19 Persamaan dan Pertidak- x2 + 4x + 3 = 0 samaan Kuadrat ⇔ (x + 1)(x + 3) = 0 ⇔ x + 1 = 0 atau x + 3 = 0 A. PERSAMAAN KUADRAT ⇔ x = –1 atau x = –3 Jadi, himpunan penyelesaiannya = {–1, –3}. Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat (derajat) tertingginya dari variabel/ l Tentukan himpunan penyelesaian dari peubahnya adalah 2 (dua). persamaan 2x2 + 5x – 3 = 0. 1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Jawab: Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum: Untuk memfaktorkan bentuk 2x2 + 5x – 3 = 0, terlebih dahulu dicari nilai dua bilangan yang ax2 + bx + c = 0 mana: v jumlahnya 5, (dari koefisien x) dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 dan x variabel. v hasil kalinya –6. (hasil kali koefisien x2 den- Contoh: 2x2 – 4x + 3 = 0, a = 2, b = –4, c = 3. gan konstanta (2 × (–3) = –6)) Bilangan-bilangan itu adalah –1 dan 6. 2. Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat 2x2 + 5x – 3 = 0 Akar-akar dari persamaan kuadrat dapat ditentu- kan dengan cara berikut. ⇔ 2x2 + 6x – x – 3 = 0 a. Pemfaktoran ⇔ 2x(x + 3) – (x + 3) = 0 Contoh: l Tentukan himpunan penyelesaian dari ⇔ (2x – 1)(x + 3) = 0 persamaan x2 + 4x + 3 = 0. ⇔ 2x – 1 = 0 atau x + 3 = 0 Jawab: x = ½ atau x = –3 Untuk memfaktorkan bentuk x2 + 4x + 3 = 0, Jadi, himpunan penyelesaiannya = {½, –3}. dicari nilai dua bilangan yang mana: b. Menggunakan Rumus ABC v jumlahnya 4, (dari koefisien x) Diketahui bentuk persamaan kuadarat v hasil kalinya 3. ax2 + bx + c = 0. Rumus ABC: (hasil kali koefisien x2 dengan konstanta) x1,2 = -b ± b2 - 4ac Bilangan-bilangan itu adalah 1 dan 3. 2a Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari per- samaan x2 – 4x + 3 = 0. Jawab: 50 Di unduh dari : Bukupaket.com
Diektahui a = 1, b = –4, dan c = 3, maka: 3. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Dik- etahui Akar-akarnya x1,2 = -b ± b2 - 4ac Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar per-sa- 2a maan kuadrat. Persamaan kuadrat tersebut - (-4) ± (-4)2 - 4.1.3 adalah: = (x – x1)(x – x2) = 0 2×1 – (x1 + x2)x + x1x2 = = 4 ± 16 - 12 x2 0 2 Secara umum, bentuk persamaan kuadrat = 4± 4 adalah: 2 ax2 + bx + c = 0 atau x2 + b x + c = 0 = 4±2 = 2±1 aa 2 Diperoleh: x1 = 2 + 1 = 3, x2 = 2 – 1 = 1. Jadi, himpunan penyelesaiannya = {3, 1}. x1 + x2 = -b dan x1.x2 = c a a c. Melengkapkan Kuadrat Sempurna Contoh: Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persa- maan x2 – 4x + 3 = 0. l Diketahui akar-akar persamaan kuadrat Jawab: x2 - 4x + 3 = 0 adalah 2 dan 4. Tentukan persamaan kuadratnya! Jawab: ⇔ x2 - 4x = -3 Diketahui x1 = 2 dan x2 = 4. Persamaan kuadratnya adalah -4 2 -4 2 ⇔ x2 - 4x + 2 = -3 + 2 x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 ⇔ x2 – (2 + 4)x + 2.4 = 0 ⇔ (x + -4 )2 = -3 + 4 ⇔ x2 – 6x + 8 = 0 2 Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud ⇔ (x - 2)2 = 1 adalah x2 – 6x + 8 = 0 ⇔ x - 2 = ±1 l Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 2x + 2 = 0 adalah x1 dan x2. x1 = 1+ 2 = 3 dan x2 = -1+ 2 = 1 Tentukan nilai x1 + x2 dan x1.x2! Jawab: Jadi, himpunan penyelesaiannya = {3, 1}. Di unduh dari : Bukupaket.com 51
Diketahui: x2 – 2x + 2 = 0. (iii) Tanda (–) diperoleh dengan memasukkan bilangan an- Diperoleh a = 1, b = –2, dan c = 2. tara –3 dan –1 misalnya –2. Masukkan nilai x = –2 ke x2 + 4x + 3 sehingga diperoleh (–2)2+ 4.(–2) + 3 = –1 < 0. x1 + x2 = -b = - (-2) = 2 a Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 1 {x | x > –1 atau x < –3} x1.x2 = c = 2 = 2 Contoh penerapan a 1 Hasil kali dua bilangan asli genap yang berurut- B. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT an adalah 360. Bilangan terbesarnya adalah .… Jawab: Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidak- Misalkan: samaan yang variabel/peubahnya berpangkat Bilangan I = x (berderajat) paling tinggi 2 (dua). Bilangan II = (x + 2) Hasil kali dua bilangan asli genap yang berurut- Contoh: an adalah 360, maka: Tentukan himpunan penyelesaian dari perti- x(x + 2) = 360 daksamaan x2 + 4x + 3 > 0. ⇔ x2 + 2x = 360 Jawab: ⇔ x2 + 2x – 360 = 0 Dengan menggunakan pemfaktoran diperoleh ⇔ (x – 18)(x + 20) = 0 x2 + 4x + 3 > 0 ⇔ x = 18 atau x = –20 ⇔ (x + 1)(x + 3) > 0 Harga nol dari (x + 1)(x + 3) = 0 adalah x = –1 Karena bilangan yang dimaksud adalah bilangan atau x = –3. cacah genap maka: Kemudian dengan menggunakan garis bilangan Bilangan I = x = 18 diperoleh: Bilangan II = x + 2 = 20 Bilangan yang terbesar di antara keduanya +++ −−− +++ adalah 20. −3 −1 Keterangan: (i) Bilangan –1 dan –3 merupakan harga nol untuk pertidaksamaan x2 + 4x + 3 > 0. (ii) Tanda (+) diperoleh dengan memasukkan bilangan di sebelah kanan –1 misalnya nol (0). Masukkan nilai x = 0 ke x2 + 4x + 3 sehingga diperoleh 02+ 4.0 + 3 = 3 > 0. 52 Di unduh dari : Bukupaket.com
Search
