TRIKS & TIP JITU MATEMATIKA MA-SMA

b b V    ( f (x)2  g(x)2 )dx V    ( f ( y)2  g( y)2 )dy a a c. Menghitung panjang busur suatu kurva A B y = f(x) d x=a x=b X b 1   dy 2 dx a  dx  dAB = Contoh m 1. Diketahui  (3 p 2 - 4p + 4) dp = 18. Nilai (-2m) = ……… (UN D9 2006/ 2007 paket 71) 1 a. –2 b. –3 c. –4 d. –6 e. –12 Jawaban m  (3 p 2 - 4p + 4) dp = 18 1 m = 18 p3 – 2p2 + 4p 1 m3 – 2m2 + 4m – (13 – 2∙12 + 4∙1) = 18 m3 – 2m2 + 4m – 21 = 0 Perhatikan, jawaban Karena yang dicari nilai -2m, maka jawaban di bagi -2 a. 1 b. 3 c. 2 d. 3 e. 6 2 Pilih, mana yang merupakan factor dari 21 (1 atau 3) dan memenuhi nilai m ( d. 3 ) 33 – 2∙32 + 4∙3 – 21 = 0 0 = 0 (betul) ( D ) 2. Hasil dari  sin 3x cos 2xdx  …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a.  1 cos 5x  1 cos x  C b.  1 cos 5x  1 cos x  C 52 10 2 c.  sin 1 x  5sin 5 x  C d. 1 sin 5x  sin x  C e. cos 5x  cos x  C 22 25 Jawaban Rumus: sin α cos β = 1 sin (α + β) + 1 sin (α - β) 22  sin 3x cos 2xdx    1 sin(3x  2x)  1 sin(3x  2x) dx  2 2  98

=   1 sin 5x  1 sin xdx = - 1 cos 5x - 1 cos x +C (B)  2 2 10 2 3. Hasil  3x sin x2 dx = ….. (UN P3 2005/ 2006) a. - 3 cos x2 + C b. - 2 cos x2 + C c. - 1 cos x2 + C d. 3 cos x2 + C e. 6 cos x2 + C 23 2 Jawaban  3x sin x2 dx =  3x sin x2 d (x2 ) 2x =  3 sin x2 d(x2 ) = - 3 cos x2 + C ( A ) 22 4. Hasil dari  (x2 – 3x + 1) sin x dx = …… (UN P3 2005/ 2006) a. (-x2 + 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + C b. (-x2 + 3x - 1) cos x + (2x – 3) sin x + C c. (x2 - 3x + 1) sin x + (2x – 3) cos x + C d. (x2 - 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + C e. (x2 - 3x + 3) cos x + (2x – 3) sin x + C Jawaban  (x2 – 3x + 1) sin x dx = Diturunkan Diintegralkan x2 – 3x + 1 sin x 2x – 3 - cos x 2 - sin x 0 cos x  (x2 – 3x + 1) sin x dx = (x2 – 3x + 1) (- cos x) – (2x – 3) (- sin x) + 2 cos x + C = (- x2 + 3x - 1) cos x + (2x – 3) sin x + 2 cos x + C = (x2 - 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + C ( D ) 5. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh y = x2 dan y = 5x – 4 adalah …… (UN D9 2006/ 2007 paket 16 A) a. 11 satuan luas b. 8 satuan luas c. 9 satuan luas d. 11 satuan luas 63 2 2 e. 15 satuan luas 2 Jawaban Rumus: L = D D 6a 2 y1 = x2 ; y2 = 5x – 4 y1 – y2 = x2 – (5x – 4) = x2 –5x + 4 a = 1 ; b = -5 ; c = 4 99

D = b2 – 4ac = (-5)2 - 4∙1∙4 = 9 L= 9 9 = 9 (C) 6 12 2 6. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y  4x  x2 , y  2x  8 , dan sumbu Y adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a. 4 2 satuan luas b. 6 2 satuan luas c. 12 2 satuan luas 3 33 d. 20 2 satuan luas e. 30 2 satuan luas 33 Jawaban y1  4x  x2 & y2 = -2x + 8 y1 – y2 = 0 (mencari perpotongan dengan kedua kurva) 4x – x2 – (-2x + 8) = 0 -x2 + 6x – 8 = 0 (-x + 4) (x – 2) = 0 x = 4 atau x = 2(dipilih yang dekat dengan sumbu-Y) batas bawah = 0; & batas atas = 2 2 Luas = ( y1  y2 ) dx 0 2 =  (-x2 + 6x – 8) dx 0 =  1 x3 + 3x2 – 8x 2 30 =  1  23 + 3∙22 – 8∙2 – 0 3 =  8 - 4 =  20 = 6 2 ( B ) 3 33 7. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis x + y – 2 = 0 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600. Volume benda putar yang terjadi adalah ….. satuan volume (UN P3 2001/ 2002) a. 15 2  b. 15 2  c. 14 3  d. 14 2  e. 10 2  3 55 5 3 Jawaban y1 = x2 ; y2 = –x + 2 y1 – y2 = 0 x2 – (–x + 2) = 0 x2 + x – 2 = 0 (x + 2) (x – 1) = 0 x = -2 atau x = 1 batas bawah = -2; & batas atas = 1 1 V = ( y12  y22 ) dx 2 100

1 = (x4  (x2  4x  4)) dx 2 1 = (x4  x2  4x  4) dx 2 = 1 x5 - 1 x3 + 2x2 – 4x 1 53 - = 1 ∙15 - 1 ∙13 + 2∙12 – 4∙1 – (21 (-2)5 - 1 (-2)3 + 2(-2)2 – 4(-2) 53 53 = 1 - 1 - 2 + 32 - 8 - 16 53 53 = 33 - 9 -18 53 = 99  45  270 15 =  216 =  72 = 14 2  ( D ) 15 5 5 SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. RUMUS DASAR FUNGSI ALJABAR a. 2 b. 6 c. 9 d. 12 e. 15 1. Gradien sebuah kurva pada setiap titik (x, 5. p 2 ) dx = 78. Nilai (-2p) y) ditentukan dengan rumus dy = 6x2 – 4x Diketahui dx 3x (x + 13 + 5. Jika kurva tersebut melalui titik (-2, 1), maka persamaannya adalah ……. (UN = ……. (UN D9 2006/ 2007 paket 16 A) P3 2003/ 2004) a. 8 b. 4 c. 0 d. –4 e. –8 a. y = 2x3 – 2x2 + 5x + 14 6. Diketahui p (x 1)2 dx = 2 2 . Nilai p yang i3 b. y = 2x3 – 2x2 + 5x + 19 memenuhi adalah …….(UN D-10 2008 – c. y = 2x3 – 2x2 + 5x – 19 2009) d. y = 2x3 – 2x2 + 5x + 34 a. 1 b. 1 1 c. 3 d. 6 e. 9 3 e. y = 2x3 – 2x2 + 5x + 35 2 1 7. Nilai dari x2 (x  2)dx  …. (UN D-10 2. Hasil dari  x2 (x  6) dx = …. (UN P3 0 1 2009 – 2010 A) 2001/ 2002) a. 6 b. 6 1 c. 6 2 d. 9 1 e. 20 a. –4 b. - 1 c. 0 d. 1 e. 4 1 333 2 22 8. Hasil dari2  x 2  1 dx = …. (UN D-10 2 1 x2  3. Hasil 14 xx dx  ..... (UN D.10 2009 – 2010 B) 2007/2008) a. 9 b. 9 c. 11 d. 17 e. 19 56 6 6 6 a. -12 b. -4 c. -3 d. 2 e. 3 2 4 m 9. Hasil  (x2  6x  8)dx = ……. (UN D10 4. Diketahui  (3 p 2 - 6p + 5) dp = 3. Nilai 3m 2 1 2011 paket 12) = ……… (UN D9 2006/ 2007 paket 49 B) 101

A. 38 B. 26 C. 20 e. – 4 cos 4x - 2 sin 2x + C 33 3  D. 16 E. 4 33 2 10. Hasil 3  x2  1 dx =… (UN D10 2011 6. Nilai dari  (4 cos 2x  3sin 3x)dx adalah  1 6 3 …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a. 1 3 b. 3 1 c. 3 1 paket 46) d. 2 3 1 e. 2 3 1 A. 9 1 B. 9 C. 8 D. 10 E.3  33 6 7. Nilai dari  sin 3x  cos 3xdx = …. (UN B. RUMUS DASAR FUNGSI 0 TRIGONOMETRI D-10 2009 – 2010 B)  a. 2 b. 1 c. 0 d.  1 e.  2 4 33 33  8. Hasil dari sin 2 x  cos2 x dx adalah …. 1. Hasil dari  2 sin x cos x dx = …… (UN 0 P5 2002/ 2003) (UN D-10 2009 – 2010 B) a. 1 b. 1 c. 0 d. - 1 e. –1 a. 1 cos 2x  C b.  2cos 2x  C 24 2 2  c.  2sin 2x  C d. 1 sin 2x  2 2.6  ) dx = ….. (UN sin (x + ) cos (x + 03 3 e.  1 sin 2x  C P3 2001/ 2002) 2 a. - 1 b. - 1 c. 1 d. 1 e. 3  4 884 8 9.  (sin 3x  cos x)dx = ……. (UN D10 2011  0 2 paket 12) 3. Nilai dari  sin 5x cos 3x dx = ……. (UN A. 10 B. 8 C. 4 3 33 0 P3 2003/ 2004) D. 2 E.  4 33 a. - 1 b. - 3 c. 1 d. 3 e. 1 2 16 3 16 2  2  10. Hasil  2sin x  cos 2xdx =…… (UN 4. Nilai  sin 2x cos x dx = ……. (UN P11 0 0 D10 2011 paket 46) 2005/ 2006) A.  5 B. 3 C.1 D. 2 E. 5 22 2 a. - 4 b. - 1 c. 1 d. 2 e. 4 3 333 3 C. METODE SUBSTITUSI 5. Hasil  sin 3x cos xdx  ....... (UN D-10 1. Hasil dari 10x dx = ….. (UN P3 (x 2  1)6 2008 – 2009) 2001/ 2002) a. - 1 cos 4x - 1 cos 2x + C 84 a. 35x2 + C b. 70x + C (x 2  1)7 (x 2  1)7 b. - 1 cos 4x + 1 cos 2x + C 84 5 4 c. + C d. +C c. - 1 cos 4x - 1 cos 2x + C 3(x 2  1)5 (x 2  1)5 42 e. 1 + C d. 1 cos 4x + 1 cos 2x + C (x 2  1)5 42 102

5 2x dx = ….. (UN P5 2002/ 2003) D. 1 3x2  9x 1  C 2 2. 1 (x 2  1)2 a. 14 b. 12 c. 7 d. 6 e. 5 E. 3 3x2  9x 1  C 13 13 13 13 13 2 3. Hasil dari  cos2 x sin x dx adalah …. 7. Hasil dari  cos4 2x sin 2x dx = …. (UN (UN D.10 007/2008) D10 2011 paket 12) a. 1 cos3 x  C d. 1 sin 3 x  C A.  1 sin5 2x + C 33 10 b.  1 cos3 x  C e. 3sin3 x  C B.  1 cos5 2x + C 3 10 c.  1 sin3 x  C C.  1 cos5 2x + C 3 5 4.Hasil dari (6x2  4x) (x3  x2 1) dx = D. 1 cos5 2x + C 5 (UN D-10 2009 – 2010) E. 1 sin5 2x + C A. 2 3 x3  x2 1)2 + C 10 3 8. Hasil  sin3 3x cos 3xdx = . . . . (UN D10 B. 2 x3  x2 1)3 + C 3 2011 paket 46) C. 4 x3  x2 1)3 + C A. 1 sin4 3x + C B. 3 sin4 3x + C 3 4 4 D. 4 x3  x2 1)2 + C. 4 sin4 3x + C D. 1 sin4 3x + C 3 3 E. 4 x3  x2 1) + C E. 1 sin4 3x + C 3 12 5. Hasil dari (6x2  4x) (x3  x2 1) dx = 9. Hasil  6x 3x2  5 dx =…. (UN D10 2011 (UN D-10 2008 – 2009) paket 46) a. 2 3 x3  x2 1)2 + C A. 2 (6x2  5) 6x2  5  C 3 3 b. 2 x3  x2 1)3 + C B. 2 (3x2  5) 3x2  5  C 3 3 c. 4 x3  x2 1)3 + C C. 2 (x2  5) x2  5  C 3 3 d. 4 x3  x2 1)2 + C D. 3 (x2  5) x2  5  C 3 2 e. 4 x3  x2 1) + C E. 3 (3x2  5) 3x2  5  C 3 2 6. Hasil 2x  3 dx = ……. (UN D10 D. METODE PARSIAL 3x2  9x 1 1. Hasil  x (x – 1)3 dx = …. (UN P5 2002/ 2011 paket 12) 2003) A. 2 3x2  9x 1  C a. 1 (x – 1)4 (4x + 1) + C B. 1 3x2  9x 1  C 4 3 b. 1 (x – 1)4 (4x + 1) + C C. 2 3x2  9x 1  C 20 3 c. 4 (x + 1)4 (4x - 1) + C 5 103

d. 1 (x + 1)4 (4x + 1) + C Y 20 X= 3 e. 1 (x – 1)4 (4x - 1) + C 4 y  x2  4x  3 2. Hasil dari  2x cos 1 x dx = ……. (UN P3 0X 2 y  x2  6x  5 2003/ 2004) Luas daerah yang diarsir pada gambar a. 4x sin 1 x + 8 cos 1 x + C adalah …….. (UN P11 2005/ 2006) 22 a. 2 satuan luas b. 3 satuan luas b. 4x sin 1 x - 8 cos 1 x + C 3 22 c. 5 1 satuan luas d. 6 2 satuan luas c. 2x sin 1 x + 4 cos 1 x + C 33 22 e. 9 satuan luas d. 2x sin 1 x + 2 cos 1 x + C 22 3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 6x + 8 dan sumbu X adalah …… e. 2x sin 1 x - 2 cos 1 x + C 22 satuan luas. (UN P5 2002/ 2003) 3. Hasil dari  (x2 + 1) cos x dx = …… (UN a. 2 b. 4 c. 8 d. 10 e. 20 D10 2004/ 2005) 3 33 3 3 a. x2 sin x + 2x cos x + C b. (x2 – 1) sin x + 2x cos x + C 4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva c. (x2 + 3) sin x - 2x cos x + C y = 2x2 + 4x – 6 dan y = 4x2 – 8x + 10 d. 2x2 cos x + 2x2 sin x + C adalah ….. satuan luas (UN P3 2003/ e. 2x sin x – (x2 – 1) cos x + C 2004) a. 1 1 b. 2 1 c. 3 1 3 3 3 d. 13 1 e. 13 2 33 E. LUAS DAERAH 5. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh 1. kurva y = x2 – 4x + 4, garis y = 4x – 12 dan x = 3 adalah …….. (UN P3 2005/ Y y = 2x 2006) a. 1 satuan luas b. 2 satuan luas 33 0 c. 1 satuan luas d. 3 satuan luas X 2 y 8x2 e. 3 satuan luas Luas daerah yang arsir pada gambar diatas adalah …… satuan luas.(UN P3 2001/ 6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2002) x2 dan y = 3x – 2 adalah ….. (UN D9 a. 5 b. 7 2 c. 8 d. 9 1 e. 10 1 2006/ 2007 paket 49 B) 3 33 2. Perhatikan gambar berikut.! a. 1 satuan luas b. 1 satuan luas 6 2 c. 2 5 satuan luas d. 3 satuan luas 6 e. 4 5 satuan luas 6 104

7. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh e. 10 2 satuan luas kurva x = y2 dan garis y = x – 6 adalah 3 …….. (UN D9 2006/ 2007 paket 71) a. 2 5 satuan luas b. 10 2 satuan luas 11. Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 - 63 x2, y = -x + 2 dan 0  x  2 adalah …. c. 14 1 satuan luas d. 20 5 satuan luas (UN D10 2011 paket 12) 66 A. 3 satuan luas B. 10 satuan luas e. 104 1 satuan luas 83 6 C. 14 satuan luas D. 16 satuan luas 33 8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva E. 26 satuan luas y  x2  4x , sumbu X, garis x  1dan 3 x  3 adalah …. (UN D.10 007/008) b. 3 2 satuan luas d. 9 1 satuan luas 12. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 33 x2, garis y = x + 2, sumbu Y di kuadran I c. 5 1 satuan luas e. 10 2 satuan luas adalah … (UN D10 2011 paket 46) 33 A. 2 satuan luas B. 4 satuan luas d. 7 1 satuan luas 33 3 C. 6 satuan luas D. 8 satuan luas 33 9. Luas daerah yang diarsir pada gambar E. 10 satuan luas dapat dinyatakan dengan ……….(UN D- 3 10 2008 – 2009) F. VOLUME BENDA PUTAR 2 1. Volum benda putar yang terjadi jika a.  (3x  x2 ) dx daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, dan y = 4 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 0 3600 adalah ……. satuan volume. (UN P5 22 2002/ 2003) a. 4 b. 6 c. 8 d. 12 e. 14 b.  (x  3) dx -  x2 dx 2. Volum benda putar yang terjadi jika daerah 00 1 12 yang dibatasi oleh kurva y = 2 x 2 , garis y c.  (x  3) dx -  x2 dx = 1 x dan garis x = 4 diputar 3600 00 2 12 terhadap sumbu X adalah …… (UN D10 2004/ 2005) d.  (x  3  x2 )dx   (x2 )dx a. 23 1  satuan volum 01 3 12 b. 24 2  satuan volum e.  (x  3  x2 )dx   (4  x2 )dx 3 c. 26 2  satuan volum 01 3 10. Luas daerah yang dibatasi parabola d. 27 1  satuan volum y  x2  x  2 dengan garis y  x 1 pada interval 0  x  3 adalah …. (UN D- 3 10 2009 – 2010 B) e. 27 2  satuan volum a. 5 satuan luas b. 7 satuan luas c. 9 satuan luas d. 10 1 satuan luas 3 3 3. Volum benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3, diputar mengelilingi sumbu X adalah …… (UN P11 2005/ 2006) 105

a. 67  satuan volum b. 8 4  satuan volume 5 15 b. 107  satuan volum c. 4 11  satuan volume 5 15 c. 117  satuan volum d. 3 11  satuan volume 5 15 d. 133  satuan volum e. 2 4  satuan volume 5 15 e. 183  satuan volum 7. Volume benda putar yang terbentuk jika 5 daerah yang dibatasi oleh kurva x  y2 1  0,1  x  4, dan sunbu X 4. Volume benda putar yang terjadi jika daerah diputar mengelilingi sumbu X sejauh yang dibatasi oleh garis y = 2x dan 360 0 adalah …. (UN D.10 2007/2008) parabola y = x2 diputar sejauh 3600 a. 8 1  satuan volume mengelilingi sumbu X adalah …… (UN 2 D9 2006/ 2007 paket 16 A) b. 9 1  satuan volume 2 a. 32  satuan volum c. 11 1  satuan volume 5 2 d. 12 1  satuan volume b. 64  satuan volum 2 15 e. 8 1  satuan volume 2 c. 52  satuan volum 15 8. Perhatikan gambar diasrsir disamping! Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi d. 48  satuan volum sumbu Y, maka volume benda putar yang 15 terjadi adalah………..……….(UN D-10 2008 – 2009) e. 32  satuan volum 15 a. 6 2  satuan volume 5 5. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = 2x dan y = b. 8 satuan volume x2 diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu c. 13 2  satuan volume Y adalah ……. (UN D9 2006/ 2007 paket 49 B) 3 d. 15 2  satuan volume a. 1 1  satuan volume 3 5 e. 25 3  satuan volume b. 2 2  satuan volume 3 5 9. Daerah yang dibatasi oleh kurva c. 4 4  satuan volume 15 y  4  x2 , sumbu X, sumbu Y dan garis x = 1. Volum benda putar yang terjadi, d. 13 1  satuan volume 3 e. 17 1  satuan volume 5 6. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x – 3 dan y = x2 – 3x diputar mengelilingi sumbu X adalah …….. (UN D9 2006/ 2007 paket 71) a. 11 4  satuan volume 15 106

jika daerah tersebut diputar mengelilingi B. 30  satuan volume sumbu X adalah …. (UN D-10 2009 – 15 2010 A) C. 54  satuan volume a. 12 8  satuan volum 15 15 D. 64  satuan volume b. 12 8  satuan volum 15 12 E. 144  satuan volume c. 13 8  satuan volum 15 15 d. 13 8  satuan volum 12 e. 14 satuan volum 10. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y  2x  x2 dan y  2  x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 B) a. 1  satuan volum 5 b. 2  satuan volum 5 c. 3  satuan volum 5 d. 4  satuan volum 5 e.  satuan volum 11. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis y = 2x di kuadran I diputar 360° terhadap sumbu X adalah…… (UN D10 2011 paket 12) A. 20  satuan volume 15 B. 30  satuan volume 15 C. 54  satuan volume 15 D. 64  satuan volume 15 E. 144  satuan volume 15 12. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis y = 2x di kuadran I diputar 360° terhadap sumbu X adalah…. (UN D10 2011 paket 46) A. 20  satuan volume 15 107

18. PROGRAM LINEAR A. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER 1. Menentukan persamaan garis lurus Diketahui Kurva Persamaan Garis Lurus bx  ay  ab Melalui titik Y (a,0) & (0,b) b Y aX Melalui titik B(x2, y2) y  y1  x  x1 A(x1, y1) & B(x2 , y2 ) A(x1, y1) y2  y1 x2  x1 0 X 2. Pertidaksamaan linier dua variabel Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat salah satu dari tanda-tanda ketidaksamaan seperti: ≥, ≤, >, & <. Pertidaksamaan linier dua variable adalah suatu pertidaksamaan yang didalamnya memuat dua variable dan masing-masing variable itu berderajad satu. Contoh: x – 3y < 5 3. Menentukan daerah penyelesaian suatu system pertidaksamaan linier dua perubah No Bentuk pertidaksamaan Daerah yang memenuhi 1 ax + by > c Di sebelah atas dari garis ax + by = c 2 ax + by < c Di sebelah bawah dari garis ax + by = c 3 ax - by > c Di sebelah bawah dari garis ax - by = c 4 ax - by < c Di sebelah atas dari garis ax - by = c B. PROGRAM LINIER Program linier adalah suatu cara yang bertujuan untuk menentukan himpunan penyelesaian bagi suatu sistem pertidaksamaan. 1. Prinsip-prinsip program linier a. Setiap pernyataan yang harus dipenuhi oleh variabel-variabel seperti x dan y dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan. b. Dari setiap pertidaksamaan akan dibentuk suatu persamaan yang berkaitan c. Persamaan yang dibentuk digunakan untuk melukis garis bagi penyelesaian pertidaksamaan d. Arsirlah daerah yang memenuhi daerah pertidaksamaan. e. Koordinat-koordinat setiap titik dalam daerah arsiran mewakili suatu sistem pertidaksamaan. 108

2. Model Matematika Model matematika adalah rumusan masalah yang dinyatakan dalam bentuk hubungan hubungan atau ekspresi matematika. Ungkapan dan Implikasinya Pertidaksamaan 2 < y < 6 atau y > 2 1 Nilai y diantara 2 dan 6, Artinya y dan y < 6 lebih dari 2 dan kurang dari 6. 2<x≤8 x > 2 dan x ≤ 8 2 Nilai x melebihi 2 tetapi tidak lebih dari 8. Artinya, x sama atau kurang 5 ≤ y < 12 dari 8, tetapi lebih dari 2. y ≥ 5 dan y < 12 3 Nilai y kurang dari 12, tetapi tidak x ≥ 10 kurang dari 5. Artinya, y sama atau lebih dari 5, tetapi kurang dari 12. 4 Nilai x sekurang-kurangnya 10. Artinya, x sama atau lebih dari 10. 3. Menyelesaikan masalah optimasi Langkah : a. Mengubah soal cerita menjadi model matematika (dengan tabel) b. Menyusun system pertidaksamaan linier dua peubah c. Menggambar grafik  menentukan daerah penyelesaian d. Merumuskan bentuk objektif : F(x, y)  ax  by e. Menentukan nilai optimum bentuk objektif ( nilai maximum atau nilai minimum) ada 2 cara :  Dengan penyelidikan titik-titik sudut daerah penyelesaian (tabel)  Dengan garis selidik yang berbentuk ax  by  k , k  R  Nilai maksimum terletak pada titik yang dilalui garis selidik yang terjauh dari garis selidik ax  by  0  Nilai minimum terletak pada titik yang dilalui garis selidik yang terdekat dari garis selidik ax  by  0 Contoh 1. Nilai maksimum fungsi f(x,y) = 2x + 3y yang memenuhi system pertidaksamaan x + 2y  6 x – y  -1 x–40 adalah …… (UN P5 2002/ 2003) a. 11 b. 21 c. 23 d. 24 e. 26 Jawaban Y C • • • 3 •A HP • B 1• • ••• • • • • • -• 4 6 X x - y = -1 • 1 x + 2y = 6 x=4 109

x – y = -1 → x = y -1 x + 2y = 6 y – 1 + 2y = 6 y= 7; → x= 7-1= 4 3 33 Titik Pojok f(x,y) = 2x + 3y A( 7 , 4 ) f( 7 , 4 ) = 2∙ 7 +3∙ 4 = 26 33 33 3 3 3 B(4, 1) f(4, 1) = 11 C(4, 5) f(4, 5) = 23 (nilai maksimum) ( C ) 2. Nilai minimum fungsi obyektif f (x, y)  3x  4y dari daerah yang diarsir pada gambar adalah …. (UN D-11 2009 – 2010 A) a. 36 b. 32 c. 28 d. 26 e. 24 Jawaban Y 8 A• • • HP B • 4• • • •C • ••• • • • • •• • • • • • • 8 12 X 4x + 12y = 48 atau 8x + 8y = 64 atau x + 3y = 12 x+y=8 x+y=8 →x=8-y x + 3y = 12 8 – y + 3y = 12 y = 2; → x = 6 Titik Pojok f(x,y) = 3x + 4y A(0, 8) f(0, 8) = 32 B(6, 2) f(6, 2) = 24 (nilai minimum) ( E ) C(12, 0) f(12, 0) = 36 110

3. Tempat parkir seluas 600 m2 hanya mampu menampung bus dan mobil sebanyak 58 buah. Tiap mobil memerlukan tempat 6 m2 dan bus 24 m2. Biaya parkir tiap mobil Rp. 5.000,00 dan bus Rp. 7.500,00. Jika tempat parkir penuh, hasil dari biaya parkir paling banyak adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a. Rp. 197.000,00 b. Rp. 220.000,00 c. Rp. 290.000,00 d. Rp. 325.000,00 e. Rp. 500.000,00 Jawaban x = Banyak kendaraan bus y = Banyak kendaraan mobil Jenis kendaraan Banyak kendaraan Lahan parkir Biaya parkir Bus x 24y 7500x Mobil y 6y 5000y Persediaan 58 600 1. x + y ≤ 58 3. x ≥ 0 2. 24y + 6y ≤ 600 → 4x + y ≤ 100 4. y ≥ 0 f(x, y) = 7500x + 5000y x + y ≤ 58 → x + y = 58 4x + y ≤ 100 → 4x + y = 100 25 0 x 0 58 x0 y 58 0 y 100 Titik (0, (58, Titik (0, (25, Maks → dipilih titik5yang dek0at sumbu-X dan sumbu-Y; yaitu (25, 01) & (0, 580) 8) 0) x + y = 58 → y = 5) 8 – x 0 ) 4x + y = 100 4x + 58 – x = 100 x = 14; y = 44 Titik Pojok f(x,y) = 7500x + 5000y (25, 0) f(25, 0) = 187500 (0, 58) f(0, 58) = 290000 (14,44) f(14,44) = 105000 + 220000 = 325000 (nilai minimum) ( D ) SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER 1. Daerah yang diarsir pada gambar diatas merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem tidak persamaan linear. Nilai maksimum dari f (x, y)  7x  6y adalah …. (UN D.10 2007 2008) 111

2 dapat diperoleh adalah ……… (UN P3 2003/ 2004) 0 1 a. Rp. 70.000,00 b. Rp. 75.000,00 c. Rp. 90.000,00 d. Rp. 100.000,00 5 e. Rp. 20.000,00 2. Sebuah pesawat udara berkapasitas tempat a. 88 b. 94 11 duduk tidak lebih dari 48 penumpang. 2. c. 102 d2. 106 8e. 196 Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg dan kelas ekonomi Y hanya 20 kg. Pesawat hanya dapat memuat bagasi 1.440 kg. Jika harga tiket kelas 11 utama Rp. 600.000,00 dan kelas ekonomi Rp. 400.000,00, pendapatan maksimum 5 yang diperoleh adalah ….. (UN D10 2004/ 2005) 5,5 10 X a. Rp. 8.400.000,00 Daerah yang diarsir pada gambar di atas b. Rp. 14.400.000,00 merupakan himpunan penyelesaian dari c. Rp. 15.600.000,00 suatu program linear. Nilai maksimum dari d. Rp. 19.200.000,00 3x + 4y adalah ………. (UN P3 2001/ e. Rp. 21.600.000,00 2002) 3. Agar dapat beproduksi dengan optimal, a. 20 b. 24 c. 28 d. 30 e. 32 sebatang pohon jeruk harus diberi pupuk 3. Nilai maksimum dari fungsi yang mengandung minimal 12 unit zat N f (x, y)  15x 10y pada daerah yang dan 12 unit zat P. Di pasaran tersedia dua diarsir dari gambar berikut adalah .... jenis pupuk untuk pohon jeruk yaitu pupuk A dan pupuk B. Satu bungkus pupuk A a. 15 b. 20 c. 30 d. 34 e. 36 mengandung 1 unit zat N dan 3 unit zat P, sedangkan satu bungkus pupuk B B. SOAL CERITA mengandung 3 unit zat N dan 1 unit zat P. 1. Sebuah rotibjenis I membutuhkan 100g Harga per bungkus pupuk A adalah Rp. 2.500,00 dan harga per bungkus pupuk B tepung dan 100 g mentega, roti jenis II adalah Rp. 3.000,00. Seorang petani membutuhkan 400g tepung dan 100 g mempunyai 1.000 pohon jeruk, biaya mentega. Tersedia 10 kg tepung dan 7 kg minimal yang harus dikeluarkan dalam mentega. Jika laba untuk roti jenis I Rp. satu kali pemupukan agar pohon jeruknya 1.000,00/ buah dan roti jenis II Rp. dapat berproduksi dengan optimal adalah 3000,00/ buah, maka laba maksimum yang …. (UN P3 2005/ 2006) a. Rp 7.500.000,00 b. Rp 8.000.000,0 c. Rp 10.000.000,00 d. Rp 12.000.000,0 e. Rp 16.500.000,00 4. Sebuah pabrik menggunakan bahan A, B, dan C untuk memproduksi 2 jenis barang, yaitu barang jenis I dan barang jenis II. Sebuah barang jenis I memerlukan 1 kg bahan A, 3 kg bahan B, dan 2 kg bahan C. Sedangkan barang jenis II memerlukan 3 kg bahan A, 4 kg bahan B, dan 1 kg bahan C. Bahan baku yang tersedia 480 kg bahan A, 720 kg bahan B, dan 360 kg bahan C. Harga barang jenis I adalah Rp 40.000,00 dan harga barang jenis II adalah Rp 112

60.000,00. Pendapatan maksimum yang b. Rp. 650.000,00 e. Rp. 800.000,00 diperoleh adalah …… (UN D9 2006/ 2007 c. Rp. 700.000,00 paket 16 A) 11. Menjelang hari raya Idul Adha. Pak Mahmud hendak berjualan sapi dan a. Rp 7.200.000,00 b. Rp 9.600.000,00 kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Jawa Tengah berturut-turut Rp. c. Rp 10.080.000,00 d. Rp 10.560.000,00 9.000.000,00 dan Rp. 8.000.000,00. Modal yang ia miliki adalah e. Rp 12.000.000,00 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Jakarta dengan harga 5. Seorang pedagang mempunyai gudang berturut-turut Rp. 10.300.000,00 dan Rp. yang hanya dapat menampung paling 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki banyak 90 peti barang. Setiap peti barang hanya dapat menampung tidak lebih dari A dibeli dengan harga Rp 200.000,00 dan 15 ekor. Agar mencapai keuntungan yang akan dijual dengan laba Rp 40.000,00. maksimum, maka banyak sapi dan kerbau Setiap peti barang B dibeli dengan harga yang harus dibeli Pak Mahmud Rp 100.000,00 akan dijual dengan laba Rp adalah……. (UN D-10 2008 – 2009) 15.000,00. Jika modal yang tersedia Rp. a. 11 sapi dan 4 kerbau 13.000.000,00, maka laba maksimum yang b. 4 sapi dan 11 kerbau diperoleh adalah …. (UN D9 2006/ 2007 c. 13sapi dan 2 kerbau paket 49 B) d. 0 sapi dan 15 kerbau e. 6 sapi dan 8 kerbau. a. Rp 2.750.000,00 b. Rp 2.600.000,00 14. Suatu perusahaan mebel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk c. Rp 2.350.000,00 d. Rp 1.350.000,00 membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk e. Rp 1.200.000,00 membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I 6. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun tidak dijual seharga Rp. 250.000,00 per unit dan lebih dari 125 unit rumah untuk tipe RS barang jenis II dijual seharga Rp. dan RSS. Tipe RS memerlukan tanah 100 400.000,00 per unit, maka agar m2 dan RSS memerlukan tanah 75 m2. Jika penjualannya mencapai maksimum, menginginkan keuntungan untuk tipe berapa banyak masing-masing barang rumah RS sebesar Rp 10.000.000,00 dan harus dibuat ? (UN D-10 2009 – 2010 B) tipe RSS sebesar Rp 7.500.000,00, maka a. 6 jenis I b. 12 jenis II keuntungan maksimum adalah. ….. (UN c. 6 jens I dan 6 jenis II D9 2006/ 2007 paket 71) d. 3 jenis I dan 9 jenis II e. 9 jenis I dan 3 jenis II a. Rp 1.250.000.000,00 15. Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I b. Rp 1.000.000.000,00 mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 c. Rp 2.350.000,00 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan d. Rp 937.500.000,00 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp. 4.000,00 per biji e. Rp 500.000.000,00 dan tablet II Rp. 8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian 7. Seseorang membuat kue mempunyai 4 kg tablet per hari adalah ….. (UN D10 2011 gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat kue paket 12) jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 A. Rp12.000,00 B.Rp14.000,00 gram tepung., sedangkan untuk membuat C. Rp16.000,00 D. Rp18.000,00 ku jnis B dibutuhkan 0 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp. 4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp. 3000,00/buah, maka pndapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah…. (UN D.10 2007/2008) a. Rp. 600.000,00 d. Rp. 750.000,00 113

E. Rp20.000,00 16. Di atas tanah seluas 1 hektar akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dan tipe B. Tiap unit rumah tipe A luasnya 100 m2, sedangkan tipe B luasnya 75 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Harga jual rumah tipe A adalah Rp100.000.000,00 dan rumah tipe B adalah Rp60.000.000,00. Supaya pendapatan dari hasil penjualan seluruh rumah maksimum maka harus dibangun rumah sebanyak…. (UN D10 2011 paket 46) A. 100 rumah tipe A saja B. 125 rumah tipe A saja C. 100 rumah tipe B saja D. 100 rumah tipe A dan 25 tipe B E. 25 rumah tipe A dan 100 tipe B 114

19. MATRIKS A. PENGERTIAN a. Matriks adalah kumpulan obyek yang disusun dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris / jajaran dan kolom / lajur. b. Ordo suatu matriks 1. Ordo / ukuran matriks adalah banyaknya baris x banyaknya kolom 2. Banyak elemen / unsur suatu matriks adalah hasil kali banyak baris dan kolom B. JENIS-JENIS MATRIKS 1. Matriks baris (Hanya mempunyai satu baris saja) B = (-1 0 1 4 ) 2. Matriks kolom (Hanya mempunyai satu kolom saja)   2  K    10  0  3. Matriks identitas I 2x2   1 0  ; 1 0 0  0 1 I3x3  0 1 0 0 1   0 C. OPERASI MATRIKS 1. Transpos matriks (….T) Elemen baris matriks mula-mula menjadi elemen kolom matriks transpos  2 3 1   2 0   0 4 7   4  A   AT    3 7  1 2. Kesamaan dua matriks Pedoman:  ordonya harus sama  elemen-elemen yang bersesuaian letaknya bernilai sama A  31 12 ; B   2  1 2  → A = B  8 40   8 3. Penjumlahan dan pengurangan dua matriks Pedoman:  Ordonya harus sama A  ca b  ; B   e f  d g h A  B   a b  +  e f  =  a  e b  f  c d g h c  g d  h 4. Perkalian matriks dengan bilangan real k adalah scalar / bilangan real A   a b  c d k.A = kca b  =  ka kb  d kc kd 115

5. Perkalian matriks Pedoman:  Amxn xBnxp  Cmxp  Banyak kolom matriks depan = banyak baris matriks belakang  AxB  BxA A  ca b  ; B   e f  d g h AxB =  a b   e f  =  ae  bg af  bh c d g h  ce  dg cf  dh  6. Perpangkatan matriks A2  AxA ; A3  AxA2 D. DETERMINAN Determinan dilambangkan dengan det(...) atau .... 1. Matriks Ordo 2x2 A  ca b  → a b d A  ad  bc c d 2. Matriks Ordo 3x3  a11 a12 a13  A   a21 a22 a23     a31 a32 a33  a11 a12 a13 a11 a12 det A = a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 = ������11������22������33 + ������12������23������31 + ������13������21������32 − ������12������21������33 − ������11������23������32 − ������13������22������31 3. Sifat-sifat determinan d. A1 = 1 a. AT = A A b. A  B = A B e. k  A = k2 A c. Jika A∙B = C maka A B = C f. An = A n 4. Klasifikasi determinan a. Matriks singular adalah matriks yang determinannya bernilai 0. b. Matriks non singular adalah matriks yang determinannya tidak bernilai 0 E. INVERS MATRIKS Invers dilambangkan dengan .....-1 1. Matriks Ordo 2x2 A  ca b  d Langkah-langkah: a. Menentukan determinan 116

a b A  ad  bc c d b. Menentukan adjoin Adj(A) =  d c b   a c. Menentukan Invers A1 = 1 Adj(A), syarat: det(A) ≠ 0 det A A1  ad 1  d c b   bc  a 2. Sifat-sifat invers a. (A-1)-1 = A b. (AB)-1 = B-1 A-1 c. A-1A = I F. PERSAMAAN MATRIKS Awas jangan Terbalik LHO! AX = B X = A-1B XA=B X = B.A-1 G. MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN MATRIKS 1. Matriks ordo 2 x 2 a1x  b1 y  c1 a2 x  b2 y  c2 Ubah menjadi bentuk matriks  a1 b1  x    c1  a2 b2 y c2 a. Metode invers  x   a1 b1  1  c1  1  b2 b1  c1  y a2 b2 c2   a2 a1 c2  = a1  b2 a2  b1 b. Metode determinan (Cramer) D  a1 b1 ; Dx  c1 b1 Dy  a1 c1 a2 b2 c2 b2 a2 c2 ; x  Dx , y  Dy , D  0 DD 2. Matriks ordo 3 x 3 a1x  b1 y  c1z  d1 →  a1 b1 c1  x   d1  a2 x  b2 y  c2 z  d2 a2 b2 c2  y    d 2  a3 x  b3 y  c3 z  d3  a3 b3 c3  z   d 3  117

a1 b1 c1 d1 b1 c1 a1 d1 c1 d2 c2 , D  a2 b2 c2 ; Dx  d 2 b2 c2 ; Dy  a2 d3 c3 a3 b3 c3 d3 b3 c3 a3 a1 b1 d1 x  Dx , y  Dy , z  Dz , D  0 Dz  a2 b2 d 2 D DD a3 b3 d3 H. MENGHITUNG LUAS SEGITIGA Misalnya, diberikan titik P(x1, y1); Q(x2, y2); dan R(x3, y1) 1. Titik P, Q, dan R segaris x1 y1 1 x2 y2 1 = 0 x3 y3 1 2. Titik P, Q, dan R membentuk segitiga x1 y1 1 → Luas ∆PQR adalah 1 x1 y1 1 x2 y2 1 ≠ 0 2 x2 y2 1 x3 y3 1 x3 y3 1 Contoh 1. Diketahui matriks A = 53 y1 , B=  x 5  dan C =   3 91 . Jika A+B-C=  6 y 3 8 x 5x 4  maka nilai x + 2xy + y adalah ………..(UN D-10 2008 – 2009)  a. 8 b. 12 c. 18 d. 20 e. 22 Jawaban A + B - C = 8 x 5x 4   53 y1 +  x 56  -   3 91 =  8 5x 4  y   3 x  6  x y 6 = 8 x 5x 4 2  y 4  x = 2; y = 4 x + 2xy + y = 18 ( C ) 2. Diketahui matiks A =  3  1 , B =  b  c 2  dan C =  4  8 5 2 3 c  1  2 3 Jika A – B = CT (CT = transpose dari matriks C), maka b + c = …. (UN D-12 2008-2009) a. -5 b. -3 c. 1 d. 3 e. 5 Jawaban A – B = CT 118

 3  1 –  b  c 2 2  =  4  3  2 3 c  1 5 8  3 b c c3 =  4  3 8  1 8 c = 1; b = 0 b+c=1 (C) 3. Diketahui matriks P  12 5  dan Q  15 4  . Jika P1 adalah invers matriks P dan Q 1 3 1 adalah invers matriks Q . Maka determinan matriks P1Q1 adalah …. (UN D.10 2007/2008) a. 2 b. 3 c. 1 d. -1 e. -10 Jawaban Rumus: A1 = 1 & A  B = A B A det(P) = 1 → det( P1 ) = 1 det(Q) = 1 → det( Q1 ) = 1 det( P1Q1 ) = det( P1 ) ∙ det( Q 1 ) = 1∙1=1(C) 4. Diketahui persamaan matriks  a 1 4  +  2 b 3 = 13  3 10 1  . Nilai a + b + c + d = …  c d  4 0 (UN D.10 007/2008) a. -7 b. -5 c. 1 d. 3 e. 7 Jawaban  a 1 c4  +  2 b 3 = 13  3 10 1   d  4 0  a2 4  3b  =  3 13 1 d c  4 a = -5; b = -3; c = 6; d = 5 a + b + c + d = -5 + (-3) + 6 + 5 = 3 ( D ) 5. Diketahui matriks A =  3 2  , B =  5 13 , dan C matriks berordo 2 x 2. Jika CA = B 7 5 2 maka A + B + C adalah …….. (UN P3 2005/ 2006)  4 11 1 1  a. 1811 5 7  b. 1118 7   26 143  26 13  2   c. 2 d. 2 e.  5  11 3 8  4 Jawaban CA = B C∙  3 52  =  5 1  7 2 3 119

 5 13  3 2  1 2 7 5 C = ∙ C =  5 13 ∙  5 7  2  ∙ 1 =  18 57  2  3 1  11 A + B + C =  3 2  +  5 13 +  18 57  =  26 4  (D) 7 5 2  11 2 13 SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. OPERASI ALJABAR / KESAMAAN 12 8 4  dan B =  6  1 3a  . Jika A = B, maka MATRIKS 1. Diketahui persamaan matriks A = 2Bt (Bt 5 b 9  a  b  c  …. (UN D-10 2009 – 2010 adalah transpose matriks B), dengan A = B) a. -7 b. -5 c. -1 d. 5 e. 7  a 4  dan 2b 3c B =  2c  3b b2a71 . B. PERKALIAN MATRIKS a 1. Diketahui matriks A = 12 1 2  Nilai a + b + c = … (UN D9 2006/ 2007  dan paket 16 A)  3  3 a. 6 b. 10 c. 13 d. 15 e. 16 B =  1 1 , maka AB = …… (UN 2. Diketahui matriks A =  a b 2b  dan P5 2002/ 2003) a 1 B =  3 a 2b b  . Transpos matriks B a. 15  15 b.  5  55  a  5  dinyatakan dengan Bt. Jika A = Bt, maka     nilai ab = …(UN D9 2006/ 2007 paket c.  6 32  d. 16 32   71) 1 a. –2 b. –1 c. 1 d. 2 e. 4 3. Diketahui matriks A =  a b 2b  dan e.  5 5 1 1 a 1   B =  3 2b  . Transpos matriks B 2. Diketahui persamaan matriks:  a a b 12 3   4  3 =  1 a  + 5  2 2b 3 dinyatakan dengan Bt. Jika A = Bt, maka 1 nilai ab = …(UN D9 2006/ 2007 paket 12 b  1 71) a.–2 b. –1 c. 1 d. 2 e. 4 Nilai a dan b adalah ……… (UN P3  4a 8 4  2003/ 2004) 4. Diketahui matriks A =  6  1  3b a. a = 1; b = 2 b. a = 2; b = 1 5 3c 9  c. a = 5; b = -2 d. a = -2; b = 5 e. a = 4; b = -1 120

3. Diketahui matriks A =  2  3 , 8. Diketahui persamaan  0 1 12 43  x 1  =  21 8   x- 23 9 B = 1 4 2  1 1 0 1 x y 2 2  , dan C = . Nilai x + y – z = … (UN D10 2011 paket Hasil dari A + (B x C) = ……. (UN D10 46) A. –5 B. –3 C.1 D. 5 E.9 2004/ 2005) a. 80  5  b.  8  19  C. INVERS MATRIKS  2 0  1. Diketahui dua matriks A = c.  2 0 2  d.  6 0 2  1 2 a  b  3  0  0  3 4  2  dan B = 1  . Jika e. 12 1   2 a 4. Diketahui matrik A = 32 0  A-1 = Bt (A-1 adalah invers matriks A dan 5 , Bt adalah transpose matriks B), maka nilai  x 11  0 51 , a-b =… (UN D9 2006/ 2007 paket 49 B) y  B = dan C = 15 a. 3 b. 2 c. 1 d. –2 e. –3 At adalah transpos dari A. Jika At. B = C D. PERSAMAAN MATRIKS maka nilai 2x + y = … (UN P11 2005/ 2006) 1. Diketahui matriks A =  3 2  dan B = a. –4 b. –1 c. 1 d. 5 e. 7 0 5 5. Diketahui persamaan matriks   3 01 Jika AT = transpose matriks  17  a 1 4  +  2 b 3 = 13  3 10 1   c d  4 0 A dan AX = B + AT, maka determinan nilai a  b  c  d  ....(UN D.10 matriks X = …. (UN D10 2011 paket 12) 007/2008) A. – 5 B.- 1 C.1 D. 5 E.8 a.-7 b. -5 c. 1 d. 3 e. 7 6. Nilai a  b  c yang memenuhi persamaan 2. Diketahui matriks A = 13 2  dan B = 5 matriks 1 2 2   c a  186ab 4  3 3c 2a = 9c 13 -2  At 4 . Jika adalah transpose dari -  a 6  adalah …. (UN D-10 2009 matriks A, 3 5 dan AX = B + At maka 2b 5c determinan matriks X adalah…. (UN – 2010 A) D10 2011 paket 46) a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 A. 46 B.33 C. 27 D. – 33 E. - 46 7. Diketahui persamaan matriks  5 42  2 x y1 = 10 01 . 9 x Nilai x – y = ….. (UN D10 2011 paket 12) A. 2 B. 15 C. 19 5 22 D. 22 E. 23 22 121

20. VEKTOR A. PENGERTIAN Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah. Biasanya digunakan untuk menyelidiki gerak perpindahan, pergeseran, kecepatan, percepatan dan sebagainya. Secara geometris vektor dinyatakan dengan sebuah ruas garis yang besar dan arahnya ditentukan. Vektor geometris sering didefinisikan sebagai pergeseran. B. NOTASI VEKTOR 1. ditulis dengan huruf kecil yang diberi garis diatas. Misalnya, u dibaca “vektor u” ; v dibaca “vektor v” 2. ditulis dengan dua huruf besar yang diberi garis diatas Misalnya, AB (A sebagai titik pangkal & B sebagai titik ujung) 3. Untuk ruas garis yang menghubungkan dua titik dari titik O(0, 0) ke titik ujung P, maka lambang vektornya sesuai dengan nama titik ujungnya yang ditulis dengan huruf kecil. Misalnya, OP = p C. MACAM-MACAM VEKTOR 1. Vektor nol Vektor yang panjangnya nol dan arahnya tak tentu. Simbol vektor nol adalah o . 2. Vektor posisi Vektor yang titik pangkalnya di O(0, 0). Vektor posisi titik A (ditulis a atau OA) adalah vektor yang titik pangkalnya O(0, 0) dan titik ujungnya A. 3. Vektor satuan Vektor yang panjangnya satu satuan panjang dan arahnya sesuai dengan vektor yang dibicarakan. Simbolnya e . Vektor satuan dari vektor a adalah a . a 4. Vektor basis Vektor satuan dalam sumbu koordinat cartesius. Ada tiga jenis vektor basis, yaitu vektor i , vektor j dan vektor k . Vektor i adalah vektor satuan pada sumbu X Vektor j adalah vektor satuan pada sumbu Y Vektor k adalah vektor satuan pada sumbu Z D. PENYAJIAN VEKTOR 1. Secara geometris Suatu vektor dapat digambarkan sebagai sebuah garis berarah pada salah satu ujungnya. Panjang garis itu menyatakan besar dari vektor itu. 2. Secara analisis a. disajikan dalam bentuk pasangan bilangan. Misalnya, ◦ u =  x  atau u = (x, y) y b. disajikan dalam bentuk vektor basis i , j , atau k Misalnya, u = x i + y j & u = x i + y j + z k 122

E. OPERASI ALJABAR VEKTOR 1. Kesamaan dua vektor a = b jika mempunyai besar dan arah yang sama. 2. Penjumlahan vektor Diketahui, a =  x1  dan b =  x2  y1 y2 a+b =  x1  +  x2  =  x1  x2  y1 y2 y1  y2 3. Pengurangan vektor  x1   x2      Diketahui, a =  y1  dan b =  y 2   z1   z2       x1   x2   x1  x2        a - b =  y1  -  y 2  =  y1  y 2   z1   z2   z1  z2        4. Perkalian vektor dengan bilangan real  x2    Diketahui, b =  y 2   z2   x2   kx2      kb = k  y2  =  k y2   z2   kz2      F. BESAR/ PANJANG VEKTOR a. Diketahui titik A(x, y, z) OA  a  x2  y 2  z 2 b. Diketahui titik A(x1, y1, z1) dan B(x2 , y2 , z2 )  x2  x1    AB = b - a =  y2  y1   z 2  z1    AB  (x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  (z2  z1 )2 G. PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR Perkalian skalar dua vektor a dan b dinotasikan “ a ∙ b ”didaca “ a dot b ” a. Definisi 1 Jika diketahui, a , b &  a ∙ b = a  b cos   sudut antara vektor a & b 00    1800 123

2 Jika diketahui a = x1 i + y1 j + z1 k a∙b =  x1  ∙  x2  = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 dan b = x2 i + y2 j + z12 k  y1   y2   z1   z2  b. Kedudukan dua vektor dikaitkan dengan tanda perkalian skalar dua vektor. 1 a∙b = 0  = 900 a dan b saling tegak lurus 2 a∙b = a  b  = 00 a dan b sejajar atau berimpit 3 a ∙ b = - a  b  = 1800 a dan b berlawanan arah  adalah sudut antara vektor a & b c. Untuk sembarang a = x1 i + y1 j + z1 k , maka a ∙ a = a 2 = x2 + y2 + z2 d. Sifat perkalian skalar dua vektor 1. a ∙ b = b ∙ a 3. na = n a 2. a ∙ ( b  c ) = a ∙ b  a ∙ c 4. n (  a ) = - n a H. SUDUT ANTARA 2 VEKTOR Cos  = a b ;dimana 00    1800 ab I. PEMBAGIAN RUAS GARIS DALAM BENTUK VEKTOR 1. Membagi di dalam B n C bc m A a O Titik C membagi AB di dalam dengan perbandingan AC : CB = m : n c  1 (mb  na) mn 2. Membagi di luar B nm C A bc a O Titik B membagi AC di luar dengan perbandingan AB : BC = m : -n c  1 (mc  na) mn 124

J. PROYEKSI ORTHOGONAL SUATU VEKTOR Misalnya, vektor proyeksi suatu vektor ke vektor lain adalah c a. Proyeksi Skalar  a pada b  b pada a Orthogonal (Panjang Proyeksi Vektor) c = ab c = ab b a b. Vektor Proyeksi  a pada b  b pada a c= a. b .b c = a. b .a 2 2 b a K. RUMUS-RUMUS 1. ab 2= 2 + 2 b cos 3. a  b 2 - a  b 2 = 4 a b cos a b +2 a 4. a  b 2 + a  b 2 = 2 a 2 + 2 b 2 2. ab 2= 2 + 2 b cos a b -2 a 5. Tiga titik A, B dan C segaris (kolinier) bila berlaku AB = k AC ( k adalah konstanta) Contoh 1. Diketahui vektor u = a i + 2 j + 4 k , v = 4 i + 2 j + 2 k , dan w = 4 i + 2 j + 6 k . Jika u dan v saling tegak lurus, maka u + w adalah …….. (UN P3 2005/ 2006) a. i + 4 j + 10 k b. i - 4 j + 10 k c. 3 i + 4 j + 10 k d. 3 i - 4 j + 10 k e. 4 i + j + 10 k Jawaban u v → u∙ v=0 u∙ v=0 4a + 4 + 8 = 0 a = -3   3  4 1  u + w = 2  + 2 = 4  ( A )  4   6  10 _ 2. Diketahui segitiga XYZ dengan X (10, 14, -10), Y(8, 14, -6), dan Z (4, 14, -18). Jika u = _ __ __ XY dan v = YZ , maka besar sudut antara u dan v adalah … (UN D9 2006/ 2007 paket 71) e. 135o a. 30o b. 45o c. 75o d. 105o Jawaban _ _ 8  10    2 u = XY = 14  - 14  = 0    6  10  4  125

_ _  4  8    4  v = YZ = 14  - 14  = 0   18   6  12 __ α = sudut antara u dan v Cos  = u v uv 8  0  (48) 2 → α = 1350 ( E ) = 20  160 =  40 =  1 40 2 2 3. Diketahui vektor a   2  x  panjang proyeksi vektor a pada b adalah 4,  3  dan b   0  . Jika 5  4  3  maka salah satu nilai x adalah …. (UN D.10 2007/2008) a. 6 b. 4 c. 2 d. -4 e. -6 Jawaban c = vektor proyeksi a pada b c = ab b c =4 5 ab = 4 b5  2x  0 12 = 4 x2 9 5  2x 12 = 4 x2 9 5 -2x + 12 = 4 x=4 (B)  4. Diketahui titik A (2, 7, 8), B (-1, 1,-1) dan C (0, 3, 2). Jika AB wakil u dan BC wakil v maka proyeksi orthogonal vektor u dan v adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a.  3i  6 j  9k b. i  2 j  3k c. 1 i  2 j  k d.  9i 18 j  27k 33 e. 3i  6 j  9k Jawaban  1    3  v = BC =  2 u = AB =   6 3    9  126

c = vektor proyeksi a pada b a. b c = 2 .b b =  3  (12)  (27)  1  14 . 2 3  =  42 1  =   3  (A) 14 . 2 .  6   9  3  SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. OPERASI ALJABAR VEKTOR a. -2 atau 4 d. 3 atau 2 3 e. -3 atau 2 1. Diketahui vektor a = 3 i + 1 j - 1 k , 22 b. 2 atau 4 3 b = i + 5 j - k , dan . c = 3 i . Hasil 2 c. 2 atau  4 3 dari a + 1 b - c adalah …….. (UN 2 P3 2003/ 2004) D. SUDUT ANTARA 2 VEKTOR 1. Diketahui segitiga ABC dengan A (3, 1), a. 4 i + 3 j - k b. 3 1 i + 3 j - k 2 B(5, 2), dan C(1, 5). Besar sudut BAC adalah … (UN D9 2006/ 2007 paket 16 A) c. 4 i + 5 1 j - k d. 2 i + 3 j + k 2 a.45o b. 60o c. 90o d. 120o e. 135o 2. Diketahui titik P(3, -1, 2), Q(1, -2, -1), dan e. 2 i + 3 j - k R (0, 1, 1) membentuk suatu segitiga, maka B. PEMBAGIAN RUAS GARIS DALAM besar sudut PQR adalah ... (UN D9 2006/ BENTUK VEKTOR 2007 paket 49 B) a. 30o b. 45o c. 60o d. 90o e. 120o 1. Diketahui titik A (1, -1, 2), B (4, 5, 2) dan C 3. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan (1, 0, 4). Titik D terletak pada AB sehingga AD : DB = 2 : 1. Panjang CD adalah koordinat titik sudut A(3, 0, 0) & C(0, 7 , …………. (UN D10 2004/ 2005) 0) Besar sudut antara vektor DH dan DF a. 3 b. 17 c. 61 d. 17 e. 61 adalah……..(UN D-10 2008 – 2009) 4. Dadv.aikn1e5itvoahaudiba2v.laej3hk0to…or5-.cvk(.eU.4kNS5toourDduu-d1t.0a6n2i0t0ao0ra9ev2–.ej92k00too1r05uAk ) C. PERKALIAN SKALAR 2 VEKTOR a. 30o b. 45o c. 60o d. 90o e. 120o 1. Diketahui  a  = 1;  b  = 4 dan sudut 5. Diberikan vektor-vektor a  4i  2 j  2k antara vektor a dan b ialah 600. Nilai a  b = ……. (UN P5 2002/ 2003) dan b  i  j  2k . Besar sudut yang a. 4 3 b. 4 c. 2 3 d. 2 2 e. 2 dibentuk vektor a dan b sama dengan …. 2. Diketahui a  2ti  j  3k, b = -t i + 2 j - (UN D-10 2009 – 2010 B) a. 30o b. 45o c. 60o d. 90o e. 120o 5 k dan c  3ti  tj  k . Jika vektor (a  b) tegak lurus c maka nilai 2t = …. (UN D.10 2007/2008) 127

6. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, -1, -1) dan d. 6 2 e. 7 2 C(4, 2, -4). Besar sudut ABC = …. (UN D10 2011 paket 12) F. PROYEKSI VEKTOR ORTHOGONAL A.  B.  C.  D.  E.0 1. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, -1, 23 6 -3), B(-1, 1, -11), dan C(4, -3, -2). Proyeksi 7. Diketahui segitiga ABC dengan A (2, 1, 2), _____ _____ vektor AB pada AC adalah …(UN D9 B (6, 1, 2), dan C (6, 5, 2). Jika u mewakili 2006/ 2007 paket 16 A) AB dan v mewakili AC , maka sudut yang _ __ dibentuk oleh vektor u dan v adalah …. (UN D10 2011 paket 46) a. -12 i + 12 j - 6 k A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° E.120° __ _ b. -6 i + 4 j - 16 k E. PROYEKSI SKALAR ORTHOGONAL ___ 1. Diketahui vektor a = 2 i + 6 j - 3 k dan c. -4 i + 4 j - 2 k __ _ d. -6 i + 4 j - 16 k b = -2 i + 2 j - k . Proyeksi skalar _ __ orthogonal b pada a adalah ………. (UN e. 12i + 12 j - 6 k P3 2001/ 2002) a. 11 b. 5 c. 5 d. 11 e. 11 2. Pada ABC diketahui koordinat A (-1, 1, 0), 27 7 3 7 3 B(1, 2, 1), dan C(-1, 0, -1). Proyeksi vektor 2. Diketahui vektor a = -3 i + 2 j + k dan _____ _____ orthogonal AB pada AC adalah … (UN D9 2006/ 2007 paket 49 B) vektor b = i + 2 j + 2 k . Proyeksi skalar 1 _ _ 1 _ _ 2 2 orthogonal vektor orthogonal a pada b a. (- j - k ) b.  (- j - k ) adalah ………. (UN P5 2002/ 2003) __ __ e. 1 __ a. 1 b. 1 c. 3 d. 3 e. 6 2 9 35 33 c. - j - k d. j + k j +k 3. Diketahui vektor 3. Diketahui titik A(-2, 1, 3), B (10, 7, -15),  2   3 _____ a =  6  dan b =  0  dan C(2, 3, -1). Jika AB diwakili oleh  2  x  _ _____ _ vektor u dan AC diwakili oleh vektor v Jika panjang proyeksi skalar a pada b __ sama dengan 2 5 , maka salah satu nilai x maka proyeksi orthogonal u pada v yang memenuhi adalah ………. (UN P3 adalah … (UN D9 2006/ 2007 paket 71) 2003/ 2004) a. –6 b. –4 c. 0 d. 4 e. 6 a. 132 (4 _ +2 _ _ ) 36 i j - 4k _ __ _ ___ 4. Diketahui vektor a = 3 i -4 j -4 k , b. (4i + 2 j - 4 k ) _ __ _ ___ b = 2 i - j + 3 k , dan c. (6i + 3 j - 9 k ) ___ _ ___ c=4 i -3 j +5 k. d. 22i + 11 j - 22 k __ _ ___ Panjang proyeksi vektor ( a + b ) pada c e. 66 i + 33 j - 99 k ) 4. Diketahui koordinat A(-4, 2, 3) B(7, 8, -1) adalah (UN P11 2005/ 2006) C(1, 0, 7) .Jika AB wakil vektor u AC a. 3 2 b. 4 2 c. 5 2 128

wakil vektor v maka proyeksi u pada u   adalah……….(UN D-10 2008 – 2009) D. - i + 2 j + 3 k a. 3i - 6 j + 12 k 55   b. 3 5 i - 6 j + 12 k E. - i + j + 2 k 55 G. RUMUS c. 9 ( 5i - 2 j + 4k ) 1. Diketahui p tegak lurus q ,  p = 12, dan 5  q  = 5, maka  p + q  = …… (UN d. 17 ( 5i - 2 j + 4k ) P3 2001/ 2002) 45 a. 17 b. 13 c. 17 d. 105 e. 169 e. 9 ( 5i - 2 j + 4k ) 55 2. Diketahui  a  = 2 ,  b  = 9 , dan  a 5. Diketahui koordinat A(-4, 2, 3), B(7, 8, -1), + b  = 5 . Besar sudut antara vektor a dan vektor b adalah …(UN P11 2005/ dan C(1, 0, 7). Jika AB wkil vektor u AC 2006) a. 45o b. 60o c. 120o d. 135o e. 150o wakil Vektor v , maka proyeksi u pada v adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 B) a. 3i  6 j  12 k 55 b. 3 5i  6 j  12 k 55 c. 9 (5i  2 j  4k) 5 d. 17 (5i  2 j  4k) 45 e. 9 (5i  2 j  4k) 55    6. Diketahui vektor a = 4 i - 2 j + 2 k dan    vektor b = 2 i – 6 j + 4 k . Proyeksi vektor orthogonal vektor a pada vektor b adalah ….(UN D10 2011 paket 12)     A. i - j + k B. i - 3 j + 2 k     C. i - 4 j + 4 k D. 2 i – j + k   E. 6 i – 8 j + 6 k   7. Diketahui vektor a = 2 i - 4 j - 6 k dan    vektor b = 2 i - 2 j + 4 k . Proyeksi vektor ortogonal vektor a pada b adalah …. (UN D10 2011 paket 46)   A. - 4 i + 8 j + 12 k   B. - 4 i + 8 j - 12 k   C. - 2 i + 2 j - 4 k 129

21. TRANSFORMASI GEOMETRI A. PENGERTIAN TRANSFORMASI a. Transformasi adalah perpindahan dari suatu posisi ke posisi yang lain. b. Dalam geometri, transformasi adalah suatu operasi pemindahan titik-titik atau gambar ke titik atau gambar lain pada suatu bidang. B. JENIS-JENIS TRANSFORMASI Ada dua macam transformasi, yaitu: a. Transformasi Isometri Transformasi isometri adalah transformasi yang tidak mengubah bentuk, misalnya pergesesaran, percerminan dan pemutaran. b. Dilatasi Transformasi yang mengubah bentuk (menjadi lebih besar/ kecil) C. TRANSLASI/ PERGESERAN Translasi adalah pemindahan titik-titik pada bidang dengan jarak dan arahnya sama. Jarak dan arahnya dinyatakan dengan vector translasi T =  a  . Vektor translasi T =  a  artinya b b pergeseran sejauh a satuan searah sumbu-X (ke kanan jika a > 0, ke kiri jika a < 0) dilanjutkan pergeseran sejauh b satuan searah sumbu-Y (ke atas jika b > 0, ke bawah jika b < 0) dari titik O(0, 0). Jika titik P(x, y ) di translasi dengan T =  a  , maka diperoleh bayangannya P/ (x/ , y/ ) , b dengan : x /  x  a y/  yb No Translasi Pemetaan/ Bayangan 1 T =  a  A(x, y) → A/ ( x + a, y + b ) b A(x, y) → A/ (x / , y / ) 2 T1 = ba  & T2 =  c  x/ = x + a + c d y/ = y+ b + d T2 ○ T1 =  ba  c   d D. ROTASI/ PERPUTARAN Rotasi adalah pemindahan titik-titik pada suatu bangun dengan cara memutar dengan pusat titik putar. Suatu rotasi dengan pusat P dan sudut putar α ditulis (P, α). Suatu rotasi ditentukan oleh pusat putaran (P), jauh putaran, dan arah putaran. Jika α > 0, maka arah putaran berlawanan arah jarum jam. Jika α < 0, maka arah putaran searah dengan arah jarum jam. No Rotasi Pemetaan/ Bayangan 1 Pusat O(0, 0) & diputar 900 2 Pusat O(0, 0) & diputar -900 A(x, y) → A/ (-y, x) 3 Pusat O(0, 0) & diputar 1800 A(x, y) → A/ (-y, -x) A(x, y) → A/ (-x, -y) 130

4 Pusat O(0, 0) & diputar α0 A(x, y) → A/ (x / , y / ) x / = x cos α – y sin α y / = x cos α + y sin α E. REFLEKSI/ PENCERMINAN Pencerminan adalah perpindahan suatu himpunan titik ke himpunan titik lainnya dengan cara mencerminkan terhadap suatu garis atau titik. Pencerminan dinotasikan MP, dengan p adalah cermin/ sumbu simetri. No Refleksi Pemetaan/ Bayangan 1 Titik P(a, b) 2 Garis y = k A(x, y) → A/ (-x + 2a, -y + 2b) 3 Garis x = k A(x, y) → A/ (x, 2k-y) 4 Garis y = x A(x, y) → A/ (2k-x, y) 5 Garis y = -x A(x, y) → A/ (y, x) 6 Garis y = mx A(x, y) → A/ (-y, -x) A (x, y) → A/ (x / , y / ) m = tan α x' x cos 2  y sin 2 7 Garis y = ax + b a = tan α y' xsin 2  y cos 2 A (x, y) → A/ (x / , y / ) x' x cos 2  y sin 2  b (cos 2 1) a y' x sin 2  y cos 2  b sin 2 a F. DILATASI/ PEMBESARAN Dilatasi adalah perpindahan suatu himpunan titik atau bangun ke bangun lainnya, baik dengan cara memperkecil maupun memperbesar dengan pusat tertentu. Dalam dilatasi terdapat istilah titik pusat dilatasi dan faktor perkalian atau faktor skalar. No Dilatasi Pemetaan/ Bayangan 1 Titik Pusat O(0, 0) & faktor A(x, y) → A/ (kx, ky) skalar k A(x, y) → A/ (x / , y / ) 2 Titik Pusat P(a, b) & faktor x / = a + k(x – a) skalar k y / = b + k(y – b) G. MATRIKS YANG BERSESUAIAN DENGAN TRANSFORMASI No Transformasi Matriks 1 Pencerminan terhadap sumbu X 10 01 131

2 Pencerminan terhadap sumbu Y  1 0  0 1 3 Pencerminan terhadap garis y = x 10 1  0 4 Pencerminan terhadap garis y = -x  0 01 5 Putaran [0, θ] 1 6 Putaran [(a,b), θ]  cos  sin   sin cos  scions  sin    x  a    a  cos y  b b 7 Pencerminan terhadap garis y = mx,  scions22 sin 2  tan ά = m cos 2 8 Pencerminan terhadap garis  cos 2 sin 2   x  c    0  y=mx+c, tan ά=m sin 2 cos 2 y c 9 Dilatasi [0,k]  k 0  0 k 10 Dilatasi [(a, b),k]  k 0   x  a    a  0 k y  b b H. KOMPOSISI TRANSFORMASI Jenis Uraian Komposisi Notasi Pemetaan Transformasi dengan M1   a b  M1 dilanjutkan M2 M2◦ M1  xy''   e f  a b  x  matriks c d M2 dilanjutkan M1 M1◦ M2 g h c d y M2   e f   xy''   a b  e f  x  g h c d g h y I. TRANSFORMASI TERHADAP GARIS ATAU KURVA Langkah 1. Tentukan bentuk pemetaannya Misal : x' ax  by & y' px  qy 2. Ubah bentuk diatas menjadi bentuk x dalam x’ & y’ serta y dalam x’ & y’ 3. Hasil langkah 2 disubstitusikan ke persamaan garis / kurva mula-mula, kemudian sederhanakan 4. Hasil langkah 3 dihilangkan tanda aksennya, sehingga diperoleh persamaan garis / kurva bayangannya. 132

J. LUAS HASIL TRANSFORMASI Jika luas suatu bangun L mendapat transformasi yang dinyatakan dengan matriks  a b  maka luas bayangannya adalah ad  bc kali luas bangun semula.  c d  K. RUMUS PRAKTIS Cara menghafal sebagian matriks transformasi khusus Y (0, 1) II (-1, 0) I X (1, 0) (0, -1) Matriks transformasinya =  xI xII  yI yII → (xI , yI ) = bayangan titik I (xII , yII ) = bayangan titik II Contoh 1. Persamaan bayangan garis 4y  3x  2  0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks 10  1 dilanjutkan matriks 11 1 1 adalah …. (UN D.10 2007/2008) 1  a. 8x  7 y  4  0 b. 8x  7 y  2  0 c. x  2y  2  0 d. x  2y  2  0 e. 5x  2y  2  0 Jawaban T1 = 10  1 ; T2 = 11 1 1 1  T2 o T1 = 11 1 1 ∙ 10  1 =  1 02   1 1  x   1 0  1  x  y 1 2 y = ∙  x  = 1  2 10  ∙  x  y 2 1 y 133

 x  =  x y y   1 x  2 4y  3x  2  0 4∙   1 (x  y) + 3 x - 2 = 0 2  x - 2 y - 2 = 0 ( C ) 2. Garis y = -3x + 1 diputar dengan R (O, 90o) kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. Persamaan bayangannya adalah … (UN D9 2006/ 2007 paket 49B). a. 3y = x + 1 b. 3y = x – 1 c. 3y = -x + 1 d. 3y = -1 – 1 e. y = 3x – 1 Jawaban ↔ Bayangan titik (1, 0) setelah di rotasi 90o berlawanan arah jarum jam → titik (0, 1) Bayangan titik (0, 1) setelah di rotasi 90o berlawanan arah jarum jam → titik (-1, 0) T1 =  0 01 1 ↔ Bayangan titik (1, 0) setelah dicerminkan terhadap sumbu X → titik (1, 0) Bayangan titik (0, 1) setelah dicerminkan terhadap sumbu X → titik (0, -1) T2 =  1 01 0 T = T2 o T1 =  0 01 ∙  1 01 = 10 1  1 0 0  x   10 1  1  x  y 0 y = ∙  x  = 11  0 01 ∙  xy y 1  x  =  xy y y = -3x + 1 x = -3 y + 1 3y = -x + 1 ( C ) x2 y2 3. Ellips dengan persamaan + = 1 dicerminkan terhadap garis y = x, kemudian diputar 16 9 dengan pusat O(0,0) dengan sudut putar 900, persamaan bayangan elips adalah ……. (UN P3 2005/ 2006) x2 y2 x2 y2 x2 y2 y2 x2 a. + = 1 b. + = 1 c. - = 1 d. - = 1 16 9 9 16 16 9 9 16 y2 x2 e. - = 1 16 9 Jawaban ↔ Bayangan titik (1, 0) setelah dicerminkan terhadap garis y = x → titik (0, 1) Bayangan titik (0, 1) setelah dicerminkan terhadap garis y = x → titik (1, 0) 134

T1 =  0 10  1 ↔ Bayangan titik (1, 0) setelah di rotasi 90o berlawanan arah jarum jam → titik (0, 1) Bayangan titik (0, 1) setelah di rotasi 90o berlawanan arah jarum jam → titik (-1, 0) T2 =  0 01 1 T = T2 o T1 =  0 01 ∙  0 10  =  1 10  1 1 0  x   1 0  1  x  y 0 1 y = ∙  x  = 1  10 01 ∙  xy y 1  x  =  yx y (x)2 + y2 = 1 16 9 x2 y2 + =1 (A) 16 9 SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. ROTASI a. x + 2y + 3 = 0 1. Koordinat bayangan titik A(-3,5) karena b. x + 2y – 3 = 0 c. 8x – 19y + 3 = 0 rotasi sejauh 1800 dengan O(0,0) adalah …….. (UN P5 2002/ 2003) d. 13x + 11y + 9 = 0 a. (-3,-5) b. (3,5) c. (3,-5) e. 13x + 11y – 9 = 0 d. (-5,3) e. (5,-3) 2. Titik A’ (3, 4) B’ (1, 6) merupakan 2. Persamaan bayangan parabola y  x2  4 bayangan titik A (2, 3) dan B (- 4, 1) oleh karena rotasi dengan pusat O (0,0) sejauh 180 0 adalah …. (UN D.10 2007/2008) tranformasi T1 =  a b1 yang diteruskan a. x  y2  4 d. y  x2  4 0 b. x   y2  4 e. y  x2  4 T2 =  0 11 . Bila koordinat peta titik C 1 c. x  y2  4 oleh transformasi T2 o T1 adalah C’(- 5, - 6), maka koordinat titik C adalah B. KOMPOSISI TRANFORMASI ……..(UN D-10 2008 – 2009) (MATRIKS & MATRIKS) a. (4, 5) b. (4, - 5) c. (– 4, - 5) 1. Persamaan bayangan garis y = -6x + 3 d. (– 5, 4) e. (5, 4) karena transformasi oleh matriks  2 1 2  C. KOMPOSISI TRANFORMASI   1 kemudian dilanjutkan dengan (PENCERMINAN & MATRIKS) 1. Persamaan bayangan garis 4x-y+5 = 0 matriks 10 2 2  = ……… (UN D10 oleh transformasi yang bersesuaian dengan  matriks  2 0  dilanjutkan 2004/ 2005)  1 3 135

perncerminan terhadap sumbu Y adalah 1. Bayangan kurva y = x2 – 1, oleh dilatasi …(UN P11 2005/ 2006) a. 3x + 2y – 30 = 0 pusat O dengan faktor skala 2, dilanjutkan b. 6 + 12y – 5 = 0 c. 7x + 3y – 30 = 0 pencerminan terhadap sumbu Y, adalah d. 11x + 2y – 30 = 0 …(UN D9 2006/ 2007 paket 16A) e. 11x + 2y – 30 = 0 a. y = 1 x 2  1 b. y = 1 x 2  1 2. Bayangan kurva y  x 1 jika 2 2 c. y =  1 x 2  2 d. y =  1 x 2  2 2 2 ditransformasikan oleh matriks 10 2  , e. y = 1 x 2  2 1 2 kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah …. (UN D-10 E. KOMPOSISI TRANFORMASI (DILATASI & MATRIKS) 2009 – 2010 A) 1. Sebuah garis 3x  2y  6 ditranlasikan a. x  y  3  0 b. x  y  3  0 c. x  y  3  0 d. 3x  y 1  0 dengan matriks  3 4  , dilanjutkan dilatasi  e. x  3y 1  0 D. KOMPOSISI TRANFORMASI dengan O dan faktor 2. Hasil transformasinya adalah …. (UN D-10 (ROTASI & PENCERMINAN) 1. Titik A′(0,-2) adalah peta dari titik A oleh 2009 – 2010 B) rotasi sejauh 450 terhadap titik O(0,0) a. 3x  2y  14 b. 3x  2y  7 kemudian dilanjutkan dengan pencerminan c. 3x  y  14 d. 3x  2y  7 terhadap sumbu X, koordinat titik A e. x  3y  14 adalah ….. (UN P3 2003/ 2004) F. KOMPOSISI TRANSFORMASI a. (- 2 ; 2 ) b. ( 2 ; 2 ) ( PENCERMINAN & c. ( 2 ; - 2 ) d. (0; 2 ) PENCERMINAN) e. ( 2 ; 0) 1. Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 2. Persamaan bayangan garis 3x – 2y + 1 = karena refleksi terhadAp garis y = - x, 0 oleh pencerminan terhadap garis y = x dilanjutkan oleh rotasi sejauh [0; 900] dilanjutkan refleksi terhadap y = x adalah …….. ….. (UN P3 2003/ 2004) adalah… (UN D10 2011 paket 12) a. 3x – 2y – 1 = 0 b. 3x + 2y – 1 = 0 A. y + 2x – 3 = 0 B.y - 2x – 3 = 0 c. 2x – 3y + 1 = 0 d. 2x – 3y – 1 = 0 C. 2y + x – 3 = 0 D. 2y – x – 3 = 0 e. 2x + 3y + 1 = 0 E. 2y + x + 3 = 0 3. Bayangan 2x – y – 6 = 0 dicerminkan G. LUAS HASIL TRANSFORMASI terhadap sumbu X dilanjutkan rotasi pusat 0 sejauh 900 adalah……….(UN D-10 1. Diketahui segitiga OPQ dengan O(0,0), 2008 – 2009) a. 2x + y – 6 = 0 P(5,0) dan Q(2,4). Luas bayangan segitiga b. x + 2y – 6 = 0 c. x – 2y – 6 = 0 OPQ oleh transformasi  3 1  4 2 d. x + 2y + 6 = 0 e. x – 2y + 6 = 0 dilanjutkan transformasi  5 3  sama 3 2 dengan …….. (UN P3 2001/ 2002) a. 20 satuan luas b. 25 satuan luas E. KOMPOSISI TRANFORMASI c. 30 satuan luas d. 40 satuan luas (DILATASI & PENCERMINAN) e. 50 satuan luas 136

22. BARISAN DAN DERET A. PENGERTIAN Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang tersusun menurut pola tertentu. Setiap unsur bilangan yang tersusun di sebut suku barisan. B. BARISAN ARITMATIKA Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. U1, U 2 , U3 ,....., U n a , (a  b) , (a  2b) ,…, a  (n 1)b Beda ( b ) = U 2 -U1 =U 3 -U 2 = … =U n - U n1 Suku ke-n barisan aritmetika : U n = a  (n 1)b di mana: * UnSuku ke-n * b beda * a Suku pertama * n banyaknya suku C. DERET ARITMATIKA Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku dari barisan aritmetika. U1 + U 2 + U 3 + …… + U n a + (a  b) + (a  2b) + … + ( a  (n 1)b ) Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = 1 n(2a  (n 1)b) atau Sn = 1 n(a  U n ) 2 2 di mana: * Sn = -n * b = *n = * Un = -n *a = Hubungan Un dan Sn, yaitu: Un = Sn – Sn-1 D. BARISAN GEOMETRI Barisan geometri adalah suatu barisan dengan pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. U1, U 2 , U3 ,....., U n a , ar , ar 2 ,…., ar n1 Pembanding/ rasio/ r = U 2 = U 3 = U 4 = ….. = U n U1 U2 U3 U n1 Suku ke-n barisan geometri : U n = ar n1 di mana: * Un = -n * r = suku *a = *n = E. DERET GEOMETRI Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri. U1 + U 2 + U 3 + …… + U n a + ar + ar 2 + …. + ar n1 Jumlah n suku pertama deret geometri adalah Sn = a(r n 1) , r  1atau Sn = a(1  r n ) , r  1 r 1 1 r 137

di mana: * Sn = suku ke-n * a = *n = *r = Hubungan Un dan Sn, yaitu: Un = Sn – Sn-1 F. RUMUS PRAKTIS 1. Un = An + B → beda = A 2. Sn = An2 + Bn → Un = 2An + B – A 3. Sn = An2 + Bn → beda = 2A 4. Sn = n (Up + Uq); syarat n = (p + q) -1 2 5. Un = A BCnD → r = BC G. DERET GEOMETRI TAK HINGGA a. Jumlah suku tak hingga Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan |r| < 1 (-1 < r < 1). Jumlah deret geometri tak hingga adalah S = U1 + U2 + U3 + …  a 1 r b. Suku ganjil/ genap deret geometri tak hingga: Suku ganjil : U1 + U 3 + U 5 +…= S ganjil a  ar 2  ar 4 +…= a 1 r2 Suku genap : U 2 + U 4 + U 6 +…= S genap ar  ar3  ar5 +…= ar 1 r2 Rumus Praktis:  S = S ganjil + S genap  Rasio ( r ) = S genap S ganjil c. Penjatuhan bola sampai berhenti : Ilustrasi: h1 h2 h3 hk h1 = a ; h2 = ar; h3 = ar2 …. dst r= b c Panjang lintasan bola = a c  b  atau a1  r  cb 1 r  Contoh 1. Diketahui barisan aritmatika dengan Un adalah suku ke-n. Jika U2 + U15 + U40 = 165, maka U19 = …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a. 10 b. 19 c. 28,5 d. 55 e. 82,5 Jawaban 138

U2 + U15 + U40 = 165 a + b + a + 14b + a + 39b = 165 3a + 54b = 165 a + 18b = 55 U19 = 55 ( D ) 2. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika dengan beda tiga. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio barisan tersebut adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a. 4 b. 2 c. 1 d.  1 e. -2 22 Jawaban Pemisalan untuk barisan aritmatikanya adalah a - 3, a, a + 3 Barisan geometrinya adalah a - 3, a - 1, a + 3 a – 3 + a – 1 + a + 3 = 14 3a = 15 a=5 2, 4, 8 → r = 2 ( B ) 3. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah Sn = 6n2 – 3n. Suku ketujuh dari deret tersebut adalah ….. (UN D-12 2009/ 2010 A) a. 39 b. 45 c. 75 d. 78 e. 87 Jawaban Un = 2An + B – A Rumus: Sn = An2 + Bn → Sn = 6n2 – 3n Un = 2∙6n – 3 – 6 = 12n – 9 U7 = 12∙7 – 9 = 75 ( C ) 4. Diketahui suku ketiga dan suku kelima dari deret aritmatika berturut-turut adalah 18 dan 24. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah …… (UN D10 2004/ 2005) a. 117 b. 120 c. 137 d. 147 e. 160 Jawaban Sn = n (Up + Uq); syarat n = (p + q) -1 2 U3 = 18; U5 = 24 S7 = 7 (U3 + U5) 2 = 7 (18 + 24) = 147 ( D ) 2 5. Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyaknya bakteri ada 400. Banyak bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah …( UN D9 2006/ 2007 paket 16A) a. 640 bakteri b. 3.200 bakteri c. 6.400 bakteri d. 12.800 bakteri e. 32.000 bakteri Jawaban rasio = 2 139

0/ 5/ 10/ 15/ 20/ 25/ 30/ 35/ 50 400 1600 6400 ( C ) 6. Diketahui segitiga ABC siku-siku sama kaki seperti pada gambar. Jumlah semua panjang sisi miring AC + AB + BB1 + B1B2 + B2B3 + …. Adalah …. (UN D-10 2008 – 2009)    a. 18 2 1 b. 12 2 1 c. 18 2 1 d. 12 2 1 e. 6 Jawaban Rumus: S a 1 r AC = 6 2 BB1 = AB  BC AC =3 2 2 +6+3 2 + 3 + … (deret geometri takhingga) B1B2 = 3 AC + AB + BB1 + B1B2 + …. = 6 Rasio = 1 2 2 AC + AB + BB1 + B1B2 + B2B3 + …. = 62 1 1 2 2  = 12 2 ∙ 2  2 = 12 2 1 ( B ) 2 2 2 2 7. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3 kali 4 tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah … (UN P11 2005/ 2006) a.65 m b. 70 m c. 75 m d. 77 m e. 80 m Jawaban a = 10 r= 3 → b=3&c=4 4 Panjang lintasan bola = a c  b   c  c  140

= 10 4  3  = 70 (B)  4  3  SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. BARISAN ARITMATIKA dinyatakan dengan deret …. (UN P3 2003/ 1. Sebuah bidang miring ditopang oleh 10 2004) a. 5.000 (1 + 0,05)11 tiang penyangga yang jaraknya satu sama b. 5.000 (1 + 0,05)10 lain sama. Tiang penyangga yang tertinggi c. 5.000 + (1 + 0,005)9 adalah 1.275 cm dan yang terpendek 60 d. 5.000 + (1 + 0,05)8 cm. Tinggi tiang penyangga yang ke-6 e. 5.000 (1 + 0,05)9 adalah……… (UN P3 2005/ 2006) 3. Diketahui suatu barisan aritmatika adalah a. 475 cm b. 600 cm c. 725 cm 45. Jika suku kedua dikurangi 1 dan suku d. 735cm e. 745 cm ketiga ditambah 5, maka barisan tersebut 2. Jumlah suatu barisan aritmatika dengan U3 menjadi barisan geometri. Rasio barisan + U9 + U11 = 75. Suku tengah barisan geometri tersebut adalah …. ……….(UN tersebut adalah 68 dan banyak sukunya 43, D-10 2008 – 2009) maka U43 = …. ………. (UN D-10 2008 – a. 218 b. 208 c. 134 d. 132 e. 131 2009) a. 1 b. 3 c. 3 d. 2 e. 3 C. DERET ARITMATIKA 1. Suku pertama suatu deret aritmatika adalah 2 42 3. Suku ke-4 dan ke-9 suatu barisan 2. Suku pertama, ketiga dan kesebelas juga merupakan tiga suku pertama dari sebuah aritmetika berturut-turut adalah 110 dan deret geometri. Jumlah sebelas suku 150. Suku ke-30 barisan aritmetika pertama deret aritmatika tersebut adalah tersebut adalah ….. (UN D10 2011 paket ….. (UN P3 2001/ 2002) 12) a. –143 b. –88 c. 77 d. 132 e. 187 A. 308 B.318 C.326 2. Suku ke-n suatu deret aritmatika D. 344 E.354 dirumuskan dengan Un = -3n + 4. Jumlah 4. Suku ke-6 dan suku ke-12 suatu barisan 10 suku pertama deret tersebut adalah ….. aritmetika berturut-turut 35 dan 65. Suku (UN P5 2002/ 2003) ke-52, barisan tersebut adalah … (UN a. –35 b. –80 c. –125 d. –160 e. –250 D10 2011 paket 46) A. 245 B. 255 C. 265 17 D. 285 E.355 3. Nilai  ( 3n – 7) = ……… (UN P3 2003/ B. BARISAN GEOMETRI n3 1. Jumlah penduduk suatu kota tiap 10 tahun 2004) menjadi dua kali lipat dari tahun a. 322 b. 345 c. 381 d. 660 e. 762 sebelumnya. Pada tahun 1940 jumlah 4. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 penduduknya 100.000 orang. Jumlah orang anaknya menurut aturan deret penduduk kota itu pada tahun 2000 adalah aritmetika. Semakin muda usia anak ….. (UN P5 2002/ 2003) semakin banyak permen yang a. 700.000 orang b. 3,2 juta orang diperolehnya. Jika permen yang diterima c. 6,4 juta orang d. 12,4 juta orang anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 e. 12,8 juta orang buah, maka jumlah seluruh permen adalah 2. Penduduk suatu kota pada awal tahun … (UN P11 2005/ 2006) 1995 sebanyak 5.000 orang. Setiap tahun a. 60 buah b. 65 buah c. 70 buah penduduk bertambah 5%. Jumlah d. 75 buah e. 80 buah penduduk pada awal tahun 2005 dapat 5. Suku ke-5 sebuah deret aritmetika adalah 11 jumlah nilai suku ke-8 dengan suku ke- 12 sama dengan 52. Jumlah 8 suku yang 141

pertama deret itu adalah … (UN D9 2006/ Rasio deret tersebut adalah ….. ….. (UN P3 2001/ 2002) 2007 paket 16A) a. 1 b. 1 c. 1 d. 2 e. 3 a. 68 b. 72 c. 76 d. 80 e. 84 43 2 3 4 6. Suku ketiga suatu barisan aritmetika adalah F. MENCARI PANJANG LINTASAN 1. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 81 22. Jika jumlah suku ke tujuh dan suku ke meter, kemudian memantul kembali supuluh adalah 0, maka jumlah lima suku setinggi 2 kali tinggi semula, begitu pertama sama dengan … (UN D9 2006/ 3 2007 paket 49B) seterusnya sampai bola berhenti. Panjang lintasan yang dilalui bola adalah …….. a.30 b. 60 c. 85 d 110 e. 220 (UN D10 2004/ 2005) a. 162 m b. 243 m c. 324 m 7. Jumlah suku ke-tujuh dan suku ke-sepuluh d. 405 m e. 486 m suatu barisan aritmetika adalah –30, 2. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 6 sedangkan suku ke-enam adalah –5. meter. Setiap kali jatuh mengenai lantai, bola itu dipantulkan lagi dan mencapai Jumlah tiga puluh suku pertama deret ketinggian 3 dari tinggi sebelumnya. tersebut adalah …( UN D9 2006/ 2007 5 paket 71) Panjang lintasan sampai bola berhenti a. 1.590 b. 390 c. –390 adalah …( UN D9 2006/ 2007 paket 49B) d. –1.290 e. –1.590 a. 18 m b. 22 m c. 24 m d. 30 m e. 36 m 8. Seorang penjual daging pada bulan Januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan ada… (UN D10 2011 paket 12) A. 1.050 kg B. 1.200 kg C. 1.350 kg D. 1.650 kg E. 1.750 kg D. DERET GEOMETRI 1. Jumlah enam suku pertama suatu deret geometri adalah 189. Jika rasio deret tersebut 1 , maka jumlah suku ke-1 dan 2 suku ke-3 sama dengan. ….(UN P3 2005/ 2006) a. 106 b. 108 c. 110 d. 112 e. 120 2. Setiap bulan Prince menabung uang yang besarnya membentuk deret geometri. Pada bulan pertama ia menabung sebesar Rp. 1.000,00 dan pada bulan kelima sebesar Rp. 16.000,00. Jumlah tabungan Prince selama lima bulan itu adalah … (UN D9 2006/ 2007 paket 71) a.Rp. 30.000,00 b. Rp. 31.000,00 c. Rp. 42.000,00 d. Rp. 63.000,00 e. Rp. 64.000,00 E. DERET GEOMETRI TAK HINGGA 1. Diketahui jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 36. Sedangkan jumlah semua suku bernomor ganjil ialah 27. 142

Daftar Pustaka Bahri, Saiful. 2007. Mathematic Solution. Yogyakarta. Pyramid Publisher. Dharma, C. dkk. 2007. CERDIK Kelompok IPA. Yogyakarta. BBJJ Gama Exacta. Fahrurrozi. 2001. Tips & Triks Menyiasati Matematika. Yogyakarta. Teknomedia. Forum Tentor. 2008. Trik Super Cepat(VCD). Pustaka Widyatama. Kaji Latih Matematika. LBB Sony Sugema College Kementerian Pendidikan Nasional. Kumpulan Soal Ujian Nasional tahun 2000 - 2010 Muis, A. 2004. Perang Siasat Matematika IPA. Yogyakarta. Kreasi Wacana. Muslimin, M., Son. Tanpa Tahun. Matematika Praktis ala Om Son. Negoro, S.T. & Harahab, B. 1998. Ensiklopedia Matematika. Jakarta. Ghalia Indonesia. Seno, H., Dahari. & Muchayat. Tanpa Tahun. Panduan Belajar Kelas 3 SMA IPA. Primagama Simangunsong, W. 1991. Soal dan Penyelesaian Ujian Masuk Perguruan Tinggi (Matematika). Jakarta. Erlangga. Sobirin. 2006. PATAS (Cepat & Tuntas) Matematika SMA. Puspa Swara. 143