Rangkuman Materi UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013 Disusun Berdasarkan Topik Materi Per Bab Matematika SMP Distributed by : Pak Anang Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Di unduh dari : Bukupaket.com
1 Bilangan Ø Sifat operasi penjumlahan pada bilangan bulat. a. Tertutup A. MACAM-MACAM BILANGAN Untuk a, b ∈ B maka a + b ∈ B dengan “∈” dibaca “anggota himpunan”. 1. Bilangan Asli b. Komutatif 1, 2, 3 , 4, 5, 6, … , dan seterusnya. a+b=b+a 2. Bilangan Cacah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… , dan seterusnya. c. Asosiatif 3. Bilangan Prima (a + b) + c = a + (b + c) Bilangan prima yaitu bilangan asli yang tepat mempunyai 2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu d. Identitas sendiri. Yaitu: 2, 3, 5, 7, 11, … , dan seterusnya. a+0=0+a=a 4. Bilangan Bulat …, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … , dan seterusnya. dengan “0” adalah unsur identitas. 5. Bilangan Rasional e. Invers (lawan) Bilangan rasional yaitu bilangan dalam bentuk a + (–a) = (–a) + a = 0 a , dengan a dan b anggota bilangan bulat dengan “–a” adalah invers dari a. b dan b ≠ 0. Contoh: 1 à a = 1 dan b = 4. Ø Sifat operasi pengurangan pada bilangan bu- lat, yaitu tertutup. 4 a – b = a + (–b) B. SIFAT OPERASI PADA BILANGAN BULAT Ø Sifat operasi perkalian pada bilangan bulat. Misalkan: a. Tertutup B = { … ,–3 ,–2 ,–1 ,0 ,1 ,2 ,3 , … } Untuk a, b ∈ B maka a × b ∈ B adalah himpunan bilangan bulat. b. Komutatif a × b=b × a c. Asosiatif (a × b) × c = a × (b × c) d. Identitas a × 1=1 × a=a dengan “1” adalah elemen identitas terhadap perkalian. 2 Di unduh dari : Bukupaket.com
e. Invers D. BILANGAN PECAHAN a × 1 = 1 × a=1 Contoh: Bilangan 3 , dengan 3 (tiga) sebagai aa 4 Ddeisntgraibnu“ ta1if” adalah invers dari a terhadap perkalian. pembilang dan 4 (empat) sebagai penyebut. 1. Macam-macam Bentuk Pecahan terhadap penjumlahan dan f. a. Pecahan biasa. Contoh: 1 , 2 , 4 , dll. 43 9 pengurangan b. Pecahan campuran. Contoh: 2 1 , 4 4 . (a + b) × c = (a × c) + (b × c) 45 (a – b) × c = (a × c) – (b × c) c. Pecahan desimal. Contoh: 0,5; 0,75; dll. Ø Sifat operasi pembagian pada bilangan bulat. d. Persen (%) atau per seratus. Contoh: a:b=a × 1 25% , 47% ,75%, dll. b e. P50e/0r0m, 2il00(/00/00,0)86a0ta0u/00,pdelrl. seribu. Contoh: Sifat yang berlaku adalah sifat distributif ter- 2. Operasi pada Bilangan Pecahan hadap penjumlahan dan pengurangan, yaitu: a. Penjumlahan l Jika penyebut dua pecahan sama: (a + b) : c = (a : c) + (b : c) a + b = a+b, c ≠ 0 (a – b) : c = (a : c) – (b : c) cc c C. KPK DAN FPB Contoh: 1 + 2 = 1+ 2 = 3 77 7 7 1. KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) 2. FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) l Jika penyebut dua pecahan berbeda: Cara 1: menggunakan perkalian silang. Contoh: Tentukan KPK dan FPB dari 12 dan 40! a + c = (a × d) + (b × c ) ; b,d ≠ 0 Faktorisasi dari bilangan 12 dan 40 dapat di- b d × tuliskan: b d 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3 dan 40 = 2 × 2 × 2 × 5 = 23 × 5 l KPK dari 12 dan 40: 23 × 3 × 5 = 120. l FPB dari 12 dan 40: 22 = 4. Di unduh dari : Bukupaket.com 3
Cara 2: menyamakan penyebutnya. Sifat pengurangan bilangan pecahan Contoh: sama seperti sifat pengurangan pada 1 + 5 = .... bilangan bulat. 8 12 c. Perkalian Cara 1: menggunakan perkalian silang. a×c = a × c ; b,d ≠ 0 bd b × d 1 + 5 = 1×12 + 5 × 8 = 12 + 40 = 52 = 13 8 12 8 ×12 96 96 24 d. Pembagian Cara 2: menyamakan penyebutnya. KPK dari 8 dan 12 adalah 24. a : c = a : c ; b, c, d ≠ 0 b d b : d 1 + 5 = 3 + 10 = 13 8 12 24 24 atau Sifat penjumlahan bilangan pecahan sama seperti sifat penjumlahan pada a : c = a × d ; b, c, d ≠ 0 bilangan bulat. b d b × c l Komutatif 3. Mengurutkan Pecahan a+c =c+a l Menyamakan penyebut bd db Semakin besar nilai pembilangnya, maka pecahan tersebut akan bernilai semakin l Asosiatif besar dan berlaku sebaliknya. l Menyamakan pembilang a + c + e = a + c + e Semakin kecil nilai penyebutnya, maka b d f b d f pecahan tersebut bernilai semakin besar dan berlaku sebaliknya. b. Pengurangan l Jika penyebut kedua pecahan sama Contoh: a - b = a-b, c ≠ 0 Perhatikan kelompok pecahan berikut. cc c 15 ,15 ,15 , 15 43 51 42 49 l Jika penyebut dua pecahan berbeda Cara 1: menggunakan perkalian si- Jika diurut dari pecahan terkecil ke pecahan lang. terbesar menjadi: a - c = (a × d) - (b × c) ; b,d ≠ 0 15 , 15 , 15 ,15 . bd b×d 51 49 43 42 Cara 2: menyamakan penyebutnya. 4 Di unduh dari : Bukupaket.com
E. PEMANGKATAN (a × b)m = am × bm Catatan: 2 Bentuk Aljabar a0 = 1, 0a = 0 am × an = am+n A. PENGERTIAN 00 = tidak terdefinisikan am = am-n Ø Variabel adalah suatu besaran matematika an (-a)m = am , m genap, yang nilainya dapat berubah-ubah. (-a)m = -am , m ganjil, a m = am Ø Koefisien adalah suatu nilai yang dilengkapi b bm dengan variabel. 1 ( )am n = amn a-m = am Ø Konstanta adalah suatu nilai yang tetap tidak bergantung pada variabel. F. PENARIKAN AKAR Contoh: p a×b = p a×p b 1. a3 = a × a × a pa = p a pqr = p × q × r b p b 2. x2 + y2 + 2xy + 10xy + 15 p aq q Bentuk aljabar tersebut terdiri dari: l variabel: x dan y, = ap l konstanta: 15, l koefisien dari x2 adalah 1, koefisien dari ( )c = ac 2xy adalah 2, dan koefisien dari 10xy adalah 10, a l derajat bentuk aljabar adalah derajat yang tebesar yaitu 2, G. BENTUK BAKU l suku-suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel sama dan de- 1. Bilangan lebih dari 10. rajat sama, yaitu: 2xy dan 10xy, x2 dan a ×10n y2 bukan merupakan suku sejenis karena variabelnya berbeda. 2. Bilangan antara 0 dan 1. a ×10-n dengan 1 ≤ a ≤ 10 , n bilangan asli. Contoh: l 3,750 = 3,75 × 103 l 0,00432 = 4,32 × 10–3 Di unduh dari : Bukupaket.com 5
B. OPERASI BENTUK ALJABAR Contoh: (2ab)2 = 2ab × 2ab = (2 × 2) × (ab × ab) 1. Penjumlahan dan Pengurangan Suku Sejenis = 4(ab)2 = 4a2b2 Bentuk aljabar dapat dijumlahkan atau di- Ø Pemangkatan bentuk aljabar dengan kurangkan hanya jika suku-sukunya sejenis. bentuk a + b. Contoh: Contoh: l 4x + 2x = (4 + 2)x = 6x (a + b)2 = (a + b)(a + b) l a2 + b2 + 12ab – 10ab + 3b2 = (a + b)a + (a + b)b Pada bentuk aljabar tersebut, suku-suku = a2 + ab + ab + b2 yang sejenis adalah b2 dan 3b2. Selain itu = a2 + 2ab + b2 juga 12ab dan 10ab. Jadi Ø Pemangkatan bentuk aljabar dengan a2 + b2 + 12ab - 10ab + 3b2 bentuk a – b. Contoh: = a2 + b2 + 3b2 + 12ab - 10ab (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2 = a2 + (1+ 3)b2 + (12 - 10)ab Segitiga Pascal. 1 = a2 + 4b2 + 2ab 11 1 2. Perkalian dan Pembagian 1+1 a. Perkalian Operasi perkalian bentuk aljabar dapat 12 1 dilakukan pada suku yang tidak sejenis. 1+2 2+1 Contoh: 4p × 4q × 4pq 13 3 1 = (4 × 4 × 4) × (p × q × p × q) = 64p2q2 1+3 3+3 3+1 b. Pembagian 14 6 4 Contoh: a2b : ab = a2b = a × a × b = a dan seterusnya ab a × b Penggunaannya adalah sebagai berikut. 3. Pemangkatan Perpangkatan bentuk aljabar (a + b)n. Sifat-sifat pemangkatan bilangan bulat juga l (a + b)0 = 1 berlaku pada pemangkatan bentuk aljabar. (gunakan baris 1 pola bilangan Pascal) l (a + b)1 = a + b (gunakan baris 2 pola bilangan Pascal) 6 Di unduh dari : Bukupaket.com
l (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Operasi pada pecahan bentuk aljabar. 1. Penjumlahan dan Pengurangan (gunakan baris 3 pola bilangan Pascal) Contoh: l (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 l a + a = 2a + a = 3a (gunakan baris 4 pola bilangan Pascal) 24 4 4 4 Pemangkatan bentuk aljabar (a – b)n juga l a - 2 = a2 - 2b = a2 - 2b mengikuti pola segitiga Pascal. Bedanya, tan- b a ab ab ab da koefisiennya selalu berganti dari (+) untuk suku ganjil dan (–) untuk suku genap. 2. Perkalian dan Pembagian (a – b)0 = 1 Perkalian pecahan bentuk aljabar: (a – b)1 = a – b (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 a × c = ac (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 b d bd C. FPB DAN KPK BENTUK ALJABAR Pembagian pecahan bentuk aljabar: Contoh: Contoh: a : c = a × d = ad Tentukan KPK dan FPB dari 12a3b2c2 dan 6a2c3. b d b c bc Jawab: 12a3b2c2 = 22 × 3 × a3 × b2 × c2 l 3y × x = 3xy 6a2c3 = 2 × 3 × a2 × c3 z 2z 2z2 l KPK = 22 × 3 × a3 × b2 × c3 = 12a3b2c3 l FPB l p : 2 = p × qr = pqr s qr s 2 2s Faktor-faktor yang sama: 22 dengan 2, 3 den- gan 3, a3 dengan a2, c2 dengan c3. Selanjut- 3. Pemangkatan nya diambil faktor-faktor yang berderajat ter- Pemangkatan pecahan bentuk aljabar adalah kecil, kemudian dikalikan sehingga diperoleh: perkalian pecahan bentuk aljabar tersebut FPB = 2 × 3 × a2 × c2 = 6a2c2 dengan dirinya sendiri sebanyak n kali. D. PECAHAN BENTUK ALJABAR Contoh: y 2 = y ×y = y2 3z 3z 3z 9z2 Bentuk aljabar juga dapat berupa pecahan. Contoh: a , 2x , 5x + x3 , dan sebagainya. 2b y + z xy + xz Di unduh dari : Bukupaket.com 7
E. PEMFAKTORAN Ubah 3x menjadi penjumlahan dua suku, misalnya x + 2x. 1. Bentuk distributif 2x2 + 3x + 1 = 2x2 + x + 2x + 1 ax + ay = a(x + y) = (2x2 + x) + (2x + 1) ax – ay = a(x – y) = x(2x + 1) + (2x + 1) dengan a bisa koefisien atau variabel. (sifat distributif) Contoh: l 5x + 10y = 5(x + 2y), a berbentuk koefisien. = (x + 1)(2x + 1) l xy – xz = x(y – z), x berbentuk variabel. F. PENYEDERHANAAN PECAHAN BENTUK ALJABAR 2. Selisih kuadrat Contoh: a2 – b2 = (a + b)(a – b) Contoh: l a2b : ab = a2b = a × a × b = a , x2 – 9 = (x + 3)(x – 3) ab a × b 3. Kuadrat sempurna dilakukan operasi pembagian. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 l 4x + 8x3 = 4x(1+ 2x2 ) = 1+ 2x2 , a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 4x 4x Contoh: dilakukan operasi pemfaktoran dan pembagian. l x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 l x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 l x2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = x - 2 , (x - 1) (x - 1) 4. Bentuk: x2 + bx + c = (x + p)(x + q), dengan p + q = b dan pq = c dilakukan operasi pemfaktoran dan pembagian. Contoh: x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) 5. Pemfaktoran ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 Contoh: 2x2 + 3x + 1 bila difaktorkan menjadi (2x + 1)(x + 1). Cara pemfaktorannya sebagai berikut. 8 Di unduh dari : Bukupaket.com
3 Persamaan dan Pertidak- Untuk mencari penyelesaian dari PLSV dapat di- samaan Satu Variabel lakukan dengan cara berikut. 1. Menambah atau mengurangi kedua ruas A. PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL (PLSV) persamaan dengan bilangan yang sama. Ø Persamaan linear adalah suatu persa- Contoh: maan yang variabel/peubahnya berpangkat x–2=4 (berderajat) paling tinggi 1 (satu). ⇔x–2+2=4+2 Ø Persamaan linear satu variabel artinya suatu (kedua ruas ditambah 2) persamaan yang variabel/ peubahnya ber- pangkat (berderajat) paling tinggi 1 (satu) ⇔x=6 dan hanya mempunyai satu variabel. 2. Mengalikan atau membagi kedua ruas persa- Bentuk Umum Persamaan Linear Satu Variabel maan dengan bilangan yang sama. Contoh: ax + b = c 3x = 9 ⇔ 3x : 3 = 9 : 3 (kedua ruas dibagi 3) Dengan: ⇔x=3 l a ≠ 0 dengan x disebut variabel/peubah, l semua suku di sebelah kiri tanda “=” disebut 3. Gabungan dari operasi 1 dan 2. Contoh: ruas kiri, 3x – 3 = 7 + x l semua suku di sebelah kanan tanda “=” ⇔ 3x – 3 + 3 = 7 + x + 3 disebut ruas kanan. (kedua ruas ditambah 3) 2. Operasi Persamaan Linear Satu Variabel ⇔ 3x = 10 + x Ø Kedua ruas dalam satu persamaan dapat di- ⇔ 3x – x = 10 + x – x tambah (+), dikurang (–), dikali ( × ), dibagi (:) (kedua ruas dikurangi x) dengan bilangan yang sama. Ø Setiap perpindahan ruas dari ruas kiri ke ruas ⇔ 2x = 10 kanan atau sebaliknya selalu diikuti dengan ⇔ 2x : 2 = 10 : 2 perubahan tanda bilangan (dari positif (+) menjadi negatif (–) dan sebaliknya). (kedua ruas dibagi 2) ⇔ x=5 Jadi, x = 5 adalah penyelesaian dari 3x – 3 = 7 + x. Di unduh dari : Bukupaket.com 9
B. PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL 4 Aritmetika Sosial (PtLSV) A. HARGA PEMBELIAN, HARGA PENJUALAN, Pertidaksamaan linear satu variabel artinya UNTUNG, DAN RUGI suatu pertidaksamaan yang variabel/pe-ubahnya berpangkat (berderajat) paling tinggi 1 (satu) dan 1. Harga pembelian yaitu harga yang didapat- hanya mempunyai satu variabel. kan oleh seorang pedagang ketika membeli Contoh: x + 3 > 4; x ≥ 3x - 1 barang-barang dagangan. Untuk mencari penyelesaian dari pertidak-sa- 2. Harga penjualan yaitu harga yang ditentu- maan linear satu variabel (PtSLV) dapat dilaku- kan oleh seorang pedagang ketika menjual kan dengan cara: barang-barang dagangan ke pembeli. 1. menambah atau mengurangi kedua ruas 3. Untung (Laba) terjadi jika harga penjualan dengan bilangan yang sama; lebih besar (lebih tinggi) daripada pembelian. 2. mengalikan atau membagi kedua ruas den- 4. Rugi terjadi jika harga penjualan lebih kecil gan bilangan yang sama dengan catatan jika (lebih rendah) daripada harga pembelian. dikalikan atau dibagi bilangan negatif, tanda pertidaksamaannya dibalik. UNTUNG Contoh: x ≥ 3x + 4 ⇔ x - 3x ≥ 3x - 3x + 4 (kedua ruas dikurangi 3x) ⇔ -2x ≥ 4 ⇔ -2x × 1 ≤ 4 × 1 Syarat: harga penjualan > harga pembelian -2 -2 Untung = harga penjualan – harga pembelian (kedua ruas dikali 1 , akibatnya tanda pertidaksamaan- % untung = untung × 100% harga pembelian nya dibalik) -2 ⇔ x ≤ -2 RUGI Jadi, x ≤ -2 adalah penyelesaian dari Syarat: harga penjualan < harga pembelian Rugi = harga pembelian – harga penjualan x ≥ 3x + 4 . % rugi = harga rugi × 100% pembelian 10 Di unduh dari : Bukupaket.com
HARGA PENJUALAN DAN HARGA PEMBELIAN C. BUNGA TABUNGAN (BUNGA BANK) Jika untung: Misalnya: Harga penjualan = harga pembelian + untung Besarnya uang yang ditabung adalah M, Harga pembelian = harga penjualan – untung Besar bunga yang diberi bank adalah p%, Lama menabung adalah t tahun. Jika rugi: Diperoleh: Harga penjualan = harga pembelian – rugi Harga pembelian = harga penjualan + rugi Bunga selama 1 tahun = p% × M B. RABAT (DISKON), BRUTO, TARA, DAN NETTO Bunga selama t tahun = (p% × M) × t Ø Rabat atau diskon adalah potongan harga. Bunga selama n bulan = n × p% × M 12 Diskon = harga semula – harga yang dibayar Jumlah tabungan seluruhnya = M + bunga % diskon = diskon × 100% Perhitungan suku bunga dalam persen harga semula Suku bunga = bunga dalam setahun ×100% Ø Bruto adalah berat kotor barang. M Ø Netto adalah berat bersih barang. Ø Tara adalah berat kemasan. Contoh: Bruto = netto + tara Seorang nasabah menabung pada sebuah bank sebesar Rp1.500.000,00 dengan suku bunga Netto = bruto – tara 12% per tahun. Besarnya tabungan setelah 6 bu- lan adalah …. Tara = bruto – netto Jawab: Bunga = 6 ×12% × Rp1.500.000,00 %Tara = tara × 100% bruto 12 = 6% × Rp1.500.000,00 = Rp90.000,00 Contoh: Tabungan setelah 6 bulan Dalam sebuah peti kemasan mangga terdapat = tabungan awal + bunga keterangan: Bruto = 100 kg dan tara = 5 %. Di- = Rp1.500.000,00 + Rp90.000,00 peroleh: = Rp1.590.000,00 Bruto = 100 kg Tara = 5% . 100 kg = 5 kg Netto = Bruto - tara = 100 - 5 = 95 kg Di unduh dari : Bukupaket.com 11
Contoh: 5 Perbandingan 1. Sebuah lapangan sepak bola berbentuk persegi A. SKALA panjang berukuran panjang 100 m dan lebar 80 m. Skala = ukuran pada gambar (peta) Jika dibuat model dengan skala 1 : 500 maka luas ukuran sebenarnya lapangan bola pada model adalah …. Skala 1 : n artinya 1 cm pada peta mewakili n cm pada ukuran sebenarnya Jawab: Contoh: Skala 1 : 100.000 artinya 1 cm mewakili 100.000 Panjang sebenarnya = 100 m = 10.000 cm cm atau 1 km jarak sebenarnya. Lebar sebenarnya = 80 m = 8.000 cm B. PERBANDINGAN SENILAI DAN BERBALIK NILAI Skala = pgambar = gambar 1. Perbandingan Senilai psebenarnya sebenarnya a = anaik = aturun pmodel = skala × psebenarnya b bnaik bturun Contoh: = 1 ×10.000 cm = 20 cm Banyak liter BBM dan jarak yang ditempuh. 500 2. Perbandingan Berbalik Nilai a dan b dikatakan berbanding berbalik nilai model = skala × sebenarnya jika saat nilai a naik maka nilai b turun, begitu juga sebaliknya jika a turun maka nilai b naik. = 1 × 8.000 cm = 16 cm Contoh: 500 Banyak pekerja proyek dan lama waktu mengerjakan proyek. Ukuran pada model adalah panjang = 20 cm dan lebar = 16 cm. Luas = panjang × lebar = 20 cm × 16 cm = 320 cm2. 2. Untuk menjahit 5 karung beras diperlukan benang sepanjang 25 m, maka untuk menjahit 120 karung beras diperlukan benang sepanjang …. Jawab: Misalkan panjang benang yang diperlukan untuk menjahit 120 karung beras adalah A. Maka: 5 = 25 120 A ⇔ 5A = 25 ×120 ⇔ 5A = 3.000 ⇔ A = 600 12 Di unduh dari : Bukupaket.com
6 Himpunan 1. Menuliskan sifat anggotanya. A = {bilangan genap kurang dari 15} Ø Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau objek yang mempunyai ciri yang sama. 2. Memberikan notasi pembentuk himpunan. Ø Nama himpunan ditulis dengan nama huruf kapital dan anggotanya ditulis di antara ku- A = {x | x < 15, x ∈ bilangan genap} rung kurawal ({ }). Dibaca: “Himpunan A beranggotakan x, den- gan x kurang dari 15 dan x anggota himpu- nan bilangan genap”. 3. Menyatakan semua anggotanya. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} A. ANGGOTA HIMPUNAN C. MACAM-MACAM HIMPUNAN Ø Anggota himpunan dilambangkan dengan 1. Himpunan Kosong “ ” dan jika bukan anggota dilambangkan Himpunan kosong adalah himpunan yang ti- dengan “ “. dak mempunyai anggota. Himpunan kosong dilambangkan dengan { } atau . Ø Banyaknya anggota himpunan A dinotasikan Contoh: dengan n(A). K himpunan nama hari yang diawali huruf z. Karena tidak ada nama hari yang diawali Contoh: huruf z maka K = { }. 1. Himpunan bilangan bulat, ditulis: 2. Himpunan Terhingga B = {bilangan bulat} = {… , –2, –1, 0, 1, 2, …} Himpunan terhingga adalah himpunan yang 2. Himpunan bilangan ganjil kurang dari 10, ditulis: banyak anggotanya terhingga atau terbatas. Contoh: A = {bilangan ganjil kurang dari 10} atau L himpunan bilangan asli kurang dari 5. Ditu- A = {1, 3, 5, 7, 9}, lis: L = {1, 2, 3, 4} maka 1 A, 3 A, 5 A, 7 A, 9 A sedang- kan 2 A, 4 A. 3. Himpunan Tak Terhingga Banyaknya anggota himpunan A adalah Himpunan tak terhingga adalah himpunan n(A) = 5. yang banyak anggotanya tak terhingga atau tak terbatas. B. MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN Contoh: Himpunan bilangan asli. Ditulis: A = {1, 2, 3, 4, …} Contoh: A adalah himpunan bilangan genap kurang dari 15. Ditulis: Di unduh dari : Bukupaket.com 13
4. Himpunan Semesta D. DIAGRAM VENN Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan (objek) Diagram Venn adalah diagram yang digunakan yang sedang dibicarakan. Notasi “S”. untuk menyatakan beberapa himpunan atau Contoh: hubungan antarhimpunan. M = {apel, mangga, pisang, stroberi, anggur} Contoh: Himpunan semesta yang mungkin dari him- Buatlah diagram Venn dari himpunan-himpunan punan di atas adalah: S = {nama buah}. berikut! A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {2, 3, 5, 7} 5. Himpunan Bagian S = {bilangan asli kurang dari 8} Himpunan bagian adalah himpunan yang Dari soal, diperoleh S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} merupakan anggota dari himpunan keselu- ruhan. Himpunan bagian dilambangkan den- S AB gan “ ”. Ø Himpunan kosong merupakan himpunan 4 27 bagian dari setiap himpunan. 6 1 53 Ø Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri. E. HUBUNGAN ANTARHIMPUNAN Diketahui himpunan A dengan banyak ang- gota n(A) maka banyaknya himpunan bagian 1. Himpunan Ekuivalen yang mungkin dari himpunan itu adalah Himpunan A ekuivalen dengan himpunan B jika n(A) = n(B). 2n(A) Contoh: A = {1, 2, 3, 4}; B = {5, 6, 7, 8} Karena n(A) = n(B) maka himpunan A ekuiva- Contoh: len dengan himpunan B. Diketahui himpunan A = {1, 3, 5} 2. Himpunan Sama Banyak himpunan bagian yang mungkin dari Himpunan A dikatakan sama dengan himpu- himpunan A adalah nan B jika anggota himpunan A sama den- gan anggota himpunan B atau sebaliknya. 2n(A) = 23 = 8 Jika himpunan A sama dengan B maka dapat ditulis A = B. Himpunan bagian dari A adalah Contoh: A = {a, d, i} dan B = {i, d, a} A = B. A, ∅ , {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}. 14 Di unduh dari : Bukupaket.com
G. IRISAN DAN GABUNGAN DUA HIMPUNAN H. SIFAT-SIFAT OPERASI HIMPUNAN Ø Irisan dua himpunan A dan B adalah himpu- 1. Komutatif AB = BA nan yang anggota-anggotanya merupakan 2. Asosiatif AB = BA anggota himpunan A sekaligus B. A B = {x | x ∈ A dan x ∈ B} Ø Gabungan dua himpunan A dan B adalah (A B) C = A (B C) himpunan yang anggota-anggotanya me- (A B) C = A (B C) rupakan anggota himpunan A saja atau ang- gota B saja. 3. Distributif A B = {x | x ∈ A atau x ∈ B} A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Irisan dan gabungan dua himpunan dalam dia- gram Venn. 4. Dalil De Morgan SA B S AB (A B)c = Ac Bc (A B)c = Ac Bc A∩B A∪B Contoh: Diketahui: Contoh: A = {bilangan genap kurang dari 11} dan 1. Dalam suatu kelas terdapat 40 anak, 24 anak gemar menari, 21 anak gemar menyanyi, B = {faktor dari 10}. dan 10 anak gemar keduanya. Banyaknya anak yang tidak gemar keduanya adalah .… Tentukan irisan dan gabungan himpunan A dan B! Jawab: Misalkan: Dari soal diketahui: S = {anak yang ada di kelas}à n(S) = 40 A = {anak yang gemar menari}à n(A) = 24 A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {1, 2, 5, 10} B = {anak yang gemar menyanyi} à n(B) = 21 A ∩ B = {anak yang gemar menari dan me- S AB S AB nyanyi} à n(A ∩ B) = 10 4 21 4 21 6 8 10 5 6 10 5 8 A∩B A∪B A ∩ B = {2, 10} dan A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10} Di unduh dari : Bukupaket.com 15
A ∪ B = {anak yang gemar menari atau me- 7 Sudut dan Garis nyanyi} (A ∪ B)c = {anak yang tidak gemar menari A. Garis atau menyanyi} Garis adalah deretan/kumpulan titik-titik yang Dengan menggunakan rumus diperoleh: banyaknya tak terhingga, yang saling bersebe- n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) lah-an dan memanjang ke dua arah. 1. Dua Garis Berpotongan = 24 + 21 - 10 = 35 n(S) = n(A B) + n(A B)c Garis g dan berpotongan di titik P. ⇔ 40 = 35 + n(A B)c ⇔ n(A B)c = 5 g Jadi, banyaknya anak yang tidak gemar menari atau menyanyi adalah 5 anak. Pl Dalam diagram Venn dapat digambarkan 2. Dua Garis Sejajar S AB Garis g dan tidak berpotongan. 14 10 11 g l 5 3. Dua Garis Berimpit 2. Diketahui himpunan berikut. Garis g dan mempunyai lebih dari satu A = {b, u, n, d, a} titik potong. B = {i, b, u, n, d, a} C = {lima bilangan asli yang pertama} gl D = {bilangan cacah kurang dari 6} Jawab: B. Sudut A = {b, u, n, d, a} à n(A) = 5 Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua B = {i, b, u, n, d, a} à n(B) = 6 buah penggalan garis lurus yang bertemu pada C = {lima bilangan asli yang pertama} satu titik pangkal. = {1, 2, 3, 4, 5 } à n(C) = 5 D = {bilangan cacah kurang dari 6} = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } à n(C) = 6 Karena n(A) = n(C) = 5 dan n(B) = n(D) = 6, maka pasangan himpunan yang ekuivalen adalah A dengan C dan B dengan D. 16 Di unduh dari : Bukupaket.com
Unsur dan nama sudut 2. Hubungan Antarsudut A Keterangan: Ø Dua sudut berpelurus (bersuplemen) O = titik pangkal sudut α + β = 180o OA, OB = kaki sudut βα O B ∠ AOB = sudut AO B 1. Jenis Sudut Berdasarkan Besar Sudut Sudut dan berpelurus dan Jenis Gambar Keterangan jumlahnya 180o. sudut A Ø Dua sudut berpenyiku (berkomplemen) Sudut Sudut yang lancip besarnya A Sudut dan antara 0o dan β berpenyiku dan 90o. Oα jumlahnya 90o. O B B α + β = 90o A Sudut Sudut yang siku-siku besarnya 90o. Contoh: O B Perhatikan gambar di bawah. Besar ∠ABD A adalah .... Sudut yang Sudut O besarnya lebih D tumpul AO dari 90o. Sudut 7xo 5xo C lurus B AB Sudut yang besarnya 180o. Jawab: B ∠ABD + ∠BCD = 180° 7x + 5x = 180 12x = 180 x = 15 Besar ∠ABD adalah 7 . 15° = 105°. Di unduh dari : Bukupaket.com 17
Ø Dua sudut bertolak belakang n Dua sudut dalam berseberangan mem- Dua sudut dan besarnya sama yaitu = punyai besar sudut yang sama. AD ∠A4 dengan ∠B1 ∠A3 dengan ∠B2, ∠A4 = ∠B1 ∠A3 = ∠B2 O n Dua sudut luar berseberangan mem- C B punyai besar sudut yang sama. ∠A2 dengan ∠B3 ∠A1 dengan ∠B4 Berdasarkan gambar di atas diperoleh: ∠A2 = ∠B3 ∠A1 = ∠B4 n ∠AOC bertolak belakang dengan ∠BOD, n Dua sudut dalam sepihak jumlah sehingga ∠AOC = ∠BOD. n ∠AOD bertolak belakang dengan ∠BOC, sudutnya adalah 180o. sehingga ∠AOD = ∠BOC. ∠A4 dengan ∠B2 ∠A3 dengan ∠B1 Ø Sudut-sudut yang terbentuk oleh dua ∠A4 + ∠B2 = 180o ∠A3 + ∠B1 = 180o garis sejajar dipotong sebuah garis n Dua sudut luar sepihak besar jumlah l sudut-nya adalah 180o. A 12 g ∠A1 dengan ∠B3 ∠A2 dengan ∠B4 34 ∠A1 + ∠B3 = 180o ∠A2 + ∠B4 = 180o 12 h Contoh: B3 4 Perhatikan gambar di bawah ini! l n Dua sudut sehadap mempunyai besar A 12 g Jika besar ∠A1 = 105o maka sudut yang sama. 34 ∠A1 dengan ∠B1 ∠A2 dengan ∠B2 12 besar sudut ∠B4 ∠A3 dengan ∠B3 ∠A4 dengan ∠B4 h adalah …. ∠A3 = ∠B3 B3 4 ∠A1 = ∠B1 ∠A2 = ∠B2 ∠A4 = ∠B4 Jawab: Sudut ∠A1 dan ∠B4 merupakan sudut luar berse- berangan, maka ∠A4 = ∠A1 = 105o 18 Di unduh dari : Bukupaket.com
8 Relasi dan Fungsi 3. Himpunan pasangan berurutan Contoh: A. RELASI Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {1, 3, 6}. Relasi “faktor dari” dari himpunan A ke himpunan B Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah dapat dinyatakan dalam himpunan pasangan pemasangan anggota himpunan A dengan ang- berurutan sebagai berikut. gota himpunan B. {(1, 1), (1, 3), (1, 6), (2, 6), (3, 3), (3, 6)} Menyatakan Relasi 1. Diagram panah B. FUNGSI (PEMETAAN) Contoh: 1. Pengertian Fungsi (Pemetaan) Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {1, 3, 6}. Maka Fungsi (pemetaan) dari A ke B adalah suatu relasi yaitu “faktor dari” dari himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan dengan dia- relasi yang lebih khusus yang menghubung- gram panah sebagai berikut: kan setiap anggota A dengan tepat satu ang- gota B. AB Contoh: 11 Pada contoh, setiap anggota di A dipasang- 23 kan dengan tepat satu anggota di B. 36 2. Domain, Kodomain, dan Range Ø domain adalah daerah asal atau daerah 2. Diagram Cartesius definisi fungsi itu, Ø kodomain adalah daerah kawan, Contoh: 6 Ø range atau daerah hasil adalah himpun- Diketahui A = {1, 2, 3} dan an bagian dari daerah kawan atau kodo- B = {1, 3, 6}. Relasi“faktor 3 main. dari” dari himpunan A ke 1 himpunan B dapat din- yatakan dalam diagram 1 23 Cartesius disamping. Di unduh dari : Bukupaket.com 19
Contoh: B - Domain: b. Rumus fungsi linear A A = {1, 2, 3} 1 f(x) = ax + b 1 4 - Kodomain: 2 8 B = {1, 4, 8, 9} x variabel dan f(x) nilai fungsi. 3 9 Contoh: - Range: f(x) = 2x + 1 {1, 4, 9} Nilai fungsi untuk x = 1 adalah f(1) = (2 × 1) + 1 = 3 3. Banyak Fungsi (Pemetaan) Diketahui banyak anggota himpunan A c. Grafik fungsi linear adalah n(A) dan banyak anggota himpunan Contoh: B adalah n(B), maka: Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1. Gambarkan fungsi linear tersebut ke Ø Banyak fungsi dari A ke B = n(B)n(A) dalam bentuk grafik! Ø Banyak fungsi dari B ke A = n(A)n(B) Diambil nilai x = 0 dan x = 1. l Untuk x = 0 à y = 2 × 0 + 1 = 1. Maka, Contoh: diperoleh koordinat (0, 1) Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {A, B, C, D}, l Untuk x = 1 à y = 2 × 1 + 1 = 3. Maka, maka n(A) = 3 dan n(B) = 4. diperoleh koordinat (1, 3) a. Banyak fungsi yang mungkin dari A ke B y = n(B)n(A) = 43 = 64. (1, 3) x b. Banyak fungsi yang mungkin dari B ke A (0, 1) = n(A)n(B) = 34 = 81. 1 4. Notasi dan Rumus Fungsi Linear Contoh: a. Notasi fungsi linear Fungsi linear dinotasikan dengan Diketahui pemetaan f : x à 2 – 3x. Jika daerah f : x ax + b asalnya {–2, –1, 0, 1, 2} maka daerah hasilnya x variabel. adalah …. Jawab: Keterangan: f = nama fungsi x = anggota daerah asal ax + b = bayangan dari x 20 Di unduh dari : Bukupaket.com
Diketahui pemetaan f : x à 2 – 3x, dengan dae- 9 Persamaan Garis rah asal {–2, –1, 0, 1, 2}. Lurus Maka diperoleh: f : –2 à 2 – (3 × (–2)) = 2 + 6 = 8 Bentuk umum persamaan garis lurus: f : –1 à 2 – (3 × (–1)) = 2 + 3 = 5 y = mx + c f : 0 à 2 – (3 × 0) = 2 – 0 = 2 f : 1 à 2 – (3 × 1) = 2 – 3 = –1 Keterangan: f : 2 à 2 – (3 × 2) = 2 – 6 = –4 m = gradien Daerah hasilnya adalah {–4, –1, 2, 5, 8}. c = konstanta C. KORESPONDENSI SATU-SATU Persamaan garis dapat dinyatakan dalam berb- agai bentuk dan variabel. 1. Pengertian Korespondensi Satu-satu Contoh: y = 3x + 1 dan a = b + 2 Himpunan A dikatakan berkorespondensi satu-satu dengan himpunan B jika setiap A. GRADIEN anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B dipasang- Gradien (m) adalah nilai yang menyatakan ke- kan dengan tepat satu anggota A. Dengan miringan suatu garis. demikian, pada korespondensi satu-satu dari 1. Garis melalui dua titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) himpunan A ke himpunan B, banyak anggota himpunan A dan himpunan B harus sama. y 2. Banyak Korespondensi Satu-satu A(x1, y1) Diketahui n(A) = n(B) = n. Maka banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin an- Ox tara himpunan A dan B adalah B(x2, y2) 1× 2 × 3 ×...× (n - 1) × n m = y2 - y1 = y1 - y2 Contoh: x2 - x1 x1 - x2 Diketahui himpunan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}. Banyaknya korespondensi satu- satu yang mungkin untuk himpunan A dan B adalah 1× 2 × 3 = 6. Di unduh dari : Bukupaket.com 21
2. Gradien dua garis sejajar Contoh: Garis g sejajar dengan garis h. Jika gradien garis h adalah mh, maka gradien garis g 1. Gradien garis yang tegak lurus dengan garis h : 3x adalah – 6y + 4 = 0 adalah …. mg = mh Jawab: 3. Gradien dua garis tegak lurus 3x - 6y + 4 = 0 ⇔ -6y = -3x - 4 -1 ⇔ y = 12 x + 23 mh mg × mh = -1 atau mg = Gradien garis h adalah mh = ½. Misalkan garis yang ditanyakan adalah garis g, B. RUMUS PERSAMAAN GARIS maka gradien garis g adalah 1. Persamaan garis yang melaui titik A(x1, y1) mg = -1 = - 1 = -2 . dan bergradien m. mh y 1 2 2. Persamaan garis yang melalui titik A(2, 3) dan se- A(x1, y1) jajar dengan garis 3x + 5y = 15 adalah .… gradien m y - y1 = m( x - x1 ) Jawab: -3 x+3 3x + 5y = 5 ⇔ y = 5 Ox Gradien garis tersebut adalah m = - 3 . 2. Persamaan garis yang melaui titik A(x1, y1) 5 dan B(x2, y2). Karena garis yang dicari sejajar dengan garis 3x + y y - y1 = y2 - y1 5y = 15, maka gradiennya juga m = - 3 . x - x1 x2 - x1 5 A(x1, y1) Karena melalui titik A(2, 3), maka persamaan garisnya adalah y - y1 = m( x - x1 ) Ox ⇔ y - 3 = - 3 ( x - 2) 5 B(x2, y2) ⇔ y-3 = -3x+ 6 55 ⇔ 5y - 15 = -3x + 6 ⇔ 3x + 5y = 21 22 Di unduh dari : Bukupaket.com
10 Sistem Persamaan amaan linear dua variabel tersebut dapat dilaku- Linear Dua Variabel kan dengan metode berikut. Ø Persamaan linear dua variabel adalah suatu 1. Substitusi persamaan yang variabelnya berpangkat Substitusikan persamaan y = 2x ke dalam (berderajat) paling tinggi 1 (satu) dan mem- persamaan 2x + y = 8, diperoleh: punyai dua variabel. 2x + y = 8 ⇒ 2x + 2x = 8 Contoh: 4x = 8 3x + 2y =3 x =2 Ø Sistem persamaan linear dengan dua varia- Substitusikan x = 2 ke persamaan bel adalah suatu sistem persamaan yang y = 2x, diperoleh: terdiri atas dua persamaan linear di mana x = 2 à y = 2x = 2 × 2 = 4 masing-masing persamaan mempunyai dua Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2 dan y = 4. variabel dan sistem tersebut mempunyai te- pat satu penyelesaian. 2. Eliminasi Untuk menentukan nilai y maka x dieliminasi Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan cara: x + y = 3 ×2 2x + 2y = 6 a1x + b1y = c1 2x − y = 0 2x − y a2x + b2y = c2 ×1 3y =0 − =6 dengan x dan y adalah variabel. y =2 Menentukan Penyelesaian Sistem Persamaan Untuk menentukan nilai x maka y dieliminasi Linear Dua Variabel Contoh: dengan cara: Carilah penyelesaian dari persamaan: x+y =3 2x − y y = 2x 3x = 0 + x = 1 2x + y = 8 = 3 ⇔ Untuk menentukan penyelesaian dari sistem pers- Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1 dan y = 2. Di unduh dari : Bukupaket.com 23
3. Grafik Contoh: l Menentukan titik potong garis x – y = 1 dengan sumbu x dan y. Harga 2 kg salak dan 3 kg jeruk adalah Jika x = 0 maka y = –1. Jika y = 0 maka x = 1. Rp32.000,00, sedangkan harga 3 kg salak dan Jadi, persamaan garis x – y = 1 melalui titik (0, –1) dan (1, 0). 2 kg jeruk adalah Rp33.000,00. Harga 1 kg salak l Menentukan titik potong garis x + 2y = 4 dengan sumbu x dan y. dan 5 kg jeruk adalah .... Jika x = 0 maka y = 2. Jika y = 0 maka x = 4. Jawab: Jadi persamaan garis x + 2y = 4 melalui (0, 2) dan (4, 0). Harga 2 kg salak dan 3 kg jeruk adalah Gambar grafiknya: y Rp32.000,00, sedangkan harga 3 kg salak dan 2 x−y=1 kg jeruk adalah Rp33.000,00. Dari permasalahan di atas, dapat diperoleh sistem persamaan linear berikut. Misalkan: harga 1 kg salak dilambangkan s; harga 1 kg jeruk dilambangkan j. (0, 2) (2, 1) (4, 0) x Diperoleh: = 96.000 2s + 3j = 32.000 |× 3| 6s + 9j = 66.000 – (0, 0) 3s + 2j = 33.000 |× 2| 6s + 4j = 30.000 = 6.000 (0, −1) 5j j Bila harga 1 kg jeruk adalah Rp6.000,00 maka: Berdasarkan gambar grafik tersebut, titik 2s + 3 . Rp6.000,00 = Rp32.000,00 potong garis x – y = 1 dan x + 2y = 4 adalah titik (2, 1). Jadi penyelesaiannya 2s + Rp18.000,00 = Rp32.000,00 adalah x = 2 dan y = 1. 2s = Rp14.000,00 s = Rp7.000,00 Harga 1 kg salak dan 5 kg jeruk adalah = Rp7.000,00 + 5 . Rp6.000,00 = Rp37.000,00. 24 Di unduh dari : Bukupaket.com
11 Segitiga dan Teorema Segitiga C Panjang AB = BC Pythagoras sama sisi FE = AC. Segitiga adalah bangun yang dibatasi oleh tiga Segitiga ADB ∠A = ∠B = ∠C ruas garis dan mempunyai tiga titik sudut. sembarang Perhatikan gambar berikut! C B = 60o. A Mempunyai tiga C simetri lipat yaitu ba AE, BF, dan CD, serta mempunyai tiga simetri putar. Panjang AB ≠ BC ≠ AC. ∠A ≠ ∠B ≠ ∠C . A cB 2. Jenis Segitiga Ditinjau dari Besar Sudutnya a. Segitiga siku-siku, segitiga yang besar Keterangan: salah satu sudutnya 90o. Ø Gambar di atas merupakan segitiga ABC yang dibatasi b. Segitiga lancip, segitiga yang besar tiap- tiap sudutnya kurang dari 90o. oleh ruas garis AB = c, BC = a, AC = b dan mempunyai c. Segitiga tumpul, segitiga yang besar tiga titik sudut, yaitu sudut A ( ∠A ), sudut B ( ∠B ), dan salah satu sudutnya lebih dari 90o. sudut C ( ∠C ). Ø Lambang sebuah segitiga biasanya dinotasikan dengan B. MACAM-MACAM GARIS PADA SEGITIGA ∆ . Jadi, segitiga ABC dapat ditulis dengan ∆ABC . Ø Jumlah sudut-sudut suatu segitiga adalah 180o. Jadi, ∠A + ∠B + ∠C = 180o . A. JENIS-JENIS SEGITIGA Garis AE, BF, dan CD C merupakan garis tinggi FE 1. Jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi- segitiga ABC. Titik tinggi ∆ABC di sisinya samping adalah titik O. Panjang AC = BC. Garis AE, BF, dan CD ADB merupakan garis bagi C Segitiga C ∠A = ∠B . segitiga ABC. Mempunyai satu Titik bagi ∆ABC di samping adalah titik O. sama kaki simetri lipat yaitu F E ADB CD, tetapi tidak AD B mempunyai simetri putar. Di unduh dari : Bukupaket.com 25
Garis AE, BF, dan CD C D. TEOREMA PYTHAGORAS FE merupakan garis berat Teorema Pythagoras: segitiga ABC. A DB A Pada segitiga siku-siku, berlaku kuadrat sisi mir- Titik berat ∆ABC di C samping adalah titik O. ing sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi pe- Garis TE, TF, dan TD FT E D B nyikunya. merupakan garis sumbu Perhatikan gambar berikut! segitiga ABC. Titik sumbu ∆ABC di samping adalah C titik T. Teorema Pythagoras untuk C. KELILING DAN LUAS SEGITIGA segitiga ABC dirumuskan dengan: PCerhatikan gambCar di bawah ini! C AB (BC)2 = (AB)2 + (AC)2 tt t t = tinggi 1. Tripel Pythagoras a = alas Tripel Pythagoras adalah tiga pasang bilang- an yang memenuhi teorema Pythagoras. Aa B Misalkan untuk segitiga siku-siku ABC di atas, tripel Pythagorasnya adalah Aa B A aB Tripel tersebut berlaku juga untuk kelipatan- Keliling segitiga ABC: AB AC BC nya. Misalnya: 6, 8, 10 K = AB + BC + AC 345 merupakan kelipatan Luas segitiga ABC: 5 12 13 dari 3, 4, 5. Maka 6, 8, 7 24 25 10 juga merupakan tripel 8 15 17 Pythagoras 11 60 61 L = 1 × alas × tinggi = 1 × a × t 20 21 29 22 L = s(s - a)(s -b)(s - c) , 2. Jenis Segitiga Berdasarkan Ukuran Sisi- sisinya dengan s= 1 (a + b + c) . a2 = b2 + c2 ∆ABC segitiga siku-siku. 2 a2 < b2 + c2 ∆ABC segitiga lancip. a2 > b2 + c2 ∆ABC segitiga tumpul. 26 Di unduh dari : Bukupaket.com
Contoh: 12 Bangun Datar 1. Sebuah segitiga panjang alasnya adalah 6 cm dan A. PERSEGI tingginya 10 cm. Luas segitiga itu adalah … cm2. Jawab: DC Diketahui: alas = 6 cm, tinggi = 10 cm Luas segitiga: O AB L = 1 × alas × tinggi = 1 × 6 ×10 = 30 cm2 22 2. Sebuah segitiga ABC siku-siku di A. Jika AB = 12 Persegi adalah bangun datar yang dibatasi oleh 4 buah sisi cm, dan AC = 16 cm maka panjang BC adalah …. yang panjangnya sama. Jawab: C Diketahui segitiga ABC siku- Keterangan: Ø Mempunyai 4 buah sisi yang sama panjang: siku di A, dengan panjang AB = AB = BC = CD = DA. 16 cm 12 cm dan AC = 16 cm. Ø Mempunyai 2 pasang sisi yang saling sejajar: A 12 cm B AB sejajar CD dan AD sejajar BC. Dengan menggunakan teorema Pythagoras di- Ø Mempunyai 4 buah sudut siku-siku (besarnya 90o). peroleh panjang BC, yaitu: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 90o (BC)2 = (AB)2 + (AC)2 = 122 + 162 Ø Mempunyai 4 sumbu simetri lipat dan 4 simetri putar. Ø Mempunyai 2 garis diagonal yang saling berpotongan = 144 + 256 = 400 tegak lurus yang sama panjangnya. BC = 400 = 20 cm AC = BD dan AC BD. Ø Mempunyai 8 cara untuk dipasangkan menempati bingkainya. 3. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi-sisi a Keliling dan Luas Persegi : b : c = 5 : 7 : 8. Jika keliling segitiga ABC 200 cm Misalkan AB = BC = CD = AD = sisi = s maka panjang sisi AC adalah … cm. Jawab: Keliling persegi = 4s Misalkan: a = 5x, b = 7x, c = 8x Luas persegi = s2 a + b + c = 200 5x + 7x + 8x = 200 B. PERSEGI PANJANG 20x = 200 x = 10 cm Persegi panjang adalah bangun datar yang diba- Panjang AC = b = 7x = 7.10 cm = 70 cm. tasi oleh 4 buah sisi dengan sisi-sisi yang berha- Di unduh dari : Bukupaket.com 27
dapan sama panjang dan sejajar, serta sisi-sisi DC yang bersebeDlahan saling tegak lCurus. O AB AB Keterangan: Keterangan: Ø Mempunyai 4 buah sisi dengan sisi-sisi yang berhadapan Ø Mempunyai 4 buah sisi dengan sisi-sisi yang berhadap- sama panjang: AB = CD dan AD = BC. an sama panjang: AB = CD dan AD = BC. Ø Mempunyai 2 pasang sisi yang saling sejajar: AB sejajar Ø Mempunyai 2 pasang sisi yang saling sejajar: AB sejajar CD dan AD sejajar BC. CD dan AD sejajar BC. Ø Mempunyai 4 buah sudut dengan susut-sudut yang Ø Mempunyai 4 buah sudut siku-siku (besarnya 90o). berhadapan sama besar: ∠A = ∠C dan ∠B = ∠D. ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 90o. Ø Jumlah dua sudut yang berdekatan adalah 180o. Ø Mempunyai 2 buah sumbu simetri lipat dan 2 buah ∠A + ∠B = ∠B + ∠C = ∠C + ∠D = ∠A + ∠D = 180o. simetri putar. Ø Mempunyai 2 buah simetri putar tetapi tidak mempunyai Ø Mempunyai 2 garis diagonal yang saling berpotongan yang simetri lipat. panjangnya sama: AC = BD. Ø Mempunyai 2 garis diagonal yang saling berpotongan di Ø Mempunyai 4 cara untuk dipasangkan menempati titik O yang panjangnya tidak sama. Diagonal-diagonal bingkainya. tersebut saling membagi sama panjang. AO = OC dan OB = OD. Keliling dan Luas Persegi Panjang Ø Mempunyai 2 cara untuk dipasangkan menempati AB = CD = panjang = p dan bingkainya. BC = AD = lebar = Keliling dan Luas Jajargenjang Keliling = 2 × (panjang + lebar) AB = CD = panjang = p dan BC = AD = lebar = . = 2×(p + ) DC Luas = panjang × lebar = p× t B A C. JAJARGENJANG Keliling = 2 × (panjang + lebar) Jajargenjang adalah bangun datar yang dibatasi oleh 4 buah sisi, dengan sisi-sisi yang saling ber- = 2 × (AB + AD) hadapan sama panjang dan sejajar. Sisi yang sa- ling bersebelahan tidak saling tegak lurus. Luas = panjang × tinggi = AB × t 28 Di unduh dari : Bukupaket.com
D. BELAH KETUPAT E. LAYANG-LAYANG C D Layang-layang adalah ba- D d2 B ngun datar segi empat yang d1 Belah ketupat adalah ba- dibentuk oleh dua segitiga ngun datar yang dibatasi sama kaki dengan alas yang A O C oleh 4 buah sisi yang pan- sama panjang dan berimpit. jangnya sama, sisi-sisi yang saling berhadapan sa- A B ling sejajar, dan sisi-sisinya tidak saling tegak lurus. Keterangan: Ø Mempunyai dua pasang sisi yang sama panjang: Keterangan: Ø Mempunyai 4 buah sisi yang sama panjang: AB = AD dan BC = CD. Ø Dibentuk oleh 2 buah segitiga sama kaki, yaitu: AB = BC = CD = DA. Ø Mempunyai dua pasang sisi yang saling sejajar: AB segitiga ABD dan segitiga CDB. Ø Mempunyai 4 buah sudut yang sepasang sudutnya sejajar CD dan AD sejajar BC. Ø Mempunyai 4 buah sudut dengan susut-sudut yang sama besar (∠B = ∠D) dan sepasang lainnya tidak. Ø Mempunyai 1 buah sumbu simetri lipat, yaitu AC. berhadapan sama besar: ∠A = ∠C dan ∠B = ∠D. Ø Mempunyai 2 garis diagonal yang saling berpotongan Ø Jumlah dua sudut yang berdekatan adalah 180o. tegak lurus (AC BD), tetapi panjangnya berbeda. ∠A + ∠B = ∠B + ∠C = ∠C + ∠D = ∠A + ∠D = 180o. Diagonal AC membagi diagonal BD sama panjang (OB Ø Mempunyai 2 sumbu simetri lipat dan 2 simetri putar. = OD). Ø Mempunyai 2 garis diagonal yang saling berpotongan Ø Mempunyai 2 cara untuk dipasangkan menempati bingkainya. tegak lurus (AC BD), tetapi panjangnya berbeda. Diagonal-diagonal tersebut saling membagi sama Keliling dan Luas Layang-layang panjang. AO = OC dan OB = OD. AB = AD = sisi pendek; BC = CD = sisi panjang Ø Mempunyai empat cara untuk dipasangkan menempati bingkainya. Keliling dan Luas Belah Ketupat Keliling = 2 × (AB + BC) Misalkan AB = BC = CD = AD = s Keliling = AB + BC + CD + AD = 4s Luas = 1 d1 d2 Luas = 1 d1 d2 2 2 Dengan: Dengan: d1 = diagonal 1 = AC d2 = diagonal 2 = BD dd12 = diagonal 1 = AC = diagonal 2 = BD Di unduh dari : Bukupaket.com 29
F. TRAPESIUM Dengan menggunakan (i) diperoleh: Luas jajargenjang ABCD = AB × DE Trapesium adalah segi empat dengan sepasang sisi yang berhadapan sejajar. ⇔ 96 = 12 × DE DC ⇔ DE = 96 = 8 cm 12 t B Dengan menggunakan (ii) diperoleh: Luas jajargenjang ABCD = BC × DF A ⇔ 96 = 9 × DF Jenis-jenis Trapesium a. Trapesium siku-siku ⇔ DF = 96 = 32 cm b. Trapesium sama kaki 93 c. Trapesium sembarang DE = 8 = 3 Keliling dan Luas Trapesium DF 32 4 3 Keliling = AB + BC + CD + AD 2. Diketahui belah ketupat ABCD dengan pan- jang diagonalnya masing-masing adalah AC Luas = 1 × ( AB + CD) × t = 24 cm dan BD = 18 cm. Keliling belah ketu- 2 pat tersebut adalah …. Jawab: AB dan CD merupakan dua sisi sejajar. Salah satu sifat belah ketupat adalah keem- pat sisinya sama panjang. Maka: Contoh: C AB = BC = CD = AD. 1. Jika luas luas ja- D C AB = AO2 + BO2 = 122 + 92 jargenjang 96 cm2 8 cmt F D 9 cm maka DE : DF OB 24 cm adalah …. A E 12 cm B = 144 + 81 A Jawab: = 225 = 15 cm 18 cm Luas jajargenjang ABCD = AB × DE … (i) Keliling belah ketupat Luas jajargenjang ABCD = BC × DF … (ii) = AB + BC + CD + AD = 15 cm + 15 cm + 15 cm + 15 cm = 60 cm. 30 Di unduh dari : Bukupaket.com
13 Kesebangunan dan Kekong- Besar sudut-sudut pada persegi panjang ruenan Bangun Datar ABCD dan persegi panjang PQRS. Kedua bangun tersebut merupakan ban- gun persegi panjang, sehingga setiap sudutnya merupakan sudut siku-siku. Di- A. KESEBANGUNAN BANGUN DATAR peroleh: 1. Dua Bangun Datar yang Sebangun ∠A = ∠P; ∠C = ∠R; ∠B = ∠Q; ∠D = ∠S Dengan demikian, karena kedua syarat di- Syarat: pernuhi, maka persegi panjang ABCD se- bangun dengan persegi panjang PQRS. a. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut memiliki per- 2. Dua Segitiga yang Sebangun Syarat: bandingan yang senilai. a. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian memiliki b. Sudut-sudut yang bersesuaian pada ba- perbandingan yang sama. Syarat ini dising- kat s.s.s (sisi-sisi-sisi). ngun-bangun tersebut sama besar. b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Contoh: Syarat ini disingkat sd.sd.sd (sudut-sudut- D S R sudut). C 3 cm 6 cm 6 cm 12 cm c. Dua sisi yang bersesuaian memiliki perband- ingan yang sama dan sudut bersesuaian A BP Q Perhatikan bangun persegi panjang ABCD yang diapit sama besar. Syarat ini disingkat dan bangun persegi panjang PQRS. s.sd.s (sisi-sudut-sisi). Ukuran persegi panjang ABCD dan per- Kesebangunan dinotasikan dengan “ ~ “. segi panjang PQRS. n Perbandingan panjang kedua ban- gun di atas adalah: AB PQ = 6 = 1 a. b. 12 2 n Perbandingan lebar kedua bangun di atas adalah: c. AD PS = 3 = 1 6 2 Di unduh dari : Bukupaket.com 31
Rumus: Jawab: C CD DE EC CD DE AC = AB = BC AC = AB DE 12 = DE 12 + 6 9 AB DE = 12 × 9 18 DE = 6 cm Contoh: Jadi, panjang DE adalah 6 cm. 1. Perhatikan gambar di bawah. B B. KEKONGRUENAN BANGUN DATAR BD = 4 cm dan AD = 3 cm. Panjang BC adalah .... Dua benda atau lebih yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama disebut kongruen. Kekongru- Pembahasan: enan dinotasikan dengan lambang “ “. Perhatikan gambar berikut. A C 1. Dua Bangun Datar yang Kongruen BD = 4 cm dan AD = 3 cm. Dua bangun atau lebih dikatakan kongruen jika AD = CD × BD bangun-bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut-sudut yang ber- 3 = CD × 4 sesuaian sama besar. 9 = 4CD CD = 2,25 Contoh: C R S Panjang BC adalah D 105o x BD + CD = 4 cm + 2,25 cm = 6,25 cm. 2. Diketahui panjang CD = 12 cm, AD = 6 cm, 75o 65o Q P dan AB = 9 cm. Tentukan panjang DE. A B C D E Tentukan besar sudut R. A B Perhatikan bangun trapesium ABCD dengan bangun trapesium PQRS. 32 Di unduh dari : Bukupaket.com
Jawab: a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, Agar dapat menentukan besar sudut R, terlebih disingkat s.s.s (sisi-sisi-sisi). dahulu kita buktikan bangun trapesium ABCD kongruen dengan bangun trapesium PQRS. b. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi Bukti: tersebut sama besar, disingkat s.sd.s (sisi- sudut-sisi). Berdasarkan gambar diperoleh keterangan bah- c. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan wa panjang: BC = PS satu sisi yang bersesuaian sama panjang, AB = PQ CD = RS disingkat sd.s.sd (sudut-sisi-sudut). AD = QR Panjang sisi-sisi pada bangun trapesium ABCD ternyata sama panjang atau bersesuaian dengan Contoh: panjang sisi-sisi bangun trapesium PQRS. Perhatikan gambar di bawah. Jika ∆ABC dan Jadi, terbukti jika bangun trapesium ABCD kong- ∆PQR kongruen, panjang sisi PR adalah.... ruen dengan bangun trapesium PQRS, atau: R Trapesium ABCD trapesium PQRS. C 10 cm Berdasarkan sifat-sifat kekongruenan yang ber- QB laku maka: 6 cm 7 cm ∠A = ∠Q = 75° ∠B = ∠P = 65° A ∠C = ∠S = 105° ∠D = ∠R P Pada trapesium berlaku jumlah besar keempat sudutnya adalah 360°. Jawab: Diketahui ∆ABC dan ∆PQR kongruen. Dengan demikian, ∠C = ∠R ∠D = 360° – (105° + 65° + 75°) = 360° – 245° ∠A = ∠Q Dengan demikian, ∠B = ∠P = 115° Sehingga: BC = PR = 10 cm Jadi, besar sudut ∠D adalah 115°. AC = QR = 6 cm AB = PQ = 7 cm 2. Dua Segitiga yang Kongruen Panjang sisi PR adalah 10 cm Bila dua buah segitiga kongruen maka dua segi- tiga tersebut dapat saling menutupi secara tepat. Dua buah segitiga dikatakan kongruen bila me- menuhi syarat-syarat berikut. Di unduh dari : Bukupaket.com 33
14 Lingkaran dan Garis B. KELILING DAN LUAS LINGKARAN Singgung Lingkaran Keliling lingkaran: K = 2pr = pd A. UNSUR-UNSUR LINGKARAN Luas lingkaran: L = pr2 = 1 pd2 Juring B 4 D Keterangan: p = 22 atau p = 3,14 . 7 dOr E Contoh: Pada gambar di bawah ini, panjang diameter Apotema Tembereng lingkaran besar adalah 28 cm. Keliling lingkaran yang diarsir adalah …. A Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang Jawaban: dise-but titik pusat lingkaran. Unsur-unsur pada lingkaran adalah sebagai berikut. Ø Titik O disebut pusat lingkaran Ø Garis OA = OB = OD disebut jari-jari lingkaran dan 14 cm 14 cm dilambangkan dengan r. 28 cm Ø Garis AB disebut diameter dan dilambangkan dengan d. bkeecsial:r:dd2 1==1248cmcm. . Diameter lingkaran Ø Garis lurus AD disebut tali busur. Diameter lingkaran Ø GdilaarmisbleannggkkuanngdeAnDgadnanABDDddaisnebBuDt busur dan . Keliling daerah yang diarsir Ø Garis OE disebut apotema. 1 Ø Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur = 2 × K besar + K kecil disebut juring. Misalnya: BOD. Ø Daerah yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur 1 1 22 22 ×14 2 2 7 7 disebut tembereng. Pada gambar, tembereng adalah = × pd1 + pd2 = × × 28 + daerah yang diarsir. = 44 + 44 = 88 cm2 34 Di unduh dari : Bukupaket.com
C. PANJANG BUSUR DAN LUAS JURING X C ∠AOD A Y ∠ACB , ∠AXB , dan ∠AYB 360o menghadap busur yang sama, Panjang busur AD = × keliling lingkaran O yaitu busur AB. Jadi Luas juring AOD = ∠AOD × luas lingkaran ∠ACB = ∠AXB = ∠AYB 360o B Luas tembereng = L.juring AOD – L. ∆ AOD Contoh: Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, A D AC adalah diameter dan luas juring. O C lingkaran. Jika besar ∠CBD = 20o maka besar ∠AOD = panjang busur AD = luas juring AOD ∠AOD adalah .… 360o keliling lingkaran luas lingkaran Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, B dan luas juring. ∠AOD = panjang busur AD = luas juring AOD Jawab: ∠BOD panjang busur BD luas juring BOD ∠COD dan ∠CBD menghadap busur yang sama, yaitu CD, di mana ∠COD sudut pusat dan ∠CBD D. SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING sudut keliling. Maka: ∠COD = 2 × ∠CBD = 2 × 20o = 40o. Besar sudut pusat adalah dua kali besar sudut ∠COD dan ∠AOD saling berpelurus, maka: keliling yang menghadap busur yang sama. Pada gambar, AOB adalah ∠COD + ∠AOD = 180o A C sudut pusat dengan sudut kel- 40o + ∠AOD = 180o ∠AOD = 140o ilingnya salah satunya adalah O ACB. Hubungan sudut pusat dan sudut keliling dapat dituliskan: E. SEGI EMPAT TALI BUSUR DAN SUDUT AN- TARA DUA TALI BUSUR B ∠AOB = 2 × ∠ACB Segi empat tali busur adalah segi empat yang di- Besar dua sudut keliling yang menghadap busur batasi oleh empat tali busur di mana keempat titik yang sama adalah sama. sudutnya terletak pada lingkaran. Di unduh dari : Bukupaket.com 35
Pada segi empat tali busur, jumlah dua sudut 2. Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Ling- yang berhadapan adalah 180o. karan A D C rC B 1 r1 − r2 r2 OF O O B AB disebut garis singgung persekutuan luar A dua lingkaran O dan P dan panjangnya: ∠A + ∠C = 180o AB = OP2 - (r1 - r2 )2 ∠B + ∠D = 180o G. LINGKARAN DALAM DAN LINGKARAN LUAR Pada gambar di atas, AB dan DC diperpanjang SEGITIGA sehingga berpotongan di titik E, maka: 1. Lingkaran Dalam Segitiga ∠BEC = ∠AED = 1 × (∠AOD - ∠BOC) C 2 F. GARIS SINGGUNG LINGKARAN Garis singgung lingkaran adalah garis yang bF rd O Ea memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari yang melalui titik singgungnya. rd A DB 1. Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Ling- c karan C r1 A r1 + r2 Misalkan panjang jari-jari dari lingkaran dalam segitiga ABC adalah rd,AB = c, BC = a, AC = b O rO rd = Luas ∆ABC B2 s AB disebut garis singgung persekutuan dalam Dengan: dua lingkaran O dan P dan panjangnya: Luas ∆ABC = s(s - a)(s - b)(s - c) AB = OP2 - (r1 + r2 )2 s = 1 × (a + b + c) 2 36 Di unduh dari : Bukupaket.com
2. Lingkaran Luar Segitiga Misalkan panjang jari-jari dari lingkaran 15 Bangun Ruang dalam segitiga ABC adalah rL, maka C b rL a rL = a×b×c A rL 4 × Luas ∆ABC O A. KUBUS rL HG B c Kubus adalah suatu bangun E ruang yang dibatasi oleh Contoh: enam buah bidang sisi yang F DC Luas daerah yang diarsir adalah . . . . kongruen berbentuk persegi. A B (p = 3,14). 12 cm 16 cm Keterangan: Ø Mempunyai 8 buah titik sudut, yaitu: A, B, C, D, E, F, G, Jawab: Panjang sisi miring segitiga di dalam lingkaran: dan H. Ø Mempunyai 6 buah sisi yang kongruen berbentuk 162 + 122 = 256 + 144 = 400 = 20 persegi, yaitu: ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan Untuk mencari jari-jari lingkaran luar segitiga EFGH. Ø Mempunyai 12 buah rusuk yang sama panjang, yaitu: dapat digunakan cara berikut. AB, BC, CD, AD, BF, CG, AE, DH, EF, FG, GH, dan HE. Ø Mempunyai 12 buah diagonal sisi (bidang) yang sama panjang, yaitu: AC, BD, BG, CF, CH, DG, AH, DE, EG, dan FH. Ø Mempunyai 4 buah diagonal ruang, yaitu: HB, DF, CE, dan AG. R = abc = 16.12.20 = 10 Luas dan Volume Kubus 4L∆ 4. 1.16.12 Pada kubus dengan rusuk s, maka: 2 Luas permukaan: L = 6s2 Volume: V = s3 Jadi, jari-jari lingkaran luar segitiga adalah 10 cm. Luas segitiga = 1 ×12 ×16 = 96cm2 Rumus-rumus pada kubus: Jumlah panjang rusuknya = 12s 2 Panjang diagonal sisi = s 2 Panjang diagonal ruang = s 3 Luas lingkaran = 3,14 × 10 × 10 = 314 cm2. Luas daerah yang diarsir = 314 – 96 = 218 cm2. Di unduh dari : Bukupaket.com 37
B. BALOK C. PRISMA H G Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh E F t 2 buah bidang berbentuk segi banyak sejajar C D l serta dibatasi oleh sisi-sisi tegak yang berbentuk Ap B segi empat. Macam-macam prisma. 1. Prisma segitiga (gambar 1). Balok adalah suatu bangun ruang yang dibatasi 2. Prisma segi empat (gambar 2). oleh 6 buah persegi panjang yang terdiri dari 3 3. Prisma segi-n (gambar 3 – prisma Isegi-5). pasang persegi panjang yang kongruen. F H G J H Keterangan: D EE F F G Ø Mempunyai 8 buah titik sudut, yaitu: A, B, C, D, E, F, G, C D C ED C dan H. A BA B A B Ø Mempunyai 6 buah sisi yang berbentuk persegi panjang (1) (12) (3) yang terdiri dari 3 pasang persegi panjang yang kongruen, yaitu: ABCD dan EFGH, ABFE dan CDHG, Luas dan Volume Prisma serta BCGF dan ADHE. Ø Mempunyai 12 buah rusuk yang dikelompokkan menjadi Luas permukaan: L = (2 L.alas) + L. sisi tegak 3 kelompok rusuk-rusuk yang sama dan sejajar, yaitu: Volume: V = luas alas tinggi AB = CD = EF = GH = panjang = p, D. LIMAS BC = AD = FG = EH = lebar = , Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh AE = BF = CG = DH = tinggi = t. sebuah alas berbentuk segi-n dan sisi sam-ping Ø Mempunyai 12 buah diagonal sisi (bidang), yaitu: AC, berupa segitiga yang bertemu di satu titik. BD, BG, CF, CH, DG, AH, DE, EG, dan FH. T Ø Mempunyai 4 buah diagonal ruang yang sama panjang, yaitu: HB, DF, CE, dan AG. Luas dan Volume Balok Luas permukaan: Dt C L = 2 × ((p × )+(p × t)+( × t)) A E B Volume: V = p × × t Jumlah panjang rusuknya = 4 (p + + t) Panjang diagonal sisi depan = p2 + t2 Panjang diagonal sisi samping = 2 + t2 Panjang diagonal sisi alas = p2 + 2 Panjang diagonal ruang = p2 + 2 + t2 38 Di unduh dari : Bukupaket.com
Luas dan Volume Limas F. KERUCUT Luas permukaan: L = L.alas + L.sisi miring T Volume: V = 1 × (luas alas × tinggi) Kerucut adalah bangun ruang 3 s berbentuk limas dengan alas- t nya berbentuk lingkaran. E. TABUNG A Or B r Tabung adalah bangun ruang Keterangan: berbentuk prisma tegak ber- t aturan yang alas dan tutupnya Ø Mempunyai 2 buah bidang sisi, yaitu bidang alas dan berupa lingkaran. bidang lengkung yang disebut selimut kerucut. Ø Mempunyai sebuah rusuk dan sebuah titik sudut Ø Tinggi kerucut adalah jarak antara puncak kerucut dengan titik pusat lingkaran alas. d Luas dan Volume Kerucut Keterangan: Diketahui s = r2 + t2 , maka: Ø Mempunyai 3 buah bidang sisi, yaitu bidang alas, bidang Luas permukaan: tutup, dan sisi tegak. Luas = luas alas + luas selimut Ø Bidang alas dan bidang tutup berbentuk lingkaran. Ø Sisi tegak berupa bidang lengkung dan disebut selimut = pr2 + prs =pr(r + s) tabung. Volume: V = 1 × luas alas × tinggi = 1 pr2t Ø Mempunyai 2 buah rusuk. 33 Ø Tinggi tabung adalah jarak antara titik pusat lingkaran G. BOLA alas dengan titik pusat lingkaran tutup. Ø Jari-jari lingkaran alas dan tutup besarnya sama. Luas dan Volume Tabung Luas permukaan: Bola adalah bangun ruang Luas = 2.luas alas + luas selimut r yang dibatasi oleh sebuah = 2pr2 + 2prt bidang sisi yang berbentuk =2pr(r + t) lengkung. Volume: V = luas alas × tinggi = pr2t Keterangan: ØØ TMideamkpmuneymapi suenbyuaai rhubsuidkadnagnsitsidi aleknmgkeumnpgu. nyai titik sudut. Ø Jari-jari bola adalah r. Di unduh dari : Bukupaket.com 39
Luas dan Volume Bola 2. Sebuah aquarium berbentuk tabung tanpa tutup dengan panjang jari-jari alas 14 cm Luas permukaan: L = 4pr2 dan tinggi 100 cm. Jika aquarium terbuat dari Volume: V = 4 pr3 kaca, luas kaca yang diperlukan untuk mem- buat aquarium adalah .... 3 Jawab: Diketahui aquarium terbuat dari kaca. Contoh: Luas kaca yang diperlukan untuk membuat aquarium adalah luas selimut + luas alas 1. Diketahui sebuah prisma tegak yang alasnya tabung. Diperoleh: berbentuk belah ketupat dengan panjang di- = 2prt + pr2 agonal 24 cm dan 10 cm. Jika luas permu- kaan prisma 1.020 cm2, volume prisma terse- = 2 . 22 . 14 . 100 + 22 . 142 but adalah . . . cm3. 77 Jawab: Luas alas prisma = luas tutup prisma yaitu: = 8.800 + 616 1 × 24 ×10 = 120 cm2 = 9.416 2 Jadi, luas kaca yang diperlukan 9.416 cm2. Panjang sisi belah ketupat 3. Kawat sepanjang 10 m akan dibuat model 1 2 1 2 kerangka balok yang berukuran 5 cm × 4 cm 2 2 = × 24 + × 10 = 122 + 52 × 3 cm. Banyak model kerangka balok yang dapat dibuat adalah …. = 144 + 25 = 169 = 13 cm Jawab: Misalkan tinggi prisma dilambangkan t. Panjang kawat yang dibutuhkan untuk mem- Dengan demikian: 2 . 120 + 4 . 13 . t = 1.020 bentuk satu balok 240 + 52t = 1.020 = 5 cm (4) + 4 cm (4) + 3 cm (4) 52t = 780 t = 15 = 20 cm + 16 cm + 12 cm Volume prisma tersebut = 120 . 15 = 1.800 = 48 cm = 0,48 m = 0,5 m cm3. Sedangkan kawat yang tersedia sepanjang 10m. Jadi dari kawat tersebut dapat dibentuk mo- del balok sebanyak: 10 = 20 0,5 40 Di unduh dari : Bukupaket.com
16 Statistika dan Contoh: Peluang 1. Di bawah ini adalah nilai ulangan matematika dari 30 siswa SMP. 5987554668 9876655984 5598877667 A. Statistika Tabel Frekuensi Nilai Matematika Siswa SMP Statistik adalah pengetahuan yang berhu- bungan dengan cara-cara pengumpulan Nilai Turus Frekuensi data, pengolahan data, penyajian data, dan 4 penarikan kesimpulan berdasarkan kumpul- 5 II 2 an data yang dilakukan. 6 7 IIII II 7 Data adalah suatu informasi yang diperoleh 8 dari pengamatan atau penelitian. 9 IIII I 6 Macam-macam data. IIII 5 1. Data kuantitatif adalah data berupa angka. IIII I 6 Contoh: data nilai matematika siswa SMP. 2. Data kualitatif adalah data yang berhubungan IIII 4 dengan kategori yang berupa kata-kata (bukan Jumlah 30 angka). Contoh: data tentang warna favorit. 2. Misalnya, data berat badan 40 siswa sebagai 1. Penyajian Data berikut. Data dapat disajikan dengan: a. Tabel Frekuensi Tabel berat badan 40 siswa b. Diagram Batang c. Diagram Garis No. Berat Badan Banyak Siswa d. Diagram Lingkaran e. Piktogram 1. 28 kg 5 2. 29 kg 15 3. 30 kg 6 4. 31 kg 10 5. 32 kg 4 Jumlah 40 Bentuk penyajian data dengan diagram batangnya seperti berikut. Di unduh dari : Bukupaket.com 41
Diagram Batang Olahraga = 15 × 360o = 135o. olahraga menyanyi 40 10 Banyak Siswa 20 15 15 Menyanyi = 10 × 360o = 90o. 40 menari 10 6 Belajar = 10 × 360o = 90o. belajar 5 5 40 4 10 Menari = 5 × 360o = 45o. 28 29 30 31 32 40 Berat Badan (kg) Diagram Garis Banyak Siswa Piktogram 20 Piktogram adalah diagram yang disajikan dalam 15 bentuk gambar atau lambang. 10 Contoh: 6 5 Nilai Frekuensi 4 4 ☺☺ 28 29 30 31 32 5 ☺☺☺☺☺☺☺ Berat Badan (kg) 6 ☺☺☺☺☺☺ 7 ☺☺☺☺☺ 8 ☺☺☺☺☺☺ 9 ☺☺☺☺ Jumlah ☺ = mewakili 10 orang Diagram Lingkaran b. Ukuran Pemusatan data 1) Mean ( x ) atau rata-rata Perhatikan tabel frekuensi yang menyatakan Rata - rata = jumlah nilai data hobi dari 40 siswa SMP berikut. banyaknya data Tabel Frekuensi Hobi 40 Siswa SMP Hobi Frekuensi Contoh: Olahraga 15 Tabel di bawah ini menyatakan nilai ulangan Menyanyi 10 matematika. Menari 5 Belajar 10 Nilai Jumlah Siswa Jumlah 40 53 42 Di unduh dari : Bukupaket.com
68 Contoh: 7 12 Diberikan data sebagai berikut. 2, 4, 4, 5, 9, 8, 7, 4, 6, 3 8 10 Jawab: Data setelah diurutkan: 97 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Banyak siswa yang mendapat nilai kurang dari Diketahui n = 10. Karena n = 10 genap, maka: nilai rata-rata adalah .... Jawab: x10 + x10 +1 Rata-rata nilainya adalah: Me = 2 2 (5 × 3) + (6 × 8) + (7 ×12) + (8 ×10) + (9 × 7) = x5 + x6 = 4 + 5 = 4,5 3 + 8 + 12 + 10 + 7 2 22 = 15 + 48 + 84 + 80 + 63 b) Kuartil (Q) adalah aturan membagi data 40 menjadi 4 bagian. 290 QQQ231 = 40 = 7,25 = kuartil pertama (bawah) = kuartil kedua (median) Banyak siswa yang mendapat nilai kurang dari = kuartil ketiga (atas) nilai rata-rata atau < 7,25 adalah Contoh: 12 + 8 + 3 = 23 orang. 456789 2) Modus (Mo) Q1 Q2 Q3 Modus (Mo) adalah data yang paling sering muncul atau data yang memiliki frekuensi ter- Q2 = Me = 6 +7 = 6,5 besar. 2 3) Median dan Kuartil c. Ukuran Penyebaran Data a) Median (Me) adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan. Jangkauan data (range) Data ganjil: Me = xn+ 1 Range = data terbesar – data terkecil 2 + xn + 1 Jangkauan kuartil (hamparan) 2 Data genap: xn 2 H = Q – Q Me = 2 3 1 Di unduh dari : Bukupaket.com 43
B. Peluang a. Membuat tabel 1. Ruang Sampel dan Titik Sampel Mata uang ke- Titik Percobaan adalah usaha yang memun- 1 2 sampel culkan kemungkinan-kemungkinan ter- tentu. A A AA Ruang sampel adalah himpunan semua A G AG hasil yang mungkin terjadi dari suatu per- G A GA cobaan. G G GG Titik sampel adalah semua anggota ru- A = muncul angka dan G = muncul gambar ang sampel. Misalkan, titik sampel AA berarti uang ke-1 Banyaknya anggota ruang sampel dino- tasikan dengan n(S). muncul angka dan uang ke-2 muncul angka. Contoh: Ruang sampelnya adalah Pada percobaan melempar sebuah dadu, di- S = {AA, AG, GA, GG} dan n(S) = 4. peroleh: n Titik sampelnya adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. b. Membuat diagram pohon n Himpunan ruang sampel, yaitu: A A → AA S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} à n(S) = 6. G → AG Menentukan Ruang Sampel Suatu Percobaan G A → GA G → GG Untuk menentukan ruang sampel suatu perco- baan dapat dilakukan dengan cara: Ruang sampelnya adalah a. membuat tabel, S = {AA, AG, GA, GG} dan n(S) = 4. b. membuat diagram pohon. 2. Peluang Suatu Kejadian Contoh: Peluang suatu kejadian adalah perbandin- Suatu percobaan melempar dua uang logam yang sama dilakukan bersama-sama. Ruang gan antara banyaknya kejadian yang diamati sampelnya dapat ditentukan dengan cara seb- agai berikut. dengan banyaknya kejadian yang mungkin. Rumus: P(A) = n(A) n(S) Keterangan: P(A) = nilai peluang munculnya kejadian A. n(A) = banyaknya kejadian A. 44 Di unduh dari : Bukupaket.com
Diketahui adalah kejadian yang bukan 3. Frekuensi Harapan (Ekspektasi) merupakan kejadian A, maka: Misalkan A adalah sebuah kejadian pada ruang P(A) + P( ) = 1 sampel S dari suatu percobaan. Jika percobaan tersebut dilakukan sebanyak n kali, maka frekue- Contoh: nsi harapan kejadian A atau E(A) dari n kali per- cobaan dirumuskan: Pada pelemparan 3 buah mata uang secara E(A) = n × P(A) bersamaan, peluang munculnya 2 angka dan 1 Keterangan: mgJUpaaanewmrtmauabnkbbautr:miagateaddnaibealaunghatruah…kmam.npaotrhauoaunna.gnAgs,aGmdAilpaGGeAAklukdaanr→→→→i dpAAAAeenGGAAlegGAGAman- E(A) = frekuensi harapan A P(A) = nilai peluang munculnya kejadian A Contoh: A A A → AAA G A A → GAA Andi melempar koin sebanyak 100 kali. Frekuensi G → AAG G → GAG A G A harapan munculnya angka adalah …. G G → AGA G → GGA Jawab: → AGG → GGG Pada pelemparan koin, ruang sampelnya adalah SRnM(u=iSsaa){nAl=GkgAa8AsnGAa, AmAAGGAApG=e,lknAeyG→→j→→aaAda,GGGGidAaGGAAaGnlGAGAaGmh,uGnAcAu,lnGyAaG2, GGA, GGG} S = {A, G}. angka dan n(S) = 2 n(A) = 1 1 gambar. n = 100 kali. Peluang munculnya angka: A = {AAG, AGA, GAA}, maka n(A) = 3. P(A) = n(A) = 1 n(S) 2 Jadi, peluang munculnya 2 angka dan 1 gambar pada pelemparan 3 buah mata uang secara ber- Frekuensi harapan munculnya angka: samaan adalah P(A) = n(A) = 3 . E(A) = n × P(A) = 100 × 1 = 50 n(S) 8 2 Di unduh dari : Bukupaket.com 45
17 Pola Bilangan 7. Pola bilangan segitiga Pascal A. PENGERTIAN POLA BILANGAN 1 11 Pola bilangan adalah aturan terbentuknya se- 12 1 buah kelompok bilangan dengan suatu aturan 133 1 yang telah diurutkan. 1. Pola bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5,… 146 4 1 Pola bilangan: n, n bilangan asli Pola bilangan: 2n–1, n bilangan asli. 2. Pola bilangan genap: 2, 4, 6, 8,… B. BARISAN DAN DERET Pola bilangan: 2n, n bilangan asli. 3. Pola bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7,… 1. Aritmatika Barisan aritmatika adalah barisan bilangan Pola bilangan: 2n –1 , n bilangan asli. yang mempunyai beda suku yang berde-ka- 4. Pola bilangan persegi: 12, 22, 32, 42,… tan sama. Deret arimatika merupakan jumlah suku-su- Pola bilangan: n2, n bilangan asli. ku pada barisan aritmatika. 5. Pola bilangan segitiga: 1, 3, 6, 10,… Beda = U2 – U1 = U3 – U2 = … = Un – Un–1 Suku ke-n barisan dan jumlahan n suku deret Pola bilangan: 12 n(n + 1), n bilangan asli. aritmatika dicari dengan rumus: 6. Pola bilangan persegi panjang: 2, 6, 12, … Un = a + (n – 1)b Pola bilangan: n(n + 1), n bilangan asli. Sn = 1 (U1 + Un ) atau Sn = 1 (2a + (n - 1)b) 2 2 Keterangan: a = suku pertama b = beda Un = suku ke-n, dengan n = 1, 2, 3, …. Sn = jumlah n suku bilangan, dengan n = 1, 2, 3, …. 2. Geometri Barisan geometri adalah suatu barisan bi- langan yang mempunyai rasio suku yang berdekatan sama. Deret geometri merupakan jumlah suku-suku pada barisan geometri. 46 Di unduh dari : Bukupaket.com
Rasio = U2 = U3 = ... = Un . U1 U2 Un-1 18 Bilangan Berpangkat Suku ke-n barisan dan jumlah n suku geome- dan Bentuk Akar tri dicari dengan rumus: Un = arn – 1 Sn = a(rn - 1) , untuk r > 1 A. Bilangan Berpangkat r -1 a(1- rn ) , untuk r < 1 Definisi: an = a × a × ... × a 1- r Sn = n faktor Keterangan: 1. Bilangan Berpangkat Sebenarnya a = suku pertama; r = rasio Bilangan berpangkat sebenarnya adalah bi- langan yang diperoleh dengan melakukan Contoh: perkalian berulang. Contoh: 83, 108, 122. 1. Diketahui pola bilangan 2, 6, 10, 14, …. Rumus suku ke-n dari pola bilangan tersebut adalah …. 2. Bilangan Berpangkat Tak Sebenarnya Jawab: Bilangan berpangkat tak sebenarnya adalah Diketahui suku pertama: a = 2 bilangan berpangkat yang tidak dapat di- Beda: b = 6 – 2 = 10 – 6 = 4 peroleh dengan perkalian berulang. Rumus suku ke-n adalah 31 Un = a + (n - 1)b = 2 + (n - 1)4 = 4n - 2 Contoh: 2–5, 642 , 62 , 70. 2. Suku ke-10 dari barisan 512, 256, 128, … adalah .… Sifat-sifat perpangkatan bilangan. Jawab: 1. (a × b)p = ap + bp Dari barisan tersebut diperoleh a = 512 dan 2. ap × bq= ap + q r = U2 = 256 = 1 , maka: 3. ap : aq = ap – q 4. (ap)q = apq U1 512 2 5. a0 = 1, dengan a adalah bilangan real. ( )U10 = ar10-1 = 512. 12 9 = 1 0a = 0 00 = tidak terdefinisikan Di unduh dari : Bukupaket.com 47
Catatan: tidak dapat dinyatakan ke dalam bentuk a (–a)p = ap, untuk p bilangan genap, b (–a)p = –(ap), untuk p bilangan ganjil, dengan a, b merupakan anggota bilangan ( )a-p = 1 bulat, dan b ≠ 0. Contoh: 3, 7, 5 . Bentuk ap bilangan seperti 3, 7, 5 disebut bentuk akar. Contoh: Sifat-sifat bentuk akar seperti berikut. Hasil dari 8–5 × 8–2 adalah.... 1. ab = a × b , dengan a dan b Jawab: Menggunakan sifat pemangkatan: merupakan bilangan real positif. 8–5 × 8–2 = 8–5 + (–2) = 8–7 Contoh: 21 = 7 × 3 . B. Bentuk Akar 2. a = a , dengan a ≥ 0 dan b > 0. b b 1. Bilangan Rasional Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat Contoh: 2 = 2 = 2 = 1 . dinyatakan ke dalam bentuk a dengan a, b 6 6 3× 2 3 b merupakan anggota bilangan bulat, dan b ≠ 0. Operasi aljabar pada bentuk akar Contoh: - 1, 3 , 9 . Sifat-sifat yang berlaku 252 mempunyai sifat-sifat seperti berikut. pada bilangan bulat berpangkat bilangan 1. a c + b c = (a + b) c , dengan a, b, c bulat berlaku juga pada bilangan rasional bilangan real dan c ≥ 0. berpangkat bulat. 2. a c - b c = (a - b) c , dengan a, b, c Contoh: bilangan real dan c ≥ 0. 4 3 = 64 5 125 3. a c × b d = (ab) cd , dengan a, b, c, d bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0. 2. Bilangan Irasional 4. c a = c a , dengan a, b, c, d bilangan Bilangan irasional adalah bilangan yang d b d b real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0. 48 Di unduh dari : Bukupaket.com
Bentuk akar a dapat dirasionalkan 2- 3 = a+b 6 dengan a dan b b 2+ 3 2. Jika dengan cara: bilangan bulat, maka a + b = .... a = a b = a b b b × b b Jawab: c Diketahui 2- 3 = a+b 6 a+ b 2+ 3 Bentuk akar Sekawan penyebut a + b adalah. dengan a dan b bilangan bulat. ( )c c a- b c a- b Bentuk rasional dari 2 - 3 adalah: a+ a- b a-b 2+ 3 a+ b= b× = 2- 3 = 2- 3× 2- 3 2+ 3 2+ 3 2- 3 Catatan: Bila penyebutnya adalah a - b , maka bentuk 2 sekawannya adalah a + b . 2- 3 ( ) ( )2 2- 3 == 2-3 -1 ( ) ( )2 = - 2- 3 = - 2-2 6 -3 = 1+ 2 6 Nilai a + b = 1 + 2 = 3. Contoh: 1. Hasil dari 108 + 12 - 48 adalah .... Jawab: 108 + 12 - 48 = 36 × 3 + 4 × 3 - 16 × 3 = 6 3+2 3 -4 3= 4 3 Di unduh dari : Bukupaket.com 49
Search
