TRIKS & TIP JITU MATEMATIKA MA-SMA

dimana,  Mo = modus  TBMo = tepi bawah kelas modus  d1 = selisih frekuensi kelas modus & frekuensi sebelum kelas modus  d2 = selisih frekuensi kelas modus & frekuensi sesudah kelas modus  c = panjang interval kelas d. Kuartil (Q) Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi 4 bagian yang sama. Ada tiga macam:  Q1 (kuartil bawah)  Q2 (kuartil tengah)  Q3 (kuartil atas)  i f  Fkum  4 c Qi = TBQi +  f Qi   dimana,  Qi = kuartil ke-i  TBQi = tepi bawah kelas kuartil ke-i  Σf = jumlah frekuensi  Fkum = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i  fQi = frekuensi kelas kuartil ke-i  c = panjang interval kelas e. Median (Me) Median adalah nilai tengah data.  1 f  Fkum  2 c Me = TBMe +  f Me  dimana,  Me = Median  TBMe = tepi bawah kelas median  Σf = jumlah frekuensi  Fkum = jumlah frekuensi sebelum kelas median  fMe = frekuensi kelas median  c = panjang interval kelas E. RUMUS PRAKTIS RERATA ● Penambahan p data  Penambahan 1 data Xb = n0  X 0  X Xb = n0  X 0  p  X p n0  1 n0  p  Pengurangan p data ● Gabungan dua rerata Xb = n0  X 0  p  X p m = X gab  X n n0  p n X gab  X m 48

Contoh 1. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 39 siswa di suatu kelas adalah 65. Bila nilai seorang siswa yang mengikuti ulangan susulan digabung, maka nilai rata-rata menjadi 65,5. Nilai siswa tersebut adalah ………. (UN P5 2002/ 2003) a. 65 b. 70 c. 75 d. 80 e. 85 Jawaban Rumus: Penambahan 1 data Xb = n0  X 0  X n0  1 X b = 64,5 ; n0 = 39 ; X 0 = 65 65,5 = 39  65  X 39 1 X = 40 ∙ 65,5 – 39 ∙ 65 = 85 ( E ) 2. Nilai rata-rata dari data pada histogram berikut adalah …. (UN D-11 2009 – 2010 B). a. 45,35 b. 45,50 c. 46,35 c. 46,50 e. .47,35 Jawaban Titik tengah ( xi Frekuensi ( fi ) xi ∙ fi Interval ) 2 72 31 - 41 36 5 235 42 - 52 47 8 464 53 - 63 58 4 276 64 - 74 69 1 80 75 - 85 80 20 947 Jumlah X = 947 : 20 = 47,35 ( E ) 3. Modus data pada histogram di samping adalah …. (UN D-12 2009/ 2010 B) a. 15,50 b. 15,75 c. 16,25 d. 16,75 e. 17,25 49

Jawaban Nilai frekuensi tertinggi = 12 Interval kelas modus = 13 – 18 Panjang interval kelas ( c ) = 6 d1 = 12 – 7 = 5; & d2 = 12 – 9 = 3 MO = TBMo +  d1  c d1  d2 MO = 12,5 + 5 ∙ 6 = 16,25 (C) 5+3 4. Nilai ulangan harian dari suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar. Frekuensi 10 9 8 5 3 0 65 70 75 80 85 90 Nilai Kuartil bawah data tersebut adalah …… (UN D9 2006/ 2007 A paket 16) a. 76 b. 74,5 c. 73,5 d. 72,5 e. 71,5 Jawaban Interval Frekuensi Frekuensi Kumulatif ”<” Titik tengah Kelas Q1 3 3 (1 – 3) 5 8 (4 – 8) 65 10 18 (9 – 18) 70 75 9 27 (19 – 27) 8 35 (28 – 35) 80 5 40 (36 – 40) 85 90 Q1 = TBQ1 + 1∑ ������−������������������������ ∙ c 4 ������������1 1 40 = 10 ( Q1 terletak pada data ke-10) 4 1 (70 + 75) Tepi bawah Q1 = = 72,5 2 Fkum = 8; fQ1 = 10; & c = ( 75 – 70) = 5 Q1 = 72,5 + 10−8 ∙ 5 = 73,5 ( C ) 10 SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. RATAAN Frekuensi Rataan dari data pada tabel di atas adalah 1 ……… (UN P3 2001/ 2002) 1. 3 5 a. 18,4 b. 18,6 c. 19,19 Data 4 1–7 2 d. 19,4 e. 20,2 8 – 14 15 – 21 2. Ratan hitung dari berat badan adalah 22 – 28 ………. (UN D10 2004/ 2005) 29 – 35 50

Nilai Frekuensi Modus dari data statistic yang disajikan 1 – 10 4 dalam diagram di atas adalah ……. (UN 11 – 20 8 21 – 30 12 P5 2002/ 2003) 31 – 40 16 41 – 50 10 a. 45,4 b. 45,6 c. 47,4 7 51 - 60 3 d. 47,6 e. 48,2 61 - 70 2. Perhatikan tabel distribusi nilai ulangan matematika berikut ini ! a.61,8 kg c. 58,2 kg e. 55,9 kg No Nilai Frekuensi b. 59,5 kg d. 56,9 kg 1 11 – 20 2 3. Lima kelompok siswa yang masing- 2 21 – 30 5 masing terdiri atas 6, 8, 10, 11 dan 15 3 31 – 40 8 orang, akan memberikan sumbangan 4 41 – 50 3 kepada korban bencana alam. Masing- 5 51 – 60 1 masing kelompok rata-rata menyumbang Rp2.000,00, Rp4.500,00, Rp4.000,00, Modus dari data tabel adalah ………(UN Rp2.000,00 dan Rp2.000,00. Rata-rata D-10 2009 – 2010) sumbangan seluruh kelompok adalah ……… (UN P11 2005/ 2006) a. 33,75 b. 34,00 c. 34,25 a. Rp3.000,00 b. Rp3.300,00 c. Rp3.500,00 d. Rp3.700,00 d. 34,50 e. 34,75 e. Rp3.900,00 4. Perhatikan gambar berikut! 3. Tabel berikut merupakan data berat badan Frekuensi 40 siswa. 10 Berat badan Frekuensi 8 6 (dlm Kg) 5 4 40 – 45 7 46 – 51 9 52 – 57 12 58 – 63 7 64 – 69 Modus dari data pada tabel tersebut adalah.... (UN D-10 2009 – 2010 B) 0 49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 a. 57,5  27 b. 57,5  18 Berat badan (kg) 8 8 Berat badan siswa pada suatu kelas c. 57,5  15 d. 57,5  18 disajikan dengan histogram seperti pada 8 8 gambar. Rataan berat badan tersebut adalah …….. (UN P11 2005/ 2006) e. 57,5  27 8 a. 64,5 kg b. 65 kg c. 65,5 kg d. 66 kg e. 66,5 kg 4. Modus dari data pada tabel berikut adalah……. (UN D10 2011 paket 12) B. MODUS A. 20,5 + 3 . 5 5 1. Ukuran f B. 20,5 + 3 . 5 1–5 3 Frekuensi 25 6 – 10 17 11 – 15 18 11 C. 205 + 3 . 5 16 – 20 22 7 21 – 25 25 10 26 – 30 21 9 D. 20,5 - 3 . 5 31 – 35 4 4 8 7 E. 20,5 - 3 . 5 7 6 6 4 3 3 2 Nilai 0 21,5 31,5 41,5 51,5 61,5 71,5 81,5 5. Distribusi nilai ulangan matematika di kelas XIIA: 51

Nilai f e. 59,5 + 150 50 – 54 2 6 55 – 59 4 60 – 64 8 D. KUARTIL 65 – 69 16 1. Perhatikan tabel berikut! 70 – 74 10 2 Berat badan (kg) Frekuensi 75 - 79 50 – 54 3 Modus dari data pada tabel adalah … (UN 55 – 59 12 D10 2011 paket 46) 60 – 64 23 A. 64,5 + 6 . 8 65 – 69 8 70 – 74 4 6 B. 64,5 + 5 . 8 Nilai kuartil atas (Q3) data pada tabel tersebut adalah ….. (UN D9 2006/ 2007 6 B paket 49) C. 64,5 + 5 . 8 a. 68,5 b. 50,5 c. 47,5 d. 45,5 e. 33,5 86 2. Perhatikan gambar histogram berikut! D. 64,5 - 6 . 8 Frekuensi 86 E. 64,5 - 5 . 8 9 86 7 C. MEDIAN 5 1. 4 3 Frekuensi 2 100 Tinggi (cm) 80 0 120,5 125,5 130,5 135,5 140,5 145,5 145,5 60 Tinggi badan siswa dari suatu kelas 40 disajikan dengan histogram seperti pada 20 Nilai gambar. Kuartil atas data tersebut adalah ….. (UN D9 2006/ 2007 paket 71) 0 117,5 126,5 135,5 144,5 153,5 162,5 171,5 180,,5 a. 140,2 cm b. 140 cm c. 138,2 cm Median dari data pada ogive gambar diatas adalah …… (UN P3 2003/ 2004) d. 133,8 cm e. 131 cm 3. Perhatikan data berikut! Berat Badan Frekuensi a. 145,5 b. 146,5 c. 146,75 50-54 4 d. 147,25 e. 147,5 55-59 6 2. Diketahui data yang dinyatakan dalam 60-64 8 tabel berikut : 65-69 10 Nilai Frekuensi 70-74 8 7 40 – 49 9 75-79 4 50 – 59 6 60 – 69 5 Kuartil atas dari data pada tabel adalah 70 – 79 3 …. (UN D.10 2007/2008) 80 – 89 a. 69,50 c. 70,50 e. 71,00 Median dari data tersebut adalah …. (UN b. 70,00 d. 70,75 D-10 2009 – 2010 A) a. 49,5 + 80 b. 49,5 + 80 9 16 c. 59,5 + 80 d. 59,5 + 10 9 6 52

12. PELUANG A. FAKTORIAL  n! = n (n-1)(n-2)….3.2.1  0! = 1  1! = 1 B. PERMUTASI Penyusunan unsur-unsur dengan memperhatikan urutan. Notasi permutasi nPr (dibaca : banyaknya permutasi n unsur diambil r unsur ). nPr = n! (n  r)! 1. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama P = n! a!b! n = banyaknya unsur a & b = banyaknya unsur-unsur yang sama 2. Permutasi siklis adalah susunan berbeda dari n unsur yang disusun secara melingkar. P = (n – 1)! n = banyak unsur 3. Permutasi dengan diagram pohon Permutasi dapat dinyatakan dengan diagram yang disebut diagram pohon. Misalnya, Dari tiga besaran A, B dan C dapat disusun besaran baru sebanyak 6 pasangan dalam bentuk diagram pohon, yaitu: B-C ABC A C-B ACB A-C BAC PB C-A BCA A-B CAB C B-A CBA C. KOMBINASI Penyusunan unsur-unsur tanpa memperhatikan urutan. Notasi kombinasi nCr (dibaca : banyaknya kombinasi dari n unsur diambil r unsur) nCr = n! (n  r)!r! D. RUANG SAMPEL Ruang sampel adalah Himpunan S dari semua kejadian yang mungkin muncul pada suatu percobaan. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. 1. Kejadian pelemparan mata uang Untuk n mata uang, maka banyaknya ruang sampel adalah 2n. Misalnya, Ruang sampel pada percobaan pelemparan 3 mata uang sekaligus adalah: S = {AAG, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG} 2. Kejadian Pelemparan n dadu bermata 6 Untuk n dadu bermata 6, maka banyaknya ruang sampel adalah 6n. 53

Misalnya, Ruang sampel pada percobaan pelemparan 2 dadu bermata 6 sekaligus adalah: Dadu II 1 2 3 4 5 6 Dadu I (1, 1) …….. …….. …….. …….. …….. 1 …….. …….. …….. …….. (2, 5) …….. 2 …….. (3, 2) …….. …….. …….. …….. 3 …….. …….. …….. …….. …….. …….. 4 …….. …….. …….. (5, 4) …….. …….. 5 …….. …….. …….. …….. …….. …….. 6 3. Kejadian pelemparan mata uang & 1 dadu Banyaknya ruang sampelnya adalah 12, yaitu: S = {A1, A2, A3, A4, A5, A6, G1, G2, G3, G4, G5, G6} 4. Kejadian pengambilan seperangkat kartu bridge Banyaknya ruang sampelnya adalah 52, yaitu: Jenis kartu bridge Banyaknya Waru - Spade (As (1), King (3), & 2, 3, …, 10) 13 Wajik - Diamond (As (1), King (3), & 2, 3, …, 10) 13 Kriting - Club (As (1), King (3), & 2, 3, …, 10) 13 Hati - Heart (As (1), King (3), & 2, 3, …, 10) 13 E. PELUANG SUATU KEJADIAN P(A) = n( A) n(S ) n(A) = banyaknya hasil yang diharapkan (kejadian A) n(S) = banyaknya hasil yang mungkin terjadi 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(A) = 0, berarti kejadian A mustahil terjadi P(A) = 0, berarti kejadian A pasti terjadi F. FREKUENSI HARAPAN Jika A adalah suatu kejadian pada ruang sampel S dengan peluang P(A), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P(A). G. PELUANG KEJADIAN YANG SALING BERKOMPLEMEN Kejadian A dan bukan A (ditulis : A ) adalah dua kejadian yang saling berkomplemen sehingga dapat dirumuskan: P( A ) = 1 – P(A) H. PELUANG SUATU KEJADIAN MAJEMUK 1. Gabungan dua kejadian Untuk setiap kejadian A dan B berlaku: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Catatan: P(A U B) dibaca “kejadian A atau B” P(A ∩ B) dibaca “kejadian A atau B” 2. Kejadian saling lepas Secara umum untuk setiap kejadian A dan B berlaku P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 54

Jika A ∩ B =  maka P(A ∩ B) = 0, sehingga P(A U B) = P(A) + P(B). Dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas. 3. Kejadian bersyarat Jika P(B) ádalah peluang kejadian B, maka P(A│B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika P(A ∩ B) adalah peluang terjadinya A dan B, maka P(A ∩ B) = P(B) x P(A│B). Dalam kasus ini, dua kejadian itu disebut tidak saling bebas. 4. Kejadian saling bebas Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A dan B tidak saling mempengaruhi. Untuk dua kejadian yang saling bebas berlaku: P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B) Contoh 1. Sesuai pertandingan tim basket SMA yang tediri dari 5 orang akan berfoto bersama pelatih. Banyak cara mereka dapat berfoto bersama jika posisi pelatih berada di paling kiri atau paling kanan adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a. 10 cara b. 20 cara c. 60 cara d. 120 cara e. 240 cara Jawaban Banyak orang yang akan berfoto 6 (5 pemain 1 pelatih) posisi pelatih berada di paling kiri 1543 2 1 1 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 posisi pelatih berada di paling kiri 1543 2 1 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 1 = 120 Banyak cara berfoto bersamanya adalah 120 + 120 = 240 ( E ) 2. Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak ada angka yang berulang. Banyak bilangan lebih dari 320 yang dapat disusun adalah …… (UN P3 2001/ 2002) a. 60 b. 80 c. 96 d. 109 e. 120 Jawaban Angka yang tersedia : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Susunan bilangan yang diinginkan > 320 (dimulai dari 321) ratusan puluhan satuan Banyak bilangan ≥ 301 = 4 x 6 x 5 = 120 Banyak bilangan ≥ 301 & < 320 = 1 x 2 x 5 = 10 Banyak bilangan 320 =1 Jadi, Susunan bilangan > 320 = 120 – 10 – 1 = 109 ( D ) 3. Seseorang peserta ujian harus mengerjakan 6 soal dari 10 soal yang ada. Banyak cara perserta memilih soal ujian yang harus dikerjakan adalah …. (UN D.12 2007/2008) a.210 b. 220 c. 230 d. 5.040 e. 5.400 Jawaban 55

10C6 = 10! 4! ∙ 6! 10∙9∙8∙7∙6! = 4∙3∙2∙1∙6! = 210 ( A ) 4. Sebuah dadu dan satu koin dilambungkan bersama satu kali, peluang muncul mata dadu bilangan prima dan sisi gambar pada koin adalah ….. (UN D-12 2009/ 2010 A). a. 1 b. 1 c. 1 d. 3 e. 1 64 382 Jawaban n(S) = 12 Kemungkinan muncul mata dadu bilangan prima dan sisi gambar pada koin, yaitu: {(2, G), (3, G), (5, G)} Peluang muncul mata dadu bilangan prima dan sisi gambar pada koin, yaitu: 3 = 1 ( B ) 12 4 5. Sebuah kotak berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng kuning. Jika diambil dua kelereng secara acak satu persatu berturut-turut tanpa pengembalian, maka peluang terambil pertama kelereng merah dan kedua kelereng kuning adalah …. (UN D-11 2008/2009) a. 3 b. 8 c. 5 d. 15 e. 15 4 15 14 56 64 Jawaban 3 kuning pertama merah Banyak kelereng 8 diambil 2 dan 5 merah kedua kuning Peluang terambil pertama kelereng merah dan kedua kelereng kuning : P(1 merah) ∙ P(1 kuning) = 5C1 ∙ 3C1 8C1 8C1 = 5 ∙ 3 = 15 ( E ) 8 8 64 6. Sebuah kotak berisi 4 bola kuning dan 6 bola biru. Jika diambil 2 buah bola sekaligus secara acak, maka peluang terambil kedua bola berwarna sama adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a. 2 b. 3 c. 5 d. 7 e. 8 15 15 15 15 15 Jawaban 4 kuning 2 kuning Banyak bola 10 diambil 2 atau 6 biru 2 biru Peluang terambil kedua bola berwarna sama : P(2 kuning) + P(2 biru) = 4C2 + 6C2 10C2 10C2 56

4! 6! = (4  2)!2! + (6  2)!2! 10! 10! (10  2)!2! (10  2)!2! = 4!8! + 6!8! 2!10! 4!10! = 4  3  2!8! + 6  5  4!8! 2!10  9  8! 4!10  9  8! = 2 + 5 = 7 (D) 15 15 15 7. Dua buah dadu dilempar bersama-sama sebanyak 180 kali. Frekuensi harapan muncul jumlah mata dadu sama dengan 10 adalah…. (UN D-11 2009 – 2010 A) a. 25 b. 20 c. 15 d. 10 e. 5 Jawaban Jumlah mata dadu sama dengan 10, yaitu{(5, 5), (6, 4), (4, 6)} Peluang muncul jumlah mata dadu sama dengan 10 adalah 3 = 1 36 12 Frekuensi harapan muncul jumlah mata dadu sama dengan 10 adalah 1 ∙ 180 = 15 ( C ) 12 SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. PERMUTASI 1. Empat lampu dipilih secara acak dari 15 1. A, B, C, dan D akan berfoto bersama lampu yang 8 diantaranya rusak. Peluang bahwa 4 lampu tersebut semuanya bagus secara berdampingan. Peluang A dan B adalah ……. (UN P3 2001/ 2002) selalu berdampingan adalah ….. (UN P11 2005/ 2006) a. 7 b. 7 c. 1 d. 1 e. 1 a. 1 b. 1 c. 1 d. 1 e. 2 663 238 39 13 3 12 6 3 2 3 2. Seorang anak mempunyai 4 bola merah 2. Disebuah kelas SMA Y, terdiri dari 30 dan 5 bola putih. Diambil 4 bola sekaligus secara acak. Banyaknya cara untuk orang siswa. Pada kelas tersebut akan mengambil 2 bola merah dan 2 bola putih dipilih 3 orang sebagai pengurus kelas adalah …. (UN P5 2002/ 2003) yang menjabat sebagai ketua kelas, wakil a. 16 b. 60 c. 120 d. 160 e. 240 ketua kelas dan sekretaris. Banyak cara memilih yang mungkin terjadi 3. Dari 15 putra dan 10 putri dipilih 5 orang adalah…..…..(UN D-10 2009 – 2010) pemain bulu tangkis yang terdiri dari 3 putra dan 2 putri. Banyak cara memilih a. 24.360 b. 24.630 c. 42.360 pemain bulu tangkis adalah …. (UN D10 d. 42.630 e. 46.230 2004/ 2005) 3. Dari 10 calon pengurus OSIS akan dipilih a. 500 cara b. 2.820 cara ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak c. 20.475 cara d. 53.130 cara cara memilih pengurus OSIS adalah …. e. 240.570 cara (UN D-10 2009 – 2010 B) a. 720 cara b. 70 cara c. 30 cara 4. Di Pelatnas ada 12 atlit basket putra. Dari d. 10 cara e. 9 cara ke-12 atlit tersebut akan dibentuk tim inti yang terdiri dari 5 oarng yang akan B. KOMBINASI dimainkan pada pertandingan berikutnya. Banyaknya tim inti yang mungkin 57

dibentuk adalah …. (UN D-10 2009 – a. 1 b. 1 c. 4 2010 A) 221 13 221 a. 5 b. 12 c. 60 d. 72 e. 792 5. Sebuah kotak berisi 4 bola putih dan 5 bola d. 11 e. 8 biru. Dari dalam kotak diambil 3 bola 221 663 sekaligus, banyak cara pengambilan sedemikian hingga sedikitnya terdapat 2 5. Dari dalam kantong yang berisi 8 kelereng bola biru adalah .... (UN D-10 2009 – 2010 B) merah dan 10 kelereng putih akan diambil a. 10 cara b. 24 cara c. 50 cara d. 55 cara e. 140 cara 2 kelereng sekaligus secara acak. Peluang 6. Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 8 yang terambil 2 kelereng putih adalah … dari 10 soal, tetapi nomor 1 sampai dengan 4 wajib dikerjakan. Banyaknya pilihan (UN D10 2011 paket 12) yang bisa diambil siswa tersebut ada …. (UN D10 2011 paket 12) A. 20 B. 28 C. 45 A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 E. 30 153 153 153 7. Setiap 2 warna yang berbeda dicampur dapat menghasilkan warna baru yang khas. D. 56 E. 90 Banyak warna baru yang khas apabila 153 153 disediakan 5 warna yang berbeda adalah… (UN D10 2011 paket 46) 6. Dalam kantong terdapat 4 kelereng merah A. 60 B.20 C.15 D. 10 E.8 dan 5 kelereng biru. Jika dari kantong diambil dua kelereng sekaligus, maka peluang mendapatkan kelereng satu berwarna merah dan satu berwarna biru adalah … (UN D10 2011 paket 46) A. 9 B. 20 C. 4 81 81 9 C. PELUANG D. 5 E. 4 9 5 1. Didalam sebuah kantong terdapat 4 bola D. KEJADIAN SALING BEBAS “dan” putih, 3 bola merah, dan 2 bola kuning. 1. Dadu merah dan dadu putih dilambungkan Diambil 2 bola secara acak. Peluang 1 bola bersama-sama satu kali. Peluang kejadian putih dan 1 bola merah yang terambil muncul mata dadu bilangan prima pada adalah ….. (UN P5 2002/ 2003) dadu merah dan mata dadu bilangan a. 12 b. 9 c. 8 d. 7 e. 3 36 36 36 36 36 kelipatan tiga pada dadu putih adalah …………. (UN P3 2005/ 2006) 2. Dua dadu dilambungkan bersama-sama. a. 5 b. 6 c. 12 d. 24 e. 30 Peluang muncul mata dadu pertama 3 dan 36 36 36 36 36 mata dadu kedua 5 adalah ….. (UN P3 2. Pada sebuah lemari pakaian tersimpan 5 2003/ 2004) baju putih dan 3 baju biru. Jika diambil a. 6 b. 5 c. 4 d. 3 e. 1 dua baju secara acak satu persatu berturut- 36 36 36 36 36 turut tanpa pengembalian, maka peluang 3. Dalam sebuah kelas terdapat 20 orang terambil pertama baju putih dan kedua baju biru adalah … (UN D9 2006/ 2007 A siswa putra dan 10 orang siswa putri. Apabila dipanggil secara acak 2 orang paket 16) untuk mengerjakan soal di depan kelas, a. 15 b. 15 c. 5 d. 8 e. 3 maka peluang terpilihnya satu putra dan 64 56 14 15 4 satu putri adalah …. (UN D9 2006/ 2007 3. Kotak A berisi 2 bola merah dan 3 bola paket 71) putih. Kotak B berisi 5 bola merah dan 3 a. 1 b. 1 c. 3 d. 2 e. 40 bola putih. Dari masing-masing kotak 200 15 20 9 87 diambil satu bola. Peluang bola yang 4. Dari seperangkat kartu bridge diambil dua terambil bola merah dari kotak A dan bola kartu sekaligus secara acak . Peluang yang putih dari kotak B adalah .... (UN D-10 terambil dua kartu King adalah …… (UN 2009/2010) D-10 2009 – 2010) 58

a. 1 b. 3 c. 3 d. 2 e. 31 40 20 8 5 40 E. KEJADIAN SALING LEPAS “atau” 1. Dua buah dadu bersisi enam dilambungkan secara bersamaan sebanyak satu kali. Peluang kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu 2 atau 8 adalah …. (UN D9 2006/ 2007 B paket 49) a. 2 b. 1 c. 1 d. 1 e. 1 9 34 5 6 2. Dua buah dadu dilempar undi secara bersamaan sebanyak satu kali. Peluang kejadian muncul jumlah mata dadu 9 atau 11 adalah …. (UN D.10 2007/2008) a. 1 b. 1 c. 1 d. 1 e. 1 2 4 6 8 12 59

13. TRIGONOMETRI A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI a. Perbandingaan trigonometri dalam segitiga siku-siku c a  b 1. sin α = a → cosec α = c 4. sin2 α + cos2 α = 1 ca 2. cos α = b → sec α = c 5. 1 + tan2 α = sec2 α cb 3. tan α = a → cot α = a 6. 1 + cot2 α = cosec2 α bb b. Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa 0 0 30 45 60 90 180 270 360 Sin 01 12 13 1 0 -1 0 Cos 2 2 2 Tan 1 13 12 10 -1 0 1 22 2 0 13 1 3 Tidak 0 Tidak 0 3 terdefinisi terdefinisi B. SUDUT BER-RELASI II I Semua Sin + Sin (90+– α)0 = Cos α0 Cos (90 – α)0 = Sin α0 Sin (180 – α)0 = Sin α0 Tan (90 – α)0 = Cot α0 Cos (180 – α)0 = - Cos α0 Tan (180 – α)0 = - Tan α0 Sin (180 + α)0 = - Sin α0 III IV Sin (360 – α)0 = - Sin α0 Cos (180 + α)0 = - Cos α0 Cos (360 – α)0 = Cos α0 Tan (180 + α)0 = Tan α0 Tan (360 – α)0 = - Tan α0 Tan + Cos + Sudut Negatif  Sin (– α)0 = - Sin α0  Cos (– α)0 = Cos α0  Tan (– α)0 = - Tan α0 Cara praktis menghitung nilai trigonometri (Besar Sudut 3 angka & positif): o Tambahkan dua angka depan o Hasil-nya ”jejerkan” dengan angka terakhir o Angka depan ganjil, fungsi berubah o Angka depan genap, fungsi tetap 60

Contoh: 1. Sin 1500 = cos (1 + 5) 00 = cos 600 = 1 (sin 1500 terletak pada kuadran II nilainya +) 2 2. Tan 2250 = tan (2 + 2) 50 = tan 450 = 1 (Tan 2250 terletak pada kuadran III nilainya +) C. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI 1. Periodik a. y = A sin p(x ± q) + c b. y = A cos p(x ± q) + c c. y = A tan p(x ± q) + c o Amplitudo (A) = maks  min atau min  maks (yang lebih dulu didepan) 22 o 1 Periodik = 2 p Periodik, yaitu:- panjang 1 gelombang penuh - jarak bukit ke bukit - jarak lembah ke lembah 2. Pergeseran a. Arah sumbu-X: b. Arah sumbu-Y:  Digeser ke kiri sebesar q ( + ) ● Digeser ke atas sebesar c ( + )  Digeser ke kanan sebesar q ( - ) ● Digeser ke bawah sebesar c ( - ) 3. Grafik y = a sin px b. Cosinus y = a cos px a. Sinus 2 Y Y p a a X 2 X -a 1 periodik p -a 1 periodik D. RUMUS JUMLAH SUDUT a. Sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β b. Cos (α ± β) = cos α cos β  sin α sin β c. Tan (α ± β) = tan  tan  1 tan  tan  E. RUMUS SUDUT RANGKAP e. Cos 2α = 1 – 2 sin2 α a. Sin 2α = 2 sin α cos α b. Cos 2α = cos2 α – sin2 α f. sin2 α = 1  1 cos 2 22 c. Cos 2α = 2 cos2 α – 1 g. Tan 2 α = 2 tan d. Cos2 α = 1  1 cos 2 1  tan2  22 61

F. RUMUS SUDUT TRIPEL b. cos 3 α = -3 cos α + 4 cos 3 α a. Sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α G. RUMUS PERKALIAN & PENJUMLAHAN Pedoman: S = sin; C = cos 11 22 +− S+ 2S S- S 2C C C+ S 2C S C- C -2 C C S + −S 1. Rumus perkalian a. sin α cos β = 1 sin (α + β) + 1 sin (α - β) 22 b. cos α sin β = 1 sin (α + β) - 1 sin (α - β) 22 c. cos α cos β = 1 cos (α + β) + 1 cos (α - β) 22 d. sin α sin β = - { 1 cos (α + β) - 1 cos (α - β) } 22 2. Rumus penjumlahan a. sin α + sin β = 2 sin 1 (α + β) cos 1 (α - β) 22 b. sin α - sin β = 2 cos 1 (α + β) sin 1 (α - β) 22 c. cos α + cos β = 2 cos 1 (α + β) cos 1 (α - β) 22 d. cos α - cos β = -2 sin 1 (α + β) sin 1 (α - β) 22 H. PERSAMAAN TRIGONOMETRI 1. Bentuk sederhana a. Sin x = sin  x =  + k ∙ 3600 atau x = 1800 -  + k ∙ 3600 b. Cos x = Cos  x =  + k ∙ 3600 atau x = - + k ∙ 3600 c. Tan x = Tan  x =  + k ∙ 1800 2. Bentuk a cos x + b sin x = c Syarat agar bisa diselesaikan: a2  b2 ≥ c2 Ubah dulu: a cos x + b sin x  k cos (x – α) 62

k = a2  b2 ; tan α = b → α = arc tan b aa  k cos (x – α) = c I. ATURAN SINUS a Yang diketahui: A  dua sisi dan satu sudut ● satu sisi dan dua sudut ba  sepasang sisi dan sudutnya berhadapan Rumus: abc Ac B sin A sin B sin C J. ATURAN COSINUS ● dua sisi mengapit sudut Yang diketahui:  dua sisi dan satu sudut ● b2  a2  c2  (2ac cos B) Rumus:  a2  b2  c2  (2bc cos A)  c2  a2  b2  (2abcos C) Yang diketahui: ● Cos B = a2  c2  b2  Ketiga sisi, 2ac Rumus:  Cos A = b2  c2  a2 2bc  Cos C = a2  b2  c2 2ab K. LUAS SEGITIGA 1. Yang diketahui:  alas ( a )  tinggi ( t ) t diketahui a diketahui Rumus: L  1 .a.t. 2 2. Yang diketahui: B  dua sisi c diketahui  sudut yang diapit dua sisi diketahui Rumus: L  1 .b.c.sin A  2 A b diketahui C 3. Yang diketahui: C  Ketiga sisi b diketahui a diketahui Rumus: L  s(s  a)(s  b)(s  c) s  1 (a  b  c) A c diketahui B 2 63

Contoh: 5 4 1. 63 3 2 X 0 3 -3 Persamaan grafik fungsi trigonometri pada gambar tersebut adalah ……. (UN P5 2002/ 2003) a. y = 3 sin (x -  ) b. y = 3 cos (x +  ) c. y = 3 sin (x -  ) 3 36 d. y = 3 cos (x +  ) e. y = 3 sin (x +  ) 66 Jawaban Amplitudo (A) = maks  min 1 Periodik = 2 2 p 2 ∙  4    = 2 = 3  (3) = 3  3 3 p 2 2π = 2 → p = 1 p Di geser ke sebelah kiri sebesar (q) =  4  5    = 1  ( + )  3 6 3 6 y = A sin p(x + q) = 3 sin 1(x + 1  ) ( E ) 6 2. Dalam suatu segitiga ABC diketahui cos  A = 3 dan cos  B = 5 . Nilai sin  C = 5 13 ……….(UN D-10 2008 – 2009) a. 56 b. 33 c. - 16 d. - 33 e. - 56 65 65 65 65 65 Jawaban cos  A = 3 4 5 cos  B = 5 12 13 5 13 5B sin  A = 4 3A sin  B = 12 5 13  A +  B +  C = 1800  C = 1800 – (  A +  B) sin  C = sin (1800 – (  A +  B)) = sin (  A +  B) = sin  A cos  B + cos  A sin  B = 4 ∙ 5 + 3 ∙ 12 = 56 ( A ) 5 13 5 13 65 64

3. Hasil dari sin 27  sin 63 = …. (UN D-10 2009 – 2010 B) cos138  cos102 a.  2 b.  1 2 c. 1 d. 1 2 e. 2 22 Jawaban Rumus: sin α + sin β = 2 sin 1 (α + β) cos 1 (α - β) 22 cos α + cos β = 2 cos 1 (α + β) cos 1 (α - β) 22 sin 270 + sin 630 = 2 sin ½( 630 + 270) cos ½(630 - 270) = 2 sin 450 cos 180 = 2 ∙ 1 2 cos 180 = 2 cos 180 2 cos 1380 + cos 1020 = 2 cos ½(1380 + 1020) cos ½(1380 - 1020) = 2 cos 1200 cos 180 = -2 cos 600 cos 180 = -2 ∙ 1 cos 180 = - cos 180 2 sin 270  sin 630 = 2 cos180 =  2 ( A ) cos1380  cos1020 1cos180 4. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 60 mil dengan arah 400 dari A, kemudian berputar haluan dilanjutkan ke pelabuhan C sejauh 90 mil, dengan arah 1600 dari B. Jarak pelabuhan A ke C adalah ……. (UN D9 2006/ 2007 A paket 16) a. 30 2 mil b. 30 5 mil c. 30 7 mil d. 30 10 mil e. 30 30 mil Jawaban: B U 60 600 B 1600 90 U A 60 400 400 C 90 A 200 Perhatikan ∆ABC; C AC2 = AB2 + BC2 – 2AB∙BC cos 600 = 602 + 902 – 2∙60∙90∙ ½ = 11700 – 5400 = 6300 AC = 30 7 ( C ) 5. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x + 3 sin x + 1 = 0, untuk 0 < x < 2 adalah ……. (UN D10 2004/ 2005) 65

a. 8  , 10   b. 7  , 11   c. 5  , 11  d.  2  , 4   e. 1  , 5   6 6   6 6  6 6   6 6   6        6  Jawaban Rumus: cos 2x = 1 – 2sin2x cos 2x + 3 sin x + 1 = 0 1 – 2 sin2x + 3 sin x + 1 = 0 – 2 sin2x + 3 sin x + 2 = 0 (-2 sin x – 1 ) (sin x – 2) = 0 sin x = -½ atau sin x = 2 (tidak dipakai) sin x = -½ atau sin x = -½ sin x = sin 2100 sin x = sin 3300 x = 210 / 7  x = 3300 / 11 ( B ) 6 6 6. Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin x –2 cos x = 2 untuk 00  x  3600 adalah ……. (UN P3 2003/ 2004) a. {150; 750} b. {150; 2550} c. {750; 1950} d. {1050; 1950} e. {1050; 3450} Jawaban Rumus: a cos x + b sin x = k cos (x – θ) k = a2  b2 ; tan θ = b a 2 sin x –2 cos x = 2 –2 cos x + 2 sin x = 2 a = -2 ; b = 2; & k = (2)2  22 = 2 2 tan θ = 2 = -1 → θ = 1350 2 –2 cos x + 2 sin x = 2 2 2 cos (x – 1350) = 2 cos (x – 1350) = 1 atau cos (x – 1350) = cos 3000 2 x – 1350 = 3000 cos (x – 1350) = cos 600 x = 4350 / 750 ( C ) x – 1350 = 600 x = 1950 SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. GRAFIK FUNGSI Persamaan untuk grafik fungsi di atas TRIGONOMETRI adalah …….. (UN P3 2001/ 2002) 1. Y a. y = -2 sin ( 1 x -  ) 26 2 b. y = -2 sin ( 1 x +  ) 1 10  16  4 X 26 4 66 22  6 6 0 -1 -2 66

 Diketahui trapezium PQRS seperti gambar c. y = -2 sin (2x - ) diatas, dengan PS = 3 2 , QR = 2 3 , SR 6 d. y = -2 sin (2x +  ) = 2 cm, dan PQ = 5 cm. Bila QPS = , maka nilai sin  sama dengan ……. (UN 6  P3 2001/ 2002) e. y = -2 sin (4x - ) 6 a. 1 3 b. 1 47 c. 5 2 2. 2 12 12 Y d. 1 14 e. 1 94 6 12    5 4 11 X 5. Diketahui sin  = 1 13 ,  sudut lancip. 63 6 36 5 Nilai cos 2  =…………… (UN D-10 2008 – 2009) Persamaan grafik fungsi trigonometri pada a. – 1 b. - 1 c. - 1 d. - 1 e. 1 2 5 25 gambar tersebut adalah ….. (UN P3 2003/ 2004) 6. Diketahui sin   cos  2 p . Nilai sin  2 = …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a. y = cos (x + ) b. y = cos (x + ) a. 1 2 p2 b. 1 4 p2 c. 2 p2 1 36 c. y = cos (x -  ) d. y = sin ( x +  ) d. 4 p2 1 e. 2 p 1 6 6 7. Diketahui tan   tan   1 dan cos e. y = sin (x -  ) 3 6  cos   48 , (α, β lancip). Nilai sin (α – B. RUMUS DASAR TRIGONOMETRI & 65 RUMUS JUMLAH SUDUT β) = …. (UN D-10 2009 – 2010 B) 1. Diketahui cos A = 3 . Nilai sin 2A = …… a. 63 b. 33 c. 26 5 65 65 65 (UN P5 2002/ 2003) d. 16 e. 16 48 65 a. 12 b. 7 c. 24 d. 12 e. 24 25 10 25 55 8. Diketahui (A + B) =  dan sinA sinB = 1 . 34 2. Diketahui cos A = 0,8 dan sin B = 0.96. Nilai dari cos (A - B) =….. (UN D10 2011 Jika sudut A lancip dan sudut B tumpul, maka nilai cos (A + B) = ….. (UN P3 paket 12) 2003/ 2004) A. -1 B. - 1 C. 1 D. 3 E.1 a. 0,80 b. 0,60 c. –0,28 d. –0,60 2 24 e. –0,80 3. Jika tan a  1dan tan   1 dengan C. RUMUS PERKALIAN/ 3 PENJUMLAHAN a dan  sudut lancip, maka sin 1. Nilai dari cos 500  cos 40o adalah …. (UN (a   )  .... (UN D.10 2007/2008) sin 500  sin 400 a. 2 5 b. 1 5 c. 1 d. 2 e. 1 D.10 2007/2008) 3 5 2 55 a. 1 b. 1 2 c. 0 d.  1 3 e. -2 4. 22 S2R 2. sin 1050 cos 150 + 2 cos 750 sin 450 = …….. (UN P3 2001/ 2002) 32 23 Q a. - 1 - 3 b. 1 - 3 c. 3 - 3  222 P 5 67

d. 3 3 e. 1 D. 1 3 E. 3 4 3 3. Nilai dari sin 750 + cos 750 = 10. Nilai dari sin 75o  sin115o = … (UN cos105o  cos15o ………………. (UN P11 2005/ 2006) a. 1 6 b. 1 2 c. 1 3 D10 2011 paket 46) 42 2 A. - 1 3 B. - 1 2 C. - 1 d. 1 e. 1 6 32 2 D. 1 E. 1 4. Nilai sin 1050 + cos 150 = ….. (UN P11 2 2005/ 2006) a. 1 (- 6 - 2 ) b. 1 ( 3 - 2 ) D. ATURAN SINUS 22 1. Tiga orang berada di tiga tempat A, B, dan c. 1 ( 6 - 2 ) d. 1 ( 3 + 2 ) C di suatu tanah lapang, sedemikian 2 2 hingga BAC = 450 dan ABC = 600. Orang pertama yang berada di A bergerak e. 1 ( 6 + 2 ) menuju ke C dengan kecepatan 12 2 km/jam, sedangkan orang kedua yang berada di B bergerak menuju ke C. Orang 5. Nilai dari sin 750  sin150 = ……… pertama dan orang kedua mulai bergerak cos1050  cos150 pada saat yang sama dan sampai di C pada saat bersamaan pula. Kecepatan orang (UN D9 2006/ 2007 A paket 16) kedua yang bergerak dari B ke C adalah ……….. (UN D9 2006/ 2007 paket 71) a. - 3 b. - 2 c. 1 3 3 a. 4 2 km/jam b. 4 3 km/jam d. 2 e. 3 c. 4 6 km/jam d. 6 2 km/jam 6. Nilai dari sin 750  sin150 = ………. e. 6 3 km/jam cos1050  cos150 2. Diketahui segitiga MAB dengan AB = 300 (UN D9 2006/ 2007 B paket 49) cm, sudut MAB = 600 dan sudut ABM = 75 0 . Maka AM = …. (UN D.10 a. - 1 3 b. - 1 2 c. 1 3 2007/2008) 32 3 a. 150(1 3) cm d. 1 2 e. 1 6 b. 150( 2  3) cm 22 c. 150(3  3) cm 7. Hasil dari sin ( 1  + 2A) + sin ( 1  - 2A) 22 d. 150( 2  6) cm = ……….. (UN D9 2006/ 2007 paket 71) e. 150( 3  6) cm a. 2 sin A b. 2 cos A c. 2 sin 2A E. ATURAN KOSINUS 1. Dalam segitiga ABC, sudut BAC lancip d. 2 cos 2A e. cos 2A 8. Diketahui A + B = 4 dan A – B = 3 . dan cos BAC = 5 . Panjang sisi AB = 9 6 32 Nilai dari sin A + sin B = …. (UN D-10 cm dan AC = 8 cm , maka panjang sisi BC 2009 – 2010 A) = ……… (UN P5 2002/ 2003) a. 5 cm b. 6 cm c. 8 cm a.  1 6 b.  1 2 c.  1 6 d. 9 cm e. 16cm 2 24 2. Diketahui segitiga ABC dengan AB = 7 cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai d. 1 6 e. 1 6 42 9. Nilai cos140o  cos100o = … (UN D10 sin140o  sin100o 2011 paket 12) A.  3 B.  1 3 C.  1 3 23 68

sin ACB = ……… (UN D10 2004/ e. 1  atau 1  62 2005) 2. Himpunan penyelesaian persamaan a. 2 6 b. 24 c. 4 d. 1 6 e. 1 3 25 5 5 5 cos x0 + sin x0 = 1 untuk 0  x  360 adalah ….. (UN P5 2002/ 2003) 3. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 0440 sejauh 50 km. Kemudian a. {90; 180} b. {90; 270} berlayar lagi dengan arah 1040 sejauh 40 c. {180; 270} d. {0; 90} km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C adalah ……. (UN P11 2005/ 2006) e. {0; 270} 3. Penyelesaian dari pertidaksamaan 2 sin 3x0 a. 10 95 km b. 10 91 km + 3  0, untuk 0  x  180 adalah …….. (UN P3 2003/ 2004) c. 10 85 km d. 10 71 km a. 30  x  150 b. 60  x  120 e. 10 61 km c. 80  x  100 4. Dua kapal A dan B meninggalkan d. x  60 atau 120  x  180 pelabuhan P bersama-sama. Kapal A e. x  80 atau 100  x  180 berlayar dengan arah 0300 dan kecepatan 4. Bentuk ( 3 sin x0 – cos x0) dapat diubah 30 km/jam, sedangkan kapal B berlayar dengan arah 0900 dan kecepatan 45 menjadi bentuk k cos (x - )0, adalah …. km/jam. Jika kedua kapal berlayar selama (UN D10 2004/ 2005) a. 2 cos (x – 30)0 b. 2 cos (x – 60)0 2 jam, maka jarak kedua kapal tersebut c. 2 cos (x – 120)0 d. 2 cos (x – 150)0 adalah …… (UN D9 2006/ 2007 B paket e. 2 cos (x – 210)0 49) 5. Himpunan penyelesaian dari persamaan a. 30 2 km b. 30 5 km c. 30 7 km d. 30 10 km 2 sin 2x0 - 2 3 cos 2x0 = 2 untuk 0  x  360 adalah …. (UN P11 2005/ 2006) e. 30 13 km 5. Diberikan segiempat ABCD seperti pada a. {45, 105} b. {45, 105, 285} c. {45, 105, 225, 285} gambar! d. {45, 105, 225, 285, 290} e. {45, 105, 225, 285, 290, 350} Panjang BC adalah …. (UN D10 2011 6. Himpunan penyelesaian persamaan paket 46) cos 2x0  7sin x0  4  0, 0 ≤ x ≤ 3600 A. 4 2 cm B. 6 2 cm adalah …. (UN D.10 2007/2008) C. 7 3 cm D 5 6 cm a. {240,300} d. {60,120} E. 7 6 cm b. {210,330} e. {30,50} F. PERSAMAAN TRIGONOMETRI c. {120,240} 7. Himpunan penyelesaiaan pesamaan sin2 2x 1. Diketahui persamaan 2 cos2 A + 3 sin – 2 sin x cos x – 2 = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360o 2A = 1 + 3 ; 0 < A <  . Nilai A yang adalah ………(UN D-10 2008 – 2009) 2 a. {45o, 135o} b. {135o, 180o} c. {45o, 225o} d. {135o, 225o} memenuhi adalah …… (UN P3 2001/ e. {135o, 315o} 8. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + sin x = 0, untuk 0 < x < 2  adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a.  , 4 , 5  b.  , 7 ,4   2002)  3 3   6 3   2   2  a. 1  atau 5  b. 1  atau 1  2 12 64 c.  , 7 , 5  d.  , 7 , 11   6 3   6 6  c. 1  atau 1  d. 1  atau 5   2   2  12 4 3 12 e.  , 5 , 11   3 6   2  69

9. Himpunan penyelesaian persamaan sin 2x + 2 cos x = 0, untuk 0 < x < 2 adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 B) a. 0, b.  ,   c. 3 ,       2   2  d.  , 3  e. 0, 3   2   2   2   10. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0, 0°  x  180° adalah ….. (UN D10 2011 paket 12) A. {45°, 120°} B. {45°, 135°} C. {60°, 135°} D. {60°, 120°} E. {60°, 180°} 11. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x - 3 cos x + 2 = 0, 0°  x  360° adalah …. (UN D10 2011 paket 46) A. {60°, 300° } B. {0°, 60°, 300° } C. {0°, 60°, 180°, 360° } D. {0°, 60°, 300°, 360° } E. {0°, 60°, 120°, 360° } G. SEGI-n 1. Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah……….(UN D-10 2008 – 2009) a. 192 cm2 b. 172 cm2 c. 162 cm2 d. 148 cm2 e. 144 cm2 2. Dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 8 cm, dibuat segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut adalah….. (UN D10 2011 paket 12) A. 128  64 3 cm B. 128  64 2 cm C. 128 16 2 cm D. 128 16 2 cm E. 128 16 3 cm 70

14. DIMENSI TIGA A. GARIS DAN BIDANG DI DALAM RUANG DIMENSI TIGA 1. Hubungan antara garis dengan garis Misalkan, diberikan dua garis sembarang l1 dan l2 . Di dalam ruang berdimensi tiga, ada tiga kemungkinan hubungan antara dua garis. a. kedua garis sejajar b. kedua garis itu berimpit c. kedua garis itu berpotongan pada tepat satu titik potong d. kedua garis itu tidak sejajar namun juga tidak berpotongan 2. Hubungan antara garis dengan bidang Suatu garis l dan bidang datar E mungkin: a. sejajar b. berpotongan di titik tunggal L c. l terletak pada E 3. Hubungan antara bidang dengan bidang Dua bidang E1 dan E2 di dalam ruang mungkin: a. sejajar b. berimpit c. berpotongan B. GARIS DALAM SEGITIGA 2. Garis tinggi C 1. Garis berat C AD B AD B CD garis tinggi CD garis berat 4. Garis sumbu C 3. Garis bagi D C D AB A EB AD garis bagi DE garis sumbu C. KEISTIMEWAAN SEGITIGA C 1. Segitiga Sama Sisi ο  A =  B =  C = 600 E F o AB = AC = BC = a ο CD = 1 a 3 G H o AO = BO = CO = 2 2 A O OF OE OD 1 ο GH = 2 AB = 2 a DB o CO = 1 a 3 33 3 71

3. Segitiga Siku-Siku C o CB2  AB 2  AC 2 o AD  AB  AC ED BC AB o ED  CD AB BC D. IRISAN Irisan antara bidang dan bangun ruang adalah semua bangun datar yang dibatasi oleh gari- garis potong antar bidang itu dengan bidang-bidang sisi dari bangun ruang yang bersangkutan, sehingga irisan itu membagi bangun ruang menjadi dua bagian. E. RUMUS-RUMUS DALAM BANGUN RUANG a. Kubus H G EF DC A aB 1. Diagonal sisi ( AC ) = a 2 6. Diagonal ruang ( AG ) = a 3 2. Luas bidang diagonal ( ABGH ) = a2 2 7. Luas permukaan = 6a2 3. Jarak C terhadap bidang BDG = 1 a 3 8. Volume = a3 3 4. Jarak E terhadap bidang BDG = 2 a 3 9. Jarak titik A ke HB = 1 a 6 3 3 5. Jarak bidang ACH terhadap bidang BEG = 1 a 3 3 b. Balok H G E Ft D C Ap l 1. Luas permukaan = 2(pl + Pt + lt) B 2. Volume = p ∙ l ∙ t 72

c. Prisma F DE t C AB 1. Luas selubung= Kalas ∙ t ( Kalas = keliling alas ) 2. Luas permukaan = Lselubung + 2∙Lalas 3. Volume = Lalas ∙ t d. Limas T DC AB 1. Luas permukaan = Lalas + n∙Lsisi tegak 2. Volume = 1 Lalas x t 3 e. Bidang empat beraturan Ciri-ciri: o semua rusuknya panjangnya sama, yaitu a cm o semua bidang sisi ukurannya sama D C A a B  Jarak D ke bidang alas (tinggi) = 1 a 6 3  Jarak dua garis bersilangan = 1 a 2 2  tan  = 2 2 →  = sudut antara DAB dan ABC 73

Contoh 1. Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik S ke diagonal ruang PV adaah …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a. 1 6 cm b. 6 cm c. 3 6 cm d. 2 6 cm e. 3 6 cm 22 Jawaban WV V 6 T U 6X S R S P P 6Q 6 SX = jarak titik S ke diagonal ruang PV SX = SP  SV PV = 66 2 = 2 6 ( D ) 63 2. Diketahui bidang empat beraturan TABC dengan panjang rusuk 9 cm. Jarak titik T ke alas adalah ….. (UN D10 2004/ 2005) a. 9 6 cm b. 4 6 cm c. 3 6 cm d. 3 3 cm e. 2 3 cm 2 T Jawaban TP = jarak titik T ke alas TP = 1 a 6 (rumus) C 3 AP = 19 6 =3 6 (C) 3 9 B 3. Balok ABCD. EFGH dengan panjang AB = BC = 3 cm dan AE = 5 cm. Titik P terletak pada AD sehingga AP : PD = 1: 2 dan Q pada FG sehingga FQ : QG = 2: 1. Jika  adalah sudut antara garis garis PQ dengan bidang ABCD, maka tan  =………(UN D-10 2009 – 2010) 74

a. 1 5 b. 1 5 c. 1 10 d. 1 14 e. 1 35 2 10 2 77 Jawaban H G Perhatikan ∆PQR E Q Q F 5 5 α D C P R R P 3 10 A3 B C Tan α = QR PR = 5 = 1 10 ( C ) 10 2 4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P pada pertengahan CG. Jika  adalah sudut antara bidang BDG dengan bidang BDP, maka nilai cos  = ………. (UN P3 2005/ 2006) a. 1 2 b. 1 6 c. 1 2 d. 2 2 e. 2 6 66 2 3 3 Jawaban H G Perhatikan ∆CQG F G P C 2E B 26 A D P Q 2 2α 4 3β CQ 22 Q = α + β α= Q–β cos α = cos (  Q – β) = cos  Q cos β + sin  Q sin β = 2 22 2 + 4  2 26 23 26 23 = 4 = 2 2(D) 18 3 5. Diketahui prisma tegak segitiga ABC.DEF. Jika BC = 5 cm, AB = 5 cm, AC = 5 3 cm, dan AD = 8 cm. Volum prisma ini adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 B) 75

a. 12 cm3 b. 12 3 cm3 c. 100 3 cm3 d. 24 3 cm3 e. 50 3 cm3 Jawaban B Perhatikan ∆ABC BC = 5 cm, AB = 5 cm, & AC = 5 3 cm 5 5 Luas ∆ABC = ½ ∙ AC ∙ BP 5 C = ½ ∙ 5 3 ∙ 5 = 25 3 53 2 2 A 53 P Volume prisma ABC.DEF = Luas ∆ABC x TinggiAD 2 = 25 3 ∙ 8 = 100 3 2 SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. TITIK & GARIS T 6 cm 1. Diketahui limas segi empat beraturan D C T.ABCD dengan panjang rusuk AB = 8 cm A titi4k 2 kcme garis TC B …… (UN dan TC = 12 cm. Jarak titik D ke TB adalah …… cm. (UN P3 2003/ 2004) Jarak A adalah a. 3 14 b. 2 23 c. 8 14 D9 2006/ 2007 paket 71) 23 d. 4 7 e. 8 2 a. 5 3 cm b. 8 2 cm c. 16 5 cm 2. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH! 3 33 HG d. 8 5 cm e. 4 5 cm 33 EF 4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan DC panjang rusuk 8 cm. jarak titik H dan garis AC adalah …. (UN D.10 2007/2008) A 6 cm B a. 8 3 cm c. 4 6 cm e. 4 2 cm Jarak titik A ke garis HB adalah …… (UN D9 2006/ 2007 B paket 49) b. 8 2 cm d. 4 3 cm 5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan a. 6 2 cm b. 3 2 cm c. 2 6 cm d. 2 2 cm e. 3 cm panjang rusuk = 4 cm. Titik P adalah 3. Perhatikan gambar limas beraturan potong AH dengan ED dan titik Q T.ABCD! adalah titik potong FH dengan EG . 76

Jarak titik B dengan garis PQ adalah …. (1) AH dan BE berpotongan (UN D-10 2009 – 2010 B). (2) AD adalah proyeksi AH pada bidang a. 22 cm b. 21 cm ABCD (3) DF tegak lurus bidang ACH c. 2 5 cm d. 19 cm (4) AG dan DF bersilangan Yang benar adalah nomor …… (UN P11 e. 3 2 cm 2005/ 2006) 6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan a. (1) dan (2) saja b. (3) dan (3) saja c. (3) dan (4) saja d. (1) dan (3) saja rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. e. (2) dan (4) saja Jarak titik M ke AG adalah …. (UN D10 2011 paket 12) D. GARIS & BIDANG 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan A. 4 6 cm B. 4 5 cm panjang rusuk 12 cm. Panjang proyeksi C. 4 3 cm D. 4 2 cm AE pada bidang AFH adalah ….. cm. (UN E. 4 cm P3 2003/ 2004) B. TITIK & BIDANG a. 2 6 b. 3 3 c. 6 3 d. 3 6 1. Diketahui bidang empat beraturan SMNT e. 4 6 dengan panjang rusuk masing-masing 2a. 2. Pada limas beraturan T.ABCD yang semua Jarak titik T ke bidang SMN adalah rusuknya sama panjang, sudut antara TA ……… (UN P3 2001/ 2002) dengan bidang ABCD adalah ……. (UN P3 2003/ 2004) a. 1 a 6 b. 1 a 6 c. 1 a 6 a. 150 b. 300 c. 450 d. 600 e. 750 6 32 3. Perhatikan gambar bidang empat TABC! d. 2 a 6 e. 3 a 6 T 34 10 cm 2. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH ialah 4 cm 4 cm. Jarak titik G ke bidang CDEF adalah ……… cm. (UN P5 2002/ 2003) a. 2 b. 4 2 c. 4 3 A C 33 12 cm 8 cm d. 2 2 e. 2 3 3. Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang B rusuk kubus 12 cm. Titik P terletak pada Nilai kosinus sudut antara TC dan bidang TAB adalah ……. (UN D9 2006/ 2007 B perpanjangan rusuk DC sehingga CP : DP paket 49) = 1: 3 .Jarak titik P dengan bidang BDHF a. 7 b. 9 c. 11 d. 13 e. 15 adalah………(UN D-10 2009 – 2010) 16 16 16 16 16 a. 6 2 cm b. 9 2 cm 4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara c. 12 2 cm d. 16 2 cm diagonal AG dengan bidang alas ABCD adalah  , maka sin adalan …. e. 18 2 cm (UN D.10 2007/2008) 4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan a. 1 3 b. 1 2 c. 1 3 d. 1 2 23 2 panjang rusuk a cm. Jarak C ke bidang AFH adalah … (UN D10 2011 paket 46) e. 1 2 3 A. 1 a 6 cm B. 1 a 3 cm 63 5. Perhatikan gambar limas T.ABCD. C. 1 a 6 cm D. 2 a 2 cm 33 E. 2 a 3 cm 3 C. DUA GARIS 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Dari pernyataan berikut: 77

2. Dalam kubus ABCD.EFGH, P adalah titik tengah AD dan Q adalah titik tengah BC. Jika  adalah sudut antara bidang HGQP dan HGBA, mka nilai tan  adalah ……. (UN P5 2002/ 2003) a. 1 3 b. 1 2 c. 1 d. 1 e. 2 6 4 32 3 3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dan  Nilai kosinus sudut antara TP dan bidang adalah sudut antara bidang AFH dan alas adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 A) bidang BDHF. Nilai sin  = ….. (UN D10 a. 2 b. 1 3 c. 1 6 2004/ 2005) 23 a. 1 2 b. 1 2 c. 1 3 d. 1 2 e. 1 3 3 23 23 d. 1 6 e. 1 6 6. Diketahu kubus ABCD.EFGH dengan 32 rusuk a satuan panjang. Titik T adalah titik tengah rusuk HG. Jika  adalah sudut 4. Diketahui bidang empat beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara TB dan ABCD, maka nilai tan  antara bidang ABC dan bidang ABD adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 B) adalah ….. (UN P11 2005/ 2006) a. 1 b. 2 5 c. 1 a. 1 b. 1 c. 1 3 d. 2 e. 1 3 25 32 3 32 d. 2 3 e. 2 5. Perhatikan gambar kubus di bawah ini! 3 HG 7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan EF rusuk 10 cm. Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah …. (UN D10 2011 paket 12) DC A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 A 6 cm B 3 22 Jarak bidang ACH dan bidang BEG adalah D. 1 3 E. 1 2 …… (UN D9 2006/ 2007 A paket 16) 33 a. 3 3 cm b. 3 2 cm c. 2 3 cm d. 3 cm e. 2 2 cm 8. Diketahui limas segiempat beraturan TABCD. Panjang rusuk alas 6 cm, dan 6. Perhatikan gambar limas beraturan rusuk tegak 12 cm. Nilai kosinus sudut T.ABCD! antara TA dengan bidang alas adalah … (UN D10 2011 paket 46) T A. 1 2 B. 1 C. 1 3 4 23 3 dm D. 1 2 E. 1 3 22 E. DUA BIDANG DC 1. Diketahui bidang empat beraturan TABC A 2 dm B dengan panjang rusuk 8 cm. P adalah titik tengah rusuk TC. Nilai tangens sudut Besar sudut antara bidang TAD dan TBC antara bidang ABP dengan bidang ABC adalah ……… (UN D9 2006/ 2007 A adalah …….. (UN P3 2001/ 2002) a. 1 2 b. 1 3 c. 1 6 d. 2 paket 16) 222 e. 3 78

a. 900 b. 750 c. 600 d. 450 e. 300 7. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH!. HG EF DC A a cm B a. 72 3 cm3 b. 72 3 cm3 Kosinus sudut antara bidang BDG dan c. 72 3 cm3 d. 144 cm3 e. 148 cm3 3. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. bidang alas adalah ……. (UN D9 2006/ Panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 2 2007 paket 71) 7 cm, dan CF = 8 cm. Volume prisma a. 1 6 b. 1 2 c. 1 2 tersebut adalah ….. (UN D10 2011 paket 33 2 12) d. 1 3 e. 1 3 23 A. 96 3 cm3 B. 96 2 cm3 C. 96 cm3 D. 48 3 cm3 F. IRISAN BIDANG E. 48 2 cm3 1. ABCD.EFGH adalah sebuah kubus 4. Limas segitiga T.ABC dengan AB = 7 cm, dengan panjang rusuk a cm. P adalah titik BC = 5 cm, AC = 4 cm, dan tinggi = 5 tengah rusuk CF. Luas irisan bidang yang melalui titik-titik PBH adalah …… (UN cm. Volume limas T.ABC tersebut adalah P3 2001/ 2002) …. (UN D10 2011 paket 46) a. 2 a2 2 cm2 b. 1 a2 2 cm2 A. 5 30 cm3 B. 4 30 cm3 4 3 3 c. a 2 6 cm2 d. (1 + 2 ) a2 cm2 C 2 30 cm3 D 2 15 cm3 2 3 3 e. (1 + 3 ) a2 cm2 E. 1 15 cm3 3 G. VOLUME BANGUN RUANG 1. Diketahui prisma segitiga tegak ABC. DEF. Panjang rusuk-rusuk alas AB = 5 cm, BC = 7 cm dan AC = 8 cm.panjang rusuk tegak 10 cm. Volume prisma tersebut adalah………… (UN D-10 2008 – 2009) a. 100 cm3 b. 100 3 cm3 c. 175 cm3 d. 200 cm3 e. 200 15 cm3 2. Diberikan prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AC = BC = 6 cm; AB = 10 cm, dan CF = 8 m. Volum prisma tersebut adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 A) 79

15. LIMIT FUNGSI A. PENGERTIAN LIMIT 1. Secara sederhana limit diartikan sebagai hasil penghitungan secara pendekatan. 2. Secara intuitif pengertian limit suatu fungsi f(x) dapa dijelaskan sebagai berikut: Limit fungsi f(x) = L, untuk x mendekati a (x  a). Berarti jika x dekat dengan a tetapi tidak sama dengan a, maka harga fungsi f(x) akan sama dengan L. Bentuk tentu: a , 0  0 , a   , a  0 ,      , n  , n  0 , n    a0  Bentuk tak tentu: 0 ,  ,   0 B. LIMIT FUNGSI ALJABAR 1. Penyelesaian limit fungsi aljabar: a. Cara langsung: bila diperoleh bentuk tentu Substitusikan nilai x  a / x  0 / x   pada fungsinya b. Cara tak langsung: bila diperoleh bentuk tak tentu kemudian diarahkan ke bentuk tentu  Dengan pemfaktoran: bila bentuknya mudah difaktorkan  Dengan perkalian sekawan  Dengan membagi pangkat tertinggi f (x) Cara ini khusus bila dijumpai bentuk: Lim x g(x) c. Menggunakan turunan (L′Hospital) Cara ini khusus bila dijumpai bentuk tak tentu: 0 atau  0 Lim f (x) = Lim f (x) = Lim f (x) dst sampai diperoleh bentuk tentu (setelah men- xc g(x) xc g (x) xc g (x) subtitusikan nilai x = c) 2. Rumus praktis a. lim  ax dx  c  = 2a c x0 bx  c  bd b. lim  bx  c  dx  c  = bd x0 ax 2a c c. Lim ax2  bx  c  ax2  px  q  b  p x 2 a d. a , bila m = n p Lim axm  bx m1  ... = 0, bila m > n x0 px n  qxn1  ...  , bila m < n e. a , bila m = n p Lim axm  bxm1  ... =  , bila m > n x px n  qxn1  ... 0, bila m < n 80

f. 0, bila a = c Lim ax  b  cx  d =  , bila a > c x -  , bila a < c g. b  q , bila a = p Lim ax2  bx  c  px2  qx  r = 2a  , bila a > p x -  , bila a < p C. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI 1. Teorema limit fungsi trigonometri  Lim sin x  1  Lim sin ax  a x0 x x0 bx b 1.  Lim x  1  Lim bx  b x0 sin x x0 sin ax a  Lim tan x  1  Lim tan px  p x0 x x0 qx q 2.  Lim x  1  Lim qx  q x0 tan x x0 tan px p  Lim sin kx  k  Lim tan mx  m x0 sin lx l x0 tan nx n 3.  Lim sin kx  k  Lim tan mx  m x0 tan lx l x0 sin nx n  Lim sin p ax  ap  Lim sin p ax  ap bx p b tan p bx bp x0 x0 4.  Lim tan p ax  a p  sin p ax  tanq bx  a p bq Lim cx pq c x0 bx p b x0 2. Penyelesaian limit fungsi trigonometri a. Cara langsung: bila diperoleh bentuk tentu Substitusikan nilai x  a / x  0 pada fungsinya b. Cara tak langsung: bila diperoleh bentuk tak tentu Ubah fungsinya berdasarkan rumus trigonometri, lalu arahkan ke teorema limit fungsi trigonometri c. Menggunakan turunan. Cara ini khusus bila dijumpai bentuk: 0 atau  0 Lim f (x) = Lim f (x) = Lim f (x) dst sampai diperoleh bentuk tentu (setelah men- xc g(x) xc g (x) xc g (x) subtitusikan nilai x = c) 81

3. Rumus praktis a. Lim 1  cos ax  a2 bx 2  2b b. Lim x0 bx 2 2b x0 1  cos ax a 2 D. TEOREMA LIMIT Misalnya, Lim f (x)  K dan Lim g(x)  L , maka berlaku sifat-sifat berikut: xa xa 1. LimC  C , C konstanta xa 2. Lim f (x)  g(x) = Lim f (x)  Lim g(x) = K  L xa xa xa 3. Lim f (x).g(x) = Lim f (x).Lim g(x) = K.L xa xa xa 4. Lim f (x) = Lim f (x) = K ,L 0 xa xa g(x) Lim g(x) L  xa 5. Lim f (x)n = Lim f (x) n = K n xa xa 6. Lim n f (x) = n Lim f (x) = n K xa xa Contoh lim1. Nilai x2  5x  4 = …… (UN D9 2006/ 2007 A paket 16) x1 x3 1 a. 3 b. 2 1 c. 2 d. 1 e. –1 2 Jawaban Menggunakan aturan L’Hospital/ diturunkan lim limx2  5x  4 2x1  5 x1 x3 1 = x1 3x 2 = 2 11  5 = –1 ( E ) 3 12 2. Nilai lim  x 4  x  = …. (UN D-10 2009 – 2010 A) x0 4x  a. 8 b. 4 c. 2 d. 1 e. 1 24 Jawaban Rumus: lim  ax dx  c  = 2a c x0 bx  c  bd  x 4  x  =  x  x  4  4x  x4 a = 1; b = 1; c = 4; & d = -1 lim  x 4  x  = 21 4 =2(C) 4x  1  (1) x0 3. Nilai lim 4x2  7x 1  4x2  4x 1 = …. (UN D.11 2007/2008) x 82

a. 3 b. 7 c. 7 d. 11 e. 11 4 42 42 Jawaban Rumus: Lim ax2  bx  c  ax2  px  q  b  p x 2 a 4x2  7x 1  4x2  4x 1 a = 4; b = 7; p = -4 lim 4x2  7x 1  4x2  4x 1 = 7  (4) = 11 ( D ) x 24 4 4. Nilai lim sin 2x = …….. (UN P5 2002/ 2003) tan 3x x0 a. 0 b. 4 c. 2 d. 3 e. 9 93 24 Jawaban Rumus: Lim sin kx  k x0 tan lx l lim sin 2x = 2 (C) tan 3x 3 x0 5. Nilai lim  1  cos 2 x  = …. (UN D-10 2009 – 2010 A) x0  x2  a. 2 b. 1 c. 1 d. 1 e. -2 24 Jawaban Rumus: Lim 1  cos ax  a2 bx 2 2b x0  1  cos 2 x   x2  a = 2; b = 1 lim  1  cos 2 x  = 22 = 2 ( A )  x2  2 1 x0 lim6. Nilai cos 5x  cos x = ……. (UN D9 2006/ 2007 paket 71) x0 x tan 2x a. –6 b. –4 c. –2 d. 4 e. 6 Jawaban Rumus: Lim sin ax  a & Lim sin kx  k x0 bx b x0 tan lx l cos α - cos β = -2 sin 1 (α + β) sin 1 (α - β) 22 83

lim cos 5x  cos x = lim  2sin 1 (5x  x)  sin 1 (5x  x) x tan 2x 22 x0 x0 x tan 2x = lim  2sin 3x  sin 2x x tan 2x x0 = lim -2 ∙ sin 3x ∙ sin 2x = -2 ∙ 3 ∙ 2 =6(E) x tan 2x 1 2 x0 SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. LIMIT FUNGSI ALJABAR (x →a) 12. Nilai lim x2  9 = ..... (UN D-11 x3 x 2  5x  6 1. Nilai dari lim x3  2x2  4x  8 = 2009 – 2010 B) x2 2x2  4x a. – 6 b. - 3 c. 0 d. 3 e. 6 ………… (UN P5 2002/ 2003) a. –4 b. –2 c. 1 d. 0 e. 2 22 13. Nilai, lim (x  4) =…. (UN D10 2011 2. Nilai lim  1  x 2 6 9  = ………  x3   x4 x  2 x3 paket 12) A. 0 B.4 C. 8 D. 12 E. 16 (UN P3 2003/ 2004) 14. Nilai lim x2  2 =… (UN D10 2011 a. - 1 b. 1 c. 1 d. 1 e. 1 x 2 x  2 6 6 32 paket 46) 3. Nilai lim 4  2x  4  2x = ……… A. 2 2 B. 2 C. 2 x D. 0 E.– 2 x0 (UN P3 2005/ 2006) a. 4 b. 2 c. 1 d. 0 e. –1 4. Nilai lim 3 x2 7 = …….. (UN D9 B. LIMIT FUNGSI ALJABAR (x →∞) x2  2x 8 x4 2006/ 2007 B paket 49) lim x2  4x  2 ) = ….. 2 b. - 1 c. - 2 1. Nilai lim x (x - 8 3 a. - 9 d. 1 e. 2 (UN P3 2001/ 2002) 5. Nilai lim x5  32 = ……. (UN D9 2006/ a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 e. 8 x2 x2  2. Nilai dari lim x(4x  5)  2x 1 = x 2007 paket 71) …….. (UN D10 2004/ 2005) a. 16 b. 32 c. 48 d. 60 e. 80 a. 0 b. 1 c. 1 d. 9 e.  42 4 lim x3  4x  ..... (UN D.10 6. Nilai dari x2 x2 3. Nilai lim 25x2  9x 16  5x  3 … 2007/2008) x~ (UN D-10 2008 – 2009) a. 32 b. 16 c. 8 d. 4 e. 5 7. Nilai lim x2 9 a. - 39 b. - 9 c. 21 10 10 10 x3 10  2x  (x  1) (UN D-10 2008 – 2009) e. 8 d. 39 e. ~ a. – 8 b. – 6 c. 4 d. 6 10 8. Nilai dari lim  3x 9  x  = …. C. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI x0 9x  (UN D-10 2009 – 2010 B) a. 3 b. 6 c. 9 d. 12 e. 15 84

1. Nilai lim 1  cos 2x = ……. (UN P3 10. Nilai lim 1  cos 2x =…. (UN D10 2011 cos x x0 2x sin 2x x 4 paket 12) 2001/ 2002) A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 E.1 a. - 2 b. - 1 2 c. 1 86 4 2 22 11. Nilai lim 1  cos 2x =… (UN D10 2011 d. 1 2 e. 2 x0 1  cos 4x 2 paket 46) 2. Nilai lim 2x2  4x = ……… (UN P3 A. - 1 B.- 1 C. 0 D. - 1 E. 1 x0 tan 2x 24 16 4 2003/ 2004) a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 3. Nilai lim (x  3)sin(x  2) = ……. (UN 2x2  6x  20 x2 D10 2004/ 2005) a. 0 b. 1 c. 5 d. 3 e. 5 7 14 7 7 4. Nilai lim cos 2x = …… (UN P11 cos x  sin x x 4 2005/ 2006) a. 0 b. 1 2 c. 1 d. 2 e.  2 5. Nilai lim x tan 4x = ….. (UN P3 cos 4x 1 x0 2005/ 2006) a. –1 b. - 1 c. 0 d. 1 e. 1 22 lim6. Nilai 2x sin 3x = ….. (UN D9 x0 1  cos 6x 2006/ 2007 A paket 16) a. –1 b. - 1 c. 0 d. 1 e. 1 33 7. Nilai lim cos 4x 1 = ….. (UN D9 2006/ x0 x tan 2x 2007 B paket 49) a. –4 b. –2 c. –1 d. 2 e. 4 8. Nilai lim (x2 1) sin 2(x 1) x1  2.sin 2 (x 1) (UN D-10 2008 – 2009) a. – 2 b. – 1 c. - 1 d. - 1 e. 0 24 9. Nilai lim  cos 4x sin 3x  = …. (UN D-10 x0  5x  2009 – 2010 B) a. 5 b. 1 c. 3 d. 1 e. 0 3 55 85

16. TURUNAN/ DIFERENSIAL A. NOTASI TURUNAN / DEFERENSIAL Fugsi Turunan Pertama Turunan Kedua y  .... y' .... y\" .... f (x)  ... f '(x)  ... f \"(x)  ... Notasi Leibniz dy  df (x) d 2 y  d 2 f (x) dx dx dx2 dx2 B. RUMUS TURUNAN FUNGSI f (x) DENGAN MENGGUNAKAN LIMIT y' f '(x)  lim f (x  h)  f (x) h0 h C. RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR No Fungsi Turunan Pertama 1 yc y' 0 , c konstanta 2 y  kx y' k 3 y  kxn y' knxn1 4 y = ax y'  a x ln a 5 y = ex y' ex y' 1 6 y = ln x x D. RUMUS TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI No Fungsi Turunan Pertama 1 sin x cos x 2 cos x - sin x 3 tan x sec2x 4 cot x - cos ec2 x 5 sec x sec x . tan x 6 cosecx - cosecx . cot x E. RUMUS TURUNAN PERPANGKATAN FUNGSI a. y  (axm  b)n Langkah : 1. axm + b diturunkan → amxm-1 2. Menurunkan pangkatnya (axm + b)n → n(axm + b)n-1 3. Hasil langkah 1 & 2 di kalikan amxm-1 ∙ n(axm + b)n-1  y  (axm  b)n → amxm-1 ∙ n(axm + b)n-1 b. y  sin n (axm  b) Langkah : 1) axm + b diturunkan → amxm-1 86

2) Menurunkan pangkatnya sin n (axm  b) → n sin n1(axm  b) 3) Menurunkan sin(axm  b) → cos(axm  b) 4) Hasil langkah 1, 2 & 3 di kalikan amxm-1 ∙ n sin n1(axm  b) ∙ cos(axm  b)  y  sin n (axm  b) → amxm-1 ∙ n sin n1(axm  b) ∙ cos(axm  b) F. RUMUS TURUNAN HASIL OPERASI FUNGSI Jika u dan v adalah fungsi dalam x No Fungsi Turunan Pertama 1 yuv y' u'v' 2 y  u.v y' u'  v  u  v' 3 yu y' u'  v  u  v' v v2 4 y un y' n.un1.u' G. PENGGUNAAN TURUNAN 1. Menentukan gradien garis singgung kurva y  f (x) di titik a,b  Turunan y' f '(x)  ...  Gradien m  f '(a)  ... 2. Menentukan garis singgung kurva y  f (x) di titik a,b  Turunan y' f '(x)  ...  Gradien m  f '(a)  ...  Persamaan garis singgung yang bergradien m di titik a,b adalah y  m(x  a)  b 3. Menentukan interval fungsi naik dan turun kurva y  f (x)  Fungsi naik  f '(x)  0  Fungsi turun  f '(x)  0 Interval yang memenuhi f '(x)  0 dan f '(x)  0 dapat ditentukan dengan menggambarkan garis bilangan dari f '(x) . 4. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi y  f (x) Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi sering disebut nilai ekstrim atau stasioner.  Turunan y' f '(x)  ...  Syarat stasioner f '(x)  0 x1  .... x2  .... dst  Nilai stasioner f (x1)  ... f (x2 )  ... dst  x1, f (x1)  titik balik maksimum/ minimum/ belok  Turunan kedua y  f (x)  ...  f (x1)  0 nilai balik maksimumnya f (x1)  f (x1)  0 nilai balik minimumnya f (x1)  f (x1)  0 kurva belok 5. Menyelesaikan Soal Tentang Panjang Lintasan, Kecepatan, dan Percepatan Jika s = f (t) merupakan panjang lintasan 87

v adalah kecepatan a adalah percepatan t adalah waktu s  f (t) v  s' f '(t) a  v' s\" f \"(t) H. RUMUS PRAKTIS f(x) = ax  b → f/ (x) = ad  bc cx  d (cx  d )2 Contoh 1. Diketahui f (x)  x3  6x2  9x  5, dan f’ adalah turunan pertama dari f . Nilai f’ (2) = ….. (UN D-11 2009 – 2010 A) a. -8 b. -6 c. -5 d. -3 e. -2 Jawaban f (x)  x3  6x2  9x  5, f’(x) = 3x2 – 12x + 9 f’(2) = 3∙22 – 12∙2 + 9 = -3 ( D ) 2. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 4 - 6 adalah f `(x). Nilai f `(1) = ….. (UN P3 2003/ x3 x 2004) a. 2 b. 4 1 c. 5 d. 9 e. 10 2 Jawaban f(x) = 4 - 6 x3 x =  2x  18 x2  3x f `(x) =  2(x2  3x)  (2x 18)(2x  3) (x2  3x)2 f `(1) =  2(12  3 1)  (2 118)(2 1 3) (12  3 1)2 =  2(2)  (16)(1) = 5 ( C ) (2) 2 3. Turunan pertama dari f(x) = 3 sin 2 3x adalah f `(x) = ……. (UN D9 2006/ 2007 A paket 16) a. 2 1 1 c. 2 1 d. –2 cot 3x 3 sin 2 3x cos 3 3x b. 2 cos 3 3x cos 3 3x sin 3x 33 e. 2 cot 3x 3 sin 2 3x Jawaban 88

2 f(x) = 3 sin 2 3x = sin 3 3x f `(x) = 2 sin 1 3x ∙ cos 3x ∙ 3 3 3 = 1 ∙ cos 3x ∙ sin 3x (mencocokkan dengan jawaban) 2sin 3 3x sin 3x = 2 cot 3x 3 sin 2 3x ( E ) 4. Perhatikan gambar! Y 4 T(x, y) 0 3X Luas daerah yang diarsir pada gambar, akan mencapai maksimum jika koordinat titik P adalah ………….. (UN D9 2006/ 2007 paket 71) a. ( 3 , 2) b. ( 2 , 2) c. (2, 3 ) d. (2, 2 ) e. (2, 4 ) 23 2 33 Jawaban Persamaan garisnya : 4x + 3y = 12 → y =  4 x  4 3 L□ = xy =  4 x2  4x 3 L/□ =  8 x  4 → maks L/□ = 0 3 8x4 =0 →x= 3 (A) 32 5. Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm akan dibuat kotak tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisanya x dm. Ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) agar volume maksimum berturut-turut adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 B) a. 10 dm, 7 dm, 1 dm b. 8 dm, 5 dm, 1 dm c. 7 dm, 4 dm, 2 dm d. 7 dm, 4 dm, 1 dm e. 6 dm, 3 dm, 1 dm Jawaban x 8 - 2x x x x x 5 - 2x x x x Vkotak = p ∙ l ∙ t = (8 – 2x) (5 – 2x) x 89

= (8 – 2x) (5x – 2x2) = 40x – 26x2 + 4x3 V/ kotak = 40 –52 x – 12x2 maks → V/ kotak = 0 40 –52 x – 12x2 = 0 10 – 13 x – 3x2 = 0 (3x - 10) (x – 1) = 0 x = 10 atau x = 1 (yang dipakai) 3 lebar = 5 – 2x = 3 ( E ) 6. Grafik fungsi f (x)  2x3  3x2 turun pada interval…. (UN D-11 2009 – 2010 A) a. x  1atau x  0 b. x  0 atau x  1 c. 0  x  1 d. 1  x  0 e. 1  x  1 Jawaban f (x)  2x3  3x2 f (x)  6x2  6x turun → f (x) < 0 6x2  6x < 0 x(6x + 6) = 0 x = 0 atau x = -1 Turun pada interval -1 < x < 0 ( D ) 7. Diketahui h adalah garis singgung kurva y  x3  4x2  2x  3 pada titik (1, -4). Titik potong garis h dengan sumbu X adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 B) a. (-3, 0) b. (-2, 0) c. (-1, 0) d. (- 1 , 0) e. (- 1 , 0) 23 Jawaban y  x3  4x2  2x  3 y  3x2  8x  2 y = m (gradien) x=1 m = 3∙12 - 8∙1 + 2 = -3 y – b = m(x – a) → rumus persamaan garis y – (-4) = -3(x – 1) y = -3x – 1 → persamaan garis h Memotong sumbu-X → y = 0 0 = –3x – 1 x=–1 (E) 3 SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. TURUNAN FUNGSI ALJABAR a. 5 cos 5x – cos x b. 1 cos 5x – cos 1. Diketahui fungsi f(x) = x2 – 6x + 10 dan f’ 2 adalah turunan pertama dari f(x), nilai c. 5 cos 5x - 1 cos x f `(5) = …. …..(UN P5 2002/ 2003) 22 a. –4 b. –1 c. 1 d. 4 e. 16 d. 2 cos 2x cos 3x + 3 sin 2x sin 3x B. TURUNAN HASIL OPERASI e. 3 cos 2x cos 3x- 2 sin 2x sin 3x PERKALIAN FUNGSI C. TURUNAN HASIL OPERASI 1. Turunan pertama dari f(x) = sin 2x cos 3x PEMBAGIAN FUNGSI adalah f `(x) = ….. (UN P3 2003/ 2004) 90

1. Ditentukan fungsi f(x) = 2x  3 , x  2 ; a. –12x cos (5 – 4x2) sin (10 – 8x2) 3x  2 3 b. –6x cos (5 – 4x2) sin (10 – 8x2) c. 12x cos (5 – 4x2) sin (10 – 8x2) dan f ‫ ( ﺍ‬1 ) = ….. (UN P3 2001/ 2002) d. 6x cos (5 – 4x2) sin (10 – 8x2) 2 e. 3x cos (5 – 4x2) sin (10 – 8x2) 4. Turunan pertama dari f(x) = sin4(3x2 – 2) a. 4 b. 5 c. 10 d. 20 e. 40 adalah f `(x) = ….. (UN P11 2005/ 2006) 52 a. 2 sin2(3x2 – 2) sin (6x2 – 4) b. 12x sin2(3x2 – 2) sin (6x2 – 4) 2. Turunan pertama dari c. 12x sin2(3x2 – 2) cos (6x2 – 4) d. 24x sin3(3x2 – 2) cos2 (3x2 – 2) y  sin x adalah y' ....(UN D.10 e. 24x sin3(3x2 – 2) cos (3x2 – 2) sin x  cos y 5. Turunan pertama dari f(x) = sin3 (5x + 8) adalah f `(x) = ……. (UN D9 2006/ 2007 2007/2008) B paket 49) a. 3 sin2 (5x + 8) cos (5x + 8) a . cos x d. sin x  cos x b. 15 sin2 (5x + 8) cos (5x + 8) (sin x  cos x)2 (sin x  cos x)2 c. 15 cos3 (5x + 8) d. 5 cos3 (5x + 8) e. 3 sin2 (5x + 8) b. 1 e. 2sin x cos x 6. Turunan pertama f(x) = cos3 (2x + 1) (sin x  cos x)2 (sin x  cos x)2 adalah f `(x) = …… (UN D9 2006/ 2007 paket 71) c. 2 (sin x  cos x)2 a. –3 sin (2x + 1) cos (4x + 2) b. 6 cos (2x + 1) sin (2x + 1) 3. Diketahui f (x)  x2  3 . Jika c. –3 cos (2x + 1) sin (4x + 2) 2x 1 d. 3 cos (2x + 1) sin (4x + 2) e. 3 cos (2x + 1) sin (2x + 1) f '(x) menyatakan turunan pertama f (x) , E. TITIK STASIONER/ TITIK BALIK/ maka f (0)  2 f '(0)  ....(UN D.10 TITIK PUNCAK/ NILAI MAKSIMUM/ MINIMUM 2007/008) a.-10 b. -9 c. -7 d. -5 e. -3 1. Nilai balik maksimum fungsi f(x) = 1 x4 - 4 D. TURUNAN BERANTAI 1. Turunan pertama dari fungsi f yang 7 x3 + 5x2 + 3 sama dengan nilai …… 3 dinyatakan dengan f(x) = 3x2  5 adalah (UN P5 2002/ 2003) f’, maka rumus f’(x) = … ……(UN P3 a. f(0) b. f(2) c. f(3) d. f(4) e. f(5) 2001/ 2002) 2. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x x 3x hari dengan biaya (4x – 160 + 2000 ) ribu a. b. x 3x2  5 3x2  5 rupiah per hari. Biaya minimum 3 6x penyelesaian pekerjaan tersebut adalah c. d. ……. (UN P11 2005/ 2006) 3x2  5 3x2  5 a. Rp. 200.000,00 b. Rp. 400.000,00 c. Rp. 560.000,00 d. Rp. 600.000,00 e. 6 e. Rp. 800.000,00 3x2  5 3. Perhatikan gambar! 2. Turunan pertama f(x) = cos3 x adalah …… (UN D10 2004/ 2005) a. f `(x) = - 3 cos x sin 2x 2 b. f `(x) = 3 cos x sin 2x 2 c. f `(x) = -3 sin x cos x d. f `(x) = 3 sin x cos x e. f `(x) = -3 cos2 x 3. Turunan pertama dari fungsi f(x) = cos3 (5 – 4x2) adalah f`(x) = …. (UN P3 2005/ 2006) 91

Y 7. Seorang petani menyemprot obat pembasmi hama pada tanaman nya. Reaksi 3 obat tersebut 1 jam setelah disemprotkan T(x, y) dinyatakan dengan rumus f(t) = 15t2 - t3. Reaksi maksimum tercapai 0 5X setelah………….(UN D-10 2008 – 2009) a. 3 jam b. 5 jam c. 10 jam Luas daerah yang diarsir pada gambar akan d. 15 jam e. 30 jam mencapai maksimum, jika koordinat T adalah …. (UN D9 2006/ 2007 A paket 16) 9. Sustu proyek akan diselesaikan dalam x hari. Jika biaya proyek perhari adalah a. (3, 6 ) b. ( 5 , 3 ) c. (2, 9 ) 5 22 5 B   2x  1000  40 dalam ribuan  x d. ( 3 , 21 ) e. (1, 12 ) 2 10 5 rupiah, maka biaya proyek minimum dalam x hari sama dengan …. (UN D-10 4. Perhatikan gambar! 2009 – 2010 A) a. Rp. 550.000,00 b. Rp. 800.000,00 Y c. Rp. 880.000,00 d. Rp. 900.000,00 e. Rp. 950.000,00 6 10. Suatu perusahaan menghasilkan x produk T(x, y) dengan biaya sebesar (9000 + 1000x + 10x2) rupiah. Jika semua hasil produk 0 3X perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp. 5.000,00 untuk satu produknya, Luas daerah yang diarsir pada gambar, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah akan mencapai maksimum jika koordinat ……. (UN D10 2011 paket 12) titik A adalah …….. (UN D9 2006/ 2007 A. Rp. 149.000,00 B. Rp. 249.000,00 B paket 49) C. Rp. 391.000,00 D. Rp. 609.000,00 a. (1 1 , 3) b. (1 1 , 4 1 ) c. ( 2 1 , 3 1 ) E. Rp. 757.000,00 2 22 22 d. (2, 2) e. (2, 4) F. FUNGSI NAIK/ TURUN 5. Sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya 1. Grafik fungsi y = 2x3 – 3x2 – 36x + 1 naik berbentuk persegi, mempunyai volume 4 pada interval ……(UN P3 2001/ 2002) m3 terbuat dari selembar karton. Agar a. x < 2 atau x > 3 b. x < -2 atau x > 3 karton yang diperlukan sedikit mungkin, maka ukuran panjang, lebar dan tinggi c. –2 < x < 3 d. 2 < x < 3 kotak berturut-turut adalah …. (UN D.10 2007/2008) e. –3 < x < 2 a.2m, 1m, 2m d. 4m, 1m, 1m b.2m, 2m, 1m e. 1m, 2m, 1m 2. Grafik fungsi y = 1 x3 - 1 x2 – 6x, turun c.1m, 2m, 2m 32 6. Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi pada interval ….. (UN P5 2002/ 2003) memberikan keuntungan (225x – x2) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai a. –2 < x < 3 b. –3 < x < 2 maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah …. (UN D10 2004/ c. –3 < x < -2 d. x < -2 atau x > 3 2005) a. 120 b. 130 c. 140 d. 150 e. 160 e. x < -3 atau x > 2 G. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG 1. Persamaan garis singgung pada kurva dengan persamaan y = 3 2x 1 di titik x = 4 adalah …. (UN P5 2002/ 2003) a. x – y + 5 = 0 b. x – y – 5 = 0 c. x + y + 5 = 0 d. x – 2y + 14 = 0 92

e. x + 2y + 14 = 0 2. Garis singgung kurva y = (x2 + 1)2 di titik yang berabsis 1 memotong sumbu X dengan koordinat…… (UN P3 2005/ 2006) a. (2, 0) b. ( 1 , 0) c. (- 1 , 0) 22 d. (-2, 0) e. (0, - 1 ) 2 3. Persamaan garis singgung kurva y = 3 5  x di titik dengan absis 3 adalah …….. (UN P11 2005/ 2006) a. x – 12y + 21 = 0 b. x – 12y + 23 = 0 c. x – 12y + 27 = 0 d. x – 12y + 34 = 0 e. x – 12y + 38 = 0 5. Garis l menyinggung kurva y = 6 x di titik yang berbasis 4. Titik potong garis l dengan sumbu X adalah ……….(UN D- 10 2008 – 2009) a. (4, 0) b. (- 4, 0) c. (12, 0) d. (- 6, 0) e. (6, 0) 7. Garis singgung kurva y  5x2  4x 1 yang melalui titik (1, 8), memotong sumbu Y di titik …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a. (0, -9) b. (0, -8) c. (0, -6) d. (0, 7) e. (0, 22) 93

17. INTEGRAL A. PENGERTIAN a. Integral merupakan anti diferensial atau sebagai operasi invers dari diferensial Jika F'(x)  f (x) maka  f (x)dx F(x)  c Keterangan :  : lambang integral F(x) : hasil integral f (x) : integran C : konstanta dx : arah integral b. Sifat 1.  kf (x)dx  k f (x)dx 2.  f (x)dx  a(x)dx   f (x)dx  g(x)dx B. INTEGRAL TAK TENTU a. Pengertian Integral tak tentu adalah suatu cara untuk mencari fungsi f(x) apabila turunannya telah diketahui. b. Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar 1.  dx  x  c 3. kxndx  k xn1  c,n  1 n 1 2.  kdx  kx c 4.  kx1dx  kdx  k ln x c, n  1 x c. Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri 1.  cos xdx = sin x  c 6. sin(ax  b)dx =  1 cos(ax  b)  c a 2. sin xdx =  cos x  c 7.  cot x.cos ecxdx =  cos ecx  c 3.  cos axdx = 1 sin ax  c 8.  sec2 xdx = tan x  c a 4. sin axdx = 1 cos ax  c 9.  cos ec2 xdx = cot x  c a 5.  cos(ax  b)dx = 1 sin(ax  b)  c 10.  tan x.sec xdx = sec x  c a d. Beberapa Penggunaan Integral Tak Tentu Diketahui Ditanya Rumus a F'(x), F(a) Fungsi mula-mula Persamaan kurva F(x)   F'(x)dx b Persamaan garis singgung dy melalui titik (x, y) Kecepatan jarak y    dy dx dx  dx  c a(t) percepatan v(t)   a(t)dt s(t)   v(t)dt 94

C. INTEGRAL TERTENTU a. Pengertian: b Andaikan fungsi f terdefinisi pada interval [a, b], maka  f (x)dx dinamakan integral a tertentu fungsi f dari a ke b. b  f (x)dx  F (x) b  F(b)  F(a) a a ● b disebut batas atas ● a disebut batas bawah b. Sifat-Sifat a 4. b b b 1.  f (x)dx  0  f (x)  g(x)dx  f (x)dx   g(x)dx a a aa ba bc c 2.  f (x)dx    f (x)dx 5.  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx ; a  b  c ab ab a ba 3.  k. f (x)dx k  f (x)dx ab D. PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSTITUSI 1. Pengintegralan yang dapat diubah ke dalam bentuk  f (u) du Pedoman: o Salah satu bagian merupakan turunan dari bagian lainnya o Salah satu bagian dimisalkan dengan u o Sisanya yang lain (termasuk dx) harus diubah dalam du Bentuk umum:  f (g(x)) g(x) dx =  f (u) du = F(u) + C = F(g(x)) + C Rumus praktis: No Integral Hasil Integral  1 axq bx p  c ndx ax q  1  (bx p  c) n1 C bx p1 (n 1) Syarat: p & q selisih 1 (p > q) 1 (ax + b)n+1 + C 2  ax  bn dx a(n  1) 2 ax  b + C 3  dx a ax  b E. INTEGRAL PARSIAL  a. Cara I (pengubahan ke bentuk udv  uv  vdu ) Prosedur: - Salah satu bagian dimisalkan u lalu dicari du atau turunan-nya - Sisanya yang lain (termasuk dx) dianggap sebagai dv, lalu tentukan fungsi v nya dengan cara pengitegralan.  - Pengubahan bentuk integralnya menjadi udv  uv  vdu 95

b. Cara II (Metode Tanzalin) Contoh:  x sin x dx = …………. Misalnya; Fungsi I = x & Fungsi II = sinx Perhatian: - Fungsi I penurunannya pada langkah 2 - Fungsi II pengintegralannya sejak langkah 1 - Proses berakhir ketika penurunan menghasilkan nilai 0. - Hasilnya adalah Fungsi I (langkah 1) x Fungsi II (langkah 2) pada tiap langkah dengan memperhatikan tanda “+/ -“ dst. Langkah Tanda Fungsi I Fungsi II (Turunkan) (Integralkan) 1+ x Sin x - cos x 2- 1 - sin x 0 (proses selesai)   x sin x dx = x (-cos x) – 1 (-sin x) = - x cos x + sin x F. BEBERAPA PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU a. Menentukan Luas Daerah Sumbu x Sumbu y Satu kurva b d L   f (x)dx L   f ( y)dy a c jika luas daerah di bawah sumbu jika luas daerah di kiri sumbu y x maka rumus luas dinyatakan: maka rumus luas dinyatakan: bb dd L   ydx atau L   ydx L   xdy atau L   xdy aa cc 96

Cara Cepat Menghitung Luas: L= D D 6a 2 Syarat: a. Berbentuk fungsi kuadrat b. Batas : titik potong terhadap sumbu X atau sumbu Y Dua kurva y1  g(x) x2  g( y) x1  f ( y) y2fg((xx)) b b L  ( y1  y2 )dx atau L  (x1  x2 )dx atau a a b b L   ( f (x)  g(x))dx L   ( f ( y)  g( y))dx a a Cara Cepat Menghitung Luas: L= D D 6a 2 Syarat: a. x1-x2 / y1-y2 berbentuk fungsi kuadrat b. Batas : titik potong antara dua kurva b. Menentukan Volume / Isi Benda Putar Satu kurva Mengelilingi sumbu x sejauh 3600 Mengelilingi sumbu y sejauh 3600 y  f (x) x  f (y) bb bb V    y2dx atauV     f (x)2 dx V    x2dy atauV     f ( y)2 dy aa aa Dua kurva y1  f (x) x2  g( y) y2  g(x) x1  f ( y) b b V   ( y12  y22 )dx atau V   (x12  x22 )dy atau a a 97