หลักการนับเบื้องต้น

หลกั การนับเบอ้ื งตน้ 2+ จัดทาํ โดย นางสาวกมลวรรณ เจนเขตรการณ์ เลขที่ 23 ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 5/1 เสนอ อาจารย์ นงลกั ษณ์ อ่าํ สุพรรณ รายงานนเ้ี ปน็ สว่ นหนงึ่ ของวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ค30202 ภาคเรียนท่ี 2 ปกี ารศึกษา 2564 โรงเรียนตลกุ ดวู่ ทิ ยาคม

คาํ นํา รายงานฉบบั นเ้ี ปน็ ส่วนหนง่ึ ของวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่5 จดั ทาํ เน้อื หาความรู้เร่อื ง หลักการนบั เบื้องต้น เพ่ือเปน็ ประโยชนต์ อ่ การศึกษาหาก =4 ผิดพลาดประการใดผจู้ ดั ทําขออภัยไว้ ณ ทน่ี ้ีดว้ ย MATH ผจู้ ัดทํา นางสาว กมลวรรณ เจนเขตรการณ์ เลขท่ี 23

สารบัญ หน้า เรอื่ ง 1-6 หลักการบวกและหลักการคณู 7-15 การเรยี งสับเปลย่ี น 16-17 การจดั หมู่ส่ิงของท่แี ตกต่างกนั ทง้ั หมด 18-19 ทฤษฎีบทวินาม

หลกั การนับเบื้องตน้

หลกั การบวก (Addition Principle) ถา้ ตอ้ งการทาํ งานสองอยา่ งโดยทง่ี านอยา่ งแรกทาํ ได้ n1 วธิ ี งานอยา่ งทส่ี องได้ n2 วธิ ี และงานทั้งสองอย่างที่ไม่สามารถทําพร้อมๆกันได้แล้วจํานวนวิธีท่ีจะเลือกทํางาน ทั้งหมดจะเทา่ กบั n1 + n2 วธิ ี ดงั นั้นถ้ามงี านมากกวา่ 2 งาน สมมุตวิ ่าเปน็ t1, t2, ........ tn ทส่ี ามารถทําได้ n1, n2, ....... nn วธิ ี จํานวนวิธที ่จี ะเลือกทํางานจากงานท้งั หมดเท่ากับ n1 + n2 + ........ nn 1

ตวั อย่างท่ี 1 นักศึกษาสามารถท่ีจะเลือกทําโปรเจ็คคอมพิวเตอร์ได้จาก 3 หัวข้อหลักและแต่ละ หวั ขอ้ ประกอบดว้ ยหวั ขอ้ ยอ่ ย 23 15 และ 19 ตามลาํ ดบั ดง้ั นนั้ จะมโี ปรเจคทงั้ หมด ทนี่ ักศึกษาสามารถเลือกทําไดก้ ห่ี วั ขอ้ วธิ ีทาํ 23 หวั ข้อ 12345 นักศึกษาสามารถเลือกทาํ โปรเจค 15 หัวขอ้ 2+5 จากหวั ขอ้ แรกได้ 19 หวั ขอ้ จากหัวขอ้ ทสี่ องได้ จากหวั ขอ้ ทสี่ ามได้ ดงั นัน้ 23 + 15 + 19 = 57 หวั ขอ้ นักศึกษามีหวั ข้อโปรเจ็คใหเ้ ลอื กไดท้ ้งั หมด   2

ตัวอย่างท่ี 2 หนงั สอื กองหนง่ึ มหี นงั สอื คณติ ศาสตรท์ แ่ี ตกตา่ งกนั 5 เลม่ หนงั สอื เคมที แ่ี ตกตา่ งกนั 4 เลม่ และหนงั สอื วชิ าภาษาไทยทแ่ี ตกตา่ งกนั 3 เลม่ จงหาจาํ นวนวธิ ที ห่ี ยบิ หนงั สอื 1 เลม่ จากหนังสือกองน้ี วธิ ีทํา การหยบิ หนงั สอื 1 เลม่ จากกองหนงั สอื นมี้ วี ธิ กี าร 3 วธิ ี คอื หยบิ หนงั สอื คณติ ศาสตร์ หรือหยิบหนังสือเคมหี รอื หยิบหนงั สือภาษาไทยโดยท่ี วธิ ีในการหยบิ หนงั สือคณติ ศาสตรม์ ี 5 วธิ ี วธิ ีในการหยิบหนังสือเคมมี ี 4 วธิ ี วธิ ีในการหยบิ หนังสือภาษาไทยมี 3 วธิ ี ดังนั้น จะมวี ธิ ีในการหยิบหนังสือ1เลม่ จากหนังสือกองน้ี 5+4+3= 12 วิธี 3

หลักการคูณ (Multiplication Principle) ถ้าตอ้ งการการทาํ งาน 2 อยา่ งโดยทง่ี านอยา่ งแรกทาํ ได้ n1 วธิ แี ละในแตล่ ะวธิ ที เี่ ลอื ก ทํางานอย่างแรกนี้ มีวิธีที่ทํางานอย่างที่ 2 ได้ n2 วิธี จํานวนวิธีที่จะเลือกทํางาน ทัง้ สองอย่างเทา่ กบั n1 x n2 วิธี ดังนน้ั ถา้ เราตอ้ งทาํ งาน k อยา่ งโดยทง่ี านอยา่ งแรกมที างเลอื ก ทาํ ได้ n1 แบบ และในแตล่ ะแบบกเ็ ลอื กทาํ งานอยา่ งทีส่ องได้ n2 แบบและในแตล่ ะแบบ ... (ไปเรอื่ ยๆ) จะมี จํานวนวธิ ีเลือกทาํ งาน จนครบทุกอย่างเทา่ กบั n1 x n2 x ...... nk วิธี 4

ตวั อย่างที่ 1 โรงเรียนแห่งหนึ่งจัดอาหารกลางวันโดยให้นักเรียนเลือกอาหารคาวและขนมได้ หนึ่งอย่าง ถ้าโรงเรียนจัดอาหารคาว 4 อย่างและขนม 3 อย่าง นักเรียนจะมีวิธี เลือกทานอาหารกลางวนั ไดท้ ั้งหมดก่วี ิธี วิธีทํา การเลอื กอาหารกลางวนั จะตอ้ งเลอื กอาหารคาว 1 อยา่ งจาก 4 อยา่ งและ เลอื กขนม 1 อยา่ งจากขนม 3 อยา่ งดงั นน้ั การเลอื กอาหารกลางวนั เปน็ การทาํ งาน 2 อยา่ งโดยที่ มีวธิ ีในการเลอื กอาหารคาวได้ 4 วธิ ี และแต่ละวธิ ที ่เี ลอื กอาหารคาวจะเลือกขนมหวานได้อกี 3 วิธี ดังนัน้ 3 × 4 = 12       วิธี จาํ นวนวธิ ที ้งั หมดทีจ่ ะเลอื กอาหารกลางวันเท่ากบั   5

ตัวอยา่ งท่ี 2 การโยนเหรียญบาท 1 เหรยี ญ เหรียญอาจขน้ึ หัวหรอื ก้อยก็ได้ ถา้ ชายคนหนึ่งโยน เหรยี ญบาท 3 เหรียญพร้อมกนั 1 คร้งั จะได้ผลต่างๆ กันท้งั หมด กว่ี ิธี วธิ ที ํา การทาํ งานในกรณนี ้ี คอื การโยนเหรยี ญ 3 เหรยี ญ พรอ้ มกนั 1 ครง้ั มกี ารทาํ งาน 3 ขน้ั ตอนดงั นี้ ขน้ั ตอนท่ี 1 การโยนเหรยี ญอันท่ี 1 จะเลือกได้ 2 วธิ ีคอื หัวหรือกอ้ ย ข้นั ตอนท่ี 2 ในแตล่ ะวธิ ที โ่ี ยนเหรยี ญอนั ท่ี 1 เหรยี ญอนั ท่ี 2 จะเลอื กไดอ้ กี 2 วธิ ี ข้นั ตอนที่ 3 ในแต่ละวิธีที่โยนเหรียญอันท่ี 1 และ โยนเหรียญอันที่ 2 เหรียญ ดังนั้น อันท่ี 3 จะเลือกได้อีก 2 วิธี ชายคนนโี้ ยนเหรยี ญบาท 3 เหรยี ญ พรอ้ มกนั 1 ครง้ั 2 ×2 ×2 = 8 วธิ ี จะได้ผลต่างๆ กนั ทัง้ หมด 6

การเรียงสับเปลย่ี น วธิ เี รยี งสบั เปลย่ี น เปน็ วธิ กี ารนาํ สง่ิ ตา่ งๆ มาจดั เรยี งเปน็ อนั ดบั ตอ่ เนอื่ งกนั ถา้ อนั ไม่ เหมอื นกนั ถอื วา่ เปน็ วธิ ที แี่ ตกตา่ งกนั ดงั นนั้ การสลบั ทก่ี นั ระหวา่ งส่ิงของทน่ี าํ มา จดั เรยี งกนั จงึ มคี วามหมาย นบั เปน็ คนละวธิ แี ละสิ่งทเ่ี ราจะศึกษาคอื หาจาํ นวนวธิ ที ่ี จะเกดิ ข้ึน ซึง่ จะแยกศึกษาในแตล่ ะหวั ข้อ ดังน้ี 1. วิธเี รยี งสับเปลย่ี นของสิ่งทแ่ี ตกต่างกนั ทง้ั หมดแบบเส้นตรง 2. วิธีเรยี งสับเปลย่ี นของสิ่งทไ่ี มแ่ ตกตา่ งกัน ทง้ั หมดแบบเส้นตรง 3. วธิ เี รยี งสับเปลย่ี นสิ่งของแบบวงกลม 7

1. วิธีเรียงสับเปล่ียนของส่ิงท่ีแตกต่างกันท้ังหมดแบบเส้นตรง หลักการท่ี 1 ถ้ามีของ n ส่ิงท่ีแตกต่างกัน ทั้งหมด นํามาจัดเรียงเป็นเส้นตรง ทัง้ หมด n ส่ิง จํานวนวิธีท่จี ะทาํ ได้เท่ากับ n! วิธี บทนยิ าม 1 ให้ n เปน็ จาํ นวนเต็มบวก แฟกทอเรยี ล (factorial) n คอื การคณู ของจาํ นวนเตม็ บวกตง้ั แต่ 1 ถงึ n เขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ n! (อา่ นวา่ \"เอน็ แฟกทอเรยี ล\") นนั่ คือ n! = 1×2×3× …. × (n-1) × n หรอื n! = n ×(n-1) × … ×3 ×2 ×1 และให้ 0! = 1 เชน่ 1! = 1 2! = 2 × 1 = 2 3! = 3 × 2 × 1 = 6 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 8

ตวั อยา่ ง ตวั อย่างท่ี 1 ตัวอย่างท่ี 2 จงหาคา่ ของ 4!6! ร้ า น ค้ า ต้ อ ง ก า ร นํ า ก ร ะ เ ป๋ า รุ่ น ใ ห ม่ ท่ี 8! แตกตา่ งกนั 6 ใบ วางโชวห์ นา้ รา้ นโดย วิธที ํา 4!6! วางเรยี งกนั ในแนวเส้นตรง จะสามารถ 8! = 4×3×2×1×6! จดั วางกระเปา๋ ได้ท้งั หมดกี่วธิ ี 8×7×6! วิธีทํา นํากระเป๋าท่ีแตกต่างกัน 6 ใบ =3 มาเรียงสับเปลีย่ นเชงิ เส้น 7 ทําไดท้ ง้ั หมด 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720 วิธี 9

หลกั การที่ 2 ถา้ มขี อง n สง่ิ ทแ่ี ตกตา่ งกนั ทงั้ หมด เลอื กมาจดั เรยี งเปน็ เสน้ ตรง r สง่ิ n! จํานวนวิธีท่จี ะทําได้เทา่ กับ Pn, r วิธี โดยที่ Pn, r = (n-r)! ข้อกําหนด Pn, r = n! (n-r)! P เปน็ อกั ษรตวั หนา้ ของคาํ วา่ Permutation บง่ บอกวา่ คอื วธิ เี รยี งสบั เปลยี่ น n คือ จํานวนส่ิงของทแ่ี ตกต่างกันทง้ั หมด r คอื จํานวนส่ิงของท่เี ลือกมาจัดเปน็ เส้นตรง เชน่ P8, 2 = 8! = 8! = 8×7 = 56 (8-2)! 6! P6, 4 = 6! = 6! = 6×5×4×3 = 360 (6-4)! 2! 10

ตวั อยา่ ง ตวั อย่างท่ี 1 มขี อง 7 สิ่งตา่ ง ๆ กนั จาํ มาจัดเรียงเปน็ แถว 3 ส่ิง จงหาวิธที ี่จะเกดิ ขน้ึ ได้ท้ังหมด วธิ ีทาํ จากหลักการท่ี 2 จะได้วา่ วธิ ีการในการจัดเรียงทง้ั หมด = P7, 3 = 7! วธิ ี (7-3)! = 7! = 7x6x5x4! 4! 4! = 210 วิธี 11

2. การเรียงสับเปล่ียนส่ิงของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด ถา้ มตี วั อกั ษรทแ่ี ตกตา่ งกนั 3 ตวั คอื A,B และ C จะมวี ธิ เี รยี งสับเปลยี่ นไดท้ ง้ั หมด 3! = 6 วธิ ี คอื ABC ACB BAC BCA CAB CBA สูตรในการเรียงสับเปล่ยี นสิ่งของท่ไี มแ่ ตกต่างกนั ท้งั หมด ถา้ มสี งิ่ ของ n ชน้ิ ในจาํ นวนนม้ี ี n1 ชนิ้ ทเ่ี หมอื นกนั เปน็ กลมุ่ ทห่ี นง่ึ มี n2 ชนิ้ ทเี่ หมอื นกนั เปน็ กลมุ่ ทสี่ อง ... และมี nk ชน้ิ ทเ่ี หมอื นกนั เปน็ กลมุ่ ท่ี k โดยที่ n1 + n2 + ..... nk = n แลว้ จาํ นวนวธิ เี รยี งสบั เปลย่ี นสงิ่ ของ n ชน้ิ ดงั เงอื่ นไขขา้ งตน้ เปน็ n! วธิ ี n1! x n2 x .. x nk! 12

ตัวอยา่ ง ตัวอย่างท่ี 1 จงหาจาํ นวนวิธเี รยี งสับเปลย่ี นตัวอักษรจากคําวา่ \"MATHEMATICS\" ทีแ่ ตกตา่ งกัน โดยท่ไี ม่คาํ นงึ ถงึ ความหมาย วธิ ีทํา นบั จํานวนตัวอกั ษรไดท้ ง้ั หมด 11 ตัว  นน่ั คือ  n!=11! มีตัวอกั ษร M  อยู่ 2  ตัว มตี ัวอักษร A อยู่ 2  ตัว มีตัวอักษร T อยู่ 2  ตัว และมตี ัวอกั ษร H,E,I,C และ S อย่างละ  1  ตัว จาํ นวนวธิ เี รยี งสับเปลย่ี นตวั อกั ษรดงั กลา่ ว คอื 11! = 4,989,600 วธิ ี 2!2!2!1!1!1!1!1! 13

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของส่ิงของที่แตกต่างกันท้ังหมด การจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัว คือ A,B และ C ในแนวเส้นตรงจะมีวิธีจัดเรียงได้ 3!=6 วิธี คือ ABC ACB , BCA BAC , CAB CBA จํานวนวธิ เี รยี งสับเปล่ียนเชิงวงกลมของส่ิงของท่แี ตกต่างกัน n ช้นิ เทา่ กบั (n-1)! วิธี 14

ตัวอย่าง จดั นกั เรยี น 10 คน ใหน้ งั่ รอบโตะ๊ กลม ซงึ่ มี 10 ทนี่ งั่ ไดแ้ ตกตา่ งกนั ทงั้ หมดกแ่ี บบ วธิ ีทาํ จดั นักเรยี น 10 คน นัง่ รอบโต๊ะกลม ซึง่ มี 10 ทน่ี ่งั ได้แตกต่างกันท้งั หมด (10-1)! = 9! = = 362,880 แบบ 15

การจัดหมู่ของส่ิงของ ทแี่ ตกตา่ งกันทง้ั หมด จาํ นวนวธิ กี ารจดั หมขู่ องสงิ่ ของทแ่ี ตกตา่ งกนั ทงั้ หมด n ชน้ิ โดยเลอื กคราวละ r ชน้ิ เมื่อ 0 ≤ r ≤ n คอื Cn, r = n! วธิ ี (n-r)!r! เนื่องจาก Cn, r = n! = (n-r)!r! = n! r!(n-r)! n! (n-(n-r))!(n-r)! เนอ่ื งจาก = Cn, n-r Cn, r = Cn, n-r 16

ตวั อย่าง ต้องการเลอื กนกั เรยี น 3 คนจากนกั เรียน 10 คน จะเลอื กไดก้ ว่ี ธิ ี วิธที ํา ตอ้ งการเลอื กนกั เรียน 3 คนจากนกั เรียน 10 คน ทาํ ได้ C10, 3 วธิ ี 10! เนือ่ งจาก C10, 3 = (10-3)!3! = 10! 7!3! = 10x9x8 3x2x1 = 120 ดงั นั้น จะเลือกนกั เรียน 3 คน จากนักเรียน 10 คน ได้ 120 วิธี 17

ทฤษฎีบททวินาม ทฤษฎบี ททวนิ ามกลา่ วถงึ การกระจาย (x + y)n เมอ่ื x, y เปน็ จาํ นวนจรงิ ใด ๆ และ n เปน็ จํานวนเตม็ บวก (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3+y4 (x + y)5 = x5 + 4x4y + 10x2y3 + 5xy4+ พิจารณา (x + y)n = (x + y)(x + y) ..... (x + y) n วงเลบ็ 18

การกระจาย (x + y)n สรปุ เปน็ ทฤษฎีบทไดด้ งั น้ี ให้ x, y เปน็ จํานวนจริง และ n เปน็ จํานวนเตม็ บวก จะได้ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ((x + y)nnn n n n = 0 x2 + 1 xn-1 y+ 2 xn-2y2+...+ r xn-r+...+ n yn ( (เรียกn โดยท่ี r ∈ {0,1,2,….,n} วา่ สมนั ประสิทธท์ิ วนิ าม r 19

เอกสารอา้ งองิ https://www.clearnotebooks.com/th/notebooks/1475506 https://www.mathpaper.net/index.php/en/5/583-2018-05-27-13-56-50 20



y : x/2y -x n 2+2=4 ba c X n x y 2+2=4 X 42:9 + b a 2+2=4 ba c - c y % + 12x5 x/2y x+y x 0 42:9 :