UP 6 MATEMATIKA (LIMIT FUNGSI)

i Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

Unit Pembelajaran 06 LIMIT FUNGSI MATA PELAJARAN MATEMATIKA MADRASAH ALIYAH Penanggung Jawab Direktorat GTK Madrasah Direktorat Jenderal Pendidikan Islam Kementerian Agama Republik Indonesia Penyusun Sigit Tri Guntoro Wiwit Susanti Juanda Kasim Darno Raharjo Untung Trisna Suwaji Reviewer Abdur Rahman As’ari Copyright © 2020 Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah Hak CIpta Dilindungi Undang-undang Dilarang mengcopy sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Agama Republik Indonesia Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi ii

KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Undang – Undang Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen Pasal 1 ayat 1 menyatakan bahwa Guru adalah pendidik profesional dengan tugas utama mendidik, mengajar, membimbing, mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta didik pada Pendidikan Anak Usia Dini jalur Pendidikan Formal, Pendidikan Dasar, dan Pendidikan Menengah. Agar dapat melaksanakan tugas utamanya dengan baik, seorang guru perlu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya secara bertahap, berjenjang, dan berkelanjutan melalui Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) guru. Untuk itu saya menyambut baik terbitnya modul ini sebagai panduan semua pihak dalam melaksanakan program PKB. Peningkatan Kompetensi Pembelajaran merupakan salah satu fokus upaya Kementerian Agama, Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan (GTK) dalam meningkatkan kualitas madrasah melalui pembelajaran berorientasi keterampilan berpikir tingkat tinggi, kontekstual, dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Program PKB dilakukan mengingat luasnya wilayah Indonesia dan kualitas pendidikan yang belum merata, sehingga peningkatan pendidikan dapat berjalan secara masif, merata, dan tepat sasaran. Modul ini dikembangkan mengikuti arah kebijakan Kementerian Agama yang menekankan pada pembelajaran berorientasi pada keterampilan berpikir tingkat tinggi atau higher order thinking skills (HOTS) dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Keterampilan berpikir tingkat tinggi adalah proses berpikir kompleks dalam menguraikan materi, membuat kesimpulan, membangun representasi, menganalisis, dan membangun hubungan dengan melibatkan aktivitas mental yang paling dasar. Sementara, nilai-nilai keislaman diintegrasikan dalam pembelajaran sebagai hidden curriculum sehingga tercipta generasi unggul sekaligus beriman dan bertakwa serta berakhlak mulia. iii Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

Sasaran Program PKB ini adalah seluruh guru di wilayah NKRI yang tergabung dalam komunitas guru sesuai bidang tugas yang diampu di wilayahnya masing-masing. Komunitas guru dimaksud meliputi kelompok kerja guru (KKG), Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP), dan Musyawarah Guru Bimbingan Konseling (MGBK). Model pembelajaran yang digunakan dalam modul ini adalah melalui moda Tatap Muka In-On-In sehingga guru tidak harus meninggalkan tugas utamanya di madrasah sebagai pendidik. Semoga modul ini dapat digunakan dengan baik sebagaimana mestinya sehingga dapat menginspirasi guru dalam materi dan melaksanakan proses pembelajaran. Kami ucapkan terima kasih atas kerja keras dan kerja cerdas para penulis dan semua pihak terkait yang dapat mewujudkan Modul ini. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai dan memudahkan upaya yang kita lakukan. Aamiin. Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Jakarta, Oktober2020 An. Direktur Jenderal, Direktur Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah, Muhammad Zain Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi iv

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR................................................................................................................iii DAFTAR ISI .............................................................................................................................. v DAFTAR TABEL .....................................................................................................................vii DAFTAR GAMBAR................................................................................................................viii 01 PENDAHULUAN ................................................................................................................. 1 A. Latar Belakang ................................................................................................................ 1 B. Tujuan................................................................................................................................ 1 C. Manfaat ............................................................................................................................ 2 D. Sasaran ............................................................................................................................ 2 E. Petunjuk Penggunaan .................................................................................................. 2 02 TARGET KOMPETENSI ................................................................................................... 5 A. Target Kompetensi Guru ............................................................................................. 5 1. Target Kompetensi Guru........................................................................................... 5 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Guru .............................................................. 5 B. Target Kompetensi Peserta Didik.............................................................................. 7 1. Kompetensi Dasar ...................................................................................................... 7 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik............................................... 8 03 MATERI PEMBELAJARAN ..............................................................................................11 A. Ruang Lingkup Materi ..................................................................................................11 B. Aplikasi dalam Kehidupan ...........................................................................................11 C. Integrasi Keislaman......................................................................................................12 D. Bahan Bacaan ...............................................................................................................13 v Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

1. Pengertian limit fungsi ..............................................................................................13 2. Limit Kiri dan Limit Kanan........................................................................................16 3. Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga ..........................................................18 4. Limit Fungsi Trigonometri .......................................................................................21 5. Sifat-sifat limit Fungsi ..............................................................................................22 6. Bentuk Tak tentu ������������, ∞∞ dan ∞ − ∞................................................................23 7. Strategi Menyelesaikan Masalah Limit................................................................23 04 KEGIATAN PEMBELAJARAN.......................................................................................29 A. Organisasi Pembelajaran...........................................................................................29 B. Perangkat dan Media Pembelajaran.......................................................................29 C. Aktivitas Pembelajaran...............................................................................................30 1. Kegiatan In Learning Service-1 ( .... JP) ................................................................30 2. Kegiatan On Job Learning (4 JP)..........................................................................38 3. Kegiatan In Learning Service-2 (4 JP) .................................................................39 D. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD).........................................................................39 E. Pengembangan Penilaian...........................................................................................41 05 PENILAIAN .......................................................................................................................43 A. Tes Formatif ..................................................................................................................43 B. Penilaian ........................................................................................................................48 1. Penilaian untuk Guru................................................................................................48 2. Penilaian untuk Peserta Didik ...............................................................................49 06 PENUTUP .........................................................................................................................52 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF...................................................................................53 DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................................................54 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi vi

DAFTAR TABEL Tabel 1 Target Kompetensi Guru ............................................................................... 5 Tabel 2 Indikator Pencapaian Kompetensi Guru .................................................... 5 Tabel 3 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik.................................................... 7 Tabel 4 Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik .................................... 8 Tabel 5 Tabel Percobaan Charles .............................................................................12 Tabel 6 Organisasi Pembelajaran.............................................................................29 Tabel 7 Instrumen Penilaian Diri Bagi Guru ...........................................................48 Tabel 8 Instrumen Penilaian Guru oleh Asesor/Fasilitator .................................48 Tabel 9 Instrumen Penilaian Diri bagi Peserta Didik............................................49 Tabel 10 Instrumen Penilaian Peserta Didik oleh Guru........................................ 50 vii Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

DAFTAR GAMBAR Gambar 1 Alur Tatap Muka In-On-In ............................................................................ 4 Gambar 2 Nebula Boomerang ......................................................................................11 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi viii

01 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pendidikan merupakan proses yang sangat strategis dalam mencerdaskan kehidupan bangsa sehingga harus dilakukan secara profesional. Undang-Undang Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen Pasal 10 ayat (1) mengamanatkan bahwa guru yang profesional harus memiliki kompetensi pedagogik, kompetensi kepribadian, kompetensi sosial, dan kompetensi profesional. Keempat kompetensi tersebut bersifat holistik dan merupakan suatu kesatuan yang menjadi ciri guru profesional. Agar dapat melaksanakan tugas profesinya dengan baik, seorang guru perlu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya secara bertahap, berjenjang, dan berkelanjutan melalui Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) guru. Strategi pelaksanaan PKB guru madrasah yang ditempuh oleh Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah adalah melalui KKG/MGMP/MGBK, Kantor Wilayah Kementerian Agama Provinsi, dan Kementerian Agama Pusat. Untuk mendukung program tersebut, diperlukan modul sebagai salah satu aternatif sumber bahan ajar bagi guru untuk mempelajari konten materi, merancang pembelajaran dan cara mengajarkannya, mengembangkan Lembar Kerja Peserta Didik, mengembangkan instrumen penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar B. Tujuan Tujuan modul ini adalah: 1. Meningkatkan kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional guru melalui kegiatan PKB 2. Meningkatkan hasil Asesmen Kompetensi Guru (AKG) 3. Menfasilitasi sumber belajar guru dan peserta didik dalam mengembangkan kurikulum, mempersiapkan dan melaksanaan pembelajaran yang mendidik 1 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

C. Manfaat Manfaat yang ingin dicapai: 1. Sebagai sumber belajar bagi guru dalam melaksanakan PKB untuk mencapai target kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional tertentu 2. Sebagai sumber bagi guru dalam mengembangkan kurikulum, persiapan dan pelaksanaan pembelajaran yang mendidik 3. Sebagai bahan malakukan asesmen mandiri guru dalam rangka peningkatan keprofesionalan 4. Sebagai sumber dalam merencanakan dan melaksanakan penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar peserta didik 5. Sebagai sumber belajar bagi peserta didik untuk mencapai target kompetensi dasar D. Sasaran Adapun sasaran modul ini adalah: 1. Fasilitator nasional, provinsi, dan kabupaten/kota 2. Pengawas Madrasah 3. Kepala Madrasah 4. Ketua KKG/MGMP/MGBK 5. Guru 6. Peserta didik. E. Petunjuk Penggunaan Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari dan mempraktikkan modul ini, ikutilah petunjuk belajar sebagai berikut: 1. Bacalah dengan cermat bagian pendahuluan sampai Anda memahami benar tujuan mempelajari Unit Pembelajaran ini. 2. Pelajarilah dengan seksama bagian target kompetensi sehingga Anda benar- benar memahami target kompetensi yang harus dicapai baik oleh diri Anda sendiri maupun oleh peserta didik. Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 2

3. Kegiatan Pembelajaran untuk menyelesaikan setiap Unit Pembelajaran dilakukan melalui moda Tatap Muka In-On-In sebagai berikut: a. Kegiatan In Service Learning 1. Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka untuk mengkaji materi bersama fasilitator dan teman sejawat. Aktivitas yang dilakukan diantaranya: 1) Melakukan analisis kurikulum dan analisi hasil belajar peserta didik dari skor Ujian Nasional (UN) atau sumber lain untuk mengetahui kebutuhan kompetensi peserta didik. 2) Mempelajari konten materi ajar dan mendiskusikan materi ajar yang sulit atau berpeluang terjadi miskonsepsi. 3) Mempelajari dan mendesain pembelajaran yang sesuai dengan daya dukung madrasah dan karakteristik peserta didik. 4) Mempelajari dan membuat LKPD. 5) Mempersiapkan intrumen penilaian proses dan hasil belajar. 6) Dalam kegiatan ini, dapat juga dilakukan rencana pengambilan data untuk dikembangkan menjadi Penelitian Tindakan Kelas. b. Kegiatan On The Job Learning. Pada tahap ini, Anda dapat mengkaji kembali uraian materi secara mandiri dan melakukan aktivitas belajar di madrasah berdasarkan rancangan pembelajaran, LKPD, dan instrumen penilaian yang telah dipersiapkan pada kegiatan In Service Learning 1. Buatlah catatan-catatan selama pelaksanaan pembelajaran sebagai bahan refleksi pada kegiatan In Service Learning 2 atau sebagai data hasil PTK. Semua hasil kegiatan peserta didik dilampirkan sebagai bukti fisik bahwa Anda telah menyelesaikan seluruh tugas on yang ada pada Unit Pembelajaran. c. Kegiatan In Service Learning 2. Tahap ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk melaporkan dan mendiskusikan hasil kegiatan on. Arahkan diskusi pada refleksi untuk perbaikan dan pengembangan pembelajaran berikutnya. Jika memiliki 3 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

data-data hasil PTK dapat pula dijadikan sebagai bahan diskusi dalam kegiatan ini. 4. Ujilah capaian kompetensi Anda dengan mengerjakan soal tes formatif, kemudian cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang tersedia di bagian akhir Unit Pembelajaran. 5. Lakukan penilaian mandiri sebagai refleksi ketercapaian target kompetensi. Gambar 1 Alur Tatap Muka In-On-In Dalam melaksanakan setiap kegiatan pada modul ini, Anda harus mempertimbangkan prinsip kesetaraan dan inklusi sosial tanpa membedakan suku, ras, golongan, jenis kelamin, status sosial ekonomi, dan yang berkebutuhan khusus. Kesetaraan dan inklusi sosial ini juga diberlakukan bagi pendidik, tenaga kependidikan dan peserta didik. Dalam proses diskusi kelompok yang diikuti laki- laki dan perempuan, perlu mempertimbangkan kapan diskusi harus dilakukan secara terpisah baik laki-laki maupun perempuan dan kapan harus dilakukan bersama. Anda juga harus memperhatikan partisipasi setiap peserta didik dengan seksama, sehingga tidak mengukuhkan relasi yang tidak setara. Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 4

02 TARGET KOMPETENSI A. Target Kompetensi Guru Target kompetensi guru didasarkan pada Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia Nomor 16 Tahun 2007 Tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru. Dalam Unit Pembelajaran ini, target kompetensi yang dituangkan hanya yang terkait kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional. 1. Target Kompetensi Guru Target kompetensi guru didasarkan pada Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia Nomor 16 Tahun 2007 Tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru. Dalam Unit Pembelajaran ini, target kompetensi yang dituangkan hanya yang terkait kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional Ranah Kompetensi Tabel 1 Target Kompetensi Guru Target Kompetensi Guru Kompetensi 1. Menyusun rancana pembelajaran yang lengkap. Pedagogis 2. Melaksanakan pembelajaran limit fungsi yang mengembangkan berpikir kritis dan kreatif 3. Mengevaluasi pelaksanaan pembelajaran dan hasil belajar peserta didik untuk berbagai tujuan Kompetensi 4. Menguasai materi, struktur, konsep, dan pola pikir Profesional keilmuan berkaitan limit fungsi 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Guru Tabel 2 Indikator Pencapaian Kompetensi Guru Target Kompetensi Indikator Pencapaian Kompetensi Guru 1. Menyusun 1. Menjelaskan tujuan pembelajaran limit fungsi rancana 2. Merancang sintak pembelajaran untuk memberi pembelajaran yang lengkap pengalaman belajar yang sesuai untuk mencapai tujuan pembelajaran 5 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

3. Membuat indikator dan instrumen penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar peserta didik. 2. Melaksanakan 4. Melakukan pembelajaran limit fungsi dengan pembelajaran pengungkit kasus pengerjaan siswa/guru limit fungsi yang mengembangkan 5. Melakukan pembelajaran limit fungsi dengan berpikir kritis dan menyisipkan titik kritis yang sering terabaikan kreatif 6. Menggunakan media pembelajaran yang menuntut kekreatifan siswa/guru dalam penggunaan maupun pembuatannya 3. Mengevaluasi pelaksanaan pembelajaran dan 7. Menganalisis hasil belajar peserta didik untuk perbaikan pembelajaran dan/atau pengayaan penilaian hasil 8. Menjelaskan pengertian limit fungsi belajar peserta 9. Mengidentifikasi titk-titik kritis terkait penyelesaian didik untuk masalah limit fungsi 10. Memanfaatkan strategi dalam menyelesaikan berbagai tujuan masalah limit fungsi 4. Menguasai materi, struktur, konsep dan pola pikir keilmuan tentan limit fungsi Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 6

B. Target Kompetensi Peserta Didik Target kompetensi peserta didik dalam Unit Pembelajaran ini dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar sesuai dengan permendikbud nomor 37 tahun 2018 Tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Pelajaran Kurikulum 2013 Pada Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah sebagai berikut: 1. Kompetensi Dasar Tabel 3 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik NO KOMPETENSI DASAR TARGET KD KELAS 3.7 XI Menjelaskan limit 1. Menjelaskan pengertian limit fungsi aljabar (fungsi dengan bahasa sederhana polinom dan fungsi pada fungsi aljabar rasional) secara intuitif 2. Menjelaskan pengertian limit dengan definisi formal ε-δ dan sifat-sifatnya, serta (baca: epsilon delta) pada menentukan fungsi aljabar eksistensinya. 3. Menjelaskan sifat limit fungsi 4. Membuktikan limit fungsi Menyelesaikan 1. Menyelesaikan masalah 4.7 masalah yang berkaitan dengan limit fungsi XI XII berkaitan dengan limit aljabar fungsi aljabar Menjelaskan dan 1. Menjelaskan limit fungsi 3.1 menentukan limit trigonometri fungsi trigonometri 2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menentukan nilai limit fungsi trigonometri Menyelesaikan 1. Menyelesaikan masalah XII 4.1 masalah berkaitan XII berkaitan dengan limit fungsi dengan limit fungsi trigonometri trigonometri Menjelaskan dan 1. Menjelaskan limit fungsi di 3.2 menentukan limit di ketakhinggaan untuk fungsi ketakhinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri 7 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

aljabar dan fungsi 2. Menetukan limit fungsi di trigonometri ketakhinggaan pada fungsi aljabar dan fungsi trigonometri Menyelesaikan masalah berkaitan 1. Menyelesaikan masalah 4.2 dengan eksistensi limit berkaitan dengan keberadaan XII di ketakhinggaan limit di tak hingga fungsi fungsi aljabar dan aljabar dan fungsi trigonometri fungsi trigonometri 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik Kompetensi dasar dikembangkan menjadi beberapa indikator pencapaian kompetensi sebagai acuan bagi guru untuk mengukur pencapaian kompetensi dasar. Dalam rangka memudahkan guru menentukan indikator yang sesuai dengan tuntunan kompetensi dasar, indikator dibagi menjadi tiga kategori, yaitu indikator pendukung, indikator kunci, dan indikator pengayaan sebagai berikut: Tabel 4 Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi KELAS XI 3.7. Menjelaskan limit IPK Pendukung: fungsi aljabar (fungsi 3.7.1 Menjelaskan pengertian mendekati dalam polinom dan fungsi rasional) secara limit fungsi intuitif dan sifat- sifatnya, serta IPK Inti: menentukan 3.7.2 Menjelaskan limit fungsi dengan bahasa eksistensinya. sederhana 3.7.3 Menjelaskan limit fungsi dengan sajian formal 3.7.4 Menjelaskan sifat limit fungsi 3.7.5 Membuktikan kebenaran suatu limit fungsi IPK Pengayaan: 3.7.6 Menganalisis sifat-sifat limit yang digunakan dalam suatu pengerjaan Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 8

4.7 Menyelesaikan IPK Pendukung: masalah yang - berkaitan dengan IPK Inti: limit fungsi aljabar 4.7.1 Menyelesaikan masalah limit fungsi aljabar IPK Pengayaan: - KELAS XII 3.1 Menjelaskan dan IPK Pendukung: menentukan limit 3.1.1 Menjelaskan fungsi trigonometri fungsi trigonometri IPK Inti: 4.1 Menyelesaikan 3.1.2 Menjelaskan pengertian limit fungsi masalah berkaitan dengan limit fungsi trigonometri trigonometri 3.1.3 Menentukan nilai limit fungsi trigonoimetri 3.2 Menjelaskan dan menggunakan sifat-sifat limit menentukan limit di IPK Pengayaan: ketakhinggaan 3.1.4 Menyusun identitas trigonometri untuk fungsi aljabar dan fungsi trigonometri menentukan nilai limit fungsi trigonometri IPK Pendukung: - IPK Inti: 4.1.1 Menyelesaikan masalah limit fungsi trigonometri IPK Pengayaan: - IPK Pendukung: 3.2.1 Menjelaskan limit fungsi yang tidak melibatkan ketakhinggaan IPK Inti: 3.2.2 Menjelaskan limit fungsi di tak hingga untuk fungsi aljabar 9 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

4.2 Menyelesaikan 3.2.3 Menjelaskan limit fungsi di tak hingga untuk masalah berkaitan fungsi trigonometri dengan eksistensi limit di 3.2.4 Menentukan limit fungsi di tak hingga untuk ketakhinggaan fungsi aljabar fungsi aljabar dan fungsi trigonometri 3.2.5 Menentukan limit fungsi di tak hingga untuk fungsi trigonometri IPK Pengayaan: 3.2.6 Menganalisis perbedaan limit tak hingga dan limit di tak hingga IPK Pendukung: 4.2.1 Menyelesaikan limit fungsi yang tidak melibatkan ketajhinggaan IPK Inti: 4.2.2 Menyelesaikan masalah limit di tak hingga fungsi aljabar 4.2.3 Menyelesaikan masalah limit di tak hingga fungsi trigonometri IPK Pengayaan: 4.2.3 Membuat contoh limit tak hingga dan limit di tak hingga Dalam kegiatan In Service Learning 1, Anda perlu menganalisis kompetensi yang harus Anda tingkatkan untuk dapat merencanakan pembelajaran, melaksanakan pembelajaran, dan mengevaluasi pembelajaran dengan baik dalam rangka mencapai target kompetensi dasar peserta didik. Dari hasil analisis kompetensi tersebut, maka Anda dapat melaksanakan PKB sesuai dengan kompetensi yang ingin Anda tingkatkan pada diri Anda guna mencapai target kompetensi peserta didik. Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 10

03 MATERI DAN ORGANISASI PEMBELAJARAN A. Ruang Lingkup Materi Ruang lingkup materi limit fungsi di Madrasah Aliyah meliputi: 1. Pengertian, jenis dan sifat limit fungsi a. Pengertian limit fungsi b. Sifat-sifat limit fungsi c. Limit tak hingga d. Limit di tak hingga e. Limit Fungsi Trigonometri 2. Strategi menyelesaikan masalah limit B. Aplikasi dalam Kehidupan Suhu Mutlak Mengapa suhu tinggi tidak ada batas tetapi suhu rendah ada batasnya? Kita sudah sangat kenal dengan istilah suhu mutlak dengan satuan ������ (Kelvin), dimana 0������ = −273,15℃. Artinya di alam ini suhu paling rendah yang dapat dicapai Gambar 2 Nebula Boomerang adalah 0������ = −273,15℃. Inilah salah satu penerapan terkait Menurut NASA, tempat terdingin di alam semesta yang sudah tereksplorasi adalah Nebula Boomerang yang bersuhu -272℃, hanya 1° diatas nol Kelvin limit fungsi. Mengapa demikian? Jawabannya sejatinya cukup mudah untuk dipahami. Bermula dari Jacques Charles (1746–1823) seorang fisikawan Perancis berhasil melakukan percobaan dan menemukan hubungan bahwa pada tekanan tetap volume gas akan berbanding lurus dengan temperaturnya. Percobaan yang ia lakukan adalah satu mol gas hidrogen di tempatkan pada suatu alat yang dapat menjaga tekanannya 11 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

selalu tetap yaitu satu atmosfer. Tabel berikut menunjukkan hubungan volum ������ (dalam liter) dan temperatur ������ (dalam Celcius) hasil percobaan Charles. Tabel 5 Tabel Percobaan Charles Dari sini dapat ditentukan hubungan linear ������ dan ������ sebagai ������ = 0,08213������ + 22,4334 atau ������ = ������−22,4334 0,08213 Oleh karena volum gas dapat mendekati 0 (tetapi tidak pernah sama dengan 0) dan mengingat hubungan ������ dan ������ maka untuk menghasilkan temperatur minimal volum juga harus minimal. Berarti volum akan mendekati 0 (������ → 0). Karena hubungan di atas diperoleh lim ������ = lim ������ − 22,4334 ������→0 ������→0+ 0,08213 −22,4334 = 0,08213 ≈ −273,15 Dari hasil penemuan ini disimpulkan bahwa temperatur terdingin di alam ini adalah −273,15℃ dan tidak mungkin rendah lagi karena volum tidak pernah negatif. Inilah yang selanjutnya dikatakan sebagai temperatur 0 pada satuan suhu mutlak Kelvin. C. Integrasi Keislaman Dalam Al-Quran Surah At-Taubah ayat 28 Alloh berfirman: Artinya: Wahai orang-orang yang beriman! Sesungguhnya orang-orang musyrik itu najis (kotor jiwa), karena itu janganlah mereka mendekati Masjidilharam Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 12

setelah tahun ini. Dan jika kamu khawatir menjadi miskin (karena orang kafir tidak datang), maka Allah nanti akan memberikan kekayaan kepadamu dari karunia-Nya, jika Dia menghendaki. Sesungguhnya Allah Maha Mengetahui, Mahabijaksana (QS: At-Taubah:28) Dalam firman Alloh tersebut sangat jelas bahwa orang-orang musyrik tidak akan sampai ke Masjidilharam karena mereka dilarang untuk sekedar mendekat. Artinya tetap ada jarak antara Masjidilharam dan orang-orang musyrik. Apabila dikaitkan dengan limit di matematika, misalnya ������ mendekati ������ maka selalu ada jarak antara ������ dan ������. Ini berarti |������ − ������| ≠ 0. Apa yang terjadi jika |������ − ������| = 0? Jika |������ − ������| = 0 maka ������ = ������ yang berarti tidak mendekati lagi tetapi sama persis. D. Bahan Bacaan 1. Pengertian limit fungsi Masih banyak para guru yang memulai pembahasan limit fungsi dengan menyajikan definisi formal. Definisi formal yang dimaksud sebagai berikut. _________________________________ lim ������(������) = ������ artinya untuk setiap ������ > 0 terdapat ������ > 0 sehingga berlaku ������→������ |������(������) − ������| < ������ untuk 0 < |������ − ������| < ������ ________________________________ Penyajian langsung melalui definisi formal seperti ini sangat mungkin membingungkan siswa bahkan guru sendiri. Tentu ini harus dihindari karena guru harus memastikan setiap siswa paham terhadap materi yang diajarkan. Oleh karena itu perlu penyajian awal yang lebih sederhana (simple) sehingga siswa paham tentang limit fungsi baik dengan dengan bahasa sederhana maupun dengan definisi formal. Untuk keperluan tersebut perhatikan gambar berikut. 13 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

Perhatikan gambar sebelah kiri. Dalam kemiringan tersebut, ujung pensil didekatkan menuju titik ������. Apa yang terjadi dengan posisi pangkal pensil? Tentu saja pangkal pensil akan mendekati titik ������. Selanjutnya perhatikan gambar sebelah kanan. Dari sisi yang lain dan dalam kemiringan yang tetap, ujung pensil didekatkan menuju ������. Apa yang terjadi dengan pangkal pensil? Apakah masih mendekati ������ juga? Dimanapun posisi ujung pensil asalkan kemiringanya tetap maka pangakal pensil akan mendekati ������ jika ujungnya didekatkan ke ������. Ilustrasi seperti inilah sebenarnya gambaran dari makna limit fungsi sebelum dikaitkan dengan angka-angka atau bilangan. Dengan bahasa sederhana ilustrasi diatas dapat dikatakan “jika ujung pensil mendekati ������ maka pangkal pensil mendekati ������”. Bagaimana kaitannya dengan limit fungsi? Mari kita mulai dengan contoh. Diberikan fungsi ������(������) = ������2 + 1. Penulisan atau penyajian lim (������2 + 1) = 5 ������→2 ini sebanarnya hanya ingin mengungkapkan: jika ������ mendekati 2 maka (������2 + 1) mendekati 5. Ada sebagian referensi yang mengganti mengganti kata “menuju” menjadi “mendekati”, sehingga lim (������2 + 1) = 5 dikatakan sebagai ������������������������ ������ ������→2 ������������������������������������ 2 ������������������������ (������2 + 1) ������������������������������������ 5. Jadi sebenarnya ini saja yang dimaksud lim (������2 + 1) = 5, sederhana bukan? Sama halnya dengan lim ������(������) = ������, ������→2 ������→������ pemaknaannya adalah jika ������ mendekati ������ maka ������(������) akan mendekati ������. Dengan demikan jika dimunculkan pertanyaan “Bilangan mana yang didekati (������2 + 1) saat ������ mendekati 2?” maka sama saja dengan mengatakan “tentukan hasil Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 14

lim (������2 + 1)” dan tentu saja jawabannya 5. Untuk lebih jelasnya perhatikan Tabel ������→2 berikut ������ 1,997 1,998 1,999 2 2,001 2,011 2,111 ������(������) = ������2 + 1 4,988 4,992 4,996 ? 5,004 5,044 5,456 Dengan mencermati Tabel, secara intuitif wajar orang akan menyimpulkan bahwa lim ������(������) = 5 karena semakin ������ mendekati 2 maka nilai ������(������) semakin ������→2 mendekati 5. Demikian juga apabila fungsi tersebut disajikan dalam gambar berikut. Namun apakah 5 benar-benar merupakan nilai limit fungsinya, tentu masih menjadi suatu pertanyaan. Bahasa sederhananya perlu bukti bahwa lim ������(������) = 5 ������→2 (lihat aktivitas). Inilah perlunya pendefinisian formal yang dapat digunakan untuk proses pembuktian. ______________________ Catatan: Karena berbagai keterbatasan, tidak semua hasil dalam Unit Pembelajaran ini selalu disertai dengan bukti. ______________________________ 15 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

Seorang matematikawan Perancis bernama Augustin-Louis Cauchy menyusun definisi tentang limit secara formal yang masih digunakan sampai sekarang sebagai berikut. Definisi : ������������������ ������(������) = ������ secara formal didefinisikan sebagai: untuk setiap  > ������→������ 0 , terdapat  > 0 sedemikian hingga |������(������) – ������| <  untuk setiap ������ < | ������ – ������| < . Definisi ini sebenarnya sama dengan apa yang sudah dibahas sebelumnya yaitu mengatakan “ jika ������ → ������ maka ������(������) → ������”. Keunggulan dari definisi formal ini adalah untuk keperluan pembuktian. Tayangan interaktif berkaitan dengan pemahaman awal limit fungsi, dapat dibuka pada tautan: https://www.geogebra.org/m/fnru97jx 2. Limit Kiri dan Limit Kanan Seperti yang sudah disinggung pada bagian sebelumnya, saat pembahasan lim ������(������) = ������, maksud dari ������ mendekati ������ (ditulis: ������ → ������) adalah ������ ������→������ mendekati ������ dari kiri (������ → ������−) dan juga ������ mendekati ������ dari kanan (������ → ������+). Dengan demikian lim ������(������) = ������ benar jika berlaku untuk ������ → ������− maka ������(������) → ������ yang ������→������ dinamakan sebagai limit kiri dan juga berlaku untuk ������ → ������+ maka ������(������) → ������ yang dinamakan limit kanan. Syarat ini dikenal orang sebagai limit kiri harus sama dengan limit kanan. Selanjutnya perhatikan grafik fungsi ������(������) pada gambar berikut. Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 16

Dari gambar terlihat bahwa ������(������) mendekati nilai 1 untuk ������ menuju 0 dari kiri, sementara itu ������(������) menuju nilai 3 untuk ������ menuju 0 dari kanan. Dengan demikian lim������(������) tidak ada. ������→0 Hal penting yang tidak boleh dilupakan dalam pengertian limit ini adalah domain dari fungsi tersebut. Misalkan akan ditentukan hasil lim √������. Domain fungsi ������→0 ℎ(������) = √������ adalah ������������ = {������ ∈ ������|������ ≥ ������}. Dengan domain seperti ini jelas bahwa kita tidak akan berbicara mengenai limit kiri karena ℎ(������) tidak terdefinisi untuk ������ < 0. Oleh karena itu penyelidikan hanya untuk limit kanan. Perhatikan bahwa lim √������ = 0. ������→0+ Dengan demikian lim √������ = 0, meskipun hanya limit kanan saja yang ������→0 dipertimbangkan. 17 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

3. Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Pemahaman berkaitan limit tak hingga dan limit di tak hingga amat penting karena tidak jarang siswa terbalik penyebutannya. Bahkan ada pula yang tidak membedakan antara limit tak hingga daengan limit di tak hingga a. Limit tak hingga (infinity limits) Pada bagian sebelumnya telah disajikan mengenai ketidakadaan limit suatu fungsi. Berikut akan disajikan ketidakadaan limit namun dengan cara pandang lain. Untuk mempermudah dimulai dari contoh. Perhatikan grafik ������(������) = 3. ������−2 Terlihat bahwa nilai ������(������) akan menuju positif tak hingga saat ������ menuju 2 dari arah kanan sementara nilai ������(������) akan menuju negatif tak hingga saat ������ menuju 2 dari arah kiri. Kondisi ini menandakan bahwa ������(������) tidak menuju nilai tertentu jika ������ menuju 2. Dengan kata lain lim 3 tidak ada. ������→2 ������−2 Bandingkan dengan grafik fungsi ������(������) = 3 berikut. (������−2)2 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 18

Dengan melihat grafik jelas bahwa nilai ������(������) akan menuju positif tak hingga baik ������ menuju 2 dari arah kanan maupun dari arah kiri. Ini berarti 3 → ∞ jika (������−2)2 ������ → 2. Walaupun dalam hal ini ������(������) tidak menuju pada nilai atau bilangan tertentu ketika ������ menuju 2, namun dalam kasus ini ������(������) mempunyai limit di tak hingga. Inilah sebenarnya pengertian limit tak hingga. Apabila dituliskan maka penyajiannya menjadi lim 3 = ∞. Coba bandingkan cara penulisann lim 3 (������−2)2 ������→2 ������→2 ������−2 tidak ada dengan lim 3 = ∞. Mana yang menggunakan tanda “=”? (������−2)2 ������→2 Pendefinisian formal untuk limit tak hingga dinyatakan sebagai berikut. Misalkan ������ suatu fungsi yang terdefinisi pada interval terbuka yang memuat ������ (boleh juga tidak terdefinisi di ������) maka yang dimaksud dengan lim ������(������) = ∞ adalah untuk setiap ������ > 0 terdapat ������ > 0 sehingga ������(������) > ������→������ ������ untuk 0 < |������ − ������| < ������. Demikian pula untuk lim ������(������) = −∞ pendefinisian formalnya adalah ������→������ untuk setiap ������ < 0 terdapat ������ > 0 sehingga ������(������) < ������ untuk 0 < |������ − ������| < ������ 19 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

b. Limit di tak hingga (limits at infinity) Limit di tak hingga sangat berbeda dengan limit tak hingga. Perbedaan utamanya terletak pada bilangan yang didekati dan hasil limitnya. Untuk limit tak hingga berkaitan dengan hasil limitnya ∞, sementara untuk limit di tak hingga variabel independennya yang mendekati tak hingga. Coba bandingkan. lim������(������) = ∞ → disebut limit tak hingga ������→������ lim ������(������) = ������ → disebut limit di tak hingga ������→∞ Untuk lebih jelasnya, perhatikan grafik fungsi ������(������) = ������+1 berikut. ������ Dengan mencermati grafik tersebut orang akan menyimpulkan bahwa ������(������) → 1 apabila ������ → ∞. Dalam hal ini ditulis dengan lim ������+1 = 1. Sementara itu ������→∞ ������ apabila disajikan dalam tabel maka gambaran hasilnya sebagai berikut. ������ 15 10 20 10.000 10.000 100.000 → ∞ ������(������) 2 1,2 1,1 1,05 1,0001 1,0001 1,00001 → ������ Dengan melihat kecenderungan nilai yang ada dalam tabel arah ke kanan maka secara intuitif dapat disimpulkan bahwa ������(������) menuju 1 ketika ������ menuju ∞. Dengan demikian (untuk sementara) disimpulkan bahwa lim ������+1 = 1. Apabila ������→∞ ������ dicermati lebih lanjut, pernyataan ������ menuju tak hingga (������ → ∞) mengandung arti bahwa untuk setiap bilangan positip ������ selalu ada nilai ������ sehingga ������ > ������. Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 20

Demikian pula untuk ������ menuju negatif tak hingga (������ → −∞) mengandung arti bahwa untuk setiap bilangan negatif ������ selalu ada nilai ������ sehingga ������ < ������. Berdasarkan pemaknaan ini maka disusun definisi formal untuk limit di tak hingga sebagai berikut. ______________________________ Misalkan ������ suatu bilangan real maka yang dimaksud dengan lim ������(������) = ������ ������→∞ adalah untuk setiap ������ > 0 terdapat ������ > 0 sehingga jika ������ > ������ berlaku |������(������) − ������| < ������. Demikian pula untuk lim ������(������) = ������ ������→−∞ artinya setiap ������ > 0 terdapat ������ < 0 sehingga jika ������ < ������ berlaku |������(������) − ������| < ������ _____________________________ 4. Limit Fungsi Trigonometri Pengertian limit fungsi trigonometri tidak ada beda dengan pengertian limit pada fungsi aljabar. Dengan demikian lim ������(������) = ������, pemaknaannya tetap sama ������→������ yaitu jika ������ mendekati ������ maka ������(������) akan mendekati ������, demikian pula pada definisi secara formalnya. Sebagai contoh lim sin ������ = 1, pemaknaannya adalah jika ������ ������→12������ mendekati 1 ������ maka sin ������ akan mendekati 1. Perhatikan disini bahwa untuk limit 2 fungsi trigonometri maka variabel independennya (������) menggunakan satuan radian bukan dalam satuan derajat. Sehingga, misalkan diberikan ������(������) = ������ sin ������ , maka penulisannya adalah lim (������ sin ������) = 1 ������. 1 2 ������→12������ 1 = 2 ������ Perhatikan penyajian hasil limit fungsi trigonometri berikut. 21 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

lim (������ sin ������) = 90o. 1 ������→90o = 90o Apakah hasil tersebut benar? Lihat bagian aktivitas. Limit fungsi trigonometri khusus (special trigonometric function limits) yang paling sering dibahas dalam kurikulum sekolah adalah lim sin ������ = 1 ������→0 ������ 5. Sifat-sifat limit Fungsi Untuk menentukan limit suatu fungsi, tidak harus kembali pada definisi limit, tetapi dapat memanfaatkan sifat-sifat limit fungsi. Berikut ini beberapa sifat yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan limit. Misalkan c suatu konstanta dan lim ������(������) serta lim ������(������) dua-duanya ada maka ������→������ ������→������ berlaku 1) lim [������(������) + ������(������)] = lim ������(������) + lim ������(������) ������→������ ������→������ ������→������ 2) lim [������(������) − ������(������)] = lim ������(������) − lim ������(������) ������→������ ������→������ ������→������ 3) lim [������(������). ������(������)] = lim ������(������). lim ������(������) ������→������ ������→������ ������→������ 4) lim ������(������) = lim ������(������) bila lim ������(������) ≠ 0 ������(������) ������→������ ������→������ ������→������ lim ������(������) ������→������ 5) lim ������������(������) = ������ lim ������(������) ������→������ ������→������ 6) lim ���√��� ������(������) = ���√��� ���l���i→m������������(������) ������→������ ������ 7) lim [������(������)]������=[lim ������(������)] bila ������ positip dan ruas kiri limitnya ada ������→������ ������→������ 8) lim ������ = ������ ������→������ 9) lim ������(������) = lim ������′(������) , jika ������(������) dalam kategori bentuk 0 dan ������′(������) ������(������) ������′(������) ������(������) 0 ������→������ ������→������ dan ������′(������) ada. (Teorema L’Hopital) 10) Untuk ������(������) suatu fungsi yang kontinu di ������ maka lim ������(������) = ������(������) ������→������ Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 22

6. Bentuk Tak tentu ������ , ∞ dan ∞ − ∞ ������ ∞ Bentuk tak tentu ������(������) adalah tipe ekspresi dalam matematika yang diperoleh setelah ada substitusi bilangan yang didekati oleh variabel ������ (variable independen) ke dalam fungsi yang dicari nilai limitnya. Sebagai contoh: (i) lim ������2−1. Limit ini memuat bentuk tak tentu 0 sebab dengan mengganti ������ = ������→1 ������−1 0 1 maka diperoleh bentuk 12−1 = 0 1−1 0 (ii) lim 2������+1. Limit ini memuat bentuk tak tentu ∞ sebab dengan mengganti ������→∞ ������−1 ∞ ������ = ∞ maka didapatkan bentuk 2.∞+1 = ∞ ∞−1 ∞ (iii) lim √������2 + 1 − (������ − 1). Limit ini memuat bentuk tak tentu ∞ − ∞ sebab ������→∞ dengan mengganti ������ = ∞ maka diperoleh bentuk √∞2 + 1 − (∞ − 1) = ∞ − ∞ Perlu diperhatikan bahwa ������ , ∞ dan ∞ − ∞ bukan suatu operasi pada ������ ∞ bilangan melainkan hanya suatu bentuk (ekspresi). Dengan demikian tidak ada hasil pada bentuk itu. Bagaimana dengan 0 = 1, ∞ = 1, ∞ − ∞ = 0? Adakah yang benar? Atau 0∞ semuanya salah? Lihat bagian aktivitas. 7. Strategi Menyelesaikan Masalah Limit Strategi yang dimaksud disini sebatas pada cara sederhana dalam menyelesaikan masalah limit fungsi. ______________________ Catatan: Karena berbagai keterbatasan, alasan mengapa suatu cara dapat digunakan tidak semua disajikan dalam Unit Pembelajaran ini ______________________________ Cara yang dimaksud sebagai berikut. 23 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

1) Limit fungsi ������(������)untuk ������ menuju nilai tertentu (������ → ������, ������ ∈ ������) Substitusi langsung pada fungsinya. Misalkan ingin ditentukan hasil lim ������(������). Jika ������(������) tidak menemui hasil ������→������ “janggal” dalam arti tidak terdefinisi / tidak tentu / tak hingga, maka umumnya nilai limitnya adalah ������(������). Cara ini sejatinya sekedar memanfaatkan kekontinuan fungsi di titik ������. Namun cara ini perlu pencermatan lebih lanjut, karena bila fungsinya tidak kontinu maka cara ini tidak bisa digunakan. Contoh 1: lim ������2−4 = 32−4 = 5 ������→3 ������−2 3−2 Contoh 2: ������2−1 22−1 ������−1 2−1 (√������������23−+21������ = (√222−3 +2(12) + 2 − 1) lim + ������ − 1) ������→2 3 = (√90 + 2 − 1) = 1 Bedakan dengan contoh berikut. Diberikan fungsi ������(������) = ������2−9 , ������������������������������ ������ ≠ 3. Tentukan lim ������2−9 . { ������−3 ������→3 ������−3 0 , ������������������������������ ������ = 3 Jelas bahwa ������(3) = 0, tetapi lim ������2−9 = 6. Jadi tidak berlaku lim ������2−9 = ������(3) ������→3 ������−3 ������→3 ������−3 walaupun ������(3) ada yaitu 0. Substitusi memuat bentuk 0. 0 Jika dengan substitusi langsung memuat bentuk 0 maka dilakukan 0 penyederhanaan sampai tidak memuat bentuk 0. Cara ini sesungguhnya sekedar 0 mengubah bentuk rasional menjadi bentuk lain sehingga mempunyai faktor yang Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 24

sama di pembilang maupun di penyebut sehingga faktor yang sama ini dapat dihilangkan. Cara lain menggunakan teorema L’hopital apabila sudah dipelajari (lihat sifat limit). Untuk fungsi trigonometri, dapat digunakan identitas trigonometri yang sesuai. Contoh 1: lim ������3 − 27 = lim (������ − 3)(������2 + 3������ + 9) ������→3 ������2 − 3 ������→3 (������ − 3)(������ + 3) = lim ������2 + 3������ + 9 ������→3 ������ + 3 9 =2 ������������������������������: ������3 − ������3 = (������ − ������)(������2 + ������������ + ������2) Contoh 2: Perhatikan bahwa lim ������3−64 memuat bentuk 0 karena 43 −64 = 0 . ������2−16 0 42−16 0 ������→4 Penyelesaiannya dapat menggunkan 2 cara yaitu: (i). lim ������3−64 = lim (������−4)(������2−4������+16) = lim (������2+4������+16) = 6 ������2−16 (������−4)(������+4) (������+4) ������→4 ������→4 ������→4 (ii). lim ������3−64 = lim (������3−64)′ = lim 3������2 = 6 ������2−16 (������2−16)′ 2������ ������→4 ������→4 ������→4 Substitusi memuat bentuk ������ ������������������������������������ ������ ≠ 0. 0 Apabila dengan substitusi memuat bentuk ������ dalam satu suku maka limit 0 fungsi tidak ada atau mungkin menjadi limit tak hingga (∞). Namun cara ini tetap perlu pencermatan lebih lanjut dan kejelian. Contoh 1: • lim 1 tidak ada , karena ada bentuk 1 maka limitnya tidak ada ������→0 ������ 0 • lim 2 = ∞ , karena ada bentuk 2 maka limitnya tak hingga ������2 0 ������→0 25 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

Catatan: limit tak hingga bukan berarti limitnya ada di tak hingga tetapi memandang ketidak adaan limit dengan cara pandang lain. Contoh 2: Perhatikan bahwa lim (2������2−4 − ������������−−21) mumuat bentuk ������ dengan ������ ≠0 yaitu 2 − 1. 0 0 ������→2 0 Namunkenyataannya lim ( 2 − ������−1) = −1. Mengapa demikian? Lihat bagian ������→2 2������−4 ������−2 aktivitas 2) Limit fungsi ������(������) untuk ������ menuju tak hingga (limits at infinity) Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ − ∞. Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ − ∞ umumnya diselesaikan melalui cara mengalikan dengan sekawannya Contoh: lim (2������ − √4������2 − ������) = lim (2������ − √4������2 − ������) ∙ (2������ + √4������2 − ������) ������→∞ ������→∞ (2������ + √4������2 − ������) 4������2 − (4������2 − ������) = lim ������→∞ 2������ + √4������2 − ������ = lim 1 ������→∞ 2 + √4 − 1 ������ 11 = 2 + √4 − 0 = 4 Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ 26 ∞ Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

a). Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ dengan pembilang dan penyebut suatu ∞ polinomial, perlu memperhatikan • Pangkat tertinggi variabel pembilang lebih besar dari penyebut maka limitnya ∞ atau−∞ Contoh. lim ������3−2������2+������−5 = ∞ ������2+1 ������→∞ • Pangkat tertinggi variabel penyebut lebih besar dari pangkat tertinggi variabel pembilang maka nilai limitnya nol Contoh. lim 2������2+������−5 = 0 ������3+1 ������→∞ • Pangkat tertinggi variabel pembilang sama dengan pangkat tertinggi variabel penyebut maka nilai limitnya adalah perbandingan koefisien variabel tertinggi dari pembilang dan penyebut Contoh. lim 5������3−2������2+������−5 = 5 2������3+1 2 ������→∞ b). Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ dengan pembilang atau penyebut bukan ∞ polinomial Cara penyelesaiannya sama dengan bagian a.) namun perlu ditambah kejelian dalam memanfaatkan sifat-sifat limit untuk menentukan pangkat tertinggi pembilang dan penyebutnya. Contoh: lim √9������4−2������2+������−5 = √9 = 3. 2������2+1 2 ������→∞ 2 Khusus untuk ������ → ∞ , apakah √9������4 − 2������2 + ������ − 5 dapat dipandang hanya √9������4 saja (menghilangkan suku −2������2 + ������ − 5)? Mengapa demikian? Lihat Aktivitas. Apabila dibolehkan menghilangkan suku −2������2 + ������ − 5 maka 27 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

pengerjaan menjadi lebih sederhana, yaitu lim √9������4−2������2+������−5 = lim √9������4 = 2������2+1 2������2 ������→∞ ������→∞ lim √9������2 = √9 = 3 2������2 2 2 ������→∞ Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 28

04 KEGIATAN PEMBELAJARAN A. Organisasi Pembelajaran Untuk memudahkan guru dalam mempelajari modul ini, kita akan membaginya menjadi 2 topik bahasan dengan alokasi waktu sebagai berikut: Tabel 6 Organisasi Pembelajaran Topik Materi Jumlah JP In - 1 On In - 2 1 Pengertian, jenis dan sifat limit fungsi 422 2 Strategi menyelesaikan masalah limit 222 Total Jam Pembelajaran PKB 644 B. Perangkat dan Media Pembelajaran Sebelum mempelajari atau mempraktikkan modul ini, ada beberapa perangkat pembelajaran, alat dan bahan yang harus disiapkan oleh guru dan peserta didik agar proses pembelajaran berjalan dengan baik. 1. Perangkat Pembelajaran, Alat dan Bahan yang harus disiapkan oleh guru a. Perangkat Pembelajaran: 1) Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) 2) Bahan ajar 3) Instrumen Penilaian b. Media pembelajaran 1) LCD Projector 2) Komputer yang dilengkapi aplikasi Geogebra 2. Alat dan Bahan yang harus disiapkan oleh peserta didik a. Kertas berpetak atau kertas milimeter blok b. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) 29 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

C. Aktivitas Pembelajaran 1. Kegiatan In Learning Service-1 ( .... JP) Aktivitas ini dilakukan secara tatap muka bersama dengan teman sejawat yang dipandu fasilitator (pengajar diklat) untuk mengkaji materi dan melakukan kegiatan yang telah dirancang dalam unit pembelajaran. Aktivitas 1: Seorang guru mengalami kesulitan saat membandingkan pengerjaan soal limit dan soal persamaan dengan melakukan pencoretan sebagai berikut a. Diskusikan dengan teman sejawat mengapa hal demikian bisa terjadi. Kaitkan dengan pengertian pada limit fungsi b. Bertukar pengalaman dan penyelesaian terkait masalah sejenis Aktivitas 2: Seorang guru memberikan soal kepada siswanya untuk menentukan lim √������2 − 1 ������→1 dengan menggambar grafik fungsinya sebagai berikut. Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 30

Ternyata sebagian besar siswa menyimpulkan bahwa lim √������2 − 1 tidak ada ������→1 dengan alasan limit kiri hasilnya −1 sedangkan limit kanan hasilnya 1. a. Diskusikan dengan teman sejawat: - Apakah jawaban siswa benar? Jelaskan - Menurut Anda apakah limit kiri sama dengan limit kanan? Jelaskan - Menurut Anda apa jawaban yang benar? Jelaskan b. Bertukar pengalaman dan penyelesaian terkait masalah sejenis Aktivitas 3: 3.1 Seorang siswa menyatakan bahwa 0 = ������ karena 0 = 2 . ������ untuk ������ sembarang 0 Dengan pertimbangan hasil tersebut apakah Anda setuju dengan menyatakan 0 = ������ dengan ������ sembarang? Jelaskan dan diskusikan dengan 0 teman sejawat. 3.2 Seorang siswa menyatakan bahwa ∞ = 1 dengan alasan pembilang dan ∞ penyebutnya sama. Setujukah Anda dengan pendapat siswa tersebut? Apakah benar 2∞ = ∞? Coba kaitkan antara ∞ = 1 dengan 2∞ = ∞ untuk ∞ menuju pada kesimpulan benar tidaknya ∞ = 1. Diskusikan dengan teman ∞ sejawat. 3.3 Seorang siswa menyatakan bahwa ∞ − ∞ = 0 dengan alasan memanfaatkan sifat pengurangan. Setujukah Anda dengan pendapat siswa tersebut? Apakah benar bahwa ∞ + ∞ − ∞ = ∞? Selanjutnya apakah benar bahwa 2∞ = ∞? Coba Anda kaitkan semuanya untuk menyimpulkan benar tidaknya ∞ − ∞ = 0Diskusikan dengan teman sejawat 31 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

Aktivitas 4: Perhatikan pembuktian limit fungsi berikut. Dengan cara yang sama, diskusikan dengan teman sejawat untuk membuktikan lim (������2 − 1) = 3 dan kendala utama apa yang muncul saat menyusun bukti. ������→2 Aktivitas 5: Pak Jabar meminta siswanya untuk memilih mana yang benar diantara penulisan berikut. Namun pada akhirnya, Pak Jabar sendiri tidak yakin dengan jawabannya. a. Diskusikan untuk membantu Pak Jabar menjawab kuisnya tersebut dan berikan penjelasan yang lengkap. b. Bertukar pengalaman dan penyelesaian terkait masalah sejenis Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 32

Aktivitas 6: Diberikan soal lim ( 1 ) ������2 ������→0 (2���1���2) Algo menyelesaikan dengan cara berikut. Sementara Ritma menyelesaikan dengan cara berikut. a. Mengapa hasilnya berbeda? Berikan penjelasan atas pengerjaan kedua siswa tersebut dan tentukan siapa yang benar. b. Bertukar pengalaman dan penyelesaian terkait masalah sejenis Aktivitas 7: Telah terjadi kesalahan pada pengerjaan berikut. Jelaskan kesalahan bagian mana sehingga hasil limitnya salah. Diskusikan dengan teman sejawat 33 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

Aktivitas 8: Disajikan 3 pengerjaan untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri sebagai berikut. Jelaskan pengerjaan yang benar dan yang salah. Diskusikan dengan teman sejawat Aktivitas 9: Kita tahu bahwa lim ( ������ ) = 1. Selanjutnya kita coba menentukan lim ( ������ ) ������→0 sin ������ ������→0 sin ������ dengan memanfaatkan sifat limit sebagai berikut. ������ 1 ������) lim (sin ������) = lim (������ ⋅ sin ������→0 ������→0 1 = (lim ������) ⋅ (lim sin ������) [������������������������������ ������������������������������������������������������ ������������������������������] ������→0 ������→0 1 = 0. (lim sin ������) ������→0 =0 Mengapa hasilnya berbeda? Apa yang menyebabkan hasil berbeda? Diskusikan dengan teman sejawat Aktivitas 10: Seorang siswa bernama Algo memberikan alasan bahwa: karena lim ( 2 − ������−1) ������→2 2������−4 ������−2 memuat bentuk ������ dengan ������ ≠ 0 yaitu 2 − 1 maka lim ( 2 − ������−1) tidak ada. 0 00 ������→2 2������−4 ������−2 a. Dengan memanfaatkan strategi limit yang telah dipaparkan sebelumnya, selidiki apakah alasan Algo benar? Diskusikan dengan teman sejawat b. Bertukar pengalaman dan penyelesaian terkait masalah sejenis Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 34

Aktivitas 11: Untuk mempercepat proses Ritma memotong √9������4 − 2������2 + ������ − 5 hanya menjadi √9������4 saja (yaitu hanya mengambil suku dengan pangkat tertinggi) untuk menyelesaikan lim √9������4−2������2+������−5 . 2������2+1 ������→∞ a. Selidiki apakah cara yang dilakukan Ritma benar untuk kkusus untuk kasus limit di tak hingga tersebut? Diskusikan dengan teman sejawat b. Bertukar pengalaman dan penyelesaian terkait masalah sejenis Aktivitas 12: Diberikan fungsi ������(������) = 3√(������2 − 2 sin(������−2) + ������3−8 − ������−12) . Tentukan lim ������(������) dan 2−������ ������−2 1−������ ������→2 jelaskan sifat mana saja yang digunakan untuk menyelesaikan soal tersebut. Diskusikan dengan teman sejawat Aktivitas 13: Susunlah aktivitas pembelajaran untuk digunakan dalam kegiatan On The Job Learning (OJL) di sekolah Anda. Upayakan aktivitas yang mengakomodir kecakapan abad-21 yaitu critical thingking, creativity, colaboration, communication (4C). Pilihlah materi yang sesuai dengan kalender pendidikan di sekolah Anda 35 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

Contoh aktivitas: : Menjelaskan konsep limit fungsi Tujuan : 1 jp Waktu : Penggaris siku, kertas milimeter blok, aplikasi Alat/Media Geogebra No Guru Siswa 1 Dalam kelompok atau individu guru Siswa dalam kelompok atau meminta siswa menggambar fungsi mandiri menggambar fungsi yang tidak rumit, , misalnya ������(������) = ������2 + pada kertas milimeter blok , 1 pada kertas milimeter blok (upayakan misalnya ������(������) = ������2 + 1. setiap kelompok atau indvidu berbeda) Catatan: Jika waktunya pendek terbatas, guru dapat mencetak gambar untuk diberikan ke siswa/kelompok 2 Sebagai awal pemahaman, guru Siswa menetapkan salah menetapkan salah satu nilai (namakan satu nilai pada sumbu-������ ������) pada sumbu-������ sebagai titik yang (namakan ������) sebagai titik akan didekati atau dituju (untuk contoh yang akan didekati atau ini misalkan ������ = 2) dan meminta siswa dituju (misalkan ������ = 2) dan untuk menuliskan bentuk limit pada menuliskan bentuk limit fungsi yang telah dibuat. Misalkan pada fungsi yang telah lim (������2 + 1) = ⋯. dibuat. Misalkan lim (������2 + 1) = ⋯. ������→2 ������→2 (jangan diisi hasil limitnya) 3 Selanjutnya mintalah siswa untuk Siswa menentukan nilai ������(������) memanfaatkan penggaris siku dalam untuk ������ di persekitaran ������. menentukan nilai ������(������) di persekitaran Dengan sendirinya siswa nilai pada sumbu – ������ yang ditetapkan akan memperoleh banyak tadi. Misalkan untuk contoh ini nilai hasil (informasi) terkait nilai ������(������) untuk ������ disekitar 2. ������(������) untuk ������ disekitar ������. Berikan petunjuk ke siswa cara pengerjaanya: Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 36

• Letakkan penggaris siku seperti (Untuk memudahkan dalam gambar berikut membaca hasil, tulis ������ dan ������(������) dalam bentuk tabel dengan posisi c di kolom tengah) • Selanjutnya gerakkan penggaris Siswa menganalisis hasil tersebut dengan titik sudut siku-siku yang diperoleh yaitu nilai harus selalu menempel pada kurva ������(������) yang didekati untuk ������ dan sisi siku-sikunya selalu sejajar menuju ������. Misalkan nilai sumbu kordinat tersebut ������ • Catat nilai ������ dan ������(������) disekitar 2 Dalam contoh ini nilai yang didekati adalah 5. 4 Dengan pengerjaan di atas diharapkan Siswa mendiskusikan bahwa sudah ada arah kesimpulan yang akan untuk fungsi yang telah diperoleh. Sebagai pengungkit, berikan dipilih dan titik ������ yang telah pertanyaan “Berapa nilai yang didekati ditetapkan maka diperoleh ������ = ������(������) saat ������ mendekati ������?” Dalam hasil ������(������) akan mendekati contoh ini, nilai yang didekati ������(������) = nilai tertentu (������) saat ������ ������2 + 1 saat ������ mendekati 2 adalah 5 menuju ������ 5 Selanjutnya arahkan ke siswa untuk Siswa menuju pada menyimpulkan bahwa ������(������) akan kesimpulan bahwa ������(������) mendekati ������ saat ������ mendekati ������ dan akan mendekati ������ saat ������ ditulis sebagai mendekati ������, dan ditulis sebagai lim ������(������) = ������ lim ������(������) = ������ ������→������ ������→������ Untuk contoh ini lim (������2 + 1) = 5 ������→2 Catatan: 37 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

Bagi guru yang menguasai Aplikasi Geogebra, gunakan aplikasi tersebut untuk memperjelas pemahaman. Sebagai penguatan, bersama siswa membuka tautan https://www.geogebra.org/m/fnru97jx 2. Kegiatan On Job Learning (4 JP) Pada kegiatan ini, setiap guru mempraktikkan pembelajaran terhadap peserta didik di madrasah masing-masing sesuai dengan perangkat pembelajaran yang telah dibuat atau disempurnakan pada saat kegiatan In-1. Agar pelaksanaan pembelajaran terekam dengan baik, lakukan pencatatan pelaksanaan pembelajaran dalam kolom seperti berikut ini: No. Kegiatan Guru Kegiatan Siswa Fakta yang Refleksi dan (yang diharapkan) terjadi Tindak lanjut 1 2 3 dst Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 38

3. Kegiatan In Learning Service-2 (4 JP) Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk melaporkan, mendiskusikan, dan merefleksi hasil kegiatan On the Job Learning. Diskusikan hambatan pelaksanaan pembelajaran Anda dan lakukan pembahasan tindak lanjut bersama teman sejawat untuk mendapatkan pemecahan masalah guna perbaikan pembelajaran yang akan datang. Anda dapat menggunakan format berikut. No. Refleksi Aktivitas Refleksi Aktivitas Pembahasan Siswa Guru Tindak lanjut 1 2 3 dst D. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) Bagian ini menampilkan contoh LKPD yang dapat digunakan untuk memandu peserta didik dalam mencapai tujuan pembelajaran. Anda dapat mengembangkan LKPD yang lain sesuai dengan rancangan pembelajaran yang akan Anda lakukan, atau Anda dapat menyempurnakan LKPD dalam Unit Pembelajaran ini sehingga sesuai dengan rancangan pembelajaran Anda. CONTOH LKPD : Memahami konsep limit : 2 jp Tujuan Waktu Buatlah grafik fungsi yang relatif sederhana pada kertas milimeter blok ������(������) = ⋯ Menentukan nilai ������(������) untuk ������ disekitar ..... Tulis dalam bentuk limit: menentukan hasil dari lim ........ ������→⋯ Gambar fungsi: ....... 39 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

Dengan menggunakan penggaris siku (lihat penjelasan guru) isilah tabel berikut. ������ ... ... ... ... ... ... … ... ... ... ... ... ... ������(������) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Dengan mencermati tabel maka dapat disimpulkan bahwa: ������(������) =............... akan mendekati ..... saat ������ mendekati .... Selanjutnya tulislah dalam bentuk limit: …………… Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 40

E. Pengembangan Penilaian Bagian ini menyajikan contoh kisi-kisi pengembangan penilaian HOTS sesuai dengan kompetensi, lingkup materi, dan indikator soal. Selanjutnya buatlah kisi-kisi yang lain dan kembangkan menjadi instrumen penilaian dari kisi tersebut dalam aktivitas In Learning Service-1. 1. KISI-KISI UJIAN SOAL HOTS Jenis Sekolah : Madrasah Aliyah (MA) Mata Pelajaran : Matematika Alokasi Waktu : 10 menit Jumlah Soal : 2 Soal Tahun Pelajaran : 2020/2021 NO Kompetensi Lingkup Materi Indikator Soal No Level Bentu yang diuji Materi Kognitif k Soal Menganalisis Diberikan suatu hasil kebenaran pengerjaan limit fungsi 1 suatu Limit fungsi Limit aljabar, siswa 1 L3 Uraian pengerjaan diminta (Penalar- terkaiat limit aljabar di hingga menganalisis an) kesalahan fungsi aljabar. pengerjaan. Diberikan Menganalisis suatu hasil kebenaran pengerjaan 2 suatu Limit fungsi Limit fungsi limit fungsi 2 L3 Uraian pengerjaan trigonometri trigonometri trigonometri, (Penalar- terkaiat limit siswa diminta an) fungsi menganalisis trigonometri. kesalahan pengerjaan. 41 Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi

2. SOAL SOAL 1: Seorang siswa dalam menyelesaikan masalah limit menggunakan 2 cara, namun hasilnya berbeda. Cara 1: Cara 2: Selidiki cara mana yang benar? Jelaskan SOAL 2: Seorang siswa dalam menyelesaikan masalah limit dengan cara sebagai berikut. Apakah pengerjaan tersebut benar? Berikan penjelasan yang lengkap dan jika pengerjaan tersebut salah, tuliskan pengerjaan yang benar. Unit Pembelajaran 6 : Limit Fungsi 42