������2 − 2������ − 3 melalui pencerminan terhadap garis ������ = 4, maka ������ = ⋯ A. 7 B. 5 C. 3 D. -5 E. -7 Aktivitas 9 : Perhatikan permasalahan di bawah ini : 3) Titik ������(−2,1) ditranslasikan oleh ������ (−21) dilanjutkan reflekasi terhadap garis ������ = ������. Hasil transformasi titik ������ adalah … 4) Titik ������(−2,1) dirotasikan sebesar 1800 terhadap titik pusat ������(0,0). Kemudian direfleksikan terhadap garis ������ = −������. Hasil transformasi titik ������ adalah … Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 28
5) Titik ������(−2,1) dirotasikan sebesar 900 terhadap titik pusat ������(0,0). Kemudian direfleksikan terhadap garis ������ = 2. Hasil transformasi titik ������ adalah … 6) Titik ������(−2,1) didilatasikan pada titik ������(5,0) dengan faktor skala 2. Kemudian direfleksikan terhadap sumbu ������. Hasil transformasi titik ������ adalah … 7) Titik ������(−2,1) dirotasikan sebesar 900 terhadap titik pusat ������(2,0). Kemudian didilatasi pada titik ������(2,0) dengan faktor skala 2. Hasil transformasi titik ������ adalah … a. Telaah dan diskusikan dengan teman sejawat, permasalahan mana yang bisa dikerjakan dengan komposisi matriks dan mana yang tidak! b. Sebutkan ciri permasalahan yang bisa diselesaikan dengan komposisi matriks! Aktivitas 10 : Rancanglah kegiatan pembelajaran untuk digunakan dalam kegiatan On The Job Learning (OJL) di madrasah Anda. Upayakan kegiatan pembelajaran mengakomodir kecakapan abad-21 yaitu critical thingking, creativity, colaboration, communication (4C). Pilihlah materi yang sesuai dengan kalender pendidikan di madrasah Anda! Kegiatan Kegiatan Pembelajaran Waktu Pendahuluan Kegiatan Inti Penutup 2. Kegiatan On Job Learning (6 JP) Pada kegiatan ini, setiap guru mempraktikkan pembelajaran terhadap peserta didik di madrasah masing-masing sesuai dengan perangkat pembelajaran yang telah dibuat atau disempurnakan pada saat kegiatan In-1. 29 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
Agar pelaksanaan pembelajaran terekam dengan baik, lakukan pencatatan pelaksanaan pembelajaran dalam kolom seperti berikut ini: No. Kegiatan Kegiatan Peserta Fakta yang Refleksi dan Guru Didik (Yang Terjadi Tindak Diharapkan) Lanjut 1. 2. 3. dst. 3. Kegiatan In Learning Service-2 (2 JP) Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk melaporkan, mendiskusikan, dan merefleksi hasil kegiatan On the Job Learning. Diskusikan hambatan pelaksanaan pembelajaran Anda dan lakukan pembahasan tindak lanjut bersama teman sejawat untuk mendapatkan pemecahan masalah guna perbaikan pembelajaran yang akan datang. Anda dapat menggunakan format berikut. No. Refleksi Aktivitas Pembahasan Peserta Didik Refleksi Aktivitas Guru Tindak Lanjut 1. 2. 3. dst D. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) Bagian ini menampilkan contoh LKPD yang dapat digunakan untuk memandu peserta didik dalam mencapai tujuan pembelajaran. Anda dapat mengembangkan LKPD yang lain sesuai dengan rancangan pembelajaran yang akan Anda lakukan, atau Anda dapat menyempurnakan LKPD dalam Unit Pembelajaran ini sehingga sesuai dengan rancangan pembelajaran Anda. Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 30
1. Contoh LKPD 1 : 1.................................................. Nama Peserta didik 2.................................................. 3.................................................. Kelas 4.................................................. Hari/tanggal : ...................................................... : ...................................................... Tujuan Pembelajaran: Melalui diskusi kelompok, peserta didik dapat: 1. Menentukan bayangan hasil dua translasi berurutan 2. Menentukan bayangan hasil refleksi terhadap dua garis sejajar 3. Menentukan bayangan hasil refleksi terhadap dua garis tegak lurus 4. Menentukan bayangan hasil refleksi terhadap dua garis yang berpotongan Petunjuk Penggunaan LKPD: 1. Cermati setiap langkah yang terdapat dalam LKPD berikut dengan seksama. 2. Lakukan kegiatan sesuai dengan langkah yang ada dan isilah jawabanmu pada kolom (tempat) yang telah disediakan. 3. Diskusikan dengan teman sekelompokmu. Jika belum mengerti, bertanyalah kepada guru. 4. Waktu pengerjaan LKPD adalah 40 menit. Ayo Mengamati Gambar 15 Penerapan Komposisi Translasi dan Refleksi dalam Kehidupan Sehari- hari Sumber : www.google.com 31 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
Pada gambar 1 di atas terlihat masyarakat saling bergotong royong memindahkan batu dari jurang ke puncak. Hal ini merupakan contoh penerapan komposisi translasi dalam kehidupan sehari-hari dimana orang pertama memindahkan batu kepada orang kedua, orang kedua memindahkannya kepada orang ketiga, demikian seterusnya. Begitu juga dengan gambar 2, cermin pada lift yang terpasang lebih di satu dinding, menghasilkan bayangan yang unik karena bayangan oleh cermin pertama akan dicerminkan/direfleksikan lagi oleh cermin lainnya. Nah, untuk memahami materi tentang komposisi dilatasi dan refleksi ayo ikuti kegiatan di bawah ini! Kegiatan 1 (Komposisi Translasi) Perhatikan gambar di bawah ini! ������ ������′′ ������′′ ������2 ������2 ������′ ������2 ������′ ������1 ������ ������ ������1 ������1 ������ ������ ������ ������′ ������′′ Titik ������ ditranslasikan oleh ������1 = (������������11) menghasilkan titik ������′, lalu titik ������′ ditranslasikan oleh ������2 = (������������22) menghasilkan titik ������′′. Proses yang demikian disebut komposisi translasi. Komposisi translasi titik ������ dapat ditulis dengan : ������(������, ������) ���→���1=(������������11) ������′(������′, ������′) ���→���2=(������������22) ������′′(������′′, ������′′) Maka, Titik (������, ������) ditranslasi oleh ������1 dilanjutkan dengan ������2 menghasilkan (������′′, ������′′) dengan rumus : (������������′′) = (������������) + … + … (…) (…) Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 32
Kegiatan 2 (Komposisi Refleksi) a. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis Sejajar Perhatikan gambar di bawah ini! ������ = ������ ������ = ������ . .������′ . ������ ������′′ Refleksi terhadap dua garis sejajar akan sama dengan translasi sebesar dua kali jarak kedua garis tersebut dengan arah tegak lurus kedua garis tersebut menurut arah refleksinya. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis Sejajar Sumbu ������ Jarak garis ������ = ������ ke garis ������ = ������ adalah ………………………… Bayangan titik ������(������, ������) oleh refleksi terhad…ap garis ������ = ������ dilanjutkan dengan refleksi terdahap garis ������ = ������ adalah ������′′(������′′, ������′′) dengan : (������������′′′′) = ( … ) … Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis Sejajar Sumbu ������ Dengan melihat analogi refleksi terhadap dua garis sejajar sumbu Y, maka diperoleh : ………………………… Jarak garis ������ = ������ ke garis ������ = ������ adalah … Bayangan titik ������(������, ������) oleh refleksi terhadap garis ������ = ������ dilanjutkan dengan refleksi terdahap garis ������ = ������ adalah ������′′(������′′, ������′′) dengan : (������������′′′′) = ( … ) … 33 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
b. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis yang Saling Tegak Lurus Perhatikan gambar di bawah ini! ������ = ������ .������′′ ������ = ������ ���.��� .������′ Bayangan titik ������(������, ������) oleh refleksi terhadap garis ������ = ������ menghasilkan : (ingat materi refleksi terhadap garis ������ = ������) (������������′′) = (…0 …0) (������������) + ( … ) … (pers 1) 0 Bayangan refleksi pertama akan dicerminkan lagi terhadap garis ������ = ������, diperoleh : (������������′′′′) = (…0 …0 ) (������������′′) + ( 0 ) … (pers 2) … Substitusikan persamaan 1 ke dalam persamaan 2, diperoleh : (������������′′′′) = (…0 …0) [(…0 …0) (������������) + ( … )] + ( 0 ) 0 … (������������′′′′) = (…0 …0) (…0 …0) (������������) + (…0 …0) ( … )+( 0 ) 0 … (������������′′′′) = (…0 …0 ) (������������) + ( … )+( 0 ) 0 … (������������′′′′) = (…0 …0 ) ������ + ( … ) (������) … Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 34
c. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis Saling Berpotongan Perhatikan gambar di bawah ini! ������′′ ℎ ������������ ������ ������′ ������ ������ ������ ������ ������ Titik ������′ merupakan bayangan titik ������ oleh ������1, dan ������′′ merupakan bayangan titik ������′ oleh ������2. ∠������������������′ = …………. . ∠������′������������′′ = …………. . maka ∠������������������′′ = …………. sementara (������ + ������.) = ������ merupakan besar sudut antara garis ������ dan garis ℎ. Bayangan titik ������(������, ������) oleh refleksi terhadap garis ������ dilanjutkan dengan refleksi terdahap garis ℎ adalah ������′′(������′′, ������′′) dengan : (������������′′′′) = … … ������ … (ingat matriks refleksi) ( ) (������) … … dimana ������ adalah besar sudut antara garis ������ dan garis ℎ. Kegiatan 3 Ayo Berlatih 1. Garis ������: 3������ − 2������ + 6 = 0 ditranslasikan oleh ������1 = (−43) dilanjutkan ������2 = (−11). Tentukan persamaan hasil komposisi translasi garis ������! 35 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
2. Hasil refleksi titik ������(3, −4) terhadap garis ������ = −������ dilanjutkan refleksi terhadap sumbu ������ adalah … 3. Titik ������(−2, −4) direfleksikan terhadap garis ������ = ������, lalu direfleksikan lagi terhadap garis ������ = ������ menghasilkan titik ������′′(6, −2). Tentukan nilai ������ ������������������ ������! 2. Contoh LKPD 2 : 1.................................................. Nama Peserta didik 2.................................................. 3.................................................. Kelas 4.................................................. Hari/tanggal : ...................................................... : ...................................................... Tujuan Pembelajaran: Melalui diskusi kelompok, peserta didik dapat: 1. Menentukan bayangan hasil dua rotasi berurutan 2. Menentukan bayangan hasil dua dilatasi berurutan 3. Menentukan bayangan hasil komposisi transformasi menggunakan matriks Petunjuk Penggunaan LKPD: 1. Cermati setiap langkah yang terdapat dalam LKPD berikut dengan seksama. 2. Lakukan kegiatan sesuai dengan langkah yang ada dan isilah jawabanmu pada kolom (tempat) yang telah disediakan. 3. Diskusikan dengan teman sekelompokmu. Jika belum mengerti, bertanyalah kepada guru. 4. Waktu pengerjaan LKPD adalah 40 menit. Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 36
Ayo Mengamati Gambar 16 Penerapan Komposisi Rotasi dan Dilatasi dalam Kehidupan Sehari-hari Sumber : www.google.com Pada gambar 1 terlihat permainan biang lala pada pasar malam. Pada prinsipnya permainan biang lala menerapkan konsep komposisi rotasi karena seseorang akan berpindah dari sebuah titik ke titik lainnya melalui perputaran biang lala. Gambar 2 memperlihatkan penggunaan proyektor dalam presentasi, hal ini merupakan penerapan dari komposisi dilatasi dimana objek asli akan diperbesar berkali-kali sehingga dapat terlihat jelas oleh pembaca. Nah, untuk memahami materi tentang komposisi rotasi dan dilatasi ayo ikuti kegiatan di bawah ini! Kegiatan 1 (Komposisi Dua Rotasi Berurutan) Komposisi Dua Rotasi Berurutan terhadap Titik Pusat ������(0,0) Jika titik ������(������, ������) dirotasikan terhadap titik pusat ������(0,0) sebesar ������ dan menghasilkan bayangan ������′(������′, ������′) Atau dapat ditulis ������(������, ������) ������[������,������] ������′(������′, ������′) → Masih ingatkah Kamu matriks rotasi terhadap Titik Pusat ������(0,0)? Coba tuliskan jawabanmu pada kolom di bawah ini! (������������′′) = … … ������ ( ) (������) … … Nah, sekarang kita akan mencoba menemukan matriks untuk komposisi rotasi berurutan terhadap Titik Pusat ������(0,0). 37 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
Kita misalkan ������(������, ������) ������[������,������] ������′(������′ , ������′) ������[������,������] ������′′(������ ′′, ������ ′′). Titik ������(������, ������) → → dirotasikan sebesar ������ dilanjutkan rotasi sebesar ������ terhadap titik pusat ������(0,0) menghasilkan ������′′(������′′, ������′′) (������������′′) = … … ������ (persamaan 1) ( ) (������) … … (������������′′) = ( … ) (kalikan matriks pada persamaan 1) … (persamaan 2) Sehingga didapat hubungan : (persamaan 3) ������′ = ⋯ ������′ = ⋯ Bayangan yang telah di hasilkan pada rotasi 1 akan dirotasikan kembali sebesar ������ terhadap titik pusat ������(0,0) menghasilkan ������′′(������′′, ������′′) (������������′′′′) = … …) (������������′′) (persamaan 4) ( … … Substitusikan persamaan 2 dan 3 ke dalam persamaan 4, sehingga : (������������′′′′) = … … ………………… ) (persamaan 5) ( )( ………………… … … Kalikan kedua matriks, maka di peroleh : (������������′′′′) = ( ………………………………… ) (persamaan 6) ………………………………… Kelompokkan masing-masing variabel ������ dan ������ sehingga : (������������′′′′) = ������(… … … … … … … … … … … ) − ������(… … … … … … … … … … … … ) () ������(… … … … … … … … … … … ) + ������(… … … … … … … … … … … … ) (persamaan 7) Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 38
Ingat rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua buah sudut : ������������������(������ + ������) = ������������������������������������������������ − ������������������������������������������������ ������������������(������ + ������) = ������������������������������������������������ − ������������������������������������������������ Persamaan 7 dapat disederhanakan menjadi : (������������′′′′) = ( ������(… … … … ) − ������(… … … … ) ) (Persamaan 8) ������(… … … … ) + ������(… … … … ) Ubah persamaan 8 menjadi perkalian matriks, sehingga diperoleh : (������������′′′′) = … … ������ ( ) (������) … … Komposisi Dua Rotasi Berurutan terhadap Titik P(������, ������) Coba Kamu diskusikan bentuk persamaan matriks untuk Komposisi Dua Rotasi Berurutan terhadap Titik P(m, n) (������������′′′′ − ⋯⋯) = … … ������ − ⋯ − ( ) (������ − ⋯) … … Kegiatan 2 (Komposisi Dua Dilatasi Berurutan) Komposisi Dua Dilatasi Berurutan terhadap Titik Pusat ������(0,0) Jika titik ������(������, ������) didilatasikan terhadap titik pusat ������(0,0) dengan faktor skala ������1 dan menghasilkan bayangan ������′(������′, ������′) Atau dapat ditulis ������(������, ������) →������[������,������1] ������′(������′, ������′) Masih ingatkah Kamu matriks dilatasi terhadap Titik Pusat ������(0,0)? Coba tuliskan jawabanmu pada kolom di bawah ini! (������������′′) = … …) (������������) ( … … Nah, sekarang kita akan mencoba menemukan matriks untuk komposisi dilatasi berurutan terhadap Titik Pusat ������(0,0). 39 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
Kita misalkan ������(������, ������) →������[������,������1] ������′(������′, ������′) →������[������,������2] ������′′(������′′, ������′′). Titik ������(������, ������) didilatasikan dengan faktor skala ������1 dilanjutkan rotasi dengan faktor skala ������2 terhadap titik pusat ������(0,0) menghasilkan ������′′(������′′, ������′′) (������������′′) = … … ������ (persamaan 1) ( ) (������) … … (������������′′) = ( … ) (kalikan matriks pada persamaan 1) … (persamaan 2) Sehingga didapat hubungan : (persamaan 3) ������′ = ⋯ ������′ = ⋯ Bayangan yang telah di hasilkan pada dilatasi 1 akan didilatasikan kembali dengan factor skala ������2 terhadap titik pusat ������(0,0) menghasilkan ������′′(������′′, ������′′) (������������′′′′) = … … ) (������������′′) (persamaan 4) ( … … Substitusikan persamaan 2 dan 3 ke dalam persamaan 4, sehingga : (������������′′′′) = … … …… ( ) ( ) (persamaan 5) … … …… Kalikan kedua matriks, maka di peroleh : (������������′′′′) = ( ……… ) (persamaan 6) ……… Ubah persamaan 6 menjadi perkalian matriks, sehingga diperoleh : (������������′′′′) = … … ������ ( ) (������) … … Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 40
Komposisi Dua Dilatasi Berurutan terhadap Titik P(������, ������) Coba Kamu diskusikan bentuk persamaan matriks untuk Komposisi Dua Dilatasi Berurutan terhadap Titik P(m, n) (������������′′′′ − ⋯⋯) … … (������������ − ⋯⋯) − ( − = ) … … Kegiatan 3 (Komposisi Transformasi Menggunakan Matriks) Komposisi transformasi merupakan gabungan dua atau lebih transformasi yang dilakukan pada suatu titik atau kurva. Diketahui ������1 dan ������2 merupakan jenis-jenis transformasi yang bersesuaian dengan matriks-matriks. ������1 = (������������ ������������) dan ������2 = (������������ ℎ������) 8) Komposisi transformasi (������2 ∘ ������1) artinya transformasi terhadap matriks ������1 dilanjutkan transformasi terhadap ������2. Bentuk (������2 ∘ ������1) bersesuaian dengan perkalian matriks : (������2 ∘ ������1) = (������������ ℎ������) (������������ ������������) 9) Komposisi transformasi (������1 ∘ ������2) artinya transformasi terhadap matriks ������2 dilanjutkan transformasi terhadap ������1. Bentuk (������1 ∘ ������2) bersesuaian dengan perkalian matriks : (������1 ∘ ������2) = (������������ ������������) (������������ ���ℎ���) Sekarang coba Kamu selesaikan permasalahan di bawah ini menggunakan dua cara : 1. Dengan langkah bertahap, menemukan terlebih dahulu bayangan pertama dilanjutkan mencari bayangan kedua 2. Dengan matriks komposisi transformasi Mana langkah yang lebih Kamu sukai? Permasalahan : 41 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi
Tentukan bayangan garis 3������ + 4������ = 12 akibat dicerminkan terhadap garis ������ = ������ dilanjutkan rotasi terhadap pusat ������(0,0) sebesar 900! Penyelesaian : Ayo Berlatih 1. Persamaan bayangan garis 5������ − 6������ + 15 = 0 oleh rotasi pada pusat (1, −4) dengan sudut rotasi 1050 dilanjutkan rotasi pada pusat (1, −4) dengan sudut rotasi 1650 adalah …. A. 6������ + 5������ − 30 = 0 B. 6������ − 5������ − 30 = 0 C. 6������ − 5������ + 30 = 0 D. 5������ + 6������ − 30 = 0 E. 5������ + 6������ + 30 = 0 2. Titik ������(−4, −2) didilatasikan dengan faktor skala 1 dilanjutkan dilatasi 3 dengan factor skala −2 terhadap titik pusat (−1,1). Hasil komposisi dilatasi titik ������ adalah … A. ������′′(3,1) B. ������′′(3, −1) C. ������′′(1, −3) D. ������′′(1,3) E. ������′′(−1,3) 3. Garis dengan persamaan y = 2x + 3 dicerminkan terhadap sumbu X kemudian diputar dengan R(O,90^0 ). Persamaan bayangannya adalah... A. ������ − 2������ − 3 = 0 Unit Pembelajaran 11 : Komposisi Transformasi 42
Search