หน่วย2_เมทริกซ์

8.3 การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นโดยใช้การดาเนนิ การตามแถว เมทรกิ ซ์แตง่ เตมิ กาหนดระบบสมการเชิงเสน้ ทมี่ ี n สมการ n ตวั แปร ดังนี้ a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2xn b2 an1x1 an2x2 annxn bn จะไดเ้ มทริกซ์ในรูป [A B] เป็นเมทรกิ ซแ์ ตง่ เตมิ ของระบบสมการนี้ คอื a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 an1 an2 ann bn

a11 a12 a1n b1 จะเห็นว่า เมทริกซ์แตง่ เติม เปน็ เมทรกิ ซ์ทม่ี ี n แถว และ n + 1 หลัก a21 a22 a2n b2 โดยสมาชกิ ในแตล่ ะแถวของหลกั ที่ 1 ถึงหลักท่ี n คือ สัมประสทิ ธขิ์ องระบบ an1 an2 ann bn สมการเชงิ เสน้ ในแตล่ ะแถว และสมาชิกในแตล่ ะแถวของหลกั ที่ n + 1 คือ คา่ คงตวั ของระบบสมการเชงิ เสน้ ในแตล่ ะแถว ตวั อยา่ ง 3x - 5y + 4z =4 เขียนเป็นเมทริกซ์แต่งเติมไดเ้ ปน็ =5 -x + 2y - z = -2 3 -5 4 4 2x + 3y + 5z -1 2 -1 5 2 3 5 -2

การดาเนนิ การตามแถว (Row Operation) การดาเนนิ การตามแถวเปน็ การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ โดยใชเ้ มทริกซ์แต่งเตมิ พฒั นารูปแบบมาจาก การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยการกาจัดตวั แปร ซง่ึ ต้องใช้สมบัติของจานวนจรงิ เช่น สมบัตกิ ารสลบั ท่ี สมบัติการ บวกและการคณู สมบตั กิ ารมีตวั ผกผนั ของการคณู บทนิยาม ให้ A เป็น n × n เมทรกิ ซ์ 3 -5 4 4 เรียกการดาเนนิ การตอ่ ไปนี้ว่าเป็นการดาเนนิ การตามแถวกับเมทรกิ ซ์ A -1 2 -1 5 (1) สลบั แถวท่ี i และ k ของ A เขียนแทนด้วย Ri ↔ Rk 2 3 5 -2 (2) คณู สมาชิกในแถวที่ i ดว้ ยค่าคงตวั c ท่ี c ≠ 0 เขยี นแทนดว้ ย cRi (3) เปลย่ี นสมาชกิ ในแถวท่ี i ของ A โดยนาค่าคงตัว c คูณสมาชิกในแถวที่ k (k ≠ i) แล้วนาไปบวกกับสมาชิกแต่ละตัวในแถวที่ i เขียนแทนด้วย Ri + cRk

บทนยิ าม ถา้ เมทริกซ์ B ได้จากเมทรกิ ซ์ A โดยการดาเนินการตามแถวแลว้ จะกลา่ วว่า B สมมูลแบบแถว (Row Equivalent) กับ A เขียนแทน B สมมูลแบบแถวกบั A ด้วย A ~ B การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใชก้ ารดาเนินการตามแถวเพอื่ ให้ไดเ้ มทริกซ์ทม่ี ีรปู แบบ ข้ันบนั ไดแบบแถว โดยเมทริกซ์ที่ไดจ้ ะเป็นเมทริกซ์ของคาตอบของระบบสมการท่กี าหนด เมทรกิ ซ์ 2 × 2 ? ?? 1 ?? 1 ?? 1 ?? → 1 0? ? ?? → ? ?? → 0 ?? → 0 1? 0 1?

เมทรกิ ซ์ 3 × 3 ? ? ?? 1 ? ?? 1 ? ?? 1 ? ?? 1??? ???? → ? ? ?? → 0 ? ? ? → 0 ? ? ?→0 1 ? ? 0 ? ?? 0??? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? 1 ? ?? 1 ? ?? 1 0 ?? 1 0 0? → 0 1 ? ? → 0 1 ? ? → 0 1 ?? →0 1 0? 0 01? 0 0 ?? 0 01? 0 0 1?