Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore UP 8 MATEMATIKA (INTEGRAL)

UP 8 MATEMATIKA (INTEGRAL)

Published by Dina Widiastuti, 2021-06-19 23:36:49

Description: UP 8 MATEMATIKA (INTEGRAL)

Search

Read the Text Version

i Unit Pembelajaran 8 : Integral

Unit Pembelajaran 08 INTEGRAL MATA PELAJARAN MATEMATIKA MADRASAH ALIYAH Penanggung Jawab Direktorat GTK Madrasah Direktorat Pendidikan Islam Kementerian Agama Republik Indonesia Penyusun Sigit Tri Guntoro Untung Trisna Suwaji Juanda Kasim Darno Raharjo Wiwit Susanti Reviewer Abdur Rahman As’ari Copyright © 2020 Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah Hak CIpta Dilindungi Undang-undang Dilarang mengcopy sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Agama Republik Indonesia Unit Pembelajaran 8 : Integral ii

KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Undang – Undang Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen Pasal 1 ayat 1 menyatakan bahwa Guru adalah pendidik profesional dengan tugas utama mendidik, mengajar, membimbing, mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta didik pada Pendidikan Anak Usia Dini jalur Pendidikan Formal, Pendidikan Dasar, dan Pendidikan Menengah. Agar dapat melaksanakan tugas utamanya dengan baik, seorang guru perlu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya secara bertahap, berjenjang, dan berkelanjutan melalui Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) guru. Untuk itu saya menyambut baik terbitnya modul ini sebagai panduan semua pihak dalam melaksanakan program PKB. Peningkatan Kompetensi Pembelajaran merupakan salah satu fokus upaya Kementerian Agama, Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan (GTK) dalam meningkatkan kualitas madrasah melalui pembelajaran berorientasi keterampilan berpikir tingkat tinggi, kontekstual, dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Program PKB dilakukan mengingat luasnya wilayah Indonesia dan kualitas pendidikan yang belum merata, sehingga peningkatan pendidikan dapat berjalan secara masif, merata, dan tepat sasaran. Modul ini dikembangkan mengikuti arah kebijakan Kementerian Agama yang menekankan pada pembelajaran berorientasi pada keterampilan berpikir tingkat tinggi atau higher order thinking skills (HOTS) dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Keterampilan berpikir tingkat tinggi adalah proses berpikir kompleks dalam menguraikan materi, membuat kesimpulan, membangun representasi, menganalisis, dan membangun hubungan dengan melibatkan aktivitas mental yang paling dasar. Sementara, nilai-nilai keislaman diintegrasikan dalam pembelajaran sebagai hidden curriculum sehingga tercipta generasi unggul sekaligus beriman dan bertakwa serta berakhlak mulia. iii Unit Pembelajaran 8 : Integral

Sasaran Program PKB ini adalah seluruh guru di wilayah NKRI yang tergabung dalam komunitas guru sesuai bidang tugas yang diampu di wilayahnya masing-masing. Komunitas guru dimaksud meliputi kelompok kerja guru (KKG), Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP), dan Musyawarah Guru Bimbingan Konseling (MGBK). Model pembelajaran yang digunakan dalam modul ini adalah melalui moda Tatap Muka In-On-In sehingga guru tidak harus meninggalkan tugas utamanya di madrasah sebagai pendidik. Semoga modul ini dapat digunakan dengan baik sebagaimana mestinya sehingga dapat menginspirasi guru dalam materi dan melaksanakan proses pembelajaran. Kami ucapkan terima kasih atas kerja keras dan kerja cerdas para penulis dan semua pihak terkait yang dapat mewujudkan Modul ini. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai dan memudahkan upaya yang kita lakukan. Aamiin. Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Jakarta, Oktber 2020 An. Direktur Jenderal, Direktur Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah, Muhammad Zain Unit Pembelajaran 8 : Integral iv

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR................................................................................................................iii DAFTAR ISI .............................................................................................................................. v DAFTAR TABEL .....................................................................................................................vii DAFTAR GAMBAR................................................................................................................viii 01 PENDAHULUAN ................................................................................................................. 1 A. Latar Belakang ................................................................................................................ 1 B. Tujuan................................................................................................................................ 1 C. Manfaat ............................................................................................................................ 2 D. Sasaran ............................................................................................................................ 2 E. Petunjuk Penggunaan .................................................................................................. 2 02 TARGET KOMPETENSI ................................................................................................... 5 A. Target Kompetensi Guru ............................................................................................. 5 1. Target Kompetensi Guru........................................................................................... 5 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Guru .............................................................. 5 B. Target Kompetensi Peserta Didik.............................................................................. 7 1. Kompetensi Dasar ...................................................................................................... 7 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik............................................... 7 03 ATERI PEMBELAJARAN .......................................................................................... 10 A. Ruang Lingkup Materi ................................................................................................ 10 B. Aplikasi dalam Kehidupan ......................................................................................... 10 C. Integrasi Keislaman.......................................................................................................11 D. Bahan Bacaan ...............................................................................................................13 1. Integral Tak tentu (Indefinite Integral)...................................................................13 2. Strategi Menentukan Integral Tak Tentu ............................................................17 3. Fungsi rasional dengan pembilang dan penyebut suatu polinomial. ..........17 4. Fungsi lain selain polinomial dan rasional. .........................................................21 v Unit Pembelajaran 8 : Integral

5. Integral Tertentu (Definite Integral) .....................................................................24 6. Menentukan Luas Daerah......................................................................................27 04 KEGIATAN PEMBELAJARAN.......................................................................................32 A. Organisasi Pembelajaran...........................................................................................32 B. Perangkat dan Media Pembelajaran.......................................................................32 C. Aktivitas Pembelajaran...............................................................................................33 1. Kegiatan In Learning Service-1 ( 4 JP) ..................................................................33 2. Kegiatan On Job Learning (4 JP)..........................................................................39 3. Kegiatan In Learning Service-2 (4 JP) .................................................................39 D. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD).........................................................................40 E. Pengembangan Penilaian..........................................................................................42 1. KISI-KISI UJIAN SOAL HOTS..................................................................................42 2. SOAL...........................................................................................................................43 05 PENILAIAN .......................................................................................................................44 A. Tes Formatif ..................................................................................................................44 B. Penilaian ........................................................................................................................49 1. Penilaian untuk Guru................................................................................................49 2. Penilaian untuk Peserta Didik ................................................................................51 06 PENUTUP .........................................................................................................................53 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF...................................................................................54 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................. 55 Unit Pembelajaran 8 : Integral vi

DAFTAR TABEL Tabel 1 Target Kompetensi Guru ........................................................................................ 5 Tabel 2 Indikator Pencapaian Kompetensi Guru............................................................ 5 Tabel 3 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik ........................................................... 7 Tabel 4 Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik ............................................ 8 Tabel 5 Organisasi Pembelajaran ....................................................................................32 Tabel 6 Kisi-kisi soal HOTS................................................................................................42 Tabel 7 Instrumen Penilaian Diri Bagi Guru ...................................................................49 Tabel 8 Instrumen Penilaian Guru oleh Asesor/Fasilitator ........................................ 50 Tabel 9 Instrumen Penilaian Diri bagi Peserta Didik ....................................................51 Tabel 10 Instrumen Penilaian Peserta Didik oleh Guru...............................................52 vii Unit Pembelajaran 8 : Integral

DAFTAR GAMBAR Gambar 1 Alur Tatap Muka In-On-In................................................................................... 4 Unit Pembelajaran 8 : Integral viii

01 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pendidikan merupakan proses yang sangat strategis dalam mencerdaskan kehidupan bangsa sehingga harus dilakukan secara profesional. Undang-Undang Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen Pasal 10 ayat (1) mengamanatkan bahwa guru yang profesional harus memiliki kompetensi pedagogik, kompetensi kepribadian, kompetensi sosial, dan kompetensi profesional. Keempat kompetensi tersebut bersifat holistik dan merupakan suatu kesatuan yang menjadi ciri guru profesional. Agar dapat melaksanakan tugas profesinya dengan baik, seorang guru perlu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya secara bertahap, berjenjang, dan berkelanjutan melalui Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) guru. Strategi pelaksanaan PKB guru madrasah yang ditempuh oleh Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah adalah melalui KKG/MGMP/MGBK, Kantor Wilayah Kementerian Agama Provinsi, dan Kementerian Agama Pusat. Untuk mendukung program tersebut, diperlukan modul sebagai salah satu aternatif sumber bahan ajar bagi guru untuk mempelajari konten materi, merancang pembelajaran dan cara mengajarkannya, mengembangkan Lembar Kerja Peserta Didik, mengembangkan instrumen penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar B. Tujuan Tujuan modul ini adalah: 1. Meningkatkan kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional guru melalui kegiatan PKB 2. Meningkatkan hasil Asesmen Kompetensi Guru (AKG) 3. Menfasilitasi sumber belajar guru dan peserta didik dalam mengembangkan kurikulum, mempersiapkan dan melaksanaan pembelajaran yang mendidik 1 Unit Pembelajaran 8 : Integral

C. Manfaat Manfaat yang ingin dicapai: 1. Sebagai sumber belajar bagi guru dalam melaksanakan PKB untuk mencapai target kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional tertentu 2. Sebagai sumber bagi guru dalam mengembangkan kurikulum, persiapan dan pelaksanaan pembelajaran yang mendidik 3. Sebagai bahan malakukan asesmen mandiri guru dalam rangka peningkatan keprofesionalan 4. Sebagai sumber dalam merencanakan dan melaksanakan penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar peserta didik 5. Sebagai sumber belajar bagi peserta didik untuk mencapai target kompetensi dasar D. Sasaran Adapun sasaran modul ini adalah: 1. Fasilitator nasional, provinsi, dan kabupaten/kota 2. Pengawas Madrasah 3. Kepala Madrasah 4. Ketua KKG/MGMP/MGBK 5. Guru 6. Peserta didik. E. Petunjuk Penggunaan Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari dan mempraktikkan modul ini, ikutilah petunjuk belajar sebagai berikut: 1. Bacalah dengan cermat bagian pendahuluan sampai Anda memahami benar tujuan mempelajari Unit Pembelajaran ini. 2. Pelajarilah dengan seksama bagian target kompetensi sehingga Anda benar- benar memahami target kompetensi yang harus dicapai baik oleh diri Anda sendiri maupun oleh peserta didik. Unit Pembelajaran 8 : Integral 2

3. Kegiatan Pembelajaran untuk menyelesaikan setiap Unit Pembelajaran dilakukan melalui moda Tatap Muka In-On-In sebagai berikut: a. Kegiatan In Service Learning 1. Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka untuk mengkaji materi bersama fasilitator dan teman sejawat. Aktivitas yang dilakukan diantaranya: 1) Melakukan analisis kurikulum dan analisi hasil belajar peserta didik dari skor Ujian Nasional (UN) atau sumber lain untuk mengetahui kebutuhan kompetensi peserta didik. 2) Mempelajari konten materi ajar dan mendiskusikan materi ajar yang sulit atau berpeluang terjadi miskonsepsi. 3) Mempelajari dan mendesain pembelajaran yang sesuai dengan daya dukung madrasah dan karakteristik peserta didik. 4) Mempelajari dan membuat LKPD. 5) Mempersiapkan intrumen penilaian proses dan hasil belajar. 6) Dalam kegiatan ini, dapat juga dilakukan rencana pengambilan data untuk dikembangkan menjadi Penelitian Tindakan Kelas. b. Kegiatan On The Job Learning. Pada tahap ini, Anda dapat mengkaji kembali uraian materi secara mandiri dan melakukan aktivitas belajar di madrasah berdasarkan rancangan pembelajaran, LKPD, dan instrumen penilaian yang telah dipersiapkan pada kegiatan In Service Learning 1. Buatlah catatan-catatan selama pelaksanaan pembelajaran sebagai bahan refleksi pada kegiatan In Service Learning 2 atau sebagai data hasil PTK. Semua hasil kegiatan peserta didik dilampirkan sebagai bukti fisik bahwa Anda telah menyelesaikan seluruh tugas on yang ada pada Unit Pembelajaran. c. Kegiatan In Service Learning 2. Tahap ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk melaporkan dan mendiskusikan hasil kegiatan on. Arahkan diskusi pada refleksi untuk perbaikan dan pengembangan pembelajaran berikutnya. Jika memiliki 3 Unit Pembelajaran 8 : Integral

data-data hasil PTK dapat pula dijadikan sebagai bahan diskusi dalam kegiatan ini. 4. Ujilah capaian kompetensi Anda dengan mengerjakan soal tes formatif, kemudian cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang tersedia di bagian akhir Unit Pembelajaran. 5. Lakukan penilaian mandiri sebagai refleksi ketercapaian target kompetensi. Gambar 1 Alur Tatap Muka In-On-In Dalam melaksanakan setiap kegiatan pada modul ini, Anda harus mempertimbangkan prinsip kesetaraan dan inklusi sosial tanpa membedakan suku, ras, golongan, jenis kelamin, status sosial ekonomi, dan yang berkebutuhan khusus. Kesetaraan dan inklusi sosial ini juga diberlakukan bagi pendidik, tenaga kependidikan dan peserta didik. Dalam proses diskusi kelompok yang diikuti laki- laki dan perempuan, perlu mempertimbangkan kapan diskusi harus dilakukan secara terpisah baik laki-laki maupun perempuan dan kapan harus dilakukan bersama. Anda juga harus memperhatikan partisipasi setiap peserta didik dengan seksama, sehingga tidak mengukuhkan relasi yang tidak setara. Unit Pembelajaran 8 : Integral 4

02 TARGET KOMPETENSI A. Target Kompetensi Guru Target kompetensi guru didasarkan pada Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia Nomor 16 Tahun 2007 Tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru. Dalam Unit Pembelajaran ini, target kompetensi yang dituangkan hanya yang terkait kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional. 1. Target Kompetensi Guru Target kompetensi guru didasarkan pada Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia Nomor 16 Tahun 2007 Tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru. Dalam Unit Pembelajaran ini, target kompetensi yang dituangkan hanya yang terkait kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional Ranah Kompetensi Tabel 1 Target Kompetensi Guru Target Kompetensi Guru Kompetensi 1. Menyusun rancana pembelajaran yang lengkap. Pedagogis 2. Melaksanakan pembelajaran integral yang mengembangkan berpikir kritis dan kreatif 3. Mengevaluasi pelaksanaan pembelajaran dan hasil belajar peserta didik untuk berbagai tujuan Kompetensi 4. Menguasai materi, struktur, konsep, dan pola pikir Profesional keilmuan berkaitan integral 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Guru Tabel 2 Indikator Pencapaian Kompetensi Guru Target Kompetensi Indikator Pencapaian Kompetensi Guru 1. Menyusun 1. Menjelaskan tujuan pembelajaran integral rancana 5 Unit Pembelajaran 8 : Integral

pembelajaran 2. Merancang sintak pembelajaran untuk memberi yang lengkap pengalaman belajar yang sesuai untuk mencapai tujuan pembelajaran 3. Membuat indikator dan instrumen penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar peserta didik. 2. Melaksanakan 4. Melakukan pembelajaran integral dengan pembelajaran pengungkit kasus pengerjaan siswa/guru integral yang mengembangkan 5. Melakukan pembelajaran integral dengan berpikir kritis dan menyisipkan titik kritis yang sering terabaikan kreatif 6. Menggunakan media pembelajaran yang menuntut kekreatifan siswa/guru dalam penggunaan maupun pembuatannya 3. Mengevaluasi 7. Menganalisis hasil belajar peserta didik untuk pelaksanaan perbaikan pembelajaran dan/atau pengayaan pembelajaran dan penilaian hasil belajar peserta didik untuk berbagai tujuan 4. Menguasai 8. Menjelaskan pengertian integral materi, struktur, 9. Mengidentifikasi titk-titik kritis terkait penyelesaian konsep dan pola pikir keilmuan masalah integral tentang integral 10. Memanfaatkan strategi dalam menyelesaikan masalah integral Unit Pembelajaran 8 : Integral 6

B. Target Kompetensi Peserta Didik Target kompetensi peserta didik dalam Unit Pembelajaran ini dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar sesuai dengan permendikbud nomor 37 tahun 2018 Tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Pelajaran Kurikulum 2013 Pada Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah sebagai berikut: 1. Kompetensi Dasar Tabel 3 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik NO KOMPETENSI DASAR TARGET KD KELAS 3.10 Mendeskripsikan 1. Menjelaskan pengertian XI integral fungsi aljabar integral tak tentu (anti Menganalisis sifat sifat turunan) fungsi aljabar integral fungsi aljabar didasarkan sifat turunan dan menganalisis sifat- 2. fungsi sifatnya berdasarkan sifat-sifat turunan fungsi 4.7 Menyelesaikan 1. Menentukan integral XI fungsi aljabar masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu (anti 2. Menyelesaikan masalah turunan) fungsi aljabar berkaitan dengan integral fungsi aljabar 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik Kompetensi dasar dikembangkan menjadi beberapa indikator pencapaian kompetensi sebagai acuan bagi guru untuk mengukur pencapaian kompetensi dasar. Dalam rangka memudahkan guru menentukan indikator yang sesuai dengan tuntunan kompetensi dasar, indikator dibagi menjadi tiga kategori, yaitu indikator pendukung, indikator kunci, dan indikator pengayaan sebagai berikut: 7 Unit Pembelajaran 8 : Integral

Tabel 4 Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi KELAS XI 3.10. Mendeskripsikan IPK Pendukung: integral tak tentu 3.10.1 menjelaskan hasil turunan fungsi aljabar (anti turunan) fungsi aljabar dan menganalisis sifat- sifatnya berdasarkan sifat- sifat turunan fungsi IPK Inti: 3.10.2Menjelaskan pengertian integral fungsi aljabar 3.10.3Menganalisis sifat sifat integral fungsi aljabar didasarkan sifat turunan fungsi IPK Pengayaan: 3.10.4Menentukan integral fungsi trigonometri 4.10. Menyelesaikan IPK Pendukung: masalah yang 4.10.1 Menentukan turunan fungsi alajabar berkaitan dengan integral tak tentu IPK Inti: (anti turunan) fungsi 4.10.2 Menentukan integral fungsi aljabar aljabar 4.10.3 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan integral fungsi aljabar IPK Pengayaan: 4.10.4 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan integral tertentu fungsi aljabar dan trigonometri Unit Pembelajaran 8 : Integral 8

Dalam kegiatan In Service Learning 1, Anda perlu menganalisis kompetensi yang harus Anda tingkatkan untuk dapat merencanakan pembelajaran, melaksanakan pembelajaran, dan mengevaluasi pembelajaran dengan baik dalam rangka mencapai target kompetensi dasar peserta didik. Dari hasil analisis kompetensi tersebut, maka Anda dapat melaksanakan PKB sesuai dengan kompetensi yang ingin Anda tingkatkan pada diri Anda guna mencapai target kompetensi peserta didik. 9 Unit Pembelajaran 8 : Integral

03ATERI PEMBELAJARAN A. Ruang Lingkup Materi Ruang lingkup materi integral di Madrasah Aliyah meliputi: 1. Integral tak tentu (indefinite integral) a) Pengertian integral tak tentu b) Sifat-sifat integral tak tentu c) Strategi sederhana menyelesaikan integral tak tentu 2. Integral tertentu (definite integral) 3. Menentukan luas daerah B. Aplikasi dalam Kehidupan Uji Pegas Pada suatu percobaan, pegas dengan panjang 10 ������������ ditarik dengan gaya 40 ������ dapat meregang (bertambah panjang) sampai 15 ������������. Pegas dikatakan kategori baik jika dapat meregang dari 15 ������������ sampai 18 ������������ tanpa kerusakan. Berapa energi yang diperlukan untuk menguji pegas agar masuk kategori baik? Persoalan ini dapat diselesaikan dengan bantuan integral yang cukup sederhana. Hukum Hooke menyatakan bahwa gaya yang dikenakan pada pegas sebanding dengan perubahan panjang yang terjadi. ������������ = ������������, dengan ������������ = gaya yang dikenakan (satuan Newton), ������ = perubahan panjang (satuan meter) ������ = konstanta pegas Sesuai rumus tersebut didapatkan 40 = ������ (0,05) yang menghasilkan ������ = 800. Dengan demikian diperoleh fungsi gaya ������������(������) = 800 ������. Karena akan ditentukan energi yang diperlukan untuk menarik pegas dari 15 ������������ sampai 18 ������������ Unit Pembelajaran 8 : Integral 10

(pertambahan panjang 0,05 meter sampai 0,08 meter) maka energi yang diperlukan (������) sebesar 0,08 ������ = ∫ 800 ������ ������������ 0,05 = 800 ������2 0,08 | 2 0,05 = 400 (0,082 − 0,052) = 1,56 Jadi energi yang diperlukan untuk menguji pegas pada kategori baik adalah 1,56 Joule C. Integrasi Keislaman Dalam Al-Quran Surah An-Nahl ayat 12 Allah berfirman: ١٢ ‫َو َس َّخ َر َل ُك ُم ٱ َّل ۡي َل َوٱل َنّ َها َر َوٱل َّش ۡم َس َوٱۡل َق َم ََۖر َوٱل ُنّ ُجو ُم ُم َس َّخ ََٰر ُۢ ُت بِأَ ۡم ِر ۚٓ ِۦه ِإ َّن ِفي َٰذَ ِل َك ََل َٰيَ ٖت ِل َق ۡو ٖم يَ ۡع ِق ُلو َن‬ Artinya: Dia menundukkan malam dan siang, matahari dan bulan untukmu, dan bintang-bintang dikendalikan dengan perintah-Nya. Sungguh, pada yang demikian itu benar-benar terdapat tanda-tanda (kebesaran Allah) bagi orang yang mengerti, (QS: An-Nahl:16) Seluruh benda yang ada dilangit dikendalikan dalam perintah-Nya, termasuk bumi, bulan, bintang dan semua yang ada di alam semesta ini. Itulah tanda-tanda kebesaran Allah. Tanda kebesaran Allah yang cukup terang dan menakjubkan adalah orbit bumi dalam mengitari matahari. Orbit bumi dalam mengitari matahari berbentuk elips dengan matahari pada salah satu titik fokusnya. 11 Unit Pembelajaran 8 : Integral

Hal yang cukup menakjubkan adalah area yang ditempuh matahari dalam waktu yang sama menunjukkan luas daerah yang sama pula. Pada gambar tersebut luas ������1sama dengan luas ������2 dengan waktu tempuh dari ������ ke ������ sama dengan waktu tempuh dari ������ ke ������. Sungguh luar biasa dan sangat menakjubkan ketetapan Allah. Untuk membuktikan kenyataan ini, yaitu menghtung luas ������1 maupun ������2 dapat dilakukan menggunakan integral yang dipelajari dalam matematika. Unit Pembelajaran 8 : Integral 12

D. Bahan Bacaan 1. Integral Tak tentu (Indefinite Integral) Integral merupakan topik yang cukup menarik untuk dipelajari. Selain untuk melatih daya nalar dan kekritisan, topik ini banyak penerapannya dalam kehidupan. Sebagai contoh uji kekuatan pegas seperti penjelasan pada bagian sebelumnya. Ini hanya salah satu contoh kecil penerapan integral. Untuk memulai pembahasan perhatikan pekerjaan siswa dalam menentukan hasil ∫ ������(������ − 1)������������ berikut ini. . Tampak ada hasil yang beda dari pengerjaan tersebut SISWA 1 memperoleh hasil 1 ������3 − 1 ������2 + 6 + ������ sementara SISWA 2 memperoleh hasil 1 ������3 − 1 ������2 + ������. Mengapa 32 32 ada beda hasil? Apakah ada yang salah, atau keduanya benar? Pertanyaan ini akan terjawab pada paparan berikut. Sebelum lanjut, mari kita bahas mulai dari istilahnya. Mengapa ada kata tak tentu? Misalkan kita ingin mencari fungsi ������(������) yang mempunyai turunan 3������2. Mungkin saja kita langsung menentukan ������(������) = ������3 karena ������′(������) = 3������2. Tetapi jika diperhatikan lagi, masih banyak fungsi yang turunannya 3������2. Contoh ������(������) = ������3 + 1, ������(������) = ������3 + 25 mempunyai hasil turunan yang sama yaitu 3������2. Kita masih dapat menemukan banyak lagi fungsi lain yang turunannya 3������2. Inilah yang menyebabkan orang menyebut sebagai tidak tentu. Proses untuk menemukan fungsi ������(������) sedemikaian hingga ������′(������) = ������(������) dinamakan proses anti turunan atau pengintegralan tak tentu. Secara definisi dituliskan sebagai berikut. 13 Unit Pembelajaran 8 : Integral

Fungsi ������ dinamakan suatu anti turunan dari ������ pada interval ������ jika ������′(������) = ������(������) untuk setiap ������ yang berada dalam interval ������ Kata “suatu” pada definisi tersebut amat penting, karena kata “suatu” itu menunjuk pada satu fungsi anti turunannya. Dalam hal kita ingin menentukan semua fungsi yang menjadi anti turunan dari ������(������). Oleh karena itu perlu simbol atau perintah (operasi) untuk menandakan maksud tersebut. Operasi untuk menentukan semua anti turunan ������(������) ditulis dengan simbol integral ” ʃ “. Jadi, untuk menentukan semua anti turunan dari ������(������) dinyatakan dengan ∫ ������(������) ������������ Dengan demikian jelas bahwa integral tak tentu ∫ ������(������) ������������ merupakan keluarga atau koleksi fungsi yang mempunyai turunan ������(������). Apa bedanya dengan integral tertentu? Lihat aktivitas 1. Untuk memperjelas pemahaman, perhatikan contoh berikut. Contoh 1: Diberikan ������(������) = ������2, tentukan a. suatu anti turunan dari ������(������) b. hasil dari ∫ ������(������)������������ Jawab: a. Karena yang diminta hanya menentukan suatu anti turunan, kita dapat dengan bebas memilih suatu fungsi yang turunannya ������2, misalkan ambil fungsi ������(������) = 1 ������3 + 5 maka ������(������) ini adalah suatu anti turunan dari ������(������) karena ������′(������) = 3 3. 1 ������3−1 + 0 = ������2 3 Contoh lain, ℎ(������) = 1 ������3 − 10 maka ℎ(������) ini suatu turunan dari ������(������) karena 3 ℎ1(������) = ������2 = ������(������) b. Untuk pertanyaan kedua, hasil yang diharapkan adalah menentukan semua fungsi yang turunannya ������2. Oleh karena itu kita harus mencari seluruh fungsi yang turunannya ������2. Dengan mudah dapat kita temukan bahwa semua fungsi Unit Pembelajaran 8 : Integral 14

dalam bentuk 1 ������3 + ������ dengan ������ konstanta memenuhi hasil yang dimaksud. 3 Dengan demikian ∫ ������(������)������������ = 1 ������3 + ������ dengan ������ konstanta 3 Contoh 2: Tentukan hasil dari a. ∫(������3 + 1)������ ������������ b. ∫(������3 + cos ������ + sin ������) ������������ Jawab: a. ∫(������3 + 1)������ ������������ = ∫(������4 + ������) ������������ = 1 ������5 + 1 ������2 + ������ 5 2 b. ∫(������3 + cos ������ + sin ������) ������������ = 1 ������4 + sin ������ − cos ������ + ������ 4 Sama halnya saat menentukan turunan suatu fungsi, menentukan anti turunan dapat memanfaatkan teorema atau sifat-sifat pada integral. Berikut beberapa diantaranya. (i) ∫ ������������(������)������������ = ������ ∫ ������(������)������������, ������ ≠ 0 (ii) ∫[������(������) ± ������(������)]������������ = ∫ ������(������)������������ ± ∫ ������(������)������������ (iii) ∫ ������������������������ = 1 ������������+1 + ������, ������ ≠ −1 ������+1 (iv) ∫ 1 ������������ = ln|������| + ������ ������ (v) ∫ ������������������������ = ������������ + ������ (vi) ∫ ������������������������ = ������������ + ������ ������������ ������ (vii) ∫ sin ������ ������������ = − cos ������ + ������ (viii) ∫ cos ������ ������������ = sin ������ + ������ (ix) ∫ tan ������ ������������ = ln | ������������������ ������ | + ������ (x) ∫ sec2 ������ ������������ = tan ������ + ������ (xi) ∫ csc2 ������ ������������ = − cot ������ + ������ (xii) ∫ 1 ������������ = tan−1 ������ + ������ ������2+1 (xiii) ∫ 1 ������������ = sin−1 ������ + ������ √1−������2 (xiv) ∫ ������������������ = ������������ − ∫ ������ ������������ (integral parsial) 15 Unit Pembelajaran 8 : Integral

Contoh 3 Tantukan ∫(������ + 2������)������������ Cara pengerjaan: Dengan memanfaatkan sifat integral diperoleh ∫(������ + 2������)������������ = ∫ ������ ������������ + ∫ 2������������������ = 1 ������2 + 2������ + ������ 2 ln 2 Memanfaatkan sifat atau rumus yang telah disediakan, terkadang masih diperlukan sedikit manipulasi aljabar (‘trick’) untuk menentukan hasil integral. Contoh 4: Tentukan penyelesaian ∫ e������ sin ������ ������������ Jawab: ∫ ������������ ������������������ ������ ������������ = ∫ ������������ ������(− cos ������) → [ingat ������(− cos ������) = sin ������ ������������] = −������������ cos ������ − ∫ − cos ������ ������������������ → [integral parsial] = −������������ cos ������ + ∫ ������������ cos ������ ������������ = −������������ cos ������ + ∫ ������������������(sin ������) = −������������ cos ������ + ������������ sin ������ − ∫ sin ������ ������(������������) = −������������ cos ������ + ������������ sin ������ − ∫ ������������ ������������������ ������ ������������ Terlihat bahwa bentuk terakhir kembali ke bentuk semula yaitu − ∫ ������������ ������������������ ������ ������������. Bentuk ini justru membantu penyelesaian, yaitu 2 ∫ e������ sin ������ ������������ = −������������ cos ������ + ������������ sin ������ ∫ ������ ������ sin ������ ������������ = − 1 ������ ������ cos ������ + 1 ������ ������ sin ������ + ������ 2 2 Unit Pembelajaran 8 : Integral 16

Sampai pada pembahasan ini, kita menemukan berbagai cara untuk menyelesaikan integral tak tentu, mulai pengerjaan sederhana sampai pengerjaan yang relatif panjang. Pemilihan cara pengerjaan yang tepat akan mempermudah penyelesaian masalah. Oleh karena itu perlu strategi dalam menentukan hasil integral tak tentu. Berikut beberapa strategi sederhana untuk menentukan hasil integral tak tentu. 2. Strategi Menentukan Integral Tak Tentu Strategi yang dimaksud disini hanya sebatas cara sederhana untuk menandai jalan penyelesaian integral tak tentu. Oleh karena itu, bentuk-bentuk soal yang dapat diselesaikan harus memenuhi syarat yang ditentukan bahkan boleh jadi tidak dapat langsung ditemukan hasilnya. a. Fungsi polinomial. Untuk fungsi dalam bentuk polinomial, penyelesaiannya dapat memanfaatkan kombinasi (i), (ii) dan (iii), dan umumnya dapat diselesaikan relatif mudah. Contoh: ∫(4������3 + ������2 − 2������ − 1 )������������ = 4 ∙ 1 ������4 + 1 ������ 3 − 2 ∙ 1 ������2 − ������ + ������ 4 3 2 = ������4 + 1 ������3 − ������2 − ������ + ������ 3 3. Fungsi rasional dengan pembilang dan penyebut suatu polinomial. Fungsi rasional yang dibahas dalam unit pembelajaran ini khusus untuk penyebut polinomial berderajat 1 dan penyebut polinomial berderajat 2. 1) Penyebut polinomial derajat 1 (dalam bentuk ������������ + ������.) Gunakan pemisalan pada bagian penyebut dengan ������ = ������������ + ������, maka diperoleh ������ = ������−������ dan ������������ = ������������. Setelah itu substitusi ke pembilang akan terbentuk fungsi ������ dalam variabel ������. Fungsi terakhir ini selanjutnya dicari integralnya dalam ������. Setelah itu kembalikan lagi ������ dalam variabel ������. 17 Unit Pembelajaran 8 : Integral

Sebagai contoh kita ingin menentukan hasil dari ∫ ������2 ������������, maka langkah ������−1 pertama adalah membuat pemisalan ������ = ������ − 1. Dengan pemisalan ini diperoleh ������ = ������ + 1 dan ������������ = ������������. Akibatnya, ������2 (������ + 1)2 ∫ ������ − 1 ������������ = ∫ ������ ������������ ������2 + 2������ + 1 ������������ = ∫ ������ = ∫ (������ + 2 + 1������) ������������ = 1 ������2 + 2������ + ln|������| + ������1 2 1 = 2 (������ − 1)2 + 2(������ − 1) + ln|������ − 1| + ������1 = 1 ������2 + ������ + ln|������ − 1| + ������1 − 3 2 2 1 = 2 ������2 + ������ + ln|������ − 1| + ������ Perhatikan hasil akhir. Mengapa muncul ������1dan ������? Lihat aktivitas 2. 2) Penyebut polinomial derajat 2 (dalam bentuk ������������������ + ������������ + ������.) a) ������������������ + ������������ + ������ dapat difaktorkan. Untuk kasus ������������2 + ������������ + ������ dapat difaktorkan, maka cara yang cukup membantu adalah menjadikan fungsi sebagai penjumlahan dengan penyebut faktor-faktornya. Selanjutnya dengan manipulasi aljabar ditentukan pembilang-pembilangnya Contoh 1 Tentukan hasil dari ∫ 5������−5 ������������ ������2−3������−4 Karena penyebut dapat difaktorkan yaitu (������ + 1)(������ − 4) maka fungsi perlu dijadikan penjumlahan dengan penyebut faktor-faktornya sebagai 5������ − 5 5������ 5 ������2 − 3������ − 4 = (������2 − 3������ − 4) − (������2 − 3������ − 4) ������ ������ ������ ������ = ((������ + 1) + (������ − 4)) − ((������ + 1) + (������ − 4)) Selanjutnya, tinggal menentukan nilai ������, ������, ������, dan ������ melalui penyamaan penyebut. Hasil yang diperoleh ������ = 1, ������ = 4, ������ = −1, ������ = 1. Unit Pembelajaran 8 : Integral 18

Dengan demikian 5������ − 5 14 −1 1 ∫ ������2 − 3������ − 4 ������������ = ∫ (((������ + 1) + (������ − 4)) − ((������ + 1) + (������ − 4))) ������������ 23 = ∫ (������ + 1 + ������ − 4) ������������ = 2 ln|������ + 1| + 2 ln|������ − 4| + ������ Perhatikan bahwa untuk pembilang bentuk linear (derajat 1), cukup mudah menjadikan fungsi sebagai penjumlahan dengan penyebut faktor-faktornya. Lihat aktivitas 3 Contoh 2 Tentukan hasil dari ∫ ������2+5������−5 ������������ ������2−3������−4 Identik dengan contoh 1 , fungsi perlu dijadikan sebagai penjumlahan dengan penyebut faktor-faktornya dengan menambahkan manipulasi aljabar yaitu ������2 + 5������ − 5 ������2 5������ − 5 ������2 − 3������ − 4 = ������2 − 3������ − 4 + ������2 − 3������ − 4 5������ − 5 → [suku ������2 − 3������ − 4 sudah ada hasil di contoh 1] ������2 − 3������ − 4 + 3������ + 4 23 = ( ������2 − 3������ − 4 ) + (������ + 1 + ������ − 4) ������2 − 3������ − 4 3������ + 4 23 = (������2 − 3������ − 4 + ������2 − 3������ − 4) + (������ + 1 + ������ − 4) = 1 + (������ ������ 1 + ������ ������ 4) + (������ 2 1 + ������ 3 4) + − + − Selanjutnya, tinggal menentukan nilai ������ dan ������, dan ������ melalui penyamaan penyebut. Hasil yang diperoleh ������ = − 1 , ������ = 16 , ������ = 1 5 5 Dengan demikian, ������2 + 5������ −5 ������������ = ∫ ((������−+511 + 16 + 1) + (������ 2 + ������ 3 ∫ ������2 − 3������ −4 5 +1 − 4)) ������������ ������ − 4 19 Unit Pembelajaran 8 : Integral

= ∫ (59 ������ 1 31 ������ 1 + 1) ������������ +1 +5 −4 = 9 ln|������ + 1| + 31 ln|������ − 4| + ������ + ������ 5 5 b) ������������������ + ������������ + ������ tidak dapat difaktorkan. Untuk kasus ������������2 + ������������ + ������ tidak dapat dapat difaktorkan, maka cara yang cukup membantu adalah mengubah bentuk ������������2 + ������������ + ������ menjadi bentuk ������2 + 1 dengan ������������ = ������������. Mengapa demikian? Lihat aktivitas 4. Misalkan dipunyai penyebut ������2 + 2������ + 2, maka perlu diubah menjadi ������2 + 2������ + 2 = (������2 + 2������ + 1) + 1 = (������ + 1)2 + 1 [ jelas bahwa ������(������ + 1) = ������������] Selanjutnya tentukan integralnya dengan memanfaatkan (iv) dan (xii). Contoh 1: Tentukan hasil dari ∫ 1 ������������. Sesuai penjelasan maka penyebut diarahkan ������2−2������+2 ke bentuk bentuk ������2 + 1. ∫ ������2 − 1 + 2 ������������ = ∫ (������ + 1 + 1 ������(������ + 1) 2������ 1)2 = arctan(������ + 1) + ������ Cara ini sebenarnya tidak mudah karena perlu manipulasi aljabar (trick) sehingga permasalahan dapat diselesaikan. Lihat contoh berikutnya. Contoh 2: Tentukan hasil dari ∫ ������ ������������ ������2−2������+2 Untuk soal ini, tidak cukup kita hanya mengubah penyebut dalam bentuk ������2 + 1 , namun perlu ‘trick’ tambahan sebagai berikut. ������ (������ + 1) − 1 ������2 − 2������ + 2 = ������2 − 2������ + 2 (������ + 1) 1 = ������2 − 2������ + 2 − ������2 − 2������ + 2 Unit Pembelajaran 8 : Integral 20

(������ + 1) 1 = (������ + 1)2 + 1 − (������ + 1)2 + 1 Dengan demikian diperoleh ������ (������ + 1) 1 ∫ ������2 − 2������ + 2 ������������ = ∫ ((������ + 1)2 + 1 − (������ + 1)2 + 1) ������������ (������ + 1) ������������ 1 = ∫ (������ + 1)2 + 1 − ∫ ((������ + 1)2 + 1) ������������ = ∫ 1 ������((������ + 1)2 + 1) − ∫ ((������ 1 1) ������������ 2 (������ + 1)2 + 1 1)2 + + = 1 ln|(������ + 1)2 + 1| − arctan(������ + 1) + ������ 2 4. Fungsi lain selain polinomial dan rasional. Untuk fungsi selain fungsi polinomial dan rasional, tidak ada cara khas dalam menyelesaikan integralnya. Cara berikut hanya kaidah umum yang belum tentu dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah integral dalam bentuk ini. a. Jika ada faktor yang bentuk aljabarnya relatif sederhana, hindari untuk pemisalan. Contoh 1: Tentukan ∫ ������2√������3 + 7 ������������ Perhatikan bahwa bentuk aljabar ������2 lebih sederhana dari bentuk aljabar ������3 + 7. Oleh karena itu hindari pemisalan ������ = ������2. Gunakan pemisalan ������ = ������3 + 7. Dengan pemisalan ini diperoleh ∫ ������2√������3 + 7 ������������ = ∫ ������2√������ 1 ������������ 3������2 1 = 3 ∫ √������������������ 23 = 9 ������2 + ������1 = 2 √(������3 + 7)3 + ������ 9 Bagaimana jika pemisalannya terbalik? Lihat aktivitas 5 21 Unit Pembelajaran 8 : Integral

Catatan: Menghindari bentuk sederhana untuk pemisalan, belum menjamin kita dengan mudah menemukan hasilnya. Lihat aktivitas 6 b. Metode Tabel Cara ini digunakan khusus untuk fungsi yang dapat dibuat campuran (kombinasi) perkalian dua fungsi lain dimana salah satu fungsi dapat diturunkan terus sampai menghasilkan 0 dan fungsi yang lain selalu dapat ditentukan integralnya. Cara tabel yang dimaksud dapat dilihat pada contoh berikut. Contoh 1: Tentukan ∫ ������3 cos 2������ ������������. Jelas bahwa ������3 dapat diturunkan sampai hasil 0 sedangkan cos 2������ dapat ditentukan integralnya dengan mudah. Pengerjaan sebagai berikut: Jadi, diperoleh ∫ ������3 cos 2������ ������������=������3 ∙ 1 sin 2������ + 3������2 ∙ 1 cos 2������ − 6������ ∙ 1 sin 2������ − 6 ∙ 1 cos 2������ + ������ 2 4 8 16 =1 ������3 sin 2������ + 3 ������2 cos 2������ − 3 ������ sin 2������ − 3 cos 2������ + ������ 2 4 48 Unit Pembelajaran 8 : Integral 22

Cara ini sebenarnya hanya memanfaatkan cara integral parsial yang sudah sering digunakan yaitu memanfaatkan rumus ∫ ������������������ = ������������ − ∫ ������������������ Contoh 2: Tentukan hasil ∫(������2 − 1)������3 ������������ Cara 1: Jelas bahwa ������2 − 1 dapat diturunkan sampai 0 sedangkan ������3 dapat ditentukan integralnya. Langkah detailnya sebagai berikut. Dengan demikian diperoleh ∫(������2 − 1)������3 ������������ = (������2 − 1). 1 ������4 + 2������. (− 1 ������5) + 2. 1 ������6 4 20 120 = 1 ������6 − 1 ������4 − 1 ������6 + 1 ������6 + ������ 4 4 10 60 = 15 −6 + 1 ������6 − 1 ������4 + ������ 60 4 = 1 ������6 − 1 ������4 + ������ 6 4 Cara 2: Cara ini memenfaatkan fungsi polinomial 23 Unit Pembelajaran 8 : Integral

∫(������2 − 1)������3 ������������ = ∫(������5 − ������3) ������������ = 1 ������6 − 1 ������4 + ������ 6 4 Untuk sekedar melakukan pengecekan hasil integral tak tentu, silakan buka tautan: https://www.geogebra.org/m/vvvnkzwc 5. Integral Tertentu (Definite Integral) Integral tertentu pada mulanya tidak langsung terkait dengan integral tak tentu, tetapi kaitannya justru dengan luas daerah pada suatu interval yang dihitung melalui limit dan partisi. Luas daerah yang dibatasi sumbu-������, kurva ������ = ������(������), garis ������ = ������ dan garis ������ = ������ adalah Jika limitnya ada maka ∫������������ ������(������) ������������ dikatakan terintegral (Riemann Integrable) dan inilah yang dinamakan integral tertentu. Jadi integral tertentu menandakan suatu luasan pada suatu interval. Perhatikan bahwa bentuk limit yang disajikan di atas cukup rumit untuk dikerjakan. Oleh karena itu penting kiranya ada teorema yang dapat digunakan untuk Unit Pembelajaran 8 : Integral 24

mempermudah pengerjaan. Teorema inilah yang dinamakan Teorema Fundamental Kalkulus (TFK). Teorema ini menjadikan integral tertentu dan integral tak tentu menjadi terkait dan permasalahan integral tertentu menjadi relatif lebih mudah untuk diselesaikan. Bagian dari TFK yang dinamakan teorema evaluasi adalah sebagai berikut. ______________________________________________________________ ______________ Jika ������ kontinu pada [������, ������], maka berlaku ������ ∫ ������(������)������������ = ������(������) − ������(������) ������ dengan ������(������) anti turunan dari ������(������). [ sebagian literatur menyebut ������(������) sebagai primif dari ������(������) ] ______________________________________________________________ _____________ Teorema ini menegaskan bahwa ∫������������ ������(������)������������ yang merupakan suatu luasan dimana awalnya dihitung dengan partisi dan limit, kini dapat diselesaikan relatif mudah melalui pemanfaatan turunan dan anti turunan. Betapa sangat bergunanya teorema fundamental kalkulus ini. James Steward bahkan menyatakan dalam suatu bab pada buku Calculus Concept and Context (2010): The Fundamental Theorem of Calculus relates the integral to the derivative, and we will see in this chapter that it greatly simplifies the solution of many problems. Dia menyebut teorema ini menyederhanakan penyelesaian berbagai masalah. Berkaitan dengan penulisan ada beberapa literatur yang menggunakan ������(������)|������������ untuk mengganti ������(������) − ������(������) dan mungkin penulisan lain. Pada penjelasan ini muncul istilah luasan. Apa beda luas dan luasan? Lihat catatan dan lihat aktivitas 7. Untuk memperkuat pemahaman kaitannya integral tertentu, silakan buka tautan: https://www.geogebra.org/m/zdteg3rq 25 Unit Pembelajaran 8 : Integral

________________________ Catatan: Berkaitan dengan integral tak tentu ini, Robert Wrede & Murray Spiegel (2010) menyatakan: Geometrically, the value of this definite integral represents the area bounded by the curve y = f(x), the x axis, and the ordinates at x = a and x = b only if f(x) > 0. If f(x) is sometimes positive and sometimes negative, the definite integral represents the algebraic sum of the areas above and below the x axis, treating areas above the x axis as positive and areas below the x axis as negative ____________________________ Contoh 1: Tentukan hasil dari ∫02 1 ������ ������������ 2 Langkah pertama adalah menentukan anti turunan (primitive) dari ������(������) = 1 ������ yaitu 2 ������(������) = 1 ������������ = 1 ������ 2 + ������ ∫ 2 ������ 4 Dengan memakai TFK maka diperoleh 2 ∫ ������(������)������������ = ������(2) − ������(0) 0 = 1 22 + ������] − 1 02 + ������ ] [4 [4 =1 Apakah simbol \"∫ \" pada ∫02 ������(������)������������ sama makna dengan simbol \"∫ \" pada ∫ 1 ������ ������������ 2 ? Lihat aktivitas 8. Contoh 2: Tentukan ∫01(������2 + ������ − 3√������)������������ Memanfaatkan TFK diperoleh 1 11 ∫ (������2 + ������ − 3√������)������������ = ∫ (������2 + ������ − 3������2) ������������ 00 Unit Pembelajaran 8 : Integral 26

1 = 1 ������3 + 1 ������2 − 3 3 (3 2 3 ������2)| 20 = 1 ������3 + 1 ������2 − 1 (3 2 2√������3)| 0 = 1 13 + 1 12 − 2√13) − 1 03 + 1 02 − 2√03)) (3 2 ((3 2 7 = −6 6. Menentukan Luas Daerah Pembahasan mengenai luas daerah dibagi atas dua bagian yaitu daerah yang dibatasi oleh satu grafik dan sumbu-������ dan daerah yang dibatasi oleh dua grafik. a. Luas daerah dibatasi oleh satu grafik. Menghitung luas daerah dapat dilakukan dengan menmanfaatkan integral tertentu. Karena yang dimaksud suatu luas daerah maka hasilnya selalu non- negatif. Sehingga, jika daerahnya di atas sumbu-������ maka perhitungannya langsung menggunakan hasil integral tertentu. Namun untuk daerah yang berada di bawah sumbu-������ maka hasilnya dijadikan positif terlebih dahulu. Contoh 1 Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva ������(������) = ������2 dan sumbu-������ mulai dari ������ = 1 sampai ������ = 2. Jawab: 27 Unit Pembelajaran 8 : Integral

Karena daerah berada di atas sumbu-������ maka luas daerah tersebut (������) dapat dihitung langsung dengan ������ = 2 ������������ = 1 ������3 |12 = 7 3 3 ∫ ������2 1 Contoh 2: Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva ������(������) = ������3 dan sumbu-������ mulai dari ������ = −2 sampai ������ = 2. Karena daerah berada di atas sumbu-������ dan juga berada di bawah sumbu-������ maka luas daerah tersebut (������) dihitung melalui ������ = ������1 + ������2 dimana ������1 = 2 ������������ = 1 ������4 |21 = 4 4 ∫ ������3 0 Unit Pembelajaran 8 : Integral 28

dan ������2 = 0 ������������| = 1 ������4 |−02| = 1 04 − 1 (−2)4| = |−4| = 4 |4 |4 4 |∫ ������3 −2 Jadi luasnya adalah 8 Apa bedan hasil tersebut dengan ∫−22 ������3 ������������ = 1 ������4 |12 = 16 − 16 = 0? 4 4 4 Lihat kembali aktivitas 7. b. Luas daerah yang dibatasi oleh dua grafik. Unt.uk menentukan luas daerah khususnya daerah yang dibatasi oleh dua grafik dilakukan dengan menghitung integral tertentu masing-masing kurva. Proses ini dapat dilakukan jika integral tak tentu sudah diperoleh. Untuk itu, gunakan cara- cara untuk menentukan integral tak tentu yang sudah dibahas pada bagian sebelumnya. Jika dua grafik membentuk kurva tertutup sederhana (misalkan fungsi ������ dan ������) maka untuk menentukan luas daerah yang dimaksud adalah dengan menentukan integral tertentu ������ − ������ dengan batas integral titik-titik potongnya. Mengapa demikian? Lihat aktivitas 9. Contoh 1: Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva ������(������) = 4 − ������2 dan ������(������) = ������ + 2 Jawab: Ditentukan terlebih dahulu titik potongnya (dalam hal ini adalah batas integralnya). 4 − ������2 = ������ + 2 ������2 + ������ − 2 = 0 (������ + 2)(������ − 1) = 0 → titik potongnya (−2,0) dan (1,3). 29 Unit Pembelajaran 8 : Integral

Luas daerah yang dimaksud adalah 11 ∫ (������(������) − ������(������))������������ = ∫ ((4 − ������2) − (������ + 2))������������ −2 −2 = − 1 ������3 − 1 ������2 + 1 3 2 2������| −2 1 = 42 Contoh 2: Berapa luas daerah berikut? Unit Pembelajaran 8 : Integral 30

Jawab: Luas daerah (������) dapat dihitung langsung yaitu 3 ������ = ∫ (������(������) − ������(������))������������ 0 = 3 1 ������2 − 3 ������) − (3������ − ������ 2)) ������������ ((2 2 ∫ 0 = 1 ������3 − 3 ������2) − 3 ������2 − 1 3 (6 4 (2 3 ������3)| 0 = 1 33 − 3 32) − 3 32 − 1 33)) − (0 − 0) ((6 4 (2 3 3 = 64 31 Unit Pembelajaran 8 : Integral

04 KEGIATAN PEMBELAJARAN A. Organisasi Pembelajaran Untuk memudahkan guru dalam mempelajari modul ini, kita akan membaginya menjadi 3 topik bahasan dengan alokasi waktu sebagai berikut: Tabel 5 Organisasi Pembelajaran Topik Materi Jumlah JP In - 1 On In - 2 1 Integral tertentu 222 2 Integral tak tentu 21 1 3 Menentukan luas daerah 21 1 Total Jam Pembelajaran PKB 644 B. Perangkat dan Media Pembelajaran Sebelum mempelajari atau mempraktikkan modul ini, ada beberapa perangkat pembelajaran, alat dan bahan yang harus disiapkan oleh guru dan peserta didik agar proses pembelajaran berjalan dengan baik. 1. Perangkat Pembelajaran, Alat dan Bahan yang harus disiapkan oleh guru a. Perangkat Pembelajaran: 1) Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) 2) Bahan ajar 3) Instrumen Penilaian b. Media pembelajaran 1) LCD Projector 2) Komputer yang dilengkapi aplikasi Geogebra 2. Alat dan Bahan yang harus disiapkan oleh peserta didik a. Kertas berpetak atau kertas milimeter blok b. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) Unit Pembelajaran 8 : Integral 32

C. Aktivitas Pembelajaran 1. Kegiatan In Learning Service-1 ( 4 JP) Aktivitas ini dilakukan secara tatap muka bersama dengan teman sejawat yang dipandu fasilitator (pengajar diklat) untuk mengkaji materi dan melakukan kegiatan yang telah dirancang dalam unit pembelajaran. Aktivitas 1: Bersama dengan teman-teman sejawat, tentukan hasil dari ∫(2������ + 1) ������������ dan ∫12(2������ + 1) ������������. Setelah itu diskusikan apa yang menjadi perbedaan antara keduanya. Aktivitas 2: Seorang guru mencermati pekerjaan dua orang siswa sebagai berikut Ternyata guru tersebut kebingungan dengan jawaban yang berbeda dari kedua siswa tersebut, sementara proses yang dilakukan oleh keduanya benar. Bagaimana menurut pendapat Anda? Diskusikan dengan teman sejawat. Aktivitas 3: Untuk menentukan hasil dari ∫ ������������+������ ������������ perlu mengubah ������������+������ menjadi (������+������)(������+������) (������+������)(������+������) ������ + ������ . Diskusikan dengan teman sejawat bagaimana membuat rumus (������+������) (������+������) sehingga ������ dan ������ dapat ditentukan dari nilai ������, ������, ������, atau ������. 33 Unit Pembelajaran 8 : Integral

Aktivitas 4: Diketahui ∫ 1 ������������ = arctan(������) + ������. Dengan demikian akan lebih mudah ������2+1 menentukan ∫ 1 ������������ jika diubah dalam bentuk ∫ ������ ������������ dimana ������������ = ������������. ������������2+������������+������ ������2+������ Bersama dengan teman sejawat, buatlah rumus untuk menjadikan 1 = ������ ������������2+������������+������ ������2+������ dimana ������ dan ������ ditentukan oleh ������, ������ atau ������ dengan ������������ = ������������ Aktivitas 5: Untuk mengerjakan ∫ ������2√������3 + 2 ������������, Pak Jabar melakukannya dengan cara berikut. Sementara itu Bu Ritma mengerjakan dengan cara lain, namun terjadi kebingungan, Mengapa Bu Ritma tidak menemukan hasil sementara Pak Jabar berhasil? Diskusikan dengan teman sejawat mengapa hal demikian terjadi. Aktivitas 6: Menyelesaikan soal integral dengan cara substitusi dapat dilakukan dengan menghindari pemisalan faktor yang relatif sederhana. Apakah cara ini menjamin Unit Pembelajaran 8 : Integral 34

ditemukannya hasil? Diskusikan dengan teman sejawat untuk menyelesaikan ∫ ������√������3 + 1 ������������. Aktivitas 7: Pada suatu saat ada perdebatan antara dua guru saat menrjakan soal “Tentukan hasil dari ∫−11 ������3 ������������ “ Guru 1 mengerjakan dengan cara berikut. 1 ������������ = 1 1 4 ∫ ������3 ������4| −1 −1 11 =4−4 =0 Sementara Guru 2 mengerjakan dengan cara menghitung ������1 dan ������2 sebagai berikut. ������1 = 1 ������������ = 1 1 4 ∫ ������3 ������4| 0 0 1 = 4−0 1 =4 Karena ������2 luas daerah maka harus dipositifkan sehingga 35 Unit Pembelajaran 8 : Integral

������2 = 0 ������������ = 1 0 4 |∫ ������3 ������4| | −1 −1 1 = |0 − 4 ∙ 1| 1 =4 Jadi ∫−11 ������3 ������������ = 1 + 1 = 1 4 4 2 a. Siapa yang mengerjakan secara benar sesuai dengan perintahnya? b. Jika luas harus positif, apakah luasan jiga demikian? Diskusikan dengan teman sejawat sambil mencermati kembali penjelasan integral tertentu pada bagian bahan bacaan Aktivitas 8: Tentukan ∫ ������2 ������������ dan ∫01 ������2������������. a. Apa yang diinginkan \"∫ \" pada ∫ ������2 ������������ ? b. Apa yang diinginkan \"∫ \" pada ∫01 ������2������������? Jelaskan dan diskusikan dengan teman sejawat . Aktivitas 9: Perhatikan tampilan 2 grafik beikut. Apakah ������1 dan ������2 mempunyai luas yang sama? Mengapa demikian? Apakah berarti untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva tertutup Unit Pembelajaran 8 : Integral 36

sederhana dapat dilakukan langsung melalui integral hasil pengurangan fungsi pertama dan kedua? Jelaskan dan diskusikan dengan teman sejawat. Aktivitas 10: Susunlah aktivitas pembelajaran untuk digunakan dalam kegiatan On The Job Learning (OJL) di sekolah Anda. Upayakan aktivitas yang mengakomodir kecakapan abad-21 yaitu critical thingking, creativity, colaboration, communication (4C). Pilihlah materi yang sesuai dengan kalender pendidikan di sekolah Anda Contoh aktivitas: Tujuan : Memahami konsep integral tak tentu Waktu : 3 jp (tentatif) No Guru Siswa 1 Guru memberi pengungkit Siswa menjawab pertanyaan guru dengan meminta siswa dan saling berdiskusi serta menuliskan beberapa fungsi melaksanakan kegiatan yang polinomial yang berbeda diperintahkan guru. hanya pada konstantanya, selanjutnya diminta untuk mrnrntukan turunannya. Contoh: ������(������) = ������2 + 1, ������(������) = ������2 + 2 yang menghasilkan ������′(������) = 2������ . ������′(������) = 2������. 2 Selanjutnya guru memberi Siswa dalam dalam kelompok atau pertanyaan atau perintah mandiri mencari fungsi lain yang “Temukan fungsi yang turunannya sama turunannya 2������ selain fungsi yang sudah tertulis di atas”. 3 Guru mengarahkan Siswa mencermati fungsi yang kesimpulan bahwa turunannya sama tersebut 37 Unit Pembelajaran 8 : Integral

sebenarnya siswa sedang mencari semua fungsi (keluarga fungsi) yang mempunyai turunan yang sama 4 Guru menggiring siswa untuk Siswa mencermati penjelasan guru memahami bahwa dan melaksanakan kegiatan sesuai menentukan semua fungsi petunjuk guru. yang turunannya sama tersebut sama saja memerintahkan mencari anti turunan suatu fungsi (misalkan ������(������)) dan dituliskan dengan ∫ ������(������) ������������ “” dibaca integral 4 Guru memfasilitasi siswa Siswa mendiskusikan untuk menemukan cara menyimpulkan hasil yang menentukan integral dengan diperoleh. mencermati sifat pada turunan 5 Guru memberi penguatan Siswa menyajikan hasil untuk pada hasil yang dibuat oleh dibahas bersama siswa Unit Pembelajaran 8 : Integral 38

2. Kegiatan On Job Learning (4 JP) Pada kegiatan ini, setiap guru mempraktikkan pembelajaran terhadap peserta didik di madrasah masing-masing sesuai dengan perangkat pembelajaran yang telah dibuat atau disempurnakan pada saat kegiatan In-1. Agar pelaksanaan pembelajaran terekam dengan baik, lakukan pencatatan pelaksanaan pembelajaran dalam kolom seperti berikut ini: No. Kegiatan Guru Kegiatan Siswa Fakta yang Refleksi dan (yang diharapkan) terjadi Tindak lanjut 1 2 3 dst 3. Kegiatan In Learning Service-2 (4 JP) Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk melaporkan, mendiskusikan, dan merefleksi hasil kegiatan On the Job Learning. Diskusikan hambatan pelaksanaan pembelajaran Anda dan lakukan pembahasan tindak lanjut bersama teman sejawat untuk mendapatkan pemecahan masalah guna perbaikan pembelajaran yang akan datang. Anda dapat menggunakan format berikut. No. Refleksi Aktivitas Refleksi Aktivitas Pembahasan Siswa Guru Tindak lanjut 1 2 3 dst 39 Unit Pembelajaran 8 : Integral

D. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) Bagian ini menampilkan contoh LKPD yang dapat digunakan untuk memandu peserta didik dalam mencapai tujuan pembelajaran. Anda dapat mengembangkan LKPD yang lain sesuai dengan rancangan pembelajaran yang akan Anda lakukan, atau Anda dapat menyempurnakan LKPD dalam Unit Pembelajaran ini sehingga sesuai dengan rancangan pembelajaran Anda. Unit Pembelajaran 8 : Integral 40

CONTOH LKPD LKPD 1 Konsep Integral tak tentu Tujuan : Memahami konsep Integral Waktu : 3 jp (tentatif) Tulislah beberapa fungsi polinomial yang hanya berbeda pada konstanta ------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------- Selanjutnya tentukan turunan fungsi polinomial yang Anda tulis tadi. ------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------- Apakah semua polinomial yang ditulis tadi mempunyai turunan sama? Jawab: ...... Berarti semua polinomial dalam bentuk ----------------------------- akan mempunyai turun ------------------- Buatlah perintah untuk menentukan semua fungsi yang turunannya --------------- “Tentukan --------------------------------------------------------------------------------------- “ Perintah inilah yang dilambangkan dengan: ∫ … … … . . … … … . . = . . . . … … … .. 41 Unit Pembelajaran 8 : Integral

E. Pengembangan Penilaian Bagian ini menyajikan contoh kisi-kisi pengembangan penilaian HOTS sesuai dengan kompetensi, lingkup materi, dan indikator soal. Selanjutnya buatlah kisi-kisi yang lain dan kembangkan menjadi instrumen penilaian dari kisi tersebut dalam aktivitas In Learning Service-1. 1. KISI-KISI UJIAN SOAL HOTS Jenis Sekolah : MA Mata Pelajaran : Matematika Alokasi Waktu : 10 menit Jumlah Soal : 2 Soal Tahun Pelajaran : 2019/2020 Tabel 6 Kisi-kisi soal HOTS Kompetensi Lingkup Materi Indikator Soal No Level Bentuk NO Kognitif Soal yang diuji Materi 1 Manganalisis Integral Integral Diberikan hasil 1 L3 Uraian hasil penyelesaian (Penalaran) pekerjaan intgral, siswa berkaitan diminta menentukan menganalisis integral. hasil tersebut 2 Menganalisis Integral Luas daerah Diberikan suatu 2 L3 Uraian suatu cara cara (Penalaran) penyelesaian pengerjaan, masalah siswa dapat integral memberikan alasan suatu pengerjaan benar atau salah Unit Pembelajaran 8 : Integral 42


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook